acciones de grupos sobre el plano complejo

Departamento de MatematicasFacultad de CienciasUniversidad de Chile

Acciones de grupos sobre elespacio de Riemann-Roch

por

Daniela Vasquez Latorre

Director de Tesis Dr. Angel Carocca

Co-directora de Tesis Dra. Anita M. Rojas

Tesis presentada al Departamento de Matematicas de la Universidad de Chile en

cumplimiento parcial de los requisitos para optar al grado de Doctor en Ciencias con

mencion en Matematicas

Diciembre, 2013

FACULTAD DE CIENCIASUNIVERSIDAD DE CHILE

INFORME DE APROBACIONTESIS DE DOCTORADO

Se informa a la Escuela de Postgrado de la Facultad de Ciencias que la Tesisde Doctorado presentada por la candidata.

Daniela Andrea Vasquez Latorre

Ha sido aprobada por la Comision de Evaluacion de la tesis como requisito para optaral grado de Doctor en Ciencias con mencion en Matematicas, en el examen de Defensade Tesis rendido el da 6 de Diciembre de 2013.

Director de TesisDr. Angel Carocca. ....................................................

Co-directora de TesisDra. Anita M. Rojas. ....................................................

Comision de Evaluacion de Tesis

Dr. Antonio Behn. ....................................................Presidente de la Comision

Dr. Vctor Gonzalez. ....................................................

Dra. Rub Rodrguez. ....................................................

A Camilo, mi hijoy a todas las mujeres de mi tribu.

BIOGRAFIA

Nunca he escrito sobre mi, sobre mi historia. Lo hare en unas breves lneas. Nac enla ciudad de Rancagua, en febrero 12 de 1975. Bajo la dictadura militar. Siendo lamayor de dos hermanos. Mi educacion basica trancurrio en las ciudades de Ranca-gua, Copiapo y Santiago. Donde me radicara hasta completar mi ense~nanza media yrealizar mis estudios universitarios. Pero sin duda alguna, al lugar que pertenezco esBaha Inglesa, cerca del mar y de la inmensidad del desierto. Donde he vivido losmejores momentos de mi vida. En el a~no 1992, comence a estudiar la carrera deLicenciatura en matematicas, en la Universidad Catolica de Chile, despues en la mismainstitucion continue con mis estudios de Maestra, graduandome de esta el a~no 2000.Durante este periodo, conoc a Guillermo un Colombiano que llego a estudiar a laPUC, con quien formara mi propia familia y que sin duda cambiara el rumbo de mivida. En el a~no 1999 nace mi hijo Camilo, mi compa~nero de siempre, denitivamente lomejor que me ha pasado en la vida. Despues a pricipios del a~no 2001, me voy a vivir aCali, Colombia, con el proposito de continuar con nuestra familia Chilena-Colombiana.All comienzo a trabajar como profesora en la Universidad del Valle, y mucho tiempodespues decido regresar a Chile a realizar un doctorado en matematicas, un pendienteque tena en mi vida. La Universidad de Chile me brindo esa oportunidad, terminan-do mis estudios de doctorado en esa casa de estudios. Luego regrese a Colombia acontinuar con mi vida, pas que se ha tranformado en mi nuevo hogar. Indudablemen-te quedan muchos pasajes de la historia de mi vida sin contar, pero como lo dije alprincipio, solo eran unas breves lneas.

AGRADECIMIENTOS

Imposible no comenzar agradeciendo a mi hijo Camilo, quien me acompa~no, animo,comprendio y que con todo su amor me ayudo sin duda a realizar esta tarea. Porsupuesto a mis papas, que cuidaron de Camilo y de mi en todo este proceso, yo se quese sienten orgullosos de todos mis logros. Tambien a Guillermo, quien entendio quehacer un doctorado era un pendiente que tena en mi vida y no dudo en dejar queCamilo me acompa~nara en este camino. A mi familia Chilena y Colombiana.

A mi director de tesis, profesor Angel Carocca, por creer de nuevo en mi, portodo el conocimiento entregado, su innita paciencia y acompa~narme en estatravesa. A mi co-directora, profesora Anita Rojas, mi compa~nera y amiga en la epocaen que yo realizaba la maestra y ahora mi profesora. Gracias Anita por ense~narme,escucharme y siempre hacerme sentir que soy capaz. A la profesora Rub Rodrguez,por lo que me ha ense~nado y alentado a continuar con este proyecto. Agradezco tam-bien al profesor Luis Arenas Carmona, quien se dio el trabajo de leer minuciosamenteuna version preliminar de esta tesis y cuyas observaciones fueron de mucha ayuda paramejorar la claridad de la misma.

Indudablemente, a mis nuevos amigos, Adan (Nico) y Felipe que me han acompa~nado,cuidado y han estado conmigo todo este tiempo, compartiendo el estudio y la vidamisma. Como no mecionar a Patricio, mi primer nuevo amigo. Yo se que a pesar de ladistancia nuestra amistad continuara. A Martha Romero, mi amiga, mi compa~nera deestudio y de tantos viajes, quien mas que ella entiende como he vivido este proceso, sinduda alguna parte importante de este doctorado y que con seguridad compartiremosel futuro que nos espera en nuestra vida academica. A Mariela, quien compartio susconocimientos conmigo, sus buenas vibras y acompa~narme en el viejo mundo. A misamigas Martha Pinzon, Paulita y So, quienes me acompa~nan, cuidan y me hacensentir que no estoy tan lejos de casa. A los viejos amigos, en especial a CarolinaBecerra, quien me demostro que a pesar de los a~nos y de la distancia, la amistadperdura.

A CONICYT, por el apoyo otorgado y por conar en mi.

Y como alguien dijo por ah gracias totales.

Contenido

Lista de smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Preliminares 101.1. Supercies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Acciones de grupos en supercies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 151.3. Representacion analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Divisores y el espacio de Riemann-Roch 322.1. Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. El espacio de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3. Divisores no especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Accion de grupo sobre el espacio de R-R 433.1. Accion en L(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Levantamiento de Divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3. Multiplicidad de un caracter absolutamente irreducible . . . . . . . . . 583.4. Levantamiento de divisores en cocientes intermendios . . . . . . . . . . 63

4. Curvas de Fermat y curvas p-gonales 724.1. El espacio de Riemann-Roch para curvas de Fermat . . . . . . . . . . . 724.2. Espacio de Riemann-Roch para un tipo de curvas p-gonales . . . . . . . 774.3. Aplicacion del teorema de descomposicion . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5. Apendice 905.1. Espacio de Riemann-Roch en algunas curvas de Catalan . . . . . . . . 905.2. Algunos elementos de representaciones de grupos . . . . . . . . . . . . 110

Bibliografa 110

5

Lista de smbolos

X=G : Supercie cociente de X por la accion del grupo G.

H1(X ;C) : Primer grupo de homologa en X .

H1;0(X ;C) : Espacio de 1-formas diferenciales analticas en X .

H1;0(X ;C) : Espacio dual de H1;0(X ;C).

Aut(X ) : Grupo de automorsmos de la supercie X .

ordP F : Orden de un punto P por la funcion F .

H G : H subgrupo del grupo G.

jGj : orden del G.

StabG(P ) : Estabilizador en G del punto P .

NG(H) : Normalizador de H en G.

gX : Genero de la supercie de Riemann X .

6

Resumen

Sea G un grupo nito de automorsmos de una curva proyectiva suave X , sobre elcuerpo de los numeros complejos, y D un divisor no especial de X invariante bajola accion de G. En este trabajo estudiaremos el problema de descomposicion de larepresentacion natural del grupo G en el espacio de Riemann-Roch L(D), asociadoal divisor D. Presentaremos formulas explcitas para la multiplicidad de cada factorirreducible, en terminos de la multiplicidad de estos factores en la descomposicion dela accion de G, en el espacio dual de las 1-formas diferenciales holomorfas sobre X .Generalizando de esta forma las formulas conocidas para la multiplicidad de los factoresirreducibles para el caso racional.

Introduccion

Sea X una curva proyectiva suave, sobre un cuerpo K de caracterstica 0, y K(X )el cuerpo de funciones racionales de X : Para D un divisor cualquiera sobre la curva Xel espacio de Riemann-Roch L(D) es el K-espacio vectorial dado por

L(D) = ff 2 K(X ) = div(f) D1g [ f0gdonde div(f) es el divisor principal de la funcion f en K(X ).

Si G es un grupo nito de automorsmos de X entonces G actua sobre K(X ) y sobreel grupo Div(X ) de los divisores de X . Ademas, si D es un divisor de X invariante porla accion de G entonces G actua sobre el espacio vectorial L(D). De esta forma, L(D)tiene estructura de K[G]-modulo, en otras palabras G tiene una representacion linealsobre L(D):

Nuestro interes, en este trabajo, es estudiar la K[G]-estructura de L(D), es decir ladescomposicion de la representacion lineal de G en L(D), como suma de representa-ciones irreducibles de G:

El problema de estudiar la K[G]-estructura de L(D) fue considerado originalmentepor Hurwitz para el caso K = C el cuerpo de los numeros complejos, D un divisorcanonico y G un grupo cclico. Una generalizacion de estos resultados, para gruposnitos arbitrarios y K = C, fue dada por Chevalley-Weil [CW]. Este problema hasido abordado para otros cuerpos y otros tipos de divisores, por ejemplo se conocen lostrabajos de Ellingsrud y Lonsted [EL], Kani [Ka], Nakajima [N], Kock [Ko] y Borne [B].

En trabajos mas recientes de Joyner y Ksir [JKV], [JK], se estudia la descomposicion,en el caso racional, del espacio L(D) para determinados divisores sobre una curva X ;que son obtenidos a partir del levantamiento de divisores sobre curvas dadas comococientes intermedios por subgrupos del grupo de automorsmos G: Estos resultadosincluyen formulas explicitas, en el caso racional, para la multiplicidad de cada factorirreducible en terminos de la ramicacion de G sobre la curva X :

En este trabajo estudiaremos el problema de descomposicion de la representacion delgrupo G en el espacio L(D), sobre los numeros complejos, y presentaremos formulas

8

INTRODUCCION 9

explcitas para la multiplicidad de cada factor irreducible, en terminos de la multipli-cidad de estos factores en la descomposicion de la accion de G en el espacio dual delas 1-formas diferenciales holomorfas sobre X . Ademas, utilizando estas formulas yla representacion racional del grupo G sobre el primer grupo de homologa de X ;obtenemos las formulas antes mencionadas para el caso racional.

El trabajo esta estructurado de la siguiente forma: El primer captulo esta dedicadoa presentar deniciones y resultados sobre curvas y accion de grupos, que seran deutilidad en el desarrollo de este trabajo. El segundo captulo es dedicado a presentardeniciones, algunos resultados sobre divisores y el espacio de Riemann-Roch. Ademas,inclumos resultados sobre divisores no especiales que seran de interes en nuestrosresultados. Los captulos siguientes son dedicados a presentar los resultados obtenidosdurante nuestra investigacion. En el captulo 3 estudiamos acciones de grupos sobre elespacio de Riemann-Roch. En el captulo 4 presentamos detalladamente la descomposi-cion del espacio de Riemann-Roch de curvas de Fermat y de algunas curvas p-gonales.Nuestro trabajo concluye con un apendice que contiene algunos resultados sobre curvasde Catalan y algunos elementos de representaciones de grupos.

CAPITULO 1

Preliminares

En este captulo presentaremos deniciones, propiedades y algunos resultadosrelevantes para el desarrollo de los captulos posteriores.

1.1. Supercies de Riemann

Una supercie de Riemann X es un espacio topologico hausdor, conexo, tal queexiste una coleccion fUg2I de abiertos en X y f' : U ! V Cg2I homeomor-smos, que satisfacen lo siguiente:

X =[2I

U

si U \ U 6= entonces la funcion ' '1 : '(U \ U) ! '(U \ U) esanaltica.

U \ U'

vvmmmmmm

mmmmmm '

((QQQQQ

QQQQQQ

Q

'(U \ U) V''1

// '(U \ U) V

El par (U; ') se llama carta o coordenada local y el conjunto f(U; ')= 2 Ig sedenomina atlas complejo o estructura compleja de la supercie X . Si P 2 U es talque '(P ) = 0, entonces se dice que (U; ') es una carta centrada en P .

Se observa de la denicion, que si ' '1 es analtica en '(U\U) entonces ''1es tambien analtica en '(U \ U). Note ademas, que ' '1 es una biyeccion.Denicion 1.1.1. Sea X una supercie de Riemann. Una funcion f : X ! C esholomorfa en un punto P de X , si existe una carta (U;'), con P 2 U , tal que lafuncion f '1 es analtica en '(P ). Diremos que f es holomorfa en un abiertoW Xsi es holomorfa en todo punto P de W .

10

CAPITULO 1. PRELIMINARES 11

No es difcil ver, debido a que el cambio de cartas es analtico, que f es holomorfa enun punto P de X si y solo si para toda carta (U;'), con P 2 U , la funcion f '1es holomorfa en '(P ). Ademas si f es holomorfa en P , se tiene que f es holomorfa enalgun abierto que contiene a P .

Usando cartas, el concepto de singularidad removible y polo, para funciones de unavariable compleja, ver [GKR], se extiende a supercies de Riemann.

Denicion 1.1.2. Sea X una supercie de Riemann, P un punto de X y f una funcionholomorfa en W n fPg, donde W es una vecindad de P . Diremos que

1. f tiene una singularidad removible en P si y solo si existe una carta (U;') en X ,con P 2 U , tal que la funcion f '1 tiene una singularidad removible en '(P ).

2. f tiene un polo en P si y solo si existe una carta (U;') en X , con P 2 U , tal quela funcion f '1 tiene un polo en '(P ).

De igual forma, se puede concluir que f tiene una singularidad removible o un polo enP si y solo si para toda carta (U;') en X , con P 2 U , la funcion f '1 tiene unasingularidad removible o un polo en '(P ), respectivamente.

Denicion 1.1.3. Sea X una supercie de Riemann. Una funcion f : X ! C esmeromorfa en un punto P de X , si es holomorfa o tiene una singularidad removibleo tiene un polo en P . Diremos que f es meromorfa en un conjunto abierto W X sies meromorfa en todo punto P de W .

Denotamos por K(X ) al conjunto

K(X ) = ff : X ! C = f es meromorfag

el cual tiene estructura de cuerpo, con la suma y producto usual de funciones, y sedenomina el cuerpo de funciones meromorfas de X .

Nos referiremos a algunas propiedades de funciones en supercies de Riemann,para mas detalles ver [M].

Sea P un punto de X y f : X ! C una funcion holomorfa en W n fPg, donde Wes una vecindad abierta de P . Sea (U;') una carta en X , con P 2 U , donde la coor-denada local es z = '(x) para x cercano a P . As f '1 es analtica en una vecindadabierta de z0 = '(P ), luego localmente es de la forma

f '1(z) =Xn2Z

cn(z z0)n:


Esta expansion se llama serie de Laurent de f en torno a P , con respecto a '(o con respecto a la coordenada local z). Utilizando esta serie, podemos determinarla naturaleza de la singularidad de f en P . Si f es meromorfa, entonces f '1 tieneexpansion con un numero nito de terminos negativos, luego se dene el orden de f enP , denotado por ordP f , como

ordP f = minfn = cn 6= 0g:Este numero es independiente de la carta (U;') seleccionada. Puesto que, si f es unafuncion meromorfa, entonces la expansion en serie Laurent de f en torno a P , conrespecto a la coordenada local z = '(x), para x cercano a P y z0 = '(P ) es

f '1(z) = cn0(z z0)n0 + terminos de orden superior (1.1)donde cn0 6= 0. Utilizando esta coordenada local, se tiene que ordP f = n0. Sea (U 0; )otra carta en X , con P 2 U 0, donde la coordenada local es w = (x) para x cercano aP y w0 = (P ). Consideremos el cambio de cartas z = T (w) = ' 1(w), el cual esuna funcion analtica. Como T es invertible en w0, entonces T

0(w0) 6= 0, por tanto laserie de Taylor de T en torno a w0 es

z = T (w) = z0 +1Xn=1

an(w w0)n (1.2)

donde a1 6= 0. Luego por (1.1) y (1.2) se tiene queh(w) = f '1 T (w) = cn0an01 (w w0)n0 + terminos de orden superior

es la serie de Laurent de f en torno a P , con respecto a la coordenada local w. Comocn0 6= 0 y a1 6= 0, se tiene que cn0an01 6= 0. Luego utilizando esta serie de potencias,obtenemos que ordP f = n0. Por tanto el orden de f en P es independiente de la cartaseleccionada.

La denicion de orden dada anteriormente, motiva la siguiente proposicion.

Proposicion 1.1.4. Sea X una supercie de Riemann y f : X ! C una funcionmeromorfa en un punto P de X . Entonces

1. f es holomorfa en P si y solo si ordP f 0.2. f tiene un cero en P si y solo si ordP f > 0.

3. f tiene un polo en P si y solo si ordP f < 0.

4. f no tiene cero ni polo en P si y solo si ordP f = 0.

Demostracion: Se desprende de la denicion de orden.


Denicion 1.1.5. Sea f : X ! C una funcion meromorfa en un punto P de X . Sedice que que f tiene un cero de orden n en P , si ordP f = n 1. De igual manera sedice que f tiene un polo de orden n en P , si ordP f = n < 0.

Denicion 1.1.6. Una funcion F : X ! Y entre supercies de Riemann, es holomorfaen P 2 X , si y solo si existen cartas (U1; '1) en X , con P 2 U1, y (U2; '2) en Y , conF (P ) 2 U2, tal que la funcion '2 F '11 es holomorfa en '1(P ).

P 2 U1 \ F1(U2) F //'1

F (P ) 2 U2'2

'1(U1 \ F1(U2))

'2F'11// '(U2)

Diremos que F es holomorfa en un conjunto abierto W X si es holomorfa en todopunto P de W . En particular si W = X diremos simplemente que F es holomorfa.

Nuevamente, debido a que el cambio de cartas es anallico, se tiene que F es holomorfaen P 2 X si y solo si para todo par de cartas (U1; '1) en X , con P 2 U1, y (U2; '2)en Y , con F (P ) 2 U2, la funcion '2 F '11 es holomorfa en '1(P ). Ademas si F esholomorfa en P , se tiene que F es holomorfa en alguna vecindad abierta de P . Obser-vamos tambien que la composicion de funciones holomorfas es holomorfa.

La siguiente denicion nos permite decir cuando dos supercies de Riemann representala misma supercie.

Denicion 1.1.7. Un Isomorsmo (o biholomorsmo) entre supercies de Riemannes una funcion holomorfa F : X ! Y , la cual es biyectiva y cuya inversa F1 : Y ! Xes holomorfa. Si existe un isomorsmo entre las supercies X e Y , diremos que X e Yson isomorfas.

Un isomorsmo F : X ! X se llama Automorsmo de X , denotamos por Aut(X ) alconjunto de todos los automorsmos de X , el cual tiene estructura de grupo con lacomposicion de funciones.

La siguiente proposicion nos da cuenta de una propiedad local de funciones holomorfasentre supercies de Riemann.


Proposicion 1.1.8. Sea F : X ! Y una funcion holomorfa, no constante, entresupercies de Riemann y P un punto de X . Entonces existe un unico entero mP 1que satisface lo siguiente: para toda carta (U2; '2) en Y, centrada en F (P ), existe unacarta (U1; '1) en X , centrada en P , tal que

'2 F '11 (z) = zmP

Demostracion: Ver [M], pag 44.

La unicidad de este numero mP , nos lleva a la siguiente denicion.

Denicion 1.1.9. El numero mP obtenido en la proposicion anterior, se llamamultiplicidad de F en P y se denota por multP F . Si multP F 2 diremos que Pes un punto de ramicacion de F . Si y 2 Y es imagen de un punto de ramicacion deF , diremos que y es un punto rama de F .

El conjunto de puntos de ramicacion de F es un conjunto discreto. Si X es compactaeste conjunto es nito.

En lo que sigue de nuestro trabajo, consideraremos supercies de Riemann compactas,sobre C, las cuales topologicamente se clasican de acuerdo a su genero. Esto es, todasupercie de Riemann compacta X , es topologicamente homoemorfa a la esfera o auna suma conexa de gX toros. Entendiendo que cuando X es homemorfa a la esfera,gX = 0. El numero gX se llama genero de la supercie.

Sea F : X ! Y un funcion holomorfa, no constante, entre supercies de Riemanncompactas. Como F es continua, se tiene que F (X ) es un compacto en Y . Por tantoF (X ) es un cerrado. Pero F (X ) es un abierto, debido a que F es una funcion abierta.Luego por la conexidad de Y se concluye que F (X) = Y . As para cada y 2 Y , elconjunto de las preimagenes F1(y) es no vaco. Ademas este conjunto es discreto,luego nuevamente por la compacidad de X , se tiene que F1(y) es un conjunto nito.As a cada y 2 Y podemos asociarle el siguiente numero entero

dF (y) =X

P2F1(y)multP F:

Proposicion 1.1.10. Sea F : X ! Y un funcion holomorfa, no constante, entresupercies de Riemann compactas. Entonces el entero dF (y) es constante e indepen-diente de y.



Denicion 1.1.11. Sea F : X ! Y un funcion holomorfa, no constante, entre super-cies de Riemann compactas. Se dene el grado de F , denotado por deg(F ), como elentero dF (y), para cualquier y 2 Y .

Enunciamos un importante y conocido teorema para funciones holomorfas, entre su-percies de Riemann compactas. Este relaciona los generos de las supercies, el gradode la funcion y las multiplicidades de los puntos de ramicacion.

Teorema 1.1.12 (Riemann-Hurwitz). Sea F : X ! Y una funcion holomorfa, noconstante, entre supercies de Riemann compactas, de generos gX y gY respectiva-mentes. Entonces

2 gX 2 = deg(F )(2 gY 2) +XP2X

(multP F 1)

Demostracion: Ver [M] 4.16 pag 52.

Una funcion F : X ! Y holomorfa, no constante, entre supercies de Riemanncompacta se llama cubrimiento. Si tiene puntos de ramicacion se dice que el cu-brimiento es ramicado. Si B es el conjunto de puntos rama del cubrimiento, entoncesF : X nF1(B)! YnB es un cubrimiento topologico en el sentido usual, es decir, paracada y 2 Y nB existe un abierto V , que contiene a y, tal que F1(V ) es union disjuntade abiertos Ui X n F1(B), con i = 1; :::; deg(F ), para los cuales F jUi : Ui ! V esun homemorsmo.

1.2. Acciones de grupos en supercies de Riemann

En esta seccion consideraremos G un grupo nito y X una supercie de Riemanncompacta de genero gX .

Denicion 1.2.1. Un grupo G actua sobre la supercie de Riemann X , si existe unafuncion

: GX ! X(g; P ) g(P )

que satisface

(a) e(P ) = P , para todo P 2 X .(b) (gh)(P ) = g(h(P )), para todo h; g 2 G y P 2 X .


Para ser mas precisos, la denicion anterior es llamada accion izquierda de G en X .

Observamos que para un g 2 G jo, la funcion(g; ) : X ! X

P g(P )

es una biyeccion en X , cuya inversa es (g1; ). Se dice que la accion es continua si lafuncion (g; ) es continua para todo g 2 G. De igual forma, la accion se dice holomorfasi (g; ) es holomorfa para todo g 2 G, en este caso (g; ) es un automorsmo de X ,para todo g 2 G.

Sea P un punto de X , la orbita de P es el conjunto[P ]G = fg(P ) = g 2 Gg

y el estabilizador de P en G, es el conjunto

GP = fg 2 G= g(P ) = Pg:No es dcl ver, que GP es un subgrupo de G. Ademas, si dos puntos pertencen a lamisma orbita entonces sus estabilizadores son conjugados, de hecho, Gg(P ) = gGPg

1.Tambien como G es nito, se tiene que j[P ]GjjGP j = jGj para todo P 2 X .

Para toda accion holomorfa, se puede denir el homomorsmo asociado natural-mente

: G! Aut(X )g (g; )

cuyo nucleo es ker =\P2X

GP . Si ker = feg, es decir si es inyectivo, se dice quela accion de G es efectiva. Observamos tambien, que el grupo G= ker actua en Xcon nucleo trivial y con orbitas identicas a las de la accion de G. Por tanto, asumi-remos en lo que sigue, que G actua de manera holomorfa y efectiva sobre X . En estecaso G es isomorfo a un subgrupo de Aut(X ). As denotaremos por G a su imagen por .

Es oportuno mencionar un importante teorema debido a Hurwitz, que nos proporcionauna cota para la cantidad de automorsmos que admite una supercie de Riemanncompacta de genero mayor o igual a dos.

Teorema 1.2.2 (Hurwitz). Sea X una supercie de Riemann compacta de generogX 2. Entonces

jAut(X )j 84(gX 1)


Demostracion: Ver [FK], pag 242.

Sea G un grupo nito de automorsmos de X y P un punto de X . Sea g 2 GP y (U;')una carta en X centrada en P . Como g(P ) = P , se tiene que la expansion en serie deg en torno a P , con respecto a ', no tiene termino independiente. As

' g '1(z) =1Xk=1

ck(g)zk

donde c1(g) 6= 0, puesto que g es invertible. Consideremos la aplicacionP : Gp ! C

g c1(g)

la cual es un funcion bien denida, pues el numero c1(g) es independiente de la cartaselecionada. Dado que, sea (U 0; ) otra carta en X , centrada en P , luego el cambio decoordenadas es de la forma

z = ' 1(t) =1Xi=1

aiti

con a1 6= 0, pues el cambio de cartas es invertible, donde su inversa es de la forma

t = '1(z) =1Xi=1

bizi

con b1 6= 0. Luego se tiene que a1b1 = 1. Entonces la expansion en serie de potencias,de g con respecto a la coordenada t es

g 1(t) = ( '1) (' g '1) (' 1)(t)

= ( '1) (' g '1) 1X

i=1

aiti

= '1

1Xk=1

ck(g)

1Xi=1

aiti

k= '1(c1(g)a1t+ terminos de orden superior)= b1c1(g)a1t+ terminos de orden superior;

pero como a1b1 = 1, entonces b1c1(g)a1 = c1(g). Luego

g 1(t) = c1(g)t+ terminos de orden superior:


Por lo tanto el numero c1(g) es independiente de la carta seleccionada.

Observamos que P es un homomorsmo de grupos. Puesto que, sea h 2 GP y

' h '1(z) =1Xi=1

ci(h)zi

la expansion en serie de Laurent de h en torno a P , con respecto a ', donde c1(h) 6= 0.Luego localmente gh es de la forma

' gh '1(z) = (' g '1) (' h '1)(z)

= ' g '1 1X

k=1

ci(h)zi

=1Xk=1

ck(g)

1Xk=1

ci(h)zi

k= c1(g)c1(h)z + terminos de orden superior:

As c1(gh) = c1(g)c1(h) y por tanto P (gh) = P (g)P (h).

Tambien P es inyectivo. Ya que, sea g 2 GP , tal que P (g) = 1, entonces localmenteg es de la forma

' g '1(z) = z +1Xk=2

ck(g)zk:

Sea cm(g), con m 2, el primer coeciente distinto de cero. As

' g '1(z) = z + cm(g)zm + terminos de orden superior:

Para k entero positivo, se tiene que gk localmente es de la forma

' gk '1(z) = z + kcm(g)zm + terminos de orden superior:

Como GP es nito, se tiene que el orden de g es nito, luego existe k entero positivo,tal que gk = e. Por tanto ' gk '1(z) = z. De lo que se concluye que kcm(g) = 0 ypor tanto cm(g) = 0, lo cual es una contradiccion. As en la expansion de g todos loscoecientes ck(g) = 0 para k 2. Por lo tanto g es la identidad. Luego P es inyectivo.

Como P es un homomorsmo inyectivo, se tiene que GP es isomorfo a un subgru-po nito de C, pero todos los subgrupos nitos de C son cclicos, luego GP es unsubgrupo cclico de G. En base al analisis realizado, enunciamos la siguiente proposi-cion, que ya esta demostrada.


Proposicion 1.2.3. Sea X una supercie de Riemann compacta, G un grupo nito deautomorsmos de X y P un punto en X . Entonces GP , el estabilizador de P en G, esun subgrupo cclico de G.

Ahora bien, si el orden de GP es n entonces P (g) = c1(g) es una raz n-esima de launidad, para todo g 2 GP . Luego como g es de orden nito, para (U;') carta centradaen P , se tiene que g localmente es de la forma

' g '1(z) = zdonde = c1(g) es una raz n-esima de la unidad. Mas aun, debido a la inyectividad deP , si g es un generador de GP , entonces es una raz n-esima primitiva de la unidad.Luego si jamos una raz n-primitiva de la unidad cualquiera, debido a que P es unhomorsmo, existe h 2 GP tal que P (h) = , donde h es un generador de GP . Portanto para cada g 2 GP existe entero positivo tal que P (g) = .

Denicion 1.2.4. Sea X una supercie de Riemann compacta y G un grupo nitode automorsmos de X . Para P 2 X y g 2 GP , se dene la constante de rotacion delautomorsmo g en el punto P , como el numero

P (g1) = 1P (g)

Ejemplo 1.2.5. Sea X = f(x; y) 2 C2=f(x; y) = x5 + y5 + 1 = 0g una curva planaafn y eX = f[X : Y : Z] 2 CP2= ef(X; Y; Z) = X5 + Y 5 + Z5 = 0gsu clasura proyectiva. Se sabe que eX es una supercie de Riemann compacta, de genero

gX =(5 1)(5 2)

2= 6:

Sea 5 = e2i=5 y a([X : Y : Z]) = [15 X : Y : Z] un automorsmo de orden 5 de eX .

Sea P = [0 : : 1], con = ei=5, un punto en eX , jo por a.Determinaremos la constante de rotacion de a en P . Consideremos el homomorsmo

'2 : eX \ U2 = f[X : Y : Z] 2 eX : Z 6= 0g ! f(x; y) 2 C2=f(x; y) = x5 + y5 + 1g[X : Y : Z]

X

Z;Y

Z

donde '2(P ) = (0; ). Como

@f@y(0; ) = 54 6= 0, entonces por teorema de la funcion

implcita, existe una vecindad abierta W X de (0; ) y una funcion analtica g talque g(0) = , de modo que para algun r > 0 se tiene que

W = f(x; g(x)) : x 2 B(0; r)g X


As la carta en P , esta dada por

: '12 (W )! B(0; r) C[x : g(x) : 1] x

Luego, en coordenadas locales, el automorsmo a es de la forma

a 1(x) = (a([x : g(x) : 1])) = ([15 x : g(x) : 1]) = 15 x = 45x

Por tanto P (a) = 45 . Luego la constante de rotacion de a en P es P (a)

1 = 5.

Observacion 1.2.6. Cabe mencionar que los puntos en X con estabilizador no trivial,forman un conjunto discreto. Luego por la compacidad de X se tiene que este conjuntoen nito.

Sea G un grupo nito de automorsmos de X . Consideremos el conjuntoX=G = f[P ]G =P 2 Xg, denominado el espacio de orbitas de G y la funcion cociente

: X ! X =GP [P ]G

Se dota al espacio X=G de la topologa cociente, es decir V es abierto en X=G si y solosi 1(V ) es abierto en X . As es una funcion continua y como X es compacta, se tie-ne que X=G es compacta. Ademas a X=G se da una estructura compleja, de modo quesea una supercie de Riemann y sea una funcion holomorfa. Para mas detalles ver [M].

Observacion 1.2.7. La funcion : X ! X =G es un cubrimiento, entre supercies deRiemann compactas, de grado deg() = jGj. Donde multP = jGP j para todo P 2 X .Si X tiene puntos con estabilizador no trivial, sera un cubrimiento ramicado, y esospuntos con estabilizador no trivial seran los puntos de ramicacion del cubrimiento.

Observacion 1.2.8. Sea Q 2 X =G un punto rama del cubrimiento : X ! X =G y1(Q) = fP1; P2:::; Psg la bra sobre Q. Como los puntos Pi estan en la misma orbita,entonces sus estabilizadores son conjugados y por tanto tienen el mismo orden, lue-go la multiciplicidad de en los puntos de la bra sobre Q es la misma. Ademas si

m = jGPij = multPi para i = 1; :::; s, entoncesjGjm

= jG : GPij = s = j1(Q)j.

Aplicando el teorema de Riemann-Hurwitz 1.1.12 al cubrimiento : X ! X =G, obte-nemos el siguiente corolario.


Corolario 1.2.9 (Formula de Riemann-Hurwitz). Sea X una supercie de Riemanncompacta, G un grupo nito de automorsmos X y : X ! X =G la funcion cociente.Suponga que existen Q1; :::; Qr 2 X =G puntos rama del cubrimiento, donde mi es lamultiplicidad de los

jGjmi

puntos de ramicacion arriba de Qi. Entonces

gX = jGj(gX=G1) + 1 +jGj2

rXi=1

1 1

mi

:

Denicion 1.2.10. Sea X una supercie de Riemann compacta, G un grupo nito deautomorsmos de X y : X ! X =G la proyeccion canonica. Sea Q1; :::; Qr los puntosrama del cubrimiento . La rma de G en X , es el vector (gX=G; m1;m2; :::;mr), dondemi es la multiplicidad de los

jGjmi

puntos de ramicacion arriba de Qi.

Denicion 1.2.11. Sea G un grupo nito actuando holomorfa y efectivamente so-bre una supercie de Riemann compacta X . Un arreglo de 2 gX=G+r elementos de G,(a1; a2; :::; agX=G ; b1; b2; :::; bgX=G ; c1; c2; :::; cr), se llama vector generador de tipo(gX=G; m1;m2; :::;mr) si satisface:

a) G es generado por los elementos fa1; a2; :::; agX=G ; b1; b2; :::; bgX=G ; c1; c2; :::; crg;b) jcij = mi, para i = 1; :::; r, y

c)

gX=GYi=1

[ai; bi]rY

j=1

cj = 1:

Finalizamos esta seccion enunciando un teorema que garantiza la existencia de unasupercie de Riemann compacta, con accion de un grupo nito dado, bajo ciertascondiciones.

Teorema 1.2.12 (Teorema de Existencia de Riemann). Un grupo nito G actua sobrela supercie de Riemann compacta X , de genero gX , con rma (gX=G; m1;m2; :::;mr)si y solo si la ecuacion de Riemann-Hurwitz dada en 1.2.9 se satisface, y si G tienevector generador (a1; a2; :::; agX=G ; b1; b2; :::; bgX=G ; c1; c2; :::; cr).

Demostracion: Ver [BRT2].


1.3. Representacion analtica

Sea X una supercie de Riemann compacta, de genero gX , y G un grupo nitode automorsmos de X . El grupo G actua sobre el espacio de las 1-formas diferen-ciales holomorfas de X , denotado H1;0(X ;C), dandole a este estructura de G-modulo.Para encontrar la descomposicion en factores irreducibles, de la representacion com-pleja asociada a la accion de G en H1;0(X ;C), llamada representacion analtica deG, utilizaremos el Teorema de Chevalley-Weil [CW]. Este resultado nos proporcionaformulas explcitas para determinar la multiplicidad de un modulo irreducible, en ladescomposicion de la accion de G en dicho espacio. En esta seccion nos referiremosa la accion analtica de G y a la formula de Chevalley-Weil, y mostraremos algunasconsecuencias.

En lo que sigue, consideraremos X una supercie de Riemann compacta, de genero gX ,y G un grupo nito de automorsmos de X .

Una 1-forma holomorfa sobre el abierto V C, es una expresion ! de la forma! = f(z)dz, donde f es una funcion analtica en V . En este caso, decimos que ! esuna 1-forma holomorfa en la coordenada z. Para denir una 1-forma holomorfa en unasupercie de Riemann, se hace por medio de cartas, deniendo una 1-forma holomorfaen la imagen de cada carta, que es un abierto de C, pero se necesita una condicionde compatibilidad cuando dos cartas tienen dominios con inteseccion no vaca. Estomotiva la siguiente denicion.

Denicion 1.3.1. Una 1-forma diferencial holomorfa ! en la supercie X , es unacoleccion de 1-formas holomorfas f!'g, una para cada carta ' : U ! V en la coorde-nada del abierto V C, tal que para dos cartas (U1; '1) y (U2; '2), con U1\U2 6= , setiene que la 1-forma asociada a !'1 se transforma a !'2 , bajo el cambio de coordena-das z = T (w) = '1'12 (w), es decir, si !'1 = f(z)dz entonces !'2 = f(T (w))T 0(w)dw.

Denotamos por H1;0(X ;C) al conjunto

H1;0(X ;C) = f! =! es una 1- forma diferencial holomorfa enXg

el cual es un C-espacio vectorial.

Teorema 1.3.2. Sea X una supercie de Riemann compacta de genero gX . Entonces

dimH1;0(X ;C) = gXDemostracion: Ver [FK] pag 60.


Denicion 1.3.3. Sea g 2 G. La accion de g en H1;0(X ;C) se dene por

g(!) = ! g1

donde ! es un 1-forma diferencial en H1;0(X ;C).

As, sea (U;') una carta en X centrada en P , donde la 1-forma diferencial holomorfa! en la coordenada local z de esta carta es f(z)dz. Escojamos una carta (U 0; ) de Xcentrada en g(P ), con g1(U 0) U , donde la coordenada local es t. Entonces g1 enestas coordenadas es de la forma z = h(t) = ' g1 1(t). Luego g(!) en terminosde la coordenada local t es f(h(t))h0(t)dt. Por tanto g(!) es nuevamente una 1-formadiferencial holomorfa en X

La denicion anterior nos da una accion de G en el espacio H1;0(X ;C), dandole aeste espacio estructura de G-modulo. Puesto que:

1. Si e representa el automorsmo identidad, entonces es claro que e(!) = !, paratodo ! 2 H1;0(X ;C):

2. Si g; h 2 G, entonces

(gh)(!) = ! (gh)1 = ! (h1g1) = h(!) g1 = g(h(!))

para todo ! 2 H1;0(X ;C):

La funcion a : G ! GL(H1;0(X ;C)), asociada a la accion de G en H1;0(X ;C), dadapor

a(g)(!) = g(!) = ! g1es una representacion compleja de G, la cual se llama representacion analtica de G.

Ejemplo 1.3.4. Sea X = f(x; y) 2 C2=f(x; y) = x5 + y5 + 1 = 0g una curva planaafn y eX = f[X : Y : Z] 2 CP2= ef(X; Y; Z) = X5 + Y 5 + Z5 = 0gsu clasura proyectiva, la cual es una supercie de Riemann compacta de genero 6.

Sea a([X : Y : Z]) = [15 X : Y : Z], con 5 = e2i=5, un automorsmo de orden

5 de eX , y consideremos G = hai. SeaA =

1

y4dx;

1

y3dx;

1

y2dx;

x

y4dx;

x

y3dx;

x2

y4dx


una base de H1;0( eX ;C).Usando la carta denida en el ejemplo 1.2.5, obtenemos que a1 en coordenadas localeses de la forma

a1 1(x) = (a1([x : g(x) : 1])) = ([5x : g(x) : 1]) = 5x:As la accion de a en los elementos de la base A es

a

1

y4dx

= 5

1

y4dx ; a

1

y3dx

= 5

1

y3dx ; a

1

y2dx

= 5

1

y2dx ;

a

x

y4dx

= 25

x

y4dx ; a

x

y3dx

= 25

x

y3dx ; a

x2

y4dx

= 35

x2

y4dx :

Luego la representacion analtica de G esta dada por

a(a) =

0BBBBBB@5 0 0 0 0 00 5 0 0 0 00 0 5 0 0 00 0 0 25 0 00 0 0 0 25 00 0 0 0 0 35

1CCCCCCA (1.3)

Ahora bien, sean 0; 1; 2; 3; 4 representaciones irreducibles de G, donde

k : a! k5y M(G) = fV0; V1; V2; V3; V4g representantes de los C[G]-modulos irreducibles de G,todos de dimension 1, correspondientes a las representaciones k respectivas.

Luego por (1.3), se tiene que el espacio H1;0( eX ;C) se descompone como G-modulode la siguiente forma

H1;0( eX ;C) ' 0V0 + 3V1 + 2V2 + 1V3 + 0V4:En general, para encontrar la descomposicion en factores irreducibles, de la accion deG en H1;0(X ;C), usaremos el teorema de Chevalley-Weil. Enunciaremos este teorema,en la siguiente situacion.

Sea X una supercie de Riemann compacta, de genero gX , y G un grupo de ordenn de automorsmos de X . Consideremos el cubrimiento


: X ! X =GP [P ]G

de grado deg() = n.

Sean Q1; Q2; :::; Qr puntos rama del cubrimiento y n una raz n-esima primitiva dela unidad ja. Para un divisor e de jGj = n se dene e := n=en , la cual es tambien unaraz e-esima primitiva de la unidad.

Para cada punto rama Qu, con u 2 f1; :::; rg, escojamos Pu un punto de ramicacionde arriba de Qu, es decir (Pu) = Qu. Sea GPu el estabilizador en G de Pu, dondejGPu j = eu. Sea Pu : GPu ! C el caracter dado por Pu(g) = Pu(g1), para g 2 GPu .Es decir, Pu asigna a cada g 2 GPu la constante de rotacion de g en Pu. Como Pu esun homomorsmo inyectivo entonces existe u 2 GPu tal que Pu(u) = Pu(1u ) = eu .Ademas, por el mismo argumento, u es un generador de GPu y es el unico elementoen GPu cuya imagen por Pu es eu .

Observe que si escogemos otro punto de ramicacion fPu en la bra de Qu, enton-ces existe h 2 G tal que h(Pu) = fPu y GfPu = hGPuh1. Por tanto jGfPu j = jGPu j = eu.Sea fPu : GfPu ! C el caracter que asigna a cada eg 2 GfPu la constante de rotacionde eg en fPu, y sea eu el unico elemento generador de GfPu cuya imagen por fPu es eu .Desde que la constante de rotacion de hgh1 en fPu es la misma que la de g en Pu, parag 2 GPu , se tiene que eu = huh1. De hecho el caracter fPu esta relacionado con Pupor fPu(hgh1) = Pu(g). As los u estan en la misma clase de conjugacion. Para masdetalle ver [Na].

Sean f0; 1; :::; sg el conjunto de representaciones irreducibles complejas de G. SeaM(G) = fV0; V1; :::; Vsg el conjunto de representantes de los C[G]-modulos irreduci-bles de G e Irr(G) = f0; 1; :::; sg los caracteres irreducibles de G, asociados a lasrepresentaciones mencionadas respectivas. Considere 0 el caracter de la representaciontrivial de G.

Puesto que G actua en H1;0(X ;C), se tiene que este espacio se descompone comoG-modulo de la siguiente forma

H1;0(X ;C) ' n0V0 + n1V1 + :::+ nsVsdonde nk son enteros no negativos, para k = 0; :::; s:

Por ultimo, [q] para q 2 Q, denota la parte entera.

Con las deniciones y notaciones dadas anteriormente, enunciamos el teorema deChevalley-Weil, que nos proporciona formulas explcitas para las multiplicidades nk.


Teorema 1.3.5 (Chevalley-Weil). Sea X una supercie de Riemann compacta y G ungrupo nito de automorsmos de X . Si k es una representacion irreducible complejade G, entonces la multiplicidad nk de esta representacion, en la descomposicion de larepresentacion analtica de G en H1;0(X ;C) es

nk = dimVk(gX=G1) +rX

u=1

jGPu j1X=0

Nku

jGPuj

+ h0; ki

donde Nku es la cantidad de valores propios en k(u) iguales a jGPu j

, y jGPu j

=

jGPuj

jGPuj

.

Demostracion: Ver [Na].

Si = 0 entonces

jGPuj

= 0. Si 6= 0 entonces

jGPuj

= 1 jGPu j

.

Observe tambien que h0; ki = 0 si k 6= 0, y h0; 0i = 1. Ademas dimV0 = 1.

De lo anterior se desprende que

n0 = gX=G


u=1

jGPu j1X=1

Nku

1 jGPu j

(1.4)

para k = 1; :::; s:

Ejemplo 1.3.6. Sea G = hai un grupo de orden 7. Por teorema de Existencia deRiemann 1.2.12, existe una supercie de Riemann compacta X , de genero gX = 3, queadmite accion de G con rma (0; 7; 7; 7) y vector generador (a; a2; a4).

Consideremos 7 = e2i=7. Sean 0; 1; :::; 6 representaciones irreducibles de G, donde

k : a ! k7 , para k = 0; 1; :::; 6. Sea M(G) = fV0; V1; :::; V6g representantes de losC[G]-modulos irreducibles de G, todos de dimension 1, correspondientes a las repre-sentaciones k respectivas.

Usaremos el teorema de Chevalley-Weyl para determinar la descomposicion de larepresentacion analtica de G en el espacio H1;0(X ;C), de dimension 3.


Tenemos que n0 = gX=G = 0. Por (1.4) se tiene que

nk = 1 +3X

u=1

6X=1

Nku

1

7

para k = 1; :::; 6. As

n1 = 1 +1 1

7

+

1 2

7

+

1 4

7

= 1

n2 = 1 +1 2

7

+

1 4

7

+

1 1

7

= 1

n3 = 1 +1 3

7

+

1 6

7

+

1 5

7

= 0

n4 = 1 +1 4

7

+

1 1

7

+

1 2

7

= 1

n5 = 1 +1 5

7

+

1 3

7

+

1 6

7

= 0

n6 = 1 +1 6

7

+

1 5

7

+

1 3

7

= 0

Por lo anterior obtenemos que

a(a) =

0@ 7 0 00 27 00 0 47

1Ay por tanto la descomposicion de H1;0(X ;C) como G-modulo es

H1;0(X ;C) ' V1 + V2 + V4:

Tambien sabemos por teorema de Existencia de Riemann 1.2.12, que existe una super-cie de Riemann compacta eX con accion de G, de genero gX = 3 con rma (0; 7; 7; 7)y vector generador (a; a; a5), la cual no es conformemente isomorfa a X . Del mismomodo usando el teorema de Chevalley-Weyl, se determina la descomposicion de larepresentacion analtica de G en el espacio H1;0( eX ;C).Tenemos que n0 = gX=G = 0. Por (1.4) se tiene que

nk = 1 +3X

u=1

6X=1

Nku

1

7


para k = 1; :::; 6. As

n1 = 1 + 21 1

7

+

1 5

7

= 1

n2 = 1 + 21 2

7

+

1 3

7

= 1

n3 = 1 + 21 3

7

+

1 1

7

= 1

Como la dimension de H1;0( eX ;C) es 3, se ve facilmente que n4 = n5 = n6 = 0. Por loanterior se tiene que

a(a) =

0@ 7 0 00 27 00 0 37

1A

y por tanto la descomposicion de H1;0( eX ;C) como G-modulo esH1;0( eX ;C) ' V1 + V2 + V3:

Ahora bien, continuando nuestro analisis del teorema de Chevalley-Weil, observemoslo siguiente.

Para GPu consideremos Irr(GPu) = f0 = 1GPu ; 1; :::; jGPu j1g el conjunto de carac-teres irreducibles de GPu . Donde (u) =

jGPu j

, para = 0; 1; :::; jGPuj 1:

As para k 2 Irr(G),

ResGGPu k = a00 + a11 + :::+ ajGPu j1jGPu j1

donde a es entero no negativo para = 0; 1; :::; jGPuj 1:

Luegoa0 = hResGGPu k; 1GPu i = dimV

GPuk (1.5)

Nku = a = hResGGPu k; i (1.6)


para k = 1; :::; s. As obtenemos que


u=1

jGPu j1X=1

a

1 jGPu j

= dimVk(gX=G1) +rX

u=1

jGPu j1X=1

a 1jGPu jjGPu j1X=1

a

:

para k = 1; :::; s. Por otra parte

dimVk = ResGGPu

k(1) =

jGPu j1X=0

a(1):

Pero (1) = 1, para = 0; :::; jGPu j 1. Luego

dimVk =

jGPu j1X=0

a: (1.7)

Por (1.5) y (1.7) concluimos que

jGPu j1X=1

a =

jGPu j1X=0

a a0 = dimVk dimV GPuk :

Por lo tanto


u=1

dimVk dimV GPuk

1

jGPu jjGPu j1X=1

Nku

(1.8)

para k = 1; :::; s.

Sea H1;0(X ;C) el espacio dual de H1;0(X ;C), el cual tiene dimension gX . Para masdetalles ver [BL]. La representacion de la accion de G en el espacio H1;0(X ;C),

a : G! GL(H1;0(X ;C))

esta dada pora(g) = a(g

1)t (1.9)


Sea H1(X ;C) el primer grupo de Homologa de X , el cual tiene dimension 2 gX . Elgrupo G actua en H1(X ;C). Ademas este espacio se descompone como

H1(X ;C) ' H1;0(X ;C)H1;0(X ;C): (1.10)

El siguiente teorema nos da la multiplicidad de cada caracter irreducible de G, en ladescomposicion del caracter de la representacion de G en H1(X;C), en caracteres irre-ducibles.

Teorema 1.3.7 (Broughton). Sea X una supercie de Riemann compacta, de generogX , y G un grupo de automorsmos de X . Sean Q1; Q2; :::; Qr puntos rama del cubri-miento : X ! X =G. Sea H1(X ;C) el caracter de la representacion de G en H1(X ;C),entonces la multiplicidad del caracter irreducible k de G en H1(X ;C) esta dada por

1. h0; H1(X ;C)i = 2 gX=G

2. hk; H1(X ;C)i = (2 gX=G2 + r)k(1)rX

u=1

dimVGPuk

Donde GPu es el estabilizador de algun punto de ramicacion de en la bra de Qu.

Demostracion: Ver [BRT1]

Como G actua en H1;0(X ;C), entonces este espacio se descompone como G-modulo dela siguiente manera

H1;0(X;C) ' n0V0 + n1V1 + :::+ nsVsdonde nk es entero no negativo, para k = 0; :::; s.

Por teorema 1.3.7 y (1.10) tenemos que

n0 + n0 = h0; H1(X ;C)i = 2 gX=G

y como n0 = gX=G, entonces

n0 = gX=G (1.11)


Para k 2 f1; :::; sg se tiene que

nk + nk = hk; H1(X ;C)i

= (2 gX=G2 + r)k(1)rX

u=1

dimVGPuk

= 2(gX=G1) dimVk +rX

u=1

(dimVk dimV GPuk )

Luego usando (1.8) concluimos que


u=1

1

jGPujjGPu j1X=1

Nku

(1.12)

CAPITULO 2

Divisores y el espacio de Riemann-Roch

En este captulo nos centraremos en el concepto de divisor de una supercie deRiemann compacta. Tambien nos referiremos al espacio de Riemann-Roch asociado aun divisor y a algunas de sus propiedades, que seran necesarias para el desarrollo delos captulos siguientes.

Consideraremos X una supercie de Riemann compacta, de genero gX , y K(X ) elcuerpo de funciones meromorfas de X .

2.1. Divisores

En esta seccion trataremos el concepto de divisor y a algunas de sus propiedades.Para mas detalles ver [FK].

Denicion 2.1.1. Un divisor de X es un smbolo formal

D =YP2X

P(P )

donde (P ) 2 Z y (P ) 6= 0 solo para nitos P 2 X .

Para D1 =YP2X

P(P ) y D2 =YP2X

P (P ) dos divisores de X , se dene el producto deellos como

D1D2 =YP2X

P(P )+(P ):

Con este producto el conjunto de los divisores de X , denotado por Div(X ), es un grupoabeliano. Donde la identidad es 1 = P 0 y el inverso esta dado por D11 =

YP2X

P(P ).

32

CAPITULO 2. DIVISORES Y EL ESPACIO DE RIEMANN-ROCH 33

Denicion 2.1.2. Para un divisor D en X , se dene el grado de D comoDeg(D) =

XP2X

(P ):

Claramente se puede establecer un homomorsmo Deg : Div(X ) ! Z, del grupomultiplicativo de los divisores de X sobre el grupo aditivo de los enteros.

Debido a la compacidad de X , el conjunto de ceros y polos de una funcion mero-morfa f 6= 0 en K(X ) es nito, esto nos permite denir el siguiente divisor asociado af .

Denicion 2.1.3. Sea f una funcion meromorfa, no nula en X . El divisor principalasociado a f , se dene como

div(f) =YP2X

P ordP f :

Del mismo modo, por la compacidad de X , se tiene queDeg(div(f)) =

XP2X

ordPf = 0:

La razon es la siguiente, a partir de f podemos denir una funcion holomorfaF : X ! bC entre supercies de Riemann compactas, donde F (x) = f(x) paratodo x en el cual f es holomorfa, y F (x) = 1 para todo x polo de f . As losceros de F son los ceros de f . Luego el grado de F es deg(F ) =

XP2F1(0)

multP F , y como

es independiente del punto elegido en bC, entonces tambien deg(F ) = XQ2F1(1)

multQ F .

Por tanto0 =

XP2F1(0)

multP F X

Q2F1(1)multQ F =

XP2X

ordP f:

Ademas, se puede establecer un homomorsmo div : K(X ) n f0g ! Div(X ), delgrupo multiplicativo de K(X ) en el subgrupo de los divisores de X de grado cero.Como Div(X ) es un grupo abeliano, entonces la imagen de este homomorsmo, que esel conjunto de los divisores principales de X , es un subgrupo normal de Div(X ). Esteinduce una relacion de equivalencia en los divisores de X , a saber:

Dos divisores D1 y D2 en X son equivalentes, denotado D1 s D2, si y solo si D1D12es principal, es decir si existe f 2 K(X ) n f0g tal que D1D12 = div(f).


Proposicion 2.1.4. Sean D1 y D2 divisores en X tales que D1 s D2. EntoncesDeg(D1) = Deg(D2).

Demostracion: SiD1 s D2, entoncesD1D12 = div(f) para algun f 2 K(X )nf0g.Luego

0 = Deg(div(f)) = Deg(D1D12 ) = Deg(D1)Deg(D2):

Por tanto Deg(D1) = Deg(D2).

De la misma manera que se denen 1-formas holomorfas en la supercie X , se denen1-formas meromorfas en X .

Una 1-forma meromorfa sobre un abierto V C, es una expresion ! de la forma! = f(z)dz, donde f es una funcion meromorfa en V . As decimos que ! es una1-forma meromorfa en la coordenada z. Para denir una 1-forma meromorfa en X , sehace por medio de cartas, deniendo una 1-forma meromorfa en la imagen de cadacarta, que es un abierto de C, pero se necesita una condicion de compatibilidad cuandodos cartas tienen dominios con inteseccion no vaca. Lo anterior motiva la siguientedenicion.

Denicion 2.1.5. Una 1-forma meromorfa ! en la supercie de Riemann X , es unacoleccion de 1-formas meromorfas f!'g, una para cada carta ' : U ! V en la coorde-nada del abierto V C, tal que para dos cartas (U1; '1) y (U2; '2), con U1\U2 6= , setiene que la 1-forma asociada a !'1 se transforma a !'2 , bajo el cambio de coordena-das z = T (w) = '1'12 (w), es decir, si !'1 = f(z)dz entonces !'2 = f(T (w))T 0(w)dw.

Sea ! una 1-forma meromorfa en la supercie X y P un punto de X . Sea (U;') unacarta en centrada en P , donde la 1-forma asociada a esta carta !' es de la formaf(z)dz, con f una funcion meromorfa en z = '(P ) = 0. El orden de ! en P , deno-tado por ordP !, se dene como el orden de f en z = 0. Cabe mencionar que ordP !,esta bien denido, pues es independiente de la carta seleccionada. Ademas una 1-formameromorfa ! es holomorfa en un punto P 2 X , si y solo si ordP ! 0.

Diremos que P es un cero de orden n de !, si ordP ! = n > 0. Tambien diremos que Pes un polo de orden n de !, si ordP ! = n < 0. El conjunto de ceros y polos de una1-forma meromorfa es un conjunto discreto, y como X es compacta se tiene que esteconjunto es nito. Esto nos permite denir el siguiente divisor.


Denicion 2.1.6. Sea ! es una 1-forma meromorfa, no nula en X . Se dene el divisorasociado a !, llamado divisor canonico como

div(!) =YP2X

P ordP !:

Teorema 2.1.7. Sea X es una supercie de Riemann compacta de genero gX , y ! 6= 0una 1-forma meromorfa en X . Entonces

Deg(div(!)) = 2 gX 2

Demostracion: Ver [FK] pag 74.

A continuacion nos referiremos al pullback de un divisor y enunciaremosalgunas propiedades.

Denicion 2.1.8. Sea F : X ! Y una funcion holomorfa, no constante, entre super-cies de Riemann compactas y D =

YQ2Y

Q(Q) un divisor en Y . Se dene el pullback

de D a X , denotado por F (D), como el divisor de X dado por

F (D) =YQ2Y

YP2F1(Q)

PmultP F(Q)

De igual forma, si f : Y ! C es una funcion meromorfa, se dene el pullback de f aX , denotado por F (f), como

F (f) = f Fel cual es una funcion meromorfa en X .

Proposicion 2.1.9. Sea F : X ! Y una funcion holomorfa, no constante, entresupercies de Riemann compactas y f : Y ! C una funcion meromorfa. Entonces

ordP F(f) = multP F ordF (P ) f

Demostracion: Por 1.1.8 existen cartas (U;') en X y (U 0; ) en Y , centradas enP y en F (P ) respectivamente, con F (U) U 0, tal que F localmente es de la forma

w = F '1(z) = zn (2.1)


donde n = multP F . Como f es una funcion meromorfa, entonces su expansion en seriede Laurent en torno a F (P ), con respecto a es

f 1(w) =1X

k=n0

ckwk (2.2)

donde n0 = ordF (P ) f . As por (2.1) y (2.2), se tiene que localmente F(f) = f F ,

alrededor de P es

f F '1(z) = f 1( F '1(z)) =1X

k=n0

ck(zn)k =

1Xk=n0

ckznk

Luego el ordP F(f) = ordP (f F ) = nn0 = multP F ordF (P ) f .

Lema 2.1.10. Sea F : X ! Y un funcion holomorfa, no constante, entre superciesde Riemann compactas y D un divisor en Y. Entonces

1. el pullback F dene un homomorsmo de grupos, F : Div(Y)! Div(X ).2. el pullback de un divisor principal es principal. Es decir, si f es una funcion

meromorfa, no nula, en Y entonces F (div(f)) = div(F (f)) = div(f F ).3. Deg(F (D)) = deg(F )Deg(D).

Demostracion:

1. Es inmediato de la denicion de pullback de un divisor y del producto de divisores.

2. Sea f una funcion meromorfa en Y , tal que div(f) =YQ2Y

Q ordQf . Entonces

F (div(f)) =YQ2Y

YP2F1(Q)

PmultP FordQ f

=YQ2Y

YP2F1(Q)

PmultP F ordF (P ) f

=YP2X

PmultP F ordF (P ) f

Luego por 2.1.9 se tiene queYP2X

PmultP F ordF (P ) f =YP2X

P ordP F(f) = div(F (f)):


3. Como X es compacta, se tiene que jF1(Q)j es nita y ademas es independientedel punto Q 2 Y elegido. Luego

Deg(F (D)) =XQ2Y

XP2F1(Q)

multP F

(Q)

=XQ2Y

deg(F )(Q)

= deg(F )XQ2Y

(Q)

= deg(F )Deg(D)

Denicion 2.1.11. Un divisor D =YP2X

P(P ) de X se llama efectivo, si (P ) 0para todo P 2 X . Este caso se denota por D 1.

Observacion 2.1.12. Lo anterior dene un orden parcial en los divisores, esto es:

D1 D2 si y solo si D1D12 1.

Denicion 2.1.13. Sea F : X ! Y una funcion holomorfa, no constante, entre su-percies de Riemann compactas. Se dene el divisor de ramicacion de F , denotadoRam(F ), como el divisor de X dado por

Ram(F ) =YP2X

P (multP F1)

Observe que el divisor de Ramicacion de F es un divisor efectivo.

Sea F : X ! Y una funcion holomorfa, no constante, entre supercies de Riemanncompactas y ! 6= 0 una 1-forma meromorfa en Y . Sea (U 0; ) una carta en Y , donde !en la coordenada local z de esta carta, es de la forma ! = f(z)dz, con f una funcionmeromorfa en V 0 = (U 0). Escojamos una carta (U;') de X tal que F (U) U 0, dondela coordenada local de esta carta es t. As F en estas coordenadas es de la formaz = h(t) = F '1(t). Luego el pullback de !, denotado por F (!), se dene comola 1-forma meromorfa en X , tal que con respecto la coordenada local t es de la formaF (!)' = f(h(t))h0(t)dt.


Lema 2.1.14. Sea F : X ! Y una funcion holomorfa, no constante, entre superciesde Riemann compactas y ! 6= 0 una 1-forma meromorfa en Y. Entonces

div(F (!)) = F (div(!)) Ram(F )Demostracion: Ver [M], pag 135.

Observe que el pullback de un divisor canonico no necesariamente es canonico.

2.2. El espacio de Riemann-Roch

Sea X una supercie de Riemann compacta de genero gX . Considere f una funcionmeromorfa, no nula, en K(X ) y D un divisor de X tal que

div(f) =YP2X

P ordP f D =YP2X

P(P ):

Entonces ordPf (P ), para todo P en X .

Luego f es holomorfa en todos los puntos P donde (P ) 0. Ademas, f tieneceros en los puntos P donde (P ) > 0 y el orden del cero es mayor o igual que (P ).Tambien se concluye, que f puede tener polos en los puntos P tales que (P ) < 0 y elorden del polo debe ser a lo mas (P ).

A continuacion deniremos el espacio vectorial de funciones meromorfas, con polosacotados por el divisor D, el cual se denomina Espacio de Riemann-Roch.

Denicion 2.2.1. Sea X una supercie de Riemann compacta y D un divisor de X .Se dene el espacio de Riemann-Roch L(D), como

L(D) = ff 2 K(X )= div(f) D1g [ f0g:

Claramente L(D) es un espacio vectorial. Ademas, un hecho conocido es quela dimension de L(D), como C-espacio vectorial es nita.

Las siguientes proposiciones dan cuenta de algunas propiedades del espacio L(D).

Proposicion 2.2.2. Sean D1; D2 2 Div(X ). Si D1 D2 entonces L(D2) L(D1):Demostracion: Sea f 2 L(D2), entonces div(f) D12 . Como D1 D2, se tiene

que D12 D11 . Luego div(f) D11 y por tanto f 2 L(D1).


Proposicion 2.2.3. L(1) = C.Demostracion: Sea 0 6= f 2 L(1), entonces div(f) 1 y por tanto ordP f 0

para todo P 2 X . Luego f es holomorfa. Como X es compacta se tiene que f esconstante. Por tanto L(1) = C.

Proposicion 2.2.4. Sea D un divisor de X tal que Deg(D) < 0. Entonces L(D) = f0g.

Demostracion: Sea D =YP2X

P(P ) un divisor de X tal que Deg(D) =XP2X

(P ) < 0,

y f 6= 0 una funcion en L(D). Luego div(f) =YP2X

P ordP f D1 =YP2X

P(P ), y por

tanto ordP f (P ) para todo P 2 X . Como X es compacta se tiene que

0 =XP2X

ordP f XP2X

(P ) = Deg(D) > 0

lo cual es una contradiccion. Por lo tanto L(D) = f0g:

El conocido teorema de Riemann-Roch, nos da la dimension del espacio vectorial L(D).

Teorema 2.2.5 (Riemann-Roch). Sea X una supercie de Riemann compacta degenero gX y D un divisor de X . Entonces

dimL(D) = Deg(D) gX +1 + dim(D)

donde (D) es el espacio vectorial dado por

(D) = f! =! es una 1-forma meromorfa tal que div(!) Dg

Demostracion: Ver [FK] pag 75.

Observacion 2.2.6. El espacio (1) = H1;0(X ). Puesto que si 0 6= ! 2 (1), entoncesdiv(!) =

YP2X

P ordP ! 1. Luego ordP ! 0 para todo P 2 X , y por tanto ! es una1-forma holomorfa en X . Ademas dim(1) = gX .


Proposicion 2.2.7. Sean D1 y D2 dos divisores de X tales que D1 s D2. EntoncesdimL(D1) = dimL(D2):Demostracion: Sean D1 y D2 divisores de X tales que D1 s D2, luego existe0 6= f 2 K(X ) tal que div(f) = D1D12 . Si h es una funcion en L(D1), enton-ces div(h) D11 , luego div(hf) = div(h) div(f) D11 D1D12 = D12 . Por tantohf 2 L(D2).

Consideremos la funcion ' : L(D1) ! L(D2) dada por '(h) = hf . Es facil ver que' es una transformacion lineal. Ademas ' es inyectiva, ya que si h 2 ker' entonces'(h) = hf = 0. Luego h = 0 puesto que f 6= 0. Tambien ' es sobreyectiva, ya que sig 2 L(D2) se tiene que div(g) D12 . Como f 6= 0, consideremos gf 2 K(X ),as div( g

f) = div(g) div(f)1 D12 (D1D12 )1 = D11 . Por tanto gf 2 L(D1). Luego

'( gf) = g. Se concluye que ' es un C-isomorsmo y por tanto dimL(D1) = dimL(D2).

Lema 2.2.8. Sean !1 y !2 1-formas meromorfas de una supercie de Riemann com-pacta X , con !1 6= 0. Entonces existe una unica funcion meromorfa f 2 K(X ) tal que!2 = f!1.


Teorema 2.2.9. Sea D un divisor en X y K = div(!) un divisor canonico, donde! 6= 0 es una 1-forma meromorfa en X . Entonces

dimL(D1K) = dim(D):

Demostracion: SeaK = div(!) un divisor canonico, donde ! 6= 0 es una 1-forma me-romorfa en X . Sea 2 (D), por 2.2.8 se tiene que

!2 K(X ). Luego

div( !) = div() div(!)1 D div(!)1 = (D1K)1. As

!pertenece a L(D1K).

Consideremos la funcion ' : (D) ! L(D1K) dada por '() = !. Se puede probar

facilmente que ' es una transformacion lineal inyectiva. Sea g 2 L(D1K), entoncesdiv(g) D div(!)1. Sea 0 = g! una 1-forma meromorfa en X , luegodiv(g!) D div(!)1 div(!) = D. As 0 2 (D). Como '(0) = '(g!) = g, seconcluye que ' es sobreyectiva. Luego ' es un isomorsmo de espacios vectoriales. Porlo tanto dimL(D1K) = dim(D).


Corolario 2.2.10. Sean D1 y D2 dos divisores de X tales que D1 s D2. Entoncesdim(D1) = dim(D2).

Demostracion: Sean D1 y D2 divisores de X tales que D1 s D2, entonces existe0 6= f 2 K(X ) tal que D1D12 = div(f). Luego D11 D2 = div(f)1 = div( 1f ) y portanto D11 K s D12 K para K = div(!) divisor canonico, donde ! 6= 0 es una 1-formameromorfa. Luego por 2.2.9 y 2.2.7 se concluye que

dim(D1) = dimL(D11 K) = dimL(D12 K) = dim(D2):

Ahora bien, sea K un divisor canonico de X . Por 2.1.7 sabemos que Deg(K) = 2 gX 2y por 2.2.9 se tiene que dim(K) = dimL(K1K) = dimL(1) = 1. Luego

dimL(K) = Deg(K) gX +1 + dim(K) = 2 gX 2 gX +1 + 1 = gX :

Es conocido que L(K) es isomorfo como C-espacio vectorial al espacio H1;0(X ;C), delas 1-formas diferenciales holomorfas de X .

2.3. Divisores no especiales

Sea X una supercie de Riemann compacta de genero gX , y sea G un grupo nitode automorsmos de X .

Denicion 2.3.1. Un divisor D de X se dice no especial si dimL(D1K) = 0, paraK un divisor canonico de X .

Si D es un divisor de X no especial, entonces por 2.2.9 se tiene que

dim(D) = dimL(D1K) = 0

para K divisor canonico de X . Luego por 2.2.5 se concluye que

dimL(D) = Deg(D) gX +1 (2.3)


Ahora bien, considereremos el cubrimiento

: X ! X =GP [P ]G

de grado deg() = jGj.

Sea D0 =Y

Q2X=GQ(Q) un divisor de X=G y sea D el pullback de D0 por , es decir

D = (D0) =Y

Q2X=G

YP21(Q)

PmultP (Q)

el cual es un divisor X .

Como X es compacta, entonces por lema 2.1.10 obtenemos que

Deg(D) = deg()Deg(D0) = jGjDeg(D0): (2.4)

La siguiente proposicion da cuenta de una condicion para que el divisor D seano especial.

Proposicion 2.3.2. Sea : X ! X=G la proyeccion canonica y D un divisor deX , cual es el pullback de un divisor D0 de X=G. Si Deg(D0) > 2 gX 2jGj entoncesD = (D0) es un divisor no especial de X .

Demostracion: Sea D0 2 Div(X=G) tal que Deg(D0) > 2 gX 2jGj . Sea ! 6= 0 una1-forma meromorfa en X y K = div(!). Entonces

Deg(D1K) = Deg(D) + Deg(K):

Por (2.4) sabemos que Deg(D) = jGjDeg(D0), y por teorema 2.1.7 se tiene queDeg(K) = 2 gX 2, luego

Deg(D1K) = jGjDegD0 + 2 gX 2 < 0:Se concluye por 2.2.4 que L(D1K) = f0g y por tanto D es un divisor no especial.

CAPITULO 3

Accion de grupo sobre el espacio deRiemann-Roch

En este captulo estudiaremos la accion inducida por un grupo nito de automor-smos, de una supercie de Riemann compacta, sobre el espacio de Riemann-Rochde un divisor D invariante por la accion del grupo. Centraremos nuestra atencion endivisores no especiales, que son el pullback de un divisor de la supercie cociente porla accion del grupo. Nuestro interes es obtener la multiplicidad de las representacionesirreducibles del grupo, en la descomposicion de su accion sobre el espacio L(D).

3.1. Accion en L(D)Consideremos X una supercie de Riemann compacta, K(X ) el cuerpo de funciones

meromorfas de la supercie y G un grupo nito de automorsmos de X .Denicion 3.1.1. Sea g 2 G. La accion de g en K(X ), se dene como

f g = f g1

donde f es una funcion meromorfa de K(X ).

En efecto lo anterior dene una accion de G sobre K(X ), puesto que1. Si e es el automorsmo identidad, entonces f e = f para todo f 2 K(X ).2. Sean g; h 2 G y f 2 K(X ), entonces

f gh = f (gh)1 = f (h1g1) = (f h1) g1 = (fh) g1 = (fh)g:

43

CAPITULO 3. ACCION DE GRUPO SOBRE EL ESPACIO DE R-R 44

De igual manera, el grupo G actua sobre el grupo de los divisores de X . ParaD =

YP2X

P (P ) un divisor en Div(X ) y g un automorsmo en G, la accion de Gen Div(X ) esta dada por

g(D) =YP2X

g(P )(P ):

Proposicion 3.1.2. Sea f 6= 0 una funcion en K(X ) y g 2 G. Entoncesdiv(f g) = g(div(f)).

Demostracion: Sea g 2 G y f 2 K(X ). Como g es una biyeccion, se tiene que

g(div(f)) = g

YP2X

P ordP f=YP2X

g(P )ordP f =YP2X

P ordg1(P ) f =YP2X

P ordP fg1

= div(f g)

Considere D un divisor de X y f 6= 0 una funcion en L(D). Entonces div(f) D1.Como G actua en Div(X ), se tiene que

g(div(f)) g(D)1

para todo g 2 G. Luego por proposicion 3.1.2 se obtiene que

div(f g) g(D)1:

Por lo tanto f g 2 L(g(D)).

Observacion 3.1.3. Si D es un divisor invariante por la accion del grupo G, es decir sig(D) = D para todo g 2 G, entonces L(g(D)) = L(D) para todo g 2 G. Por tanto Gactua sobre el espacio L(D), dandole estructura de K[G]-modulo.

3.2. Levantamiento de Divisores

Sea X una supercie de Riemann compacta, de genero gX , y sea G un grupo nitode automorsmos de X . Considereremos el cubrimiento

: X ! X =GP [P ]G


de grado deg() = jGj.

Sea D0 =Y

Q2X=GQ(Q) un divisor de X=G tal que su pullback D = (D0), dado por

D = (D0) =Y

Q2X=G

YP21(Q)

PmultP (Q)

es un divisor no especial de X .

Como multP = jGP j, donde GP es el estabilizador de P en G, y los estabilizadoresde los puntos en 1(Q) son conjugados, entonces multPi = multPj para todo Pi; Pjen 1(Q). Luego D es un divisor invariante por la accion de G y por tanto G actuasobre el espacio L(D), dotandolo de estructura de K[G]-modulo.

Dado que X es compacta, por lema 2.1.10 se tiene que

Deg(D) = deg()Deg(D0) = jGjDeg(D0): (3.1)

Ademas como D es un divisor no especial, se tiene por (2.3) que

dimL(D) = Deg(D) gX +1 = jGjDeg(D0) gX +1: (3.2)

Nuestro proposito es, dada una representacion irreducible compleja de G y V elC[G]-modulo donde se realiza esta representacion, encontrar la multiplicidad de Ven la descomposicion en factores irreducibles de la accion de G en L(D). Estamosinteresados en exhibir formulas explcitas para describir dicha multiplicidad.

Sean 0; 1; :::; s las representaciones irreducibles complejas de G. ConsideremosM(G) = fV0; V1; :::; Vsg representantes de los C[G]-modulos irreducibles de G y elconjunto Irr(G) = f0; 1; :::; sg de caracteres irreducibles de G, correspondientes alas representaciones k respectivamente. Aqu 0 = 1G es el caracter trivial de G.

As la accion de G sobre el espacio L(D), se descompone en G-modulos irreduciblescomo

L(D) ' m0V0 +m1V1 + :::+msVsdonde los numeros mk son enteros no negativos, para k = 0; 1; :::; s. Ademas si


L(D) es el caracter de la representacion de G en L(D), se tiene que

L(D) = m00 +m11 + :::+mss:

Proporcionaremos formulas explcitas para determinar los coecientes mk.

Observemos lo siguiente. Sea H1;0(X ;C), el espacio dual del espacio de las 1-formasanalticas H1;0(X ;C). El caracter de la representacion de G en este espacio, a , sedescompone como

a = n00 + n

11 + :::+ n

ss

donde nk es un entero no negativo, para k = 0; 1; :::; s. La formula dada en (1.11) y(1.12) nos permite determinar de manera explcita los coecientes nk.

Ademas

gX = dimH1;0(X ;C) = a(1) =sX

k=0

nk dimVk (3.3)

Por otra parte, sea regG el caracter de la representacion regular de G. Luego

regG = dimV00 + dimV11 + :::+ dimVss:

Por tanto

jGj = regG(1) =sX

k=0

(dimVk)2: (3.4)

Luego sustituyendo (3.3) y (3.4) en (3.2) obtenemos que

sXk=0

mk dimVk = dimL(D) = Deg(D0)sX

k=0

(dimVk)2

sXk=0

nk dimVk + 1:

Como dimV0 = 1 y por (1.11) se tiene que n0 = gX=G, entonces sustituyendo esto en

lo anterior, resulta que

sXk=0

mk dimVk = m0+sX

k=1

mk dimVk = Deg(D0)gX=G+1+sX

k=1

(Deg(D0) dimVknk) dimVk


En las proximas paginas probaremos que

m0 = Deg(D0) gX=G+1

mk = Deg(D0) dimVk nk(3.5)

para k = 1; :::; s. Y por tanto tambien probaremos que

L(D) = deg(D0)regG a + 0 (3.6)

Ejemplo 3.2.1. Sea X = f(x; y) 2 C2=f(x; y) = x5 + y5 + 1 = 0g una curva planaafn y eX = f[X : Y : Z] 2 CP2= ef(X; Y; Z) = X5 + Y 5 + Z5 = 0gsu clasura proyectiva, la cual es una supercie de Riemann compacta de genero 6.

Sea a([X : Y : Z]) = [15 X : Y : Z], con 5 = e2i=5, un automorsmo de orden 5 deeX , y sea G = hai. Consideremos el cubrimiento ramicado

: X ! X =GP [P ]G

grado 5, cuyos puntos de ramicacion son

P0 = [0 : : 1]; P1 = [0 : 5 : 1]; P2 = [0 : 25 : 1]; P3 = [0 :

35 : 1]; P4 = [0 :

45 : 1];

donde = ei=5. Sean fQk = [Pk]G = k = 0; 1; :::; 4g los puntos rama del cubrimiento yGPk = G el estabilizador del punto de ramicacion Pk.

Por la formula de Riemann-Hurwitz 1.2.9 se tiene que g eX=G = 0.Sea D0 = Q

30 = [P0]

3G un divisor en

eX=G. ComoDeg(D0) = 3 >

2 g eX 2jGj =

2 6 25

= 2


entonces por 2.3.2, se tiene que D = (D0) es un divisor no especial de eX . SeaD = (D0) =

YP21(Q0)

(PmultP )3 = P 150 = [0 : : 1]15:

Luego el espacio de Riemann-Roch asociado a este divisor es

L(D) = fF 2 K( eX )= div(F ) [0 : : 1]15g [ f0gy su dimension es

dimL(D) = Deg(D) g eX +1 = 15 6 + 1 = 10:Si 0 6= F 2 L(D) entonces div(F ) =

YP2 eX

P ordP F [0 : : 1]15. De lo que se concluye

que F es holomorfa en todo P 6= [0 : : 1], con P 2 eX , y que F puede tener un polode orden a lo mas 15 en [0 : : 1]. Ademas, si F es holomorfa en todo punto de eX ,claramente F pertenece a L(D), luego como eX es compacta se tiene que F es constante.Consideremos el siguiente conjunto de funciones en K(X ).

B =1;

Z

Y Z ;Z2

(Y Z)2 ;Z3

(Y Z)3 ;X

Y Z ;XZ

(Y Z)2 ;XZ2

(Y Z)3 ;X2

(Y Z)2 ;X2Z

(Y Z)3 ;X3

(Y Z)3:

Observamos que las funciones denidas en B tienen un unico polo en P0 = [0 : : 1],a excepcion de la funcion constante F1([X : Y : Z]) = 1. Ahora indicaremos el ordendel polo en P0 de cada una de estas funciones.

1. F2([X : Y : Z]) =Z

Y Z tiene un polo de orden 5 en P0.

2. F3([X : Y : Z]) =Z2

(Y Z)2 tiene un polo en P0 de orden 10.

3. F4([X : Y : Z]) =Z3

(Y Z)3 tiene en P0 un polo de orden 15.

4. F5([X : Y : Z]) =X

Y Z tiene un polo de orden 4 en P0.

5. F6([X : Y : Z]) =XZ



6. F7([X : Y : Z]) =XZ2

(Y Z)3 tiene un polo de orden 14 en P0.

7. F8([X : Y : Z]) =X2


8. F9([X : Y : Z]) =X2Z

(Y Z)3 tiene P0 un polo de orden 13.

9. F10([X : Y : Z]) =X3

(Y Z)3 tiene un polo de orden 12 en P0.

Por lo anterior se concluye que B L(D). Como todas las funciones en B tienen polode distinto orden en P0, entonces B es un conjunto linealmente independiente. Ademas,como la cardinalidad de B es 10, la cual coincide con la dimension de L(D), concluimosque B es una base de L(D).

Sean 0; 1; 2; 3; 4 representaciones irreducibles de G, donde k : a ! k5 . SeanM(G) = fV0; V1; V2; V3; V4g representantes de los C[G]-modulos irreducibles de G,todos de dimension 1, correspondientes a las representaciones k respectivamente.

La accion de a en los elementos de la base B de L(D) esta dada por

F ai ([X : Y : Z]) = Fi a1([X : Y : Z]) = Fi([5X : Y : Z]) (3.7)

para i = 1; 2; :::; 10. As

F a1 = F1 Fa2 = F2. F

a3 = F3. F

a4 = F4 F

a5 = 5F5

F a6 = 5F6 Fa7 = 5F7 F

a8 =

25F8 F

a9 =

25F9 F

a10 =

35F10

Luego si L(D) : G! GL(L(D)) es la representacion de G en L(D), entonces

L(D)(a) =

0BBBBBBBBBBBBBB@

1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 5 0 0 0 0 00 0 0 0 0 5 0 0 0 00 0 0 0 0 0 5 0 0 00 0 0 0 0 0 0 25 0 00 0 0 0 0 0 0 0 25 00 0 0 0 0 0 0 0 0 35

1CCCCCCCCCCCCCCA


As, la accion de G sobre el espacio L(D), se descompone en G-modulos irreduciblescomo

L(D) ' 4V0 + 3V1 + 2V2 + V3: (3.8)

Ahora bien, por el ejemplo 1.3.4 se tiene que la accion de G en el espacio H1;0( eX ;C),se descompone en G-modulos irreducibles como

H1;0( eX ;C) ' 0V0 + 3V1 + 2V2 + 1V3 + 0V4:Luego por (1.9) y dado que todas las representaciones de G son de grado 1, se obtiene

que la descomposicion de la accion G, en el espacio H1;0(eX;C) esH1;0( eX ;C) ' 0V0 + 0V1 + 1V2 + 2V3 + 3V4 (3.9)

Reemplazando los datos obtenidos en (3.5) obtenemos que

m0 = Deg(D0) gX=G+1 = 3 0 + 1 = 4m1 = Deg(D0) dimV1 n1 = 3 1 0 = 3m2 = Deg(D0) dimV2 n2 = 3 1 1 = 2m3 = Deg(D0) dimV3 n3 = 3 1 2 = 1m4 = Deg(D0) dimV4 n4 = 3 1 3 = 0

lo cual coincide con la descomposicion de L(D) obtenida en (3.8).Para nuestro proposito consideremos la siguiente denicion.

Denicion 3.2.2. El modulo de ramicacion del cubrimiento : X ! X =G se denecomo el modulo asociado al caracter

G =X

P2XramIndGGP

jGP j1X=1

P

donde Xram es el conjunto de todos los puntos de ramicacion del cubrimiento yP : GP ! C el caracter dado por P (g) = P (g1), para g 2 GP . Es decir Pasigna a cada g 2 GP la constante de rotacion de g en P .Ahora bien, sea VG un C[G]-modulo donde se realiza G. Sean Q1; Q2; :::; Qr pun-tos rama del cubrimiento, Pu punto de ramicacion arriba del punto rama Qu, con


u 2 f1; :::; rg, y GPu el estabilizador en G de Pu. Entonces la dimension de VG es

dimVG = G(1)

=rX

u=1

jG : GPuj IndGGPu jGPu j1X

=1

Pu

(1)

=rX

u=1

jG : GPuj2jGPu j1X=1

=rX

u=1

jG : GPuj2(jGPu j 1)jGPuj

2

=jGj2

rXu=1

jG : GPu j(jGPu j 1)

=jGj22

rXu=1

1 1jGPuj

En resumen

dimVG =jGj22

rXu=1

1 1jGPuj

(3.10)

Teorema 3.2.3. Sea X una supercie de Riemann compacta y G un grupo nito deautomorsmos de X . Entonces existe un unico K[G]-modulo VeG tal que

VG ' VeG ::: VeG| {z }jGj veces

= jGjVeG

Demostracion: Ver [Ka].

Luego usando (3.10) se concluye que

dimVeG = jGj2rX

u=1

1 1jGPu j

(3.11)

que es el numero asociado a la ramicacion del cubrimiento.


Ejemplo 3.2.4. Sea G = hai un grupo de orden 7. Por teorema de Existencia deRiemann 1.2.12, existe una supercie de Riemann compacta X , de genero gX = 3, queadmite accion de G con rma (0; 7; 7; 7) y vector generador (a; a; a5).

Consideremos 7 = e2i=7. Sean 0; 1; :::; 6 representaciones irreducibles de G, donde

k : a ! k7 , para k = 0; 1; :::; 6. Sea M(G) = fV0; V1; :::; V6g representantes de losC[G]-modulos irreducibles de G, todos de dimension 1, y el conjuntoIrr(G) = f0; 1; :::; 6g de caracteres irreducibles de G correspondientes a las re-presentaciones k respectivamente.

El cubrimiento tiene tres puntos rama y cada uno de ellos tiene unico punto de ra-micacion arriba de el, cada uno con estabilizador de orden 7. Sean P1, P2 y P3 losrespectivos puntos de ramicacion, ordenados en el sentido del vector generador. As delvector generador obtenemos la siguiente informacion:

1. GP1 = hai, donde P1(a) = 72. GP2 = hai, donde P2(a) = 73. GP3 = ha5i, donde P3(a5) = 7

Ahora calcularemos el caracter de ramicacion G.

G = 2(1 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66) + 3 + 26 + 32 + 45 + 51 + 64

= 71 + 72 + 73 + 144 + 145 + 146

= 7(1 + 2 + 3 + 24 + 25 + 26):

Luego como jGj = 7 y por la unicidad de VfG , se tiene por lo anterior que el caracter,fG, correspondiente a la accion de G en VfG esfG = 1 + 2 + 3 + 24 + 25 + 26:Observe que dimVfG = fG(1) = 9, lo cual coincide con

jGj2

3Xu=1

1 1jGPu j

=

7

23

1 1

7

= 9:

Una interesante relacion entre el modulo de ramicacion y la representacion analticade la accion de G sobre la curva, es dada por el siguiente teorema.


Teorema 3.2.5. Sea X una supercie de Riemann compacta y G un grupo nito deautomorsmos de X . Si a es el caracter de la representacion analtica de G, entonces

a = 0 + (gX=G1)regG + eGdonde eG es el caracter asociado al K[G]-modulo dual de VfG.

Demostracion: Ver [Ka].

Observe que del teorema anterior se desprende la siguiente relacion entre el caracter,a, de la representacion de G en H1;0(X ;C) y el modulo de ramicacion.

a = 0 + (gX=G1)regG + eG:Por tanto eG = a + (1 gX=G)regG 0:Ahora, si eG se descompone en irreducibles comoeG = b00 + b11 + :::+ bssdonde bk es un entero no negativo, para k = 0; 1; :::; s. Entonces

bk = heG; ki= ha; ki+ (1 gX=G)hregG; ki h0; ki= nk + (1 gX=G) dimVk h0; ki

Como dimV0 = 1 y por (1.11) se tiene que n0 = gX=G, se concluye que

b0 = heG; 0i = gX=G+(1 gX=G) 1 = 0 (3.12)Y tambien que

bk = heG; ki = nk + (1 gX=G) dimVk (3.13)para k = 1; ::; s.


Ademas, por (1.12) se tiene que


u=1

1

jGPujjGPu j1X=1

Nku

Luego sustituyendo lo anterior en (3.13), se obtiene que

bk =rX

u=1

1

jGPujjGPu j1X=1

Nku

para k = 1; :::; s.

Una aplicacion de la formula equivariante de Riemann-Roch dada por Borne, ver [B],[JK], para un divisor D no especial de X , el cual es el pullback de un divisor D0 deX=G, es la siguiente.

Lema 3.2.6 (Formula equivariante de Riemann-Roch). Sea X una supercie de Rie-mann compacta, G un grupo nito de automorsmos de X y D un divisor no especialde X , tal que es el pullback de un divisor D0 de X=G. Entonces el caracter virtual deL(D) es

L(D) = (1 gX=G)regG +Deg(D0)regG eGDemostracion: Ver [B] y [JK].

Con estos previos estamos en condiciones de probar las formulas dadas en (3.5) y (3.6).

Teorema 3.2.7. Sea X una supercie de Riemann compacta sobre C y sea G un gruponito de automorsmos de X . Considere D un divisor no especial de X , tal que es elpullback de un divisor D0 en X=G. Sea k un caracter irreducible complejo de G y Vkun C[G]-modulo irreducible asociado a este caracter. Entonces la multiplicidad mk delmodulo Vk, en la descomposicion en factores irreducibles de la accion de G sobre L(D)es:

1. Si 0 es el caracter trivial, entonces

m0 = Deg(D0) gX=G+1

2. Si k es un caracter irreducible no trivial, entonces

mk = Deg(D0) dimVk nk


Demostracion: Sea k un caracter irreducible complejo de G y Vk unC[G]-modulo asociado al caracter k.

Por lema 3.2.6, se tiene que

mk = hL(D); ki = (Deg(D0) gX=G+1)hregG; ki heG; kiAs

mk = (Deg(D0) gX=G+1) dimVk heG; ki (3.14)Como dimV0 = 0 y por (3.12) se tiene que heG; 0i = 0, se concluye que

m0 = Deg(D0) gX=G+1:

Si k es un caracter irreducible no trivial, entonces por (3.13) se tiene que

heG; ki = nk + (1 gX=G) dimVkLuego sustituyendo lo anterior en (3.14) se tiene que

mk = (Deg(D0) gX=G+1) dimVk (nk + (1 gX=G) dimVk)= Deg(D0) dimVk nk

Del teorema anterior se desprenden los siguientes corolarios.

Corolario 3.2.8. Sea X una supercie de Riemann compacta sobre C y sea G ungrupo nito de automorsmos de X . Considere D un divisor no especial de X , tal quees el pullback de un divisor D0 en X=G. Entonces el caracter complejo, L(D), de laaccion de G en L(D) esta dado por

L(D) = Deg(D0)regG a + 0

Demostracion: Sean 0; 1; :::; s caracteres irreducibles complejos de G yM(G) = fV0; V1; :::; Vsg representantes de los C[G]-modulos irreducibles asociadosa los caracteres k, respectivamente. Entonces

L(D) = m00 +m11 + :::+mss


donde por 3.2.7 se tiene que

L(D) = (Deg(D0) gX=G+1)0 +sX

k=1

(Deg(D0) dimVk nk)k

Como dimV0 = 1 y por (1.11) se tiene que n0 = gX=G, entonces aplicando esto en lo

anterior resulta

L(D) =sX

k=0

(Deg(D0) dimVk)k sX

k=0

nkk + 0

= Deg(D0)sX

k=0

dimVkk sX

k=0

nkk + 0

= Deg(D0)regG a + 0

Corolario 3.2.9. Sea X una supercie de Riemann compacta, G un grupo nito deautomorsmos de X y D un divisor no especial de X , tal que es el pullback de undivisor D0 de X=G. Si Vk es un modulo irreducible de G, entonces la multiplicidad deVk en la descomposicion de la accion de G en L(D) esta dada por

mk = (Deg(D0) gX=G+1) dimVk rX

u=1

jGPu j1X=1

NkujGPu j

:

Donde Q1; Q2; :::; Qr son los puntos rama del cubrimiento : X ! X=G y GPu es elestabilizador de un punto de ramicacion Pu arriba de Qu.

Demostracion: Si Vk es el modulo trivial, es claro que satisface la propiedad. Si Vkes un modulo irreducible no trivial de G, entonces por (1.12) su multiplicidad en ladescomposicion en factores irreducibles, de la accion de G sobre H1;0(X ;C) es


u=1

1

jGPujjGPu j1X=1

Nku

Luego sustituyendo lo anterior en la ecuacion proporcionada en 3.2.7, se tiene que

mk = Deg(D0) dimVk nk

= Deg(D0) dimVk dimVk(gX=G1) +

rXu=1

1

jGPu jjGPu j1X=1

Nku

= (Deg(D0) gX=G+1) dimVk rX

u=1

jGPu j1X=1

NkujGPuj

:


Ahora bien, sea L(D) el caracter de la representacion de la accion de G sobre el espacio

dual de L(D), denotado por L(D). Por 3.2.8 se tiene que

L(D) = Deg(D0)regG a + 0Luego

L(D) + L(D) = 2Deg(D0)regG a a + 20

Como el caracter de la accion deG en el primer grupo de Homologa, H1(X ;C) = a+a

se concluye que

L(D) + L(D) = 2Deg(D0)regG H1(X ;C) + 20

y por tanto este caracter es racional.

Se tiene que L(D) + L(D) se descompone en irreducibles como

L(D) + L(D) = a00 + a11 + :::+ ss

donde

ak = hL(D) + L(D); ki = 2Deg(D0)hregG; ki hH1(X ;C); ki+ 2h0; ki:

para k = 0; 1; :::; s.

Sean Q1; Q2; :::; Qr los puntos rama del cubrimiento : X ! X=G y GPu el estabi-lizador de un punto de ramicacion Pu arriba de Qu. Por 1.3.7 se obtiene que

a0 = 2(Deg(D0) gX=G+1) (3.15)y tambien que

ak = 2(Deg(D0) gX=G+1) dimVk r dimVk rX

u=1

dimVGPuk

= 2(Deg(D0) gX=G+1) dimVk rX

u=1

(dimVk dimV GPuk ) (3.16)


para k = 1; :::; s.

Luego por lo anterior, resulta que

dimL(D) + dimL(D) = L(D)(1) + L(D)(1)

=sX

k=0

2(Deg(D0) gX=G+1) dimVk

rXu=1

(dimVk dimV GPuk )!dimVk

Como dimL(D) = dimL(D), se concluye que

dimL(D) =sX

k=0

(Deg(D0) gX=G+1) dimVk

1

2

rXu=1

(dimVk dimV GPuk )!dimVk

3.3. Multiplicidad de un caracter absolutamente irreducible

En esta seccion nos referiremos a la multiplicidad de un caracter absolutamente irre-ducible de G, es decir un caracter irreducible complejo que es equivalente a un caracterracional, en la descomposicion del caracter de G en L(D). Mostraremos resultados quegeneralizan los obtenidos por Joyner y Ksir [JK], por un metodo distinto.

Sea G un grupo nito, caracter de G y V un C[G]modulo asociado a . Sea H = hhiun subgrupo cclico de G y considere Irr(H) = f0 = 1H ; 1; :::; jHj1g caracteres irre-ducibles de H, donde (h) =

jHj, con jHj una raz jHj-esima primitiva de la uni-

dad y = 0; 1; :::; jHj 1. Sea M(H) = fW0;W1; :::;WjHj1g representantes de losC[H]modulos irreducibles de H, todos de dimension 1, asociados a los caracteres respectivamente.

AsResGH = b00 + b11 + :::+ bjHj1jHj1

dondeb = hResGH ; i

para = 0; :::; jHj 1.

Con los elementos antes denidos enunciamos el siguiente lema.


Lema 3.3.1. Sea H un subgrupo cclico de G. Considere caracter racional de G yV un G-modulo asociado a . Entonces

1

2(dimV dimV H) = 1jHj

jHj1X=1

hResGH ; i

donde V H es el subespacio jo de V por la accion de H.

Demostracion: Como es caracter racional de G, entonces ResGH es un caracterracional de H, luego por teorema 5.2.2 se tiene que

ResGH =XK

aKjNH(K) : Kj Ind

HK 1K

donde K recorre todos los subgrupos cclicos de H y aK 2 Z:

Ya que H es abeliano, se tiene que NH(K) = H, luego

ResGH =XK

aKjH : Kj Ind

HK 1K :

Si consideramos faK = aK jKj obtenemos queResGH =

XK

faKjHj Ind

HK 1K : (3.17)

As

hResGH ; i =XK

faHjHj hInd

HK 1K ; i

para = 0; 1; :::; jHj 1. Por reciprocidad de Frobenius 5.2.1

hIndHK 1K ; i = h1K ;ResHK i = dimWKluego

hResGH ; i =1

jHjXK

faK dimWK (3.18)y por tanto

1

jHjjHj1X=1

hResGH ; i =1

jHj2XK

faK jHj1X=1

dimWK : (3.19)

Sabemos que dimWK es 0 o 1, pues dimW = 1. Para cada K escojamos t de manera


que K = hhti, t divide a jHj y tjKj = jHj. Ya que (ht) = tjHj y dimW = 1, seobtiene que

dimWK =

1 si jKj divide a 0 si jKj no divide a

Como jKj jHj y = 0; 1; :::; jHj 1, obtenemos que

1

jHj2XK

faK jHj1X=1

dimWK =1

jHj2XK

faK(jKj+ 2jKj+ :::+ (jHj jKj))=

1

jHj2XK

faK jKj(1 + 2 + :::+ (jH : Kj 1))=

1

jHj2XK

faK jKj 12(jH : Kj 1)jH : Kj

=1

2

XK

faKjHj(jH : Kj 1):

Por tanto sustituyendo lo anterior en la igualdad (3.19), resulta que

1

jHjjHj1X=1

hResGH ; i =1

2

XK

faKjHj(jH : Kj 1): (3.20)

Por otra parte dimV H = hResGH ; 0i, luego por (3.18)

dimV H =1

jHjXK

faK dimWK0 = 1jHjXK

faK :Ademas por (3.17) se tiene que

dimV = ResGH (1) =XK

faKjHj Ind

HK 1K(1) =

XK

faKjHj jH : Kj:

Luego1

2(dimV dimV H) = 1

2

XK

faKjHj(jH : Kj 1): (3.21)

Se concluye de (3.20) y (3.21) que

1

2(dimV dimV H) = 1jHj

jHj1X=1

hResGH ; i:


Teorema 3.3.2. Sea X una supercie de Riemann compacta y G un grupo nito deautomorsmos de X . Considere D un divisor no especial de X , tal que es el pullback deun divisor D0 de X=G. Si es un caracter absolutamente irreducible de G, entoncesla multiplicidad m de en la descomposicion del caracter, L(D), de la representacionde G en L(D), esta dada por

m = (Deg(D0) gX=G + 1) dimV 12

MXj=1

(dimV dimV Hj)Rj

donde V es el C[G]-modulo correspondiente a , fHjg es un conjunto de representantesde las clases de conjugacion de subgrupos cclicos de G, j = 1; :::;M y Rj es el numerode puntos rama del cubrimiento : X ! X=G, arriba del cual los estabilizadores delos puntos de ramicacion son conjugados a Hj.

Demostracion: Sea representacion absolutamente irreducible de G, su caractery V el C[G]-modulo asociado a la representacion . Sean Q1; Q2; :::; Qr los puntos ramadel cubrimiento : X ! X =G. Sea Pu un punto de ramicacion arriba de Qu y GPu elestab

acciones de grupos sobre el plano complejo

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