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El zoológico municipal de Montevideo alimenta a tres especies de aves autóctonas (ñandú, perdiz, pavo), que habitan una reserva.

Para alimentar dichas aves se mezclan tres tipos de raciones especiales (A, B, C). Cada ñandú consume por mes un promedio de 2 unidades de A, 4 de B y 1 de C; cada perdiz 6, 10 y 4 respectivamente, y cada pavo 4, 10 y 1.

Por mes se sirven 5000 unidades de alimento A, 11000 del B y 2000 del C. Suponiendo que toda la comida se consume ¿cuántos ejemplares de cada especie podrán vivir en la reserva y estar bien alimentadas?

a) Plantee el SEL que modeliza la situación. Previamente explicite datos conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a cada EL.

Los datos desconocidos del problema son la cantidad de ejemplares de cada especie, por lo tanto, se puede plantear:

x: cantidad de ñandúy: cantidad de perdizz: cantidad de pavo

Los datos conocidos son la cantidad de unidades de alimento que consume por mes cada ejemplar y la cantidad mensual de unidades de alimento que se sirven. La cantidad de unidades de alimentos que consume por mes cada ejemplar son los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones, en tanto que la cantidad mensual de alimentos son los términos independientes.

A: 5000 unidades mensuales de alimentosB: 11000 unidades mensuales de alimentosC: 2000 unidades mensuales de alimentos

La primera ecuación se puede plantear como la cantidad de unidades de A que consume el ejemplar ñandú por la cantidad de ejemplares ñandú (x) más la cantidad de unidades de A que consume el ejemplar perdiz por la cantidad de ejemplares perdiz (y) más la cantidad de unidades de A que consume el ejemplar pavo por la cantidad de ejemplares pavos (z). El mismo razonamiento se debe tener con el resto de los alimentos B y C.

{2 x+6 y+4 z=5000 ¿ {4 x+10 y+10 z=11000 ¿ ¿¿¿

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b) Resuelva el SEL por método de Gauss-Jordan usando los paquetes informáticos OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com500/math/assistance/, Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve{x%2B2y%2Bz%3D0%2C+x-y%2Bz%3D1, wiris https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA y también http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Analice los resultados obtenidos.

OnlineMSchool

Solución:

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan

  2     6     4     5000    4     10     10     11000  

  1     4     1     2000  

Dividamos 1-ésimo por 2  1     3     2     2500    4     10     10     11000  

  1     4     1     2000  

de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 4; 1  1     3     2     2500    0     -2     2     1000  

  0     1     -1     -500  

Dividamos 2-ésimo por -2  1     3     2     2500    0     1     -1     -500  

  0     1     -1     -500  

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 3; 1  1     0     5     4000    0     1     -1     -500  

  0     0     0     0  

Resultado:x1 + 5x3 = 4000

x2 + (-1)x3 = -500

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Con Wolfram Alpha

Con Wiris

c) Construya la expresión paramétrica del conjunto solución y analice las restricciones de los parámetros en el contexto del problema.

Partiendo de la solución obtenida

S1={( x , y , z ) / x=−5u+4000 , y=u−500 , z=u ,u∈ℜ}

podemos plantear las restricciones de forma individual.

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{x=−5u+4000≥0 ¿ ¿¿¿entonces

−5u+4000≥04000≥5u

u≤40005

=800

y

u≥500

Entonces, el conjunto solución tiene la siguiente restricción

500≤u≤800

En el contexto del problema los parámetros tienen que ser naturales positivos o cero ya que se trata de cantidad de animales.El sistema tiene solución monoparámetrica, infinitas soluciones. El conjunto solución es una recta si no tenemos en cuenta el contexto del problema. Teniendo en cuenta el contexto del problema el conjunto solución esta acotado por los valores de u entre 500 y 800, ya que fuera de este rango alguna de las cantidades x o y serian negativas y no puede haber una cantidad negativa de animales.

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d) Analice si es posible determinar gráficamente la solución. Explique sus conclusiones, grafique si es posible.

Si, es posible graficar la solución ya que tenemos un sistema de ecuaciones lineales con 3 variables.

e) Identifique una solución particular. Verifique.

Si le damos el valor u=550 que se encuentra en el rango de valores permitidos, entonces

{x=4000−5∗550=1250 ¿ ¿¿¿Para comprobar, reemplazamos en el sistema de ecuaciones original y comprobamos que las igualdades se cumplan

{2∗1250+6∗50+4∗550=5000 ¿ {4∗1250+10∗50+10∗550=11000 ¿ ¿¿¿

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f) Intercambie el orden de las ecuaciones en el SEL y observe que las soluciones ¿cambian? ¿deberían cambiar? ¿por qué no cambian? Capture imágenes.

Resolvemos el sistema al que se le modificó el orden de las ecuaciones con OnlineMSchool:

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan

  1     4     1     2000    2     6     4     5000  

  4     10     10     11000  

de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 2; 4  1     4     1     2000    0     -2     2     1000  

  0     -6     6     3000  

Dividamos 2-ésimo por -2  1     4     1     2000    0     1     -1     -500  

  0     -6     6     3000  

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 4; -6  1     0     5     4000    0     1     -1     -500  

  0     0     0     0  

Resultado:x1 + 5x3 = 4000

x2 + (-1)x3 = -500

El conjunto solución es siempre el mismo porque no depende del orden en que se resuelva el SEL. Una de las 3 operaciones del método básico para resolver un SEL es “Intercambiar dos de las ecuaciones”.

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g) ¿Pueden construirse otras expresiones paramétricas del conjunto solución que difieran en el parámetro elegido? Fundamente.

Si. Pueden construirse 2 ecuaciones paramétricas más, tomando como variables libres las otras 2 variables restantes (y o x; x1 o x2).por ejemplo, tomando a "y" como variable libre,reescribimos el sistema de ecuaciones de la siguiente manera cambiando el orden de las variables z e y. (para este caso, Z=x2 e Y=x3)

EntoncesSolución:

Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el método de eliminación de Gauss-Jordan

  1     1     4     2000    2     4     6     5000    4     10     10     11000  

de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 2; 4  1     1     4     2000    0     2     -2     1000    0     6     -6     3000  

Dividamos 2-ésimo por 2  1     1     4     2000    0     1     -1     500    0     6     -6     3000  

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 1; 6  1     0     5     1500    0     1     -1     500    0     0     0     0  Resultado:

x1 + 5x3 = 1500

x2 + (-1)x3 = 500

Reescrito en términos de X, Y, Z

{x+5 y=1500z− y=500

Entonces, el conjunto solución se puede escribir como sigue:

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S2={( x , y , z ) / x=1500−5 v , z=500+v , z=v , v∈ℜ }

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