Álgebra

Unidad 1. Números reales

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Logística y Transporte 1

Actividad 2. Propiedades de Zn

Indicaciones: Analiza y resuelve el ejercicio con tablas de suma y multiplicación previo a tu

participación en el Foro. Propiedades de ℤn

Ejercicio Tablas de suma y de multiplicación

Una tarea importante en el desarrollo del razonamiento matemático es la búsqueda de patrones, en el

programa desarrollado ya tienes las tablas de la suma y la multiplicación para ℤ12 y ℤ4. Además puede

que te sea muy familiar la de ℤ10 porque nuestro sistema es de base 10.

1. Construye las tablas de la suma y de la multiplicación para otros conjuntos ℤn, por lo menos

para que te queden las de ℤ2, ℤ3, ℤ4, ℤ5, ℤ7, ℤ9, ℤ10, ℤ11 y ℤ20.

2. Observa las tablas que has construido y observa si tienen patrones. Responde las siguientes

preguntas:

¿Se repiten de alguna manera, en especial los números?

¿Importa el orden en que se hagan las sumas y las multiplicaciones?

Considera sólo la tabla de las suma de ℤ4 que ya conoces:

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Sabemos que el neutro de la suma es el cero. Observa que por ejemplo en el renglón del 1 (que está

marcado) aparece el mismo 1 en la columna del 0 (1 + 0 = 1) y además aparece un 0 en la columna del

3 (1 + 3 = 0). Esto ocurre también en los demás renglones porque cualquiera que sea aparece el

mismo número de la izquierda y aparece por lo menos un 0.

En todas las demás tablas de las sumas ¿ocurre lo mismo? ¿Para cualquier renglón puedes hallar

como resultado al cero y al mismo número de la primera columna de dicho renglón?

3. También sabemos que el neutro de la multiplicación es el 1. Considera la tabla de la

multiplicación de ℤ4 que también conoces:

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0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

En cada renglón se puede obtener como resultado el mismo número de la primera columna como por

ejemplo en el caso marcado del renglón del 3, donde se obtiene 3 si lo multiplica por 1 (el neutro).

También se puede obtener el 1 multiplicándolo por sí mismo (32). ¿Con todos los números se pueden

obtener estos resultados? ¿Para las tablas de multiplicación de los diferentes ℤn ocurre esto?

Has estado trabajando con las operaciones de los llamados ℤn para hacer tablas con los resultados de

la suma y la multiplicación. Es momento de que reflexiones un poco sobre sus propiedades.

a) Compara las tablas de operaciones de ℤ2, ℤ3, ℤ4, ℤ5, ℤ7, ℤ9, ℤ10, ℤ11 y ℤ20.

b) Busca los patrones o regularidades en la disposición de los resultados en cada una de las

tablas.

c) Busca también en cuáles y en qué disposición aparecen los dos números más importantes:

el 1 y el 0.

4. Cuando concluyas este ejercicio, ingresa al Foro. Propiedades de ℤn.