Reducción para ángulos positivos menores de una vuelta.

Reducción para ángulos mayores de una vuelta.

Reducción para ángulos negativos.

Reducción para ángulos menores de una vuelta

Sabemos que todo ángulo positivo menor de una vuelta (360º) se puede descomponer como un ángulo cuadrantal, más o menos un ángulo agudo, dependiendo del cuadrante al que pertenece.

Si el ángulo pertenece al segundo cuadrante lo descomponemos como(180º -α)

Si pertenece al tercer cuadrante lo descomponemos como (α – 180º)

Si pertenece al cuarto cuadrante lo descomponemos como (360º -α)

Se denomina así al ángulo agudo que forma el lado final de un ángulo mayor de 90º respecto al eje de las abscisas .

Para hallar el ángulo referencial aplicamos las siguientes fórmulas según el cuadrante al que pertenecen el ángulo final del ángulo dado.

II C

180º -α

I C

α

III C

α -180º

IV C

360º -α

EJEMPLO 1- Reducir al primer cuadrante Sen 240º

• Solución:• 240 Є al III C• Su ángulo referencial es (α – 180º)• 240 – 180• El Seno en el III C es negativo ( - )• Entonces Sem 240º 0 – Sen 60º

EJEMPLO 2- Reducir al primer cuadrante Ctg 280º

• Solución:• 280 Є al IV C• Su ángulo referencial es (360º - α )• 360 – 280• La cotangente en el IV C es negativo( -)• Entonces Ctg 280º = Ctg 80º

EJERCICIOS:Reduce los siguientes ángulos al primer cuadrante

Cos 140º

Csc 3 /4

Sen 300º

Sec 170º

REDUCCIÓN PARA ANGULOS MAYORES DE UNA VUELTA

Cuando el ángulo es mayor de 360º se siguen los siguientes pasos:

1. Dividimos el ángulo dado entre 360º ó 2 dependiendo del sistema en que se trabaje.

2. Las funciones trigonomètricas del ángulo dado son iguales a las respectivas F.T. del residuo ( de la división efectuada)

3. Si dicho residuo es menor de 90º ó /2, el problema habrá concluido, pero si fuera mayor, entonces aplicamos cualesquiera de lo métodos explicados en el primer caso.

EJEMPLOReducir al primer cuadrante Sen 2910º

• Solución:• 2910• Su residuo es 30º • 30 Є al I C• Angulo referencial es 30 y (+)• Entonces Sen 2910º = Sen 30º = 1/2

360

EJERCICIOS:Reduce los siguientes ángulos al primer cuadrante

• Tg 1845º• Cos 1290º• Sen 3930º• Tg 313 /3

Reducción para ángulos negativos• Cuando el ángulo es negativo se siguen los siguientes

pasos:1. Función trigonométrica del ángulo positivo se convierte a

F.T. de ángulo positivo2. Se aplican las reglas anteriores

Sen (-α) = - Sen α

Cos (-α) = Cos α

Tg (-α) = - Tg α

Ctg (-α) = - Ctg α

Sec (-α) = Sec α

Csc (-α) = - Csc α

EJEMPLOReducir al primer cuadrante Sen (-210º)

• Solución:Solución: Sen ( -210º ) = – ( sen 210)Sen ( -210º ) = – ( sen 210)Pero 210 Pero 210 ЄЄ III cuadrante III cuadranteAngulo referencial es 210 – 180º = 30ºAngulo referencial es 210 – 180º = 30ºSigno del coseno en el III C es negativo Signo del coseno en el III C es negativo Entonces sen ( -210º) = + sen 30º = ½Entonces sen ( -210º) = + sen 30º = ½

EjerciciosReducir al primer cuadrante.

• Tg (-1458º)• Ctg (-252º)• Cos (-260º)• Sec(- 1260º)

Simplificar

1.- R = tg( + x) . Cos ( 270º -x)

ctg (270º + x) . Sen (360º - x)

a)1 b) -1 c)0 d) 2 e) N.A.

2.- E = tg (540º - A) . Ctg (360º +A) Cos (180º + A) + 2 Sen (90º+A)

a) Sec A b) – Sec A c) ½ d)-1 e) N.A.

3.Reducir y calcular:

• F = Sen 6540º + Sec 7590º Tg 4290

a) -5√ 3 b) -7√ 3 c) -7 d) 7√ 3 e) 3√ 3 2 2 2 2 2

4. Hallar el valor de:

• M = Sen 140º – – tg 320º• Cos 230º ctg 130º

• a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0