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18 Unidad 9 | Estadística y probabilidad

ENCUESTA

¿Cuál es tu grado de afición a la lectura? □ Mucho □ Poco □ Bastante □ Nada □ Un poco

Recuento

● Mucho: ///// // ● Bastante: ///// ///// // ● Un poco: ///// ///// ///// /// ● Poco: ///// // ● Nada: ///

Mucho

Bastante

Un poco

Nada

Poco

0

N.º

alu

mn

os

5

15

Mucho Bastante Unpoco

Nada

20

10

Poco

9 Estadística y probabilidad 9.1. En los siete últimos partidos, Pau Gasol y Ricky Rubio han anotado estos puntos:

Gasol 24 15 9 18 6 26 15

Rubio 11 9 13 12 9 7 10

a) ¿Qué jugador ha anotado más puntos?

b) ¿Cuál ha sido la media por partido de cada jugador? ¿Quién es más regular?

a) Gasol (113 puntos)

b) Gasol: 113 : 7 = 16,14. Rubio: 71 : 7 = 10,14. Rubio es más regular.

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

9.1. Queremos saber la afición a la lectura de los alumnos de 1.º de ESO.

1. Hemos pedido a los alumnos de 1.º de ESO del instituto El Barco Verde que rellenen la encuesta y después hemos hecho el recuento.

a) ¿Qué estudia esta encuesta? ¿Cuántos alumnos han participado?

b) Cuenta las respuestas de cada valor. Calcula el porcentaje de cada valor con respecto al total. Recuerda que la suma de los porcentajes debe ser 100.

a) El grado de afición a la lectura. 47 alumnos

b) Mucho: 14,89%. Bastante: 25,53%. Un poco: 38,3%. Poco: 14,89%. Nada: 6,38%

2. Hemos elaborado dos gráficos diferentes, un diagrama de barras y un diagrama de sectores:

a) Describe las características de cada gráfico. ¿Dan la misma información cuantitativa?

b) ¿Cuál crees que es más orientativo en este caso? Razona tu respuesta.

a) El diagrama de barras nos aporta información de cada uno de los posibles datos y del número de veces que se repite. El de sectores nos aporta una información más visual, sobre la ordenación de los datos según su frecuencia y la comparación de unas con otras. El de barras da, por tanto, más información cuantitativa.

b) Cualquiera de los dos nos da la información buscada. En este caso, como probablemente solo se busque que nos hagamos una idea de la proporción de alumnos según los gustos por la lectura, parece más apropiado el diagrama de sectores.

Unidad 9 | Estadística y probabilidad 19

0

N.º

alu

mn

os

10

30

Mucho Bastante Unpoco

Poco Nada

40

20

3. En el instituto El Submarino Amarillo hemos realizado un estudio similar. Los resultados son los siguientes:

a) ¿Cuántos alumnos han participado en la encuesta?

b) Compara los resultados con los del instituto El Barco Verde.

a) 7 + 18 + 29 + 16 + 9 = 79 alumnos

b) Los porcentajes son:

Mucho: 8,86%. Bastante: 22,78%.

Un poco: 36,7%. Poco: 20,25%. Nada: 11,39%

Podemos extraer que les gusta en general más la lectura a los del instituto El Barco Verde.

ACTIVIDADES

9.1. Las temperaturas máximas a lo largo del mes de febrero han sido las siguientes:

7, 9, 4, 12, 11, 8, 6, 10, 9, 11, 8, 10, 13, 12, 6, 6, 7, 9, 10, 12, 12, 8, 7, 6, 9, 7, 10, 10

Elabora una tabla de frecuencias absolutas y relativas.

Temperatura Frec. abs. Frec. rel. %

4 1 0,036 3,6

6 4 0,143 14,3

7 4 0,143 14,3

8 3 0,107 10,7

9 4 0,143 14,3

10 5 0,179 17,9

11 2 0,071 7,1

12 4 0,143 14,3

13 1 0,036 3,6

9.2. Un grupo de 20 alumnos está haciendo un cursillo de natación. El número de largos que han nadado sin descansar son:

3, 5, 2, 0, 6, 4, 5, 7, 3, 4, 3, 2, 6, 4, 5, 2, 9, 4, 5, 6

a) Agrupa los datos en una tabla de frecuencias.

b) ¿Cuántos alumnos han nadado cinco largos?

c) ¿Cuál es el número de largos que tiene una frecuencia más alta? ¿Y más baja?

a) b) 4 alumnos

c) Más alta, 4 y 5. Más baja, 0, 7 y 9

Largos Frec. abs. Frec. rel. %

0 1 0,05 5

2 3 0,15 15

3 3 0,15 15

4 4 0,2 20

5 4 0,2 20

6 3 0,15 15

7 1 0,05 5

9 1 0,05 5


9.3. En general, cuando te piden que elabores una tabla de frecuencias, quieren que calcules tanto las frecuencias absolutas como las relativas.

a) ¿Qué diferencia existe entre estos dos tipos de frecuencias?

b) Si tienes las frecuencias absolutas, ¿puedes calcular las relativas?

c) Si tienes únicamente las frecuencias relativas, ¿puedes calcular las absolutas? ¿Qué otro dato necesitas para obtenerlas?

a) Las absolutas miden el número de veces que se repite el dato, y las relativas comparan las absolutas respecto al número total de datos.

b) Sí, dividiendo entre el número total de datos, que es la suma de las frecuencias absolutas.

c) No, necesitaría el número total de datos o una cualquiera de las frecuencias absolutas.

9.4. Para saber la altura de los chicos y chicas de 1.º de ESO se ha encuestado a chicos y chicas de ojos azules. La muestra está mal elegida. ¿Por qué?

Porque no es representativa de la población. Se deben escoger chicos y chicas al azar, con independencia del color de sus ojos o de cualquier otra característica.

9.5. Quieres saber el número de hermanos de tus compañeros de clase.

a) ¿Por quién está formada la población que vamos a estudiar?

b) ¿Cuál es la variable? ¿Es cualitativa o cuantitativa? ¿Cuáles son los valores que puede tomar?

a) Mis compañeros. b) El número de hermanos. Cuantitativa, con valores enteros no negativos.

9.6. Quieres hacer un estudio sobre el número de horas semanales que dedicáis en clase a la lectura.

a) Escribe la pregunta y cuatro respuestas para que el encuestado pueda elegir.

b) ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable que has elegido?

a) ¿Cuántas horas a la semana se lee un libro en el aula? Ninguna; entre 1 y 3; entre 4 y 6; 7 o más.

b) Cuantitativa, con valores enteros no negativos.

9.7. (TIC) En una clase se ha hecho el recuento del número de zapato que calzan los alumnos.

a) Construye una tabla con las frecuencias absolutas y relativas. ¿Cuál es el valor que se repite más?

b) Haz esta encuesta en la clase y compara los resultados.

a)El valor que más se repite es el 35.

b) Actividad individual

Pie Recuento

33 ///

34 ///// /

35 ///// //

36 ///

37 ////

38 /////

39 //

40 //

Número Frec. abs. Frec. rel. %

33 3 0,09375 9,375

34 6 0,1875 18,75

35 7 0,21875 21,875

36 3 0,09375 9,375

37 4 0,125 12,5

38 5 0,15625 15,625

39 2 0,0625 6,25

40 2 0,0625 6,25


10

987654321

12345

76

89

9 8 7 6 5 4 3 2 1987654321

GRADUACIÓN DE LOS EJES

Eje de los valores de la variable A partir de la anchura del eje, determina la anchura de las columnas. Todas deben ser iguales.

Eje de las frecuencias Identifica los valores de las frecuencias absolutas mayor y menor. A partir de estos valores, determina la unidad más adecuada para graduar el eje de las frecuencias.

9.8. En una partida de tiro al blanco, los aciertos son los que muestra la diana.

a) ¿Cuál es la variable? ¿Qué valores toma?

b) Haz el recuento de los resultados obtenidos y exprésalos en una tabla.

c) Representa los resultados en un gráfico. Para graduar los ejes, haz lo siguiente:

a) La diferente puntuación que se puede alcanzar. Cuantitativa, con valores los números del 1 al 10.

b) c)

9.9. Al final de una comida, un restaurante hace el recuento de los platos que ha servido.

a) La tabla muestra los primeros platos.

Representa los resultados con un diagrama de barras.

b) El diagrama de sectores nos da los segundos platos servidos. En total son 50.

– ¿Cuánta gente ha elegido bistec? ¿Y pescado?

– ¿Cuál ha sido el plato que ha tenido más éxito?

a)

b) Bistec: 8 personas. Pescado (merluza, trucha y croquetas de bacalao): 24 personas

El estofado es el que más éxito tuvo.

Puntuación Frec. abs. Frec. rel. %

1 1 0,091 9,1

2 2 0,182 18,2

3 2 0,182 18,2

4 1 0,091 9,1

5 2 0,182 18,2

6 0 0 0

7 1 0,091 9,1

8 1 0,091 9,1

9 1 0,091 9,1

10 0 0 0

Plato Frec. absoluta

Arroz 14

Canelones 12

Espaguetis 10

Sopa 8

Verdura 6

Frec

uenc

ia a

bsol

uta

Puntuación87654321 9 10

2

1

0

Bistec16%

Estofado24%

Lomorebozado

12%Trucha de río

20%

Merluzarebozada

16%

Croquetasde bacalao

12%

Frec

uen

cia

abso

luta

Plato

Arr

oz

Can

elo

nes

Esp

agu

etis

So

pa

Verd

ura

0

2

4

6

8

10

12

14

12

10

8

6

14


0-45-9

10-1415-1920-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-6465-6970-7475-7980-8485-8990-94>95

Miles

0 50 100 150 200 250 300050100150200250300350

0 0

Miles

>90

80-89

70-79

60-69

50-59

40-49

30-39

20-29

10-19

0-9

100

200

300

400

500

600

100

200

300

400

500

600

MujeresHombres

9.10. Actividad interactiva.

Estructura de la población

Pirámides de edades

Las pirámides de edades son un tipo especial de diagrama. Muestran la distribución de la población por franjas de edad y sexo.

1. ¿Cuántos hombres hay entre 25 y 29 años? ¿Y mujeres?

320.000 hombres y 300.000 mujeres

2. ¿A partir de qué edad empieza a haber más mujeres que hombres?

A partir de 55 años

3. ¿Podrías calcular, de manera aproximada, la población representada en el diagrama?

Unos 3.330.000 hombres y 3.440.000 mujeres

4. ¿Qué utilidad crees que puede tener una pirámide de edades?

Estudiar los distintos rangos de edades por sexos de una población, para, por ejemplo, estudiar si la población está en crecimiento o no, saber cuál es la esperanza de vida…

5. ¿En qué intervalos de edad se agrupan las personas? Dibuja en tu cuaderno la pirámide agrupando a las personas en intervalos de 10 años.

En intervalos de 5 años

6. Luisa dice que esta pirámide se puede considerar como un doble diagrama de barras. ¿Qué opinas?

Sí, cambiando los ejes y colocando en las abscisas las frecuencias absolutas, y en las ordenadas, los datos.


Partido B (37)

Partido C (21)

Partido D (14)

Partido E (12)

Partido F (3)Partido A (48)

Elecciones al Parlamento

Votos obtenidos Reparto de los escaños

Partido A: 928.511

Partido B: 789.767

Partido C: 414.067

Partido D: 313.479

Partido E: 281.474

Partido F: 89.567

Otros: 142.162

Diagramas semicirculares

Los diagramas de sectores a veces se presentan en forma de semicírculo.

1. La mayoría absoluta se obtiene cuando se tienen la mitad de los escaños más 1. ¿Cuántos escaños hay en el Parlamento? ¿Cuántos se necesitan para obtener la mayoría absoluta?

135 escaños. Se necesitan 68 escaños.

2. Mirando el diagrama, ¿hay algún partido que obtenga mayoría absoluta?

No, pues ninguno ocupa más de la mitad del semicírculo.

3. Los escaños que obtiene un partido no son proporcionales a los votos que recibe.

a) Si fuesen proporcionales, ¿qué resultados habrían obtenido los partidos? Desestima los votos correspondientes a otros.

b) Representa estos resultados con un diagrama de barras.

a) Primero obtenemos los porcentajes de cada partido considerando el total de votos los 2.816.865 que votan a uno de los 6 partidos principales.

A: 32,96%. B: 28,04%. C: 14,70%. D: 11,13%. E: 9,99%. F: 3,18%

Escaños según votos. A: 44, B: 38, C: 20, D: 15, E: 13, F: 4

b)

4. Indica qué combinaciones de dos o tres partidos son posibles para formar mayoría absoluta.

Teniendo en cuenta que hay 135 escaños en total, se obtiene mayoría absoluta con 68 escaños.

A + B = 85 escaños A + C = 69 escaños A + D + E = 74 escaños

B + C + D = 72 escaños B + C + E = 70 escaños

Descartamos cualquier combinación de 3 partidos que incluyan a A y B o a A y C simultáneamente, pues no tiene sentido combinar 3 partidos pudiendo hacerlo solo con 2.

Voto

s

Partido

44

38

20

1513

4

FEDCBA0

10

20

30

40

50


Goles a favor

Goles en contra

P1 P3P2 P4 P6P5 P7

120.000

N.º

de

nac

imie

nto

s

197520.000

100.000

80.000

60.000

40.000

1980 1985 1990 1995 2000 2005

Goles de un equipo

Pictogramas

Los pictogramas son gráficos de barras en los que se han sustituido las barras por una columna de dibujos representativos del tema tratado. Cada dibujo toma un valor cuantitativo determinado.

1. ¿Qué dibujo se utiliza como pictograma? ¿Qué representa cada dibujo?

Un balón de fútbol. El número de goles

2. El gráfico muestra dos variables estadísticas. ¿Cuáles son?

Número de goles a favor y en contra

3. ¿Cuántos goles marcó en total el equipo? ¿Cuántos le marcaron?

18 goles marcó. 4 goles le marcaron.

4. ¿En qué partido marcó más goles? ¿Y en cuál menos?

En el tercero. En el sexto

Evolución de la natalidad

Gráficos de líneas

En los gráficos de líneas, las frecuencias de los valores de la variable estadística no se expresan con columnas, sino con puntos unidos por una línea.

1. ¿Cuántos nacimientos tuvieron lugar en 1975? ¿Y en 1985?

Aproximadamente, 110.000 nacimientos en 1975 y 60.000 en 1985.


0

30

20

10

0

20

40

60

80

100

120

E F M AM J J A S ON D

OVIEDOT ºC Pmm

Barras depluviosidad

Escala detemperatura

Escala depluviosidad

Meses del año

Curva detemperatura

0

30

20

10

0

20

40

60

80

100

120

E F MAM J J A S O N D

SALAMANCAT ºC Pmm

Meses del año

2. ¿En qué año hubo menos nacimientos? ¿Cuántos hubo?

Aproximadamente en 1992, con unos 57.000 nacimientos

3. ¿Podrías determinar, aproximadamente, cuántos bebés nacieron en 2002? ¿Cómo lo harás?

Unos 65.000. Trazando una vertical sobre la abscisa de 2002 y observando la ordenada correspondiente.

4. Expresa los datos del gráfico con una tabla. Estos datos, ¿serán exactos o aproximados? Razona tu respuesta.

Año 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Número nacimientos 110.000 80.000 60.000 59.000 59.000 60.000 80.000

Son aproximados, porque la escala en los ejes no cubre con precisión toda la gráfica.

Temperatura y pluviosidad

Climogramas

Los climogramas son diagramas en los que se muestran los datos de la temperatura y de la pluviosidad de manera superpuesta.

1. La información de la temperatura, ¿se da con un diagrama de barras o con un diagrama de líneas? ¿Y la información de la lluvia?

Un diagrama de líneas. Diagrama de barras

2. ¿Qué mide el eje vertical izquierdo? ¿Y el eje vertical derecho?

La temperatura en ºC. La pluviosidad en mm.

3. ¿En qué mes es más alta la temperatura en Oviedo? ¿Y en Salamanca?

Entre julio y agosto en ambos casos

4. ¿Cuántos milímetros de agua caen aproximadamente en Oviedo en un año? ¿Y en Salamanca?

Oviedo: 1.000 mm. Salamanca: 580 mm

9.11. (TIC) Mariam ha sacado estas notas en nueve pruebas de matemáticas.

7, 4, 5, 7, 6, 5, 7, 3, 6

La profesora dice que la nota de la evaluación será la media de las notas de todas las pruebas. ¿Qué nota sacará Mariam?

5,56


9.12. (TIC) Dadas las cuatro colecciones de notas siguientes, haz una tabla de frecuencias absolutas y calcula la media, la mediana y la moda de cada una de ellas.

• A: 4, 4, 5, 5, 6, 6 • B: 1, 2, 2, 7, 9, 9 • C: 2, 4, 5, 6, 6, 7 • D: 3, 3, 3, 6, 6, 9

¿Qué observas en los valores de la media y la mediana?

A Frec. abs. B Frec. abs. C Frec. abs. D Frec. abs.

4 2 1 1 2 1 3 3

5 2 2 2 4 1 6 2

6 2 7 1 5 1 9 1

9 2 6 2

7 1

A: Media = 5. Moda = 4, 5 y 6. Mediana = 5 B: Media = 5. Moda = 2 y 9. Mediana = 4,5

C: Media = 5. Moda = 6. Mediana = 5,5 D: Media = 5. Moda = 3. Mediana = 4,5

Todas tienen la misma media y, sin embargo, no tienen la misma mediana.

9.13. (TIC) Un jugador de baloncesto ha obtenido estas puntuaciones en ocho partidos.

a) Calcula la media de puntos por partido.

b) En el tercer partido anotó dos puntos. ¿Es significativo este resultado? ¿Qué crees que le pasó al jugador?

c) Si no tuvieras en cuenta el resultado del tercer partido, ¿cuál sería la media?

d) Calcula la mediana. ¿Crees que en este caso te da una idea más clara del comportamiento de este jugador que la media?

a) 24,875

b) No, porque difiere mucho de los demás. Pudo tener una lesión y jugar muy poco tiempo de partido.

c) 28,14

d) 2, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32. La mediana es 27,5, que sí da una idea más clara del comportamiento del jugador que la media, en este caso.

9.14. Estos son los puntos que ha obtenido una gimnasta en una prueba: 8,5 - 7,9 - 8,4 - 9 - 8,7

Sin hacer cálculos, ¿cómo puedes saber que la media no es 7,8? ¿Entre qué valores estará la media?

Porque es un valor inferior a todos los datos. La media estará entre 7,9 y 9.

9.15. En 2008, el número de hijos por mujer en España era de 1,46. Sabemos que una mujer no tiene fracciones de hijos. ¿Cómo debe entenderse este valor?

Como la media del número de hijos de las mujeres en España, que sí puede ser decimal.

9.16. (TIC) Las botellas son de 3

4 de litro.

Partidos P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

Puntos 25 30 2 28 26 29 32 27


a) Calcula la media de líquido por botella.

b) Si descartásemos la botella vacía, ¿cuál sería la media?

a) 3 3 9 3

0 : 516 8 16 4

+ + + +

= 3

8 L b)

15

32 L

9.17. *(TIC) Una operadora telefónica cobra las llamadas por minutos. En la factura aparece este gráfico con las llamadas de un cliente.

a) ¿Cuántas llamadas ha hecho?

b) ¿Cuál es la moda? ¿Y la mediana?

c) La compañía cobra 0,20 € por minuto. ¿Cuál es el precio medio de una llamada de este usuario?

a) 15 llamadas b) Moda = 2 min. Mediana = 3 min c) Media = 2,93 min, que costará 0,586 €.


9.19. (TIC) Un Ayuntamiento ha hecho una encuesta entre 500 personas sobre el grado de aceptación de la implantación de parquímetros. Los resultados obtenidos son:

Valoración Respuestas

Muy bien 45

Bien 83

Ni bien ni mal 137

Mal 140

Muy mal 95

Haz un diagrama de líneas con Excel.

1 2 3 4 5 6 70

N.º

de

llam

adas

1

3

6

2

5

4

Duración (min)


Lun. Mar. Miér. Jue. Vie. Sáb. Dom.

9.20. (TIC) Un centro de natación ha realizado una encuesta entre sus miembros sobre el número de días de la semana en que utilizan la instalación. El diagrama muestra los resultados.

Reproduce el diagrama con Excel expresando las frecuencias en porcentajes. Esta es una opción que permite el asistente de gráficos, en la pestaña Rótulos de datos.

9.21. En general, podemos expresar los datos con un diagrama de barras, de líneas o de sectores. ¿Cuándo crees que es más útil cada diagrama?

De barras: cuando tenemos una variable discreta y queremos mostrar la frecuencia de cada dato.

De líneas: cuando es una variable continua y queremos mostrar cómo ha ido evolucionando.

De sectores: cuando queremos comparar unas frecuencias con otras o mostrar qué parte representa cada una de ellas respecto al total.

9.22. (TIC) Una quiosquera anotó los periódicos que había vendido a lo largo de una semana.

Lun. Mar. Mié. Jue. Vie. Sáb. Dom.

560 420 512 481 445 522 845

a) Haz con Excel el diagrama de barras que representa esta información.

b) Calcula con Excel la media de periódicos que ha vendido cada día.

c) El diagrama muestra los periódicos que vendió la quiosquera a lo largo de la siguiente semana.

Representa con Excel esta misma información, pero hazlo en forma de diagrama de sectores.

d) ¿Con cuál de los gráficos te parece que esta información es más clara, con el diagrama de barras o con el de sectores?

5 días; 7

1 día; 123

3 días; 43

2 días; 86

4 días; 12


18

54

6 72

9

a) b)

3

10

e) ¿Ha aumentado el número de periódicos que ha vendido de media la segunda semana con respecto a la semana anterior? ¿En qué cantidad?

a) b) 540,71 c)

d) Con el de barras es más fácil comparar unos días con otros.

e) 537,29 de media la segunda semana, luego ha bajado la venta en 3,42 periódicos diarios.

9.23. Indica en cada caso los posibles resultados de sacar una bola de la urna.

a) {rojo, verde, azul}

b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

9.24. Considera el experimento de extraer una carta de una baraja española. Indica el resultado o resultados que comprenden estos sucesos.

a) Sacar una espada.

b) Sacar un as.

c) Sacar un 3, un 4 o un 5.

d) Sacar una figura.

a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo, rey (de espadas)}

b) {as de oros, as de copas, as de espadas, as de bastos}

c) {3, 4 y 5 de oros; 3, 4 y 5 de copas; 3, 4 y 5 de espadas; 3, 4 y 5 de bastos}

d) {sota, caballo y rey de oros; sota, caballo y rey de copas; sota, caballo y rey de espadas; sota, caballo y rey de bastos}

9.25. Los juegos de azar basados en las apuestas, como la ruleta, provocan adicción en algunas personas.

a) ¿Qué problemas crees que tienen las personas adictas al juego?

b) Hay quien defiende que el juego debe estar regulado. ¿Qué argumentos crees que dan?

a) Problemas psicológicos por la dependencia y económicos al no controlar el gasto.

b) Que si estuviera regulado habría menos estafas, que pagarían impuestos, etc.

9.26. ¿Cuál es el número mayor de resultados posibles que puede tener un suceso en el experimento de lanzar un dado cúbico?

6 resultados posibles como máximo


1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34

2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

0

19-361-18

PARIMPAR

DM

P

DM

P

9.27. Este es el tapete de una ruleta. La ruleta tiene 37 resultados posibles, del 0 al 36. El 0 es siempre para la banca.

a) Indica los resultados que comprenden estos sucesos.

● 1.ª docena ● 2.ª docena ● 3.ª docena

● 1 a 18 ● Par ● Rojo

● Negro ● Impar ● 19 a 36

b) ¿Qué resultados tienen en común los sucesos salir par y salir rojo?

c) Imagina que la apuesta para un resultado es de 1 €. ¿Cuánto costará la apuesta sacar negro?

a) ● 1.ª docena = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

● 2.ª docena = {13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24}

● 3.ª docena = {25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}

● 1 a 18 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}

● Par = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36}

● Rojo = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}

● Negro = {2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35}

● Impar = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35}

● 19 a 36 = {19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}

b) {12, 14, 16, 18, 30, 32, 34, 36}

c) 18 €

9.28. Tomamos una carta de una baraja francesa.

a) ¿Qué es más probable, sacar un as de picas o un as de corazones?

b) ¿Qué es más probable, sacar una carta de tréboles o una figura?

c) Ordena los sucesos siguientes según su grado de probabilidad.

– Sacar un dos de diamantes.

– Sacar una carta de corazones.

– Sacar un rey.

a) Ambos sucesos son igual de probables, pues en sendos casos es 1 carta de entre el conjunto de naipes de la baraja.

b) Una de tréboles, pues de entre toda la baraja, hay 13 naipes en un palo y solo hay 12 figuras, por lo que hay más casos posibles en el suceso sacar una carta de tréboles.

c) De más a menos probable:

Sacar una carta de corazones (13 naipes).

Sacar un rey (4 naipes).

Sacar un dos de diamantes (1 naipe).


1 2 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3

a) b) c) d)

9.29. Lanzamos un dado dodecaédrico como el siguiente.

Calcula la probabilidad de estos sucesos.

a) Sacar un 2. b) Sacar un número par. c) Sacar un número mayor que 3.

a) 1

12 b)

1

2 c)

9 3

12 4=

9.30. Explica qué diferencia hay entre resultado de un experimento aleatorio y suceso. ¿En algún

caso pueden coincidir?

Un resultado es cada uno de los casos que pueden ocurrir, y un suceso puede englobar varios resultados. Por ejemplo, es un suceso sacar par al tirar un dado, y engloba tres resultados: 2, 4 y 6. Puede coincidir si el suceso incluye un solo caso posible.

9.31. Al lanzar un dado 20 veces obtenemos 15 unos y 5 doses. ¿Cuál de estos dados crees que

hemos usado?

a) 1 b) 2 c) 2

1 2 1 2 1 2 1 2 0

1 1 2

1 1 2

El a

9.32. Lanzamos una bola por estos canales. ¿Cuáles son las probabilidades en cada caso de sacar

1, 2, 3 y 4?

a) p(1) = 0,5 p(2) = 0,5 p(3) = 0 p(4) = 0

b) p(1) = 0,25 p(2) = 0,25 p(3) = 0,25 p(4) = 0,25

c) p(1) = 0,25 p(2) = 0,25 p(3) = 0,5 p(4) = 0

d) p(1) = 0,5 p(2) = 0,125 p(3) = 0,125 p(4) = 0,25


ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN Y APLICACIÓN

9.34. Variables estadísticas

Indica qué valores pueden tomar las variables estadísticas siguientes. Indica también qué población se estudia en cada caso.

a) Las notas de los alumnos de la clase de matemáticas de 1.º de ESO.

b) La cantidad de puntos obtenidos por un equipo en cinco partidos de baloncesto.

c) El medio de transporte que utilizan tus compañeros para llegar al instituto.

d) La edad del alumnado del instituto.

a) Cuantitativa. Población: alumnos de una clase de matemáticas de 1.º de ESO

b) Cuantitativa. Población: un equipo de baloncesto en cinco partidos

c) Cualitativa. Población: alumnos de un instituto

d) Cuantitativa. Población: alumnos de un instituto


9.35. Estudio estadístico de un gimnasio

En un gimnasio realizan un estudio sobre el perfil personal de sus miembros. Quieren pedir información sobre las cuestiones que se indican. Di en cada caso si la variable es cuantitativa o cualitativa.

a) Edad b) Profesión

c) Deporte practicado d) Altura

e) Peso f) Tiempo que tarda en llegar al gimnasio

g) Transporte utilizado para ir al trabajo h) Tipo de música que escucha

i) Tipo de cine preferido j) Animal de compañía que tiene

Cuantitativas: a, d, e, f. Cualitativas: b, c, g, h, i, j

9.36. Preguntas abiertas y cerradas

En una encuesta, decimos que una pregunta es cerrada si ofrecemos las posibles respuestas. En caso contrario decimos que es abierta. Clasifica las preguntas en abiertas y cerradas.

a) ¿Cuántos hermanos tienes?

b) ¿Qué producto lácteo te gusta más?

□ Leche □ Queso □ Yogur □ Requesón

c) ¿Qué deporte te gusta más?

d) ¿Cuántos libros lees en un mes?

□ Ninguno □ Uno □ Dos □ Más de dos

Abiertas: a, c. Cerradas: b, d

9.37. Reparto de camisetas

En un concierto al que asisten 500 personas debemos repartir 25 camisetas. No queremos perjudicar ni ayudar a nadie en concreto. Propón una estrategia para lograr un buen reparto.

Extraer 25 números al azar entre las numeraciones de las entradas.

9.38. Transporte laboral

Te encargan un estudio del tiempo que necesitan los trabajadores de una empresa para llegar a su puesto de trabajo y el transporte que utilizan. Piensa y escribe las preguntas que formularás.

¿Viene al trabajo andando, en su propio vehículo o en transporte público?

En caso de que utilice el transporte público, ¿qué medio utiliza?

¿Cuánto tiempo emplea desde que sale de casa hasta que llega a la empresa?

De ese tiempo, ¿cuánto gasta en el medio de transporte?

9.39. La biblioteca del instituto

Quieres elaborar un informe sobre qué revistas debería haber en la biblioteca del instituto. Dado que el número de alumnos del instituto es muy grande, decides elegir una muestra de 40 alumnos.

a) ¿Cuál es la variable que estudias?

b) ¿Cuál es la población del estudio?

c) ¿Cómo escogerás la muestra?

a) Tipos de revistas en la biblioteca b) Los alumnos del instituto

c) Escogeré 40 alumnos al azar, repartidos de manera proporcional entre los distintos niveles y grupos del centro.


ENCUESTA

Actividades extraescolares

¿Cuál de estas actividades extraescolares prefieres?

□ Danza

□ Música

□ Deportes

□ Idiomas

□ Teatro

□ Otras

□ Ninguna

Marca una sola casilla.

9.40. Encuesta escolar

Se ha pasado la siguiente circular a todos los alumnos de 1.º de ESO de un instituto.

a) ¿Cuál es la población que se estudia?

b) ¿Cuál es la variable? ¿Es cualitativa o cuantitativa?

c) ¿Qué valores puede tomar la variable?

d) Se han obtenido estos resultados:

Actividades extraescolares Recuento

Danza ///// ////

Música ///// ///// ///// ///

Deportes ///// ///// ///// ///// ///

Idiomas ///// ///// ////

Teatro ///// //

Otras ///// ///// ///

Ninguna ///// ///// ///// ////

Haz la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

a) Los alumnos de 1.º de ESO de un instituto

b) Las actividades extraescolares. Cualitativa

c) Danza, música, deportes, idiomas, teatro, otras, ninguna

d)

Actividades extraescolares Frec. absoluta Frec. relativa

Danza 9 0,087

Música 18 0,175

Deportes 23 0,223

Idiomas 14 0,136

Teatro 7 0,068

Otras 13 0,126

Ninguna 19 0,184


9.41. (TIC) Elecciones escolares

El resultado en la elección de los representantes de los alumnos para el consejo escolar del instituto es:

Nombre del candidato Fr. absoluta

Alba Camino 151

Mireia Casas 217

Gerardo Ortiz 125

Ramón Sánchez 182

Elena Blanco 108

Carlos Vidal 40

Votos en blanco 34

Calcula la frecuencia relativa y el porcentaje logrado por cada uno de los candidatos.

Nombre del candidato Fr. absoluta Fr. relativa %

Alba Camino 151 0,176 17,6

Mireia Casas 217 0,253 25,3

Gerardo Ortiz 125 0,146 14,6

Ramón Sánchez 182 0,212 21,2

Elena Blanco 108 0,126 12,6

Carlos Vidal 40 0,047 4,7

Votos en blanco 34 0,04 4

9.42. (TIC) Color de camiseta

Se ha escogido el color de la camiseta de los equipos de balonmano. La tabla muestra los votos emitidos, pero faltan algunos datos. Complétala.

Color de camiseta Fr. absoluta Fr. relativa %

Azul 3 0,05 5

Rojo 42 0,7 70

Verde 12 0,2 20

Negro 3 0,05 5

Total 60 1 100

9.43. Población y muestra

Indica, en cada tipo de estudio estadístico, si la muestra está bien elegida. Razona la elección.

a) Para saber cuál es la cadena de televisión preferida, se pregunta a mujeres de entre 30 y 40 años que entran en una estación de metro.

b) Para saber la intención de voto en unas elecciones municipales, se encuesta a clientes de las tiendas de un barrio un sábado por la mañana.

c) Para saber el grado de satisfacción de los clientes de una operadora telefónica, se encuesta a 500 usuarios masculinos y a 500 femeninos, de edades comprendidas entre 15 y 70 años.

a) Mal. Los gustos de televisión varían considerablemente según sexo y edad.

b) Mal. Las características del barrio elegido pueden determinar el tipo de voto, e incluso el hecho de que se realicen compras en la mañana de un sábado.

c) Bien. Se encuesta a ambos sexos y en un rango muy amplio de edades.


Nº.

de

salid

as

Meses

Jun

io

Julio

Ag

ost

o

Sep

tiem

bre

6

12

14

8

0

3

6

9

12

15

9.44. Salidas de bomberos

Las salidas que hacen unos bomberos durante los meses de verano son las siguientes:

Meses N.º salidas

Junio 8

Julio 12

Agosto 14

Septiembre 6

Representa los datos con un diagrama de barras.

9.45. Coches vendidos

La tabla muestra los coches que un concesionario de vehículos ha vendido en medio año.

Tipo de vehículo Fr. abs. Fr. rel. %

Utilitarios 104 0,45 45

Furgonetas 53 0,23 23

Todoterrenos 35 0,15 15

Monovolúmenes 28 0,12 12

Berlinas 12 0,05 5

Total 232 1 100

Expresa los resultados con un diagrama de barras.

9.46. (TIC) Los continentes

Este gráfico recoge la proporción de tierra por continente.

La tierra emergida ocupa unos 150.000.000 km2 en total. ¿Cuál es la superficie de cada continente?

Asia: 45.000.000 km2 África: 30.000.000 km2 Oceanía: 9.000.000 km2

Antártida: 12.000.000 km2 Europa: 10.500.000 km2 América: 43.500.000 km2

Oceanía (6%)Antártida (8%)

Europa (7%)

América (29%)Asia (30%)

África (20%)

Frec

uen

cia

abso

luta

Tipo de vehículo

Util

itario

s

Furg

onet

as

Todo

terr

reno

s

Mon

ovol

úmen

es

Ber

linas

104

5335

28

12

0

20

40

60

80

100

120


9.47. Pictograma

Este pictograma muestra el número de hijos que tiene de media una mujer.

a) ¿Qué crees que representa un chupete? ¿Y medio chupete?

b) ¿Cuántos hijos tiene una mujer de la India? ¿Y una de Nigeria?

c) En realidad, el índice de natalidad de España en el año 2008 fue de 1,46. ¿Crees que el pictograma puede ser muy preciso?

a) Cada chupete representa un hijo, por lo que medio chupete representa medio hijo. Hay que tener en cuenta que se está representando la media de hijos por mujer, por lo que este valor puede ser decimal aunque el número de hijos sea evidentemente natural.

b) En la India se tienen 3 hijos por mujer de media, y en Nigeria, 6,5.

c) No, porque sería muy complicado tener una mayor precisión al representar una parte de un dibujo artístico, en este caso, un chupete. Con claridad, no puede precisar más que unidades enteras y medias unidades.

9.48. (TIC) Residuos

El gráfico representa el tipo de residuos que se tiran a la basura.

a) No es ninguno de los gráficos que hemos visto. ¿A cuál se parece más por su estructura?

b) Calcula el porcentaje que falta.

c) Calcula la cantidad de toneladas de basura que se producen de cada tipo en un año en una población de 14.000 habitantes, si en total se han recogido 7.600 toneladas de basura.

a) Se parece más al de sectores, pues es una figura dividida en partes proporcionales a la frecuencia de cada dato.

b) 45%

c) Materia orgánica: 3.420 t Papel y cartón: 1.596 t Vidrio: 532 t

Plástico y metal: 1.140 t Otros: 912 t

IndiaBrasil España Etiopía México Nigeria

Un hijo

Materiaorgánica

Papel y cartón

Vi drio

Plástico y metal

Otros

21%

?

7%15%12%


Nº.

de

rep

arac

ion

es

Mes

En

ero

Feb

rero

Mar

zo

Ab

ril

May

o

Jun

io

28

3530

42

3336

0

10

20

30

40

50

9.49. (TIC) La factura del móvil

El gráfico muestra el importe de las facturas por el consumo de un móvil a lo largo de un año.

a) ¿Cómo están graduados los dos ejes?

b) ¿En qué mes se hicieron menos llamadas? ¿Y en cuál se hicieron más?

c) Calcula el consumo medio mensual del móvil.

a) Abscisas: por meses

Ordenadas: de 5 en 5 unidades

b) Enero; junio

c) 17,43 €

9.50. (TIC) Notas

Las notas de ciencias naturales de una evaluación de tres alumnos son las siguientes:

A: 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 8 B: 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8 C: 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 9

Todas tienen 5 como mediana. ¿Tienen la misma media?

No. Media A: 4,78; media B: 5; media C: 5,44

9.51. (TIC) Tiempo de lectura

Las horas semanales que dedica una chica a la lectura de novelas a lo largo de tres meses (13 semanas) son las siguientes:

3, 5, 0, 9, 3, 6, 2, 2, 7, 5, 3, 2, 6

Calcula la media, la mediana y la moda. ¿La moda es un único valor?

Media = 4,08; moda = 2 y 3 (dos valores)

Para la mediana, los ordenamos: 0, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 9. Mediana = 3.

9.52. (TIC) Reparaciones

Durante medio año, un taller de electrónica ha reparado los siguientes televisores.

Mes N.º de reparaciones

Enero 28

Febrero 35

Marzo 30

Abril 42

Mayo 33

Junio 36

Representa los datos con un diagrama de barras.

. . M .0

Impo

rte

en e

uros

5

15

45Evolución de importes en factura de móvil

10

2520

3530

40

MesesEne Feb ar Abr . Mayo Jun. Jul. Sept . Nov . Dic.Ago . Oct.

9,54

15,3512,09

17,54

11,65

42,63

27,03

19,45

10,44

22,57

10,44 10,44


9.53. (TIC) Elecciones municipales

Representa con un diagrama de sectores estos resultados de unas elecciones municipales.

Formación Votos

Partido Radical 45

Partido de los Insatisfechos 37

Ciudadanos por la Concordia 265

Vecinos por la Equidistancia 349

9.54. Bolas

En una caja hay nueve bolas numeradas del 1 al 9. ¿Cuál es el espacio muestral de sacar una bola de esta caja? Escribe los elementos del suceso sacar una bola con un número par.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Par = {2, 4, 6, 8}

9.55. Dado cúbico

Lanzamos un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de tres.

p(múltiplo de 3) = p(3, 6) = 1

3

9.56. Monedas

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos caras al lanzar dos monedas al aire a la vez? ¿Y de sacar tres cruces al lanzar tres monedas al aire a la vez?

p(2 caras) = 1

4 p(3 cruces) =

1

8

9.57. Pilas

Con esta linterna de bolsillo hemos probado pilas de 1,5 voltios de 10 marcas diferentes. Hemos anotado el tiempo que mantenían la pila encendida, y también el precio.

Partido Radical 45 Partido de los

Insatisfechos 37

Ciudadanos por la Concordia 265

Vecinos por la Equidistancia349


Frec

uen

cia

abso

luta

Duración

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

8 9 10 11 12 14

1. Describe la población que estudiamos.

10 marcas diferentes de pilas de 1,5 voltios

2. Describe la variable. ¿Qué valores puede tomar?

La duración de cada pila y su precio. Ambas son cuantitativas y pueden toman valores reales positivos.

3. Representa en una tabla de frecuencias las duraciones de las pilas.

Duración Frec. Abs.

8 3

9 2

10 2

11 1

12 1

14 1

4. Representa las frecuencias con un diagrama de barras.

5. Calcula la duración media de las 10 pilas.

9,9 h

6. Indica cuál de las pilas resulta más económica. No es preciso que hagas todos los cálculos.

Láser, a 0,0917 €/h

7. Tenemos esta radio. Funciona con dos pilas y consume tres veces más energía eléctrica que la linterna que hemos utilizado para medir la duración de las pilas. Si le ponemos las pilas LUZ, ¿cuántas horas seguidas podremos escuchar música? ¿Y con las pilas LÁSER?

Luz: 6,67 h. Láser: 8 h

8 h0,85 €

10 h1 €

11 h1,20 €

8 h0,90 €

9 h1 €

10 h1,15 €

9 h0,90 €

12 h1,10 €

8 h0,75 €

14 h1,55 €

LÁSER

CLA

RID

AD

ECO

SO

L

RA

YO

LU

Z

FLA

SH

DU

RO

L

PO

LIN

G

BR

ILLO


Consumo de gasóleo Consumo por carretera.............6 L/100 km Consumo por ciudad............10,5 L/100 km

9.58. Kilómetros y gasóleo

Durante un año, Susana ha anotado los kilómetros recorridos con su coche y los litros de gasóleo consumidos.

1. Crea con Excel un gráfico de barras de los kilómetros recorridos en cada mes.

2. El asistente para gráficos de Excel, en la opción del gráfico de sectores, permite expresar las frecuencias en forma de porcentajes. Haz el diagrama de sectores de los litros consumidos cada mes en porcentaje con respecto al total consumido a lo largo del año.

3. Calcula la media de kilómetros recorridos al mes. Calcula también la media de litros de gasóleo consumidos al mes.

Media km = 1.090,83. Media L = 77,36

4. Observa el mes que ha recorrido menos kilómetros y el mes que ha consumido menos gasóleo. ¿Coinciden?

Sí

5. El consumo medio de un coche se suele expresar en litros por cada 100 km recorridos. En el manual, el fabricante ha dado estos consumos:

a) Expresa el consumo medio de gasóleo, en litros por 100 km, que ha tenido Susana a lo largo del año.

b) ¿A cuál de los consumos que da el fabricante se acerca más el de Susana?

c) Susana dice que ha hecho tres cuartas partes de los kilómetros por carretera, y la cuarta parte restante, por ciudad. ¿Cuál debería haber sido el consumo medio de acuerdo con los datos del fabricante?

a) (928,3 : 13.090) · 100 = 7,09 L/100 km b) Al de carretera. c) 0,75 · 6 + 0,25 · 10,5 = 7,125 L/100 km

Distancia (km) Consumo (L) Distancia (km) Consumo (L)

Enero 1.182 85,6 Julio 575 39,5

Febrero 636 45,4 Agosto 693 47,5

Marzo 1.130 81,8 Septiembre 1.899 131,8

Abril 1.945 132 Octubre 637 46,2

Mayo 663 46,3 Noviembre 1.315 87,3

Junio 1.148 83,5 Diciembre 1.267 101,4

Total 13.090 928,3


0

N.º

ch

ico

s

1

3

[150,155]

7Altura chicos

Alturas

2

654

(155,160]

(160,165]

(165,170]

(170,175]

(175,180]

0

N.º

ch

icas

1

3

[150,155]

7Altura chicas

Alturas

2

654

(155,160]

(160,165]

(165,170]

(170,175]

(175,180]

9.59. Número de zapato y altura

En una clase de 2.º de ESO se ha recogido la información sobre el número de zapato que calzan los alumnos. Se han obtenido estos resultados.

1. Con Excel, crea un gráfico de sectores que indique el porcentaje de chicos y chicas del grupo.

2. Calcula, para cada grupo, la media del número que calzan. Después, calcula la media del número que calza el conjunto de alumnos de la clase.

Media chicas = 39,26; media chicos = 42,33; media total = 40,45

3. Elabora con Excel un gráfico de barras para cada grupo que muestre la información del número que calzan.

4. Estos gráficos muestran la altura de los chicos y las chicas de esta clase.

a) Elabora la tabla de frecuencias de las alturas de cada grupo.

b) Piensa una forma de calcular de modo aproximado la media de las alturas de cada grupo.

a)

b) Escogiendo el punto medio de cada intervalo como dato. Media chicas = 159,87 cm; media chicos = 165,83 cm.

Chicas Chicos

N.º de pie Cantidad N.º de pie Cantidad N.º de pie Cantidad N.º de pie Cantidad

37 2 42 2 37 42 2

38 5 43 38 43

39 5 44 39 1 44 2

40 2 45 40 1 45 1

41 3 46 41 3 46 1

Total 19 Total 12

Chicos Chicas

Altura (cm) Cantidad Altura (cm) Cantidad Altura (cm) Cantidad Altura (cm) Cantidad

[150, 155) [165, 170) 2 [150, 155) 5 [165, 170) 2

[155, 160) 1 [170, 175) 2 [155, 160) 4 [170, 175) 1

[160, 165) 6 [175, 180) 1 [160, 165) 7 [175, 180)

Total 12 Total 19


% e

uri

bo

r

2,262,09

1,98

2,24 2,312,43 2,39

2,30 2,37 2,31 2,30 2,36

1,5

2,0

2,5

3,0

2,29 2,34 2,362,21 2,17

2,082,20 2,21

2,32

2,55

2,77 2,84

1,5

2,0

2,5

3,0

% e

uri

bo

r

Ene. Feb. Mar. Abr. Mayo Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic.

2004 2005

Ene. Feb. Mar. Abr. Mayo Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic.

9.60. Hipotecas y euribor

Los gráficos muestran la variación del euribor a lo largo de los años 2004 y 2005.

El interés que ofrece una entidad financiera suele ser el interés del euribor más una cantidad fija. El valor del interés se actualiza cada 12 meses, de acuerdo con el valor del euribor en ese mes.

1. Juana tiene contratada una hipoteca con Caja Express a 20 años por valor de 90.000 €. Cada mes de junio le revisan el interés. El valor del interés hipotecario que da esta caja es el siguiente: euribor + 0,80.

a) ¿Cuál fue el interés de su hipoteca en junio de 2004? ¿Y en junio de 2005?

b) La tabla muestra el valor de las mensualidades de la hipoteca de acuerdo con el interés fijado por el banco. El cálculo se ha hecho sobre una hipoteca de 6.000 € a 20 años.

¿Cuánto pagó por la hipoteca en junio de 2004? ¿Y en junio del año siguiente?

Nota: Dado un interés, el valor de la hipoteca y la mensualidad son proporcionales.

a) Junio 2004: 2,43 + 0,80 = 3,23%. Junio 2005: 2,88% b) Junio 2004: 508,20 €. Junio 2005: 494,70 €

2. Francisco tiene contratada con Banca Dinerillo una hipoteca a interés variable vinculada al euribor. La revisión se efectúa en septiembre. El interés que le cobraron en septiembre de 2004 era del 3,07%. ¿Qué interés le cobraron en septiembre de 2005?

El 3,02%

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

9.61. La pluviosidad

La tabla muestra la pluviosidad de ocho poblaciones a lo largo de siete años.

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Media

Alicante 450 280 375 472 361 657 529 446,29

Barcelona 465 484 522 412 425 937 578 546,14

Cáceres 536 357 326 712 444 677 667 531,29

Huesca 1.007 805 678 617 613 1.195 1.189 872

Lugo 543 482 249 542 739 571 742 552,57

Sevilla 468 470 710 555 461 721 638 574,71

Toledo 444 198 385 373 325 352 497 367,71

Zamora 469 352 453 601 389 736 733 533,29

1. Calcula en tu cuaderno las medias de estos siete años de Alicante y Lugo.

Alicante: 446,29 mm. Lugo: 552,57 mm

2. Considera que la pluviosidad de las poblaciones estudiadas es representativa de la comunidad autónoma a la que pertenecen. Ordena las ocho comunidades autónomas indicadas de más seca a más húmeda.

Castilla-La Mancha, C. Valenciana, Extremadura, Castilla y León, Cataluña, Galicia, Andalucía y Aragón.

Valor hipoteca de 6.000 € a 20 años

Interés Mensualidad

2,90 32,98 €

3,00 33,28 €

3,10 33,58 €

3,20 33,88 €


3. De todos los años, ¿cuál crees que ha sido el más seco? ¿Y el más húmedo?

2004 y 2008, respectivamente

4. Crea con Excel el diagrama de barras de las lluvias caídas en Toledo en este período.

5. La media anual de precipitaciones en Barcelona entre los años 1961 y 1990 fue de 620 mm. ¿Por qué crees que este valor difiere del que muestra la tabla?

Porque entre estas fechas hay 30 años, y entre las de la tabla solo hay 7, por lo que no se puede comparar una media con la otra al haber datos de pocos años respecto al primer estudio.

6. Observa la media de Lugo.

a) ¿Qué diferencia hay entre la media y el valor máximo?

b) ¿Qué diferencia hay entre la media y el valor mínimo?

a) 186,43 mm b) 303,67 mm

7. En el año 2008, en Sevilla hubo 113 días de lluvia, y en Huesca, 106. Calcula en cada caso la lluvia media caída por día de lluvia.

Sevilla: 721 : 113 = 6,38 mm/día de lluvia; Huesca: 1.195 : 106 = 11,27 mm/día de lluvia

8. Este gráfico corresponde a las precipitaciones mensuales de Cáceres del año 2006.

a) El 2006 fue un año seco. En cambio, en Cáceres, de los siete años registrados, fue el que tuvo más lluvia. ¿Cuál puede ser la razón?

b) Estas son las lluvias registradas en octubre en Cáceres entre los años 2003 y 2009.

Calcula la media y la mediana de las lluvias caídas en el mes de octubre en estos años. ¿Cuál crees que da un valor más aproximado de la cantidad de agua caída?

a) Porque hubo un mes en el que se registraron lluvias muy por encima de la media del resto de meses.

b) Media = 88,29 mm. Mediana = 53 mm. La mediana, porque hay un valor aislado del resto.

9. Las unidades más utilizadas para medir las precipitaciones son el milímetro (mm) y los litros por metro cuadrado (L/m2).

a) Un meteorólogo nos dice que han caído 26 L/m2. Imagina un recipiente de base cuadrada y de superficie 1 m2. ¿A qué nivel llegará el agua si vertemos 26 L?

b) ¿Qué relación existe entre milímetros de lluvia y litros de lluvia por metro cuadrado?

a) 26 L = 26 dm3 = 0,026 m3. Llegará a una altura de 0,026 m = 26 mm.

b) x L/m2 indican que la lluvia que cae sobre un recipiente de 1 m2 de base alcanza los x mm de altura.

Año 03 04 05 06 07 08 09

mm 9 14 24 373 53 57 88

Pluviosidad Cáceres (2006)

Ene.

Meses

Feb. Mar. Abr. Mayo Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic.0

Prec

ipita

ción

(m

m)

50

150

400

100

250200

350300

58

027 45

5835

2 16 5

373

43 50


0

N.º

usu

ario

s

1

16Estancia en el gimnasio

Tiempo (h)

4

12

8

2 3 4 5

AUTOEVALUACIÓN

9.1. Un gimnasio ha preguntado a sus socios el número de horas que pasan en él. El diagrama muestra los resultados.

a) ¿Cuántas personas pasan tres horas o más en el gimnasio?

b) ¿Cuántas personas pasan dos horas en el gimnasio?

c) ¿Cuántas personas han sido encuestadas?

d) Indica las frecuencias absoluta y relativa de las personas que pasan 4 h.

a) 12 b) 9 c) 35 d) Frecuencia absoluta: 4. Frecuencia relativa: 0,114

9.2. Carmen ha sacado estas notas en una evaluación de sociales. 4, 5, 7, 3, 8, 4, 6, 2, 4, 6

Calcula:

a) La media b) La mediana c) La moda

a) 4,9 b) 4,5 c) 4

9.3. Hemos preguntado los colores favoritos a los alumnos de una clase. Los resultados son:

Amarillo ///// /

Rojo ///// ///// /

Azul ///// ////

Verde ////

Representa en una tabla las frecuencias absolutas y relativas de cada valor.

Dato Frec. abs. Frec. rel. %

Amarillo 6 0,2 20

Rojo 11 0,37 37

Azul 9 0,3 30

Verde 4 0,13 13

9.4. Indica tres posibles sucesos de lanzar un dado cúbico numerado del 1 al 6.

Par, menor que 4, múltiplo de 3

9.5. Sacamos una bola de esta urna.

a) ¿Qué es más probable, que la bola que saquemos sea roja o verde?

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola azul?

a) Verde b) 0


APRENDE A PENSAR… CON MATEMÁTICAS

Cajas mágicas

Tenemos tres cajas: una contiene dos bolas rojas; otra, dos bolas azules, y la última, una bola roja y una bola azul. Cada caja tiene una etiqueta identificativa: RR, AA, RA, pero se han puesto de forma equivocada, de manera que ninguna caja contiene lo que indica su etiqueta. ¿Cómo deducirías el contenido de cada caja sacando únicamente una bola de una caja?

Sacamos una bola de la caja rotulada RA:

Si es roja, como el rótulo es incorrecto, debe ser la caja con dos rojas. Por tanto, la caja rotulada con AA no puede tener ni dos rojas, ni tampoco dos azules, así que tiene una roja y una azul. Finalmente, la rotulada con RR tendrá dos azules.

Si es azul, como el rótulo es incorrecto, debe ser la caja con dos azules. Por tanto, la caja rotulada con RR no puede tener ni dos rojas, ni tampoco dos azules, así que tiene una roja y una azul. Finalmente, la rotulada con AA tendrá dos rojas.

Estado civil

La población masculina mayor de edad de una ciudad está compuesta por 100 hombres. De ellos, 52 están casados en primeras o segundas nupcias, 32 son solteros, 15 son viudos y 5 están separados. ¿Cuántos hombres viudos están casados en segundas nupcias?

Los que seguro que no están casados son los solteros y los separados, que hacen 37. Pero sabemos que 100 – 52 = 48 no están casados, así que faltan 11 viudos no casados. Los otros 4 viudos están casados en segundas nupcias.

Del 1 al 7

Coloca los números del tablero de manera que nunca coincidan dos números iguales ni en la misma columna ni en la misma fila.

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6

7 7 7 7 7 7 7

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 1

3 4 5 6 7 1 2

4 5 6 7 1 2 3

5 6 7 1 2 3 4

6 7 1 2 3 4 5

7 1 2 3 4 5 6


Resolución de problemas ACTIVIDADES

1. Un tendero compra 12 cajas de botes de leche en polvo; 7 de ellas son de leche entera, y el resto, de descremada. En cada caja hay 24 botes. Las cajas de leche descremada le han costado 474 €, y las de leche entera, 652 €. El tendero vende el bote de leche entera a 4 €, y el de descremada, a 4,25 €. ¿Cuánto dinero gana con la venta de todas las cajas? ¿Con qué tipo de leche gana más dinero?

Averigüemos el precio de compra de cada bote de leche:

Leche entera: 652 : (7 · 24) = 3,88 €. Leche descremada: 474 : (5 · 24) = 3,95 €

En cada bote de leche entera gana 0,12 €, y en cada uno de descremada, 0,30 €, así que gana más dinero con la descremada.

El dinero ganado con la venta de todas las cajas será 7 · 24 · 0,12 + 5 · 24 · 0,30 = 56,16 €.

2. Un agricultor tiene 3 terrenos con manzanos. El primer terreno mide 1,4 ha; el segundo, 2.500 m2, y el tercero, 40 dam2. Si por cada 10 m2 obtiene 40 kg de manzanas, ¿cuántos kilogramos obtendrá de todos los terrenos? Nota: Recuerda que solo podemos operar con medidas tomadas en la misma unidad.

Las medidas de los terrenos son 14.000, 2.500 y 4.000 m2, respectivamente.

Obtendrá (14.000 + 2.500 + 4.000) · 4 = 82.000 kg de manzanas.

3. De una garrafa de 20 L de aceite queremos llenar botellas de 3

4 de litro. La garrafa nos ha

costado 58 €, y cada envase de botella de aceite de 3

4 de litro vale 0,40 €. Por cada litro de

aceite queremos ganar 1,50 €. ¿A cuánto tenemos que vender cada botella de aceite?

Necesitaremos (20 : 0,75 = 26,67) 26 envases para rellenar completamente con aceite. El gasto será de 58 + 26 · 0,4 = 68,40 €, al vender 26 · 0,75 = 19,5 L de aceite; es decir, en total, cada litro de aceite nos ha costado 68,4 : 19,5 = 3,51 €. Si queremos ganar 1,50 € en cada litro, deberá costar 5,01 €/L y, por tanto, cada botella costará 3,76 €.

4. Un globo vuela a una altura de 420 m sobre el nivel del mar. Si cada segundo baja 4 m, ¿cuánto tardará en llegar a un lugar que está a 240 m sobre el nivel del mar?

420 – 240 = 180 m debe bajar. 180 : 4 = 45 segundos tardará en llegar.

5. La suma de dos números separados por dos unidades es 104. ¿Cuáles son estos números?

Tanteamos: 50 + 52 = 102; 51 + 53 = 104. Los números son 51 y 53.

6. Un número y su triple suman 100. ¿Qué números son?

Tanteamos: 20 + 60 = 80; 30 + 90 = 120; 25 + 75 = 100. Los números son 25 y 75.

7. Un número multiplicado por su triple da 108. ¿Qué número es?

Tanteamos: 5 · 15 = 75; 6 · 18 = 108. El número es 6.

8. Juan tiene el triple de postales que Carmen, y Carmen tiene 12 postales menos que Juan. ¿Cuántas postales tiene cada uno?

Tanteamos, siendo el primer número las postales de Juan. 12 y 4; 15 y 5; 18 y 6. Juan tiene 18 postales y Carmen tiene 6 postales.


9. Tenemos una alambrada de 210 m de longitud. La queremos cortar en cuatro trozos para poder cerrar los lados de un terreno rectangular que tiene una superficie de 2.700 m2. ¿De qué longitud tenemos que cortar los trozos de alambrada?

Buscamos dos números cuya suma sea 105 y cuyo producto sea 2.700. Tantearemos con parejas que cumplan la condición de la suma, y buscaremos aquella que cumple también la del producto: 30 · 75 = 2.250; 40 · 65 = 2.600; 45 · 60 = 2.700. Los lados deben medir 45 y 60 m.

10. Busca un número que multiplicado por su mitad dé 162.

Tanteamos: 20 · 10 = 200; 18 · 9 = 162. El número buscado es 18.

11. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos es 509. ¿De qué números se trata?

Tanteamos: 102 + 112 + 122 = 365; 122 + 132 + 142 = 509. Los números son 12, 13 y 14.

12. Rosa tiene sellos americanos y japoneses. En total tiene 80. Sabemos que el número de sellos americanos triplica el de japoneses. ¿Cuántos sellos tiene de cada país?

Tanteamos: 30 + 10 = 40; 60 + 20 = 80. Tiene 60 americanos y 20 japoneses.

13. En la decoración de una cocina queremos usar azulejos de tres colores para hacer una cenefa como esta. Si cada azulejo ocupa 20 cm, ¿cuántos azulejos necesitaremos para hacer una cenefa de 4 m? ¿Cuántos azulejos de cada color emplearemos?

400 : 20 = 20 azulejos centrales. Como por cada dos centrales hay otros dos, uno encima y otro debajo, se necesitarán en total 40 azulejos, de los cuales 20 serán verdes, 10 azules y 10 naranjas.

14. Un técnico a domicilio cobra por desplazamiento 15 €, y por cada hora o fracción de trabajo, 18 €. Expresa el coste de las facturas en función de las horas trabajadas.

Si C es el coste, y n, el número de horas, C = 15 + 18 · n.

15. Un zoológico tiene esta tarifa anual: 25 € de inscripción y 20 € de cuota anual. Expresa el coste en función de los años que hace que se es socio.

Si C es el coste, y a, el número de años que hace que se es socio, C = 25 + 20 · a.

PROBLEMAS

16. Mesas

Agrupamos las mesas del comedor del instituto en una doble hilera tal como muestra la figura.

Añadimos mesas de 2 en 2 cada vez. ¿Cuántos alumnos podrán sentarse en 20 mesas agrupadas de esta manera?

Son 16 mesas centrales con 2 alumnos cada una y 4 mesas laterales con 3 alumnos cada una, así que 16 · 2 + 4 · 3 = 44 alumnos.


17. Votaciones parlamentarias

Para aprobar una ley en el Parlamento, el Gobierno necesita el apoyo de 3

5 de los diputados.

El partido del Gobierno sólo tiene asegurados 5

9 de los diputados, los correspondientes a su

partido. Sabiendo que el Parlamento tiene 360 diputados, ¿cuántos votos de más necesitará?

3 5 2

5 9 45− = de los diputados necesita, que son

2

45de 360 = 16 diputados más.

18. Virus informático

Mi ordenador tiene un virus. Durante el primer día destruye 1

2 del espacio total del disco;

durante el segundo, 1

3 de lo que quedaba, y durante el tercero,

1

4 de lo que había dejado el día

antes. ¿Qué parte del disco aún no está malograda?

1 1 1 1 1 9· ·

2 3 2 4 3 12+ + = del disco ha infectado. Queda aún

1

4 del disco sin malograr.

19. Centro deportivo

Un centro deportivo cobra 30 € por la matrícula de inscripción, y 20 € mensuales.

a) Encuentra la fórmula que expresa el coste en función de los meses.

b) Una persona que hace 15 meses que está inscrita, ¿cuánto habrá pagado?

a) y = 30 + 20x b) y = 30 + 20 · 15 = 330 €

20. Compras

Ramón, Marta y Rosa han hecho estas compras:

– Ramón ha comprado una libreta, un boli y un sacapuntas por 11,40 €.

– Marta ha comprado dos libretas y un boli por 16,60 €.

– Rosa ha comprado dos libretas, un boli y un sacapuntas por 17,40 €.

¿Cuánto vale cada objeto?

Un sacapuntas valdrá 17,40 – 16,60 = 0,80 €. Una libreta valdrá 17,40 – 11,40 = 6 €, y finalmente, un boli vale 16,60 – 12 = 4,60 €.

21. Túnel ferroviario

Un tren de transporte de mercancías de 1 km de largo viaja a 60 km/h. ¿Cuánto tiempo pasa desde que vemos que el tren entra en el túnel, de 1 km de largo, hasta que sale el último vagón del túnel?

El tren recorre 1 km en 1 minuto, así que la locomotora saldrá del túnel al cabo de 1 minuto, pero la cola tardará otro minuto más, es decir, 2 minutos en total.

22. La cerca de una casa

Alrededor de una casa, y a 10 m de esta, se construye una cerca. Se han usado 720 m de cerca. ¿Qué dimensiones tiene la planta de la casa si sabemos que es cuadrada?

720 : 4 = 180 m de cerca en cada lado, luego la casa tiene 160 m de lado.


23

6 7

41

8 5

23. Torneo de baloncesto

En un torneo de baloncesto participan 32 equipos. Los equipos van jugando de dos en dos, y el que gana se enfrenta a otro que también ha ganado. En la última fase, cuando queda 1 grupo de 4 equipos, juegan todos contra todos, y los dos equipos que han obtenido más puntos juegan la final del campeonato a un solo partido. ¿Cuántos partidos se han jugado en este torneo?

Primera fase: 16 partidos Segunda fase: 8 partidos Tercera fase: 4 partidos

Última fase: 6 partidos Final: 1 partido

Por tanto, en total se jugarán 35 partidos.

24. Marcos de foto

Debes hacer el marco de 5 fotos que miden 0,40 m de anchura y 65 cm de longitud. En la tienda hay tres medidas de listones: de 1,50 m, de 1,80 m y de 1,90 m. ¿De qué medida cogerás los listones si quieres aprovechar al máximo el material? ¿Y cuántos necesitarás?

Cogeremos 4 listones de 1,80 m y 2 de 1,90 m.

De cada uno de los de 1,80 m obtenemos 1 parte de 0,40 m y 2 de 65 cm, sobrando 10 cm.

De cada uno de los de 1,90 m obtenemos 3 partes de 0,40 m y 1 de 65 cm, sobrando 5 cm.

25. Depósitos de agua

En un pueblo han llenado 5 depósitos con agua de lluvia. Cada uno tiene una capacidad de 1.350 L. Usan el agua para regar el parque, y gastan 230 L diarios. ¿Cuántos días podrán regar con el agua de los depósitos?

(5 · 1.350) : 230 = 29,34 días. Es decir, ya no tienen agua suficiente en el día 30.

26. Folletín

Se quiere hacer un folletín doblando una hoja primero horizontalmente y después verticalmente. A continuación se corta y se grapa.

Si queremos numerar las páginas antes de doblar, ¿qué numeración debería poner por delante y por detrás, y dónde se debería colocar si en el folletín final la numeración tiene que aparecer siempre en el margen inferior derecho?

Delante Detrás


27. Estantería

Un carpintero hace una estantería que se debe colocar en un espacio que tiene 1,20 m de ancho. La madera mide 2,5 cm de grosor, y queremos poner 4 maderas verticales para separar los diferentes estantes. ¿Cuál será la medida de la anchura de cada estante?

Disponemos de un espacio de 120 – 4 · 2,5 = 110 cm. Luego 110 : 3 = 36,66, es decir, los estantes deben medir 36,66 cm de ancho.

28. Multas por exceso de velocidad

El límite de velocidad en una autopista es de 120 km/h. Si sobrepasas este límite, te cobran una cantidad fija de 200 € más una cantidad variable en función del exceso de velocidad detectado. Si sobrepasas un 10% el límite de velocidad, te cobran un plus de 60 €, y si lo sobrepasas un 20%, te cobran un plus de 180 €.

a) Un coche que iba a 133 km/h, ¿qué multa debe pagar?

b) ¿Y uno que iba a 130 km/h?

a) 133 km/h sobrepasa más de un 10% la velocidad máxima, luego pagará 200 + 60 = 260 €.

b) 130 km/h no llega a sobrepasar un 10% la velocidad máxima, luego pagará 200 €.

29. Números de teléfono

¿Cuántos números de teléfono diferentes se pueden hacer con 4 cifras? ¿Y con 5? ¿Y con 8?

Con 4 cifras, 104 = 10.000 números. Con 5 cifras, 105 = 100.000. Y con 8 cifras, 100.000.000.

30. Preparación de yogures

Con una botella de 1 L de leche y un yogur hago 8 yogures. ¿A qué precio me ha costado el litro de leche si los yogures me salen a 0,25 € cada uno, y el yogur que he utilizado para hacer fermentar la leche vale 0,55 €?

(precio de la leche + 0,55) : 8 = 0,25 → El precio de la leche debe ser 8 · 0,25 – 0,55 = 1,45 €.

31. Placas fotovoltaicas

Una placa fotovoltaica de 0,4 m2 produce 50 vatios en una hora. En una casa hay instaladas placas solares que ocupan una superficie de 100 m2. La compañía eléctrica paga el kilovatio-hora a 0,45 €. ¿Cuánto dinero ganan en un día que ha hecho 8 h de sol?

Las placas instaladas producirán en 1 hora 50 · (100 : 0,4) = 12.500 vatios-hora. Luego en 8 horas, 100.000 vatios-hora = 100 kilovatios-hora. Ganarán, por tanto, 45 €.

32. Apretones de manos

En una reunión de 30 personas, todas se dan la mano. ¿Cuántos apretones de manos habrá?

Cada persona saluda a 29 personas, pero cada saludo implica a 2 personas, por lo que habrá 30 · 29

2= 435 apretones.

33. Diagonales de un polígono

En un cuadrado se pueden hacer 2 diagonales.

a) ¿Cuántas diagonales se pueden hacer en un polígono de 5 lados?

b) ¿Y en un polígono de 12 lados?

a) 5 b) 54


34. Jardines

En un pueblo hay 4 jardines iguales de forma rectangular. Se quiere cerrar la zona donde están las plantas, de verde en la figura. ¿Para qué jardín se necesita una cerca más larga?

Para el tercero

35. Construcción de una escalera

Un arquitecto dibuja una escalera para ir de la planta baja de un edificio al primer piso. La separación entre las dos plantas es de 3,05 m. Asimismo, la altura de los escalones es de 18 cm.

a) ¿Cuántos escalones tendrá la escalera?

b) ¿A la altura de qué escalón se deberá abrir un agujero en el techo de la planta baja para poder pasar bien una persona cuando sube la escalera, si desde el escalón al techo tiene que haber un mínimo de 2,1 m?

a) 305 : 18 = 16,94. Luego tendrá 17 escalones.

b) 210 : 18 = 11,66. Luego a la altura del escalón número 12 desde la parte superior, es decir, el quinto desde abajo.

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate, M.ª Ángeles Anaya, Rafaela Arévalo, José Luis González, Rafael A. Martínez Edición: Pedro Machín, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: R. Aranda, Modesto Arregui, IDEM, Félix Moreno, A. Muñoz, José Santos Fotografía: Javier Calbet, Sonsoles Prada, Fidel Puerta, Sergio Cuesta, Yolanda Álvarez, José Manuel Navia / Archivo SM; Olimpia Torres; Norbert Tomàs; Luis Castelo; Javier Jaime; Montse Fontich; Oliver Boé; Peter Rey; Almudena Esteban; Pedro Carrión; Kevin Peterson; Andrew Ward; Doug Menuez; Nick Koudis; Ryan McVay; Nancy R. Cohen; John Wang; Robert Glusic. Martial Colomb, Russell Illig, Edmond van Hoorick, Hisham F. Ibrahim, PHOTOLINK, STOCK-TREK / PHOTODISC; Gerard Launet / PHOTOALTO; SUPERSTOCK / AGE PHOTOSTOCK; CORBIS / CORDON PRESS; LAIF / LATINSTOCK; CONTACTO; ÍNDEX; PAISAJES ESPAÑOLES; PRISMA; cmcd; DIGITAL VISION; SPAINSTOCK; BARRES FOTONATURA; JOHN FOX IMAGES; GETTY IMAGES; ITSTOCK; CARTESIA; PHOVOIR; Editorial Alpina; Instituto Geogáfico Nacional Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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