a1 pd determinista se 2

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

Programación DinámicaINVESTIGACION DE OPERACIONES II

Ing. Juan Manuel Luna Valle

¿Como les fue con los acertijos?

Quien pasa al frente a explicar como los resolvió?

INVESTIGACION DE OPERACIONES II


Dos Acertijos para entender la PD

Acertijo de las cerillos: Suponga que hay 30 cerillos sobre una

mesa. Yo empiezo eligiendo 1, 2 ó 3 cerillos. Luego mi contrincante debe tomar 1, 2 ó 3 cerillos. Así continuamos hasta que alguno de los jugadores toma el última cerillo. Este jugador es el que pierde. ¿Cómo puedo yo (el primer jugador) estar seguro de ganar el juego?



Dos Acertijos para entender la PD

Acertijo de las tazas de leche Tengo una taza de 9 onzas y otra de 4

onzas. Mi madre me pidió traer a casa exactamente 6 onzas de leche. ¿Cómo puedo cumplir lo pedido?



SOLUCION (cerillos)…

Si puedo tener la certeza que le tocará el turno a mi oponente cuando quede una cerilla, claro que ganaré. Es decir, al yo estar seguro que queden 5 cerillos cuando sea el turno de mi oponente, GANARE!!!

Que les dice esto:5, 9, 13, 17, 21, 25, ò 29



SOLUCION (tazas)…

Si puedo poner una onza de leche en la taza de cuatro onzas, luego lleno la taza de 9 onzas y vierto 3 onzas de leche en la taza de 9 onzas en la taza parcialmente llena de 4 onzas.

Taza de 9 onzas

Taza de 4 onzas

6 0

6 4

9 1

0 1

1 0

1 4

5 0

5 4

9 0

0 0INVESTIGACION DE

OPERACIONES IIIng. Juan Manuel Luna

Valle

Naturaleza recursiva de la PD Los cálculos de programación dinámica se

hacen en forma recursiva, ya que la solución óptima de un subproblema se usa como dato para el siguiente subproblema.

Para cuando se resuelve el último subproblema queda a la mano la solución óptima de todo el problema.

La forma en la que se hacen los cálculos recursivos dependen de cómo se descomponga el problema original.

En particular, los subproblemas se vinculan normalmente mediante restricciones comunes.



Un problema de redes…

Joe Cougar vive en Nueva York, pero quiere viajar en su automóvil hasta Los Ángeles en busca de fama y fortuna. Los fondos de Joe son limitados, así que decide pasar cada noche de su viaje en la casa de un amigo. Joe tiene amigos en cada ciudad.

Joe sabe que puede viajar un día a la vez y avanzar por etapas.

Luego de 4 días de manejar Joe puede llegar finalmente a Los Ángeles.

Para minimizar la cantidad de millas recorridas, ¿dónde debe Joe pasar cada noche del viaje?

INVESTIGACION DE


Valle

Nueva York

1

Omaha

6

Kansas City

5

Lousville

4

Nashville

3

Columbus

2

Dallas

7

San Antonio

9

Denver

8

Los Ángeles

10



Solución con programación dinámica

Se determinará yendo hacia atrás (Recursividad)

Primero clasificamos todas las ciudades en la que Joe puede estar al principio del n-ésimo día de su viaje como ciudades de la etapa n.

Etapa 1: Nueva York Etapa 2: Columbus, Nashville, Louisville Etapa 3: Kansas City, Omaha, Dallas Etapa 4: Denver, San Antonio Etapa 5: Los Ángeles



Los Ángeles

10

Nueva York

1

Omaha

6

Kansas City

5

Lousville

4

Nashville

3

Columbus

2

Dallas

7

San Antonio

9

Denver

8550

900 760

770

580

680

660

830

700

510

790

1050

270

790

540

940

610

790

1030

1390 Etapa 5

Etapa 4

Etapa 3

Etapa 2

Etapa 1



Algoritmo para Recursividad

La idea de trabajar hacia atrás implica que debemos empezar por resolver un problema fácil que con el tiempo nos servirá para resolver uno más complejo.

Empezamos por determinar la trayectoria más corta a Los Ángeles desde cada ciudad de dónde hay sólo un día de viaje en automóvil (ciudades de la etapa 4).

Luego usamos esta información para encontrar el camino más corto hasta Los Ángeles desde cada ciudad donde hay 2 días de manejo (ciudades de la etapa 3).

Con esta información ya somos capaces de hallar el camino más corto desde cada ciudad que esté a 3 días de viaje (ciudades de la etapa 2).

Encontramos, por último, la trayectoria más corta a Los Ángeles desde cada ciudad que está a 4 días de viaje (hay sólo una: Nueva York).



Criterios básicos

Con el fin de simplificar la exposición usamos los números 1, 2, 3,…, 10 dados en la figura para nombrar las 10 ciudades.

Definimos también cij como las millas entre la ciudad i y la ciudad j. Por ejemplo, c35 = 580 son las millas entre Nashville y Kansas City.

Hacemos ft(i) la distancia del camino más corto desde la ciudad i hasta Los Ángeles, dado que la ciudad i es una ciudad de la etapa t.



Nueva York

1

Omaha

6

Kansas City

5

Lousville

4

Nashville

3

Columbus

2

Dallas

7

San Antonio

9

Denver

8

Los Ángeles

10

550

900 760

770

580

680

660

830

700

510

790

1050

270

790

540

940

610

790

1030

1390 Etapa 5

Etapa 4

Etapa 3

Etapa 2

Etapa 1



Cálculos de la Etapa 4

Determinamos el camino más corto desde cada ciudad de la etapa 4 hasta L. A.

Como hay un solo camino desde cada ciudad, observamos que: f4(8) = 1030 f4(9) = 1390

San Antonio

9

Denver

8

Los Ángeles

10

1030

1390 Etapa 5

Etapa 4





Determinar f3(5) C58 + f4(8) = 610 + 1030 = 1640 * (5-8-10)

C59 + f4(9) = 790 + 1390 = 2180

Determinar f3(6) C68 + f4(8) = 540 + 1030 = 1570 * (6-8-10)

C69 + f4(9) = 940 + 1390 = 2330

Determinar f3(7) C78 + f4(8) = 790 + 1030 = 1820

C79 + f4(9) = 270 + 1390 = 1660 * (7-9-10)

Omaha

6

Kansas City

5

Dallas

7

San Antonio

9

Denver

8

Los Ángele

s

10

270

790

540

940

610

790

1030

1390 E 5

E 4

E 3INVESTIGACION DE


Valle



Determinar f2(2) C25 + f3(5) = 680 + 1640 = 2320* (2-5-8-10) C26 + f3(6) = 790 + 1570 = 2360 C27 + f3(7) = 1050 + 1660 = 2710



6

5

4

3

2

7

9

8

10760

580

680

660

830

700

510

790

1050 27

0

790

540

940

610

790

1030

1390

E5

E4

E3E2



Como ya conocemos f2(2), f2(3) y f2(4), podemos ir hacia atrás una etapa más para determinar f1(1) y, por lo tanto, el camino más corto de la ciudad 1 a la 10.

Obsérvese que el camino más corto desde la c1 a la c10 debe empezar por ir a la ciudad 2, 3 ó a la 4.

Esto significa que el camino más corto desde la c1 hasta la c10 tiene que ser uno de los siguientes: Camino 1. Ir desde la 1 hasta la 2, luego seguir el

camino más corto desde la 2 hasta la 10. [C12 + f2(2) ] Camino 2. Ir desde la 1 hasta la 3, luego seguir el

camino más corto desde la 3 hasta la 10. [C13 + f2(3) ] Camino 3. Ir desde la 1 hasta la 4, luego seguir el

camino más corto desde la 4 hasta la 10. [C14 + f2(4) ]INVESTIGACION DE


Valle

Continuación…

Determinar f1(1): C12 + f2(2) = 550 + 2320 = 2870 C13 + f2(3) = 900 + 2220 = 3120 C14 + f2(4) = 770 + 2150 = 2920

Camino óptimo: 1-2-5-8-10 Desde Nueva York hasta Los Ángeles pasará por:

Nueva York, Columbus, Kansas City, Denver y Los Ángeles.

Este camino tiene una distancia de f1(1) = 2780 millas



16

5

4

3

2

7

9

8

10

2

4 2

3

3

6

4

5

1

3

4

6

3

3

6

3

1

3

3

4

a1 pd determinista se 2

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