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¡Matemáticas!

Conjuntos

Primera edición

Versión beta

Noviembre de 2011

ii Conjuntos

¡Matemáticas!

Conjuntos Primera edición

Versión beta

Noviembre de 2011

Documento gratuito

www.nacho.unicauca.edu.co

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Algunas páginas de este documento electrónico se han dejado en blanco

intencionalmente para efectos de impresión en papel.

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mailto:[email protected]

En este documento casi no hay nada original. Quizás alguien note algún sutil rasgo de

originalidad en mi visión de algunos aspectos de las matemáticas, o en la forma de

presentarlas.

Pero lo cierto es que prácticamente todo lo que aquí escribí lo tomé de, o se basa en, libros,

apuntes, páginas de internet, etc. Quizás lo único que finalmente logré fue efectuar una muy

mala reproducción de cosas bien planteadas en otras fuentes. Mis disculpas y mi

reconocimiento a todos los autores de esas fuentes.

Por lo anterior, y por otras razones, de ninguna manera presentaré este documento para

efectos de reconocimiento como “productividad académica” o “producción intelectual” ante

la universidad para la cual trabajo. En cambio, estará disponible como documento gratuito

para todo aquel que desee conocerlo o utilizarlo, o ambos.

Hacer las cosas de ese modo tiene su costo: No figuraré en las bases de datos de mi

universidad como autor de nada, nunca seré Profesor Titular, y mi sueldo no se

incrementará como yo quisiera.

Pero, por otro lado, hacer las cosas de ese modo tiene su recompensa: No tengo que

presentar ningún proyecto de lo que quiero escribir y no estoy sometido a compromisos,

plazos ni informes. Ningún evaluador secreto recomendará acogerme al manual de autores

de algún medio de publicación, ni escribir en estilo impersonal, ni modificar algún título, ni

cambiar alguna palabra que considere inapropiada, ni utilizar el usual estilo académico,

muy elegante pero también muy acartonado. Tampoco tengo que aceptar las sugerencias de

ninguna editorial como, por ejemplo, utilizar fuentes de 10 puntos o menos para bajar costos

de impresión, o evitar el uso del color y procurar que las imágenes sean pequeñas para

economizar. Todo esto con el beneficio adicional de que no tengo que hacer ningún

“lanzamiento” de mi “obra”, ni hacer tediosas gestiones de difusión aquí y allá. Basta hacer

un clic con el botón izquierdo del ratón y el material está de inmediato en la maravillosa

internet, disponible para quien desee, como ya dije, conocerlo o utilizarlo, o ambos.

La mejor recompensa es la de que puedo disfrutar del placer de escribir con plena libertad,

en los momentos que escoja, en las condiciones que me plazca, sin estrés ni presiones.

iv Conjuntos

Prefacio

La discusión matemática de los conjuntos puede considerarse como una muestra

elemental e ilustrativa, entre varias posibles, de la naturaleza de las matemáticas. En

efecto, tal discusión le dará a usted la oportunidad de experimentar un primer

acercamiento a la forma bastante particular en que los matemáticos tratan los asuntos

que les conciernen. En particular, tendrá la ocasión de familiarizarse con los aspectos

técnicos del método estándar de las matemáticas. Desde el comienzo, reconocerá el

lenguaje con el cual se comunican los matemáticos y confirmará que no es otro sino

el lenguaje de la lógica. De hecho, constatará el uso intensivo de ciertos tipos de

argumentos válidos en la elaboración continua de razonamientos propios de las

matemáticas. Todo esto se revelará ante usted como una asombrosa fuente de

complejas ideas construidas a partir de conceptos extremadamente elementales.

Desde otra perspectiva, el tema es de carácter fundamental puesto que en la

actualidad prácticamente todas las áreas de las matemáticas hacen uso, más o menos

extenso, del lenguaje, la notación y los resultados básicos en relación con los

conjuntos.

La forma en que presento el tema en este documento presupone el conocimiento del

documento anterior titulado ¡Matemáticas! – Lógica. En particular, presupone el

conocimiento de las reglas de inferencia, incluida su nomenclatura, presentadas allí.

Como una pequeña novedad, utilizo la denominada “Tumba de Halmos” (un pequeño

cuadrado “□” que indica la finalización de la demostración de un teorema) en forma

un tanto liberal: indicar la finalización de todo bloque de texto que, a semejanza de

las demostraciones de teoremas, exprese la justificación total no solo de teoremas

sino también de ejemplos.

Contenido

Prefacio ................................................................................................................... v

1. El concepto de conjunto ................................................................................... 1

1.1. Conjuntos ............................................................................................................................................... 1

1.2. Elementos .............................................................................................................................................. 1

1.3. Formas de definir un conjunto ............................................................................................................... 2

1.4. Igualdad de conjuntos ............................................................................................................................ 4

1.5. El conjunto vacío ................................................................................................................................... 6

1.6. Conjuntos unitarios ................................................................................................................................ 7

1.7. Parejas .................................................................................................................................................... 7

1.8. Ternas .................................................................................................................................................... 8

1.9. Diagramas de Venn ................................................................................................................................ 8

1.10. Ejercicios ............................................................................................................................................... 9

John Venn .......................................................................................................................................................... 11

El símbolo del conjunto vacío ............................................................................................................................ 12

2. Inclusión ......................................................................................................... 15

2.1. Inclusión .............................................................................................................................................. 15

2.2. Propiedades básicas de la inclusión ..................................................................................................... 17

2.3. Inclusión propia ................................................................................................................................... 18

2.4. Pertenencia e inclusión ........................................................................................................................ 19

2.5. Conjuntos universales .......................................................................................................................... 20

2.6. Ejercicios ............................................................................................................................................. 21

Aunque usted no lo crea ..................................................................................................................................... 22

3. Colecciones .................................................................................................... 23

3.1. Colecciones .......................................................................................................................................... 23

4. Conjuntos de partes ........................................................................................ 27

4.1. Conjuntos de partes .............................................................................................................................. 27

4.2. Ejercicios ............................................................................................................................................. 28

5. Unión ............................................................................................................. 31

5.1. Unión ................................................................................................................................................... 31

5.2. Propiedades básicas de la unión ........................................................................................................... 34

5.3. Otras propiedades de la unión .............................................................................................................. 42

5.4. Uniones generalizadas ......................................................................................................................... 46

5.5. Ejercicios ............................................................................................................................................. 49

vii Contenido

6. Intersección .................................................................................................... 51

6.1. Intersección .......................................................................................................................................... 51

6.2. Propiedades básicas de la intersección ................................................................................................. 54

6.3. Dos leyes distributivas .......................................................................................................................... 59

6.4. Intersecciones generalizadas ................................................................................................................. 63

6.5. Ejercicios .............................................................................................................................................. 66

7. Diferencia ....................................................................................................... 69

7.1. Diferencia ............................................................................................................................................. 69

7.2. Ejercicios .............................................................................................................................................. 76

8. Diferencia simétrica ....................................................................................... 79

8.1. Diferencia simétrica .............................................................................................................................. 79

8.2. Propiedades de la diferencia simétrica .................................................................................................. 82

8.3. Ejercicios .............................................................................................................................................. 91

9. Complementación .......................................................................................... 95

9.1. Complementación ................................................................................................................................. 95

9.2. Propiedades de la complementación ..................................................................................................... 98

9.3. Ejercicios ............................................................................................................................................ 107

10. Producto cartesiano ...................................................................................... 109

10.1. Parejas ordenadas ............................................................................................................................... 109

10.2. Producto cartesiano ............................................................................................................................ 111

10.3. –tuplas ordenadas ............................................................................................................................ 114

10.4. Producto cartesiano generalizado ....................................................................................................... 116

10.5. Ejercicios ............................................................................................................................................ 118

Respuestas a los ejercicios .................................................................................. 121

1. El concepto de

conjunto

1.1. Conjuntos Los seres humanos adquirimos intuitivamente el concepto de conjunto cuando

observamos un rebaño de ovejas en una pradera, o una bandada de pájaros volando, o

un banco de arenques en el mar, o un grupo de ciclistas pedaleando por una carretera,

o una multitud de árboles en un bosque, o un grupo de estudiantes en un salón

asistiendo a clase, etc.

Intuitivamente, un conjunto es una agrupación, o colectividad, o totalidad, o

congregación, de objetos de cualquier naturaleza.

Letras como , , , … representarán conjuntos. Eventualmente, otros tipos de

símbolos podrán también representar conjuntos. Por ejemplo, un poco más adelante

usaremos letras como A ,B ,C, … para representar cierto tipo de conjuntos.

1.2. Elementos Cada uno de los objetos que constituyen un conjunto se denomina un elemento (o un

miembro) de dicho conjunto. El símbolo

significa que es un elemento de . Por su parte, el símbolo

significa que no es un elemento de . La relación entre objetos y conjuntos

simbolizada por se denomina la relación de pertenencia y el símbolo se llama el

símbolo de pertenencia.

En lugar de la expresión “ es un elemento de ” se usan también las siguientes:

es un miembro de

2 Conjuntos

pertenece a

está en

posee a

está contenido en

contiene a

No es muy recomendable el uso de las dos últimas expresiones ya que más adelante

usaremos las palabras “contenido” y “contiene” con otro sentido.

Ortografía matemática: El símbolo de pertenencia

Observe con atención el símbolo de pertenencia:

Note que tiene la forma de una herradura abierta hacia la derecha con una barrita adicional

en el centro. Es como la cabeza de un tridente. No debe confundirse con ninguno de los

dos símbolos

los cuales son dos versiones de la letra griega épsilon que también se usa en matemáticas

pero con otros fines. Tampoco debe confundirse con la letra “e” mayúscula:

E Si usted se está preguntando qué tienen que ver estas observaciones con el tema en

discusión, considere lo siguiente: ¿Qué tal si todos tuviésemos la libertad de escribir los

símbolos matemáticos como nos gustase a cada uno? ¡Las matemáticas se convertirían en

una torre de Babel! Tenemos que procurar escribir los símbolos matemáticos lo mejor que

podamos, aproximándonos cuanto podamos a su forma correcta. En otras palabras, quizás

le resulte inesperado pero el lenguaje escrito de las matemáticas tiene su propia ortografía.

1.3. Formas de definir un conjunto

Hay dos formas de definir un conjunto. La primera se denomina por extensión. Se

dice que un conjunto se define por extensión cuando se hace un listado explícito de

todos sus elementos. Estos se escriben entre llaves separados por comas. Por ejemplo,

Correcto

Incorrectos

Incorrecto

3 1. El concepto de conjunto

es un conjunto definido por extensión. La segunda se denomina por comprensión o

por abstracción. Se dice que un conjunto se ha definido por comprensión cuando sus

elementos, en lugar de listarse explícitamente, se especifican mediante una condición

que los caracteriza. Por ejemplo,

es un conjunto definido por comprensión. Observe la forma en que está escrito este

símbolo: Dentro de un par de llaves se escriben sucesivamente una variable (en este

caso ), dos puntos y, finalmente, la condición que caracteriza los elementos del

conjunto escrita en forma de proposición abierta en dicha variable (en este caso “x es

uno de los evangelistas”). En lugar de los dos puntos también se usa una barrita

vertical:

Note que la intuición nos dice que el conjunto es

en realidad el mismo conjunto . En efecto, se trata del

mismo conjunto definido de dos maneras distintas. Algo así no siempre es posible. Lo

cierto es que la mayoría de conjuntos solo pueden definirse por comprensión. Por

ejemplo, el conjunto

es un conjunto definido por comprensión, pero que no puede definirse por extensión

por la sencilla razón de que ¡posee una cantidad infinita de elementos! y por tanto es

imposible para nosotros hacer un listado explícito de todos esos elementos. No

obstante, en casos como este se hace uso de una notación que parece por extensión

pero que en realidad no lo es y, además, tampoco es por comprensión:

La idea es escribir explícitamente una cantidad suficiente de elementos del conjunto

de tal manera que ellos sugieran cuáles son todos los elementos de dicho conjunto.

Ortografía matemática: La notación de los conjuntos

El uso de paréntesis en modalidad de llaves es obligatorio en la notación de los conjuntos.

Así, el conjunto

no debe escribirse como

Correcto

4 Conjuntos

ni como

ya que estas notaciones, además de ser incorrectas en el caso de los conjuntos, se usan

para otros fines. Igualmente incorrecta es la notación

en la que se han omitido las comas que separan los elementos del conjunto. Estas deben

escribirse en todos los casos.

1.4. Igualdad de conjuntos Dado que lo que finalmente caracteriza a un conjunto son sus elementos y nada más,

la igualdad de conjuntos se define precisamente con base en ese hecho.

Definición Se dice que es igual a , y se escribe

si posee exactamente los mismos elementos que . En caso contrario, se dice que

es diferente de , o que es distinto de , y se escribe

Puesto que el conjunto

posee exactamente los mismos elementos que el conjunto

entonces

Ejemplo

Incorrecto

Incorrecto

Incorrecto


□

El orden en que se escriban los elementos de un conjunto es irrelevante. Así, tenemos

que

También son irrelevantes las repeticiones de elementos:

etc. En consecuencia, una igualdad como

es correcta.

Los tres teoremas siguientes establecen propiedades fundamentales de la relación de

igualdad entre conjuntos.

Teorema (Propiedad reflexiva de la igualdad)

Demostración posee exactamente los mismos elementos que . □

Teorema (Propiedad simétrica de la igualdad)

Si entonces

Demostración Si posee exactamente los mismos elementos que entonces posee

exactamente los mismos elementos que . □

Teorema (Propiedad transitiva de la igualdad)

Si y entonces

Demostración Si posee exactamente los mismos elementos que y posee

exactamente los mismos elementos que entonces los tres conjuntos, , y ,

6 Conjuntos

poseen exactamente los mismos elementos. En particular, posee exactamente los

mismos elementos que . □

1.5. El conjunto vacío

Definición El conjunto vacío es aquel que no posee elementos. Se nota por

cualquiera de los dos símbolos

Lo cierto es que actualmente el símbolo es mucho más utilizado que . Tan solo

ocasionalmente, algunos autores prefieren . Resulta curioso observar que el

símbolo no representa otra cosa sino la definición ¡por extensión! del conjunto

vacío. Por otra parte, también es posible definirlo por comprensión ―en forma por

demás ingeniosa― como

¿Conjunto vacío? ¿Es una broma? ¿Cómo puede ser un conjunto si

no posee elementos?

El papel del conjunto vacío en matemáticas se parece un poco al

del número natural cero. Los números naturales , , , ... , etc., se

originaron en el proceso de contar. Podríamos preguntarnos:

¿Entonces, qué hace el número en la lista de números naturales si

él no se usa para contar? Bueno, la verdad es que, históricamente,

al comienzo los números naturales no incluyeron al cero. Pero más

adelante fue incluido para ciertos propósitos que tienen que ver con el proceso de contar.

Por ejemplo, en el proceso de contar, comenzamos con 1, 2, 3, ... , etc., y después del

sigue el . ¡Ahí está el cero! 10 significa 1 decena y 0 unidades. El cero aquí está

contando el número de unidades que llevamos cuando completamos la primera decena. Y,

de ahí en adelante, el cero está presente, por ejemplo, en cada múltiplo de . Se puede

ver que, en tratamientos rigurosos del concepto de conjunto, el conjunto vacío está

presente en la construcción de muchos conjuntos.

Por otra parte, en matemáticas el conjunto vacío no se entiende como “nada” (como podría

sugerir la palabra “vacío”) sino como “algo” que simplemente no posee elementos. Quizás

una analogía útil es pensar en los conjuntos como en cajas (de cartón, si usted desea) que

contienen a sus propios elementos. En el contexto de esta analogía podemos pensar en el

conjunto vacío como en una caja ... ¡vacía! De este modo, estamos pensando en el

conjunto vacío como en un objeto concreto, una situación muy diferente a la pensarlo

como “nada”. (No obstante, conviene advertir que este tipo de analogías deben tomarse

con cuidado. Por ejemplo, mientras que en el mundo real hay muchas cajas vacías

diferentes, en el mundo de las matemáticas hay un único conjunto vacío.)


1.6. Conjuntos unitarios

Definición Un conjunto se llama unitario (o singular) si posee un único elemento.

Por consiguiente, todo conjunto unitario es de la forma

donde es su único elemento.

es un conjunto unitario. Entonces podemos escribir y afirmar que es el

único elemento del conjunto . □

1.7. Parejas

Definición Una pareja es un conjunto de la forma

donde los objetos y no necesariamente son distintos.

es una pareja que posee exactamente dos elementos:

□

Note que todo conjunto unitario es, al mismo tiempo, ¡una pareja! En efecto:

Aquí no hay ninguna contradicción. La definición de pareja incluye esta posibilidad.

Ejemplo

Ejemplo

8 Conjuntos

1.8. Ternas

Definición Una terna es un conjunto de la forma

donde los objetos , y no necesariamente son todos distintos entre sí.

El conjunto es una terna que posee exactamente tres elementos:

Note que todo conjunto unitario es, al mismo tiempo, una terna. En efecto:

Note también que toda pareja es, al mismo tiempo una terna:

1.9. Diagramas de Venn Resulta útil disponer de una forma general de representar gráficamente los conjuntos.

La posibilidad de visualizarlos, por medio de dibujos, constituye un valioso apoyo a

la intuición. En ocasiones, un dibujo es capaz de sugerir, en forma instantánea y con

claridad meridiana, una idea abstracta, difícil de captar de otra manera, acerca de los

conjuntos.

Un diagrama de Venn (o de Venn–Euler) es una representación gráfica de un

conjunto mediante una región plana limitada por una curva cerrada. Lo usual es que

dicha curva cerrada sea una circunferencia, o una elipse o un rectángulo. Cada punto

de la región plana representa un elemento del conjunto. En particular, cada punto de

la curva que limita dicha región representa un elemento del conjunto. Se acostumbra

escribir la letra que identifica al conjunto en el interior o fuera de la región plana. Así

□

Ejemplo


mismo, las letras que representan elementos del conjunto se escriben cerca de los

puntos respectivos.

La figura siguiente muestra algunos diagramas de Venn:

Diagramas de Venn

1.10. Ejercicios Respuestas

1.

Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa y

justifique su respuesta:

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

j. k. l.

2. De nuevo sea

A

B

C

x

y

z

D

w

10 Conjuntos

Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa y


a. posee exactamente tres elementos que son , y .

b. posee exactamente cuatro elementos que son , , y .

c. posee exactamente dos elementos que son y .

d. posee exactamente tres elementos que son , y

e. posee un único elemento que es .

f. posee un único elemento que es .

3. Sea

(Analice cuidadosamente este pequeño conjunto porque tiene una estructura

complicada.) Para cada una de las afirmaciones siguientes, responda si es

verdadera o falsa y justifique su respuesta:

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

4. De nuevo sea

Para cada una de las afirmaciones siguientes, responda si es verdadera o falsa y


a. tiene en realidad un único elemento que es 1.

b. tiene en realidad exactamente dos elementos distintos que son y .

c. tiene en realidad exactamente tres elementos distintos que son , y

.

d. tiene en realidad exactamente tres elementos distintos que son , y

e. tiene exactamente cuatro elementos distintos que son , , y

.


f. A tiene exactamente cuatro elementos distintos que son , , y

.

John Venn (1834 — 1923) Lógico y matemático

conocido ante todo por los diagramas que

llevan su nombre. Nació y creció en el

seno de una familia británica con sólida

tradición cristiana evangélica. Realizó su

educación secundaria primero en Sir Roger

Cholmley’s School in Highgate y luego en

Islington Preparatory School. En cuanto a

su educación superior, en 1853 ingresó al

Gonville and Caius College Cambridge.

No fue muy buena la primera impresión

que causó ya que no parecía estar

familiarizado con ningún libro en

particular. No obstante, en el segundo año

obtuvo una beca en matemáticas. Se

graduó en 1857 destacándose como uno de

los mejores estudiantes en matemáticas. En

1859, continuando con la tradición

familiar, se ordenó sacerdote. Al parecer,

por esta época, comenzó a interesarse en la filosofía, especialmente en la lógica y la

metafísica. Entre otros autores, se familiarizó con las obras de Boole y De Morgan. En 1862,

retornó a Cambridge University, esta vez como catedrático en ciencias de la moral.

Paralelamente estudió y enseñó lógica y teoría de la probabilidad.

Venn contribuyó a la ampliación de las fronteras de la lógica matemática creada por Boole.

En 1866 escribió Logic of Chance, obra de la cual Keynes destacó tanto su originalidad como

su influencia en el desarrollo de la teoría de la estadística. En 1881 escribió Symbolic Logic

también destacado por Keynes como “probablemente su trabajo más duradero en lógica”. En

1889 publicó The Principles of Empirical Logic.

En 1883 Venn fue elegido miembro de la Royal Society. Ese mismo año Cambridge le otorgó

el título de Sc. D. (Scientiae Doctor). Entonces ocurre un giro tan inesperado como

sorprendente en la vida de Venn. En el mismo 1883, deja el sacerdocio. Sus intereses

cambian radicalmente y se dedica, hasta el momento de su muerte, a la historia. Escribe

varias obras relacionadas con la historia de Cambridge University y de su propia familia.

Algunas de ellas representan un descomunal esfuerzo de cuidadosa y metódica investigación. Hacia 1913, con la ayuda de su hijo John Archibald, Venn se embarcó en la gigantesca empresa de

escribir Alumni Cantabrigienses, trabajo en el que compiló una reseña biográfica de todos y cada uno

de los estudiantes, graduados y empleados administrativos de Cambridge University desde el comienzo

de la institución hasta el año 1900. El primer tomo contenía 76 000 nombres correspondientes al

John Venn

12 Conjuntos

periodo hasta 1751. El segundo tomo, en calidad de manuscrito a la muerte de Venn, correspondiente

al periodo 1752–1900, contenía más de 60 000 nombres.

Se cuenta que Venn poseía, entre otras, una rara habilidad para construir máquinas. En cierta ocasión

construyó una para lanzar bolas de cricket. En 1909, la selección de cricket de Australia visitó

Cambridge y la máquina de Venn fue puesta a prueba contra uno de los bateadores estrella del equipo

australiano. La máquina resultó ser formidable hasta el punto de eliminar limpiamente al bateador

australiano cuatro veces.

El símbolo del conjunto vacío Aunque oficialmente hay dos símbolos para representar el conjunto vacío, la verdad es que el

uso de uno de ellos es prácticamente universal y por eso nos referimos a él como el símbolo

del conjunto vacío. Se trata de la letra . ¿Letra? En efecto, es una letra de los alfabetos de

lenguas de países del norte de Europa como Noruega y Dinamarca.

El símbolo del conjunto vacío

en el campeonato mundial

de fútbol de Sudáfrica 2010

El primer uso registrado de este símbolo para representar el conjunto vacío data de 1939 en

una pequeña obra sobre teoría de conjuntos publicada por el seminario Bourbaki en Francia.

Uno de sus integrantes, el famoso matemático André Weil (1906 – 1998), afirma en su

autobiografía haber sido él precisamente quien sugirió al seminario la adopción del símbolo.

Ortografía matemática: El símbolo del conjunto vacío

Observe con atención el símbolo del conjunto vacío:

Note que tiene la forma de una pequeña elipse cruzada por una barra diagonal sin

adornos. No debe confundirse con el símbolo

Correcto


Incorrectos

el cual es en realidad la letra griega fi mayúscula. Por supuesto, tampoco debe

confundirse con ninguno de los dos símbolos

que son dos variantes de la letra griega fi minúscula. Mucho menos con

que es la letra griega psi en sus versiones minúscula y mayúscula, respectivamente. Por

último, aunque no ocurre con frecuencia, algunos creen que el símbolo del conjunto

vacío es

que en realidad es la letra griega omega mayúscula.

Incorrectos

Incorrecto

Incorrecto

14 Conjuntos

2. Inclusión

2.1. Inclusión

Definición Se dice que es subconjunto de , y se escribe

si cada elemento de es elemento de . El símbolo

significa que no es subconjunto de .

es subconjunto de

La relación entre conjuntos simbolizada por se llama la relación de inclusión (o de

contenencia). El símbolo se denomina el símbolo de inclusión (o de contenencia).

En lugar de la expresión “ es subconjunto de ” se usan también las siguientes:

está incluido en

está contenido en

16 Conjuntos

es una parte de

Además, el símbolo

significa lo mismo que , en cuyo caso se usan las expresiones siguientes:

es superconjunto de

incluye a

contiene a

Podemos expresar la definición de la relación de inclusión y su negación mediante el

lenguaje simbolizado de la lógica:

Los dos enunciados cuantificados involucrados son traducciones “literales” de las

respectivas definiciones originales en lenguaje natural. En ocasiones resulta más

apropiado expresar estas mismas traducciones en forma menos “literal”:

Ortografía matemática: El símbolo de la inclusión

Observe con atención el símbolo de la inclusión:

Note que tiene la forma de una pequeña herradura, abierta hacia la derecha, con una

rayita horizontal en su parte inferior. La herradura no es una letra “c” (como creen

algunos que piensan que proviene de la inicial de la palabra “contenido”), ni minúscula

ni mayúscula:

c C

Incorrectos

Correcto

17 2. Inclusión

Sean

Entonces puesto que cada elemento de es elemento de :

En cambio, porque hay elementos en que no están en . Por ejemplo,

pero . □

¡Cuidado! Algunos autores prefieren usar el símbolo en lugar de para

representar la relación de inclusión. En el presente documento

usaremos el símbolo para representar otro concepto (la inclusión

propia) que estudiaremos un poco más adelante. Mi preferencia por el

símbolo para la inclusión se basa en que, en un contexto apropiado,

tanto como son símbolos que representan relaciones de orden débil y, por su parte,

tanto como son símbolos que representan las respectivas relaciones de orden

fuerte. Me gusta la analogía tanto en el significado como en la forma de estos símbolos.

Este desacuerdo en asuntos de notación es un ejemplo de algo que desafortunadamente

ocurre con alguna frecuencia en matemáticas. No debería pasar algo así pero el hecho es

que pasa y, en consecuencia, no nos queda otro camino que convivir con ello. Cuando

usted consulte otras fuentes sobre el tema de los conjuntos deberá tener la precaución de

indagar, en el momento oportuno, sobre las preferencias del autor en materia de

conceptos, notaciones, etc.

2.2. Propiedades básicas de la inclusión Vamos a discutir ahora algunas propiedades básicas importantes de la relación de

inclusión. La primera de ellas establece un hecho sorprendente: El conjunto vacío es

subconjunto de cada conjunto:

Teorema (Propiedad minimal del conjunto vacío)

Ejemplo

18 Conjuntos

Demostración Supongamos que para algún se tiene . Entonces existe

tal que . Pero esto es absurdo puesto que no posee elementos. □

Teorema (Propiedad reflexiva de la inclusión)

Demostración Cada elemento de es elemento de . □

Teorema (Propiedad transitiva de la inclusión)

Si y entonces

Demostración Supongamos que y . Sea . Como entonces

y como entonces . Esto muestra que cada elemento de es

elemento de . Por tanto, . □

Teorema (Caracterización de la igualdad en términos de la inclusión)

si y solo si y

Demostración ( ) Supongamos . Entonces posee exactamente los mismos

elementos que . En particular, cada elemento de es elemento de , esto es, .

Por la misma razón, cada elemento de es elemento de , esto es, . Tenemos

por consiguiente y .

( ) Supongamos y . Entonces cada elemento de es elemento de y

cada elemento de es elemento de . Por tanto, posee exactamente los mismos

elementos que , esto es, . □

2.3. Inclusión propia

Definición Se dice que es subconjunto propio de , y se escribe

o también

si se cumple que

19 2. Inclusión

y

El símbolo

significa que no es subconjunto propio de .

Entonces, en el lenguaje simbolizado de la lógica, tenemos

porque y

porque

porque

□

2.4. Pertenencia e inclusión El teorema siguiente formula una caracterización de la relación de pertenencia en

términos de la relación de inclusión:

Teorema (Caracterización de la pertenencia en términos de la inclusión)

si y solo si

Demostración ( ) Supongamos . Sea . Dado que el único elemento que

posee es entonces . Ahora bien, por hipótesis, . En consecuencia,

. Esto prueba que .

( ) Supongamos . Entonces cada elemento de es elemento de . Pero

es elemento de . Por consiguiente, . □

Ejemplo

20 Conjuntos

Algunos resumen la implicación de izquierda a derecha en el teorema anterior

diciendo: “Si en una relación de pertenencia encerramos el elemento entre llaves, la

relación se convierte en inclusión”.

Como entonces . □

2.5. Conjuntos universales En cada tema de discusión en matemáticas normalmente hay un cierto conjunto

denominado conjunto universal o conjunto referencial de la discusión. (Algunos lo

llaman también el universo de la discusión.) Este conjunto tiene la propiedad de que

muchos de los conjuntos que se mencionan en la discusión, si no se dice otra cosa, se

entienden como subconjuntos de él.

Supongamos que nuestro tema de discusión es “números naturales”. Como conjunto

universal tomemos, precisamente, el conjunto de todos los números naturales.

(Generalmente, esto es lo que ocurre. Hay un conjunto que espontáneamente todos

coincidimos en tomar como el conjunto universal “obvio”.) Supongamos que

mencionamos un conjunto, como por ejemplo,

Este conjunto puede entenderse como subconjunto del conjunto de todos los números

naturales pero también puede entenderse como subconjunto de todos los números

enteros, o racionales, o reales, etc. Incluso puede entenderse como subconjunto del

conjunto de los totales, año por año, de alumnos que reprobaron Matemáticas

Generales en los últimos diez años en la Universidad de la Vida. Sin embargo, como

ya hemos seleccionado un conjunto universal, a saber el conjunto de todos los

números naturales, entonces solamente entendemos el conjunto

como subconjunto del conjunto de todos los números

naturales. □

Una de las ventajas de disponer de un conjunto universal de la discusión es

simplificar la descripción de muchos conjuntos. Así, en el caso del Ejemplo anterior,

si no hubiésemos seleccionado un conjunto universal de la discusión entonces el

conjunto tendría que describirse en forma más explícita:

Ejemplo

Ejemplo

21 2. Inclusión

puesto que, de otro modo, no sabríamos si la variable está representando números

naturales, o enteros, o racionales, o reales, o totales de alumnos reprobados en

Matemáticas Generales, etc.

Es frecuente simbolizar el conjunto universal mediante la letra (algunos usan la

letra griega ) y representarlo gráficamente, en los diagramas de Venn, mediante una

región rectangular:

El conjunto universal y algunos de sus subconjuntos

2.6. Ejercicios

Respuestas 1. Sea

Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa:

a. b. c. d.

e. f. g. h.

i. j. k. l.

m. n. o. p.

q.

2. Sea

22 Conjuntos

Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa:

a. b. c. d.

e. f. g.

h.

Aunque usted no lo crea

El concepto matemático de conjunto parece inocente pero en ocasiones puede

burlarse de nuestra intuición. Por ejemplo: ¿Es posible que un elemento de un

conjunto sea, al mismo tiempo, un subconjunto del mismo conjunto? La intuición de

muchas personas les dice que no es posible. Pero examinemos el conjunto

Observamos que este conjunto posee exactamente dos elementos:

En particular, el conjunto unitario es un elemento de . Pero, al mismo tiempo, es también un subconjunto de puesto que ¡ !

El mismo conjunto ilustra otro hecho que a primera vista podría parecer

improbable: ¿Un elemento, de un elemento, de un conjunto puede ser, al mismo

tiempo, elemento de dicho conjunto? (Asegúrese de que leyó correctamente.

Principalmente, note que la pregunta comienza diciendo: “¿Un elemento, de un

elemento, ...”) La respuesta es “sí”. En efecto, en el conjunto ocurre que

es un elemento del conjunto unitario que, a su vez, es otro elemento de . (Esto

es, es un elemento, de un elemento, del conjunto .) Y es, al mismo tiempo, ¡un

elemento del mismo !

3. Colecciones

3.1. Colecciones

Definición Un conjunto se llama una colección si todos sus elementos son

conjuntos. Letras como A ,B ,C, … representarán colecciones.

El conjunto

es una colección. Ella posee exactamente tres elementos:

Es importante observar que

□

Un momento. Usted logró confundirme. Entonces, ¿cómo

reconozco los elementos de una colección?

Observemos nuevamente la colección

Los elementos de A se reconocen porque son los que están

separados por las comas “más externas”. Volvamos a observar la

colección A, esta vez un poco más grande:

Ejemplo

24 Conjuntos

Las dos comas en color rojo son las “más externas”. Ellas están separando los tres

elementos de A :

Los números 1, 2 y 3 no son, en este caso, elementos de A. Lo único que podemos decir

es que ellos son ¡elementos de elementos! de A.

Tengo otra inquietud: Pienso que la colección es lo

mismo que la colección porque el conjunto vacío es

vacío, o sea que donde está el conjunto vacío es como si no hubiera

nada. ¿Estoy mal?

Estás mal. No debes olvidar que el conjunto vacío no es lo mismo

que “nada”. En realidad es “algo” que, por definición, no posee

elementos. Aquí de nuevo puede ser útil la analogía de pensar en

los conjuntos como cajas que contienen sus propios elementos. Así,

pensamos en la colección como en una caja que contiene tres cajas, una de

las cuales está vacía. En cambio, pensamos en la colección como en una caja

que contiene dos cajas ninguna de las cuales está vacía. En la caja hay

“algo” (¡la caja vacía!) que no está en la caja . Por eso las dos colecciones son

diferentes:

El conjunto

es otra colección. Ella posee exactamente cuatro elementos:

□

El conjunto

Ejemplo

Ejemplo

25 3. Colecciones

es una colección muy particular. En primer lugar, se trata de una colección unitaria

puesto que posee un único elemento, a saber el conjunto :

Por consiguiente, es una colección ¡no vacía!:

□

¿ Me está costando entender este asunto. Yo hubiera

jurado que es lo mismo que . . .

Es porque sigues pensando en el conjunto vacío como en “nada”.

Una vez más la analogía de conjuntos con cajas te puede ayudar.

Piensa en como en una caja que solo contiene en su interior

otra caja y esta última está vacía. Entonces no es una caja

vacía puesto que tiene “algo” adentro: ¡una caja vacía!

Conjuntos como

no son colecciones dado que contienen elementos que no son conjuntos como, por

ejemplo, en el conjunto y en el conjunto . □

Ejemplo

26 Conjuntos

4. Conjuntos de partes

4.1. Conjuntos de partes

Definición Se define el conjunto de partes de , notado

como la colección de todos los subconjuntos de . También se llama el conjunto

potencia de y se nota

El nombre “conjunto potencia” y el símbolo “ ” pueden parecer extraños para el

concepto en cuestión. Pronto veremos que hay algo de razonable en ellos.

Una definición por comprensión del conjunto de partes de es:

Sea donde los elementos , y son todos distintos entre sí. Vamos a

calcular el conjunto . [El término “calcular” significa aquí “encontrar todos los elementos de y, si es posible, definir a por extensión”.] Se trata entonces de hacer un listado completo de todos los elementos del conjunto o,

en forma equivalente, de todos los subconjuntos del conjunto . Con el fin realizar

esta tarea en una forma ordenada, comenzaremos por los subconjuntos más sencillos

e iremos avanzando hacia los más complejos. Concretamente, como criterio de

ordenamiento, tomaremos el “tamaño” (el número de elementos) de los subconjuntos:

iremos desde los más “pequeños” hacia los más “grandes”:

El conjunto vacío. El conjunto es un subconjunto de . (Ya sabemos que el

conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos.)

Subconjuntos de un elemento (es decir, subconjuntos unitarios). Tenemos

exactamente tres:

Ejemplo

28 Conjuntos

Subconjuntos de dos elementos (es decir, parejas de elementos distintos).

También encontramos exactamente tres:

Subconjuntos de tres elementos (es decir, ternas de tres elementos distintos). Hay

exactamente uno:

Es obvio que no hay subconjuntos de cuatro elementos, ni de cinco, etc., de modo que

hemos hecho una lista completa de todos los subconjuntos de . En consecuencia ya

podemos definir por extensión el conjunto de partes de :

Esta colección posee exactamente elementos o, en forma equivalente, elementos.

Es posible demostrar la siguiente afirmación de carácter general:

Si posee elementos entonces posee elementos

Este puede ser el origen del nombre alternativo “conjunto potencia” para el conjunto

de partes de y del símbolo “ ” para representarlo. □

Note que, por propiedades básicas de la inclusión, y también . Esto

significa que para todo conjunto , se tiene que y también . Dicho de otro modo, en cada conjunto de partes siempre tendremos dos elementos

notables: el conjunto vacío y el conjunto original, los cuales, de paso, son,

respectivamente, los subconjuntos “más pequeño” y “más grande” de .


1. Sea

Para cada uno de los literales siguientes, encuentre lo que se pide o responda la

pregunta respectiva. Explique sus respuestas a las preguntas de modo que todo

quede bien claro.

a. Calcule , esto es el conjunto de partes, del conjunto de partes, del

conjunto .

b. ¿Cuántos elementos tiene ?

c. ¿Es cierto que ?

29 4. Conjuntos de partes

d. ¿Es cierto que ?

30 Conjuntos

5. Unión

Una práctica rutinaria en matemáticas es, una vez definida una totalidad de objetos

matemáticos, definir operaciones con ellos. Por ejemplo, una operación binaria en

una totalidad de objetos matemáticos es una regla o correspondencia o asociación

que a cada par de objetos y de la totalidad le hace corresponder un único tercer

objeto de la misma totalidad. Así, por ejemplo, en la totalidad de los números

naturales, la operación suma, representada por el símbolo , es una operación binaria

puesto que ella hace corresponder a cada par de números naturales y un único

número natural denominado la suma de y . Las operaciones binarias se

llaman así porque en cada caso son dos objetos los que se operan para obtener el

tercero. De manera similar se describen las operaciones ternarias, cuaternarias y, en

general, –arias. Un caso especial son las operaciones unarias, las cuales solo operan

sobre un objeto para obtener un único segundo objeto.

Las operaciones entre objetos matemáticos son de gran importancia. Cuando

comenzamos a estudiar una totalidad de objetos matemáticos, rápidamente notamos la

conveniencia de poder manipular, de diversas formas, grupos de ellos para obtener

otros. Las operaciones ponen tales formas de manipulación en un contexto preciso,

mediante definiciones y simbologías apropiadas. De este modo, podemos explorar

confiable y seguramente muchas propiedades de dichos objetos.

En relación con los conjuntos, discutiremos, en este y en los siguientes capítulos, seis

operaciones básicas, cinco de las cuales son binarias (unión, intersección, diferencia,

diferencia simétrica y producto cartesiano) y solo una es unaria (complementación).

5.1. Unión

Definición Se define la unión de y como el conjunto de todos aquellos

elementos que pertenecen a al menos uno de los dos conjuntos y . Se nota

Entonces, por comprensión,

32 Conjuntos

En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia

es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones

son también ambas verdaderas.

El siguiente diagrama de Venn muestra dos conjuntos y :

Vamos “calcular” gráficamente . Primero, coloreamos la región que representa

al conjunto . (En la figura siguiente he utilizado una tonalidad en amarillo para tal

efecto.)

33 5. Unión

Ahora, coloreamos la respectiva región que representa al conjunto :

La región coloreada total representa entonces al conjunto . De este modo, el

diagrama de Venn para es

Ortografía matemática: El símbolo de la unión

Observe con atención el símbolo de la unión:

Note que tiene la forma de una herradura, abierta hacia arriba, sin adornos. No se trata de

la letra “u” (como creen algunos que piensan que proviene de la inicial de la palabra

“unión”), ni minúscula ni mayúscula,

u U

Correcto

Incorrectos

34 Conjuntos

Sean

El cálculo de es un procedimiento muy sencillo: Abrir un par de llaves, dentro

de estas llaves escribir todos los elementos de separados por comas, a continuación

escribir todos los elementos de también separados por comas y, por último,

simplificar las repeticiones que se presenten de elementos en el conjunto resultante:

Entonces

□

La operación unión tiene varias propiedades básicas muy importantes que

discutiremos mediante los teoremas siguientes.

5.2. Propiedades básicas de la unión

Teorema (Ley conmutativa de la unión)

Demostración Como método de demostración usaremos la caracterización de la

igualdad en términos de la inclusión. Esta caracterización se puede resumir como

“dos conjuntos son iguales si y solo si cada uno de ellos es subconjunto del otro”. En

consecuencia, probaremos las dos inclusiones

con lo cual quedará probada la igualdad . Para probar la inclusión

aplicaremos la definición de inclusión. Tomaremos, por tanto, un

elemento arbitrario en el conjunto y probaremos que dicho elemento está

en el conjunto .

Ejemplo

35 5. Unión

Sea

Entonces, por la definición de unión,

Ahora bien, por la ley conmutativa de la disyunción inclusiva,

Finalmente, de nuevo por la definición de unión,

Así, queda probada la inclusión . Análogamente se prueba la inclusión

. □

Teorema (Ley asociativa de la unión)

Antes de proceder a demostrar formalmente este teorema, haremos una

“demostración” gráfica del mismo. En el diagrama siguiente tenemos tres conjuntos

, y :

Primero coloreamos la región que representa a :

36 Conjuntos

Enseguida agregamos el coloreado de la región que representa a . De este modo,

obtenemos coloreada la totalidad de la región que representa a :

Ahora, regresamos al diagrama original y reiniciamos el proceso de coloreado,

comenzando esta vez con la región que representa a :

37 5. Unión

Enseguida agregamos el coloreado de la región que representa a . Obtenemos

entonces, coloreada en su totalidad, la región que representa a :

Ambas regiones, la que representa a y la que representa a ,

son exactamente la misma.

Veamos ahora la demostración del teorema.

38 Conjuntos

Demostración Usaremos nuevamente la caracterización de la igualdad en términos de

la inclusión, de modo que procederemos, como en la demostración del teorema

anterior, a probar las dos inclusiones

Sea

Entonces, por la definición de unión,

y, nuevamente por la misma definición,

Aplicando ahora la ley asociativa de la disyunción inclusiva, obtenemos

De nuevo, por la definición de unión:

y una vez más por la definición de unión:

De este modo, hasta aquí hemos demostrado la inclusión . La segunda inclusión, se demuestra en forma

similar. □

Seamos claros: Me gustó más la “demostración” con diagramas de

Venn. Esa otra demostración me pareció enredada. ¿No puedo

hacer siempre las demostraciones con dibujitos?

Pongámonos de acuerdo. La “demostración” con diagramas de

Venn no es realmente una demostración por dos motivos.

Primero, porque ese no es el formato adoptado por la comunidad

de matemáticos para las demostraciones matemáticas. Tal formato

consiste en una cadena de afirmaciones verdaderas cada una de las

cuales resulta de aplicar una definición o una regla de inferencia o

un teorema ya demostrado, etc., de tal manera que la última afirmación de la cadena es,

precisamente, aquella que se pretende demostrar. Por el momento, este es el único formato

aceptado y es al que tendrás que acostumbrarte si deseas comunicarte con otros

matemáticos. Segundo, porque la “demostración”, por diagramas de Venn, de la ley

a

39 5. Unión

asociativa de la unión, aunque quisiéramos aceptarla en contra del resto del mundo

matemático, tiene el inconveniente de que se trataría de una demostración, mediante un

caso particular, de un enunciado cuantificado universalmente. En efecto, los matemáticos

sabiamente acostumbran a omitir los cuantificadores universales con el fin de simplificar.

Así el enunciado

es realmente una abreviatura del enunciado triplemente cuantificado

En consecuencia, este tipo de enunciados no pueden ser demostrados mediante casos

particulares. Y, si observas con cuidado, notarás que el diagrama de Venn con el que se

inicia la “demostración” corresponde precisamente a un caso particular puesto que solo se

refiere a los tres conjuntos particulares dibujados. Existen infinitas ternas de conjuntos que

no son consideradas en la “demostración”.

A ver si entendí bien. Me queda claro lo de los diagramas. Pero

¿está usted diciendo que para demostrar una identidad como, por

ejemplo, , no puedo reemplazar y por dos

conjunticos como, por ejemplo, y , calcular

= y = , verificar que y ya? Porque yo estaba convencidísimo de que así estaba bien.

No puedes. Si eso se pudiera hacer, las matemáticas serían muy

distintas de como son en realidad. Por ejemplo, la identidad

sería verdadera puesto que reemplazando y obtendrías que . Pero sabemos que dicha identidad es falsa porque existen contraejemplos. Por

ejemplo, si reemplazas y obtienes . De modo que

no te queda otra alternativa. Si quieres demostrar una afirmación cuantificada

universalmente, no puedes hacerlo mediante un caso particular. Tienes que elaborar tu

demostración en forma completamente general.

Teorema (Ley modulativa de la unión)

Demostración La igualdad se tiene por la ley conmutativa de la unión.

Luego, será suficiente probar que . Sea

40 Conjuntos

Por definición de unión,

Pero, dado que no posee elementos,

Entonces, por modus tollendo ponens,

Esto prueba la inclusión

Ahora sea

Por la ley de adición,

y, por la definición de unión,

Queda así demostrada la segunda inclusión

y, en consecuencia, hemos demostrado la igualdad

□

Teorema (Ley de absorción de la unión)

Demostración La igualdad se tiene por la ley conmutativa de la

unión. Luego será suficiente demostrar que . Sea


41 5. Unión

Ahora bien, la implicación

es verdadera por ser una tautología. Por otra parte, dado que es el conjunto

universal, se tiene que . Entonces, por definición de inclusión, la implicación

también es verdadera. Por consiguiente, en virtud del dilema constructivo,

de donde, por simplificación trivial,


Ahora sea

Entonces, por la ley de adición,


Queda así demostrada la inclusión

Por consiguiente,

□

Teorema (Ley de idempotencia de la unión)

Demostración Sea


42 Conjuntos

y, por simplificación trivial,

Luego,

Ahora, sea

Entonces, por la ley de redundancia,


Por tanto,

De este modo, hemos probado que

□

5.3. Otras propiedades de la unión

Además de las básicas, discutidas en la sección anterior, hay muchas otras

propiedades interesantes y útiles de la unión. Los teoremas siguientes ilustran este

aspecto.

Teorema

Si entonces

Demostración Supongamos

Sea

43 5. Unión

Entonces, por definición de unión,

Ahora bien, puesto que hemos supuesto , la implicación

es verdadera. Además, la implicación

también es verdadera por ser una tautología. Luego, por dilema constructivo,



Ahora, sea

Entonces, por ley de adición,

Así, por definición de unión,

Se tiene por tanto la inclusión

En consecuencia,

con lo cual queda demostrada la implicación enunciada. □

44 Conjuntos

Teorema

Si y entonces

Demostración Supongamos

Sea

Entonces, por definición de unión,

Ahora bien, dado que ,

y, dado que ,

Luego, por dilema constructivo,

de modo que, por definición de unión,


Así queda demostrada la implicación propuesta. □

Teorema

Demostración Sea

45 5. Unión

Entonces, por ley de adición,

y, por definición de unión,

Esto demuestra que todo elemento de es elemento de . En otras palabras,

□

Teorema

Demostración Sea

Entonces, por definición de unión

y, por definición de conjunto de partes,

Supongamos que . Como, por el teorema anterior, entonces

tenemos

y

Luego, por la propiedad transitiva de la inclusión,

y, por la definición de conjunto de partes,

Por tanto, tenemos que la implicación

es verdadera.

46 Conjuntos

Análogamente tenemos que la implicación

es verdadera. En consecuencia, por dilema constructivo,


De este modo, hemos demostrado que todo elemento de es elemento

de . En otras palabras, hemos demostrado que

□

5.4. Uniones generalizadas

Definición Sean , , , , conjuntos. Se define la unión de los conjuntos

, , , , como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a

al menos uno de los conjuntos , , , , . Hay dos símbolos para

representar esta unión. Uno que llamaremos expandido:

y otro que llamaremos compacto:

Ambos símbolos se utilizan dependiendo de las circunstancias. Si se desea abreviar

las notaciones, naturalmente el símbolo compacto resulta apropiado. Pero, en

ocasiones, el símbolo compacto “esconde” aspectos que queremos apreciar

explícitamente. En tal caso, el símbolo expandido se adapta mejor a este último

propósito.

El tipo de unión descrita en la Definición anterior se llama generalizada.

Evidentemente, se trata de una generalización de la unión binaria ya que se reduce a

esta última cuando .

También, hay dos maneras de definir la unión generalizada por comprensión. Una en

que se usa el conectivo “generalizado” de la disyunción inclusiva:

47 5. Unión

y otra en que se usa el cuantificador existencial:

En el diagrama siguiente tenemos cuatro conjuntos , , y :

y en el siguiente tenemos la unión generalizada respectiva:

48 Conjuntos

Sean

Entonces

□

Sean

Entonces

□

Un caso especial importante de unión generalizada es la representada por el símbolo

que evidentemente no significa otra cosa sino :

Ejemplo

Ejemplo

49 5. Unión

5.5. Ejercicios

Respuestas

1. Sean

Calcule

2. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a.

b. Si entonces

c. Si entonces

d. Si entonces

e. Si y entonces

f. si y solo si y

g. si y sólo si

3. Demuestre que la identidad

es falsa. Esto es, encuentre un contraejemplo (en este caso un par de conjuntos

particulares y que no satisfagan la identidad). Para su información, hay

contraejemplos muy “pequeños” que usted puede encontrar rápidamente.

4. Considere la identidad

Si es verdadera, demuéstrela. Si es falsa, exhiba un contraejemplo.

50 Conjuntos

6. Intersección

6.1. Intersección

Definición Se define la intersección de y como el conjunto de todos aquellos

elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos y . Se nota





Consideremos ahora el siguiente diagrama de Venn en el que se muestran dos

conjuntos y :

52 Conjuntos

Vamos a “calcular” gráficamente . Primero coloreamos la región que representa

a .

Ahora coloreamos la región que representa a . (La idea aquí es colorear esta

segunda región usando un color distinto del anterior).

53 6. Intersección

Aquella región en donde se superponen ambos colores (coloreada en un tono de

amarillo en el diagrama anterior) es, precisamente, la región que representa a .

Así, el diagrama de Venn para es entonces

Ortografía matemática: El símbolo de la intersección

Observe con atención el símbolo de la intersección:

Note que tiene la forma de una herradura, abierta hacia abajo, sin adornos. No se trata de

la letra “n” minúscula:

n

Sean

El siguiente es un procedimiento para efectuar el cálculo de :

Seleccionar el conjunto más pequeño. En este caso es .

Abrir un par de llaves.

Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si

pertenece o no a .

Escribir dentro de las llaves, separados por comas, aquellos elementos que, en el

paso anterior, pertenezcan a .

Correcto

Incorrecto

Ejemplo

54 Conjuntos

El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de .

Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante.

El conjunto simplificado es .

Aplicando este procedimiento a los dos conjuntos dados, obtenemos

□

6.2. Propiedades básicas de la intersección La operación intersección tiene también varias propiedades básicas importantes.

Algunos de los enunciados como las respectivas demostraciones son muy parecidos a

los correspondientes en el caso de la unión.

Teorema (Ley conmutativa de la intersección)

Demostración Similar a la del Teorema que establece la ley conmutativa de la unión.

□

Teorema (Ley asociativa de la intersección)

Demostración Similar a la del Teorema que establece la ley asociativa de la unión.

□

Veamos una “prueba” gráfica del teorema anterior. En el diagrama siguiente

observamos tres conjuntos , y :

55 6. Intersección

Comenzamos coloreando la región que representa a :

Enseguida coloreamos la región que representa a :

56 Conjuntos

Ahora, reiniciamos el proceso de coloreado comenzando esta vez con :

Finalmente coloreamos la región que representa a :

57 6. Intersección

Ambas regiones, la que representa a y la que representa a ,

son exactamente la misma.

Teorema (Ley modulativa de la intersección)

Demostración La igualdad se cumple por la ley conmutativa de la

intersección. Luego, será suficiente demostrar que . Sea

Por definición de intersección,

y, por ley de simplificación,

Esto prueba la primera inclusión:

Ahora, sea

Dado que, por definición del conjunto universal, entonces

58 Conjuntos

Ahora bien, por la ley de la conjunción,

de donde, por la definición de intersección,


y, de este modo, hemos probado

□

Teorema (Ley de absorción de la intersección)

Demostración La igualdad se tiene por la ley conmutativa de la

intersección. Luego será suficiente demostrar que . Sea




La segunda inclusión,

es una consecuencia inmediata del hecho de que el conjunto vacío es subconjunto de

todo conjunto. Por consiguiente, hemos demostrado

□

59 6. Intersección

Teorema (Ley de idempotencia de la intersección)

Demostración Similar a la del Teorema que establece la ley de idempotencia para la

unión. □

6.3. Dos leyes distributivas Los dos teoremas siguientes formulan identidades que relacionan entre sí las

operaciones de unión e intersección.

Teorema (Ley distributiva de la unión con respecto a la intersección)

Haremos primero una “demostración” gráfica de este teorema. En el diagrama

siguiente tenemos tres conjuntos , y :

Primero coloreamos la región que representa a :

60 Conjuntos

A continuación agregamos el coloreado de la región que representa a . De este

modo obtenemos el coloreado de la región que representa a :

Ahora, vamos a colorear la región que representa a . Para ello,

comenzamos coloreando la región que representa a :

61 6. Intersección

Coloreamos también (por separado y con otro color) la región que representa a :

Finalmente coloreamos simultáneamente las dos últimas regiones. La región en la que

se superponen los dos colores (coloreada en amarillo en el siguiente diagrama), es

entonces la que representa a :

62 Conjuntos

Esta es exactamente la misma región que representa a .

Pasemos ahora a la demostración del teorema en consideración.

Demostración Sea


y, por definición de intersección,

Ahora, aplicando la ley distributiva de la disyunción inclusiva con respecto a la

conjunción,

Enseguida aplicamos la definición de unión,

y, a continuación, la de intersección,


63 6. Intersección

Mediante el mismo razonamiento “en reversa” se prueba la inclusión

con lo cual queda probada la identidad

□

Teorema (Ley distributiva de la intersección con respecto a la unión)

Demostración Similar a la del Teorema anterior. □

Debido a los dos últimos teoremas, se dice que las operaciones de unión e

intersección son mutuamente distributivas.

6.4. Intersecciones generalizadas

Definición Sean , , , , conjuntos. Se define la intersección de los

conjuntos , , , , como el conjunto de todos aquellos elementos que

pertenecen simultáneamente a todos los conjuntos , , , , . Hay dos

símbolos para representar esta intersección. Uno que llamaremos expandido:

y otro que llamaremos compacto:

Ambos símbolos se utilizan dependiendo de las circunstancias. Si se desea abreviar

las notaciones, naturalmente el símbolo compacto es el más apropiado. Pero, en

ocasiones, el símbolo compacto “esconde” aspectos que queremos apreciar

explícitamente. En tal caso, el símbolo expandido es preferible.

El tipo de intersección descrita en la definición anterior se llama generalizada.

Evidentemente, se trata de una generalización de la intersección binaria ya que se

reduce a esta última cuando .

También, hay dos maneras de definir la intersección generalizada por comprensión.

Una en que se usa el conectivo “generalizado” de la conjunción:

64 Conjuntos

y otra en que se usa el cuantificador universal:

En el diagrama siguiente tenemos cuatro conjuntos , , y :

y en el siguiente tenemos coloreada en amarillo la región que representa la

intersección generalizada respectiva:

65 6. Intersección

Así, el siguiente es el diagrama de Venn de dicha intersección generalizada:

Sean

Entonces

□

Ejemplo

66 Conjuntos

Sean

Entonces

□

Un caso especial importante de intersección generalizada es la representada por el

símbolo

que evidentemente no significa otra cosa sino :

6.5. Ejercicios

Respuestas

1. Sean

Demuestre que en este caso se tiene

calculando ambos lados de la igualdad por separado y verificando que en efecto

son iguales.

Ejemplo

67 6. Intersección

2. Sean

Calcule

3. Sean

en donde se supone que los objetos , y son todos distintos entre sí.

Compruebe que en este caso se tiene

a. b.


a.

b.

c.

d. Si entonces y

e. Si y entonces

f. Si entonces

g. Si y entonces

h. Si entonces

i.

5. Demuestre, mediante un contraejemplo, que la siguiente afirmación es falsa:

Si entonces

6. Demuestre que si , , y son conjuntos cualesquiera entonces

68 Conjuntos

7. Demuestre las siguientes generalizaciones de las leyes distributivas de la unión

con respecto a la intersección y de la intersección con respecto a la unión:

a.

b.

7. Diferencia

7.1. Diferencia

Definición Se define la diferencia entre y como el conjunto de todos aquellos

elementos que pertenecen a pero no pertenecen a . Se nota por cualquiera de

los tres símbolos





El siguiente diagrama muestra dos conjuntos y :

70 Conjuntos

En el siguiente diagrama se ha coloreado en color amarillo la región que representa la

diferencia entre y :

La curva segmentada indica que los puntos sobre ella no forman parte de la diferencia

entre y (puesto que pertenecen a ). Así, el diagrama de Venn de dicha

diferencia es

Sean




pertenece o no a .


paso anterior, no pertenezcan a .



Ejemplo

71 7. Diferencia


En el caso de los conjuntos y dados, obtenemos

□

En comparación con las operaciones unión e intersección, la operación diferencia no

tiene, a primera vista, propiedades interesantes. Ella es el “patito feo” de las

operaciones con conjuntos. (Lo cual no quiere decir que no sea una operación

importante para ciertos propósitos como, por ejemplo, su intervención en la

definición de otras operaciones que sí tienen propiedades interesantes.) Veamos:

La diferencia no satisface la ley conmutativa. Esto significa que la identidad

no es válida.

En efecto, consideremos los dos conjuntos y del siguiente diagrama:

Coloreamos (con colores diferentes) las regiones que representan, respectivamente, a

y a :

72 Conjuntos

Vemos claramente que dichas dos regiones son distintas.

Ahora, para demostrar con más formalidad la afirmación de que la operación

diferencia no satisface la ley conmutativa, bastará un contraejemplo. Sean

Entonces

Así, . □

La diferencia no satisface la ley asociativa. En otras palabras, la identidad

es falsa.

Consideremos, por ejemplo, los tres conjuntos , y representados en el diagrama

siguiente:

Comenzamos por colorear la región que representa a :

73 7. Diferencia

y, a continuación coloreamos la región que representa a :

Ahora, retomamos el diagrama original y comenzamos por colorear la región que

representa a :

74 Conjuntos

Finalmente, coloreamos la región que representa a :

Las regiones que representan a y a son distintas. Con esto

concluimos una “demostración” gráfica de que la identidad es falsa, de modo que ciertamente la operación diferencia no satisface la

ley asociativa.

Por otra parte, como una demostración formal de la afirmación anterior, aquí también

será suficiente exhibir un contraejemplo. Tomemos

75 7. Diferencia

Entonces

Tenemos así que, en este caso particular, . Por tanto, la

operación diferencia no satisface la ley asociativa. □

La diferencia no satisface la ley modulativa. En otras palabras, no existe un

conjunto tal que

para todo conjunto .

En efecto, supongamos que tal existe. Entonces las dos identidades

(1)

y

(2)

deben cumplirse para todo conjunto . En particular, (1) debe cumplirse para

precisamente. Esto es

lo cual dice que necesariamente . Pero entonces la identidad (2) se convierte en

y debe cumplirse también para todo conjunto . En particular, debe cumplirse, por

ejemplo, para :

Pero esto dice que

lo cual es un absurdo. Hemos demostrado que la suposición de que existe conduce

lógicamente a un absurdo. Por tanto, es imposible que exista y así queda

demostrado que la operación diferencia no satisface la ley modulativa. □

76 Conjuntos

La diferencia no satisface la ley de absorción. Es decir que no existe un conjunto

tal que

para todo conjunto .

Puede probarse esta afirmación mediante un razonamiento completamente similar al

que acabamos de hacer para el caso de la ley modulativa.

La diferencia no satisface la ley de idempotencia. Esto es, la identidad

no es válida.

Como contraejemplo, basta tomar . En efecto:

de modo que, en este caso particular,

y queda demostrado que la operación diferencia no satisface la ley de idempotencia.

7.2. Ejercicios

Respuestas

1. Sean

Calcule

Para este caso particular, ¿cuál de las cuatro afirmaciones siguientes es

verdadera?:

a. b.

c. d.

77 7. Diferencia

2. Sean

Calcule

Este ejercicio es muy fácil pero ¡tenga cuidado! No se acelere y asegúrese de

escribir bien y en orden todo lo que debe escribir. Si no sabía escribir llaves, aquí

va a aprender.

3. Demuestre las siguientes identidades:

a. b.

c. d.

e.

f.

g.

4. Compruebe la validez del argumento

y úselo en algún momento para demostrar la identidad

5. Compruebe la validez del argumento

y úselo en algún momento para demostrar la identidad

6. Demuestre que la identidad

es falsa. Esto es, encuentre un contraejemplo (en este caso un par de conjuntos

particulares y que no satisfagan la identidad). Para su información, hay

contraejemplos muy “pequeños” que usted puede encontrar rápidamente.

78 Conjuntos

7. Considere la identidad

Si es verdadera, demuéstrela. Si es falsa, exhiba un contraejemplo.


a.

b. Si entonces

c. Si y entonces

d. Si entonces

e. Si entonces

f. Si entonces

g. Si entonces

h. Si entonces

i.

8. Diferencia simétrica

8.1. Diferencia simétrica

Definición Se define la diferencia simétrica entre y como el conjunto de todos

aquellos elementos que pertenecen a alguno de los dos conjuntos y pero no

pertenecen al otro. Se nota por el símbolo





En el siguiente diagrama se muestran dos conjuntos y :

80 Conjuntos

y en el siguiente se ha coloreado la región que representa la diferencia simétrica entre

y :

Así, el diagrama de Venn de dicha diferencia simétrica es

81 8. Diferencia simétrica

Sean




pertenece o no a .




pertenece o no a .

Continuar escribiendo dentro de las llaves, separados por comas, aquellos

elementos que, en el paso anterior, no pertenezcan a .

El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de los

dos conjuntos y .



Obtenemos

□

Ortografía matemática: El símbolo de la diferencia simétrica

Observe con atención el símbolo de la diferencia simétrica:

Note que tiene la forma de un pequeño triángulo isósceles. Se trata de la letra griega delta

mayúscula (cuya minúscula es . La letra delta mayúscula corresponde, en español, a la

letra “D”, inicial de la palabra “Diferencia”. El símbolo “ ” no debe confundirse con otro

símbolo parecido, llamado nabla,

Correcto

Ejemplo

82 Conjuntos

que se usa con otros fines en otras áreas de las matemáticas.

8.2. Propiedades de la diferencia simétrica En contraste con la operación diferencia (que, como ya vimos, es el “patito feo” de

las operaciones con conjuntos), la diferencia simétrica es una operación muy “bonita”

debido a que posee varias propiedades interesantes.

Diferencia Diferencia simétrica

En primer lugar, los dos teoremas siguientes muestran formas alternativas de entender

la diferencia simétrica. Dependiendo de las circunstancias y el propósito, una de las

tres formas (la original y las dos alternativas) puede resultar más apropiada que las

otras dos.

Incorrecto


Teorema

Demostración Sea

Entonces, por la definición de diferencia simétrica,

y, por las leyes del significado de los conectivos,

Así, por las definiciones de unión e intersección,

Luego, por definición de diferencia,


El mismo razonamiento anterior, aplicado en “reversa”, muestra que la inclusión

también es verdadera. En consecuencia,

□

El teorema siguiente justifica el nombre “diferencia simétrica”:

Teorema

Demostración Sea

Entonces, por la definición de diferencia simétrica,

84 Conjuntos

y, por las leyes del significado de los conectivos,

Ahora bien, por las definiciones de diferencia y unión,

Tenemos así demostrada la inclusión

El mismo razonamiento, aplicado en “reversa”, prueba la inclusión

Por consiguiente,

□

Los siguientes teoremas muestran que la diferencia simétrica satisface por lo

menos tres de las propiedades básicas que satisfacen la unión y la intersección.

Teorema (Ley conmutativa de la diferencia simétrica)

Demostración Similar a la del teorema que establece la ley conmutativa de la

conjunción □

Teorema (Ley asociativa de la diferencia simétrica)

Demostración Similar a la del teorema que establece la ley asociativa de la

conjunción □

Resulta ilustrativo efectuar una “demostración” gráfica de esta ley. En el siguiente

diagrama tenemos tres conjuntos , y :


Coloreamos primero la región que representa a :

A continuación, coloreamos la región que representa a . Haremos esto en

tres pasos. Primero coloreamos la región que representa a , luego la que

representa a y, finalmente, la que representa a :

86 Conjuntos

A continuación, coloreamos la región que representa a . Lo haremos en

cuatro pasos. Primero, coloreamos la región que representa a , luego la que

representa a , luego la que representa a y, finalmente la que

representa a :

88 Conjuntos

que es exactamente la misma región que representa a .

Teorema (Ley modulativa de la diferencia simétrica)

Demostración Por la ley conmutativa de la diferencia simétrica, la igualdad es verdadera. Luego, será suficiente demostrar que la identidad es

verdadera.

Sea

Por definición de diferencia simétrica,

Pero, por definición del conjunto vacío,

Entonces, por modus tollendo ponens,



Ahora, sea

Como, por definición del conjunto vacío,

entonces, por la ley de la conjunción,

y, por la ley de adición,

De este modo, por la ley del significado de la disyunción exclusiva,

y, por definición de diferencia simétrica,


De este modo, queda probada la identidad

□

Teorema

Demostración Por la ley conmutativa de la diferencia simétrica, la igualdad es verdadera. Luego, basta demostrar que la identidad es

verdadera. Sea

Entonces, por definición de diferencia simétrica,

(1)

Ahora bien, por la ley del tercio excluido,

90 Conjuntos

Vamos a probar ahora que es imposible que . Supongamos . Entonces, de

(1), por modus ponendo tollens,

De este modo, por la ley de la conjunción, tenemos

es decir, por definición de diferencia,

Pero, por definición de conjunto universal, y, en consecuencia, .

Luego,

que es una contradicción. Esto significa que, en realidad, es imposible que . Por

consiguiente, en virtud del modus tollendo ponens,

Entonces, de (1), por modus tollendo ponens,

De este modo, por la ley de la conjunción, tenemos

que, por definición de diferencia, significa

Por consiguiente, hasta aquí hemos demostrado que

si entonces

Esto es, hemos demostrado la inclusión

Ahora, vamos a probar la inclusión . Supongamos que

Entonces, por definición de diferencia,


y, por la ley de adición,

Así, por la ley del significado de la disyunción exclusiva,

Luego, de acuerdo con la definición de diferencia simétrica,

De este modo, hemos demostrado la inclusión

con lo cual queda demostrada la identidad

□

Teorema (Ley de nilpotencia de la diferencia simétrica)

Demostración Basta probar que el conjunto no posee elementos. Supongamos

que posee alguno:

Entonces, por definición de diferencia simétrica,

Pero, dado el significado de las disyunciones exclusivas, esta es una contradicción.

Por consiguiente, es imposible que posea elementos. □


1. Sean

Calcule

2. Sean

92 Conjuntos

donde los objetos , , , , , y se suponen todos diferentes entre sí. Calcule

3. Sean

donde los objetos , , y se suponen todos diferentes entre sí. Calcule

4. Sean , y las colecciones definidas así:

Calcule

5. Sean , y las colecciones definidas así:

Calcule

6. La estudiante Porciúncula sostiene que la fórmula

es cierta porque tomando los conjuntos

se cumple. Por otra parte, el estudiante Pantaleón dice que la fórmula no es cierta

porque tomando los conjuntos

no se cumple. ¿Quién tiene la razón? (Explique su respuesta.)

7. Supóngase que definimos una nueva operación entre conjuntos, que

representaremos con el símbolo , mediante la fórmula


(Nota. Esta operación no existe en el mundo de las matemáticas. Es un invento de

nacho, solamente para este ejercicio.) Sean

Calcule

¿Qué puede concluir sobre la conmutatividad de la operación ?

8. Suponga que usted desea saber si la identidad

es verdadera o falsa. Examine lo que ocurre si toma un ejemplo particular,

digamos que toma

¿Qué obtiene? ¿Puede concluir algo acerca de la verdad o falsedad de la

identidad? En caso afirmativo, ¿qué es lo que puede concluir?

9. Suponga que se define una nueva operación entre conjuntos mediante la

fórmula

(Nota. La operación tampoco existe en el mundo de las matemáticas. Se trata

de otro invento de nacho, solamente para este ejercicio.) Dados

calcule


a.

b. Si entonces

c. Si entonces

d. Si entonces

94 Conjuntos

9. Complementación

9.1. Complementación Esta es una operación diferente de las que hemos discutido hasta el momento. En

primer lugar, se trata de una operación unaria, esto es, ella se aplica a un solo

conjunto para obtener otro conjunto, y, en segundo lugar, es una operación que se

define siempre en presencia de un conjunto universal.

Definición Dado , se define el complemento de como el conjunto de todos

aquellos elementos que pertenecen a pero no pertenecen a . Se nota por

cualquiera de los símbolos




son verdaderas.

En el siguiente diagrama se muestran el conjunto universal y uno de sus subconjuntos

96 Conjuntos

En el siguiente se ha coloreado en amarillo la región que representa el complemento

de .

97 10. Complementación

Sean




pertenece o no a .






Obtenemos

□

Ortografía matemática: El símbolo de la complementación

Observe el símbolo que representa el complemento de :

La barrita, con forma de una pequeña “cuña” inclinada, que aparece como “exponente” de

la es llamada por algunos una prima. (La verdad es que no parece tener un nombre

oficial.) Note que se trata de una cuña inclinada y no de una coma:

’

La coma, en forma de “exponente”, sí tiene un nombre oficial: es un apóstrofo. Ocurre que

el apóstrofo prácticamente no se utiliza en símbolos matemáticos. En cambio, se usa en el

lenguaje natural aunque solo para ciertos propósitos muy particulares como, por ejemplo,

indicar por escrito la supresión, frecuente en el habla vulgar, de algunas sílabas:

Ejemplo

Correcto

Incorrecto

98 Conjuntos

¿Pa’dónde va m’ijo?

¿Qué l’importa?

¿Ah sí? ¡Pues tome pa’que afine!

A propósito, la palabra “apóstrofo” tampoco debe confundirse con la palabra “apóstrofe”:

apóstrofo apóstrofe

Mientras que un apóstrofo es una coma pequeña escrita como si fuera un “exponente”, un

apóstrofe es una cierta figura retórica que, en su versión más sencilla, se refiere al tipo de

interrupción que se hace en el discurso o narración para hacer un llamado vehemente, en

segunda persona, a alguien o a algo:

El conjunto vacío ... ¡Johncito, ponga atención! ... no posee elementos

¡Me permito presentarle un ejemplo de apóstrofe!

También se llaman apóstrofes a ciertas expresiones que se usan a modo de insulto o

provocación.

9.2. Propiedades de la complementación En los teoremas siguientes se enuncian y demuestran algunas propiedades básicas de

la operación complementación.

Teorema

Demostración Sea

Entonces, por definición de complementación,



Esto muestra que

Ahora, sea

Puesto que la afirmación

es evidentemente verdadera entonces, por la ley de la conjunción,

Luego, por la definición de complementación,

Así, hemos demostrado la inclusión

Por consiguiente,

□

Teorema

Demostración Basta demostrar que no posee elementos. En efecto, supongamos

que posee algún elemento :

Entonces, por definición de diferencia,

que evidentemente es una contradicción. Así, es imposible que posea elementos,

de modo que

□

100 Conjuntos

Teorema (Ley involutiva de la complementación)

Demostración Sea

Por definición de complementación,

(1)

La siguiente es una secuencia de afirmaciones lógicamente equivalentes que se

sustenta en la definición de complementación, una de las leyes de De Morgan y la ley

de la doble negación:

Esto muestra que la proposición es lógicamente equivalente a la proposición

. Sustituyendo la primera por la segunda en (1), resulta

de donde, por la ley distributiva de la conjunción con respecto a la disyunción

inclusiva,

Ahora bien, la proposición es una contradicción. Luego, por la ley

modulativa de la disyunción inclusiva,

y, por la ley de simplificación,

Esto demuestra la inclusión

El mismo razonamiento, aplicado en “reversa” muestra que la inclusión


también es verdadera. Por consiguiente,

□

Teorema

Demostración Basta demostrar que no posee elementos. Supongamos que

posee algún elemento :


y, por definición de complementación,

Entonces, por la ley de simplificación,

que es una contradicción. Luego, es imposible que posea elementos:

□

Teorema

Demostración Sea


Supongamos . Entonces, como , se tiene . En otras palabras,

Supongamos . Por definición de la complementación, se tiene .

En particular, por la ley de simplificación, . Es decir,

102 Conjuntos

En conclusión, por dilema constructivo,

y, por ley de simplificación trivial,


Ahora, sea

Por la ley del tercio excluido,

Supongamos . Entonces, por la ley de adición, . Luego, tenemos

Supongamos . Entonces por ley de la conjunción, , esto es

, y por la ley de adición, . Esto es,

Luego, de nuevo por dilema constructivo,


De este modo queda probada la inclusión,

En conclusión, hemos demostrado

□

Los dos teoremas siguientes se conocen como las leyes de De Morgan:


Teorema

Veamos primero una “demostración” gráfica de este teorema. Comenzamos con un

par de subconjuntos y del conjunto universal:

El diagrama siguiente muestra la región que representa a :

104 Conjuntos

Ahora vamos a representar el conjunto . Comenzamos con :

y, enseguida, :


Finalmente coloreamos la región que representa a :

Esta es exactamente la misma región que representa a .

Pasemos ahora a la demostración formal del teorema.

106 Conjuntos

Demostración Sea

Entonces, tenemos sucesivamente que, por definición de complementación,

por definición de unión,

por una de las leyes de De Morgan (de la lógica),

por las leyes de redundancia,

por la definición de complementación,

y, por definición de intersección,


El mismo razonamiento, aplicado en “reversa”, demuestra la inclusión

Por tanto, queda demostrado que

□

Teorema

Demostración Similar a la del teorema anterior.



1. Sean el conjunto universal y , y los subconjuntos de definidos como

Calcule

2. Sean

Compruebe si la siguiente igualdad es cierta o no:

3. Sean

Calcule

4. Sean

Demuestre que, en este caso particular,

calculando el lado izquierdo de la igualdad y verificando que en efecto es igual a

.

5. El granjero Joaquín posee los siguientes animales: Araminta (una vaca), Procopio

(un perro), Yisleivis (una gallina), Eleuterio (un conejo) y Filiberto (un caballo).

Un vecino de Joaquín, llamado Euler, sabe de matemáticas y le encanta molestar a

Joaquín planteándole problemas. Euler le dice a Joaquín: Llamemos al conjunto

108 Conjuntos

de tus animales que son cuadrúpedos, al conjunto de tus animales que ponen

huevos, al conjunto de tus animales que no tienen plumas y al conjunto de tus

animales que poseen escamas y cada diciembre emigran volando hacia el polo

norte. A que no puedes demostrar que ninguno de los animales del conjunto

posee dientes. Para sorpresa de Euler, Joaquín hizo la demostración

correctamente. Comenzó representando cada uno de sus animales por la inicial del

respectivo nombre en minúscula. Por ejemplo, representó a Araminta por .

Suponga que usted es Joaquín y resuelva el problema. (Sea claro y ordenado en

sus cálculos y no utilice diagramas de Venn.)

6. Demuestre la siguientes generalizaciones de las leyes de De Morgan:

7. Suponga que definimos una nueva operación entre conjuntos, que llamaremos

unión externa, la cual representaremos con el símbolo y estará definida

mediante la fórmula

donde es la unión usual y es el complemento usual de con respecto al

universo . (Nota. La operación no existe en el mundo de las matemáticas. Se

trata de un invento más de nacho, solo para este ejercicio.) Suponga ahora que

definimos una operación más entre conjuntos, que llamaremos unión externa

simétrica, la cual representaremos con el símbolo y estará definida mediante la

fórmula

donde es la unión externa que acabamos de definir e es la intersección usual.

(Nota. La operación tampoco existe en el mundo de las matemáticas. Se trata

de un invento del inventor nacho, solo para este ejercicio.) De las seis opciones

siguientes determine cuáles son verdaderas y cuáles son falsas:

a. b. c.

d. e. f.

10. Producto cartesiano

Vamos a discutir ahora una última operación binaria entre conjuntos. Como veremos,

ella resulta ser un tanto diferente de las operaciones binarias que hemos estudiado

hasta ahora. Al mismo tiempo, es una operación que reviste gran importancia desde el

punto de vista matemático. Para definirla, se hace necesario introducir previamente el

concepto de pareja ordenada.

10.1. Parejas ordenadas

Definición Una pareja ordenada (o un par ordenado) es una lista ordenada de

objetos no necesariamente distintos. El objeto es la primera componente o

primera coordenada de la pareja ordenada. El objeto es la segunda componente o

segunda coordenada de la pareja ordenada. El símbolo

representa la pareja ordenada cuya primera componente es y cuya segunda

componente es .

La pareja ordenada

es una pareja ordenada de números naturales. Su primera componente es el número

y su segunda componente es el número . □

La pareja ordenada

Ejemplo

Ejemplo

110 Conjuntos

es una pareja ordenada de mascotas. Su primera componente es el gato Motas y su

segunda componente es el perro Kaiser. □

Ortografía matemática: La notación de pareja ordenada

En la notación de pareja ordenada los paréntesis deben ser redondos o angulares:

No son correctos los paréntesis rectangulares y mucho menos las llaves:

[

Tampoco es correcto omitir la coma:

Definición Se dice que la pareja ordenada es igual a la pareja ordenada

, y se escribe

si y solo si y . Es decir que dos parejas ordenadas son iguales si y solo

si sus primeras componentes son iguales entre sí y sus segundas componentes

también son iguales entre sí.

Entonces, de acuerdo con esta definición, se tiene que si y solo si si

o .

Se tiene que

porque

□

Correctos

Incorrectos

Incorrectos

Ejemplo

111 10. Producto cartesiano

Ocurre que

porque . □

Parejas ordenadas y parejas no ordenadas

Observe que la diferencia conceptual entre la pareja y la pareja ordenada tiene que ver esencialmente con el orden entre sus elementos. En efecto, tenemos que

puesto que el orden en que se escriban los elementos de un conjunto es irrelevante. En

cambio, la igualdad

ocurre solamente cuando . En efecto, cuando , se tiene

Es por esto que algunos también llaman al conjunto una pareja no ordenada.

10.2. Producto cartesiano

Definición Se define el producto cartesiano de y como el conjunto de todas

las parejas ordenadas cuya primera componente está en y cuya segunda

componente está en . Se nota


Esto significa que las dos implicaciones siguientes son válidas:

si entonces

si entonces

Ejemplo

112 Conjuntos

Ortografía matemática: El símbolo de la operación producto cartesiano

El símbolo que representa la operación producto cartesiano no es otra cosa sino el mismo

símbolo “por” (o “cruz”, como lo llaman algunos) de la operación multiplicación entre

números naturales:

Una de las razones por las cuales se adoptó este símbolo para el producto cartesiano es que

si posee elementos y posee elementos entonces posee elementos.

Sean

De acuerdo con la definición de producto cartesiano, para calcular tenemos

que encontrar todas las parejas ordenadas cuya primera componente esté en y cuya

segunda componente esté en . Conviene hacer esto en forma ordenada. Así, por

ejemplo, podemos comenzar con las parejas ordenadas cuya primera componente es

. Dado que posee exactamente dos elementos, es claro que solamente podemos

obtener dos parejas ordenadas cuya primera componente es . Escribimos entonces

los dos primeros elementos del conjunto :

Continuamos con las parejas ordenadas cuya primera componente es . De nuevo,

solamente hay dos parejas ordenadas cuya primera componente es . Las agregamos

a las dos anteriores y, de este modo, completamos los primeros cuatro elementos de

:

Finalmente, hay otras dos parejas ordenadas, a saber, aquellas cuya primera

componente es . Las agregamos a las que ya teníamos en el conjunto :

Y eso es todo. No hay más parejas ordenadas en puesto que hemos agotado los

elementos de que actúan como primera componente y para cada uno de ellos hemos

Ejemplo


agotado los elementos de que actúan como segunda componente. En consecuencia,

hemos definido por extensión la totalidad del conjunto . □

Observe que en el ejemplo anterior el conjunto posee elementos, el conjunto

posee elementos y el conjunto posee elementos (compruébelo: ¡cuente el

número total de parejas ordenadas que obtuvimos en !). Note ahora que

. Todo esto no es más que un caso particular del hecho siguiente:

Si posee elementos y posee elementos entonces posee

elementos

De nuevo tomemos

y calculemos esta vez el producto cartesiano . Ahora las primeras componentes

deben estar en y las segundas en . Obtenemos entonces

Notamos que posee también, como era de esperarse, elementos, esto es,

elementos. ¡Pero es un conjunto muy diferente de ! (De hecho, en

este caso particular, ni siquiera tienen elementos en común.) En otras palabras, la

operación binaria producto cartesiano no satisface la ley conmutativa. □

El producto cartesiano es una operación muy particular. A pesar de su indiscutible

importancia en matemáticas, ella, a diferencia de la mayoría de las otras operaciones

que hemos estudiado hasta el momento, no exhibe propiedades como las leyes

asociativa, conmutativa y modulativa. No obstante, exhibe algunas propiedades de

otro tipo como, por ejemplo, la:

Teorema (Ley distributiva del producto cartesiano con respecto a la unión)

Demostración Sea

Entonces, por definición de producto cartesiano,

Ejemplo

114 Conjuntos

En consecuencia, por definición de unión,

Aplicando ahora la ley distributiva de la conjunción con respecto a la disyunción

inclusiva,

De este modo, por definición de producto cartesiano,

y, por definición de unión,


Los pasos anteriores son todos reversibles, lo cual demuestra la inclusión

Tenemos así demostrada la identidad

10.3. –tuplas ordenadas

Definición Una –tupla ordenada es una lista ordenada de

objetos no necesariamente distintos entre sí. Se nota por cualquiera de los dos

símbolos

El objeto es la primera componente o primera coordenada de la –tupla

ordenada, el objeto es la segunda componente o segunda coordenada de la –tupla ordenada, y así así sucesivamente hasta el objeto que es la –ésima

componente o –ésima coordenada de la –tupla ordenada. Las –tuplas

ordenadas se llaman también duplas ordenadas y no son otra cosa sino las parejas

ordenadas discutidas anteriormente. Las –tuplas ordenadas se llaman también

ternas ordenadas o triplas ordenadas. Las –tuplas ordenadas se llaman también

cuádruplas ordenadas. A continuación tenemos las quíntuplas ordenadas, las

séxtuplas ordenadas y así sucesivamente.

□


La terna ordenada

es una terna ordenada de números reales. Su primera componente es el número real

, su segunda componente es el número real y su tercera componente es el

número real . □

La cuádrupla ordenada

es una cuádrupla ordenada de superhéroes. Su primera componente es Superman, su

segunda componente es Batman, su tercera componente es Spiderman y su cuarta

componente es Ironman. □

Definición Se dice que la –tupla ordenada es igual a la

–tupla ordenada , y se escribe

si y solo si

Es decir que la igualdad entre dos –tuplas ordenadas es equivalente a las

igualdades simultáneas entre las componentes respectivas de las –tuplas

ordenadas.

Entonces, de acuerdo con esta definición, se tiene que

si y solo si

Ejemplo

Ejemplo

116 Conjuntos

Ortografía matemática: La notación de –tupla ordenada

En la notación de –tupla ordenada los paréntesis deben ser redondos o angulares:

No son correctos los paréntesis rectangulares y mucho menos las llaves:

[

Tampoco es correcto omitir las comas:

10.4. Producto cartesiano generalizado

Definición Se define el producto cartesiano de los conjuntos

como el conjunto de todas las ‒tuplas ordenadas cuya ‒ésima componente está

en para todo . Se nota, en forma expandida, por el símbolo

y, en forma compacta, por el símbolo


o, abreviadamente,

Correcto

Correcto

Incorrecto

Incorrecto

Incorrecto

Incorrecto


Sean

Entonces

□

Ortografía matemática: el símbolo del producto cartesiano generalizado

El símbolo del producto cartesiano generalizado es la letra griega pi mayúscula:

Note que este símbolo es grande y sus trazos son rectos. No debe confundirse con la

versión minúscula de la misma letra,

que es un símbolo más pequeño y de trazos curvados.

Sean

Entonces

Correcto

Incorrecto

Ejemplo

Ejemplo

118 Conjuntos

(Coloreé las diferentes cuádruplas resultantes, en total cuatro, para distinguirlas con

mayor claridad.) □

Un caso especial importante de producto cartesiano generalizado es el representado

por el símbolo

que es, por definición, el conjunto de todas las ‒tuplas ordenadas cuya única

componente está en . Aquí es costumbre identificar cada ‒tupla ordenada con su

única componente. Esto es, se adopta la convención de que la ‒tupla ordenada es en realidad el mismo objeto . De esta manera resulta que


1. Sea

Calcule

2. Sean

donde los objetos , , , y son todos distintos entre sí. Calcule

3. Dados

calcule


4. Dados

Calcule

5. Sean

Calcule por separado los conjuntos

(Asegúrese de que sus cálculos son correctos.) De acuerdo con los resultados que

obtuvo en este caso particular, ¿se puede concluir que la identidad

es verdadera o es falsa en general? Explique su respuesta.

6. Demuestre las siguientes identidades:

a.

b.

c.

d.

e.

f.


a. Si entonces o

b. Si y entonces

120 Conjuntos

Respuestas a los ejercicios

Sección 1.10 Regresar

1. a. Verdadera b. Falsa c. Falsa d. Falsa

e. Verdadera f. Falsa g. Falsa h. Falsa

i. Verdadera j. Verdadera k. Falsa l. Falsa

2. a. Falsa b. Falsa c. Verdadera d. Falsa

e. Falsa f. Falsa

3. a. Verdadera b. Verdadera c. Falsa

d. Verdadera e. Falsa f. Verdadera

g. Falsa h. Falsa i. Falsa

4. a. Falsa b. Falsa c. Falsa

d. Verdadera e. Falsa f. Falsa


1. a. Verdadera b. Verdadera c. Falsa

d. Falsa e. Falsa f. Falsa

g. Verdadera h. Verdadera i. Verdadera

j. Verdadera k. Falsa l. Falsa

m. Verdadera n. Falsa o. Falsa

p. Falsa q. Falsa

2. a. Verdadera b. Verdadera c. Verdadera

d. Verdadera e. Verdadera f. Verdadera

122 Conjuntos

g. Verdadera h. Falsa


1. a. tiene exactamente los siguientes elementos:

b. 16 c. Sí d. No


1.


2.

tiene exactamente 16 elementos que son:

123 Respuestas a los ejercicios


1. b

2. tiene exactamente 16 elementos que son:


1. 2. 3.

4. 5.

6. Pantaleón

7. , , la operación no es conmutativa

8. Se obtiene

Sí se puede concluir algo acerca de la verdad o falsedad de la identidad: Se puede

concluir que es falsa.

9.


1. 2. No es cierta 3.

124 Conjuntos


1.

2.

3.

4.

5.

No se puede concluir nada en general acerca de la verdad o falsedad de la

identidad. Solo se puede decir que ella es verdadera en este caso particular.

82notclasconjun

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