UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS

FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

MAT 521 218 COMPLEMENTO DE CALCULO

FPV/fpv. Resolución del Certamen II (12.06.2001)

Nota: El certamen se realizó con cuaderno abierto. La nota máxima fué 95 puntos. En la

evaluación se ha seguido el método utilizado por el alumno.

1. La función u(x, t) describe las vibraciones de una cuerda de longitud L = 1, �ja ensus extremos y en posición horizontal, cuyo desplazamiento y velocidad iniciales sonnulos, y está sometida a una fuerza externa proporcional a la distancia a uno de susextremos.

(a) ¾Cuál es el modelo matemático que satisface u(x, t)?La fuerza externa es modelado por q(x, t) = k · x donde k es la cte. de proporcio-nalidad:

utt = c2uxx + k · x (x, t) ∈ ]0, 1[×]0,∞[

u(0, t) = u(1, t) = 0 t ≥ 0

u(x, o) = ut(x, 0) = 0 x ∈ [0, 1]

(b) Encuentre dicha función u(x, t).Aplicamos el Método de Variación de Parámetros de Lagrange

i. El problema de Sturm-Liouville asociado es:

X ′′(x) + (λ/c2)X(x) = 0 0 < x < 1

X(0) = X(1) = 0

Luego el conjunto de autovalores es {λn = (cnπ)2}∞n=1 y la familia de autofunciones{Xn(x) = sin nπx}∞n=1.

ii. La serie de Fourier Generalizada de q(x, t) para t > 0 es:

q(x, t) =

∞∑n=1

qn(t) sin nπx

qn(t) =〈kx, sin nπx〉‖ sin nπx‖2

= 2k

∫ 1

0

x sin nπxdx

=2k

nπ(−1)n+1

iii. Construimos la solución u(x, t) =

∞∑n=1

Cn(t) sin nπx, y como hemos deducido en

clases la familia {Cn(t)}∞n=1 satisfacen los Problemas de Valores Iniciales :

C′′n(t) + (cnπ)2Cn(t) =

2k

nπ(−1)n+1

Cn(0) = C′n(0) = 0

1

y cuya única solución es:

Cn(t) =4k

c2(nπ)3(−1)n+1 (1− cos nπct)

iv. La única solución del PVC propuesto es:

u(x, t) =8k

π3c2

∞∑n=1

(−1)n+1

n3sin2 nπct

2sin nπx

Observar que: |u(x, t)| ≤ 8kπ3c2

∑∞n=1

1n3 .

2. Un tubo abierto por un extremo se desplaza en la dirección de su eje con velocidadconstante v, y en el momento t = 0 se detiene instantáneamente. Determine eldesplazamiento u(x, t) del aire dentro del tubo a una distancia x del extremo cerrado.

(a) ¾Cuál es el modelo matemático que satisface u(x, t)?

Si el extremo x = 0 del tubo es abierto y la longitud de dicho tubo es L:

utt = c2uxx (x, t) ∈ ]0, 1[×]0,∞[

ux(0, t) = u(1, t) = 0 t ≥ 0

u(x, o) = 0 x ∈ [0, 1]

ut(x, 0) = v x ∈ [0, 1]

(b) Encuentre dicha función u(x, t).

Aplicamos el Método de Separación de Variables de Bernoulli:

i. El problema de Sturm-Liouville asociado es:

X ′′(x) + (λ/c2)X(x) = 0 0 < x < L

X′(0) = X(L) = 0

Luego el conjunto de autovalores es {λn = (c(2n + 1) π2L

)2}∞n=0 y la familia de autofun-

ciones {Xn(x) = cos (2n+1)πx2L

}∞n=0.

ii. Como no existe desplazamiento inicial:

u(x, t) =

∞∑n=0

Bn sin (2n+1)πct2L

cos (2n+1)πx2L

(2n + 1)πc

2LBn =

〈v, cos (2n+1)πx2L

〉‖ cos (2n+1)πx

2L‖2

=2v

L

∫ L

0

cos (2n+1)πx2L

dx

=4v

(2n + 1)πsin (2n+1)π

2

=4v

(2n + 1)π(−1)n

2

iii. La única solución del PVC propuesto es:

u(x, t) =4Lv

cπ2

∞∑n=0

(−1)n

(2n + 1)2

[sin (2n+1)π

2L(x + ct) + sin (2n+1)π

2L(x− ct)

]

3. La función u(x, t) describe las vibraciones longitudinales de un gas perfecto en untubo, podemos suponer que la presión se asume constante en la entrada y en lasalida del tubo, es decir, ux(0, t) = 0 y ux(L, t) = 0. Si el desplazamiento y velocidadiniciales son modelados por u0(x) y u1(x) respectivamente:

(a) ¾Cuál es el modelo matemático que satisface u(x, t)?

utt = c2uxx (x, t) ∈ ]0, L[×]0,∞[

ux(0, t) = ux(L, t) = 0 t ≥ 0

u(x, o) = u0(x) x ∈ [0, L]

ut(x, 0) = u1(x) x ∈ [0, L]

(b) Encuentre dicha función u(x, t).

Aplicamos el Método de Variación de Parámetros de Lagrange:

i. El problema de Sturm-Liouville asociado es:

X ′′(x) + (λ/c2)X(x) = 0 0 < x < L

X′(0) = X′(L) = 0

Luego el conjunto de autovalores es {λn = (cnπL

)2}∞n=0 y la familia de autofunciones{Xn(x) = cos nπ

Lx}∞n=0.

ii. Construimos la solución: u(x, t) =

∞∑n=0

Cn(t) cos nπL

x

donde la familia de coe�cientes {Cn(t)}∞n=0 satisfacen los siguientes PVI:

A. Para λ0 = 0:

C′′0 (t) + 0 · C0(t) = 0

C0(0) =〈u0(x), 1〉‖1‖2

C′0(0) =

〈u1(x), 1〉‖1‖2

por unicidad de la solución:

C0(t) =1

L

∫ L

0

u1(x)dx · t +1

L

∫ L

0

u0(x)dx

B. Para λn =(

cnπL

)2, (n ∈ N):

C′′n(t) +

(cnπL

)2 · Cn(t) = 0

Cn(0) =〈u0(x), cos nπ

Lx〉

‖ cos nπL

x‖2C′

n(0) =〈u1(x), cos nπ

Lx〉

‖ cos nπL

x‖2(1)

Nuevamente por la unicidad de la solución de estos PVI:

Cn(t) = Cn(0) cos cnπL

t +C′

n(0)L

cnπsin cnπ

Lt

donde los coe�cientes de Fourier de u0(x) y u1(x) han sido determinado en (1).

3

iii. La única solución del PVC propuesto es:

u(x, t) = C0(t) · 1 +

∞∑n=1

Cn(t) cos nπL

x

=1

L

∫ L

0

u1(x)dx · t +1

L

∫ L

0

u0(x)dx +

+

∞∑n=1

[Cn(0) cos cnπ

Lt +

C′n(0)L

cnπsin cnπ

Lt]· cos nπ

Lx

(c) El auto-valor λ = 0 contribuye a la solución con un término no oscilatorio, elcual corresponde a la translación de una masa gaseosa que va de una extremidada la otra. Este término incluye, entre otros, la velocidad media de circulación

del gas a través del tubo: V0 =1L

∫ L

0u1(s)ds. Identi�que éste término no

oscilatorio en su solución.

u(x, t) = C0(t) · 1︸ ︷︷ ︸Término no oscilatorio

+

∞∑n=1

Cn(t) cos nπL

x

=

(una recta)︷ ︸︸ ︷V0 · t +

1

L

∫ L

0

u0(x)dx +

∞∑n=1

Cn(t) cos nπL

x

4. Una membrana cuadrada de borde �jo, y en reposo recibe en su centro un golpe deintensidad constante, dado por un martillete cuadrado de área igual a 1/6 del áreade la membrana, y cuyos lados son paralelos a los de ésta:

(a) ¾Cuál es el modelo matemático que satisface el desplazamiento subsiguienteu(x, y, t) de la membrana?

Primero modelamos la velocidad inicial g(x, y) impartida a la membrana cuadrada delado a.

g(x, y) =

cte. si |2x− a| < a√6

|2y − a| < a√6

0 en otro caso

Así el modelo matemático es:

utt = c2 (uxx + uyy) (x, y, t) ∈ (0, a)× (0, a)× (0,∞)

u(0, y, t) = u(a, y, t) = 0 t ≥ 0

u(x, 0, t) = u(x, a, t) = 0 t ≥ 0

u(x,y,o) = 0 (x, y) ∈ [0, a]2

ut(x,y,0) = g(x,y) (x, y) ∈ [0, a]2

4

(b) Encuentre dicha función u(x, y, t) en forma de Serie de Fourier doble.

Sea λnm = πc√

n2 + m2 la frecuencia de oscilación de la membrana.

Como su desplazamiento inicial es nulo, u(x, t) construida por el

método de Bernoulli es:

u(x, y, t) =∞∑

n=1

∞∑m=1

Bnm sin λnmt sin nπxa sin mπy

a

λnm · Bnm =〈g(x, y), sin nπx

a sin mπya 〉

‖ sin nπxa sin mπy

a ‖2

=4 · cte.

a2

∫ a2(1+ 1√

6)

a2(1− 1√

6)

sin nπxa dx

∫ a2(1+ 1√

6)

a2(1− 1√

6)

sin mπya dy

=4 · cte.nmπ2

(sin nπ

2 sin nπ√6

)·(sin mπ

2 sin mπ√6

)y observamos que Bnm es cero si n o m es un entero par.

Luego el desplazamiento de la membrana es modelado por:

u(x, y, t) =∞∑

n=0

∞∑m=0

B2n+1,2m+1 sin(λ2n+1,2m+1)t sin (2n+1)πxa sin (2m+1)πy

a

donde

B2n+1,2m+1 =4 · cte. · (−1)(n+m)

π2 · λ2n+1,2m+1 · (2n + 1)(2m + 1)sin (2n+1)π√

6· sin (2n+1)π√

6

Nota: Una alumna cambió el último problema pensando que el martillete descansabasobre la membrana y después se retiraba: ¾ En tal caso, cuál sería una expresión aceptablepara modelar el desplazamiento inicial? Indicación: Piense, en una pirámide truncada einvertida.

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