a la empresa. tesina que presentan las alumnas: i …148.206.53.84/tesiuami/uam9088.pdf ·...
TRANSCRIPT
A L A EMPRESA.
Tesina que presentan las alumnas:
Rosa Maria Hered i a Perez I
Cama requ i s i to pa ra ob tener e l t i tu lo de la L icenc iatura de
l a cat-rera de Economia de la Universidad Autdnoma Metropolitana
Iztapalapa.
.M&xico D.F.
10-Agosto-90.
INDICE
PKOGKAMACION LINEAL APLICADA A, LA EMPRESA
PRESENTACION ................................... 4
CAP I TUL0 I ANTECEDENTES
1.1 Historia de la Programacibn tineal .......... 14
1.2 Antecedentes MatemAticos para la com-
prensibn de la Programacidm Lineal .......... 17
1.3 M&todo Simplex .............................. 33
1.4 Paquetes de Computo usuales .................. 50
CAPITULO I 1 TEORIA DEL CONSUMIDOR
2.1 Preferencia y Utilidad ...................... 54
2.2 Curva de Demanda ............................ 79
2 .3 La Familia como unidad Consum. idora .......... 98
CAPITULO I 1 1 PROBLEMAS DE L A PRODUCCION
3.1 Objetivos y restricciones de la Empresa ..... 107 3.2 Funcidn de Produccidn ....................... 114
3.3 Curvas de Costos ............................ 122
3.4 Desarrollo de Modelos de Produrcibn ......... 129 Ejemplos
CAPITULO IV PROBLEMAS DE TRANSPORTE
4.1 El modelo de transporte ..................... 158
4.2 Costos de Tansporte ......................... 160 4.3 Ejemplos .................................... 164
1
CAP1 TUL0 V PROBLEMAS DE CARGAS DE MAQUINAS
5.1 Desarrolla de Modelos de asignacibn
de tareas .................................. 182
EIHLIOGRAFIA ............................... 205
J
Esta investigacibn
microeconbmico, donde se
Lineal en la empresa,
FWESENTAC ION 1 0 9 7 2 7
5e encuentra ubicada dentro del nivel
analiza la aplicacibn de la programacibn
esta abarca un analisis dentro de las
asignaturas de Matematicas I 1 1 y de Matematicas V, que son
impartidas en la Licenciatura de Economia de la Universidad
Autrjnoma Metropolitana Iztapalapa, explicando la utilidad de este
instrumento matematico en la empresa, desde el punto de vista
econbmico, puesto que &sta herramienta tiene un campo muy amplio
de aplicacibn, es decir como puede ayudarnos a obtener resultados
bptimos de produccibn mediante el LISO de recursos limitados, como
minimizar los costos cuando estamos sujetos a restricciones en los
recursos d i spon i b les.
La aplicacibn de la Programacibn Lineal en la empresa es un
tema muy importante, que 5e analiza con el propbsito de explicar a
fondo esta tecnica matematica, que es utilizada hoy en dia por las
empresas, ver como influye esta tBcnica para las tomas de decisirjn
industrial e introducir en esta investigacibn la forma de
aplicacibn de dicha tbcnica a la realidad en lar empresas, a fin
de tener un panorama amplio en el estudia de la Programacibn
Lineal.
El estudio de esta investigacibn se realiza con el interas de
dar- a conocer a los alumnos de la Licenciatura de Economia la
utilizacirjn de esta tknica matematica en la economia, en
4
particular en las empresas, puesto que la Programacibn Lineal
tiene una amplia utilizacibn.
Haciendo una revisibn del programa de matemAticas V,
encontrando de manera no clara, la aplicacibn de la Programacibn
Lineal en la EconGmia. Se realizd una encuesta de 50 alumnos de la
Licenciatura de Economia UAMI, a los cuales se les pregunto si la
Programacidn Lineal enseñada en los cursos de Matematicas I11 y
MatemAticas V, tenian conocimiento de la aplicacidn de &Sta
tkcnica en la5 empresas' d como se da la aplicacibn en economfa con
relacidn a la realidad. Concluimos que de estos 50 alumnos. el
76% no tiene claro cual es la aplicacibn de la Programacibn Lineal
en la empresa, explicaron los entrevistados que es necesario tener
un conocimiento mas amplio sobre la utilizacjbn de este
instrumento, as1 mismo explicaron la necesidad de contar con un
buen material didactic0 que facilite la comprensibn de Bste tema,
ampliamente.
Existe una serie de investigaciones que tratan el tema de la
Programacibn Lineal, dandole un enfoque matematico, que es la
principal virtud de la Programacidn Lineal, revisando trabajos
anteriores como son libros de texto de Economia, apuntes,
antologias, se analiza lo siguiente: en los libros de texto de
economía dividen el tema en dos partes, la parte grifica en donde
el modelo matematico del problema en cuestibn contiene una funcibn
lineal de ganancia b una funcibn lineal de costo, . junto con un
sistema de desigualdades lineales que constituyen 1 as
restricciones. Las funciones que van a ser optimiradas se llaman
funciones objetivo en la solucibn grdfica se le da gran
importancia a los sistemas de desigualdades de primer orden t,
grado, asi como a la geometrid analitica, para el trazado de
dichas graficas. En la parte algebraica se emplea un procesjo
algebraic0 que se puede aplicar en problemas con varias variables,
esta tkcnica se denomina mdtodo simplex b algoritmo simplex que
sirve para maximizar el ingreso b ganancia b minimizar costos. El
mktodo es un procedimiento sistemAtico para pasar de la 501UCibn
posible a otra, para cada problema de maximizacibn existe un
problema de minimizacidn asociado llamado 5u Dual.
El analisis de apuntes b antologias de las asignaturas
matemditicas I 1 1 y matematicas V impartidas en la licenciatura de
Economia ( U A M I ) , tienen un enfoque de guia problemario que no
satisface completamente las espsctativas de su5 lectores, el
alumno espera relacionar 105 conceptos de Economia con problemas
abstraidos de la t-ealidad y poder resolver cualquier problema que
involucre pardimetros econbmicos. Se trata entonces de elaborar una
antologia que contengan conceptos teoricos y practicas para la
solucibn de problemas que involucren Programacibn Lineal, tratando
de llevarse al cabo en forma didktica.
OBJETIVOS DEL TRABAJO
Se tienen antecedentes matemhticos insuficientes, siendo
&%tos muy importante para un mayor comocimiento del tema. Teniendo
un mbtodo de estudio incorrecto, infarmacibn no suficiente, a5í
como la no existencia de material didactico, acadhmico en la5
antologias, existentes, todos estos factores causan un gran efecto
en que la programacibn Lineal no se interpreta totalmente.
E1 objetivo de la investigacibn del tema que nos ocupa es:
proporcionar a los interesados (alumnos, profesores) material
diddctico en este caso apuntes para comprender 105 conceptos
teot-icos y practicos de la aplicacibn de la Programacibn Lineal en
la empresa b fabrica. Dentro de los conceptos teorícos se
recordaran 1 0 5 antecedentes matematicos para poder entender los
m4todos gt-aficos y algebraic05 en la progt-amacibn lineal, dichos
antecedentes son la comprensibn absoluta de Sistemas de ecuaciones
lineales ademas de Geometría Analítica ya que la carrera de
Economía t-equiere de antecedentes maternaticos elementales, tener
infot-macibn de modelos matemhticos abstraidos de la realidad en
las empresas que apliquen Programacibn 1 ineal elaborar gt-hf icas
reales, con datos especlficos. Recomendar al estudiante m&todos de
estudio como investigacibn dirigida, confer-encias, visitas a
empresas, bibliografía etc.
En la empresa b negocio siempre se mide el fundamento en
funcibn de la r-elacibn de gastos realizados y las ventas obtenidas
7
este cociente establecera si la industria b negocio es rentable b
no por tal motivo la Gerencia enfrentara e1 problema de
rentabilidad. Si la Gerencia se decide por el procedimiento
matematico se aplicara la Programacibn Lineal, durante el tiempo
que requiera su aplicacibn y resultados que generalmente es de un
año. Este procedimiento tiene gran auge en las empresas
maquiladoras del Norte de Pais.
Para la compresibn de la programacibn lineal aplicada en la
empresa r f , negocio es necesario seguir un mbtodo b procedimiento
desde el punto de vista matemAtico y econbmico, para el tema que
no5 ocupa.
Se analizar& la informacibn escrita en los iibros de texto
que en su contenido tiene una serie de elementos matemAticos que
son desigualdades, geometria analitica, algebra, aritm&tica.
Las desigualdades se uti 1 izan para del imiltar las
restricciones del modelo econbmico en estudio; la geometrid
analitica ayuda a elaborar las grAficas correspondientes; la
aritmLtica y Algebra son herramientas necesarias para llegar a un
resultado; ademas se utilizan t&rminos econbmicos.
Tambikn, se puede tener informaci,bn mediante problemas
abstraidos de la realidad, como por ejemplo: las empresas
manufactureras en donde se realiza carga de maquinas, que
significa programar la maquinaria para la produccibn maxima con el
minimo costo t, se programa el transporte de sus productos a
8
diferentes mercados de consumo; toda esta informacidn se puede
obtener con intercambios de proqramas escuela-industria mediante
los cuales se pueden programar visitas a las empresas que apliquen
1 a p rog ramac i bn . Cuando las variables h restricciones son numerosas el
procedimiento de maximizacibn C, minimizacibn siegQn el caso; se
apoya en la informatica.
El uso de las computadoras en los tiempos modernos reduce el
tiempo en las solucianess de las variables propuestas; claro esta
que no en todos los negocios es necesario aplicar la informAtica
si &stas no manejan un gran nllmero de variables, sin embargo el
departamento de capacitacibn en la empresa deberd tomar en cuenta
la alternativa de la infarmAtica; y es necesario que el alumno
desarrolle el m&todo simplex; aunque se tenga el apoyo de las
computadoras, nos introduciremos en el Algebra matricial.
9
En el capítulo I se menciona brevemente la historia de la
Programacibn Lineal, se introducen antecedentes matemAticos para
la comprensibn del tema siendo Lstos elementos para encontrar la
solucihn bptima de los problemas. Tener conocimiento de los
paquetes que nos ayuden a t-esolver problemas complejos,
En el capitulo I 1 se hace referencia a la teoria del
consumidor. Analizando la conducta del consumidor, preferencia
utilidad, la curva de demanda y a la familia como unidad
consumidora, tomando en cuenta la restriccidn pr-esupuestaria.
En el capitulo I 1 1 se menciona de manera general los
objetivos y las restriciones a las que esta, sujeta la empresa. Se
analiza la funcidn de produccidn introduciendo las curvas de costo
y desarrollando modelos de produccidn para maximizar la produccidn
y las ganancias y minimizar los costos de produccidn. Ademas se
compara el andlisis marginal con el an&lisis lineal.
En el capitulo I V se analiza el problema de transportacibn de
productos & servicios a los diferentes centros de consumo la
finalidad del modelo es conocer la cantidad que debe transportarse
desde cada uno de los origenes a cada uno de los centros de
consumo, para suprir la demanda y minimizar el costo total del
transporte.
10 ,., _-. .. .,,,.,-, ~ " _ .,.. . . , ." .,., , . """* - -.
En el capitulo V se estudia el modelo de carga de maquinas
que consiste en programar la produccidn diaria, semanal, mensual (3
por aña. Para progt-amar la produccidn es necesario tomar en cuenta
la maquinaria y equipo disponible asi como los recursos humanos
disponibles. La solucibn matematicas es similar al modelo de
transportacidn.
AGRADECEMOS A LOS PROFESORES :
DR. LEONARD0 CHAPELA CASTCSÑARES
ING. ANTONIO JORGE PEREZ HERNANDEZ
MAT. ARMANDO SAAVEDRA ESPINOZA
MTRO. GUILLERMO MARTINEZ ATILANO
POR EL GRAN Aroyo quE NOS BRINDARON DURANTE LA ELABORACION DE
ESTE TRABAJO Y QUE NOS GUIARON ADECUADAMENTE.
C A P I T U L O I
A N T E C E D E N T E S D E L A
P R O G H A M A C I O f l L I N E A L
1 HISTOHlA DE LA FROGRAMACIGi\l LINEAL
La Pt-ogramacibn Lineal se plantea cam0 p o s i b l e s o l u c i d n a
problemas de tipo econbmico desde 1759, cuando Quesnay publicd su
"TABLEAU ECONOMIQUE" en donde t r a t a de a n a l i z a r y optimizar la
i n t e r r e l a c i b n econbmica e n t r e a r t e s a n o s y campesinos, elaborando
u n modelo matematico.
Sin embarga en 1874 L. Walr*a;i v o l v i b a intentar- expt-esar- en
forma de u n s o f i s t i c a d u modelo matematico, relaciones que
empleaban c o e f i c i e n t e s t e c n o l b g i c o s , e l modelo fue complicada con
l a s c a s i n u l a s h:?t-t-amientas de cbmputo que fueron: sumadora de
pascal del año de 1642, maquina calculadora de Charles Babbage del
ai30 1834, her-t-amientas imprActicas para la r.oiuciCI1 del problema.
Con el tt-anscut-so de l o s años estos primeros intentas fuerbn
a l v i d a d o s . Fue en 193:) que un equipo de e c o n b m i s t a s A u s t ~ i a c o s y
Alemanes tr-abajarbn en e l modelo de Walt-as, &Sto motivb que Von
Neumann (1932), quien publicb " A MODEL O F GENERAL ECONOMIC
EQUILIERIUM" formulaba un modelo de Progt-amacibn Lineal en e l c u a l
introducid m&todo$s altermativos para producir un c i e r t o a r t i c u l o
solamente (3 una l i n e a de articulas en forma econbmica, tomando en
c u e n t a l a i n f l u e n c i a d e l mercado, f a c t o r e s de pt.oduccibn - y
t-ecut-sos e s c a s o s a p a r t i r de entonces fuet-dn una s e r i e d e
i n v e s t i g a d o r e s que contt-ibuyet-bn a l a pr-ogramacidn l i n e a l y que
son: Leotief, Dantarovich, Koopmans, Hitchcock.
E x i c t l a un problema en l a a p l i c a c i b n de l a programacibn
l i n e a l que f u e e l tiempo qua requet-ia e l computo de problemas
r e a l e s , e s t o s SE? debía al defasamiento d e los instrumentos .
computadores. En 1 9 Y O Hollerith drsat-roll13 una c l a s i f i c a d o r a
e l k c t r i c a que ,podia seleccionar 300 t a r j e t a s p e r f o r a d a s p o r
minuto. Pero e l pt-imer computador elckctronico f u e dessiart-o1 lado
por- e l D r . John W. t'lauchly y J. F. Ecker-t, con la colaboracibn d e
Von Neumann, b a j o e l p a t r o c i n i o d e l e j & . r c i t o d e 1 0 5 E . U . A . ,
dur*ante l a segunda guer-t-a mundial, en la Universidad de
F'ensilvania (1943-1949). EL. avance de la computacibn elrctrbnica
permitib a Dantring diseñar s u ra&todo simplex (1947) para la
resolucibn de problemas de programacibn lineal; metodo que en
cor-to tiempo fue adoptado por l o s i n v e s t i g a d o r e s p a r a l a
optimizacidn en d i f e r e n t e s t-amas del conocimiento con magnificos
r e s u l t a d o s . EN 1957 se logrb r-esolver un mBtodo d e l modeio de
programacidn lineal conteniendo hasta 200 r e s t r i c c i o n e s p a r a 200
v a t ? i a b l e s , u t i 1 izando e l mBtudo simple:.:.
En diferentes sector-es de l a i n d u s t r i a 5u f i n a l i d a d es
producir bienes y s e r v i c i u s , adenr<?,!s, e x i s t e l a pr-oblemAtica d e
como aurnentar la produccibn y r e d u c i r c o s t o s d e produccidn, por ' l o
t a n t o e x i s t e n d i . f e r e n t t . s a l t e r n a t i v a p a r a una p o s i b l e s o l u c i h n .
Desde e l punto de v i s t a de ingerlieria indus%rial se deber4
a n a l i z a r e l c i t - c u í t o de produccidn; empezando por e l costo q u e
cause la transportacidm d e l a mater-ia prima, ir:i-luyartdo e l control
d e c a l i d a d de Bsta, se a n a l i z a r a tambiPn e l e q u i p o y l a maquinat-id
d i s p o n i b l e pot- que ~ ~ n a i n c o t - r e c t a d i s t t w b u c i b n d e p l a n t a implica
costos a d i c i o n a l e s , e n e l m a n t e n i m i e n t o p r e v e n t i v o .
L a p r o g t - a m a c i b n l i n e a l es u n a t e t n i c a matamatica d e
o p t i m i z a c i b n , por- l o g e n e r a l sie hace r e f e r e n c i a a un mhtodo que
i n t e n t a m d w i m i z a r C, m i n i m i z a r a l g u n o b j e t i v o como por ejemplo
m i x i m i z l a r u t i l i d a d e s , m i n i m i z a r costos. Se puede m e n c i o n a r que l a s
i n q u i e t u d e s e n el A r e a de l a p t - o g r a m a c i b n l i n e a l d a t a n d e muchos
años att-as, p o d e m o s d e c i t - q u o l a p r o g r a m a c i b n l i n e a l , se logr-(3
como u n p t - o d u c t o de las matemhticas m o d e r n a s en 1947 - c u a n d o
D a n t z i n g p u b l i c b e l mktodo s imple : . : . Las p t - i m e r - a s a p l i c a c i o n e s
f u e t - b n d e t i p o m i l i t a r , a u n q u e p r o n t o se h i z o a p a r e n t e su
p o n t e n c i a l i d a d e n l a s o l u c i b n d e p r o b l e m a s d e t i p o i n d u s t r i a l .
l. 2 PROGRAMAC ION LINEAL, FOKMULACION
Y SOLUCPONES GRAFICAS
Objetivo: Se estara familiarizando con la naturaleza y el
Algebra de las desilgualdades lineales, se tendrh posibilidad de
determinar en farma grAfica el conjunto solucibn para un sistema
de desilgualdades lineales, se manejarh la tkcnica matemhtica
denominada programacibn lineal, podrbn ser formulados poblemas de
p rog ramac ibn 1 ineal y se sabra como resolverlos ~ Í I .forma grb f ica
cuando incluyan dos variables de c?',zcisic!m.
El mktodo simplex, es un procedimiento de solucibn que esta
basada en el Algebra y que resulta apropiado cuando los m&todos
grdficos no lo son.
Las desi Igualdades son importantes cn cievtca problemas de
tecnologia, industrial y negocios; en matematicas avanzadas
especialmente en probabilidad y cilculo. Se analizaran las
propiedades de las desigualdades y la forma de resolverlas. La
solucibn de desigualdades con una variable es semejante a la
solucibn de ecuaciones con una variable se resulven con mayor
facilidad empleando mbtodos grhficos. Una aplicacibn importante de
las desigualdades en e1 campo de la pragt-amacibn lirrcal.
Una desigualdad: es una expresirjn que contiene un signo de
desigualdad. mayor ;a menor menor < mayor
17
Propiedades de l a s desigualdades
1 ) Propiedad da adicibn. S i a :::. b ='. a + c > b + c
2 ) Propiedad de multipl icacitm. S i a > b y c 0 => ac > bc
a b 3) Propiedad d e la d i v i s i h . ---- ;> "-
C C
C C
Cuando una desigualdad se m u l t i p l i c a b s e d i v i d e por u n
nQmer-o n e g a t i v o , e l s i g n o de la desigualdad se i n v i e r t e .
Ejempio 1:
con propiedades de 105 nQmet-os r e a l e s :
o. o o. 5 o. S 2. o
o. 5 0 . 5 o. 5 - (3. S - ""- <: ""- - ""_ Y ----- (-1 < -y < 3) (-1)
\
18
1 :* y ? -3
""""""
1 - 3 < : y < 1 1 I - I """"""
Resuelva cada una de las siguientes desigualdades lineales.
5) y - 1/2 2. 1 - y12
Fuente: Fundamentos de matemAticas Kramer /Srthur D.
19
Grificas de desigualdades can dos variables
Una ecuacibn en dos variables representan una recta b una
curva al gra+icarse, mientras que una desigualdad en dos variables
representa un Area al graficarse.
La desigualdad representa el Area por encima de la recta y =
3 l a recta se muestra punteada,d&bido a que no esth incluida en la
La desigualdad incluye a la recta de la frontera y = -2 Y el
Area debajo de ella, por .eso la recta se muestra como una linea
continua. El Area por encima de la recta es y > -2.
20
La frontera del Area es la recta y = x. La desigualdad
representa el Area, por encima de la recta pero no la incluye, así
que se muestra punteada el area p o r abajo de la recta es y .( x .
-u 1 I 1 -4 -3 -2 -1 . ' o 1 2 3 4
NOTCI: La frontera del Area es la recta y = x ksta recta e5 una
funcibn idkntica, parque para cada elemento del dominio (eje "X")
1 e corresponde el mismo valor en el (eje " Y ' l ) codominio,
ademas e5 una recta con un Angulo de 45 cuya pendiente es el
valor 1. S i analizamos el area sombreada de la desigualdad y > x y
proponemos parejas ordenadas, concluimos quo las ordenadas (y),
son siempore mayores que las abscisas ( x ) .
o > -1
-1 > -2
-2 > -3
F ( x ) > x siempre.
Fuente: Fundamentos de Matematicas Kramer Arthur D.
PROCEDIMIENTO BASICO PARA GRAFICAR DESIGUALDADES
1.- Tratar la desigualdad como ecuacibn y grafique la ecuacibn. La
ecuacibn es la frontera del Area de la desigualdad que se muestra
punteada para los signos ::. b .< y continua para ? :j <. - -
2.- Se sombrea el Area por- encima de la grafica de la ecuacidn si
la desigualdad es de la forma y :+ F ( x ) d y > FO:). Se sombrea el
-Area por abajo de la gr-Afica de la ecuacibn, si la desigualdad es
de la forma y .< F ( x ) 13 y .Cl I=(>:). - 3.- Se sekcciona cualquier punto ( X , Y ) que no pertenece a la
gt-Afica de-la ecuacidn y se ~justituye en la desigualdad. Si el
desigualdad, bsta en sl A m a sombr-eada y
G r a f ique 3x + Y > 3
" -2 -1 O 1 2 3
23
El punto no satisface
la ecuacibn
3>: + Y = 3
I x I y I 3:.:+y=3 I L L
I o I 3 I 3(0)+Y=3 I (0,s) I 1 1 y = 3 1 I 1 1 (3 I 3'X+6=3 I ( 1 ,O) I I I 3 X = 3 I 1 I 1 x=3 I I I I "-= 1 I I 1 1 9 I """""""""
24
Por l o tanto, se sombrea e l a r e a pot- encima de l a r e c t a se
prueba e l p u n t o F'(0,O). en la desigualdad.
Fuesto que el punto satisface la desigualdad, el punto se
encuentra en el Area sombr-eada.
Ecuacibn genet-al de la recta: A:.: + by + C
x Y
a b Ecuacidn sim4tt-ica de la recta : --- +- t -X
Procedimiento: Llevando la ecuacidn general de la recta en su
forma s imktr ica .
2,: - 3 y = 4
Y
\
26
x Y K Y X Y --- + --- = 1 . .Comparando ecr: --- -+ --- 3 rL .J
=I ”“. -> ”- + m” -1 -3 7 .“2 a ti
27
Y b "- = "- x-a -a
Y - Y 1 y 2 - Y 1 y - (:) b - O
>: - ;.: 1 x2 - ;< 1 ;< - a O - a """" = """"- = """_ E """-
A x + By + c = o
by = -A>: - c -A x C
B B Y = "" - ---
y = m:.: + b
Donde m = -A
Es e"
-C
El b sz ---
:.: Y
a b
-" + --- = 1 ec. s imgt r ica de la r e c t a
28
"_ I-
Aplicando la t d r m u l a de la p e n d i e n t e de una recta:
y - b . m = ------- . . m :.: = y - b . . y - b = m x . . I y = m x + b I
:.: """"""
I y = m:.: + b I Ecuacibn ~ lsua l de la recta. """"""
I y2 - y1 I 1 m = """"_ I I x 2 - x1 I """""""_
2 x - 3y = h A = 2 E = -3 C =: -6
u-
% -
1 '
-1 - -2 - b = -
-3 - /' -4 - a
-6 L -4
I
-9 I
-1 O
8
1 2 3 4 6 e
Fuente: Fundamentos de matemiticas. Kramer Arthur D.
30
10972’7 SISTEMAS DE DESIGUALDADES: PROGRfiMACION LINEAL
Los sistemas de desigualdades se presentan al resolver-
problemas tecnoldgicos y pr-oblemas en la industria y los negocios
que esten sujetos a limitaciones b restricciones.
Ejemplo: Resolver- el sistema de desigualdades.
:.: Y “- + --- = 1 1 o 10
2: Y
a b
”- + “- = 1
Y 12 1
O 1 2 3 4 6 6 7 8 O l O 1 1 1 2 1 3 1 4 1 0 O 1 2 3 4 6 6 7 8 O l O 1 1 1 2 1 3 1 4 1 0
31
;< 3 y 15 y ::. 10 "m + "" = ""m
1s 15 15
:: 3/3 y "m + I"""" 1 = 1 1 5 15/3
:: Y
a b "- + "- = 1
Verdadero Falso
Falso hacia abajo.
Fuente: Kovacic Matemdticas Aplicaciones a las Ciencias
Econdmicas - Administrativas
1.3 METODO S I M P L E X
M A X I M I Z A R
Funcibn Objetivo en forma general z = C1 X1 + C2 x 2 + . . . . Cn Xn
Sujeto a restr icciones: a x . . .. a X I < I I b l I 11 1 I n n I - I I I
I I 1 I a ;.: .... a x I > I I b 2 I
21 1 2 n n I - I I I I I 1 I
a :.: .... a3nXn I = I I bm I 31 1 " " "
sistema de ecuaciones
a m X + am ... am X 1 1 A n n
Notar Cuando e< se suma la var iab le de holgura.
Cuando > s e r e s t a l a v a r i a b l e de holgura.
Cuando = se agrega una v a r i a b l e a r t i f i c i a l . -
En la funcihn objetivo se t iene igualdad.
Ejemplo No. 1
2;< + x < 7 1 2 -
x $. 3): + h = 8 1 2 1
2 x + x + h = 7 1 2 2
x - 3x +h -c= d
1 2 3
x , x > o 1 2 -
3 3
Ahora se pasa en forma de matriz llamada matr-iz asociada del
sistema de ecuaciones.
/ I 1 I I (5 I I O I I 0
Columna basica
A
Ejemplo: No. 2 Combinada de signos
Max z = x - x 1 2
>: + 4 x .:: 3 1 2 -
basic0
Ñ A o I 0 1
I I o I 8 1
I I o I 7 1
I I 1 I 5 1
/ / No
b8sico
x - >: + x P o ' 1 2
= .3
x - 7 x +t = 1 1 2 .7
1
/ x, 3 x., ;// 3
Ñ I z :.: :.: h h t t I b I I 1 2 1 2 1 2 1 I I """""""""""""""""""""""""""-1"" I I 1 -1 1 (1) (j o o z o 1 I I I I 0 2 3 -1 (-1 1 1 I 1 1 I I I I O 1 4 o 1 !j 0 1 3 1 I I ? I (3 1 -7 o 0 o 1 I 1 1 A /
4
En este ejemplo No. 2 tenemos:
1) Por cada variable de holgura negativa que se introduzca, se le
agrega una variable artificial ( t ) 5egrLn sea el caso 1
34
( t , t ............ t ) . 1 2 n
2) Primero irAn las variables de holgura, despu&s las artificiales
en orden, por ejemplo: z , :: , x , h , h , t , t , b. 3 2 1 2 1 2
puede ser t , puede ser- t , t , etc. 2 3 4
PASOS A SEGUIR:
1 ) Una vez que ya se tiene la matriz asociada se localiza el
nbmero mAs negativo del t-engldn de la funcidn objetivo, y se toma
toda esa columna.
3) Se repite este procedimiento hasta tener todos los coeficientes
positivos en la ft.*ncibn objetiva. ksi llegamos a la solucibn del
p rob 1 @ma.
2% + ;< .5+ R 2:: + x + h - 8 1 2 1 2 2
2 x + 3% < 12 2 x + 3 x + rh = 12 1 2 - 1 2 2
Matriz CSsociada
I I V G V
I 1 (-1 -1) o I 0 I De la funcibn objetivo, el mAs I """"""""""""1"- I negativo se toma es -1 en este I 6 I I I I (3
CI L 1 1 (3 I H I C S S Q se toma cualquiera.
CI P -. 3 t:) 1 1 12 I Se toma el mas negativo t, e1
G / elemento pivote es la columna pivote.
b i 3 8 _""" = --- =; Á+
a "8 1
i j
x h 1 1
/ G 1 1 - 1 -1 (3 o I O I I I I R (1)+H1 I o 1 1/2 1 / 2 o I 4 I 2 I I I""""" I (:) 2 3 (3 1 I 12 I F\' (-2)+R2
G / 2
""""""""""-
Fuente: Prof. Armando Saavedra Curso de Matematicas V
MINIMIZAR :
x 0 = 4:.: + x 1 2
Sujeto a: 3:< + :.: 1 2
:.: + 2,; + S = 3 1 2 3
La primera y segunda ecuacidn no proporcionan variables
factibles de inicio, pero S puede 5er utilizada sumando variables
artificiales a la primera y la segunda ecuacibn y modificando
segrLn lo anterior la funcidn objetivo. La forma standar se reduce
3
- a:
Minimizar Xo = 4x + x + MH + tw 1 2 1 2
Sujeto a: 3 x + x + R 1 2 1
= 3
+ S -r 3
Donde M es un valor positivo muy grande l a forma tabular del
p r-ob 1 @ma es :
I""""-"""""""""""""""""""""
I E 1 A S I C A I X I X I X I S I R I R I S I L . P I I 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 I 2 1 3 I I I""""I""I"""""""I""""""""1""" I 1 x I 1 I -4 -1 O I -M -M 0 1 0 I I ( I I I: I I I I""""T""I"""""""I"--""""""""I""" I
I 1 1 I I h I I I R I t 3 1 3 1 0 1 0 (9 O 1 3 I
R 2
1 0 1 4 I I I o 1 1 I z
3 - 1 1 0
2 0 1 0 I
I
O 1 6
@ I 3 I
I ..........................
Primera iteracibn . Introduzca X y quite R . 1 1
I BASIC4 I Xo I X 1 I X 2 I S2 I R1 I R2 I S3 ISolucibnI I""""I""I"""""""-r-""""""""-I"""" I I X I 0 I O 1+SM -M I 4.7M O O I O I I O I I """_ 1 """ I I
I""""I""I""""""""I"""""",""I"""" I
I 1 1 I I I I
I I I 4 I 3 I 4 t 2 ~ I
I X I o I @ 1 / J 0 I 113 O C) I 1 I
7
I R I O I O 5/3 -1 I-4/3 @ O I 2 I
I S I O I O 5 / 3 O I - 1 / 3 Q @ I 2 I I 2 1 I I I I
I 3 1 I I I I "-""""""""""""""""""""""""""
Segunda iteracibnr introduzca X y quite R . 3 * 2
""""""""""_I__________________""""""""
I B A S I C A I Xo I X 1 I X2 I S2 I R1 I R2 I S3 IsolucibnI I""""I""I"""""""I"""""""""1"""" I I X I @ I ( 3 ( j O I 7/5-M -M -1/5 I 18/5 I I 0 I I I I I I""""I""I"""""""I"""""""""1"""" I
O -1/5 I 3/5 I I I
O 3 / 5 I 615 I I I
1 1 1 o I I 3 1 I I I I """"""""""_I__________________""""""""
Tercera iteracibn: introduzca S y quite S 2 3
- 1 01 I
I """"""_ ".- """""" """_ "* ."""""" ""_ """
E s t o da la ~jolucitm bptima.
A continuacidn se presentan varios problemas de programacibn
lineal en dos; variables que se t-esuelven por el mktodo grAfico.
Sujeto a
39
Para resolv¡?t- este pr-oblema necesitamos graf i c a r las
desigualdades, para encontt-at% la reg idn factible si &Sta existe.
Podemos esc r i b i r I as
rest t- i cc i ones como:
I 202
40
Esta far-ma da e s c r i b i r las res t r i cc iones nos s i r v e para saber
de qub lado de l a l i n e a ( s ) e s t a l a regibn a gr-aficar.
Sabemos que la solitcibn tl;.:iste, dado l a twgiihn f a i t i b l e no es
vacia y esta acotada, ademas que a l menos una scniur-ibn esta e n uno
de l o s vkrtices del poligano que l imita la r-egittn f a c t i b l e .
Para conocer e l p u n t o donde l a funcittn z toma s u manimo
encontramos l o s vertices d e l poligono ( A , b, C, D, E) y hacemos
una t a b l a e n la cual hacemos corresponder un v k r t i c e y el
correspondiente valor- que toma l a funcibn z en &l mismo.
2 x
5 Wrtice b: intersectamos la l inea y = 8 - --- con y S 12 - a;.: es dec i r I 1 1 y 1'
2 x + 5y = 40 (-1) 2:< + y = 12
"""""""
o;.: + 4y = 28 As1 y 7 , x = 5/2
p o r l o tanto B = (5 /2 , 7 )
Vgrtice C: intersectamos la l inea y = 20 - 4 x con y = 12 - 2 x
es decir- I 1 y 111.
4 x + y = 2(] (-1) 2 x + y " 12
"""""""
CL LX + oy = 8 Asi x = 4 , y = 4
por 10 tanto C = ( 4 , 4 )
W r t i r e D de l a g t - i f i c a : D = (3,OCS;
T A B L A
Fuente: Prof: Jorge Esquive1 Robles Fit-ofra. Rosa Obulia GonzAlez
R. Problemario da Matemiticas 111 en C.S.H.
2 7 ) Minimizar z (>:, y ) = S:.: -t 5y
Esc r i b imos l a s r e s t r i c c i one s como:
y > 12 - --- X - 2 X
y > b - --- m 2
42
I y
X
En este caso la regibn factibie n o esta acotada, por lo tanto
no sabemos si existe solucibn pero en caso de existir debe estar
en alguno de los vertices (A,E,C,D). En este caso (en general
cuando la regidn factible no e5td acotada) el procedimiento a
seguir es el siguiente:
a) Asegurarnos de que existe solucibn.
+ Sy, con valores de C cualesquiera, pueden set- en este caso C = O
y c = 4 0
43
Lo que observamos de los anter io r es que, cuando o crece , la
recta que obtenemos es pa ra le la a lar; rectas que se graf ican con
menor valor de z y ademAsi q u e k t a s se mueven hacia a r r i b a ; en
e6te caso 10 que nosott-os de!seamos es minimizar- la func ibn 2 , as1
que debemos encontrar una recta buscada toque solo la frontera de
la regibn fact ible minimizando el va lo r de 3 , en este caso es l a
recta I I I .
La t-ecta 1 no s i r v e a nuestros propifjsitos y 3 que no toca l a
t-egidn f a c t i b l e , l a r e c t a I 1 toca l a t-egidn -factible pero no toma
e l valor- minimo de z .
Este procedimiento nos asegura que existe solucibn (minima) a
l a f unc idn z( : . : ,y ) = 3x + 5y sujeta a las rest r icc ioneS
establecidas.
b) Err caso de observat- que +i existe so luc ibn , encont rar la
haciendo la tab la de ver t ices y valot-es. I
Lease poblema ante r io r en caso de no saber como obtener los
ver t ices .
44
T A B L A
Vert ices I Valor z
(O, 16) I 90
"""""""""""""
I
( 2 , 9 ) I S1 ( t , 3) I 33 ( 12, O ) I 56
Obset-vacibn: Suponiendo que se quiera maximizar este mismo
problema, debe 5er clat-o que no habrh solucibn, ya que podemos
aumentar e l valor - de z indefinidamente y todas las t*ectas
propuestas tocat-Ar, l a t-egibn -factible.
fuente: P r o f . Jorge Esquive1 Robles; Frofra. Rosa Obdulia Gonzales
R . Problemario de matemAticas I 1 1 en C.S.H.
28) Minimizar
Sujeto a
Escr ib imos las restr icciones como:
y > 12 - 3% - X
y < 2 + --- - 3
45
, I 1 4 1 1
lo t 8 \ t \ - X * 8 Y . O 4
" O 1 2 3 4 6 0 7 8 O 1011.l2l314l6117l8
X c 1 D fUiQlOMFucTylLE
Y V l r t i c e z
Como en este caso' la r-egibn'fatible estd acotada, basta hacer
l a tabla de v&t-tices y valores d e z para encontrar l a solucidn.
~ A B L A """"""I"""""""""
Ver-tices ( : < , y ) I valor de z I
cs ( 3 , 3 ) I 69
c ( 4 , O ) I 80 B ( 6 , 4 ) I 132
D ( 1 4 , O ) I 280
46
Asi e1 minimo es 69 y l o torna en w = 3, y = 3
+t Ver- pr-oblema 26 a) par-a 'obtener v4r-tices.
Fuente: Prof . Jorge Esquive1 Robles; Pr-ofra. Rosa Obdulia Gonzales
R . Problemario de matemdticas 111 en C.S.H.
29) Maximirat- z ( : . : , y ) = 6:c + 5y
Sujeto a
Restr icciones:
47
1 . 4 PAQUETE DE COMPUTO USUALES
La necesidad de contar can herramientas mhs sofisticadas como
el uso de computadoras, para reso lver Ft-oblema.; de Programacicbn
Lineal se debe a la farmulacicbn de problemas mds rea.iistas, donde
el ndmero de variables y restricciones a considerar son muy 5
amplios, los cuales ser8n muy laboriosos de resolver manualmente.
Ante esta problemAtica, se croyb conveniente consultar y
hacer un anAlisis mhs detallado de los paquetes; de computo, los
cuales nos facilitan la solucibn de este tipo de problemas.
A continuacibn 5 2 da una lista de los paquete2 mas usuales
asi como sus caractrristicas tecnicas y de uso para resolver
problemas de Programacibn Lineal. Dicho paquete se hallan a
disposicibn de los usuarios en la sala de computo dol edificio A
(UAMI) .
P A Q U E T E S D E C O M P U T O U S U A L E S
................................
I Nom. de paquete I Aplicacibn I Carac. Tdcnicas I uso I I"""""""""I"""""""""""""""""1""""" I r MAOCAD I I I I EUREKA I I I TK SOLVER I I I I I I I
I Estos paque-I I tes son de I I LISP general I I I 1 I I I I I I r I I I I I I I I I I
$ 1 I
I I
En maquina IBM-PC, I Se cargan1 sistema MS-2 I con la I
I Instruc- I I cidn. I
Menus' en In816s I Mad Car I I A> Mead I I I
Son paquetes que I A) Eureka1 resue 1 ven varios I I tipos de problemas I A> tks I maternaticos: siste-I I m a de ecuaciones I A> MMath I integrales, funcio-I I nes, graficas, etc I I
I I ................................
7. - Maximi zar 2 = 7 s 4- 3y
Sujeta a
x , y :z -
10.- Maximizar
Sujeta a
8.- Maximizar
z = o.5:.: - 0 . 3 y
Sujeta a
x, y > o -
11. - Maximizar z = lox + 2 y
Sujeta a
9. - Maximizar c = 2x + y
Sujeta a
12. - Maximi z a r
z = y - y
Sujeta a
Fuente: Hausser : Matematicas aplicadas para Economia y
Administracidn.
49
Como l a t-egibn f a c t i b l e es no acotada:
Veremos s i e x i s t e s o l u c i b n .
= (3 y ¿x + 5 y = 3:). observando que cuando aunentar;loe e l v a l o r de z
l as rec tas se desp lazan hac ia la derecha, y como l a r e g i b n n o e s t a
aco tada po r l a de recha podemos aumentar indefinidamente e l v a l o r
de z siempre tocando l a r e g i b n f a c t i b l e , a s i nunca podriamos
encont ra r un maxima para z, por- l o t a n t o n o e x i s t e s o l u c i b n .
* Ver problema 27 para exp l i carnos mis amp1 id.
Fuente: Prof. Jorge Esquive1 Robles; Pt-ofr-a. Rosa Obdulia Gonzales
H. Pr-ab1em;ct-ia de matematicas 111 en C.S.H.
1. - M a x i m i zar-
F = 10% + t2y
Su je ta a
4. - Maximi z a r
z = x + y
Su je ta a
2. - Ma:.: i m i zar-
P = 5x + by
Su je ta a
3.- Maximizar
2 = 4s - by
Su je ta a
5. - Masimizar 6 . - Maximi z a r
z = 4% - 1 0 Y z = 2 o x + 30y
Su je ta a Su je ta a
48
C U A D R O
P A Q U E T E S D E C O M P U T O U S U A L E S
"""""""""""""""""""""""""""""-""" I Nom. de paquete I Aplicacion I Carac. Tecnicas I uso I I-""""""""-I"-"""""I""""""""""I""""" I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1 I I I I I I I I I I I I I
MUD MATH
Algoritmo Simp Rev i sad0
LINDO *
I I I I I I 1 I I I I I I I I I
lex I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I T I I I
I Los problemas mate-I I mAticos de progra- I I macibn lineal, al I I igual que los demas1 I los resuelve a t ra-I I v&5 de matrices es-I I pecificas. I I r I Cada paquete esta I I disponible en un I I solo disco flexible1 I I I Estos paquetes tra-I I bajan por medio de I I menus en Inglbs. I I I
Especifico I En maquinas IBM-PC I I sistema operativo I 1 MS-2 I I I
I I I I z I I I I I I I I I I I
Se carga I con la I instruc- i cibn I
I I >AUTOEXEC I I Escrito en lenguaje1 La captu-I I Basic I de datos I I I es por I I I separado I I Menus en español I El paque-I I I te es in-I I Acepta un maxim0 I teractivo1 I de 1 5 restricciones1 (amigable) I I y 8 variables I I I I I I Disponible en un I I I solo disco ilexible1 I I I I
Especifico I En maquina IBM-F'C, I Se carga I I operativo MS-2 I con la I I I instruc- I I En Ingltis I cidn I I I A> LINDO I I Resuelve problemas I I I de programac idn I La captu I I lineal, entera y - I ra de da I I cuadratica I tos es --I I I uniforme I I Acepta 1 1 9 varia-- I I
................................
C U C i D R O
P A Q U E T E S D E C O M P U T O U S U A L E S
"""""""""""""-""""""""""""""""""- I Nom. de paquete I Ciplicacion I Carac. Tecnicas I uso I I"""""""""I""""""-I""""""""""I""""" I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
I I I I I I I I I I 1 I I I 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Espec i f i co I I I
bles(co1umnas) y 591 renglones (una funcI objet ivo y sus res-I t r i cc iones) I
I E l programa acepta I e;,;presiones cer-ca- I nas a l lenguaje na-i tLlt-al I
E l nt!tmero de ca I rActeres pot- varia1
b l e s es de 8 I I
D isponible d isco --I +le:t ib le I
I I
IDEM: Alog.simplex I 1
Es te pa--I quete es I poco i,nteI r-activo, I s i n embat-1 go, e5 e l1 mas t-eco1 ntendab l e I para re--1 so 1 ver es I tos t iposI de pr*obleI mas I
I I I I I I
................................
A l r e v i s a r lar; carac t&r i s t i cas tbcn icas , y de uso de cada
paquete, se l l e g b a la conclusibn que e l LINDO/PC es e l paquete
mas recomendable pat-a reso lver es te t ipo de problemas, esto debido
a su gran capacidad de manejo de datos.
C A P I T U L O I I
T E O R I A D E L C O N S U M I D O R
C A P I T U L O I 1
2.1 FREF'ERENCIA Y UTILIDAD
La t e o r i a c l a s i c a de la eleccibn del consumidor, actualmente
con cas i c ien aKos de v ida , p red ice que Bste elegit-A aquella
combinacibn de bienes que maximiza una funcidn <<continua>> de
u t i l i d a d . A lo la rgo de l t iempo, e l concepto de u t i l i d a d f u e
cuidadosamente analizada y despojado de pr-evios contenidos
ps ico ldg icos y f i l o s d f i c a s que no resultaban esenciales para
pr-edecir- la eleccibn. El aspecto matematico fue tambikn refinado,
alcanzarida 18 teor-ía su t a r - m a f i n a l poco antes de l a segunda
Guer-r-a Mundial , a t rav&s de la obra de Hick;s Valor y Cap i ta l
(1939) y de l t raba jo de Samuelson, posteriormente publicado en
Fundamentos de l An?I . i s is Econdmico ( 1 9 4 7 ) .
E l concepto de u t i l i d a d , fundamental en l a t e o r i a c l A s i c a de
la e leccidn del consumidor , es e l que determina las preferencias.
Así, entre dus combinaciones de b i e n e s , e l consumidor preferir-h
aque l la que l e t-eporta mayor' u t i l i d a d . En su obra ahora famosa,
Teoria de los Juegos y Conducta Econdmica, publicada por primera
ver en 1944, e l matemdtico John von Ncumann y e l economista Oskar-
Mor-genstern i n v i r t i e r o n e l p r o c e d i m i e n t o y derivar-on l a u t i l i d a d a
par-tit- de la prefer -encia. En estos tt+rminos, 5 i una a l t e r n a t i v a
se pt -ef iere a o t r a , l e asignamos a l a pt-imera un mayor v a l o r
or-dinat*io de u t i l i d a d . AdemAs de tenet- c i e r t a s c a r a c t e r i s t i c a s
especiales, este nuevo concepto fue empleado para explicar la
54
eleccibn bajo situaciones de riesgo, originAndose entonces una
controvercia sobre el acierto de utilizar el mismo nombre para
designar dos conceptos en alguna medida diferentes. Sin embargo,
este mktodo de esplicar o derivar la utilidad apartir de la
preferencia ha sido trasladado a la teor-ia de la eleccidn del
consumidor aportando una mayor claridad y flexibilidad. El nuevo
enfoque requit-it, tambikn un tipo de matemhticas distinto del
calculo inferencia1 antes usado. En forma casual el instrumento
matematico de la teot-ia de los juegos resultb ser muy similar a
empleado pot- la teoria de la programacibn lineal, desarrollada
poco despuhs y de manera inicialmente independiente.
Un tercer- antecedente de importancia lo brinda la teoría de
la preferencia revelada de Samuelson, publicada en 1938. La
esencia del enfoque es mostrar que, conceptualmente, un
consumidor, al efectuar elecciones consistentes para varios
niveles de precios y de ingt-esos, esta revelando sus preterencias.
En años posteriores la.; relaciones entre utilidad, pre+erencia y
eleccihn han sido acabadamente e s t u d i a d a s , existiendo ahora una
teoria uniiicada que t-'ue.de set- expresadas de sus fovmas
esencialmente equivalente.
No se harh aqui rringhn intento de relatar el desarrollo
histbt-ico de la tc?ar-ia. Na obstante, comenzaremos con el concepto
de preferencia debido a que &ste clarifica la Ibgica subyacente en
la eleccibn del consumidor-. Pasaremos luego. a la ver-si6n
equivalente de la maximizacibn de la utilidad, para lograr una
55
e x p o s i c i b n mis c lara de l a v a r i a c i b n p a r a m & t r i c a y de las
r - e s u l t a n t e s c u r v a s d e demandas .
En muchos aspectos, el c o n c e p t o d e p r e f e r e n c i a en economia
c o n p a r - t e c i e r t a s bases I tqicas y p r o p i e d a d e s matemAGicas c o n u n
c o n j u n t o de r e l a c i o n e s similares q u e s o n c o m u n e s e n o t ros c a m p o s
d e l saber. De i g u a l m a n e r a , todas; l a s f u n c i o n e s i n c l u y e n d o l a s d e
p t * o d u c c i d n o d e u t i l i d a d , p o s e e n p r o p i e d a d e s c o m u n e s . P e r o para
q u e u n a t u n c i h n ~ j e a de p r u d u c c i b n o d e u t i l i d a d , d e b e tambic?n
sa t i s facer c i e r t o s t - e q u e r i m i e n t o s t e c n o l b g i c o s o e c o n b m i c o s
b A 5 i C O S .
56
EL UKDENUMIENTOS DE PREFERENCIAS DEL CONSUMIDOR
En el primer- t&tmino, el conjunto a ser ordenado ese
ineluliblemente muy grande, y cada miembro tiene muchas
dimenciones. Lo que el consumidor debe ordenar- SOP, combinaciones
de bienes o paquetes de bienes. Cada paquete conrjirjte de una
cierta cantidad de todos los bienes disponibles. Si hay n bienes,
cada paquete es un vector- de n componenetes.
Dado que cada articulo tiene un eje en el que se representan
sus cantidades, el espacio de los bienes es n dimensional y los
paquetes de bienes son puntos en el ortante no negativo de ese
espacio. Surge de los hechos que nuchos at-ticulos tales como las
raquetas de tenis, se venden por- unidades individuales y que
muchos ott-OS, como el cafe, se venden por unidades convencionales.
Hay relativamente pocos; bienes que comer al igual que la gasolina
pueden adquit-it-se practicanente en cualquier cantidad deseable. En
t-ealidad, el conjunto de todos los paquetes de bienes, llamado el
conjunto con’Isumo, consiste de puntos no conectados en el espacio
de los bienes.
Resulta muy difícil trabajar con gt-andes con~untorj finitos de
puntos aislados. Paradbjicamente, la solucibn matematica m h
familiar consiste en remplazarlo por conjuntos, infinitos. Un
ejemplo tipico lo constituye el ajuste de una linea recta a un
57
conjunto de puntos por medio de mlnimos cuadrado6 o, en general,
el ajuste de puntos aislados en una curva continua,. El conjunto
inf lnito de puntas representado p o r la recta o la curva es mucho
mAs facil de tratar por que tiene propiedades generales simples.
Esta es la clave de aparente paradoja. Conjunto simplemente mas
grandes no brindan nunguna ayuda pero si tienen mucha utilidad
aquel los con juntos mas grandes que adquieren propiedades
generales. El ortante no negativo, por ejemplo, posee la
importante propiedad de set- un conjunto convexo, mientras que los
puntos aislados no la tienen. Para recordar, un conjunto es
convexo cuando un segmento entero esta contenido dentro del mismo
si es que sus extremos tambien lo estan. En consecuencia, la
convexidad elimina cualquier- brecha en el conjunto.
Un c,upue.;to usual de la teoría de la eleccibn del
consumidores que no hay unidades indivisibles y que todo bien esta
al igual que la gasolina o la electricidad, disponible en
cualquier cantidad deseada. El conjunto ccmsumo es entonces todo
el ortante no negativo del espacio de los bienes. Ahn cuando la
principal razdn de esto sea matemAtica, pueden darse varios
justificativos econbmicos. En pt-imer lugar, el objetivo de la
teoría no es predecir la cantidad exacta de cada mercancía que un
consumidor particular esta dispuesto a comprar sino, mAs bien,
deducir ciertas pautas amplias de eleccibn que son aplicables a
los; consumidores en general. El hecho de que las compras puedan
realizarse solo por unidades convencionales es, para la mayoria
de lo5 bienes, solo una calificacibn secundaria. No e5 este el
ca50 de lo5 bienes durablec, heladoras por. ejemplo, 105 que
requieren un tipo de tratamiento algo diferente. Una segunda
justificacidn es que el objetivo final de la teoría consiste en
desarrollar curvas de demanda de mercado que resultan de la suma
de las demandas individuales. Las indivisibilidades pierden gran
parte de su importancia cuando en el agregado la cantidad comprada
es muy grande en relacibrr al tamaño de la unidad.
La piedra fundamental de la teoría es una r-elacibn binaria,
conocida coma la relacidn de preferencia. Con t-especto a dos
paquetes de tienes, 2.: y :.: un consumidor o Pre+iere x a :.: a b a b . .
o no lo prefiere. La segunda alternativa contiene nuevamente
dos posibilidades: u el consumidor prefiere x a H o es indiferen b a
entre ambos. Siguiendo una vez mas el precedente matematico de
.:::(menor o igual>>, podemos elegir a (.:no es preferido a:>> como la
relacibn bisica y usar el simbalo .< . La esencia de l a teoría es
que el consumidor SS capaz de clasificar los paquetes de bienes
- -
seghn un orden. Por tanta la t-elacihn de preferencia, al igual
que la t-elacibn de altura, debe ser twfleniva y transitiva. Par-ece
correcto suponer que el consumidor es indiferente entre dos
identicos paquetes de bienes, de manera que x * :c y la a b
relacibn resulta re f lexiva el atributo de la transitividad
exige que si :
a b b C a C x .:: x y :c e< x , entonces x < x . Esta propiedad es - - bastante problematica. No necesariamente se mantiene si los gustos
59
del consumidor cambian entr-e comparaciones distintas, o si,
permaneciendo invariables los gusto^, se adquiere mas conocimiento
sobre l o s bienes. Indudablemente, tanto los gustos como el
conocimiento cambian con la experiencia, de manera que las
decisiones actuales se relacionan con las anteriores en un proceso
dinamico. Si bien la teoría de la eleccibn del consumidor no
considera explícitamente los cambios que ocurren en el tiempo, 5 i
examina las elecciones del individuo durante un perlodo en el
cual, al menos temporariamente, el conocimiento y los gustos son
fijos. Se supone quo el consumidor tiene preferencias consistentes
en el sentido de que, al ordenar directamente x y :.: , arriba a a C
transitividad es vAlida.
transitividad exige q u e si x
Si la relacibn de preferencia e5 valida en ambos sentidos a b b a a b
“ ;.; .< ;< y ;.; 4.. ): ” se concluye que x * x . Interpretado ’v ‘v
a b estrictamente, x ‘v x significa que el consumidot- es indiferente
entre los dos paquetes de bienes, pero el uso comdm ha abreviado
esta expresidn a los siguiente tkrminos: <:<w es indiferente a i: >). a b
Nuevamente resulta claro que la conclusidn no necesariamente es
valida a menos que 5e eliminen los cambios en los gustos y el
conocimento. Como evidentemente indiCerencia no es lo mismo que
igualdad, la r-elacidn de preferencia no es antisimetrica y solo
proporciona un preordenamiento y no un ordenamiento. Sin embargo,
la ct-eencia de que un c a l i f i c a t i v o es suficiente motivo de
precaucidn, se hat*& uso de un termino mAs simple, e5 dec i r :
ordenamiento de preferencia.
61
EL MAPA DE INDIFERENCIA DE UN CONSUMIDOR
La teot-ia d e l a e l e c c i b n d e l c o n s u m i d o r d e s c a n s a sobre tres
s u p u e s t o s o a x i o m a s econbmicos basicos. E l pr-imero s o s t i e n e q u e e l
c o n s u m i d o r es c a p a z d e ordenar todos 1 0 5 p a q u e t e s d e b i e n e s d e l
c o n j u n t o CORSU~TIO. Uontr-o d e la ,nisma teot-ia no se hace n i n g l l n
i n t e n t o d e f u n d a m e n t a r las p r e f e r e n c i a s o d e e x p l i c a r cbmo se
f o r m a n . E l p u n t o d e p a r t i d a es s i m p l e m e n t e un c o n s ; u m i d o r q u e p u e d e
r-ealinar- esta c l a s i f i c a c i b n o r d e n a d a . E l s e g u n d o s u p u e s t o e5 e l
a x i o m a d e l a n o saciedad que - d e u n a u otra forma - p l a n t e a q u e
el c o n s u m i d o r s i e m p r e pr-efiere mas a n t e s qua meno-;. P o r blt imo,
d e b e r A e x i s t i r un a x i o m a d e c o n v e x i d s d c u y o c o n t e n i d o e c o n c b m i c o
+ u n d a m e n t a l radica e n q u e g e n e r a l , a u n q u e no n e c e s a r - i a m e n t e , un
c o n s u m i d o r - pt-efiere un promedio ponder -ado d e d o s p a q u e t e s d e
b i e n e s d e i g u a l a r d e n a n t e s q u e u n o c u a l q u i e r a de ellos. Fara la
f a r - m u l a c i b n de un modelo s i m p l e y g e n e r a l se t - e q u i e r - e n t a m b i e n
c ier tos s u p u e r j t o r j p u r - a m e n t e maternaticos sobre c o n t i n u i d a d . L a
c a n t i d a d d e cada b i e n p u e d e set- representada por n h m e r o s reales y
e n c o n L e c u e n c i a d e b e v a r i a : * e n forma c o n t i n u a . E n s e g u n d o l u g a r - ,
a medida q u e l a s c a n t i d a d e s v a r i a n c o n t i n u a m e n t e n o se d e b e
p r - o d u c i r n i n g h s a l t o en l a s p r e f e r - e n c i a s .
P a r a d e r i v a r - .Las c o n s e c u e n c i a 5 de estos a x i o m a s , elegimos un
r-ayo e n e l c o n j u n t o c o n z u m o y un p u n t o x sobre &l. A l o l a r g o de d
todo rayo, la p r e f e r e n c i a por mas a n t e s q u e p o r m e n o s o r d e n a d a a
todos 1 0 5 p a q u e t e s d e b i e n e s segdn s u d i s t a n c i a d e s d e e l o r i g e n .
62
a En todo raya habra puntos que, con respectr? a x , a s t a r i n en el
cuadrante superior- derecho mientr-as que ottros lo estarAn en e l
i n f e r i o r i z q u i e r d o . Se deduce por tanto que cada rayo contiene
paquetes de bienes que son prefet-idos a :x y paquetes con
respecto a l os cua les e l p re fe r ida es ;.: . SegrLn l o s dos SupUeStOS
a
a
de cont inuidad, la c las i f icacidn ordenada no puede tener
in ter rupc iones , por- l o que cada rayo debe tener un solo punto de
ind i fe renc ia con respecto a ;.: . Hay entonces una s e r i e de
puntas? una en cada r’*c?yo, q ~ ~ e son d i fe rentes a ;.: . M A 5 adn, l a
a
a
propiedad de t ransit iv idad de la t -elacidn de ind i fe renc ia hace que
dos puntos cualesquiera de esta s e r i e sean ind i fe rentes ent re 5i.
a A medida que y: t-ecort-e c3u rayo, genera una familia completa
de contornos de indiferencia que no se cortan entre si. La
t rans i t iv idad antes mencionada e l i m i n a l a p o s i b i l i d a d de
in tersecc ibn ent re e l los , puesto que ninghn punto puede resultar-
i nd i fe rente a dos puntos d is t in tos de otro rayo. De esta manera,
l o s axiomas econbmicos, y matemPticars sobre la preferencia de l
consumidor particionan al conjunto consumo en una f a m i l i a de
contornos de ind i fe renc ia , cada uno de los cuales se ordena
jarat-quicamente pot- encima de aquel los mi5 pt-dximos a l or-igen y
pot- debajo de l o s mi?; a le jados . F ig . 2 . 1 presenta una versidn
<:.<continua>>. del mapa de ind i fe renc ia .
Los axiomas atenuados admiten todo l o que es permitido por
los fuer tes y to le ran a h mucho mas. Inversamente, s i l o s
atenuados desechan una posibilidad, los axiomas fuer tes deben
tambi&n desecharla. Las formas atenuadas de loo axiomas de no
saciedad y de convexidad el iminan las contornos de indiferencia de
p e n d i e n t e p o s i t i v i en l o s que aumentan las cantidadas de ambcs
b ienes. TambiPn excluyen a l o s contot-nGs de ii ldiferencia cbncavos
o los tramos cbncavas de los contornos, es decir , excluyen la
preferencia por los extremos antes que p o r l o medios. Dentro de
este sistema de axiomas atenuado, los contornos de i n d i f e r e n c i a
pueden tenet- segmentos l i n e a h , i n c l u i d o s l o s csgnlentos + ina les de
tramo vet-tical y h o r i z o n t a l , y tambibn pueden aproximarse a l o s
e j e s pe ro o in tocar los . Estas son pos ib i l idades permi t idas , pero
r-equeridas. E l mapa de ind i fe renc ia puede consist i r exclusivamente
de contornos ( (continuos~: .>, s in segmentos l i nea les , l os cua les o
se apt-oximan a 105 e j e s o 10% cortan.
S i se aumenta l a r i g i d e z de l o s axiomas se e l iminan
p o s i b i l i d a d e s y los resul tados que antes eran permitidos pasan a
set- ex ig idos . La forma fuer-te del axioma de l a no sociedad postula
que un consumidor siempre prefiere ma5 antes que menos, s iendo e l
rnhs y e l menos d e f i n i d o s p o r el ordenamiento parcial de l o s
vectores. Excluye a l o s tramos v e r t i c a l e s u hor izontales pero
admjte segmentas l ineales de pendiente negativa. El axioma fue r te
de convexidad el imina los t ramos l ineales pero permite que l o s
contornos sean curvi l ineos a tr-ozos. La forma fuerte de cualquier-a
de l o s axiomas - - interpretada estrictamente” exige la
inter-seccidn con los ejes,.
La versibn de l o s mapas de i n d i f e r e n c i a que comCtnmente
aparece en l o s l i b r o s de texto convencionales presenta contornos
64
(<continuos>>, siempr-e con pendiente negativa, y a menudo se los
dibuja apt-o:.:irnandose a los ejes. Su contenido econdmico
fundamental es el mismo que el de los axiomas fuertes, los que
solo deben ser- atenuados a los efecto.; de permitir tal
aproximacidn a los ejes. No obstante, aun los axiomas fuertes no
garantizan ((continuidad>) y tal cam0 ocut-re con los contor-nos de
isoproducto, debernos adoptar un supuesto adicional de carhcter
exclusivamente matemAtico. Hemos seleccionado en primer termino
este mapa de indiferencia convencional a efectos de mostrar
grAf icamente la eleccibn que realiza el consumidor* que posee una
t-elacibn de preterencia.
65
PREFERENCIA Y ELECCION OPTIMA
Una vez que el mapa de indiferencia est& determinado, resulta
f k i l mostrar- 91-Aficamente cuales serAn las decisiones del
consumidor. Cada bien tiene su pr-ecio de mercado y la capacidad de
compra del consumidor esta limitada por la cantidad de dinero
disponible. En una simple y primera aproximacihn, el ingreso
monetario de1 consumidor ya esta determinado y se encuentra en su
totalidad disponible para la adquisicidn de bienes.
Cuando el consumidor decide lo que va a comprar, no toma en
cuenta ninghn posible efecto que esta decisibn pueda tener sobre
los precios de mercado. Es decir que dispone de una cantidad fija
para gastar a pl-ecios constantes, debiendo cumplir con la
siguiente restriccibn:
O
Donde y representa el ingreso monetario fijo. Tal como se
triangular-, conocida como el conjunto disponible, que contiene a
todos los paquetes de bienes susceptibles de ser adquiridos sin
exceder- el ingreso. Un consumidor- que prefiera mas antes que menos
siempre eligit-A una combinaicdn ubicada sobre el limite externo
del conjunto disponible y gastar-& por tanto la totalidad de su
ingreso. Cuando la linea de presupuesto intercepta a un contorno
en dos puntos, el consumidor prefiere ias combinaciones
intermedias. En consecuencia, la so lucibn bpt ima se obt iene cuando
l a l i n e a de presupuesto t iene solo un punto en comJn con un
contorno. Si los contarmos son .<*<continuos)>, el dptimo es
siempre un punto de tangencia; C P S O contrar io , este podrA hal larse
en un v e r t i c e formado por arcos curvar;.
A l i g u a l que antes, una solucibn bptima y Qn ica no es s ino e l
p r e l u d i o a l a detet-minacibn de l a forma en que las cantidades
bptimas reaccionan frente a variaciones de los parhmetros, es
d e c i r , de los prec ios y del ingreso del consumidor. La vers ibn de
la eleccidn del consumidor, basada en la p re fe renc ia , es i dea l
para t-evelar los fundamentas lbgicos de l a t e o r í a p e r o e s menos
e f e c t i v a par-a manejar- la variaclh;] paramett- ica. Por tal motivo,
pasaremos a l a ver-sibn equivalente de maximizacibn de l a u t i l i d a d .
En cap í tu los an te r io res hemos planteado un modelo de programacibn
l i n e a l p a r a l a empresa y despu&s hemos usado l a programacibn
parametrica a f i n de d e s c r i b i r 105 efectos de cambios espec í f icos .
El proceso de suavizado transformil, el inodela l inca? a l a v e r s i b n
t r a d i c i o n a l de l a empresa, no obstante, los resul tados de l a
pt-ogramacibn param&trica, adecuadamente modificados, siguieron
s iendo ap l icab les . A este respecto, emplearemos igua l
procedimiento para examinar la conducta del consumidor. Nuestro
o b j e t i v o 5et-a mostrar de qu& manera las p re fe renc ias de l o s
consumidores se convierten en demanda del consumidor y de qu&
forma l a s d i s t i n t a s p a u t a s de preferencias a fectan las, curvas de
demanda. Una vez h e c h a e:+to, suavizaremos los contor-nos de
67
indiferencia e intt-oducivemos, una pot- ima, vat-iasj complicaciones
que estaban ausentes en la versidn mAs simple. El vinculo antes
tr-azado entre preferencia y demanda nos permitird mostrar, para
cada etapa, la farma en que las curvas de demanda resultan
afectadas.
UNA VERSION LINEAL DE LA ELECCION DEL CONSUMIDOR
Un cuidadoso examen y comparacidn de las unidades productoras
y consumidoras revela similitudes bdsica que son adecuadamente
puestas de manifiesto mediante el empleo del concepto de proceso.
Esta similitud t-et."\lta muy clara una vez que reconocemos que la
mayoría de las unidades de consumc) %m familias u hogar-es, y que
poseen una gt-an variedad de insumos fijos en la forma de bienes de
consumo dur-abres. El concepto de proceso de consumo resulta
apropiado aun e n el caso de un individuo atipico, quien solo
satisface sus propios caprichos. La compra de un bien no se
realiza para usarlo aisladamente ni tampoco para utilizarlo en
combinacidn con todos los ott-os bienes. El consumidor generalmente
tiene la intencibn de uno o mas USOS específicos de un bien en
combinacih con un nhmero 1 imitada de otros. Aparte de los CISOB
obvios, como podria ser prepar-at- alimentos, concurt-ir al tetro o
al fllttbol,, el consumidor requiere mas de un insumo, incluyendo -- principalmente-- su propio tiempo.
Al considerar en el punto 2.3 a la familia como la unidad
consumidora, analiremos con mar detalle el sienificado y las -2L.L
consecuencias de los procesos de consumo. Por ahora simplemente
suponemos que e l consumidor- debe usar , o e l ige usar , los b ienes
con+or-me a ciertas proporciones &strategicas. Es c l a r o que
requerimientos tecnolbgicos, s imi lares a l o s de l a s empresas,
pueden set- considerados como una primera aproximacibn a estas
proporciones f i jas . E jemplos de esto son e1 papel y e l l a p i z o l a
s i l l a y l a mesa. En e l caso del consumidor, la tecnología no es
necesariamente la dn ica expl icacidn. Para un per fecc ion is ta que
prepara cocteles , los coef ic ientes del insumo pueden set* mAs
r í g i d o s que l o s de cualquier proceso tecnoldgico conocido en e l
hogar- o en l a i n d u s t r i a .
En el caso especial , e l de la perfecta complementariedad, la
teor-ia de l a e lecc ibn de l consumidor- se ha basado implícitamente
en e l concepto de proceso. E l corisumidor puede usar dos bienes de
acuerdo a una y so lo una proporcibn. E l zapato derecho y e l
i zqu ierdo o los guantes son ejemplos a menudo c i tados, aunque l a
prAct ica actual de vender guantes de goma en paquetes de tres, dos
der-echos y uno i z q u i e r d o , disminuys en mucho la e f icac ia de ta les
ejemplos. CI l o l a rgo de l rayo , detet-minadd conforwe a una razbn
f i j a , 105 paquetes se ordenan de acuerdo a EL.\ magnitud o d is tanc ia
desde e l or igen. Este orden puede a su vez representarse asignado
ndtmer-os a los paquetes de bienes. Dada que es aceptable asignar
nlClmeros mayores a l a s combinaciones mas d istantes, podemos hacer
l a e lecc ibn muy especial de tomar nhmer-os proporcionales a l a
d i s tanc ia desde el or igen . Los nhmeror, que usamos representar un
ordenamiento de preferencia son l lamadas valores ordinales de
Tan pronto coma introducimos 1s utilidad, surge la tentacibn
de aquipararla a la satisfaccibn del consumidor. En el presente
contexto esto es incorrecto, puesto que aquklla es solo un t&rmino
conveniente para designar la representacibn num&rica de un orden
jerdrquico de prefct-encias. Si el consumidor prefiere un paquete
de bienes a otro, le asignamos un nrltmero mayor y simplemente
diremos que tiene mayor uti,lidad. Originalmente, los economistas
tomaron a la utilidad como 1.0 primario y de ella derivaron la
preferencia. Un consumidor preferid x a x porque el primero a b
tenia mayor utilidad.
Existe mucha mayor flexibilidad cuando el cansumidor puede
usar los bienes en mas de una proporcibn clave. Cada coeficiente
determina un rayo y 10s valores ordinales de utilidad pueden ser
asignados de forma que representen el ordenamiento a lo largo de
cada uno. Un requisito adicional, sin embargo, es el de que los
puntos de indiferencia reciban el mismo nQmero en todos los rayos.
Los valores ordinarios de utilidad seran en cada rayo
proporcionales a la distancia solo si las preferencias (siguen un
patrbn muy especial. Un consumidor indiferente entre dos paquetes
de bienes debera seguir siLndolo cuando lar cantidades de ambos se
dupliquen o alteren en cualquier otra proporcibn dada. MAS
formalmente, si :.: * x , entonces tx * tx para todo t > O. a b a b
Esta simple pauta de preferencia del consumidor ha sido analizada
por la literatura econbmica. Su introduccibn permite el uso de la
programacibn lineal y simplifica la tr-ansicibn de la preferencia a
la demanda. Abandonaremos el supuesto tan pronto como haya
cumplido tal' propbsito.
Para una ilustracibn concreta elegiremos seis rayos incluidos
los ejes, e identificaremos en ellos a las siguientes
combinaciones de bienes con respecto a las cuales el consumidor
esta indiferente:
a = (a , a 1 = (2 ,4) a = ( a , a 1 = (3,s) 3 13 23 4 14 24
Cuando el mismo valor ordin;..l de utilidad -uno, por ejemplo-
resulta asignado a cada combinacidn, las tknicas de programacidn
lineal generan una funcibn de utilidad de manera esencialmente
igual a la que surge en el caso de una +uncibn de7 produccibn. La
diferencia basica es que la tecnologia determina niveles de
produccibn, mientras que los valores oriiinalcs de utilidad solo
71
un modo conveniente de representar el ordenamiento de
p r-ef erenc i as. Unicamente bajo el supuesto especial sobre
preferencias t-ecicln formulado, cada raya representar& un proceso
lineal o actividad que proporciona utilidad. El primer- paso para
obtener una funcibn de utilidad es maximizat- la utilidad para
niveles dados de bienes, seyhn se muestra a continuacibn en forma
simbbl ica cam0 num&rica:
a v + a v + a v a v + a v + a v = q + O q 1 1 1 12 2 1 3 3 14 4 1 5 5 16 b 1 2
a v + a v + a v + a v + a v + a v = O q + q 21 1 22 2 23 ;5 24 4 25 5 26 6 1 2
ov + i v + 2v + 3 v + 7v + 12v = q + oq 1 2 3 4 5 6 1 2
lv + lv + 1v + lv + Iv + lv = oq + 09 + U(rr,a:.:) 1 2 3 4 5 6 1
Los niveles de proceso, que enseguida serhn eliminados del
pr-oblema representan cambios equiproporcionales en ambos bienes.
Si v y v resultan 5et- la solucibn bptima, como ocurre cuando 4 a 4
q = S y q = 7, la t-educcibn a la forma canbnica convierte a la
funcibn objetivo en la siguiente funcibn lineal de los niveles de 1 2
bienes.
72
- - 1 1 U = u q + u q = - - " l q + --- 9
1 1 2 2 6 6 2
Los coeficiente de q y q son las tasas de cambio de la 1 2
utilidad conrespecto a cada uno de los bienes, osea sus
respectivas utilidades marginales. Estas son la5 variables duales
del problema y, al igual que todas vat-iable dual, pueden set-
interpretadas a modo de precias. En tal sentido, representan los
precios intet-nos D las valuaciones que ids prsfer-encias del
consumidor otorgan a los bienes.
La anterior eruacibn es vhlida para todo valor- de x y x 1 2
dentro del cono f armado.
Una Funcidn de Utilidad Lineal a Trazos
.................................
Fr-ocesos Recot-rido de X / x Ecuacion Lineal Pendiente 2 1
.................................
I
u = u :.: + u x -u / u - 3 -
1 1 - 7 2 1 2
(v , V ) 2 a 1 3 4
(v , v ) 1 a 1/7 4 5
U = 1/4x + 1/8x "
1 2 P
U = 1/6x - 1/6x -1 1 2
U = 1/9x + 2/9x -1/2 1 2
(v , V ) 1/7 a U U 1 / 1 2 x + 5/12x S 6 1 2
-1/5
................................
73
una funcidn de utilidad que es lineal a trozos. Cualquier otro pat.
de rayos adyacentes determinara otro segmento. Mediante el uso de
la pt*ogramaLibn paramcktrica el lector puede verificar que del
ejemplo r;LtrnCrico se obtiene la tuncidn de utilidad de la tabla
12-1 y que se t-epr-e5enta en la fig. 12-" d.'
I tr) I 14" 1 1
,/'
- " O 1 2 3 4 6 8 7 B 9 1 0 1 1 1 2 1 Y l 4 1 6 1 ( 1
to 17
Para cada valor de U las ecuaciones dan un contorno de
isoutilidad lineal a trozos. A lo largo de cada segmento la
pendiente es igual al cociente negativo de las utilidades
marginales, u /u , siendo la ordenada al origen igual a U/u . Dado que la asiQnacidn de coeficientes de utilidad a lor; procesos 86
" - 1 2 2
at-bi fraria, podemos mu1 t ipl icarloe por cualquier nQmero
74
p o s i t i v o , digamos t , en cuyo caso tan to e l i nd ice de u t i l i d a d como
las u t i l i dades marg ina les tambidn quedaran multiplicadas pot- t ,
permaneciendo s i n cambio la pendiente y el t&t-mino independiente
de cada segmento. E x c e p t o en lo que se ref iere a una nueva
numeracibn los contornos no se modifican.
Las u t i l i d a d e s mar-ginales, por ser variables duales,
representan precios internos o valuaciones en t&rminos de
u t i l i dad . Puesto que e l n i v e l de Bsta e5 a r b i t r a r i o , s o l o
interesan los cocientes o va luaciones re lat ivas. Cuando a l o l a r g o
del contorno, x aumenta en r-elacibn a x , l a v a l u a c i b h r e l a t i v a de 1 2
x disminuye de segmento en segmento. Esta declinacibn 1
simplemente expresa en fo rma cuant i ta t iva la p re ferenc ia que el
con~umidor t iene por e l va lor medio con respecto a l o s extremos
ampliamente separados pet-o de igual orden jerArquico. A d i fe renc ia
de los gt -af icos de l o s l i b r o s de texto, aqui los contor-nos de
ind i fe renc ia in terceptan los e jes . La rarcjn e s t r i b a en que
cualquiera de los b ienes puede set- ct.sado ais ladamente, tal coma l o
a t e s t i g u a e l primer- y sexto pr-crcesos. Puesto que e l consumidor-
nunca e l i g i r i a un pr-oceso de holgura, &tos serAn excluidos del
problema . S i , como en 21 caso de la perfecta complementarieda, el
consumidor no puede usar- ninghn bien en for-ma a is lada , los
contotmos deberAn tener- segmentos finztles de tr-azo horizontal y
ver - t ica l , que representan procesos de holgura y que no corten los
ejes.
7s
Estas conclusiones son trasladables a los contornos de
indiferencia ((continuos:r::.; el dibujarlos sin que toquen los ejes
implica que ninicm bien por si solo tiene utilidad alguna.
El ejemplo anterior- no revela toda la importancia de los
procesos de consumo.
En el caso de la empresa, un procedimiento para eliminar los
procesos tecnoldgicos inferiores o dominados consiste en maximizar
la produccidn con insumos dados.
La teoria de la empresa, tal como es usualmente presentada en
economía, supone que esta eliminacibn de los mbtodos inferiores
ya fue realizada y que el empresario dispone de una funcibn de
pt-oduccibn que muestra el producto maxim0 alcantable,con cada
combinacidn de insumos. Aun cuando no ha sido generalmente
reconocido, la teoría de la eleccibn del consumidor descansa en
una simplificacidn anAlaya.
Hay, por supuesto, muchos procesos de consumo inferior que de
alguna u otra manera son eliminados. Los libroc pueden ser usados
para eliminar el fuego de una chimenea, lo cual e5 probable que
ocurt-a en casos extremos. El disfrutar del fuego de un hogar no es
sino uno de los muchos procesos de consumo y los insumos
desponibles deben set- asignados a todos ellos de una manera
bptima. Si dispone de leña, probablemente ninghn consumidor
al fabeto quemaria 1 ibr-os.
76
Par-a cada combinacibn de bienes un consumidor- determina la
forma bptima de distt-ibuit-los en los vat-ios procesos de consumo.
En teoria tradicional, el consumidor que va al mercado ya tiene
tomadas todas sus decisiones optimizadas, excepto aquellas que
t-aquiet-en conocer 105 precios de1 m*t-cado. Los re0ultado6 de estas
decisiones se incar-por-an en un urden de preferencia consistente o,
alternativamente, en una funcibn de utilidad. El paso final es
tomar la decisibn bptima dentro de su restriccibn presupuestaria.
La teoria econbmica ha estado orientada hacia el mercado. Se ha
preocupado de ia interaccibn entre compr-ador-es y ver~dedores y do
la resultante asignacibn de t-ecw-soc,. Se supone que los
consumidores y las empresas estan munidos de la informacibn
necesaria para tomar decisiones optimizadoras en sus papel de
compradores o vendedores . Como hemos visto, particularmente
aquella con muchas plantas y muchos productos, tienen que r*esolver
graves pr-oblemas de asignacibn interma. La soluc1tn d.e estas
pr-oblema.; internos ptmvee la informacihn tecnoltqica que resumen
en una funcidn de produccidn la unidad consumidor.3 enfrenta
similares problemas internas, en especial cuando es una familia u
hogar compuesto de varias personas. Una interpretacibn mhs amplia
de la ecanomia incluye no salo la conducta de mercado sino tambi&n
la decisiones inter*nas de asignacibn dentro de la5 unidades de
produccibn y de con*sumo.
Solo ha sido recientemente que los economistas han comenzado
a estlldiar las decisiones de asignacibn de las unidades
77
consumidoras y sus resultados no son aBn muy claros. En el punto
2 . 3 nos dedicaremos a la familia y a los problemas que esta
plantea para la t e o r i a de la eleccidn del consumidor.
2.2 ELECCIUN Y DEMANDA
La razbn para introducir el concepto de preferencia o el de
utilidad es explicar o predecir la eleccibn del consumidor. La
existencia de una restriccibn presupuestaria 1 imi.b?. esta eleccibn
a los elementos del conjunto disponible. Dentro de este conjunto
el consumidor nunca elige un elemento que no sea el que B1
prefier-e, siendo este su puesto basic0 sobre su motivacidn el que
establece el vinculo entre preferencia y eleccibn. La eleccidn de
un cierto paquete de bienes dentro del conjunto disponible
significa que ninghn otro gozo de mayor preferencia. En la medida
que siempre se prefiera mas antes que menos, la eleccibn debe
recaer en un paquete ubicado sobre la línea de presupuestos o
limite exterior del conjunto disponible.
Cuando el contorno es indiferencia presenta tramos lineales y
uno de estos coinciden integramente por la linea de presupuestos,
la solucibn es incierta, p u e s t o qlta si bien la preferencia acota
la zona de eleccibn, no la reduce a un hnico paquete de bienes. No
es posible entonces predecir quB paquetes ser& elegido a menos que
se introduzca alghn criterio adicional. Si bien debe admitirse que
el consumidor podría estar realmente indiferente frente a
distintos paquetes de bienes, la importanci=\ de sste caso puede
hacerse minima. Dado que cualquier eleccidn es mejor que ninguna,
no e5 probable que el consumidor se mantenga indefinidamente
indeciso.
79
4demAs l a p r o b a b i l i d a d de que un segmento l i n e a l se
super-ponga con la l i n e a de presupuestos es muy pequeña siendo
i n f i n i t a l a c a n t i d a d de re laciones de precios estas s i tuacibn solo
puede ocurr i r para a lgunas pocas relaciones especif icas. Por ser
estos casos de. empate un fendmeno ra ro , no intentaremos aqui
exp l ica r de que modo se l e s puede superar. A l o sumo, podemos
cons iderar los como una limitacitrn secundaria de las conclusiones
genrales sobre la eleccibn del consumidor; l imitacibn que
desaparece a l pasar a los contornos ( -<continuos>>, puesto que en
t a l caso la e lecc idn es Cmica . Cuando las prefer-encias se traducen en una funcibn de
ut i l idad su maximizacidn permite predecir l a eleccidn. Un
consumidor no e l i g i r a un paquete cuando dispone de o t r o que l e
proporciona mayor u t i l i d a d . La ventaja que surge de este modelo de
maximizacibn de la ut i l idad es que suministra tkcnicas para
predecir- cbmo cambian las cantidades bptimas cuando varian el
ingresos y los pr-ecios. De esta manera, las pautas de preferencia
pueden 5er transformadas en propiedades de las funciones de
demanda. Como esá de prtct ica, pr imero usaremos un modela l i n e a l y
despuls suavisaremos los resu1 tados.
Para tener una funcidn de u t i l i d a d , se debe maximizat- l a
ut i l idad para cant idades constantes de los b ienes y s i se quiere
predecir la ~eleccidn, esta maximizacidn debet-A estar su jeta a una
restr iccidn !presupuestar ia .
80
Ambos bienes pasan a set- variables, pero sus cantidades
quadan limitadas pot- las precios y el ingreso monetario
disponible, segllnn se muestra en la siguiente reformulacibn:
a + v + a + v + a + v + a v + a v + a v - x = o 1 1 1 12 2 13 7 %.* 14 4 1 5 5 16 6 1
O
P :.: + P x = y 1 1 r) L 2
lv + lv + lv + lv + lv + lv = U (ma:.:). 1 2 3 4 J 6 CZ
Las dos primeras ecuaciones pueden usarse para r*emplazar x y
x en la ter-cera, obtenihdose la siguiente simplificacibn:
lv + 1
lv + 2
lv -l. 3
+. . . = (:by + U(ma:c).
La escala de cada proceso se modifica a efectos de
proporcionar una unidad de utilidad, por lo que la solucibn bptima
sera el proceso de mds bajo costo a los niveles corrientes de
precios. Los casos de empate, antes comentados son muy improbables
debido a que solo ocurren en situaciones caracterizadas por
algunas relaciones de precios especificas dentro del infinito
nQmero de relaciones posibles.
81
Es decir , que, casi con certeza, e l dpt imo se darA en un
v b r t i c e y no a l o l a r g o de todo segmento.
La reduccidn a l a forma candnica transforma l a u t i l i d a d en una
funcibn de ingreso o gasto, U = u y , en la que e l c o e f i c i e n t e e s O
I
l a u t i l i d a d m a r g i n a l d e l i n g r e s o y muestra para- un consumidor l a I
tasa de cambio o de i n te rcambio en t re u t i l i dad y d inero . Si,
digamos, e l te rcer p roceso es menos costoso, la reduccibn a l a
forma canbnica pone de manif iesto que:
1 0 - O u = """"""""" Y = U Y =
P a + P a 1 13 2 23
Como e ra de esperar, la ut i l idad marg ina l de l gasto es l a
reciproca del costo marginal de la ut i l idad. Con ingreso
constante, s i los precia . ; aumentan, el costo marginal tambibn lo
hace, en tanto que l a u t i l i d a d m a r g i n a l d e l d i n e r o se vuelve
proporcionalmente menor-.
l os va lo res o rd ina les que se usardn para representar- la
preferenc ia , y 10s de l mercado. Esta situaci6n no e5 d i s t i n t a d e l
comercio entre dos paises, en donde se l l e g a a un t ipo de cambio
entre dos monedas o medidas de valor-. La u t i l i dad marg ina l de l
ingreso o de l d ine ro rep resenta l a taza de conversidn entre lac,
medidas de valor intermas y externas.
82
L a f a l l a d e l a a n a l o g i a radica e n q u e l a medida i n t e r n a d e
v a l o r es t o t a l m e n t e a r b i t r a r i a . Podemos m u l t i p l i c a r la u t i l i d a d y ,
p o r tanto , l a u t i l i d a d m a r g i n a l d e l d i n e r o p o r c u a l q u i e r nllmero
p o s i t i v o y l a l t t n i c a c o n c l u s i d n q u e 5e mantendt-& es q u e l a u t i l i d a d
m a r g i n a l d e l i n g r e s a es a l g l l n nlttmer-o p o s i t i v o .
CURVCIS DE PRECIO-CONSUMO
Cuando solo v a r í a un p r e c i o , 10s c o e f i c i e n t e s d e costo n o
c a m b i a n p r o p o r c i o n a l m e n t e y u n a s o l u c i b n n o p u e d e segitlr s i e n d o
cSptima e n forma i n d e f i n i d a . S i l o s i g u e s i e n d o e1 c o n s u m i d o r
c o n t i n h a c o m p r a n d o ambos b i e n e s en l a misma p r o p o r c i b n , pero e l
menor prec io d e u n o le p e r m i t e compr-at- mds d e ambos. E l efecto
sobr-e cada mercarrcia es e l mismo que e l d e un cambio e n e l i n g r e s o
y es llamado efecto i n g r e s o d e un cambio d e precios. S i un p r e c i o
v a r i a e n forma c o n t i n u a se p r o d u c i r & un empate e n t r e l o s p r o c e ~ o s ,
s e g u i d a d e un a b r - u p t o d e s p l a z a m i e n t o hacia un nv.avo proceso. E l
ejemplo n u m k r i c o p i g u a l a 5 e y i g u a l a 50, p r o p o r c i o n a el
s i g u i e n t e p r o b l e m a especif ico:
O
2
l v + l v + l v 1 2 3
l v + lv + l v 4 E
4 4
83
El primer- proceso set-A el menos costoso mientras p est& por 1
arriba de 20 y el consumidor gastar& todo su ingreso en x . para
todo precio menor- de 20 tambihn se adquiere x . Si el lector-
desea determinar los valores criticos de p para los cuales se
produce la igualdad y se origina el desplazamiento debera igualar
2
1
1
los coeficientes de los procesos adyacentes.
L a Fig. 2 . 2 muestra las resultados de una declinacibn
continua de p . Si solo cambia en precio del primer bien, tambibn varia la inclinacibn de l a linea de presupuesto, pero su
1
intercepcibn con el eje vertical sigue siendo la misma, puesto que
al no variar el precio x ella representa la cantidad maxima del
segundo bien que se puede adquirir con un inqreso manztario fijo. 2
A medida que p desminuye, la linea de presupuesto se centra en su
punto de interseccibn con el eje vertical y gira hacia la derecha
aproximando la horizontal a medida que p se acerca cero. Cuando p
es mayor que 20, la linea do prcsupuest~ es ma5 inclinada que
1
1 1
cualquier- s,egmento del contorno de indiferencia y la solucibn se
da en el e j e vertical que t-epresente el primer- proceso. Tan pronto
p esta pot- debajo de 20 la solucibn bptima se desplaza al
segundn rayo o proceso, permaneciendo alli hasta que p alcanza el
valor- cr-i tic0 mAs prhximo y la linea de presupuesto coincide con
1
1
un segmento lineal del contorno. Con ur.a postsrior reduccibn de p 1
se producir-a el desplazamiento de la solucidn bptima hasta el
prbximo rayo mas bajo.
Esta disminucibn de un precio produce en e l modelo l i n e a l una
ocur-rencia alterna d e movimientos hacia afuera a lo largo d e l o s
rayos y hacia abajo a lo largo dc: 105 contornos. E l movimiento
hacia afuera, durante e l cual una solucibn t!tnica sigue siendo
c o n s t a n t e , c o n s t i t u y e e l e f e c t o i n g r e s o d e un cambio en e l p r e c i o .
Cuando los contornos son p a r a l e l o s a l o l a r g o de los rayos, ambos
bienes aumentan pt-opot-cionalmente. Durante l o s movimientos hacia
abajo u n bien aumenta a expensas del otro es d e c i r !o s u s t i t u y o .
Puesto que no e s t & mezclada con ningt!tn e i s c t o ingt-eso, esta
respuesta de l a s c a n t i d a d e s a 1 0 largo de un mismo contorno es
conocida como e f e c t o s u s t i t u c i b n puro de un cambio de p r e c i o s .
Cuando u n precio cambia, el lugar geombtrico de todas las
combinaciones dptimas en e l e s p a c i o de l o s b i e n e s e s llamado curva
da precio-consumo y c o n s t i t u y e u n paso intermedio en la obtencibn
de l a s cut-vas de demanda. Fat-a cada valor de P podemas encontrar
l a s o l u c l d n dptirna, s e l e c c i o n a r e l v a l o r de x en esa solucibn, y
g r - a f i c a r e l pat. de v a l o r e s como un punto en e l e s p a c i o p r e c i o -
1
1
cantidad. Como evidentemente u n procedimento de e s t e t i p o r e s u l t a
t e d i o s o , s e r i a mA5 conveniente contar con un modo general para
bienes a l espacia precia-cantidad. Si l a solucibn dptima estA,
digamos, en e l ter-cet- t-ayo, &Sta ser& e l punto de interseccidn d e
l a l i n e a de presupuesto con e l rayo, o, l o que es i g u a l , l a
solucibn d e l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s : 3
O
p x + p x = y 1 1 2 2
cuya solucibn es
O
a y 23
:.: - """""-"""" 2 P a + P a
1 15 2 22;
Fig. 2.2 La cut-va de precios-consumo da1 modelo lineal
L" I
86
A medida que p varia, :.: da lugar a la curva del espacio
precio-cantidad que se muestra en la Fig 2.3.h Cuando p = (3 la
curva corta al eje y x es igual a 5, siendo este su mayor valor.
En el espacio de los bienes, la línea de presupuesto es entonces
1 1
1
1
horizontal al aumentar p y por tanto al gir-at- esta linea hacia
abajo, :.: disminuye a lo largo de la curva y aproximarse a cero a 1
medida que
1
07
p crece sin limite, al par que la linea de presupuesto tiende a
volverse vertical. Si invertimos la direccibn, cualquier 1
movimiento hacia afuera, a lo largo del rayo en el espacio de los
bienes, genera un movimiento hacia abajo a lo largo de la curva
respectiva en el espacio precio-cantidad de :z . 1
88
TABLAS DE DEI%WIDA Y CURVAS DE DEMANDA
Si los dos bienes son complementos perfectos, todas las
soluciones bptimac. estdn sobre el mismo rayo y la fig. 2.3 b
representa la curva de demanda de >: . En general, la solucibn
bptima se desplaza de rayo en rayo a medida que p dismunuye. Cada
rayo genera una curva distinta en el espacio precio-cantidad, que
1
1
llamaremos su curva imagen y mientras menor sea su pendiente mas
hacia la derecha estarcl su curva imagen, puesto que en los rayos
de menor inclinacibn su interseccibn con la linea de presupuesto
se produce para mayores valores de :.: . El m8s bajo de todos en el 1
e j e horizontal tasa en que la totalidad del ingreso de gasta en x o 1
; la hipt5rbola equilatera p :.: = y es la correspondiente curva
imagen y no hay ninguna otra que este mAs a la derecha que ella. 1 1
El rayo de mayor pendiente es el eje vertical, siendo entonces :.: 1
- (1) y ía curva imagen en el eje vertical es el espacio precio- -
cantidad. Los desplazamientos hacia abajo, hasta un' rayo ds menor'
inclinacibn, se buelven desplazamientos hacia la derecha hasta la
correspondiente curva imagen.
Para construir Tabla 1 que present& la tabla de demanda de :.( 1
necesitamos conocer la curva ifnagan de cada uno de los seis rayos
del ejemplo numot-1co y el tramo de variacibn de p para el cual
&Sta es vilida. La ecuacibn de cada curva imagen se obtiene 1
resolviendo el respectivo par de ecuaciones lineales o simplemente
remp 1 azando a y a por los correspondientes nbmeros de cada 1.3 23
-1- 4 B L A 1
O
Tabla de Demanda del B ien 1. ( p = 5; y = 5,O) 2
~ "-"""""
Recorr ido de var iac ion de :.: 1
Curva imagen Recappido de .............................. d e :.: var-iacion de p Efec to ingreso e fec to sus t i tuc ion
1 1 ( 1 ) ( 2 ) (3) ( 4 )
...................................
:.: = 1
p + 10
50 """""
p + 5
"""""
p + 5/7
1(3 a 5
S a 2,s
n i nguno
1 a 1,2s
2,s a 3,33
5 a 6,67
15,56 a 29,17
O a l
3,33 a 5
rayo. Una curva imagen es v a l i d a en e l tramo de va r iac idn p para
el c u a l e l r a y o o proceso pert inente e5 bptimo. Alternativamente 1
es te tramo, se determina por los valores de p para los cua les l a 1
linea de presupuesto tiene igual pendiente que cada uno de los dos
sucesivos segmentos lineales de los contorno. En la columna (3)
aparece el efecto ingresa del cambio en el precio, decir, el
cambio de S a lo l a r g o de curva imagen. La colunma ( 4 ) registra
la magnitud del desplazamiento de una curva a la prbxima o efecto 1
sustitucibn puro los resultados representa en la fig. 2.4 la cut'va
de demanda de x 1
Estamos ahora en condiciones de comprender por quL? la forma
de los contornos de indiferencia afecta la CLtr-va de demanda de un
bien. Con perfecta complementariedad y contornos en Bngulo recto,
esta curva coincidird con una hita curva imagen y la cantidad
demandada experimentard relativamente poca t-espuesta a los cambios
de precio.
91
La r e s p u e s t a a un cambio dado es mayor c u a n d o e l m o v i m i e n t o
h a c i a aba jo e n l a cut -va imagen es t - e t a t i v a m e n t e corto. S i l o s
s e g m e n t o s l i n e a l e s q u e se j u n t a n e n un v 8 r t i c e t i e n e n
a p r o x i m a d a m e n t e i g u a l p e n d i e n t e , l a e x p a n s i d n hacia afuer-a a 1 0
lar-go d e ese rayo n o dur-at-A nrc.ccho.
En e l caso límite d o n d e todos los s e g m e n f o a t e n g a n i g u a l
i n c l i n a c i b n n o h a b r a n i n g h n efecto i n g r e s o a l o l a r g o d e un rayo
s i n o a l o lar-go d e l e j e h o r i z o n t a l . P a r a la r e l a c i b n d e pt-ecios
c t - i t ica , e l c o n s u m i d o r - d e j a d e gastar- todo su i n g r c . 3 3 e n x p a P a
hacerlo c o n :.: . La c u r v a d e d e m a n d i c o n s i s t i r - A e n e l e je
v e t - t i c a l , por- e n c i m a d e l p r e c i o c t - i t i c o , y u n a h impLr-bola
2
1
equi lAte t -a pot- d e b a j g d e ta l pr-ecio. Los d o s b i e n e s s o n llamado
s u s t i t u t o s p e r f e c t o s dado que el c o n s u m i d o r - esta i n d i f e r e n t e e n t r e
c u a l q u i e r a d e ellos o e n t r e p r o m e d i o s p o n d e r a d o s d e ambos. .La
cuV$a L\; demanda 5er-h r e l a t i v a m e n t e e m p i n a d a o r e l a t i v a m e n t e
h o r i z o n t a l e n t r e e l eje y l a h i p t r - b o l a d e p e n d i e n d o e l l o d e l
e x t r e m a a l c u a l lm: c o n t o r n o s se a s e r n e n j a n mas.
92
"- . -. .~
CURVAS DE DEMANDA CRUZADA
A p a r - t i t - d e la c u r v a p r e c i o - c o n s u m o e n el espacio d e los
b i e n e s , podemos obtener pares d e v a l o r e s d e :.: y p e n c o n t r a n d o
primero a l o lar-go d e cada rayo l a e c u a c i b n d e x e n t & t v n i n o s d e
p . Los r e s u l t a d o s en l a t a b l a 2 d e t e r m i n a n l a tab la de. demanda
c) 1 1
2
I
c r u z a d a d e :.: . 2
T ' A B L A
0
T a b l a d e Demanda del B i e n 2 ( p = 5; y = 50) 3 A """""""""_"""""""""""""""""""""""""
Recorrido d e v a r i a c i o n d e x 2
Curva imagen Hecor-t-ido d e .............................. d e x v a t - i a c i a n d e p Efecto i n g r e s o efecto s u s t i t u c i o n
2 P)
( 1 ) L
(2) (3) ( 4 ) """""""""-""""""""""""""""""""""""" 50Q
"""" p ) 20 n i n g u n o o + 50 1 =
1 00 """""
p + 10 1
c J 0
"""""
p + S
5 0 """""
p 4 3 1
1 0 a 5
5 a 2 . 5
2,s a 1
S a 6,67
S a 6.67
2 , 4 5 a 4 , 1 7
7,s , a 5
6,457 a 5
6,67 a 2 , Y S
o l a 0 n i nguno 4 , 1 7 a O
...................................
E l e f e c t o i n g r e s o d e u n
opuesto al anterior, debido a
puede comprar,. rncls d e ambos
cambio en e l p r e i o actl4a en s e n t i d o
que -al dismunuir p - e l consumidor
bienes. Siempre q u e los contornos
F
1
de indiferencia scan par-alelos a l o l a r g o d e l o s rayos, los
cambios en e l p r e c i o d e l o t r o b i e n producen e f e c t o s i n g r e s o y
s u s t i t u c i b n puro que se compensan e n t r e s i . Por- e l c o n t r a r i o , l o s
cambios e n e l p r e c i a d e l mismo bien t ienen efectos ingreso y
s u s t i t u c i b n puro que se suman. si decechamos l a s i m p l i f i c a c i d n d e
que 105 contot-nosi d e indifot-encia %@an p a r a l e l o s , e s t a s r e l a c i o n e s
serhn normales pero de ninguna manera u n i v e r s l e s . La f i g . 2 .5
muestra l a c u r v a d e demanda cruzada d e >: . 2
94
Si los con:ornos de i n d i f e r e n c i a son *::(continuos>>. l a
solucidn dptima se dard siempre en e l punto de tangencia entre la
l i n e a de presupuesto y u n contorno, excepto el caso de que e s t a s e
h a l l e s o b r e uno de 105 e j e s . S j despu4s de haber logrado la
<<:contunuidadS>* d e los contornos, estos permanecen p a r a l e l o s a 1 0
l a r g o de l o s rayos, todo cambio en e l i n g r e s o que se r e a l i c e
manteniendo constantes los precios generar& en Engel que serbn
r-ayos. S i e l i n g r e s o es e l c o n s t a n t e , un cambio en p , por
pequeño que sea, de5plazar.A e l p u n t u de tangertcia a I!.II rayo bien a
un contorno diferente. el efecto ingreso a lo largo de un rayo y
4
1
e l d e s u s t i t u c i b n put-u en un contorno ocurren simultAneamente y no
en forma consecutiva. Plientr-at que l a s intensidades relativas de
c a d a e f e c t o y a no tutyirAn ma5 d e l a duracitm del movimiento hacia
afuera en los raya5 y hacia abajo en l o s contornos. Ambos e f e c t o s
se combinan para deter-minar en cada punto l a d i r e c c i d n que l a
cut-va d e p r-ec io-consumo toma en la f i g . 2 . 6 a
I
9s
" I
Como se mostrd para el modelo lineal cada vayo de mapa de
indiferencia determina un miembro de la familia infinitas de
curvas imAgenesj en el espacio precio-cantidad. Con contornos
paralelos hay una y solo una solucibn bptima en cada rayo, excepto
para los ejes, y solo un punto en la correspondiente curva imagen.
La curva de demanda .Fig. 2.b b corta toda la familia infinita de
curvas imagen y tienen solo un punto en comhn con cada una de
ellas, excepts la primera y dlltinla. El bien :.: no es adquirido
cuando el precio es; alto siendo en este caso el e j e vertical el 1
que representa la curva de demanda. Para precios suficientemente
bajos, solo se compra S y la curva de demanda coinside con la
hip&rbola equile.tet-A I: igual y / p . Esta curva ser8
.<(continua:>> si 1 0 5 contornos tambi&n 10 son excepto en 1 0 5
1 o
1 1
96
v & t - t i c e s d e l a s p o r c i o n e s i n i c i a l y f i n a l . La d i r e c c i b n o
p e n d i e n t e d e l a c u r v a d e d e m a n d a d e p e n d e d e las i n t e n s i d a d e s
r e l a t i v a s d e los efectos i n g r e s o s y s u s t i t u c i d n p u r o . E l p r i m e r o
es u n m o v i m i e n t o h a c i a aba jo e n u n a c u r v a imai-jsn y c o n t r i b u y e G
a u m e n t a r l a p e n d i e n t e . E l s e g u n d o es un d e s p ? a z a m i e n t o h a c i a l a
d e r e c h a y s o l o c o n t r i b u y e a d i s m i n u i r l a .
Los c o n t o r - n o s d e i n d i f e r e n c i a d e l a f i g . 2 .6 a i n t e r c e p t a n
ambos ejes s i g n i * i c a n d o e l l o q u e ningllrn b i e n p o r si s o l o es d e
u t i l i d a d p a r a e l c o n s u m i d o r este n o compr-arA :.: cuando su pt-ecio
sea demasiado a l t o y s o l o l o hat-& c u a n d o d i s m i n u y a lo s u f i c i e n t e . $
S i b i e n l a a b s t e n c i h n d e comprar- un b i e n c u y o precio es a l t o
r e s u l t a un hecho muy p a u F , i b l e n o o c u r r e o t r o t a n t o c u a n d o se
compra e x c l u s i v a m e n e t e un b i e n . Aun c u a n d o 5010 h a y a d o s b i e n e s
u n o requiere a l o t ro . E s t a d i f i c u l t a d s u r g e d e l a l i m i t a c i d n e n e l
nllrmer-o d e b i e n , l s a d o p t a d a para lograr- u n a t - e p r e s e n t a c i b n
geom&trica c o n v e n i e n t e ; n o o b s t a n t e e l l o tal l i m i t a c i d n ser&
a b a n d o n a d a mds a d e l a n t e . Si l a s c u r v a s d e i n d i f e r e n c i a so lo se
a p r o x i m a n p e r o n o c o r t a n l o s ejes l a c u r v a d e demanda se acerca
p e r o n o toca n i e l e j e v e r t i c a l n i l a h i p e r b o l a e q u i l a t e r d q u e
r e p r e s e n t a las compras e x c l u s i v a s d e x . 1
U n consumidor individcral tiene una sola funcidn de util idad o
c l a s i f i c a c i d n d e sus p r e f e r e n c i a s pot- o.r;den jerArquico, para tomar
como guia en la compra de los bienes. (luando dos o mas individuos
comparten e l mismo ingreso, hay entonc$s mas de una c l a s i f i c a c i b n
de p r e f e r e n c i a s con respecto a l o s paqubtes d e bienes disponibles.
El hecho de compartir u n ingreso carnll~b es entonces e l t -equisito
econdmico minimo para que una f a m i l i a 5 a una unidad consumidora.
Dado que el ingreso se obtiene por la venta de
insumos, l a c a r a c t e r i s t i c a econbmica m& fundamental d e l a f a m i l i a
e s t r i b a en e l hecho de compartir- rec t t-sos productivos que, o
pueden set- usados intet-namente en l o s pi-ocesos de consumo, O bien
pueden ser usados internamente en los pi-ocesos de consumo, o bien
pueden ser intrrcambiados por bienes eb e l mer-cado. Los miembros
de l a f a m i l i a tambidn comparten !a5 pr-bcesos d e consumo, ya sea
directamente a t r a v e s de l a cooperacibnl o indirectamente, como en
el caso d e la compra de u n bongb, que lrealiza un miembro pero que
a f e c t a a toda la familia. Finalmonte,I ademhc de l o s o b j e t i v o s
personales de cada unu, l a f a m i l i a tielne metas u ob jetos comunes;.
compartir el ingreso, recurriendo al sldpuestr, simplif icador de que I
tanto los procesos de consum como l o o b j e t i v o s de l o s miembros
de la familia son independientes. 1
98
EL CONTURNO DE TRANSFORMHCION DE UTILIDAD
No e5 pr-obable que. una fami l ia use su ingreso para
maximizacibn. Lo que seguramente hat-& es ma:.:imizar la u t i l i d a d de
uno, sujeta a nivelec constantes de 10s ot ros . En rea l idad y como
vet-emos, tada sulucibn que no sa.i-isface e.,te r e q u i s i t o minimo es
antieconbmica e i n s u f i c i e n t e . Con una f a m i l i a de dos miembros y
dos bienes disponibles, el problema puede expresarse en tCrminos
de p rag ramac i bn 1 i nea 1 :
V V V
1 3 & ." T
U
>. u 1
V V v = U tmax) 4 5 b .-I L
Las cantidadr-.s de l a derecha representan las compras t o t a l e s
de l a f a m i l i a en los dos bienes. Las tres primeras columnas
contienen los procesos de consumo del pr imer miembro y l a s t r e s
sigui ,entes los procesos de consumo de l segundo. Ninguno de 105 dos
individuos es afectado por el proceso de con6unic) d e l o t r o ; U 1
depende dnicamente de 105 t r e s pt-imer-os procesos y U de los ot ros
t r e s .
c) L
41 i g u a l que en todos los problemas anteriores, la 6olucibn
bptima en su forma que canbnica muestra l a va r - i ab le ob je t i vo como
una funcibn l ineal de la5 cantidades que aparecen en l a s
99
- Los c o e f i c i e n t e s u y u s o n l a s tasas d e cambio d e U c o n
respecto a cada b i e n , o u t i l i d a d e s m a r g i n a l e s d e cada m e r c a n c l a 21 22 2
para e i s e g u n d o c o n s u m i d o r . P o r set- v a r i a b l e s d u a l e s , t a m b i h s o n
s u s c e p t i b l e s d e i n t e r p r e t a c i ¿ m a modo d e v a l u a c i o n e s q u e e l
s e g u n d o miembro hace d e u n a u n i d a d d e estos b i e n e s .
h t e s d e i n t e r p r e t a r a t destacamos q u e el p r o b l e m a e n "
e s e n c i a , ES s imilar al modelo d e u n a e m p r e s a d e dos i n s u m o s y dos
p r o d u c t o s q u e ya f u e p r e s e n t a d o e n c a p . 1 1 . Los i n s u m o s s o n ahora
los b i e n e s q u e usa el proceso d e c o n s u m o para p r ' J d u c i t - , no ya
c a n t i d a d e s f i s icas s i n o n i v e l e s d e u t i l i d a d para l o s dos miembros
d e l a familia. P a r a l a firma, el p r o b l e m a d e o p t i m i r a c i b n i n t e r n a
o t e c n o l h g i c a c o n s i s t e e n u s a r c u a l q u i e r . c o m b i n a c i b n dada de
i n s u m o s a f i n d e m a x i r n i z a r u n a de l o s p t - o d u c t o s , dado un n i v e l
c o n s t a n t e d e l o t ro b i e n . La v a r i a c i b n pat-am&trica d e l s e g u n d o
p r o d u c t o , c o n ambas i n s u m a s f i j a s , o r i g i n a e l c o n t o r n o d e
t r a n s f o r m a c i b n d e l a p r o d u c c i d n d e l a f i g . 11-la. Desde el p u n t o
de v i s t a d e l a empresa, el c o e f i c i e n t e t es l a tasa do cambio de
un p r o d u c t o c o n respecto al o t r o , es d e c i r l a tasa d e
t t - a n s f o r m a c i b n d e l a p t - o d u c c i d n o l a p e n d i e n t e c o n s i g n o m e n o s d e l I
c o n t o r n o d e t r a n s f ormac i b n .
La v a r i a c i d n p a r a m k t r i c a d e U , c o n a m b o s b i e n e s c o n s t a n t e s ,
o r i g i n a u n c o n t o r n o d e t r a n s f a t - m a c i b n d e u t i l i d a d c u y a i n c l u n a c i d n 1
es -t-3 . Una d i f e r e n c i e impar*tanta e n t r e l o s d o s casos es que
m i e n t r a s l o s n i v e l e s d o pr-oduccicSn son observables y medibles
o b j e t i v a m e n t e , l o s n i v e l e s de u t i l i d a d no l o s o n , s i e n d o e s t e un
problema que pt-ontu abordaremos. Por- ahor’s, tr-w’ia!..emos primero de
explot-at- l a s s i m i l i t u d e s e n t r e empr-esa y familia. Midiendo sobre
ambos e j e s l o s n i v e l e s d e u t i l i d a d , l a f i g . 14-4 t-ept-esenta u n
contorno de tt-an5-f ormac idn d e u t i 1 idad 1 ineal a trozos cuya
pendiente con signo nlenos @S l a t a s a de trans+ot-macidn de
u t i l i d a d . Cada punto.de1 contormo t-epresenta una d i s t r i b u c i b n
d i f e r e n t e do los b i e n e s d i s p o n i b l e s e n t r e l o s dos miembros de l a
farnil i a . Al igual q u e en e l caso anAlogo de l a empt*esa, e l
conkor-no de t;r-ansformxiC)n de utj. 1 ldad debe set- cdncavo con
twspecto a l o r i g e n . De o t r a maner-a, las combinaciones intermedias
r-tc‘pr-ewmtat-íarr mayor-es n i v e l e s de u t i l idad para ambos miembros, no
obset-vAndose por c a n s i g u i e n t e 1 u 6 r e q u i s i t o s que e x i g e un mi:.:imo.
Ejercicios:
i.- Un modelo lineal da maximizacibn de la utilidad.
El siguiente ejemplo num4rico representa la maximizacien de
la utilidad para niveles dados de bienes:
36v + 12v + bv + 4v + 2v + Ov = (3q + q 1 2 3 4 J 6 1 2 c
1Ov + 1Ov + 1Ov + 10v + 1Ov + 10v = Oq + q + U(mAx) 1 2 3 4 5 b 1 2
( a ) Glue supuestos generales y qu& supuesto especial sobre la
pt-efet-encia del consumidor se t-equier-en para justificar el modelo?
( b ) Grafique un corrtot-no de isoutilidad o curva de indiferencia.
¡Que supustos s,obI-e la pr-efer-errcia elimina la posibilidad de un
pr-oceso dominada tal como sobre la preferencia elimina la
posibilidad de un proceso dominado tal como (10, 10, 10)7 iPuC
supuestos sobre la preferencia aseguran que combinaciones 1 ineales
de procesos adyacerr tes siempre for-marhn los segmentos lineales de
un con tor-no?
(c) En forma simbblica escriba la utilidad como una funcibn lineal
de los bienes. ¡Cual es el significado de las variables duales'?
Encuentre la funcidn de utilidad lineal a trozos. ¡De que manera
los cambios proporcionales en todos los ceoficientes de utilidad
afectan la funcibn de utilidad y el mapa de isoutilidad?
1 02
2.- Un problema lineal de minimizacidn alternativo
El ejer-cicio 6 desarrolla lo que podriamos llamar el problema
tecnoldgico de maximizacidn para el consumidor. Plantee ahora en
for-ma analoga a la empresa el problema tecnolbgico de
minimizacibn. ¡En qu& medida coinciden los resultados de ambos
problemas? Despuf2s de F ~ L L reduccibn a la forma canchica, expt-ese
simbblicamente la funcibn objetivo utilizando los mismos
coeficientes que se utilizaron para la empresa. En este contexto.
Cual es el significado econdmico de los coeficientes?
3.- La maximizacidn de utilidad.
O Para una restriccidn presupuestaria dada. Elija p = 4 e y = 24
r) L
(a) Haga variar a p en el tramo positivo y encuentre sus niveles
cr-iticos. Determine la solucibn bptima para cada valor- de p y 1
1 graf ique la curva de precio-consumo en forma similar- a la fig.
2. a.
(b) Encuentre la curva imagen del tercer- t-ayo, mar-que unos cuantos
puntos y haga el grifico. ¡Bajo qul. condiciones esta la curva
imagen seria la curva de demanda de x .?. 1
(c) Derive la tabla de demanda de x y presentela en la for-ma de
la Tabla 1 marque 105 valores ct-iticos de ( x , p 1 y trace la
cut-va de demanda. No se requiere que dibuje exactamente ingreso de
un cambio de precio a medida que el precio cae.
1
1 1
4.- El modelo de minimizacibn del gasto.
En el caso del consumidor, la utilidad equivale a la
produccibn o ingt-e.30 y los bienes a los insumos. Minimizando el
costo, puede entonces ser desarrollado un modelo alternativo del
consumidor, es decir, el gasto en bienes, sujeto a un nivel dado
de utilidad. Cada segmento lineal de la funcidn de utilidad
determina una restriccibn de la forma u x + u x > U . El
objetivo es minimizar E = p :.! + p :.: . El ingr-eso y ya no
resu 1 t a ap rop i ado.
- O
1 1 2 2 =
1 1 2 2
(a) Use la funcibn de utilidad lineal a trozos para plantear un
ejemplo num&rico de la versibn de la minimizacibn del gasto o
costo en, la eleccibn del consumidor-. Cual es el significado
econbmico de la variable dual o del coeficiente de U en la
funcidn objetivo despues de su reduccidn a la forma canbnica'?.
(b) Grafique el problema de la minimizacibn del gasto e
identifique el conjunto factible. Demuestre que, cuando los;
precios son los mismas y tanto U como y son correctamente
seleccionados, ambas versiones, la maximizacibn y la de
minimizacibn, tienen lar; mismas ~ol~tciones bptimas.
(c) Suponga que ambos problemas tienen soluciones iguales cuando
p = 5, p = 5 e y = 50. En e1 problema de minimizacibn del gasto
haga paramktricamente a p . ¡Cui1 es el lugar geomtktrico de todas
las soluciones bptimas posibles cuando p var*ia en todo el tramo
no-negativo? Compare con la curva ue pi-ecio-consumo. ¡Son los
1 2
1
1 O4
v a l o r e s d e :.: mayores o m e n o v e s para i g u a l e s n i v e l e s d e p *?. 1 1
( d ) E n c u e n t r - e los v a l o r - e s c r i t i c o s d e ( x , p 1 y m d r q u e l o s e n un
p a p e l . Con l a u t i l i d a d c o n s t a n t e , trace la c u r v a d e demanda d e 1 1
x c u a n d o p v a r i a . Como se compara esta c u r - v a c o n l a c u r v a d e 1 1
demanda q u e c o t - r e s p o n d e a un i n g r e s o c o n s t a n t e . ? Q u e caracter is t ica
d e l a cut -va d e d o m a n d a r e v e l a l a a u s e n c i a d e un e f e c t o i n g r e s o ' ?
( e ) Cuando un precio v a r i a , m a n t e n i e n d o s e c o n s t a n t e e l i n g r e s o , l a
u t i l i d a d tarnbien d e b e v a r i a r . C u a n d o un precio cambia,
m a n t e n i e n d o s e c o n s t a n t e l a u t i l i d a d , e l i n g r e s o d e b e t a m b i e n
v a r i a r . E n c u e n t r - e l a c n a t i d a d precisa e n q u e d e b e cambiar- e l
i n g r e s o p a r a c o m p e n s a r e x a c t a m n e t e el efecto i n g r e s o a l o largo o e
cada rayo y mantener- a l c o n s u m i d o r En el mismo en t o r n o d e
i s a u t i l i d a d .
C A F ' I - I - U L O I11
P R D B L E l v l f i S D E L A P H Q D U C C I O N
. . .
P a r a e s t u d i a r l a teor ia d e l a empresa, debemos b u s c a r u n
modelo q u e e x p l i q u e el c o m p o r t a m i e n t o d e l a empresa comercial. Una
empresa e5 u n a o r g a n i z a c i 6 n comercial q u e c o n t r o l a factores
p r o d u c t i v o s , 10s combina e n un proceco d e p r o d u c c i b n que t e r m i n a
e n l a v e n t a d e l o s a t - t i c u l o s .
La e m p r e s a o r g a n i z a s u s a c t i v i d a d e s d e p r o d u c c i b n y v e n t a s ,
t r a t a n d o d e a l c a n z a r cierto>r; o b j e t i v o s . A l g u n o s d e estos o b j e t i v o s
s o n : m a x i m i t a r b e n e f i c i o s , m a x l r n i z a r e l n i v e l d e p r o d u c c i b n o
m a : t i m i z a r l a u t i l i d a d d e l empresario, mirpimizar los costos de
p r o d u c c i b n . m i n i m : z a r costas de t ransporte etc.
La ma:.:irrrizacibn de b m c . f i c i u s es l a m o t i v a c i 6 n mas r a z o n a b l e
d e la empresa, porque si n o e x i s t e n u t i l i d a d e s l o s empresarios
r e t i r a r r l n s u 5 i n v e r s i o n e s d e la misma.
La teor ía de l a empresa p u n t u a l i z a l a i m p o r t a n c i a q u e t i e n e n
los b e n e f i c i o s como m o t i v a c i b n , e n terminos t a n t o d e l a forma d e
d e c i s i o n e s e n 1 0 5 n e g o c i o s como e n e l c o n t r o l social .
A l i g u a l q u e l o s c o n s u m i d o r e s m a x i m i z a n s u u t i l i d a d , s u j e t a a
r e s t r i c c i o n e s e n l a s d e c i s i o n e s d e m a x i m i s a c i b n .
1.- Restricciones burocrht.icas
a ) Control de precios
b) Reglamentos anti-monapblicos
c ) Reglamentos sobre la tasa de retorno a la inversibn
d ) Impuestos
2. - Restricciones de Mercado a ) S a l a r i o y costos del capital, materias primas,
insumos
b) Demanda de los productos de la empresa
c) Grado de competencia
3.- Restricciones Tecnolbgicas
a) La funcibn de produccibn, es decir las distintas
y otros
formas en
que al trabajo, capital, materias primas y otros insurnc~ pueden
set- combinados en la elaboracidn de productos finales.
La programacibn e5 la rama de las matemAticas que estudia los
mfitodos para obtener la mejor solucidn, d~ solucidn dptima a un
problema cuyas variables estan sujetas a ciertas restricciones.
Entre e5tos problemati se incluyen maximizar la produccibn C, el
bene-ficiario, minimizar el costo C, desperdicio, desarro1 l a r
t&cnicas estrategicas para empresas y muchos otros casos.
La programacidn lineal naa permite examinar 1a.tooría de la
produccibn desde un punto de vista algo diferente.
"4. . . . " . .
Este punto de v ista, en comparacidn con el t r a d i c i o n a l
a n a l i s i s m a r g i n a l unifat-me, implica un desplazamiento del foco de
a t e n c i a n . En lugar de ~ u 5 c a t ' la combinacidn bptima de insumo de
n i v e l e s de a c t i v i d a d . Para esto e l a n a l i s i s de programacibn
lineal nos oft-ecc mAs infot-macidn que e l ensoque marginal; no
solo d e f i n e un o b j e t i v o en t&tminos de cantidades bptimas de
insumos y produL-.c:idn, sino que tambih brinda instrucciones
e s p e c i S i c a s p a r a a l c a n z a r e s t e o b j e t i v o en t&t-minoo de l a s
d i s t i n t a s a c t i v i d a d e s p o s i b l e s de l a empresa.
MODELO DE UN PRODUCTO Y DOS ACTIVIDADES
1 . - La empresa dispone de dos actividades independientes. Se
de-fine una a c t i v i d a d como una forma p a r t i c u l a r de combinar- los dos
factor-es f i jos para la generacibn d e una variable por unidad de
pr-oduccibn que es constante e independiente d e l n i v e l de l a
a c t i v i d a d .
2.- La empresa en u n mercado de productos puramente competit ivo.
Por l o t a n t o , puede vender- toda la produccidn X que sea capaz de
fabricar- a un p r e c i o F f i j o y conocido.
El supuesto 2 requiere algtm comentar-io. En e s t e c a p i t u l o
estamos t-estringiendo l o s modelos a a q u e l l o s que s a t i s f a c e n l o s
requisitos matemdticos d e l a programacibn lineal . Un r e q u i s i t o es
q u e l a f u n c i d n o b j e t i v o s e a lineal. Fueoto que l a f u n c i b n o b j e t i v o
e s l a f u n c i d n d e b e n e f i c i o , y una de sus t&rminos e5 e l i n g r e s o
1 v9
t o t a l , s i se re f lex iona un momento se advert i r8 que e l p r imer
supues;to e5 ind ispensable . E l ingreso tota l puede expresarse como.
(8-1) Ingreso tota l z F X
Ahora bien , si l a empresa es un competidor imperfecto, se
encuentra ante una curva ds demanda inc l inada . Supongamos que la
curva de demanda es:
(8-2) P = a - bX donde b # O
Introduciendo la curva de demanda, (8-21, en (8-11, obtenemos
.-, 4-
(8-3 ) Ingresa tota l = aX - bX
P o r l o t a n t o , s i F' no es f i j o , o independiente de X , l a !
presentaremos modelos de programacibn no lineal de la empresa. i I Volvamos ahora a l r e s t o de los supuestos de nuestro modelo.
T 3.- L a empresa se ha l la an te un problema de optimizacibn a corto
p lazo . Pat- cantidades de dos factores de pt-oduccibn que son f i j o s
p a r a e l pr-ablema que estarnos tratando y su ob jet ivo es ma:timizar
e l b s n e f i c i o .
4 . - L a funcibn de produccibn, tal como l a d e f i n e n ambas
act iv idades, es hornogLnea de primer grado. E5 decir- que prevalecen
105 rendimientos constantes a escala: aumentando cada uno de 10s
factores en la act iv idad 1, por ejemplo, por un mul t ip l icador m,
se obt iene un incremento por e l mismo mul t ip l icador m en l a
cantidad de X producida por esa act iv idad .
5.- La empresa esta limitada en su seleccibn de niveles de
actividad por SU existencias fijas de ambos factores.
6.- finlbas actividades pueden emplearse de manera simulthnea; si se
hace esto: lasi cantidades de produccidn e insumos ser-an la suma
aritm4tica de la cantidacieG que resultarian de emplearse las
actividades pot- separado.
7.- La naturaleza cxacta de las actividades de la empresa ha sido
predominada por un canjunto de d2d;icisiones t&cnicas tomadas por sus
ingenieros tknicos.
8. - Los fac tore5 y productos de la empresa son perfectamente
divisibles.
9.- No han de cambiar durante el per-lodo considerado las precios
de 105 factores, de los productos ni de los coeficientes que
determinan las actividades de la empr-es;a, o coeficientes de
insumo-producto (modelo esthtico) .
10.- No se permite que sean v a r i a b l e s aleatorias los precios de
los factores, los precios de lac; ptwductos r;l los coeficientes que
determinan las actividades dc Id empresa (so supone un estado de
total czrtidumbre) .
Se habr-An de utilizar los siguientes simbolos:
X = Cantidad de unidades de produccibn
X = Nivel o cantidad de unidades de X producidas por- la pr1met-a 1
actividad.
111
P = Precio p o r u n i d a d d e X
VC = c o s , t o v a t - i a b l e pot- u n i d a d d e X
VC = Costo v a r i a b l e pat. u n i d a d d e :.: 1
2
Se a p l i ca t -An los s i g u i e n t e pat-Amett-os:
a) L a a c t i v i d a d 1. t - e q u i e r - e 5 horas/hombre y 1 hot-a/mAquina para
p r o d u c i r u n a u n i d a d d e X.
b ) La a c t i v i d a d d o s t - e q u i e r - e 1 hora/hombre y 2 h o r a / m A q u i n a para
p r o d u c i t- u n a u n i d a d d e X.
c) La empresa c u e n t a TOO horas/hombre d e mano de obra.
d ) La empresa c u e n t a con 90 h o r a s / m d q u i n a de c a p a c i d a d de
m a q u i n a r i a .
e) F' = 2 pot- u n i d a d e d d e X, VC = 1 por u n i d a d de X y VC = 1 p o r
u n i d a d e s d e X . 1 1 3 *
2
La f u n c i d m d e b e n e f i c i o t o t a l e n t r e (h) d e la empresa es
(8-4)
Las r e s t r i c c i o n e s s o n
112
'
Y las candiciones de no negat iv idad,
Ambas activ iades requiere la pt -oduccibn de 5 4 , 4 unidades de X i I
p o r l a a c t i v i d a d de 1 y 27,8 unidades de X pot- l a a c t i v i d a d de 2.
Por- lo tanto, el bene f ic io mixinlo t-oaulta de l a ecuacibn (8-4), e5 !
decir- 62,2 . (Ob&rvese que, en v i r t u d de los va lo res de l o s
parlmetr-os especificados en e , la produccibn totaltambikn e5 de
62 .2 unidades. )
Nuestro qb jet ivo a q u í sera vo lver a resolver- el prablema. Sin
embargo, l o haremos de t a l manera que nos permita comparar. e l
modelo de programacidn l i n e a l con e l a n d l i s i s m a r g i n a l . De esta
forma, podremos 6ubrayar- l a s di+erencias bdsicas entre ambos.
113
3 . 2 FUNCION DE PRClDUCCION
Comenzaremos examinando la +funcibn d e p r o d u c c i d n , q u e s u e l e
r e p t - e s o n t a t - s e g r a f i c a r n e n t e pot- un mapa de i s o c u e n t a s . En la f i g .
8-1 p u e d e v e r s e l a pr-imer-a etapa de l a d e d u c c i b n del mapa de
i s o c u e n t a s par-a nuest ro motlela.
Coma ya es .:onvencional, los; f a c t o r d s apit t -ecen sobre los
ejes. Ademds cada a c t i v i d a d e5ta t -epu.esentada pot- un radio vector
desde el o r i g e n . *Ubservese que l a p e n d i e n t e d e un v a d i o v e c t o r -
repr.osienta l a r-azbn de 10s factores q u e d e f i n e n esa a c t i v i d a d .
Las c o o r d e n a d a s d e los p u n t o s A, El y C y 105 c o r r e s p o n d i e n t e s
valor-es de X e n l a f i g u r a 8-1 s o n :
114
Pun t o Horas/hombre Hot-as/mdquina X
A 1 o 2
E 15
1 2
3
C 2 (3 4 4
Puesto que l a a c t i v i d a d 1 que d e f i n i d a p o r el r e q u i s i t o de
que deben combinarse 5 horas/hombre con 1 hora/mdquina para
pr-oducit- I unid.:3d de X , : -esul ta c laro que los t res puntos se
encuentran sobre el radio vector. tambikn es fhc i l ca lcu lar ' que A
corresponde a una produccidn por pat-te de l a a c t i v i d a d 1 de 2
unidades de X . L,? manera s i m i l a r , B cortwsponde a un n i v e l de 3
unidades de X y C a 4 unidades de X . Se ins inha asi una
I r e s t r i c c i d n a l a a p l i c a b i l i d a d de los modelos de programacidn
l i n e a l : e l p r o c e s o de produccidn debe tener l a pr-opiedad de ~
I
rendimientos constantes a escala. En la f i gu ra , l os puntos A ' , b' I y O ' estan ubicados sobre e l radio vector que representa l a i
I I
Punto
A '
b'
C '
Horas/hombre Horas/mdquina
2 4
3 6
4 8
-F
X
2 2
3
4
115
al nivel de X = 2 , y la actividad 1 desaparece. El punto suguiente
=.e refiere a la posibilidad de emplear simultAneamente las 3 -
actividades 1 y 2 para producir- un total de 2 unidades.
E
116
Puede demostrarse que el se5mento de recta que conecta los
puntos R y A ' en el lugar geam&trico de todas las combinaciones de
las actividades 1 y 2 que generan una produccibn combinada de 2
unidades, lo que se comprueba en la figura 8-2.
E l punto M, situado en A ' A de modo tal que A " / A'A=0,3,
representa la combinacidn de las actividades 1 y 2 para lo que 0,6
unidades de X son producidas pot- la actividad 1, y 1,4 unidades de
X por la actividad 2. La regla es bastante general: si A ' M / A'H=k,
entonces Cr por 2 unidades de X son producidas por la actividad 1,
y (l--k) por 2 unidades de X son producida5 por la actividad 2.
Pot- el plan de fabricacidn especificado por M, pueden
producirse dos unidades de X . Este plan requiere OD unidades de w
mano de obra y OE unidades de capacidad de maquinaria; 1,4
unidades de X son producidas par la actividad 2, y 0,6 unidades
pot. la actividad 1. . Ademas, es fAcil de deterrminar las
cantidades de factores t-equerida!a por cada activiciad:
Actividad 1
(5 horas/hombre por unidad de X ) 0,6 unidades = 3 horas/hombre
( 1 hot-a/mdquina por unidad de X ) 0,6 unidades = 0 , 6 horas/mAquina.
Actividad 2
(1 hora/hombre por unidad de X ) 1 , 4 unidades = 1,4 horas/hombt-e
( 2 horac/maquina pot- unidad de X ) 1,4 unidades = 2 , 8 horas/
mAqu i na.
117
R e s u m i e n d o , t e n e m o s los r e q u i s i t o s d e insumo para M:
HorasJhomb re Horas/m&quina
A c t i v i d a d 1
A c t i v i d a d 2 174 c) .L, 8
-:, .J , t:) 'O, b
Total 4 , 4 (=CID) S , 4 ( = O € )
S i e l p u n t o M r e p r e s e n t a s e e l p l a n ' bptimo d e p r o d u c c i b n ,
podt*iamas e n t o n c e s d a r la s i g u i e n t e i n + o r m a c i b n : 1) p r o d u c c i d n
t o t a l , 2 ) n i v e l e s d e cada u n a d e las a c t i v i d a d e s , 3 ) los i n s u m o s
d e factores r e q u e r i d o s p o r c a d a a c t i v i d a d y 4) los i n s u m o s
g l o b a l e s d e factores ( 4 , 4 h o r a s / h o m b r e y 3 , 4 horas/ n d q u i n a ) . A q u i
c o n v i e n e destacar que el modelo d e progr-rlmacibrl l i n e a l s u m i n l s t r - a
mAs i n f o r m a c i d n q u e el d e a n a l i s i s m a r g i n a l , p u m s t o q u e p o r es to ~
s b l o se o b t e n d r i a n datas de las tipos 1 y 4.
P a r a i l u s t r a r - c o n mayor c l a r i d a d este p u n t o , c o n s i d e r e m o s l a
f i g u r a 8-3. La i s o c u a n t a t i p i c a d e a n l l i s i s m a r g i n a l puede
t r a z a r s e de l a manera i n d i c a d a e n la f i g u r a 8-3(a). E l a n l l i s i s
m a r g i n a l c o n s i d e r a r i a a cada p u n t o (sobre u n a i s o c u a n t a ) como u n a
a c t i v i d a d d i f e r - e n t e . Si 50 da el p u n t o M como s p c r - a t i v o bpt imo,
v e t - i a m o s la r a z b n d e insutno d e factores de M curnu la d e f i n i c i b n d e
u n a a c t i v i d a d p a r t i c u l a r * . S i n embargo, l a isocuanta de
p r o g r a m a c i b n l i n e c ; . . l d e l a f i g . 8-3, ( b ) , dado q u e M es el p u n t o
bpt imo, n o s p e r - m i t i r i a d e d u c i r - mas i n f o r - m a c i h n , es d e c i r 10s
t-mbros 1 a 4 q u e 5e e n u m e r a r b n a n t e r i o r m e n t e . O sea q u e se
c o n c e b i r i a a M como una c o m b i n a c i b n d e dos a c t i v i d a d e s .
Debemos llamar- la atencidn sobre otro aspecto de la fig. 8-3
se han explicado. Estos segmentos paralelos indican’ simplemente
la redundancia de agregar factores adicionales, pues no se puede
incrementar la procluccidn cuando el otro factor es fijo.
Fig. 8-3. a) Isocuarrfa de anAlisis rnarginal. b ) Isocuanta de I programacidn 1 ineal.
Queremos destacar que no utilizamos estos antecedentes pat-a
criticar el anihlisis mar-ginal y ensalzar lar virtudes de la
programacibn lineal. Creemos que cada de uno de estos modelos es
htil , que la eleccibn del que habrh de aplicarse depende del
propbsito que guíe al investigador. Si esth interesado en los
problemas de determinacibn de precio.; en el mercado, puede
119
t - e c u l t a r a p r o p i a d o e l a n A l i s i s m a r g i n a l , e n t s n t o q u e si e l ob j e t o
d e l a i n v e s t i g a c i b n es la empresa, l a p t - o g r a m a c i b n l i n e a l p u e d e
ofrecer- u n c u a d r a mas r e v e l a d o r . Cabe agregar- q u e el a n a l i s i s
m a r g i n a l , a l c o n s i d e r e t - la f u n c i b n d e p r o d u c c i b n como un ncflmero
f i n i t o d e a c t i v i d a d e s , p o d r i a ser- mArJ apt-opiacio para el a n h l i s i c , a
largo p l a z o 9 en el que todos l o s t i p o s d e procesos p r o d u c t i v o s
san, e n p r i n c i p i a , c o n r r h i b l r s . La p t - o g r a m a c i d n l i n e a l , a l v e r a
l a empresa poseedora d e Lln s o l o n h m e r o f i n i t o de procesos
a l t e r n a t i v o s p o d r i a ser mas a p r o p i a d a para e l a n A l i s i s a corto
p l a z o .
, ~
A r g e n t i n a , A r g e n t i n a 197:3.
F u e n t e : T h o m a s H. Naylor- E c o n o m i a d e l a E m p r e s a c a p 8 I n d u s t r i a
u a n t a s .
SOLUCION DE MAXIMIZACION DE BENEFICIOS
La f i g . 8-4 ofrece un mapa completo d e isoc
A c o n s e j a m o s a l lector asegurarse d e que compr-ende por-qu&, p a r a
d i f e r e n c i a s i g u a l e s de p t - o d u c c i b n , la5 i s o c u a n t a s se e n c u e n t r a n
separadas p o r d i s t a n c i a s i g u a l e 5 . Una caracteristica de n u e s t t - o
supuesto a n t e r i o r d e q u e 105 c o e f i c i e n t e X y X d e l a f u n c i d n d e
b e n e f i c i o s t i e n e un v a l o r d e 1 es que las i s o c u a n t a s p u e d e n
c o n s i d e r a r s e como c u r v a s d e i s o b e n e + i c i o . D e esta m a n e r a , e l
o b j e t i v o d e la empresa d e m a s i m i z a r s u b e n e f i c i o t o t a l p u e d e
r e d u c i r s e a l d o la m a x i m i z a c i b n de l a p r o d u c c i d n .
1 2
F i g . 8-4
Para obtener e l p lan de produccibn que maximice el bene f ic io
t o t a l deben superponerse, gr-aSicawente, l a r-egidn f a c t i b l e y e l
mapa de isobenef ic io . La existencia de 200 hot-as/hombre de mano de
obra queda indicada p o r l a l i n e a v e r t i c a l que c o r t a e l e j e
h o r i z o n t a l en e l punto D. Todas 105 puntos ubicados sobre la l inea
v e r t i c a l , o a su izquierda, representan combinaciones de ambas
act iv idades que no vequieren m215 iie 2 C K ) horss/honbr-a de mano 4 6
obra. De maner-a s i m i l a r , l a l i n e a h o r - i z m t a l que inter -secta e l e je
de hot-as/mAquina en el punto E i nd ica l a ex is tenc ia de 90
horas/mAquina de capacidad maquinaria. Por ende, l a zona
rectangular OEMD d e f i n e l a r e g i b n f a c t i b l e ; s o l o son v iab les l os
puntos ubicados sobre 105 l í m i t e s o en e l i n t e r i o r d e l r e c t A n g u l o .
121
El problema de la empresa ha sido resuelto ahora de manera
efectiva. La empresa busca aquel punto en la regidn factible que
tambitin se encuentra la curva de isobeneficio mas alta posible.
Sin duda alguna, este es el punto M. c
1 I
Una vez determinado el punto M, es ficil establecer los 1
niveles de las do5 actividades. El beneficio mdximo es de 62,2; y, I
porsupuesto la praduccidn, es 62,2 unidades. Por lo tanto, la
actividad 2 opera a un nivel (MS/HS). (62,2) unidades y la
actividad uno a un nivel de (HM/RS). (62,2) unidades. LOS insumos
I I
de cada actividad pueden hallarse sin dificultad alguna vez
conocido el nivel de cada una tal como se desmostrc) antes.
3.3 CURVAS DE COSTO
Como paso adicional en la comparacibn de la pr-ogr~amacibn
lineal y el analisis marginal, 5erd dtil deducir las curvas de
costo. Las formas caracteristicas de las curvas de costo a cor-to
plazo de anilisis mar-ginaI son las que aparecen en la f i g . 8-5.
122
F i g . 8-5.
C
X
Es simple deducir las curvas de costo para los pat-&matt-os
supuestos para e l modelo de programaci¿m l i n a l . Ambas ac t iv idades
t ienen los mismos costos v a r i a b l e s pot- unidLaes do pt-oduccidn; asi
l as curvas ser ian hor izonta les hasta a lcnnzar una produccidn
mixima y luego se tot-nar-ian verticales t a l como se i n d i c a en la
fig. 8-6.
123
Fig. 8-6
K
1
Fara hacer algo mas interesante la deduccibn, asignaremas a
ambas actividades costos; var-iab1c.s diferentes. Por ejemplo,
~upongamus que
Resulta claro que la actividad 1 entrara en operacibn antes
que la 2. Pot- lo tanta, para producciones haJac, la curva de costo
marginal de la empresa serh hot-izantal cn VC = 1 . Es decir- que
la empresa trabajara en la actividad 1 solamente a medida que la
produccibn crezca desde O hasta la capacidad maxima que esta
actividad puede producir sola. Podemos determinar esta produccibn
hallando el minimo de
124
200 h o i - a s / h o m b r e """""""""""""""" = 40 u n i d a d e s d e X 5 h o t - a s l h o m b r e p o r u n i d a d d e X 1
1
Y
Y O horas/rnAquina """""""""""-""""" = 40 u n i d a d e s d e X 1 h o r a s / m a q u i n a por- u n i d a d d e X 1
1
P o r . l o t a n t a , la e x i s t e n c i a de X ) O h o r a s / h o m b r e d e mano
o b v a l imita l a p r o d u c c i b n d e l a a c t i v i d a d 1 de l a firma a
j
d e
4 o
u n i d a d e s d e X. La cut -va d e costo m a r g i n a l es h o r i z o n t a l e n 1 pot.
u n i d a d para l a a m p l i t u d d e p r o d u c c i d n d e O a 40 ( v e a s e l a f i g u r a
8-71 .
E l problema s i g u i e n t e es h a l l a r el costo m a r g i n a l para
p r o d u c c i o n e s s u p e r i o r e s a las 40 u n i d a d e s . De n u e s t r o a n i l i s i s
a n t e r i o r sabemos 5t.e l a p r o c l u c c i d n m a x i m a d e l a empr-esaes d e 62,2
u n i d a d e s . Sabemos, tambien, q u e la empresa r e a l i z a ambas
a c t i v i d a d e s e n -Forma c o n j u n t a par-a o b t e n e r m a x i m a p r o d u c c i b n .
N u e s t r o p r d x i m o paco es c a l c u l a r - e l costo m a r g i n a l d e l a 41a
u n i d a d . Y como vet-emos, el costo m a r g i n a l d e la 41a u n i d a d sera
i g u a l a l d e 42a, y asi s u c e s i v a m e n t e , h a s t a q u e a l c a n c e m a s la
p r o d u c c i b n m a x i m a de 62,2 u n i d a d e s . Fabricar u n a u n i d a d mas d e
p r o d u c c i b n c u a n d o la empresa e s t h g e n e r a n d o 40 u n i d a d e s p o r media
de l a a c t i v i d a d 1 requiere u n a r - e d u c c i b n en l a p r o d u c c i d n d e esta
a c t i v i d a d . La r-azdn es s i m p l e . En X "40 se emplea toda la mana d e
obra d i s p o n i b l e . La a c t i v i d a d 1 d e b e r e d u c i r s e , a f i n de liberar
s u f i c i e n t e mana de d e obra como para q u e l a a c t i v i d a d 2 p r o d u z c a
"
la unidad adicional mas la rmeduccibn de produccibn de la actividad
l. Esto resulta posible porque la actividad 2 6)s relativamente mas
eficiente en el USO de mano de obra que la 1.
Supongamos que .'*'.X es la r-educcitrn en la produccidn de la
actividad 1 que se necesita para liberar mano de obra suficiente 1
como par-a que la actividad 2 produzca ( " ' X + l ) unidades. La I I
produccidn total ser-A, entonces,
Uctividad 1
Actividad 2
Volumen de produccibn
40""X
*.'% x + 1
Total 41
Por definicibn, el casto marginal de la 31a unidad 89 la
vat-iacibn neta es el casto total debida al aumento de pr-oduccibn
de 40 unidades a 41 unidades. Asi,
El v a l o r de "*X puede hallarse de la ecuacibn que indica la
cantidad de mana de obra liberada p o r la actividxl 1 es igual a la
cantidad de mano de obra requerida por'. la actividad 2, o bien,
(8-8 1 (5 horas/hombre por unidad de X )"X unidades 1
= ( 1 hora/ hombre p o r unidad de X ) ( " . X + l ) 2
126
u n i d a d e s
R e s o l v i e n d o ,
.*‘X = 1 / 4
S u s t i tuyenda . “X =J 114 en ( 8 - - ’ 7 ) , o b t e n e m o s
P a t - a o b t e n e r MC se r e q u e t - i v i a el mismo p r o c e d i m i e n t o ,
l l e g a n d o a MC = 2 , 2 5 . En c o n s e c u e n c i a , el costo m a r g i n a l es
c o n s t a n t e 2,25 p a r a las m a g n i t u d e s de p t - o d u c c i b n s u p e r i o r e s a 40
42
42
u n i d a d e s hasta l a p r o d u c c i d n mAxima. En l a p r o d u c c i d n m a x i m a , e l
costo m a r g i n a l se tot-na v e r t i c a l , i n d i c a n d o q u e se ha colmado l a
capacidad f i s i c a . Conocieildo la f u n c i b n de cos to m a t y i n a l p u e d e
d e d u c i r s e e l c u s t o n e d i u total, pera aqui nc~s limitaremos a
p r e s e n t a r ambas f u n c i o n e s e n l a f i g u r a 8-7.
F i g u r a 8-7.
127
En r-e5umen, l a s cut’va5 de c o s t o a c o r t o p l a z o d e l a n d l i s i s
mdt-ginal Y l a pt-ogramaciem l i n e a l se elevan ambas a medida que se
l l e g a a l l i m i t e de capacidad. Sin embargo, en tanto que las cutwas
d e l a n a l i s i s mar-ginal son unifot-mes y continuas, l a s de
progt-amacibn l i n e a l , es d e c i r , l a deduccibn d e curvas de ingreso
medio mar-ginal, puede consul t a r a Baumol.
Fuente: Thomas H Naglor Economia de l a Empresa. Industria I
Argentina- Argentina 1973.
3.4 DkiSkRfioLLCI DE MClUELClS DE PRODUCCION.
Modelo d e p r u g r a m a c i b n l i n e a l .
N u e s t r o modelo d e p r o g r a q m a c i b n l i n e a l d e l a empresa d e p r o d u c t o s
y factores m h l t i p l e s 5e f u n d a m e n t a en e l s i g ~ i l e n t e c o n j u n t o d e
supues tos :
1 . L a empresa d i s p o n e d e p a c t i v i d a d e s i n d e p e n d i e n t e s ,
d e f i n i h d o s e u n a a c t i v i d a d cam0 u n a manera p a r t i c u l a r d e combinar-
un mdximo d e m factores v a r i a b l e s p a r a l a p r o d u c c i b n d e u n a u n i d a d
d e p r o d u c t o . U n a u n i d a d de p t - o d n c c i d n es a n A l o g a a u n a u n i d a d de
p r o d u c t o , pero la empresa p u e d e fabr icar m A s d e un p r o d u c t o .
P u e s t o que un p r o d u c t o d a d o pctcde set- fabricado por medio de
v a r i a s a c t i v i d a d e s diferentes, cada u n a d e las cuale5 emplea
r e l a c i o n e s d i s t i n t a s d e factores, el nCmero d e a c t i v i d a d e s p u e d e
e x c e d e r e l ndtmero d e pt-oduc tos.
2. Los p r e c i o s de 1.05 factores v a r i a b l e s y p r o d u c t o s d e l a empresa
son fijos y c o n o c i d a s ( se p r e s u m e c o m p e t e n c i a p e r f e c t a ) .
3. El o b j e t i v o de l a empresaes m a x i m i z a r e l b e n e f i c i o ,
s u b o r - d i n h d o s e a 1s r - e s t r i c c i o n e s i m p u e s t a s por l a n a t u r a l e z a d e
sus a c t i v i d a d e s y l a s c a n t i d a d e s d i s p o n i b l e s d e l o s factores
f i j o s .
4. Cada a c t i v i d a d se c a r a c t e r i z a p o r un c o n j u n t o d e r e l a c i o n e s
e n t r o l a s c a n t i d a d e s d e factores y los n i v e l e s d e cada una d e las
p r o d u c c i o n e s . Estas r e l a c i o n e s s o n c o n s t a n t e s e i n d e p e n d i e n t e s d e
la medida e n qua 5e emplea cada a c t i v i d a d . (Las f u n c i o n e s de
129
produccibn de l a empr-esa son homagkneas de primar- grada, es decir’
se presunre r-endimienkos constantes a e s c a l a . )
S. La r.mpt-es%a esta restr’irlgida en su s e l e c c i b n de n i v e l e s de
actividad por sus d i s p o n i b i l i d a d e s f i j a s de c i e r t o s r e c u r s o s
(factor-es f i jas) t -equeridos para mantener l a s p a c t i v i d a d e s . (Los
f a c t o r e s f i j o s de le empresa son p e r f e c t a m e n t e d i v i s i b l e s en su
uso, pevo l a c a n t i d a d t o t a l de c a d a f a c t o r f i j o d i s p o n i b l e tiene
u n 1 imite) . 6. Es p o s i b l e u t i l i z a r - en forma s i m u l t h e a d o s o mAs a c t i v i d a d e s ,
s u j e t o a l a s l i m i t a c i b n e s d e los f a c t o r - e s f i j o s de que dispone l a
empresa; y s i e s t o s e hace, las cantidades de produccibn t. insumos
ser-An las sumas at-itmkticas de las cantidades q u e resultar-ian s i
l a s a c t i v i d a d e s se empleasen pot- separ-ado.
7 . La n a t u r a l e z a e x a c t a d e l a s a c t i v i d a d e s de l a empresa ha s i d o
pr-edeterminada por un conjunto d e d e c i s i o n e s t g c n i c a s tomadas por
sus ingenieros y t & c n i c o s .
8. Todos los f a c t o r e s y prodctctos de l a empresa son perfectamente
divisibles. Este supuesto puede, naturalmente, aplicarse s in tanta
r i g i d e z s i se desea for-mulat. u n modelo de programacibn l i n e a l
entera.
!
9. Las p r e c i o s de los factot’es, de 105 productos y l a s
c o e f i c i e n t e s q u e determinan las a c t i v i d a d e s de l a empresa
( c o e f i c i e n t e s d e insumo-producto) no varian durante e l periodo
bajo consideracibn.
10. NO 58 p e r m i t e q u e e l precio d e las factot-es, de 10s p r o d u c t o s
n i l o s coeficientes que d e t e r m i n a n l a s a c t i v i d a d e s d e l a empr-esa
s e a n v a t - i a b l e s a leator ias .
F u e n t e : T h o m a s H. Naylor. E c a n o m i a d e l a E m p r e s a . I n d u s t r i a
A r g e n t i n a , A r - g e n t i , - t a 1973.
COMPARACIONES DE LAS FUNCIONES DE .PRODUCCION.
P u e s t o que la mayor-id d e l a s d i f e r e n c i a s d e los modelos de
a n a l i s i s m a r g i n a l y p r o g r a m a c i b n l i n e a l 5e r - e f i a r - e n a la f u n c i b n
d e p r o d u c c i b n , parece a p r o p i a d a e x p l o r a r esta c o n c e p t o c o n a l g t m
deta l le.
Baja los s u p u e s t o s d e l a n h l i s i s m a r g i n a l c o n v e n c i o n a l se dice
que la f u n c i o n de p r o d u c c i b n de la enrpr-esa es u n a f u n c i b n de las
c a n t i d a d e s d e f a c t o r e s f i j o s y v a r i a b l e s q u e se e m p l e a n en e l
proceso p r o d u c t i v o d e l a misma. Fara c u a l q u i e r - c a n t i d a d dada de
factor-es, l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e r e p r e s e n t a d a por- l a f u n c i d n
suele def inirse , como la c a n t i d a d rnAxima d e un bie l i e n p a r - t i c u l a r
qua puedo p r u d u c i r s e , e n un d e t e r m i n a d o estado t e c n o l d g i c o , e n
base a las c a n t i d a d e s especificadas d e factores.
E l a n k t l i s i s m a r - g i n a l de l a f u n c i b n d e p r o d u c c i b n implica q u e
ya se h a a l c a n z a d o u n a m a x i m i z a c i b n f i s ica d e pr -oducc ibn pat-a
n i v e l e s dados d e insumo. En e s e n c i a , es to s i g n i f i c a que el
p r o b l e m a d e m a x i m i z a c i d n d e b e n e f i c i o s d e l a empresa est&
i n t e g r a d o p o r dos etapas. La pr-imera c o n s i s t e en d e d u c i r u n modelo
p a r a lograr l a m a x i m i z a c i b n f i s i c a p r e s u p u e s t a d a e n l a d e f i n i c i b n
131
d e l a f u n c i d n d e p r o d u c c i d n . Ec d e c i r - q u e l a etapa 1 e q u i v a l e a
d e t e r m i n a r . l a t e c n o l o g i a d e l a empr-esa. L a s e g u n d a etapa es
m e r a m e n t e e l p r o b l e m a de n r a x i m i z a c i b n e l b e n e f i c i o t o t a l , s u j e t o a
las c o n d i c i o n e s impuestas por- l a f u n c i b n d e p r o d u c c i d n .
Cabe destacar q u e e l p r i m e r o d e las dos probiemas de d e c i s i d n
d e l a empresa p u e d e r - e s o l v e r s e e n forma i n d e p e n d i e n t e d e l s e g u n d o ,
pero este d e b e t-e5olver”13e ya sea s i m u l t a n e a m e n t e o p o s t e r i o r i d e
a q u e l .
La d i s t i n c i b n e n t r e l u c ~ t i p o s de p r o b l e m a s para 10s que se
a d e c h a n mejor- l c ~ s m&tadoci del a n i l i s i s m a r g i n a l c o n v e n c i o n a l y l a
p r o g r a m a c i b n 1 i n w l p u e d ~ ~ c l a r - a r s e c o n t i n c r a n d o n u e s t r o e x a m e n d e
la natut-aleza cle lo.; d~:.; t i p o s d i f e r e n t e s de d e c i s i o n e s d e
p r o d u c c i d n que adopta l a empresa. Se s u p o n e q u e esta t i e n e a s u
d i s p o s i c i b n c iertos factor-es f i j o s , a s i como acceso a factores
v a r i a b l e s p o r med 1 D d e l mercado ab ier to .
La primera d e c i s i d n suele considerarse t c i c r r i c a . Es d e c i r , la
empresa d e b e d e c i d i r c u A 1 t e c n o l o g i a habt-A d e a p l i c a r a l a
p r - o d u c c i d n d e l c o n j u n t o d e p o s i b l e s p r o d u c t o s q u e se le o f r e c e n .
E s t o r e q u i e r e d e t e r m i n a r l a c a n t i d a d mhxima d e ’ p r o d u c c i d n para
cada v a r i a b l e d e p r o d u c t o o b t e n i b l e p a r t i e n d o d e c a n t i d a d e s
especif icadas d e f a c t o r e s , j u n t o c o n o t r a s c a n t i d a d a s
espoc i f icadas d e p r o d u c t o s .
Una vez d e t e r m i n a d a l a t e c n o l o g i a , a f i j ada por la d e c i s i b n
p r e v i a , l a s e g u n d a d e c i s i b n se refiere a que mercadería p r o d u c i r ,
y en C!U& c:ant idades a f i n d e podet. ma;.; ilnizat- 0 1 b e n e f i c i o t o t a l .
debe r-ecordarse que en e s t e punto l a decisibn d e producir un
determinada. conjunto de bienes a u n determinada nivel de
produccibn establece en forma autom&tica e l nivel de uzo de
factor-es por- p a r t e de la enlp~esa, pues l a funcitm d e produccitm
prescribe las ptmpot-ciones exactas, para cada nivel d e producto,
para todas las combinaciones posibles de bienes.
E l modelo de a n a l i s i s maryinal d e l a empresa sblo 5e ocupa
del segundo t i p o d e problema de dscisibn, pues supone que e l
problema t e c n o l b g i c o de l a empr-et-,a y a ha s i d o r e s u e l t o . Dot-fman ha
resumido lo dos problemas de d e c i s i b n d e l a empresa por medio del
anal i s i s mat-ginal. 1
...' ..:... ... .. La nlaquinat-id, y en e s p e c i a l l a de t i p o mls avanzado, ~
s u e l e ser. i n f l e x i b l e con respecto a l o s f a c t o r e s que d e b e n I 1,
cambiar*s;e con e l l a , a s i como en cuanto al t-itmo y c a r l c t e r d e su
produccibn. Así, cuando se ha determinado e l empleo de c i e r t o
nhnero de unidades de una maquina e s p e c i f i c a , quedan e s t a b l e c i d a s ,
a l mismo tiempo, algunas de las clernas v a r i a b l e s q u e integran la
fctncibn de produccibn. Nu serh posible, entonces moverse con
l i b e r t a d de un p u n t o a o t r o sobr-e l a s u p e r f i c i e de produccibn,
excepto en fot-ma i n d i r e c t a .
I n d u s t r i a l e s es, p u e s , d i f e r e n t e en esencia de las d e c i s i o n e s
contempladas por- e l a n d l i s i s m a r g i n a l . La empresa p u e d e d e c i d i r l a
medida en q u e ha de emplear cada uno de l o s t i p o s d e equipo q u e
posee, en un mamen.i-o dado. En ese caso, cualquisr va;. . iacibn en l a
u t i l i z a c i b n d e e q u i p o s implica v a r i a c i b n s i m u l t a n e a e n el uso de
fac tores que los c o m p l e m e n t a n . La empresa p u e d e s e l e c c i o n a r e n t r e
un ndmer-o (par g e n e r a l t ' i n i t o ) de formas d e ap l i car s u e q u i p o . O
p u e d e e l e g i r e n t r e una c a n t i d a d dF? t i p o s q u e se o f r e c e n para su
compra. T o d a s estas d e c i s i o n e s d i f i e r e n e n dos aspectos d e las
t r a t a d a s p o r e l a n a l i s i s m a r g i n a l . En p r i m e r l u g a r , a f e c t a n
s i m u l t a n e a m e n t e las cantidades d e un g r u p o d e i n s u m o s y p r o d u c t o s
d i f e r e n c i a d o s . S e g u n d o , la a m p l i t u d d e c e l e c c i c 5 n n o se e n c u e n t r a
sobre una escala c o n t i n u a , s i n o que sic~rl i f ic~?, e l e g i r e n t r e
a l t e r m a t i v a s d i s c r e t a s . Los efectos de estas d e c i s i o n e s n o se
e:.:pr.esan, par- l o t a n t o , d e m a n e r a a d e c u a d a p o r l a o p e r - a c i d n
tedrica d e d i f e r e n c i a c i d n parc la l Lon respecto a las c a n t i d a d e s de
i n s u m o s y pr-oduc t o s separadas>>.
La d i f i c u l t a d e n l a s o l u c i b n d e l s e g u n d o p r o b l e m a d e
d e c i s i b n d e l a empresa ( m a x i r n i z a c i b n d e b e n e f i c i o s , s u b o r d i n a d a a
l a s r e s t r i c c i o n e s i m p l ! . c s t a s p o r l a funcitrrh d e p r - o d u c c i b n ) surqje
d e l hecha de? que l a s o l u c i d n d e l p r o b l e m a tecnoldgico d e l a
zmpt-er;a p u e d e d a r u n a f cmc i b n d e p r a d u c c i d n q u e n o posee
p r o p i e d a d e s taleti como c o n t i n u i d a d , c o n c a v i d a d , d e r i v a d a s
parciales d e primw-o y s e g u n d o o r d e n d i s t i n t a s d e cero. Puede que
el a n d l i e i s m a r g i n a l sea e l m e n o s c o n v e n i e n t e para r e s o l v e r e l
s e g u n d o t i p o d e problema d e d e c i s i b n .
! i
La p r o q r a m a c x d n l i n e a l se creb de m a n e r a específica para
e v a d i r las d i f i c u l t a d e s descr i tas p o r este a u t o r e n l a s o l u c i b n
d e l problema d e d e c i s i b n e la empresa en su s e g u n d a etapa.
134
AdemASj, la Pt-agramacic!)n lineal puede establecer a la vez la
cantidad que habra de pr-oducit-se y la ezit-uct!-,t-2 tecnol&gy.ca
dptima de la5 actividades pt-aductivas.
En hltimo anAlisis, la principal diferencia entre los
supuestos en que se fundamentan los modelos de analisis marginal y
de pt-ogramacidn lineal de la empresa radica en la definicibn de
una <::-<actividad)::>. Las diferencias tnds notorias fueron resumidas
por Dofman de la sigr.[iente manera:
.: I.:.. .. .La actividad de la programacibn lineal es un concepto
definido en for-ma mAs especifica que la funcidn de produccidn es
una familia de actividades que emplean los mismos factores y
'generan los mismci<: productas. Al comprar dos puntos cualesquier-a
sobre una superficie de produccidn , si la r-azones inter-nas de
.loa insumos y productos en ambos puntos son iguales, representarAn
nivelEs diferentes dc la misma actividad; en caso contrario
representarhn actividades diferentes. En funcibn de produccibn
es, pues, una herramienta pava axhibit- y comparar actividades
diferentes pet-o relacionadas entre si. Lo que se representa de
manera adecuada es la consecuencia de emplear varias actividades
en paralelo, y tales combinaciones de actividades son
caracterist icas de la moderna industria))
Nos volveremos ahora a l a for-mulacibn explícita del modelo de
programacidn lineal.
Fuente: Thomas H . Naylor Economia de la Empresa Industrial
Argentina, Argentina 1973.
135
HORAS DE -rRABAJo NECESARIAS
PARTES ENSAMBLE
TOCACINTAS
TOCADISCOS
4
3
1
CI L
El Area y las condiciones de trabajo de la CIA. permiten un
mAximo de 120 horas de labor semanales para la fabricacibn de I !
partes y un maxim0 de 60 horas de trabajo semanal para ensamblo.
a ) Cual es el nhmero factible de unidades de cada tipo que la CIA ! I
puede producir en una semana’?
SOLUC I ON :
Sea x=nttmero de tocacintas
y=nbmero do focadi %cos
E l nhnero de horas necesarias para manufacturar las partes
para todas las unidade+: producidas en una semcma es 4:;+3y, que no
puede ser mayor que el nt!tmaro mAximo di-. horGs disponibles por
semana:
El nhnero de horas necesarias para ensamblar las unidades
producida6 en una semana es x+2y que no puede ser mayor que el
136
I
La 5 , o l u c i b n d e l a s cuatro d e s i g u a l d a d e s a n t e r - i o r - e s recibe el
n o m b r e de Brea fac t ib le 6 p o l í g o n o f a c t i b l e . E s t a Area r e p r e s e n t a
l a p o s i b l e c o m b i n a c i b n d e t o c a c i n t a s y de tocadiscos que l a CIA
p u e d e p r o d u c i r . e n u n a s e m a n a .
b ) S I la u t i l i d a d es d e 460 p o r cada t o c a c i n t a s y $80 pot- cada
tocadiscos ¡ C u a n t a s u n i d a d e s de cada t i p o deber& p r o d u c i r la
s e m a n a l m e n t e p a r a m a x i m i z a t - la u t i l i d a d ' ?
SOLUC 1 ON:
L a u t i 1 i d a d s e m a n a l e5: P=60:;+8Oy
E s t a e c u a c i d n recibe e l nombr-e d e . f u n c i d n o b j e t i v o y
l l e v a a la p r i n c i p a l . f i n a l i d a d d e l p r o b l e m a : o b t e n e r el !
CXA
n o s
/alar*
i
mA:.:imo de l a f u n c i b r ! objetivo que q u e d a dmtt -o del p o l í g o n o I
1 :actible. Otro v a l o r p u e d e o b t e n e r s e g r k t i c a m e n t % t r a z a n d o rectas
p a r a v a r i o s v a l o v b e s de " F " y o b t e n i e n d o l a t-ecta maxirrra q u e
c o n t i e n e u n p u n t o e n el poligano f a c t i b l e .
157
4 :.:
3 Y = - ---- + 4(3
Y "' - --- ;.; + "" 2 2
T O C A D I 8 C O 8 1
90 40 60 a0
La 501LtCih-1 bptima queda dorltrcl de la frontet-a del polígono
factible. For- 1 r J tanto la solucibn se obtiene algebraicamente
resolviendo simultAneamente 4~+3~=120, :<+2y=60. De esto se obtiene
x = 1 2 , y=24 entonces el beneficio mA>:imo es:
138
v . .;I. 4.2.- La CIA AREA-FINA. S . A. C. U. que extrae arena pat-a la
produccibn de concreto tiene doc minas de arena. La mina " A "
contiene e l 40% de arena +inel y la mina B contiene 80% de arena
fina. La CIA tiene un pedido p o r un minimo de una tonelada m8tr-ica
(lC300 kg) de at-ena, per-o sin exceder 1.25 toneladas m&tricas. La
arena debe contener p o r lo menos 500 kg de arena fina.
a) i QUC cantidades factibles de cada mina pueden mezclar-se paPa 1
satisfacer- el pedido?
imultiplicando por 2.5)
La solucihn de las cinco desiyualdades anteriores es el
poligono .m f.actiLle que se muestra en la figura. Cualquier punto
en esta irea representa cantidades factibles x , y que satisfacen
las restricciones.
SOLUC I ON:
La f u n c i b n objetiva es el casto: C=20>:+30y . Por l o tanto la
solucibn bptima so encuentra sobre la frontera del polígono
factible, algebraicamente 5e obtiene l a solucibn como: >:=79(:) kg,
y=25U kg y el costo rnlnimo € 5 :
m = -1
1 1250
1 Y = - *. + 625
2
200 -
I YlwA A oe,
140
1
2 m = - ---
De l a g r A f i c a se muestra e l p o l i g o n o f a c t l b l e y l a s r e c t a s de
c o s t o pat-a c =.1 15000, 22500, 30000. Las r e c t a s de c o s t o son
paralelas (pendiente - 2/31 y C disminuye, conforme disminuye l a
d i s t a n c i a a l o r i g e n , l a r e c t a de c o s t o minim0 pasa Por l a
solucibn bptima se encuentra sobre la frontera del polígono
f a c t i b l e y 5e obtiene una 50lUCibn :.:=750 kg, y=250 k;g y e l c o s t o
rninimo es: ~
I
NOTA: Los problemas d e progratnacibn l i n e a l pueden i m p l i c a r e l
manejo d e c i e n t o s de variables, por eso para s u solucibn se
emplean computadoras. Sin embargo 105 conceptos y procedimientos
I , ~
~
empleadas en l a s o l u c i b n d e problemas complejos son similar-es a
los mostrados en los ejemplos anteriores, debe entenderse las
ideas basicas para emplear l a computadora e i q t e r p r e t a r l o s
141
X
y = mx + b
m -3 .:
b = 10
:.: 12
& 2 Y = - --- + ""
'3
1 Y = - --- x + b
2
2: >. 1 o
y = m x + b
b = 4
y = - x + 35
y = -S:.: + 3c1
""
de
son :
HORAS NECESARIAS
I ENSAMBLE ACABADO UTILIDAD ( S ) I
I I I""""-"-"-""-----"-----""""""~~
I
5 1 I DIESEL I
I I I I
300
- I GASOLINA 3 1 I
1.5 300 I
1
15. - Un f a b r i c a n t e d e motores para autombvil produce motores
g a s o l i n a y d i e s e l . Los datos de produccibn diaria por- unidad
143
E l f a b r i c a n t e puede d e s t i n a r 120 h p a r a ensamble y 33 h para
acabado.
a ) i Cuantos mototws de cacla t i p o d e b e r a n p r o d u c i r s e d i a r i a m e n t e p a r a
ma,: i m i z a r l a u t i 1 i d a d ? .
b ) i Cual es la L t t i l i d a d mAxima?
Sea X = No. de unidades de motores d iesel .
Y = No. de unidades de motores gasol ina.
-. 3
x + --- Y = 33 2
144
I I
I -O lo 4 0
X
3
2 ( x + --- = 33 ) 2
X = 1 B . 6
I
1 8 motores diesel
10 motores gasolina a )
b) 9i 8400 mAxima utilidad diaria.
MODELO DE PKODUCCION
Imaginemos i.ma planta que produce IImII art ículos que requieren
para SU +abriracibn un pr-oceso semejante, seguido a travks de t'n'l
departamentos o rndyuinas diferentes.
Cada operacibn se efectha a un paso conacido en cada mhyuina
b departamento, estando restringido el tiempo de operacibn en cada
1 4 6
uno de ellus. Se canuce l a utilidad (C ) que produce cada unidad
fabricada y se trata de encontt-at. la combinacibn de productos que 1
MAXIMICE la u t i I i d a d , aprovecha¡-ido al miximo los recut*sos
disponibles.
i
a :.: 11 1
a :.: 21 1
a x nl 1
Si (a ) es el tiempo de cada operacibn para cada articulo y i j
(b e5 el tiempo disponible para cada operacion, entonces:
Programacibn lineal
+ . . . + a X 4.: b l m m = 1
4 . . . + a c1 &m
+ . . . + a n m
c = c x + c x + . . . + C 1 1 2 2 m
(para operacibn 1 )
(para operacibn 2)
(para operacibn n)
X = MAXIM0 m
Se desea encontrar el valor de ( x , :.: 'I . . . :.: > que maximice
uti 1 idad. 1 2 m
Ejemplo 7:
Una industria alimenticia produce cuatro diferentes articulos
(A, b, C, D) a trav&!s, de los departamentos de prensado, mezclado,
evaporado y pasteurizado-envasado.
la
Los tiompas requet-ido5 por rada 1,000 unidades de cada
producto en cada uno de los departamentos, asi como los tiempos
147
disponibles y las utilidades correspondientes se muestran en la
siguiente tabla:
........................
I PROD. I k I b 1: C I D I Hr disp.I IDEFTO. I I I I I I I""""""s""-I""-I""-I""-I""""- I I PRENSADO I 3hr I 7hr I 4hr I I 7 0 I I""""""I""-I""-I""-I""-I""""- I I MEZCLADO I I 2 I 4 I Sht- I 80 I I""""""I""-I""-I--"""I""-~""""- I I EVAFORADO I 3 I 4 I I S 1 90 I I""""""I""-I""-I-""I""-T"""-" I I Fast.-Env. I 4 I 6 I 5 I 9 I 100 I I""""""I"-"I""-I"-"I""-I""""- I I U T I L I D A D l' tii9 I f61B I $14 I S 1 1 I I
""""""""_."""""""""""""""
i Que cantidad de cada uno de los productos deberA producirse para
ma:.: imi z a r la ut i 1 idad'?
Solucibn:
1 ) Modelo matemat ico:
Si 1 lamamas:
entonces:
70 (para prensado) - -
148
3 x + 7:< + 4 x + M 1 2 3 1
= 7 0
La solucidn bpt irna ser& entonces:
Pr-oduci r* 2,ZL3C) unidades de A.
740 un idades de B.
2,880 unidades de C.
149
Con una utilidad mAxima de:
Total: 8 95,620.0C)
Problema de mezcla
Como ejemplo de un problema de minimixacibn de costos
representativos de una amplia categoria de problemas de
programacidm 1 ineal conocidos como <(problemas de mezcla)>, !
consideremos el caso de un fabricante de jabbn que descubre que en
una semana
dotergen tes
ven t as que
praduccibn
temporaria,
de demanda.
dada no puede satisfacer- la demanda de uno de sus
en polvo. La empresa se halla frente a una pkrdida de
asciende a 1 . 0 0 0 libras, solo porque su capacidad de
es insuficiente. Aunque esta situacibn solo es
1 a empresa tiene un r-ecurso para satisfacer el exceso
Especificamente, la empt-esa considera la compra de jabbn en
polvo a otros dos fabricantes, para mezclar- ambos productos y
obtener un ' tercero que satis+aga, por lo menos, las
especificacibnes del jabhn que esta comercializando. La
experiencia ha demostrado que ello es posible. El nudo de la
cuestibn reside en conocer la cantidad de jabones 1 y 2 que deben
comprarse para satisfacer la demanda y proveer un pr*oducto
. - -
2, - c, 0.5 1.7 1.8 -2.1
(5> X, 10.73 2.88 7.4 2t28
21 1.115 0.46 1.06 1.04 11 14 18 9
2, " 'C, .4691.115( 1.06 o 1 u I o I"." o . L L J
idkntico al actual. La empresa puede comprar 105 jabones 1 y 2 a
C),lO y 0 , 8 0 dblar- por libra, respectivamente.
Par-a el consumidor, las tres caracterlsticas fundamentales
del jabbn en polvo son el poder. del lavado, la capacidad de
generacibn de espumay la dureza. Anal irando determinadas
caracteristicas yuimicas y fisicas del producto es posible medir
las respectivas caracteristicas de un determinado articulo
jabonoso. Las investigaciones realizadas indican que el jabbn en
cuestibn debe ter,sr un factor de poder de lavado no inferior de
6 , 5 , un factor de espuma no inferior a 3 y un factor.de dureza no
mayor. de 4. i
El cuadro 7-9 indica las caracteristicas de los dos jabones
cuya mezcla se combinen linealmente por peso cuando se efectrlte la
mezcla. En otras palabras, si se combinan iguales pesos de los
jabbnes 1 y 2, la mezcla resultante tendra las siguientes
caracteristicas: poder de lavado, 7,s; espuma, 4, y dureta,3.
Corno puedo verse, esta mezcla en particular redme la6
caracteristicas necesarias. Sin embarga, no representa la mezcla
de costo mlrrimo. Si identificamas con X 1s carrtidad del jabbn 1
(en libras) y con X la cantidad del jabdn 2 (en libras) empleadas
en la mezcla, el ob~ctivo de la empresa consiste en minimizar. la
1
‘1 il
funcidm de costo.
152
La tY?StPlCCimn dt? pudt??r3 de lavado puede e>;pt-esapse en fot-ma
algebra ica por la desigualdad
& X 5 J X 1 2
(7.52) """ + -""" ... / 6 , 5 1 . OCN:, 1 . (:)o(:) -
cuad t -0 7-9.
Jaban 1 Jabbn 2
Poder- de lavado 6 9 Generac ibn de espuma 2 6 Dureza 1 c J
"""""""".""""""""""""""""-
"""""""""""""""""""""""""
La expresihn X / i . i : ) C K ) i n d i c a l a .t'raccibn de mezcla t o t a l con
un poder de lavado de o, y X /1 .CK)O, l a f r a c c i a n que t i ene un
poder de lavado de 9 . Por lo tanto , (7-52) establece que l a s
cantidades de los jabones 1 y 2 deben ser t a l e s que se produzca
una mezcla cuyo factor de p o d e r de lavado w a p o t . !o menos 6 , s . Alter-nativamente, e1 promedio ponder3do dGl factor del poder de
lavado de la mezcla debe set-, pot- l o menus, 6,5. Las res t r icc iones
de espuma y dureza pueden expt-ecjat-se, como
1
,-S L
2 X 6 X 1 2
1 . (:)o(:) 1 . (:)o(:) - ( 7 - 5 3 ) ""- + -"" ::> 3
Y 1 x 5x
1 '2
1 . QO(S 1 . (500 - (7-34 i ""_ + ""_ 4
Debe Sumarse una c u a r t a r e s t r i c c i b n que d& cuenta de la
s i tuac idn de l a dxnanda: el peso t o t a l de la mezcla debe set- i gua l
a l peso total demandado:
Cuando ambos; miembros d e las r e s t r i c c i o n e s d e l p o d e r d e
l a v a d o , e s p u m a y d u r e z a se mu1 t i p l i c a n p o r 1 .OO(:), las c u a t r o
r e s t r i c c i o n e s se c o n v i e r t e n e n
I n t r o d u c i e n d o las va~iables d e h o l g u r a y a r t i f i c i a l r s
a p r o p i a d a s , las r e s t r i c c c i a n e s p u e d e n reescribirse a s í :
154
1
C u a d r o 7- 1 O. 0 , 1 ci (3 .) 08 o CI M o M I
I Base X X S A S A S A E 1
1 2 1 1 2 2 3 3 1 I
I I I A 4 9 - 1 1 0 c: (:I 0 b , 500 I I 1 I I I I A 3 i (6) f:! 0 - 1 1 o (j 3. (:)(I(:) 1 I 2 I 1 I I S 1 J (:I o o o i o 4. 000 I 1 3 I I I Z A 1 1 (1) (3 o (3 o 1 1 . ( 3 0 0 I I 3 I T""""""""""""""""""""""""""""""-
"""""""~"""""""""""""""""~""""""
c
Z YM 16M -M M -M M (3 M 1 O. S00M 1
E l cuadra 7-10 es el pasa t, itet-acibn s i m p l e : . ; i n i c i a l . E l
c u a d r o 7-11 es el pasa s i m p l e : . : t i n a l , i n d i c a n d o q u e l a f a b r i c a d e
j a b b n d e b e a d q u i t - i r " 25(5 1 ibr -as d e j a b b n 1 y 750 l i b t - a s d e l jabdn
2 . E l cos to d e estas compras es d e 85 d d l a r e s . Ndtesie que el v a l o r
C - Z p a r a A e n e l c u a d r - o 7-11 es M-O, 10. E l valor d e M es t a l que
e x c e d e e n m u c h o a O, 1 0 , h a c i e n d o p o r l o tanto d e M-O, 10 una
c a n t i d a d p o s i t i v a .
Cuad t-c) 7- 1 1
C O, 1 0 ( 2 , 08 (1) M 0 M 0 M I 1 I
Base X X S R S A S A E 1 1 2 1 1 2 2 S 3 I
I
T
c -----------------"-"""""""""""""~ X 1
X - 3
S 2
S 1 ~"-"""""""""-""~""~""""""~""""""""
Z o , 10 (3 , 08 (:) Q 0 o 'O, o05 o, 10 8.3 j
Naylot- y B y r n e (16) contiene vat-ios problemas de mezcla en un
conjunto d e estudios d e casos d e pt-ogramacibn lineal.
156
1
CCSFITULO IV
PROIjLEMHS DE TRANSPORTACION
157
4 . 1 MUDEL-OS DE TRAI\ISPORTACION (de u n bien hacia el mercado).
En e s t e problerl.a, 5e ' t iene u n c i e r t o p r o d u c t o d i s p o n i b l e l o s
s i t i o de oriyen y e5 n e c e s a r i o t r a n s p o r t a r l o a l o s s i t i o s de
consumo. Debe suponerse que 15 conocida la cantidad de que se
dispone en cada uno de l a s o r i g e n e s , así como l a cantidad d e que
se dispongan en cada Lino d e los or-igenes y l a cantidad requer-ida
por cada uno de l o s c e n t r o s de consumo. E l o b j e t i v o d o l modelo es
conocer la cantidad que debe transportarse desde cada uno de 105
or-igenes d e cada uno de 105 centros de consumo, p a r a s u p l i r l a
demanda y o b t e n e r e l Ininifno costo t o t a l de transpot-te.
Podemos c o n s i d r e r a r l o como u n c a s o muy e s p e c i a l de l o s
modelos d e programacibn l i n e a l , y a que t i e n e t u propio mlttodo de
s o l u c i b n .
Definiremos este modelo en los siguientes tCrminos. €:,:isten
''m" origenesa de un c i e r t o p r o d u c t o , en cada uno de los cuales
e x i s t e n d i s p o n i b l e s a unidades para s u transporte a l a s c e n t r o s
de consumo en cada uno de l o s c u a l e s son requeridas b unidades. i
i
Se desea minimizar e l costo total de tt-ansporte.
Matemdticamente podemos e s t a b l e c e r :
x + X + x + . . . + x = a 11 12 19 In 1
x + x , + x + . . . + x = a , 21 22 23 2n 2 ... ...
Tamb i en :
x + x * + x + ... + X = b 1 1 21 3 1 m1 1
...
. L .
x + x * X + . . , + X = b In 2n 3n mn n
En dande X ::> O ij -
y finalmente Z = C X + C X + . . . f C X = minima 11 1 1 12 12 mn mn
El anterior sitema de ecuacianes se representarh én la
siguiente fatma abreviada, usando notacidn matricial:
n S X = a pat-a i = 1,2,3,.. .m
i-1 ij i
1 S9
En donde:
X = unidades t ranspor tadas de l o r igen i=1 ,2 ,3 ,4 , . . . m a l c e n t r o i j
de consumo j=l, 2,3,4,. . . n
C = costo uni tar- io de tr-anspot-te d e l o r i g e n . i = l , 2 , 3 , 4 , . . . m a l i j
centro de confjumo j=1 2,3,4, . . . n
Este modela de tt*anspot-te puede resolverse pot- l o s mBtodos
generales de resolucidn de problemas de prograrnacidn lineal
n n S a = S b
del p a i s . E l almacen 1 cuenta con 10 unidades de mercancia, el 2
con 12, el 3 con 5 y el 4 con 10. Con las existencias de met-cancía
quo tienen dicho:; almacenes c3e debe abastecer a 5 centros; de
C O I ~ S L L ~ O . E l cien tr-o dc? CQII~LWKI 1 derrianda t, LIT! idade.-:. do mercancia;
e l c e n t r o 2 , demanda 8 ; e l 3 demanda 3 , e l ci!atr'o demanda 9 y 1 1
el 5. Los costas de t ransporte de cada almacen a cada centro de
consumo aparecen en el cuadr'o X I - l .
C u a d r o X I - 1
"""""""""""""""""""""""""""""""- I Existencia I I Centro d e ds mercan- I I consumo 1 2 .'5 4 E' CJ cia5 I I""""""""""""""--"""""-""""""""""""" I I Almacenes I I I I 1 4 .L J 1 1 O I 5 I I I 3 * i 1 4 1 4 12 I I I I 3 . J 4 1 2 1 c' II I I I I 4 4.. 3 4 & 3 1 o I I I I"""""""""""""""""""""""""""""""" I I DEMANDA b 8 7- .-! 9 1 1 I
'7 c
")
7
r) L q
""" """""""""""""-"""."""""""""" "-""""
E l costo de e17viat- una unidad de almac&n),al centro 2 es d e 4
unidades monetarias. S i el envio se hace del almachn 4 al centro
3 , el costo es d e 3 , y acji sucesivamente. Se tr-ata de detevminar
aquel progrma de transportes cuyo costo sea minimo.
Planteamiento: Este problema tiene 20 incdgnitas, segbn se puede
vet- en el cuadra XI-2.
Cuad C'O x 'I -2
I I
I""""-"""""""-""""""""- "_
-----------------------"."~""""~"~"~" "_ _ _ Disposibi - I
C e n t ros 1 idades I
I I 1 2 3 4 5 1
I A 1 mactn I I I I 1 X X X X X 10 I I 1 1 12 13 14 15 I I I I 2 x X X X X 1 2 I I 21 22 2'. 2 , 24 &=cl -I= I I I I u X x X X X S I I 31 32 .-I 7; 7 34 35 I I I I 4 X X X X X 10 I I 41 42 43 44 45 I I I
I DEMANDA 45 €3 3 3 11 .I: / I
9 ° F
-.?
I"""""-"""""""""""""""" - " I -I T-.
-------"""-""""~"""""" ".""~""_"""_"~ -
D o n d e X t - e p r - e s e n t a l a c a n t i d a d que d e b e e n v i a r a l a l m a c k n i al
centro d e c o n s u m o j , a5í, l a i n c b g n i t a que r e p r e s e n t a l a c a n t i d a d i j
a e n v i a r d e l almacen 2 a l c e n t r o 5 e6 X . E l costo d e l envio d e 25
u n a un i d a d del almacgn 2 al c e n t r * a 5 es 4, como p u e d e v e t - s e en el
d e t r a n s p o r t a r X u n i d a d e s es de 3 X . 45 43
Nuestr-a f u n c i b n e c o n b m i c a entonces, es:
(MINI C = 4X + 2 X + 5 X -L- 5 X 4 X + 2 X + x + 4X + 1 1 12 13 14 15 21 22 29
x 4 4 x + 3 x + 4 x + x + 2 x + x + Z X + 24 25 31 52 33 34 35 41
2 x + 3x + 4x + 2 x 42 43 44 45
162
y las t-estt-icciones se r-efer-irAn a d i spon ib i l i dades y demanda. Es
t o t a l e s son 37 unidades y la demanda d e l t o t a l suma exactamente l o
mismo. Esto qu iere decir. que los envios que haga cada .almacc?n
problemas. Los envlas del primer almac&n deben sumat- 10, entonces:
x + x + x -1- x + y , =; (a ) 1 1 12 13 14 15
Lo que r e c i b a e l c e n t r o 1 debe set- i g u a l a 5u demanda (6), luego:
x + x + x + x = & 1 1 21 31 41
En i g u a l for-ma para los demds:
x + x + x + x = 9 14 24 54 44
x + x + x + x S 1 1 13 25 35 45
tenemos entonces 20 incbgnitas en 9 ecuaciones; s in embargo, l a
solucibn la encontr-amos por- computacibn.
163
i. ! i
, " c c ;
"1
C H
H
D L-J -I- / '..
i
c C
+ e . .
li OW
' .. D 22 -!
.*..S .. .. i c;
T I
-cs C c r -
X D
P c.
L Lo
"
t-J i
4 . 3 Ejemplos.
Una compahia pr'oducg,-un c ie r to a r t i c u l o e n 3 p l a n t a s , c o n
capacidades y costas i n d i c a d o s e n l a s i g u i e n t e tabla: ( T a b l a 2-
""""""""""""""""""""""""""""""""
I P l a n t a Capacidad Costo u n i t a r i o Costo f i j o I
I 1 1 ~ S(I0 % 3.00 9 1.20 I I I 1: 2 2; y ( 5 0 0 3" 4 0 o . EIO I T J I 3 1 y dí3j 3. Y 5 1 . OC) .4 ).
I"""""""""""""""""""""""""""""""" I
"""""""""""""""""""".."""-.".""""""".-
T a b l a 2-21
D i s t r i b u y e n d o su p t - a d u c t o a 3 c e n t r o s de c o n s u m o c o n
I Cel-r t t'0 de Dernan d a I" r-ec i o T r a n s p o r t e A I I c. an sum^ I'lensual ' V e n t a I
I I A 1 , &:)i:j $ 4. 51:) $¡ (3. 7 0 $ 1 . 'i; 0. 6iJ 1 I 1 I B 2 , Y(:)i:) 4.20 o. 80 O. 50 1 . 2(:) I 1 I I C 2 'I (:I 0 (:) 4 . 0 0 0. 45 1 . i:)(:) . 4(:) I
;I """"""-""""" ".""" ""_. - ""_ """""~C""""""
................................
e n c o n t r a r e l plan u ? embarque bpt imo.
S o l u c i b n :
Antes d e c o n s t r u i r - la t a b l a d e v a l o r e s , es n e c e s a r i o c a l c u l a r la
u t i l i d a d q u e r i n d e un a r t i c u l o p r o d u c i d o e n cada p l a n t a y v e n d i d o
e n cada c e n t r o d e consumo:
164
" "
Ahora, trataremos el problema maximizando la ~ttilidsd, incluyendo
los valores de las utilidades U en las casill.et-os para c al ij ij
consttwit- el cuadro, tomando en cuenta q u e deberd e:(istit* un
centro de consuma imaginario con utilidades negativas, ya que esta
1 ) Fat-a obtener la pt-omera solucibn, asignaremos las 300 unidades
no producidas a la estacibn 2, que es la minima pkrdida = maxima
utilidad, asignmL!o el resto a las estaciones de maxima utilidad.
I I
I 1
I I I 1 I
D e t e r m i n a n d o a c o n t i n u a c i d n u t i l i d a d e s impl ic i tas d e o p o r t u n i d a d
c o n e l o b j e t o d e probar- la , o p t i m a l i d a d d e l a r reg lo ( tabla 2-23>.
2 ) E l a r reg lo n o es b p t i m o ya que es l a e s t a c i b n 9 A l a d i f e r e n c i a
e n t r e l a uti 1 i d a d de o p o r t u n i d a d Z = C1.40 y la u t i 1 i d a d real 3 7
C = 0 .45 es n e g a t i v a (0 .40 - 0 .45 = -0.051, debiendo e n t o n c e s 34
i n t r a d u c i t - u n a a c t i v i d a d e n esta e s t a c i b n h a c i e n d o los cambios
c o t - r - e s p o n d i e n t e s e n las v a l o r - e s d e l as v a t - i a b l e s i n v o l u c r a d a s .
ujl 0.10 I 0.60 1-0.16/-0.80/ 1 1 I
Tab 1 a 2-29
Esto canducitA al s e g u n d a arreglo, e l cual probaremos para c o n o c e r su o p t i m a l i d a d (Tabla 2-24).
166
I I I I I I I
La solucibn es bptima. UTILIDAD 8 2,475
DECISION:
La p l a n t a 2 enviar-,%:
Y de j a r & de producir- 300 unidades.
La p lanta 3 enviara:
1,300 un idades a C.
Fuente: Juan Jos& T t - u j i l l o Elementos de Ingen ier ía Indust r ia l . MIsico D.F. 1980.
167
C i e r t a cornpayid opera t r e s p1antd. j localizadas en. MIxico
D.F., Guadalajara y Monterrey, con l a s c u a l e s s u r t e l a demanda
n a c i o n a l , d i v i d i d a en cuatr-o zonas de consumo con centros de
d i s t r i b u c i d n en Veracr-uz, Guanajuato, ciudad Obregdn y Chihuahua.
La produccibn en LC, p l a n t a de Mclxico D.F., que llamaremos planta 1
e5 de 110.00(5 unidades mensuales, la de Guadalajara q u e 1 lamaremos
p l a n t a 2, e 5 de 34.(X)(l unidades mensuales y l a de Monterrey que
llamaremos p l a n t a 3, e s de 31(SQO unidades mensuales.
E l consumo d e cada uno de l o s c e n t r o s de d i s t r i b u c i b n e s c e n t r o A ,
Guanajuato 72.(300 unidades; mensuales, centro I3 ciudad Obregdn
46.(:)ijO unidades menix~ales, centro C, Veracruz 38.000 unidades
mensuales, centro D . Chihuahua 19. 600 unidades mensuales.
Los costos de tt-anspot-te de cada planta a cada uno de l o s c e n t r o s
de consumo es:
CENTROS GUANAJUATO C. OBREGON VERACRUZ CHIHUAHUA
PLANTG 1 B 100 B 600 Bi 200 3 So(3
PLANTA 2 9 o 2, 0 (:I 400 450
PLANTA 3 2 7 (3 475 470 ?S(:)
COD I GO A Ec C D
-.r
Con ob je to de resolver e l pt-ablema, concentraremos los datos en
una t a b l a ' en l a que l a s h i l e r a s , con l a s r e s t r i c c i o n e s d e
produccibn y l a s columnas l a s r e s t r i c c i o n e s d e demanda, en e l
Bgulo superior derecho de cada casills, colocaremos e l
168
c o r r e s p o n d i e n t e co5to de t r a n s p o r t e q u e d a n d o las cas i l las e n
b l a n c o p a r a que al i r e n c o n t r a n d o e l art-eglo b p t i m o , l l e n a r l a s c o n
e l c o r - r - e s p o n d i e n t e n h e r - o de u n i c ’ a d e s t r a n s p o r t a d a s . (ver t a b l a
No. 1 ) .
R O D U C C I O N
2 90 34 460 400 300
3 476 260 470 . 31
46 175 19 38
P r o c e d i m i e n t o : SE? a 5 i g n a e l mayor- n b m e r o d e u n i d a d e s p o s i b l e s a l a
e s t a c i d n d e c o s t o mas b a j a , en este caso es 2 A c o n un costo de
$90, d o s p u t h a s i g n a r e m o s 94 u n i d a d e s que es él m A x i m o p o s i b l e , por
que la suma de h i l e r a s deber-h ser i y u a l al c G v t - e s p c i I d i e n t e VdlGt -
d e A y la suma d e c o l u m n a s i g u a l a l c o v r e s p o r r d i e n t e valor- d e E
(ver% tabla No. 2 )
169
1
2 300 34 450 400
34
Tabla No. 2
La hilera ( 2 ) queda saturada, pet-o en la columna correspondientes
(H) hemos asignado solo 34 unidades de las 72 que debemos tener
como suma, luego en'1;onces existe una diferencia de 38 unidades que
asignaremos a l a estacidn de menur- costo, es Grite caso ( 1 A ) .
A B C D 81
100 1 10 600 200 600 1
30 30
2 300 34 460 400
34 1 -,
3 270 260 470 476
31
T a b l a No. 3
170
En e s t a forms, quedan satisfechas las restricciones de la hilera
( 2 ) y la columna (A), ya que tenemos actividad en la hilera (11,
se observa que esta hilera se satura con 110 unidades habiendo
asignado solo 38 en (Al) quedan entonces (110-38)=72 por asignar a
aquella estacibn de costo menor en la misma hilera (1C); la
columna C se s;atis+ace
de unidades que podemos
3).
con :3b unidades, luego ese sera el mAximo
asignar- a la estacibn (1C) (ver tabla No.
I A 8 C D al I 100 200 600
1 I
38 19 38 16
2 80 34 460 400 300
34
3 270 260 470 476 I I I -1 1 I
Tabla No. 4
El resto deberemos asignarlo a la estacidn sobre la hilera (11,
que tenga el menat- costo, esta es (10) que satisface con solo 19
unidades;, quedando solo 15 unidades de las producidas en ( 1 ) para
asignarlas obligadamente a la (1B) (ver tabla No. 4 ) .
171
A h o r a l a hita cait.trnna n o satisfecha es (Et) a la q u e se le han
a s i g n a d o solo 15 u n i d a d e s en l a estacidn ( l E ) , f a l t a n d o : (46-
15+31) u n i d a d e s p a r a s a t u t - a v l a , estas 3 1 u n i d a d e s n o p u e d e n ser o t ras que las p r o d u c i d a s en ( 3 ) y a q u e l a p r o d u c c i b n d e ( 1 ) esta
t o t a l m e n t e d i s r i b u i d a , asi conlo l a d e (21, e n t o n c e s , l a s o l u c i b n
o b l i g a d a es a s i g n a r - ecjab 31. u n i d a d e s f a l t a n t e s en l a c o l u m n a (B),
a l a e s t a c i b n (3B) (ver- t a b l a No. 5 ) .
T a b l a No. 5
Q u e d a n d o una p o s i b l e s o l u c i r J n en l a s i g u i e n t e for-ma:
Il&:.:ico D. F., e n v i a r - & 38 u n i d a d e s a G u a n a j u a t o , 15 a c i u d a d
Ü b r e g b n , 38 a Veracr -uz y 19 a Ci7ihushv.a t o t a l i z a n d o
38+15+38+19=1iO u n i d a d e s .
G u a d a l a j a r a e n v i a r a toda su p t - o d u c c i b n , 34 u n i d a d e s a G u a n a j u a t o .
172
l l o n t e r r - r - e y e n v i a r a t u d a su p r o d u c c i d n , 91 u n i d a d e s a c i u d a d
Ob r-egdn . T e n i e n d o este p r o g r a m a un Cost0 de :
C = 47,685.00 f a v a o b t e n e r un art-eglo bptimo d e b e r e m o s c a l c u l a r - los costos d e
o p o r t u n i d a d d e las e s t a c i o n e s a las que no se les haya a s i g n a d o
a c t i v i d a d . E5tos costos st? d e t e r m i n a n c o r - r i g i e n d o el costo t a l si
se a s i g a n a r a una u n i d a d a d i c h a s e s t a c i o n e s .
E l c a m i n o mAs favorable es a u m e n t a r SD e n 19 u n i d a d e s , q u d a n d o la
tab la :
1 I
2 300 400 460 34 - 470 476 270
+ 34
3 - 31 I2Oo - 12 + 19
b, 72 3% 46
I I I I I l9 I 175 I
173
El arreglo bptimo ser&:
Ile:.:ico D.F., enviara 72 unidades a Guanajuato y 38 a Veracruz.
Guadalajara enviara 12 unidades a ciudad Obregbn y 19 a Chihuahua.
x f x + x + x = 1 1 0 1 A lb 1C l. D
x + x + x + x ;=. 34 2 A ai3 2C 2D
de acuer-do con e l modelo
X + X . + X " 4 6 1B 28 .Ti;u
X + X + X = 3 8 1C 2C 3c
x + X + X = 1 9 1D 2 D 3D
minimo.
Sistema d e 12 i n c b g n i t a s con s o l o q ecuaciones, no siendo p o s i b l e
l a so1ucirh"I por- los mCtodos alQebrdiC0S comunes, la solucibn se
encontrara con mCtodos. de cbmputo.
Fuente: Elementos d e I n g e n i e r i a I n d u s t r i a l Juan Josl! T r u j i 1 lo.
174
TYPE 'COM' TO SEE VALID COMMRNDS : nonz
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1 )
VARIABLE XIA XIC X 2B X3B X 3 D
ROW 2 ) 3 ) 4 ) 5) 7 ) 8 )
3 5 4 5 0 . 0 0 0 0
VALUE 72.000000 3 8 . 0 0 0 0 0 0 3 4 . 0 0 0 0 0 0 12.000000 1 9 . 0 0 0 0 0 0
SLACK OR SURPLUS . o o o o o o . o o o o o o
. o o o o o o
. o o o o o o
. o o o o o o
. o o o o o o
REDUCED COST . o o o o o o . o o o o o o . o o o o o o . o o o o o o * 000000
DUAL PRICES - 6 0 0 . 0 0 0 0 0 0 - 3 0 0 . 0 0 0 0 0 0 -475.000000
500 .000000 4 0 0 . 0 0 0 0 0 0 2 2 5 . 0 0 0 0 0 0
NO. ITERATIONS= 9
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VRRIABLE
XIA XIB XIC XID X2A X2J3 x2c X2D X3A X 3B x3c X3D
OBJ COEFFICIENT RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREFISE
100.000000 2 9 0 . 0 0 0 0 0 0 INFINITY 6 0 0 . 0 0 Q 0 0 0 125.000000 290 .000000 2 0 0 . 0 0 0 0 0 0 3 9 5 . 0 0 0 0 0 0 INFINITY 500.000000 INFINITY 125.003000
9 0 . 0 0 0 0 0 0 INFINITY 2 9 0 . 0 0 0 0 0 0 3 0 0 . 0 0 0 0 0 0 2 9 0 . 0 0 0 0 0 0 INFINITY 600.000000 INFINITY 500.000000 650.000000 INFINITY 3 7 5 . 0 0 0 0 0 0 2 7 0 . 0 0 0 0 0 0 INFINITY 295.000000 475.000000 295.000000 1 2 5 . 0 0 0 0 0 ~ 0 470.000000 INFINITY 3 9 5 . 0 0 0 0 0 0 250.000000 1 2 5 . 0 0 0 0 0 0 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE 2 110.000000 . o o o o o o . o o o o o o 3 3 4 . 0 0 0 0 0 0 . o o o o o o ,. 0 0 0 0 0 0 4 37.000000 . i)ooooo . o o o o o o
--More--
--More-- 5 72.000000 . o o o o o o . o o o o o o 6 46.000000 . o o o o o o . oooooo 7 3 8 . 0 0 0 0 0 0 . o o o o o o . o o o o o o 8 1 9 . 0 0 0 0 0 0 . o o o o o o . o o o o o o
\
THE TABLERU ROW ( B A S I S )
1 A R T 2 X I B 3 X2B 4 X 3B S X I A 6 RRT 7 X I C 8 X3D
ROW 1 2 3 4 5 6 7 8
ROW 1 2
--More-- O
8
ROW 1 2 3 4 5 6 7 8
ROW 1 2
- -More- - 3 4 5 6 7 8
X I A . OOB . O00 . O 0 0 . O 0 0
1.000 . O00 . O00 . O00
X 2B x2c . O00 500.000 . O00 - 1 . 0 0 0
1 . 0 0 0 I . o 0 0 . O00 . O 0 0 . O00 . O00 . O 0 0 . O00 . O00 1 . O O G . O 0 0 . O00
X 3 D . O 0 -. 35E+05 . O00 . O00
X3D . o o i X 2B x 2 c . O00 500.000 . O00 - 1 .o00
l . O00 1 .o00 . O00 . O00 . O00 . O00 . O00 . O00
, ,000 l. O00 . O00 . O00
X 3D . O 0 -. 3 5 E + 0 5 . O00 . O 0 0
. O00 3 6 . 0 0 0 . O00 1 2 . 0 0 0 . O 0 0 7 2 . 0 0 0 . O 0 0 . O 0 0 . O 0 0 3 8 . 0 0 0 l. O00 1 9 . 0 0 0
XIB . O00
1 . 0 0 0 . O00 . O 0 0 . O 0 0 . O 0 0 . O00 . O 0 0
X2D 3 7 5 . 0 0 0 . O 0 0 l. O 0 0
-1 .000 . O00 . O00 . O00
1.000
. O 0 0
X2D 375 .000
. O00 1 . 0 0 0
-1 .000 . O00 . O00 . O00
1 .o00
X I C X ID X 2 A . O 0 0 l 2 5 . 0 0 0 2 9 0 . 0 0 0 I O O C i 1 . 0 0 0 - i 1 O00 . O00 . O00 1.000 . O00 - 1 . 0 0 0 . O 0 0 . O00 . O00 1 . o 0 0 .o00 . O00 . O00
1 . 0 0 0 . O00 . O 0 0 . O00 1 .o00 . O 0 0
X3A 2 9 5 . 0 0 0 -1 .o00 . O00
1 .000 1 . 0 0 0 . O00 . O00 . O00
. O00
X3R 295 .000
- 1 . 0 0 0 . O00 1.000 l. O00 . O00 . O00 . O00
X 3B . O 0 0 . O00 . O 0 0 1 .o00 . O00 . O00 . O00 . O 0 0
1 . 0 0 0
X 3B . O 0 0 . O 0 0 . O00 1 . 0 0 0 . O00 . O00 . O00 , 0 0 0
x 3 c 3 9 5 . 0 0 0
- 1 . 0 0 0 . O 0 0 1 . 0 0 0 . O 0 0 . O 0 0 1 . 0 0 0 . O00
. O00
x3c 3 9 5 . 0 0 0
-1 .000 . O00 1 . 0 0 0 . O 0 0 . O00
1 . 0 0 0 . O 0 0
MODELOS DE TRANSPORTE
Mantenimiento de super carvwteras
Una ciudad de med ;anas proporciones cuenta con dos lugares en los
que se dispone de dos depdsitos de sal y arena para emplearlas
durante las heladas y tormentas de nieve invernales.
Durante una tormenta 5e distribuyen la sal y la arena desde
estos das lugares a ruatrc:, zonas diferentes de la ciudad. Por lo
general se precisa de cantidades adicionales de sal. y de at-end sin
embargo, generalmente es imposible obtener suministros
adicionales durante una tormenta debido a que se les tiene
almacenadas, en un depbsitu central a cierta distancia fuera de la
ciudad. Los func1onarioc de la ciudad expsriomntan el intimo, ~
deseo de que las tormentas no se den con mucha frecuencia.
El director- de obras; p~!thlicas tiene inter&, en determinar el costo
mlnirno relacionado con la asignacibn de suministros de sal y
arena, durante una tormenta. En la siguiente tabla se resume el
I
~
i ~
i
costo por el suministro de una tonelada de sal b arena desde cada
depbito C, cada zona de la ciudad. HdemAs se indican (en
toneladas) las capacidades de los depdsitos y los niveles normales
de demanda para cada runa.
En la formulacibn del modela de progremacihn lineal para estu
problema se tienen que tomar El decisiunes respecto al nhmero de
toneladas que se deben embarcar de cada depdsito a cada zona. En
algunos casos la mejor decisibn puede ser embarcar cero unidades
de un depcjsitu particular a una zona dada.
175
Se definen las variables en forma diferente, sea X igual al
nllrmero de toneladas surninistr-adas del depdsito i a la zona j por
ejemplo: X es igual al ntmer-o de toneladas suministradas par el
depdsito 1 a l a zona 1. De manera similar X e5 igual al nhmero
de toneladas suministradas por el depbsito 2 a la zona 3.
ij
11
23
El costo total sera:
El ejemplo anterior-, formulado de acuerdo al modelo matricial de
programacidn lineal queda e::presado de la siguione farma:
Sujeto a: X + X + X + X 11C) 1A lB 1c 1D
x + x + x + x = 34 2fi 2B 2c 2D
x + x + x = 7 2 1A 24 3A
x + x + x = 44 1B 2E 3B
x + x + x = 38 1c 2C 3C
x + x + x = 19 1D 2D 3D
176
Este sistema cuenta con 12 incbgnitas y con 7 res t r i cc iones , lo
cual si LE! r - e 5 u e l v t mediante e l metodo simplex seria laborioso. L a
solucibn se encontrd mediante l a computadora, u~ando e l paquete LINDO/PC.
Estando dentro d e l paquete se in ic ia escr ibiendo e l problema en s u
forma natur-al . """"""""""______________I_____""""""""""""-
I 2C D I I (ENTER) . I I I S T X + X + x + x I 1 A 16 1c 1D I I (ENTER) I I x + x + x + x = I Z A 2B 2C 20 I I (ENTER) I . I . r l . .. l . I I x + x + x I 1D 2D 3D I I END I 1: GO (nos da l a 501LtC i ( t ) I l )
= 19
X I 2B I
I X I 3D I
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I """""""""""""""""""""-"""""""""""
Nota: E s t e paquete se ve con mayor- d e t a l l e en e l punto l . 4
Dada esta del inic ibn ' d e lasi var-iables;, e l costo to ta l p o r l a
d i s t r i b u c i b n de s a l y arena tiene la forma:
COSTO TOTAL:
2 x + S x + 1.5 x + 2.5 x + 4 x + 3 . 5 x + 2.5 x + 11 12 13 14 2 1 22 23
177
Esta es l a f u n c i b n que se desea minimizar.
~"~~~"""""""~~"""""""""""""""""""""~
1: 4 4 MAX I M O (TONELADAS) I
I I I I I
350 I I
I SUMINISTRO I 1 c) LI T
I"""""""""""""-""""""""""""""""""" I DEPCISI TO 1 $ 2. (:)(I; 3. CM:) $ 1 . 50 $ 2. sij $ 9CK) I
B 75(3 I I DEPOSITO 2 $ 4 . 0 0 B 3.50 '6 2.50 B 3.00
I DEMANDA 3 0 (3 450 500 I (TONELADAS 1 .................................
Un t i p o de l imitantes es aquel que t r a t a con d i ferentes depbsi tos .
Se debe formular- una l imitacidn para cada depdsito, especificando
que l o s embarques tota les no excedan e l sumin is t ro d i spon ib le ,
pat-a e l d e p b s i t o 1. l a suma de los embarques a cada zona, no
pueden exceder l a s 90(5 toneladas.
x + x + x + x z: 9(:)(:) 11 12 13 14
La misma t-estt-icci.bn para e l dephs i to 2 es:
E s t e t i p o f i n a l de r e s t r i c c i o e s debe garant i zar que cada zona
t-ec iba su cant idad demandada.
Para la zona 1 l a suma de embat-ques de los depbs i tos 1 y 2 debe
set- i y u a l a 300 toneladas a:
x + x - 360 1 1 21
Las mismas res t r icc iones pa ra l as o t ras 3 zonas son
178
t-espect ivamente:
x + x = 500 1.3 23
x + x = 350 1 4 24
Luego entonces e l modela completo de programa.citn l i n e a l e s e l
s i gu iente:
Minimizar-:
Sujeto a:
El problema tiene la so luc ibn bpt ima:
x = 3(J(J 1 1
x = o 12
179
Fuente: MatemAticas Aplicadas para Rdministt-acibn, Econamia y Cienclas Sociales.
C A P I T U L O V
P R O B L E M A S D E C A R G A
D E M k Q U I N r , S
181
E l mod@lo d e a s i g n a c i b n d e tat%eas e n s u e x p r e s i b n rnaternatica
es s imilar a l modelo d e t r a n s p o r t a c i b n , p o r l o q u e se r e s u e l v e p o r
un mktodo e x a c t a m e n t e i g u a l a l que se u t i l i - a e n p r o b l e m a s d e
t r a n s p o r t e .
E j e m p l o 2-3:
L a empresa "Fieles I n d u s t r i a l i z a d a s " , q u e compite e n l a l i n e a
z a p a t e r a , p r o d u c e , e n U I - I Q d e sus d e p a r t a m e n t o s , c u a t r o e s t i los
d i f e r e n t e s :
A- I t a l i a n o , d e l c u a l se r e q u i e r e n 1( l , (XK) p a r ' r s merrs~tales.
Et- E j e c u t i v o , d e l q~te se t -equitLren 8, (:)(>O pares m e n s u a l e s .
C- Cer-wnonia , d e l que se r e q u i e r e n 5,0(:)(5 p a r e s m e n s u a l e s .
I)- D i p l o m a t , d e l q u e se r e q u i e r e n 4,WO pares m e n s u a l e s .
P a r a p r o d u c i r l a s se d i s p o n e t a n 61310 de d o s l í n e a s d e
p r o d u c c i bn :
L i n e a 1: C a p a c i d a d 10, 000 pares m e n s u a l e s .
L i n e a 2: C a p a c i d a d 20,00(:) pares m e n s u a l e s .
Los costos, d e p t - o d u c c i b n d e cada u n o d e l o s est i los e n cada l i n e a
m e n c i o n a d a s o n :
"""""""""""""~""""""~""""""
I I A I b I C T u P J"""""I"""""-I""""-I""""-I""""- I I L-1 I S'' -4 I 824 I $27 I $25 I ~"""""I"""""-T"-"""""""I""""- I I L-2 I 29 I 31 I 26 1 28 I ...........................
pesos p o r - par. p r o d u c i d o .
Se desea e n c o n t r a t - l a p r o g r a m a c i b n bptima.
S o l u c i b n :
182
1 ) Deberemos, en p r i m e r lugar, construir- la tabla, con los
datos d e costos y rectriccibnes, incluyendo u n a una columna que
absot-berA e l exeso de produccibn sobre demanda ( tab la 2-19).
2 ) Se obtendt -A una so luc ibn in ic ia l , determinando costos
implicitos y d e oportunidad pat-a evaluar s u optlmalidad ( tab la 2-
La solucibn es bptima pues en todas las estaciones Z .:::C i j i j.
La 1 inea 1 pt-oducir-A:
2,00C1 pare.; del e s t i l o I t a l iano y
Tabla 2-19
. .
, 1
I 1 1
i o i 0 1 5 1 4 1 ; 1301 1 29 30 26 28
1
La 1 i nea 2 pr-uduc i t-A:
8, 000 pares del estilo I tal iano
5,(:)00 pares del estilo Ceremonia
p ara
4,000 pares del estilo Dip lomat
Total 17,000 pares producidos, yuedando capacidad _.""""
3,00(3 pat-es, en 1 inaa 2. """"
20,000
184
E l costo tota l de p r - o d u c c i d n qu4 sera el minimo p o s i b l e , es:
E j e m p l o :
U n a p l a n t a i n y e c t o r - a d e a r t í c u l o s d e p l a s t i c o p r o d u c e d o s
m o d e l o s d e un accesorio p a r a t - e f t - i i e r a d o r e s .
El m o d e l o A r e q u i e r e p a r a s u p r a d u c c i b n 3 h o r a s / m h q u i n a por-
c a d a lO(j un i d a d e s .
E l m o d e l a Eí r - e y u i e r - e s b l o ! hora/mAquina por' c a d a 1OC)
u n i d a d e s . Se d i s p o n e e n e l mes, d e 1 7 1 horas/mAquina .
E l d e p a r t a m e n t o d e v e n t a s in.fot-ma q u e d u r a n t e e l prbximo me6
se r -equer i r -dn 4 , 0 0 0 u n i d a d e s d e l p r o d u c t o A y 12,000 u n i d a d e s d e l
p r-oduc t o El.
S i l a u t i l i d a d neta p r o d u c i d a p a r - & u n a u n i d a d d e 67 es d e
82.00 y l a p r o d u c i d a p o r u n a c a n t i d a d d e b es d e 91 .40 , ¡ q u e
c a n t i d a d mensual d e b e p r o d u c i r s e d e A y B, con o b j e t o d e maximizar
la u t i l i d a d ?
185
S o l u c i b n :
1) Deberemos;, en p r i m e r l u g a r , o b t e n e r el m o d e l o matematic0
que re lata e l p r o b l e m a .
L a s r e s t r i c c i c n e s d e l p r o b l e m a s o n :
a) E s t a r e s t r i n g i d o el tiempo d e u t i l i z a c i b n d e l a mAquina.
b) Q u e d a r e s t r i n g i d a la p r o d u c c i b n d e A por s u demanda.
c ) Q u e d a r e s t r i n g i d a la p r o d u c c i b n d e B por su demanda.
P a r a cada r e s t r - i c c i b n deberemos o b t e n e r u n a i n e c u a c i d n . S i
llamamos :.: = u n i d a d e s p r o d u c i d a s m e n s u a l m e n t e de A 1
:.: = u n i d a d e s p r o d u c i d a s m e n s u a l m e n t e d e €3, 2
E n t o n c e s :
B a l a n c e d e producc ibn A: x 1
b a l a n c e d e p r o d u c c i b n b:
E l o b j e t i v o d e l p r o b l e m a e6 m a x i m i z a r l a u t i l i d a d . S i
llamarnos O a la u t i l i d a d , l a e c u a c i b n o b j e t i v a ser&. j
C = 2x + 1.40 x = MAXIM0 1 2
D e modo q u e e l sistema s u m u l t b n e o do i n e c u a c i o n e s que
d e n c r i b e e l pr-oblema es:
186
Sujetas a la t-estriccibn general ;.: , ;.; > O, ya q u e no 1 2 =
podemos producir a niveles negativas.
2 ) Una vez obteniendo e l modelo matemAtico, representaremos
grAficamente cada una de l a s unecuacionas:
1 1 2 . 6 1
2 1 . (33
10
6
O o 1
187
"
Ya que (a ) puede set- igual o menor que 171, el campo de
soluciones posibles a est,a inecuacibn quedar& hacia abajo de la
linea que la representa.
Ya que ( b ) puede ser igual o menor que 4,(3(30, el campo de
soluciones posibles a esta inecuacidn quedara hacia la izquierda
de la linea B.
Y a que (c) puede ser igual o menor que 12,000, el campo de
solucibnes posibles a esta inecuacibn quedara hacia abajo de la
linea C.
GrAf icamente, observamos que el campo de soluclones
simultAneas al sistema queda ahora limitado al poligono OPOkS que
hemos ensanchado.
Dentro de ese polígono existe un nQmer.0 infinito de puntos,
todos solucibn del sistema de inecuaciones.
iCuAl de estas puntos z+ev/:~ la combinacibn x , ;.: que 1 2
ma;.: imi sa la uti 1 idad'?.
31 Papa encontrarlo, hacemos LISO de la ecuacibn objetivo.
Esta ecuacibn nor, r-ept-esenta una familia de r e c c ~ s paralelas
que a parti? del origen cuando x = O, 2: = 0 y la utilidad C = O
se desplazan hacia arriba, conforme la utilidad va aumentando. 1 2
Entonces, graficando una de ellas para un valor arbitrario de
C, podremos, trazando paralelas a esta, encontrar aquella, la mas
188
le jana al origen que, tocando un punto extremo del poligono OPORS,
sea una combinacibn de :.:. y x que r-esuelva el. sistema (para 1 2
encontrarse en el pol igana de sa luc i aaes pos ib le s ) y a l a vez
maximice C (pot- set- la m i s l e jana de l or igen) .
Hagamos arbitrariamente C = 7 ,000 entonces:
Gt-af icando esta l inea y trazando para le las a e l l a ,
encontraremos l a 5 c l u c i d n bpt ima.
*- ¶ X I * L4 XI
O 1ooo 2000 3000 4000 6000 6700 &O 7C x1
D
La linea C mAs alejada del origen toca al poligono de
soluciones posibles en el punto extrema 4, que corresponde a la
combinacidn
La cual e5 la solucibn hptima con una utilidad.
Decisibn:
Producir 1,700 unidades mensuales de A y 12,000 unidades
mensuales de B.
Se obtendra una utilidad maxima de 8 20,200.00.
Fuente: Juan J. 1-r-ujillo. Elementos de Ingeniero Industrial,
Pl&xico, D. F. 1980.
T r a t a r e m o s , c o n e l ejemplo a n t e r i o r , d e mostrar d i c h o meto-do.
1 ) En pr imer- lugar - deberemos establecer e l modelo matematic0
c o r - r - e s p o n d i e n t e :
:.: 1
e n 1 as que: x , :.: :::. ( 3
1 2 =
2 ) H a c i e n d o LISO d e v a r i a b l e s au:.: i 1 iares q u e d e n o t a r e m o s c o n
l a l e t r a M , t r a n s f o r m a r e m o s l as i n e c u a c i o n e s en ecuaciones
a lgebra icas . i
C u a n d o la i n e c u a c i b n sea 5: que una r i e r t a c a n t i d a d ,
ariadiremos u n a v a r i a b l e M p o s i t i v a , tarnhidm dz h o l g u r a , COT\ un
s i g n i f i c a d o f i s i c o , ( u n i d a d e s no p r o d u c i d a s , horas no c o n s u m i d a s ,
-.. -
i
mano d e obra n o u t i 1 i z a d a e t c . 1.
C u a n d o la i n e c u a c i b n sea :Z que u n a c ie r ta c a n t i d a d ,
a ñ a d i r e m o s ; u n a v a r i a b l e M n e g a t i v a , t a m b i g n d e h o l g u r a , c o n u n
s i g n i f i c a d o f i s i c o ; pero deberemos, ademhs, a ñ a d i r u n a v a r i a b l e
- - i
191
auxiliar N a un nivel positiva, con el dtnico objeto de obtener
una solucibn inicial, como' veremos a ContinLtacihn. i
La5 variables auxiliar-es (N 1 no aparecerbn en la solucibn
final ya que no tienen un significado fisico y sblo se introducen i
para facilitar- lo.;, cAlculos.
Con estos cambios, el modelo SIMPLEX quedara:
x 1
3) Se modificarb la ecuacibn objetiva incluyendo los
correspondientes costos de las vat-iables de holgura y auxiliares.
Para las variables de holgura, estos costos generalmente serAn
cero y para las variables auxiliat-es se asignaran costos
arbitrariamente gr-ancles MII\IIMIZADO y costos negativos MAXIMIZANDO,
con objeto de evitar- que estas variables auxiliares aparezcan en
la solucidn final.
En nuestro ejemplo, la funcibn objetiva queda:
Nota: Hemos asignado a las variables de holgura un costo negativo
arbitrario para hacer m a 5 inteligible el procedimiento.
4) Una vez reducido el modelo a su forma SIMPLEX se incluiran
los coeficientes de las vat-iables en una tabla, en la siguiente
furma: (tabla 2-25)
Las valores de constante b deberkm set- todos positivos o
cero. De no 5er asi, bastar8 cambiar signos a toda la ecuacibn 1
para hacerlo positivo. Si al hacer esto queda la variable de
holgura M con signo negativo, habra que añadir una variable
auxiliar N a un nivel positivo. i
i
5) Ahora deberemos obtener una solucibn inicial basics, es
decir-, una combinacibn de las variables que sea punto extremo del
polígono de soluciones posibles;. Esta solucibn inicial se
optimizara gradualmente hasta llegar a la combinacibn de variables
que MAXIMICE o MINIMICE la funcibn objetiva, siegrltn sea el cabo.
""""""""""""""""""""""
I I X 1 1 X 2 I M1 I M2 1 M3 I bi I I""-I"""I"""I""-I--"""I""-I""" I I 1 I o.o3 I C).C)I I 1 I (3 I (3 I 171 I I""-I"""I"""I"-.""-I""-I""" 1 1 2 I 1 I (1) I (3 I L I 0 I 4(5O(:! I
I I 3 I 0 I 1 I Cj I O I 1 I12000 I I""-I"""I"""T"---I""-I""-I-""I""" I I C j Z 2 I 1.40 I ,-1 I -2 I -3 I MAX 1 I"-"I"""I"""I""-T""""-I""-I""" I I X j I I I I I I I I""-I"""I"""I-""""I""-I""-I""" I I Z j I I I I I I I J""-I"""I"""I"-"I"""I-""I""" I IZj-CjI I I I I I i
I-----I------i------I----- ""- 1 """ 1 """_
"""""""""""""""""~"- """"-
193
En e l modelo r-educido a su forma SIMPLEX , la solucibn
i n i c i a l es inmediata; bastard hacer igual a cero las var iables
r e a l e s ( x y :.: 1, tomando entonces las variables d e holgura ( M )
el carrespondiente valor. de l i constante ( b ). Indicaremos esta
solucidn en l a t a b l a ( t a b l a 2-26>.
1 2 i
j
I I X 1 I X 2 I M 1 I M 2 I M3 I b j 1 I""-I"""~"""I-""""I""-I""-I""" I I 1 I 0. 0.3 I C).(:)l I 1 I O I (3 I 171 I ~"""I"""I".""~ """._ I ""_ I ""_ 1 """ I I 2 I 1 I (3 I 0 I 1 I (3 I 4000 i I""-I"""~"""I""-I"""~"""I""" I I 3 I C J I 1 I 0 I (:I I 1 I 1 Xh.)(j 1 J""-I"""I"""I-""""I"""I"""I""" I I Cj I 2 I 1. Y(:) I -1 I -2 I -3 I MAX I I"-"I"""~"""I""-I""-I-"""I""" I I X j I 0 I U I 17 1 I4~50(:1 I 12(:)00I I I""-I"""I"""I""-I-""""I""" I I Z j I I I I I I I I-""I"""I """ I "m-.- I ""_ I """ I ""_." I IZj-CjI I I I I i I
-""""""""""""""""""""""
""""""""""""""""""""""
Tab 1 a 2-26
194
Ejemplo:
Se desea progr-amar- la. produccibn semanar-ia en una p lan ta de
l a i n d u s t r i a a l i m e n t i c i a que obt iene dos pt-oductas a travCs de un
proceso semejante que r-equier-e operaciones de molienda, mezclado,
cocimiento, hornogeneizacibn y empaque. La planta cuenta con cuatro
mol inos, un me~clad~r - , cuatro tanques de cocimiento, un
homogeneizadot-, y una rnaquina envasadora.
Trabaja 45 horas/r;ernana s i n t iempo extra. El producto A
produce $ 4.0i:) de u t i l i d a d p o r k g " ; e l pr-oducta E: 5610 83.50 por-
kg.
""""""""""""-""""""""""""""" I Operac i an I A I 8 I Hrs/semana I I""""""""-I"""""-I-"-"""""I"""-""" I I Molinos I 2 htx 1 3 hrsj I 180 I I""""""""-I"""""-I"""""I""""""- I I Mezc ladot- I 0 . 5 I 0 . 5 I 45 I I"""""""""I"""""-I--"""""-'I""""""- I I Cocedor-es I 2 . 5 1 2 I 1 80 'I 1""""""""-1-"""""1"""""1"~""""" 1 I Homogen I 0 . 25 I 0 .75 I 45 I 1- """"-.."."""I """""_ 'I """"" T -.""-.".""- 1 I Empacadora I (3 . 5 I c: . 5 I 45 I
"""""""""""""~"""".""""""""""
Los tiempo.; requet-idos en cada opet-aci6n para obtener- 100 kg.
de prc3ducto son:
Solucibn:
Para decidir - qu8 cantidad se debe producir da cada producto,
con ob je to de obtener una u t i l i d a d maxima, estableceremos e l
modela de "programacibn 1 i n e a l " :
I
I I
I I
I I
I I
I I I
I I
i
I I
I I I i I I I I I I
I I
i I I I I I I I I I
C rt
c.
o 3
t
t O 3
GJ
t
t
3 D X
li II
rr! P ”‘ Lr;
ll
Ap ro:.: i mando la $oluci&n a l Bptirno, decidirnos p roduc i r :
Programac ibn:
cada
p d r-a
Si SE? decide qu& cantidad se va a producir- semanariamente de
producto, es f h c i l prugramar u t i l i z a n d o una c a r t a de Gantt
carga d e miquinas.
15'7
Los tiempos necesarios para
Molienda de A :
Molienda de b :
cada operacibn seran:
Mol inos:
Mezclado de A :
Mezclado de b :
Cocimi,ento de A :
Cocimiento de E :
51 x 0 . 5
25 x 0 . 5
Mezclador
51 x 2 . 5
25 x 2
Coceaor-ccj
Hornogeneizado A : 51 x 0.25
Hornogeneizado b : 25 X 0.75
Hornogenei zador
75 h rs . """"_ 179 h r s .
25 .5 hrs.
12.5 hrs. """""
127.5 ht-s.
50 h rs . """""_ 177.5 ht-s.
12.75 hrs.
18.75 hrs.
31.50 hrs. """""_
198
Envasado de E : 25 ' X 0. 5 E 12.5 hrs """"""
Empacadora = 38. O hrs.
S i consideramos que e l equipo requier-e 0.5 hrs. para
l i m p i a r l o , a l c a m b i a r de carga, una solucibn s e r i a l a s i g u i e n t e .
Uno de los mol inos queda des t inado para la mo l ienda mix ta
durante 14 horas d e l prY3duCtO A, y 50 horas del pt-oducto B.
En l a misma forma, un coceclor se destinara parla operar 37.5
horas coc iendo e l p roduc to A y 5 horas, e l p r o d u c t o B.
E5ta progt-amacihn ser.& p o s i b l e se e x i s t e una demanda cont inua
aproximadamente e l v a l o r de l a produccibn semanaria.
L a e f i c i e n c i a de l a p l a n t a podemcs de terminar la en func ibn
d e l % de t r a b a j o de cada equipo.
Mol ino 1 = 100 x
Mol ino 2 = 100 x
Mol ino 3 = 97.5 %
Envasadora = 84.5 %
Mezclador = 8 4 . 5 %
Cocedor- 3 = 94.5
Cocedor- 4 = 100 x
Homogeneirador- = 70 X
Envasador = 84.5 X """"_ 1,031.0 x
199
I_
a . 1
Una compañia fabrica dos clases de refacciones: P y P cada
una de las refacciones necesita 3 metros de espacio de 1 2
almacenamiento pot- unidad y solo se tienen 24 metros de espacio
disponible. El ndmer-o necesario de horas mAquina para fabricar
cada unidad es de 7 para F' y 1 1 rara F' y solo se dispone de 77
horas-mAquina. 1 2
El n&mero necesario de horas-hombre para pintar cada unidad
es de 2 para F' ; c .J para F' ; solo se dispone de 25 horas-hombre.
Las ganancias por unidad de P y F' se espera c.lile sean de $6 y
39 ; respectivamente encontrar. el nhmero d F unidzdes de cada un<$ de
ellas que maximiza la ganancia.
1 2
1 2
Restriccianes :
7:; + lly .< 77 -
I F ' l Z 9 I 7 1 2 1 1:"""I""-I""-I""- I I F 2 1: 3 I 1 1 1 5 I 1 ""I "1 "I... "I ""_ 1 ""_ I I 1: 24 1 77 I 25 I """~""-""""~""
;.; = No de unidades de P 1
y = No de unidades de P 2
6,: + 15y ,= 75
27
9 Y = ""
9y = 27
Y
-1
" 16 v Id 17 1
I
19 90
24 Y = --"
T 3
y = 8
7;< + lly = 77
lly = 77
77
11 Y = ""
y = 7
23
5 Y = ----
y = 5
y = 0
77
7 x = ----
;.: = 1 1
Resolviendo los siguientes sistemas de ecuaciones:
202
"
77 1 1
25 c
7 1 1
J
>; = """""_ 1 1 0
13 = ""- = 8.46
2 c L l "-""""""
I P ( 8 . 4 6 , 1.61) I """""""_ 7 77
2 2-j 175 - 154 21
7 1 1 L,: 13 35 - -3
y = "."""," = """""I z "" z 1.61
3 ... J c
7 7 1 1 x = """""
3 3
7 1 1
'7 77
12 Y = --""""
12 12
203
P = b:.: + Yy Funcihn ahjet ivo 6 de qanancia sustituyendo las
coordenadas de P ( S , 3) en '1.a f u n c i m de ganancia "F" ; F = b x f
9y, l a m d w i m a ganancia ES:
FOP lo tanto, estamos seguros de que el P(5,3) es, el punto
bptima; puesto que:
B I B L I C I E R A F I A
GROSSMAN,
HAUSSLER,
t:::OVACIC, N. L.
NAYLOR, THOMAS H.
PRAWDA.
SAMUELSON, PAUL U.
DOFTMAN, ROBERT
SOLOW, ROBERT.
hatematicas Aplicadas a_ Administracidn.
~ ~ q ~ ~ o m í a y Siencias Sociales, Ira Edicibn, Mc.
Graw Hi 11, M&:tico, 1986.
F:.oSt-amaci&n. Lineal, 42.1- icsacimlcs 9 la
Economia, Septima edicidn, I",&:.:ico, Pax-
M&xico, 1975.
&licaciones del Cllqebra Lineal,
PlatemPticas fieicadas 5 la Administracibn y
Eggnumia.
Pk~tt;emAticas, Aplicaciones las Ciencias
Economico Administrativas, 1t-a edirion, Fondo
Educativo Intermericano, MBxico, 1977.
"- ""__.
- .. Ieoria General d e Proqramacibn,
cibn, Ariel, Barcelona, 1971.
Ira. edi-
Economía df? la Empresa, Ira. edicibn, Cen-
tro Regional, Argentina, 1973.
- Investiqacibn d e Operaciones.
F'roqt-amacibn Lineal y &Al isis_ Economico. - 3rd. edicibn, figuilar-, Madrid, 1972.
." r
bkoqramacitin L i n e a l , Trad. pot- Jos& de Jesds
Acosta F lores. Kepr-esentacianes y Servicios
I n q l a t e r r a , LA., Mexico. 1981.
TRUJILLO. JUAN J. Elementos de Ingeniet- ia Indulitt* ial , 1r.a.
ed ic ibn , LIMUSA. M&?xico, 1980.
VENDERPIEULEN, El AnAlisic, Lineal en la Teoria Econsmica,
DANIEL. - I ra . cdic ibn. Prent ice /Hal l In ternacional ,
USA, 1971.