6. modelos kt-kd diarios, cáceres -...

Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de

valores diarios de irradiación directa normal

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6. MODELOS KT-KD DIARIOS, CÁCERES

Una vez realizado el control de calidad de los datos registrados en la estación de

Cáceres se descartan, para el desarrollo del modelo de descomposición diaria, aquellos

días que no hayan registrados sus variables correctamente a lo largo de todo el día y se

integran los valores 5-minutales para conocer el valor diario de cada una de las

variables.

Conocido el valor de la irradiación diaria para todos los días válidos del período,

calculamos para cada uno de ellos los coeficientes Kt y Kd definidos en el apartado 3:

ohd

ghd

tH

HK =

[6.1]

ghd

dfhd

d H

HK =

[6.2]

Para el cálculo del coeficiente Kt necesitamos primero conocer la irradiación

extraterrestre diaria que alcanza la atmósfera proyectada sobre una superficie

horizontal mediante la siguiente expresión:

)coscoscos180

(24

00 iS

CSd sensenEIH ωδφδφπω

π+= [6.3]

El cálculo del coeficiente Kd lo haremos de dos formas diferentes, para poder

comparar los resultados y detectar algún posible fallo en la medida que haya pasado

desapercibido al aplicar los filtros. La primera forma será utilizando directamente el

valor de la irradiación difusa diaria sobre superficie horizontal que obtuvimos en el

apartado anterior, y la segunda, calculando los valores de difusa a partir de los de

irradiación directa normal mediante la siguiente expresión:

ghd

Dd

ghd

dD H

HHK

0−= [6.4]



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Como el valor de la altura solar varía a lo largo del día, no podemos obtener la

irradiación directa sobre superficie horizontal diaria proyectando directamente los

valores de irradiación directa normal diarios. Así que se calculará para cada valor de

irradiancia directa normal almacenado cada 5 minutos su altura solar correspondiente

y se calculará su proyección sobre superficie horizontal para cada uno de los valores

generando una nueva columna de valores instantáneos de irradiación directa

horizontal:

)(0 αsenII DnD ⋅= [6.5]

Integrando estos valores como hacemos con el resto de las variables, hallamos la

irradiación directa diaria sobre superficie horizontal que será la que restaremos a la

irradiación global horizontal diaria en la expresión 6.3. El coeficiente que obtendremos

aplicando este procedimiento lo denominaremos KdD para diferenciarlo del Kd donde

aplicamos directamente la irradiación difusa registrada.

Una vez calculados los coeficientes para cada uno de los días del período de estudio,

representamos los puntos Kt- Kd- y los kt-KdD:

kt-kd diario, Cáceres

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

kt

kd

Figura 1. Representación de los valores Kd-Kt diarios obtenidos con los datos de irradiación difusa medidos en la estación de Cáceres.



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kt-kdD diario, Cáceres

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

kt

kdD

Figura 2. Representación de los valores Kt-KdD diarios obtenidos con los datos de irradiación directa

normal medidos en la estación de Cáceres.

Podemos observar que la nube de puntos representada en ambas figuras es muy

similar, lo que refleja que el control de calidad de los datos ha sido el adecuado.

Para aproximar los puntos representados en las figuras por un modelo matemático,

emplearemos varios tipos de ajustes. En primer lugar, probaremos con un ajuste lineal

de la nube de puntos y en segundo lugar con ajustes polinómicos de tercer y cuarto

orden. La metodología que emplearemos para obtener los diferentes ajustes será la

misma que se empleó en el proyecto fin de carrera “Obtención de modelos kd-kt

horario y diario a partir del análisis de datos medidos en la estación radiométrica de la

Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla” para obtener los modelos con los datos del

GTER, pudiendo así comparar con mayor rigor los resultados en ambos

emplazamientos. A continuación se describe la metodología empleada en cada uno de

los ajustes:

6.1 AJUSTE LINEAL

Se aproximará la nube de puntos representada en las figuras 1 y 2 por un modelo lineal

formado por 3 intervalos, dos intervalos donde el valor de Kd se considerará



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constante, y otro donde se ajustará el resto de valores con una recta de pendiente

negativa. Para saber el valor de Kt que delimita el comienzo y el fin de uno y otro

intervalo, seguiremos el siguiente procedimiento:

1. Calculamos la recta realizando un ajuste en el sentido de los mínimos

cuadrados con todos los puntos representados en la figura.

2. Comprobamos si el valor de Kd, al sustituir en la ecuación de la recta obtenida

el menor Kt de la nube de puntos, es mayor que 1. Si es así, pasamos al

siguiente punto, si no, ya hemos encontrado el valor de Kt antes del cual los

puntos serán aproximados por una recta horizontal de valor el Kd calculado y

pasamos al punto 4.

3. Si el valor de Kd ha sido mayor que 1 probaremos a hacer un nuevo ajuste con

los puntos que tengan un Kt mayor que el menor de los incluidos en el paso

anterior. Y volvemos al punto 2º.

4. Para obtener el segundo tramo horizontal comprobamos si al sustituir el valor

del mayor Kt de la nube de puntos en la ecuación de la recta se alcanza un Kd

menor que el mínimo que ha sido representado en los puntos. Si esto es así,

debemos recalcular la ecuación excluyendo del ajuste todos los puntos cuyos Kt

sean mayores o iguales que último Kt incluido, e ir de nuevo al punto 2. Si no, el

último Kt incluido en el ajuste de la recta será el límite del tramo horizontal de

valor su Kd correspondiente y hemos completado el modelo.

Para el ajuste de la recta de pendiente negativa, también se ha utilizado el mismo

procedimiento empleado en el último modelo diario desarrollado por el GTER, para

poder comparar los resultados sin que esto influya. A continuación, presentamos un

diagrama de flujo que explica los pasos seguidos a la hora de obtener la correlación:



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Ajustar los puntos por mínimos cuadrados

Eliminar puntos cuya distancia a la recta esté por encima de 3 * distancia media

Se elimininó algún punto

si

No

Correlación definitiva

Seleccionar puntos cuyo Kt esté entre Ktmín y Ktmáx

Una vez aplicado el procedimiento a los datos y conocida la correlación definitiva,

representaremos el conjunto de puntos que se han utilizado para el ajuste final de la

recta con pendiente decreciente calculados a partir de la radiación difusa:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Kt

Kd

Kt-Kd diario. Medidas de Cáceres

Figura 3. Representación de los valores Kd-Kt diarios empleados en el ajuste de la recta definitiva de

pendiente negativa.



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La recta representada en la figura es aquella en la que converge el procedimiento

empleado que tiene la siguiente expresión:

Kd = 1.423246-1.720478·Kt [6.6]

Sustituyendo los puntos representados en la figura 1 en la ecuación de la hallamos los

siguientes extremos:

Ktmáx.= 0.79 Kdmín.= 0.09847

Ktmín= 0.25 Kdmáx.= 0.99312

Modelo obtenido con los datos de radiación difusa:

Kd = 0.986 si Kt ≤0.25

Kd = 1.423246-1.720478·Kt si 0.23< Kt <0.79

Kd = 0.082 si Kt ≥0.79

[6.7]


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

kt

kd

Figura 4. Representación de los valores Kt-Kd diarios medidos en la estación de Cáceres junto al

modelo lineal obtenido a partir de ellos.

Aplicando la misma metodología de ajuste a los valores kt- kdD representados en la

figura 2 se obtiene el siguiente resultado:



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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Kt

KdD

Kt-KdD diario. Medidas Cáceres.

Figura 5. Representación de los valores KdD-Kt diarios empleados en el ajuste de la recta definitiva de

pendiente negativa.

La recta representada en la figura 5 es aquella en la que converge el procedimiento

empleado que tiene la siguiente expresión:

KdD = 1.451014-1.708327·Kt [6.8]

Sustituyendo los puntos representados en la figura 2 en la ecuación de la hallamos los

siguientes extremos:

Ktmáx.= 0.78 KdDmín.= 0.135602

Ktmín= 0.27 KdDmáx.= 0.989766

Modelo obtenido con los datos de radiación directa:

KdD= 0.986 si Kt ≤0.23

KdD = 1.451014-1.708327·Kt si 0.23< Kt <0.77

KdD = 0.082 si Kt ≥0.77

[6.9]



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0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

kt

kdD

Figura 6. Representación de los valores Kt-KdD diarios medidos en la estación de Cáceres junto al

modelo lineal obtenido a partir de ellos.

Una vez hecho el ajuste representamos ambos modelos juntos sobre los puntos de

partida para poder comparar los resultados:


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

kt

kd

kt-kd kt-kdD Ajuste kt-kd Ajuste kt-kdD

Figura 7. Representación de los valores Kt-Kd y Kt-KdD diarios medidos en la estación de Cáceres con

sus respectivos modelos lineales.



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Puede verse con toda claridad en la figura 7 que tanto la nube de puntos como el

modelo obtenido con la radiación directa son prácticamente iguales que los obtenidos

con los datos de difusa, aunque ligeramente desplazado hacia arriba. Esto quiere decir,

que los valores de irradiación difusa calculados a partir de las medidas de irradiancia

directa son un poco superiores a los que directamente han sido medidos con el

piranómetro sombreado. Esto podría deberse a que los aparatos de medida no estén

bien calibrados o simplemente a que las medidas han sido tomadas con dos

dispositivos diferentes que tienen errores de medida diferentes. Aunque también

podría ocurrir que el pirheliómetro no estuviese correctamente alineado

subestimando la directa existente una cantidad tal que a simple vista no puede ser

detectada en la inspección visual de las gráficas ni con los filtros aplicados de la BSRN

(donde el margen de error en el filtro de variables cruzadas es de 50W/m2) asumiendo

como consecuencia una difusa superior. Otra posibilidad es que la propia estructura

que soporta la bola de sombreamiento bloquee parte de la difusa procedente de la

bóveda celeste haciendo que el piranómetro subestime las medidas de irradiación

difusa. Es difícil decidir cual de las dos variables es más adecuada, así que en principio

seguiremos considerando ambos resultados como posibles.

6.2 AJUSTE POLINÓMICO

A continuación, haremos un ajuste polinómico de tercer y cuarto orden para la nube

de puntos que hemos obtenido con los valores de radiación difusa. En este caso

impondremos la condición de que la polinomial pase por el punto Kd=1 y Kt=0.

El procedimiento a seguir para elegir los valores de Kt que limitan las distintas partes

de los modelos es el mismo que para el modelo lineal. Representaremos ambos ajustes

junto a los puntos de partida correspondientes para poder comparar los resultados:



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0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

kt

kd

kt-kd Polinomial 4ª Polinomial 3ª

Figura 8. Representación de los modelos Kt-Kd polinómicos de 3º y 4º orden obtenidos a partir de los

datos de radiación difusa medidos en la estación de Cáceres.

Modelo polinómico de tercer orden:

Kd = 0.990 si Kt ≤ 0.07

Kd = 1+ 0.0232Kt -1.7965 Kt2+ 0.3556 Kt3 si 0.07 < Kt < 0.76

Kd= 0.101 si Kt ≥ 0.76

[6.10]

Modelo polinómico de cuarto orden:

Kd = 0.992 si Kt ≤ 0.05

Kd = 1+ 0.0961 Kt -1.3415 Kt2-0.5179 Kt3+0.5297 Kt4 si 0.05 < Kt < 0.76

Kd = 0.081 si Kt ≥0.76

[6.11]

Como se observa en la gráfica X ambos modelos prácticamente se superponen, y a

simple vista es casi imposible distinguir cual se ajusta mejor a la nube de puntos.



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Aplicando la misma metodología de ajuste a los valores kt- kdD representados en la

figura X se obtiene el siguiente resultado:


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

kt

kdD

kt-kdD Polinomial 3ª Polinomial 4ª

Figura 9. Representación de los modelos Kt-Kd polinómicos de 3º y 4º orden obtenidos a partir de los

datos de radiación directa medidos en la estación de Cáceres.

Modelo polinómico de tercer orden:

KdD = 1 si Kt ≤ 0.05

KdD = 1+ 0.1272 Kt -2.0396 Kt2+ 0.502641 Kt3 si 0.05 < Kt < 0.77

KdD = 0.118 si Kt ≥ 0.77

[6.12]

Modelo polinómico de cuarto orden:

KdD = 0.998 si Kt ≤ 0.05

KdD = 1+ 0.0416 Kt -1.4838 Kt2-0.5950 Kt

3+0.6804 Kt

4 si 0.05 < Kt < 0.76

KdD = 0.140 si Kt ≥0.76

[6.13]



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Al igual que ocurría con los modelos kt-kd polinómicos, se observa en la gráfica X que

ambos modelos kt-kdD prácticamente se superponen, y a simple vista es casi imposible

distinguir cual se ajusta mejor a la nube de puntos.

Una vez definidos los ajustes representamos todos los modelos juntos sobre los puntos

de partida para poder comparar los resultados al igual que hicimos con los modelos

lineales:


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

kt

kd

kt-kd Polinomial 3ª kd Polinomial 4ª kd

kt-kdD Polinomial 3ª kd Polinomial 4ª kd

Figura 10. Representación de los valores Kt-Kd y Kt-KdD diarios medidos en la estación de Cáceres con

sus respectivos modelos polinomiales de 3º y 4º orden.

Observamos que el resultado obtenido es el mismo que con los ajustes lineales, los

valores de kd que proporcionan los modelos polinómicos obtenidos con los valores de

irradiación difusa calculados a partir de las medidas de irradiación directa son

ligeramente superiores a los que proporcionan los modelos obtenidos con los valores

medidos de irradiación difusa.

Para comparar los modelos obtenidos tanto con las medidas de difusa como con las

medidas de directa, se hallará para cada uno de ellos el valor del error medio (MBE) y



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del error cuadrático medio o erro estándar (RMSE), parámetros tradicionalmente

empleados en este tipo de comparaciones.

El error medio se define según la siguiente expresión:

)(1

,1

,d

meddif

n

i

destdif HH

nMBE ∑

=

−⋅= [6.14]

Y el error cuadrático medio mediante la expresión:

2,

1, )(

1 dmeddif

n

i

destdif HH

nRMSE ∑

=

−⋅= [6.15]

El valor de ambos parámetros para cada uno de los modelos presentados se recoge en

la siguiente tabla:

Tabla 9. Valores del MBE y del RMSE obtenidos para los modelos Kt-Kd diarios.

Caceres

Lineal Polinomial 3º Polinomial 4º

kd kdD kd kdD kd kdD

MBE (Wh/m2) -17.75 -16.01 -13.92 -9.17 -13.83 -8.94

RMSE (Wh/m2) 280.80 281.01 260.67 263.46 260.78 263.69

Se observa que el menor error medio tanto para los modelos kt-kd como para los

modelos kt-kdD se obtiene para el ajuste polinomial de cuarto orden, aunque la

diferencia de resultados con los modelos polinomiales de tercer orden no son

destacables. Los ajustes con menor desviación típica son en ambos casos los

polinomiales de tercer orden, aunque tampoco se encuentra una diferencia apreciable

respecto a los hallados con el ajuste polinomial de mayor orden. Si comparamos los

resultados de los ajustes de los puntos kt-kd con los de los puntos kt-kdD, vemos que

estos últimos son los que menor error medio presentan pero no el que menor

desviación típica, aunque este último parámetro puede considerarse del mismo orden

en ambos casos. En vista de los resultados obtenidos en ambos coeficientes y por

simplicidad en el cálculo, consideraremos el modelo polinomial de tercer orden diario

obtenido a partir de los datos de directa como el más adecuado para el emplazamiento

de Cáceres.



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Si analizamos el RMSE de este último modelo frente al valor medio de irradiación

difusa diaria registrada durante el período de estudio, podemos decir que representa

un 17.6 % del mismo, mientras que el error medio no supone ni el 0.1 % del mismo

valor. Esto nos muestra que el uso de este tipo de modelos es más adecuado cuanto

mayor es el período de cálculo para el que se aplica. Es decir, el uso de este modelo

daría un buen resultado si el objetivo es conocer la irradiación difusa (o directa)

mensual de un determinado emplazamiento y aún mejor resultado si el objetivo es

conocer su valor anual.

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