a. MATEMATICA BASICA

- Conjuntos

1. CONCEPTO Se entiende por conjunto a toda agrupación de objetos reales o imaginarios, que tienen una o mas características comunes, estos objetos

reales o imaginarios son llamados elementos del conjunto de manera que un conjunto esta bien definido si es posible conocer todos sus

elementos.

2. NOTACION Generalmente se denota a los conjuntos con letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos separados por comas y encerrados por

signos de colección (llaves, corchetes), etc. Ejm:

si,la,sol,f a,mi,re,doA

Chile....,Argentina,Boliv ia,Perú,EcuadorP uoieaB ,,,,

Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n):

Nos indica el número de elementos diferentes que tiene el conjunto considerado. Ejm:

3An17;12;8A

4Bn17;11;11;11;11;6;6;6;9;9B

3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Los conjuntos se representan gráficamente por figuras geométricas cerradas, llamados Diagramas de Venn – Euler, que contienen los

elementos del conjunto.

Ejemplo:

Se lee conjunto A formado por las vocales.

Se lee conjunto B formado por los 10 primeros números naturales.

4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Los conjuntos se pueden determinar de dos maneras:

a) Por Extensión o Forma Tabular:

Cuando se indican a todos y a cada uno de los elementos del conjunto.

A B

*a

*e

*i

*o *u

*1 *2 *3

*4

*5 *6

*7

*8 *9 *10

Ejemplo:

u;o;i;e;aV

5;4;3;2;1P

* OBSERVACIÓN: El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él.

5,17,3,1017,10,5,3D

b) Por comprensión o Forma Constructiva:

Cuando se define al conjunto enunciando las propiedades comunes que caracterizan a los elementos de dicho conjunto.

Ejemplo:

vocalunaesx/xA

Se lee: x tal que x es una vocal

6xx/xB

Se lee: x tal que x pertenece a los números naturales menores que 6

5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Relación de Pertenencia ()

Un elemento pertenece () a un conjunto si forma parte o es un agregado de dicho conjunto. La relación de pertenencia vincula cada

elemento con el conjunto.

SÍMBOLO SIGNIFICADO

“Pertenece a”

“No Pertenece a”

* s es un elemento del conjunto E

s pertenece a E s E

* t es un elemento del conjunto A

t pertenece a A t A

* o no es elemento del conjunto E

o no pertenece a E o E

* m no es elemento del conjunto A m no pertenece a A m A

E

*g

*s

*i

*m *a

*t

*a *i

*o

A

b) Relación de Inclusión ( ):

Se dice que A está incluido en el conjunto B (A B), cuando todo elemento de A pertenece a B. Gráficamente:

Ejemplo:

Si: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

B = {1; 2; 3}

Se observa :

B A: Conjunto B incluido en conjunto A.

c) Igualdad de Conjuntos:

Dos conjuntos A y B son iguales, si A y B tienen los mismos elementos.

Ejemplo:

Si: A = {1,3,5,7,9} y

B = {x/x N x impar <10}

A = B

6. CLASES DE CONJUNTO

a) Conjunto Vacío

Es aquel conjunto que no posee elementos; también se le llama conjunto nulo.

Notación: o { }.

Ejemplo:

B = {x/x N 5<x<6} B = { } y n(B) = 0

b) Conjunto Unitario

Es cuando tiene un solo elemento; también se le llama conjunto Singlentón

Ejemplo:

A = {x/x N 8 x 10}

B = {satélites de la tierra}

c) Conjunto Finito

Es cuando se pueden enumerar o contar sus elementos en su totalidad.

A B A B

.1 .2

.3 .4

.5 .6

.7

Ejemplo:

A = {x/x N x 99}

B = {los países de América del Sur}

d) Conjunto Infinito

Es cuando sus elementos no se pueden determinar en su totalidad.

Ejemplo:

A = {x/x N x 5}

B = {las estrellas del universo}

e) Conjunto Universal

Es el conjunto que dentro del cual están todos los demás conjuntos, teniendo una referencia se representa por el símbolo U.

f) Conjunto Potencia

Esta formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se simboliza por “P”.

Notación: P(A), se lee potencia del conjunto A.

A = {a, b, c}

P(A)= {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};{a,b,c};}

Para hallar el número de subconjuntos, se aplica la formula: 2n, de donde “n” es el número de elementos del conjunto.

Número de subconjuntos = 2n = 2

3 = 8

7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Unión o Reunión ()

Dado los conjuntos A y B se llama conjunto unión al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o B o en ambos.

Notación: A B.

S

SSe lee: “A unión B”

Ejemplo:

Sean los conjuntos:

A = 2; 4, 7, 9

B = 1, 7, 4, 12, 18

A B = x / x A x B

El conjunto A B = 1, 2, 4, 7, 9, 12,18

b) Intersección ()

Dados los conjuntos A y B se llaman conjunto intersección, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B, es decir

que sean comunes a ambos conjuntos.

Notación: A B

A B = {x/x A x B}

Se lee: “A intersección B”

Ejemplo:

A = {2, 4, 6, 9, 12}

B = {3, 6, 9, 4, 20, 23}

Conjunto A B = {4, 6, 9}

c) Diferencia ( – )

Dados los conjuntos A y B se llama conjunto diferencia (A – B) al conjunto formado únicamente por los elementos que pertenecen a A pero no a B.

Notación: A – B

A – B = {x/x A x B}

Se lee: “A diferencia B”

Ejemplo:

Sean los conjuntos:

A = {23, 19, 26, 25, 30}

B = {1,9,26,23,20,18}

El conjunto A – B = {19, 25, 30}

* Observación: A – B B – A

d) Diferencia Simétrica ( )

Dado los conjuntos A y B , se llama conjunto diferencia simétrica a aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al

conjunto (A B) pero no al conjunto (A B).

Notación: A B

A B = {x/x (A B ) (A B)}

Ejemplo:

Sean los conjuntos:

A = {2, 13, 19, 28, 30}

B = {1,13, 19, 20, 29, 32}

El conjunto:

A B = {1,2,20, 28, 29, 30, 32}

Complemento de un Conjunto (A’ )

Siendo A un subconjunto cualquiera del conjunto universal U. El complemento de A Con respecto a U se define como el conjunto de

elementos de U que no pertenece a A.

Notación: A` Se lee: el complemento de A.

A’ = {x/x U x A}

Ejemplo:

A = {4, 8, 10}

U = {x/x N 2 < x < 12}

El conjunto: A’ = {3,5,6,7,9,11}

PROBLEMAS

1. Si: A = {5, {2}, 9}; señale la

expresión falsa

a) {a} A b) {12} A

c) 9 A d) {5 ,9} A

e) {5, {2}} A

2. De las siguientes. notaciones

determinar cuál de ellas es falsa:

a) {2, 5, 3} = {3, 5, 2}

b) {4} {{14}, 5}

c) {3} {2, 3, 4}

d) {3, {4} 2}

e) {3. {4}, 2}

3. Si U ={x/x z 0 x < 10}

(A ∪ B)' = {0, 6, 9} ;

A ∩ B = {1, 2, 7}

A – B = {3, 5}

¿Cuál es la suma de los elementos

de B – A?

Rpta. 12

5. En una entrevista realizada en

el aeropuerto se determinó

que 49 viajaban al Cuzco, 43 a

Tacna, 39 a Arequipa, 19 sólo

a Tacna y 21 sólo a Arequipa.

Si 16 viajan a Tacna y

Arequipa y 5 de ellos viajaban

también al Cuzco, determinar

cuántas personas viajaban sólo

al Cuzco.

Rpta. 34

6. Se selecciona al azar a 43

alumnos de la Academia. Luego

se observa que:

- Son 5 las mujeres que

estudian aritmética

- El número de hombres es

28

- El número es el doble que

no estudian aritmética es

el doble del número de

mujeres que no estudian

4. Dado A ={; {}} . ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es falsa?

a) A b) A

c) {} A d) {{}} A

e) {{}} A

aritmética.

¿Cuántos hombres estudian

aritmética?

Rpta. 8

- Numeración

NÚMERO

Es un ente matemático sin definición, el cual nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza. El número es solamente una idea.

NUMERAL

Es la representación gráfica, mediante signos o símbolos, de un número. Esto significa que un número se puede representar mediante numerales

Ejemplo:

4 = cuatro = tour = tawa = IIII

ORDEN DE UNA CIFRA

Es la posición de ésta ocupa dentro de un numeral. Dicha posición se considera, de derecha a izquierda.

Ejemplo:

6 2 3 8 7

1º Orden

2º Orden3º Orden4º Orden

5º Orden

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN

Es aquel entero mayor que la unidad, el cual nos indica cuántas unidades de un cierto orden se necesita para formar una unidad del orden inmediato superior.

El sistema de numeración que usamos actualmente se llama decimal, y utiliza como base a 10.

En base 10:

10 unidades de 1º orden < > 1 unidad de 2º orden (decena).

10 unidades de 2º orden < > 1 unidad de 3º orden (centena). 10 unidades de 3º orden < > 1 unidad de 4º orden (u. de millar). 10 unidades de 4º orden < > 1 unidad de 4º orden (d. de millar).

En base 6:

6 unidades de 1º orden < > 1 unidad de 2º orden 6 unidades de 2º orden < > 1 unidad de 3º orden 6 unidades de 3º orden < > 1 unidad de 4º orden 6 unidades de 4º orden < > 1 unidad de 5º orden

¿Cómo se forman los números?

Base 10

X X X X X X X X

X X X X X X X X

X X X X X X X

d u

2 3

Base 7:

X X X X X X X X

X X X X X X X X

X X X X X X X X

2º 1º

3 2 (7)

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

1. En el sistema de base “n” se pueden utilizar “n” cifras diferentes. Ejemplo:

En base 10: cifras: 0 , 1 , 2 , .......,9

En base 7 cifras: 0 , 1 , 2 , .......,6

En base n: cifras: 0 , 1 , 2 , .......,(n-1)

Observaciones:

- Toda cifra siempre es menor que la base - La cifra máxima es igual a uno menos que la base - Se llama cifra significativa a toda cifra diferente de cero.

2. Toda cifra dentro de un numeral tiene dos clases de valores: A. Valor Absoluto: Es que tiene por el símbolo que lo representa

B. Valor Relativo:

Es el que tiene por la posición que ocupa en el numeral.

REPRESENTACION LITERAL DE NUMERALES

De dos cifras ab = 10 , 11 , ..... , 99

De tres cifras abc = 100, 101, ...., 999

NUMERO CAPICÚA

Son aquellas cuyas cifras equidistantes son iguales

Ejemplo:

De dos cifras aa

De tres cifras aba

DESCOMPOSICION POLINÓMICA

La descomposición polinómica de un numeral es la suma de los valores relativos de sus cifras

Ejemplos:

210.4210.5310.33542

r10.m210.jjmr

d5.c25.b35.a)5(abcd

En bloques:

def310.abcabcdef

CAMBIO DE BASE

Caso I. De base 10 a base 10

Método: Por descomposición polinómica

Ejemplo:

2508)8(4714

484482048)8(4714

48.128.738.4)8(4714

Caso II. De base 10 a base 10

Método: Por divisiones Sucesivas

Ejemplo:

Convertir 124 a base 6

124 6

4 20 6

2 3

124 = 324(6)

Caso III. De base 10 a otra base 10

Método: Descomposición polinómica y divisiones Sucesivas

PROPIEDADES:

1. Si dos numerales son equivalentes, se cumple que a mayor valor aparente de un numeral, le corresponde menor base; y viceversa

Si: )y(mnp)x(abcd

Observación

Como aparentemente el primer numeral es mayor que el segundo, se cumple que:

abcd > mnp x< y

2. Se cumple que:

1kn

cifrask

)n()1n).....(1n)(1n(

PROBLEMAS

1. Expresar 2aaaa en base 10:

A) 16a B) 31a C) 15

D) 16 E) 30

2. Si: 1122(3) = abcdef (x)

Hallar: a + b + c + d + e + f + x

A) 3 B) 2 C) 5

D) 6 E) 4

3. Determinar: (a + b + c) en: abab 5 = bcb

A) 12 B) 13 C) 14

D) 18 E) 16

4. Hallar E = aab - 110a – b

A) a B) b C) 10a

D) 0 E) 1

5. Hallar “a”, si )8(75aa25

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

- Adición

Es una operación binaria, donde dados dos elementos A y B llamados sumandos, se le hace corresponder un tercer elemento S llamado suma.

A + B = S

- Sustracción

Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y S, se le hace corresponder un tercer elemento D.

M – S = D

Donde:

M : Minuendo

S : Sustraendo

D : Diferencia

Se cumple que : M + S + D = 2M

COMPLEMENTO ARITMETICO (C.A.)

Es lo que le falta a un número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden.

Sea N un número de “k” cifras, se cumple:

C.A. (N) = 10k – N

- Multiplicación

Es la operación binaria que hace corresponder a cada par ordenado de enteros cuyas componentes se denominan multiplicando y multiplicador

respectivamente, un tercer entero llamado producto.

Donde:

a: multiplicando

b: multiplicador

p: producto

- División

Es la operación binaria que hace corresponder a cada par ordenado de enteros cuyas componentes se denominan dividendo y divisor, un tercer número (no

necesariamente entero) llamado cociente.

Donde:

a: dividendo

b: dividendo

q: cociente

Pba

);(

Qba

);(

División Entera:

Es un caso particular de la división en la cual el dividendo, divisor y cociente son números enteros. Aquí aparece un cuarto término llamado residuo.

Cuando el residuo es igual a cero, la división es exacta, y si es mayor que cero, la división es inexacta, esta última puede ser por defecto o por exceso.

Clasificación:

1) División exacta

2) División inexacta a) Por defecto b) Por exceso

Propiedades de la división inexacta:

1.- r < d

2.- rd + re = d

3.- rmin = 1

4.- rmax = d -1

Teorema

Si al dividendo y al divisor de una división entera inexacta se les multiplica por un mismo entero positivo, y se vuelve a realizar la división, entonces el

cociente no se altera, y el residuo queda multiplicado por dicho positivo.

PROBLEMAS

1. Si: 3. cbabc = .... 262. Hallar “a”

A) 1 B) 2 C) 4

D) 6 E) 9

2. El dividendo es 5 veces el divisor en una división exacta. Si la suma de sus términos es 185. el dividendo

es:

A) 150 B) 200 C) 180

D) 120 E) 140

3. Hallar el número )1( aa si si CA es )3)(5( bb

A) 43 B) 54 C) 65

D) 76 E) 87

4. Hallar: A + B + C + D si JCDDDABCD 7.

A) 20 B) 23 C) 15

D d 0 q

D = dq

D d rd q

D = dq + re

D d re q + 1

D = d (q + 1) - re

D) 16 E) 14

5. Hallar la suma de las cifras del producto:

P = 438 . CIFRAS40

99........9999

A) 360 B) 270 C) 180

D) 90 E) 450

- Divisibilidad

1. DEFINICIÓN:

Un número A es divisible entre otro B, cuando la división de A entre B es entera y exacta.

A B donde : K Z

0 K A = BK

Se lee :

A “es divisible por” B

B “es divisible de“ A

B “divide a“ A También :

A “es múltiplo de” B

B “es factor de” A

Notación : A =

B

2. OBSERVACIONES :

a) El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo.

b) El cero no es divisor a la unidad de ningún número.

c) Todo número es divisor de la unidad.

d) Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes en el conjunto de los números enteros.

e) Un número negativo puede ser múltiple de otro positivo.

3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son condiciones que consiste en analizar las cifras de un número, para determinar si es divisible o no respecto a cierto módulo. En caso de

no serlo nos dará a conocer el residuo.

3.1 DIVISIBILIDAD POR 2

Cuando termina en cero o cifra.

N =

2abc c = cero o par.

3.2 DIVISIBILIDAD POR 3 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

N =

3abc a + b + c =

3

3.3 DIVISIBILIDAD POR 4 Cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

N =

4abcd

4oocd

3.4 DIVISIBILIDAD POR 5 Cuando la última cifra es cero o cinco.

N =

5abcd d = 0 v 5

3.5 DIVISIBILIDAD POR 6 Cuando es divisible por 2 y también por 3.

N =

6abcd

32

3.6 DIVISIBILIDAD POR 7

7 h g f e dc b a

3 1-2 -3-1 2 3 1

h + 3g + 2f – e – 3d – 2c + b + 3a =

7

3.7 DIVISIBILIDAD POR 8 Cuando sus tres últimas cifras cero o múltiplo de 8.

N =

8abcd

8000bcd

3.8 DIVISIBILIDAD POR 9 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

N =

9abcd a + b + c =

9

3.9 DIVISIBILIDAD POR 11 Cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par; es 0 o múltiplo de 11.

N =

11 f e dc b a

- + - + - +

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En la siguiente sucesión cuantos números múltiplos de 5 existen.

2; 5; 7; 10; 12; 15; 25; . . . 50

Solución :

5; 10; 15; 20; 25; . . . 50

Factorizando 5

5(1; 2; 3; 4; 5; . . ; 10)

Existen 10 números.

2. Sea : A = {3436; 32a50 ; 3128 ; ab48 }

Cuantos múltiplos de 4 existen.

Solución :

3436 =

4

ab48 =

4 porque 48 =

4

3128 =

4 porque 28 =

4

32a50

4 porque 50

4

Existen 3 números

3. De los 100 primeros números naturales cuantos múltiplos de 7 existen.

Solución :

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; . .. ; 100

7 : 7; 14; 21; 28; 35; . . . 98

7k : 1; 2; 3; 4; 5 , . . . 14

Existen 14 números

4. Si : 1a2a3a4a =

11 ; halla “a”

Solución :

Se sabe que :

4a – (4 + 3 + 2 + 1) =

11

4a – 10 =

11

4a =

11 + 10

a =

11 + 8 a = 8

5. Cuántos números múltiplo de 4 existen en los 200 primeros números naturales.

Solución :

1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . . 198; 199; 200

4 : 4; 8; 12; 16; 20; . . . 200

4k = 1; 2; 3; 4; 5; . . . 50

Existen 50 números.

6. Del siguiente conjunto :

A = 48a;25a;5ab;abc;0ab

Cuántos múltiplos de 5 existen.

Solución :

5 ab0 porque termina en 0.

5 abc

5 ab5 porque termina en 5

5 a25 porque termina en 5

5 a48

Existen 3 números

PROBLEMAS

1. Hallar “a”, si 486a = 0

11

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

2. Hallar “a”, si 45a = 0

4

A) 0 B) 3 C) 5

D) 7 E) Hay 2 res puestas

3. ¿Cuántas cifras como mínimo debe tener el número 222........222 para ser0

99 ?

A) 6 B) 12 C) 18

D) 24 E) 9

4. Hallar “a” si 532 aa = 0

7 + 6

A) 2 B) 5 C) 4

D) 6 E) 6

5. Hallar ab si: 0

995322 ab

A) 42 B) 24 C) 32

D) 23 E) N. A

- Números primos

NUMERO PRIMO ABSOLUTO

Es aquel número que tiene sólo dos divisores que son el mismo número y la unidad. NUMERO COMPUESTO

Son aquellos números que tienen más de 2 divisores. Números Primos Entre sí (PESI) Llamados también primos relativos; se denomina así al conjunto de números que tienen como único divisor común, la Unidad. Regla para Determinar si un Número es Primo Absoluto Paso 1: Se extrae la raíz cuadrada del número Paso 2: Se divide el número entre todos los números primos menores e iguales que la raíz entera.

Paso 3: Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo absoluto.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Todo entero positivo mayor que la unidad, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes, esta

descomposición es única y se denomina “Descomposición Canónica”.

Expresar 540 en su descomposición Canónica

540 2

270 2

135 3

45 3 5.3.2540 32

15 3

5 5

1

Cantidad de Divisores de un Número Compuesto.

Sea el número compuesto N expresado en función de sus factores primos:

....c.b.aN

Siendo: a, b , c Números primos absolutos.

La cantidad de divisores de N estará dado por:

111CdN

Ejemplo:

Calcular el número de divisores de 540:

5.3.2540 32

Entonces:

242.4.3Cd

111312Cd

540

540

Suma de Divisores de un Número Compuesto

El número compuesto se descompone en sus factores primos:

....c.b.aN

Luego la suma de todos los divisores de N estará dado por la fórmula:

1c

1c.

1b

1b.

1a

1aSd

111

N

- Mínimo común divisor

El MCD de varios números naturales es otro natural que cumple dos condiciones:

1. Es divisor de los números dados 2. Es lo mayor posible

Propiedad:

Todos los divisores comunes de varios números son también divisores del MCD de ellos.

DETERMINACIÓN DEL MCD

Por Factorización Individual

Luego de descomponer a los números en sus factores primos, se toman únicamente los factores comunes afectados de sus menores exponentes.

Por Factorización Simultánea

Se escriben los números en fila, luego se dividen simultáneamente del menor al mayor primo común a dichos números, hasta que los cocientes sean P.E.S.I.

Propiedades

1. Si A y B son P.E.S.I, entonces: MCD (A,B) = 1

2. Si A es múltiplo de B, entonces: MCD (A;B) = B

3. Si se multiplican o dividen varios números por una misma cantidad, su MCD también queda multiplicado o dividido respectivamente por esa misma cantidad.

4. Si se dividen a varios números entre su MCD, los cocientes obtenidos son números P.E.S.I.

- Máximo común múltiplo

EL MCM de varios números naturales es aquel número natural que cumple dos condiciones:

1. Es un múltiplo común de todos. 2. Es el menor Posible.

Propiedad:

Todos los múltiplos comunes de varios números dados son también múltiplos de MCM.

DETERMINACIÓN DEL MCM

Por Factorización Individual

Luego de descomponer a los números en sus factores primos, se toman a todos los factores, afectados de sus mayores exponentes.

Por Factorización Simultánea

Se dividen los números dados simultáneamente a todos o algunos de ellos, del menor al mayor factor primo, hasta que se obtengan cocientes iguales a la

unidad.

Propiedades:

1. Sean 2 números A y B P.E.S.I, entonces el MCM de ellos es su Producto. MCM (A; B) = A . B

2. Si A es múltiplo de B, entonces el MCM de ellos es A. MCM (A; B) = A

3. Los cocientes de dividir el MCM de un conjunto de 2 ó más enteros positivos entre cada uno de ellos, son siempre P.E.S.I.

4. Si se multiplica o dividen varios números por una misma cantidad, su MCM también queda multiplicado o dividido respectivamente por esa cantidad.

5. El producto de 2 números es igual al producto de su MCD por el MCM de ellos.

PROBLEMAS

1. ¿Cuántas veces hay que multiplicar a 40 por 50 para que tenga 64 divisores más?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 6

2. Si: N = 13n + 2 – 13n tiene 75 divisores compuestos, hallar el valor de n

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

3. Indicar la suma de cifras del número de divisores de 600

A) 6 B) 3 C) 9

D) 12 E) 15

4. ¿Cuántos divisores compuestos tienen el número 360?

A) 20 B) 21 C) 22

D) 18 E) 19

5. Determinar el número de divisores pares del numeral 360

A) 45 B) 40 C) 18

D) 65 E) 70

- Potenciación

I. Potenciación (nk).-

Es una operación directa en la cual un número (potencia perfecta) real positivo, resulta la multiplicación de otro número real por si mismo, un número entero de veces.

Forma general: veces"K"

a...aaa = ak P

Donde:

* a base (a R)

* k exponente, indica el número de veces que “a” se multiplicó por sí mismo. (K R)

* p Potencia (P R)

Propiedades.-

1) Ley de uniformidad: “existe solo un número, tal que dicho número es la potencia perfecta resultante de elevar un determinado número a un determinado número a un determinado exponente”.

2) Ley de la monotonía: Si Rkabab

baba

kk

kk

3) Ley distributiva: pwmwkwwpmk cbacba mw

kww

m

k

b

a

b

a

OBS:

- La potenciación solo esta definida cuando el exponente al cual se eleva la base es un número entero. - En la potenciación no existe propiedad conmutativa ni propiedad asociativa.

Ley de signos.-

() (+)PAR

= + () (-)PAR

= +

() (+)IMPAR

= + () (-)IMPAR

= -

OBS:

1) a k El exponente “k” solo afecta a la base, no al signo

( a) k El exponente “k” afecta a la base y al signo por ser operador de ambos.

Propiedad Fundamental.-

a k es potencia perfecta de “k” si:

kkkkk 1...pnma

1...pnma

Donde: "K"dedivisores...;;

""deprimosfactores1...;n;m

1) Cuadrado Perfecto o Potencia Perfecta de base 2 (N = P 2k

) Es aquel número que posee raíz cuadrada exacta y que posee un número impar de divisores.

* Modos de inclusión del cuadrado perfecto.-

1) Todo número será cuadrado perfecto si y solo sí todos sus factores primos presentan exponentes

múltiplos de 2. Ejm: k224 P144232144

2) Todo número será cuadrado perfecto si y solo sí dicho número es múltiplo de 4 (PAR) ó 140

(IMPAR). Ejm.: 100

= 102 100 = 4

0

(PAR)

3) Todo número será cuadrado perfecto si termina en un número par de ceros y el numeral formado por las cifras distintas de ceros es cuadrado perfecto. Ejm: 900 = P

2k 9 = P

2k = 3

2

4) En todo número cuadrado perfecto se cumple:

Si N = P2k

N = 180

(solo en impares)

N = 99990000

;7;4;1 (solo uno de ellos)

5) Si cds...kPN k2 , se cumple:

Si c;2dcds...N

6

2

0

(solo uno de ellos). Ejm: 625 = 252

6) Si un número termina en 1; 4; 5; 6; ó 9; entonces puede ser un número cuadrado perfecto.

* Modos de exclusión del cuadrado perfecto.-

1) Todo número que termina en 2; 3; 7 ó 8 nunca es cuadrado perfecto.

2) Todo número que termina en un número impar de ceros no es cuadrado perfecto.

3) Todo número que excluye al cuadrado perfecto de un factor primo, no es cuadrado perfecto.

4) Todo número que no cumpla con la prioridad fundamental de la potenciación no será cuadrado perfecto.

* Conclusión: Todo número que es cuadrado perfecto cumple con todos los modos de inclusión y con la propiedad fundamental de potenciación.

2) Cubo Perfecto o Potencia Perfecta de Grado o base 3 (N = P 3k

)

Es aquel número que posee raíz cúbica exacta.

* Modos de Inclusión del Cubo Perfecto:

1) Todo cubo perfecto termina en cualquier cifra.

2) Todo cubo perfecto presenta todo factor primo elevado a exponentes múltiplos de 3.

3) Todo número que termina en cero es perfecto si y solo sí posee cantidad de ceros múltiplos de 3 y el número formado por las cifras distintas a cero es cubo perfecto.

4) Todo cubo perfecto cumple:

P3k

= 1ó1; 444000

= 1ó1; 999000

= 80

(solo pares)

5) Si todo cubo perfecto termina en S:

N = … cds d = 2 ó 7

c = 3; 6; 8 ó 1

* Modos de exclusión del cubo perfecto:

1) Un número no es cubo perfecto si no cumple con, al menos, uno de los modos de inclusión.

3) Un número no es cubo perfecto si no contiene al cubo de su factor primo.

- Radicación k n .-

Es la operación inversa a la potenciación, en la cual el índice de la raíz equivale al exponente, la raíz equivale a la base y el radicando a la potencia.

Forma general: nRRn KK ;

Dónde: K = Índice (K Q+ 1)

n = Radicando o Cantidad Subradical (n R+)

R = Raíz (R R+)

OBS:

Solo está definida la radicación de índice entero positiva.

PROBLEMAS

1).- Halla el menor número por el cual hay que dividir a 2260 para que el cociente sea un cuadrado perfecto.

a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39

2).- Halla un número tal que su cuadrado y su raíz cuadrada sumen 1302.

a) 36 b) 38 c) 34 d) 27 e) 50

3).- Hala un cuadrado perfecto de 5 cifras cuyas cifras son :

2; 0 ; 8 ; 5 y 7

a) 78205 b) 87025 c) 78005

d) 25084 e) 78052

4).- Cual es el menor número por el cual es necesario multiplicar a 6! para que el número resultante sea un cubo perfecto.

a) 100 b) 200 c) 300

d) 400 e) 500

5).- Si “n” es un número primo absoluto. ¿Cuál es el único número cuadrado perfecto cuya diferencia con “n” es otro cuadrado perfecto?.

a) 4

)1n( 2 b)

4

)1n( 2 c)

5

)2n( 2

d) 6

)3n( 2 e)

2

)3n( 2

- Fracciones

1) Definición: Una fracción es la división indicada de dos números enteros no nulos.

Fracción = b

a

Donde: a Z – {0}

b Z - {0}

a ºb

2) Clasificación de las fracciones: A) Por la comparación de sus Términos:

1) Fracción Propia: Es cuando el numerador es menor que el denominador.

Ejemplos: ect;1000

9;

12

7;

5

3;

7

2

2) Fracción Impropia: Es cuando el numerador es mayor que el denominador.

Ejemplos: etc;6

13;

4

9;

3

7

Numerador

Denominador

B) Por su denominador:

1) Fracción Ordinaria o Común: Es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10.

Ejemplo: etc;5

18;

7

5;

3

8

2) Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

Ejemplo: etc1000

13;

100

11;

10

3

C) Por la comparación de los Denominadores: 1) Fracciones Homogéneas: Es cuando tienen el mismo denominador.

Ejemplo: etc;5

12;

5

7;

5

2

2) Fracciones Heterogéneas: Es cuando tienen denominadores diferentes.

Ejemplo: etc;7

8;

5

2;

2

1

D) Por la Relación de los divisores de sus términos:

A) Fracciones Reductibles: Son aquellas que se pueden simplificar.

Ejemplo: etc;56

21;

12

4

B) Fracciones Irreductibles: Son aquellas cuyos términos son primos entre si.

Ejemplo: etc11

17;

19

16;

5

3

C) Fracciones equivalentes: Es cuando tienen el mismo valor, pero sus términos son diferentes. Número Mixto: Es aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria.

Ejemplo: etc;7

16;

5

23

Convertir 3

17 a mixto

17 3

3

17 =

3

25

Simplificación de Fracciones:

Ejemplos: Simplificar: 120

501̀

= 4

5

Fracción de Fracción:

Ejemplo: Calcular los 10

6

3

2de

x = 5

2

Signo de una Fracción:

1)b

a

a

a

2)

b

a

a

a

10

-2

5

4

150 120

2 3 1

6 10 5

1 2

3)b

a

b

a

4)

b

a

b

a

OPERACIONES CON FRACCIONES

1) Adición y Sustracción: Tenemos 2 casos: Caso I: Para fracciones homogéneas.

Ejemplo: 12

513

12

5

12

1

12

3

12

7

Caso II: Para fracciones heterogéneas.

Ejemplo: 7

2

2

1

4

3

M.C.M (4; 2 y 7) = 28

Luego: 28

27

28

835

28

81421

2) Multiplicación:

Ejemplo: x x = 15

1

3) División:

Ejemplo: 4

7

6

5

Primera Forma: x = 21

10

Segunda Forma:

=

= 21

10

PROBLEMAS

El producto del numerador por el denominador de una fracción es 52514.Hallar dicha fracción si al ser simplificada se

obtiene 14/31.Dar la diferencia de los términos.

a) 142 b) 153 c) 168

d) 187 e) 179

2. Hallar una fracción equivalente a 7/12 sabiendo que si al termino menor le sumamos 70 para que el valor de la fracción

no se altere entonces el otro termino debe triplicarse.

a) 28/48 b) 42/72 c) 56/96

d) 35/60 e) 21/36

1 4 5

1 4 8 1

3

1

9 6

3

-5 6 3

7 4 2

7 4

-5 6

7

2

x 6 -5 x 4

3. ¿Cuál es el quebrado de denominador 180 que este comprendido entre 1/9 y 1/10?

a) 26/180 b) 21/180 c) 20/180

d) 19/180 e) 22/180

4. La fracción 23/55 está comprendida entre 2 fracciones homogéneas cuyo denominador común es 19 y los numeradores

son 2 enteros consecutivos. Hallar estos números.

a) 6 y 7 b) 8 y 9 c) 20 y 21

d) 7 y 8 e) 19 y 20

5. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 68/119 existen tal que sean de la forma ab/ba?

a) 5 b) 2 c) 3

d) 1 e) 4

- Razones y proporciones

I) Razón o Relación.- Es la comparación entre 2 cantidades por medio de las operaciones inversas básicas (sustracción y división)

Clases de razones o relaciones.-

1) Razón aritmética.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio de la diferencia.

Notación: a – b = r (“a es mayor que b en r unidades”).

2) Razón Geométrica.- Cuando la comparación entre las 2 cantidades se realizan por medio de la división. Notación.- a : b = r (“a es producto de b por r”)

3) Razón Armónica.- Es la comparación por sustracción entre las inversas de 2 números que forman razón aritmética.

Notación: qb

1a

1

Qq;b

1;a

1

razónladevalorq*

uentesecconb

1*

eantecedenta

1*

II) Proporciones.-

Es la igualdad de 2 tipos comunes de razones (de la misma clase) o mayores de 2.

Clases de proporciones.-

Zr;b;a

razónladevalorr*

uentesecconb*

eantecedenta*

Zr;b;a

razónladevalorr*

uentesecconb*

eantecedenta*

1º

3º

1) Proporción Aritmética PA 2) Proporción Geométrica PG 3) Proporción Armónica PH

NO

TA

CIÓ

N

"daesc

comobaesa"

4321

dcba

d

c

b

a

“a y b son proporcionales a c y d”

d

1

c

1

b

1

a

1

“1/a es a 1/b como 1/c es a 1/d”

Donde: a c (e inversas) = Antecedentes b d (e inversas) = consecuentes

PR

OP

IED

AD

cbda

b1

c1

d1

a1

PR

OP

OR

CIÓ

N D

ISC

ON

TIN

UA

O D

ISC

RE

TA

dcba

Donde: a; b; c; d; = 4ta Diferencial década uno respecto a los otros 3.

Zdcba

d

c

b

a

Donde: A; b; c; d = 4ta Proporcional respecto a los otros 3 (en ese mismo orden)

Zdcba

d

1

c

1

b

1

a

1

Donde: 1/a; 1/b; 1/c; 1/d = 4ta Armónica respecto de los otros 3 (es ese mismo orden)

Qd

1c

1b

1a

1

Para lo problemas, la cuarta diferencia, proporcional o armónica es considerado como el segundo consecuente.

PR

OP

OR

CIÓ

N C

ON

TIN

UA

O IN

SD

ISC

RE

TA

cbba

Donde: b = Media Diferencial o Aritmética. a; c = Tercia diferencial o Aritmética respecto de los otros 3 términos.

ca

2

cab

c

b

b

a

Donde: b = Media Proporcional o Geométrica. a; c = Tercia proporcional o Geométrica respecto de los otros 3 términos.

ca

acb

c

1

b

1

b

1

a

1

Donde: b = Media Armónica a; c = Tercia armónica respecto de los otros.

ca3

ca

ac2

b

1

cbda

1°

2°

3°

4°

Para los problemas, la tercera o tercia Aritmética, Geométrica o Armónica es considerado como el segundo consecuente.

OBS: Si no se determina que tipo de razón o proporción se establece en un problema, se asume que es GEOMÉTRICA.

Serie de Razones Equivalentes (S.R.E).-

1) Serie Aritmética: * S.R.E.A Continua: Forma

General: a – b = b – c = c – d = d – e =_

* S.R.E.A. Discreta: Forma General: a – b = c – d = e – f = …

2) Serie Geométrica: * S.R.E.D. Continua: Forma

General: ke

d

d

c

c

b

b

a

* S.R.E.G. Discreta: Forma

General: kf

e

d

c

b

a

NOTA: Propiedades de las Series Geométricas:

Dado: kf

e

d

c

b

a

1) kfdb

eca

2)

;Kfdb

eca N

N = N° de

razones

3) P

PPP

PPP

Kfdb

eCa

PROBLEMAS

1. a) Dos números son entre sí como 3 es

a 5 y su suma es 96. Calcular la

diferencia de dichos números.

Rpta.: ……24………………

b) Calcular A x B, si 5A = 4B además

A + B = 72. Dar como respuesta la

suma de sus cifras.

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

2. a) Dos números se encuentran en la

relación de 5/4 y su producto es

980. Hallar la suma de dichos

números.

Rpta.: …………63…………

b) El producto de dos números es

250 y están en relación de 5 es

a 2. Hallar el doble del mayor.

a) 10 b) 30 c) 50 d) 70 e) N.A.

3. a) En una reunión se observo que por cada 3 mujeres, había 7 hombres. Además el número de hombres excede al de las mujeres en 28. ¿Cuál es la relación de hombres a mujeres si se retiran 14 parejas?

Rpta.: ………………1/5……

b) En una fiesta asisten 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas. Por cada mujer ¿cuántos hombres queda?

a) 1,5 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 1

4. a) En un instante el número de varones y el número de mujeres son como 7 es a 8 cuando se retiran 6 varones quedan en la relación de 25 es a 32. ¿Cuántas mujeres habían en el salón? Rpta.: ……84………………

b) Las edades de 2 personas están en relación de 5 a 7, dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. Hace 10 años ¿cuál era la relación de sus edades?

a) ½ b) 2/3 c) ¾ d) 4/5 e) 1/3

5. a)En una universidad la relación de hombres y mujeres es de 5 a 7, la

relación de hombres en ciencias y hombres en letras es de 8 a 3. ¿Cuál es la relación de los hombres en ciencias y el total de alumnos? Rpta.: …………2/33…………

b) En un examen los problemas resueltos y no resueltos están en la relación de 2 es a 3. Dentro de los problemas contestados, el número de problemas resueltos correctamente y los que no están en la relación de 1 a 2. ¿Cuál es la relación de los problemas mal contestados con respecto al total?

a) 1/15 b)3/15 c)2/15 d)7/15 e) 4/15

- Regla de tres

1. CANTIDADES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D. P)

Dos cantidades son D.P si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye en ese

mismo orden.

kb

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1 Constante de Proporcionalidad.

2. CANTIDADES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I . P)

Dos cantidades son IP si al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta en ese mismo orden.

Ejem :

k

q

1

P

q

1

P

q

1

P

3

3

2

2

1

1

3. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES SIMPLE :

Dadas tres cantidades y una incógnita pertenecientes a dos magnitudes diferentes determinar la incógnita.

DIRECTA

Si las cantidades son D.P. (directamente proporcionales)

Ejemplo 1

- Si un móvil recorre 120 km en 8 horas. Determina en cuantas horas recorrerá 30 km.

Solución :

Distancia(km) Tiempo (H)

120 8

30 x

Son magnitudes D.P

Luego : x = 120

8x30 = 2 horas

INVERSA.- Si las cantidades son I.P. (inversamente proporcionales)

Ejemplo 1 :

- Si 209 alumnos tardan 30 días en pintar su salón de clase ¿Cuanto tiempo tardarían 60 alumnos?

Solución :

Tiempo N° alumnos

30 20

x 60

Son magnitudes I.P.

Luego x = 60

20x30= 10 días

PROBLEMAS

1. 24 obreros hacen una casa en 30 días. El triple de obreros ¿Qué tiempo tomarán para hacer la misma obra?

a) 30 b) 20 c) 10

d) 40 e) 5

2. Un auto a 60 km/h, cubre la distancia de Lima a Piura en 16 horas. ¿A qué velocidad debe recorrer para cubrir dicha distancia en la mitad del tiempo?

a) 190 b) 140 c) 130

d) 120 e) 110

3. Un obrero gana S/. 50 por los 5/9 de su labor diaria. ¿Cuánto gano por su labor diaria completa?

a) 90 b) 40 c) 30

d) 20 e) 10

3. ¿Cuántos soles se necesitan para hacer un giro de 960 dólares, estando el tipo de cambio o S/. 3.45 por dólar?

a) 331 b) 3312 c) 3120

d) 3512 e) 1335

4. En un cuartel 200 soldados tienen víveres para 40 días, si se cuatriplica el número de soldados. ¿Para cuánto tiempo durarían los víveres?

a) 10 b) 20 c) 30

d) 5 e) 15

5. Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó 3600 soles. ¿Cuánto se pagó por un cubo de 15 cm de arista?

a) 9730 b) 9720 c) 97200

d) 5740 e) 5720