1

6. Teoría básica del crecimiento

Lo único que permanece es el cambio

Heráclito de Éfeso (535-484)

6.1. Introducción

El crecimiento económico es un medio muy eficaz para aumentar el nivel de

bienestar de las personas. Esto fue señalado con total claridad en el Informe sobre el

Desarrollo Humano de 1996: “En los países de bajos ingresos, el crecimiento no es

una opción. Es algo imprescindible para reducir la pobreza y generar los recursos

que requiere el desarrollo humano básico.”

Pero, ¿qué determina el crecimiento? ¿Pueden acaso los gobiernos de las naciones

hacer algo para alterar la tasa de crecimiento de sus economías? Las respuestas a

interrogantes de esta naturaleza se encuentran en los denominados modelos de

crecimiento. Dichos modelos son construcciones teóricas que partiendo de ciertos

supuestos sobre el comportamiento de los agentes económicos, de las instituciones,

etc., predicen la evolución de largo plazo de una economía.

La literatura sobre crecimiento económico debe ser una de las más abundantes en

economía. Es por ello necesario seleccionar qué porción de la misma resuelve mejor

el objetivo al que se quiere llegar. De los muchos modelos existentes se eligieron

solo tres, pues ellos permiten responder las siguientes preguntas: ¿Qué factores

determinan el crecimiento económico y cuáles son las políticas que pueden

alterarlo? ¿Por qué las economías crecen a ritmos diferentes? ¿En qué medida las

disparidades de crecimiento entre distintos países obedecen a decisiones de los

agentes económicos? Dichos modelos son el de Harrod (1939), el de Solow (1956),

y el modelo AK1.

¿Por qué interesan esas preguntas? Por ejemplo, los datos muestran que, entre 1990

y 2010, la economía mundial creció a un ritmo del 3,7% anual promedio. Resulta

curioso entonces que los países en desarrollo lo hicieran al 4,2%, mientras que los

países industrializados al 2%. También resulta interesante constatar que países muy

1 Para Aghion y Howitt (2009) la comprensión de la situación actual de la teoría del crecimiento

requiere mucho más que un capítulo. En este libro se pretende sólo ligar esta teoría con el

Desarrollo y es por eso el lugar que ocupa en el presente texto.

2

pobres como Chad ‒con un ingreso per cápita anual de 760 dólares en 2010‒ haya

crecido entre 1990 y 2010 a una tasa del 6,2% anual, mucho más alta que el 1,4%

registrado en uno de los países más ricos del planeta, Suiza, que cuenta con un

ingreso per cápita de 68.000 dólares por habitante por año2.

Como se verá en la sección 6.3, los tres modelos presentados, permiten responder a

éstas y otras preguntas importantes para evaluar la situación pasada y presente de

las economías y para plantear alternativas futuras, como así también a pensar las

políticas públicas más adecuadas para alterar la tasa de crecimiento3. Pero antes de

desglosar los modelos, se expondrá en la sección siguiente cuál es la definición de

crecimiento que está presente en ellos (sección 6.2).

6.2. Definición de crecimiento

Ya se había dicho que el crecimiento económico puede definirse como el aumento

del producto de una sociedad a lo largo del tiempo. Se adelantó también que hay

al menos dos definiciones ampliamente aceptadas ‒y no necesariamente

contrapuestas‒ de crecimiento: a) aumento sustancial y sostenido del producto

potencial de una sociedad a lo largo del tiempo; b) aumento sustancial y sostenido

del producto efectivo de una sociedad a lo largo del tiempo, siendo el concepto de

producto es lo que diferencia una de otra. En la primera se alude al producto

potencial, en la segunda, al producto efectivo.

Para la primera definición, una sociedad habrá crecido si en un período dado,

aumentó su capacidad productiva. Esto se ilustra con un desplazamiento de la

frontera de posibilidades de producción (FPP) entre t y t+1. Para la segunda

definición ‒la más usada para cuantificar el crecimiento‒, una sociedad habrá

crecido si la diferencia porcentual del producto entre dos o más períodos, fue

positiva. Por lo tanto, se comparan en este caso, la cantidad de bienes y servicios

de los que dispone la sociedad hoy, con los que disponía ayer.

2 Todos estos datos fueron tomados de la base de datos de libre acceso del Banco Mundial:

http://databank.worldbank.org/Data/Views/Reports/TableView.aspx. 3 En el desarrollo de este capítulo me he beneficiado ampliamente por los aportes de Maribel

Jiménez quien ha preparado una excelente presentación de los temas desarrollados en este capítulo

y en el siguiente, sobre la convergencia.

3

El crecimiento según la primera definición, supone un desplazamiento de la FPP.

Mientras que según la segunda definición, el aumento del producto real o efectivo

puede o no implicar un desplazamiento hacia la derecha de la FPP. Un aumento

del producto real o efectivo puede estar reflejando un cambio en el nivel de

actividad, que puede ilustrarse como un movimiento desde un punto interior hacia

otro situado más cerca de la frontera, aunque sin que haya desplazamiento de ésta,

o aún habiéndose observado una caída de la FPP (debido, por ejemplo a un

período de desinversión en capital físico o humano).

Los modelos macroeconómicos estáticos y de corto plazo suponen una capacidad

productiva dada, lo cual es correcto porque los cambios en la inversión neta en

uno o dos años no resulta lo suficientemente importante como para provocar

modificaciones en la economía en su conjunto. No obstante no puede ignorarse en

el largo plazo el efecto de continuos aumentos de la inversión neta, de la

población y del cambio tecnológico. Todos estos factores aumentan la capacidad

productiva de la economía. Por su parte, los aumentos de la capacidad productiva

generan la necesidad de un mayor ingreso agregado para permitir la realización

del producto y la plena utilización de la capacidad productiva y de la fuerza de

trabajo. Los modelos expuestos a continuación son esfuerzos realizados con el fin

de explicar el crecimiento del producto potencial.

6.3. Tres modelos de crecimiento

El objetivo principal de la teoría del crecimiento es descubrir qué factores

determinan el crecimiento de una economía como así también cuáles son las

políticas que pueden alterarlo. De aquí surgen varias preguntas: ¿Por qué razón

ese crecimiento se produce a saltos (ciclos)? ¿Por qué durante algunos períodos la

economía crece más y durante otros ese crecimiento se desacelera? ¿Cuál será la

tasa de crecimiento de las economías en el largo plazo? ¿Ese crecimiento será

estable con pleno empleo de la capacidad productiva y sin desempleo del trabajo?

Pero hay un interrogante que subyace a todos los anteriores: ¿Por qué importa el

crecimiento de una economía? Muchos autores sostienen que sólo el crecimiento

puede en el largo plazo eliminar la pobreza y mejorar el bienestar no sólo presente

sino también de las generaciones futuras. Estos autores sostienen además que es

4

un medio genuino de mejoramiento, pues no se trata de un juego de suma cero, en

el que lo que algunos ganan lo pierden otros. No obstante, estas opiniones no

están exentas de críticas. Un grupo importante de economistas sostienen que altas

tasas de crecimiento pueden tener efectos no deseables, especialmente en lo que

hace al uso sustentable de los recursos naturales. Es la llamada corriente de los

Límites del Crecimiento que tiene sus antecedentes en el informe Meadows-

Meadows (Meadows, 1985).

Este texto no se ocupará de tal enfoque y se tratará de emitir juicios de valor

acerca de lo bueno o malo que pueda resultar el crecimiento. Más bien se

concentrará en estudiar cuáles son los factores que lo explican y qué cosas puede

hacer un tomador de decisiones públicas para alterar su ritmo en el largo plazo.

Para ello se analizarán tres modelos. Primero el modelo keynesiano de Harrod

(1939), luego el modelo neoclásico de Solow (1956), para culminar con el modelo

neoclásico AK.

A. El modelo de Harrod

En este modelo con dos agentes económicos, los empresarios toman las decisiones

de ahorro e inversión y las familias las decisiones de ahorro y consumo. La

economía produce según la técnica

u

L

v

KY ,min , que se corresponde con una

función de producción Leontief4; las familias ahorran una fracción constante del

ingreso ( tYsS ) y el equilibrio macroeconómico requiere que I = S.

Primera pregunta: bajo estas condiciones ¿cuál será la tasa de crecimiento de la

economía? Se denotará por )(.

dtdKK la acumulación de capital físico

(inversión) a lo largo de un período. Por el tipo de tecnología con la que trabaja la

economía Harrod se sabe que:

..

YvK . [1]

Donde )(.

dtdYY es la tasa de crecimiento del producto.

4 Si no recuerda conceptos como este sería conveniente una lectura del Capítulo 3 de Frank (1992).

5

Esto permite escribir:

v

s

Y

YgYvYs w

..

. [2]

Donde gw representa en Harrod la tasa de crecimiento de la economía.

Las conclusiones que se obtiene en este primer enfoque del modelo son:

a) Si la economía sigue esta trayectoria, garantiza el crecimiento con plena

utilización de la capacidad productiva (S=I). De allí que Harrod denomine a gw

tasa garantizada de crecimiento y que a la trayectoria de crecimiento según la

ecuación de Harrod se la denomine Edad de Oro. El propio Harrod (1939) define

así esta tasa: “Entendemos por tasa garantizada de crecimiento la tasa de

crecimiento que dejará a todas las partes satisfechas por no haber producido ni

más ni menos que la cantidad correcta.”

b) La tasa de crecimiento de la economía está directamente relacionada con la

proporción del ingreso ahorrado. En una economía en la que se ahorra una

fracción 0,2 del ingreso nacional y en la que se necesitan 5 unidades de capital

para generar una unidad de producto, la tasa de crecimiento garantizada será del

4%. Si por alguna razón en esa economía la fracción ahorrada del ingreso

disminuye al 0,1, la tasa de crecimiento anual disminuirá al 2%.

c) La tasa de crecimiento de la economía está inversamente relacionada con la

proporción de capital necesaria para obtener una unidad de producto. O bien: la

tasa de crecimiento de la economía está relacionada de manera directa con la

productividad del capital físico (K): si aumenta la cantidad de producto obtenida

con una unidad de capital, la tasa de crecimiento será mayor. En una economía en

la que se ahorra una fracción 0,2 del ingreso nacional y en la que por alguna razón

(por ejemplo, la eliminación de empresas ineficientes) se lograse disminuir la

relación capital producto de 5 a 2,5, el crecimiento del producto y del ingreso

sería de 8% en lugar del 4%.

Hay varias cuestiones más que se pueden entender con este simple modelo.

Primero: ¿Por qué una economía crece a saltos? ¿Por qué hay períodos de

expansión, de retracción y estancamiento? ¿Por qué en algunas situaciones hay

6

desempleo de mano de obra con capacidad productiva ociosa? O, en términos más

generales: ¿por qué la economía no sigue la trayectoria descripta por la Edad de

Oro? Segundo: Si ya se sabe cuál es la tasa de crecimiento que asegura la plena

utilización del potencial productivo, ¿qué determina la tasa de crecimiento

efectiva?

Comenzando por lo segundo, se sabe que la tasa de crecimiento efectiva está

determinada por las decisiones de inversión que toman los empresarios. Éstas, a

su vez, vienen dadas por las proyecciones del crecimiento futuro de la economía

que ellos mismos realizan. La tasa de crecimiento prevista por los empresarios no

tiene por qué coincidir con la tasa garantizada de crecimiento5. Esto permite

distinguir dos situaciones que alteran el crecimiento equilibrado de la economía:

c.1) Los empresarios subestiman el crecimiento del producto que habría tenido

lugar de invertir la cantidad necesaria para lograr el crecimiento garantizado. Al

hacer esto invierten menos y con ello generan una demanda menor que la

potencial. Observan asimismo un exceso de capacidad generado por la escasa

inversión realizada. Por ello, el período siguiente deciden invertir todavía menos y

el exceso de capacidad aumenta más.

c.2) Los empresarios sobrestiman el crecimiento del producto que habría tenido

lugar de invertir la cantidad necesaria para lograr el crecimiento garantizado. Al

hacer esto invierten más de lo necesario y generan una demanda mayor que la

potencial. Observan asimismo que la capacidad instalada es insuficiente e

invierten todavía más para el período siguiente.

En (c.1) la economía entra en un proceso de desempleo y en (c.2) se generan las

condiciones para una hiperinflación.

En la tabla siguiente se muestra un ejemplo numérico de las situaciones

planteadas en los párrafos precedentes. Se parte de una economía con un PBI de

340 unidades monetarias, una propensión media al ahorro (s) de 0,2 y una relación

capital-producto (v) de 5.

5 “El incremento que los productores considerarán adecuado en el período 1, no se relaciona en el

mundo real con el incremento en la producción total en el período 1, sino con el incremento

esperado en períodos subsecuentes.” (Harrod, 1939).

7

Tabla 1. Evolución económica hipotética en tres situaciones

Año Edad de Oro Situación (c.1) Situación (c.2)

Y C I Y C I CO. Y C I CO

0 340.0 272.0 68.0 340.0 272.0 60.0 8.0 340.0 272.0 100.0 -32.0

1 353.6 282.9 70.7 352.0 281.6 57.0 13.4 360.0 288.0 110.0 -38.0

2 367.7 294.2 73.5 363.4 290.7 55.0 17.7 382.0 305.6 120.0 -43.6

3 382.5 306.0 76.5 374.4 299.5 53.0 21.9 406.0 324.8 130.0 -48.8

4 397.8 318.2 79.6 385.0 308.0 50.0 27.0 432.0 345.6 140.0 -53.6

5 413.7 330.9 82.7 395.0 316.0 47.0 32.0 460.0 368.0 150.0 -58.0

6 430.2 344.2 86.0 404.4 323.5 43.0 37.9 490.0 392.0 160.0 -62.0

7 447.4 357.9 89.5 413.0 330.4 40.0 42.6 522.0 417.6 170.0 -65.6

8 465.3 372.3 93.1 421.0 336.8 37.0 47.2 556.0 444.8 180.0 -68.8

9 483.9 387.1 96.8 428.4 342.7 33.0 52.7 592.0 473.6 190.0 -71.6

10 503.3 402.6 100.7 435.0 348.0 30.0 57.0 630.0 504.0 200.0 -74.0

Fuente: Construcción propia.

En esta economía hipotética las diferencias entre las tres situaciones planteadas es

el comportamiento de la inversión. Obsérvese que en la situación denominada

Edad de Oro, los empresarios estiman que el producto crecerá un 4% el año

próximo y por ello invierten 68 unidades monetarias (“pesos” por comodidad).

Esta inversión genera un flujo de gastos que, a través del acelerador de la

inversión, hace crecer al producto a 353,6 pesos en el año 1. Esto arroja una tasa

del 4% entre los años 0 y 1; esto es, una tasa exactamente igual que la prevista por

ellos al comienzo del año. Como los empresarios observan que invirtieron la

cantidad correcta, al principio del año 1 invierten 70,7 pesos, previendo, para ese

año, un incremento del 4% del ingreso, lo que provoca, a su vez, un PBI de 367,7

pesos en el año 2. Y así la economía se expande por la senda del crecimiento

equilibrado.

En la Situación (c.1), los empresarios estiman que el producto del año 1 será un

3,5% mayor que el del año 0 e invierten 60 pesos de acuerdo con esa previsión.

Sucede entonces que quedan 8 pesos de capacidad industrial no usada: Producto

potencial (340 pesos) menos el consumo (272), menos la inversión (60). Dado el

flujo de gasto generado por esta inversión la economía se expande de 340 a 352

pesos entre los años 0 y 1. Como los empresarios observan que tuvieron un exceso

de capacidad invierten todavía menos para el período 2 (por ejemplo de 60 a 57

pesos) y colocan a la economía en el período 2 con un producto potencial de 363,4

pesos. ¿Qué observan en el año 2?: ¡Que la capacidad instalada ociosa aumentó!:

8

pasó de 8 a 13,4 pesos. Eso lleva a los empresarios a invertir todavía menos para

el período 3. En este caso, la economía entra en una recesión con una cantidad

creciente de capital físico sin utilizar.

¿Qué sucede en (c.2)? Por alguna razón los empresarios prevén que el producto de

la economía se expandirá más que el 4%, por lo cual invierten un poco más que la

inversión de plena capacidad: Digamos 100 pesos. ¿Qué observan ellos a

comienzos del período 1?: Que la capacidad instalada fue insuficiente para

satisfacer la demanda de la economía (menos 32 pesos). Por ello, a principio del

año 1 invierten todavía más que en 0 (por ejemplo 110 pesos). Al finalizar el

período 1 ellos observan que la capacidad instalada fue todavía más insuficiente

que en el período anterior (38 versus 32 pesos). Por ello en el período siguiente

invierten todavía más. La economía entra en un estado de recalentamiento con

condiciones propicias para desatar una inflación.

Así, Harrod (1939) comenta: “La teoría dinámica enunciada hasta aquí puede

resumirse en dos proposiciones: a) una línea única de crecimiento garantizado se

determina conjuntamente por la propensión al ahorro y la cantidad de capital

requerida por consideraciones tecnológicas y de otra índole por aumento unitario

de la producción total. Sólo si los productores se ajustan a esta línea encontrarán

que su producción de cada período no ha sido excesiva ni deficiente; b) en ambos

lados de esta línea hay un campo donde operan fuerzas centrífugas cuya magnitud

varía directamente con la distancia de cualquier punto a la línea garantizada. El

alejamiento de la línea garantizada crea un incentivo para alejarse más aún. En

consecuencia, el equilibrio móvil del avance es muy inestable.”

Resta ahora definir una nueva tasa de crecimiento. Hasta ahora se han analizado

dos tasas de crecimiento: la tasa garantizada y la tasa efectiva. Harrod menciona

además como muy importante una tercera la tasa natural de crecimiento, definida

como aquella a la que potencialmente puede crecer el producto teniendo en cuenta

el crecimiento de la población (n), la acumulación de maquinarias (capital físico),

el progreso tecnológico y la curva de preferencia trabajo-ocio (Harrod, 1939).

Expresado en otros términos la tasa natural de crecimiento es una tasa límite, un

9

techo de pleno empleo que contrasta con la tasa garantizada que es la requerida

para la plena utilización del stock de capital (Sunkel y Paz, 1984).

Si se supone que la población está creciendo a una tasa constante y exógena n, la

condición de equilibrio global de la economía requiere que:

ngg we [3]

Donde [3] establece que la tasa de crecimiento efectiva debe ser igual a la

garantizada y ésta a la tasa natural. Una condición más para la Edad de Oro.

Cuando Harrod (1939) estudia las relaciones entre la tasa natural y la tasa

garantizada marca que el nivel de esta última depende de la fase del ciclo

económico y del nivel de actividad económica. Afirma asimismo que es altamente

improbable que la tasa garantizada esté por encima de la natural y Solow (1956)

muestra que de ocurrir esto, el stock de capital por trabajador tiende a cero. Una

situación más común es que la tasa garantizada esté por debajo de la natural, lo

cual genera desempleo crónico de la fuerza de trabajo. Aquella situación en la

cual coincide la tasa natural con la garantizada es el denominado estado

estacionario.

Conclusión general del modelo. Los parámetros centrales del modelo (s, v, y n)

se determinan independientemente. La propensión al ahorro (s), viene dada por las

preferencias de las familias entre consumo presente y futuro; n es exógena al

modelo (viene dada por la natalidad y la mortalidad); v es un parámetro

tecnológico proveniente de una función de producción con coeficientes fijos. Si

las tasas de crecimiento que estos parámetros coinciden se alcanza la Edad de Oro

de la economía: crecimiento continuado con pleno empleo. En este caso la

economía transita por una trayectoria de crecimiento que es como el filo de la

navaja. “Si los parámetros fundamentales (la propensión al ahorro, la relación

capital producto, la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo) se mueven una

milésima del centro exacto, la consecuencia sería un desempleo creciente o

inflación prolongada.” (Solow, 1956).

10

B. El modelo de Solow

Solow (1956) plantea que la conclusión del modelo de Harrod (1939) es válida

siempre que se acepte el supuesto de proporciones fijas, expresado en la función

de producción Leontief. Con esta función no hay posibilidad de sustituir capital

por trabajo. Según Solow, si se abandona este supuesto, la noción de filo de la

navaja desaparece instantáneamente.

A diferencia de Harrod, Solow (1956) parte de una función de producción

agregada homogénea de grado 1, esto es con rendimientos constantes a escala6, la

que puede ser expresada para mayor simplicidad de análisis, en forma intensiva (o

en términos per cápita):

.)( tt kfy [4]

Donde yt = Yt/Lt y kt = Kt/Lt. Esta transformación que es posible dado el

supuesto de rendimientos constantes a escala de la función de producción.

Otros supuestos centrales del modelo de Solow son: a) se ahorra una proporción

constante del ingreso (S=sY); b); b) las familias constituyen las unidades de

consumo y de producción. Dicho de otra forma, toda cantidad del único bien de la

economía que no se consume, se ahorra y se invierte [ ),(.

LKFsIK ]; c) la

población crece a una tasa constante y exógena ( nLL /.

).

Suponiendo además que no hay depreciación de los bienes de capital ni progreso

técnico, es posible obtener la ecuación fundamental del modelo:

.)(.

nkkfsk [5]

El lado izquierdo de [5] representa la tasa de crecimiento del capital por

trabajador; el primer miembro del lado derecho el ahorro por trabajador y el

segundo miembro, la cantidad de capital necesaria para mantener k constante dado

que la población crece a una tasa n. En la figura 1 puede verse la representación

gráfica del modelo.

6 El mismo SOLOW (1956) lo plantea claramente en su artículo: “La mayor parte de este ensayo se

ocupa de un modelo de crecimiento a largo plazo que acepta todos los supuestos de Harrod-

Domar, excepto el de las proporciones fijas.”

11

Figura 1

Representación sintética del modelo de Solow (1956)

¿Qué mensajes transmiten esta ecuación y la Figura 1?

Primero. Todas las economías tienden a un estado estacionario, es decir a una

situación en que todas las variables relevantes crecen a una tasa constante y

exógena igual al crecimiento de la población. El estado estacionario se alcanza

cuando 0.

k , lo cual implica que el ahorro (o inversión bruta) por trabajador se

iguala con la cantidad necesaria para mantener k constante. En términos

algebraicos:

.)(0.

nkksfk [6]

Recordando que k=K/L y que s f(k)= LK /.

, se obtiene:

.

.

nK

K [7]

Segundo. La tasa de crecimiento de largo plazo (que es igual a n) es

completamente independiente de la proporción del ingreso ahorrado. Un aumento

y=f(k)

nk

sf(k)

k

Todas

12

de dicha proporción hace aumentar el capital por trabajador, la tasa de crecimiento

del corto plazo y el producto o ingreso medio de la economía. Esto es, el bienestar

material de la población mejora pero no se altera la tasa de crecimiento de largo

plazo de la economía.

Tercero. Un aumento de n (de la tasa de crecimiento de la población) provocará

que el ahorro por trabajador sea insuficiente para ocupar la fuerza de trabajo. Esto

genera una tasa de crecimiento de k negativa, una reducción del stock de capital

por trabajador y una disminución del ingreso medio de la economía. Visto de otra

manera, se necesitará ahora un esfuerzo mayor en términos de ahorro e inversión

si se quiere mantener la relación k existente antes del aumento y por ende el

bienestar medio de la población.

La Regla de Oro de la acumulación

Ahora supóngase por un momento que en la economía está gobernada por un

dictador benevolente, que debe y puede elegir la tasa de crecimiento de su país.

¿Qué tasa elegiría? ¿Por qué no más? o ¿Por qué no menos? Este dictador

necesitará algún criterio, alguna base para seleccionar la tasa de crecimiento

óptima. Recordemos que en el modelo de Solow la tasa de crecimiento viene dada

por la relación K/L elegida. Entonces, elegir una tasa de crecimiento equivale a

elegir una relación K/L que determine la trayectoria de crecimiento.

Puede suceder que por alguna razón el dictador benevolente considere

conveniente conservar para siempre el stock de capital por trabajador legado por

generaciones anteriores. Uno de sus asesores le aconseja elegir k1 de la Figura 2.

En ese caso el consumo per cápita de su economía [c=f(k)–nk] será relativamente

pequeño ya que la necesidad de ahorro, para mantener k constante, serán también

muy elevada. Otro le sugiere optar por una relación tal como k2 de la Figura 1.

Igualmente el consumo per cápita de su economía será relativamente pequeño,

aunque con un esfuerzo de ahorro también pequeño y un producto per cápita bajo.

13

Figura 2a

La regla de oro de la acumulación

Como su deseo es que la población de su país esté lo mejor posible usted buscará

la solución que maximice el consumo de sus súbditos. Esto es equivalente a elegir

una relación k (=K/L) que maximice la distancia entre f(k) y nk. Esta distancia

será mayor en aquel punto en que la tangente a la curva f(k) sea paralela a la recta

nk. La relación k con esa condición es la que en la Figura 1 aparece con el nombre

koro. En ese punto se observa que el producto marginal del capital es igual a la tasa

de crecimiento de la población: .n)k(f

Esto permite plantear una conclusión interesante: De entre todas las trayectorias

de crecimiento, la que permite maximizar el consumo por trabajador, se

caracteriza por ser aquella en la cual el producto marginal del capital (que, en

condiciones de competencia perfecta, es la tasa de beneficio de la economía), se

iguala con la tasa de crecimiento de la población. Esta proposición se denomina

Regla de Oro de la acumulación, aludiendo a la Regla de Oro mencionada por

Lucas (el Apóstol), 6-31: “Tratad a los demás como queréis que ellos os traten.” y

aplicándola al comportamiento de una generación con respecto a otra.

y=f(k)

nk

soro f(k)

k

Todas

Pendiente=n

coro

koro

14

Ahora se preguntará que le impide situarse en k1. La respuesta es: Nada. Bajo las

condiciones impuestas por el modelo de Solow, una economía puede situarse en

cualquier punto de la denominada zona de ineficiencia dinámica, es decir aquélla

en que s > soro. Sólo se requiere una tasa de ahorro elevada y un consumo por

trabajador menor al que podría lograrse con koro7.

Figura 2b

El consumo, el ahorro y la regla de oro de la acumulación

En la Figura 2b se muestra que soro es la única tasa de ahorro que maximiza el

consumo per cápita de esta economía.

Otro producto del modelo de Solow es la explicación de por qué un país rico tiene

una tasa de crecimiento menor que un país más pobre. En otras palabras se puede

ver en el esquema de Solow por qué se observaría convergencia entre los países.

En la Figura 3 se muestran las tasas de crecimiento que corresponden a países con

un k(0) elevado (rico) y con un k(0) bajo (país pobre). Como puede verse, aún en

el caso que en ambos países la tasa de ahorro sea exactamente la misma, se

7 Es la situación tan claramente descrita por George Orwell en el Capítulo VIII de su Rebelión en

la Granja: “Durante ese año los animales trabajaron aún más duro que el año anterior. Reconstruir

el molino, con paredes dos veces más gruesas que antes y concluirlo para una fecha determinada,

además del trabajo usual en la granja, era una tarea tremenda. A veces les parecía que trabajaban

más horas y no comían mejor que en el tiempo de Jones.”

s

c*

soro

coro

15

aprecian diferencias en tasas de crecimiento dadas sólo por la distancia que separa

su stock de capital por trabajador del correspondiente al estado estacionario (k*).

Figura 3

Tasas de crecimiento – Diferencias entre países

C. El modelo AK

El modelo AK es integrante de una familia mucho más amplia denominada

“modelos de crecimiento endógeno”. Es, podría decirse, el modelo básico de

crecimiento endógeno. ¿Qué significa entonces “crecimiento endógeno”? El

modelo de Solow (1956) examinado en el apartado anterior, había concluido la

imposibilidad de las economías de lograr tasas de crecimiento económico per

cápita positivas en el largo plazo. El crecimiento sólo era posible por el cambio

tecnológico externo o exógeno al proceso de de crecimiento, que hacía desplazar

la función de producción y retardaba la llegada del estado estacionario. Todo esto

estaba dado así por el supuesto de los rendimientos decrecientes del capital físico.

Si lo que se desea es saber cómo crecer en el largo plazo, la pregunta a contestar

entonces es cómo escapar de los rendimientos decrecientes del capital. Una

n

s f(k)

k

Todas

g > 0

k(0)pobre

g < 0

k(0)rico k*

16

manera teóricamente sencilla de hacerlo es suponer que forman parte del capital

no sólo el capital físico, sino también el humano, ampliando de esta manera la

definición de este factor. Una vez hecho esto no hay razones para pensar que el

capital de una economía exhiba rendimientos decrecientes.

Este planteamiento conceptual puede asumir la siguiente forma algebraica:

donde A es una constante positiva que ilustra el nivel de tecnología del sistema

económico. La producción por trabajador viene dada por siendo tanto el

producto medio como el marginal del trabajo constantes al nivel A>0.

La tasa de crecimiento por trabajador de largo plazo de esta economía vendrá dada

por:

Que genera un proceso de crecimiento descrito e ilustrado en la figura 4.

En este caso con lo cual la función de ahorro es ahora que

se representa como una constante, debido a que el producto marginal del trabajo

no decrece, como en el modelo de Solow. Dado que la diferencia entre el ahorro y

la línea que representa el crecimiento de la población (la depreciación) es fija y

constante, la tasa de crecimiento de la economía, . Si se

cumple que entonces , que es lo que puede verse en la Figura 4.

Figura 4

El modelo AK

17

Dado que , , todas las variables por trabajador del modelo

crecen a la misma tasa constante, que puede ser escrita como:

La economía que funciona con la tecnología AK puede experimentar tasas de

crecimiento per cápita positivas en el largo plazo, aún en ausencia de progreso

tecnológico exógeno. A diferencia del modelo de Solow, en este caso, un aumento

de la tasa de ahorro genera una expansión económico per cápita de largo plazo.

También a diferencia del modelo de Solow, el modelo AK no predice

convergencia ni absoluta ni condicional, es decir se cumple que

en todos los niveles de producto per cápita. Nótese que si bien esta propiedad del

modelo es importante dado que permite explicar por ejemplo por qué economía

muy poderosas como la de Japón o EEUU experimentan tasas de crecimiento per

cápita muchas veces más elevadas que la de países pobres de África, por ejemplo,

no permite explicar por qué en promedio las economías más desarrolladas

registran en promedio tasas de crecimiento per cápita más bajas que las economías

menos desarrolladas.

Convergencia absoluta y condicional

n

s A

k

Todas

g > 0

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Cómo se puede formalizar la idea de convergencia absoluta (CA) y convergencia

condicional (CC)? El modelo de Solow (1956) supone rendimientos decrecientes

del stock de capital por trabajador, lo que implica tasas de crecimiento de k que

disminuyen conforme aumenta k. Esto puede verse en la forma cóncava de la

función de producción de la Figura 1, lo que analíticamente significa que:

Lo que implica que las economías diferentes en términos de k(0) tendrán tasas de

crecimiento diferentes, mayores para aquellos cuyo k(0) se encuentre más lejos

del k de estado estacionario (k*). Esto se analizó en la Figura 3. Allí las dos

economías tenían los mismos parámetros estructurales: crecimiento de la

población y tasas de ahorro iguales. Diferían sólo en su k(0), lo que claramente

generaba tasas de crecimiento disímiles. Esta situación de “igualdad de todo” es lo

que la literatura del crecimiento le denomina “convergencia absoluta”. Si los

parámetros difieren puede verse que también habría convergencia, pero en este

caso la literatura habla de “convergencia condicional”.

Figura 5

Caso de tasas de crecimiento no convergentes en apariencia

nrico

srico f(k)rico

k

Todas

g rico

k*rico

npobre

spobre f(k)pobre

k*pobre

g pobre

g rico > g pobre

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