actividades t 5,6,7,8

INTRODUCCIÓN ANÁLISIS DE DATOS ACTIVIDADES (INFERENCIA ESTADÍSTICA)

R. MEDRANO (TUTOR) PÁGINA 1

ACTIVIDADES TUTORIA �� INFERENCIA ESTADISTICA

TEMAS (5, 6, 7 y 8)

Y

X No Apto Apto 1º Semana 100 200 300 2º Semana 400 300 700

500 500 1000 Tabla nº 3: Resultados del examen de una asignatura , según la semana en que se presentaron los estudiantes.

1.- Con los datos de la Tabla 3, elegimos un alumno al azar ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado?: A) 0,2; B) 0,5; C) 0,7. Justificación : A partir de la Tabla 3 � 500 (Aptos) / 1000 (alumnos) = 0´5. También: casos favorables (alumnos aprobados) dividido entre casos posibles (total de alumnos) 2.- Con los datos de la Tabla 3, elegimos un alumno al azar ¿cuál es la probabilidad de que se haya presentado la primera semana y haya aprobado?: A) 0,2; B) 0,1; C) 0,3. Justificación : A partir de la Tabla 3 � 200 alumnos se han presentado la 1ª semana y han aprobado (probabilidad conjunta) de un total de 1000 alumnos � 200 / 1000 = 0´2 3.- Con los datos de la Tabla 3, elegido un alumno al azar resulta que se ha presentado la primera semana ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado?: A) 0,246; B) 0,667; C) 0,476. Justificación : A partir de la Tabla 3 � De los 300 alumnos que se han presentado en la 1º semana 200 han aprobado � 200 / 300 = 0´667 4.- Una variable aleatoria discreta X toma los valores 0 y 1 con probabilidades 0,7 y 0,3 respectivamente. La media de X vale: A) 0,5; B) 0,7; C) 0,3. Justificación : Organizamos los datos en una tabla: sucesos (X = 0 y 1) y probabilidad de ocurrencia [f (X) = 0´7 y 0´3]

X f (X) X · f (X) 0 0´7 0 1 0´3 0´3

Σ 1 0´3

Media de la variable X � E (X) = Σ x · f (x) � (Cada suceso por su probabilidad de ocurrencia) E (X) = (0 · 0´7) + (1 · 0´3) = 0 + 0´3 = 0´3 5.- En un Centro de la UNED el 60% de los alumnos son mujeres. Si elegimos, al azar, una muestra de 5 alumnos ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean varones?: A) 0,125; B) 0,230; C) 0,3456. Justificación : Se trata de aplicar una función de probabilidad binomial (probabilidad de obtener en N ensayos, tipo Bernouilli un número determinado (x) de éxitos. La Distribución Binomial depende de los valores que tome N (número de ensayos) y p (probabilidad de éxito). En nuestro caso (n = 5 y p = 0´4), dado que elegimos cinco alumnos y la probabilidad de ser varón = 100-60% = 40% (0´4) Utilizando las tablas de la binomial (Tabla I) con n = 5, p = 0,4 y x = 2, obtenemos 0,3456

Utilizando la función de probabilidad � Pagina 16 del formulario � B (5, 0´4)

5 P (X = 2) = 0,42 · �0,63 = [(5!) / (2!) · (5- 2)!) ] · (0,4)2 · (0,6)3 = 0,3456

2



6.- En una distribución normal ¿qué puntuación típica nos deja por debajo de sí el 67% de los casos?: A) 0,67; B) 0,44; C) –0,44. Justificación : Buscamos directamente en las tablas de la curva normal (página 33 del formulario). Al ser un porcentaje (proporción) superior al 50% (0´5) se mira en la Tabla IV (valores z positivos). 0´67 se corresponde con la Z = 0´44 7.- En una distribución normal, con media 10 y varianza 4 ¿cuánto vale el percentil 25?: A) 7,50; B) 11,34; C) 8,66. Justificación : Para averiguar la puntuación directa que se corresponde con el P25 se utiliza la fórmula para tipificar: Z = (Xi – Media) / SX � A partir de las tablas P25 = Z- 0´67 � - 0´67 = (X – 10) / 2 � X = 8´66 8.- ¿Cuál de las siguientes distribuciones NO es simétrica?: A) normal con media 5 y desviación típica 2; B) t de Student con 10 grados de libertad; C) chi-cuadrado con 10 grados de libertad. Justificación : La distribución Chi-cuadrado es asimétrica positiva (cuando aumentan los grados de libertad, se aproxima a la Curva Normal). Tanto la curva normal, como la t de Student son simétricas. 9.- En una distribución F con 20 grados de libertad en el numerador y 10 grados de libertad en el denominador, ¿cuál es el valor del percentil 95?: A) 2,774; B) 2,348; C) 2,978. Justificación : Mirando la Tabla F con 0,95 (página 37 del formulario): F20 y 10 gl = 2´774 10.- Para la media de la distribución muestral de la media ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?: A) es igual a la desviación típica poblacional; B) es igual a la media poblacional; C) es igual a la desviación típica poblacional partido por la raíz cuadrada de n (siendo n el número de sujetos de la muestra) Justificación : La media de la distribución muestral de medias (µx) coincide con la media de la población (µ) 11.- Disponemos de una muestra de 100 sujetos en los que la media de una variable X toma el valor 10. Sabiendo que la desviación típica de esa variable X en la población, de la que ha sido extraída esa muestra, vale 4 y que trabajamos al nivel de confianza del 95% (es decir 1 - α = 0,95) ¿qué valores definen el intervalo confidencial de la media poblacional?: A) 9,216 y 10,784; B) 8,968 y 11,032; C) 9,216 y 11,032. Justificación : Se trata de estimar el intervalo confidencial de la media poblacional (página 19 del formulario). Varianza poblacional conocida (σ2 = 16) y n ≥ 30. _ Datos�� Media X = 10 // 1-α = 0,95 // σ = 4 _ _ Intervalo de confianza � X ± Emáx [Z 1-α/2 (σ / √ n)] = [Límite superior y Límite inferior] Nivel de significación (α = 0,05) �� (α/2) = (0,05/2) = 0,025 �� (1 - α/2) = 0,975 Las probabilidades (0,025 y 0,975) corresponden a los valores � Z = ± 1´96 _ ___ Error Típico � σx = (σ / √ n) � (4 / √100) = 0,4 Error de estimación máximo �� (Zα ·� σx) = (1´96 · �0´4) = 0´784 Límite Superior = 10 + (1´96 · �0,4) = 10´784 Límite Inferior = 10 - (1´96 · �0,4) = 9´216



12.- El CI (Cociente Intelectual) medido por el WAIS, uno de los tests más ampliamente utilizados, presenta una media de 100 y una desviación típica de 15 para toda la población española. Un psicólogo elabora un test propio basado en el WAIS y considerará que está bien elaborado si aplicándolo a 1225 personas elegidas al azar, y estableciendo un nivel de confianza de 0,95, el valor 100 se encuentra en el intervalo de confianza por él calculado. Para las 1225 personas obtiene una media de 112,5 ¿puede considerar que su test es adecuado para medir el CI?: A) sí; B) no; C) con los datos obtenidos no puede responder a su pregunta. Justificación : Se trata de estimar el intervalo confidencial de la media poblacional (página 19 del formulario). Varianza poblacional conocida (σ2 = 225) y n ≥ 30. _ Datos�� Media X = 100 // 1-α = 0,95 // σ = 15 _ _ Intervalo de confianza � X ± Emáx [Z 1-α/2 (σ / √ n)] = [Límite superior y Límite inferior] Nivel de significación (α = 0,05) �� (α/2) = (0,05/2) = 0,025 �� (1 - α/2) = 0,975 Las probabilidades (0,025 y 0,975) corresponden a los valores � Z = ± 1´96 _ ____ Error Típico � σx = (σ / √ n) � (15 / √1225) = 0,4286 Error de estimación máximo �� (Zα ·� σx) = (1´96 · �0´4286) = 0´84 Límite Superior = 112´5 + (1´96 · �0,84) = 113´34 Límite Inferior = 112´5 - (1´96 · �0,84) = 111´66 Como el valor 100 cae fuera del intervalo confidencial no se puede considerar adecuado. 13.- La desviación típica de la distribución muestral de la proporción se denomina: A) proporción muestral; B) error típico de la proporción; C) desviación típica proporcional. Justificación : El error típico de la proporción = desviación típica de la distribución muestral de la proporción. Se trata de un indicador de la precisión al estimar la proporción. Depende de la desviación típica de la población y del tamaño de la muestra.

PROBLEMAS EXAMEN (ENERO D E 2010)

13.- En la definición clásica, la probabilidad es: A) el número de veces que se repite un suceso; B) el cociente entre el número de casos favorables y posi bles de aparición de un suceso ; C) la suma de las probabilidades de sucesos mutuamente excluyentes. Justificación : Según la definición clásica (Laplace / A Priori): P (A) = nA / N � La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles (suponemos que todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrencia � Equiprobabilidad)



14.- Si tenemos en cuenta los datos de la Situación 1, elegido un niño al azar ¿cuál es la probabilidad de que acuda al psicólogo?: A) 0,10; B) 0,24; C) 0,31. Justificación : Con los datos de la situación 1, construimos una tabla: PA (Problemas de Aprendizaje), Ψ (Acude al psicólogo). Aplicamos el teorema de la probabilidad total (Probabilidad total de acudir al psicólogo) � (0´3 · 0´8) + (0´7 · 0´1) = 0´31. Probabilidades a priori (multiplicadas por) probabilidades condicionadas.

Probabilidades A priori

Probabilidades Condicionadas

Probabilidades Condicionadas

P(PA) = 0´3 P(NPA) = 0´7

P(Ψ / PA) = 0´8 P(Ψ / NPA) = 0´1

P(NΨ / PA) = 0´2 P(NΨ / NPA) = 0´9

15.- Continuando con la situación 1, elegido un niño al azar ha resultado que acude al psicólogo ¿cuál es la probabilidad de que padezca algún problema de aprendizaje?: A) 0,77; B) 0,66; C) 0,88. Justificación : Aplicamos el Teorema de Bayes, teniendo en cuenta la pregunta anterior:

0´3 · 0´8 P (PA / Ψ) = ----------------------------------- = (0,24 / 0´31) = 0´77 (0´3 · 0´8) + (0´7 · 0´1)

16.- La función de probabilidad de una variable X es: f(0)=0,2, f(1)=0,3 y f(2)=0,5. La media de X es: A) 0,3; B) 1,3; C) 2,5. Justificación : Organizamos los datos en una tabla: sucesos (X = 0, 1 y 2) y probabilidad de ocurrencia [f (X) = 0´2, 0´3 y 0´5]

X f (X) X · f (X) 0 0´2 0 1 0´3 0´3 2 0´5 1

Σ 1 1´3

Media de la variable X � E (X) = Σ x · f (x) � (Cada suceso por su probabilidad de ocurrencia) E (X) = (0 · 0´2) + (1 · 0´3) + (2 · 0´5) = 1´3 17.- Se lanza una moneda al aire en 20 ocasiones. Sabiendo que P (Cara) = P (Cruz) = 0,5 en cada ensayo, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 Caras?: A) 0,0500; B) 0,1762; C) 0,2550. Justificación : Se trata de aplicar una función de probabilidad binomial (probabilidad de obtener en N ensayos, tipo Bernouilli un número determinado (x) de éxitos. La Distribución Binomial depende de los valores que tome N (nº ensayos) y p (probabilidad de éxito). En nuestro caso (n = 20 y p = 0´5) Utilizando la Tabla de la binomial (Tabla I) con n = 20, p = 0,5 y x = 10, obtenemos 0,1762 18.- En un Centro de la UNED el 60% de los alumnos son mujeres. Si elegimos, al azar, una muestra de 5 alumnos ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean varones?: A) 0,2350; B) 0,3456; C) 0,6544. Justificación : Aplicamos la función de probabilidad binomial con n = 5 y p = 0´4 (siendo las mujeres el 0´6, los hombres serán el 0´4). Utilizando la Tabla de la binomial (Tabla I) con n = 5, p = 0,4 y x = 2, obtenemos 0,3456. 19.- En la Figura 2, ¿cuánto vale la desviación típica de X?: A) 3; B) 2; C) 4. Justificación : Para obtener la desviación típica, utilizamos la fórmula de tipificación:



Z = (Xi – Media) / SX � A partir de los datos de la Figura 2 � Sabemos que la puntuación 5 deja por debajo 1587 alumnos (supone el 15´87% de 10000 que se corresponde con la probabilidad 0´1587). Según las tablas de la curva normal la probabilidad 0´1587 tiene una Z = - 1. También conocemos la Media = 7. - 1 = (5 – 7) / SX � X = 2 20.- Teniendo en cuenta los datos representados en la Figura 2, ¿cuántos alumnos han obtenido, en selectividad, una puntuación superior a 8?: A) 3085; B) 3830; C) 6915. Justificación : A partir de la fórmula para tipificar � Z = (Xi – Media) / SX y los datos de la Figura 2: Z = (8 – 7) / 2 � Z = 0´5 (probabilidad tabla = 0´6915). Luego deja por debajo el 69,15% de los alumnos. Por tanto, por encima � 1 – 0´6915 = 0´3085. El 30´85% de 10000 es � 3085. 21.- En una distribución Chi-cuadrado con 60 grados de libertad, el valor 79,0819 es: A) el percentil 5; B) el percentil 90; C) el percentil 95 . Justificación : Buscando en las tablas Chi-cuadrado con 60 grados de libertad, el valor 79´08, vemos que se corresponde con la probabilidad 0`95 (percentil 95) 22.- En una distribución F con 40 y 20 grados de libertad en el numerador y en el denominador, respectivamente ¿cuál es el percentil 95?: A) 1,708; B) 1,994; C) 2,287. Justificación : Buscando en las tablas F de Snedecor con F40 y 20 (Tabla con probabilidad 0´95) encontramos el valor 1´99. 23.- ¿Cuál de los siguientes tipos de muestreo es probabilístico?: A) por cuotas; B) opinático; C) por conglomerados. Justificación : Los tipos de muestreo por cuotas y opinático son no probabilísticos. 24.- La media de la distribución muestral de la media es igual a: A) la desviación típica poblacional; B) la media poblacional ; C) la desviación típica poblacional partido por la raíz cuadrada de n (siendo n el número de sujetos de la muestra) Justificación : La media de la distribución muestral de medias (µx) coincide con la media de la población (µ) 25.- Para estimar el intervalo confidencial de la media poblacional de una variable X, hemos seleccionado una muestra de 100 personas y en ella hemos obtenido una media de 10. Trabajando con un nivel de confianza del 95% se han obtenido para ese intervalo unos límites de 9,216 y 10,784 ¿cuál es el valor de la desviación típica de esa variable X en la población?: A) 16; B) 4; C) 2 Justificación : Teniendo en cuenta los datos del problema: _ Datos� Media X = 10 // 1-α = 0,95 // Muestra n = 100 _ _ Intervalo de confianza � X ± Emáx [Z 1-α/2 (σ / √ n)] = [Límite superior y Límite inferior] Nivel de significación (α = 0,05) � (α/2) = (0,05/2) = 0,025 � (1 - α/2) = 0,975 ____ Elegimos un límite � Límite Superior = 10 + [1´96 · (σ / √ 100) = 10´784 y despejamos el valor de σ 10 + [1´96 · σ / 10] = 10´784 � σ = 4

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