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Ejercicios: métodos de integración
A continuación te mostramos una serie de integrales que deberás resolver utilizando alguno de los métodos que te presentamos en el tema. Revisa cuidadosamente la estructura de cada integral y evalúa cuál es el método más adecuado para resolverla.
Ésta no es una actividad con valor para tu calificación final, por lo tanto no es necesario que envíes el archivo; es sólo para que practiques y revises si te quedó claro el tema.
Al final de los ejercicios te mostramos las respuestas correctas. Si no llegas a ellas realizando los procedimientos adecuados es necesario que vuelvas a leer el tema “Métodos de integración”. Si aun así no logras obtener el resultado preciso consulta a tu asesor para que te oriente.
Recuerda que todo procedimiento requiere mucha práctica para dominarlo.
1) x cos xdx =∫
2)
dx
x 9−x2∫ =
3) ex∫ senxdx =
4)
xdx
25−x2∫ =
5) sec3θ dθ∫ =
Tip: Transforma el integrando, por medio de identidades trigonométricas, hasta obtener la siguiente igualdad
sec3θ =secθ +secθ tan2θ
1
Si realizas el camino correctamente, en algún momento obtendrás el siguiente resultado
Como ves, como parte del desarrollo aparece la misma integral que deseas calcular, por lo que conviene despejarla
2 sec3θ dθ =tanθ secθ∫ + secθ dθ∫
sec3θ dθ∫ =12
tanθsecθ + secθ dθ∫( )
Te queda a ti terminar este proceso.
6) 5 + x2dx =∫
7) 1+ x2( )∫
−2dx
Tip: Recuerda que la sustitución trigonométrica funciona para todas las potencias
múltiplos de
12 .
Por lo que nos conviene transformar el integrando
1+ x2( )−2
=1
1+ x2( )2 =
1
1+ x2( )
4
2
Observa que
1+ x2( )
4= 1+ x2( )
42
Si desarrollas bien la integral, en algún momento deberás calcular una integral, de la cual te damos el resultado a continuación:
8)
Tip: Procura expresar el integrando como productos, para que obtengas un valor de que sea una función fácil de integrar.
9)
x−1x2 + 3x + 2
dx∫
Tip:
x−1x2 + 3x + 2∫ dx =
Ax+1
dx +B
x + 2dx∫∫
10)
x−9x + 5( ) x−2( )
dx =∫
3
Respuestas a Ejercicios: métodos de integración
1) x cos xdx =∫
u =x dv =cosxdxdu =dx v =senx
x cos xdx =xsenx + cosx + c∫
2)
dx
x 9−x2∫ =
Por sustitución trigonométrica.
9−x2 =3cosθ
dx
x 9−x2∫ =13
1senθ∫ dθ =
13
cscθ dθ∫ =13ln cscθ −cotθ + c
Completa el resultado volviendo a la variable original.
dx
x 9−x2∫ =13ln
3x
−9 −x2
x+ c
3)ex∫ senxdx =
u =ex dv =senxdx
du =exdx v =−cosx
4
(1)
Surge una nueva integral, la cual también integraremos por partes.
u =ex dv =cosxdx
du =exdx v =senx
Sustituimos este resultado en (1)
Y parece que volvemos al inicio, pero podemos intentar despejar la integral
Nota: En muchas integrales, al desarrollarlas, dentro del mismo resultado aparecerá la misma integral que estás deseando calcular, por lo que este recurso te será muy útil.
4)
xdx
25−x2∫ =−5cosθ + c=− 25 −x2 + c
5
El siguiente es el triángulo que se forma.
5)
Hay dos integrales a calcular, la primera es inmediata
La segunda integral se calcula por partes
u =tanθ dv =secθ tanθdθdu =sec2θdθ v =secθ
6
Sustituimos los resultados
sec3θ dθ =∫12ln secθ + tanθ +
12tanθ secθ + c
6) 5 + x2∫ dx =
Con esta información armamos el triángulo.
7
Necesitamos encontrar la identidad trigonométrica que nos permita sustituir 5 + x2 y
dx , para ello primero debemos encontrar el valor de .
dx = 5sec2θdoθ
5 + x2∫ dx = 5secθ( )∫ 5 sec2θ( )dθ =5 sec3θ dθ =52ln secθ + tanθ +
52tanθsecθ + c∫
5 + x2∫ dx =52ln
5 + x2 + x5
+x 5 + x2
2+ c
Ahora regresamos a la variable original. Sustituye con cuidado y desarrolla para obtener el siguiente resultado.
8
5 + x2∫ dx =52ln
5 + x2 + x5
+x 5 + x2
2+ c
7) 1+ x2( )∫
−2dx
Nos permite formar el siguiente triángulo, para realizar la sustitución trigonométrica.
Lo que nos permite hacer los siguientes cambios de variable.
9
Te proponemos la siguiente solución, pero hay pasos intermedios que tendrás que realizar
1+ x2( )∫−2
dx =dx
1+ x2( )
4∫ =sec2θdθsec4θ∫ = cos2∫ θdθ
=12
θ + senθ cosθ( )+ c
1+ x2( )∫−2dx =
12
θ + senθ cosθ + c( )=12
arctanx +x
1+ x2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + c
8) Nos dieron el siguiente tip: Procura expresar el integrando como productos, para que obtengas un valor de que sea una función fácil de integrar.
u =x2
du =2xdx
9)
x−1x2 + 3x + 2
dx =−2ln x +1 + 3ln x + 2 + c=lnx + 2 3
x +1 2∫ + c
10)
x−9x + 5( ) x−2( )∫ dx =2ln x + 5 −ln x−2 + c=ln
x + 5 2
x−2+ c
10