5probabilidades

7/26/2019 5probabilidades

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3/41

Reverendo Thomas BayesInglaterra 1702-1761


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Captulo 5: Probabilidades

Cuando tomamos una muestra de unapoblacin! nuestras conclusiones oin"erencias acerca de la poblacin tienen ungrado de incertidumbre

Objetivo:

presentar una introduccin a la teor#a de laprobabilidad como "undamento para lain"erencia estad#stica! la $ue "inalmente nos

permitir% tomar una decisin sobre nuestroproblema&


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Comprueba tus intuiciones sobre el azar'de ()id%ctica de la *stad#stica+

Carmen Batanero! ,& )e ranada.

/Cmo piensas $ue deber#an ser los resultados delanar una moneda 20 veces seguidas

amos a comprobar $u3 tal son tus intuiciones

respecto a los resultados aleatorios&

*n una ho4a eli4e dos cuadr#culas5

- *n la primerade ellas escribe 20 resultados sinrealiar realmente el eperimento&

- *n la segundamitad lana la moneda 20 veces yescribe los resultados obtenidos&

on C para cara y 8 para sello&


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/Cmo podremos distinguir una secuenciarealmente aleatoria de otra $ue hemos inventado

Comparemos el nmero de carasen las secuenciasreal y simulada de todos los alumnos de la clase&

/Cmo podemos organiar y resumir estos datos


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Descripcin del lanzamiento de moneda enclase con 66 alumnos de Psicologa 2!:

Intuicin Real

----------------------------------------------

Promedio 10.42 9.94

Mediana 10.0 10.0

Desviacin estndar 1.15 2.31

Rano !.0 12.0

----------------------------------------------

"allo # $oja comparativo

%ntuicin &eal9 :::

6 :

7 :::

: ; ::::::::::::

:::::::::: < ::::::::

::::::::::::::::::::::::::::: 10 :::::::::::::::

::::::::::::::::: 11 ::::::

:::::: 12 :::::::::::

:: 1= :::

1> :::

: 19

16

17 :


8/41


9/41

?e pueden analiar dos nuevas variables en lassecuencias producidas por los alumnos5 eln@mero de rachas y la longitud de la racha m%s

larga& Alamaremos racha a una secuencia deresultados iguales&


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'(u) es Probabilidad*

Pensemos:

*st% empeando un partido y $ueremos decidir

$ui3n parte entre los dos capitanes del e$uipo&

Aanamos una moneda (balanceada+&

Aa probabilidad de obtener una (cara+ 12&

/Cmo determinamos esa probabilidad deobtener (cara+

/,sar#a una moneda o monedas di"erentes

/Cu%ntas repeticiones har#a

eamos


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La proporcin de caras en n lanzamientos de una moneda

0.47

0.48

0.49

0.50

0.51

0.52

0.53

0.54

0.55

0.56

0.57

0.58

0.59

0.60

0.61

0.62

0.63

0 2

5

5

0

7

5

1

0

0

1

2

5

1

5

0

1

7

5

2

0

0

2

2

5

2

5

0

2

7

5

3

0

0

3

2

5

3

5

0

3

7

5

4

0

0

4

2

5

4

5

0

4

7

5

5

0

0

5

2

5

5

5

0

5

7

5

6

0

0

6

2

5

6

5

0

6

7

5

7

0

0

7

2

5

7

5

0

7

7

5

8

0

0

8

2

5

8

5

0

8

7

5

9

0

0

9

2

5

9

5

0

9

7

5

1

0

0

0

1

0

2

5

1

0

5

0

1

0

7

5

1

1

0

0

1

1

2

5

1

1

5

0

1

1

7

5

1

2

0

0

1

2

2

5

1

2

5

0

1

2

7

5

1

3

0

0

1

3

2

5

1

3

5

0

1

3

7

5

1

4

0

0

1

4

2

5

1

4

5

0

1

4

7

5

1

5

0

0

Nmero de lanzamientos (n)

Proporcin

de

caras

!ente" #enden$all% &incic$% 1997


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De+inicin +recuencista de probabilidad:

Aaprobabilidad de ,ue ocurra un evento es

la "recuencia relativa con la $ue puedeesperarse $ue ocurra ese evento! si "uerarepetido muchas veces&

*sta de"inicin +recuencistao emp#rica es una

de las "ormas como se calculan lasprobabilidades pero tambi3n eisten otrasaproimaciones como la probabilidad cl-sica&

Aa probabilidad cl%sica data del siglo :II en

los traba4os de dos matem%ticos! ascal yDermat& ran parte de esta teor#a "ue creadapara intentar resolver problemas relacionadoscon los 4uegos de aar y asume $ue losresultados son e,uiprobables&


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Aa probabilidad cl%sica o Ea prioriE y la"recuencia relativa o Ea posterioriE sonconocidas como probabilidad objetiva&

*iste tambi3n la probabilidad subjetiva oBayesiana! $ue se debe a Thomas Bayes!reverendo ingl3s del siglo :III! y $ue ha sidodesarrollado por )e Dinetti en los aFos 1


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.l lenguaje de Probabilidades

De+inicin:

,n e/perimento aleatorio es un proceso'repetible. cuyo resultado no se conoce deantemano&

*n el largo plao la "recuencia relativa de los

resultados posibles del eperimento converge aun valor constante&


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.spacios 0uestrales # .ventos

?ea el e/perimento aleatorio H lanar una

moneda tres veces

odemos contar el n@mero de resultadosposibles de este eperimento con un diagramade %rbol5

S

1o

C

C

S

C

S

C

S

C

S

C

S

C

S

2o

3o


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o escribir los resultados como un con4unto5

SH CCC! CC?! C?C! C??! ?CC! ?C?! ??C!

???J

De+inicin:

,n espacio muestral es el con4unto de todos

los valores posibles de un eperimentoaleatorio&


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*scriba el espacio muestral ? para lossiguientes eperimentos5

a.Aanar una moneda5

b. Aanar dos dados5SH '1!1. '1!2. '1!=. '1!>. '1!9. '1!6.

'2!1. '2!2. '2!=. '2!>. '2!9. '2!6.'=!1. '=!2. '=!=. '=!>. '=!9. '=!6.'>!1. '>!2. '>!=. '>!>. '>!9. '>!6.

'9!1. '9!2. '9!=. '9!>. '9!9. '9!6.'6!1. '6!2. '6!=. '6!>. '6!9. '6!6. J

c.Aanar dos dados y anotar la suma de losvalores5

d. Tomar una muestra aleatoria de tamaFo 10

de un lote de pieas y contar cuantas tienende"ectos&

e.?eleccionar aleatoriamente un estudiante yanotar el tiempo $ue estudi estad#stica enlas @ltimas 2>-horas&

". *l tiempo $ue espero la llegada de la microen el paradero


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De+inicin:

,nevento es cual$uier subcon4unto del espacio

muestral S&

?e dice $ue un evento K ocurresi cual$uiera delos elementos o resultados en K ocurren&

Diagramas de 1ennLabitualmente se usan los diagramas de enn!de la teor#a de con4untos! para visualiar elespacio muestral y los eventos&

2

34a

4b


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Considere el eperimento de lanar dosdados& Mar$ue los resultados $ue correspondena los siguientes eventos5

a.*vento K H ENo sale seisE

SH '1!1. '1!2. '1!=. '1!>. '1!9. '1!6.'2!1. '2!2. '2!=. '2!>. '2!9. '2!6.'=!1. '=!2. '=!=. '=!>. '=!9. '=!6.

'>!1. '>!2. '>!=. '>!>. '>!9. '>!6.'9!1. '9!2. '9!=. '9!>. '9!9. '9!6.'6!1. '6!2. '6!=. '6!>. '6!9. '6!6. J

b. *vento B H E?ale eactamente un seisE

c.*vento C H E?alen eactamente dos seisE

d. *vento ) H (?ale al menos un seis+


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Aa uninde dos eventos! representada por (A oB! se denota por5 A B

2EK or BE

3

5

Aa interseccin de dos eventos! representado

por (AyB! se denota por5 A B

2Eboth K and BE

3

5

*l complemento de un evento! representado

por (noA+! se denota por5 AC

2

3

3C


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De+inicin:

)os eventos K y B son disjuntos o

mutuamente excluyentes si no tienenelementos en com@n& Ks#! si un evento ocurre!el otro no puedeocurrir&

2

35


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0utuamente e/clu#entes*

*n cada caso! determine si la siguiente lista deeventos son mutuamente ecluyentes5

a. ,n vendedor hace una venta5

K H (la venta ecede O9 mil pesos+

B H (la venta ecede O90 mil pesos+

b. ,n vendedor hace una venta5

K H (la venta es de menos de O9 mil pesos+B H (la venta es de entre O10 mil y O90 milpesos+C H (la venta es de m%s de O100 mil pesos+


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&eglas de Probabilidades

ara cual$uier evento K! le asignamos eln@mero 'K. llamado la probabilidad delevento 34

Ae asignamos una probabilidad a cada

resultado en el espacio muestral! entre 0 y 1!tal $ue la suma de estas probabilidades es

igual a 1! y Aa probabilidad de cual$uier evento es la

suma de las probabilidades de los resultados$ue hacen a$uel evento&

?i los resultados del espacio muestral son

equiprobables 'igualmente probables.! laprobabilidad de un evento K es simplemente laproporcin de resultados de K en el espaciomuestral&

Probabilidad cl-sica o a priori

3signando probabilidades a eventos*perimento H lanar dos dados&

posiblescasos

Ka"avorablescasos

posiblesresultadosden@mero

a"avorablesresultadosden@mero.' ==

AAP


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Ksuma $ue los =6 puntos en el espacio muestral son e$uiprobables&/Cu%l es la probabilidad de los siguientes eventos

a. *vento K H E No sale seisE

SH (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)'1!6.(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)'2!6.(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)'=!6.(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)'>!6.(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)'9!6.'6!1.'6!2.'6!=.'6!>.'6!9.'6!6.J

'K. H

b. *vento B H E?ale eactamente un seisE 'B. H

c. *vento C H E?alen eactamente dos seisE 'C. H

d. *vento ) H E?ale al menos un seisE '). H

e. Compare 1 - 'K. con ').

Aos eventos K y ) son eventos complementarios&

". Considere la suma de los valores de dos dados5

/Cu%l es la probabilidad de obtener una suma de =

/Cu%l es la probabilidad de obtener una suma de al menos 11


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/)ado cargado?e sospecha $ue un dado est% cargado en el sentido$ue tienden a salir n@meros grandes& Pueremosdocimar la siguiente hiptesis5

H05 *l dado no est% cargado 'todas las caras tienen

la misma probabilidad.&H

15 *l dado est% cargado hacia los n@meros m%sgrandes&

?uponga $ue usted obtiene los datos al lanar dos vecesel dado& *ntonces el espacio muestral es5

SH '1!1. '1!2. '1!=. '1!>. '1!9. '1!6.'2!1. '2!2. '2!=. '2!>. '2!9. '2!6.'=!1. '=!2. '=!=. '=!>. '=!9. '=!6.'>!1. '>!2. '>!=. '>!>. '>!9. '>!6.'9!1. '9!2. '9!=. '9!>. '9!9. '9!6.

'6!1. '6!2. '6!=. '6!>. '6!9. '6!6. J

?e sugiere la siguiente regla de decisin5 rechaarH

0si la suma de los dos dados es 11 o m%s etremo&

a. Cu%l es la direccin del etremo

b. Cu%l es el valor-psi al tirar los dados suman 11

c. /*s! ese resultado estad#sticamente signi"icativoal 9Q /Kl 10Q

&eglas cuando asignamos probabilidades:


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1& Cual$uier probabilidad es siempre un valor num3rico entre 0 y 1&Aa probabilidad es cerosi el evento no puede ocurrir&Aa probabilidad es unosi el evento es seguro&

0 1 P A' .

2& ?i sumamos las probabilidades de cada resultado individual en elespacio muestral! la probabilidad total tiene $ue ser uno&

P S' . = 1

=& Aa probabilidad de $ue un evento K ocurra es uno menos laprobabilidad de $ue el evento no ocurra&

P A P AC

' . ' .= 1

>& &egla de la suma5 Aa probabilidad de $ue un evento K o unevento B ocurra es la suma de sus probabilidades individualesmenos la probabilidad de la interaccin&

.'.'.'.'.o' BAPBPAPBAPBAP +==

2EK or BE

3

5

?i los dos eventos K y B son disjuntos! es decir! no tienenelementos en com@n! entonces5

.'.'.'.o' BPAPBAPBAP +==

e/o # educacin?uponga $ue se registra in"ormacin sobre seoy nivel de educacin de 200 adultos


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seleccionados al aar residentes de la comunade Talca

e/o*ducacin

B%sica Media ,niversitariaLombre =; 2; 22Mu4er >9 90 17

Considere los siguientes eventos5A H Eadulto seleccionado tiene educacin

universitariaEB H Eadulto seleccionado es mu4erE

/Cu%l es la probabilidad de $ue un adultoseleccionado aleatoriamente tenga educacin

universitaria o sea mu4er


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Aa probabilidad de $ue un adulto seleccionadoaleatoriamente tenga educacin universitaria osea mu4er es5

67!0200

1=>

200

17

200

112

200

=

la segunda! y una probabilidad de 0!2 de ganar amboscontratos&

a./Cu%l es la probabilidad de $ue la compaF#a gane al menosun contrato! es decir! la probabilidad de ganar el primercontrato o el segundo

b.)ibu4e un diagrama de enn para mostrar los dos eventos

KH (gana el primer contrato+ y BH (gana el segundocontrato+

3

50.2

0.3

c./Cu%l es la probabilidad de ganar el primer contrato perono el segundo

d./Cu%l es la probabilidad de ganar el segundo contrato pero

no el primero

e. /Cu%l es la probabilidad de no ganar ning@n contrato


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Probabilidad Condicional

*n ocasiones! el con4unto de todos los

Eresultados posiblesE puede constituir unsubcon4unto del espacio muestral original&

2

K given B

3

5

B = updated sample space

original sample space


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De+inicin:

Aa probabilidad condicionalde $ue ocurra el

evento K dado $ue el evento B ocurri est%dada por5

.'

.'.R'

BP

BAPBAP

= ! donde P B' . > 0

7ota5 de esta relacin se deduce $ue podemosescribir la interseccin de otra manera usandola rela de la multiplicaci!n"

.R'.'.R'.'.' BAPBPABPAPBAP ==


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*l aFo 200> la ,niversidad de Talca tiene9>9= estudiantes! en la tabla se muestra eldetalle de la composicin&

0ujeres 8ombres "otalPregrado 2>61 2;>; 9=0>"otal 292; 29=

a. /Cu%l es la probabilidad de $ue unestudiante elegido al aar sea un estudiante de

postgrado

b. /Cu%l es la probabilidad de $ue una mu4erelegida al aar sea estudiante de postgrado

c. *s este conteto! d3 un e4emplo de eventosmutuamente ecluyentes&


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Probabilidades condicionales

.scenario %

?ea el eperimento de lanar un dado&*l espacio muestral es#H1! 2! =! >! 9! 6J&

a./Cu%l es la probabilidad de obtener un dos' 2 . H

b.?uponga $ue sabemos $ue el resultado es parG

/cu%l es ahora la probabilidad de obtener undos '2 KR.H

.scenario %%?ea el eperimento de lanar una moneda dosveces&

*l espacio muestral es#HCC! ?C! C?! ??J&

a. /Cu%l es la probabilidad de $ue salga cara en elsegundo lanamiento 'C en segundo. H

b. /Cu%l es la probabilidad de $ue salga cara en elsegundo lanamiento dado $ue sali cara en el

primer lanamiento'C en segundoC en primer. H


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Compare los resultados en los dos escenarios

*n el segundo caso! la in"ormacin no cambila probabilidad buscada! es decir saber $ueEsali cara en el primer lanamientoE nocambi la probabilidad de E$ue salga cara en elsegundo lanamientoE&

*sto es as# por$ue los lanamientos de lamoneda son eventos independientes&


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De+inicin:

)os eventos K y B son independientessi

.'.R' APBAP = ! o .'.R' BPABP = &

?i saber $ue un evento ocurri no cambia laprobabilidad de ocurrencia del otro evento!entonces los eventos son independientes&

?i dos eventos K y B son independientes!entonces la regla de la multiplicacin5

.'.'.' BPAPBAP = &


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Considere el eperimento de lanar unamoneda 6 veces&

1& /Cu%l de las siguientes secuencias tienemayor probabilidad

'a. ?C?CC? 'b. CCC??? 'c. CCCCCC

2& ?i observamos ??????! en el siguientelanamiento ser% m%s probable $ue salga unacara o un sello


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?*RNKC realia una encuesta acerca de la calidad delservicio de reparacin de automviles en ;6 talleres5

TallerKtencin

Buena Regular Kutoriado 1; 6

No autoriado => 2;

a9/Cu%l es la probabilidad de $ue un taller elegido al aar d3una buena atencin

b9/Cu%l es la probabilidad de $ue un taller elegido al aar seano autoriado

c9 /Cu%l es la probabilidad de $ue un taller elegido al aar seano autoriado y d3 una buena atencin

d9/Cu%l es la probabilidad de $ue los talleres no autoriadosden una buena atencin

e9 /?on los eventos Eno autoriadoE y Ebuena atencinEdisjuntos*

+9 /?on los eventos Eno autoriadoE y Ebuena atencinE

independientes*

g9?i "ueran independientes! /cuantos talleres no autoriados$ue dan buena atencin esperar#a encontrar

&eglas b-sicas de Probabilidad:


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1& Aa probabilidad de $ue un evento K ocurrase denota por P A' .& ara cual$uier evento K!

0 1 P A' . &

2& Aa suma de todas las probabilidades de losresultados en el espacio muestral tiene $ueser igual a uno5

P S' . =

1

=& &egla del Complemento5 Aa probabilidadde $ue un evento ocurra es 1 menos la

probabilidad $ue el evento no ocurra&

P A P AC' . ' .= 1


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>& &egla de la uma5 Aa probabilidad de $ueel evento K o el evento B ocurra es la sumade sus probabilidades individuales menos la

probabilidad de la interseccin5

.'.'.'.o'.' BAPBPAPBAPBAP +== &

?i K y B son eventos mutuamente ecluyentes

'o dis4untos.! entonces5

.'.'.o' BPAPBAP += &


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9& Aa probabilidad condicional de $ue ocurraun evento K! dado $ue ocurri el evento Best% dada por5

.'

.'.R'

BP

BAPBAP

= ! donde P B' . >0&

)e a$u# sale la regla de la multiplicacin5.R'.'.R'.'.' BAPBPABPAPBAP == &

6& ?i dos eventos no se in"luencian entre s#! esdecir! saber $ue uno ocurri no cambia la

probabilidad de $ue el otro ocurra! loseventos son independientes& )os eventos Ky B son independientes si .'.R' APBAP = ! o

e$uivalentemente.'.R' BPABP =

&

?i dos eventos K y B son independientesentonces5 .'.'.' BPAPBAP = &

5probabilidades

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