Profesor Leonard Rangel Hoja de ejercicios Nº 1

Matrices

(Primera parte)

En matemáticas, se suele llamar

matriz a todo arreglo bidimensional de

números, y en su mayor generalidad de

elementos de una estructura de tipo

11 1

1

n

m mn

a a

A

a a

=

…

⋮ ⋱ ⋮

⋯

algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y

producto: (A,+,*).

Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de

ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o

representar una aplicación lineal dada una base (cosa de la que

hablaremos más adelante).

A parte de ser usadas para múltiples aplicaciones sirven en

particular para representar los coeficientes de los sistemas de

ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en

este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos

de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias

formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del

álgebra lineal (de estos nos ocuparemos en la guía siguiente).

Cada uno de los números de que consta la matriz se

denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición

que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se

denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de

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dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de

filas que de columna, se dice que es de orden o cuadrada

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota

por Amxn o (a i j), y un elemento cualquiera de la misma, que se

encuentra en la fila i y en la columna j, por a ij .

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y

los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de

columnas, siendo su dimensión mxn.

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Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de

columnas.

Los elementos de la forma a i i constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por

debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por

encima de la diagonal principal son ceros.

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Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y

por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos

de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los

elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Recordemos que …

E proceso de eliminación de Gauss-Jordan estudiado en clases obtiene

su nombre por a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan y consiste en un

algoritmo del álgebra lineal el cual determina las soluciones de un sistema de

ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de

Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado

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a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la

anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz

triangular. En cambio, el método de Gauss-Jordan continúa el proceso de

transformación hasta obtener una matriz diagonal (este último es el que nos

interesa).

Ejercicios Propuestos

Según las estrategias estudiadas resuelva los siguientes sistemas de

ecuaciones lineales:

(i) 6 2 3 11

5 4 2 7

3 2 5 6

x y y

x y y

x y y

+ + = + − = − + =

(ii) 2 5 3

2 3 4 1

3 4 4 8

x y z

x y z

x y z

+ − = − + = − + − =

(iii) 2 1

3 2

3 4

x y z

x y z

x z y

+ + = − = + = −

(iv) 2 3 4 1

3 2 2

4 3 4

x y x

x y z

x y z

− + = + − = + + =

(v) 1

1

2 3 4 9

x y z

x y z

x y z

+ + = − + = − + − =

(vi) 3 2 1

1

5 3 4 2

x y z

x y z

x y z

+ + = + − = + + =

(vii) 4 5 6 24

3 6 18

2 4 6 18

x y z

x y z

x y z

+ + = + − = + + =

(viii) 4 5 6 24

2 7 12 30

2 4 6 18

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = + + =

(ix) 9 5 33

3 9

5

x y z

x y z

x y z

− + = + − = − − + =

(x) 1

3 2 1

5 3 4 2

2 5 6

x y z

x y z

x y z

x y z

+ − = + + = + + =− − + =

(xi) 2 3 4

2 6 7 15

2 5 10

y z

x y z

x y z

+ = − + = − + =

(xii) 2 2 4

5

6

6 3 3 2 32

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

− − + = + + − = − − + = − − + =

Éxito !!!