6. m - bibing.us.esbibing.us.es/proyectos/abreproy/4943/fichero/6-modelo+linealizado.pdf · de esta...
TRANSCRIPT
199
6. MODELO LINEALIZADO
6.1. INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones que describen el comportamiento de la máquina de inducción
son no-lineales y sólo es posible resolverlas mediante técnicas de integración numérica
por ordenador.
En cualquier caso se puede adquirir una visión interesante de la máquina de
inducción mediante la linealización de sus ecuaciones, a parte del hecho de poder
predecir el comportamiento alrededor de un punto de trabajo con una cierta exactitud
para pequeñas oscilaciones alrededor del mismo.
Esta linealización puede ser realizada mediante el desarrollo de Taylor alrededor
de un punto de trabajo. Entonces las máquinas pueden ser tratadas como sistemas
lineales al referirse a pequeños cambios de operación de las mismas. De esta forma la
teoría de sistemas lineales puede ser utilizada para calcular autovalores y para establecer
funciones de transferencia para el uso en el diseño de sistemas de control.
En este capítulo se van a establecer las ecuaciones linealizadas. Se determinarán
los autovalores y se establecerán funciones de transferencia.
6.2. ECUACIONES A LINEALIZAR
Las ecuaciones linealizadas son deducidas de las ecuaciones de tensión
expresadas en términos de parámetros constantes, con fuerzas constantes,
independientes del tiempo. Estas condiciones se dan durante el régimen permanente
equilibrado por las ecuaciones de tensión expresadas en el sistema de referencia
síncrono. Como variables de estado se pueden escoger tanto las intensidades como los
flujos por segundo como bien se ha visto anteriormente, ya que no son independientes
entre sí.
Las ecuaciones de la máquina de inducción escritas en forma canónica tienen la
siguiente estructura,
( , )
( , )
df
dt
g
xx u
y x u
(6-1)
donde x es el vector de variables de estado, u es el vector de entradas e y es el vector de
salidas.
En caso de escoger los flujos por segundo como las variables de estado, entonces
las intensidades pertenecerán al vector de salidas y viceversa. Como se va a considerar
el régimen permanente equilibrado las componentes 0 de las variables serán nulas y por
tanto no van a ser formuladas aquí.
6 Modelo linealizado
200
( , )f x u
( , )g x u
dt
u ddt
x
y
x
u
x
x
6-1 Esquema de las ecuaciones del motor de inducción
Escogiendo los flujos por segundo como variables de estado las ecuaciones de
tensión en PU vienen dadas por
'
'
' '''
' '
''
0
01
0
0
s lr M e s M
b
e e e
qs qs qss lr Me s Me e e
ds ds dsbe e
bqr qr qr ls M e rr M
e e
dr dr
r ls Me rr
b
b
M
r X X r X
D D
v r X X r X
v dD D
dtv r X Xr Xv D D
r X Xr X
D D
'
'
e
r
e
dr
(6-2)
El par electromagnético, también en PU, será,
' '1( )
2
me qs dr ds qr
XT
D
(6-3)
y la ecuación mecánica
2 re L
b
dT H T
dt
(6-4)
6.3. LINEALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES
Hay dos procedimientos que pueden e seguidos a la hora de obtener las
ecuaciones linealizadas. La primera es usar el desarrollo de Taylor alrededor de un
punto. Cualquier variable ix puede escribirse en términos del desarrollo de Taylor como
2
0 0 2
0 2
1
2!
i i
i i i i
i i
f x f xf x f x x x
x x
(6-5)
0i i ix x x (6-6)
6 Modelo linealizado
201
Para pequeños desplazamientos los términos de mayor orden que 1 pueden ser
despreciados y la ecuación (6-5) puede ser aproximada por
0
0
i
i i i
i
f xf x f x x
x
(6-7)
y por tanto la característica de pequeño desplazamiento viene dada por término de
primer orden de la serie de Taylor.
0i
i i
i
f xf x x
x
(6-8)
El desarrollo para funciones de dos variables es similar
0 0 0 0
0 0
, ,, ,
i j i j
i j i j i j
i j
f x x f x xf x x f x x x x
x x
(6-9)
con
0 0 0 0, ,
,i j i j
i j i j
i j
f x x f x xf x x x x
x x
(6-10)
Un segundo procedimiento es escribir las ecuaciones en la forma dada por (6-6).
Se ejecutan todas las multiplicaciones y se cancela de ambos lados de la ecuación la
expresión correspondiente al régimen permanente, posteriormente se desprecian los
términos que sean productos de dos desplazamientos i jx x .
Por cualquiera de los dos métodos las ecuaciones linealizadas quedan
'
'
''''0
'
'''0
' '
0 0
0 0
0
0
02 2 2 2
s lr M e s M
b
e s lr Me s Mqs
eb
ds
er ls M ee rr Mqr
dre
dr
r ls M ee rr Mqr
e e e eM M M Mdr q
b
L
d
b
r s qs
r X X r X
D D
r X X r XvD Dv
r X Xr Xv
D Dv
r X Xr X
D D
X X X
D D D
T
X
D
' '
' '
1
2
e e
qs qs
e e
ds ds
e e
qr qr
e ebdr dr
r rb
b b
d
dt
H
(6-11)
Si se expresa esta ecuación de la siguiente forma:
d E x Fx u (6-12)
entonces
6 Modelo linealizado
202
'
'
'''0
'''0
' '
1 0 0 0 0
0 1 0 0 01
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 2
0 0
0 0
0
0
02 2 2 2
b
b
s lr M e s M
b
s lr Me s M
b
r ls M ee rr Mdr
r ls M ee rr Mqr
e e e eM M M Mdr q
b
d s
b
r s q
H
r X X r X
D D
r X X r X
D D
r X Xr XF
D D
r X Xr X
D D
X X X
D D
E
X
D D
(6-13)
Al pasar a forma canónica:
d
dt
xAx Bu (6-14)
entonces
1 1d
dt
xE Fx E u (6-15)
de forma que
1
1
A E F
B = E (6-16)
En estas ecuaciones se han linealizado de forma manual las ecuaciones del
funcionamiento del motor de inducción, pero sin tener en cuenta la saturación del
núcleo magnético. Si lo que se pretende es linealizar las ecuaciones con la consideración
de la saturación magnética se tendrá que realizar con métodos computacionales
mediante el cálculo de los jacobianos de las funciones que gobiernan la máquina, como
se expone en el epígrafe 6.5.
6.4. ESTABILIDAD EN PEQUEÑAS VARIACIONES - AUTOVALORES
Si en la ecuación (6-15) el vector u de las entradas es cero, o sea no hay
excitación, la solución de la ecuación diferencial homogénea es.
6 Modelo linealizado
203
te Ax K (6-17)
donde K es un vector formado por las condiciones iniciales que se hayan impuesto. La
exponencial representa la respuesta no forzada del sistema, también llamada matriz de
transición de estados. La estabilidad para pequeñas variaciones estará asegurada si la
matriz de transición tiende asintóticamente a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
Esto ocurre cuando las raíces de la ecuación característica de A tienen todas parte real
negativa. Las raíces se calculan de la ecuación
det 0 A I (6-18)
Los autovalores arrojan una forma de predecir el comportamiento de la
máquina de inducción de una forma simple para cualquier punto de operación
equilibrado. Los autovalores pueden ser reales o complejos, en este caso aparecen por
parejas de conjugados significando la oscilación de las variables de estado. La parte real
negativa corresponde a amplitudes de las variables de estado que decrecen con el
tiempo exponencialmente.
Cuando se considera el rótor bloqueado en una máquina de inducción, las dos
parejas de autovalores tendrán una parte imaginaria (frecuencia de oscilación)
correspondiente a la velocidad angular del sistema eléctrico. La frecuencia de una de las
dos parejas de autovalores complejos conjugados decrece a medida que aumenta la
velocidad del rótor, mientras que la otra pareja sufre una menor disminución de la parte
imaginaria, de hecho, para grandes máquinas prácticamente se mantiene constante.
La pareja de autovalores que mantiene la frecuencia prácticamente constante
está principalmente asociada a los transitorios eléctricos del estátor, mientras que la otra
pareja está principalmente asociada a los del rótor. De esta forma a la primera pareja se
le denomina autovalores del estator y a la segunda autovalores del rótor.
6-2 Autovalores de motor 50 HP con saturación
6 Modelo linealizado
204
Así, la respuesta eléctrica transitoria de la máquina viene influenciada por estas
parejas de autovalores. En la figura 6-2 están representados los autovalores de un motor
de inducción de 50 HP con saturación del núcleo magnético, en el mismo color vienen
representadas la parte real y la parte imaginaria positiva de cada pareja de autovalores
conjugados. En color verde está representado el autovalor real.
6-3 Autovalores motor de inducción 2250 HP
En la figura 6-3 se han mantenido los colores para representar a los autovalores,
de forma que los valores representados en azul son los correspondientes a la pareja de
autovalores del estátor y los representados en rojo a los del rótor.
Se puede comprobar que calculando los autovalores de distintas máquinas, a
mayor potencia de la máquina menor amortiguamiento (parte real del autovalor menor
en valor absoluto) en la respuesta libre asociada a los transitorios. Esto produce entre
otras cosas que las máquinas grandes se aproximen al punto de sincronismo de forma
oscilante durante el arranque en vacío. Un funcionamiento similar se aprecia cuando
hay un cambio brusco en el par resistente aplicado, aproximándose también de forma
oscilante al nuevo punto de equilibrio. Este tipo de comportamiento está asociado a los
autovalores del rótor. Es interesante el hecho de que este autovalor se ve reflejado de
forma notable en la velocidad del rotor, mientras que el autovalor del estator, de mayor
frecuencia, no. Esto es debido a que para una determinada inercia y amplitud de par, una
componente de par de baja frecuencia causará una variación mayor en la amplitud de la
velocidad del rotor que otra de alta frecuencia.
El autovalor real significa la respuesta exponencial. Caracterizaría el
comportamiento de la máquina si todos los transitorios eléctricos fueran despreciados, o
si están muy amortiguados como en el caso de las máquinas de baja potencia. Lo más
6 Modelo linealizado
205
interesante es que puede ser relacionado con la curva par-velocidad del régimen
permanente, dado que la parte en el que el autovalor es positivo, por tanto con un
funcionamiento inestable, coincide con la parte de curva que tiene pendiente positiva.
De esta forma, en la zona donde el autovalor es negativo corresponde a la zona donde la
curva par-velocidad de régimen permanente tiene una pendiente negativa, siendo la
única zona de funcionamiento estable.
6.5. FORMULACIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
Las ecuaciones de (6-1) una vez linealizadas toman la siguiente forma
d
dt
xAx Bu
y Cx Du
(6-19)
en las que las constantes se han calculado mediante las siguientes expresiones,
equivalentes al segundo término del desarrollo de Taylor, pero correspondientes a un
sistema multivariable,
0 0 0 0
0 0 0 0
, ,
, ,
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f g
f g
x u x u
x u x u
x u x uA C
x x
x u x uB D
u u
(6-20)
que son los jacobianos de las funciones f y g con respecto a los vectores x y u evaluados
en el punto de trabajo 0 0,x u .
Ax Bu
Cx Du
dt
u ddt
x
y
x
u
x
x
6-4 Esquema de simulación mediante ecuaciones linealizadas.
Para calcular las funciones de transferencia se transforma (6-19) al dominio de
Laplace.
0 s
A I x Bu
y Cx Du (6-21)
Donde I es la matriz identidad. La primera de estas dos ecuaciones es la
ecuación de estado o la forma fundamental del sistema de ecuaciones linealizado. La
segunda ecuación es la ecuación de salida, donde y es el vector de salidas expresado
como una combinación lineal del vector de estado x y el vector de entradas u.
6 Modelo linealizado
206
Resolviendo x en la primera ecuación de (6-21) y sustituyendo en la segunda
ecuación.
1( )s y C I A Bu Du (6-22)
En el cálculo de las funciones de transferencia lo normal es estar interesado en la
relación entre la entrada, que puede ser una sola variable o una combinación lineal de
las entradas, y las salidas, de las que también podemos estar interesados en una sola
variable de salida o una combinación lineal de las mismas.
Así pues es conveniente expresar
if
z
u G
Ky (6-23)
donde G es una matriz columna y if es una variable de entrada o combinación lineal
de diversas variables de entrada y K es una matriz fila con los coeficientes apropiados
para la selección de las salidas.
Sustituyendo
1
1
( )
( )
i i
i i
s f f
z s f f
y C I A BG DG
Ky KC I A BG KDG (6-24)
La formulación de la ecuación de transferencia queda completa una vez se
seleccionan K para la variable de salida deseada y se selecciona G para dar la entrada o
combinación de entradas conveniente.
De forma que la función de transferencia H s queda
1( )i
zH s s
f
K C I A B D G (6-25)
que relaciona una salida con una entrada en el dominio de Laplace, y que permitiría
diseñar controladores específicos para las variables involucradas, como podrían por
ejemplo ser los variadores de velocidad.
6.6. MODELOS REDUCIDOS LINEALIZADOS
6.6.1. ECUACIONES LINEALIZADAS DEL MODELO DE TERCER ORDEN
CLÁSICO
En el modelo reducido de tercer orden clásico se despreciaban los transitorios
eléctricos debidos al estátor, se trataba de simplificar el modelo reduciendo el orden
mediante la eliminación de dos términos diferenciales. Si en la ecuación (6-11) se
desprecia también dichos transitorios, considerando régimen senoidal equilibrado
queda:
6 Modelo linealizado
207
'
'
''''0
'
'''0
' '
0 0
0 0
0
0
02 2 2 2
s lr M e s M
b
e s lr Me s Mqs
eb
ds
er ls M ee rr Mqr
dre
dr
r ls M ee rr Mqr
e e e eM M M Mdr q
b
L
d
b
r s qs
r X X r X
D D
r X X r XvD Dv
r X Xr Xv
D Dv
r X Xr X
D D
X X X
D D D
T
X
D
''
''
0
0
1
2
e
qs
e
ds
eeqrqr
eeb drdr
rrb
bb
d
dt
H
(6-26)
Esta ecuación se puede expresar como
''
pk rrrr
e e
qds qds
ee
rr
d
dt
0
00 0W
S
v Y
Qv S
(6-27)
donde
0 0
0
1
1
0 0 2
0p
b
b
H
S (6-28)
Despejando
'1 1e e e
qds qds rr
W Yv -W (6-29)
y sustituyendo
'
'1 1 1
1 1e
errp k rr p
e
rr qdsp
d
dt
+ vS Q - vW Y S S S QW
(6-30)
Esta ecuación está escrita en forma fundamental, o sea
1 1 2 2
d
dt
xAx B u B u (6-31)
Lo que queda es
1 2
1 1 11
'
1
1 2
rr
p k p
rr
p
e e
qds
x u u
A = S QW Y S B S B S
v
QW
v (6-32)
Si se toman como salida las intensidades,
6 Modelo linealizado
208
'
' '
' ' ' '
'
0 0 0
0 0 01
0 0 0
0 0 0
e
qs
e eqs lr M M ds
e eds lr M M qr
e eqr M ls Mls lr ls lr M dr
e
dr M ls M r
b
i X X X
i X X X
i X X XX X X X X
i X X X
(6-33)
que se puede expresar como,
11 12
'
21 22
e eqds qds
e
qdr rr
x x
x x
i
i
(6-34)
Sustituyendo (6-29) en (6-34)
11 12 11
'
2
1 1
1
1 22 21
1
e eqds qds
e
qdr rr
x x x
x x x
i - v
i Y-
W W Y
W W (6-35)
y pasando a forma canónica
12 11 11
'
1
22 21 2
1
1 1
1
e
qds e
rr qdse
qdr
x x x
x x x
W Y W
W W
i
Y
-v
i - (6-36)
que es de la forma
1 1 2 2 y Cx D u D u (6-37)
y entonces
2
1 1
1 21
'
12 11 11
2
1
22 21 1
0
e
qds e
rr qdse
qdr
x x x
x x x
y = x u
W Y
iv
i
- WC = D
W-D
W Y
(6-38)
6.6.2. AUTOVALORES DEL MODELO DE TERCER ORDEN CLÁSICO
Al haber reducido el orden a tres el número de autovalores de la matriz A de
(6-32) se verá igualmente reducido. Al haber despreciado los transitorios del estátor la
pareja de autovalores complejos conjugados que aparecerá será muy similar a la de la
pareja del rotor del orden completo.
En la figura 6-5 se aprecia este hecho si se compara con la figura 6-3. El
autovalor real y dibujado en verde en ambas figuras es el autovalor correspondiente a la
curva característica par-velocidad y no se ve alterado prácticamente. El autovalor
complejo dibujado en rojo corresponde al autovalor del rotor y en su parte imaginaria
6 Modelo linealizado
209
casi no sufre variación alguna, especialmente cuando se está en torno a velocidad
nominal de la máquina.
6-5 Autovalores modelo reducido de 3er orden clásico
6-6 Comparativa autovalores modelo reducido frente a modelo completo
6 Modelo linealizado
210
Es la parte real del autovalor complejo del rotor la parte que se ve más alterada,
aunque principalmente para velocidades muy bajas, en la que en el modelo reducido se
ve mucho más plana que en el modelo completo, a velocidades cercanas a la nominal, la
forma de la curva es cualitativamente similar y con unos valores también bastante
parecidos.
Obviamente, al despreciar los transitorios del estátor, los autovalores
correspondientes al estátor han desaparecido.
6.6.3. FORMULACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.
La formulación de la ecuación de transferencia es directa siguiendo los pasos del
epígrafe 6.5. Si se toman las ecuaciones dadas por (6-31) y (6-37), expresándolas en el
dominio de Laplace
1 1 2 2
1 1 2 2
0 s
A I x B u B u
y Cx D u D u (6-39)
Despejando en la primera ecuación x y sustituyendo en la segunda
1 1
1 1 1 2 2 2s s
y C I A B D u C I A B D u (6-40)
Ahora para incluir las combinaciones de las entradas o las entradas concretas de
las que se pueda estar interesado y para seleccionar la salida
1 1 1
2 2 2
i
i
f
f
z
u G
u G
Ky
(6-41)
donde 1G y 2G son matrices columna y K es una matriz fila, 1if y 2if son escalares
que son entradas individuales o combinaciones lineales de las entradas. Sustituyendo
1 1
1 1 1 1 2 2 2 2i iz s f s f
K C I A B D G K C I A B D G (6-42)