ACELERACIÓN CENTRÍPETAD E D U C C I Ó N D E L A E X P R E S I Ó N U T I L I Z A N D O U N A C O L I S I Ó N

E L Á S T I C A

Imaginemos una partícula que se desprende con

velocidad tangencial −𝑣𝑡,desde el borde de un

círculo en rotación (Fig 1).

Por ser la colisión elástica, la rapidez, 𝑣 de la

partícula es constante tal que 𝑣𝑡= 𝑣𝑟.

Luego, a cierta distancia de su punto de

desprendimiento, colisiona elásticamente con

un objeto en P (Fig. 2) para rebotar en

dirección radial con velocidad 𝑣𝑟.

Fig. 2

Fig. 1

COMPONENTES DE V Y CAMBIO DE VELOCIDAD:

Descomponemos 𝑣𝑟 en un vector vertical hacia abajo y otro

horizontal hacia la derecha (Fig. 3):

𝑣𝑟= (−𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) (1)

∆𝑣 = [ 𝑣𝑟− −𝑣𝑡 ] = (−𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) + 𝑣𝑡 (2)

Con (1) calculamos el cambio de velocidad de la

partícula:

∆𝑣 = [𝑣𝑟 + 𝑣𝑡 ] = −𝑣(𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) + 𝑣𝑡 (2’)

Para obtener la aceleración derivamos (2’) con respecto a 𝑡, teniendo

en cuenta que:

(a) tanto 𝑣𝑟 como 𝑣𝑡 son constantes

(b) 𝜃 = 𝜃(𝑡):

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝑣 −𝑠𝑖𝑛 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡+ 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡(3)

= −𝑣𝑑𝜃

𝑑𝑡−𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (3’)

Luego, cuando 𝜃 → 0, −𝑠𝑖𝑛 𝜃 → 0 𝑎𝑛𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → 1, razón por la cual

podemos escribir (3’) como sigue:

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −𝑣

𝑑𝜃

𝑑𝑡= −𝑣𝜔 (4)

Aproximándonos a la expresión final:

Multiplicamos (4) por 𝑟

𝑟para obtener 𝑎𝑐, la aceleración centrípeta:

𝑎𝑐 = −𝑣𝑟

𝑟𝜔 = -

𝑣𝑟𝜔

𝑟(5)

De (5) y en vista que 𝑟𝜔 es igual a 𝑣 llegamos a la expresión que

buscábamos:

𝑎𝑐 = −𝑣2

𝑟

El signo negativo indica que la aceleración centrípeta está

dirigida hacia el centro.

La Fuerza Centrípeta es, por lo tanto: 𝐹 = −𝑚𝑣2

𝑟.

Por último: