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Escalares y Vectores

Alfredo Enrique Lora M

Dpto. de FísicaUniversidad del Norte

Enero del 2007

Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores Enero del 2007 1 / 20

Magnitudes

Fundamentales: No son de�nibles en términos de otras magnitudes.

Ejemplos

Masa() [m] = MTiempo () [t] = TLongitud () [l] = LCarga Electrica () [C]

Derivadas: Son de�nibles en términos de las magnitudesfundamentales.

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Volumen () [V] = L.L.L = L3

Velocidad () [~v] = LT

Aceleración () [~a] = LT2

Momentun Lineal () [~p] = MLT

Fuerza ()h~Fi= ML

Energía () [E] = ML2

Magnitudes

Fundamentales: No son de�nibles en términos de otras magnitudes.Ejemplos

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Masa() [m] = M

Tiempo () [t] = TLongitud () [l] = LCarga Electrica () [C]

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Masa() [m] = MTiempo () [t] = T

Longitud () [l] = LCarga Electrica () [C]

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Masa() [m] = MTiempo () [t] = TLongitud () [l] = L

Carga Electrica () [C]

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Magnitudes

Ejemplos

Area () [A] = L.L = L2

Fuerza ()h~Fi= ML

Unidades y sistemas de medida usuales

Unidad S. I S. Gaussiano B. E. SMasa Kilogramo ( kg) Gramo ( g) Slug (S lg)Longitud Metro (m) Centímetro ( cm) Foot ( ft)Tiempo Segundo ( s) Segundo ( s) Segundo ( s)

Análisis Funcional

Ejercicio 1Veri�que si la ecuación

v = xt+12

Donde: x representa la posición y tiene unidades de longitud, vrepresenta la rapidez, a representa la aceleración y t representa eltiempo; es o no dimensionalmente correcta.

Ejercicio 2Suponiendo que la ecuación

v2 = kamxn

donde x representa la posición, v la rapidez, a la aceleración y k unaconstante adimensional, sea dimensionalmente correcta. Halle losvalores de m y n.

Análisis Funcional

Ejercicio 1Veri�que si la ecuación

v = xt+12

Donde: x representa la posición y tiene unidades de longitud, vrepresenta la rapidez, a representa la aceleración y t representa eltiempo; es o no dimensionalmente correcta.

Ejercicio 2Suponiendo que la ecuación

v2 = kamxn

donde x representa la posición, v la rapidez, a la aceleración y k unaconstante adimensional, sea dimensionalmente correcta. Halle losvalores de m y n.

Escalares: Se especi�can completamente dando solo su magnitud(número + unidades)

Ejemplos:

Tiempo: t = 30s, 5 mn.Masa: m = 3.2 kg, 10 g.Temperatura: T = 30�C, 310.15 K.Rapidez: v = 80 km/ h; 343 m/ s.Energía: E = 9.8 J, 32 erg, 13.5 eV.

Vector: Se especi�can completamente dando su magnitud (número +unidades), dirección y sentido.

Ejemplos

Velocidad: ~v = 80 km/ h, N 30� E, dirigido hacia arribaFuerza: ~F = 9.8 N, E 15� S dirigida hacia abajoAceleración: ~g = �9.8 m/ s2 = �32 ft/ s2 Momentun lineal: ~p = 7.5 kg m/ s ı.

Ejemplos:

Ejemplos

Ejemplos:

Tiempo: t = 30s, 5 mn.

Masa: m = 3.2 kg, 10 g.Temperatura: T = 30�C, 310.15 K.Rapidez: v = 80 km/ h; 343 m/ s.Energía: E = 9.8 J, 32 erg, 13.5 eV.

Ejemplos

Ejemplos:

Tiempo: t = 30s, 5 mn.Masa: m = 3.2 kg, 10 g.

Temperatura: T = 30�C, 310.15 K.Rapidez: v = 80 km/ h; 343 m/ s.Energía: E = 9.8 J, 32 erg, 13.5 eV.

Ejemplos

Ejemplos:

Tiempo: t = 30s, 5 mn.Masa: m = 3.2 kg, 10 g.Temperatura: T = 30�C, 310.15 K.

Rapidez: v = 80 km/ h; 343 m/ s.Energía: E = 9.8 J, 32 erg, 13.5 eV.

Ejemplos

Ejemplos:

Tiempo: t = 30s, 5 mn.Masa: m = 3.2 kg, 10 g.Temperatura: T = 30�C, 310.15 K.Rapidez: v = 80 km/ h; 343 m/ s.

Energía: E = 9.8 J, 32 erg, 13.5 eV.

Ejemplos

Ejemplos:

Ejemplos

Ejemplos:

Ejemplos

Ejemplos:

Ejemplos

Ejemplos:

Ejemplos

Velocidad: ~v = 80 km/ h, N 30� E, dirigido hacia arriba

Fuerza: ~F = 9.8 N, E 15� S dirigida hacia abajoAceleración: ~g = �9.8 m/ s2 = �32 ft/ s2 Momentun lineal: ~p = 7.5 kg m/ s ı.

Ejemplos:

Ejemplos

Velocidad: ~v = 80 km/ h, N 30� E, dirigido hacia arribaFuerza: ~F = 9.8 N, E 15� S dirigida hacia abajo

Aceleración: ~g = �9.8 m/ s2 = �32 ft/ s2 Momentun lineal: ~p = 7.5 kg m/ s ı.

Ejemplos:

Ejemplos

Velocidad: ~v = 80 km/ h, N 30� E, dirigido hacia arribaFuerza: ~F = 9.8 N, E 15� S dirigida hacia abajoAceleración: ~g = �9.8 m/ s2 = �32 ft/ s2

Momentun lineal: ~p = 7.5 kg m/ s ı.

Ejemplos:

Ejemplos

Representación geométrica y algebraíca de un vector

Linea de acciondel vector

El símbolo ~A es la representación algebráica de la cantidad vectorial A

Su norma, magnitud o módulo, se denota por A o bien ~A

En la grá�ca A = ~A = 6u. Observación: A =

~A � 0

El ángulo θ de�ne la dirección de la cantidad vectorial A.

~A � 0

El ángulo θ de�ne la dirección de la cantidad vectorial A.Alfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores Enero del 2007 6 / 20

Suma de vectoresMétodo del polígono

La suma de vectores es conmutativa.

La suma de vectores es asociativa.

Cuando el resultado obtenido al sumar n vectores es un polígonocerrado, entonces la resultante ~R =~0: Vector cero o nulo.

Suma de vectoresMétodo del paralelográmo

Toda cantidad vectorial debe obedecer la regla del paralelogramo.

Resta de vectoresEl negativo o el opuesto de un vector

El negativo de un vector ~A se denota por �~A y tiene la mismamagnitud y dirección de ~A, pero sentido contrario. Se dice que ~A y�~A son antiparalelos.

La resta de dos vectores ~A y ~B se de�ne

~A� ~B = ~A+��~B�

Ilustración

~A� ~B = ~A+��~B�

Ilustración

~A� ~B = ~A+��~B�

Ilustración

Producto de un vector por un escalar

El vector k~A donde k 2 R, k 6= 0, se caracteriza por.

k~A = jkj ~A

Si k > 0 =) k~A k ~A

Si k < 0 =) k~A k �~A.

Ilustración

El vector k~A donde k 2 R, k 6= 0, se caracteriza por. k~A = jkj ~A

Si k > 0 =) k~A k ~A

Si k < 0 =) k~A k �~A.

Ilustración

Si k > 0 =) k~A k ~A

Si k < 0 =) k~A k �~A.

Ilustración

Si k > 0 =) k~A k ~A

Si k < 0 =) k~A k �~A.

Ilustración

Si k > 0 =) k~A k ~A

Si k < 0 =) k~A k �~A.

Ilustración

Vectores unitarios

Dado un vector ~A, el vector unitario en la dirección de ~A se denotapor a y se di�ne como

a =~A ~A () ~A =

a se caracteriza por que tiene magnitud 1 y de�ne una dirección dada.

Ilustración

Vectores unitarios

a =~A ~A () ~A =

Ilustración

Vectores unitarios

a =~A ~A () ~A =

Ilustración

Vectores unitarios Cartesianos

Para R2

El conjunto fı, g formauna base para R2.

~A = ~Ax+ ~Ay = Ax ı+Ay

Para R3

El conjunto fı, , kg formauna base para R3.

~A = ~Ax + ~Ay + ~Az

= Ax ı+ Ay + Az k

Para R2

Para R3

~A = ~Ax + ~Ay + ~Az

= Ax ı+ Ay + Az k

Para R2

Para R3

~A = ~Ax + ~Ay + ~Az

= Ax ı+ Ay + Az k

Para R2

Para R3

~A = ~Ax + ~Ay + ~Az

= Ax ı+ Ay + Az k

Componentes rectangulares de un vectorEn el plano

En la �gura:

~Ax = Ax ı y ~Ay = Ay se llaman los vectores componentesrectangulares de ~AAx y Ay son las componentes rectangulares de ~A

Además:~A = ~Ax + ~Ay = Ax ı+ Ay (1)

En la �gura:~Ax = Ax ı y ~Ay = Ay se llaman los vectores componentesrectangulares de ~A

Ax y Ay son las componentes rectangulares de ~A

En la �gura:~Ax = Ax ı y ~Ay = Ay se llaman los vectores componentesrectangulares de ~AAx y Ay son las componentes rectangulares de ~A

También de la �gura

Ax = A cos θ y Ay = A sin θ

Sustituyendo en (1)

~A = A cos θ ı+ A sin θ (2)

Igualmente, de la �gura, se obtiene para ~A:

Su magnitud

A2x + A2

Su dirección

θ = tan�1�

�(4)

Sustituyendo en (1)

Su magnitud

A2x + A2

Su dirección

θ = tan�1�

�(4)

Sustituyendo en (1)

Su magnitud

A2x + A2

Su dirección

θ = tan�1�

�(4)

Sustituyendo en (1)

Igualmente, de la �gura, se obtiene para ~A:Su magnitud

A2x + A2

Su dirección

θ = tan�1�

�(4)

Sustituyendo en (1)

Igualmente, de la �gura, se obtiene para ~A:Su magnitud

A2x + A2

Su dirección

θ = tan�1�

�(4)

Criterio de igualdad entre vectores

Dos vectores~A = Ax ı+ Ay + Az k

~B = Bx ı+ By + Bz k

son iguales, en cuyo caso se escribe

~A = ~B () Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz

Equivalentemente

Dos vectores son iguale si y solo si tienen iguales magnitud, dirección ysentido

~A = ~B

() Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz

Equivalentemente

~A = ~B () Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz

Equivalentemente

~A = ~B () Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz

Equivalentemente

Suma de vectores (Método de la componentesrectangulares)

Dados los vectores

~A1 = A1x ı+ A1y + A1z k, ~A2 = A2x ı+ A2y + A2z k, ...~An = Anx ı+ An1y + Anz k, n = 1, 2, 3...

Su resultante se determina según

~R = ~A1 + ~A2 + ...+ ~An =�

A1x ı+ A1y + A1z k�+�

A2x ı+ A2y

+A2z k�

...+ ...�

Anx ı+ An1y + Anz k�

Aplicando distributiva

~R = Rx ı+ Ry + Rz k = (A1x + A2x + ...+ Anx) ı+�

A1y + A2y+

...+ Any�

+ (A1z + A2z + ...+ Anz) k

O equivalentemente

Dados los vectores

~R = ~A1 + ~A2 + ...+ ~An =�

A1x ı+ A1y + A1z k�+�

A2x ı+ A2y

+A2z k�

...+ ...�

A1y + A2y+

...+ Any�

+ (A1z + A2z + ...+ Anz) k

O equivalentemente

Dados los vectores

~R = ~A1 + ~A2 + ...+ ~An =�

A1x ı+ A1y + A1z k�+�

A2x ı+ A2y

+A2z k�

...+ ...�

A1y + A2y+

...+ Any�

+ (A1z + A2z + ...+ Anz) k

O equivalentemente

Dados los vectores

~R = ~A1 + ~A2 + ...+ ~An =�

A1x ı+ A1y + A1z k�+�

A2x ı+ A2y

+A2z k�

...+ ...�

A1y + A2y+

...+ Any�

+ (A1z + A2z + ...+ Anz) k

O equivalentementeAlfredo Enrique Lora M (Uninorte) Escalares y Vectores Enero del 2007 16 / 20

~R = Rx ı+ Ry + Rz k =n

∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aplicando el criterio de igualdad entre vectores

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz (5)

Si cada ~Ai 2 R2, entonces Rz = 0. Ilustración:

∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz (5)

∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz (5)

∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz (5)

Si cada ~Ai 2 R2, entonces Rz = 0.

Ilustración:

∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz (5)

Si cada ~Ai 2 R2, entonces Rz = 0.

Ilustración:

∑i=1

Aix ı+n

∑i=1

Aiy +n

∑i=1

Aix, Ry =n

∑i=1

Aiy, Rz =n

∑i=1

Aiz (5)

Ejercicios

Ejercicio 1Si ~M y ~N son los vectoresrepresentados en la �gura y la resultante~R = ~M+ ~N + ~S = 5 ı, Halle el vector ~S.

Ejercicio 2Dos cables con tnsiones conocidas están atados al extremo superiorde una torre AB. Si se usa un tercer cable AC como tirante dealambre, determine la tensión en el cable AC sabiendo que laresultante de todas las fuerzas que actuan sobre el estremo superiorde la torre (punto A) debe ser vertical. Halle también la magnitud dedicha resultante

Ejercicio 3Determine la resultante de todas las tensiones que actuan sobrecáncamo que aparece en la �gura

60º 25º

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