actas[2] (1)
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ACTAS DE CONGRESOSTRANSCRIPT
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Actas de la ConferenciaLatinoamericana de GeoGebra
Montevideo, 8 al 10 de noviembre de 2012
U R U G U A Y
ISSN 2301-0185
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de Matemtica Departamento
Consejo de Formacin en Educacin
Comit OrganizadorJorge BrissetAna Sonia MartnezCristina OchovietNora RavaioliMariela ReyFabin Vitabar
EdicinMario DalcnVernica Molfino
ISSN 2301-0185www.geogebra.org.uy/2012
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i
NDICE
Conferencias Plenarias
APORTES TERICOS DE PESQUISAS QUE UTILIZARAM O GEOGEBRA (Celina
Abar) .................................................................................................................................. 1
Talleres
AZAR, PROBABILIDAD Y GEOGEBRA (Gerardo Daniel Rossi et al.)..................... 14
CMO EVALUAR ACTIVIDADES CONSTRUIDAS EN GEOGEBRA
UTILIZANDO MOODLE Y WIRIS (Jorge Gaona et al.) .............................................. 19
COMPUTAO SIMBLICA NO ENSINO MDIO COM O SOFTWARE
GRATUITO GEOGEBRA (Humberto Jos Bortolossi) ................................................. 29
CONSTRUINDO AS FUNES LOGARTMICAS E EXPONENCIAIS POR MEIO
DO GEOGEBRA (Valdeni Soliani Franco) .................................................................... 35
CONSTRUINDO O LOGOTIPO DA OLIMPADA BRASILEIRA DE
MATEMTICA NO GEOGEBRA (Mariana Moran et al.) ........................................... 42
DISCUSSO SOBRE A NOO DE INTEGRAL IMPRPRIA COM O AUXLIO
DO SOFTWARE GEOGEBRA (Francisco Regis Vieira Alves Fregis et al.) ............... 48
EL HOMBRE DE VITRUVIO (Alicia Mariel Carbajal Pirotto et al.) ........................... 56
LOS APPLETS GEOGEBRA EN LA ENSEANZA DE LA PROBABILIDAD
(Mercedes Villalba et al.) ................................................................................................ 64
LUGAR GEOMTRICO, SLO RASTROS QUE DEJAN LOS PUNTOS? (Rosa
Ana Ferragina et al.) ........................................................................................................ 72
PROPUESTAS DIDCTICAS PARA TRABAJAR EN SECUNDARIA: NGULOS
EN LA CIRCUNFERENCIA. (Mara Teresita Carrin Rebellato et al.) ....................... 80
RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE CONSTRUCCIN GEOMTRICA EN
GEOGEBRA EMPLEANDO LUGARES GEOMTRICOS Y ALGO MS. (Julian
Andres Caicedo Lopez) ................................................................................................... 87
UN BINOMIO DINMICO: GEOMETRA Y FUNCIONES (Fernando Jorge Bifano et
al.) .................................................................................................................................... 94
UTILIZANDO O GEOGEBRA PARA CONSTRUO DE MODELO PLANO PARA
A GEOMETRIA ELPTICA (Valdeni Soliani Franco et al.) ....................................... 102
UTILIZANDO O GEOGEBRA PARA CONSTRUO DE MODELOS PLANOS
PARA A GEOMETRIA HIPERBLICA (Karla Aparecida Lovis et al.) ................... 110
VISUALIZAR, CONJETURAR Y DEMOSTRAR UTILIZANDO EL SOFTWARE
GEOGEBRA (Mary Isabel Curbelo Cejas et al.) .......................................................... 117
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ii
Comunicaciones
AVALIAO DO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO DE
GEOMETRIA: REFLEXO DA PRTICA NA ESCOLA (Eimard Gomes) ............. 125
COLETANA LABGG PARA ESCOLAS E UNIVERSIDADES: NF2.601 -
POSSIBILIDADES DE ESTUDO PARA O POLGONO TRIANGULO (Eimard
Gomes) .......................................................................................................................... 133
COLETANA LABGG PARA ESCOLAS E UNIVERSIDADES: NF2.901 -
POSSIBILIDADES DE ESTUDO PARA A FUNO QUADRTICA (Eimard
Gomes) .......................................................................................................................... 141
COMPARANDO REAS - LA EQUIVALENCIA DE FIGURAS GEOMTRICAS
(Daniela Pags) .............................................................................................................. 149
COMPARANDO RESULTADOS AO UTILIZAR O GEOGEBRA COM ALUNOS
DA ESCOLA ESTADUAL ANDR AVELINO E ALUNOS INGRESSANTES EM
MATEMTICA NA UFMT (Naiane Gajo Silva et al.) ............................................... 155
CONJETURAS SOBRE TRINGULOS DETERMINADOS POR MEDIATRICES,
BISECTRICES Y ALTURAS DE UN TRINGULO (Mario Dalcn) ........................ 163
CONOCIMIENTO GEOMTRICO DE LOS PROFESORES Y RESOLUCIN DE
TAREAS DE CONSTRUCCIN DE PARALELOGRAMOS CON GEOGEBRA
(Leonela Marina Rubio Urdaneta et al.) ........................................................................ 174
CONSTRUES DE MACRO FERRAMENTAS NO GEOGEBRA PARA O
ENSINO DA GEOMETRIA HIPERBLICA (Guilherme Fernando Ribeiro et al.) ... 182
CONSTRUINDO O TRINGULO HIPERBLICO NO SOFTWARE GEOGEBRA:
UMA EXPERINCIA COM FUTUROS PROFESSORES DE MATEMTICA
(Guilherme Fernando Ribeiro et al.) ............................................................................. 190
CORES DINMICAS COM O GEOGEBRA: PERSPECTIVAS DE INCREMENTAR
A ABORDAGEM NO ESTUDO DE FUNES (Daiane Pertile et al.) ..................... 199
CURSO INICIAL DE GEOGEBRA PARA PROFESORES DE MATEMTICA
(Mara Del Rosario Mariani Augusto et al.) ................................................................. 207
EDUCAO TECNOLGICA: SOFTWARE GEOGEBRA, UMA FERRAMENTA A
FAVOR DO ENSINO E APRENDIZADO DA MATEMTICA. (Mariani Bento et al.)215
EL BARICENTRO Y LAS MEDIANAS DE UN TRINGULO. UNA EXPERIENCIA
EN EL AULA. (Ana Ines Battaglino Llobet et al.) ....................................................... 223
ESTUDO DO PNDULO SIMPLES COM AUXLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA
NA ABORDAGEM DOS ESTILOS DE APRENDIZAGEM (Rosana Cavalcanti Maia
Santos et al.) ................................................................................................................. 234
FERRAMENTAS MEDIADORAS NO ENSINO DA MATEMTICA: MOODLE E
GEOGEBRA A FAVOR DO APRENDIZADO DE SABERES MATEMTICOS.
(Graciela Aluizio Reali et al.) ....................................................................................... 245
FORMAO DE PROFESSORES DE MATEMTICA EM UMA COMUNIDADE
DE PRTICA AO UTILIZAR O SOFTWARE GEOGEBRA (Loreni Aparecida
Ferreira Baldini Baldini et al.) ....................................................................................... 252
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iii
FRISOS: UNA NUEVA MIRADA A LA EVALUACIN (Graciela Carmen
Lombardo et al.) ............................................................................................................ 260
GEMELAS DE ARQUMEDES (Mario Dalcn) ......................................................... 268
GEOGEBRA, MATEMTICA E ARTE: ABORDAGENS E CONTRIBUIES A
FAVOR DO ENSINO E APRENDIZADO DOS CONTEDOS E CONCEITOS (Paulo
Estevam Denadai et al.) ................................................................................................. 282
GEOGEBRA: INSTRUMENTO PEDAGGICO PARA O DESENVOLVIMENTO
DE COMPETNCIAS E HABILIDADES EM MATEMTICA (Cibelle Assis) ....... 291
INICINDONOS EN LAS DEMOSTRACIONES... (Vernica Pagliaccio et al.) ...... 302
INSERO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO OBJETO DE APRENDIZAGEM
NO PROCESSO DE ENSINO DA MATEMTICA (Dayse Begosso et al.) .............. 313
INTERPRETAO GEOMTRICA DE DIFINIES E TEOREMAS: O CASO DA
ANLISE REAL (Francisco Regis Vieira Alves Fregis) ............................................. 322
INTERPRETAO GEOMTRICA PARA A REGRA DE LHOPITAL COM O
AUXLIO DO GEOGEBRA (Francisco Regis Vieira Alves Fregis) ........................... 330
LAS COMPUTADORAS EN EL AULA. UNA EXPERIENCIA DE CAPACITACIN
(Claudia Comparatore et al.) ......................................................................................... 338
MATEMTICA, LDICO E GEOGEBRA: UMA COMBINAO A FAVOR DA
APRENDIZAGEM. (Adriana Cunha et al.) .................................................................. 349
O GEOGEBRA COMO FERRAMENTAS PARA O ESTUDO DE REAS DE
REGIES PLANAS (Mariana Moran et al.) ................................................................ 357
O GEOGEBRA E O ENSINO DA FSICA: APRENDER A APRENDER (Marcelo
Silveira et al.) ................................................................................................................ 365
O GEOGEBRA NO ESTGIO SUPERVISIONADO: INSTRUMENTO PARA
DISCUTIR COMPETNCIAS E HABILIDADES EM MATEMTICA (Cibelle Assis)373
O PAPEL DO CONTRA EXEMPLO NO ENSINO DO CLCULO: UMA
DISCUSSO COM O USO DO GEOGEBRA (Francisco Regis Vieira Alves Fregis)381
O SOFTWARE GEOGEBRA E AS POSSIBILIDADES DO TRABALHO COM
ANIMAO (Sandra Malta Barbosa) .......................................................................... 389
O SOFTWARE GEOGEBRA E O LDICO: CONTRIBUIES NA CONSTRUO
DO CONHECIMENTO MATEMTICO E DAS ARTES (Anderson Messias
Santana et al.) ................................................................................................................ 397
O USO DE TABLETS E O GEOGEBRA COMO FERRAMENTAS AUXILIADORAS
NO ENSINO DA MATEMTICA (Juliana Barcelos De Oliveira et al.) .................... 405
O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO INFANTIL (Danilo Pontes et al.)414
O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO TRABALHO COM FUNES
LOGARTMICAS (Mariana Moran et al.) ................................................................... 422
OBJETOS VIRTUAIS DE APRENDIZAGEM E GEOGEBRA: UMA PARCERIA A
FAVOR DO ENSINO DA MATEMTICA (Murilo Cretuchi Delfino De Oliveira et
al.) .................................................................................................................................. 430
OPTIMIZACIN DE LA ENSEANZA CON APLICACIONES DE GEOGEBRA EN
UN HIPERTEXTO (Anabela Lujn Erni)..................................................................... 439
-
iv
PROPOSTA DE UMA NOVA APLICAO COMO INSTRUMENTO
PSICOPEDAGOGICA NA ESCOLA: O LABGG (LABORATRIO GEOGEBRA)
(Eimard Gomes) ............................................................................................................ 448
REFLEXIONES EN TORNO AL DISEO E IMPLEMENTACIN DE UNA
PROPUESTA DE ACTIVIDADES SOBRE CNICAS USANDO GEOGEBRA:
INTERCAMBIO BRASIL-ARGENTINA (Carlos Roberto Prez Medina et al.) ....... 456
RELACIONES ENTRE LA VARIACIN DE PARMETROS Y LOS EFECTOS
GEOMTRICOS EN LA FUNCIN AFN: UNA PROPUESTA DE ANLISIS CON
GEOGEBRA (Angela Karlina Cervantes Mndez et al.) ............................................. 468
RESOLVENDO PROBLEMAS GEOMTRICOS COM O SOFTWARE GEOGEBRA,
VALORIZANDO A INTERATIVIDADE NO PROCESSO DE ENSINO-
APRENDIZAGEM (Daiane Pertile et al.) .................................................................... 476
SUBGRUPOS DISCRETOS DE LAS ISOMETRAS DEL PLANO (Mara Teresita
Carrin Rebellato) ......................................................................................................... 485
TRANSIO INTERNA DO CLCULO: UMA DISCUSSO DO USO DO
GEOGEBRA NO CONTEXTO DO CLCULO A VRIAS VARIVEIS (Francisco
Regis Vieira Alves Fregis) ............................................................................................ 492
UNA EXPERIENCIA EN LA FORMACIN Y ACTUALIZACIN DE
PROFESORES DE MATEMTICA ACERCA DEL TEMA 'FUNCIONES' (Silvina
Cafferata Ferri et al.) ..................................................................................................... 500
UNA SECUENCIA PARA ANALIZAR LOS EFECTOS GEOMTRICOS
RELACIONADOS CON LA FUNCIN CUADRTICA UTILIZANDO GEOGEBRA
(Rafael Enrique Gutierrez Araujo et al.) ....................................................................... 511
USO DE GEOGEBRA PARA POTENCIAR LAS DIFERENTES
REPRESENTACIONES EN GEOMETRIA ANALITICA (Ana Elena Gruszycki et al.)520
USO DEL GEOGEBRA EN LA ENSEANZA DE LA GEOMETRA EN
CARRERAS DE DISEO (Alicia Iturbe et al.) ........................................................... 524
VELHOS CONCEITOS ALIADOS A NOVAS TECNOLOGIAS: GEOGEBRA E O
CLCULO DA REA DE UM CRCULO. (Renata Silva Santos et al.) .................... 532
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APORTES TERICOS DE PESQUISAS QUE UTILIZARAM O GEOGEBRA
Celina A. A. P. Abar
Programa de Estudos Ps-Graduados em Educao Matemtica
Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, Brasil
Modalidade: Conferncia plenria
Nivel educativo: No especfico
Palavras chave: Educao Matemtica, Teoria das Situaes Didticas, GeoGebra,
Tecnologias da Informao e Comunicao
RESUMO
O objetivo deste trabalho apresentar as pesquisas realizadas entre 2009 e 2011 com o
uso do GeoGebra no Programa de Estudos Ps Graduados em Educao Matemtica da
PUC/SP, as teorias utilizadas, o papel do GeoGebra em cada uma delas, que
consideraes foram feitas sobre seu uso, os propsitos de cada autor e os resultados
alcanados. Considerando aspectos da anlise temtica, verificou-se que dos dezenove
trabalhos, sete deles utilizaram como aporte terico a Teoria das Situaes Didticas de
Guy Brousseau. Essas sete pesquisas so objetos de anlise deste estudo e mostram que
a utilizao desta teoria pode ser considerada como uma alternativa na busca de
caminhos para a construo de situaes com o uso do GeoGebra que auxiliem na
superao das dificuldades do ensino e da aprendizagem da Matemtica. As concluses
evidenciam que outras tecnologias utilizadas nos distintos momentos de algumas
pesquisas tiveram carter complementar e os autores dos trabalhos puderam buscar, ao
longo de toda a estratgia, a melhor soluo para as atividades propostas em um
contexto que admite a incorporao de mdias tradicionais e digitais.
1. Introduo
A proposta desse trabalho apresentar, considerando aspectos da anlise temtica,
as pesquisas realizadas entre 2009 e 2011 no Programa de Estudos Ps-Graduados em
Educao Matemtica com o uso do GeoGebra. e deste modo verificar-se os aportes
tericos utilizados, qual o papel do GeoGebra em cada uma das pesquisas, que
consideraes foram feitas sobre seu uso, os propsitos de cada autor e os resultados
alcanados.
Assim, as seguintes questes orientaram a anlise realizada:
Qual objeto matemtico trata a pesquisa?
Qual a proposta apresentada?
Quais os aportes tericos utilizados?
Quais as concluses obtidas?
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Neste estudo, no a anlise temtica como um todo, mas alguns de seus aspectos
serviram de suporte para o trabalho desenvolvido, pois segundo Minayo (2004),
operacionalmente, a anlise temtica desdobra-se em trs etapas: pr-anlise;
explorao do material; tratamento dos resultados obtidos e interpretao.
Zanella (2009) salienta que:
Na anlise temtica voc deve compreender a mensagem do autor,
mas sem interferir nas ideias preconizadas por ele. Isto quer dizer que
voc deve ouvir o que o autor do texto quer dizer, sem emitir
julgamento ou crtica. Ento, inicialmente procure identificar o tema,
releia o texto e procure captar os motivos, as dificuldades, isto , a
determinao do problema que levou o autor a escrever sobre tal
assunto. Nesse sentido, importante que voc faa algumas perguntas
que possibilitem identificar o problema, do tipo: Qual a dificuldade
que ser resolvida? Qual o problema a ser solucionado? A
identificao do problema revela a ideia principal defendida pelo
autor. A ideia central do texto sempre uma orao, uma proposio,
e expressa a linha de raciocnio utilizada para transmitir a mensagem,
isto , o processo lgico do pensamento do autor. Tendo evidenciado a
estrutura lgica do texto, voc pode esquematizar e construir um
roteiro sobre as ideias (principal e secundrias) expostas no
texto.(p.31)
Assim, seguindo alguns passos sugeridos na anlise temtica, verifica-se que de
2009 at 2011 foram defendidos no Programa de Estudos Ps-Graduados em Educao
Matemtica da PUC/SP, dezenove trabalhos trazendo em comum o desafio do uso do
GeoGebra. Procurou-se identificar que aspectos e dimenses foram privilegiados e de
que forma e em que condies foram produzidas tais pesquisas. Para a anlise
pretendida, cada trabalho foi lido como um todo, com a finalidade de adquirir uma
viso global e entender os objetivos, procedimentos e resultados de cada um.
2. Justificativa do estudo
Embora outros trabalhos no campo da Educao Matemtica tenham sido
realizados, no mesmo programa de estudos Ps Graduados1, com o uso de outros
softwares que permitem a interao, a justificativa para proceder este estudo divulgar
o conhecimento acerca das pesquisas, em especfico com o uso do GeoGebra, refletir
em nvel de ps-graduao sobre a produo obtida e justificar a relevncia do uso do
GeoGebra na Educao Matemtica.
Soares (1989) afirma em sua pesquisa que:
Essa compreenso do estado de conhecimento sobre um tema, em
determinado momento, necessria no processo de evoluo da
cincia, a fim de que se ordene periodicamente o conjunto de
1 http://www.pucsp.br/pos/edmat
GeoGebra Uruguay 2012 ISSN 2301-0185 2
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informaes e resultados j obtidos, ordenao que permita indicao
das possibilidades de integrao de diferentes perspectivas,
aparentemente autnomas, a identificao de duplicaes ou
contradies, e a determinao de lacunas e vieses. (1989, p. 3)
Por outro lado, segundo Ferreira (2002), conhecer o j construdo e produzido
permite a indicao de outras possibilidades de pesquisas para o que ainda no foi
feito, procurando dar conta de determinado saber que se avoluma rapidamente. Como
exemplo, pode-se citar o volume de trabalhos sobre o tema aqui analisado,
apresentados na 1. Conferncia Latino Americana de GeoGebra e publicados na
Revista do Instituto GeoGebra Internacional de So Paulo2.
Ferreira (2002) ainda salienta que:
Nos ltimos vinte anos, com o fortalecimento da produo acadmica-
cientfica, com pesquisas que emergem em diferentes programas e
ps-graduao pelo pas, um movimento se transforma em empenho
de diferentes entidades (faculdades e associaes de financiamento de
pesquisas) para o estabelecimento de uma poltica de divulgao de
seus trabalhos cientficos. (p.260)
Todas as pesquisas aqui analisadas trazem em comum a opo didtica do uso do
GeoGebra na Educao Matemtica, foram realizadas por professores em pleno
exerccio de sua prtica e, deste modo, do respostas a uma classe de profissionais,
professores da escola bsica, que v a universidade como uma prestadora de servios
que pode subsidiar a sua prtica docente e cujos trabalhos no ficam restritos s
prateleiras das bibliotecas das universidades.
3. Procedimentos metodolgicos
Inicialmente, os trabalhos foram agrupados de acordo com o contedo matemtico
explorado, identificado logo no ttulo de cada um. Contudo, como orienta Severino
(2001):
Nem sempre o ttulo da unidade d uma ideia fiel do tema. s vezes
apenas insinua por associao ou analogia; outras vezes no tem nada
a ver com o tema. (...) preciso captar a perspectiva de abordagem do
autor: tal perspectiva define o mbito dentro do qual o tema tratado,
restringindo-o a limites determinados. (p.54)
Desse modo, em um segundo momento, foi feita a leitura dos respectivos resumos
com o objetivo de identificar a questo de pesquisa, os objetivos, os tipos de pesquisas
realizadas: se quantitativa ou qualitativa, os respectivos pblicos envolvidos e os aportes
tericos e metodolgicos utilizados.
2 http://revistas.pucsp.br/IGISP
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Garrido (1993, apud FERREIRA, 2002, p. 262), na apresentao do Catlogo do
Instituto de Psicologia da USP prescreve o que deve constar em cada resumo:
O objetivo principal de investigao; a metodologia e procedimento
utilizado na abordagem do problema proposto; o instrumento terico,
tcnicas, sujeitos e mtodos de tratamento dos dados; os resultados; as
concluses e, por vezes, as recomendaes finais.
Na leitura e anlise dos resumos foi possvel identificar o objeto matemtico
subjacente pesquisa, os aportes tericos e metodolgicos e o pblico alvo. No entanto,
foi necessria uma leitura minuciosa para atender ao objetivo de verificar qual o papel
do GeoGebra em cada pesquisa, assim como as consideraes feitas sobre seu uso, os
propsitos de cada autor e os resultados alcanados.
Dos dezenove trabalhos, sete deles utilizaram como aporte terico a Teoria das
Situaes Didticas (TSD) de Guy Brousseau e essas pesquisas sero objetos de anlise
neste trabalho.
4. Sobre o sofware GeoGebra
O software GeoGebra3 foi desenvolvido por Markus Hohenwarter, diretor do projeto
GeoGebra com sede na Universidade Johannes Kepler, localizada em Linz, ustria. De
acordo com Hohenwarter e Preiner (2007), o software GeoGebra foi vencedor de vrios
prmios internacionais com traduo para mais de 50 diferentes linguagens, incluindo a
lngua portuguesa.
Os softwares que trabalham apenas com construes geomtricas como pontos,
linhas e todas as seces cnicas, so classificados por Hohenwarter e Preiner (2007)
como Softwares de Geometria Dinmica (Dynamic Geometry Software DGS). Os
autores pontuam que o GeoGebra, alm do trabalho com geometria, possui
caractersticas tpicas de um Sistema de lgebra Computacional (Computer Algebra
System CAS).
Pelo fato do GeoGebra servir para o trabalho de geometria, lgebra e clculo, os
autores o classificam como um Software de Matemtica Dinmica (Dynamic
Mathematics Software DMS), para o ensino e a aprendizagem de Matemtica e para
qualquer nvel escolar.
Hohenwarter e Preiner (2007) afirmam que a ideia bsica do GeoGebra provir ao
menos de duas representaes cada objeto matemtico nas suas janelas de lgebra e de
visualizao.
3 http://www.geogebra.org
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5. Pesquisas com aporte terico em Guy Brousseau
Considerando uma situao didtica como o conjunto das diferentes formas de
apresentao do contedo matemtico, verifica-se que a Teoria das Situaes Didticas
(TSD) de Guy Brousseau est presente em sete das pesquisas apresentadas.
Essa presena significativa no aporte terico da TSD pode ser justificada pelo fato
dessa teoria apoiar e orientar a construo de modelos de situaes utilizadas no
processo de ensino e aprendizagem da Matemtica.
Almouloud (2007, p. 32) afirma que o objetivo da teoria das situaes
caracterizar um processo de aprendizagem por uma srie de situaes reprodutveis,
conduzindo frequentemente modificao de um conjunto de comportamentos dos
alunos.
Deste modo a situao didtica deve ser o objeto central de estudo, pois permite a
identificao das interaes que ocorrem entre professor e aluno mediadas pelo saber
nas situaes de ensino propostas.
Segundo Brousseau (1986, apud FREITAS, 1999, p. 67):
Uma situao didtica um conjunto de relaes estabelecidas
explicitamente e ou implicitamente entre um aluno ou grupo de
alunos, num certo meio, compreendendo eventualmente instrumentos
e objetos, e um sistema educativo (o professor) com a finalidade de
possibilitar a estes alunos um saber constitudo ou em vias de
constituio (...) O trabalho do aluno deveria, pelo menos em parte,
reproduzir caractersticas do trabalho cientfico propriamente dito,
como garantia de uma construo efetiva de conhecimentos
pertinentes
Almouloud (2007) ressalta que:
A situao adidtica, como parte essencial da situao didtica,
uma situao na qual a inteno de ensinar no revelada ao aprendiz,
mas foi imaginada, planejada e construda pelo professor para
proporcionar a este, condies favorveis para a apropriao do novo
saber que deseja ensinar. (p. 33)
Percebe-se, desta forma, que existem determinados momentos do processo de
aprendizagem nos quais h um trabalho independente do aprendiz sobre uma influncia
oculta de uma inteno de ensino e nenhum controle direto por parte do professor.
Nessas condies, encontra-se a situao adidtica, que pode ser considerada como um
ambiente exemplar em uma situao de ensino na qual o aluno no distingue de
imediato, na situao, o que de origem adidtica ou de origem didtica.
(ALMOULOUD, 2007, p.35)
Na definio de Brousseau (1986, apud FREITAS, 1999):
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Quando o aluno se torna capaz de por em funcionamento e utilizar por
si mesmo o saber que est construindo, em situao no prevista em
qualquer contexto de ensino e tambm na ausncia de qualquer
professor, est ocorrendo ento o que pode ser chamado de situao a-
didtica.(p.69)
Segundo Almouloud (2007):
Para analisar o processo da aprendizagem, a teoria das situaes
observa e decompe esse processo em quatro fases diferentes, nas
quais o saber tem funes diferentes e o aprendiz no tem a mesma
relao com o saber. Nessas fases interligadas, podem-se observar
tempos dominantes de ao, de formulao, de validao e de
institucionalizao. (p.36)
Freitas (1999) caracteriza as quatro fases no excerto a seguir:
Situaes de ao: quando o aluno, que se encontra ativamente
empenhado na busca de soluo de um problema, realiza determinadas
aes mais imediatas, que resultam na produo de um conhecimento
de natureza mais operacional. (p.78)
Situaes de formulao: o aluno j utiliza, na soluo do problema
estudado, alguns modelos ou esquemas tericos explcitos alm de
mostrar um evidente trabalho com informaes tericas de uma forma
bem mais elaborada, podendo ainda utilizar uma linguagem mais
apropriada para viabilizar esse uso da teoria.(p.79)
Situaes de validao: so aquelas em que o aluno j utiliza
mecanismos de prova e onde o saber usado com esta
finalidade.(p.80)
Situaes de institucionalizao: visam estabelecer o carter de
objetividade e universalidade do conhecimento. (p.82)
As quatro situaes acima mencionadas podem ser identificadas nos trabalhos
analisados e, em geral, nas situaes de ao os sujeitos das pesquisas interagem com o
software GeoGebra por meio dos movimentos dos objetos construdos. Nas situaes de
formulaes, os participantes observam os resultados na janela algbrica, elaboram
conjecturas ou conversam entre si sobre hipteses de resoluo. Nas aes de validao,
eles compreendem o conceito explorado e validam as hipteses levantadas. As aes de
institucionalizao foram realizadas pelo professor pesquisador em interao com os
pesquisados.
As concluses evidenciam que as diversas tecnologias utilizadas nos distintos
momentos de algumas pesquisas (lpis, papel, calculadora, software GeoGebra) tiveram
carter complementar e os pesquisados puderam buscar, ao longo de toda a estratgia, a
melhor soluo para as atividades propostas.
A concluso dos trabalhos sobre a explorao de aspectos grficos relacionados, em
especial ao estudo das funes evidenciam que as atividades desenvolvidas utilizando o
software GeoGebra foi uma estratgia eficiente para atingir os objetivos propostos.
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Importante observar que uma das questes primordiais da TSD, na qual o papel do
professor fundamental, a forma de apresentao do conhecimento num contexto que
proporcione ao aluno um verdadeiro sentido, estabelecendo correlaes com outros
saberes para que possam ser reconhecidos em outras situaes.
No Quadro 1 esto identificadas as pesquisas realizadas com aporte terico na
Teoria das Situaes Didticas de Guy Brousseau e as respectivas situaes de ao,
formulao, validao e institucionalizao que foram delineadas pelos prprios
autores. Uma anlise crtica das situaes propostas pelos autores pode ser realizada
com maior rigor. No entanto esta anlise no se configura como objetivo deste trabalho
que apresenta um estado de conhecimento sobre um tema em um determinado
momento como salienta Soares (1989).
As pesquisas com o uso do GeoGebra tem se avolumado nos ltimos tempos e a
apresentao peridica de tais pesquisas podem indicar possibilidades para a prtica do
professor. No entanto importante a reflexo do professor sobre as propostas
apresentadas que pode permitir a identificao de duplicaes ou contradies, e a
determinao de lacunas e vieses (Soares, 1989).
Apresentadas e analisadas as pesquisas com aporte terico em Guy Brousseau, as
demais utilizaram estratgias com suporte em alternativas tericas que tambm
permitiram o alcance dos respectivos objetivos.
Assim, este estudo procura trazer para o leitor, apenas as ideias bsicas das teorias
que deram suporte s investigaes realizadas. Pode-se constatar que os aportes tericos
tiveram um papel fundamental na criao das propostas apresentadas com a mediao
do software GeoGebra.
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GeoGebra Uruguay 2012 ISSN 2301-0185 8
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GeoGebra Uruguay 2012 ISSN 2301-0185 11
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6. Concluso
Todas as pesquisas realizadas entre 2009 e 2011, com o uso do GeoGebra, no
Programa de Estudos Ps Graduados em Educao Matemtica podem servir de
referncia para os professores que ensinam matemtica e pretendem utilizar o GeoGebra
na sua prtica docente pois permitem uma reorganizao dos contedos matemticos
trabalhados.
Pode-se concluir que a utilizao dos aportes tericos em Guy Brousseau e outros
pesquisadores, pode ser considerada como uma importante alternativa na busca de
caminhos para a construo de situaes que auxiliem na superao das dificuldades do
ensino e da aprendizagem matemtica.
As pesquisas4 evidenciam que para um professor utilizar uma ferramenta
tecnolgica como suporte para o ensino da matemtica aconselhvel que ele determine
quais objetivos quer alcanar, qual conhecimento matemtico pretende proporcionar aos
seus alunos e qual ferramenta tecnolgica pode contribuir para isso. Outra constatao
que o uso de recursos como papel, lpis, rgua, etc. foi importante e complementar. Por
isso, essas ferramentas no podem ser descartadas por completo.
Do mesmo modo, os pesquisadores, por meio das institucionalizaes, ao assumir
um papel ativo nos respectivos processos e sem retirar a liberdade dos pesquisados,
permitiram que os alunos conjecturassem, experimentassem, questionassem e
mostrassem independncia no uso do GeoGebra ao ponto de desenvolverem estratgias
prprias.
A anlise e a interpretao dos sete trabalhos aqui apresentados mostraram que
houve a construo do saber matemtico pelos sujeitos das pesquisas na interao com o
GeoGebra, colaborando com o processo de aprendizagem do respectivo objeto
matemtico explorado e revelando que o uso das tecnologias como mediadoras no
processo de aprendizagem pode subsidiar estratgias pedaggicas para o ensino e a
aprendizagem da Matemtica.
4 As pesquisas apresentadas podem ser acessadas em
http://www.pucsp.br/geogebrasp/pesquisa_publicacoes.html
GeoGebra Uruguay 2012 ISSN 2301-0185 12
-
Referncias
ALMOULOUD, Saddo Ag. (2007). Fundamentos da Didtica da Matemtica. Curitiba:
Ed. UFPR,
FERREIRA, Norma Sandra de Almeida. (2002). As Pesquisas denominadas Estado da
Arte. Educao & Sociedade, p.257-272, ano XXIII n79, Campinas. Disponvel em
www.scielo.br/pdf/es/v23n79/10857.pdf . Acesso em: 14 abril 2012.
FREITAS, Jos Luiz Magalhes de. (1999). Situaes Didticas, Educao Matemtica
- Uma introduo. Srie Trilhas, Editora da PUC-SP.
GARRIDO, Elsa. (1979). A tcnica cloze e a compreenso da leitura: Investigao em
textos de estudos sociais para a 6 srie. Dissertao de mestrado, USP. So Paulo.
HOHENWARTER, Markus, PREINER, Judith. (2007). Dynamic Mathematics with
GeoGebra. The Journal of Online Mathematics and Its Applications. Disponvel em:
http://www.maa.org/joma/Volume7/Hohenwarter/index.html. Acesso em: 17 abr. 2012.
MINAYO, Maria Ceclia de Souza. (2004). O desafio do conhecimento: pesquisa
qualitativa em sade. 8 ed. So Paulo: Hucitec.
MINAYO, Maria Ceclia de Souza. (2004). O Desafio do conhecimento Pesquisa
Qualitativa em Sade. Resenha disponvel em http://www.qir.com.br/?p=2906 . Acesso
em 23/04/2012.
SEVERINO, Antonio Joaquim. (2001). Metodologia do trabalho cientfico. So Paulo:
Cortez & Moraes.
SOARES, Magda. (1989). Alfabetizao no Brasil O Estado do conhecimento.
Braslia: INEP/MEC.
ZANELLA, Liane Carly Hermes. (2009). Metodologia de estudo e de pesquisa em
administrao / Liane Carly Hermes Zanella. Florianpolis: Departamento de Cincias
da Administrao / UFSC; [Braslia]: CAPES: UAB. Disponvel em:
http://portal.virtual.ufpb.br/biblioteca-virtual/files/pub_1291089407.pdf Acesso em
23/04/2012.
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AZAR, PROBABILIDAD Y GEOGEBRA
Autores: Grupo de Matemtica en Escuelas de Innovacin
Escuelas de Innovacin-Programa Conectar Igualdad-ANSES-Argentina
Modalidad: T
Nivel educativo: Medio
Palabras Clave:Frecuencia, Probabilidad, Muestra, Geogebra
RESUMEN:
El objetivo de este taller es analizar el comportamiento de la frecuencia de aparicin
de las distintas caras de un dado al ser arrojado. Esto se realiza mediante una serie de
actividades, tratadas a partir de la utilizacin de Geogebra como herramienta de
modelizacin. Buscando mostrar su potencialidad y limitaciones a la hora de introducir
la nocin de probabilidad. Intentaremos preguntarnos sobre las posibilidades que este
enfoque permite para introducir distintas estrategias de aprendizaje referidas a la
nocin de azar. As como los cambios que la potencia de clculo de las computadoras
nos presentan a la hora introducir un trabajo sobre grficos de frecuencias el cual abre
un marco muy poco explorado dentro de la enseanza de la probabilidad. Se propone
que los docentes realicen una serie de problemas en los que se les plantea trabajar con
la capacidad de acumular informacin que presentan las computadoras como medio
para poder realizar previsiones y compararlas con grficos sobre mayor cantidad de
datos. Intentaremos mostrar que este enfoque permite potenciar una aproximacin
menos abrupta a la nocin clsica de probabilidad.
OBJETIVOS:
Los objetivos para el desarrollo del taller son:
- Desarrollar una secuencia de actividades pensadas para abordar nociones de
probabilidad.
- Reflexionar sobre la potencialidad de GeoGebra para modelar y simular experimentos
de situaciones probabilsticas.
- Discutir en qu medida esto ayuda a entender situaciones contraintuitivas.
- Reflexionar sobre la pertinencia de GeoGebra como medio para introducir la
probabilidad en la escuela media desde un enfoque frecuentista.
DESARROLLO:
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Cada vez es ms amplio el consenso que ve al enfoque frecuencial de la probabilidad,
el cual facilita experimentar y/o jugar, como una entrada apta para desarrollar la
intuicin en probabilidades:
El gran nmero de paradojas estocsticas puede confundir incluso a los expertos. Por
ello, es ms importante construir intuiciones correctas en este campo que en ningn otro.
Por ello parece necesario ofrecer a los alumnos actividades estocsticas, en forma de
juegos y experimentos. (Batanero, Contreras, Daz y Arteaga, 2009)
Desde este punto de vista el trabajo con GeoGebra presenta ventajas que creemos
aportan a mejorar la dinmica de estos juegos y experimentos dado que al docente hoy
se le presenta como dificultad al ensear probabilidad, la introduccin del concepto de
medida de cun factible es un evento. Esto se presenta al comienzo mismo del tema
en cuestin pues la medida es dada pero no se suele problematizar el por qu. Con
frecuencia, luego de un trabajo sobre combinatoria, se pasa de forma casi automtica a
trabajar con clculos de probabilidad en espacios equiprobables. Se suele plantear a
continuacin un trabajo con fracciones a partir de la idea casos favorables sobre casos
totales, sin embargo este concepto no tiene, en general, una exploracin y un trabajo
matemtico previo, es una definicin dada por el docente. Las actividades del presente
taller apuntan a salvar la distancia existente entre las actividades bsicas de conteo y las
de clculos de probabilidades.
Los problemas que trabajaremos en el taller se plantearon en el contexto de las
capacitaciones del proyecto Escuelas de Innovacin del Programa Conectar Igualdad.
Pensamos que, ms all de que en este contexto se trabaj con docentes, estos
problemas tienen una fuerte potencialidad para el trabajo con estudiantes de nivel medio,
y bajo esa perspectiva se analizaron en las capacitaciones.
Se trabajar con una simulacin de lanzamientos de un dado. Se pueden volver a
realizar las tiradas las veces que se quiera. Se busca que a partir de la realizacin de una
corrida y, observando el grfico y los datos de la pantalla, los estudiantes respondan una
serie de preguntas para familiarizarse con el problema y a partir de ah se plantea una
actividad tendiente a introducir la nocin de probabilidad.
En otro grupo de preguntas se busca que el anlisis de los grficos se centralice en su
aspecto
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dinmico. Mediante la comparacin de las distintas producciones de la simulacin, se
pretende que los participantes puedan construir una descripcin que generalice el
comportamiento del grfico. Siguiendo con este razonamiento se puede concluir que las
frecuencias relativas convergen a la probabilidad.
Creemos que las preguntas podrn responderse ms o menos fcilmente en base a
nociones, pruebas y ensayos, posibilitando la gnesis del concepto de esperanza.
El poder realizar la simulacin del experimento (la corrida) introduce una nueva manera
de corroborar una respuesta. Se abre as una nueva faceta de la validacin: Hasta qu
punto estas corroboraciones son una validacin? Hasta qu punto me ayudan a sostener
mi respuesta?
A partir de este punto se realizar un trabajo de previsin a partir de un conjunto de
grficos.
Con el anlisis de estos grficos se busca que los participantes trabajen el vnculo
construido entre la frecuencia relativa y la probabilidad. As mismo se busca transferir
algunas de las nociones construidas para experimentos equiprobables a experimentos no
equiprobables.
En esta actividad se propone, dado un grfico especfico, determinar alguna situacin
que pueda ser representada por ese grfico, al contrario del trabajo ms usual de
modelizacin matemtica realizado en la escuela, en el cual, dada una situacin, se pide
encontrar las frmulas, grficos, cuentas, etc. que mejor la representan.
Luego propondremos un trabajo basado en la misma lgica que la de la actividad de los
dados pero simulando las tiradas de una moneda con lo cual buscamos poner en
cuestin la extendida creencia que el conocer resultados previos de eventos
independientes da alguna idea de cual puede ser el prximo evento
Por ejemplo, es comn encontrar en los locales de apuestas de quiniela, una lista con
los resultados de los ltimos sorteos, ya que mucha gente analiza cules fueron los
nmeros que salieron en las ltimas jugadas, o cul es el nmero que menos ha salido
en los ltimos sorteos para decidir su apuesta. El argumento para justificar esta conducta
suele ser que como en un nmero muy grande de sorteos, todos los nmeros deben salir
aproximadamente la misma cantidad de veces, el que menos ha salido hasta ahora tiene
una mayor probabilidad. Pero la realidad es que no podemos decir nada sobre el sorteo
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especfico del da de hoy. La ley general no nos dice nada sobre el resultado particular
(como en fsica). Es cierto que en las prximas experiencias, la frecuencia relativa de
los nmeros tender a estabilizarse, pero ello no nos permite afirmar nada sobre el
resultado particular de la prxima experiencia. (Gysin, Liliana ,2000)
La actividad constar de dos partes: en un primer momento se plantea que se conteste
una pregunta sin el uso de computadora. Luego se habilita la exploracin de un archivo
el cual, por acumulacin de experiencias, permite observar que las frecuencias de caras
y cecas, luego de dos caras seguidas, tienden a ser iguales. En un segundo momento,
proponemos la confeccin (en lpiz y papel) y el anlisis de grficos para el caso de una
moneda equilibrada. Trabajaremos tanto en la observacin de las frecuencias como en
el anlisis usando el Geogebra como generador de experimentos para confrontar ideas
previas sobre la independencia de eventos.
A modo de conclusin presentamos un conjunto de preguntas con las que trabajamos en
el contexto de las capacitaciones a docentes del proyecto Escuelas de innovacin. El
objetivo es reflexionar sobre el uso de la computadora y sus diferencias con el trabajo
habitual sin ella. Algunos de los contenidos que estamos trabajando pueden tratarse en
la escuela sin la computadora, pero creemos que, su tratamiento con la computadora
proporciona nuevos abordajes y nuevas comprensiones. Las actividades presentadas en
el taller muestran que existen otros contenidos que directamente no podran haberse
tratado sin el uso de la computadora. As mismo creemos que estas actividades
permiten concluir que las computadoras en general y GeoGebra en particular abre un
campo muy rico para el trabajo con un enfoque frecuentista de la probabilidad.
BIBLIOGRAFA:
Batanero, C., Contreras, J. M., Daz, C. & Arteaga, P. (2009). Paradojas en la historia
de la probabilidad como recurso didctico. XV Jornadas de Investigacin en el Aula de
Matemticas. Granada: Sociedad Thales.
Batanero, C., Estepa, A. & Godino, J. D. (1991), Anlisis exploratorio de datos: sus
posibilidades en la enseanza secundaria. Suma, n 9, pp. 25-31.
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-
Contreras, J. M., Batanero, C., Arteaga, P. y Caadas, G. (2011). La paradoja de la caja
de Bertrand: algunas formulaciones y cuestiones didcticas. Epsilon, 28(2).
Gysin, L. (2000). La enseanza de la nocin de probabilidad. En Chemello, G. (comp)
Estrategias para la Enseanza de la Matemtica, Universidad Nacional de Quilmes.
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CMO EVALUAR ACTIVIDADES CONSTRUIDAS EN GEOGEBRA UTILIZANDO MOODLE Y WIRIS
Jorge Gaona, Marcelo Palacios
[email protected], [email protected] Consultora Educacional Quinan
Modalidad: Taller Palabras clave: Evaluacin,Geogebra, Wiris, Moodle. Geogebra tiene un potencial enorme para construir actividades de exploracin donde el estudiante puede manipular un objeto y comprender una situacin que por su naturaleza es dinmica. Pero cmo podemos evaluar estas actividades? Este taller propone construir evaluaciones a partir de un applet construido en Geogebra, el cual se insertar en una pregunta construida en una plataforma Moodle a la cual se le ha incorporado WIRIS. Dichas evaluaciones se construirn integrando WIRIS y Moodle, al realizar dicha integracin se obtendrn preguntas con las siguientes caractersticas: Preguntas con parmetros, grficos y smbolos aleatorios. Respuestas con simbologa matemtica. Motor matemtico que interpreta smbolos y expresiones equivalentes. Preguntas con infinitas respuestas. Retroalimentacin en cada respuesta. Entonces, el desafo es construir preguntas que sean atractivas y desafiantes intelectualmente y que midan diferentes habilidades; la forma en que se apliquen permitir recuperar el concepto de evaluacin en forma integral. En el taller, aprovecharemos de contar algunas experiencias en universidades chilenas, en particular un proyecto de investigacin desarrollado en la Universidad Tcnica Federico Santa Mara y uno de desarrollo en la Universidad Tecnolgica de Chile Inacap. Bibliografa
Prez Echeverra, J. I. La Solucin de Problemas. Ed. Grfica Internacional. Madrid, Espaa , (1994).
Gascn, J. El papel de la Resolucin de Problemas en la Enseanza de las Matemticas. En: Educacin Matemtica, Vol. 6, No. 3, Mxico (1994).
Rohrer&Pashler (2007) Increasing Retention Without Increasing Study Time. Current Directions in Psychological Science
Aplicar test es positivo. Pyc M. & Rawson. K. (2010) Why Testing Improves Memory: Mediator Effectiveness Hypothesis. Science, 15 October 2010: 335 DOI: 10.1126/science.1191465
Hattie, J. &Timperley, H. (2007) ThePower of Feedback, Review of Educational Research. Vol 77, No. 1, pp. 81-112.
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Taller
1. Applet de Geogebra en 3d: Primero, construiremos el applet para que el alumno pueda visualizar el siguiente problema: Se quiere construir una canaleta para captar agua de lluvia; esta ser fabricada con hojas de aluminio de L cm de ancho, doblando 90 hacia arriba. Qu profundidad proporciona la mayor rea transversal y como consecuencia, el mayor flujo de agua? a. Plantilla 3d: La proyeccin 3D en Geogebra 2D se har sobre una plantilla que hemos construido, esta plantilla se dise y adapt en base a los apuntes de Ral Falcn, de la Universidad de Sevilla para la I Jornadas sobre GeoGebra de Andaluca en marzo de 2010.
b. Deslizadores: Definiremos los deslizadores A, L y p donde las dos primeras nos darn el ancho y el largo de la lmina original de aluminio y el ltimo, nos entregar la profundidad de la canaleta. c. Base de la canaleta: En la plantilla 3D, hemos definido una herramienta nueva a la
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que llamamos punto3d.Al utilizar este nuevo comando, podemos ubicar en el espacio un punto de coordenadas (a,b,c). Ingresamos punto3d[{a, b, c}, , ] donde y son los ngulos para rotar la figura y visualizarla desde diferentes perspectivas. En este caso, definiremos P1, P2, P3 y P4 que sern los vrtices de la base de la canaleta y luego, un polgono que una los cuatro puntos para dejarla como base.
d. Caras laterales de la canaleta: Con el mismo comando anterior definiremos los vrtices para construir las caras de la canaleta. A estos puntos los llamaremos P11, P22, P33 Y P44 y los ordenaremos de forma anloga a como lo hicimos con los puntos de la base.
e. Vista transversal: Construiremos una vista transversal y, para eso, mostraremos slo una mirada frontal que ser independiente de la perspectiva en 3D con que se mire.
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f. Elegir elementos de la hoja de trabajo del estudiante: En esta parte, seleccionamos los elementos que queramos que le aparezcan al alumno. En nuestro caso, borramos todos los vrtices y todos los elementos que sobrecarguen la vista intentando dejar slo lo esencial.
g. Instrucciones para el alumno: Las instrucciones para manipular el objeto y las correspondientes preguntas asociadas a esta, las haremos en una plataforma Moodle a la que se le integr WIRIS. En la segunda parte del taller detallaremos especficamente como hacer este trabajo.
2.Elaboracin de una pregunta de respuesta corta en WIRIS. a. Construir una pregunta de respuesta corta en Moodle: Antes de construir la pregunta utilizando WIRIS, veremos cmo construirla en Moodle con la estructura que tiene esta plataforma por defecto:
Este tipo de preguntas requiere que el alumno genere una respuesta por si mismo. Al alumno se le presenta la pregunta junto con un cuadro de texto donde debe introducir su respuesta mecanografindola l mismo. Por restricciones de lo que el ordenador es capaz de interpretar, las respuestas estn limitadas a palabras individuales o una frase muy concisa. A continuacin, describiremos cmo crearla: i. Enunciado: Primero hay que ingresar el nombre, enunciado y la retroalimentacin general.
ii. Respuestas: Luego, ingresamos las posibles respuestas.
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iii. Guardar y visualizar: Por ltimo, guardamos. Al hacerlo, podemos visualizar la pregunta y ver lo siguiente:
Observe que la respuesta es correcta pero la considera mala.
b. Construir una pregunta de respuesta corta en Moodle con WIRIS: El tipo de tem, respuesta corta, permite que el alumno introduzca la respuesta que cree correcta en un campo de texto. i. Problema: Le pediremos al alumno que se plantee la construccin de una canaleta de recoleccin de aguas lluvias, utilizando hojas de aluminio de a cm de ancho (donde a ser un valor aleatorio). Doblando para ello, sus lados x (en cm) en 90, como se muestra en la figura (la que ser un applet de GeoGebra.) Como el enunciado incluye contenido aleatorio (la variable a), utilizaremos las funcionalidades de WIRIS para generar la medida a de la hoja de aluminio en forma aleatoria y la respuesta en funcin de esta variable.
ii Enunciado:Lo esencial del ejemplo es que el ancho de la lmina ser variable; para que esto ocurra, en vez de colocar un nmero en el enunciado, colocamos #a, donde el # simboliza que es una variable que cambiar de acuerdo a cmo se defina en el algoritmo. La construccin del algoritmo, lo veremos ms adelante cuando programemos la pregunta. Adems, dejamos una lnea donde ir el applet de Geogebra; aprenderemos a insertarlo y sincronizarlo en el punto c.
iii. Respuesta correcta: Esta respuesta correcta depende del valor del ancho de la
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lmina, la cual tambin ser variable; por lo tanto, la llamaremos #sol, donde nuevamente el smbolo # indica que ser variable. Si deseamos configurar retroalimentacin para el alumno, esta puede ser especfica para respuestas errneas. Tambin se puede ingresar retroalimentacin personal, cuya funcin es mejorar la autoestima del estudiante al responder correctamente. Podemos hacerlo usando las secciones de respuesta adicionales. En este ejemplo, si el alumno introduce la misma funcin que se le ha dado, no obtiene ninguna puntuacin, pero obtiene un mensaje especfico.
iv. Activacin del editor:Uno de los puntos clave en este tipo de ejercicio es decidir con qu herramientas va a contar el alumno para responder. Normalmente, queremos que disponga del editor de frmulas WIRIS, as que verificaremos que la opcin correspondiente est seleccionada en la seccin WIRIS Quizzes, justo antes del campo ALGORITMO. Si deseamos que el alumno no pueda introducir expresiones matemticas y que disponga de un campo de texto sencillo, podemos deseleccionar esta casilla y el editor de frmulas no estar a su disposicin para dar la respuesta. v. Programacin: Prcticamente, ya se tiene configurado el ejercicio. Veamos qu elementos matemticos son precisos para la programacin de la pregunta: Definimos la medida a como un valor aleatorio con un rango que permita disponer de
una gran cantidad de opciones de visualizacin para el estudiante. Se genera la funcin cuadrtica que dar la forma ptima necesaria para modelar la
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situacin expuesta en el problema. Para ello, debemos poner atencin a los detalles de su construccin, de tal manera que esto facilite la etapa de retroalimentacin.
Finalmente, asociaremos la funcin obtenida a su respectiva grfica utilizando la funcin TABLERO de WIRIS; asignando para ello las variables de localizacin del centro, anchura y altura necesarias. Daremos la determinacin de variable graf1 al tablero construido. lo que permitir obtener el grfico en el momento que se requiera, como por ejemplo, en la retroalimentacin para el estudiante.
vi. Retroalimentacin: Entregaremos la solucin a la pregunta planteada, tomando en cuenta la aleatoriedad de la misma. Esto es, se entrega la retroalimentacin en funcin de los valores especficos que al usuario le aparecen en pantalla. Nuevamente, cada vez que queramos mostrar una expresin que vara, lo simbolizamos con #. En este caso, el rea transversal est dada por el alto que es p multiplicado por el ancho que es A-2p. Adems del desarrollo algebraico, al alumno le entregamos el grfico de la funcin para que explcitamente aparezca la relacin entre estos dos objetos matemticos. Tambin, agregamos preguntas abiertas para que el estudiante le surjan dudas y las pueda compartir con sus pares o profesor. 2. Integracin de applet Geogebra en Moodle y sincronizacin con WIRIS. Es en esta etapa donde se integran la pregunta construida en Moodle con WIRIS y el appplet de Geogebra. En la pregunta construida en Moodle WIRIS se incorporan elementos aleatorios y, en este caso en particular, el elemento que vara es el ancho de la lmina original de aluminio. A esta variable la llamamos a en el applet y a en el algoritmo de WIRIS. Entonces, la idea es que cuando WIRIS le asigne un valor a la variable a, el applet que aparecer en la pregunta, tome el mismo valor de a, de tal manera que ambos softwares se comuniquen. Para lograr esto haremos los siguiente: a. Generar un cdigo html del applet de Geogebra para pegarlo en Moodle: i. En el men de GeoGebra nos vamos a Archivo/Exporta/Hoja Dinmica como Pgina Web (html) y se desplegar la siguiente ventana, en la cual elegimos la pestaa Exporta como Pgina Web :
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ii.Se desplegar la siguiente ventana donde presionamos Avanzado.
iii.Por ltimo, aparecer la siguiente ventana y elegimos Portapapeles: Moodle y luego Portapapeles. Se cerrar esta ventana y nuevamente estaremos frente al ambiente de Geogebra; el cdigo ya est en el portapapeles, as que vamos a la pregunta que construimos en Moodle.
b. Insertar el cdigo en la pregunta: i. Ingresamos al ambiente de modificacin de la pregunta y en el enunciado, presionamos el botn para que muestre el cdigo html.
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ii. Se desplegarn una serie de cdigos, lo importante es identificar el lugar donde tenamos escrito: Aqu va el applet
iii. Seleccionamos la frase y presionamos ctrl+v para pegar el cdigo que obtuvimos de Moodle. Volvemos a presionar el botn para html y guardamos la pregunta. Al ver la vista previa nos queda: c. Sincronizar WIRIS y Geogebra: Para sincronizarlos, se pega el siguiente cdigo en el cdigo html de la pregunta, inmediatamente despus del cdigo del applet: document.ggbApplet.evalCommand('a=#a'); Observe que la clave est en la lnea a=#a que es la variable que sincronizamos. Una vez realizada la sincronizacin, tenemos lista la pregunta e integradas estas tres herramientas de aprendizaje. REFERENCIAS
Prez Echeverra, J. I. La Solucin de Problemas. Ed. Grfica Internacional. Madrid, Espaa , (1994).
Gascn, J. El papel de la Resolucin de Problemas en la Enseanza de las Matemticas. En: Educacin Matemtica, Vol. 6, No. 3, Mxico (1994).
GeoGebra Uruguay 2012 ISSN 2301-0185 27
-
Rohrer&Pashler (2007) Increasing Retention Without Increasing Study Time. Current Directions in Psychological Science
Aplicar test es positivo. Pyc M. & Rawson. K. (2010) Why Testing Improves Memory: Mediator Effectiveness Hypothesis. Science, 15 October 2010: 335 DOI: 10.1126/science.1191465
Hattie, J. &Timperley, H. (2007) ThePower of Feedback, Review of Educational Research. Vol 77, No. 1, pp. 81-112.
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COMPUTAO SIMBLICA NO ENSINO MDIO COM
O SOFTWARE GRATUITO GEOGEBRA
Humberto Jos Bortolossi Dirce Uesu Pesco Wanderley Moura Rezende
[email protected] [email protected] [email protected]
Universidade Federal Fluminense/Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro Brasil
Modalidade: Oficina (Taller).
Nvel educativo: Mdio (11 a 17 anos)
Palavras-chaves: GeoGebra, Computao Simblica, Ensino Mdio
Resumo Sistemas de Computao Simblica so softwares matemticos que permitem lidar com
smbolos e obter respostas exatas para muitos problemas matemticos, como
a fatorao de nmeros inteiros e polinmios, operaes com matrizes, resoluo de
sistemas lineares e no lineares de equaes, operaes com nmeros complexos,
simplificaes de expresses, clculo de limites, derivadas e integrais, resoluo de
equaes diferenciais, etc. Clculos aproximados podem ser feitos com um nmero
arbitrrio de dgitos (limitado apenas pela memria do computador). Todos estes
atributos fazem de um sistema de computao simblica um laboratrio excepcional
para o desenvolvimento, ensino e aprendizagem da matemtica. Nesta oficina
exploraremos os recursos de computao simblica do software gratuito GeoGebra 4.2
atravs de uma sequncia de exerccios orientados para a matemtica do Ensino
Mdio. Esperamos que o participante da oficina aprecie as potencialidades e perceba
as limitaes desse tipo de ferramenta.
Introduo
Um Sistema de Computao Simblica (Computer Algebra System ou CAS, em ingls)
um software que permite realizar vrias tarefas matemticas simbolicamente. Ao
contrrio do que ocorre com as calculadoras usuais, um CAS permite obter respostas
exatas, isto , em aproximaes. Mtodos numricos de preciso arbitrria (ou seja, com
o nmero de dgitos limitado apenas pela memria do computador) tambm esto
disponveis.
As tarefas matemticas tpicas de um CAS incluem: clculos aritmticos, simplificaes
de expresses algbricas, substituies de smbolos em expresses, resolues de
equaes e sistemas de equaes lineares e no lineares, clculos matriciais, clculos de
derivadas e integrais, resolues de equaes diferenciais ordinrias e parciais, etc.
Vrios sistemas de computao simblica comerciais e gratuitos para diferentes
plataformas (Windows, Linux, Mac OS) esto disponveis atualmente. Entre
os comerciais, destacamos o software Maple (http://www.maple.com/) e o software
Mathematica (http://www.wolfram.com/). Entre os sistemas de computao simblica
gratuitos, destacamos o excelente software Maxima (http://maxima.sourceforge.net/).
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Um dos grandes recursos includos na verso 4.2 do GeoGebra (em estgio beta, mas
com previso de ser lanado oficialmente ainda no ano de 2012) est a Janela CAS, uma
janela a partir da qual um usurio poder conduzir clculos simblicos dentro do
GeoGebra. Como de costume, a Janela CAS est integrada com as demais janelas do
software (Janela de lgebra, Janela de Visualizao).
Existem vrios estudos sobre o uso de sistemas de computao simblica para o ensino
e aprendizagem da matemtica (veja, por exemplo, as referncias (GUIN, RUTHVEN
& TROUCHE, 2005) e (LI, WANG & ZHANG, 2007)), contudo, a nfase se d
principalmente em questes relacionadas com o clculo diferencial e integral (no Brasil,
a maioria dos alunos do Ensino Mdio no estuda esse tpico, ficando o tema reservado
para os primeiros semestres do ensino universitrio).
O objetivo principal dessa oficina o de apresentar e explorar exemplos de como
recursos de computao simblica podem ser trabalhados com tpicos mais elementares
do Ensino Mdio. Esperamos assim que o participante da oficina aprecie
as potencialidades e perceba as limitaes desse tipo de ferramenta. O material
apresentado parcialmente aqui tem sido usado na disciplina Informtica no Ensino da
Matemtica para o curso de licenciatura em matemtica do Sistema CEDERJ/UAB.
Alguns exemplos de exerccios em aritmtica
Os exerccios que apresentamos nesta seo so trabalhados em nossa disciplina logo
aps a apresentao da sintaxe bsica das operaes aritmticas (soma, subtrao,
multiplicao, diviso, potenciao, fatorial) e do comando Fatorar[] (que calcula
a decomposio em fatores primos de um nmero natural) da Janela CAS do GeoGebra
4.2. Nessa apresentao, um dos exemplos dados o seguinte: o clculo de 1/3 na
Janela CAS do GeoGebra. Em geral, as pessoas ficam surpresas com a resposta dada
pelo GeoGebra: 1/3. Elas esperam ver (como em uma calculadora), o nmero
0.33333333. Nossa impresso que, em geral, as pessoas no percebem o processo de
aproximao inerente s calculadoras usuais, isto , elas no percebem que a resposta
0.33333333 dada por uma calculadora usual no igual a 1/3, mas, sim, uma
aproximao de 1/3. Em outras palavras, o pensamento (errado) geral que os
resultados apresentados por uma calculadora usual so sempre exatos e eles no so. Em
nossa opinio, poder evidenciar esse fato j demonstra uma qualidade didtica dos
sistemas de computao simblica.
Exemplo 1. Considere os seguintes nmeros racionais a = 8712870/48506557 e b =
505149/2812281. Eles so iguais? (a) Tente obter uma resposta usando uma calculadora
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de bolso comum! (b) Tente obter uma resposta usando a Janela CAS do GeoGebra!
(c) Tente obter uma resposta usando apenas lpis e papel, sem recurso computacional
algum! Os trs mtodos produziram a mesma resposta? Elabore sobre o assunto!
Este exerccio tem vrios desdobramentos. Primeiro, ele evidencia a limitao de uma
calculadora comum: os nmeros a e b so, de fato, diferentes, mas, ao tentar calcul-los,
os nmeros exibidos no visor da calculadora so iguais. Muitas pessoas concluem
(erroneamente) a partir desse fato que a e b so iguais! Segundo, que estratgias
podemos usar pa