ajuste polinomial por mínimos cuadrdos
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Ajuste polinomial por mnimos cuadrdos
Ajuste polinomial por mnimos cuadrdos Mtodo de los mnimos cuadrados. Polinomio aproximador
X Y X Y X Y0.010.1030.30.5730.650.7230.030.2350.350.5920.70.7530.050.3250.40.6130.750.7830.10.4440.450.6320.80.8180.150.4960.50.6520.850.8560.20.5290.550.6730.870.8730.250.5520.60.6970.89430.8943(xi, yi)Datos de composicin etanol-agua
Una vez establecido la funcin a ajustar se determinan sus parmetros, en el caso de un polinomio, sern los coeficientes del polinomio de modo que los datos experimentales se desven lo menos posible de la frmula emprica.Polinomio aproximador
Gradon,m+1 pares de datos (xi, yi) de modo quenmP(x)=a0+a1x+a2x2+...anxn
Stome un valor mnimo
Polinomio aproximador
Hagamos las derivadas parciales deSrespecto dea0, a1, a2, ...aniguales a cero
Obtenemos un sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas,a0, a1, a2, ...an
(1)EjemploSupongamos que tenemos 4 pares de datos y que queremos ajustarlos al polinomio de segundo grado y=a0+a1x+a2x2
EjemploAgrupando trminos las ecuaciones (1) se escribirn
Se despejaa0, a1, a2
EjemploVolvamos al sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas. Introduzcamos las expresiones
Se obtiene el siguiente sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas
EjemploVolvamos al sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas. Introduzcamos las expresiones
Se obtiene el siguiente sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas
(3)
Si todos los puntos son distintos, el sistema de ecuaciones tiene una solucin nica.
(2)Formacin de sistemas de ecuaciones
Resolucin de sistemas de ecuaciones
El sistema de ecuaciones se expresa enforma matricial
A X=B
dondeAes la matriz de los coeficientes,Bes la columna de trminos constantes, yXla columna de las incgnitas.
Si el determinante deAes no nulo, existe una matriz inversaA-1. Multiplicando a la izquierda ambos miembros de la ecuacin (1) porA-1obtenemos la columnaXde las incgnitas, es decir, la solucin del sistema.