79771978 mcgrawhill sol bac 1 ccss 2008

MATEMÁTICAS APLICADASA LAS CIENCIAS SOCIALES

MADRID - BARCELONA - BUENOS AIRES - CARACASGUATEMALA - LISBOA - MÉXICO - NUEVA YORKPANAMÁ - SAN JUAN - BOGOTÁ - SÃO PAULOAUCKLAND - HAMBURGO - LONDRES - MILÁN - MONTREALNUEVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPURSAINT LOUIS - TOKIO - TORONTO

1

S O L U C I O N A R I O

Sol_1CCSS_PRELS a_UD03.indd 1 14/5/08 09:02:52

Matemáticas aplicadas a las Ciencias SocialesSolucionario de 1.º de Bachillerato

Noestápermitidalareproduccióntotaloparcialdeestelibro,nisutratamientoinfor-mático,nilatransmisióndeningunaformaoporcualquiermedio,yaseaelectrónico,mecánico,porfotocopia,porregistrouotrosmétodos,sinelpermisoprevioyporescritodelostitularesdelCopyright.

Derechos reservados © 2008, respecto a la primera edición en español, por:

McGraw-Hill/InteramericanadeEspaña,S.A.U. EdificioValrealty,1.aplanta Basauri,17 28023Aravaca(Madrid)

ISBN:978-84-481-6646-5Depósito legal:

Autores del libro del alumno: JoséMaríaMartínez,RafaelCuadrayAdolfoHerasEquipo editorial: M.ªIsabelBermejoySergioNombelaEquipo preimpresión: DanielMontanyà,ClaudiaFernándezyMaríaÁngelesRamírezRevisor técnico universitario: EnriqueZuazuaRevisores técnicos: RafaelÁngelMartínezyAlejandroMontesinosRevisor de ejercicios: JuanPabloCarrascoIlustraciones técnicas:AnaColerayPabloVázquezColaborador editoial:EduardoLópezDiseño de cubierta:McGraw-HillDiseño interior: McGraw-HillMaquetación: EdicionesGráficasArialImpresión:

IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN


�MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO. SOLUCIONARIO DEL LIBRO

ÍNDICE

j Unidad 1. Resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

j Unidad 2. Conceptos algebraicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

j Unidad 3. Introducción a los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

j Unidad 4. Ecuaciones e inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

j Unidad 5. Sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

j Unidad 6. Funciones y gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

j Unidad 7. Funciones polinómicas y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

j Unidad 8. Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

j Unidad 9. Sucesiones de números reales y aplicaciones económicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

j Unidad 10. Funciones periódicas y trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

j Unidad 11. Estadística básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

j Unidad 12. Distribuciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

j Unidad 13. La distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

j Unidad 14. Distribuciones continuas. La distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


� RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS01

jACTIVIDADES

1. Le resto nueve unidades a un número y me da lo mismo que si lo divido por 3. ¿De qué número se trata?

xx

x293

13 255 5⇒ ,

2. Disponemos de una cuba llena de vino y de dos recipientes con capacidad de 8 y 5 litros. ¿Qué tienes que hacer para medir dos litros de vino? (Puedes traspasar vino de un reci-piente a otro y emplear la cuba para vaciar o coger vino.)

RecipientesCuba,xlitros De8litros De5litros

Paso 1 x 2 5 0 5Paso 2 x 2 5 5 0Paso 3 x 2 10 5 5Paso 4 x 2 10 8 2

3. Con cuatro cuatros, unidos y ligados por las cuatro opera-ciones elementales, pueden obtenerse los números natura-les del 0 al 9. Por ejemplo:

0 5 4 2 4 1 4 2 4; 1 (4 1 4)/(4 1 4) Obtén los demás.

25 4/4 1 4/4 35 (4 1 4 1 4)/445 (4 2 4)/4 1 4 55 (4 ? 41 4)/4 65 4 1 (41 4)/4 75 4 1 42 4/4

854

4/4 1 4 95 4 1 41 (4/4)

4. Se reparte cierta cantidad de dinero entre varias personas del siguiente modo: a la primera se le da 1/4 del dinero inicial; a la segunda, 1/4 de lo que resta más 1 000 €; a la tercera, 1/4 de lo que queda más 2 000 €; y así sucesi-vamente. Al final, todos han recibido la misma cantidad. ¿Cuánto dinero recibe cada persona y cuántas son?

14

100014

14

x x x5 1 2 x 5 16000

Cadapersonarecibe4000€.Haycuatropersonas.

jProblemas propuestos

Tipo I: Problemas de prueba-ensayo y de recurrencia

1. ¿Cuántas cerillas se necesitan para formar una cadena de 30 triángulos como se indica en la siguiente figura?

Fig. 1.1.

Paraelprimertriángulonecesitamos3cerillas.Paracadaunodelossiguientes,2cerillasmás.Portanto,senecesitan:3 1 29 ? 2 5 61cerillas.

2. Divide cada una de las siguientes figuras en cuatro figuritas semejantes a la inicial. Te damos la solución de una de ellas.

Fig. 1.2.

Fig. 1.3.

3. Observa las siguientes igualdades: 1 5 1 1 1 3 5 4 1 1 3 1 5 5 9 1 1 3 1 5 1 7 5 16 a) ¿Sabrías decir el resultado de la suma de los diez prime-

ros números impares? b) ¿Y el resultado de 1 1 3 1 5 1 7 1 … 1 75 1 79?

a) 1 1 3 1 5 1 7 1 … 1 19 5 102 5 100. Puedeobservarsequelasumadelosnprimerosnúmerosim-

paresvalen2. Nota:Estacuestiónpodríaproponerseparademostrarlaporel

métododeinducción.b) 1 1 3 1 5 1 7 1 … 1 75 1 79 5 402 5 1600.

4. ¿Qué cifra corresponde a cada raya para que sea correcto el producto?

_ _ _ 4 _ _ 3 7 5 6 743 _ 56

Laúltimacifradelprimerfactortienequeser8,pueseslaúnicaquemultiplicadapor7acabaen6.Setiene: ___4_837 5 6743_56Lossucesivospasosson:___40837 5 6743_56 ___40837 5 6743856Ahora,bastacondividir6743856entre7.Seobtiene963408.

5. Vuelve a leer el Ejemplo 2º de la sección 1.3. Contesta a la pregunta que se hizo: ¿Cómo es C?

SiAesbueno,comodicelaverdad Besbueno A 5 C Cesbueno.

SiAesmalo,comodicelamentira B esmalo A C C esbueno.

Encualquiercaso,Cesbueno.

6. ¿En qué número termina 228? A partir del resultado hallado, indica en qué número terminan 2183 y 2185.

Lasterminacionesposiblesson2,4,8y6.


== 5

�RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 01

21 2 25 32 24n 1 1 222 4 26 64 24n 1 2 423 8 27 128 24n 1 3 824 16 28 256 24n 6

Luego:228terminaen6.2183 5 24 ? 45 1 3terminaen8.2185 5 24 ? 46 1 1terminaen2.

7. En un viejo papel hemos encontrado la siguiente nota de una venta realizada. Dice así:

72 pollos, a _ _ pesetas el pollo 5 _19_ pesetas. Las rayas indican números que se han borrado. ¿A cómo estaría el pollo en aquellos tiempos?

Como72esmúltiplode9yde2,elresultadodelproductodebesermúltiplode9ypar.Enconsecuencia,suscifrasdebensumar9,18o27.Terminandoelnúmeroencifrapar,tenemoslassiguientespo-sibilidades:

_190,_192,_194,_196,_198Yparaqueseamúltiplode9:

8190,6192,4194,2196,9198De estos números, el único divisible por 72 es 6192 6192 5 72 ? 86.Elpreciodelpolloerade86pts.

8. Supón que tienes 9 bolas de igual aspecto y tamaño. Sólo hay un inconveniente: una de ellas tiene un peso ligera-mente distinto de las demás; en compensación dispones de una balanza de platillos. ¿Qué número mínimo de pesadas necesitas hacer para averiguar cuál es la bola distinta?

Ésteesunviejoyconocidísimoproblema.Lomás importantedeéleselmétodo,laestrategia;yqueponedemanifiestolafuerzadelalógica.Enestosproblemasnosetratadeacertarporsuerte;siasífue-se,en1decada9casosacertaríamosporpuroazar.Setratadequeelmétodofuncionesiempre,seacualseanuestrasuerte.Dichoesto,analiza:¿quédatostengo?;¿quéséconcerteza?Tienes9bolas:8igualesy1distinta;perosólo1distinta.Tienes,además,unabalanzaquepuedeservirparacompararelpesodelasbolas.Apartirdeaquínecesitasunaestrategia.Tienesvariasopciones:Primera:Compararlasbolasunaauna.Silabalanzaquedaenequilibriolasbolassoniguales;siseinclina,algunadeesasdosbolasesdistinta,peronosabescuáldeellasesla«mala».Conestaestrategia,enelpeordeloscasos,puedesnecesitarhasta4pesadas,queserían:

I II III IV

Fig. 1.4.

EnlaspesadasI,IIyIIIsabesquetodaslasbolassonbuenas.EnlaIV,algunadelasdosesladistinta.Silabalanzaseinclinacomoindicamosharemosotrapesadacomparandolaboladela

izquierda, lamáspesada,conalgunade lasbolasbuenas.Enestaquintapesadapuedesuceder:(a)Quelabalanzaquedeenequilibrio,conlocual,laboladistintaeslaotra,laqueestabaenelplatilloderecho;ademáspesamenosquelasotras.(b)Quelabalanzavuelvaainclinarseenelmismosentido,dedondelabolamalaeslaquehemostomado;ademásesmáspesada.2Silascuatropesadasprimerasquedaranenequilibrio,labolamalaeslaúltima.Comparadaconcualquieradelasotraspode-mosdeducirsipesamásomenos.2SilapesadadesequilibradaeslaI,IIoIIIsepuedededucirantescuálycómoeslabolamala.

Segunda:Compararlasbolasdosados.Conesteprocedimientopuedesnecesitarhastatrespesadas.(Tedejamosquelocomprue-besportucuenta.)Tercera:Compararlasbolasdetresentres.Puedesuceder:(I)Pesadaenequilibrio: Labolamalaestáentrelasotrastres. Comparando estas tres bolas una a una se determina lamala.

Fig. 1.5.

(II)Pesadainclinadaalaizquierda: Lasotrastresbolassonbuenas.Quitamostresbolasdeladerechayensulugarpone-moslastresbolasbuenas.Puedesuceder:

Fig. 1.6.

2Labalanzasequedaenequilibrio labolamalaestáentrelastresquitadas,ypesamenos.Ponemosdosdeesasbolas,unaencadaplatillo:siquedaenequilibrio,labolamalaeslaotra;sisedesequilibra,labolamalaesladelamásligera.

Tipo II: Problemas de tipo algebraico: ecuaciones y sistemas

9. Le sumo 20 unidades a un número y me da lo mismo que si lo multiplico por 3. ¿De qué número se trata?

Sixeselnúmerobuscado,secumple:x 1 20 5 3x x 5 10.

10. José María dobla los años a Cristina; Carmen es tres años mayor que Cristina; y José María, cuatro más que Catalina. Si la suma de todas las edades es 29, ¿cuál es la edad de cada uno?

Edades:Cristina 5 x;JoséMaría 5 2x;Carmen 5 x 1 3;Catalina 5 2x 2 4x 1 2x 1 x 1 3 1 2x 2 4 5 29 x 5 5



LaedaddeJoséMaríaes10años.LaedaddeCarmenes8años.LaedaddeCatalinaes6años.LaedaddeCristinaes6años.

11. A una cuba de vino, inicialmente llena, se le extrae un sex-to de su capacidad más 15 litros. Si añadiendo un cuarto de su capacidad ésta vuelve a llenarse, ¿cuántos litros caben en la cuba?

Capacidaddelacuba 5 x

Seextrae:x6

151 .

Seañade:x4.

Comox x6

154

1 5 x 5 180litros.

12. El triple de un número es la mitad de otro. ¿Qué números son?

Silosnúmerossonayb,entonces:32

ab

5 b a56

Hayinfinidaddeposibilidades.

13. El triple de un número es la mitad de otro. Si entre los dos suman 56, ¿qué números son?

Setiene:b a56 y,además,a b1 556 a 5 8;b 5 48.

14. El triple de un número es la mitad de otro. Si entre los dos suman 56 y su diferencia es 40, ¿qué números son? (¿Ob-servas algo extraño en el enunciado?)

Lasolucióneslamismaqueladelproblemaanterior.(Puedeob-servarsequeladiferenciaentrelosdosnúmeroses40.)Nota:Conesteproblemasetratadeverquesobraundato.Afortu-nadamente,estedatosobrantenoescontradictorioconlosotrosdos,locualpermitiríaresolverelproblemaconociendodosdatoscualesquieradelostresdados.

Tipo III: Problemas de tipo geométrico

15. Un ángulo mide dos grados menos que el triple de su com-plementario. ¿Cuánto vale?

Six eselángulobuscado,sucomplementariomide90 2 x.Entonces:x 5 3 ? (90 2 x) 2 2 x 5 67.

16. La superficie de un triángulo isósceles de altura 4 cm es 12 cm2. Halla su base. ¿Cuánto miden los otros dos lados si la suma de sus longitudes es 4 cm más que la base?

Área:Ab h

5?

2 12

42

5b?

b 5 6.

Lado 5 l 2 6 4l5 1 l55.Observa:Enesteproblemasobraundato.¿Sedaráncuentalosalumnos?Sinoesasí,quelodescubranhaciendoelproblemanúmero20.

17. La superficie de un cuadrado es S, ¿cuál será la superficie de un cuadrado cuyo lado es el doble del anterior?

Sielladodelcuadradopequeñoeslsetiene:S l5 2.SisedoblaelladoL l52 ,lasuperficieseráL l l S2 2 22 4 45 5 5( ) quedamultiplicadapor22 5 4.Nota:Podríaplantearseconotrosaumentosproporcionalesdellado(L 5 kl)ycomprobarquelarazónentrelassuperficiesesk2.

18. En un cubo de arista a caben 111 litros de agua. ¿Cuántos litros puede contener un cubo cuya arista es el doble del anterior? ¿Es necesario conocer el valor de a?

Elvolumendelcuboinicialesa3.Elvolumendeldedoblearistaserá:V a a5 5( )2 83 3,quevaldrá8 ? 111 5 888litros.Noesprecisoconocera.

19. Dibuja una circunferencia con un lápiz y una regla.

Sedibujaunpunto,queseráelcentro,ysecolocalareglacomoseindica,trazandounalínea.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Fig. 1.7.

Girandolaregla,manteniendoelpuntoencontactoconella,setrazanotrasrectas,obteniéndoseundibujocomoelsiguiente.Lacircunferenciaesla“envolvente”detodasesasrectas,quesontangentesalacircunferencia.

Fig. 1.8.

Tipo IV: Problemas resolubles mediante fórmulas

20. La superficie de un triángulo isósceles de altura 4 cm es 12 cm2. Halla su base y los otros dos lados.

PorelProblema16,b 5 6.Comoesuntriánguloisósceleslaalturacaeenelpuntomediodelabase.PodemosaplicarelteoremadePitágoras:l2 2 24 35 1 l 5 5cm.

3

4l

Fig. 1.9.


�RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 01

21. Un ciclista parte de Badajoz con destino a Cáceres, que está a 90 km de distancia. Una hora después otro ciclista inicia el mismo itinerario, recorriendo cada hora 10 km más que el primero. Si llegan a Cáceres en el mismo instante, ¿cuánto tiempo tardó cada uno?

Primerciclista:

Velocidad 5 v;tiempo 5 t vt

590

Segundociclista:

Velocidad 5 v´;tiempo 5 t´,cont´5t 2 1yvt

´590

12

Comov́ 5 v 1 10 90

190

10t t2

15 t t2 9 02 2 5 t 5 3,54h 3h,32min.

22. Con un trozo rectangular de cartón, que es 4 cm más largo que ancho, se construye una caja sin tapa de volumen 840 cm3, cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y do-blando los bordes. ¿Qué dimensiones tenía el cartón?

6

6

x

x 1 4

x 2 8 x 2 12

6

Fig. 1.10.

(x 2 8) ? (x 2 12) ? 6 5 840 x x2 20 44 02 2 5 x 5 22

Tipo V: Reducción a la unidad

23. Tres amigos ganan por un trabajo 1 105 €. ¿Cuánto les co-rresponde a cada uno de ellos si uno trabajó 8 días, otro 5 y el otro 4?

En total trabajaron 17 días. A cada día le corresponden1 10517

65ù €.

Uno cobrará 8 ? 65 5 520€; otro, 5 ? 65 5 325; y el tercero,4 ? 65 5 260€.

24. Si 6 gatos pueden comer 6 sardinas en 6 minutos, ¿cuántos gatos serán necesarios para comer 100 sardinas en 50 mi-nutos?

Cadagatosecomeunasardinaen6minutos.Paracomerse100sardinas,ungatonecesitaría600minutos.Paracomerselas100sardinasen50minutossenecesitarán12gatos.

25. ¿Cuántos litros de aceite de 2,90 €/L hay que mezclar con 200 litros de 3,60 €/L para que la mezcla resulte a 3,40 €/L?

Litrosde2,90 5 x.2,90x 1 3,60 ? 200 5 3,40 ? (x 1 200) x 5 80L.

26. ¿Cuántos mapas del mismo tamaño que el de escala 1:200000 habrá que hacer para reproducir la misma super-ficie a escala 1:50000?

Aescala1:200000,1cm2delmapa 5 4km2enlarealidad.Aescala1:50000,1cm2delmapa 5

5 (50000?50000 5 2500000000cm2) 5 0,25km2enlarealidad.Por tanto, habrá que hacer 4/(0,25) 5 16 mapas de escala1:50000.

Tipo VI: Estrategia hacia atrás

27. Dos jugadores pueden sumar uno, dos o tres al número que diga el otro. Comienzan en cero y gana el primero que lle-gue a 37. ¿Qué hay que hacer para ganar?

Lasecuenciadelganadordebeser:37,33,29,25,21,17,13,9,5,1Ganaráelquecomienceeljuegoysigaestasecuencia,dede-rechaaizquierda.

28. Dos jugadores pueden sumar desde uno hasta diez al núme-ro que diga el otro. Comienzan en cero y gana el primero que llegue a 100. ¿Cómo hay que hacer para ganar?

Ganaelquecomienzaysigueestasecuencia:1,12,23,34,45,56,67,78,89,100Nota:Podríaplantearseunjuegoconlasmismasreglas,peroelquepierdeeselqueseveaobligadoadecir100.¿Cuáldebeserlasecuenciadelganador?

29. Aquí tienes tres trozos de cartulina. Haz un corte en cada cartulina, de forma que queden seis piezas que puedan jun-tarse para formar un cuadrado.

20 cm

10 cm

20 cm

10 cm

20 cm

10 cm

Fig. 1.11.

Elcuadradofinaldebetenerunasuperficiequeserálasumadelassuperficiesdelostrestrozosdados:20 ? 10 1 20 ? 5 1 20 ? 10 5 500 serás un cuadrado de lado

500,queeslamedidadeladiagonal(ydelahipotenusa)delosrectángulos.

jCUESTIONES BÁSICAS

1. ¿Qué error se comete en las siguientes igualdades?a) (3 1 4)2 5 32 1 42;

b)4 2

4 22

2

xx1

5 1 ;

c) 2 2x x x2 2 25 5( ) .

a) Elcuadradodeunasumanoeslasumadeloscuadrados.

b) Sesimplificanfactores,nosumandos:4 2

422

2 2

xx x

115 .

c) 2 2 ? 2x x x x22 5 5 ( ),siempreesnegativo. ( )2x x2 25 ,siempreespositivo.



2. Expresa mediante una igualdad las siguientes sentencias: a) El doble de x más 3 es igual a y. b) El doble de x, más 3, es igual a y. c) El cuadrado del doble de x es igual a la mitad de y.

a) 2 ? (x 1 3) 5 yb) 2x 1 3 5 y

c) ( )22

2xy

5

3. ¿Qué dice el teorema de Pitágoras? ¿Por qué el triángulo de lados 3, 4 y 5 cm es rectángulo, mientras que el de lados 10, 12 y 15 cm no lo es?

Eneltriángulodelados3,4y5secumpleque52 5 32 1 42;estoes,elteoremadePitágoras.En el triángulo de lados 10, 12 y 15 no se cumple que152 5 102 1 122;portantonopuedeserrectángulo.

4. En un mapa a escala 1:100 000, ¿cuál es la distancia real entre dos ciudades que están separadas 3 cm en el mapa?

3 ? 100000 5 300000cm 5 3km.

5. ¿Cómo medirías un litro de agua si tienes dos recipientes de 3 y 5 litros?

(1)Llenaselrecipientede3litros loviertesenelde5.(2)Vuelvesallenarelrecipientede3litros loviertesenelde5hastaquesellena.Enelrecipientede3litrosqueda1litro.

6. Una camisa valía 72 euros. ¿Cómo calcularías con una simple multiplicación su valor si se ha rebajado un 16 %?

72 ? (1 2 0,16) 5 72 ? 0,84 5 60,48€

7. ¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo? ¿Y los ángulos de un pentágono?

Triángulo:180º.Unpentágonopuededescomponerseentrestriángulos su-marán3 ? 180 5 540.

8. ¿Qué mismo número hay que añadir a los dos términos de

la fracción 38

para que resulte equivalente a 78?

3 78

321 x

81 xx5 5⇒

9. La suma de dos números consecutivos es 147. Hállalos.

x 1 (x 1 1) 5 147 73y74

10. Sabiendo que 1 232 5 15 129, halla sin calculadora 121 ? 125. (Recuerda que (x 2 a)(x 1 a) 5 x2 2 a2.)

121 125 123 2 123 2 123 4 15129 4 15122 2? 2 1 2 25 5 5 5 5)()( 5


�CONCEPTOS ALGEGRAICOS BÁSICOS 02

jACTIVIDADES

1. Clasifica los números siguientes:a) 20,325; b) 0,9333...; c) 1,122333444455555....;

d) 11; e) 121. Cuando sea posible, escribe una fracción equivalente a

ellos.

a) Racional,2325/1000b) Racional,84/9c) yd)Irracionalese) Entero,11

2. Calcula:

a) 23

34

313

1 ? 2 ; b) 23

34

313

1 ? 2 ;

c) 23

34

313

: 1 2 ; d) 23

34

313

2 1 : .

a)23

34

313

1 ? 2 5 1712

313

4712

? 2 5

b)23

34

313

3112

1 ? 2 5

c)23

34

313

: 1 2 5 23

154

13

745

: 2 25

d)23

34

313

23

154

13

23

454

12712

2 1 2 2 2: :5 5 5

3. Resuelve las siguientes operaciones, simplificando el resultado:a) (4 ? 32)(5 ? 33); b) [(23)2]3 25);

c) 5 55 3

2

2

1

1; d)

32

25

35

3

22 2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ;

e) 5 3 2015 2 10

5 4 6

4 5 7

? ?

? ?; f)

1005 2

2

2 3

( )( ) ( )

xyx y?

.

a) 36 ? 45 5 1620; b) 724; c)3014

157

5 ;

d)12111000

; e) 1; f)1

2y

4. Descompón en factores:a) P(x) 5 x2 2 2x; b) Q(x) 5 x2 2 2x 1 1; c) R(x) 5 2x3 2 10x2 1 8x.

a) P(x) 5 x2 2 2x 5 x(x 2 2)b) Q(x) 5 x2 2 2x 1 1 5 (x 2 1)2

c) R(x) 5 2x3 2 10x2 1 8x 5 2(x 2 4)(x 2 1)

5. Opera y simplifica las siguientes expresiones:

a) 21

2

21

xx

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

b) 2 1

11

xx

x1

11 2( )

c) 21

2 11

12

21

1

11 2

xx

xx

x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟: ( )

d) 2

1 1 12 2 2

xx x

xx( ) ( )2 1 1

21

a) 21

2 21

21

222

22

1

1 2

1

1

1

xx

x xx

xx

5 5( )( )

b)2 1

11

2 1 11

21

2 2xx

xx x

xx xx

1

11 2

1 1 2

1

1

1( )5 5

c) 21

2 11

12

21

1

11 2

xx

xx

x( ): 5x

x

x x

x

1

1

1

1

2

1

2

1

2

2

( )( )

( )( )

: 5

5x x

x x x

x

x x

1 1

1 1

1

1

2 1

1 2

2

1

2

2

( ) ( )( ) ( ) ( )

5

d)2

1 1 12 2 2

x

x x

xx2 1 1

21( ) ( )

5

5

21 2 1 2 12 2 2

xx x x x

xx2 1 1 1 1

21

5

5 2

2 1 10

2 2

x

x

xx1

21( )

5


Tipo I: Operaciones elementales. Potenciación

1. Halla el resultado decimal de: a) 4,0031 2 0,3 ? 2,01; b) 2 3,2 : 2,1 2 0,1 ? 0,03; c) (0,07 2 4,2) ? 2,1; d) (2 0,03)3;

e) 1

0 031 21 6,,,

1 ; f) 1,17 ? 6,2 2 3,001.

a) 3,4001; b)21 526809523, ; c) 2 8,673d) 2 0,000027; e) 34 083, ; f) 4,253

2. Expresa en forma de fracción los siguientes números:a) 30 63, ; b) 0,24;c) 3,3111...; d) 5 021, .

a)33711

; b)625

; c)14945

; d)1657330

3. Calcula y simplifica:

a) 25

16

245

2 ? 1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ b)

25

16

245

2 ? 1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

c) 25

16

245

2 ? 1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ d)

25

74

:

a)4975

; b) 2115

;

c)1915

; d)835

.


10 CONCEPTOS ALGEBRAICOS BÁSICOS02


a) 25

65

52

12 2: ; b) 14

312

22 2 1? ;

c) 12

23

42

2 2 ;

d) 23

35

25

34

2 1: .

a) 23325

; b) 2338

;

c)4312

; d) 2112

.


a) 43

523

25

2 ? 2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟; b)

23

98

312

12

3

2

? 2 2 ;

c) 25

37

49

:⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ? ; d)

25

34

49

: ?⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.

a) 0; b)14; c)

56135

; d)65.

6. Expresa en función de las potencias de 10 los siguientes números:a) 3 740 b) 0,05 c) 2 308,547

a) 3740 5 3 ? 103 1 7 ? 102 1 4 ? 101 1 0 ? 100

b) 0,05 5 5 ? 1022

c) 2 ? 103 1 3 ? 102 1 8 ? 100 1 5 ? 10 21 1 4 ? 10 22 1 7·10 23

7. Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

a) 6432

3 2

4

a ba b

; b) 6 3 2 3318 121 12

2 5 6 5

3 2 4

? ? ?

? ?;

c) 268

1332

2 7 2

2 3

24 3

2 2

x y zxy z

x yzx y z

: .

a)6432

3 2

4

a ba b

5 2ba

b)6 3 2 3318 121 12

2 5 6 5

3 2 4

? ? ?

? ?5

2 3 3 2 3 112 3 11 2 3

2 2 5 6 5 5

3 6 4 8 4

? ? ? ? ?

? ? ? ? 5

2 3 112 3 11

8 12 5

11 10 4

? ?

? ? 5

5 3 11

2

2

3

?5

998

c)268

1332

2 7 2

2 3

24 3

2 2

x y zxy z

x yzx y z

: 5

52 13

2132

2 2 4 14 4

6 2 4 6

4 3

5 2

? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

?

x y zx y z

x y zx

:?? ?y z2

5

52 132 13

7 2 6 16 5

6 6 5 9

? ? ? ?

? ? ? ?

x y zx y z

5 2 13 11

4

? ? yz

5 26 11

4

yz

Tipo II: Expresiones algebraicas

8. Expresa algebraicamente: a) Cuatro veces x menos su décima parte.

b) La tercera parte del número p por el cuadrado de r y por h (volumen de un cono).

c) El precio de una entrada de cine es x más el 6 por 100 de IVA aplicado sobre x.

a) 410

xx

2 ; b)13

2pr h; c) P x x5 16

100.

9. Escribe la expresión general de los números naturales que son:a) Múltiplos de 4. b) Múltiplos de 6.c) Múltiplos de 4 y de 6 a la vez.

a) 4nb) 6nc) 12n.Sisedacomosolución24nsepierdelamitaddeellos.

10. La expresión C(t) 5 2 000 ? (1 1 0,05) da el capital acumu-lado al cabo de t años para un capital inicial de 2 000 € puesto a un 5 % de interés en un determinado banco. ¿Cuál será ese capital al cabo de 2 años? ¿Y al cabo de 4 años?

C( ) ( , )2 2000 1 0 05 220525 5? 1 €;C( ) ( , ) ,4 2000 1 0 05 2431 0145 5? 1 €.

11. El coste total, en euros, de la producción de x unidades de un determinado producto viene dado por la expresión

f x x( )5100 10001 . Halla el coste de producir 16, 100, y 400 unidades. ¿A cuánto sale la unidad en cada caso?

f ( )16 100 16 1000 14005 51 €Cadaunidadsalea1400/16 5 87,5€f ( )100 100 100 1000 20005 51 €Cadaunidadsalea2000/100 5 20€f ( )400 100 400 1000 30005 51 €Cadaunidadsalea3000/400 5 7,5€

Tipo III: Operaciones con polinomios

12. Calcula: a) 3x6?4x5; b) ( ) ( )2 ? 22 145 3x x ;

c) ( ) ( )2 35 4x x? 2 ; d) x x6 242( ); e)

4 3x10 2x

; f) 4 4

10

3

2

x xx

2.

a) 12x; b) 28x8; c) 2 6x9;

d) 24x; e)25x; f)

2 25

2xx2

.

13. Calcula: a) 7 6 2 4 2 12 3 5 3 2x x x x x2 1 2 1 2( ) ( ) b) ( ) ( )2 4 1 3 73 2 2 3x x x x2 1 1 2 1 2

c) ( )8x429x311 ( )2x13x3252

d) 212

334

513

3 2 2x x x x2 1 2 1 2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a) 2x5 2 10x3 1 9x2 2 1 b) 3x3 2 7x2 2 6

c) 13x4 2 12x3 2 2x 1 1 d) 254

5103

3 2x x x2 2 1


11CONCEPTOS ALGEGRAICOS BÁSICOS 02

14. Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios:a) (3x3 25x2 17x 25)(23x2 15x 24)b) 2 1 1 2 1

13

525

25

312

22x x x x⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

c) ( )( )5 3 5 7 6 32 3x x x x1 2 2 1

d) 14

38

2x2 x2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 25x214x2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a) 29x5 1 30x4 2 58x3 1 70x2 2 53x 1 20

b) 2 1 2 1 1215

32251150

1310

15

4 3 2x x x x

c) 35x5 1 21x4 2 65x3 2 3x2 1 39x 2 15

d)214

x42 x32438

214

x11058

x21

15. Haz las siguientes divisiones de polinomios:a) (8x5 112x4 210x3 122x2 146x 225):(2x3 2x 17)

b) (20x3 112x4 129 239x2 228x):(4x2 25) c) ( )2x323x12 ( )2x21:

a)Cociente:4x2 1 6x 2 3 Resto:x 2 4b)Cociente:3x2 1 5x 2 6 Resto: 2 3x 21

c) Cociente:12

54

x21 x2

Resto:34

16. Halla:

a) x262( ) ; b) ( )4 2

21x ;

c) 12

512

5x x1 2 ; d) ( )( )4 1 4 1x x2 1 .

a) x2 2 12x 1 36; b) 16 1 8x2 1 x4;

c)14

252x 2 ; d) 16x2 2 1.

17. Utiliza la regla de Ruffini para hacer las siguientes divisio-nes:a) ( ) ( )x x x x5 32 11 2 2:

b) ( ) ( )2 3 33 5x x x x2 2 2:

c) ( ) ( )3 6 14x x2 1:

a)Cociente:x4 1 x3 2 x2 2 x Resto:0b)Cociente: 2 x4 2 3x3 2 7x2 2 21x 2 66 Resto: 2198c)Cociente:3x3 2 3x2 1 3x 2 3 Resto: 23

Tipo IV: Factorización de polinomios

18. Factoriza los siguientes polinomios:a) P(x) 5 4x4 1 10x2 b) P(x) 5 10x3 2 250xc) P(x) 5 3x3 2 9x2 1 6x

a) P(x) 5 4x4 1 10x2 5 2x2(2x2 1 5)b) P(x) 5 10x3 2 250x 5 10x(x2 2 25) 5 10x(x 1 5)(x 2 5)c) P(x) 5 3x3 2 9x2 1 6x 5 3x(x2 2 3x 1 2) 5 3x(x 2 1)(x 2 2)

19. Factoriza los siguientes polinomios:a) P(x) 5 2x2 1 x 2 15 b) P(x) 5 8x4 1 80x3 1 200x2

c) P(x) 5 6x5 1 14x4 1 4x3

a) P(x) 5 2x2 1 x 2 15 5 2(x 1 3)(x 2 5/2)b) P(x) 5 8x4 1 80x3 1 200x2 5 8x2(x2 1 10x 1 25) 5 8x2(x 1 5)2c) P(x) 5 6x5 1 14x4 1 4x3 52x3(3x2 1 7x 1 2)5 5 2x3(x 1 2)(x 1 1/3)

20. Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que una de sus raíces es x 5 25 y que P(2) 5 27

ElpolinomiobuscadoesdelaformaP(x) 5 (x 2 x1)(x 2 x2)sien-dox1yx2susraíces.Six1 5 25 P(x) 5 (x 1 5)(x 2 x2)SiP(2) 5 27 (2 1 5)(2 2 x2) 5 27 x2 5 3Portanto,P(x) 5 (x 1 5)(x 2 3) 5 x2 1 2x 2 15

21. Halla el polinomio de segundo grado sabiendo que tiene por raíces x 5 1 y x 5 26 y que P(0) 5 212.

SeaP(x) 5 k(x 2 x1)(x 2 x2)siendox1yx2susraíces.Six1 5 1yx2 5 26 P(x) 5 k(x 2 1)(x 1 6)PorP(0) 5 212 P(0) 5 k(21) ? (6) 5 212 k 5 2Luego,P(x) 5 2(x 2 1)(x 1 6) 5 2x2 1 10x 2 12

22. Descompón en factores el polinomio P x x x x( )52 10 14 63 22 1 2 sabiendo que x 5 1 es una de sus

raíces.

Six 5 1esunaraíz (x 2 1)esunfactor P(x)esdivisiblepor(x 2 1).SedivideporRuffiniyseobtiene:P x x x x x x x )()()( 5 52 10 14 6 1 2 8 6223 2 1 2 2 2 1 552 1 4 32( )( )x x x2 2 1Los otros dos factores se obtienen resolviendo la ecuaciónx x2 4 3 02 1 5 .Sussolucionessonx 5 1yx 5 3 (x21)y(x 2 3)sonlosfactores.Enconsecuencia:P x x x x x x x x )()()()()( 5 5 52 10 14 6 2 1 1 3 2 13 22 1 2 2 2 2 2 22 3( )x 2

P x x x x x x x x )()()()()( 5 5 52 10 14 6 2 1 1 3 2 13 22 1 2 2 2 2 2 22 3( )x 2Enestecaso,lasoluciónx 5 1esdoble,pueselfactor(x 2 1)serepitedosveces.

Tipo V: Fracciones algebraicas

23. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) 21

7 14

2

2

xx x2

; b) 4

3 122

2

xx

;

c) 3 12

2

2xx

2

1; d)

( )xx

2

2

11

2

2.

a)21

7 14

2

2

xx x2

5 3 7

7 1 2

2? ?

2

xx x( )

5 3

1 2x

x2

b)4

3 122

2

xx

54

3 42

2

xx( )

5 2 2

22

( )( )xx

43 4

13

5

c)3 12

2

2xx

2

15

3 4

23 2 2

23 2

2x

xx x

xx

2

1

1 2

12

( )5 5

( )( )( )

d)( )xx

2

2

11

2

25

( )( )( )

xx x

xx

2

1 2

2

1

11 1

11

2

5


12 CONCEPTOS ALGEBRAICOS BÁSICOS02

24. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a) x x

x

2 6 72 21 2

2;

b) 4 40 100

4 100

2

2

x xx

2 1

2;

c) 3 6

3 24 60

3 2

4 3 2

x xx x x

2

1 2.

a)x x

x

2 6 72 21 2

2 5

( )( )( )

x xx

x2 1

2

11 72 1

72

5

b)4 40 100

4 100

2

2

x xx

2 1

25

54 10 25

4 50

4 54 5 5

52

2

2x x

x

xx x

x2 1

2

2

1 2

2( )( )

5 5( )

( )( ) xx 15

c)3 6

3 24 60

3 2

4 3 2

x xx x x

2

1 2 5

5

3 2

3 8 20

3 23 2 10

2

2 2

2

2

x x

x x x

x xx x x

( ) ( )( )(

2

1 2

2

2 1( )5

))5

110x 1

25. Halla, simplificando el resultado:

a) xx

2 11

12

1; b)

1 2 4 82 3 4x x x x

2 1 2 ;

c) 5 3 3

12 2xx

x x x1

12

1; d)

x1111

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x212

;

e) xx

xx

1

11

2

15

8252

; f) xx

xx

xx3 9

23 9

23 27

2

211

2

22

2;

a)xx

2 11

1

1; b)

x x xx

3 2

4

2 4 82 1 2;

c)52x; d)

( )2

2 21

x2

x1

1;

e)xx

2

2

15; f)

2

2

23 3( )x

.

26. Halla, simplificando el resultado:

a) xx

xx

2 1 12

2 1

1: ;

b) xx

x xx

1

2?

2 1

2

32

4 49

2

2;

c) 5 4

42

5 155 20 15

2

2

2

2xx

xx

x xx

2

21

2

1?

1 1

1.

a)x x

x

2 21 2 b)

x 23x 12

c)

xx

2

22

27. Transforma, sin hacer la división, la expresión D xd x( )( )

en su

equivalente de la forma C xr xd x

( )( )( )

1 , en los casos:

a) 2 3 52x x

x2 1

;

b) x x

x

2

2

3 51 2;

c) x x

x

2 3 53

2 1

2.

a)2 3 5

2 352x x

xx

x2 1

2 15 ;

b)x x

xxx

2

2 2

3 51

3 51 21

25 ;

c)x 2

53

x1 .

Tipo VI: Aplicaciones diversas

28. Si cambiamos de posición los dígitos de un número de dos cifras, se obtiene otro número que es 18 unidades mayor. ¿De qué número se trata?

Elnúmeroabpasaaserba:10b 1 a 5 10a 1 b 1 18 b 2 a 5 2Hayvariassoluciones,b 5 5ya 5 3esunadeellas;elnúmeroinicialsería35.

29. Desde Sevilla a Toulouse se puede ir en un número exacto de horas, viajando a 100 km/h o a 130 km/h de veloci-dad media. ¿Qué distancia hay entre las dos ciudades, si a 80 km/h se tarda menos de 25 horas?

Ladistanciatienequeserunmúltiplode100yde130.Elm.c.m.(100,130) 5 1300.Otrosmúltiplosson:2600,3900,5200,...Dadoqueyendoa80km/hsetardamenosde25horas,enton-cesladistanciaesmenorque80 ? 25 5 2 000km.Portanto,lasoluciónes1300km.

30. De una cuba llena de vino se saca 1/6 de su capacidad; des-pués, 1/4 de lo que queda. Si aún quedan 100 litros, ¿cuál es la capacidad de la cuba?

Seaxsucapacidad.

x x x2 1 ?16

14

56

100⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟5 x x2

924

1005 1524

100x 5

x 5 160litros.

31. Un grifo llena un depósito en 10 horas, y otro en 8 horas. a) ¿Cuánto llenan entre los dos en una hora?b) ¿Cuánto tardarían en llenarlo entre los dos?

a) Unollena110

dedepósitoenunahora;elotro,18.Entrelos

dos:110

18

940

1 5 .

b) Tardarán409

horas(4,44…horas).

32. Toma una hoja de papel de tamaño 20 3 29 cm, y enróllala hasta tener un tubo sin que se solape el papel. ¿El volumen de ese tubo será independiente del sentido de enrollado?

29

20

Fig. 2.1.


1�CONCEPTOS ALGEGRAICOS BÁSICOS 02

V 5 pr2h.Paraeltubogordo,2pr 5 29 r 5 29/2p;h 5 20 V 5 4205/pcm3.Paraeltubolargo,2pr 5 20 r 5 10/p;h 5 29 V 5 2900/pcm3.


1. Calcula mentalmente: a) 0,2 1 0,05; b) 40 ? 0,07; c) 0 09, ; d) 4,3 : 0,01.

a) 0,25; b) 2,8;c) 0,3; d) 430.

2. Calcula:a) 3 2 2 ? (24 2 5) 1 (22)4; b) 232 2 2 ? (5 2 1)2 2 (23)3.

a) 37 b) 214

3. Halla:

a) 43

22

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ; b)

25

14

35

: 2 .

a) 4/9 b) 1

4. Simplifica:

a) 2 8

4

2x y xyxy1

; b) 3 545

5 4

3

?.

a)x 14

2; b)

53.

5. Expresa algebraicamente:a) La mitad de x más el cuadrado de y.b) El doble de x más la tercera parte de y. c) La velocidad es el espacio partido por el tiempo.d) La mitad de la suma de B y b, por h. (Área de un trapecio.)

a)x

y2

21 ; b) 23

xy

1 ;

c) vet

5 ; d)( )B b h1

2.

6. Halla:

a) 23

1 212

x x1 2 2 1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟; b)

23

1 212

x x1 ? 2 1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.

a)83

12

x 1 ; b) 2 2 143

53

12

2x x .

7. Divide por Ruffini 3x2 2 2 entre x 1 2. Indica el cociente y el resto.

C(x) 5 3x26;r 5 10

8. Dado P x x x( )52 3 1032 1 , calcula P(2), P(22) y P(0). ¿Pue-des dar un factor de P(x) de la forma x a2 ?

P(2) 5 20:P(22) 5 0;P(0) 5 10.Unfactoresx 1 2.

9. Sin resolver la ecuación de segundo grado asociada al poli-nomio Q(x) 5 x2 1 7x, halla sus raíces.

Q(x) 5 x2 1 7x 5 x(x 1 7) x 5 0;x 5 27

10. Halla y simplifica:

a) 1 1

2xxx

22

; b) 2

14 4

xxx2

?2

.

a)12x; b)

8x.


1� INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES0�

jACTIVIDADES

1. Escribe dos números de cada clase:a) Enteros.b) Racionales pero no enteros.c) Enteros pero no naturales.d) Irracionales.e) Decimales periódicos pero no racionales.

a) 23y 16 b)13y

2067

c) 2321y2164

d) py 5

e) Imposibleporquetodonúmerodecimalperiódicoesracional.

2. Calcula y simplifica:a) 2[x(2y) 2 2(2z)3];

b) ab b b b

a b

1 2 2

2 2 2 1 2

2 3

3 2

( )( ) ( )

.

a) 2[x(2y) 2 2(2z)3 5 xy+(26z) 5 xy 2 6z

b) ab b b

a b

1 2 2

2 2 2 1 2

2 3

3 2

( )( ) ( ) 5

ab b ba b2 2

2 1 2

2 33 2

2

3. Representa los números reales:

a) 169

; b) 20,47; c) 13.

a) Como169

5 1 1 79,dividimoselintervalo[1,2]ennuevepartes

iguales,coincidiendolaséptimaconelnúmerodado.

0 1 2

16/9

Fig. 3.1.

b) Hallamoselpunto20,47mediantesubdivisionesdelinter-valo[21,0]yposteriormentedel[20,5,20,4]:

�1 �0,5 0

�0,4

�0,47

�0,5 �0,4

Fig. 3.2.

c) Procedemosarealizarlaconstruccióngráficadelafigura:

1

0 1 2 3 410

Fig. 3.3.

4. Encuentra y señala en la recta real los puntos cuya distan-cia a 21 es menor que 2.

Setienequelospuntosxcuyadistanciaa21esmenorque2verifican:d(x,21)<2 x x2 2 1 ,1 1 2( ) 5 ? 22,x 1 1,2

23,x,1 x(23,1)

5. a) Redondea a centenas los datos: 1 897,67, 987 514 y 123.

b) Redondea a milésimas: 34,2345, 0,8765, 0,12345.c) Calcula los errores absolutos y relativos cometidos en a).

a) Losredondeosacentenasserán: 1897,671900;987514987500;123100b) Ídemamilésimas: 34,234534,235;0,87650,877;0,123450,123c) Los errores absolutos (e) y relativos (E) cometidos en las

aproximacionesdelapartado(a)serán: e(1900)5 19002 1897,675 2,33

E(1900)5 2 33

1897 63233

189763,

,5 5 0,0012

e(987500)5 9875142 9875005 14

E(987500)5 14

9875140,00001

e(100)5 1232 1005 23;E(100)523123

50,187

6. Escribe en notación científica los siguientes números:a) 150 000 000 ? 95 000 000b) 0,000000000789 ? 0,088

a) 1,425 ? 1016

b) 6,9432 ? 10211


a) 27 643 ? ;

b) 8 425 35x x y? ;

c) ab ab? 6 .

a) 27 643 ? 5 27 643 3? 53? 4 5 12

b) 8 425 35x x y? 5 x x y x y52x y8 4 322 35 5 55? 5

c) ab ab ab ab a b? ?6 36 6 4 465 5( ) 5 a b2 23

8. Extrae factores:

a) 8a5; b) 81 104 63 ? ?x ; c)

16a27

.

a) 8 2 2 2 25 2 22

2a a a a a5 5( )b) 81 10 3 3 10 104 63 3 3 2

33? ? ?x x5 ( ) 5

5 3 10 3 10 30 302 3 2 3? ? ?x x5

c)3a

34

Introduce factores:

a) 2aa2

2 ; b) 2x

x323 ; c) (x 1)

x 1x 1

12

1.


1�

INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS REALES 0�

a) 22

22

22

22 22

2 4 5aa

aa

aa

a5 5 5( )

b)2 2 2 23

23

3

3

3 233

923

3

73

xx

xx

xx

x5 5 5

c)xx

2

1

11

5xx

xxx

2

11

2

1

11

111

22( )x 11 ( )x 11( ) ( )5 5

x x x1 21 1( )( )5 5 22 12

9. Halla el valor más simplificado de:

a) ( 25 )5; b) a4

4⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

5

; c) a a34 .

a) 2 2 255

55( ) 5 5

b) 5 5a aa a

4 4 4 44

5 5

4 4

c) a a a a a a34 334 412 35 5 5

10. Extrae factores y suma:

a) 2 3103

27 2 1081 2 ; b) 2 2012

45 4 1251 2 ;

c) 8 72 3 288 2 388

7 2

2 2 .

a) 2 3103

27 2 108 2 3103

3 2 3 23 3 21 2 1 25 5

2 3103

3 3 2 3 21 2 ? ?5 335(2 1 10 2 12) 3 5 0? 350

b) 2 2012

45 4 1251 2 52 2 512

3 5 4 52 2 31 2 5

2 2 5

12

3 5 4 5 5? 1 2 ? 5 432

20 5292

51 2 25

c) 8 72 3 288 2 388

7 2

2 25

2 2 28 6 2 3 12 2 2 13 2

7 2

2 25

8 6 2 3 12 2 2 13 2

7 2

? 2 ? 2 ?5

5 5 548 36 26 2

7 2

147

22 2

22( )


Tipo I. Relación de orden y recta real. Operaciones

1. Calcula las potencias:

a) 323, (23)3, (23)23, 2323; b) 13

32

5

c) 5 55 5

1 0

1 0

2

2

2

2 1; d)

1 11 1

1 1

1 0

12 2

2

22 2

2 1

( )⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

a) 313

127

33

2 5 5 ;(23)35227;(23)235 13

1273( )2

25 ;

b)13

32

5335 27; 22 21

31

31

27

3

35 5 ;

2 2 2 2

213

33

35 ( ) 527

c)5 55 5

5 55 5

11 0

1 0

1 0

1 0

2

2

2

2

2

2 12

2

225 5 ;

d)1 1

1 1

1 1

1 0

12 2

2

2

2 2

2 1

( )5

2 1

1

1 11 1

02

01

5 5

2. Simplifica y no dejes exponentes negativos:

a) (8a 2 1b2)2 2; b) ( ) ( )( )a b

ab

2

2

2

2

1 2 3

2; c)

2 2a b3 1( ) ( )22ab 3

24

.

a) (8a21b2)22 5 822a2b245 ab

2

2 48

b)( ) ( )

( )a b

ab

2

2

2

2

1 2 3

2 52

22

a b

a b

bb

−2 3

2 2

55

1 15 5

c)( ) ( )2 2 2

2

a bab

3 1

3

24

5 2 1 1

24

3

3

a ba

b

5 2ba b

ba

3

4

2

44 2 852

3. Simplifica y da el resultado en forma radical:

a) 5 213

12a a b) ( )16

23

23

12a b

2 c)

2 112

12

23

6

x y

x y

2

2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

a) 5 213

12a a 5 5·2a a a

13

12

56 5610 101

5 5

b) ( )1623

23

12a b

25 16 4 4

12

13

13

3

33a b

b

a

ba

25 5

c)2 1

12

12

23

6

x y

x y

2

25

2 646 6 3

3 4 3

x yx y x y

2

25

4. Escribe tres números entre:

a) 3,37X y3,37602; b) F y1811

; c) 367

11 43y , .

a) 3,37X<3,374<3,375<3,376<3,37602

b) 55F 1 61803 1 60804 1 61 1 621811

1 37, , , , ,, , , ,

c)367

2 2677 2 26 2 255 2 2507 11 4 2 25063 55 , , , , , ,. . . .

5. Decide la veracidad o falsedad de las siguientes afirmacio-nes mediante ejemplos:a) La suma de número racional e irracional es irracional:

verdad,21p.

b) El producto de número racional y un número irracional es irracional:

verdad,35

5.


13

32

;213

32

2 .


a) (29,0)b) p12,4555,59…Entoncesunintervalopuedeser(5,6)c) F2 101528,43…Entonces(28,5,28).

10. Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real: a) A 5 {x, x 21}b) B 5 {x, x 1/2 y x 20,5}c) C 5 {x, x 1 y x 3}d) D 5 {x, 22,5 x 1,2}

a) (2`,21);b) [21/2,1/2);c) [;d) [25/2,6/5).

11. Escribe la desigualdad que cumplen los números que perte-necen a los intervalos: a) (2`, 2]; b) [2, 5]; c) (21, 3) [0, 1`); d) [0, 3) (21, 1).

a) {x,x # 2};b) {x,2 # x # 5};c) {x,21,x};d) {x,0 # x #1}.

12. Escribe en forma de desigualdad y de intervalo los números que verifican:

a) x 3; b) x 3; c) 5

0x

; d) 1 0x2 .

a) {x,23 # x#3} [23,3];b) {x,x # 23ox $ 3} (2`,23] [3, ); c) R2{0};d) {1}.

13. Encuentra los intervalos unión e intersección de estos pa-res de intervalos: a) I 5 {x, |x 1 1| 1} y J 5 [21 ,2)b) K 5 {x, |x 2 1| 2} y L 5 {x, |x 1 2| 2c) M 5 (2`, 2] y N 5 {x, |x 2 3|5 2}

a) I J 5 (22,0) [21,2) 5 (22,2);I J 5 [21,0)b) K L 5 (2`,0] [3,`) ;K L 5 [24,21]c) M N 5 (2`,2] {5} {1} 5 (2`,2] {5};M N 5 {1}

14. Halla y representa en la recta real los números que distan de 21 menos de 2 unidades.

d(x,21) 5 x x2 2 1 ,( )1 1 25 ⇒

22x 112 23x1 (23,1)

Tipo II. Notación científica. Números aproximados

15. a) Redondea a unidades:

Alredondearaunidades,despreciamoslaprimeracifradeci-mal,portanto:

c) El producto de dos números irracionales es irracional:

falso, 23

23? 5 .

6. Los lados de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1 ¿tienen medida racional o irracional?

2

x

x

Fig. 3.4.

AplicamoselteoremadePitágorasaltriánguloseñalado:225x2 1 x2 x 5 2,porloquelosladossonirracionales.

7. Halla qué números representan las abscisas A, B, C y D de la figura:

22 21 0 1 2 3C

1

A B

1

D

OA

Fig. 3.5.

Elintervalo[22,0]sedivideentrespartes,luegoelpuntoC

correspondea243.A 5

111 5 2.

Porotrolado,delaconstruccióngeométrica,Bes

( 2 ) 1 32 21 5 yDseobtienesumandoaB ladistanciaOA 5

2,portantolaabscisaquecorrespondeaDes 3 21 .

8. Ordena de menor a mayor y representa en la recta real los siguientes números:

a) 20,75; b) 94

; c 3 d2320

e0,0256

2) ; ) ; )2 .

Comoresultaque 3 1,732..,2320

1,15 y0,0256

20,085 5 52 2

setienelaordenación:20,75,2

0,02562

, 2320

,94

, 3

Surepresentaciónaproximadaenlarectareales: 3

21 0 1 2

20,752–––––––––

0,02562

23–––20

9––4

3

Fig. 3.6.

9. Asigna un intervalo abierto que contenga cada uno de los números siguientes: a) 27; b) p 1 2,45; c) F2 101.


+`1

1�


0,8541115,0611521546,721547

b) Redondea a milésimas:

Enelredondeoamilésimas,éstaeslaúltimacifraconservada,luego:20,099620,156,444456,4441,8976451,898

16. Escribe estos números con un error menor que una milésima:

a) 2b cp137

; ) ; ) ;

d) (2 2 0,56)3

a) 13/7 5 1,8571...1,857;b) p 3,142;c) 21,414;d) (220,56)3 5 2,985982,986.

17. Indica a qué intervalo pertenecen los números cuyo redon-deo a centésimas es 1,23.

El intervalo sería: (1,225, 1,235) pues en él la distanciad(x,1,23),0,01.Además,como1,225tambiénseredondeaa1,23,lasolucióncompletaes[1,225,1,235).

18. Si 1,23 es la medida de una magnitud en la que hemos cometido un error relativo máximo del 10 % ¿entre qué va-lores está comprendido el valor exacto de la magnitud?

Elerrorrelativoes:

E 5 x

xx

x

2, 2 ,

2,

1 230 1 0 1

1 230 1

,, ,

,,⇔

y de la primera

desigualdad:

2 , 2 , .

xx

xx

101 23 1 23

1110

12 311

123110

, ,,

⇔ ⇔ 5

delasegundadesigualdad:

E 5x

xx

x2

, 2 , 21 23

0 1 1 2310

,, ,⇔ ⇔

xx. ,1 23

910

12 39

1,

,⇔ ⇔ 5

22390

Lamagnitudestáenelintervalo:(123/110,123/90).

19. Expresa en notación científica los siguientes números indi-cando su orden de magnitud:a) 1 234 ? 105;b) 0,0000000067012; c) 0,00763 ? 106; d) 2527,05 ? 1023.

a) 1,234·108ordendemagnitud8.b) 6,7012·1029ordendemagnitud29.c) 7,63·103ordendemagnitud3.d) 25,2705·1021ordendemagnitud21.

20. Calcula empleando la notación científica:

a) 000065843 0( ), ,1 2765 3? b)37 10

4125000

4?

c) ? ?( )

0 0, (? ?2 7 ,5 1 00000812000 6 1 10

5 2

3 4

),

a) 1,27653 (0,00006584)3

? 5queenlapantalladelacalcula-dorada:

3,6433472 13 5 3,643347·10213

b) 37?104125 000

-4

58,9696972 10 5 8,969697 ? 10210

c) 2,75 10 (0,000008)

(12 000 ) 6,1 10

5 2

3 -4

? ?

? ?51,66972 14 5 1,6697·10214

21. La capacidad de memoria del disco duro de un ordenador se mide en gigabytes (Gb). Cada Gb tiene 109 bytes o unidades básicas de almacenamiento, de forma que cada byte con-tiene un símbolo (dígito, letra, etc.). Si por término medio una “palabra” está compuesta de 6 símbolos, estima cuán-tas palabras puede archivar un ordenador de 20 Gigabytes (Giga 5 109).

520 106

3,3 109

9? ?

Tipo III. Simplificación y operaciones con radicales

22. Reduce a una sola potencia fraccionaria:

a) a a b a c a a?23

12; ) ( ) ; ) ;d) 2 ? 8

132

? .

a) a a12

23

76

+5 ;

b) a a12

12

145 ;

c) ( )a a a a?11

212

12

14

345 5 ;

d)2·23/2·225/2 5 20 5 1.

23. Calcula el valor de los radicales:

a) 563 b) 54 c) 0,055 d)

283

2,16

a) 525 25; b) 1,4953…;c) 0,54928…; d) 2,06613…

24. Halla, sin utilizar calculadora, el valor de:

; ;a)10,1

169 b) 1440,09100

c) 81 144 4000

? ? d) 8 27 643; 2 ? ? .

a)100,1

169 10 169 10 169 10 13 1302 25 5 5 5? ?

b) 1440,09100

1440,09

10012

0,310

0,365 5 5

c) 81 144 400 81 144 400 9 12 20 2160???? 5 5 5

d) 2 ? ? 2 2 ? ? 28 27 64 8 27 64 2 3 4 243 3 3 35 5 5

25. Reduce a índice común, divide y simplifica:

a) 3

2

2 20

83 4; )b

?; c) 2

6

36

4

32

.


.


Tipo IV. Suma de radicales semejantes

30. Reduce las sumas: a) 3 5 2 80 1 2 45 2 125

b) 2 312

12 4 272 1

c) 3 45 2 25 1 100 2 2 180

a) 3 52 8012 452 12553 524 512·3 5 2 5 5 5 0

b) 2 312

12 4 272 1 2 15 52 3 3 12 3 13 3

c) 3 452 25110022 18059 525 522?6 5528 5

31. Reduce las sumas:

a) 4754

2 373

27489

1 2 1

b) 2 1 2 222027

1253

65

4512

353

c) 2 2 16 5 1283 3 32 1

a) 4754

2 373

27489

1 2 1 5 2·5 3 1 2 327 3 1

1 (4/3) 3 5 5 3 1 (4/3) 3 5 (19/3) 3

b) 2 1 2 222027

1253

65

4512

353

5

5 22 1 2 ? 2 2 2 223

53

553

32

53

353

743

53

65

1715

53

5 5( )

c) 2 2 16 5 1283 3 32 1 5 2 2 2 2 5 2 2 20 23 3 2 3 32 1 ? 5

Tipo V. Racionalización

32. Racionaliza:

a) 22

3

2 3; ;b) c)

8

4 2; d)

1 3

2 3

2; e)

x2

x3

.

a)2

2

2 22

25 5 ;

b)

3

2 3

3 32 3

32

5 5?

;

8

4 2

164 2

12

5 5?

)c ; d)1 3

2 3

2 2

?

25 5

( )1 3 32 3

3 36

;

e)2

3

x

x

xx

x

24

35 5

33. Racionaliza las fracciones:

a) 3

311 b)

5

2 5 22

c) x1 y

x2 y d)

3 2 3

2 3 6

1

2

a)3

2

3

2

2743

36

2665 5

b)2 20

8

2 20

8200

4

24 24

4

4?5 5

c) 26

36

4

32 5

2 6

32 3

2 312

1812

5 2112?

?2

5

26. Haz las operaciones que se indican:

; ;a)4 x

2xb) 2 4 8 c)

ab

1

aa

3

3 43

26

1

? ?

? 2

.

Entodosloscasoshemosdereduciraíndicecomúnparaoperar:

a)4 x

2x

x

x

xx

x3

5 5 54

24

44

36

26

3

26 56

( )

b) 2 4 83 4? ? 5 5 5 52 4 8 2 2 2 2 2 26 4 312 6 8 912 2312 1112

c)ab

1

aa

ab

a aa b

3

26

1? 22 2

5 5( )26

26 367 26


a) a a2 234 ? b) 2 2 42 212

3 13 1

4ab a b? ? 2

c) ( )2 ? 2 11 1 13 353

a) a a2 234 ? 5 a a a a6 238 824 35 5

b) 2 2 42 212

3 13 1

4ab a b? ? 2 5

5 2 2 4 2 2 26 6 1212 8 212 312 16 8 912 4 8 912a b a b a b a b2 5 5

c) ( )2 ? 2 11 1 13 353 5 1 15( )2 146153 45 111511152

28. Reduce todo lo posible las sumas: a) (1 2 2 2)2 2(1 1 2 2)2;b) ( 522)?( 5 1 2) 1 (2 2)2.

a) (12 2 2)2 2 (112 2)25 11824 2 2 12 82 4 2 5 28 2b) ( 522)·( 5 12)1(2 2)255 2 4 1 8 5 9

29. Demuestra que: 1 2 2 54 2 3 4 2 3 2.

Elevamosalcuadradolosdosmiembrosdelaigualdadyresul-ta:

4 2 3 4 2 3 22

1 2 22

5

4 2 3 4 2 3 2 4 2 3 4 2 3 41 1 2 2 1 2 ⇒⇒ 5

8 2 (4 2 3 )(4 2 3 ) 42 1 2 5 ⇒

8 2 4 2 3 4 8 2 4 4 82 22 2 ? 25 5 224 45


1�


a)3

31

3 1 31 3

3 321

2

2

2

25 5

( )

b)5

2 5 22

1

2 1

1

?

15 5 5

5 5 1

2 5 1 5 1

5 52 4

5 58

( )

( )( )

c)x1 y

x2 y

x1 y

x1 y

x1y12 xy

x2y? 5

d)3 2 3

2 3 6

3 2 3 2 3 6

2 3 6 2 3 6

1

2

1 1

2 15 5

( )( )

( )( )

6 3 3 6 4 3 2 3 6

2 3 6

2

2 2 2

1 1 1

256 3 3 6 12 2 18

61 1 1

5

5 6 3 3 6 12 6 2

62 2 3

62

1 1 11 1 15

34. Calcula:a)20 80 2 125

40b)

24 150 4 54

6

1 2 2 1; .

a) Sumamosenelnumeradorysimplificamos:

20 80 2 125

40

2 5 4 5 2 5 5

2 10

1 2 1 2 ?5 5

4 5

2 2 5

2

22

2 225 5 5

b) Operamoscomoen(a):

? 2 ? 1 ?24 150 4 54

6

2 6 5 6 4 3 6

6

2 2 22 1

55

(2 5 12) 6

69

2 155

35. Suma y simplifica: 3

2 3 2

5

3 3

2

322

11 .

3

2 3 2

5

3 3

2

322

11 5

3(2 3 2)

(2 3 2)(2 3 2)

5( 3 3)

( 3

1

2 12

2

15

33)( 3 3)

2 3

3 321 5

2 3 2 3

2 3 2

5 3 15

3 3

2 3

3

6 2 38

5 3 1562 2 2 2 2 2

? 1

22

2

21

12

2

25 11

2 33

5

5 2 118 6 3 20 3 60 16 3

24242 42 3

241 1 1

5277 3

45


1. ¿En qué se diferencian los números racionales de los irra-cionales? Pon un ejemplo.

Losirracionalesnopuedenponerseenformadefracción.

2. Escribe sin las barras de valor absoluto estas expresiones:

a) x11 si x > 21; b) x x x( )1 3 .

Aclaración:Setratadeescribirsinbarraslaexpresiónequivalente.

a) x 115x +1puesalserx >21,x +1>0.

b) x x x( )1 3 5 x x x x2 4 2 41 15 puesambaspotenciassonpo-sitivassiempre.

3. Simplifica la expresión: 2 2 2 2

2 2

a c a x cx

a x

( )

( )

[ ].

2 2 2 2

2 2

a c a x cx

a x

( )

( )

⎡⎣ ⎤⎦ 5

( ) ( )2 1 2 2 2 2 22

a c a x cxax

c a c xax

axax

5 5 52 2

2

4. Redondea a milésimas: a) 23,9525; b) 0,1672; c) 0,9999.

a) 23,952523,953 b) 0,16720,167 c) 0,99991

5. Escribe en notación decimal: a) 23,21 7 b) 0,05 –4

a) 23,21·1075232100000 b) 0,05·102450,000005

6. Calcula el valor: a) 284 ; b) 6 82 21 .

a) 2 2 484 25 5 ; b) 6 8 100 102 21 5 5

7. Suma: 8023

451 .

8023

451 5 4 523

3 5 4 5 2 5 6 52 21 15 5

8. Reduce a un solo radical: x

x

3

24.

x

x

x

x

xx

x x3

24

64

24

6

24 45 5 5 54

9. Escribe con una sola raíz y simplifica: a a3 .

a a3 5 a a a a33 46 235 5

10. Racionaliza: 2

2

2

2 5.

2

2

2

2 5 5

2 1

2 1

2 2 5

2 5 2 5

( )

( )( )5

2 1

21

2 2 54 5

2 2 5( )

( )5


20 ECUACIONES E INECUACIONES04

jACTIVIDADES

1. Semezclandostiposdevino:unode2,70€/Lyelotrode4,68€/L.¿Cuántoslitrosdecadaclasedebemoscogerparaobtener150Ldemezclaa3,60€/L?

Los 150 L de mezcla tienen un valor de 150 ? 3,60 5 540 €, que será idéntico al valor de los vinos mezclados: x ? 2,70 1 1 (150 2 x)4,68, siendo x los litros empleados del vino más barato. Por consiguiente: 540 5 x ? 2,7 1 (150 2 x)4,68, que re-

resuelta nos da el valor x 5 162

1,98 5 81,82 litros. Del otro vino toma-

remos 68,18 litros.

2. Resuelvelassiguientesecuaciones:a) 2x 2 1 1 3 5 x 1 1b) 2 x2 2 3x 5 xc) 2x2 11 2 x2 23 5 2

a) 2x 2 1 1 3 5 x 1 1 2x 2 1 5 x 2 2 2x 2 1 5 x2 2 4x 1 4 x2 2 6x 1 5 5 0.

Las soluciones de la última ecuación son x 5 5 y x 5 1. La única válida es x 5 5.

b) 2 x2 2 3x 5 x 4(x2 2 3x) 5 x2 3x2 2 12x 5 0 Las soluciones de la última ecuación son x 5 0 y x 5 4.

Ambas son válidas.c) 2 1 3 22 2x x1 2 2 5

2 1 3 2 2 1 3 4 4 32 2 2 2 2x x x x x1 2 1 1 2 1 1 25 5

x x x x x x2 2 4 2 4 24 3 16 3 16 48 0555 2 2 2 1( ) , ecuación bicuadrada que se resuelve haciendo x2 5 t,

t2 216t 1 48 5 0 t 5 4 y t 5 12 x 5 6 62 12y x5 que son válidas.

3. Hallalassolucionesdelasecuaciones:a) 2x3 2 4x2 1 2x 5 0 b) x3 2 6x2 1 12x 2 8 5 0

a) Sacando factor común: 2x3 2 4x2 1 2x 5 0 2x(x2 2 2x 1 1) 5 0 2x(x 2 1)2 5 0 Las soluciones son: x 5 0 y x 5 1, doble.b) Posibles soluciones enteras son: x 5 1, 2, 4 y 8.

La primera que encontramos es x 5 2. Dividiendo por Ruffini: x3 2 6x2 1 12x 2 8 5 0 (x 2 2) (x2 2 4x 1 4) 5 0. Como la única raíz de x2 2 4x 1 4 5 0 es x 5 2, se tiene que

x3 2 6x2 1 12x 2 8 5 0 (x 2 2)3 5 0. Luego, la única raíz es x 5 2, con multiplicidad 3.

4. Resuelvelasecuaciones:

a)x xx

2

2

3 41

02 2

15 b)

xx 1

3x1

11 x2

51

c)1x1

1x2

534

d)x2 1 2

2x 5 0

a) x xx

2

2

3 41

02 2

15

se verifica si el numerador es cero:

x2 23x 2 4 5 0 que resuelta da por soluciones x 5 21 y x 5 4, ambas aceptables.

b) Quitamos denominadores en la ecuación, quedando

x x x x x x x x x( ) ( )( )1 1 3 1 1 2 1 3 3 2 22 2 22 1 1 1 2 2 1 2 1 155 xx22 05

x x x x x x x x x( ) ( )( )1 1 3 1 1 2 1 3 3 2 22 2 22 1 1 1 2 2 1 2 1 155 ⇒ ⇒ xx22 05 ,

ecuación que nos aporta las soluciones x 5 2 61 5

2.

c) 1

x 1

1

x2 5

3

4

x 1 1

x2 5

3

4 4x 1 4 5 3x2

3x2 2 4x 2 4 5 0 x 5 4 64

6 5

4 8

6 5

2

2 2/3

d) x2 1 2

2x 5 0 x2 1 2 5 0 No tiene solución.

5. Unvendedordelibrostieneuncontratoconunaeditorial,porelcualpercibe300€desueldofijomás90€poren-ciclopediaquevenda.Recibeunaofertadetrabajodeotraeditorial,porlaqueleofrecen140€porcadaventa,perosinremuneraciónfija.¿Cuántasenciclopediasdebevenderparaqueleconvenga,económicamente,cambiardeedito-rial?

Si x es el número de enciclopedias vendidas, para la prime-ra editorial cobra: 300 1 90 ? x y para la segunda, 140 ? x. Si queremos que 300 1 90x , 140x esta condición se cumple

si x . 300

140 906

25 . Más de seis.

6. Hallalasolucióndelasinecuaciones:a) x222x23 , 0 b) 2x2 1 2x22 > 0c) x2 1 4. 0

a) Las soluciones de la ecuación x2 2 2x 2 3 5 0 son x 5 21 y x 5 3, por lo que x2 2 2x 2 3 5 (x 1 1)(x 2 3). A la vista de los signos de cada binomio, se forma la tabla:

2 ̀ 21 3 1 ̀

x 1 1 2 1 1

x 2 3 2 2 1

(x 1 1)(x 2 3) 1 2 1

donde se deduce que en el intervalo (21, 3) el trinomio x2 2 2x 2 3 es negativo.

b) La ecuación x2 2 2x 1 2 5 0 no tiene solución real, resultan-do que para todo valor de x, x2 2 2x 1 2 es mayor que 0 por lo que la inecuación propuesta no tiene solución.

c) x2 1 4 5 0, como en el caso anterior, no tiene solución real y x2 1 4 es siempre positivo, siendo todo número real solución.

7. Encuentralassolucionesdelasinecuaciones:

a) 041

2

#2

1

xx

; b) 212

,1xx

a) Como x224 5 (x 2 2)(x 1 2) podemos formar la tabla:

2 ̀ 22 21 2 1 ̀

x 1 2 2 1 1 1

x 1 1 2 2 1 1

x 2 2 2 2 2 1

(x 2 2)(x 1 2)5 1 1

2 1 2 1

Donde vemos la solución [22, 21)ø[2, `)

Sol_1CCSS_04.indd 20 9/5/08 23:10:16

21ECUACIONES E INECUACIONES 04

b) 212

,1xx

01

22

,1

2x

x⇔

0

1 22

,1 2x x

x⇔

0

1 2

,2xx

( )

yaque(x21)2siempreespositivo,elsignodelcocientedependedex,asíquelasolucióneselintervalo(0,`).

a) [22, 21)ø[2,`); b) (0,`)


Tipo I. Ecuación de primer grado y problemas relacionados

1. Expresamedianteunaecuaciónestasrelaciones:a) Lasumadeunnúmeropar,suanteriorysuposteriorvale

60.b) La suma de tres números impares consecutivos vale

213.c) Elcuadradodelasumadedosnúmerosesigualaldoble

desusuma.d) Lasemisumadetresmúltiplosconsecutivosdetresvale

108.

a) 2n 1 2n 22 1 2n 1 2 5 60 6n 5 60b) 2n 21 1 2n 1 1 1 2n 1 3 5 213 6n 1 3 5 213c) (a 1 b)2 5 2(a 1 b)

d)3n 1 3n1313n16

2

9n 1 9

2 5 108

2. Escribeunaecuaciónlinealquenotengasolución.Yotraqueposeainfinitas.

Sinsolución:x 1 3x 21 5 4x 1 2Indeterminada: 22x 1 5 1 x 5 6 2x 21(esunaidentidad)

3. Resuelvelasecuaciones:

a)23

x 1 16

5 32

2 14

b) 22(x 1 2) 1 3 5 4(1 2x)

c)2

x 1 15 2

1x 1 4

d) x 2 14

2 2(x 1 2)

3 5

3x 1 16

a) Sequitandenominadoresmultiplicandolaecuaciónporsum.c.m. (2,3,4,6) 5 12:8x 1 2 5 18 2 3x 11x 5 16

x 5 16/11b) Multiplicamoslosparéntesisyreducimos: 22x 24 1 3 5 4 24x 4x 22x 5 4 1 4 23 2x 5 5 x 5 5/2

c)2

x 1 15 2

1

x 1 4 2(x 1 4) 5 2x 21 x 5 23

d) x 2 1

42

2(x 1 2)

35

3x 2 1

6 quitamosdenominadorescomo

ena)quedando: 3x 23 28x 216 5 6x 1 12 x 5 221/11

4. Resuelve:

a)3x 2 2

102

x 1 115

5 2x

201

3 2 x30

b)

x3

2 12

21 2x 5

x1 13

2

c) 2x 2 1

31

3 2 2x4

(22)5 12

x 2 1

a) Multiplicamoslaecuaciónpor60(m.c.m.delosdenomina-dores):

18x 212 2 4x 24 5 23x 1 6 22x 19x 5 22 x 522

19b) Operamoslosnumeradoresydividimos:

2x 2 3

6

21

3x 1 1

3

4 5

2x 2 3

12 1 2x 5

3x 2 1

12;

quitamosdenominadoresyresulta:

2x 23 1 24x 5 3x 1 1 23x 5 4 x 54

23c) Multiplicamosdentrodelcorchete:

2x 2 2

3 1

3 2 2x

4(22)5

x

22 1

yahorasemultiplicaelparéntesispor 22:

24x 1 4

31

26 1 4x

4 5

x 2 2

2 Siquitamosdenominadoresyreducimos, 216x 1 16 2 18 112x 5 6x 212 24x 2 2 5 6x 2 12 10x 5 10 x 5 1

5. Juangastaunterciodeldineroquetieneenlacompradeunlibro.Mástarde,pagalaentradaalcine,costándolelamitaddeldineroquelequedamás0,72€.Siaúnlesobran2,25€,¿cuántodineroteníaenunprincipio?

LlamemosxeldineroqueteníaJuanalprincipioquelehafinan-ciadolacompradellibro,laentradadelcineylehansobrado2,25euros,asíque:

x 5 x3 2

1x3

x3

110,7212,25 ⇒ x5 12,97 ⇒x2

x3

⇒ x53?2,9758,91euros.

6. Unjequedejaenherenciaasustreshijosunacuadradecaballos, atendiendo al siguiente reparto: al primero, lamitadde loscaballosde lacuadramásmediocaballo;alsegundo, lamitad de los que quedanmásmedio caballoyaltercero,lamitaddelosquelequedanmásmedioca-ballo. ¿Cuántos caballos hay en la cuadra? (¡Ojo!Nohayquematarningúncaballo.)

Sisuponemoslacuadraformadaporxcaballos,acadahijolecorresponde:

Hijo1º:x

21

1

25

x 1 1

2

Hijo2º:x2

x 1 1

2

21

1

25

x 2 1

41

1

25

x 1 1

4

Hijo3º:x2

x 1 1

21

x 1 1

4

21

1

25

4x 2 2x 2 22 x 2 1

4

21

1

25

5 x 2 3

81

1

25

x 1 1

8

Sol_1CCSS_04.indd 21 14/5/08 09:05:16


por tanto, la suma de esas partes es el total de caballos,x 1 1

2 1

x 1 1

4 1

x 1 1

8 5 x

4x 1 4 1 2x 1 2 1 x 1 1

8 5 x

7x 1 7

8 5 x x 5 7

caballos.

7. Unprimerexamensevalora2,5vecesmásqueotro.Sienelprimero,unalumnotuvounanotade5,3,¿quédeberásacarenelsegundoparaobtenerdemediaun7?

El primer examen vale como si tuviera 2,5 notas de la misma importancia que el segundo, por lo que si llamamos x la nota de este último, la media de las 2,5 1 1 calificaciones será:2,5 ? 5,3 1 x

2,5 1 1 5 7

13,25 1 x

3,5 5 7 13,25 1 x 5 24,5

x 5 11,25luego con esa ponderación de notas, ya no podría sacar una media de 7 (puntuando sobre 10).

8. Tresoperariostrabajanentotal96horassemanalesenunacadena deproducción. Si el tiempodedicadopor uno deellosaestefinsonlos3/5deltiempoempleadoporotroyéstelos5/8deldedicadoporeltercero,¿cuántashorassemanalespermaneceenlacadenacadatrabajador?

Llamemos x las horas semanales de trabajo del tercer operario,

entonces el segundo dedica y el primero 35

58

38

x x5? así que,

38

58

96 2 96 48x x x x x1 1 5 5 5 horas. El segundo opera-

rio trabaja 30 h y el primero 18 h.

9. Unpadretieneactualmente47añosylasumadelasedadesdesusdoshijosesde31.¿Dentrodecuántosañoslasumadelasedadesdeloshijosserálaedaddelpadre?

Si la suma actual de las edades de los hijos es 31 años, dentro de x años esa suma será: 31 1 2x (fíjate que pasan x años para cada hermano). Además el padre tendrá 47 1 x años, por lo que 31 1 2x 5 47 1 x x 5 47 231 5 16 años.

10.Unabombaextrae4500ldeaguadeunpozo,trabajando4 h. Si necesitamos vaciar un pozo de 15000 l en 3 h,¿cuántasbombasigualesnecesitaremos?

Una bomba extrae 4 500

4 litros por hora, es decir, que en 3 horas

saca 3 ? 4 500

4 litros.

Para vaciar un pozo de 15 000 litros en 3 horas necesitaremos,

en consecuencia, 15 000

3 4 500

4

5 60 000

13 500 5 4,4

motores. Han de em-

plearse 5 motores, aunque sólo empleemos el 40 % de la capa-cidad de uno.

11. Paraconstruir4 chalésen120días senecesitan60 tra-bajadores. ¿Cuántos días se necesitarán para construir 6chalescon80trabajadores?

Tardan 120 días en hacer 4 chalés, luego en hacer 1 tardarán 120/4 5 30 días.

Entonces: Si 60 trabajadores tardan 30 días en hacer un chalé, 80 trabajadores tardarán x. Y resolviendo la regla de tres tene-mos x 5 22,5 días. Por tanto si 80 trabajadores tardan 22,5 en hacer 1, en hacer 6 tardarán: 6 ? 22,5 5 135 días.

12.Semezclan50ldeaceitedegirasolde0,99€/lconaceitede0,78€/l,obteniéndoseunamezclade0,9€/l.¿Cuántoslitrossehanempleadodelaceitemásbarato?

LLamemos x los litros empleados del aceite de 0,78 euros.El valor monetario de los 50 1 x litros de mezcla es: (50 1 x) ? 0,9 €, que coincidirá con el valor, en euros, de los líquidos que la componen: x ? 0,78 1 50 ? 0,99 es decir,(50 1 x) ? 0,9 5 x ? 0,78 1 50 ? 0,99

750 5 20x x 5 37,5 litros.

Tipo II: La ecuación de segundo grado y problemas afines

13. Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticas:a) 3x2 1 x 5 0; b) 3(x 1 1)2 5 27;c) x2 24x 2 35 5 0; d) 22(x 25)2 2 8 5 0.

a) Si sacamos factor común: x(3x 1 1) 5 0 x 5 0 o 3x 1 1 5 0,

que nos da los valores solución x 5 0 y x 5 21

3.

b) Pongamos (x 1 1)2 5 27

3 5 9 x 1 1 5 6 9 5 63 y nos

resultan las soluciones, para 1 3: x 1 1 5 3 x 5 2 y para 23: x 1 1 5 23 x 5 24

c) Aplicamos la fórmula general:

x 5 2(2 4) 6 (24)2 2 4 ? 4 ? (235)

2 ? 4 5

4 6 24

8 ,

es decir, x 5 7/2 y x 5 25/2.d) Como en el caso (b), si despejamos (x 25)2 nos queda:

(x 25)2 5 8

22 524 lo que es imposible pues el primer

miembro siempre es positivo. Esta ecuación carece de solu-ción real.

14.¿Cuánto tiene que valer c en la ecuación 3x2 1 5x 1 c 5 0paraqueposeados,unaoningunasolución?

El discriminante de la ecuación es: 5 25 2 12c

c tiene soluciones

c solución doble

c

,

.

2512

2

2512

5

22512

solución imaginaria

15. Enx2 1 bx 2 2 5 0,¿cuántassoluciones tevasaencontrarparacualquiervalordeb?

El discriminante 5 b2 1 8 . 0 2 soluciones reales.

16. Una obra la realizan dos operarios, trabajando conjunta-mente,en12días.Unodeellosemplea10díasmásque

Sol_1CCSS_04.indd 22 9/5/08 23:11:37


el otro si trabaja solo. ¿Cuántos días necesita cada obrero para completar la obra en solitario?

Trabajando solo un operario tarda x días y el más lento x 1 10. En

un día, el primero hará 1

x de su trabajo y el segundo

1

x 1 10 ; si

trabajan conjuntamente hacen 1

12 de obra por día, luego:

1

x 1

1

x 1 10 5

1

12

x 1 10 1 x

x(x 1 10) 5

1

12 12(2x 1 10) 5 x(x 1 10)

24x 1 120 5 x2 1 10x x2 2 14x 2 120 5 0 ecuación que resuelta da por soluciones 20 y 26 días, siendo válida única-mente la positiva. Así, cada trabajador emplea, respectiva-mente, 20 y 30 días en hacer la obra.

17. La suma de los cuadrados de la edad actual y de la que tendrá dentro de 2 años un muchacho es de 580. ¿Cuántos años tiene el chico?

Si tiene actualmente x años, dentro de dos tendrá x 1 2 años. Las condiciones del problema imponen que x2 1 (x 1 2)2 5 580, que desarrollando, reduciendo términos semejantes y dividiendo por 2 nos da la ecuación:x2 1 2x 2 288 5 0con soluciones x 5 218 y x 5 16. La negativa no es válida.

TipoIII:Ecuacionesreduciblesacuadráticas,racionalesypolinómicas

18. Resuelve las ecuaciones:a) x2 4 122 5 ; b) x 2 x 5 6;

c) 2x 2 x 5 x

x

a) x2 4 122 5 x2 24 5 12 x2 5 16 x 5 64 b) x x2 56 x 26 5 x (x 26)2 5 ( x )2 x2 213x 1 36 5 0 que la solución positiva, única válida

es x 5 9

c) 2x 2 x 5 x

x , vamos a quitar denominadores y pasamos

al primer miembro todos los términos: 2x x 2 x 5 x 2x( x 2 1) 5 0 x 5 0 o x 5 1 x 5 1 es la solución

válida.

19. Halla la solución y comprueba los resultados:a) 2x 2 3 x 2 3 5 x 1 3

b) 2 1 3 2 1x x x2 2 1 25

c) xx

x1 11

112

225

a) En 2 3 3 3x x x2 2 15 aislamos la raíz en el segundo miem-

bro x x x x x x2 2 2 2 2 13 3 3 3 9 3 15 36 0225 5 5( ) ( ) cuyas soluciones 3 y 12 son ambas válidas.

b) Elevamos los dos miembros al cuadrado:

2 1 3 2 1 2 3 2 1x x x x x2 2 1 2 1 2 25 ( )( )

0 2 3 2 1 0 4 3 2 15 5( )( ) ( )( )x x x x2 2 2 2 que nos pro-porciona x 5 1 y x 5 2/3 (ésta no es válida) como solucio-nes.

c) Quitamos denominador: x x x1 1 1 11 2 2 25 x x x1 11 2 5( )( ) x x x1 11 2 5( )( ) x x x1 11 2 25( )( ) que multiplicando los paréntesis y re-

duciendo términos, nos queda 3x 1 2 5 0 o sea x 5 22/3 que no verifica las raíces positivas. Luego, no tiene solución.

20. Calcula las soluciones de:a) x4 29x2 5 0; b) x4 28xb 1 16 5 0;

c) 3 18

12

2x

x1

15 ; d) x4 2 3x2 1 2 5 0.

a) x4 29x2 5 0 x2(x2 2 9) 5 0 x2(x 1 3)(x 2 3) 5 0 que da las soluciones x 5 0, x 5 3 y x 5 23

b) x4 28x2 1 16 5 0 es una ecuación bicuadrada que haciendo x2 5 t, nos queda: t2 28t 1 16 5 (t 2 4)2 5 0 dando por raíz

t 5 4 y por tanto, x 5 6 4 5 62c) Quitamos el denominador: ( )( )3 1 1 82 2x x1 1 5 3x4 1 4x2 1 1 5 8 3x4 1 4x2 27 5 0; esta ecuación bicua-

drada que con el cambio habitual x2 5 t nos da como solu-ciones válidas en x 5 61.

d) x2 3 12

2

15 5

6 ⎧⎨⎩⎪

x 56 2 y x 5 61

21. Halla las raíces de las ecuaciones:a) (x2 2 1)(x2 1 3x) 5 0;b) x4 1 2x3 2x2 1 4x 26 5 0;c) 2x4 2 3x3 1 x 5 0.

a) Si descomponemos en factores los términos de la ecuación (x2 2 1)(x2 1 3x) 5 0 (x 1 1)(x 2 1)x(x 1 3) 5 0 x 5 1, x 5 21, x 5 0 y x 5 23 son las soluciones

b) Tanteamos las raíces de x4 1 2x3 2 x2 1 4x 2 6 5 0 dividiendo por Ruffini, que nos da:

1 2 21 4 26

1 1 3 2 6

1 3 2 6 0

23 23 0 26

1 0 2 0

soluciones reales son x 5 1 y x 5 23, quedando el polinomio x2 1 2 5 0 que tiene raíces imaginarias.c) En 2x4 23x3 1 x 5 0 sacamos factor común x: x(2x3 23x2 1 1) 5 0; el polinomio del paréntesis nos da las raíces x 5 1 y x 5 21/2, que junto a x 5 0 del factor común tenemos las raíces de la ecuación propuesta.

2 23 0 1

1 2 21 21

2 22 21 01 2 1

2 1 0

21/2 21

2 0

Sol_1CCSS_04.indd 23 14/5/08 09:07:50


22. Resuelve:

a) 1 42 1

02

2

2

xx

5 ; b) 5

2 10

2x 25 ;

c) x xx

2 3 21

02 1

15 ; d)

2

2 2

23 1

41x x

5 ;

e) xx

xx

2

1

1

1

21

42

5 ; f) x

xxx1

11

12

3 15

a) 1 42 1

02

2

2

xx

5 , el numerador debe anularse 1 24x 5 0

x 5 1/4

b) 5

2 10

2x 25 , como 5 Þ 0 esta ecuación nunca puede

anularse

c) x xx

2 3 21

02 1

15 equivale a que el numerado se anule:

x2 23x 1 2 5 0 x 5 2 y x 5 1

d) Para quitar denominadores, multiplicamos en cruz:

2

2 2

23 1

41x x

5 22 1 2x 5 12x 24 10x 5 2 x 5 1/5

e) Multiplicamos en cruz: xx

xx

2

1

1

1

21

42

5 x2 24 5 x2 1 5x 1 4

5x 5 28 x 5 28/5f) Quitando denominadores: x2 1 2x2 1 2x 5 3x2 1 3x 1 x 1 1

2x 521 x52 1

2

Tipo IV: Inecuaciones

23.Hallaelintervalosolucióndelasinecuaciones:a) 2x 1 2 1 4x . x 1 2;

b) x

xx

35 1

22 # 2 ;

c) 23 1

51 $2x

a) 2x . 0 x . 0;

b) x

xx

35 1

22 # 2 2x 2 30 # 6 2 3x 26 # 25x 26/25 # x;

c) 23 1

51 $2x

x

x3

511

1511

#2 #2⇒

24.Resuelvelasinecuacionessiguientes:a) x(x 1 1) , 0;b) 22x2 1 10 . 26;c) 4x2 1 4x . 0

a) x(x 1 1) , 0 las raíces son 21 y 0, por lo que:

2 ̀ 21 0 1 ̀

x 1 1 2 1 1 1

x 2 2 1 1

(x 1 1) ? x 1 2 1 1

Y la solución será el intervalo: (21, 0)b) 22x2 1 10 . 26 2x2 , 216 ¡que es imposible!c) 4x2 1 4x . 0 4x(x 1 1) . 0 y recordando el caso a) la solu-

ción es el intervalo unión de (2`, 21) ø (0, `)

25.Resuelvegráficayanalíticamentelainecuación 2x2 1 2x 1 3 . 0.

Analíticamente: 2x2 1 2x 1 3 . 0 x2 2 2x 2 3 , 0 y el primer miembro se descompone: x2 2 2x 23 5 (x 2 3)(x 1 1) , 0 por lo que la tabla

2` 21 3 1`

x 1 1 2 1 1

x 2 3 2 2 1

(x 1 1) ? (x 2 3) 1 2 1

Nos da la solución (21, 3)La representación gráfica de la parábola y 5 2x2 1 2x 1 3 es

y

x1 2-1-2-3-4

1

3 4

234

Fig. 4.1.

26.Hallalasoluciónde:

a) 2

3 20

x2# ; b)

xx1

2#

22 1

1;

c) 012

#2

1

xx

a) Como el numerador es positivo en 2

3 20

x2# 3x 22 , 0

para que el cociente sea negativo, así x, 2/3

b) xx1

2#

22 1

1 xx

xx

x

x

1

22 #

2

2#

2

2#

22 1

1 032 1

03

2 12

0⇒ ⇒( )

que da lugar a la tabla:

2` 1/2 3 1`

3x2 x 1 1 2

x 2 1/2 2 1 1

( )

3

2 12

2

2

x

x 2 1 2

Y la solución es (2`, ½) ø [3, `)

c) En 012

#2

1

xx

el denominador es siempre positivo, así que

2x $ 0 x # 0

jCuESTIonES báSICAS

1. Resuelvelaecuación3x22512

6x 2 4 5 1 6x 5 5 x 5 5/6

Sol_1CCSS_04.indd 24 9/5/08 23:11:48

.

.

.


2. Resuelvex 2 x21

2 5 5

2x 2 (x 2 1) 5 10 x 5 9

3. AntoniotienedosañosmásquePilar.Sihacetresañoselchicoledoblabalaedadalachica,¿cuántosañostienecadauno?

Antonio: x; Pilar: x 2 2.Hace 3 años: x 2 3 5 2(x 2 5) x 5 7

4. Semezclandosclases(AyB)decafé,cuyospreciossonde10€/kgy13€/kg,respectivamente.¿Enquéproporciónhayquemezclarlosparaqueresulteuncaféquecueste12€/kg?

10x 1 13y 5 12(x 1 y) 10x 1 13y 5 12x 1 12y y 5 2x.Hay que mezclar A con el doble de B.

5. Resuelvelaecuaciónx215x21450.

x 5 25 25 1 56

2 5

25 9

2 5

2

2 7

6. Resuelvelaecuación(x 1 2)(3x 2 1) 5 0.

(x 1 2)(3x 2 1) 5 0 3x2 1 5x 2 2 5 0 x 5 22, x 5 1/3

7. Hallalassolucionesválidasdex xx

3 2

20

15 .

x xx

3 2

20

15 x3 1 x2 5 x2(x 1 1) 5 0 x 5 21 (x 5 0 o pue-

de admitirse)

8. Resuelvelaecuaciónx

x2

5 .

xx

25 x 5 2x x 5 4x2 x(4x 21) 5 0 x 5 0 y

x 5 ¼ son las soluciones, ambas válidas.

9. Resuelvelaecuaciónx31x22250

La solución x 5 1 es inmediata.Descomponiendo en factores: x3 1 x2 2 2 5 0 (x 2 1)(x2 1 1 2x 1 2) 5 0.La segunda ecuación no tiene soluciones.

10.Resuelvelaecuaciónx4210x21950

x2 5 10 100 2 36

2 5

10 8

2 5

9

1 x 5 3; x 5 1

Sol_1CCSS_04.indd 25 9/5/08 23:11:50

26 SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES05

jACTIVIDADES

1. Discute,sinllegararesolver,lacompatibilidaddelossiste-mas:

a)4x22y52122x1y55

b)2x1y52x2y51

c)x22y53

24x18y5212

Transformamos cada uno de los sistemas por el método de re-ducción:

a) 4x22y521

22x1y55

2E21E1

4x22y521

053El sistema es incompatible.b) En este caso

2x1y52x2y51

E21E1

2x1y523x53

El sistema es compatible determinado.

c) x22y53

24x18y5212

E214E1

x22y53050

El sistema es compatible indeterminado.

2. Seaelsistema4x1by5522x1y54

,calculalosvaloresquedebe

tomarbparaqueelsistemasea:a) Compatible. b) Incompatible.

a) Para que el sistema sea compatible determinado los coefici-entes de las incógnitas no han de ser proporcionales, luego:

4

22

b

1 b 22.

b) El sistema será compatible indeterminado si 4

22 5

b

1 5

5

4,

lo que nunca podrá cumplirse.

3. Resuelveporsustituciónlossiguientessistemas:

a)2x1y2z55x12y1z54

x2y51 b)

x12y512x2z515y1z50

a) 2x1y2z55x12y1z54

x2y51

2x1y 2 z 5 5

x 1 2y 1 z 5 4

x 5 1 1 y

2(1 1 y) 1 y 2 z 5 5

(1 1 y) 1 2y 1 z 5 4

x 5 1 1 y

3y 2 z 5 3

3y 1 z 5 3

x 5 1 1 y

x 5 2, y 5 1, z 5 0

b) x 1 2y 5 1

2x 2 z 5 1

5y 1 z 5 0

x 5 1 2 2y

2x 2 z 5 1

z 5 25y

x 5 1 2 2y

2(1 2 2y) 2 (25y) 5 1

z 5 25y

x 5 1 2 2y

y 1 2 5 1

z 5 2 5y

x 5 3, y 5 21, z 5 5

4. AplicandoelmétododeGauss,resolver:

a)2x 1 y 1 z 5 55x 1 2y 1 z 5 45x 1 y 1 2z 5 40

b)x 1 y 1 z 5 45

13x 1 12y 1 8z 5 4302x 1 2y 2 z 5 0

a) 2x 1 y 1 z 5 55

x 1 2y 1 z 5 45

x 1 y 1 2z 5 40

E2 2 E1

E3 2 2E1

2x 1 y 1 z 5 55

2x 1 y 5 210

23x 2 y 5 270

E3 1 E2

2x 1 y 1 z 5 55

2x 1 y 5 210

24x 5 280 Luego: x 5 20; y 5 10; z 5 5

b) x 1 y 1 z 5 45

13x 1 12y 1 8z 5 430

2x 1 2y 2 z 5 0

E2 2 8E1

E3 1 E1

x 1 y 1 z 5 45

5x 1 4y 5 70

3x 1 3y 5 45

4E3 2 3E2

x 1 y 1 z 5 45

5x 1 4y 5 70

23x 5 230La solución es: x 5 10, y 5 5, z 5 30

5. Discuteyresuelvelossistemas:

a)x 1 y 2 z 5 21

22x 1 y 1 z 5 03x 1 2y 2 2z 5 1

b)x 1 2y 1 3z 5 02x 2 y 2 z 5 23x 1 y 1 2z 5 2

c)2x 1 2y 1 z 5 1x 1 y 2 2z 5 21

3y 2 z 5 3

a) x 1 y 2 z 5 21

22x 1 y 1 z 5 0

3x 1 2y 2 2z 5 1

E2 1 2E1

E3 2 3E1

x 1 y 2 z 5 21

3y 2 z 5 22

2y 1 z 5 4

E3 1 E21

x 1 y 2 z 5 21

3y 2 z 5 22

2y 5 2 Luego: y 5 1 z 5 5; x 5 3

b) x 1 2y 1 3z 5 0

2x 2 y 2 z 5 2

3x 1 y 1 2z 5 2

E2 2 2E1

E3 2 3E1

x 1 2y 1 3z 5 0

25y 2 7z 5 2

25y 2 7z 5 2

x 5 22y 2 3z

y 5 2 (7z 1 2)/5 x 5

4 2 k

5, y 5 2

7k 1 2

5, z 5 k

c) 2x 1 2y 1 z 5 1

x 1 y 2 2z 5 21

3y 2 z 5 3

E2 1 E12 x 1 2y 1 z 5 1

3y 2 z 5 0

3y 2 z 5 3

.

Como la segunda y tercera ecuación son incoherentes, el sistema será incompatible.

6. Discute según los valores dem, y resuélvelos cuando seaposible,lossistemas:

a)x 1 y 1 z 5 22x 1 y 2 z 5 3

3x 1 2y 1 mz 5 5 b)

x 1 y 1 z 5 22x 1 y 2 z 5 33x 1 2y 5 m

c)x 1 y 5 0

2x 1 y 2 z 5 03x 1 2y 1 mz 5 1

Sol_1CCSS_05.indd 26 12/5/08 08:32:57

27SISTEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 05

a) x 1 y 1 z 5 2

2x 1 y 2 z 5 3

3x 1 2y 1 mz 5 5

E2 2 2E1

E3 2 3E1

x 1 y 1 z 5 2

2y 2 3z 5 21

2y 1 (m 2 3)z 5 21

E3 2 E2

x 1 y 1 z 5 2

2y 2 3z 5 21

mz 5 0 Por tanto: Si m 0, el sistema es compatible determinado, con solu-

ción: x 5 1, y 5 1, z 5 0. Si m 5 0, el sistema es compatible indeterminado, equiva-

lente a x 1 y 5 2 2 z

y 5 1 2 3z, cuya solución es

x 5 1 1 2k

y 5 1 2 3k

z 5 k

.

b) x 1 y 1 z 5 2

2x 1 y 2 z 5 3

3x 1 2y 5 m

E2 2 2E1

E3 2 3E1

x 1 y 1 z 5 2

2y 2 3z 5 2 1

2y 2 3z 5 m 2 6

E3 2 E2

x 1 y 1 z 5 2

2y 2 3z 5 21

0 5 m 2 5 Por tanto: Si m 5, el sistema es incompatible. Si m 5 5, el sistema es compatible indeterminado, equiva-

lente a x 1 y 5 2 2 z

y 5 1 2 3z, cuya solución es

x 5 1 1 2k

y 5 1 2 3k

z 5 k

.

c) x 1 y 5 0

2x 1 y 2 z 5 0

3x 1 2y 1 mz 5 1

E2 2 2E1

E3 2 3E1

x 1 y 5 0

2y 2 z 5 0

2y 1 mz 5 1

E3 2 E2

x 1 y 5 0

2y 2 z 5 0

(m 1 1)z 5 1 Por tanto: Si m 5 21, el sistema es incompatible. Si m 21, el sistema es compatible determinado. Su solu-

ción es x 5 1/(m 1 1)

y 5 21/(m 1 1)

z 5 1/(m 1 1)

.

7. Hallalasolucióndelossistemashomogéneos:

a)2x 1 y 2 2z 5 04x 1 y 2 3z 5 0

6x 1 5z 5 0 b)

2x 1 2z 5 0x 2 3y 2 z 5 0

3x 1 3y 1 5z 5 0

c)x 2 y 1 z 5 0x 2 3y 2 z 5 0

3x 1 my 1 z 5 0

a) 2x 1 y 2 2z 5 0

4x 1 y 2 3z 5 0

6x 1 5z 5 0

E2 2 E12x 1 y 2 2z 5 0

2x 2 z 5 0

6x 1 5z 5 0

E3 2 3E2

2x 1 y 2 2z 5 0

2x 2 z 5 0

8z 5 0

x 5 y 5 z 5 0.

b) 2x 1 2z 5 0

x 2 3y 2 z 5 0

3x 1 3y 1 5z 5 0

E1 2 2E2

E3 2 3E2

6y 1 4z 5 0

x 2 3y 2 z 5 0

12y 1 8z 5 0

E3 2 2E1

6y 1 4z 5 0

x 2 3y 2 z 5 0

0 5 0

x 5 2k

y 5 22k/3

z 5 k

c) x 2 y 1 z 5 0

x 2 3y 2 z 5 0

3x 1 my 1 z 5 0

E2 2 E1

E3 2 3E1

x 2 y 1 z 5 0

2 2y 2 2z 5 0

(m 1 3)y 2 2z 5 0

E3 2 E2

x 2 y 1 z 5 0

22y 2 2z 5 0

(m 1 5)y 5 0 Si m 5 / 25, la única solución es x 5 y 5 z 5 0. Si m 5 25, el sistema es indeterminado y su solución es

x 5 22k, y 5 2k, z 5 k.

8. Hallalasoluciónde:y xx y

2 2 1608

1

2

5

5.

Despejando x en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera: y2 1 (y 1 8)2 5 160 2y2 1 16y 2 96 5 0 y 5 212 e y 5 4 que dan para x los valores x 5 24 y x 5 12, res-pectivamente.

9. Hallaelconjuntodesolucionesdelsistema 2 3 55 7x

x1 ,

2 ,

2 3 5

5 7

x

x

1 ,

2 ,

x

x

,2

2 2 ,

5 32

1

5 7 2

5

5

22 , x , 1. (22, 1)

10.Hallalasolucióngráficadelsistema 2 15 10 30x yx y

2 .

1 #

⎧⎨⎩

2 1

5 10 30

x y

x y

2 .

1 #

⎧⎨⎩

2 1

2 6

x y

x y

2 .

1 #

2221

x

y

123

1 2 3 4

4

5 6

(8/5, 11/5)

Fig. 5.1.

Sol_1CCSS_05.indd 27 12/5/08 08:33:07



Tipo I: Sistemas lineales con dos incógnitas

1. Hallatresparesdesolucionesdecadaunadelasecuaciones:

a)12

1 2 3x y2 1 2( ) 5

b)

x y1

21 2

22 4

15

c) 13 4

22 1x y

5

Despejamosunavariableencadaecuaciónydamostresvaloresalaotra,obteniéndoselassolucionespedidasfácilmente.

a) 12

1 2 3x y2 1 2( ) 5

x21 5 26 24y x5 25 24y y5 0,x5 25;y5 1, x5 29;y5 21,x5 21

b)x y1

21 2

22 4

15 2x1 4 2y5 4 y5 2x

x5 0,y5 0;x5 1y5 2;x5 21y5 22

c) 13 4

22 1x y

5 12 24x1 3y5 24 yx

512 4

31

x5 3,

y5 8;x5 23,y5 0;x5 6,y5 12

2.Resuelveporigualación:

a)x yx1 2

2

2 23 5 1

5

5

⎧⎨⎩⎪

b)

x yy y

xy

1 12 1

2

12

1

21

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

a)x y

x y

1 2

2

2 2

3 5

5

5

⎧⎨⎩⎪

y x

yx

5

5

3 5

22

2

21

⎧

⎨⎪

⎩⎪

y x

xx

5

5

3 5

3 52

2

2

2 21

⎧

⎨⎪

⎩⎪

y x

x

5

5

3 5

7 8

2⎧⎨⎩⎪

y

x

5 5

5

387

5117

87

2 2⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b)

x yy y

xy

1 12 1

2

12

1

21

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

x y y y

x y

1 1 2 1

2

1 2 2 2

2 2

5

5

⎧⎨⎩⎪

x y

x y

5

5

3 1

2 2

1

1

⎧⎨⎩⎪

x y

y y

5

5

3 1

3 1 2 2

1

1 1

⎧⎨⎩⎪

x y

y

5 5 5

5

3 1 3 1 1 4

1

1 2 1⎧⎨⎩⎪

3. Resuelveporsustitución:

a)2 3 26 1x yx y

2

2

5

5

⎧⎨⎩⎪

b)

x yy

x yx

12 1

22

21

21

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

a)2 3 2

6 1

x y

x y

2

2

5

5

⎧⎨⎩⎪

2 3 2

6 1

x y

y x

2

2

5

5

⎧⎨⎩⎪

2 3 6 1 2

6 1

x x

y x

2 2

2

( )5

5

⎧⎨⎩⎪

2 2

2

16 2 3

6 1

x

y x

5

5

⎧⎨⎩⎪

x

y

5

5 5

116

6116

158

2 2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b)

x yy

x yx

12 1

22

21

21

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

x y y

x y x

1 2

2 2

5

5

2 2

2 2

⎧⎨⎩⎪

x y

x y

5

5

2 3

3 2

2

2

⎧⎨⎩⎪

x y

y y

5

5

2 3

3 2 3 2

2

2 2( )

⎧⎨⎩⎪

x y

y

5

5

2 3

4 10 0

2

2

x

y

5 5

5

2 325

45

25

2⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

4. Resuelveporreducción:

a)

x y

xy

2 33

31

1

2 2

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b)

x y

x y

11

2

1 2

12

13

0

23

1

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

a)

x y

xy

2 33

31

1

2 2

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

x y

xx

2 33

22

1 5

5+

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

x y

x

2 33

43

1 5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

4 32 3

3

43

/1

y

x

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

y

x

5 5

5

943

234

43

2⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) Sienelsistema

x y

x y

11

2

1 2

12

13

0

23

1

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

quitamosdenominadores

queda:

3 2 1

5

x y

x y

1 2

1

5

5

⎧⎨⎩⎪

y:

x

x y

5

5

2 2

1

1 10

5

⎧⎨⎩⎪

x

x y

5

5

2

1

11

5

⎧⎨⎩⎪

x

y

5

5

211

16

⎧⎨⎩⎪

5. Resuelvegráficamente:

a)x yx y1

2

5

5

32 2 1

⎧⎨⎩⎪

b)x y

x y2 2

1

5

5

20 2 0 5 0 1, , ,

a) Representemosgráficamentecadaecuacióndelsistema:

x y

x y

1

2

5

5

3

2 2 1

⎧⎨⎩⎪

1 2 3

1

2

3

x

yx1y = 3

2x22y = 1

Fig.5.2.

x5 1,75,y5 1,25

Sol_1CCSS_05.indd 28 12/5/08 08:47:43


b)x y

x y

2 2

1

5

5

2

0 2 0 5 0 1, , ,

⎧⎨⎩⎪

22 21

x

y

1

2

3

23

x2y = 22x15y = 1

9----,7

92 ----,

72

Fig.5.3.

6. Halla el valor de losparámetrosa yb en

52

3

13

x ay

x ay b

2 2

2 1

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

,

paraquex 5 2,y 5 3seasolucióndelsistema.

Sustituyendoenelsistemalassolucionesseobtiene:a 58/3yb 522/3

7.Añadealaecuación6x 2 2y 5 23otraecuación,deformaqueresulteunsistema:a) Determinado;b)Indeterminado;c)Incompatible.a) Paraqueelsistemaseadeterminadoañadimosunaecua

ciónquetengacoeficientesnoproporcionalesalosdeladada,porejemplo,x 1 y 5 0

b) Enestecasolasegundaecuaciónesproporcionalalaprimera:2x 2(2/3)y 5 21

c) Lasegundaecuacióndebedeciralgocontradictorioconlaprimera:6x 2 2y 5 1

8. Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemassiguientes:

a)2x 1 y 5 3

22x 1 y 5 2626x 1 3y 5 23

b)x 1 y 5 1

2x 2 y 5 203x 1 4y 5 23

Aplicamoselmétododereducción:

a)

2x 1 y 5 3

22x 1 y 5 26

26x 1 3y 5 23 E2 1 E1

E3 1 3E1

2x 1 y 5 3

2y 5 2 3

6y 5 6

EnE3seobtienequey 5 1,mientrasqueenE2,y 5 23/2.Portanto,elsistemaesincompatible.

b)

x 1 y 5 1

2x 2 y 5 20

3x 1 4y 5 2 3 E2 2 2E1

E3 2 3E1

x 1 y 5 1

23y 5 18

y 5 26

TantoenE3comoenE2seobtienequey 5 26.SustituyendoenE1,x 5 7.Elsistemaescompatibledeterminado.

9. Resuelvelossistemas.

a)

x yx

y

x y

1

2

2

5

5

5

1

22 3

32

4

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

b)

2 1

1 2

2 2

x y

xy

x y

212

23

1

214

5

5

5

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

a) Resolviendo las dos primeras ecuacionesx y

xy

1

2

5

5

1

22 3

⎧

⎨⎪

⎩⎪ nos

danlosvaloresx 5 2,y 5 21quesatisfacenlaterceraecuación,luegoeslasoluciónbuscada.

b) Tomando la primera y tercera ecuación2 1

2 2

x y

x 2y

21214

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

E21E12 1x 27

12

014

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

vemos la incompatibilidad de lasmis

mas,porloqueelsistemaesincompatible.

10.Hallaelvalordelparámetromparaquelossiguientessiste-masseancompatibles.

a)x 1 y 5 3x 2 y 5 0

mx 1 3y 5 3 b)

x 1 y 5 12x 2 y 5 4x 1 my 5 2

AplicamosGauss:

a)

x 1 y 5 3

x 2 y 5 0

mx 1 3y 5 3 E2 1 E1

E3 2 3E1

x 1 y 5 3

2x 5 3

(m 2 3)x 5 26

Serácompatiblecuandoelvalordexdespejadoenlasecuacionessegundayterceraseaelmismo,luego:

3

2 5

26

m 23 m 2 3 5 24 m 5 21

b)

x 1 y 5 1

2x 2 y 5 4

x 1 my 5 2 E2 2 2E1

E3 2 E1

x 1 y 5 1

23y 5 2

(m 2 1)y 5 1

Serácompatiblecuandoelvalordeydespejadoenlasecuacionessegundayterceraseaelmismo,luego:

22

3 5

1

m 21 2m 2 2 5 23 m 5 2

1

2

TipoII.Sistemaslinealescontresincógnitas

11. Resuelveelsiguientesistemadeecuaciones:

LoresolvemosporelmétododeGauss.x y z

x y z

x y z

1 1

1 2

2 1 2

5

5

5

1

2 3 4 9

1 E E

E E

x y z

y z

y

2 2 1

3 1

1

6 7

2 2

2

2

1 1

2

2 2

5

5

5

Sol_1CCSS_05.indd 29 12/5/08 08:55:06


x x

z z

y

1 2

2 2

1 1 1 1

1 6 7 1

1

5 5

5 5

5

→→

12.Resuelvelossistemas:

a)

2 32 1

4 2 3 11

x y zx y zx y z

2 1

1 1

1 2

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

b)

x zx y z

y z

1 2

2 1 1

2

2 13 0

3 5

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

c)

2 42

1

23

2 11

x yz

xz

y z

2 1

2

2

5

5

5

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

d)

x z

x yz

x yz

11

1 21

12

13 2

1

21

20

24

3

5

5

5

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

a) En el sistema

2 3

2 1

4 2 3 11

x y z

x y z

x y z

2 1

1 1

1 2

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

ponemos en primer lugar

la segunda ecuación y

x y z

y z

y z

1 1

1 2

2 2

2 1

5 1

6 7 7

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

E222E1 E424E1

⇔⎧

⎨⎪

⎩⎪6 2 5 3 29E E

x 2y z 1

5y z 1

29z1

1 1

1 2

2

5

5

5

y el sistema escalonado nos da las soluciones:

x

z

y

5

5

5

2

1

0

2

⎧

⎨⎪

⎩⎪

b) El sistema:

x 1 2z 5 21

2x 1 3y 1 z 5 0

y 2 3z 5 5 E2 1 E1

x 1 2z 5 21

3y 1 3z 5 21

y 2 3z 5 5

E3 1 E2

x 1 2z 5 21

3y 1 3z 5 0

4y 5 4

x

y

z

5

5

5

531

43

2

c) En el sistema

2 3

2 1

4 2 3 11

x y z

x y z

x y z

2 1

1 1

1 2

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

multiplicamos la segunda

ecuación por 2 y la cambiamos por la primera quedando:

2 3

2 1

4 2 3 11

x y z

x y z

x y z

2 1

1 1

1 2

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

E E

x z

y z

y z 11

2 2 1

2 6

492

11

2

2

2

2 1 2

2

5

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔

2 3 2

2 6

492

11

52

E E

x z x5

y z

z 111

2

2 1 2

5

5

5

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⇔

745

z5225

y57770

d) En

2 3

2 1

4 2 3 11

x y z

x y z

x y z

2 1

1 1

1 2

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

quitamos denominadores y ordenamos

los términos quedando:

2 3

2 1

4 2 3 11

x y z

x y z

x y z

2 1

1 1

1 2

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x

y

z

5

5

5

29

1196

143

13.Discute y resuelve (si son compatibles) los dos sistemassiguientes:

a)x 1 y 2 2z 5 02x 2 y 1 z 5 34x 1 y 2 3z 5 4

b)x 1 y 2 2z 5 12x 2 y 1 4z 5 7

4x 1 y 5 9

Aplicamos el método de Gauss:

a)

x 1 y 2 2z 5 0

2x 2 y 1 z 5 3

4x 1 y 2 3z 5 4 E2 2 2E1

E3 2 4E1

x 1 y 2 2z 5 0

23y 1 5z 5 3

23y 1 5z 5 4

Incompatible, por serlo E2 y E3.

b)

x 1 y 2 2z 5 1

2x 2 y 1 4z 5 7

4x 1 y 5 9 E2 1 2E1

x 1 y 2 2z 5 1

4x 1 y 5 9

4x 1 y 5 9

Sistema compatible indeterminado.

Equivalente a x 1 y 2 2z 5 1

4x 1 y 5 9 y 5 9 2 4x z 5 4 2 3x/2.

Esto es:

x 5 k

y 5 9 2 4k

z 5 4 2 3

2k

14.Discute,deacuerdoconlosvaloresdea,lossistemas:

a)x 2 y 1 z 5 0

2x 1 2y 1 z 5 2x 1 y 2 2z 5 a

b)ax 1 y 2 z 5 5

2x 1 y 1 az 5 212y 1 2z 5 a

Resuélvelos,siesposible,cuandoavalga0.

Aplicamos Gauss:

a)

x 2 y 1 z 5 0

2 x 1 2y 1 z 5 2

x 1 y 2 2z 5 a E2 1 E1

E3 2 E1

x 2 y 1 z 5 0

y 1 2z 5 2

2y 2 3z 5 a

E3 2 2E2

x 2 y 1 z 5 0

y 1 2z 5 2

27z 5 a 2 4 El sistema es compatible para cualquier valor de a. Su solu-

ción es:

z 5 4 2 a

7; y 5

6 1 2a

7; x 5

2 1 3a

7.

En el caso de a 5 0: x 5 2/7; y 5 6/7; z 5 4/7.

Sol_1CCSS_05.indd 30 12/5/08 08:34:18


b)

ax 1 y 2 z 5 5

2x 1 y 1 az 5 2 1

2y 1 2z 5 a

E1 1 E3

E2 1 E3

ax 1 z 5 5 1 a

2x 1 (a 1 2)z 5 21 1 a

2y 1 2z 5 a

E1 1 aE2 (a2 1 2a 1 1)z 5 a2 1 5

2x 1 (a 1 2)z 5 21 1 a

2y 1 2z 5 a Discutimos la E1:

Si a2 1 2a 1 1 5 0 a 5 21, el sistema será incompatible. En cualquier otro caso será compatible determinado.

Si a 5 0 queda:

z 5 5

2 x 1 2z 5 21

2 y 1 2z 5 0, cuya solución es x 5 211;

y 5 10; z 5 5.

15.Discuteyresuelve,deacuerdoconlosvaloresdea,lossis-temas:

a)2x 2 3y 1 z 5 0x 2 ay 2 3z 5 05x 1 2y 2 z 5 0

b)2x 2 3y 1 z 5 0x 2 ay 2 3z 5 05x 1 2y 2 z 5 a

a) Se trata de un sistema homogéneo, luego siempre tendrá solución.

2x 2 3y 1 z 5 0

x 2 ay 2 3z 5 0

5x 1 2y 2 z 5 0 E2 1 3E1

E3 1 E1

2x 2 3y 1 z 5 0

7x 2 (a 1 9)y 5 0

7x 2 y 5 0

E3 2 E2

2x 2 3y 1 z 5 0

7x 2 (a 1 9)y 5 0

(a 1 8)y 5 0

A partir de E3 deducimos: Si a 5 / 28, el sistema es compatible determinado. Su única

solución será la trivial. Si a 5 28, el sistema es indeterminado, equivalente a

2x 2 3y 1 z 5 0

7x 2 y 5 0 Su solución es x 5 k; y 5 7k; z 5 19k.

b)

2x 2 3y 1 z 5 0

x 2 ay 2 3z 5 0

5x 1 2y 2 z 5 a E2 1 3E1

E3 1 E1

2x 2 3y 1 z 5 0

7x 2 (a 1 9)y 5 0

7x 2 y 5 a

E3 2 E2

2x 2 3y 1 z 5 0

7x 2 (a 1 9)y 5 0

(a 1 8)y 5 a

A partir de E3 deducimos: Si a 5 / 28, el sistema es compatible determinado. La solu-

ción depende del valor de a. Si a 5 28, el sistema es incompatible.

16.Determinaparaquévalordelparámetro elsistema:

x 2 3y 1 5z 5 22x 2 4y 1 2z 5 15x 2 11y 1 9z 5

escompatibley,enesecaso,resuélvelo.

Aplicando el método de Gauss:

x 2 3y 1 5z 5 2

2x 2 4y 1 2z 5 1

5x 2 11y 1 9z 5

E2 2 2E1

E3 2 5E1

x 2 3y 1 5z 5 2

2y 2 8z 5 23

4y 2 16z 5 2 10

E3 2 2E2

x 2 3y 1 5z 5 2

2y 2 8z 5 23

0z 5 2 4

Por tanto, la tercera ecuación queda: 0z 5 2 4 si 5 4 el sistema es compatible indeterminado; en caso contrario es incompatible.

Para 5 4, el sistema es:

x 2 3y 1 5z 5 2

2x 2 4y 1 2z 5 1

x 2 3y 5 2 2 5z

2x 2 4y 5 1 2 2z

Su solución es:

x 5 25/2 1 7k

y 5 23/2 1 4k

z 5 k

Tipo III: Sistemas no lineales


a)y x

xy

1

656

6

5

5

b)2 3 11

2

2 2x yxy

1 5

5

c)y x xx y2 2

1

5

5

122 2 d)

x yx y

2

2

5

5

4242 2

a) y x

xy

1

656

6

5

5

⎧⎨⎪

⎩⎪

x y

yx

xx

x x1

1 2 1

5

55 5

5

66

5 5 6 02 , con

soluciones x 5 3 y x 5 2, lo que induce y 5 2 e y 5 3, respec-tivamente.

b) 2 3 11

2

2 2x y

xy

1 5

5, despejamos y 5 2/x en la 2ª ecuación y

sustituimos en la 1ª: 2x2 1 12

112x

5 2x4 211x2 1 12 5 0,

ecuación bicuadrada que nos proporciona las 4 soluciones, x 5 62 y x 5 6 3 2/ y sus correspondientes de y 5 61 e

y 5 6223

c) y x x

x y

2 2

1

5

5

1

22 2

⎧⎨⎩⎪

⇒

⎧⎨⎩⎪

⇒ ⇒y x

x xx x x

5

55

2 1

2 1 24 1 4 2

2 222

2

1 21 1 2

( )

⇒ x5 42 2 xx 21 05 nos da x 5 1 y x 5 21/5 como solucio-nes, induciendo los valores de y 5 1 e y 5 27/5

d) x y

x y

2

2

5

5

4

242 2

⎧⎨⎩⎪

⇒ ⇒⎧⎨⎩⎪

x y

y y

5

5

4

4 242 2

1

1 2( ) desarrollando la se-

gunda ecuación obtenemos,16 1 8y 5 24 y 5 1 x 5 5.

18.Laslongitudesdelaalturaylabasedeunrectángulocuyaárea mide 20 cm2 son dos números enteros consecutivos.¿Cuántomidelaaltura?

Sol_1CCSS_05.indd 31 12/5/08 08:34:34


Llamemosxyx 1 1laslongitudesdelosladosdelrectángulo,porello:x(x 1 1) 5 20 x2 1 x 220 5 0 x 5 4comoúnicasolu-ciónaceptable.

19.Encuentra lasdimensionesdeun rectángulode110mdeperímetroyde700m2deárea.

Designemosporxeylaslongitudesdeloslados,entoncespuede

plantearseelsistema:2 2 110

700

55

700

x y

xy

x y

xy

1 15

5

5

5despeja-

mosyenla1ªecuaciónysustituimosenla2ª:x(55 2 x) 5 700x2 255x 1 700 5 0 x 5 35,x 5 20queinducenlosvalores

dey 5 20ey 5 35.

TipoIV.Aplicacionesyproblemasdesistemas

20.Lasumadeedadesdeunamadreysuhijaes42años.Cuan-dolahijatengalaedaddelamadreesasumaseráde90.¿Cuántosañostienecadaunaenlaactualidad?

Sean x e y las edades de lamadre e hija en la actualidad; setieneque x 1 y 5 42.Cuandopasenx 2 yaños,lahijatendrálaedaddelamadrepuesy 1 x 2 y 5 xylaedaddelamadreserá:

x 1 x 2y 5 2x 2 y.Asíquetenemoselsistema:x y

x y x

1

2 1

5

5

42

2 90x y

x y

1

2

5

5

42

3 90queresolviendoporigualaciónnosdax 5 33ey 5 9

años.

21.Semezclan5dldeesenciacon12dldeaguadelavanda,pagándoseporelperfumeresultante15,30€.Sisemezclase1dldecadacoloniasepagarían2,28€.Calculaelpreciodeldecilitrodelaesencia.

Llamemos x el precio del dl de la esencia e y el precio dela misma cantidad de lavanda. Así, obtenemos el sistema5 12 15 30

2 28

x y

x y

1

1

5

5

,

,

⎧⎨⎩⎪

.Quenosdaunpreciodeldlde laesencia

dex 5 12 06

71 72

,,5 euros.

22.Sealeaunlingotedeoropuroconotrolingotede75%depureza,obteniéndose1kgdealeación,conunapurezadel90%.¿Cuántosgramosdecadatipodelingotesehanem-pleado?

Designemosporxlosgramosdeoropuroaleadoseylosgramosdelsegundolingotedeun75%depureza.Enesecaso:x 1 y 5 1000gryademás,eloroexistenteenelkilodemezcla,900gr(el90%de1000),hadecoincidirconx 1 0,75y.Estasrelacionesforman

elsistemax y

x y

1

1

5

5

1000

0 75 900,

⎧⎨⎩⎪

,queresueltonosproporcionalosva-

loresx 5 600gey 5 400g.

23.Compramosenuncolmado6kgdecaféy3kgdearrozporloquepagamos31,8€.Otrodía,por1kgdecaféy10dearroz

sepagan20,5€.¿Cuántonoscostarían5kgdecaféy12kgdearroz?

Seaxelpreciodelcaféeyeldearroz,planteamoselsistema

6 3 31 8

10 20 5 6 2 16 3 31 8

57

x y

x y E Ex y

1

1 22

5

55

,

,,⇔

⇔yy5123

x1y542

y5 51,612357

x54,5tLascantidadesseñaladascostarían:5 ? 4,5 1 12 ? 1,6 5 41,7euros.

24.Endos tinajasde igualcapacidadhay repartidos100 lde

aceite. La primera se llenaría si vertiéramos los23 del

contenidodelasegundayéstalohará,sitrasvasamoslos

34delaprimera.¿Cuántoslitroscontienecadatinaja?

Designemosporxeyloslitrosdecadatinaja.Evidentemente, x 1 y 5 100 y además, como sus capacidades

son idénticas: x 1 23

y 5 y 1 34

x, sistemaquenos conduce a que

x 5 4007

Ley 5 3007

L.

25.Unindividuoposee20monedas,unassonde0,50€yotrasde1€.¿Puedeteneruntotalde16€?

Seanxeyelnúmerodemonedasde0,5y1€,respectivamente.

Planteamos:x y

x y

1

1

5

5

20

0 5 16,⇔

x y

x y

y x

y xx

1

1

2

22

5

5

5

55

20

0 5 16

20

16 0 520 16

,,⇔ 220 5 8, x x 5

ey 5 12monedas.

26.Lasumadelastrescifrasdeunnúmeroes8.Sisecambialacifradelasdecenasporladecentenas,elnúmeroresultantees90unidadesmayor.Además,ladiferenciaentrelacifradeunidadesyeldobledeladedecenasnosdalacifradelascentenas.Hallaelnúmero.

Sea el número xyz, cuyo valor será: 100x 1 10y 1 z. En es-tas condiciones, pondremos las relaciones entre sus cifras:x 1 y 1 z 5 8,z 2 2y 5 x.Respecto al valor del número, las condiciones del enunciadonosdan:100y 1 10x 1 z 5 100x 1 10y 1 z 1 90.Estasecuaciones

formanelsistema:

x y z

z y x

y x z x y z

1 1

2

1 1 1 1 1

5

5

5

8

2

100 10 100 10 90

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x y z

x y z

x y

1 1

1 2

2 2

5

5

5

8

2 0

90 90 90

⎧

⎨⎪

⎩⎪

x y z

x y z

x y

1 1

1 2

2 2

5

5

5

8

2 0

1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

quepodemosresolverescalonadamente,resultando:x y z

x y

x

1 1

2 2

5

5

5

8

1

5 5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

,esdecirx 5 1,y 5 2,z 5 5.Elnúmeroes125.

27.Unaempresaha invertido73000€en la compradeorde-nadoresportátilesdetresclasesA,ByC,cuyoscostespor

Sol_1CCSS_05.indd 32 12/5/08 09:06:57


unidadsonde2400€,1200€y1000€,respectivamente.Sabiendoque,entotal,haadquirido55ordenadoresyquelacantidadinvertidaenlosdetipoAhasidolamismaquelainvertidaenlosdetipoB,averiguacuántosaparatosdecadaclasehacompradolaempresa.

Supongamos que el número de ordenadores que se compran de las clases A, B y C son x, y, z respectivamente.Cantidad invertida: 2 400x 1 1 200y 1 1 000z 5 73 000 12x 1 6y 1 5z 5 365Nºdeordenadores: x 1 y 1 z 5 55Relaciónentrecantidades: 2 400x 5 1 200y 2x 5 y. Así tenemos el sistema:12 6 5 365

55

2

x y z

x y z

y x

1 1

1 1

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(sustituyendo y 5 2x)

48 10 730

3 55

1 10 2 18 180

3 5

x z

x z

E E x

x z

1

1

2

1

5

5

5

5

⎧⎨⎩⎪ 55

⎧⎨⎩⎪

x 5 10, y 5 20, z 5 25.

28.Enlostrescursosdeunadiplomaturahaymatriculadosuntotalde350alumnos.Elnúmerodematriculadosenprimercursocoincidecon losdesegundomáseldoblede losdetercero.Losalumnosmatriculadosensegundomáseldoblede los deprimero superan en250 al quíntuplo de los detercero.Calculaelnúmerodealumnosquehaymatriculadosencadacurso.

Si el número de alumnos de 1º, 2º y 3º son x, y, z, respectiva-mente, se tiene:

x y z

x y z

x y z

1 1

1

1 1

5

5

5

350

2

2 5 250

⇔

x y z

x y z

1 1

2 2

5

5

350

2⇔ 00

2 5 250x y z1 2 5

2 1

3 2 1

350

2 3 3E E

E E

x y z

y z2

2

1 1

2 2 2

5

5⇔ 550

7 4502 2 2y z5

⇔

2 3 2

350

2 3 350

11 550

50

E E

x y z

y z

z

z y

1

1 1

1

5

5

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

, 55 5100 200, x .

29.En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplealeche,cacaoyalmendras,siendolaproporcióndelechedo-blequeladecacaoyalmendrasjuntas.Lospreciosdecadakilogramodelosingredientesson:leche,0,8€;cacao,4€;y almendras, 13€. En un día se fabrican 9000 kg de esechocolate,conuncostetotalde25800€.¿Cuántoskilosseutilizandecadaingrediente?

Sean x, y, z los kilos de leche, cacao y almendras, respectiva-mente, que se emplean cada día. Debe cumplirse:x 1 y 1 z 5 9 000x 5 2(y 1 z)0,8x 1 4y 1 13z 5 25 800Queda el sistema:

x y z

x y z

x y z

1 1

2 2

1 1

5

5

5

9000

2 2 0

0 8 4 13 25800, E E

E E

2 2 1

3 4 1

1

2

x y z

x

x z

1 1

2 1 2

5

5

5

9000

3 18000

3 2 9 10200,

Despejando x en la segunda ecuación y sustituyendo en la ter-cera y en la primera ecuación, se obtiene:x 5 6 000; y 5 2 000; z 5 1 000Se utilizan 6 000 kg de leche, 2 000 kg de cacao y 1 000 kg de almendras.

30.Lasumadelasedadesdeunpadreysusdoshijosesde60años.Dentrode10años,lasumadelasedadesdeloshijosserálaactualdelpadre.Porúltimo,cuandonacióelpeque-ño,laedaddelpadreera8vecesladelhijomayor.¿Cuántosañostienecadaunodeloshijos?

x y z

(y110)1(z110)5x(x2z)58(y2z)

1 1 560⎧

⎨⎪

⎩⎪

x y z

2x1y1z5220x28y27z50

1 1 560⎧

⎨⎪

⎩⎪

y1z520

27y18z520

z 5 8 e y 5 12Luego el hijo mayor tiene 12 años y el pequeño 8.

31.Por24litrosdeleche,6kgdejamónserranoy12litrosdeaceitedeolivahemospagado156euros.Hallaelpreciouni-tariodecadaartículo,sabiendoque1litrodeaceitecuestaeltriplequeunlitrodelecheyque1kgdejamóncuestaigualque4litrosdeaceitemás4litrosdeleche.

Sean x, y, z los precios de un litro de leche, un kilo de jamón y de un litro de aceite, respectivamente. Por tanto:24x 1 6y 1 12z 5 156

z 5 3x

y 5 4z 1 4x

Sustituyendo z 5 3x en la segunda ecuación, y llevando el valor a la primera se obtiene:24x 1 6y 1 12z 5 156

z 5 3x

y 5 16x 24x 1 96x 1 36x 5 156

156x 5 156 x 5 y 5 16, z 5 3.Los precios serán: leche 1 €/l; jamón 16 €/kg; aceite 3 €/l

32.Uncapitántienetrescompañías:unadesuizos,otradezua-vosyunaterceradesajones.Alasaltarunafortalezaprome-teunarecompensade901escudosqueserepartirándelasiguienteforma:elsoldadoqueprimerosubaytodoslosdesucompañíarecibiránunescudo;elrestodelarecompensaserepartiráapartesigualesentreelrestodelossoldados.Sabiendoquesielprimeroquesubeesunsuizo,losdelasdemás compañías reciben medio escudo; si el primero eszuavo,losrestantesrecibenunterciodeescudo,ysielpri-meroessajón,uncuartodeescudo,¿cuántoshombreshayencadacompañía?

Sean x, y, z el número de suizos, zuavos y sajones, respectiva-mente. Entonces:

x 1 1

2y 1

1

2z 5 901

1

3x 1 y 1

1

3z 5 901

1

4x 1

1

4y 1 z 5 901

2x 1 y 1 z 5 1 802

x 1 3y 1 z 5 2 703

x 1 y 1 4z 5 3 604

Sol_1CCSS_05.indd 33 12/5/08 08:35:05

1,


Aplicando el método de Gauss se obtiene:E1 2 2E3

E2 2 E3

2y 2 7z 5 25 406

2y 2 3z 5 2901

x 1 y 1 4z 5 3 604 E2 1 2E1

2y 2 7z 5 25 406

217z 5 211 713

x 1 y 1 4z 5 3 604

Luego: z 5 689; y 5 583; x 5 265.

TipoV.Sistemasdeinecuaciones

33.Hallaenelplanolasoluciónde:

a) x2 2y < 21; b) x

y2

21 $

a) La gráfica de la recta x 2 2y 5 21 es la mostrada en la gráfica y el área coloreada es la solución:

y

x121

1

21

Fig. 5.4.

b) Dibujamos la recta x

y2

21 5 y el área por encima de ella es

la solución de la inecuación planteada:y

x1 2212223

1

3

23

2223

4 5

Fig. 5.5.

34.Resuelvedandoelresultadoenformadeintervalo:

a) 2 1 6xx

#

2 $

2⎧⎨⎩

; b) 2 3 5xx

$

2 .

2⎧⎨⎩

a) x

x

#

2 $

2

2 1 6

⎧⎨⎩

⇔⎧⎨⎪

⎩⎪

x

x

#

$

2

72

que no puede verificarse,

luego conjunto solución .

b) x

x

$

2 .

2

2 3 5

⎧⎨⎩

⎧⎨⎪

⎩⎪

x

xx

$

..

2

82

44 4

5( , )


a) x yx

2 #

$

22 6

⎧⎨⎩

; b) 2 1 2

0( )x y

y2 2 #

$

⎧⎨⎩

a) Representamos en el mismo sistema de ejes coordenados las rectas x 2 y 5 2 y x 5 3:

y

x1 221

1

3

2

3

4 5

Fig. 5.6.

y las semirrectas, junto con el ángulo determinado es la solución.

b) En este caso las rectas a representar son 2x 2 y 5 4 e y 5 0:y

x1 2212223

1

3

23

2223

4 5

Fig. 5.7.

y la solución del sistema aparece marcada.

j CueSTioneSbáSiCaS

1. Encuentratressolucionesdelaecuación2x15y510yhazunarepresentacióngráficadelamisma.

x 5 5y 2 10 tres pares de valores solución pueden ser: y 5 2, x 5 0; y 5 1, x 5 25; y 5 3, x 5 5.

2. ¿Sonequivalenteslossistemasxy x5

5

3

212

2

⎧

⎨⎪

⎩⎪y

yx y2

2

1 32 2

5

5

⎧⎨⎩⎪

?

No, ya que x 5 3, y 5 4 es solución del primer sistema y no lo es del segundo.

3. Añadeunaecuaciónalsistemax yy

1

2

5

5

01

⎧⎨⎩⎪

demodoqueresul-

teincompatible.

Por ejemplo, una ecuación contradictoria con la primera: x 1 y 5 5.

4. Resuelveelsistemax yy x

2 2

1 2

2 11

5

5

⎧⎨⎩⎪

.

x y

y xy y y x

5

55 5 5

2 1

12 1 1 0 1

2

2 22 2 2 2

⎧⎨⎩⎪

,

Sol_1CCSS_05.indd 34 12/5/08 09:13:29

1


5. Encuentragráficamentelasolucióndelsistemax yx y

5

5

2 1

1

11

.

La solución puede verse es x 5 0 e y 5 1

22 21

x

y

1

2

3

23 1 2 3

x = 211yx1y = 1

Fig. 5.8.

6. Razonasilossistemasx

y

x y

22

2

12

1

2 1

5

5

⎧

⎨⎪

⎩⎪y

xy

x yy x

22

2

2

12

1

2 13 1

5

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

son

equivalentessabiendoquex 5 y 5 1essolucióndelprimero.

No, ya que la tercera ecuación del segundo sistema no es satis-fecha por x 5 y 5 1.

7. Resuelve,aplicandoelmétododeGauss,elsistema

x 1 y 1 z 5 2

x 1 2y 1 3z 5 2x 1 z 5 0

.

x 1 y 1 z 5 2

x 1 2y 1 3z 5 2

x 1 z 5 0

E1 2 E3

E2 2 E3

y 5 2

2y 1 2z 5 2

x 1 z 5 0 x 5 1, y 5 2, z 5 21

8. ¿Cuántotienequevalermparaqueelsistema

x 2 y 1 z 5 1x 1 2y 2 z 5 2(m 2 3)z 5 3

seaincompatible?

m 5 3, pues en tal caso la E3 queda: 0z 5 3.

9. Hallaenfuncióndez5klasolucióndelsistemax 2 2z 5 12y 1 z 5 2

Basta con despejar: x 5 1 1 2k; y 5 22 1 k; z 5 k.

10.Un tercio de los CDs que tengo en casa sonprestados. Sison10lacuartapartedelosdemipropiedad,¿cuántosCDstengoencasa?

Llamemos x los CDs que son de su propiedad, entonces x/4 5 10 x 5 40. Si y son los prestados, se tiene,

13

40403

23

20( )1 y yy

y5 5 5 .

Así, tengo 60 CDs en casa.

Sol_1CCSS_05.indd 35 12/5/08 09:13:31

36 FUNCIONES Y GRÁFICAS06

jACTIVIDADES

1. Hallaeldominioyelrecorridodelassiguientesfunciones: a) f(x) 5 2x2; b) g(x)5 31x ;

c) h(x) 5 3

x2 2 2x ; d) j(x) 5

24x2 1 2

.

a) f(x) f(x)52x2 tiene sentido para todo x. Por tanto, Dom(f)5R.

Los valores que toma f(x) son siempre menores o iguales 0: Im(f)5[0, 2`).

b) g(x)5 31x está definida para x $ 23: intervalo [23, 1`) Su recorrido serán siempre valores positivos: Im(g)5[0, 1`)

c) h(x)53

x212x no está definida cuando x222x50 : x50,

x52. Dom(h)5R2 {0, 2} Esta función puede tomar valores infinitamente grandes,

tanto positivos como negativos menos el valor 0. Luego, Im(h)5(2`, +`) 2 {0}.

d) j(x)524

x222 está definida para todo x, pues x21222:

Dom(j)5R: Su imagen nunca puede ser positiva ni menor que 22:

Im(j)5[22, 0).

2. Paralafuncióndadaenlafiguraanterior(Fig.6.3dellibro):a) ¿Cuántovalef(21),f(0)yf(4)?b) ¿Acuántosnúmerosleasignafelvalor1?

a) f(21)53; f(0)51; f(4)50b) A x50 y x510/3

3. Seaf(x) 5 x .a) Calcula f(4) y f(25). Representa los pares de valores

correspondientes.b) ¿Esfunafunción?c) ¿Esfácilobtenerunafunciónapartirdef?¿Cómo?d) Justificagráficamentelosapartadosanteriores.

a) f(4)562; f(25)565b) No, por el doble signo de la raíz.c) Si, f(x)51 x y g(x)52 x son funciones.d) y

x1 2-1

1

3

23

-2-3

4 5 6 7 8

x

xg (x) = -

f(x ) =

Fig.6.1.

4. Calculaalgunosparesdelafunciónf(x) 5

x 1 1 six ,13 2 x2 six $1

,

represéntalosenundiagramacartesianoytraza,uniendolospuntos,lagráficadef(x).

Si x521 y50: par (21, 0).Si x50 y50: par (0, 1).

Si x51 y52: par (1, 2).Si x52 y521: par (2, 21).Si x53 y526: par (3, 26).Gráfica:

y

x1 2-1

1

3

23

-2-3

4-2-3

Fig.6.2.

5. Supongamosqueenlosúltimoscuatroañoslosingresosdeuna persona han pasado de 26000 €/año a 32000 €/año,mientrasquesugastoenculturacrecióde450a720€/año.a) Calculalatasadevariaciónmediadecadaconcepto.b) ¿Quéhaaumentadomásproporcionalmente,susingre-

sososusgastosencultura?

a) Las tasas de variación media respectivas serán:

TVM(Ingresos) 5 32 000 226 000

4 5 1 500;

TVM(Gastos) 5 720 2450

4 5 67,5

Los ingresos aumentan a un ritmo de 1500 €/año; los gas-tos a razón de 67,5 €/año.

b) Los aumentos porcentuales son:

Ingresos: 1 500

26 000 ? 100 5 23,08, con un crecimiento medio

anual del 5,77 %

Gastos: 67,5

450 ? 100 5 60, lo que supone un crecimiento

medio anual del 15 %.

6. Calcula la tasa de variación media de la funciónf(x)52x216xenlosintervalos[1,3]y[2,6].Interpretageométricamenteelresultado.

Las tasas de variación media en los respectivos intervalos va-len:

TVM[1, 3] 5 f(3) 2f(1)

3 2 1 5

9 25

3 5 2

TVM[2, 6] 5 f(6) 2f(2)

6 2 2 5

0 28

4 5 22

En el intervalo [1, 3], la función crece 4 unidades: a razón de 2 unidades por unidad. En el intervalo [2, 6] la función decrece 8 unidades: a una media de 2 por unidad.Tanto el crecimiento como el decrecimiento no son uniformes. Podría hacerse ver al alumno que la TVM indica la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos correspondientes a los extremos de la función en el intervalo considerado.Véase la Figura 6.3.

Sol_1CCSS_06.indd 36 12/5/08 10:25:14

37FUNCIONES Y GRÁFICAS 06

y

x

9

Pendiente m 5 2

531 42 76-1

2

3

4

5

6

7

8

1

Pendiente m ?

2

Fig.6.3.

7. Paralafunciónf(x)representadaenlaFigura6.4.a) ¿Aquétiendef(x)cuandoxtiendea21oa2?b) ¿Ycuandoxtiendea2`oa1`?c) ¿Quétipodeasíntotastienef(x)?

2

2-1

-1

Fig.6.4.

a) Si x 21, por la izquierda, f (x) +` Si x 21, por la derecha, f (x) 2` Si x 2, por la izquierda, f (x) +` Si x 2, por la derecha, f (x) 2`b) Si x 2`, f (x) 21. Si x 1`, f (x) 2.c) La función tiene dos asíntotas verticales, las rectas x 5 21

y x 5 2. También tiene dos asíntotas horizontales, las rectas y 5 21

e y 5 2.

8. Apartirdelagráficadelafunciónanterior(Fig.6.10dellibro),determina:a) Lasdimensionesdelrectángulodemáximasuperficie.b) Sudominioyrecorrido.

La gráfica (de la función anterior) que da la superficie, es la de una parábola.a) El máximo lo alcanza en el vértice, punto (25, 625). (Si el alumno no sabe calcular el vértice, al menos deberá sa-

ber que el máximo se alcanza cuando x está entre 20 y 30.)b) La superficie sólo existe cuando 0,x,50. Recorrido: (0, 625]

Base

Supe

rfici

e

20 40

100200300400

10 30 50

500600

Máx

imo

Fig.6.5.

9. Dadaslasfuncionesf(x)52x21yg(x)2

x 1 1halla:

a) g(f(x)),g(f(1))yg(f(21));b) f(g(x)),f(g(1))yf(g(21)).

a) g( f (x)) 5 g(2x 2 1) 5 (2x21) 1 1

5 1

x.

Por tanto: g( f(1)) 5 1; g( f(21)) 5 21.

b) f (g(x)) 5 f(2/(x 1 1)) 5 2 ? 2

x11 21 5

3 2x

x21.

Por tanto: f(g(1)) 5 3

0 (no está definida); f(g(21)) tampoco

está definida al no estarlo g(21). Un despiste-error es

escribir: f(g(21)) 5 4

22 5 22.

10.a) Halla la función inversa de f(x)52x21. Compruebaquef(f21(2))5f21(f(2))52.

b) Dadalafunciónf(x)5x224x,hallalaimageninversadey050.

a) Sea f21(x) 5 y. Entonces f(y) 5 x f(y) 5 2y 2 1 5 x

y 5 x 11

2.

Efectivamente: f( f21(2) 5 f(3/2) 5 2 ? 3

2 – 1 5 2.

Igualmente, f21( f(2)) 5 f21(3) 5 4

2 5 2.

b) Las imagen inversa de y0 5 0 se obtiene resolviendo la ecuación x2 2 4x 5 0 x 5 0 y x 5 4. Luego f21(0) 5 {0, 4}.

11. Paralafuncióndadaporlagráficaadjunta,representalasgráficasdelasfunciones:

y

x1 2-1

12

f(x)

-2 3 4

Fig.6.6.

a) f(2x); b) |f(2x)|; c) 2f(x); d)f(2x)

y

x1 2-1

12

f(-x )

-2 3 4-3-4

y

x1 2-1

12 |f(x )|

-2 3 4

y

x1 2-1

12

2f(x )

-2 3 4-3-4

3

-1

y

x1 2-1

12

f(2x)

-2 3 4

Fig.6.7.

Sol_1CCSS_06.indd 37 12/5/08 10:25:19

2



Tipo I. Funciones. Dominio y recorrido

1. Determina, en cada uno de los casos, si se trata de unafunciónono.a) x 21 0 1 2 21

y 25 0 5 10 15

b) f(x) 5 5x c) y

x1 2-1

12

-2 3 4-3-4

3

-1

Fig.6.8.

d) x 1 2 3 4 5

y 3 6 11 16 27

e) f(x) 5 x2 1 2

a) No. El número 21 tiene dos imágenes.b) Sí. El quíntuplo de un número siempre es único.c) No. Las rectas verticales entre x50 y x53 cortan a la curva

en más de un punto.d) Sí, la correspondencia es única.e) Sí, el valor de x212 es único para cada x.

2. Indica cuáles de las siguientes relaciones definen unafunción:a) Acadanúmeroleasignamoseldoble.b) Acadaalumnaleasignamossuestatura.c) Acadanúmeronaturalleasignamossusmúltiplos.d) Acadaciudadleasignamoslaprovinciaalaquepertenece.

a) Sí. El doble de un número es único.b) En cada momento sí. (Evidentemente una persona puede crecer,

pero en el momento en que es medida, su estatura es única.)c) No. Un número tiene infinitos múltiplos.d) Sí. Cada ciudad pertenece a una sola provincia.

3. Hallaeldominioyrecorridodelasfuncionescuyagráficasedaacontinuación:

y

x1 2-1

12

-2 3 4

y

x1 2-1

12

3 4 5

3 y

x1 2-1

12

-2 3-3

-2

Fig.6.9.

a) Dominio: [21, 3] Recorrido: [0, 2]b) Dominio: [0, 5] Recorrido: [21, 3]c) Dominio: R Recorrido: {22, 1}

4. Hallaeldominiodelassiguientesfunciones:

a) f(x) 5 3x10 1 5x6 2 18; b) g(x) 5 5x21x2 2 25

;

c) h(x) 5 3x2 4; d) k(x) 5 x22 1;

e) l(x) 5 8x29

2x2 2 3x 1 1.

a) Dom (f)5R; b) Dom (g)5R2{25, 5};

c) Dom (h)53

4 , 2` ; d) Dom (k)5(2`, 21] < [1, `);

e) Dom (l)5R21

2 , 21 .

Tipo II. Representación y características gráficas

5. Dibujaelperfil deunaetapa ciclistaque comienzaenMálagaytienelassiguientescaracterísticas:1. Llanaensusprimeros60km.2. Tiene10kmdesubidahastalacotade1.000m.3. Bajadurante15km.4. Transcurredurante45kmporunvallesituadoa200m

dealtitud.5. Termina, tras 20 km de ascensión, en un puerto de

1.400metrosdealtura.

Empezamos a una altitud aproximada de cero metros, ya que Málaga está al nivel del mar (en realidad son 8 m sobre el nivel del mar).

Distancia (km)

Altitud (m)

20 40 60 80 100120

500

140160

1000

1500

Fig.6.10.

6. Elgráficoadjuntomuestraelnúmerodeconsultasrelaciona-dasconlagripeenuncentromédicodeatenciónprimaria.a) ¿Defineestegráficounafunción?¿Cuálessudominio?

¿Pertenece10,5alrecorridodeesafunción?b) ¿Piensasque lagripetendráalgúntipodecomporta-

mientopredecible?

2 4

10203040

1 3 5Meses del año

50607080

6 7 8 9 10 11 12

55

70

50

20 155

105

40

30

6050

Fig.6.11.

Sol_1CCSS_06.indd 38 12/5/08 10:25:21


a) Sí. Para ese año, cada mes el número consultas es único. Esto es, para cada mes se sabe exactamente el número de consultas.

Su dominio es todo el año. 10,5 no pertenece al recorrido pues el número de consultas

es un entero positivo.b) Sí, será aproximadamente periódico.

7. Lacotización,eneuros,delasaccionesdedoscompañías,C1yC2,durantelosseisprimerosmesesdeunaño,vieneindica-daenlagráficaadjunta.

1510

20

30

40

50

35

17

40,5

18

42

26,5

43

24

45

13

3222

40 C1

C2

E F M JA M

Fig.6.12.

a) Hallalatasadevariaciónmediamensualdecadacompa-ñía.

b) Calculaelcrecimientoodecrecimientoporcentualmediomensualdecadaunadeellas.

a) La cotización de C1 pasa de 35 a 45 €; la C2, de 15 a 24 €. Por tanto, su variación media mensual es:

TVM(C1) 5 10

6 5 1,66 €/mes; TVM(C2) 5

9

6 5 1,5 €/mes;

b) El crecimiento medio mensual es:

Para C1: TVM(C1)

35 5

1,66

35 ? 100 5 4,75 %.

Para C2: TVM(C2)

15 5

1,5

15 ? 100 5 10 %.

8. Paralascompañíasdelproblemaanterior:a) Indicalaevoluciónbimensualdecadaunadeellas.b) ¿Encuáldeesosperiodosbimensualesseproduceunava-

riaciónporcentualmayor,tantopositivacomonegativa?

a) Los valores que se observan son:

Periodo E-F M-A M-J

Variación: C1 32 2 35 5 22 40 2 32 5 18 45 2 40 5 12

Variación: C2 13 2 15 5 22 22 2 13 5 12 24 2 22 5 12

Por tanto:

TVM(C1, E-F) 5 22

2 5 21 €/mes;

TVM(C2, E-F) 5 22

2 5 21 €/mes;

TVM(C1, M-A) 5 8

2 5 14 €/mes;

TVM(C2, M-A) 5 9

2 5 4,5 €/mes;

TVM(C1, M-J) 5 5

2 5 2,5 €/mes;

TVM(C2, M-J) 5 2

2 5 1 €/mes;

b) En el segundo periodo bimensual, se da la máxima variación positiva para ambas compañías.

C1 sube un 8

32 ? 100 5 25 %; C2 sube un

9

13 ? 100 5 69,2 %;

Ambas compañías bajan en el primer periodo (en enero y fe-brero).

C1 baja un 2

35 ? 100 5 5,7 %; C2 baja un

2

15 ? 100 5 13,3 %.

9. Estudialasimetríadelassiguientesfunciones:a) f(x) 5 x4 2 x2; b) g(x) 5 x3 2 x 1 1;

c) h(x) 5 2x

x2 2 4.

a) f(2x)5(2x)42(2x)25x42x25f(x) f(x) es una fun-ción par.

b) g(2x)5(2x)32(2x)1152x31x11 Þ g(x) y de 2g(x) no es par ni impar.

c) h(2x)52x

(2x2)145

x

x21452h(x) h(x) es una fun-

ción impar.

10.Las siguientes gráficas corresponden a las funciones delproblemaanterior.Atendiendoalestudio realizadosobresusimetría,emparéjalasconsuexpresiónalgebraica.

y

x1 2-1

1

3

23

-2-3

4-2-3

1

y

x1 2-1

1

3

23

-2-3

4-2-3

2

Fig.6.13. Fig.6.14.

y

x1 2-1 3

0,25

-0,25

4-2-3

3

Fig.6.15.

1) con g(x); 2) con f(x); 3) con h(x).

11. Representa,dandovalores,lasfunciones:a) f(x) 5 2x2 2 1b) g(x) 5 x3 2 3xc) HallalaTVMdecadaunadeellasenintervalos[21,3]y

[0,5].

a) x 0 21 1 22 2

f(x) 21 1 1 7 7

Sol_1CCSS_06.indd 39 12/5/08 10:25:24


-2 -1 x

y

123

1 2 3

456

-3

Fig.6.16.

b) x f(x)

0 0

1 22

2 2

1/2 211/8

3/2 29/8

5/2 65/8

21 2

22 22

21/2 11/8

23/2 9/8

-2 -1x

y

1

2

3

1 2

-2

-3

Fig.6.17.

c) TVMf[21, 3] 5 f(3) 2f(21)

3 2 (21) 5

17 21

4 5 4;

TVMf[0, 5] 5 f(5) 2f(0)

5 2 0 5

49 2(21)

5 5 10;

TVMg[21, 3] 5 g(3) 2g(21)

3 2 (21) 5

18 22

4 5 4;

TVMg[0, 5] 5 g(5) 2g(0)

5 2 0 5

110 20

5 5 22

12.Dadalafunción,definidaatrozos,

f(x) 5

x 1 3 six ,230 si23 2 x ,0x2 2 1 six #0

a) Hallaf(–4),f(–2),f(–1),f(0)yf(2).b) Representaf(x).c) Dalosvaloresdexquesetransformanen0.Ídemen–1.

a) f(24)521; f(22)50; f(21)50, f(0)521; f(2)53.

b) y

x1 2-1

123

-2-3

-2-3-4-5-6

Fig.6.18.

c) Hay que resolver la ecuación f(x)50 en cada uno de sus tres trozos.

x1350 x523, pero este valor no pertenece al domi-nio de ese trozo (x,23).

En el segundo trozo, f(x)50 en todos los puntos de su do-minio, es decir, en23 # x,0.

x22150 x561. Como x521 no pertenece al domi-nio de este trozo, sólo se cumple para x51.

En resumen, los valores de x que se transforman en cero son: [23,0)< {1} De manera análoga: f 21 (21)5{24, 0}

Nota:El apartado c) se podría haber resuelto también con ayuda de la gráfica de f(x). Las funciones definidas a trozos se estudia-rán con más detenimiento en el curso próximo.

13.Representagráficamentelasiguientefuncióneindicasudominioyrecorrido:

f(x) 5

2x22 6x 2 6, six ,222x 1 2, si21 # x ,12x 1 4, six .1

y

x1 2-1

123

-2-3

-2-3-4-5-6

4

3 4

Fig.6.19.

Dom (f)5(2`, 22)<[21, 1)<(1, ̀ )Im (f)5(2`, 4)

14.Representalafunciónf(x) 5

22x, six2 02x 1 1, si0 , x #0,5x2 1 1, six .0,5

Apartirdesugráficaindica: ¿Enquépuntosesdiscontinua? ¿Cuándoescrecienteycuándodecreciente?Sugráficaesla

siguiente:

y

x1 2-1

1

2

3

-2

-3

-2

4

Fig.6.20.

Es discontinua enx50 y en x50,5.a) Crece en el intervalo (0, 0,5).b) Decrece en los intervalos (2`, 0) y (0,5, 1`).

15.Calculaalgunosparesdelafunción

f(x) 5

x2 six ,03x six $1

,

Sol_1CCSS_06.indd 40 12/5/08 10:25:27


represéntalosenundiagramacartesianoytraza,uniendolospuntos,lagráficadef(x).¿Paraquevaloresdexlafun-cióntomaelvalor9?

Pares:(23, 9); (22, 4); (21, 1); (20,5, 0,25); (0, 0); (0,5, 1,5); (1, 3); (2, 6); (3, 9)Representando todos los pares y uniendo los puntos se obtiene la gráfica adjunta.

-2 -1 x

y

123

1 2 3

456

-3-4 4

789

10

f1(x ) = x2

(-3, 9)

(-2, 4)

(-1, 1)

f2(x ) = 3x

(1, 3)

(2, 6)

(0, 0)

Fig.6.21.

Para x523 y x53 la función toma el valor 9.

Tipo III. Composición y transformación de funciones.

Función inversa

16.Dadasf(x) 5 2x 2 3yg(x) 5 x

5,halla:

a) f(g(0)); b) f(g(22)); c) g(f(5)); d) g(f(21)).

a) g(0)50 f(0)523 f(g(0))523

b) g(22)522/5 f(22/5)5219/5 f(g(22))5219/5c) f(5)57 g(7)57/5 g(f(5))

57/5

d) f(21)525 g(25)521 g(f(21))521

17. Paralasmismasfuncionesdeterminaf(g(x))yg(f(x)).

f(g(x))52g(x)2352x

2235

2x215

2

g(f(x))5f(x)

55

2x23

5

18.Dadasf(x) 5 x 2 3yg(x) 5 5

x 1 1,halla:

a) f(g(x))yg(f(x)).b) f(g(4))yf(g(1)).Determinaeldominodef(g(x)).c) g(f(3))yg(f(2)).Determinaeldominiodeg(f(x)).

a) f(g(x))5g(x)2355

x11235

2x23x

x11

g(f(x))55

f(x) 115

5

x 23115

5

x 22

b) f(g(4))52212

411522; f(g(1))5

223

1115

21

2.

Dominio5R2{21}

c) g(f(3))55

32255; g(f(2))5

223

2125̀ : no está definida.

Dominio5R2{2}

19. Calculalafuncióninversadef(x) 5 x21 1.Compruebaquef(f 21(4)) 5 f 21(f(4)) 5 4.

Si g(x) es la inversa de f(x), debe cumplirse que f(g(x))5x g(x)2115x.

Elevando al cuadrado y despejando, f 21(x)5g(x)5 x221 Efectivamente:f(f 21(4))5«011SolCS06.eps»5 15 11 54; y al revés, f(f 21(4))5«012SolCS06.eps»5 17 21 54

20.Hallalainversadelasfunciones:a) f(x) 5 x 2 3;

b)g(x) 5 5

x 1 1;

c)h(x) 5 x2 2 3.

a) f(f 21(x))5f 21(x)235x f 21(x)5x13

b) g(g21(x))55

g21(x)11 55xg21(x)1x g21(x)5

52x

xc) h(h21(x))5(h21(x))2135x h21(x)5 x 13

21.Paralasfuncionesanteriores,halla:a) f 21(5); b) g 21(2); c) h 21(1).

a) f 21(5)58;

b) g21(2)5522

25

3

2c) h21(1)5 1 13 52

22.Dadaslasfuncionesf(x) 5 3x 1 2yg(x) 5 3

2x 2 1.Halla:

a)f(g(x)); b)(g 8 f)(x); c)f(f(x));d)g(g(x)); e) (f 8 f 8 f)(x).

a) f(g(x))5f 3

2x2153

3

2x21125

4x17

2x21

b) (g 8 f)(x)5g(f(x))5g(3x12)5

3

2(3x12) 21 51

2x21c) f(f(x))5f(3x12)53(3x12)1259x18

d) g(g(x))5g3

2x215

3

23

2x21 21

56x23

722x

e) (f 8 f 8 f)(x)5f(f(f(x)))5f(f(3x12)5f(3(2x12)12)5

5f(9x18)53(9x18)12527x126

23.Dadaslasfunciones:

f(x) 5 2x 1 4yk(x) 5 x 2 2

xa) Hallasusrespectivasfuncionesinversas.

b) Calculalasimágenesinversasde6yde0paracadaunadelasfuncionesdelenunciado.

a) La función inversa f 21(x) tiene que cumplir la ecuación f(f 21(x))5x.

Sol_1CCSS_06.indd 41 12/5/08 10:25:32


f(f 21(x))5 2f 221(x) 24 5x f 21(x)5x214

2 La función inversa k21(x) tiene que cumplir la ecuación

k(k21(x))5x.

k(k21(x))5

k21(x)22

k21(x)5x k21(x)225x k21(x)

k21(x)2 x k21(x)52

k21(x) (12x)52 k21(x)52

12x

b) f 21(6)520; k 21(6)522

5; f 21(0)52; k21(0)52

24.Representaenunosmismosejeslasfunciones

g(x)55x22

2yg21(x)5

3x125

.

Compruebaquesusgráficassonsimétricasrespectodelarectay5x.

Damos valores

x g(x) x g21(x) 1 0 1 1 0 22 0 2/521 2 21 21/5 2 211/8 2 8/5

22 29/8 22 24/5

x

y

1 2-1

1

3

23

-2-3

-2-3

g (x)

g -1(x )

Fig.6.22.

25.Apartirdelagráficadelafunciónf(x) 5 x 2 2,representa:a) 2f(x); b) f(2x); c) f(x); d) f(x 2 4).

Damos valores en la siguiente tabla:

x f(x)5x22 2f(x) f(2x) f(x) f(x 24)21 23 3 21 3 27 0 22 2 22 2 26 1 21 1 23 1 25 2 0 0 24 0 24 3 1 21 25 1 23 4 2 22 26 2 22

Sus gráficas se indican a continuación.

x

y

1 221

1

3

23

2223

2223f(x

) 5 x

2 2

f(2x) 5

2x 1

2

2f(x) 5

2x 2

2

x

y

1 221

1

3

23

2223

22

|f(x)|

4

f(x 2 4) 5 x 2 6

5 6

Fig.6.23. Fig.6.24.

26.Apartirdelasfuncionesf(x)yg(x)dadasporlassiguien-tesgráficas

x

y

1 2-1

1

3

23

-2-3

-2

f(x )

4

-2 -1 x

y

123

1

4

-3

5g (x)

Fig.6.25. Fig.6.26.

Representalasgráficasdelasfunciones:

a) 2 f(x),3 1 f(x),f(x 2 2),|f(x)|

b) |g(x)|,12

g(x),g(0,5x),g(x) 2 3

a)

x

y

1 2-1

1

3

2

3

-2

-3

-2 4

f(x )

-f(x )

x

y

1 2-1

1

3

2

3

-2

-3

-2 4

f(x )

|f(x )|

x

y

1 2-1

1

3

2

3

-2

-3

-2 4

f(x )

3 + f(x )

x

y

1 2-1

1

3

2

3

-2

-3

-2

f(x )

4

f(x + 2)

Fig.6.27.

b)

2221 x

y

123

1

4

23

5

g(x)

2221 x

y

123

1

4

23

5

g(x)

2221 x

y

123

1

4

23

5

g(x)

2425 2 3

g(0,5x)

0,5g(x)

2221 x

y

123

123

g(x)

2322

g(x) 2 3

|g(x)|

Fig.6.28.

Sol_1CCSS_06.indd 42 12/5/08 10:25:36


27. Dadalafunción:

f(x) 5

x, si23#x # 00, si0,x # 121, si1,x # 222, si2,x # 30, six,23ox . 2

a) Represéntalagráficamente.b) ¿Enquépuntosnoescontinua?c) Hazlagráficade|f(x)|.

a) La representación gráfica se da en la figura siguiente.y

x1 2-1

1

2

3

-2

-3

-2-3-4-5

4

3 4 5

Fig.6.29.

b) Como puede verse por la figura, la función no es continua en x523, x51, x52 y

x53; en los demás puntos es continua.c) La gráfica de |f(x)|

y

x1 2-1

1

2

3

-2

-3

-2-3-4-5

4

3 4 5

Fig.6.30.

Tipo IV. Funciones dadas por enunciado

28.El3deenerode2006eldólarcotizabaa0,8466€.

a) Hallalasfuncionesquepermitanpasardeunamonedaaotra.

b) Silosbancoscobranunacomisióndel0,5%porelcam-bio(porlacompraolaventa),hallalasfuncionesdecompradelasdosmonedas.

a) Por x dólares nos dan f(x)50,8466x euros.

Por z euros nos dan g(z)5z

0,8466

dólares.

b) Con comisión. Al comprar dólares o euros al banco, éste nos cobra el 0,5 %.

Por un dólar nos da 0,995 dólares (se queda con 0,005 dóla-res); por un euro nos da 0,995 euros. Luego:

Por x dólares nos dan: f(x)50,8466?0,995x50,842367x euros.

Por z euros nos dan: g(z)50,995

0,8466z dólares51,175289z

dólares.

29.Lafacturabimensualdeunacompañíatelefónicaconstadeunacantidadfija(lascuotasdeabono)porunimportede29,84euros,máselimportedelospasosgastados,conunprecioporpasode0,06euros.Aesasumahayquecargarleel16%deIVA.Sepide:a) ¿Cuántodebepagaruna familiaque consumióendos

meses990pasos?b) Escribelaexpresiónquedéelimportetotal,IVAinclui-

do,delafacturaenfuncióndelospasosgastados.

a) 29,841990 · 0,06589,24 16 % de 89,24514,2784 Total a pagar: 89,24114,27845103,52 euros.b) P5pasos gastados, I(p)5importe total (IVA incluido) 29,84116 % de 29,84534,6144 0,06116 % de 0,0650,0696 I(p)534,614410,0696p.

30.Enunaclasedepsicologíaserealizóelsiguienteexperimen-todememorización:acadaestudiantese lediouna listacon40 palabras, y un día paramemorizarlas. Durante 20días seguidos cada estudiante escribía todas las palabrasdelalistaqueeracapazderecordar.Sehallólamediadeaciertosysedeterminóqueunabuenaaproximacióndeesta

mediaveníadadaporlafunciónR(d) 5 5d130

d,dendías.

Dibujaesta función. ¿Quépuedededucirsede sugráfica?

Algunos valores son:

y

x5 10

5101520

15 20 25 30 35 40

2530

R(d ) = 5d + 30

d

Fig.6.31.

d R(d)

1 35

3 15

5 11

10 8

15 7

20 6,5

30 6

50 5,6 En los primeros días los estudiantes olvidan rápidamente las palabras memorizadas; el vigésimo día, la media de retención de palabras es de 6,5. Si este comportamiento se mantuviese para más de 20 días, la media de memorización de palabras disminuirá muy lentamente, acercándose cada vez más a 5, es decir, a la asíntota.

31. Sedeseacercarconcuerdadosparcelasrectangularesad-yacentes(consecutivas)eigualesqueencierrenentrelasdosunáreade1 000m2.

x

y

Fig.6.32.

Sol_1CCSS_06.indd 43 12/5/08 10:25:39


a) Sixindicaelanchodelasparcelas,encuentralafunciónquedalalongitudL(x)decuerdanecesariaparacercarlas.

b) Representa L(x), y a partir de esa gráfica determina,aproximadamente,elmínimonecesariodecuerdaparacercar las dos parcelas. (Puede convenirte hacer unaampliacióndelagráficadesdex 5 15hastax 5 25.)

a) Área total51 00052xy Longitud de la cuerda necesaria: L(x)54x13y

1 00052xy y5500

x

Por tanto, L(x)54x13 500

x54x1

1 500

x

y

x20

100200300400

40 60 80

500600

100

x L(x)

1 1 504

5 320

15 160

20 155

25 160

50 230 Fig.6.33.

Se puede observar en la gráfica que el mínimo de L(x) se da cuando está próximo a 19, siendo necesarios unos 150 m de cuerda. No hay máximo.

Nota: Resulta evidente que la solución de este problema requie-re el auxilio del cálculodiferencial, herramienta que todavía no conocen los alumnos. La solución mínima exacta se da en x5 375 219,4.Nuestro objetivo 2que sepan leer una gráfica2 se cumpleso-bradamente; de cualquier manera, no estaría de más sugerir la necesidad de una herramienta más potente (el cálculo diferen-cial) para resolver este tipo de problemas.

32. Lasumadeloscatetosdeuntriángulorectánguloes80cm.a) Hallayrepresentalafunciónquedalasuperficiedeese

rectángulodependiendodelalongituddesubase.b) ¿En qué puntos de su dominio toma esa función sus

valoresmáximoymínimo?

a) x5longitud de la base. 802x5longitud de la altura.

S(x)5superficie. S(x)5x(802x)

25

80x2x2

2 Vamos a dar algunos valores para dibujarla:

20

100200300400

40 60 80

500600

10 30 50 70Base (cm)

700800

Supe

rfici

e (c

m2 )

x f(x)

0 0

10 350

30 750

40 800

50 750

70 350

80 0 Fig.6.34.

b) El máximo se alcanza en x540. El mínimo se da en x50 y x580. (En los puntos extremos del dominio.)

33.Sequiereconstruirunacajapartiendodeuntrozodecartu-linarectangularde24por32cm,recortandouncuadraditoencadaesquinaydoblando.a) Determinalafunciónquedaelvolumendelacajade-

pendiendodelladodelcuadradocortado.b) ¿Quévolumentendrálacajacuandocortamos0,5y10cm?c) Representadichafunción.Apartirdesugráfica,deter-

minasudominio,recorridoymáximo.

Cortamos un cuadrado de x cm de lado.a) V(x)5(3222x) · (2422x) · xb) V(0)50; V(5)51 540; V(10)5480c)

x 0 2 4 5 6 8 10 12

V(x) 0 1 120 1 536 1 540 1 440 1 024 480 0

2

200400600800

4 6 8

10001200

9 10 11 121 3 5 7Lado del cuadrado cortado (cm)

14001600

Volu

men

(cm

3 )

Fig.6.35.

Dominio: [0, 12]; Imagen: . [0, 1.550]; Máximo: . 1 550

33.Halla,enfuncióndesuladox,laexpresiónquedalasuper-ficiedeuntriánguloequilátero.

x

xh

x2––

Fig.6.36.

Sea el triángulo de la figura. Su superficie vale: S 5xh

2.

Por Pitágoras: h 5 xx x2

2

43

22 5

Por tanto:S(x) 5x

xx

32

23

4

2

5

34.Alalquilaruncochepodemosescogerentredosmodelos:AyB:ElmodeloAcuesta31€fijosy0,25 €porkmrecorrido,yelBcuesta5 €fijasy0,30 €porkmrecorrido.Elconsumoporcada100kmesde5litrosdegasóleoparaelmodeloAy10litrosdegasolinasinplomoparaelB.Ellitrogasóleovale1,20 €yeldelagasolinasinplomo1,40 €.Determi-naelmínimodekilómetrosquehayquerecorrerparaquecompensealquilarelmodeloA.(Elcombustiblelopagalapersonaquealquilaelcoche.)

Modelo A:alquiler531 €; coste km50,25; consumo 100 km55 · 1,2056 consumo por cada km50,06 €Coste total por x km: A(x)53110,25x10,06x53110,31x

Sol_1CCSS_06.indd 44 12/5/08 10:25:41


Modelo B:alquiler55 €; coste km50,30; consumo 100 km510 · 1,40514 consumo por cada km50,14 €Coste total por x km: B(x)5510,30x10,14x5 510,44xCompensa alquilar el modelo A cuando A(x),B(x), por tanto:3110,31x,510,44x 26,0,13x x.200 Al menos hay que recorrer 200 km.Gráficamente.

100

20

40

60

80

200 300

100

120e

50 150 250 350 km

Modelo B

Modelo A

Fig.6.37.


1. ¿Definef(x) 5 17 2 5xunafunción?¿Quévalorleasociaax 5 6?

Si, pues la operación que se indica tiene resultados únicos para cada valor de x.f(6)5213.

2. Indica,justificándolo,silasiguientetabladeterminaunafunción.

x 1 3 5 6 21 3

y 2 4 4 1 0 2

Sí, pues a cada valor de x le asocia un único valor de y.

3. Daeldominioyelrecorridodelafunción

x

y

1 2-1

1

2

3

-2

Fig.6.38.

Dominio5[22, 3)Recorrido5[0, 3]

4. Para lafunciónanterior,dicuántovalef(22), f(0), f(1),f(2)yf(3).

f(22)50, f(0)53, f(1)52, f(2)50,f(3) no está definido.

5. Dibujauna funciónperiódicadeperiodo5apartirde laanterior.¿Cuántovaldríanf(5)yf(7)?

x

y

1 2-1

1

2

3

-2 3 4 5 6 7

Fig.6.39.

f(5)53; f(7)50

6. Paralamismafunciónhallaf 21(0)yf 21(2).

f 21(0)5{2}; f 21(2) 5{21,5, 1}.

7. ¿Cuáleseldominiodelasfunciones

f(x) 5 x 2 1,g(x) 5 1

x 2 1yh(x) 5 x21 ?

Dom(f)5R; Dom(g)5R2{1}; Dom(h)5{x $ 1}.

8. Dadalafunciónf(x) 5

x2 2 1 x ,00,5x 2 2 x $0

,hallaf(22),f(21),

f(0)yf(2).Represéntalagráficamente. ¿Escontinuaenx 5 0?

y

x1 2-1

123

-2-3

-2

4

3 4 5

Fig.6.40.

No es continua en x50.

9. Dadasf(x) 5 x2yg(x) 5 1

x 1 1,hallaf(g(2))yg(f(21)).

f(g(2))5f(1/3)51/9; g(f(21))5g(1)51/2

10.Unaparcelarectangulartiene100mdeperímetro.

x

y

Fig.6.41.

¿Cuántovalesuáreasix 5 10?;¿ysix 5 15? ¿Quéexpresióndasuáreadependiendodelvalordex?

Si x510, y540 S510 · 405400Si x515, y535 S515 · 355525x1y550 y5502x S5xy5x(502x)

Sol_1CCSS_06.indd 45 12/5/08 10:25:44

46 FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES07

jACTIVIDADES

1. Representarectas:a) Conpendientea 5 21yquecortenalejeOYenlospun-

tos(0,21),(0,1)y(0,2).b) QuecortenalejeOYen(0,1),conpendientesrespecti-

vasa 5 20,4,a 5 1,5ya 5 22.

a) Son tres rectas paralelas: y 5 2x 2 1; y 5 2x 1 1;y 5 2x 1 2.

Dandovaloresseobtienenlasgráficas.

y

x1 2212223

1

3

2

3

22

23

(0, 2)

(0, 1)

(0, 2 )

y 5 2

x 1 2

y 5 2

x 1 1

y 5 2

x 2 1

1

Fig. 7.1.

b) Enlostrescasoslaordenadaenelorigenesb 5 1.Lasrectasson:y 5 20,4x 1 1;y 5 1,5x 1 1;y 5 22x 1 1.

Dandovaloresseobtienenlasgráficas.

y

x1 2212223

1

3

2

3

22

23

(0, 1)

y = 1,5x + 1

y = 22x + 1

y = 20,4x + 1

Fig. 7.2.

2. En una ciudad andaluza la bajada de bandera de un taxicuesta1,30€.Siunrecorridode12kmcostó10,30€:a) ¿Acuántosaleelkm?b) Determinalafuncióndelcostedeltaxidependiendode

loskilómetrosrecorridos.

Funcióndecoste:C(x) 5 1,30 1 pxSiendo pelcosteporkmyxloskmrecorridos.a) Six 5 12,C(12) 5 1,30 1 12p 5 10,30 p 5 0,75€/kmb) C(x) 5 1,30 1 0,75x

3. Contestaalasmismaspreguntasenelcasodeuncohetequesalehaciaarribaconunavelocidadde80m/s.

Lafunciónseráh t t t( ) ,580 4 9 22a) h( ) , ,2 160 4 9 4 140 45 52 ?b) 80 4 9 140 42t t2 , ,5 4 9 80 140 4 02, ,t t2 1 5 t 5 2,

t 5 14,33sc) La altura máxima la alcanza en el vértice, cuya abscisa

es x 5 8,16, intermedia entre 2 y 14,33. Para ese valor,h(8,16) 5 326,9m.

d) h(t) 5 0 t 5 0,t 5 80/4,9 5 16,32s.

16,32

326,9

10

100

200

5

300

15

Fig. 7.3.

4. Determinalospuntosdecortedelasfuncionesy 5 x2 2 5x 1 4ey 5 x4 2 5x2 1 4conlosejesdecoordenadas.

y x x5 2 5 42 1 cortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 4.Punto(0,4)CortaalejeOX cuandoy 5 0 x x2 5 4 02 1 5 x 5 1yx 5 2.Puntos(1,0)y(2,0) y x x5 4 25 42 1 . Parax 5 0,y 5 4.Punto(0,4).Paray 5 0 x x4 25 4 02 1 5 .Unasoluciónesx 5 1 x x x x x x2324 5 4 1 4 4 02 1 2 1 2 25 5( )( ) .Otrasoluciónesx 5 21 x x x x x224 5 4 1 1 4 02 1 2 1 25 5( )( )( ) Lasotrasdossolucionessonx 5 22y x 5 2.Puntos(22,0),(21,0),(1,0)y(2,0).

5. Calcula lafuncióncuadráticadeinterpolacióncorrespon-dientealosvalores:

Variable independiente: x 1 3 4 5

Variable dependiente: y 4 9 ¿? 18

Determinasuvalorcuandox 5 4.

Lafuncióndeinterpolaciónes f x ax bx c( )5 2 1 1 .Porpasarpor(1,4) 45a b c1 1 Porpasarpor(3,9) 9 9 35 a b c1 1 Porpasarpor(5,18) 18 25 55 a b c1 1

Resolviendoelsistemaseobtiene:a512;b5

12;c 5 3.

Lafuncióndeinterpolaciónes: f x x x( )512

12

32 1 1

Parax 5 4, f ( )4 135

6. Lasfuncionesdeofertaydemandadeundeterminadopro-ductoson:qs

5 2150 1 10p;qd 5 450 2 p2,(pen€).Halla:

a) Lascantidadesdeofertaydemandaaunpreciode15€.b) Elprecioylacantidaddeequilibrio.

a) qs(15) 5 2150 1 10 ? 15 5 0;qd ( )15 450 15 22525 52 b) 2 1 2150 10 450 2p p5 p p2 10 600 01 2 5 p 5 20€ q 5 50.

7. Hallaeldominiodedefinicióndelassiguientesfunciones:

a) f x x( )5 3 122 ; b) g x x( )5 2 92 ; c) h xx

x( )5

23

32

.

a) Estádefinidacuando3x 2 12$0 x$4. Portanto,Dom(f) 5 {x$4}b) Debeserx2 9 02 $ x#23ox$3. Dom(g) 5 (2,23] [3,1)

Sol_1CCSS_07.indd 46 12/5/08 10:34:26

47FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES 07

c) Laraízcúbicaestádefinidaparacualquiernúmeroreal,pero

2

3x

x 2noestádefinidosix 5 3.Portanto,Dom(h) 5 R 2 {3}


Tipo I. Funciones lineales

1. Representagráficamentelassiguientesrectas:a) y 5 x 2 4; b) y 5 2x 2 1;c)y 5 22x; d) y 5 23x 2 10;e) y 5 0,8x; f) y 5 20,4x 2 4;

g)y 5 32

x 2 4; h) y 5 1 2 3x

2.

y

x1 2212223

1

3

23

22232425

24 4 5

y = 2 x + 1

y = x 2 4

y = 22x

y = 23 x 2 10

Fig. 7.4.

2. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntosA 5 (21,3)yB(5,22).

Laecuacióndelarectaesdelaformay 5 ax 1 b.Sustituyendo los puntos A y B en la ecuación se obtiene elsistema:

5

5

− a b

a b

1

2 12 5

3

Lasolucióndelsistemaes:a 5 256yb 5

136

.Portanto,larecta

quepasaporAyBesy x52 156

136

.

3. Uncochecuesta25000€ysedepreciaalmes150€.¿Cuáles su valor dependiendo del número de meses desde sucompra?

x 5 númerodemesesdesdelacompra;f(x) 5 valordelcoche;f(x) 5 25000 2 150x

4. Lafacturabimensualdeunacompañíatelefónicaconstadeunacantidadfija(lascuotasdeabono)porunimportede30,60€,máselconsumo,conunprecioporminutode0,12€.a) ¿Cuántodebepagaruna familiaque consumióendos

meses215minutos?b) Hallalaexpresiónquedéelimportetotaldelafactura

enfuncióndelosminutosconsumidos.

c) Siaesasumahayquecargarleel16%deIVA,¿cuáleslafunciónquedaelimportetotal(IVAincluido)delafacturadependiendodelosminutosconsumidos?

a) 30,60 1 0,12 ? 215 5 56,4euros.b) x 5 minutosconsumidos;f(x) 5 importedelafactura f(x) 5 30,60 1 0,12xc) I(x) 5 importetotaldelafactura(IVAincluido) I(x) 5 30,60 1 0,12x 1 0,16(30,60 1 0,12x) 5 35,496 1 0,1392x

5. La relación entre la temperatura del aire T (en ºF) y laaltitudh(enmetrossobreelniveldelmar)eslinealpara0 h 20000.Silatemperaturaaniveldelmaresde60ºFyporcada5000mdealtitudquesesube,latemperaturadelairebaja18ºF,sepide:a) ExpresaTenfuncióndeh.b) Calculadeformarazonadalatemperaturadelaireauna

altitudde15000m.c) Calculadeformarazonadalaaltitudalaquelatempe-

raturaes0ºF.

a) Lafunciónserádelaforma:T(h) 5 ah 1 b Alniveldelmar,h 5 0yT 5 60 T(0) 5 0 1 b 5 60 b 5 60 A5000m,T 5 60 2 18 5 42 5000a 1 b 5 42

5000a 1 60 5 42 a529

2500

Portanto,lafunciónbuscadaes:T(h) h52 19

250060

b) Para h 5 15000 T( )150009

250015000 60 65 52 ? 1 ºF

c) SiT(h) 5 0ºF 018

50006052 1h h 5 16666,7m

6. Lafacturamensualdelacompañíaeléctricaconstadeunacantidadfijaydeotraproporcionalalnúmerodekilowa-tioshora(kWh)consumidos.Lacantidad fija,bimensualesde33,4€,yelprecioporkWh,de0,1602.Ambascanti-dadesllevanunrecargodel16%deIVA.

Sepide:a) ¿Cuántodebepagarunafamiliaquehaconsumido552

kWhendosmeses?b) ¿Cuáleslaexpresiónquedaeltotalapagarenfunción

deloskWhconsumidos?

Cálculos de facturación Importe en euros

Facturación por potencia5,50 kW 3 2,00 MESES 3 2,82 € 31,02

Alquiler equipo de medida1,19 € 3 2,00 MESES 2,38

Facturación por consumo552 kWh 3 0,1602 € 88,43

IVA potencia y consumo 1 IVA alquiler16,0 % (119,45) 1 16,0 % (2,38) 19,49

Importe total 141,32

a) 33,40 1 0,1602 ? 552 5 121,83euros 16%de121,83 5 19,49euros Totalapagar:141,32euros

Sol_1CCSS_07.indd 47 12/5/08 10:34:32


b) k 5 númerodekWhconsumidos p(k) 5 cantidadapagar p(k) 5 33,40 1 0,1602k 1 0,16(33,40 1 0,1602k) 5 5 38,744 1 0,185832k

7. LafuerzadelagravedadenlaTierravale9,81yenVenus8,85.a) ¿CuántopesaríaAntonioenlaTierrasisupesoenVe-

nusesde80?b) Escribelasfuncionesdeconversióndepesosdeunpla-

netaaotro.a)

8,85 80 kg

99,81 x kg⇒

8,85x 5 9,81 ? 80

x 5 88,678kgb) x 5 pesoenVenus;f(x 5 pesoenlaTierra.

8,85 x kg

9,,81 f(x) kg⇒f(x) 5

9 818 85,,

x

f(x) 5 1,108x z 5 pesoenlaTierra;g(z) 5 pesoenVenus.

9,81 z kg

8,,85 g(z) kg⇒g(z) 5

8 859 81,,

z

g(z) 5 0,9z

Nota:Laaceleracióndelagravedadenlosdistintosplanetasdelsistemasolarladamosenlasiguientetabla.(Puedeservirparaproponerproblemassimilares.)

Planeta GravedadTierra 9,81

Luna 1,62

Mercurio 3,70

Venus 8,85

Marte 3,72

Júpiter 26,39

Saturno 11,67

Urano 11,43

Neptuno 11,07

Plutón 1,96

8. Representalassiguientesfunciones:a) y 5 |x 1 1|; b)y 5 |2x 2 2|.

a) y

x1 221222324

1

3 4

2

3

4

y = |x + 1|

Fig. 7.5.

b) y

x1 221

1

3 4

2

3

4

y = |2x 2 2|

Fig. 7.6.

9.Representagráficamente:a) y 5 ENT[0,4x]; b) y 5 ENT[2x].

y

x1 2212223

1

3

2223

24 4 5

y

x1 22122

1

23

2

Fig. 7.7.

10.Hallalaexpresiónanalíticaquedaelcostedeaparcamien-to,enfuncióndeltiempo,sielprecioporhoraofracciónesde1,80€.

x 5 tiempoenhoras;f(x) 5 costedeaparcamiento.f(x) 5 1,80 ? ENT[x 1 1],parax . 0

11.Doscompañías de telefoníamóvilC1yC2 ofrecen las si-guientestarifas:

C1cobra24€fijosalmesy0,6€porminutodesdeelpri-merminuto.

C2 cobra57€ fijosalmes,quedanderechoa40minutosgratisalmesy,apartirde losprimeros40minutos,cadaminutomáslocobraun5%másbaratoquelaotracompañía.a) Escribelas expresiones de las funciones T1(t) y T2(t)

quedanelprecioapagarencadaunadelascompañíascuandoseusaelteléfonotminutosalmes.

b) Determinacuál es la compañíamás ventajosapara elusuario,enfuncióndelosminutosqueseuseelteléfo-noalmes.

a) Elpreciodecadacompañía,enfuncióndelosminutoslla-mados,será:

ParaC1:T1(t) 5 24 1 0,6t ParaC2:

T2(t) 5 57, si 0 t 40, #

si t 4057 0 6 0 95 401 ? 2 ., , ( ),t 5

5 57, si 0 t 40, #

134 2 0 57, , t,, si t 40.

b)Hayqueconsiderarloscasost#40yt . 40. Si t#40, es más barata la primera compañía pues:

24 1 0,6 ? 40 5 48 , 57. Sit . 40,hayqueresolverlainecuación: 24 1 0,6t#34,2 1 0,57t 0,03t#10,2 t#340

Sol_1CCSS_07.indd 48 12/5/08 10:34:40


Portanto,C1esmásbaratasielteléfonoseusamenosde340minutos;apartirdeesetiempoconvienecontratarconC2.Unesquemagráfico(noseguardanproporciones)de lasituaciónanterioreseldelafiguraadjunta.Enella,lagrá-ficaquevapordebajoindica,encadacaso, latarifamásbarata.

Tiempo (min)

Cost

e (e

)

40 340

57

24

T2(t)

T1(t)

Fig. 7.8.

Tipo II. Funciones cuadráticas

12.Representa gráficamente las siguientesparábolas, calcu-landopreviamentesuvértice:a) y 5 x2 2 4x 1 5 b) y 5 2x2 1 6x26

c) y 5 2x2 1 6x 1 1 d) y 5 212

x2 1 x

e) y 5 110

x2 1 6x 1 1 f) y 5 3x2 1 18x 1 21

a) V(2,1) b)V(3,3)

c) V 2 212

72

, d)V 112

,

e) V(22,2) f)V(23,26)

y

x1 2212223

1

3

23

22232425

24 4 5

456

6

2627

y = 2x2 + 6x + 1

y = x

2 2 4x

+ 5

y = 2x2 + 6x 2 6

Fig. 7.9.

y

x1 2212223

1

3

23

22232425

24 4 5

456

2627

25

y = 2 ––x2 + x12

y = 3x2 + 18x + 21

y = ––x2 + ––x + ––110

2 125 5

Fig. 7.10.

13.Representa gráficamente la recta y 5 x 1 1 y la parábolay 5 x2 2 5x 1 4.a) Determinaanalíticamentesuspuntosdecorte.b) Daunarectaquenocortealaparábola.Justifícalo.

y

x1 221

1

3

23

2223

4 5

4567

6

y = x2 2 5x + 4

y = x + 1

Fig. 7.11.

a) Lospuntosdecortesonlassolucionesdelsistema:

y x

y x x

5

5

+⎧⎨⎩

1

5 42 2 1 Esdecir,x 1 1 5 x2 2 5x 1 4

x2 2 6x 1 3 5 0 x 5 5,45yx 5 0,55 Por tanto, los puntos de corte son: (5,45, 6,45) y (0,55,

1,55)b) El vértice de la parábola es el mínimo de la función

y 5 x2 2 5x 1 4.Dichomínimosealcanzaparax 5 5/2ysuordenadaesy 5 29/4 5 22,25.

Dadoquelaparábolaseencuentraporencimadey 5 22,25,cualquierrectahorizontalquecortealejeYpordebajodey 5 22,25nocortaráalaparábola.Porejemplo,y 5 23.

14.Hallalospuntosdecorteconlosejesdecoordenadasdelasparábolas:a) y 5 x2 2 5x b) y 5 22x2 1 8xc) y 5 x2 1 x 1 4 d) y 5 2x2 1 4

a) y 5 x2 2 5xcortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 0.Punto:(0,0) CortaalejeOX cuandoy 5 0 x2 2 5x 5 0 x 5 0y

x 5 5.Puntos:(0,0)y(5,0).b) y 5 22x2 1 8xcortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 0.Punto:

(0,0) CortaalejeOXcuandoy 5 0 22x2 1 8x 5 0 x 5 0y

x 5 4.Puntos:(0,0)y(4,0).c) y 5 x2 1 x 1 4cortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 4.Punto:

(0,4) CortaalejeOXcuandoy 5 0 x2 1 x 1 4 5 0.Dadoque

estaecuaciónnotienesolución,laparábolanocortaalejeOX.

d) y 5 2x2 1 4cortaalejeOYcuandox 5 0 y 5 4.Punto:(0,4)

CortaalejeOXcuandoy 5 0 2x2 1 4 5 0 x 5 22y x 5 2.Puntos:(22,0)y(2,0).

15.Determinaelvértice decadaunadelasparábolasdadasenelejercicioanterior.

En los apartados a), b) y d), la abscisadel vértice sepuedeobtenercalculandoelpuntomediodeloscortesdelaparábolaconelejeOX.Encualquiercaso,siempresepuedeutilizar la

fórmulax 5 2ba2.

Sol_1CCSS_07.indd 49 12/5/08 10:34:49


a) V 52

254

,2 b)V(2,8) c)V 212

74

, d)V(0,4)

16.Hallagráficamentelospuntosdecortedelasgráficasdelasfunciones y 5 x2 1 2xey 5 –x2 1 4.Compruebaque lascoor-denadasdelospuntoshalladosverificanambasecuaciones.

Seobservaquelospuntosdecorteson(22,0)y(1,3).(22,0) verifica la ecuacióny 5 x2 1 2x yaque si x 5 22 (22)2 1 2 ? (22) 5 4 2 4 5 0 5 y.(1, 3) verifica la ecuación y 5 2x2 1 4 ya que si x 5 1 212 1 4 5 21 1 4 5 3 5 y.

y

x1 2212223

1

3

23

22

4y 5 x2 1 2x

y 5 2

x 2 1 4

Fig. 7.12.

17. Unpuenteestáadornadoporarcosparabólicos,cuyaecua-

ciónes:f(x)52140

x 2 1 x.

a) ¿Quéalturatienenesosarcosa5mdelcomienzodelpuente?

b) ¿Yenlamitaddelpuente?

20 405

10

Fig. 7.13.

f(5) 5 4,375mEselmáximo,elvértice.Laabscisadelvérticees:

x 5 2

2

12 40/

5 20.

Sualturaesf(20) 5 10m.

18. Elíndicedeaudiencia(evaluadoenunaescalade0a10)deciertoprogramadetelevisiónde30minutosdeduraciónsecomportadeacuerdoconlafunción:

I(t) 5 At2 1 Bt 1 C,0 t 30,(A Þ 0) dondeA,ByCsonconstantesadeterminar. Sabiendoquea los20minutosdecomenzarelprograma

sealcanzaelíndicedeaudiencia10yqueelprogramaseiniciaconuníndicedeaudiencia6,sepide:a) DeterminalasconstantesA,ByC.Justificalarespuesta.b) Representaycomentalafunciónobtenida.

a) Setratadeunafuncióncuadrática(parabólica). Sesabeque:I(20) 5 10;I(0) 5 6;yquealos20minutosse

dalamáximaaudiencia(luegoent 5 20tieneelvérticelaparábola).

I(20) 5 10 400 20 10A B C1 1 5 I(0) 5 6 C 56 Comoelvértice,queestáent 5 20,eselpuntomediode

dospuntosconlamismaordenada,parat 5 40,laordenadavolveráavaler6,luegoI(40) 5 6:

PorI(40) 5 6 1600 40 6A B C1 1 5 Asípues:

400 20 4

1600 40 0

A B

A B

1

1

5

5

⎫⎬⎭→

400 20 4

1600 40 0

A B

A B

1

1

5

5

⎫⎬⎭ A52

1100

,

B5

25,C 5 6.Portanto:I t t t( ) , ,52 1 10 01 0 4 62 .

b) Lafunciónesunaparáboladeejevertical,conmáximoenelpunto(20,10).Surepresentacióngráficaeseltrozoconti-nuodelaparáboladelasiguientefigura.

Sudominioeselintervalo[0,30],enminutos. Surecorrido,elintervalo[6,10].

10 20

1

30

23

40 50

456789

10I(t)

t

Fig. 7.14.

Laaudienciacrecedesdeeliniciodelprogramahastalos20minutosyluegodecreceligeramenteenlos10últimosminu-tos,hastaquedarsealfinalconuníndicedeaudiencia9.

19. Lasumadelaslongitudesdeloscatetosdeuntriángulorectánguloes80cm.a) Hallalafunciónquedalasuperficiedeesetriángulode-

pendiendodelalongituddesubase.¿Cuálessudominio?b) Representa gráficamente la función anterior ¿En qué

puntodesudominiotomaesafunciónsuvalormáximo?¿Cuálessurecorrido?

a) Seaeltriángulodelafigura.

Susuperficievienedadaporlaexpresión:Sxy

52

Secumpleque:x 1 y 5 80,portanto,y 5 80 2 x. Sustituyendoenlafórmulaanteriorsetiene:

Sx x

xx

5 5( )80

240

2

222

x

y

Fig. 7.15.

Eldominioestáformadoporlosnúmerosrealesmayoresque0,yquenohagannegativaaS.

Estoes,402

02

xx

2 . 80x 2 x2 . 0 x(80 2 x) . 0

0 , x , 80.Portanto,Dom(S) 5 (0,80).

Sol_1CCSS_07.indd 50 12/5/08 10:35:08


b) Setratadeunafuncióncuadrática.Sugráficaesunaparábo-lay,dadoqueelcoeficientedex2esnegativo,sumáximoloalcanzaenelvértice.Pararepresentarlaformamosunatabladevalores:

Base: x 0 20 30 40 50 60 80

Superficie: S 0 600 750 800 750 600 0

600700800

8020 40 60

100200300400500

S(x )

x

Fig. 7.16.

Sabemosqueparalaparábolay 5 ax2 1 bx 1 c,laabscisadel

vérticeesxba

522

.Portanto,paralafunciónS,laabscisa

delvérticeesx 5 522

402 1 2

40( / )

yenestepuntodeldo-

minioalcanzaelvalormáximo.A lavistade lagráfica, seobservaqueel recorridode lafunciónesIm(S) 5 (0,80].

20.Consideralacurvay 5 12 2 x2.SiPesunpuntodeesacurva,situadoenelprimercuadrante,determinalaexpresióndelafunciónquedaeláreadelrectángulodeterminadoporlosdosejesylasrectasparalelasalosejesquepasanporP.

UnpuntoP,genérico,delacurvay 5 12 2 x2,esP 5 (x,y) 5 (x,12 2 x2)Elrectánguloquesedeterminaconlosejeseselsombreadoenlafiguraadjunta.Susuperficiees:S 5 xy 5 x(12 2 x2) 5 12x 2 x3

y

x1 2212223

1

3

23

24 4 5

456

25

789

101112

P(x, y )

Fig. 7.17.

Tipo III. Interpolación

21.Halla,porinterpolaciónlineal,elvalordem.

x 2 4 5

y 1,1 m 3,2

Lafuncióndeinterpolaciónlinealesdelaforma:f(x) 5 ax 1 bPasapor(2,1,1):1,1 5 2a 1 bPasapor(5,3,2):3,2 5 5a 1 bResolviendoelsistemaobtenido:a 5 0,7 y b 5 20,3.Luego,f(x) 5 0,7x 2 0,3.x 5 4 m 5 f(4) 5 0,7 ? 4 2 0,3 5 2,5.

22.Calculaporinterpolaciónlinealatrozos,losvalorescorres-pondientesan1,n2,n3,n4yn5enlasiguientetabla:

z 0,00 0,01 0,02 0,03

1,0 0,8413 0,8438 n1 0,8485

1,1 0,8643 n2 0,8686 n3

1,2 0,8849 n4 n5 0,8907

Interpolaciónden1Tomamoslospuntos(0,01;0,8438)y(0,03;0,8485).Medianteunaregladetressetendrá:Sien0,0320,0150,02aumenta0,848520,843850,0047En0,0220,0150,01 aumentará x x50,00235.Portanto:n150,843810,0023550,84615.

Interpolaciónden2yn3Tomamoslospuntos(0,00;0,8643)y(0,02;0,8686).Medianteunaregladetressetendrá:Sien0,0220,0050,02aumenta0,868620,864350,0043En0,0120,0050,01 aumentará x x50,00215.Portanto:n250,864310,00215=0,86645.Sien0,0220,0050,02aumenta0,868620,864350,0043En0,0320,0250,01 aumentará x x50,00215.Portanto:n350,868610,0021550,87075.

Interpolaciónden4yn5Tomamoslospuntos(0,00;0,8849)y(0,03;0,8907).Medianteunaregladetressetendrá:Sien0,0320,0050,03aumenta0,890720,884950,0058En0,0120,0050,01 aumentará x x50,00193.Portanto:n450,884910,0019350,88683.Sien0,0320,0050,03aumenta0,890720,884950,0058En0,0220,0050,02 aumentará x x50,00387.Portanto:n550,884910,0038750,88877.

Nota:Losvaloresdeestatablapertenecenalatabladedistri-buciónnormaltipificada.

23.De una función f(x) se tiene la siguiente información:f(21) 5 10, f(1) 5 b, f(2) 5 13 y f(3) 5 26, siendo b unparámetroreal.Sepide:a) Calculaelpolinomiodeinterpolacióndesegundogrado

def(x).b) Calculaunvaloraproximadodeb.

a) Lafuncióndeinterpolaciónesdelaforma P x px qx r( )5 2 1 1 Porpasarpor(21,10),P(21) 5 10 10 5 p 2 q 1 r Porpasarpor(2,13),P(2) 5 13 13 4 25 p q r1 1 Porpasarpor(3,26),P(3) 5 26 26 9 35 p q r1 1 Resolviendoelsistemasetiene:p 5 3,q 5 22, r 5 5. ElpolinomiointerpoladoresP x x x( )53 2 52 2 1 Parax 5 1setienequeP(1) 5 6.Portanto,f(1) 5 b 6.

Sol_1CCSS_07.indd 51 12/5/08 10:35:19


24.Cierta empresa contaba al año de haber sido creada con1100clientes.Alostresañosyatenía1600yaloscincoaños2900.a) Estima,medianteunpolinomiointerpoladordesegun-

dogrado,elnúmerodeclientesconlosquecontabalaempresaaloscuatroaños.

b) Ídemconlosquecontaráalos10años.c) Justificacuáldelasdosestimacionescreesqueesmás

fiable.

a) Elpolinomiointerpoladorpuedeescribirseasí: P(x) 5 a 1 b(x 2 1) 1 c(x 2 1)(x 2 3) Porpasarporelpunto (1,1100) P(1) 5 1100 a 5 1100 Por pasar por el punto (3, 1600) P(3) 5 1600 1100 1 2b 5 1600 b 5 250 Porpasarporelpunto(5,2900) P(5) 5 2900 1100 1 250 ? 4 1 8c 5 2900 c 5 100 Portanto,P(x) 5 1100 1 250(x 2 1) 1 100(x 2 1)(x 2 3) P x x x( )5100 150 1 1502 2 1 Alos4años,x 5 4,setendrá: P(4) 5 1100 1 750 1 300 5 2150clientesb) Alos10años,x 5 10,setendrá: P(10) 5 1100 1 2250 1 6300 5 9650clientesc) Habitualmenteesmásfiablelainterpolación:enestecaso,

para x 5 4. La extrapolación siempre es más problemática(porejemplo,laempresapodríahabercerrado).Además,10añosestámuyalejadodelosdatosconsiderados.

25.Lagráfica de una función pasa por los puntos (0, 1),(1,0)y(2,3).a) Hallalafuncióncuadráticaquepasaporesostrespun-

tos.b) Aproximaelvalordelafunciónenx 5 0,5 medianteel

polinomiohallado.

a) SeaP x ax bx c( )5 2 1 1 lafunciónquepasaporesostrespuntos.

Porpasarpor(0,1):P(0) 5 1 1 5 c. Porpasarpor(1,0):P(1) 5 0 0 5 a 1 b 1 c Porpasarpor(2,3):P(2) 5 3 3 4 25 a b c1 1

Resolviendoelsistema

c

a b c

a b c

5

5

5

1

0

4 2 3

1 1

1 1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

seobtiene:

a 5 2;b 5 23;c 5 1. Lafunciónes:P x x x( )52 3 12 2 1b) Elvaloraproximadoparax 5 0,5será: P x( ) ( , ) ( , )5 52 0 5 3 0 5 1 02? 2 ? 1

Tipo IV. Aplicaciones económicas

26.Las funciones de oferta y demanda de un producto son:qs 5 25 1 2p;qd

5 210 2 0,4p2,dondepvienedadoeneurosyqenmilesdeunidades.Halla:a) Lascantidadesdeofertaydemandaaunpreciode8€.b) Elprecioylacantidaddeequilibrioparaeseproducto.

a) p 5 8 qs 5 11 Oferta:11000unidades. p 5 8 qd 5 184,4 Demanda:184400unidades.b) qs 5 qd 25 1 2p

5 210 2 0,4p2 0,4p2 1 2p 2 215 5 0

p 5 20,818yp 5 225,818

Preciodeequilibrio:20,82euros. q(20,82) 5 25 1 2 ? 20,82 5 36,64 Cantidad de equi-

librio:36640unidades.

27. Hallaelpreciodeequilibrio(eneuros)yelnúmerodeuni-dades ofertadas y demandadas a ese precio, para las si-guientesfuncionesdeofertaydemanda.a) qs 5 270 1 2p y qd

5 200 2 pb) qs 5 240 1 p y qd

5 500 2 2pc) qs 5 25 1 2p2 y qd

5 11 2 2p2

a) qs 5 qd 270 1 2p 5 200 2 p 3p 5 270 p 5 90euros. A ese precio de 90 euros, la cantidad de equilibrio es:

q 5 200 2 90 5 110unidades.b) qs 5 qd 240 1 p 5 500 2 2p 3p 5 540 p 5 180

euros q 5 500 2 2 ? 180 5 140unidades.c) qs 5 qd 25 1 2p2 5 11 2 2p2 4p2 5 16 p 5 2euros

q 5 11 2 2 ? 22 5 3unidades.

28.Lafuncionesdeingresosporventaycostesdeproducción,para un determinado producto, son I(x) 5 100x210x2 yC(x) 5 100 1 5x,dondexvienedadaenmilesdeunidadeseI(x)yC(x)enmilesdeeuros.Sepide:a) ¿Cuántogasta,ingresayganalaempresasiproducey

vende1000,3000,10000unidades?b) ¿Cuáleslafuncióndebeneficios?Represéntala.c) ¿Cuántasunidadeshayqueproduciryvenderparaque

elbeneficioseapositivo?

a) Para1000unidades: I(1) 5 90(milesdeeuros);C(1) 5 105(milesdeeuros) Pierde:15000euros Para3000unidades: I(3) 5 210;C(3) 5 115.Gana:95000euros Para1000unidades: I(10) 5 0;C(10) 5 150.Pierde:150000eurosb) Funcióndebeneficios: B(x) 5 I(x) 2 C(x) 5 210x2 1 95x 2 100

4

204060

2 6 8 10

80100120

1,28,29

x

yB(y) = -10x2 + 95x + 100

Fig. 7.18.

c) El beneficio es cero cuando B(x) 5 210x2 1 95x 2 100 5 0x 5 1,2yx 5 8,29

B(x) . 0si1,2 , x , 8,29.Portanto,habríaqueproduciryvender1200y8290unidades.

Comentariosobrelafuncióndeingresos:Puedepensarsequelafuncióndeingresosdebesercreciente:amásventas,másin-gresos.Seríaasíenunrégimendemonopoliodondelospreciossefijanartificialmente.Enunaeconomíademercado,losingresossonI 5 pq,precios(p)porunidadesproducidasyvendidas(q);perolospreciostiendenabajaramedidaqueqaumenta,así,desdeelpuntodevistade

Sol_1CCSS_07.indd 52 12/5/08 10:35:29


laempresa,p 5 f(q),queenelcasomássimple,ellineal,adoptalaformap 5 a 2 bqconb>0.LuegoI 5 (a 2 bq)q 5 aq 2 bq2

29.Paralademandaqd 5 100000 2 1000phalla:a) Lafuncióndeingresos,I(p).b) EldominiodeI(p).c) Elnúmerodeunidadesquehayquevenderparaquelos

ingresosseande1600000€.

a) Lafuncióndeingresosesigualalnúmerodeunidadesven-didas,qd,porelpreciodecadaunidad,p.

I(p) 5 qd ? p 5 100000p 2 1000p2

b) DomI(p) 5 [0,)c) I(p) 5 1600000 100000p 2 1000p2 5 1600000

p2 2 100p 1 1600 5 0 p 5 80yp 5 20. Como qd(80) 5 20000 y qd(20) 5 80000, las unidades que

hayquevenderserán20000 u 80000.

30.Unaempresapuedevenderciertoproductoa10€launi-dad.Loscostesde funcionamientode laempresasonde25000€,siendoelcostedeproducciónunitariode4€.Si admitimos que la demanda es tan grande que todo loproducidosevendeaeseprecio,calcula:a) Lasfuncionesdeingresoycostes.b) ¿Cuántaspiezashayqueproducirparaqueloscostesse

igualenalosingresos?c) ¿Cuántopierdesifabricayvende1500unidades?d) ¿Cuántoganasivendelas6000unidadesfabricadas?

a) x 5 númerodeproductosvendidos;I(x) 5 ingresos; C(x) 5 costes. I(x) 5 10x;C(x) 5 25000 1 4x.b) I(x) 5 C(x) 10x 5 25000 1 4x x 5 4166,67c) I(1500) 5 15000euros;C(1500) 5 31000euros. Pierde:16000euros.d) I(6000) 5 60000euros;C(6000) 5 49000euros. Gana:11000euros.

Tipo V. Otras funciones: racionales e irracionales

31. Enuninstitutodeenseñanzasecundariaseorganizalavi-sitaaunmuseo.Cadaalumnotienequepagar2eurosporla entrada almuseomás el viaje en autobús. El alquilerdeunautobúsde50plazascuesta200eurosysepagaapartes iguales entre todos los alumnos. La excursión sesuspendesiseapuntanmenosde20alumnos.a) Sivan40alumnosalaexcursión,¿cuántolecostaráa

cadauno?b) Si x es el número de alumnos que va a la excursión,

¿cuál es la función, P(x), que da el precio que debepagarcadaalumno?

c) CalculaeldominioyelrecorridodeP(x).d) RepresentagráficamentelafunciónP(x).

a) 2 1 200

40 5 7euros.

b) P(x) 5 2 1 200

x 5

2x1 200

xc) DomP(x) 5 [20,50];ImP(x) 5 [6,12]

d)

25 35

2468

20 30 40Número de alumnos

Prec

io p

or a

lum

no (

e)

45 50

1012

x

2x + 200P(x) = ––––––––x

P(x)

Fig. 7.19.

32.Unpequeñosupermercadoutilizaunafurgonetaparalle-varadomiciliolascomprasdesusclientes.Elpreciodelafurgonetafuede25000euros.Seestima,además,queelcostedeusoymantenimientoesde0,2eurosporkilóme-tro.Determina:a)Lafuncióndelcostetotaldependiendodeloskilóme-

trosrecorridos.b)¿Acuántohabrásalidoelkilómetrosilafurgonetare-

sultainserviblecuandoharecorrido350000km?

a) Six 5 kilómetrosrecorridos,lafuncióndecosteseráf(x) 5 25000 1 0,2x.

b) Trasrecorrer350000kmlafurgonetahasalidoporf(350000) 5 95000euros.

Siendoelprecioporkilómetrode95000

350000 5 0,27€

33.Paraelproblemaanterior:a) Escribelaexpresiónanalíticadelafuncióndecostepor

kilómetro.b) Silafurgonetafuncionaseindefinidamente,¿acuánto

tenderíaesecoste?Daunaexplicacióngráficadeeseresultado.

a) Parahallarlafuncióndecosteporkilómetrodividiremoslafuncióndecostetotalentreelnúmerodekilómetrosrecorri-dos,quesonx.Portanto:

g(x) 5

250001 0,2x

xb) Veamosquéocurrecuandoserecorrenmuchoskilómetros,es

decir,cuandox esmuygrande: x 5 1000000 f(1000000) 5 0,225 x 5 5000000 f(5000000) 5 0,205 x 5 10000000 f(10000000) 5 0,2025 x 5 100000000 f(100000000) 5 0,20025

Elcosteporkilómetrovadecreciendodeunaformacadavezmásatenuada,acercándose,sinllegar,a0,20eurosporkilóme-tro.Puedesobservarlográficamenteenlasiguientefigura:

2 4

0,180,200,220,24

1 3 5

e/km

km (millones)6

0,260,28

g(x) = ––––––––––––25000 + 0,2xx

Fig. 7.20.

Sol_1CCSS_07.indd 53 12/5/08 10:35:34


34.Lasuperficiedeunrectángulodebasexes100cm2.Expre-saelvalordelaalturaenfuncióndelabase.Representagráficamentelafunciónhallada.

Sidesignamosporylaaltura,debecumplirseque

x ? y 5 100 y 5 100

xAlgunosvalores:

x 2 5 10 20 40 50

y 50 20 10 5 2,5 2

Sugráficaes:

20 40

10203040

10 30 50 60

5060

x

y

Fig. 7.21.

35.Representagráficamente,paravaloresdex 0,lasfuncio-

nesf(x) 5 4x

,g(x) 5 3 1 4x

y h(x) 5 4

x 2 3.

¿Quérelaciónhayentreellas?Algunosvalores:

x 0,5 1 2 3 4 5 8

f(x) 8 4 2 4/3 1 0,8 0,5

g(x) 11 7 5 13/3 4 3,8 3,5

h(x) 21,6 22 24 ¿? 4 2 0,8

Susgráficasson:

y

x2 4

2

6

46

24

8 10

81012

g(x) = 3 + ––4x

f (x) = ––4x

h (x) = –––––4

x 2 3

Fig. 7.22.

Laslíneasdeambasgráficassonidénticas:cadaunaeslatrasla-dadadeotra.

36.Hallaeldominiodedefinicióndelasfunciones:

a) f(x) 5 x

x 1 5 b) g(x) 5

x 2 12x 2 6

c) h(x) 5 6

x2 2 2x

a) Dom(f) 5 R 2 {5} b) Dom(g) 5 R 2 {3}c) Dom(h) 5 R 2 {0,2}

37. Paralasfuncionesanteriores:a) ¿Quésucedeenlospuntosqueanulanlosrespectivos

denominadores?b) ¿Qué sucede con los respectivos valores de la fun-

cióncuandolaxtomavaloresmuygrandes,pongamosx 100;omuynegativos:x 2100?

c) Daalgunosvaloresyhazunesbozográficodecadaunadalasfunciones.

a) Hay asíntotas verticales. Respectivamente: x 5 25; x 5 3;x 5 0yx 5 2.

b) fseacercaa1:f(100) 5 0,95;f(2100) 5 1,05 gseacercaa0,5:g(100) 5 0,51;g(2100) 5 0,49; hseacercaa0:h(100) 5 0,0006;h(2100) 5 0,00059c) Gráficas.

y

x2 4222426

2

6

46

242628

28 8 10

810

210

f (x) = –––––x

x + 5

Fig. 7.23.

y

x1 221

1

3

23

222324

4 5

45

g(x) = ––––––x 2 12x 2 6

Fig. 7.24.

38.Hallaeldominiodedefinicióndelasfunciones:a) f(x) 5 x 1 3; b) g(x) 5 2x 1 3;c) h(x) 5 x 2 13x .

a) Dom(f) 5 [23,1`)b) Dom(g) 5 [23/2,1`)c) Dom(h) 5 (2`,23] [0,1`)

39.Representagráficamentelasfunciones:a) f(x) 5 x 1 3; b) g(x) 5 3 1 x ;c) h(x) 5 2 2 3x .

Algunosvalores:

x 23 22 0 1 3 4 6

f(x) 0 1 2 3

g(x) 3 4 5 13/3

h(x) 2 2 2 3 21 2 2 2 3 2 2 3 2

Sol_1CCSS_07.indd 54 12/5/08 10:35:43


y

x1 221

1

3

2345

222324

f(x) = x + 3

y

x1 221

1

3

2345

4 5 6

g (x) = 3 + x

y

x1 221

1

3

2

4 5 6

222324

h(x) = 2- 3x

Fig. 7.25.

jCuESTIOnES báSICAS

1.Representagráficamentelarectadeecuacióny 5 22x 1 1.¿Cuántovalesupendiente?

Pendiente 5 22

y

x1 221

12345

22

Fig. 7.26.

2. Lospreciosdeunosgrandesalmacenessehanrebajadoenun20%.¿Cuáleslafunciónlinealquedaelpreciorebajadodeunartículoqueantesdelasrebajasvalíaxeuros?Aplíca-laparadeterminarelpreciodeartículosquevalíanantesdelasrebajas10,20,40y34,80€,respectivamente.

f(x) 5 0,80xf(10) 5 8; f(20,40) 5 0,80 ? 20,40 5 16,32;f(34,80) 5 0,80 ? 34,80 5 27,84.

3. ¿Cuáleslaexpresióndelasrectasqueserepresentanenlasiguientefigura?

y

x1 221

1234

2223

Fig. 7.27.

y 5 2x;obl cuay 5 1;horizontalx 5 22;vertical

4. Representa gráficamente la parábola y 5 x2 2 2. ¿En quépuntoestásuvértice?

y

x1 2212223

1

3

23

22

4

Fig. 7.28.

Vértice:V 5 (0,22)

5. ¿Enquépuntoscortalaparábolaanterioralejedeabscisas?

y 5 x2 2 2 5 0 x 56 2

6. Calculamporinterpolaciónlineal.

x 1 3 5

y 0,8 m 2,9

m 5 0,81 2,9

2 51,85

7. Las funciones de oferta y demanda de un determina-do producto son, respectivamente, qs 5 2200 1 700p yqd 5 2800 2 50p,peneuros.a) ¿Cuántosartículosseofertaránsielprecioestáen6€?b) ¿Cuántosartículossedemandaránaunpreciode5€?

a) qs(6) 5 2200 1 700·6 5 4000b) qd(5) 5 2800 2 50·5 5 2550

8. Para lasfuncionesdeofertaydemandaanteriores,¿cuálseráelpreciodeequilibrio?

2200 1 700p 5 2800 2 50p 750p 5 3000 p 5 4

9. Dosnúmerospositivos,xey,suman50.Hallalaexpresiónquedaelproductodeambosenfuncióndex.

P(x) 5 x(50 2 x) 5 2x2 1 50x

10. Indicaeldominiodelasfuncionesf(x) 5 x 1 1x 2 3

y

g(x) 5 6 x 2 4

¿Cuántovalenf(7)yg(20)?

Dom(f) 5 R 2 {3};f(7) 5 8/4 5 2Dom(g) 5 [4,1);g (20) 5

16 54

Sol_1CCSS_07.indd 55 12/5/08 10:35:50

i

56 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS08

jACTIVIDADES

1. Representa, con ayuda de la calculadora, las funcionesf(x) 5 1,8xyh(x) 5 0,3x.

Tabla de valores:

x 0 1 2 3 21 22 23f(x) 5 1,8x 1 1,8 3,24 5,83 0,56 0,31 0,17

h(x) 5 0,4x 1 0,3 0,09 0,027 3,33 11,11 37,04

Gráficas:y

x1 2–1–2–3–4

1

3 4

2345678

h(x) � 0,3x

f(x) � 1,8x

Fig. 8.1.

2. Basándoteenladefinicióndelogaritmo,hallaelvalorde:a) log464 b) log255 c) log1/22d) log0,01 e) log0,0001 f) log1026

Compruebael resultadode los tresúltimoscon lacalcu-ladora.

a) log4 64 5 3, pues 43 5 64;b) log25 5 5 2, pues 52 5 25;c) log1/2 2 5 21, pues (1/2)21 5 2;d) log 0,01 5 log 1022 5 22;e) log 0,0001 5 log 1024 5 24; f) log 1026 5 26.

3. Resuelvelassiguientesecuaciones:a) 125 5 x2; b) x6 5 64; c) 32x 5 531441.

a) 125 5 x2 125/2 5 x.Con la calculadora: 12 xy 2,5 5 498,8306.b) log logx6 645 6 log x 5 1,806179974 log x 5 0,3010299957 x 5 antilog 0,3010299957 x 5 2 En este caso, es conveniente observar que 64 5 26 x6 5 26 x 5 2c) Aplicando logaritmos: log( ) log3 5314412x 5

⇒ 2x log 3 5 log 531441 x 5 5log

log531441

2 36.

Nota: Podríamos observar que 531441 3125 .

4. Resuelvelassiguientesecuaciones:a) log5200 5 x; b) logx1024 5 10; c) ln3x 5 3.

a) 5x 5 200 log log5 200x 5 x log log5 2005

x 5 5loglog

,2005

3 2920.

b) logx1024 105 x10 5 1 024 x 5 51024 210

c) ln3 3x 5 3x 5 e3 x 5 e3/3

5. Resuelvelassiguientesecuacionesdetipoexponencial:a) 4 x 12 x13 22050; b) 2 x 12 x11 12 x13 588;c) x 2e x 22xe x 50.

a) 4 2 20 03x x1 21 5 2 8 2 20 02x x1 ? 2 5

28 64 80

28 122

2x 5 5 52 6 1 2 6

x 5 1

(La solución 210 no vale.)b) 2 2 2 881 3x x x1 11 1 5 2 2 2 8 2 88x x x1 ? 1 ? 5 11 2 88? x 5 2 8x 5 x 5 3;c) x e xex x2 2 02 5 xe xx ( )22 05 x 5 0, x 5 2

6. Calculaelvalordexenlassiguientesecuaciones:

a) 3log x25log25logx2

b) log(x11)2log(x23)55

a) 3 5 22

log log logxx

2 5 log log logxx3 522

2 5

log logx x3

52 25

x x3

52 25 x x3 16 02 5

x x( )2 16 02 5 x 5 0, x 5 24, x 5 4.La única que vale es x 5 4.

b) log( ) log( )x x1 2 21 3 55 logxx

1

2

13

55

xx

1

2

13

1000005 x 530000199999

.

7. Admitamosqueelnúmerodepartículascontaminantespor

metro cúbicodeaire vienedadoporN(t)55000

11249?e20 ,1t,

dondeeltiempotvieneexpresadoensemanas.Enelsupuestodequenoseapliqueningunamedidaco-rrectora:a) ¿Cuántas partículas contaminantes hay pormetro cú-

bico en elmomento inicial? ¿Y a las dos, cinco, diezsemanas?

b) Si el máximo admisible para personas con problemasrespiratoriosesde2000partículaspormetrocúbico,¿alcabodecuántassemanasseplantearíanproblemasdesaludparaesaspersonas?

a) N(0) 5 20; N(2) 5 24; N(5) 5 33; N(10) 5 54.

b) 5000

1 2492000

0 11 ? 2e t,5

51 249

20 11 ? 2e t,

5

5 2 498 0 15 1 2e t, 3 498 0 15 e t2 , 1

1660 15e t2 ,

ln( / ) ,1 166 0 152 t t 5 51,12.A partir de la semana 51ª se plantearán problemas respira-torios.

8. Paraunhuesosecalculóquesehabíadesintegradoel20%delcarbono Sielporcentajedecarbono enrestosóseosvienedadoporlafórmulaP(t) 5 100e20,00012t,halla:a) Laedadaproximadadeesehueso.b) Cuántosañosdebenpasarparaqueenesehuesoquede

sóloel5%delcarbono 14.

Sol_1CCSS_08.indd 56 12/5/08 16:04:16

-14. -14

-

57

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 08

a) Como P(t) 5 80 % 80 100 0 000125 e t2 , 0 80 0 00012, ,5e t2 ln( , ) ln ,0 80 0 000125 e t2 ln 0,80 5 20,00012 t t 5 1 859,5 años.b) Si P(t) 5 5 % 5 100 0 000125 e t2 , 0 05 0 00012, ,5e t2 ln( , ) ln ,0 05 0 000125 e t2 ln 0,05 5 20,00012 t t 5 24 964,4 años.


Tipo I. La función exponencial

1. Representagráficamente,utilizandolacalculadora,estasfunciones:a) y 5 1,1x b) y 5 (0,8)x

y

x1 2 3�1�2�3

123y � 0,8x

y � 1,1x

Fig. 8.2.

2. Con ayuda de la calculadora, representa gráficamente lafunciónexponencialf(x) 5 e2x 2 1.

Tabla de valores:

x f(x) 5 e2x 2 1

22 e25 5 0,0067

21 e23 5 0,0498

0 e21 5 0,3679

1 e 5 2,7183

2 e3 5 20,0855

½ e0 5 1

¾ e1/2 5 1,6487

Gráfica:

f(x) � e2x � 1

y

x1�1�2�3�4

1234

Fig. 8.3.

3. Hallaeldominiodedefinicióndelassiguientesfunciones:

a) f(x) 5 10x 2 2 b) g(x)5101

x22 c) h(x)510 x22

a) Dom f(x) 5 Rb) Dom g(x) 5 R 2 {2}c) Dom h(x) 5 [2, 1)

Tipo II. Logaritmos

4. Calcula,aplicandoladefinicióndelogaritmo,elvalorde:a) log981 b) log2 128

c) log4116

d) log54 128

a) log981 5 x 9x 5 81 x 5 2

b) log2

128 5 x 2x 5 128 2x 5 27/2 x 5 72

c) log4

116

5 x 4x 5 116

4x 5 42 2 x 5 22

d) log5

4 125 5 x 5x 5 1254 5x 5 53/4 x 5 34

5. Sabiendoquelog2 5 0,3010,halla(sincalculadora)elva-lorde:a) log20 b) log200c) log0,0002 d) log3200

a) log 20 5 log (2 ? 10) 5 log 2 1 log 10 5 0,3010 1 1 5 1,3010b) log 200 5 log (2 ? 102) 5 log 2 1 log 102 5 0,3010 1 2 5 5 2,3010c) log 0,0002 5 log (2 ? 102 4) 5 log 2 1 log 102 4 5 5 0,3010 2 4 5 23,699d) log 3 200 5 log (25 ? 102) 5 log 25 1 log 102 5 5 5 ? 0,3010 1 2 5 3,505

6. Sabiendoquelog3 5 0,4771,halla(sincalculadora)elva-lorde:a) log0,3 b) log30000c) log(1/9) d) (log9)2

a) log 0,3 5 log (3 ? 10 2 1) 5 log 3 1 log 10 2 1 5 5 0,4771 2 1 5 20,5229;b) log 30 000 5 log (3 ? 104) 5 log 3 1 log 104 5 5 0,4771 1 4 5 4,4771;c) log (1/9) 5 log 322 5 22 log 3 5 22 ? 0,4771 5 20,9542;d) (log 9)2 5 (log 32)2 5 (2log 3)2 5 (2 ? 0,4771)2 5 5 (0,9542)2 5 0,9105

7. Apartirdelosvaloresdelog 2ydelog3,halla:

a) log6 b) log75c) log(0,36) d) log4500

a) log 6 5 log (2 ? 3) 5 log 2 1 log 3 5 0,3010 1 0,4771 5 5 0,7781;b) log 75 5 log (3 ? 52) 5 log 3 1 2log 5 5 5 0,4771 1 2log(10/2) 5 0,4771 1 2(log 10 2 log 2) 5 5 0,4771 1 2(1 2 0,3010) 5 1,8751;c) log 0,36 5 log (36/100) 5 log 62 2 log 102 5 2log 6 2 2 5 5 2·0,7781 2 2 5 20,4438;d) log 4 500 5 log (32·500) 5 2log 3 1 log (1 000/2) 5 5 2·0,4771 1 (log103 2 log 2) 5 0,9542 1 3 2 0,3010 5 5 3,6532

Sol_1CCSS_08.indd 57 12/5/08 16:04:39


Tipo III: La función logarítmica

8. Representagráficamente,utilizandolacalculadora,estasfunciones:a) y 5 log4x b) y 5 log1/2xc) y 5 log1,6x d) y 5 log0,7x

Construimos las tablas de valores usando la fórmula del cambio de base.

a) x 1/16 1/4 1 2 4 6

y 5 log 4 x 22 21 0 0,5 1 1,29

b) x 1/16 1/4 1 2 4 6

y 5 log 1/2 x 4 2 0 21 22 258

y

x1 2�1

1

3 4

23

�2�3

5 6 7

y � log4 x

y 5 log1/2 x

Fig. 8.4.

c) x 0,2 0,5 1 2 3 4

y 5 log 1,6 x 23,42 21,47 0 1,47 2,34 2,95

d) x 0,2 0,5 1 2 3 4

y 5 log 0,7 x 4,51 1,94 0 21,94 23,08 23,88

y

x1 2�1

1

3 4

23

�2�3

5 6 7

y � log1,6 x

y � log0,7 x

Fig. 8.5.

9. Con ayuda de la calculadora, representa gráficamente lafunciónlogarítmicaf(x) 5 log(x2 1 1).

Tabla de valores:

x f(x) 5 log(x2 1 1)

23 log 10 5 1

22 log 5 5 0,6989

21 log 2 5 0,3010

0 log 1 5 0

1 log 2 5 0,3010

2 log 5 5 0,6989

3 log 10 5 1

y

x1 2�1�2

12

3 4 5�3�4�5

y � log(x2 � 1)

Fig. 8.6.

10.Hallaeldominiodedefinicióndelassiguientesfunciones:a) f(x) 5 log(x 1 3) b) g(x) 5 log(x2 1 3)

c) h(x)51

log(x13)

a) Dom f(x) 5 (23, 1) b) Dom g(x) 5 Rc) h(x) está definida siempre que x 1 3 . 0, es decir, para

x . 23. Además se tiene que cumplir que log (x 1 3) Þ 0 x 1 3 Þ 1

x Þ 22. Por tanto, Dom h(x) 5 (23, 1`) 2 {22}

11.Sea la función f(x) 5 log(2x2 1 x 1 2). Indicasudominiodedefiniciónylospuntosdecorteconlosejesdecoorde-nadas.

La función está definida cuando 2x2 1 x 1 2 . 0 21 , x , 2.

Por tanto, Dom f(x) 5 intervalo (21, 2).Corte con el eje OY. Si x 5 0 f(0) 5 log 2 5 0,3010. Punto (0; 0,3010).Corte con el eje OX. Si f (x) 5 0 log(2x2 1 x 1 2) 5 0

2x2 1 x 1 2 5 1 x 51 5

26

. Puntos:

1 52

02

, , 1 5

20

1, .

Tipo IV. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

12.Resuelvelassiguientesecuaciones:a) x 5 15,21,1 b) 0,5 5 52xc) x3,5 5 3,5 d) 52x 5 625e) 3x3 5 375 f) 53x12 5 15625

a) x 5 15,21,1 5 19,954b) 0,5 5 52x log 0,5 5 2x ? log 5 x 5 20,215c) x3,5 5 3,5 log (x3,5) 5 log 3,5 3,5log x 5 log 3,5

log x 5 log ,

,3 5

3 5 5 0,1554

x 5 antilog 0,1554 5 1,4302.También se podría haber hecho como en el apartado an-terior.

d) 52x 5 625 52x 5 54 x 5 2e) 3x3 5 375 x3 5 125 x 5 5f) 53x12 5 15 625 log 53x12 5 log 15 625

(3x 1 2) log 5 5 log 15 625

3x1 2 5 log

log15625

5 x 5 4/3.

También podría observarse que 15625 5 56, luego 5 53 2 6x1 5 3x 1 2 5 6 x 5 4/3.

Sol_1CCSS_08.indd 58 12/5/08 16:04:52

59


13.Resuelvelassiguientesecuacionesexponenciales:a) 2 322 1x 1 5 b) 31 2 2x 5 2187

c) 41 2 3x 5 2x 2 2 d)14

23 1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟x

x5 1

a) 2 322 1x 1 5 5 25 x2 1 1 5 5 x 5 6 6b) 31 2 2x 5 2 187 5 37 1 2 2x 5 7 x 5 23 c) 41 2 3x 5 2x 2 2 ( )2 22 1 3 22 2x x5 22 2 6x 5 2x 2 2 2 2 6x 5 x 2 2 x 5 4/7

d) 14

23 1

x

x5 1 222x 5 23x 1 1 22x 5 3x 1 1

x 5 215

14.Resuelvelassiguientesecuaciones:a) 3x 2 3x 2 1 1 3x 2 2 5 21b) 25x 2 100 ? 5x 5 3125

c) 3x 2 32x5 809

d) 9x 2 8 ? 3x 1 1 2 81 5 0e) 4x 2 50 ? 2x 5 9984

f)14

12

764

0x x

2 1 5

a) 3x 2 3x 2 1 1 3x 2 2 5 21 333

33

212

xx x

2 1 5

9 ? 3x 2 3 ? 3x 1 3x 5 189 7·3x 5 189 3x 5 27 x 5 3.b) 25x 2 100 ? 5x 5 3 125 52x 2 100 ? 5x 2 3 125 5 0.

Haciendo t 5 5xse tiene que t2 2 100t 2 3 125 5 0, cuyas so-luciones son: t 5 125 y t 5 225.t 5 125 5x 5 125 5 53 x 5 3t 5 225 5x 5 225, que no puede ser.

c) 3x 2 32x 5 809

313

809

xx

2 5 3 180 3

92x

x

2?

5

9 3 80 3 9 02? 2 ? 2x x 5 . Haciendo t 5 3x se tiene que 9t2 2 80t 2 9 5 0, cuyas solu-

ciones son: t 5 21/9 y t 5 9

t 5 19

2 319

x 52 (No vale)

t 5 9 3x 5 9 x 5 2 d) 9x 2 8 ? 3x 1 1 2 81 5 0 (3x)2 2 24 ? 3x 2 81 5 0 (3x 5 t), t2 2 24t 2 81 5 0 t 5 27 y t 5 23 t 5 27 3x 5 27 x 5 3 t 5 23 3x 5 23, que no puede ser. e) 4x 2 50 ? 2x 5 9 984 22x 2 50 ? 2x 2 9 984 5 0

Haciendo 2x 5 t, se tiene: t2 2 50t 2 9 984 5 0, cuyas solu-ciones son t 5 128 y t 5 278.t 5 128 2x 5 128 2x 5 27 x 5 7 t 5 278 2x 5 278, que no puede ser.

f) 2 114

12

764

0x x

5 12

12

764

02x x

2 1 5

Haciendo 12

x

5t, se tiene que: t2 2 t 17/64 5 0

64t2 2 64t 1 7 5 0, cuyas soluciones son t 5 7/8 y t 5 1/8.

t 5 78

12

78

x

5 x 5 log(7/8)log(1/2)

x 5 0,192645

t 5 18

12

18

12

3x

5 5 x 5 3.

15.Resuelve:a) e2x 2 2 5 1; b) e210x 5 4;c) xex 2 3 5 0; d) xex 2 x 5 0;e) (x2 2 2x 1 1)ex 5 0; f) 1 1 2ex 5 2.

a) e2x 2 2 5 1 2x 2 2 5 0 x 5 1b) e210x 5 4 ln(e210x) 5 ln 4 210xln e 5 ln 4

x 51 38629

10,2

5 20,138629

c) xex 2 3 5 0 x 5 0. (El factor ex 2 3 nunca vale 0.)d) xex 2 x 5 0 x(ex 2 1) 5 0 x 5 0:e) (x2 2 2x 1 1)ex 5 0 x2 2 2x 1 1 5 0 x 5 1f) 1 1 2ex 5 2 ex 5 1/2 ln ex 5 ln 0,5 xlne 5 ln0,5 x 5 20,6931.

16.Hallaelvalordexenlassiguientesecuaciones:a) log6x 5 3; b) log ,

52 5x5 ;

c) log ,73 0 2x52 ; d) lnx 5 3,2;

e) log2

132⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟5x;

f) log785 x.

a) x 5 63 5 216b) x 5 52,5 5 55,9; c) 3x 5 720,2 x 5 0,226d) x 5 e3,2 5 24,53;e) 2x 5 1/32 5 225 x 5 25;

f) 7x 5 8 xlog 7 5 log 8 x 5loglog

87

5 1,0686.

17. Resuelvea) log6140 5 x b) logx100 5 22c) log28x 5 7 d) 4 log

2(2x11)516

a) log61405 x 140 5 6x log 140 5 xlog 6

x 5loglog

1406

5 2,7580

b) logx100 252 100 5 x22 100

12

5x

x2 1100

5 x 5110

c) log28 7x 5 8x 5 27 x 5 16

d) 4 2 1 162

log ( )x 1 5 log ( )2

2 1 4x 1 5 2x 1 1 5 24 x 5 15/2.

18.Utilizandolafórmuladelcambiodebase,halla:a) log 2 100; b) log5500;c) log8320000; d) log30,3.

a) log 2 100 5 loglog

1002

≅ 6,6439;

b) log 5 500 5 loglog

5005

≅ 3,8614;

c) log 8 320 000 5 log

log320 000

8 6,0959;

d) log 3 0,3 5 log ,log

0 33

≅ 21,0959.

19. Resuelvelasecuaciones:a) 3 1 log(x 1 1000) 5 7;b) log(x 1 6) 2 2 ? log(x23) 5 1;c) log(2x 1 2) 2 log(x 2 3) 5 1;d) log(32x 2 2 1 7) 5 2log(3x 2 1 1 1).

Sol_1CCSS_08.indd 59 14/5/08 09:31:34


a) 3 1 log (x 1 1 000) 5 7 log(x 1 1 000) 5 4 x 1 1 000 5 10 000 x 5 9 000b) log (x 1 6) 2 2 ? log (x 2 3) 5 1 log (x 1 6) 2 log (x 2 3)2 5 log 10

log( )

logxx

1

2

63

102

5

xx

1

2

63

102( )

5 10x2 2 61x 1 84 5 0.

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene x 5 4 y x 5 2,1. Sólo vale x 5 4, pues si sustituimos x 5 2,1 en la ecua-ción, observamos que en el segundo logaritmo del enunciado quedaría log (2,1 2 3) 5 log (20,9), que no tiene sentido.

c) log (2x 1 2) 2 log (x 2 3) 5 1 log2 2

31

xx

1

25

2 2

310

xx

1

25 2x 1 2 5 10x 2 30 8x 5 32 x 5 4.

d) log (32x 2 2 1 7) 5 2log (3x 2 1 1 1) log (32x 2 2 1 7) 5 5 log (3x 2 1 1 1)2 32x 2 2 1 7 5 (3x 2 1 1 1)2 32x 2 2 1 7 5 32x 2 2 1 2 ? 3x 2 1 1 1 6 5 2 ? 3x 2 1 x 2 1 5 1 x 5 2.

20.Resuelveelsistema:log log loglog log log

x yx y

3 2 245

2

2

5

5

log log log

log log log

x y

x y

3 2 24

5

2

2

5

5

⎧⎨⎩⎪

3 2 24

5

log log log

log log log

x y

x y

2

2

5

5

⎧⎨⎩⎪

Operando (E1 2 3E2): log y 5 log 24 2 3 log 5

log logy52453

y524125

.

Sustituyendo en E2: log x 5 log 5 1 log y

log logx 5 524125

? x 52425

.

21.Resuelve:

a) log x1log y 3 55

log x 2 2log y53 b) log125 x 2log25 y 52log5

log 4 x 2log64 y log 85

a) log log

log log

x y

x y

1

2

3

2

5

3

5

5

⎧⎨⎩⎪

log log

log log

x y

x y

1

2

3 5

2 3

5

5

⎧⎨⎩⎪

Operando (2E1 2 E2): 7log y 5 7 y 5 10; x 5 100;

b) log log log

log log log

125 25 2 5

4 64 8

x y

x y

2

2

5

5

⎧⎨⎩⎪

log log

log log

12525

5

464

8

2x

y

x

y

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

log log

log log

55

5

22

2

3

22

2

63

x

y

x

y

5

5

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

log log

log log

5 5

2 2

3 2 2

2 6 3

x y

x y

2

2

5

5

⎧⎨⎩⎪

3 2 2

2 6 3

x y

x y

2

2

5

5

⎧⎨⎩⎪

x 5 3/7; y 5 25/14

Tipo V. Aplicaciones de exponenciales y logaritmos

22.Calculaelcapitalacumuladopor1000€durante6añosaunatasaanualdel5,8%ainteréscompuesto:

a) Anual b) Semestralc) Trimestral d) Continuo

a) C 5 1 000(1 1 0,058)6 5 1 402,54 euros.

b) C 5 1000 10 058

2

2

1

?,

6

51 409,24 euros

c) C 5 1000 10 058

4

4

1

?,

6

5 1 412,70 euros

d) C 5 1 000 ? e0,058 ? 6 5 1 416,23 euros

23.Entrelassiguientesopciones,¿cuálesmásventajosa?a) 8%deinterésanualb) 7,8%deinteréscompuestotrimestralc) 7,7%deinteréscompuestomensuald) 7,65%deinteréscompuestodiario

Para 1 €, se tendría:a) C 5 (1 1 0,08) 5 1,08 €;

b) C 5 10 078

4

4

1,

51,0803 €;

c) C 5 10 077

12

12

1,

5 1,0798 €;

d) C 5 10 0765

365

365

1,

5 1,0795 €

La opción más ventajosa es la b)

24.Paraloscasosdelproblemaanterior,¿cuáleslatasaanualequivalente,TAE,encadacaso?

a) 8 %; b) 8,03 %; c) 7,98 %; d) 7,95 %.

25.Hallaeltiempoquetardaentriplicarseuncapitalenlassiguientescondiciones:a) Al12%deinteréscompuestoanual.b) Al11%deinteréscontinuo.

C0 5 capital inicial, t 5 tiempo en años.a) 3C0 5 C0(1 1 0,12)t 3 5 (1,12)t

t 5 log

log ,3

1 12 5 9,694 años.

b) 3C0 5 C0 ? e0,11t 3 5 e0,11t t 5

ln,3

0 11 5 9,987 años.

26.Supongamosqueunautomóvildepreciasuvalorenun15%anual.a) Sinuevocostó24000€,¿cuántovaldráalos6años?b) ¿Cuántosañosdebenpasarparaquesuvalorseainfe-

riora6000€?

a) P 5 24 000(1 2 0,15)6 5 9 051,59 €.b) t 5 número de años, P 5 6 000 €6 000 5 24 000(1 2 0,15)t 0,25 5 0,85t

t 5 log ,log ,

0 250 85

5 8,53 años.

27. Admitamosqueelsueldode losfuncionariosexperimen-tauna subida anual del3,5%,desdeel año2000. Si unfuncionarioganaba1600eurosmensualesacomienzosdelaño2000,¿cuántotardaráenganareldoble?

Sol_1CCSS_08.indd 60 12/5/08 16:06:05

61


f(x) 5 sueldo de los funcionarios, x 5 tiempo en añosf(x) 5 1 600(1 1 0,035)x, x 5 0 en 2000.3 200 5 1 600(1 1 0,035)x 2 5 1,035x ln 2 5 ln (1,035)x x 5 20,15 años.

28.Hacecuatroañosqueserepoblóunazonacon100ejempla-resdeunanuevaespeciedepinos.Actualmentehay25000ejemplares.SeestimaqueelnúmeroNdepinosvienedadoenfuncióndeltiempo,t,porlafunciónN 5 AeBt,dondeAyBsondosconstantes.Eltiempotseconsideraexpresadoenañosdesdeelmomentodelarepoblación.¿Cuántotiemposehadeesperarparaquehaya200000ejemplares?

Los puntos (0, 100) y (4, 25 000) verifican la función N 5 AeBt • N(0) 5 Ae0 5 100 A 5 100

• N(4) 5 100e4B 5 25 000 B5ln250

4 5 1,3804

Por tanto, la función es N(t) 5 100e1,3804t

Para que N(t) 5 100e1,3804t 5 200 000

t 5ln

,2000

1 3804 5 5,5 años.

29.Endeterminadascondiciones,unapoblacióndemosquitoscrece ajustándose a la función f(x) 5 2 1 0,5e0,4x, dondef(x)eselnúmerodemosquitosenmilesyxeltiempoendíasdesdeelmomentopresente.Sepide:a) ¿Cuántotiempo,endías,tardaráenduplicarselapobla-

cióninicial?b) Dibuja la gráfica que da la evolución del número de

mosquitos,ycompruebasobreellaelresultadoobteni-doanteriormente.

a) La población inicial es f(0) 5 2,5, luego:

5 5 2 1 0,5e0,4x 6 5 e0,4x x 5 ln,6

0 4 5 4,48 días.

b) y

x1 2

2

3 4

46

5 6 7

810

4,48

Tiempo (en días)

Pobl

ació

n de

mos

quit

os (

mile

s)

Fig. 8.7.

30.Unapoblacióndeconejosaumentaanualmenteenun50%.Sienelmomentoinicialhay100conejos:a) ¿Cuántoshabrádentrode8años?b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número

seade30000?

a) f(x) 5 número de conejos, x 5 tiempo en años f(x) 5 100(1 1 0,5)x

f(8) 5 100 ? 1,58 5 2 562,89 conejosb) 30 000 5 100 ? 1,5x 300 5 1,5x ln300 5 ln (1,5)x x 5 14,07 años.

31.Debidoalapresiónambiental,lapoblacióndeconejoscon-sideradaenelproblemaanteriorseajustamásbiena la

funciónP t

e( )

,5

100001 199 0 51 ? 2

,t 5 0enelmomentoinicial.

a) ¿Cuántoshabíaenelmomentoinicial?;¿yalcabode8años?

b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su númeroseade30000?

a) La población inicial de conejos fue

P(0) 5 10000

1 199100002000 5 01 ? 2e , ·

5 5 50.

Al cabo de 8 años, había P(8) 5 10000

1 199 0 51 2 ?e , 8 5

5 100004 6448,

≅ 2 153 conejos.

b) Por las características de este tipo de funciones sabemos que la recta y 5 10 000 es una asíntota horizontal. Es decir, la población de conejos nunca puede sobrepasar los 10 000 individuos.

32.Elnúmerodepersonasafectadasporunaenfermedadcon-tagiosavienedadoporlafórmula

C(t)5 1000

1 999 2 11 2 ?e , t

dondetindicaeltiempoendías.a) Cuántaspersonasestaráncontagiadaspasados1, 2 y7

días?b) Representagráficamentelaevolucióndelaenfermedad.

a) Si t 5 1, C(1) 5 1000

1 999 2 11 2e , 5

1000123 3,

≅ 8 personas.

Si t 5 2, C(2) 5 1000

1 999 2 11 2 ?e , 2 5

100015 98,

≅ 63 personas.

Si t 5 7, C(7) 5 1000

1 999 2 11 2 ?e , 7 5

10001 0004,

≅ 1 000 personas.

b) Otros valores de C(t) son: C(0) 5 1, C(3) 5 353, C(4) 5 817, C(5) 5 973.

Representando todos los puntos se obtiene la gráfica:

y

x1 2

200

3 4

400600

5 6 7

8001000

8Tiempo

Pers

onas

Fig. 8.8.

33.En1987,lapoblaciónmundialeradeunos5000millonesdehabitantes.Sisucrecimientoeradeunos80millonesporaño,ysuponiendoquelatasadecrecimientopermanecieseconstante,¿cuántotiempotardaríaenduplicarse?

La tasa de crecimiento es 80

5000 5 0,016.

f(x) 5 población mundial, x 5 tiempo de años f(x) 5 5 000(1 1 0,016)x

10 000 5 5 000(1 1 0,016)x 2 5 1,016x x 5 43,7 años.

34.Unisótoporadiactivodecaeun9,5%anualmente.¿Cuálessuvidamedia?

f(x) 5 cantidad de isótopo radiactivo, x 5 tiempo en años

Sol_1CCSS_08.indd 61 12/5/08 16:06:25


f(x) 5 (1 2 0,095)x 5 (0,905)x

0,5 5 0,905x log 0,5 5 xlog 0,905 x 5 6,94 años.

35.Sabiendoqueelperíododesemidescomposición(vidame-dia)delradio226esde1620años,calculalacantidadderadioquequedarádeunamuestrade12gramosalcabode2000años.

La expresión de la función que determina la cantidad existente al cabo de t años es de la forma C(t) 5 C0 e

2kt, siendo C0 la can-tidad inicial.Como su vida media es 1 620 años, transcurrido ese tiempo, de los 12 g quedarán 6; esto es C(1 620) 5 6.Por tanto, 6 5 12 e

2k ? 1 620 0,5 5 e 21 620k ln 0,5 5 21 620k k 5 0,000428.

Por tanto, C(2 000) 5 12 e20,000428 ? 2 000 5 5,1 gramos.

36.Comosabemos,laexpresiónC(t) 5 C0e2ktdalacantidadde

materiaradiactivadeundeterminadoelementoalcabodetaños.a) CompruebaquesiVeslavidamediadeeseelemento,

entonces:

C t Ct V

( )/

50

12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

b) Hallaesaexpresiónparaelcasodelradio.c) ¿Quécantidadderadioquedadeunamuestrade10gal

cabode1500años?

a) Como su vida media es V años,

C(V) 5 C

0

2 5 C0 e

2kV 12

5 e2kV ln 0,5 5 ln e2kV

ln 0,5 5 2kV k 5 2ln ,0 5

V.

Por tanto, C(t) 5 C e Vt

0

0 5

?2 2

ln ,⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

5 C etV

0

0 5?

?ln , 5 C

t V

0

12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

/

b) La vida media del radio es de 1 620 años, por tanto:

C(t) 5 Ct

0

162012⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

/

c) C(1 500) 5 10(0,5)1 500/1 620 5 5,263 g

Observa: La diferencia con la cantidad obtenida en el Ejemplo resuelto 8 es debida a los redondeos.

37. Al famoso terremoto de San Francisco de 1906 se le hacalculadounaintensidadde8,25enlaescaladeRichter.El26dediciembrede2004,elmaremotoqueprodujoeldevastador tsunamidelSudesteAsiático tuvouna inten-sidadde9,0,enlamismaescaladeRichter.El13dejuniode2005seprodujounterremotoenelnortedeChileconintensidad7,9yel8deoctubrede2005seprodujootroenPakistánconintensidad7,6,ambosenlamismaescala.¿Cuántasvecesmásintensofueelmaremotodelsudesteasiáticoquelosotrosterremotoscitados?

Potencia de cada terremoto:San Francisco: 108,25 5 177 827 941Sudeste asiático: 109 5 1 000 000 000Norte de Chile: 107,9 5 79 432 823,47Pakistán: 107,6 5 39 810 717,06El maremoto del sudeste asiático fue 109 : 108,25 5 5,6 veces más potente que el de San Francisco; 109 : 107,9 5 12,6 veces más

potente que el del norte de Chile y 109 : 107,6 5 25,1 más que el de Pakistán.

38.ElterremotomáspotenteregistradoenlaPenínsulaIbéri-caseprodujoenLisboaen1755yalcanzóunamagnitudde8,75enlaescaladeRichter.Endiciembrede1993,hubounterremotoenAlmeríaconunapotencia5623,4menorqueladeldeLisboa.¿DequémagnitudenlaescaladeRichterfueelterremotodeAlmería?

Potencia del terremoto de Lisboa: 108,75 5 562 341 325,2Potencia del terremoto de Almería: PSabemos que 562 341 325,2 5 5 623,4 ? P P 5 100 000,2357Magnitud del terremoto de Almería: M 5 log 100 000,2357 5 5.


1. Sabiendoquelogax b5 a xb5 ,halla:

a) log381; b) log

aa3; c) lne6.

a) log381 5 4; b) log

aa3 5 3; c) lne6 5 6

2. Hallaconlacalculadora:a) log327 b) ant log ,4 28

a) log327 5 2,5145 b) ant log ,4 28 5 1 9054,6

3. Resuelvelasecuaciones:a) 3 81x 5 b) 3 272 1x 2 5

a) 3 81x 5 x 5 4 b) 3 272 1x 2 5 x 5 62

4. Resuelvelaecuación3 10x 5 .

3 10x 5 x 5 2,0959

5. Resuelve:a) log

x36 25 b) log

x5

25

a) logx36 25 x 5 6 b) log

x5

25 x 5 500

6. ¿Cuáldelassiguientesafirmacionesesfalsa?:a) f x x( )52 escrecientesiempre.b) g x x( ) ,50 5 esdecrecientesiempre.c) h x x( )53 puedetomarvaloresnegativos.

a) f x x( )52 es creciente siempre.b) g x x( ) ,50 5 es decreciente siempre.c) h x x( )53 puede tomar valores negativos. (Falsa)

7. Dadaf x x( ) ,52 5 ,calculasuvalorparax 5 21,0,1y2.Conesosvalorestrazasugráfica.

Valores: Respectivamente: 0,4; 1; 2,5; 6,25

8. Indicalasigualdadesquesonverdaderas:

a) log(A 2 B) 5 logA 2 logB b)loglog

logAB

AB

5

c) g lA B2 5lo og logAB

d) nlogA 5 logAn

Sol_1CCSS_08.indd 62 12/5/08 16:06:34

63


e) (logA)n 5 nlogAn f) 3 1 logA 5 log(3000A)

a) log(A 2 B) 5 log A 2 log B (Falso)

b) loglog

logAB

AB

5 (Falso)

c) log log logA BAB

2 5 (Verdad)

d) n ? log A 5 log An (Verdad)e) (log A)n 5 n ? log An(Falso)f) 3 1 log A 5 log(3000A) (Falso)

9. Una colonia de 2500 murciélagos aumenta su númeroanualmenteun12%.¿Cuántosmurciélagoshabráalcabode6años?

2 500 ? 1,126 5 4 934

10.Lavidamediadeunisótoporadiactivoes4días.¿Quépor-centajedeeseisótopoquedaráenunamuestraalcabode16días?(UtilizaelresultadodelProblemaPropuesto36.)

100 ? (1/2)16/4 5 6,25 %

Sol_1CCSS_08.indd 63 12/5/08 16:06:36

64 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS09

jACTIVIDADES

1. Determinalaexpresióndeltérminogeneraldelassiguien-tessucesiones:

a) 1,4,9,16,25,…b) 5,10,15,20,25,…

c)11

,34

,59

,716

,...

Hallaelvalordelostérminosa12,b100yc30.

a) Eslasucesióndecuadrados:a nn5 2 a

12212 1445 5 .

b) Eslasucesióndelosmúltiplosde5:b nn55 b

1005005 .

c) En el numerador tenemos los números impares, en el de-nominadorloscuadrados:

cnnn

52 1

2

2 c

30

59900

5 .

2. Demuestraquelasucesiónannn

51

1

31esdecreciente.Com-

pruebaqueestáacotadainferiormentepork 5 1.

Hayqueverquean$ an11.

Estoes:an )n )

nn

nn

ann1

1 1

1 1

1

1,

1

11

1 31 1

42

31

5 5 5((

.

Enefecto,multiplicandoencruz:(n 1 4) ? (n 1 1) , (n 1 2) ? (n 1 3) n2 1 5n 1 4 , n2 1 5n 1 6,queescierto,pues4 , 6.

Veamosquean

$1.Enefecto,nn

1

1$

31

1pueselnumeradores

siempremayorqueeldenominador.

3. Dadalasucesiónannn

52

1

34 1

:

a) Demuestra que es creciente y acotada superiormentepork 5 1/4.

b) ¿Apartirdequétérminosecumplequean

0 249, ?c) Dicuálessulímite.

a) a ann

nnn n1

22

12

2

11

24 5

34 1

5 5

n n n2 1 2 22 4 1 3 4

5( )( ) ( )( nn

n n n n1

1 1 1 1

54 5 4 1

134 5 4 1

)( )( ) ( )( )

5 ,

expresiónquesiempretomavalorespositivos.Portantolasucesiónescreciente.

Acotada:annn

52

1#

34 1

14paratodon,pues4n 2 12 # 4n1

11,comoresultaevidente.

b) an

.0 249, nn2

1.

34 1

0 249, n 2 3 . 0,996n 1 0,249

0,004n . 3,249 n . 812,25. Apartirdel términoa

813 todos lossiguientessonmayores

que0,249.c) Sulímitees0,25.

4. Indicaellímitedelassiguientessucesiones:

a) annn

52 1

71

1; b) a

nnn

53 15 10

2 1

1; c) a

nn nn

51

2 1

432.

a) límnn2 1

72

1

15 . Numerador y denominador tienen el mismo

grado.

b) límnn

3 15 10

2 1

15`.Elgradodelnumeradoresmayorqueeldel

denominador.

c) límn

n n1

2 1

43

02

5 .Elgradodelnumeradoresmenorqueel

deldenominador.

5. Halla el término general de las siguientes progresionesaritméticas:a) 28,25,22,1,...b) 3,9,15,21,…c) 1/2,1,3/2,2,…Paracadacasohallaeltérminovigésimoséptimo.

a) d 5 3 a n nn5 52 1 2 28 3 1 3 11( ) a

27705

b) d 5 6 b n nn5 53 6 1 6 31 2 2( ) b

271595

c) d 5 3 c n nn5 5

12

12

1 0 51 2( ) , c27

13 55 ,

6.Comprueba si las siguientes sucesiones sonprogresionesgeométricas,hallaeltérminogeneralyelvalordeltérminonoveno.a) 2,1,1/2,1/4,…b) 1,02,1,022,1,023,...c) 3,3,3,3,33,3,333,…

a) Efectivamente:1 1/2 1/4

1/22 112

5 5 5 . La razón es r 5 1 1/2 1/4

1/22 112

5 5 5.

El término general será an

n

n n5 5 52

12

22

12

1

1 2?

2

2 2

a9 7

1

25

b) r 5 1,02 an

n51 02, a9

91 025 ,

c) No es una progresión geométrica. No obstante,a9 5 3,33333333.

7. Hallalassiguientessumas:a) 3 1 3,5 1 4 1 4,5 1 …(175términos)b) 70 1 67 1 64 1 …(100términos)

a) Esunaprogresiónaritméticadediferencia0,5. Comoa1 5 3ya175 5 3 1 174 ? 0,5 5 90,setendrá:

5 5( )

,3 90 175

28137 5

1 ?.

b) Esunaprogresiónaritméticadediferencia23. Comoa1 5 70ya100 5 70 1 99 ? (23) 5 2227,setendrá:

5 5( )70 227 100

27 850

2 ?2 .

8. Hallalassiguientessumas:a) 1 1 2 1 4 1 8 1 …(20términos)b) 10 2 5 1 2,5 2 1,25 1 …(infinitostérminos)

a) r 5 2 S5 51 2 1

2 11048576

20? 2

2

( )

b) r 5 21/2 S5 5 510 10 20

12(21/2) 3/2 3

9. Cuandocumplas18años,siguiendoelejemplodetutío,vasadepositarenunacartilladeahorros20€todoslosmeses.Sieltipodeinterésesdel6%,¿cuántodineroten-drás40añosdespués?

Sol_1CCSS_09.indd 64 12/5/08 11:46:33

65SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y APLICACIONES ECONÓMICAS 09

ElcapitalacumuladoesCM r r

r

t

5( ) ( )1 1 1121 1 2

,conM 5 20;

r 5 0,06/12 5 0,005;t 5 40.

Luego,C 520 1 0 005 1 0 005 1

0 005

480( , ) ( , )

,

1 1 2540028,96

10.Otrobancoofrecelos150000eurosauninterésanualdel4,68%,conlaposibilidaddepagarlosen20años.¿Acuán-toascenderánlascuotasmensualesenesascondiciones?

Un interés anual del 4,68% equivale a una tasa mensual der 5 0,0468/1250,0039.Elnúmerodemesesesn 5 20 ? 12 5 240.Portanto:

a5150000 1 0 0039 0 0039

1 0 0039 1

240

240

( , ) ,( , )

1 ?

1 255963 61, €


Tipo I. Sucesiones

1. Hallaeltérminosiguientedecadaunadelassucesiones:a) 0,9,18,27,36,…b) 0,9,17,24,30,…c) 1,9,18,28,37,…d) 1,9,10,19,20,…

a) 45b) 30 1 5 5 35(cadavezsesumaunomenos.)c) 39 1 12 5 51(cadavezsesumaunomás)d) Lasecuenciaes1,118,11811,1181119, 118111911,...

2. Paralassucesionesa)yb)delproblemaanterior:1.Daeltérminogeneraldelaa);2.¿Escrecientelab)?

1. an5 9n21

2. Comocadavezsesumaunomenos,llegaráunmomentoenqueserestará.Puedeverseque:a

7395 ysigue:42,44,45,

45,44,42,…

3. Dadaslassucesiones:a) 1,1/2,1/3,1/4,…b) 1,10,100,1000,…Paracadaunadeellas:1) hallasutérminogeneral;2) suscotassuperioreinferior,silastienen.

a) ann

51.

Suscotasson:inferior,0;superior,1.

Esevidente,pues01

1, #n

,yaquen$ 1.

b) an

n510 12 . Está acotada inferiormente por 1. No tiene cota superior,

pues10k k. paracualquiervalordekgrande.

4. ¿Acuáldelassiguientessucesionespertenecenlosnúme-ros:546,27,1201?a) {an} 5 {1,7,13,19,…} b) b n

n54 32

c) c n nn52 3 72 2 1

Unnúmeroperteneceaunasucesióncuandoseobtienedesuexpresióngeneralparaalgúnvalorden.Estoes,unnúmerokpertenecealasucesióna

ncuandolaecuacióna k

n5 tienepor

soluciónunnúmeronatural.a) Lasucesióna n

n56 52 .

Como6 5 546n2 5 n 5 91,83noesnatural,546noesdelasucesióna

n.

Como6 5 27n2 5 n 5 5,33noesnatural,27noesdelasucesióna

n.

Como6 5 1201n2 5 n 5 201,elnúmero1201eseltér-minoa

201delasucesióna

n.

b) 4 3 546n2 5 n 5 137,25;portanto546noesdelasuce-siónb

n.

4 3 27n2 5 n 5 7,5;portanto27noesdelasucesiónbn.

4 3 1201n2 5 n 5 301;portanto1201eseltérminob301

delasucesiónb

n.

c) Laecuación2 3 7 5462n n2 1 5 2 3 539 02n n2 2 5 ,quenotienesoluciónnatural;portanto,546noesdelasuce-siónc

n.

La ecuación 2 3 7 272n n2 1 5 2 3 20 02n n2 2 5 , quetieneporsoluciónn 5 4;portanto,27eseltérminoc

4dela

sucesióncn.

La ecuación 2 3 7 12012n n2 1 5 2 3 1194 02n n2 2 5 ,quenotienesoluciónnatural;portanto,1201noesdelasucesiónc

n.

5. Cómoeslasucesiónannn

51

1

31:crecienteodecreciente?

Conlainformaciónobtenidahallasuscotasinferiorysu-perior.

Comparamosanya

n11.

a ann

nn

nn

nnn n1

21 1

1 12

1

1

1

12

1

11

1 31 1

31

42

31

5 5( )( )

55

55( )( ) ( )( )

( )( )n n n n

n n1 1 2 1 1

1 1

4 1 3 22 1

5 2

1 1

22 1( )( )n n

,

quetomavaloresnegativosparatodon.Portanto,lasucesiónesdecreciente.Si es decreciente, el mayor término es a

1

1 31 1

25 51

1. Luego

k 5 2esunacotasuperior.

Comoelnumeradordelafracciónnn

1

1

31essiempremayorque

eldenominador,n 1 3 . n11,unacotainferiorserá1;estoesnn

1

1$

31

1.

6. Ladivisiónenteradecualquiernúmeronaturalentre4daderesto0,1, 2 o3.Escribelascuatrosucesionesqueseobtienen atendiendo a cada uno de esos restos.Halla eltérminogeneraldecadaunadeellas.Indicaacuáldeellaspertenecenlosnúmeros12401,2453y571.

Sucesióndenúmerosconresto0:0,4,8,12,… 4n 2 4Sucesióndenúmerosconresto1:1,5,9,13,… 4n 2 3

Sol_1CCSS_09.indd 65 12/5/08 11:46:40


Sucesióndenúmerosconresto0:2,6,10,4,… 4n 2 2Sucesióndenúmerosconresto0:3,7,11,15,… 4n 2 1Enlassucesionesanteriores,n$ 1.Nota: Si suponemos que n$ 0, los términos generales serán,respectivamente:4n;4n 1 1;4n 1 2;4n 1 3.Conesto:12401 5 4 ? 3100 1 1;2453 5 4 ? 613 1 1;571 5 4 ? 142 1 3

7. Hallaeltérminogeneraldelassiguientessucesiones:a) 1,4,9,16,…b) 1/2,4/3,9/4,16/5,…c) 2/4,5/6,10/8,17/10,…d) 1,24,9,216,…

a) a nn5 2

b) an

nn5

2

11

c) annn

52 1

2 11

1( )d) a n

nn5( )2 21 1 2

Tipo II. Límites de sucesiones

8. Dadalasucesión{2,3/4,4/9,5/16,6/25,…},halla:a) Sutérminogeneralylostérminosdécimoyvigésimo.b) Apartirdequétérminoa

n0 001, .

c) ¿Cuálessulímite?

a) Si escribimos 2 5 2/1, se observa los numeradores de lassucesivasfraccionessonnúmerosconsecutivos,empezandopor2;ylosdenominadoreslaspotenciasde1,2,3,…Lue-

go,annn

511

2.

Portanto:a10

11100

5 ya20

21400

5 .

b) an

,0 001, nn1

,1

0 0012

, n 1 1 , 0,001n2

n n2 1000 1000 02 2 . n$ 1001.

c) límnn11

02

5 .

9. Lomismoqueenelproblemaanteriorparaann

512.

an

, 12n

, 12n

, n.1

Para 5 0,001,n0

1000 31 65 5 , .Estosignificaquetodoslostérminossiguientesaa

31estána

menosde0,001de0.

10.Considera las sucesiones: {an} 5 {1, 7, 13, 19,…} y{bn} 5 {5,8,11,14,…}a) Hallaeltérminogeneraldecadaunadeellas.¿Cuánto

valena300yb35?

b) Halla laexpresiónde lasucesiónca

bnn

n

5 .¿Apartirde

quétérminode cn{ } lossiguientesvalenmásde1,9?

Calculasulímite.

a) Para{an} 5 {1,7,13,19,…},cadaunodelostérminosda-dosseobtienesumando6alanterior.Portanto,a n

n56 52 .

Para{bn} 5 {5,8,11,14,…},cadaunodeesosnúmerosseobtienesumando3alanterior.Portantob n

n53 21 .

b) ca

bnnn

n

n

5 56 53 2

2

1.

cn

.1 9, 6 53 2

1 9nn

2

1. , 6n 2 5 . 5,7n 1 3,8

0,3n . 8,8 n . 29,33… Luegoc

n.1 9, apartirden 5 30.

Vamosacalcularellímitetransformandolasucesióndada:

límnn

lím

nn nnn n

6 53 2

6 5

3 22

1

2

1

5 55 5 5lím n

n

65

32

63

22

1

11.Indicaelvalordelossiguienteslímites:

a) lím n2 52( ); b) límn

n6

12 1;

c) límn n

n n6 3

2 7 1

2

2

1

2 1; d) lím n nn( )2 21 52⎡⎣ ⎤⎦;

e) límn

n2

2

53 2

; f) límnn

2 1

1

2 12 7

.

a) lím n2 52( )51(Sucesióndetipopolinómico)

b) límn

n6

12 150(Elgradodelnumeradoresmenorqueeldel

denominador)

c) límn n

n n6 3

2 7 1

2

2

1

2 15

62

5 3(Numeradorydenominadortienen

elmismogrado)

d) lím n nn( )2 21 52⎡⎣ ⎤⎦noexiste,tiendealternativamentea1ya 2

e) límn

n2

2

53 2

5212(Numeradorydenominadortienenelmis-

mogrado)

f) límnn

2 1

1

2 12 7

52(Elgradodelnumeradoresmayorqueel

deldenominador)

Tipo III: Progresiones aritméticas

12.Halla el término cuadragésimo octavo de la progresiónaritméticadediferencia3yprimertérmino11.

El término general es a n nn5 511 3 1 3 81 2 1( ) . Por tanto

a48

3 48 8 1525 5? 1 .

13.Hallaeltérminoeltérminogeneraldelaprogresiónarit-méticadediferencia5ya8 5 19.¿Cuántovaleeltérminocuadragésimooctavo?

Comoa a d8 1

75 1 19 7 51

5a 1 ? a1

1652 ,sutérminogeneralserá:a n n

n5 52 1 2 216 5 1 5 21( ) .

Portanto:a48

5 48 21 2195 5? 2 .

Sol_1CCSS_09.indd 66 12/5/08 11:46:49


14.Intercala4términosenprogresiónaritméticaentre110y150.

Siseintercalan4términos,entotalhabráseis,cona1 5 110ya6 5 150.Comoa6 5 a1 1 5d 150 5 110 1 5d 5d 5 40 d 5 8,laprogresiónserá:110,118,126,134,142,150.

Nota:Enesteproblemayenelsiguientesepuedehacermen-ciónalainterpolaciónlineal.

15. Intercala6términosenprogresiónaritméticaentre80y124.

Siseintercalan6términos,entotalhabráocho,cona1 5 80ya8 5 124.Comoa8 5 a1 1 7d 124 5 80 1 7d d 5 44/7.Laprogresiónserá:

80, 80447

6047

1 5 , 80 2447

6487

1 ? 5 ,6927

,7367

,7807

,8247

,

8687

1245 .

16.Losángulosdeuntriánguloestánenprogresiónaritméti-ca,hállalossielmayorvale100º.

100 1 100 2 d 1 100 2 2d 5 180 300 2 180 5 3d d 5 120/3 5 40.Losángulosvaldrán100º,60ºy20º.

17.Deunaprogresiónaritméticasesabequea4 5 2yd 5 0,6.Halla:a) a1 ya15.b) Lasumadelosquinceprimerostérminos.

a) a a d4 1

35 1 2 3 0 61

5a 1 ? , a1

0 25 ,Portanto,a

150 2 14 0 6 8 65 5, , ,1 ? .

b) S5 5( , , )0 2 8 6 15

266

1 ?

18.Hallalosladosdeuntriángulorectángulosisesabequeestánenprogresiónaritméticadediferencia3cm.

Lamedidadelosladosserá:a,a 1 3ya 1 6,siendoesteúltimolahipotenusa.PorPitágoras:( ) ( )a a a1 1 16 32 2 25 a a2 6 27 02 2 5 a 5 9(lasolucióna 5 23notienesentido).Losladosmiden9,12y15cm.

19. Suma200 1 201 1 202 1 … 1 299.

Eslasumade100númerosconsecutivos:

S5 5( )200 299 100

224950

1 ?.

20.Hallalosseisprimerosnúmerosnaturalesquealdividirlospor7danderesto3.Compruebaqueestánenprogresiónaritmética.¿Cuáleslaexpresióngeneraldetodoslosnúmerosnatura-lesquealdividirlospor7danderesto3?

Serán:3,10,17,24,31y38.Efectivamenteestánenprogresiónaritméticadediferencia7.Sutérminogenerales:a n n

n5 53 1 7 7 41 2 ? 2( ) .

21.Lasumadetresnúmerosqueestánenprogresiónaritméti-caes48.Hállalossiademássesabequeelmayormenoselmediano,menoseldobledelpequeñoesiguala1.

Seax,y,zlosnúmeros.

Secumpleque:x y z

z y x

1 1

2 2

5

5

48

2 1

⎧⎨⎩⎪

Comoy 5 x 1 dyz 5 x 1 2d,sustituyendoqueda:

an

3 3 48

2 1

x d

x d

1

2 1

5

5

⎧⎨⎩⎪

x 5 5;d 5 11.

Losnúmerosson:5,16y27.

22.¿Cuántospalillossenecesitanparaformarunatirade200pentágonoscomolosdelafigurasiguiente?

Fig. 9.1.

Paraformarunpentágonosenecesitan5palillos.Paraformar2pentágonos,4palillosmás;para3pentágonos,otros4más;…Esunasucesiónaritméticadetérminos5,9,13,…,cond 5 4.Eltérmino200será:a

2005 199 4 8015 51 ? .

Tipo IV: Progresiones geométricas

23.Hallaeltérminooctavodelaprogresióngeométricadera-zón0,5yprimertérmino32.

Eltérminogeneralesa a rn

n51

12 .

Portanto,a8

75

732 0 5

22

14

5 5 5? , .

24.Hallaelprimertérminodelaprogresióngeométricadera-zón1/3ya4 5 9.Hallatambiéna8.

Comoa a r4 1

35 9 1 3271

3 15 5aa

( / ) a1

2435 .

Portanto:a8

77

243 1 32433

19

5 5 5?( / ) .

25.¿Puedenlosnúmeros4,6y9sertérminosconsecutivosdeunaprogresión?Siesasí,dalosdossiguientestérminos.

Nosondeunaprogresiónaritmética,pues6 2 49 2 6.

Sondeunaprogresióngeométrica,puesr 5 5 564

96

32.

Losdostérminossiguientesserán932

? 5272

y32

814

272

? 5

26.Hallalasuma4 1 0,4 1 0,04 1 0,004 1 …(infinitostérmi-nos).¿Coincideconlafraccióngeneratrizdelnúmerope-riódico4 4, ?

Eslasumadelosinfinitostérminosdeunaprogresióngeométri-caderazón0,1yprimertérminoiguala4:a1 5 4,r 5 0,1.Portanto:

4 1 0,4 1 0,04 1 0,004 1…5 4

1 0 14

0 94092 , ,

5 5 .

Sol_1CCSS_09.indd 67 12/5/08 11:46:56


Esevidentequecoincideconlafraccióngeneratrizde4 4, ,pues4 1 0,4 1 0,04 1 0,004 1…5 4,444…5 4 4, .

27. Consideralasiguientesucesiónindefinidadecircunferen-cias,cuyosradiosestánenprogresióngeométricaderazón

12

34

,siendoelradiodelmayor16cm.

16 cm

Fig. 9.2.

a) Hallalasumadelaslongitudesdetodasellas.b) Hallalasumadelassuperficiesdetodosloscírculos.

Haytressucesiones:

Sucesión de radios

16 8 4 2 ...r 5 1/2

Sucesión de longitudes

(2pr)2p ? 16 5 32p 16p 8p 4p ...r 5 1/2

Sucesión de áreas (pr2) p ? 162 5 256p 64p 16p 4p ...r 5 1/2

a) SLongitudes

5p

5 p32

1 1 264

2 /

b) SÁreas

5p

5p256

1 1 41024

32 /

28.Intercalaun término positivo en progresión geométricaentre10y250.

Laprogresiónserá:10,10r,10r2 5 250 r2 5 25 r 5 5Laprogresiónes:10,50,250

29. Intercalados términosenprogresióngeométricaentre4y2108.

Laprogresión será: 4, 4r, 4r2, 4r3 5 2108 r3 5 227

r 5 52 227 33

Lasoluciónes:4,212,36,2108.

30.Intercalatrestérminosenprogresióngeométricaentre2 y1250.

Laprogresiónserá:2,2r,2r2,2r3,2r4 5 r4 5 625

r 5 5625 54 6Haydossoluciones:Progresión:2,10,50,250,1250;obien:2,210,50,2250,1250.

31.Unapelotacaedesde64mdealtura.Silasalturasalcanza-dasenlossucesivosrebotesestánenprogresióngeométri-

caderazón12

34

:

a) ¿Quéalturaalcanzarátraselquintorebote?

b) ¿Cuántasvecesdeberebotarparaquelasiguienteal-turanosupere1metro?

a) Primerbote:a1

6434

485 5? .

Despuésdebotarcincoveces,laalturaquealcanzaes:

a

5

5

6434

24316

15 18755 5 5? , .

b) Hayquedeterminarnparaquean

,1.Estoes:

an

n

56434

1? , 34

164

n

, log log34

164

n

,

n log log34

164

, (comolog(3/4)esnegativo)

n.log( / )log( / )

,1 643 4

14 465 .

Despuésdelrebotedécimoquintolapelotanosuperarálaalturade1m.

32.Enunaprogresióngeométricadeseistérminoslasumadelostérminospareses3255,mientrasqueladelostérmi-nosimpareses651.Hallacadaunodeesosnúmeros.

Setiene:a a a

a a a2 4 6

1 3 5

3255

651

1 1

1 1

5

5

⎧⎨⎪

⎩⎪

a r a r a r

a a a1 3 5

1 3 5

3255

651

1 1

1 1

5

5

⎧⎨⎪

⎩⎪

( )a a a r1 3 5

32551 1 5 651 3255r 5 r 5 5Como a a a

1 12

145 5 6511 ? 1 ? 5 a

115 .

Losseisnúmerosson:1,5,25,125,625y3125.

Tipo V. Aplicaciones de las progresiones: planes de pensiones e hipotecas

33.Unempleadodebancahaestadoaportando80€mensua-les,durante20años,paraformarunplandepensiones.Sirecibeuninterésdel5%,¿cuántodinerotendráacumuladoalcabodeesos20años?

Lafórmulaquedalacantidadtotaldedineroquetendráensucuentaes:

CM r r

r

n

5( ) ( )1 1 11 1 2

,siendoMlacantidadmensual,nel

númerodemesesyrlatasamensual.Enestecaso:M 5 80€,n 5 12 ? 20 5 240yr 5 0,05/12 5 0,004166.Luego:

C 5580 1 004166 1 004166 1

0 004166

240?( , ) ( , )

,

−33 019,70€

34.Siseaportan120€mensualesaunplandepensiones,aun6%deinterésnominal,¿cuántodineroseacumularáalcabode32años?

r 5 0,06/12 5 0,005,n 5 12 ? 32 5 384

C 55120 1 0 005 1 0 005 1

0 0051396

384? 1 1 2( , ) ( , )

,116 32, €

Sol_1CCSS_09.indd 68 12/5/08 11:47:03

1250


35.Unamujer subscribe un plan de pensiones con un cuotamensualde150€yaun interésanualdel8%.¿Cuántosañosdeberáestarpagandoesacantidadsiquiereacumular300000€?

Habrá quedespejarn en la fórmulaCM r r

r

n

5( ) ( )1 1 11 1 2

,

quedalacantidadacumulada.

CM r r

r

n

5( ) ( )1 1 11 1 2

Cr

M rr n

( )( )

11 1

11 15

log( )

log( )Cr

M rn r

11 1

11 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟5 n

CrM r

r5

log( )

log( )

11

1

11

1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.

ComoC 5 300000,M 5 150yr 5 0,08/12 5 0,00666

n5

log,

( , )

log(

300000 0 00666150 1 00666

1?

1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11 0 0066614 23191 00666

400 041 , )

log ,log ,

,5 5 me-

ses 33añosy4meses.

36.Uncochecuesta24000€.Sisepagaaplazosmensuales,auninterésdel9%anual,¿cuántodeberápagarsemensual-mentedurante5años?

Al9%anualpagaderomensualmente,r 5 0,09/12 5 0,0075.Laamortizaciónmensual(n 5 60meses)será:

a 5524 000 1 0 0075 0 0075

1 0 0075 149

60

60

( , ) ,( , )

1 ?

1 288 2, €almes

37. Paraelmismopréstamode24000€al9%anual,¿cuántoserálacuotadeamortizaciónsilafrecuenciadepagoestrimestral?(Laprimeracuotasepagatresmesesdespuésdeconcedidoelpréstamo.)

Al 9% anual con cuotas trimestrales, r 5 0,09/4 5 0,0225. Laamortizacióntrimestral(n 5 20trimestres)será:

a 5524 000 1 0 0225 0 0225

1 0 0225 115

20

20

( , ) ,( , )

1 ?

1 2003 41, €almes.

38.Indica,pasoapaso,siguiendoelesquemadelapágina198dellibrodelalumnoelprocesodepagodeunpréstamode900€,al12%anual,mediante12cuotasmensuales.

Al 12% anual con cuotas mensuales, r 5 0,12/12 5 0,01. Laamortizaciónmensual(n 5 12meses)será:

a5 5900 1 0 01 0 01

1 0 01 179 96

12

12

( , ) ,( , )

,1 ?

1 2€almes.

(Vertablaenlaparteinferiordelapágina).

39.Unordenadorcuesta900€alcontado.Silopagasaplazosmensualesdurante2años,¿cuálserálacuotadepagosieltipodeinterésanuales:a) del15%; b) del21%; c) del27%?

a) Al15%anual,r 5 0,15/12 5 0,0125.Laamortizaciónserá:

a 55

900 1 0 0125 0 01251 0 0125 1

43 624

24

( , ) ,( , )

,1 ?

1 233€almes.

b) Al21%anual,r 5 0,21/12 5 0,0175.Laamortizaciónserá:

a 55

900 1 0 0175 0 01751 0 0175 1

46 224

24

( , ) ,( , )

,1 ?

1 255€almes.

c) Al27%anual,r 5 0,27/12 5 0,0225.Laamortizaciónserá:

a 55

900 1 0 0225 0 02251 0 0225 1

48 924

24

( , ) ,( , )

,1 ?

1 244€almes

40.Calculalacuotadeamortizaciónmensualquehayquepagarporuncréditode20000€al8%anualdurante5años.

Al 8% anual pagadero mensualmente, r 5 0,08/12. La amor-tizaciónmensual(n 5 60meses)será:

1 ?

/ )1 2a5

20000 1 0 08 12 0 08 121 0 08 12 1

60

60

( , / ) , /( ,

55405 53, €almes.

41. Paraelmismocréditode20000€al8%anual,durante5años:a) ¿Acuántoascenderá lacuotadeamortizaciónsemes-

tral?b) ¿Ylacuotadeamortizaciónanual?

a) Al8%anualpagaderosemestralmente,r 5 0,08/2 5 0,04. Laamortizaciónsemestral(n 5 10cuotas)será:

a5 5

20000 1 0 04 0 041 0 04 1

2465 8210

10

( , ) ,( , )

,1 ?

1 2€.

b) Paracuotasanuales(r 5 0,08yn 5 5),setendrá:

a5 5

20000 1 0 08 0 081 0 08 1

5009 135

5

( , ) ,( , )

,1 ?

1 2€.

Deuda inicial en cada periodo

Deuda al cabo de un mes

(Inicial 3 1,01)

Amortización (Pago de 79,96 €)

Pendiente tras amortización

Capital amortizado

Intereses pagados

Primer mes 900,00 909,00 79,96 829,04 70,96 9,00Mes 2º 829,04 837,33 79,96 757,37 71,67 8,29Mes 3º 757,37 764,94 79,96 684,98 72,39 7,57Mes 4º 684,98 691,83 79,96 611,87 73,11 6,85Mes 5º 611,87 617,99 79,96 538,03 73,84 6,12Mes 6º 538,03 543,41 79,96 463,45 74,58 5,38Mes 7º 463,45 468,09 79,96 388,13 75,33 4,63Mes 8º 388,13 392,01 79,96 312,05 76,08 3,88Mes 9º 312,05 315,17 79,96 235,21 76,84 3,12Mes 10º 235,21 237,56 79,96 157,60 77,61 2,35Mes 11º 157,60 159,18 79,96 79,22 78,38 1,58Mes 12º 79,22 80,01 79,96 10,05 0 79,17 0,79

Sol_1CCSS_09.indd 69 12/5/08 11:47:10



1.Hallaelsiguientetérminodelassucesiones:a) 1,10,18,25,… b) 10,9,7,4,…

a) Cadavezsesumaunomenos:19,18,17,16 31b) Cadavezrestaunomás:21,22,23,24 0

2.Hallaeltérminogeneraldelassucesiones:a) 2,20,200,2000,… b) 100,97,94,91,…

a) 2,20,200,2000,…(p.g.derazón10:an

n52 10 1? 2 )b) 100,97,94,91,…(p.a.dediferencia23: a n n

n5 5100 1 3 103 31 2 ? 2 2( ) ( )

3. Demuestraquelasucesiónannn

52 52

escreciente.

a ann

nnn n1

22

12

21

2 31

2 55 5

5( ) ( ) ( )

( ) ( )2 3 2 5 1

161

0n n n n

n n n n2 ? 2 2 ? 1

1 1.5

4. Dandovaloresgrandesanindicaelnúmeroalqueseacerca

lasucesiónannn

55 32 7

1

1.

a100

503207

2 429955 5 , ;a500

25031007

2 485605 5 , ;

a1000

50032007

2 492785 5 , an 2,5.

5. Delassiguientessucesionesindicalasquesonprogresio-nesaritméticasyhallasudiferencia:a) 3,3,1,3,01,3,001,…b) 3,3,6,4,2,4,8,…c) 10,9,8,7,…

a) Nob) Sí;d 5 0,6c) Sí;d 5 21

6.Delassiguientessucesionesindicalasquesonprogresio-nesgeométricasyhallasurazón:a) 3,3,1,3,01,3,001,…b) 1,1/2,1/4,1/8,…c) 1,1/2,1/3,1/4,…

a) Nob) Sí;r 5 c n n

n5 5

12

12

1 0 51 2( ) ,c) No

7. Calculalasumadelos18primerostérminosdelaprogre-sión:4,9,14,…

a18

4 17 5 895 51 ? S5 5( )4 89 18

2837

1 ?

8.Calculalasumadelos8primerostérminosdelaprogre-sión:1,2,4,8,…

a8

72 1285 5 S5 51 2 1

2 1255

8? 2

2

( )

9.Calcula la siguiente suma indefinida: 5 1 0,5 1 0,05 1 1 0,005 1 …

r 5 0,1;S5 55

1 0 15092 ,

10.¿Cuálserálacuotadeamortizaciónmensualparaunprés-tamode1000€,al12%anual,durante2años?

a5 51000 1 0 01 0 01

1 0 01 147 07

24

24

( , ) ,( , )

,1 ?

1 2€

Sol_1CCSS_09.indd 70 12/5/08 11:47:15

71

FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS 10

jACTIVIDADES

1.LaincidenciadelosrayosdesolylatemperaturadelaguaenelmarCantábricoseajustanalsiguienteciclo:1)Laincidenciadelsolalcanzasumáximoenjunioyjulio

(conuna200horasdeinsolaciónmensuales);elmínimoendiciembreyenero(conunas85horasmensuales).

2)Latemperaturaalcanzaelmáximoenagostoyseptiem-bre (con unos 15 ºC); el mínimo en febrero y marzo(alrededorde8ºC).

Dibujadosciclosanuales,enlamismafigura,queilustrenlosfenómenosdescritos.

2. a) Expresa en radianes los siguientes ángulos: 230º, 2120º,210º,300º,450ºy720º.Represéntalosgráfica- menteenlacircunferencia.b) Expresaengrados4,5,3p/5,2p/2y23p/2radianes.

a) 2 2306

º5p

; 2 212023

º5p

; 21076

º5p

;

30053

º5p

; 45052

º5p

; 720º 5 4p

082p

p2308 5 2 ––6

5p3008 5 –––

32p

21208 52 3

5p2108 5 2 –––6

1808p

5p4508 5 –––

2

–––

Fig. 10.1.

b) 4rad 5 229,184º; 5rad 5 286,48; 3p/5rad 5 108º; 2p/2 5 290º; 23p/2rad 5 2270º

3.a) Sabiendoquesena 5 0,5y0 a 90,hallaelvalorde cosayeldetaga.

b) Sabiendoquecosa 5 0,8yque270 a 360,hallaelvalordesenaydetaga.

a) 0,52 1 cos2 a 5 1 ⇒ cos ,a51 0 75 (para ángulos delprimer cuadrante el coseno es positvo.) ⇒ tag a 5

5 0 5

0 750 577

,

,,5 ;

b) sen2a 1 (0,8)2 5 1 ⇒ sen2a 5 0,36 ⇒

sena 5 2 20 36 0 6, ,5 (paraángulosdelcuartocuadrante

elsenoesnegativo) ⇒ taga5 2

20 6

0 51 2

,,

,5 .

4.Dibujaapartirdelafunciónf x x( ) cos5 ,lasgráficasdelasfunciones:a) 5 2f x x( ) cos 1;b) ( ) cos( )5 2f x x 2 ;

c) f xx

( ) cos52.

a) Setrasladaunaunidadhaciaabajo.

21x

y

1 2 3 4 5 6

1

22

7

3p/2 2p

f(x) 5 cos x 2 1

p/2f(x) 5 cos x

Fig. 10.2.

b) Setraslada2 unidadeshacialaderecha.

21x

y

1 2 3 4 5 6

1

22

7

3p/2 2p

f(x) 5 cos (x 1 2)

p/2f(x) 5 cos x12

Fig. 10.3.

c) Superiodoesp 5 4p.

21x

y

1 2 3 4 5 6

1

22

7

3p/2 2p

f(x) 5 cos (x/2)

p/2f(x) 5 cos x

8 9

Fig. 10.4.

5.Utilizandolacalculadora,halla:a) arcsen(21)b) arccos(21)c)arctag 3 Daelresultadoengradosyenradianes.

a) arcsen(21) 5 290º 5 270º 5 2p/2 5 3p/2b) arccos(21) 5 180º 5 3,14... 5 p

c) arctag 3 5 60º 5 1,047… 5 p

3

6.Resuelvelasecuacionestrigonométricas:a) 1 2 2senx 5 3;b) cos2x 5 1/2 Representa gráficamente las funciones f x senx( )52 yg x x( ) cos5 2 ydauna interpretacióngráficade las solu-cioneshalladas.

a) 1 2 2senx 5 3 ⇒ senx 5 21 ⇒ x 5 arcsen(21)⇒

⇒ x k5p

p32

21 ;

b) cos2x 5 1/2 ⇒ 23

2x k5p

p1 o253

2x k5p

p1 ⇒

⇒ x k5p

p6+ ox k5

pp

56

1

Gráficamente:

a)

1

x

y

1 2 3 4 5 6

1

2

7

3p/2

8 9 102

/2

Fig. 10.5.

Sol_1CCSS_10.indd 71 12/5/08 15:57:26

72 FUNCIONES PERIÓDICAS Y TRIGONOMÉTRICAS10

b)

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

22

7

3p/2

8 9 1022

2p/2

Fig. 10.6.

7. Resuelvelaecuacióntrigonométricatag2x 5 3.Comprue-baqueelresultadoescorrecto.

tag2x5 3 2x2 arctag 3 arctag 3

x 52

Lassolucionessonx 5 p/6,x 5 2p/3.

8.La inclinaciónde la torredePisaesde4,6º respectodelavertical.Sabiendoqueunapiedradejadacaerdesdelomásaltodelatorreimpactaa4,4mdelabase,¿cuáleralaalturainicialdelaTorre?

Laalturainicialeralamedidadelladodelatorre,queeslahi-potenusadeuntriángulorectángulodelqueseconoceunlado,quevale4,4myelángulodelladodelatorreconelsuelo,quevale90 2 4,6º 5 85,4º.

Aplicandoelcoseno:

cos , º,

85 44 4

5h

h5 54 485 4

54 86,

cos ,, m

4,4

4,6°

Fig. 10.7.

jProblEmAS ProPuESToS

Tipo I. Fenómenos periódicos

1.Siadmitimosquelaprecipitaciónmediaesunfenómenocasi periódico, dibuja dos ciclos completos de precipi-taciónparalasestacionesmeteorológicasqueseindican:

Meses E F M A M J J A S O N DSantaCruz

36 39 28 13 6 0 0 0 3 31 45 51

Las Palmas

19 19 13 6 2 2 1 1 5 16 31 26

Pamplona 110 80 79 79 91 87 48 45 78 122 111 148

2 4 6 8 10 12

20

14 16 18 20 22

406080

100120140160

Precipitación media por mes

Meses

Santa CruzLas PalmasPamplona

Fig. 10.8.

LosnúmerosqueaparecenenelejeOXindicanmeses:1 5 ene-rodelprimeraño,2 5 febrero;13 5 enerodelsegundoaño,etc.

2.LahoradelamanecerydelocasoenBarcelonaparaelaño2008vienedadaenlasiguientetabla:

Día 1º 21º 41º 61º 81º 101º 121º 141º 161º 181º

Amanecer (hora)

7:21 7:15 6:56 6:25 5:52 5:18 4:48 4:26 4:16 4:20

Ocaso (hora)

16:31 16:52 17:18 17:44 10:07 18:29 18:51 19:12 19:29 19:32

Día 201º 221º 241º 261º 281º 301º 321º 341º 361º

Amanecer (hora)

4:34 4:54 5:15 5:36 5:57 6:20 6:45 7:07 7:20

Ocaso (hora)

19:23 19:01 18:30 17:56 17:21 16:51 16:29 16:20 16:27

Fuente: http://www.tutiempo.net/silvia_larocca/Programas/astronomia.htm(Losdatossehantomadoaintervalosde20días.Estoes,los días: 1º 5 12I; 21º 5 212I; 41º 5 102II;… Las horas(UTM)estánindicadasenhorasyminutos.)Representagráficamentecadaseriededatosycompruebaqueseajustaaunasinusoide.(Sugerencia:expresalashorasenelsistemadecimal.Así7:21 5 7,34h.)

1 2 3 4 5 64

7 8 9 10 11

68

1012141618

12 13 14 15 16 17 18

20

Ocaso

Amanecer

Fig. 10.9.

3.Conlosmismosdatosdelproblemaanterior,representalaevolucióndeladuracióndelaluzsolarparaeseaño.

1 2 3 4 5 64

7 8 9 10 11

6

8

10

12

14

16

12 13 14 15 16 17 18

Fig. 10.10.

4.EnelpuertodeValenciahaydosmareasaltasydosbajascada24horas,aproximadamente.Sientrelamareabajaylaaltahayunadiferenciadealturasde130cmrepresentagráficamentelaalturadelaguaenfuncióndeltiempo.Em-piezaalas0hconmareaalta.

Sol_1CCSS_10.indd 72 12/5/08 15:57:37

73


2 4 6 8 10 12

20

14 16 18 20 22

406080

100120

Fig. 10.11.

Tipo II. Trigonometría elemental

5.Expresaenradianeslossiguientesángulos:a) 102,34º; b)80º25’;c) 245º; d)22,5º;e) 204º32’49,82’’; f)1º;g) 224º43’’; h)80º.

a) 1,786; b)1,4;c) 2p/4; d)p/8;e) 3,57; f)0,017;g) 20,419; h)4p/9.

6.Expresaengrados:a) 7p/3rad b)3,35radc) 24,5rad d)8rade) 20,05rad f)p/9rad

a) 420º; b)191,94º;c) 2257,83º; d)458,366º;e) 22,865º; f)20º.

7.Calcula todas las razones trigonométricasde los ángulosagudosdelsiguientetriángulorectángulo:

Lahipotenusaes7,6655cm.2 cm

7,4 cmA

B

C

Fig. 10.12.

senA 5 2

7 6655, 5 0,261; cosA 5

7 47 6655

,,

5 0,965;

tagA 5 2

7 4, 5 0,270; cotagA 5

7 42,

5 3,7;

senB 5 7 4

7 6655,

, 5 0,965; cosB 5

27 6655,

5 0,261;

tagB 5 7 42,

5 3,7.

8.Elcartabónqueseutilizaendibujolinealesuntriángulocuyosángulosmiden30º,60ºy90º.Utilizandolatrigono-metríademuestraqueelladomáslargomideeldoblequeelpequeño.

30°60° yx

Fig. 10.13.

sen30º 5 12

5yx ⇒ x 5 2y

9. Calcula lassiguientes razonestrigonométricasutilizandolacalculadoracientíficayexpresandoelresultadoredon-deadocontresdecimales:

a) sen32,85º; b)cos23º12’50’’;c) sec80º45’; d)tag2,3rad;e) cotag0,95rad; f)sen(2394,4º);g)cosec39º39’21’’; h)cos5,65;i)tag(23); j)sen10º50’’;k)cos(239º2’); l)cosec670º32’32’’;m)tag269º34’12’’; n)senp/5;ñ)cos170,9º; o)sec1,8756;p)cotag11p/7; q)tag15,567º.

a) 0,542; b)0,919; c) 6,221; d)21,119;e) 0,715; f)20,565;g) 1,567; h)0,806;i) 0,143; j)0,174;k) 0,777; l)21,316;m)133,243; n)0,588;ñ)20,987; o)23,332;p)20,228; q)0,279.

10. Indicarazonadamentesisonverdaderasofalsasparaalgúnánguloalassiguientesafirmaciones:

a) sena 5 1,5; b)cosa 5 0,0012;c) taga 5 3,03; d)cosa 5 21,8;e) cotaga 5 20,779; f)seca 5 1;g) taga 5 257; h)coseca 5 4,002.

Verdaderas:b),c),e),f),g),h),Falsas:a),d)Estoesasíporqueparacualquiervalordeasecumpleque:21#sena#1, 21#cosa#1,2` , taga , 1`, 2` , cotaga , 1`,21$seca$1, 21$coseca$1.

11. Sabiendoquecosa 5 0,9yque0º a 90º,hallaelvalordesenayeldetaga.

sen2a 1 0,92 5 1 sen2a 5 0,19sen a 5 1 0 19, 5 0,436 ya que el ángulo está en el primercuadrante.

taga 5 0 4360 9,,

5 0,484

12.Sabiendoquetaga 5 21,2yque90º a 180º,hallaelvalordelasrestantesrazonestrigonométricas.

cotaga 5 11 22 ,

5 20,833

1 1 (21,2)2 5 12cos a

cos2a 5 0,410 cosa 5 2 0 410, 5

5 2 0,640,yaqueelánguloestáenelsegundocuadrante.

seca 5 1

0 6402 , 5 21,563

21,2 5 sen a

20 640, sena 5 0,768

Sol_1CCSS_10.indd 73 12/5/08 15:57:44


coseca 5 1

0 768, 5 1,302

Tipo III. Funciones trigonométricas

13.Partiendodelagráficadey 5 senx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 1 1 senx b)f(x) 5 senx 2 1,5

a)

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2

2

p/2 p 2p

f(x) 5 1 � sen x

y 5 sen x

Fig. 10.14.

b)

1

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

2

/2 p/2 p 2p

y 5 sen x

2f(x) 5 sen x 2 1,5

Fig. 10.15.

14.Partiendodelagráficadey 5 senx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 sen(x 2 1) b)f(x) 5 sen(x 1 p)

a)

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

y 5 sen x

f(x) 5 sen (x 2 1)

Fig. 10.16.

b)

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

y 5 sen x

f(x) 5 sen (x 1 p)

Fig. 10.17.

15.Partiendodelagráficadey 5 senx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 2senx b)f(x) 523senx

a)

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

y 5 sen x2

22f(x) 5 2sen x

Fig. 10.18.

b)

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

y 5 sen x2

2223

f(x) 5 23sen x

3

Fig. 10.19.

16.Partiendodelagráficadey 5 senx,representalassiguien-tesfunciones:

a) f(x) 5 2 1 sen(x 2 1) b)f(x) 5 2 2 senx

a)

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

y 5 sen x23

f(x) 5 sen (x 2 1)

f(x) 5 2 1 sen (x 2 1)

Fig. 10.20.

b)

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

y 5 sen x23

f(x) 5 sen x

f(x) 5 2 2 sen x

Fig. 10.21.

17. Partiendodelagráficadey 5 sen x,representalafunciónf(x) 5 23sen(2x 1 p).

Lafuncióny 5 sen2xesperiódicadeperíodo22p

5p.

Unavezdibujadaestaúltima,setrasladapunidadesa la iz-quierda y seobtiene la función y 5 sen (2x 1 p). Finalmente,cadaordenadade lacurvaanteriorsemultiplicapor23paraobtenerlagráficadelafunciónf(x) 5 23sen(2x 1 p).

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

y 5 sen x23

f(x) 5 sen x

f(x) 5 23sen (2x 1 p)

22

f(x) 5 sen 2x

f(x) 5 sen (2x 1 p)

Fig. 10.22.

18.Partiendodelagráficadey 5 cosx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 2 1 cosx b)f(x) 5 22,5 1 cosx

a)

y 5 cos x

f(x) 5 2 1 cos x

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

22

23

Fig. 10.23.

b)

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

222324 f(x) 5 22,5 1 cos x

y 5 cos x

Fig. 10.24.

Sol_1CCSS_10.indd 74 12/5/08 15:58:02

75


19. Partiendodelagráficadey 5 cosx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 cos(x 1 1) b)f(x) 5 cos(x 2 p)

a)

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

f(x) 5 cos (x 1 1)

y 5 cos x

Fig. 10.25.

b)

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

f(x) 5 cos (x 1 p)

y 5 cos x

Fig. 10.26.

20.Partiendodelagráficadey 5 cosx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 3cosx;b)f(x) 5 22cosx;c)f(x) 5 20,5cosx.

a)

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

2

2223

3

y 5 cos x

f(x) 5 3cos x

Fig. 10.27.

b)

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

2

22y 5 cos x

f(x) 5 22cos x

Fig. 10.28.

c)

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

f(x) 5 20,5cos x

y 5 cos x

Fig. 10.29.

21.Partiendodelagráficadey 5 cosx,representalassiguien-tesfunciones:a) f(x) 5 cos2xb)f(x) 5 cos2px

a) Elperiododef(x) 5 cos2xes22p

5p.

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

f(x) 5 cos 2x

y 5 cos x

Fig. 10.30.

b) Elper ododef(x) 5 cos2px es22

1p

p5

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

f(x) 5 cos 2px

y 5 cos x

Fig. 10.31.

22.Representalasgráficasdelassiguientesfunciones:a) f(x) 5 cosecx b)f(x) 5 cotagx

a)Lafunciónf(x) 5 cosecxeslainversadey 5 senx,esdecir,

f(x) 5 cosec x 5 1

sen x.Estafunciónnoestádefinidacuando

eldenominadorsehacecero,esdecir,cuandosenx 5 0.A la vistade la funcióny 5 sen x, sabemosqueestoocurrecuandox 5 0,p,2p,...

Podemosobtenersusvaloresconlacalculadoraenelmodoradianes.Algunosde susvalores sedanen la tablade laparteinferiordelapágina.

Teniendoencuentaque,aligualquesuinversa,elperíodoes2p,surepresentacióngráficaeslasiguiente:

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

23

8

4

222324

Fig. 10.32.

x 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3

sen x 0,296 0,565 0,783 0,932 0,997 0,974 0,863 0,675 0,427 0,141 20,158

cosec x 3,378 1,770 1,277 1,073 1,003 1,027 1,159 1,481 2,342 7,092 26,329

x 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 5,1 5,4 5,7 6 6,3 6,6

sen x 20,443 20,688 20,872 20,978 20,996 20,926 20,773 20,551 20,280 0,017 0,312

cosec x 22,257 21,453 21,147 21,022 21,004 21,080 21,294 21,815 23,571 58,82 3,205

Sol_1CCSS_10.indd 75 12/5/08 15:58:11

i


b) Lafunciónf(x)5cotgxeslainversadey5tgx,esdecir,

f(x)5cotgx5 1

tgx.Estafunciónnoestádefinidacuando

eldenominadorsehacecero,esdecir,cuandotgx=0.Alavistadelafuncióny5tgx,sabemosqueestoocurrecuan-dox50,p,2p,...

Podemosobtenersusvaloresconlacalculadoraenelmodoradianes.Algunosde sus valores sedanen la tablade laparteinferiordelapágina.

Teniendoencuentaque,aligualquesuinversa,elperíodoesp,surepresentacióngráficaeslasiguiente:

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

23

8

4

222324

Fig. 10.33.

23.Utilizandolacalculadoraydandolassolucionesengradoscomprendidasenelintervalo[0º,360º],calcula:a) arcsen(20,8); b) arccos0,856;c) arctag2,35.

Para todos los apartados, la calculadora debe estar en modoDEG.

a) Utilizandolafunciónsin21delacalculadoraseobtienequearcsen(20,8) 5 253,13º 5 306,87º.

La calculadora da un ángulo del cuarto cuadrante, pero,comoseobservaenlafigura,hayotroánguloeneltercercuadrantecuyosenotieneelmismovalor.Elángulodelter-cercuadrantees:180º 1 53,13º 5 233,13º.

Endefinitiva:arcsen(20,8) 5 306,87ºy233,13º

306,87°233,13°

Fig. 10.34.

b) Utilizandolafuncióncos21delacalculadoraseobtienequearccos0,856 5 31,13º.

La calculadora da un ángulo del primer cuadrante, pero,comoseobservaenlafigura,hayotroánguloenelcuartocuadrantecuyocosenotieneelmismovalor.Elángulodelcuartocuadrantees:360º 2 31,13º 5 328,87º.

Endefinitiva:arccos0,856 5 31,13ºy328,87º.

31,13°

328,87°

Fig. 10.35.

c) Utilizandolafuncióntan21delacalculadoraseobtienequearctag2,35 5 66,95º.

La calculadora da un ángulo del primer cuadrante, pero,comoseobservaenlafigura,hayotroánguloeneltercercuadrantecuyatangentetieneelmismovalor.Elángulodeltercercuadrantees:180º 1 66,95º 5 246,95º.

Endefinitiva:arctag2,35 5 66,95ºy246,95º.

66,95°

246,95°

Fig. 10.36.

24.Utilizandolacalculadora,halla:a) arccos(20,89);b) arctag(23,1);c) arctag0,5;

d) arcsen2

2;

e) arccos0,64;f)arcsen(20,356).

Dalassolucionesengradoscomprendidasenelintervalo[0º,360º].

a) arccos(20,89) 5 152,87º arccos(20,89) 5 180º 1 (180º 2 152,87º) 5 207,13ºb) arctag(23,1) 5 272,12º 5 287,88º arctag(23,1) 5 180º 2 72,12º 5 107,88ºc) arctag0,5 5 26,57º arctag0,5 5 180º 1 26,57º 5 206,57º

d) arcsen2

2 5 45º

arcsen2

2 5 180º 2 45º 5 135º

e) arccos0,64 5 50,21º arccos0,64 5 360º 2 50,21º 5 309,79ºf) arcsen(20,356) 5 220,85º 5 339,15º arcsen(20,356) 5 180º 1 20,85º 5 200,85º

x 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3

tg x 0,309 0,684 1,260 2,572 14,10 24,287 21,710 20,916 20,473 20,143 0,160

cotg x 3,237 1,462 0,794 0,389 0,071 20,233 20,585 21,092 22,114 26,993 6,25

x 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 5,1 5,4 5,7 6 6,3 6,6

tg x 0,493 0,947 1,778 4,637 211,38 22,450 21,218 20,660 20,291 0,017 0,328

cotg x 2,028 1,056 0,562 0,216 20,088 20,408 20,821 21,515 23,436 58,82 3,049

Sol_1CCSS_10.indd 76 12/5/08 15:58:20

77


25.Utilizandolacalculadora,halla:a) arcsen(20,1);b) arcsen0,79;c) arccos0,96;

d) arccos22

2;

e) arctag5,8;f) arctag(20,95).

Dalassolucionesenradianescomprendidasenelintervalo[0,2p].

a) arcsen(20,1) 5 20,1 arcsen(20,1) 5 p 1 0,1 5 3,24b) arcsen0,79 5 0,91 arcsen0,79 5 p 2 0,91 5 2,23c) arccos0,96 5 0,28,arccos0,96 5 2p 2 0,28 5 6

d) arccos22

2 5 2,36

arccos22

2 5 p 1 (p 2 2,36) 5 3,92

e) arctag5,8 5 1,4,arctag5,8 5 p 1 1,4 5 4,54f) arctag(20,95) 5 20,76 arctag(20,95) 5 p 2 0,76 5 2,38

26.Elconsumodeenergíaeléctricadeunafamilia,enkilova-tioshora(kWh),vienedadoporlafunción

E(x) 5 600 1 450cos212

1p

( )x2

dondexindicalosmesesdelaño(enero 5 1).a) ¿Cuáleselconsumoenenero,enjulioyenoctubre?b) ¿QuéperíodotieneE(x)?c) RepresentadosciclosdeE(x).

a) E(1) 5 1050kWhE(7) 5 150kWhE(9) 5 600kWh

b) Período:2212

12p

p5

2 4 6 8 10 12

200

14 16 18 20 22

400600800

10001200

Meses

Cons

umo

(kW

h)

(c)

Fig. 10.37.

Tipo IV. Ecuaciones trigonométricas

27. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas paraángulosdelprimergiroexpresadosenradianes:a) senx 5 0,54;b) cosx 520,912;c) tagx 5 2.

a) x 5 arcsen0,54 ⇒ x 5 0,57yx 5 p 2 0,57 5 2,57b) x 5 arccos(20,912) ⇒ x 5 2,72y x 5 p 1 (p 2 2,72) 5 3,56c) x 5 arctag 2 ⇒ x 5 1,11yx 5 p 1 1,11 5 4,25

28.Representagráficamentelasfuncionesy 5 senx,y 5 cosxey 5 tagxydaunainterpretacióngeométricadelassolu-cioneshalladasenelejercicioanterior.

a) Las soluciones son los puntos de corte de la gráfica dey 5 senxconlarectahorizontaly 5 0,54.

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

722

y 5 sen x

0,57 2,57

y 5 0,54

Fig. 10.38.

b) Las soluciones son los puntos de corte de la gráfica dey 5 cosxconlarectahorizontaly 5 20,912.

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

722

y 5 cos x

y 5 20,912

2,72 3,56

Fig. 10.39.

c) Las soluciones son los puntos de corte de la gráfica dey 5 tagxconlarectahorizontaly 5 2.

21

x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

23

8

4

222324

1,11 4,25

y 5 tg x

y 5 2

Fig. 10.40.

29.Resuelvelassiguientesecuacionestrigonométricas: a) 2cosx 5 0,6 b) 2 tagx 5 4,75

a) 2cos x 5 0,6 ⇒ cosx 5 0,3 ⇒ x 5 arccos0,3 ⇒

⇒x k

x k

5

55

72 54 360

360 72 54 360 287

, º º

( º , º) º

1 ?

2 1 ? ,, º º46 3601 ?k

⎧⎨⎩⎪

b) 2tagx 5 4,75 ⇒ tagx 5 24,75 ⇒ x 5 arctag(24,75) ⇒ x 5 101,89º 1 k ? 180º

30.Resuelvelassiguientesecuacionestrigonométricas:a) sen3x 5 20,5 b)cos

x3

5 0,6

a) sen3x 5 20,5 ⇒ 3x 5 arcsen(20,5) ⇒

3 30 300 360 100 120x k x k5 5 52 1 ? 1 ?º º º º º

3x 5(180º130º)1 k?360º5210º1 k ?360ºx 570º1k ?120º

b) cosx3

5 0,6 ⇒ x3

5 arcos0,6⇒

Sol_1CCSS_10.indd 77 12/5/08 15:58:28


5(x3

xk x k

353 13 360 159 39 10805 5, º º , º º1 ? 1 ?

3360 53 13 360 306 87 360º , º) º , º º2 1 ? 1 ?k k5

x 5 920,61º 1 k ·120

31.Resuelvelassiguientesecuacionestrigonométricas:a) 4sec2x 5 5; b) 4 2 3sen2x 5 6;

c) 2 sen2x 5 0,5; d) 6cos x1p

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 5 5.

a) 4sec2x 5 5 ⇒ sec2x 5 1,25 ⇒ 12cos x

5 1,25 ⇒

⇒ cos2x 5 0,8 ⇒ 2x 5 arccos0,8⇒

5

2 36 87 360 18 435 180

2 360

x k x k

x

5 5

5

, º º , º º

( º

1 ? 1 ?

22 1 1 ?36 87 360 323 13 360, º) · º , º ºk kx 5161,565º 1 k ?180º

b) 4 2 3sen2x 5 6 ⇒ sen2x 5 20,667 ⇒ 2x 5 arcsen(20,667)⇒

2 1 ?, º , º º2 41 84 318 16 360x k5 5

41 84 360 221 84 360( , º) º , º º2x 180º5 51 1 ? 1 ?kk

x5159,08º1k ?180º

x 5 110,92º 1 k ? 180ºc) 2sen2x 5 0,5 ⇒ sen2x 5 0,25 ⇒ senx 5 60 5, senx 5 0,5 ⇒ x 5 arcsen0,5 ⇒

x k

k k

5

5 5

30 360

360 150 360

º · º

( º) º º

1

2 1 ? 1 ?x 180º 30 senx 5 20,5 ⇒ x 5 arcsen(20,5) ⇒

x k

k

5 5

5 5

2 1 ?

1 1 ?

30 330 360

30 360 210

º º º

( º) º ºx 180º 11 ?k 360º

d) Daremoslassolucionesenradianes,dadoqueelángulovie-nedadoenesaunidad.

6cos x 1p

2 5 5 ⇒ cos x 1

p

2 5 0,833 ⇒

x 1p

2 5 arcos0,833 ⇒

⇒x k x k

x k

1 1 1

1 2 1

p5

pp 5

pp

p5 p

pp

2 62

32

22

62 55

pp 5

pp

116

243

21 1k x k

Tipo V. Aplicaciones de la trigonometría a la resolución de problemas

32.Loscatetosdeuntriángulorectángulomiden5my7m.Hallalahipotenusaylosángulos.

c 5 5 7 742 21 5 58,60m

tagA 5 57

5 0,714 A 5 arctag0,714 5 35,53º

B 5 90º 2 35,53º 5 54,47º

33.Elcatetomenordeuntriángulorectángulomide12mylahipotenusa35m.Hallaelotrocatetoylosángulos.

A

B

Cb

35 12

Fig. 10.42.

b 5 35 12 10812 22 5 532,88m

senA 5 1235

5 0,343 ⇒ A 5 arcsen0,343 5 20,06º

B 5 90º 2 20,06º 5 69,94º

34.Si una escalera de mano de 3,2 m de larga la apoyamossobre la fachadadeunedificiodemaneraque formeunángulo de 60º con el suelo, ¿podremos llegar hasta unaventanasituadaa2,9mdealtura?

608

3,2x

Fig. 10.43.

Suponiendoquelafachadadeledificioesperpendicularalsue-lo,seobtieneuntriángulorectángulocomoeldelafigura.Enesecaso:

sen60º 5 x

3 2, ⇒ x 5 2,77m

Laescalerallegahastaunaalturade2,77m.Portanto,conesainclinación,nosepuedellegarhastalaventana.

35.Queremosmedirlaalturadeunatorredecomunicacionessituadasobrenuestromismoplano.Paraellosituamosunteodolitoa50metrosdesubaseparamedirelángulodeelevacióndesuextremosuperior.Sabiendoquedichoán-guloesde58ºyqueelteodolitoestásobreuntrípodede1,5mdealto,¿cuáleslaalturadelatorre?

588

x

50 1,5

h

Fig. 10.44.

Enlafiguradeallado,dondeseexponelasituacióndelproble-ma,heslaalturadelatorre.

tag58º 5 x

50 x 5 50 ? tag58º 5 80,02m

Laalturadelatorreesh 5 80,02 1 1,5 5 81,52m.

A7

5

B

C

c

Fig. 10.41.

Sol_1CCSS_10.indd 78 12/5/08 15:58:45

79


36.Latorredeuncastilloestásituadaalbordedeunfosoconagua.Elángulodeelevacióndesuextremosuperiordesdeelotrobordedelfosoesde62º.Sinosalejamosdelfoso52m,elángulodeelevaciónesde28º.Calculalaanchuradelfosoylaalturadelatorre.

Seahlaalturadelatorreyxlaanchuradelfoso.

288 628

52 x

h

Fig. 10.45.

tag 28ºh

x

tag 62ºhx

5

5

521 ⇒

h x

h x

5

5

27 649 0 532

1 881

, ,

,

1⎧⎨⎩⎪

⇒

⇒27,649 1 0,532x 5 1,881x ⇒ x 5 20,50h 5 1,881 ? 20,50 5 38,56.Laanchuradelfosoes20,5mylaalturadelatorre38,56m.

37.Cuandolosrayosdelsolincidenconunángulode78ºlato-rreEiffelproyectaunasombrade69,5m.Calculasualturaaproximada.

Hayquecalcularelcatetoverticaldeltriánguloadjunto:h 5 69,5 ? tag78º 5 327m

h

69,5 m

78º

78º

69,5 m

h

Fig. 10.46. Fig. 10.47.


1.Diquétipodeprocesosteparecenperiódicos.Sieselcaso,indicaelperiodo.a) Latemperaturamensualmediadetuciudad.b) Laalturadelaválvuladeunaruedadebicicletaenmo-

vimiento.c) Lafrecuenciaconquesonríetuprofesoroprofesorade

matemáticas.d) Lasfaseslunaresalolargodeltiempo.

Periodos: a) 1año; b) dependedelavelocidad;c) no; d)29,5días.

2. Unanoriadeferiade15metrosdediámetrocomienzaagirar.Hazungráficoqueindiquelaalturadeunadesusbarcasdurantedosvueltas.¿Quéperiodotiene?

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3

6

9

12

12 13 14 15 16 17 18 19

Fig. 10.48.

Periodo 5 dependedelavelocidad;amplitud 5 15m

3.Dibujaunafunciónperiódicadeperiodo5,conunmáximoenx 5 2quevale6,yunmínimoenx 5 4cuyovalores1.

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

722

23456

9 10 11

Fig. 10.49.

4.¿Cuántosradianesson60º,90º,180ºy240º?

p/3;p/2;p,4p/3

5.¿Cuántosgradossonp/4y5p/3?

45º,300º

6.Hallaconlacalculadora:sen60º,cos80º,tagp/3.

0,866;0,1734;1,732

7.Hallaconlacalculadoraarcsen(21/2)yarccos0,6428.

210ºy330º;50ºy310º

8.CalculalalongituddelparalelocorrespondientealCírculoPolarÁrtico,sisulatitudes66º30´N.(PuedestomarelradiodelaTierraR 5 6370km.)

L 5 2p ? 6370 ? cos66º30´515959km

9.A partir de la función y 5 cos x dibuja la gráfica def x x( ) cos512 .

21 x

y

1 2 3 4 5 6

1

7

3p/2

22

2p/2 p/2 p 2p

23

y 5 cos x

y 5 1 2 cos x

Fig. 10.50.

10.Resuelvelasecuaciones:a) senx 5 20,5 b) cosx 5 0,866

a) x 5 arcsen(20,5) 5 210ºy330º(másvueltas)b) x 5 arccos0,866 5 30ºy330º(másvueltas)

Sol_1CCSS_10.indd 79 12/5/08 15:58:56

80 ESTADÍSTICA BÁSICA11

jACTIVIDADES

1.Laedaddelas130personasquerealizaronelexperimentoanteriorsedaacontinuación:

15171921221819221519232418171616192419181722232117232416171819202021221817191921151719182218192321171722232117232324161724161718192120212218171918211517192122181923211723242321171820192115171617161719202021221817181917202324161716171819201921221817191921151719

a)Agrupalasedadesporaños. b)Daunatabladefrecuenciasyporcentajes,simple(para

cadaaño)yacumulada.

Edad fi % Fi

15 6 4,62 616 9 6,92 1517 25 19,23 4018 16 12,31 5619 22 16,92 7820 8 6,15 8621 16 12,31 10222 10 7,69 11223 11 8,46 12324 7 5,38 130

2.Elprecio(eneuros)delasdiferentescorbatasqueseven-denenunosgrandesalmaceneses:81017342516121218151812.Construyeeldiagramadetalloyhojas.0 81 0 2 2 2 5 6 7 8 82 5 3 4

0 8 representa 8 €

3.SegúnlaEncuestadePresupuestosFamiliares(deEspaña),elgastomedioporhogarenelaño2004sedistribuyócomoseindicaenlatablaadjunta.

Alimentación 4 215Vestido y calzado 1 451Vivienda 5 963Gastos de casa 1 679Gastos diversos 9 381Total 22 689

Representaestosdatosmedianteundiagramadesectores.

Alimentación421519%

Vestido14516%

Vivienda596323%

Casa16797%

Diversos938142%

Fig.11.1.

4.Paralosmismosalumnos,hallalosdecilesprimeroynove-noyladiferenciaD9 2 D1.

D1 (posición 21ª): 90 932

921 ?8≈

D9(posición 189ª): 122 1217

1281 ?8≈

D9 2 D1 5 36

5. ConlosdatosdelatablaComparativadepreciosen2006,determinaelprecioeneurosdeunacajetilladetabacoencadaunodelospaísesconsiderados,suponiendoquesupre-cioenEspañaesde3€.

Para Alemania:

Si a 64 3 € a 119 PALE PALE 5

3·119

64 5 5,58 €

De manera análoga, los precios en los demás países serán:

PBEL 5 3·100

64 5 4,69; PDIN 5

3·115

64 5 5,39; PALE 5 3

PEST 5 3·41

64 5 1,92; PFRA 5

3·133

64 5 6,23;

PIRL 5 3·186

64 5 8,72; PITA 5

3·99

64 5 4,64;

PPOL 5 3·44

64 5 2,06; PRUM 5

3·32

64 5 1,5 €

Por orden: 5,58; 4,69; 5,39; 3; 1,92; 6,23; 8,72; 4,64; 2,06; 1,5 euros.

6.Elpesodelasalumnasanterioresera,respectivamente,51,53,55,57,49y56.

a) Hallasumediaydesviacióntípica. b) Despuésde leer el apartado siguiente, indica cuálde

lastresdistribuciones2altura,pesoozapato2esmásdispersa.

a) x 5 53,5; s 5 2,81 b) CV(altura) 5 0,027; CV(zapato) 5 0,043; CV(peso) 5 0,053 La distribución de pesos es la más dispersa.


Tipo I. Tablas y gráficos estadísticos

1. Losmédicosdeguardiadeuncentrodesaludatendieronen30nocheslassiguientesurgencias:

220613251023163 140110104023140

Hazunatabladefrecuenciasyporcentajes,simpleyacu-mulada.Dibujaelcorrespondientediagramadebarras.

Sol_1CCSS_11a14.indd 80 12/5/08 15:35:12

81ESTADÍSTICA BÁSICA 11

Urgencias fi Fi fri % %a0 7 7 0,233 23,3 23,31 8 15 0,267 26,7 502 5 20 0,167 16,7 66,73 4 24 0,133 13,3 804 3 27 0,100 10 905 1 28 0,033 3,3 93,36 2 30 0,067 6,7 100TOTALES 30 1 100

Fig. 11.2.

2. EnlasiguientetablasedanlosdatoscorrespondientesalasnotasdeMatemáticasde60alumnosde1ºBachillerato.

NOTAS IN[1, 5)

SF[5, 6)

BI[6, 7)

NT[7, 9)

SB[9, 10]

Nº de alumnos 20 13 12 10 5

a)Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple yacumulada.

b) Dibujaelcorrespondientehistograma.c) Representalosdatosmedianteundiagramadesectores

ymedianteunapoligonalacumulativa.

a) Notas M.c. fi Fi fri % %a[1, 5) 3 20 20 0,333 33,3 33,3[5, 6) 5,5 13 33 0,217 21,7 55[6, 7) 6,5 12 45 0,200 20 75[7, 9) 8 10 55 0,167 16,7 91,7[9, 10] 9,5 5 60 0,083 8,3 100TOTALES 60 1 100

b) La altura de cada rectángulo se halla dividiendo la frecuen-cia que representa entre la longitud del intervalo:

20 : 4 5 5; 13 : 1 5 13; 12 : 1 5 12; 10 : 2 5 5; 5 : 1 5 5.

Fig. 11.3.

00123456789

1 2 3 4 5 6 7Urgencias

Frec

uenc

ia

00123456789

1 2 3 4 5 6 7Urgencias

Frec

uenc

ia

0

2468

101214

1Notas

2 3 4 5 6 7 8 9 100

2468

101214

1Notas

2 3 4 5 6 7 8 9 10

c) La asignación de sectores para cada nota es:

IN: 120º; SF: 78º; BI:72º; NT: 60º; SB: 30º.

Fig. 11.4.

Fig. 11.5.

3.Los perímetros de35pinos de unparque,medidos a unmetrodelsuelo,fueronlossiguientes(encm):

465465477548546549735057 704958637161737259626660 6763716057616749525562 a) Agrupaestosdatosenintervalosdeamplitud5, indi-

candomarcasdeclaseyfrecuencias. b) Representaelhistogramaasociado.

a)

Intervalo M.c. fi

45,5 2 50,5 48 750,5 2 55,5 53 455,5 2 60,5 58 660,5 2 65,5 63 865,5 2 70,5 68 470,5 2 75,5 73 6

b) La altura de cada rectángulo se halla dividiendo la frecuen-cia que representa entre la longitud del intervalo:

7 : 5 5 1,4; 4 : 5 5 0,8; 6 : 5 5 1,2; 8 : 5 5 1,6; 4 : 5 5 0,8; 6 : 5 5 1,2.

Fig. 11.6.

IN33%SB

8%

NT17%

BI20%

SF22%

IN33%SB

8%

NT17%

BI20%

SF22%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

30

40

50

60

Notas

Núm

ero

de a

lum

nos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

30

40

50

60

Notas

Núm

ero

de a

lum

nos

0,4

45,5Diámetro (cm)

50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5

0,81,21,6

0

1,4

0,81,2

1,6

0,81,2

0,4

45,5Diámetro (cm)

50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5

0,81,21,6

0

1,4

0,81,2

1,6

0,81,2

Sol_1CCSS_11a14.indd 81 12/5/08 15:35:21


4. Organizalosdatosanterioresmedianteundiagramadeta-lloyhojas,yrepresentaelgráficodecajasybigotesco-rrespondiente.

Ordenamos los datos de menor a mayor:46 47 48 49 49 49 50 52 54 54 55 57 57 58 59 60 60 61 61 62 62 63 63 65 65 66 67 67 70 71 71 72 73 73 75Ahora confeccionamos el siguiente diagrama.

4 6 7 8 9 9 95 0 2 4 4 5 7 7 8 9

6 0 0 1 1 2 2 3 3 5 5 6 7 7

7 0 1 1 2 3 3 5

4 6 indica 46 cm

Como hay 35 datos, la mediana es el valor del dato que ocupa la posición 18ª, que es 61: los cuartiles C1 y C3 valen, respectiva-mente, 54 y 67 (posiciones 9ª y 27ª). Se obtiene así:

Fig. 11.7.

5.ElnúmerodeturismosmatriculadosenEspaña,paraelpe-ríodo199622005,sedaenlasiguientetabla:

Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005Miles de turismos

911 1 016 1 193 1 406 1 381 1 426 1 332 1 382 1 517 1 529

a)Tomandocomobase100elnúmerodeturismosmatri-culadosenelaño1996,expresaennúmerosíndiceslavariacióndelaserie.

b)Representalosdatosmedianteunapoligonalsimple.

a) Si asignamos a 1996 la base 100, multiplicando el número

de vehículos matriculados en cada año por 100911

, se obtiene:

Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Miles de turismos

911 1 016 1 193 1 406 1 381 1 426 1 332 1 382 1 517 1 529

Índice 100 111,5 131 154,3 151,6 156,5 146,2 151,7 166,5 167,8

b)

Fig. 11.8.

40 50 60 70 80

54 61 677546

40 50 60 70 80

54 61 677546

1996

200

400

600

800

1000

1200

199719981999200020012001200320042005

1400

1600

Año

Mile

s de

tur

ism

os

1996

200

400

600

800

1000

1200

199719981999200020012001200320042005

1400

1600

Año

Mile

s de

tur

ism

os

6.Lasuperficie(enmilesdekm2)delos7paísesmásgrandesdelmundoes:

País Superficie (miles de km2)

Rusia 17 075

Canadá 9 976

China 9 561

Estados Unidos 9 373

Brasil 8 512

Australia 7 687

India 3 288

a)Dalasextensionesenmilesdekm2ennúmerosíndice,tomandocomobaselaextensióndeAustralia.

b)Sabiendoquelasuperficiehabitable(tierrafirme)delmundoes133342000km2,representaenundiagramade sectores las superficiesde los7paísesanterioresjuntoconladelrestodelmundo.

a) Si asignamos a Australia la base 100, multiplicando la

superficie de cada país por 1007687

se obtiene:

Rusia: 222,1 Canadá: 129,8 China: 124,4 Estados Unidos: 121,9 Brasil: 110,7; India: 42,8

La superficie del resto del mundo es: 67 870 000 km2. La asignación de sectores para cada superficie es: Rusia: 46,1º; Canadá: 26,9º; China: 25,8º Estados Unidos: 25,3º; Brasil: 23º; Australia: 20,8 India: 8,9º; Resto del mundo: 183,2º

b)

Fig. 11.9.

7.Laesperanzadevidaendiversaspartesdelmundoenelaño2001era:

Hombres MujeresTotal mundial 63,9 68,1África 50,5 52,1Asia 65,8 69,2Europa (sin Rusia) 69,6 77,9España 75,4 82,3América del Sur 66,7 73,6América del Norte 74,7 80,5Oceanía 72 76,9Federación rusa 60 72,5

Rusia

CanadáChina

EstadosUnidos

Brasil

AustraliaIndia

Resto del mundo

Rusia

CanadáChina

EstadosUnidos

Brasil

AustraliaIndia

Resto del mundo

Sol_1CCSS_11a14.indd 82 12/5/08 15:35:29


Representagráficamenteestosdatosmedianteundiagra-madebarras.

Fig. 11.10.

8.Laprecipitación(P)y la temperaturamediamensual(T)registradasenSoriaalolargodelañoson:

Mes E F M A M J J A S O N DP (mm) 44 45 48 47 62 55 32 31 47 46 49 55T (ºC) 1,3 3,1 5,6 7,5 10,6 15,6 18,1 18,1 15 9,4 5,6 3,1

Representagráficamenteestosdatosmedianteunclimo-grama.

Fig. 11.11.

Tipo II. Parámetros estadísticos

9.Sieteestudianteshanleídoestecursoelsiguientenúmerodelibros:

3456575 Paraestosdatos,determina: a) Lamedia; b) Lamediana; c) Lamoda; d) Elrango.

a) 5 b) 5c) 5d) 4

010203040506070

Espe

ranz

a de

vid

a (a

ños)

8090

Total

mun

dialÁf

rica

Asia

Europ

a (sin

Rusia

)

Espa

ña

Améri

ca de

l Sur

Améri

ca de

l Nort

e

Ocea

nía

Fede

ración

rusa

Hombres

Mujeres

010203040506070

Espe

ranz

a de

vid

a (a

ños)

8090

Total

mun

dialÁf

rica

Asia

Europ

a (sin

Rusia

)

Espa

ña

Améri

ca de

l Sur

Améri

ca de

l Nort

e

Ocea

nía

Fede

ración

rusa

Hombres

Mujeres

0

10

20

30

40

0E F M A M J J A S O N D

1020304050607080

SoriaT (ºC) P (mm)

0

10

20

30

40

0E F M A M J J A S O N D

1020304050607080

SoriaT (ºC) P (mm)

10.Enunaempresahay3directivos,50operariosy8vende-dores.Lossueldosmensuales,eneuros,decadacategoríasonlossiguientes:directivos,4000;operarios,1400;ven-dedores,2000.

a) Hallalamoda,lamedianaylamediadelossueldos. b) ¿Quémedidaesmásrepresentativadelpromedio?

a) Mo 5 1 400 €; Me 5 1 400 €; xp 5 1 606,56 €.

b) Las tres.

11.Enprimerodebachilleratodeun centroescolarhay tresgrupos,A,ByC,con30,35y25alumnos,respectivamen-te.LanotamediaenMatemáticasfue,tambiénrespectiva-mente,de5,3,6,5y5,6.HallalanotamediadeMatemáti-casdetodoslosalumnosdeprimero.

xp5

30 5 3 35 6 5 25 5 690

? 1 ? 1 ?, , , 5 5,85

12.Lasalturasencentímetrosde20personasson: 162,176,189,178,167,185,160,171,167,173, 183,182,172,165,176,177,169,186,171,179. Calculalamediaaritmética. Agrupalosdatosenseisintervalosdeamplitud5ycalcula

lamediadealturasutilizandoladistribuciónobtenida. Siambosvaloresnocoinciden,explicaporqué.

a) x 5 174,4 cm

b) Intervalo M.c. fi159,5 2 164,5 162 2164,5 2 169,5 167 4169,5 2 174,5 172 4174,5 2 179,5 177 5179,5 2 184,5 182 2184,5 2 189,5 187 3

x 5 174,5 cm

c) Debido a la agrupación de los datos.

13.Para los datos anteriores, agrupados en los intervaloshallados, dibuja el histograma y la poligonal acumuladacorrespondiente.

Fig. 11.12.

0,2

162

0,40,60,8

0167 172 177 182 187

1

2

4 45

23

10

2025

5

159,5

15

0164,5 169,5 174,5 179,5 184,5 189,5

0 26

1015

1720

0,2

162

0,40,60,8

0167 172 177 182 187

1

2

4 45

23

10

2025

5

159,5

15

0164,5 169,5 174,5 179,5 184,5 189,5

0 26

1015

1720

Sol_1CCSS_11a14.indd 83 12/5/08 15:35:45


14.Elgráficosiguienterepresentalospesos(enkg)deungru-posimilardehombresymujeres.

Fig. 13.13.

a)Indicalosvaloresdelasmedianasrespectivas.b)¿Cuántovaleencadacasoelrangointercuartílico?c)¿Hayalgúnelementoextraño?¿Cuálessupeso?d) ¿Quéporcentajedemujerespesaentre40y50kg?e)¿Dónde se da más homogeneidad de pesos, entre los másflacosoentrelosmáspesados?

a) Mujeres: Me 5 56, Hombres: Me 5 70b) Mujeres: C3 2 C1 5 64 2 50 5 14; Hombres: C3 2 C1 5 79 2 63 5 16c) En el caso de los hombres hay dos elementos extraños, que pesan 110 y 115 kgd) El 25%.e) En los dos caso, entre los más flacos, pues la longitud del bigote de la izquierda es más pequeña.

15.Elcocienteintelectualdelos210alumnosdeuncentrodebachilleratosedaenlatablaadjunta:a) Calculaloscuartilesyelrangointercuartílico.b) Hallaladiferenciaentrelosdeciles3y6.c) Calculalapuntuaciónnecesariaparaperteneceral15%

dealumnosconmayorcocienteintelectual.

Intervalo [82,90) [90,98) [98,106) [106,114) [114,122) [122,130) [130,138) [138,146)Frecuencia 12 32 49 54 30 17 11 5

Para contestar a estas preguntas es necesario hallar la tabla de frecuencias acumuladas.

Intervalo [82,90) [90,98) [98,106) [106,114) [114,122) [122,130) [130,138) [138,146)Frecuencia 12 32 49 54 30 17 11 5Frecuencia acumulada

12 44 93 147 177 194 205 210

a) La posición de C1 es 53. Por tanto, C1 5 98 1 9 ? 849

5 99,5.

La posición de C2 es 105.

Por tanto, C2 5 106 1 12 ? 122 1217

1281 ?8≈ 5 107,8.

La posición de C3 es 158.

Por tanto, C3 5 114 1 11 ? 830

5 116,9

Recorrido intercuartílico: C3 2 C1 5 17,4.

b) La posición de D3 es 63.

Por tanto, D3 5 98 1 19 ? 849

5 101,1.

La posición de D6 es 126.

Por tanto, D6 5 106 1 33 ? 854

5 110,9.

D6 2 D3 5 9,8

40 50 60 70 80

7963 7010347

30 90 100 110 120

56 648240

50

115

Kg40 50 60 70 80

7963 7010347

30 90 100 110 120

56 648240

50

115

Kg

c) Hay que calcular el percentil 85, cuya posición es 179.

Por tanto, P85 5 122 1 2 ? 817

5 122,9.

16.Hallalamediayladesviacióntípicadelosdatoscorres-pondientesaldiagramadetalloyhojasdadoenelEjem-plo2,cuyosdatoseran:

3 74 35566777895 0012345676 01237 7

3 7representa37kilos

x 5 52,04 kg; s 5 8,08 kg

17. En 2001, la mortalidad infantil (total por 1000 nacidosvivos)paralospaísesafricanosqueseindicanera:País Burundi Eritrea Etiopía Kenya Madagascar MalawiMortalidad 111 82 106 59 91 130

Calculalamediayladesviacióntípicadelatasademorta-lidadinfantilparaesosseispaíses.

x 5 96,5; s 5 22,6

18.En2001,lamortalidadinfantilparalospaíseseuropeosqueindicanera:País Albania Bosnia Croacia Eslovenia España GreciaMortalidad 25 14 8 6 5 6

Calculalamediayladesviacióntípicadelatasademortali-dadinfantilparaesosseispaíses.

x 5 10,67; s 5 7,1

19.EnelProblemaresuelto1sedanlosdatosdetemperaturayprecipitacióndeCastellón.CompáralosconlosdeSoria(Problemapropuesto8),hallando:a) Medias.b) Desviacionestípicas.c) Coeficientesdevariación.

C representa a Castellón y S a Soria.a) Temperatura: x(C) 5 17,125; x(S) 5 9,42 Precipitación: x(C) 5 37,25; x(S) 5 46,75

b) Temperatura: s(C) 5 5,007; s(S) 5 5,77 Precipitación: s(C) 5 14,77; s(S) 5 8,43 c) Temperatura: CV(C) 5 29,2%; CV(S) 5 61,3% Precipitación: CV(C) 5 39,7%; CV(S) 5 18% Las temperaturas de Castellón son menos dispersas que las de

Soria, sin embargo son más dispersas las precipitaciones.

20.Losrendimientosmedios(enkilogramosporhectárea)enEspaña,paraloscerealesqueseindican,fueron:

Año 1999 2000 2001 2002 2003Trigo 2 150 3 100 2 300 2 830 2 840Maíz 9 450 9 220 9 720 9 510 9 110

Hallalosrendimientosmediosparaelquinqueniodecadacereal.¿Quécerealesmásfiable?

Sol_1CCSS_11a14.indd 84 12/5/08 15:36:00


T representa al trigo y M al maíz.x(T) 5 2 644 kg/ha s(T) 5 358,7 kg/hax(M) 5 9 402 kg/ha s(M) 5 216 kg/haCV(T) 5 13,57% CV(M) 5 2,3%Es más fiable el maíz.

Tipo III. Problemas varios

21.Auncongresoasistenseismujerescuyasedadesson: 273438423336

a) Calculalamediayvarianzadesusedades.b) Cinco años después coinciden las mismas mujeres.

Apartirdeloscálculosanteriores,hallalanuevamediayvarianzadesusedades.

a) x 5 35 años. s2 5 21,33b) Pasados 5 años las edades son: 32, 39, 43, 47, 38, 41. Como vimos en el problema resuelto 10, la nueva me-

dia x[15] 5 x 1 5 5 35 1 5 5 40 y la nueva varianza s2[15] 5 s2 5 21,33.

22.UnapersonaviajadePontevedraaValladolidaunaveloci-dadmediade90km/hyregresaaunamediade110km/h.Hallalavelocidadmediadelviajecompleto.

Tiempo de ida: t1 5 e90

Tiempo de vuelta: t2 5 e

110

Velocidad media 5 2

1 2

et t1

5 99 km/h.

23.Elsiguientegráficorepresentauntotalde600elementos.¿Cuáleslafrecuenciadecadacategoría?

Categoría fi

A 40B 110C 120D 150E 180

Fig. 11.14.

24.Hallalatabladefrecuenciasasociadaaestehistograma:

Fig. 11.15.

Intervalos [1, 4) [4, 6) [6, 7) [7, 11)fi 6 12 3 4

A

B

C

D

E66º

24º

72º90º

108º

A

B

C

D

E66º

24º

72º90º

108º

0

2

4

6

1

3

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

2

4

6

1

3

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


1. Representaestosdatosmedianteundiagramadesectores.

Europeos1 500

Suramericanos1 000

Africanos750

Asiáticos250

Otros500

Fig. 11.16.

2. ¿Seríaadecuadorepresentarlosconunhistograma?Justifi-caturespuesta.No: son datos de carácter discreto.

3. ¿Ymedianteunalíneapoligonalsimple?¿Yacumulativa?Tampoco. Por lo mismo y porque son heterogéneos.

4. Apartirdeesosdatos, indica,explicandoelporqué,quémedidadecentralizaciónpodríacalcularse:a)¿Lamedia?;b)¿Lamediana?;c)¿Lamoda?La moda.

5. Representalapoligonalacumuladacorrespondiente.

Fig. 11.17.

6.Hallalamediadevisitantesmensuales.

x 524700

6 5 4 116,7

7.Hallaelrangodeedades,lamodaylamediana.

Rango: 52 2 18 5 34; moda: 24; mediana: (elemento 11º) 28.

8.Calcula,conayudadelacalculadoraenelmodoestadísti-co,lamediayladesviacióntípicadelasedades.

x 5 29,43, s 5 8,9

9. Hallaelcoeficientedevariacióndelaedad.

CV 5 8 9

29 43,,

50,302

10.Si la estatura de esos ciclistas se distribuye con media172cmydesviacióntípica18cm,quévariableesmásdis-persa,¿laedadolaestatura?

CV(Estaturas) 5 18172

5 0,105.

Es más dispersa la variable edad.

10 000

20 00025 000

5 000

15 000

0Ene Feb Mar Abr May Jun

30 000

2 500 4 3007 300

12 700

18 900

24 700

10 000

20 00025 000

5 000

15 000

0Ene Feb Mar Abr May Jun

30 000

2 500 4 3007 300

12 700

18 900

24 700

Sol_1CCSS_11a14.indd 85 12/5/08 15:36:17

86 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES12

jACTIVIDADES

1.Ochoalumnos,tomadosalazar,teclean40líneasdetextoenunordenador.Eltiempoempleado,enminutos,yelnú-merodeerrorescometidos,fueron:

Tiempo (X) 9 10 12 13 15 15 22 25

Errores (Y) 18 20 30 15 21 10 32 20

a) ¿Existecorrelaciónentrelosdatos?b)Da una explicación de las diferencias respecto al ejercicioanterior.

a) La nube de puntos asociada sugiere una correlación lineal muy débil.

Fig. 12.1.

b) En el ejemplo 1, las 8 personas tenían una destreza similar; por tanto, a más tiempo, menos errores. Aquí, los 8 alumnos han sido elegidos al azar.

2. Hallaelcoeficientedecorrelacióndeladistribucióndadaporlasiguientetabla:

X 4 7 3 9

Y 3 6 7 5

x 5 5,75; sx 5 2,385 y 5 5,25; sy 5 1,479sxy 5 20,188; r 5 20,053

3. a) Hallalarectaquemejorseajustealosdatos:

X 1 3 4 5 6

Y 3 4 6 6 8

b)Medianteesa recta, estimael valor deY parax 5 2y x 5 7.

a) y x51 7027 0 972973, ,1 ; r 5 0,96 b) 3,648 y 8,5135

4.Enunapoblación,lamediadelpesodesushabitantesesde65kgyladelaestaturaes170cm,siendosusdesviacionestípicasde5kgy10cm,respectivamente.Sesabeademásqueelcoeficientedecorrelaciónlinealentreambasvaria-blesesde0,8.

5 10 15 20 25 30

51015202530

Tiempo

Erro

res

5 10 15 20 25 30

51015202530

Tiempo

Erro

res

a)Hallalasdosrectasderegresión.b)¿Cuánto se estimaquepesará un individuo quemide 180cm?¿Quéalturacorrespondeaunpesode75kg?

a) y x2 2170 1 6 655 , ( ); x y2 265 0 4 1705 , ( ). b) 69 kg; 186 cm.


Tipo I. Correlación a partir de nubes de puntos

1.Elnúmerodeespañolesocupados(enmillones)enlaagri-cultura,paralosañosqueseindican,era:

Año 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994

Ocupados 2,1 2,04 1,96 1,74 1,69 1,49 1,25 1,16

a) ¿Podríaexplicarsesuevoluciónmedianteunarectade regresión?b) ¿Qué limitaciones tendrían las estimaciones hechas poresarecta?

a) Sí, pues la nube de puntos se ajusta bien a una recta.

Fig. 12.2.

b) Esta recta de regresión no sería válida para hacer estimacio-nes alejadas de los años considerados. Por ejemplo, para el año 2011 obtendríamos 20,0341 millones de ocupados en la agricultura; cifra que carece de sentido.

(La recta de regresión es Y 5 20,071369 (X 2 1980) 1 2,17833. El coeficiente de correlación lineal vale r 5 20,986392.)

2.Eldepartamentodecontroldecalidaddeunaempresadeinstalacióndecomponenteselectrónicosdeseadeterminarlarelaciónentrelassemanasdeexperienciadesustraba-jadores(X)yelnúmerodecomponentesrechazadosaesostrabajadores(Y)lasemanaanterior.

Trabajador examinado A B C D E F G H I J

Semanas deexperiencia (X)

7 8 10 1 4 5 15 18 4 8

Número derechazos (Y)

22 35 15 42 26 30 16 20 31 23

a) Representaeldiagramadedispersiónasociadoaesos datos.¿Sugierelagráficaalgunaasociaciónlineal?b) ¿Cómocalificaríaslacorrelación?

y

x80 82 84 86 88 90

123

92 94

y 5 20,0714x 1 7,8879

r2 5 0,973

y

x80 82 84 86 88 90

123

92 94

y 5 20,0714x 1 7,8879

r2 5 0,973

Sol_1CCSS_11a14.indd 86 12/5/08 15:36:27

87DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 12

a)

Fig. 12.3.

Podrá ajustarse la recta trazada.b) La correlación parece fuerte e inversa.

3. Dosconjuntosdedatosbidimensionalestienencomocoefi-cientesdecorrelaciónr 5 20,83,r 5 0,51.a)Representa gráficamente dos conjuntos de puntos cuyas correlaciones reflejen aproximadamente las dadas.b) Razonacuáldelosdosconjuntosestarámásconcentrado respectoasuscorrespondientesrectasderegresión.

a) Por ejemplo:

Fig. 12.4.

b) La concentración será mayor cuando la correlación sea más fuerte, y esto sucede cuando r 5 20,83.

4. Asocialasrectasderegresión y 5 2x 116,y 5 2x 2 12,y 5 0,5x 1 5 alasnubesdepuntossiguientes:

Fig. 12.5.

y 5 2x 116 (c); y 5 2x 2 12 →(b); y 5 0,5x 1 5 →(a)

5.Asigna los coeficientes de correlación lineal r 5 0,4,r 5 20,85yr 5 0,7,alasnubesdepuntosdelproblemaan-terior.

a) 0,4; b) 0,7; c) 20,85.

4 8 12

51015202530303540

16Experiencia

Nº d

e re

chaz

os

204 8 12

51015202530303540

16Experiencia

Nº d

e re

chaz

os

20

x

yr = 20,83

x

y r = 0,51

x

yr = 20,83

x

y r = 0,51

8 16

48

1216

4 12

y

x

(a)

8 16

48

1216

4 12

y

x

(b)

8 16

48

1216

4 12

y

x

(c)

8 16

48

1216

4 12

y

x

(a)

8 16

48

1216

4 12

y

x

(b)

8 16

48

1216

4 12

y

x

(c)

6. Enelaño1995,larentapercápitaporhabitanteylaes-peranzadevidaparalamujer,enseispaíses,sedaenlasiguientetabla:

Renta (miles de $) 11,7 0,6 2,4 1,7 3,1 10Esperanza de vida 75 54 70 55 70 72

a)Representalanubedepuntosasociada.b)¿Qué tipo de correlación observas? ¿Piensas que es

lineal?(Tedamosotrospuntosparaquecontrastestuopinión:(1,5,72),(15,7,79),(0,9,61),(8,5,75).)

a)

Fig. 12.6.

b) Con los puntos dados inicialmente podría suponerse que la correlación es lineal; de hecho, r 5 0,7547. No obs-tante, la correlación adecuada es exponencial (o loga-rítmica) aunque con los nuevos datos no termine de verse claro. Piénsese que para países con esperanza de vida muy baja, un mínimo incremento en la renta produce notables aumentos en la esperanza de vida, mientras que para países con vida media muy alta es muy difícil aumen-tarla.

La relación renta2esperanza de vida se ajustaría a una curva como la siguiente.

Fig. 12.7.

7. Sehantomadoochomedidasdelatemperatura(X) deunabateríaydesuvoltaje(Y),y seobtuvieron lossiguientesdatos:

X: temperatura 10,0 10,0 23,1 23,5 34,0 34,5 45,0 45,6Y: voltaje 430 425 450 460 470 480 495 510

a) Sinefectuarcálculos,razonacuáldelassiguientesrec-taseslarectaderegresióndeYsobreXparalosdatosanteriores:

y 5 350 2 2,1x y 5 460 2 2,1x y 5 406 1 2,1x b)Para25grados,¿quévoltajeseríarazonablesuponer?

a) Puede observarse que al aumentar la temperatura también lo hace el voltaje; por tanto, la correlación es positiva. Como el signo de la correlación es el mismo que el de la pen-diente de la recta de regresión, la única recta posible es y 5 406 1 2,1x.

b) Para esa ecuación, si x 5 25 se tiene y 5 406 1 2,1 ? 25 5 5 458,5.

4 8

50607080

2 6 10

Espe

ranz

a de

vid

a

Renta4 8

50607080

2 6 10

Espe

ranz

a de

vid

a

Renta

4 8

50607080

2 6 10

Espe

ranz

a de

vid

a

Renta4 8

50607080

2 6 10

Espe

ranz

a de

vid

a

Renta

Sol_1CCSS_11a14.indd 87 12/5/08 15:36:35


Tipo II. Cálculo de la correlación y regresión

8. ¿Quéseentiendeporcorrelaciónentrevariables?¿Quéesel coeficiente de correlación lineal? ¿Qué valores puedetomaresecoeficiente?Sielcoeficientedecorrelaciónescero,¿cómosonlasvariables?

Ver parte teórica.

9. Paralosdatosdelproblema2,hallaconayudadelacalcu-ladora:a)Lasmediasydesviacionestípicasmarginales.b)Lacovarianza.c)Elcoeficientedecorrelaciónlineal.d)LarectaderegresióndeYsobreX.e)El número de rechazos que hay que esperar para una personacon20semanasdeexperiencia.

Sumas:

xi∑ 5 80; y

i∑ 5 260; xi2∑ 5 884; y

i2∑ 5 7 420;

x yi i∑ 5 1 788

a) x 5 8; sx 5 4,93963; y 5 26; sy 5 8,12403b) sxy 5 178,8 2 8 ? 26 5 229,2c) r 5 229,2 /(4,93963 ? 8,12403) 5 20,72763d) y 5 21,19672x 1 35,5737e) 11,6, que aproximamos a 12.

10.a) CalculalarectaderegresióndeY sobreX enladistribu- ciónsiguienterealizandotodosloscálculosintermedios.

X 10 7 5 3 0Y 2 4 6 8 10

b) ¿Cuáleselvalorquecorresponderíasegúndicharecta aX 5 7?

Formamos la tabla:

X Y X2 Y2 X?Y

10 2 100 4 20

7 4 49 16 28

5 6 25 36 30

3 8 9 64 24

0 10 0 100 0

SXi 5 25 SYi 5 30 SXi2 5 183 SYi

2 5 220 SXiYi 5 102

Se obtiene.

a) x 55; sx2 2183

55 11 65 52 , ; y 56; s

xy5 5

1025

5 6 9 62 ? 2 ,

La ecuación de la recta de regresión es

y y

s

sx xxy

x

2 252( ) ⇒ y 5 20,8276x 110,138

b) Si X 5 7 ⇒ Y 5 4,3448.

11.Elnúmerodebacteriasporunidaddevolumen,presentesenuncultivodespuésdeunciertonúmerodehoras,vieneexpresadoenlasiguientetabla:

X: Nº de horas 0 1 2 3 4 5Y: Nº de bacterias 12 19 23 34 56 62

Calcula:a)Las medias y desviaciones típicas de las variables, númerodehorasynúmerodebacterias.b) Lacovarianzadelavariablebidimensional.c) Elcoeficientedecorrelacióneinterpretación.d) LarectaderegresióndeYsobreX.

Sumas:

xi∑ 5 15; y

i∑ 5 206; xi2∑ 5 55; y

i2∑ 5 9 170;

x yi i∑ 5 701

a) x 5 2,5; sx 5 1,70782; y 5 34,3333; sy 5 18,6964b) sxy 5 31c) r 5 0,97086d) y 5 10,6285x 1 7,7619

12.Seestáexperimentadolaresistenciaalaroturadeunade-terminadfibratextil.Paraello,sehamedidoeldiámetrodelafibrayelpesoquesoportahastalarotura,obtenién-doselossiguientesdatos:

Diámetro en mm (X) 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2Peso a la rotura en kg (Y) 12,5 18 25 32 41 52

a)Representaeldiagramadedispersiónasociadoaesos datos.¿Sugierelagráficaalgunaasociaciónlineal?b)¿Cómocalificaríaslacorrelación?

a)

Fig. 12.8.

Claramente se adivina una correlación linealb) Positiva y muy fuerte.

13.Conlosdatosdelproblemaanterior,halla:a)LarectaderegresióndeYsobreXydeterminalaresis-

tenciaalaroturadeunafibrade2,5mmdediámetro.b) LarectaderegresióndeXsobreYydeterminaeldiáme-

tromínimodeunafibraparaquesoportemásde60kg.Utilizando la calculadora:a) Y 5 39,0714 ? X 2 28,5238. Para X 5 2,5 mm, Y 5 69,1547 kgb) X 5 0,02522 ? Y 1 0,74112 Para Y 5 60 kg, X 5 2,25 mm

20,5 1 1,5

510152025303035404550

Diámetro (mm)

Resi

sten

cia

(kg)

20,5 1 1,5

510152025303035404550

Diámetro (mm)

Resi

sten

cia

(kg)

Sol_1CCSS_11a14.indd 88 12/5/08 15:36:57


14.Sehamedidolatemperatura(enºC)ylapresiónatmosfé-rica(enmm)enunaciudad,alamismahoradesietedíasseguidos.Losdatosfueron:

Temperatura 15 16 17 20 18 16 12

Presión 800 810 800 820 810 780 750

a)Representaestosvaloresenformadenubedepuntos.b)¿De la representación anterior se puede deducir el tipodedependenciaquehayentrelatemperaturayla presión?c)Calculaelcoeficientedecorrelación.d) Halla la recta de regresión de presión sobre temperatura.

a)

Fig. 12.9.

b) Directa.c) r 5 0,868655d) Presión 5 661,45 1 8,244 ? Temperatura. Observa: En vez de denominar a las variables correlacionadas

por las letras X e Y (o sus minúsculas), para evitar confusio-nes escribimos el nombre completo o una abreviatura lógica: esto es muy frecuente en los manuales de Estadística para Ciencias Sociales.

También es usual escribir la recta en la forma Y A BX5 1 , pues así aparece, en las calculadoras y en los programas por ordenador.

15.Latemperaturamediaanual,enºC,devariasciudades,yelgastomedioanualencalefacciónporhabitante(eneuros)fue:

Temperatura 10 12 15 16 18 22

Presión 250 200 140 100 80 20

a) Representa lanubedepuntosasociada.¿Quécorrela- ciónobservas?¿Esfuerte?b) Hallaelcoeficientedecorrelaciónylarectaderegre- sióndelgastosobrelatemperatura.c) ¿Quégastocabeesperarenciudadescontemperatura mediade8,17y26ºC?¿Teparecelógicoelresultado?

a)

Fig. 12.10.

14 18

750

775

800

825

12 16 20 T

P

14 18

750

775

800

825

12 16 20 T

P

8 1 6

50

100

150

200

4 12 20 T

G250

228 1 6

50

100

150

200

4 12 20 T

G250

22

Es inversa y muy fuerte.b) r 5 20,98792 G 5 430,655 2 19,2896Tb) G(8) 5 276,34 €; G(17) 5 102,71 €; G(26) 5 270,89 €. Los dos primeros resultados son lógicos. El tercer valor es

un disparate: por encima de una determinada temperatura el gasto en calefacción suele ser nulo, pero nunca negativo.

16.Latablasiguientemuestralasnotasobtenidaspor8alum-nos en un examen, las horas de estudio dedicadas a supreparación y las horas que vieron la televisión los díaspreviosalexamen.

Nota 5 6 7 3 5 8 4 9Horas de estudio 7 10 9 4 8 10 5 14Horas de TV 7 6 2 11 9 3 9 5

a) Representagráficamentelosdiagramascorrespondien- tesanota-estudioynota-TV.b) ¿Se observa correlación entre las variables estudia- das? ¿Dequé tipo? ¿Enqué caso estimasqueesmás fuerte?

a)

Fig. 12.11.

b) Sí. Directa; inversa. Parece más fuerte en la directa.

17. Conlosdatosdelproblemaanterior,hallaelcoeficientedecorrelacióndenota-estudioynota-TV.¿Quépuedededu-cirseconmásprecisiónconociendolanotaqueobtuvounapersonaenelexamen:eltiempoquededicóalestudiooelquededicóaverlatelevisión?

r(nota2estudio) 5 0,943382.r(nota2TV) 5 20,846283.El tiempo que dedicó al estudio.

18.Conlosdatosdelproblema16,hallalasrectasderegresióncorrespondientesyestimaparaunalumnoquesacóun2 enelexamen:a)Lashorasqueestudió.b)LashorasqueviolaTV.

Estudio 5 20,246753 1 1,46753 ? Nota.TV 5 14,1299 2 1,2987 ? Nota.2,7 horas; 11,5 horas.

19. Laaltura(encm),elpesoyelnúmerodezapatoqueusanochoalumnasdeprimerodebachilleratosedanenlasi-guientetabla:

6 1 2

3

6

9

12

3 9

Nota

Hor

as d

e es

tudi

o

6 1 2

3

6

9

12

3 9

Nota

Hor

as d

e TV

6 1 2

3

6

9

12

3 9

Nota

Hor

as d

e es

tudi

o

6 1 2

3

6

9

12

3 9

Nota

Hor

as d

e TV

Sol_1CCSS_11a14.indd 89 12/5/08 15:37:04


Altura 164 158 162 166 168 172 174 170Peso 52 55 53 50 51 56 52 53

Zapato 37 37 36 38 39 40 41 40

a)Representa lasnubesdepuntosasociadasa lospares devariablesaltura/pesoyaltura/zapato.¿Quécorrela- ciónobservas?b)Hallaelcoeficientedecorrelaciónencadaunodelos casos.

a)

Fig. 12.12.

En el primer caso no se observa correlación. En el segundo, la correlación es directa y fuerte.b) Altura2peso: r 5 20,0877557. Altura2zapato: r 5 0,920761.Nota: Para chicas jóvenes, en contra de lo que muchos suponen, no existe correlación clara entre la altura y el peso. En diversos muestreos, con alumnas entre 16 y 20 años, hemos obtenido valores de r muy próximos a cero, tanto positivos como nega-tivos.

20.Losgastosdeinversión(X),enmilesdeeuros,enlamoderni-zacióndeequiposinformáticosyelporcentajedeincrementodebeneficios(Y) dediezempresasdesimilarescaracterísti-cas,fueron:

Inversión (€) 3 3,5 8 11 2,5 8 6,5 5 15 7,5Incremento de beneficios(%)

3 4 10 8 6 9 7 5 12 7

Halla la rectade regresióndel incrementodebeneficiossobrelainversión.

Sean Y 5 incremento de beneficio; X 5 inversión.Se obtiene: Y 5 2,74444 1 0,00062222 ? X

Tipo III. Estimación a partir de la recta de regresión. Aplicaciones

21.Laaltura,encm,de8padresydelmayordesushijosvaro-nes,son:

Padre 170 173 178 167 171 169 184 175Hijo 172 177 175 170 178 169 180 187

a)Calculalarectaderegresiónquepermitaestimarlaal-turadeloshijosdependiendodeladelpadre;yladelpadreconociendoladelhijo.

160 170

50

52

54

56

155 165 175Altura

Peso

160 170

36

38

40

42

155 165 175Altura

Zapa

to

160 170

50

52

54

56

155 165 175Altura

Peso

160 170

36

38

40

42

155 165 175Altura

Zapa

to

b) ¿Quéalturacabríaesperarparaunhijosisupadremide174?¿Yparaunpadre,sisuhijomide190cm?

a) Hijo 5 68,1853 1 0,621859 ? Padre. Padre 5 77,4406 1 0,545082 ? Hijo.b) 176,4 para el hijo; 181 para el padre.

22.Losañosde7árbolesyeldiámetrodesutronco,encm,sedanenlasiguientetabla:

Años 2 4 5 8 10 14 20Diámetro 10 15 17 20 23 25 27

a) Calcula, utilizando la recta de regresión, el diámetroquesepuedepredecirparaárbolesde10y20años.

b) Comparaelresultadoanteriorconlosvaloresobserva-dosenlatabla.Razonaelporquédelasdiferencias.

a) X 5 años; Y 5 diámetro. x 59; sx 5 5,83; y 519 57, ; sy 5 5,55; r 5 0,93563 y 5 11,55 1 0,89 ? x.b) Y(10) 5 20,45; Y(20) 5 29,35. Las diferencias son debidas a que la recta de regresión da

una media del valor esperado.

23.Durante su primer año de vida han pesado aMarta cadames.Enlatablasiguientesedansuspesos:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12y 3,2 3,7 4,2 5,3 5,7 6,5 6,8 7,2 7,9 7,7 8 8,5

Enestatabla,xrepresentalaedadenmeseseyelpesoenkilogramos.a) Calculalamediayladesviacióntípicadelospesos.b) Determina la ecuación de la recta de regresión de y

sobre x, explicando detalladamente los cálculos quehacesylasfórmulasqueutilizas.

Utilizando calculadora se obtiene.a) y 56 225, , s

y51 7181,

b) y 5 0,48706x 1 3,05909 Otros resultados: r 5 0,97861; x 56 5, ; s

x53 45205,

24. Losmejoressaltosanuales(enmetros),deJonathanEdwards,plusmarquistamundialdetriplesaltoen1995,fueron:

Año 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Salto 16,05 16,35 16,74 17,28 16,51 16,43 17,34 17,44 17,44 18,29

a) Calculalacorrelaciónaños-longituddesaltos. b)¿Puedeemplearselarectaderegresiónparaestimarlo

queEdwardssaltóen1980?;¿yenelaño2002?

Aconsejamos hacer el cambio X´ 5 2 1 986. Así, los datos anua-les son 0, 1, 2, …, 9.a) r 5 0,843038.b) No. En 1980 podría ser muy joven para saltar lo esperado. En el año 2002 puede ser viejo para seguir saltando. La recta de regresión es Salto 5 16,13 1 0,19 ? Año (Y 5 16,13 1 0,19 ? X´), que para los dos años indicados da- ría 14,99 y 19,17 m, respectivamente. Observa: En junio de 2006 el récord de Edwards no había sido batido.

Sol_1CCSS_11a14.indd 90 12/5/08 15:37:14


25.Utilizando la recta de regresión de x sobre y correspon-dientealadistribuciónsiguiente:

x 5 altura sobre el nivel del mar 0 184 231 481 911y 5 temperatura media en ºC 20 18 17 12 10

Calculalaaltituddeunaciudadenlaquelatemperaturamediaesde15º.

Hay que calcular la recta de regresión de x sobre y:

x xs

sy yxy

y

2 252( ).

Con la calculadora se obtiene: x 5 1 595,7 2 80,2yPara y 5 15º, x 5 392,7 metros.(Otros parámetros: x 5 361,4; y 5 15,4; sx 5 314,8;sy 5 3,77)

26.Paraonceciudadesinglesassehamedidosualtitud(A,enmetros)y laprecipitacióntotal( ,enmm)paraunaño.Losdatossonlossiguientes:

Altitud 12 99 10 48 2 39 23 162 45 20 40Precipitación 658 1259 809 839 786 853 1150 1307 786 894 774

a) Representalosparesdedatos.¿seobservacorrelación linealentreellos?b) Hallaelcoeficientedecorrelaciónlinealycoméntalo.c) Hallayrepresentalarectaderegresióndelaprecipitación

sobre laaltitud.¿Haygarantíasdequeesarectapuedautilizarseparaestimarunavariableapartirdelaotra?

a)

40 80

600700800900

20 60 100

Prec

ipit

ació

n (m

m)

Altitud (m)

1000110012001300

110120140160

Fig. 12.13.

Hay correlación lineal directa.b) r 5 0,77362. Su valor es alto, por tanto podemos estimar

que, en general, a mayor altitud corresponderá mayor preci-pitación.

c) y 5 3,57x 1 757,24. El coeficiente de determinación vale r 2 5 0,598. Por tanto,

la altitud explica casi el 60 % de la variación de las precipi-taciones.

27.Sequiereconstruirunaescuelaalaqueacudanlosniñosyniñasde6pequeñosnúcleosdepoblacióndeunacomarca.Laposiciónsobreelplanoyelnúmerodeniñosdecadapueblosedanenlatabla:

Pueblo A B C D E FNiños 30 15 10 35 8 5

Posición (3, 4) (2, 5) (5, 4) (2, 2) (6, 6) (9, 4)

a) Determinaelpueblomásadecuadoparaconstruirlaes-cuela,sintenerencuentaelnúmerodeniños.

b) Hazlomismoteniendoencuentasunúmero.

a) Las coordenadas del centro medio son x 5 4,5, y 5 4,17. El pueblo más cercano a ese punto es C.b) Las coordenadas del centro medio ponderado son:

xp 5 3,23, y

p 5 3,62.

El pueblo más cercano a ese punto es A. (Quizá sea esta la mejor solución.) Véase el gráfico.

Fig. 12.14.


1. ¿Quétipodecorrelaciónexisteentrelassiguientesparesdevariables?

a) Precipitaciónmensual/ventadeparaguas. b) Númerodehabitantespormédico/mortalidad infantil

enunpaís. c)Númerodehabitantespormédico/consumodegasolina. d)Edad/reflejos.

a) Directa; b) Inversa; c) Inversa (es espuria, pues, aunque a mayor número de perso-

nas en un país por cada médico el consumo de gasolina es menor, lo primero no es causa de lo segundo; la causa está en que el país es más pobre y, por tanto, hay menos médi-cos, menos coches, menos escuelas, etc.);

d) Inversa.

2. Consideralossiguientesdiagramasdepuntos.

Fig. 12.15.

4 8

2

4

6

8

2 6

AB

C

D

E

F

Pp

P

4 8

2

4

6

8

2 6

AB

C

D

E

F

Pp

P

4 8

2468

2 6

(a)

4 8

2468

2 6

(b)

4 8

2468

2 6

(c)

4 8

2468

2 6

(d)

4 8

2468

2 6

(a)

4 8

2468

2 6

(b)

4 8

2468

2 6

(c)

4 8

2468

2 6

(d)

Sol_1CCSS_11a14.indd 91 12/5/08 15:37:26

P


¿Encuáldeelloslacorrelaciónlinealesmásfuerte?

En a), aunque podría dudarse entre a) y c)

3. Indica alguna situación real que se ajuste, aproximada-mente,acadaunadelasnubesdadas.

Por ejemplo:a) Velocidad de un coche y distancia de frenada.b) La descrita en la cuestión anterior, apartado a).c) La descrita en la cuestión anterior, apartado b).d) Edad y simpatía.

4.¿Quécoeficientedecorrelaciónasignaríasacadaunadelasnubesdepuntosdelacuestión2?

(a) r 5 20,8 (b) r 5 20,2 (c) r 5 0,7 (d) r 5 0,93 a) → c); b) → d); c) → b); d) → a)

5.Asocia las siguientes rectas de regresión a las nubes depuntosdelacuestión2:

a) y 5 20,5x 1 4 b) y 5 x 2 2 c) y 5 2x 1 1 d) y 5 2x 1 5

a) → d);b) → b); c) → a); d) → c).

6.Representalanubedepuntosasociadaalsiguienteconjun-todedatosbidimensionales:

X 1 2 3 4 5Y 2,1 2,5 3,1 4,2 4,5

Fig. 12.16.

7.Con los datos anteriores, y sin efectuar cálculos, razonacuáldelossiguientesvaloresessucoeficientedecorrela-ción:0,3,20,9,20,1,0,98.

La correlación es directa y fuerte: la única posibilidad es 0,98.

8. Paralosmismosdatos,sinefectuarcálculos,¿cuáldelassiguientesrectasesladeregresióndeYsobreX?:

y 5 2,1 1 4,5x; y 5 1,33 2 0,37x; y 5 1,33 1 0,65x; y 5 4 1 0,65x.

La recta de regresión tiene pendiente positiva y corta al eje OY entre 1 y 2; la única posibilidad es y 5 1,33 1 0,65x.

9.Larectaderegresiónasociadaaunconjuntodedatosesy 5 1,33 1 0,65x.Paraelvalorx 5 3,5,¿quéprediccióndelavariableYesrazonableefectuar?

y(3,5) 5 1,33 1 0,65 ? 3,5 5 3,605.

10.Lasestimacioneshechasapartirdeunarectaderegresiónsonmásfiablescuandosuecuaciónsehaobtenidoapartirde:a) 2 paresdedatos.b)20paresdedatos.c)200paresdedatos.d)Esindependientedelosdatosconsiderados.

Toda estimación es más fiable cuando aumenta el tamaño de la muestra, siempre y cuando los elementos se obtengan por algún procedimiento aleatorio.

x2 4

1234

1 3 5

y

x2 4

1234

1 3 5

y

Sol_1CCSS_11a14.indd 92 12/5/08 15:37:29

93LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 13

jACTIVIDADES

1. Enellanzamientodetresmonedas,calculalaprobabilidaddelossucesos:

a) Obtenertrescaras. b) Sacardoscaras,almenos. c) Sacardoscarasodoscruces. d) Sacardoscarassisehaobtenidounacruz.

El espacio muestral es de 8 sucesos elementales: E 5 {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}, entonces aplicando Laplace:a) P(CCC) 5 1/8 b) P(CCC, CCX, CXC, XCC) 5 4/8 c) P(CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC) 5 6/8 d) P((CCX, CXC, XCC)/”tener una X”) 5 3/7 pues los casos posibles son 7.

2.El24%delosalumnosdeuncentrodeenseñanzasmediassonextranjeros.Deellos,el40%estánbecados,asícomoun27%de losnacionales.Si seeligeunalumnoalazar¿quéprobabilidadhaydequeelalumnoestébecado?

Sea B 5 «estar becado», E 5 «ser extranjero» y N 5 «ser nacio-nal», aplicamos la probabilidad total: P(B) 5 0,24·0,4010,76·0,27 5 0,3012.

3. Encuentra la distribución de probabilidad de la variablealeatoriaX quemideladiferenciaentrelaspuntuacionesobtenidasallanzardosdados.

La diferencia de puntuaciones queda medida por la variable X: 0, 1, 2, 3, 4, 5 que asignando probabilidades a cada valor se tiene:

X 0 1 2 3 4 5P(X) 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36

4.Enunjuegodeapuesta,selanzandosdados,obteniéndoseeldobledeloapostadosi lasumadepuntoses7yper-diéndoselamitaddeaquéllasilasumaesdistintade7.¿Apostaríasenestejuego?

Sea X la cantidad apostada. Como P(«suma 5 7») 5 6/36, la es-peranza del juego es:E(X) 5 2X· 6/36 1 (2X/2)·30/36 5 2X/12, que al ser negativa indica que es desfavorable al apostante.

5. ParaunavariableX 5 B(10,0,2)calculalasprobabilidadessiguientes:

a) P(X 5 8); b)P(X 9); c)P(3 X 6).

Mirando en la tabla obtenemos:a)P(X 5 8) 5 0,0001b) P(X , 9) 5 1 2 P(X 5 9) 2 P(X 510) 5 5 1 2 0,0000 2 0,0000 5 1 c) P(3 , X # 6) 5 P(X 5 4) 1 P(X 5 5) 1 P(X 5 6) 5 5 0,0881 1 0,0264 1 0,0055 5 0,12


Tipo I. Espacio muestral. Probabilidad

1.Encuentralosespaciosmuestralesdelossiguientesexpe-rimentos:

a)Lanzartresmonedas. b)Mayorpuntuaciónallanzardosdados.

a) El espacio muestral es de 8 sucesos elementales: E 5 {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}. b) En este caso, los sucesos elementales son seis: E 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Describe y enumera los sucesos elementales correspon-dientesalaexperiencia:

a)Diferencia entre las puntuaciones de una ficha de dominó.

b)Extraerdosbolas, sin reemplazamiento,deunabolsa quecontiene3rojas,2negrasyunablanca.

a) Sea X la variable que cuenta la diferencia de puntuaciones, X puede valer: X50 para los sucesos elementales {020. 121, 222, 323, 424, 525, 626} X51 para {120, 221, 322, 423, 524, 625} X52 para {220, 321, 422, 523, 624} X53 para {320, 421, 522, 623} X54 para {420, 521, 622} X55 para {520, 621} X56 para {620}b) El espacio muestral es: E5{RR, RN, RB, NR, NN, NB, BR, BN}, designando por B, N y R, sacar bola blanca, negra y roja, respectivamente,

3.Alextraerunacartadeunabarajade40cartascalculalaprobabilidaddequesea:

a)Unrey. b)Elreydecopas. c)Noseaunafigura.

a) P(Rey)54/40 b) P(Rey de copas)5 1/40 c) P(No figura) 5 28/40 (hay 12 figuras: 4 sotas, 4 caballos y 4 reyes)

4.Undadododecaédrico (de12 caras) tiene carasblancas,negrasyrojas.Silaprobabilidaddesacarcarablancaesde2/3ydenegra1/6,¿cuántascarashaydecadacolor?

P(blanca) 5 23

812

5 , P(negra) 5 16

212

5 ,

P(roja) 5 1 2 [P(blanca) 1 P(negra)] 5 16

212

5 . Luego, hay 8 ca-

ras blancas, 2 negras y 2 rojas.

5.Siseconsideranfamiliascontreshijos,¿cuáleslaprobabi-lidaddequeunaelegidaalazartenga,almenos,unaniña?

Sol_1CCSS_11a14.indd 93 12/5/08 15:37:35

94 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL13

P(al menos una niña) 5 12 P(todos varones) 5 1 2 1/8 5 7/8, ya que el espacio muestral tiene 8 sucesos elementales: {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}, siendo H 5 hombre y M 5 mujer.

6.Calculalaprobabilidaddequeallanzarundadodosveces: a)saquesalmenosunas. b)saquesdosases.

El espacio muestral consta de 36 sucesos elementales (6 3 6)a) P(al menos un as) 5 12 P(ningún as)5 1 2 25/36 5 11/36b) P(2 ases) 5 1/36Nota: Conviene confeccionar el espacio muestral

7.CalculalaprobabilidadP(A <B),sabiendoqueP(A) 5 0,3,P(B) 5 0,5yP(A/B) 5 0,2.

Como P(A/B) 5 P A B

P BP A B

( )( )

, ( ) , , ,>

>5 5 50 2 0 2 0 5 0 1⇒ ? ,

entonces P(A < B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A > B) 5 0,310,520,1 5 0,7

8.La probabilidades de los sucesos A 5 {llueve hoy} yB5 {lloverámañana}son,P(A) 5 0,3yP(B) 5 0,5,ademáslaP(A > B) 5 0,2.¿Cuálserálaprobabilidad?

a)Dequelluevaalmenosunodelosdosdías. b)Dequenolluevaninguno. c)Dequelluevamañanasilohahechohoy.

a) P(A < B) 5 0,310,5 2 0,2 5 0,6b) P[(A < B)]5 12 p(A < B) 5 1 2 0,6 5 0,4

c) P(B/A) 5 p A B

p A( )

( ),,

>5 5

0 20 3

23

9. EnunIES,losalumnosseclasificansegúnsusexoyprácti-cadelanatación,segúnmuestralasiguientetabla:

Nadador No nadador TOTALVarón 189 301 490Mujer 165 335 500TOTAL 354 636 990

A la vistadeestosdatos, calcula laprobabilidaddequeelegidounalumnoalazar:

a)Seanonadador. b)Seamujerynonadadora. c)Seanadadorasabiendoqueesmujer. d)Seavarónsielalumnoelegidonopracticanatación.

Aplicamos, en todos los casos, la regla de Laplace:a) P(«no nadador») 5 636/990b) P(«mujer y no nadadora») 5 335/990

c) P(«nadadora»/«ser mujer») 5 ser mujer nadadora

ser mujer 5 165/500

d) P(«varón”/«no nadador») 5 varón no nadador

no nadador 5 301/636

10.Dosjóvenesaficionadosalosjuegosdeazarseencuentranrealizandounsolitarioconunabarajaespañolade40car-tas.Extraenunacartadedichabarajaydeseansabercuáles la probabilidad deobtener rey condicionado al sucesoobtener figura.Caracterizaambossucesos.

En una baraja de 40 cartas hay 12 figuras de las que 4 son reyes, así que P(Rey/figura) 5 4/12 5 1/3

11. Selanzandosdados.Halla: a) La probabilidad de que una de las puntuaciones sea

parylaotraimpar. b) Laprobabilidad(condicional)dequeunadelaspuntua-

cionesseapar,sabiendoquelasumadelasdoses7.

a) P(par e impar) 5 P(1º dado par y 2º impar) 1 P(1º dado

impar y 2º par) 5 9/36 1 9/36 5 18/36 5 816

12

5

b) P(par/suma 7) 5 1, ya que para sumar 7 un dado debe ser de puntuación par

12.Deunaurnaquecontiene10bolasblancasy8negrassehacen dos extracciones sin reemplazamiento. Calcula laprobabilidaddesacar:

a)Dosbolasblancas. b)Sólounanegra. c)Dedistintocolor. Hallalasmismasprobabilidadessilasextraccionessehi-

cieranconreemplazamiento.

Sin reemplazamiento:

a) P(B >B) 5 1018

917

b) P(sólo 1 negra) 5 P(N >B) 1 P(B >N)5

5

1018

817

818

1017

21018

817

1 5

c) P(distinto color) 5 P(una negra y otra blanca)5 P(sólo 1 negra)Con reemplazamiento:

a) P(B >B) 5 1018

1018

b) P(sólo 1 negra) 5 P(N >B) 1 P(B >N)5

5 1018

818

818

1018

21018

818

1 5

c) P(distinto color) 5 P(una negra y otra blanca) 5 P(sólo 1 negra)

13.Un individuo llevados llaverosenelbolsillo:elprimerocontresllaves,unadelascualesabresucasa;elsegundoconcuatrollaves,delasquetambiénunaabrelapuertadecasa.Sieligeunllaveroyunallavedelmismo,alazar,¿quéprobabilidadtienedequeabralapuertadesucasa?

Aplicamos la probabilidad total: P(«abrir la puerta») 5

5 12

13

12

14

724

1 5

14.Enuncentroescolar,entrelosalumnos,un80%poseemó-vil, un 45% un mp3 y un 30% ambos. Seleccionado unalumnoalazar,calculalaprobabilidaddequetenga:a)Algunodeesosaparatos.b)Mp3sabiendoquetienemóvil.c)Móvilsinotienemp3.

a) P(Móvil < Mp3) 5 0,8 1 0,45 2 0,3 5 0,95

b) P(Mp3/Móvil) 5 ( )P Mp Móvil

P Móvil( ),,

3 0 30 8

38

>5 5

c) P(Móvil/No Mp3) 5

Sol_1CCSS_11a14.indd 94 12/5/08 15:37:49


5 P Móvil NoMp

P NoMpP Móvil P Móvil NoM( )

( )( ) (> >3

35

2 p31 0 45

),2

5

0 8 0 30 55

0 50 55

1011

, ,,

,,

25 5 5

15.Una urna contiene 2 bolas negras y 2 bolas blancas. Serealizancuatroextraccionesconreemplazamiento.

Sepide:a) Obtenerelespaciomuestralcorrespondienteaesteex-

perimentoaleatorio.b) Determinarquéelementosdelespaciomuestralconsti-

tuyenelsucesoA:«Sólosaleunabolanegra»ycuáleselsucesoB:«Lasegundabolaextraídaesnegra».

c)Hallar lasprobabilidadescorrespondientesalossuce-sosAyBylascorrespondientesasuuniónyasuinter-sección.

Si n designa bola negra y b bola blanca.a) El espacio muestral es: E 5 {nnnn, nnnb, nnbn, nbnn, bnnn, nnbb, nbnb, nbbn, bnbn, bbnn, bnnb, bbbn, bbnb, bnbb, nbbb, bbbb}b) A 5{bbbn, bbnb, bnbb, nbbb}; B 5 {nnnn, nnnb, nnbn, bnnn, nnbb, bnbn, bnnb, bnbb}

c) P(A) 5 416

14

5 ; P(B) 5 816

12

5

Como A >B 5 {bnbb} ⇒ P(A >B) 5 116

Por tanto: P(A <B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A <B) 5

5 416

816

116

1116

1 2 5

Tipo II. Distribuciones de probabilidad

16.Una variable aleatoria X toma los valores i 5 1, 2,...,5conprobabilidadP(X 5 i) 5 m ? i.CalculaelvalordemylaprobabilidadP(X 3).

La suma de las probabilidades ha de ser la unidad, entonces:m 1 2m 1 3m 1 4m 1 5m 5 1 ⇒ m 5 1/15Por otro lado, P(X , 3) 5 P(X 5 1) 1 P(X 5 2) 55 1/15 1 2/15 5 3/15 5 1/5

17.Deunaurnaque contiene5bolasblancas y3negras sehacen tresextraccionessin reposición.Halla ladistribu-cióndeprobabilidaddelavariableX 5 «númerodebolasblancassacadas»,ycalculasumedia.

La variable X 5 0, 1, 2, 3, mide el número de bolas blancas extraídas.Sus probabilidades son:

P(X50) 5 38

27

16

156

5 (las tres bolas son negras)

P(X51)5 358

37

26

1556

? 5 (una blanca y dos negras)

P(X52) 5 358

47

36

3056

? 5

P(X53) 5 58

47

36

1056

5

Su media es: E(X) 5S xi pi 5

5 0156

11556

23056

31056

10556

? 1 ? 1 ? 1 ? 5

18.Construyeladistribucióndeprobabilidaddelamayorpun-tuaciónobtenidaallanzardosdados.

La variable puede tomar los valores X 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, con probabilidades:

P(X51) 5 136

, suceso elemental (1, 1)

P(X52) 5 336

, sucesos elementales: (1, 2), (2, 1), (2, 2)

P(X53) 5 536

, sucesos elementales: (1, 3), (2, 3), (3, 3),

(3, 1), (3, 2)

P(X54) 5 736

, sucesos elementales: (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4),

(4, 1), (4, 2), (4, 3)

P(X55) 5 936


(5, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)

P(X56) 5 1136


(5, 6), (6, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)

19.El número de llamadas que se reciben en una centralitatelefónica,enmediahora,sedistribuyensegúnlatabla:

X 0 1 2 3 4 5 6P(X) 0,01 0,05 0,1 0,1 0,2 0,3 0,24

Calculaelnúmeromediodellamadasysudesviacióntípica.

La media de la distribución resulta ser:m50 0 001 1 0 05 2 0 1 3 0 1 4 0 2? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1, , , , ,15 0 3 6? 1 ?, 00 24 4 29, ,5La varianza se calcula por: s 5 m 52 2 2x p

i i? 2∑ 2,28 y la des-

viación típica s 5 1,51

20.SeaXelnúmerodecasosnuevosdesida,diagnosticadosenunimportantehospital,duranteundía.LafuncióndeprobabilidadparaX es:

Casos de sida, x 0 1 2 3 4 5 6Probabilidad, p 0,1 0,1 0,1 0,3 0,2 0,1 0,1

a)Halla laprobabilidaddequeundíacualquiera,por lomenos3casosnuevosseandiagnosticados.

b)Hallalamediadecasosdiagnosticadosaldíaylades-viacióntípica.

a) P(al menos 3 casos nuevos) 5 P(x 5 3) 1 P(x 5 4) 1 1 P(x 5 5) 1 P(x 5 6) 5 0,3 1 0,2 1 0,1 1 0,1 5 0,7

b) m50 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 3 4 0 2 5 0 1 6 0 1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?, , , , , , , 5 553 10,

s 5 m 52 2 2x pi i

? 2∑ 0 0 1 1 0 1 4 0 1 9 0 3? 1 ? 1 ? 1 ? 1, , , ,

16 0 2 25 0 1 36 01 ? 1 ? 1 ?, , ,1 3 1 2 8922 , ,5 y s 5 1,7

Sol_1CCSS_11a14.indd 95 12/5/08 15:38:15


21.Silavariabledeunadistribucióndeprobabilidad,conme-diam 5 0yvarianzas2 5 3/2,alcanzasólolosvalores21,0y2,hallalaprobabilidadconquelostoma.

Si la distribución toma los valores 21, 0 y 2 con probabilidades x, y, z, respectivamente, se tiene.• Media 5 (21) ? x 1 0 ? y 1 2 ? z 5 0• Varianza 5 (21)2·x1 0·y 1 22·z 2 0 5 3/2

Igualdades que nos proporcionan x 5 112

12

12

14

? 1 2 ? 5, y 5 z 5 112

12

12

14

? 1 2 ? 5

22.Enunexamende10preguntastipotest,unalumnotieneunaprobabilidadde1/2deacertarcadaunadelaspregun-tas.Siporcadapreguntaelalumnoobtieneunpunto,pero,por cada pregunta fallada el alumno resta medio punto,¿cuáleslanotafinalesperadasicontestaalas10pregun-tas?¿Cuáltendríaqueserlaprobabilidaddeacertarparaquelanotaesperadafueseun3?

Puntuación esperada en cada pregunta: 112

12

12

14

? 1 2 ? 5 ,

luego en 10 preguntas esperará sacar 10·1/4 5 2,5

Llamemos x la probabilidad de acertar, entonces:

10 112

1 3[ ( )]? 1 2 ? 2x x 5 que nos da el valor de x5 8/15

23.Contabilizamosladiferenciadepuntuacionesobtenidasalcomparardosfichasdedominó.Hallalamediayladesvia-cióntípicadelavariableasociada.

La variable X 5 “diferencia de puntuaciones en una ficha de do-minó”, se distribuye:

X 0 1 2Probab. 7/28 5 1/4 6/28 5 3/14 5/28

X 3 4 5 6Probab. 4/28 5 1/7 3/28 2/28 5 1/14 1/28

(Para obtener esta tabla conviene confeccionar el espacio mues-tral.)

55m 014

1314

2528

317

4328

5114

6128

56? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?

22825

s 52 014

1314

4528

917

16328

25114

361

? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?228

222 5

5 7 2 4 5 3 ⇒s 5 3

24.¿Qué precio equilibrado habría que pagar por participaren una lotería en la que puedes ganar 15000€ con unaprobabilidaddel0,2o50000conprobabilidad0,05?

La esperanza matemática de ganancia es:m 5 15000 ? 0,2 1 50 000 ? 0,05 5 5 500 €, por lo que ese debe ser el precio de la apuesta.

25.Unhinchadefútbolpuedeganar100€sisuequipovenceypierde10€sifueraderrotado.¿Cuáleslagananciaespera-daporelhincha,silaprobabilidaddequesuequipovenzaesdel55%?

La ganancia esperada es: m 5 100·0,551(210)·0,45 5 55 2 4,5 5 50,5 €

Tipo III. Distribución binomial

26.Un examen consta de 10 preguntas del tipo verdadero- falso.Seapruebacon8omáspreguntasacertadas.Siserespondenalazarlascuestiones,¿quéprobabilidadhaydeaprobar?

Las X preguntas acertadas se distribuye B(10, 0,5), entonces:P (X $ 8) 5 P (X 5 8) 1 P (X 5 9) 1 P (X 5 10) 5 0 ,04391 1 0,0098 1 0,0010 5 0,0547

27.Sehanreunido1 000familiascon3hijos.¿Encuántassepodráncontabilizar2 chicas?¿Yencuántasalmenosunachica?(Tomalaprobabilidaddenacimientodeniña0,5.)

El número de niñas en familias de 3 hijos se distribuye B(3, 0,5), por tanto:P(X 5 2) 5 0,375 ⇒ 1 000 ? 0,375 5 375 familias tendrán 2 niñas P(“al menos una chica”) 5 1 2 P(X 5 0) 5 1 2 0,125 5 0,875 ⇒1 000 ? 0,875 5 875 familias tendrán al menos, una niña.

28.Un laboratorio farmacéuticohacomprobadoqueun40%delosquetomanunanalgésicosufrenefectossecundarios.De5usuarios,hallalaprobabilidaddequesufranefectossecundarios:a) Másde3. b) Almenos2.El número de usuarios con efectos secundarios, X, se distribuye B(5, 0,4), así que:a) P(X . 3) 5 P(X 5 4) 1 P(X 5 5) 5 0,0768 1 0,0102 5 0,087b) P(X $ 2) 5 12 P(X50) 2 P(X51) 5 1 2 0,0778 2 0,2592 5 5 0,663

29.Enunprocesodefabricaciónseproduceun5%depiezasdefectuosas.Siseexaminan6deellasalazar,quéproba-bilidadexistedeque:a)Hayaalosumo4defectuosas.b)Hayaunaodosdefectuosas.

El número de defectuosas, X, se distribuye B(6, 0,05)a) P(X # 4) 5 1 2 P(X 5 5) 2 P(X 5 6) 5 1 2 0,0000 2 0,0000 5 5 1 (la probabilidad exacta es 0,9999982031)b) P(X 5 1) 1 P(X 5 2) 5 0,2321 1 0,0305 5 0,2626

30.El30%delosclientesdeunbancopidenadelantodenó-minaunavezalaño.Seleccionados7clientesalazar,¿quéprobabilidad existe de que entre 4 y 6 hayan solicitadoadelantodehaberes?

Sea X el nº de clientes que piden adelanto de nómina, se dis-tribuye B(7, 0,3). Así que P(X54) 1 P(X55)1 P(X56) 5 0,09721 0,025 1 0,0036 5 5 0,1258

31.Untestderespuestamúltiplesecomponede10preguntasycadaunadeellaspresentaunaúnicarespuestacorrectadelascuatroposibles.a) Sieltestsesuperacon3omásrespuestascorrectas,¿cuál

eslaprobabilidaddesuperarlorespondiendoalazar?b)¿Cuáleslaprobabilidaddeacertarlas10preguntasres-

pondiendoalazar?

Sol_1CCSS_11a14.indd 96 12/5/08 15:38:23


La probabilidad de respuesta correcta es 1/4, luego el problema puede estudiarse como una binomial B(10, 1/4) 5 B(10, 0,25).Si X es la variable que mide el número de aciertos se tendrá:

a) P(X $ 3) 5 1 2 P(X , 3) 5 1 2 P(X 5 0) 2 P(X 5 1) 2 P(X 5 2) 5 1 2

10

00 25 0 75

10

10 25 0 750 10 1? ? 2 ? ?, , , , 99 2

2 810

20 25 0 752 ? ?, , 5

5 1 2 0,0563 2 0,1877 2 0,2816 5 0,4744

b) P(X 5 10) 5 10

100 25 0 75 0 2510 0 10? ?, , ,5 5 9,5 · 1027

32.Unafamiliasecomponedelospadresy6hijos.Suponiendoiguallaprobabilidaddenacimientodeniñooniña,calcula:a)Probabilidaddetenermásdeunaniña.b)Almenosunniño.c)Comomáximodosniños.d)Elnúmeromediodehijas.

El número de hijas se distribuye B(6, 0,5):a) P(X $ 1) 5 12 P(X50) 2 P(X51) 5 1 2 0,0156 2 0,0938 5 5 0,8906b) P(X , 6) 5 12 P(X56) 5 1 2 0,0156 5 0,9844c) P(X $ 4) 5 P(X 5 4) 1 P(X55) 1 P(X56) 5 0,2344 1 1 0,0938 1 0,0156 5 0,3438d) La media de hijas es 6·0,5 5 3

33.LaprobabilidaddequeunalumnodeMedicinafinalicelacarrera es de 0,45.Halla la probabilidad de que entre 9alumnoselegidosalazar,almenos6finalicenlacarrera.¿Conquéprobabilidadterminaránlos9?

Se trata de una binomial B(9, 0,45) y P(X $ 6) 5 0,1160 1 0,0407 1 0,0083 1 0,0008 5 0,1658P(X5 9) 5 0,0008

34.Cuatropersonasdeedadesyestadodesaludsemejanteshancontratadounapólizadevida.Lastablasdemortali-dadprevénun0,7deprobabilidaddequeesosaseguradosvivandentrode25años.Encuentralaprobabilidaddequedentrode25años:a)Vivanlos4.b)Novivaninguno.c)Elnúmeromediodesupervivientes.

X 5 nº de supervivientes es B(4, 0,7)a) P(X54) 5 0,74 5 0,2401b) P(X50) 5 0,34 5 0,0081c) La media es 4 · 0,7 5 2,8

35.Enunjuegoselanzan4monedas.Seganan6€,sisalenlas4carasiguales,3€sisalieran3igualesy0,6€sisalen2idénticas.¿Cuáldebeserelpreciodelaapuestaparaqueseaunjuegoequitativo?

La esperanza de ganancia es:

6· 116

116

3416

416

0 6616

1 1 ? 1 1 ?, 5 2,48 €

36.Untiradortieneestimadoen60elnúmerodeintentosparaconseguir20dianas.¿Quénúmerodepruebashadereali-zarparatenerunacertezadel90%deconseguiralmenosunadiana?

El número de dianas logradas, X, es B(n, 2060

13

5 )

Queremos que P(X $ 1) 5 12 P(X50) 5 10

13

23

0 90

2n n

5 ,

⇒ 23

0 1n

5 ,

Aplicando logaritmos: log log ,23

0 1n

5 ⇒n5 5

log ,log( / )

,0 12 3

5 68

→ Tendrá que realizar 6 pruebas.

Nota: también se podría hacer por tanteo: 23

0 135

5 ,

y

23

0 096

5 , . Por tanto, ha y que tomar n 5 6.

37.Enlaconsultadeunodontólogo,acudeel90%delospa-cientescitados.Sisólopuedeatenderaseispacientespordíayhacitadoa8personas¿quéprobabilidadexistedeatenderatodoslosqueacuden?

La variable que contabiliza el número de pacientes que acude a consulta es una B(8, 0,9); y atender a todos los pacientes supone que X tome, como máximo, el valor 6: esto es, X # 6.Su probabilidad es: P(X#6) 5 1 2 P(X . 6) 51 2 P(X57) 2 P(X58). Consultando la tabla de la binomial correspondiente a n 5 8, p 5 0,9, r 5 7 y r 5 8, tenemos:P(X#6)5120,382620,4305 50,1869

38.Segúnestudiosrecientes,un40%delasmujerespadecenalgúngradodealopecia(calvicie).Sisetomaunamuestrade14mujeres,¿quéprobabilidadexistedequecomomáxi-mo12presentencalvicie?

Dejemos que X represente el número de mujeres con alopecia. Esta variable se distribuye B(14, 0,4), así que:P(X#2)512P(X513)2P(X514) 5

13

14512 (0,4)13

?0,6214

14(0,4)14

512(56 1 ) · 1026 50,9999

13

14512 (0,4)13

?0,6214

14(0,4)14

512(56 1 27) · 1026 50,9999

39.SegúnunaencuestarecienterealizadaporelCentrodeIn-vestigacionesSociológicas,el90%delosespañolesdeclaraserfielasupareja.Siseescogenaleatoriamente12perso-nascasadas,averigualaprobabilidaddequealmenosnueveseanfielesasupareja.Enunconjuntode800casados,¿quénúmeromediodepersonassemantendríanfieles?

El número, X, de personas fieles se distribuye B(12, 0,9). Por tanto, P(X$29)5P(X59)1P(X510)1P(X511)1P(X512)5

9

12⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟5 (0,9)9(0,1)3

110

12⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

11

12⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟(0,9)10(0,1)2

1 (0,9)110,1112

12⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟(0,9)12

5

12?11?106

5 0,00039112?11

20,0035112?0,03110,28245

50,085810,23110,37210,282450,9712

Sol_1CCSS_11a14.indd 97 12/5/08 15:38:44

2,7


Para 800 casados se mantendrán fieles, en media: 800·0,95720 personas.

40. En un centro hospitalario, los fines de semana hay una plantilla de cinco médicos para atender las urgencias. Si sólo un 10 % de éstas exigen atención con una UVI móvil, calcula el número de UVI que deben estar disponibles si queremos que la probabilidad de que se necesite un núme-ro mayor sea sólo de 0,05.

Si llamamos X 5 nº de UVI móviles que se necesitan, X es B(5, 0,1) pues cada UVI ha de ser dirigida por un médico y queremos que P(X # n) 5 0,95 ⇔ P(X50)1 P(X51)1 P(X52) 1…1P(X5n) 5 5 0,95 ⇔ 0,5905 1 0,3280 1 0,0729 5 0,9914 . 0,95. Así que con 2 UVIs se tiene cubierto el servicio en el 99,14 % (más de 95%) de los casos.

TipoIV.Ajusteporunadistribuciónbinomial

41. Completa la siguiente tabla de distribución de frecuencias y encuentra los parámetros de la distribución binomial que mejor se ajuste a la misma:

Xi0 1 2 3

Fri0,25 0,43 222 0,05

La frecuencia relativa que falta es 0,27 (para la suma igual a 1).La media de la distribución es

550 0 25 1 0 43 2 0 27 3 0 05 1 12? 1 ? 1 ? 1 ?, , , , ,x y la binomial de mejor ajuste es 3·p 5 1,12 ⇒ p5 1,12/3 5 0,37, o sea una B(3, 0,37)

42. En una playa se han computado el número de servicios diarios prestados por el puesto de salvamento y socorrismo, obte-niéndose la siguiente distribución, tras 30 días de recuento:

Número de servicios 0 1 2 3

Número de días 16 11 2 1

Se pide:a) Evaluar la media diaria de actuaciones del puesto y, a par-

tir de ella, ajustar una binomial suponiendo que n53.b) Evalúa la diferencia entre la frecuencia teórica calcula-

da y la experimental correspondiente. ¿Te parece bueno el ajuste realizado?

a) La media de actuaciones diarias es:

x 5 50 16 1 11 2 2 3 1

300 6

? 1 ? 1 ? 1 ?, , entonces 3·p 5 0,6 ⇒

p 5 0,2 y la distribución que ajustamos es B(3, 0,2).b) Elaboramos la siguiente tabla:

X Probabilidad Fr. Teórica Fr. observada0 0,512 15,36≈ 15 161 0,384 11,52≈12 112 0,096 2,88≈3 23 0,008 0,24≈ 0 1

30 30 El ajuste es apreciablemente correcto.

43. En un taller de confección, las prendas montadas diariamen-te han de pasar cuatro controles de calidad, observándose el siguiente número de fallos en 1 000 prendas examinadas:

Fallos 0 1 2 3 4Nº de prendas 811 172 15 2 0

Ajusta una distribución binomial a estos datos y calcula las frecuencias teóricas.

La media de la distribución es:

550 811 1 172 2 15 3 2 4 0

10000 2

? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?,x y la binomial más

ajustada sería B(4, 0 24

0 05,

,5 ).

Las frecuencias teóricas se calculan:

X Probabilidad Fr. Teórica Fr. observada0 0,8145 814,5 ≈ 815 8111 0,1715 171,15 ≈ 171 1722 0,0135 13,5 ≈ 14 153 0,0005 0,5 ≈ 1 24 0,000 0 0

1001 1000

jcuesTIonesbásIcAs

1. En el experimento lanzar dos monedas ¿qué sucesos elemen-tales componen el suceso contrario a sacar dos caras?

(«Sacar 2 caras»)c 5 {CX, XC, XX}

2. Si A y B son sucesos incompatibles, ¿a qué es igual la pro-babilidad P(A ø B)?

P(A ø B) 5 P(A) 1 P(B), pues P(Ø) 5 0

3. ¿Cómo puedes calcular la probabilidad del suceso unión P(A ø B), conociendo P(Ac) 5 0,6, P(B) 5 0,3 y P(A ù B) 5 0,2? (Sugerencia: haz un diagrama de Venn.)

P(A ø B) 5 12 0,6 10,3 2 0,2 5 0,5

4. En una urna compuesta de 3 bolas blancas y 5 negras, se hacen dos extracciones sin reposición. ¿Cuál es la probabi-lidad de sacar dos bolas del mismo color?

P(BB) 1 P(NN) 5 38

27

58

47

2656

1 5

5. La variable discreta X es tal que P(X 5 0) 5 0,6 y P(X 5 a) 5

5 0,4. Si la media de la distribución es μ 5 2, ¿cuál es el valor el valor de a?

2 5 0·0,6 1 a·0,4 ⇒ a55

6. Al lanzar cinco monedas, la variable que mide el número de caras obtenidas, ¿de qué tipo es?

La variable es binomial de parámetros B(5, 0,5)

Sol_1CCSS_11a14.indd 98 14/5/08 09:35:24


7.DeunadistribuciónbinomialB(n, p)seconocequesuva-rianzaes3/2ysumedia3.Hallaelvalordep.

Se tiene que: • n·p 5 3• n·p·q 5 3/2, ⇒ p 5 q 5 1/2

8.UnavariableXsedistribuyecomounaB(6,0,1),calculalaprobabilidadP(X52).

P(X52) 5 0,0984, obtenido de la tabla de la binomial

9.UnavariableX condistribuciónbinomialB(n, p),tienequeP(X 1)50,93¿cuántovaleP(X50)?

P(X50) 5 1 2 P(X $ 1) 5 0,07

10.Enunexamende8preguntasconrespuestasdeltipover-dadero-falso, si se responde al azar, ¿qué es más fácil,acertartodasofallartodas?

Las probabilidades son iguales: P(X50) 5 P(X58).

Sol_1CCSS_11a14.indd 99 12/5/08 15:38:54

100 DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL14

jACTIVIDADES

1. La función de densidad de una variable aleatoria X es,

f xk x x

( )( )

51 , ,4 0 40

sien otro caso

⎧⎨⎩⎪

si0 x 4enotrocaso

a) Calculaelvalordek.b)Representagráficamentef(x).c)HallalaprobabilidaddequeX ∈[2,4].

a) rea5 ⇒? 2 5 54k 8k

2(4 0) 24 k

124

1

b)

1 2 3 4

0,2

0,4y 5 x/24 1 1/6

Fig. 14.1.

c) P(2 X 4# # )5

14

13

22

712

1? 5

2.Para la misma distribución de pilas del ejemplo anterior,calculalaprobabilidaddequeunapiladure:a)Entre42y71h.b)Menosde28h. c)Másde66h.

a) P(42,X,71)50,986120,000250,9859b) P(X,28)50c) P(X.66)50,1151

3.Enelejemploanterior,¿cuálseríalaalturamáximadel15%delosmuchachosdemenoraltura?

El valor de Z0 tal que P X 168

8z 0,150

2# 5 , resulta ser, aproxi-

madamente, z0521,035 (la media entre los valores 1,03 y 1,04). Así, X516828?1,0355159,72 ø 160 cm.

4.El46%de los residentesen cierta localidad sonhinchasdelequipolocaldefútbol.Elegidos60habitantesalazar,¿quépro-babilidadhaydeque35deellosseanhinchasdelclublocal?

B(60, 0,46)øN(27,6, 3,86) yP(X535)5P(34,5,X ’,35,5)50,979820,963350,0165.


Tipo I. Función de densidad

1. Hallaelvalordekparaquelafunciónf x

k si xresto

( )50 4

0

seaunafuncióndedensidad.

Ha de cumplir que el área del rectángulo sea 1, entonces 4?k 5 1 ⇒ k 5 1/4

2.El tiempodeesperaa la llegadadeltrenMetrosigueuna

distribucióndefinidaporf x

si x

resto( )5

15

0 5

0

Calculalaprobabilidaddequeeltiempodeesperasea: a)Superiora3minutos.

b) Entre2y4minutos.

a) P(X.3) 5 2? 1/5 5 2/5b) P(2,X,4) 5 (422)?1/5 5 2/5

3. Lafuncióndedensidaddeciertavariablecontinuaestáre-presentadaenlagráficaadjunta.

2 3 4

1/4

1/2

121

Fig. 14.2.

Calculalaprobabilidad P(1 X 5/2).

P(1,X,5/2) 5 1/4?(221)11/2(5/222) 5 2/451/2

4. Calculaelvalordek paraquelafunciónrepresentadaenlafiguraseadedensidad;unavezhalladoelvalordekencuen-tralaprobabilidadP(1/2,X,2).

2 3 4

K

121

Fig. 14.3.

Área del trapecio: 2 32

125

1k k5 5⇒

P(1/2,X,2)5 P(1/2,X,1) 1P(1,X,2)5

5

12

25

25

21

12

2 125

320

25

1120

? 12 1 2 ? 1( ) 5 5

5. UnavariablealeatoriaXmidelasdiferencias,envalorab-soluto,delacapacidaddememoriaenlafabricacióndelá-picesópticos(pen drives)de1Gb.Sufuncióndedensidadvienedadapor:

( ) /2 # #200 1 100 0 1 100f x

x si xen otro caso

( )50

⎧⎨⎩⎪

si0 x 1/100enotrocaso

CalculaP 2500

1200

X yexplicasusignificado.

0resto

Sol_1CCSS_11a14.indd 100 12/5/08 15:39:11

Á

101DISTRIBUCIONES CONTINUAS. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 14

P 2

5001

200# #X 5

200 125

200 112

21

2002

500

2 1 2

? 2 5

5 5120 100

21

10000 11

1? ,

6. Dadoslossiguientesparesdevalores: a) m5 s52 0 5y , ; b) m5 s52 2 2y , ; c) m52,5 y s510. Asígnalosacadaunadelasfuncionesdedensidadrepresen-

tadas:

2 3 410 2 3 410

a) b)

2 3 410

c)

Fig. 14.4.

Observando la abscisa de cada máximo de la función de densi-dad, simétrica, y su amplitud, tenemos:A la figura a) le corresponde el par µ 5 2, σ 5 2,2A b) asignamos µ 5 2,5, σ 5 10A c) será, por tanto, µ 5 2, σ 5 0,5

7. Lafunciónf(x)51

1x2si2 x e11,esdedensidaddela

variableX.RepreséntalaycalculaP(2,4 X 2,8)aproxi-mandoeláreadeltrapeciocurvilíneoqueresultaporladeunorectángulo.

1 2

0,2

0,4

0,5

0,6

0,3

0,1

y 5 x/6 1 1/3

Fig. 14.5.

P(2,4 , X , 2,8)5

1 1

2( ,4) 0,1 4 1 8 2 8 2 254, , ,

1

2 5

TipoII.Distribuciónnormal.Tipificación

8. SiendoXunavariablequesedistribuyeN(4,1,5),hallaelvalortipificadode:

a) 7; b) 5,5; c) 1,5.

a) Z5 57 41 5

22

,;

b) Z5 55 5 4

1 51

,,2

;

c) Z5 51 5 4

1 553

,,2

2 .

9. SeaZunavariablenormalestándar;hallalasprobabilidades: a)P(Z 2,22); b)P(Z 22,22); c)P(21,5 Z 3).

a) P(Z # 2,22) 5 0,9868 b) P(Z# 22,22)5 120,9868 5 0,0132 c) P(21,5 ,Z , 3) 5 0,998710,9332215 0,9319

10.Elretrasoenlallegadadeavionesdeciertoaeropuertovienemedidoporunavariabledemedia14minutos.Siaunvueloconretrasode9minutoslecorrespondeunvalortipificadode20,625,¿cuáleselvalordesudesviacióntípica?

z5s

5 s59 14

0 625 82

2 , ⇒

11. SiXesunavariablecontinuaN(28,5),halla: a) P(X 31); b) P(28 X 35,5); c) P(20 X 38).

a) P(X . 31) 5P(Z.31 28

50 6 1 0 6

22 ,5 5 5, ) ( , )P Z 120,7257 5

5 0,2743

b) P(28 , X,35,5)5P(0,Z, 35 5 28

51 5 1 5

12

,, ) ( , )

2, 25 5 5P Z

50,4332

c) P(20 , X,38)5 P(20 285

38 285

1 6 22

, ,2

2 , ,Z P Z) ( , )5 5

50,9224

12.En un país tropical la temperatura media diaria (medidaenºC)vienedescritaporunavariableTquesedistribuyeN(28º,5º).¿Cuántosdíasalañosutemperaturaestaráen-tre20ºy30º?

P(20,X,30)5P(20 285

30 285

1 6 0 42

, ,2

2 , ,Z P Z) ( , , )5 5

50,60060,6006 ? 365 días 5 219 días

13.SiXesunavariable N(m,s)ysetienequeP(X 2)50,5987yP(X 6)50,6915,hallalosvaloresdemys.

P(Z,42m

s)5 0,2546

40 66

22

m

s5 ,

P(Z,72m

s)5 0,9082

71 33

2m

s5 ,

El sistema nos proporciona la solución: µ 5 5 y σ 5 3/2

14.Enunadistribuciónnormal,hallaelporcentajedevaloresquedistandelamedia:

a)Menosde1,2desviacionestípicas. b)Entre0,5y1desviacióntípica.

a) |X2m|,1,2?s ⇒21,2,Z,1,2, luego P(1,2,Z,1,2)50,7698 ⇒ 76,98% de valoresb) , 2 , , ,0,5 | X | 0,5 Z 1s m s y P(0,5,Z,1)50,1498

Sol_1CCSS_11a14.indd 101 14/5/08 09:38:11


15.Lasventasdiariasdecintasdev deoenuncentrocomercialsedistribuyen segúnunanormalN(50,10). ¿Quéesmásprobablequesevendaenundía,másde65cintasomenosde30?

P(X.65)50,0668 y P(X,30)50,0228.Más de 65

16.LosarchivosdesonidoMP3tienenuntamaño,enMb,quepuedeconsiderarsequesedistribuyeN(4,1).De160archi-vos¿cuántostendránunvolumenentre2,5y5,5Mb?

P(2,5,X,5,5)5P2 5 4

15 5 4

11 5 1 5

, ,( , , )

2, ,

22 , ,Z P Z5 5

2 1 5 1( , )? , 2P Z5 55

0,8664

De 160, habrá entre esas capacidades 160 ? 0,8664 5 139 ar-chivos

17.UnaenvasadoradeaceitedegirasolllenabotellasvertiendolíquidosegúnunavariableX,medidaencL,N(100,s).SiP(X 109) 5 0,9641, halla s y calcula de 1000 botellascuántascontienenmásde90cL.

P Z 0,,2109 100

9641s

5 9 8 5s

5 s51,

Ahora, P(X.90)5P(Z.22) 5 P(Z,2) 5 0,9772 ⇒ 978 botellas.

18.Unafábricadecementosuministrasuproductoensacosde50kg.Lasdeficienciasdelempaquetadomecánicoprovocan,sinembargo,fluctuacionesenelcontenidodelossacos,demaneraqueestacantidadsigueenrealidadunadistribuciónnormaldemedia51kg.¿Cuáldebeserladesviacióntípicaparaquelossacosconmenosde50kgseansóloel5%deltotal?

N(m, s), se tipifica mediante el cambio ZX

5m

s

2.

Aquí, m 5 51 y s es desconocida.

Se desea que P(X , 50) 5 0,05 ⇒ P(X , 50) 5 P Z ,250 51s

5 P Z ,21s

5 0,05 ⇒ 1 − P Z ,1s

5 0,95 ⇒ (Por la ta-

bla normal) ⇒ 1 1 645s

5 , ⇒ s 5 0,608.

19.Enunaprueba,el35%delapoblaciónexaminadaobtuvounanotasuperiora6,el25%,entre4y6,yel40%infe-riora4.Suponiendoquelasnotassiguenunadistribuciónnormal,calcula lanotamediay ladesviacióntípica.¿Quéporcentajedepoblacióntieneunanotaquesediferenciadelamediaenmenosde2unidades?

Se tiene: P(X . 6) 5 0,35, P(4 ≤ X ≤ 6) 5 0,25, P(X , 4) 5 0,40Sea m la media y s la desviación típica; normal que se tipifica

haciendo el cambio ZX

5m

s

2, luego:

P(X . 6) 5 P

Z .26 m

s 5 0,35 ⇒ (Por la tabla normal)

60 385

2m

s5 ,

P(X , 4) 5 P Z ,24 m

s 5 0,40 ⇒ (por la tabla normal)

40 255

22

m

s5 ,

Se tiene el sistema: 6 − m 5 0,385s

4 − m 5 −0,255s ⇒ m 5 4,797; s 5 3,125Con esto:P(m − 2 , X , m 1 2) 5 P(2,797 , X , 6,797) 5

5 P 2

, ,2

3 1252

3 125, ,Z 5 P(−0,64 , Z , 0,64) 5

5 P(Z , 0,64) − P(Z , −0,64) 5 0,7389 − (1 − 0,7389) 5

5 0,4778 5 47,78 %

Tipo III. búsqueda de abscisas de la normal

20.SiZesnormaldeparámetros0y1,hallakenloscasos: a)P(Z k)50,0643 b)P(k Z 2)50,7506

Leyendo directamente en la tabla de la normal estándar:a) P(Z $ k)5 0,0643 ⇒ L(k) 5 0,0643 ⇒ k51,52b) P(k # Z , 2)5 0,7506 ⇒ L(2)2L(k) 5 0,7506; como L(2) 5 5 0,9772 ⇒ L(k) 5 0,2266 ⇒ k 5 20,75

21.Sea XvariableN(50,6),encuentraelvalordek en: a)P(X 2k)50,15; b)P(X k)50,9756

a) P(X # k) 5 0,15 ⇒ P(Z,k 250

60 15) ,5 ⇒

L(22k 506

0 85) ,5 ⇒22k 506

1 0355 , ⇒ k543,79

b) P(X # k) ⇔ P(2k,X,k) 5 0,9756 ⇒ 2L(k) – 1 5 0,9756

⇒ L(k) 5 1 0 9756

20 9878

1 ,,5 ⇒ k52,25

22.Sehaaplicadountestdefluidezverbala500alumnosdeprimerodeESOdeuncentrodesecundaria.Sesuponequelaspuntuacionesobtenidassedistribuyensegúnunanor-maldemedia80ydesviacióntípica12.Sepide:a)¿Quépuntuaciónseparael25%delosalumnosconme-

nosfluidezverbal?b)¿Apartirdequépuntuaciónseencuentrael25%delos

alumnosconmayorfluidezverbal?

a) Hay que calcular el valor de Z0 tal que P(Z , Z0) 5 0,25 Z0

≈0,675.

Luego, 20,675 5 X 280

12 X 5 71,9.

b) En este caso, hay que calcular el valor de Z0 tal que P(Z , Z0) 5 0,75 Z0

≈0,675.

Luego, 0,675 5 X 280

12 X 5 88,1.

Sol_1CCSS_11a14.indd 102 12/5/08 15:40:05

í


23.LasnotasmediasfinalesdelosalumnosdeprimerodeBa-chilleratodeuncentrosedistribuyennormalmenteconme-dia5,6ydesviacióntípica1,4.El15%delosalumnosconmejornotafinalpodránaccederaunabeca.¿Cuálhadeserlanotamínimaparapoderserbecario?

El valor de X0 que verifica:

P x 5,61,4

z 0,15 x 5,6 1,4 1,03500 0

25 5 57,05 7≈

de nota.

24.Laspuntuacionesdeunexamen, calificadoentre0y100puntos,siguenunadistribuciónnormaldemediam550.El7%delosalumnostieneunapuntuaciónporencimade75.¿Quétantoporcientodelosalumnosesdeesperarquetenganunapuntuaciónpordebajode40puntos?

Es una N(50, s) y como P Z75 50

0,07.2

s5

251,4757 16,94 17

s5 s5⇒ ≈ .

Ahora, P(X,40)50,2776 ⇒ 27,76 %.

25.Enunapiscifactoríahay8500truchascuyopesosigueunadistribuciónnormaldemedia150gydesviacióntípica35g.Silanormativaprohíbelaventadetruchasdepesoinferiora200g,¿cuántastruchaspuedeponeralaventalapiscifac-toría?¿Cuáltendríaqueserelpesomínimorequeridoporlanormativaparaquelapiscifactoríapudieravender2500truchas?

Para N(150, 35),

P(X . 200) 5 P Z .2200 15035

5 P(Z . 1,43) 5

5 1 2 0,9236 5 0,0764.A la venta puede poner 0,0764 ? 8 500 5 649 truchas.

Hay que encontrar X0 tal que: P(X . X0) 5 25008500

⇒

⇒ P(X . X0) 5 0,2941

P ZX

.2

0150

35 5 0,2941 ⇒

X0

150

350 54

25 , ⇒ X0 5 168,9

gramos.

Tipo IV. Ajuste de la normal a una distribución empírica

26.Ajusta,aladistribucióndelossiguientesdatos,unavaria-blenormal.

X 0,5 0,9 1,3 1,7 2,1 2,5 2,9

fi 4 12 16 28 18 10 4

La media y desviación típica de la distribución dada son: x 1 1 y s , 85 5, ,69 7 0 5≈ . Vamos a ajustar una N(1,7, 0,58)

27.Paramedirlaprecisióndeunaenvasadoradeharinaenpa-quetesde1kg,sehanpesado250paquetesobteniéndoselasiguientedistribucióndepesos:

Pesos (g) [950,970) [970,990) [990,1010) [1010,1030) [1030,1050)

Paquetes 3 22 113 106 6

Ajustaunadistribuciónnormalalosdatosyobservasilasdesviaciones registradas pueden considerarse debidas alazar.

La media y la desviación típica de la distribución de pesos es: x 1000,8 1001 y s 16,18 16,25 5≅ ≈ kg.

Marcas de

Clase (X)

(2) fi

(3)

Clases [ai21, ai)

(4) Clases tipificadas

ti 5 ai 21 7

0 58

,

,

(4) Probabilidades

teóricas pi5L(ti)2L(ti21)

(5) 92?pi

0,5 4 [0,3, 0,7) [22,41, 21,72) .0347 5 .0427 2 .008 3

0,9 12 [0,7, 1,1) [21,72, 21,03) .1088 5 .1515 2 .0427 10

1,3 16 [1,1, 1,5) [21,03,20,34) .2154 5 .3669 2 .1379 20

1,7 28 [1,5, 1,9) [20,34, 0,34) .2662 5 .6331 2 .3669 25

2,1 18 [1,9, 2,3) [0,34, 1,03) .2154 5 .8485 2 .6331 20

2,5 10 [2,3, 2,7) [1,03, 1,72) .1088 5 .9573 2 .8485 10

2,9 4 [2,7, 3,1) [1,72, 2,41) .0347 5 .9920 2 .9573 3

TOTAL 92 0.9668 91

El ajuste se muestra en la tabla:

Clases fi ta

ii5100116 2,

Pr. Teóricas

Pi

250?Pi

[950, 970)[970, 990)[990,1010)[1010,1030)[1030,1050)

362

113666

[23,15,21,91)[21,91,20,68)[20,68, 0,56)[0,56, 1,79)[1,79, 3,02)

0,028120,000850,02730,248220,028150,22010,712320,248250,46410,963320,712350,25100,998720,963350,0354

755

116639

TOTAL 250 0,9979 250

Tipo V. Aproximación de la binomial

28.Selanzaundado720veces.Calculalaprobabilidadaproxi-madadequesalgan,almenos,110seises.

Se trata de un experimento binomial: B 720, 16 .

Puede aproximarse mediante la normal de media m5 572016

120?

y s5 72016

56

? ? 5 10: N(120, 10).

Con esto, P(X $ 110) 5 P(X´ . 109,5), haciendo la corrección de continuidad.

Luego, P(X´ . 109,5) 5 P Z .2109 5 120

10,

5

P(Z . 21,05) 5 0,8531.

Sol_1CCSS_11a14.indd 103 12/5/08 15:40:24


29.Selanzaunamoneda300vecesylavariableXcontabilizaelnúmerodecarassacadas.Hallalaprobabilidadde:

a) sacarmásde180caras; b)queelnúmerodecarasobtenidoestéentre120y160.

Se trata de una binomial B(300, 1/2) que aproximamos por la nor-

mal de media m5300 ? 1/2 y desviación típica, 300 12

12

? ? ,

es decir, N(150, √ 75)a) P(X.180)5P(X ’.180,5)5

5180 5 180

753 52 0

,( , )

2.. 5 5P ZP Z

b) P(160,X,180)5P(160,5,X’,179,5)5 5 P(21,1,Z,3,40)50,999720,886950,1101

30.Supongamosque la tasadedesempleoenunaComunidadautónomaesdel18%.Sienellaseseleccionaunamuestraaleatoriade100trabajadores,calculalaprobabilidaddequeenlamuestrahaya:

a)Almenos10desempleados. b)Nomásde5desempleados. c)Exactamente8desempleados.

La B(100, 0,18)≈N(18, 3,84), entoncesa) P(X.5 10)5P(X’.5 9,5)5P(Z.5 22,21) 5 0,9864b) P(X,5)5P(X’,4,5)5P(Z,23,52)50c) P(X518)5P(17,5,X’,18,5)5P(20,13,Z,0,13) 5 0,1034.

31.Deunaurnaquecontieneunabolablancaydosnegrassehacen extracciones sucesivas de una bola con reemplaza-miento.LlamamosXalnúmerodebolasextraídas.

a)Sisehacencincoextracciones,¿cuálesladistribución deprobabilidaddex?¿Cuántovalensumediaysudes- viacióntípica?¿CuáleselvalordeP(X 2)?

b)Si sehacen288extracciones, ¿cuál es laprobabilidad dequesalganmásde90bolasblancas?

El experimento es de tipo binomial, con P(blanca) 5p513 . Para

n 5 5, será B 5,

13

.

Para n 5 288, será B 288,

13

.

Como sabemos, para una B(n, p) se cumple:

P(X 5 r)5 n

rp qr n r2 ; q 5 1 –p

Su media es m5np; su desviación típica vale s5 npq

a) Para la B 5,

13

, se tiene: P(X 5 r) 5 n

r13

23

r 52r

P(X 5 0) 5 5

013

23

0 5

5 32243

P(X51) 5 5

113

23

1 4

5 80243

P(X 5 2) 5 5

213

23

2 3

5 80243

P(X5 3) 5 5

313

23

3 2

5

40243

P(X 5 4) 5 5

413

23

4 1

5 10243

P(X55) 5 5

513

23

5 0

5 1

243

Media: m5 5513

53

? .

Desviación típica: s5 513

23

? ? 5103

P(X $ 2) 5 P(X 5 2) 1 P(X 5 3) 1 P(X 5 4) 1 P(X 5 5) 5

5

80 40 10 1243

131243

1 1 15

La binomial B 288,

13

se puede aproximar mediante la nor-

mal de media m5288?13

596 y s5 28813

23

? ? 58: N(96, 8).

Con esto, P(X . 90) 5 P(X´ . 90,5), haciendo la correc- ción de continuidad.

Así, P(X´ . 90,5) 5 P Z .

290 5 968

,

5 P(Z . 20,6875) 5

5 0,7549.

32. Enunapruebadetipotest,cadapreguntacontiene4op-cionesdelasquesólounaesverdadera.Sisecontestan20preguntasalazar,¿quéprobabilidadhaydeacertaralmenos12correctamente?

La Binomial B(20, 1/4) la aproximamos por una normal N(5, 1,94)P(X $ 12) 5 P(X’ $ 11,5) 5 P(Z $ 3,35) 5 1 2 0,9996 5 0,0004

33.En una facultad universitaria el 60%de los alumnos fina-lizansusestudiosencincocursos.Enciertapromociónco-menzaron 1200 alumnos. ¿Qué probabilidad hay de queexactamente700 alumnoshayan finalizado en cinco años?

La binomial B(1 200, 0,6) ø N(720, 17)P(X 5 700) 5 P(699,5,X ’,700,5) 5 P(21,21,Z,1,15) 5 0,012

34.Untiradordecompeticióntieneunaprobabilidaddehacerblanco de0,8. Efectúa dos series de tiradas de20 lanza-mientoscadauna.Hallalaprobabilidaddequeenalgunadelastiradashayaconseguidoalmenos17blancos.

El número de blancos sigue B(20, 0,8) que se aproxima por N(16, 1,79)P(X $ 17) 5 P(X ’$ 16,5) 5 P(Z $ 0,28) 5 0,3897, así que la probabilidad pedida es:P(“De la unión”) 5 P(X $ 17 en la 1ª tirada ) 1 P(X $ 17 en la 2ª tirada) 2 P(X $ 17 en la 1ª tirada ) ? P(X $ 17 en la 2ª tirada) 5 0,3897 1 0,3897 2 (0,3897)2 5 0,6275

35.Enciertacomunidadelporcentajedeindividuosconestu-diosmediosesdel35%.Elegidos8individuosalazar,cal-culalaprobabilidaddequeentre3y5(ambosincluidos)tenganestudiosmedios,aplicando:

a)Ladistribuciónbinomial. b)Laaproximaciónnormalalabinomial.

Sol_1CCSS_11a14.indd 104 12/5/08 15:41:00


a) Estamos ante una binomial B(8, 0,35), por ello: P(X5 3) 1 P(X5 4) 1 P(X5 5) 5 0,278610,187510,0808 5 5 0,5469

b) La normal que mejor aproxima la binomial dada es N(8 ? 0,35, √ 8 ? 0,35 ? 0,65)5 N(2,8, 1,35). Entonces P(3 , X , 5) 5 P(2,5 , X’, 5,5)5 P(20,22 , Z , 2) 5 5 P(Z ,2) 2 P(Z , 20,22) 5 0,9772 2 0,4129 5 0,5643

36.Unclubdeocio,delqueformanparte65socios,haorgani-zadounapartidamúltipledeajedrez,contandoconlapre-senciadeunGranMaestro.Laprobabilidaddequeunsocioseapuntealapartidaesdel40%.Averiguacuántostableroshandedisponersesisedeseaque laprobabilidaddequetodoelquequieraparticipardispongadetableroseamayordel90%.

La distribución de socios que se apunten a la partida múlti-ple sigue una B(65, 0,4) que aproximaremos por N(26, 3,95); llamemos n el número de tableros disponibles que deseamos satisfagan que:

P(X # n) $ 0,9 ⇒ P(X ’ # n10,5) 5 P Z , n1 2

$0 5 263 95

0 9,,

) , $ 0,9.

Como P(Z # 1,28) # 0,9 , para n1 2

$0 5 263 95

1 28,,

, se cumpli-

rá que la probabilidad supera 0,9, así que n$ 125 5 5 1 30 6, , ,5 por lo que será suficiente disponer de 31 tableros.


1. Calculaelvalordekparaquelafunción

f(x)5k si x

en otro caso0 10

0, ,⎧

⎨⎩⎪

k si0 x 100 enotrocaso

seadedensidaddeciertavariable. (Recuerda: láreapordebajodelacurvadebevaler1.)

Como k?(1020) 5 1⇒ k5 1/10

2.Cita3procesoscuyocomportamientopuedeajustarsealascondicionesllamadasnormales.

a) La altura de un colectivo de personas; b) Los diámetros de los cojinetes fabricados por un torno; c) El índice de aceptación de un político.

3. ¿QuésignificadotieneelparámetrosenunadistribuciónN(7,s)?

Es la desviación típica de la distribución.

4.SiZesN(0,1)calcula: a)P(Z 1,52; b) P(Z 20,5)

a) 0,9357; b) 0,6915

5. Calculael valorde laprobabilidadP(12 X 22)siendoXuna variableque sedistribuye segúnunanormalN(17,5).

P(12,X,22)5 P(21,Z,1) 5 2 ? 0,3413 5 0,6826

6.Alavistadelafigura,señalalasrelacióncorrecta:

N(�2, σ 2)

N(�1 1, σ )

Fig. 14.6.

a)m1,m2ys1,s2 b)m1.m2ys1,s2 c)m1.m2ys1.s2 d)m1,m2ys1.s2

c) 2 1 2 1ym m s s, ,

7.ParalaN(0,1)calculaelvalordektalque: a)P(Z k)50,8599 b) P(Z k)50,0287

a) 1,08 b) −1,90

8.Lascalificaciones,X,deunexameneliminatoriohanresul-tadodistribuirsecomounanormalN(65,18).Silaprobabi-lidadP(X k)50,9192¿cuántovalek?

P ZX 65

180, x 65 18 1,0

0# ⇒2

1 ?5 5 59192 4 90 2,

24 puntos.

9.La distribución N(50, 5) puede considerarse una buenaaproximacióndeladistribuciónbinomialB(n,p).¿Cuántovalennyp?

Formamos el sistema: np

npqq p

5

55 5

50

512

122

⇒ ⇒⎧⎨⎩⎪

.

Como np550 ⇒n5100 ⇒p50,5

10.Laprobabilidaddefallardianaenuntiradorprofesionalesde0,2.Sirealiza100disparos,¿cuáleslaprobabilidaddequefalle25omás?

La binomial B(100, 0,2) se aproxima por una N(20, 4) y P(X.25)5P(X . 24,5)5P(7 . 1,125) 5 0,1314

Sol_1CCSS_11a14.indd 105 12/5/08 15:41:12

e

,

Sol_1CCSS_11a14.indd 101 14/5/08 09:38:11

notas

79771978 mcgrawhill sol bac 1 ccss 2008

Documents