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Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de

valores diarios de irradiación directa normal

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7. MODELOS KT-KD HORARIOS, CÁCERES

Una vez integrados los valores 10-minutales de cada una de las variables hora a hora,

calculamos para cada uno de los días válidos el valor de los coeficientes Kt y Kd

horarios, que se definen como:

ohh

ghh

tH

HK =

[7.1]

ghh

dfhh

d H

HK =

[7.2]

Para el cálculo del coeficiente Kt necesitamos primero calcular la irradiación

extraterrestre horaria que alcanza la atmósfera proyectada sobre una superficie

horizontal utilizando la siguiente expresión:

)coscoscos(00 iCSh sensenEIH ωδφδφ += [7.3]

El cálculo del coeficiente Kd lo haremos de dos formas diferentes como hicimos con los

valores diarios, así podremos comparar los resultados y detectar algún posible fallo

que haya pasado desapercibido al aplicar los filtros. La primera forma será utilizando

directamente el valor de la irradiación horaria difusa sobre superficie horizontal y la

segunda calculando los valores de difusa a partir de los de irradiación directa normal

mediante la siguiente expresión:

ghh

zDh

ghh

dD H

HHK

)cos(θ⋅−= [7.4]

En esta ocasión, si podremos sustituir directamente los valores de radiación directa

normal para hallar el kdD horario, asumiendo la hipótesis de que el ángulo cenital no

varía a lo largo de la hora. Sustituiremos en θz el valor del ángulo cenital en el instante

central de la hora. Con esta aproximación facilitamos los cálculos sin introducir errores

de consideración. El coeficiente que obtendremos aplicando la expresión 7.3 lo

denominaremos kdD para diferenciarlo del kd, donde se aplica directamente la

irradiación difusa registrada.



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Una vez calculados los tres coeficientes para todas las horas de los días válidos del

período de estudio, se representan los valores de kd-kt y los kdD-kt que en su instante

central tienen una altura solar mayor que 10°. Esta medida ha sido tomada para evitar

valores extraños de Kt que se pueden obtener en los instantes cercanos al orto y al

ocaso solar causados por fenómenos de refracción en el horizonte.

kt-kd horario,Cáceres

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

kt

kd

Figura 11. Representación de los valores kt – kd horarios obtenidos con los datos de irradiación difusa

medidos en la estación de Cáceres.

kt-kdD horario, Cáceres

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

kt

kdD

Figura 12. Representación de los valores kt-kDd horarios obtenidos con los datos de irradiación difusa

medidos en la estación de Cáceres.



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Se observa que ambas nubes de puntos son muy similares. Al igual que hicimos con los

coeficientes kd-kt para los valores diarios, aproximaremos las nubes de puntos

representadas en las figuras 12 y 13 por diversos modelos matemáticos. Utilizando el

mismo procedimiento que se usó en el apartado 6.2 para hallar estos modelos,

obtendremos con los valores horarios los siguientes:

7.1 AJUSTE LINEAL

Se aproximará la nube de puntos representada en las figuras X y X por un modelo lineal

formado por 3 intervalos, dos intervalos donde el valor de Kd se considerara

constante, y otro donde se ajustará el resto de valores con una recta de pendiente

negativa. Para saber el valor de Kt que delimita el comienzo y el fin, de uno y otro

intervalo del modelo, seguiremos el mismo procedimiento empleado para el modelo

lineal de los valores diarios (apartado 6.1). También seguiremos los mismos pasos a la

hora de ajustar la recta en el sentido de los mínimos cuadrados. Para los coeficientes

kd calculados con los valores de difusa, el proceso converge en el siguiente ajuste:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Kt

Kd

Kt-Kd horarios. Medidas de Cáceres

Figura 13. Representación de los valores Kd-Kt horarios empleados en el ajuste de la recta definitiva

de pendiente negativa.



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La recta representada en la figura es aquella en la que converge el procedimiento

empleado que tiene la siguiente expresión:

Kd = 1.501180-1.809789·Kt [7.5]

Sustituyendo los puntos representados en la figura 11 en la ecuación de la hallamos los

siguientes extremos:

Ktmáx.= 0.79 Kdmín.= 0.07145

Ktmín= 0.28 Kdmáx.= 0.99444

Modelo obtenido con los datos de radiación difusa:

Kd = 0.994 si Kt ≤0.28

Kd = 1.501180-1.809789·Kt si 0.28< Kt <0.79

Kd = 0.071 si Kt ≥0.79

[7.6]


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

kt

kd

Figura 14. Representación de los valores kt-kd diarios medidos en la estación de Cáceres junto al

modelo lineal obtenido a partir de ellos.

Aplicando la misma metodología de ajuste a los valores kt- kdD representados en la

figura 12 se obtiene el siguiente resultado:



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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Kt

KdD

Kt-KdD horario. Medidas de Cáceres

Figura 15. Representación de los valores kdD-kt horarios empleados en el ajuste de la recta definitiva

de pendiente negativa.

La recta representada en la figura es aquella en la que converge el procedimiento

empleado que tiene la siguiente expresión:

KdD = 1.514258-1.777327·Kt [7.7]

Sustituyendo los puntos representados en la figura 12 en la ecuación de la hallamos los

siguientes extremos:

Ktmáx.= 0.80 KdDmín.= 0.092396

Ktmín= 0.29 KdDmáx.= 0.998833

Modelo obtenido con los datos de radiación directa:

KdD= 0.986 si Kt ≤0.29

KdD = 1.514258-1.777327·Kt si 0.29< Kt <0.80

KdD = 0.082 si Kt ≥0.80

[7.8]



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0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

kt

kdD

Figura 16. Representación de los valores kt-kdD horarios medidos en la estación de Cáceres junto al

modelo lineal obtenido a partir de ellos

Una vez hecho el ajuste representamos ambos modelos juntos sobre los puntos de

partida para poder comparar los resultados:


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

kt

kd

kt-kd kt-kdD Ajuste lineal kd Ajuste lineal kdD

Figura 17. Representación de los valores Kt-Kd y Kt-KdD horarios medidos en la estación de Cáceres

con sus respectivos modelos lineales.



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Al igual que ocurría con los modelos lineales diarios, el modelo obtenido con los datos

horarios de directa proporciona valores de kd superiores a los que proporciona el

modelo lineal horario obtenido con los datos de difusa, aunque en este caso, al ser

menor el período de integración, la diferencia encontrada entre ambos modelos

también es inferior. Además, como podemos observar en la grafica, la diferencia

aumenta ligeramente cuando nos acercamos a los valores de kt pertenecientes a los

días claros.

7.2 AJUSTE POLINÓMICO:

A continuación, haremos un ajuste polinómico de tercer y cuarto orden para la nube

de puntos que hemos obtenido con los valores de radiación difusa horarios. En este

caso impondremos, al igual que hicimos con los valores diarios, la condición de que la

polinomial pase por el punto Kd=1 y Kt=0.

El procedimiento a seguir para elegir los valores de Kt que limitan las distintas partes

de los modelos es el mismo que para el modelo lineal. Representaremos ambos ajustes

junto a los puntos de partida correspondientes para poder comparar los resultados:


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

kt

kd

kt-kd polinomial 3 ª polinomial 4ª

Figura 18. Representación de los modelos Kt-Kd polinómicos de 3º y 4º orden obtenidos a partir de los

datos de radiación difusa horarios medidos en la estación de Cáceres.



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Modelo polinómico de tercer orden:

Kd = 0.997 si Kt ≤ 0.26

Kd = 1+ 1.3302Kt -6.1774 Kt2+ 3.8857 Kt

3 si 0.26 < Kt < 0.84

Kd= 0.062 si Kt ≥ 0.84

[7.9]

Modelo polinómico de cuarto orden:

Kd = 0.992 si Kt ≤ 0.23

Kd = 1+ 0.6150 Kt -2.1343 Kt2-3.3772 Kt

3+4.1910 Kt

4 si 0.23 < Kt < 0.85

Kd = 0.044 si Kt ≥0.85

[7.10]

Como se observa en la gráfica X ambos modelos son muy similares, especialmente en

el tramo central de valores de kt. Sin embargo, para valores de kt altos el modelo

polinómico de tercer orden alcanza valores inferiores de kd que el modelo de cuarto

orden. Esto es probablemente consecuencia de la metodología elegida a la hora de

realizar los ajustes.

Aplicando la misma metodología de ajuste a los valores kt- kdD representados en la

figura 12 se obtiene el siguiente resultado:



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0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

kt

kd

D

kt-kdD polinomial 3ª polinomial 4ª

Figura 19. Representación de los modelos kt-kd polinómicos de 3º y 4º orden obtenidos a partir de los

datos de radiación directa horarios medidos en la estación de Cáceres.

Modelo polinómico de tercer orden:

KdD = 1 si Kt ≤ 0.29

KdD = 1+ 1.6026 Kt -6.8360 Kt2+ 4.3679 Kt

3 si 0.29 < Kt < 0.87

KdD = 0.091 si Kt ≥ 0.87

[7.11]

Modelo polinómico de cuarto orden:

KdD = 0.996 si Kt ≤ 0.26

KdD = 1+ 0.6913 Kt -2.0562 Kt2-3.7034 Kt

3+4.4193 Kt

4 si 0.26 < Kt < 0.85

KdD = 0.135 si Kt ≥ 0.85

[7.12]

Al igual que ocurría con los modelos kt-kd polinómicos, se observa en la figura 18 que

ambos modelos kt-kdD son muy similares, principalmente en la zona central de la

curva, aunque el modelo de tercer orden alcanza valores de kd inferiores para valores

de kt altos.



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Una vez definidos los ajustes representamos todos los modelos juntos sobre los puntos

de partida para poder comparar los resultados al igual que hicimos con los modelos

lineales:


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

kt

kd

kt-kd kt-kdD polinomial 4ª kd

polinomial 3ª kdD polinomial 4ª kdD polinomial 3ª kd

Figura 20. Representación de los valores Kt-Kd y Kt-KdD horarios medidos en la estación de Cáceres

con sus respectivos modelos polinomiales de 3º y 4º orden.

Observamos que el resultado obtenido es el mismo que con los ajustes lineales, los

valores de kd que proporcionan los modelos polinómicos obtenidos con los valores de

irradiación difusa calculados a partir de las medidas de irradiación directa son

ligeramente superiores a los que proporcionan los modelos obtenidos con los valores

medidos de irradiación difusa, esta diferencia aumenta ligeramente para valores de kt

superiores a 0.8.

Al igual que hicimos con los modelos diarios compararemos los valores de los

coeficientes MBE y RMSE de cada uno de los ajustes para conocer el que mejor

resultado proporciona:



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Tabla 10. Valores del MBE y del RMSE obtenidos para los modelos Kt-Kd horarios.

Caceres

Lineal Polinomial 3º Polinomial 4º

kd kdD kd kdD kd kdD

MBE (Wh/m2) -8.47 -7.67 -2.31 -1.12 -1.93 -1.21

RMSE (Wh/m2) 54.70 54.40 54.21 53.83 54.07 53.69

Se observa que el menor error medio de los modelos kt-kd se obtiene para el ajuste

polinomial de tercer orden y de los modelos kt-kdD para el ajuste polinomial de cuarto

orden, aunque en ambos casos los resultados de los dos modelos polinomiales son

muy similares. Los ajustes con menor desviación típica son en ambos casos los

polinomiales de cuarto orden, aunque tampoco se encuentra una diferencia apreciable

respecto a los hallados con el ajuste polinomial de menor orden. Si comparamos los

resultados de los ajustes de los puntos kt-kd con los de los puntos kt-kdD, vemos que

estos últimos son los que menor error medio presentan pero no el que menor

desviación típica, aunque este último parámetro puede considerarse del mismo orden

en ambos casos. En vista de los resultados obtenidos en ambos coeficientes y por

simplicidad en el cálculo, consideraremos el modelo polinomial de tercer orden

horario obtenido a partir de los datos de directa como el más adecuado para el

emplazamiento de Cáceres.

Analizando el RMSE de este último modelo frente al valor medio de irradiación difusa

horaria registrada durante el período de estudio, podemos decir que representa un

37.6 % del mismo, mientras que el error medio no supone ni el 0.1 % del mismo valor.

Esto nos muestra que al igual que ocurre con los modelos diarios, el uso de este tipo

de modelos es más adecuado cuanto mayor es el período de cálculo para el que se

aplica. Es decir, el uso de este modelo daría un buen resultado si el objetivo es conocer

la irradiación difusa (o directa) mensual de un determinado emplazamiento y aún

mejor resultado si el objetivo es conocer su valor anual.

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