[email protected] elementos finitos en un continuo elástico objetivo: determinar el...
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Elementos Finitos en un continuo elástico
Objetivo:Determinar el campo de tensiones y deformaciones en un sólido contínuo
Fases del método:1. El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias, en un
número de elementos finitos2. Los elementos se encuentran conectados entre si mediante un número
discreto de puntos que se denominan nodos, situados en su contorno. Los desplazamientos de estos nodos serán las incógnitas del problema.
3. Definición de funciones que definan de manera única el campo de desplazamientos dentro de cada elemento finito en función de los desplazamientos nodales.
4. Ecuaciones constitutivas del material que relaciona los desplazamientos y deformaciones con las tensiones.
5. Determinación de un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el contorno y cualesquiera carga repartidas
uj
vj
i
k
j
x
y
u(x,y)
v(x,y)
Aplicación del método
División mediante líneasCreación de nodos
Pasos 1 y 2
Solución Aproximada
p
iii
p
iii
vyxNyxv
uyxNyxu
1
1
),(),(
),(),(
j
j
i
i
ji
ji
v
u
v
u
NN
NN
yxv
yxu
00
00
),(
),(
Funciones de interpolación
Paso 3.-
Propiedades de las funciones de interpolación
u(x,y)
v(x,y)
i
vi
ui
0),(
0),(
1),(
),(),(),(),(
iik
iij
iii
kiikjiijiiiiiii
yxN
yxN
yxN
uyxNuyxNuyxNuyxu
0),(
1),(
0),(
),(),(),(),(
jjk
jjj
jji
kjjkjjjjijjijjj
yxN
yxN
yxN
uyxNuyxNuyxNuyxu
1),(
0),(
0),(
),(),(),(),(
kkk
kkj
kki
kkkkjkkjikkikkk
yxN
yxN
yxN
uyxNuyxNuyxNuyxu
Elemento triangular
Elemento 2-D
i
j
k
Ni(x,y)
i
j
k
Nj(x,y)
i
j
k
Nk(x,y)
i
jk
p
iiiuNyxu
1
),(
kkjjii uyxNuyxNuyxNyxu ),(),(),(),(
ui
uj uk
Ecuaciones constitutivas
{D]({{{
{- Campo de tensiones
D].- Matriz de elasticidad
{- Campo de Deformaciones
{.- Deformaciones de origen térmico
{- Tensiones residuales
Paso 4.-
),(
),(0
0
),(
),(0
0
yxv
yxuL
xy
y
x
L
yxv
yxu
xy
y
x
x
v
y
uy
vx
u
xy
y
x
Caso 2-D
Deformaciones
x
N
y
N
x
N
y
Ny
N
y
Nx
N
x
N
B
v
uB
v
uNL
jjii
ji
ji
e
e
e
e
00
00
j
j
i
i
ji
ji
v
u
v
u
NN
NN
yxv
yxu
00
00
),(
),(
Tensiones
e
e
v
uBD
ED
D
2)1(00
01
01
1 2
e
e
jjii
ji
ji
v
u
x
N
y
N
x
N
y
Ny
N
y
Nx
N
x
N
E
00
00
2)1(00
01
01
1 2
Cálculo de las Tensiones
Sistema de fuerzas concentrada en los nodos
i Ui
Vi
j
j
i
i
j
j
i
i
V
U
V
U
v
u
v
u
Paso 5.-
Trabajos Virtuales
ee
ee
uBuB
uNuuNu
Al interior del elemento
En los nodos del elemento
eTe qu Trabajo de las fuerzas nodales
bu T
T
Trabajo de las Tensiones
Trabajo de las fuerzas de cuerpo
Igualando Trabajos
dVbNdVBq
dVbNdVBuqu
T
V
T
V
e
T
V
T
V
TeeTe
)(
bNubu
BuTTeT
TTeT
dVbNdVDBq T
VV
Te 00 )(
{D]({{{
{ue}
dVbNdVuBDBq T
V
eT
V
e 00 )(
dVbNdVBdVDBudVBDBq T
VV
T
V
Te
V
Te
00
dVBDBKT
V
dVDBfV
T0
dVBfT
V
0
dVbNfV
Tb
Matriz de Rigidez
Fuerzas deformación inicial
Fuerzas tensión residual
Fuerzas de cuerpo
}{}{}{}]{[ bee fffuKq
Aplicación Elemento Barra:
xx1 x2A,E
xbaxN
xbaxN
222
111
)(
)(
211
111
0
1
xba
xba
121
12
21
1
xxb
xx
xa
12
12
12
21 xx
xxN
xxxx
N
€
N1 =x2 − x
x2 − x1
N2 =x − x1
x2 − x1
1 1
x1 x2 x1 x2
Ejemplo:Se tiene una barra como muestra la figura, se ha determinado por algún método el desplazamiento que tienen los nodos extremos, además se sabe que inicialmente se tiene una deformación de origen térmico de x10-4 y una tensión residual de 10 x106 N/m2. La barra es de Acero E=2.0x1011 N/m2, una sección transversal de A= 0.001m2 Determine la tensión en el centro de la barra.
1 2
u1=1 mm u2=3 mm
500
x
}{}{}{}]{[ bee fffuKq
Cálculo0
ij
ijT
ijij
xx
xxB
xxxxB
1
1
11
ij
i
ij
j
xx
xxN
xx
xxN
dx
dLNNN
EDNLB
21
21
dVBDBKu
uu
U
Uq
T
V
ee
][2
1
2
1
11
11
11
11
11
11
)(
111
1
2
12212
1212
12
12
L
EAK
dVL
EdVBDB
Lxxxx
EBDB
xxxxE
xx
xxBDB
VV
T
T
T
dVDBfV
T0
1
1
1
1
1
11
00
0
EAdVL
Ef
dVEL
f
V
V
dVBfV
T0
1
1
1
11
0
0
Af
dVL
fV
Fuerzas nodales equivalente a deformación iinicial
Fuerzas nodales equivalente a tensiones residuales
}{}{}]{[ ffuKq ee
1
1
1
1
11
1100
2
1
2
1 AEAu
u
LEA
U
U
Remplazando valores
1
1100.1
1
1100.2
003.0
001.0
11
11100.4 338
2
1 xxxU
U
799000
799000
2
1
U
U
Elemento Viga
€
EId2w
dx 2= −M(x)
34
2321)( xxxxw
wi wjij
Condiciones de Borde
L
Determinar la matriz de rigidez del elemento Viga
€
w(0) = wi w(L) = w j
dw(0)
dx=θ i
dw(L)
dx=θ j
34
2321 xxxw
Aplicando condiciones de borde se llega a:
2432
34
2321
21
32 LLLLLw
w
jj
ii
j
j
i
i
w
w
LL
LLL
4
3
2
1
2
32
3210
1
0010
0001
Escrito en forma matricial se tiene:
jji
jjii
i
i
Lw
LLw
L
Lw
LLw
L
w
2323
22
4
3
2
1
1212
1323
ii MxVxM )(
Para la viga en estudio se tiene que:
ii MxVdx
wdEI
2
2
32323
222
)1212
()1323
()( xL
wLL
wL
xL
wLL
wL
xwxw jjiijjiiii
xL
wLL
wLL
wLL
wLdx
wdjjiijjii )
1212(6
26462323222
2
Igualando términos
€
M i
EI=
−6
L2wi −
4
Lθ i +
6
L2w j −
2
Lθ j
Vi
EI=
12
L3wi −
6
L2θ i −
12
L3w j +
6
L2θ j
Por equilibrio :
iij
ji
MLVM
VV
j
j
i
i
j
j
i
i
M
V
M
V
w
w
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
4626
612612
2646
612612
222
2323
222
2323
Se recomienda hacerla con los polinomios de interpolación:
2
2
dx
dL
EID
)11
()(
)23
()(
)12
()(
)23
1()(
32
2
33
22
32
2
33
22
xL
xL
xN
xL
xL
xN
xL
xL
xxN
xL
xL
xN
j
jw
i
iw
jjwiiw NNNNN
NLB
232232
6212664126
L
x
LL
x
LL
x
LL
x
LB
jjii xL
xL
wxL
xL
xL
xL
xwxL
xL
xw )11
()23
()12
()23
1()( 32
233
22
32
233
22
dVBDBKT
V
L
dxL
x
LL
x
LL
x
LL
x
LEI
L
x
L
L
x
L
L
x
L
L
x
L
0232232
2
32
2
32
6212664126
62
126
64
126
L
L
EIdx
L
x
LEIB
03
2
321,1
12126
Se amplía la matriz a una viga que además esta sometida a tracción o compresión
j
j
j
i
i
i
j
j
j
i
i
i
M
VU
MV
U
v
u
v
u
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EA
L
EA
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
222
2323
222
2323
Ui
Uj
Vi VjMi
Mj
Para que sea válida en cualquier posición en el plano debe ser multiplicada por la matriz de rotación dada por:
100000
0)cos()(000
0)()cos(000
000100
0000)cos()(
0000)()cos(
sen
sen
sen
sen
R
RT K R
x1
x0
2
L3
E A 12y
1y
0 2
L5
E I
x1
x0
L3
E A y1
y0
12y
1y
0
L5
E I x1
x0
6y
1y
0
L3
E I
x1
x0
2
L3
E A 12y
1y
0 2
L5
E I
x1
x0
L3
E A y1
y0
12y
1y
0
L5
E I x1
x0
6y
1y
0
L3
E I
x1
x0
L3
E A y1
y0
12y
1y
0
L5
E I x1
x0
y1
y0
2
L3
E A 12x1
x0
2
L5
E I
6x1
x0
L3
E I
x1
x0
L3
E A y1
y0
12y
1y
0
L5
E I x1
x0
y1
y0
2
L3
E A 12x1
x0
2
L5
E I
6x1
x0
L3
E I
6y
1y
0
L3
E I
6x1
x0
L3
E I
4 EI
L
6( )y
1y
0
L3
E I
6( )x1
x0
L3
E I
2 EI
L2
x1
x0
2
L3
E A 12y
1y
0 2
L5
E I
x1
x0
L3
E A y1
y0
12y
1y
0
L5
E I x1
x0
6( )y
1y
0
L3
E I
x1
x0
2
L3
E A 12y
1y
0 2
L5
E I
x1
x0
L3
E A y1
y0
12y
1y
0
L5
E I x1
x0
6( )y
1y
0
L3
E I
x1
x0
L3
E A y1
y0
12y
1y
0
L5
E I x1
x0
y1
y0
2
L3
E A 12x1
x0
2
L5
E I
6( )x1
x0
L3
E I
x1
x0
L3
E A y1
y0
12y
1y
0
L5
E I x1
x0
y1
y0
2
L3
E A 12x1
x0
2
L5
E I
6( )x1
x0
L3
E I
6y
1y
0
L3
E I
6x1
x0
L3
E I
2 EI
L2
6( )y
1y
0
L3
E I
6( )x1
x0
L3
E I
4 EI
L
Elemento triangular
i
j
k
ui
vi
uj
vj
uk
vk
yaxaayxv
yaxaayxu
210
210
),(
),(
kkkkk
jjjjj
iiiii
yaxaauyxu
yaxaauyxu
yaxaauyxu
210
210
210
),(
),(
),(
k
j
i
kk
jj
yi
u
u
u
a
a
a
yx
yx
yx
2
1
0
1
1
1
Desarrollamos para u(x,y)
jijikikikjkj
kkjjiijjijkiikkiikijkkjjkkj
xyyxxyyxxyyx
uyxxxyyyxyxuyxxxyyyxyxuyxxxyyyxyxyxu
)()()()()()()()()(
),(
a0
a1
a2
xj
yk
yj
xk
xj
yk
yj
xk
xi
yk
yi
xk
xi
yj
yi
xj
u
i
xi
yk
yi
xk
xj
yk
yj
xk
xi
yk
yi
xk
xi
yj
yi
xj
u
j
xi
yj
yi
xj
xj
yk
yj
xk
xi
yk
yi
xk
xi
yj
yi
xj
u
k
yk
yj
xj
yk
yj
xk
xi
yk
yi
xk
xi
yj
yi
xj
u
i
yk
yi
xj
yk
yj
xk
xi
yk
yi
xk
xi
yj
yi
xj
u
j
yj
yi
xj
yk
yj
xk
xi
yk
yi
xk
xi
yj
yi
xj
u
k
xk
xj
xj
yk
yj
xk
xi
yk
yi
xk
xi
yj
yi
xj
u
i
xk
xi
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yk
yj
xk
xi
yk
yi
xk
xi
yj
yi
xj
u
j
xj
xi
xj
yk
yj
xk
xi
yk
yi
xk
xi
yj
yi
xj
u
k
Campo de desplazamientos.
jijikikikjkj
kkkkjjjjiiii
jijikikikjkj
kkjjiijjijkiikkiikijkkjjkkj
xyyxxyyxxyyx
uycxbauycxbauycxbayxu
xyyxxyyxxyyx
uyxxxyyyxyxuyxxxyyyxyxuyxxxyyyxyxyxu
)()()(),(
)()()()()()()()()(),(
jki
kji
jkkji
xxc
yyb
yxyxa
jijikikikjkj xyyxxyyxxyyx
k
ji
k
ji
kk
jj
kk
jj
ii
x
xy
y
yx
yx
yx
yx
yx
yx
1
1
1
1
1
1
1
i
j
k
kkkkjjjjiiii
kkkkjjjjiiii
vycxbavycxbavycxbayxv
uycxbauycxbauycxbayxu
)()()(),(
)()()(),(
Tensión deformación
x
v
y
u
y
v
x
uxyyx
)(1
)(1
)(1
kkjjiikkjjiixy
kkjjiiy
kkjjiix
ucucucvbvbvby
u
x
v
vcvcvcy
v
ubububx
u
B
v
u
v
u
v
u
bcbcbc
ccc
bbb
k
k
j
j
i
i
kkjkii
kji
kji
xy
y
x
000
0001
k
k
j
j
i
i
kkjkii
kji
kji
v
u
v
u
v
u
bcbcbc
ccc
bbb
B 000
0001
Tensión plana
CE
xy
y
x
xy
y
x
2
100
01
01
)1( 2
BC
v
u
v
u
v
u
bcbcbc
ccc
bbbE
k
k
j
j
i
i
kkjkii
kji
kji
xy
y
x
.000
000
.
2
100
01
01
)1( 2
dVBDBKT
V][
Matriz de rigidez
kkjkii
kji
kji
bcbcbc
ccc
bbb
B 000
0001
€
D[ ] =E
1−ν 2
1 ν 0
ν 1 0
0 0 (1−ν ) 2
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
K1
bi 2 c
i 2
bi c
i c
i b
i
bi
bj
ci c
j
bi c
j c
i b
j
bi
bk
ci c
k
bi c
k c
i b
k
bi c
i c
i b
i
ci 2 b
i 2
ci b
j b
i c
j
ci
cj
bi b
j
ci b
k b
i c
k
ci
ck
bi b
k
bi
bj
ci c
j
ci b
j b
i c
j
bj 2 c
j 2
bj c
j c
j b
j
bj
bk
cj c
k
bj c
k c
j b
k
bi c
j c
i b
j
ci
cj
bi b
j
bj c
j c
j b
j
cj 2 b
j 2
cj b
k b
j c
k
cj
ck
bj b
k
bi
bk
ci c
k
ci b
k b
i c
k
bj
bk
cj c
k
cj b
k b
j c
k
bk 2 c
k 2
bk c
k c
k b
k
bi c
k c
i b
k
ci
ck
bi b
k
bj c
k c
j b
k
cj
ck
bj b
k
bk c
k c
k b
k
ck 2 b
k 2
€
K[ ] =Ee
4Ae (1−ν 2)
2
)1(
Ejemplo:La estructura de la figura esta compuesta por una viga, una barra y una placa, en su extremo se aplica una carga vertical de 10000 N hacia abajo. Determinar los desplazamientos nodales, las fuerzas en cada uno de los elementos y la tensión máxima en cada uno de ellos.
1000
30º
10000 N
Barra circular d = 50
Viga cuadrada de a = 100Placa e=10mm
1
2 3
1v
1b
1p