5.sumatorias

Razonamiento Matemático Juan Manuel Cajahuanca L.

Sumatoria: En muchas ocasiones usaremos el símbolo (letra griega sigma mayúscula), leeremos suma de sus elementos, lo que significa que sumaremos ciertas expresiones. Por ejemplo si deseamos representar la suma de cuatro términos, escribiremos:

* Si se trata de suma de “n” términos usaremos la notación:

Ejemplo 1:Representar:

Resolución:Haciendo:

Lo simbolizaremos como:

Ejemplo 2:Interpretar el siguiente símbolo:

Resolución:En este caso: Valor inicial: Valor final: i=nSumando que varía: 2i

Ejemplo 3:Expresar en forma de sumatoria la siguiente suma:

Resolución:Esta forma se puede expresar:

Ley de formación:

Término inicial:

Término final: Luego:

PROPIEDADES DE SUMATORIAS

PRIMERA PROPIEDAD Numero de términos de de una sumatoria.

SEGUNDA PROPIEDAD

TERCERA PROPIEDAD La sumatoria de una constante es

59

Suma de los primeros “n” números naturales

Suma de los primeros “n” números pares

Suma de los primeros “n” números impares

Suma de los primeros “n” cuadrados

Suma de los primeros “n” cubos


igual al número de términos por una constante.

CUARTA PROPIEDAD

Una sumatoria se puede descomponer en dos o más sumatorias parciales.

SUMAS NOTABLES

Esta sumatoria se representa por

, cuyo resultado es.

Ejemplo 01: Sumar:

Rpta.

Ejemplo 01:

Sumar:

Rpta.

Ejemplo 01: Sumar:

Rpta.

Ejemplo 01: Sumar:

Rpta.

OTRAS FÓRMULAS

60


PROGRESIONES ARITMÉTICAS

PARA DETERMINAR EL NÚMERO DE TÉRMINOS (n)

Donde:

PARA DETERMINAR EL ÚLTIMO TÉRMINO (u)

Donde:

PARA DETERMINAR LA SUMA DE TÉRMINOS (S)

Donde:

Principales Sumas Típicas

Suma de fracciones cuyos denomina–dores tienen el producto de factores de una (P.A.)

Siendo:

r=razón aritmética (b–a)Los factores de los denominadores son una P.A. es decir

Ejemplo 1:Sumar:

Los factores del denominador son: 2, 5, 3, 8, 11, ……..62, 65 son una P.A. de razón 3, entonces aplicando la fórmula de la suma será:

Rpta.

Suma de Términos Infinitos Donde:

Ejemplo 1

Sumar:

Rpta.

61


1 Efectuar:

a) b) c)

d) e) n.a.

Resolución:

Rpta.

2 Calcular “S”

a) 9 433 b) 9 421 c) 9 439d) 9 455 e) 9 457

Resolución:

Rpta.

3 Hallar “S”

a) 1 296 b) 1 276 c) 1 246d) 1 286 e) n.a.

Resolución:

Rpta.

4 Hallar “n”

a) 40 b) 90 c) 120d) 80 e) 100

Resolución:Sea: , entonces

Rpta.

5 Hallar. , si:

a) 42 b) 44 c) 43d) 45 e) 46

Resolución:

; n=36 y b=6

Piden: Rpta.

6 Efectuar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Resolución:

62


Reemplazando las fórmulas

Rpta.

7 Calcular:

a) 85 b) 100 c) 170d) 86 e) 90

Resolución:Sumando dos términos resulta 1

Rpta.

8 Calcular:

a) 606 b) 605 c) 610d) 613 e) 608

Resolución:Término General

Rpta.

9 Hallar “n”

a) 8 000 b) 5 000 c) 9 000d) 7 000 e) n.a.

Resolución:Hacemos que

Rpta.

10 Calcular:

a) 1 657 b) 65 680 c) 65 780d) 65 890 e) n.a.

Resolución:

Extremos el

Por diferencia calculamos la sumatoria

Rpta.

63


1 Sumar:

a) 3 240 b) 3 161 c) 2 641d) 1 111 e) 4 220

2 Calcular

a) 6 420 b) 1 600 c) 1 940d) 1 820 e) 1 800

3 Calcular

a) 6 031 b) 5 021 c) 7 031d) 8 040 e) n.a.

4 Hallar: , si:

a) 37 b) 42 c) 39d) 48 e) 45

5 Sumar:

a) 9 360 b) 8 460 c) 5 380d) 8 880

6 Si:

Calcular: a) 5 895 b) 5 897 c) 5 984d) 5 896 e) 5 894

7 Calcular:

a) 38,9 b) 36,9 c) 37,8d) 36,19 e) 39,9

8 Calcular:

a) 6 436 b) 9 731 c) 9 647d) 8 137 e) 9 461

9 Calcular:

a) 80 b) 100 c) 180d) 90 e) 190

10 Efectuar:

a) n b) c) 2n

d) e) 1

11 Hallar “n” en:

a) 31 b) 251 c) 149d) 236 e) 216

12 Calcular:

a) 138 940 b) 134 830 c) 136 82d) 137 470 e) n.a.

13 Calcular:

a) 27,6 b) 29,8 c) 26,9d) 29,4 e) 28,7

14 Sumar:

a) 4 466 b) 4 866 c) 4 772

64


d) 4 260 e) 4 962

15 Calcular:

a) 66 240 b) 68 430 c) 66 420d) 68 340

16 Calcular la suma de cifras de:

a) 16 b) 18 c) 20d) 17 e) 19

17 Hallar: “n”

a) 4 b) 10 c) 6d) 8 e) 12

18 Calcular: , si:

a) 36 b) 86 c) 83d) 63 e) 68

19 Calcular:

a) 0 b) 1 c) –2d) 4 e) infinito

20 Calcular:

a) 7 200 b) 6 350 c) 8 740d) 8 400 e) 8 440

21 Efectuar:

a) 1 293 b) 1 295 c) 1 475d) 1 296 e) 1 325

22 Si: , además

Hallar: “N”a) 20 b) 25 c) 14d) 10 e) 15

23 Calcular:

a) 1 b) 1,18 c) 1,06d) 2 e) 1,09

24 Hallar la suma:

a) b) c)

d) e)

25 Al sumar:

a) 1 b) c)

d) e)

26 Calcular la suma:

a) b) c)

d) e)

27 Para cada entero positivo “n” calcular el valor de:

65


a) b)

c) d) –1e) 0

28 Determinar la suma:

a) 60,5 b) 53,5 c) 10,05d) 55,5 e) 62,5

29 Determinar el valor de “m” para que se cumpla:

a) 60 b) 63 c) 62d) 61 e) 59

30 Determinar la suma:

a) b) c)

d) e)

31 Sumar:

a) b) c)

d) e) n.a.

32 Hallar: “S” para

a) b) c)

d) e) 33 Sumar:

a) b) c)

d) e)

34 Sumar:

a) b) c)

d) e) n.a.

35 Sumar:

a) 0,43 b) 2,75 c) 0,41d) 0,043 e) n.a.

36 Hallar:

a) 660 b) 690 c) 670d) 645 e) 520

1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.

a c a c a d c b c

10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.

b b a d a b e e e

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

c d c a e c c b d

28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

b c c c c d c a c

66


37. 38. 39. 40.

a a c e

67

5.sumatorias

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