5. problemas resueltos sobre fuerza específica (1)

5. APLICACIN DE LA ECUACIN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

197

Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Prez

Sede Medelln Escuela de Geociencias y Medio Ambiente


PROBLEMA 5.1

Las profundidades conjugadas del flujo en un canal de seccin trapecial (B = 2.0m, m1 = m2 = 2.0 y pendiente So=0.00) son: 1.50m y 0.8387m, suponiendo que =1.1, calcule la profundidad crtica del flujo.

Datos

m1 = m2 = 2 ; S0 = 0.00 ; B = 2.0 m ; = 0

Solucin: Figura 5.1

Por tratarse de un canal horizontal, e ignorando las prdidas de carga por friccin, se tiene:

M1 = M2

2

2

22

22

1

2

12

11Ag

QcosAy

Ag

QcosAy +

=+

( ) ( )( ) ( ) 2m08423538.3m8387.0m8387.0x22mymyBA 111 =+=+=

( ) ( )( ) ( ) 2m50.71.5mm1.5x22mymyBA 222 =+=+=

+

+=

11

2

1

3

1

1ymyB

2

yB

3

ym

y ;

+

+=

22

2

2

3

2

2ymyB

2

yB

3

ym

y

Siendo Q1 = Q2 = Q, y reemplazando se tiene:

( )( )

( )( )

22

2

22

22

2

2

3

2

11

2

11

11

2

1

3

1

ymyBg

QymyB

ymyB

2

By

3

my

ymyBg

QymyB

ymyB

2

By

3

my

+++

+

+=

+++

+

+


198



( ) ( )

( )( ) ( )

( )22

223

2

2

223

m7.50s

m9.81

Q1.1

2

m1.502

3

m1.502

m3.08423538s

m9.81

Q1.1

2

m0.83872

3

m0.83872

++=++

Luego s

m12.6092Q

3

=

Ahora, utilizando la ecuacin del estado crtico del flujo:

1cosAg

TQ23

c

2

=

Donde: ( ) ccc y42my2BT +=+=

( ) ccc ymyBA +=

Luego reemplazando, se obtiene:

( )

( )1

y2ym2s

m9.81

y4m2s

m12.60921.1

3

cc2

c

23

=

+

+

Finalmente m1.1419y c =

PROBLEMA 5.2

Se presenta un flujo uniforme con una profundidad de 1.0 m, en un canal trapecial con B = 2.0 m y taludes 2H: 1V, tendido con una pendiente de 0.002. Hallar el caudal y la profundidad crtica correspondiente a esta descarga. (n = 0.015). Hllense tambin las profundidades alterna y conjugada, correspondientes a la profundidad de 1.2 m.

Datos n = 0.015 ; S0 = 0.002 ; = 1.0

Solucin:

a. Clculo del caudal, Q Figura 5.2

Para hallar el caudal se emplea la ecuacin de Manning: 21

o3

2

H S RA n

Q

= (1)


199



( ) ( )( )( ) 2m 4m 1m 1 2m 2yy mBA =+=+= (2)

( )

( )( ) ( )

( )( )m 0.618

m 6.47

2m 4

21m 1 2m 2

m 1)m 1( 2m 2

m12y B

y y mBR

22

H ==

++

+=

++

+= (3)

( ) m0.72556m0.618R 32

3

2

H ==

( )( )( )21

2

3

1

0.002m0.72556m40.015

s

m1.0

Q =

s

m8.6528Q

3

=

b. Clculo de la profundidad crtica, yc:

Para hallar la profundidad crtica, se emplea la ecuacin del estado crtico:

1cosAg

TQ23

c

2

= (4)

Se procede a hallar los trminos que conforman la ecuacin anterior y a reemplazar.

( ) ( )1y22m2y22Bym2T ccc +=+=+= (5)

( ) ( )( ) ( ) ( )2cccc yy2yy22myymBA +=+=+= (6) So = tan = 0.002

= tan-1 (0.002) = 0.1145914062

cos2 = cos2 (0.1145914062) = 0.999996 1.0

( ) ( )

( )( ) ( )1

1yy2s

m9.81

12y2s

m8.65281

cosAg

cTQ

32

cc2

c

23

23

2

=

+

+

=


200



( )( )3c3c

c

23

y1y

2s

m9.814

1y2s

m8.6528

+=

+

( )6

c

5

c

4

c

3

c

2

c

23

y3y3yy

s

m9.81

1y2m

8.6528

+++=

+

s

0

s

m 9.814

s

m 8.6528

s

m9.812

ys

m8.6528

y3y3yy

2

23

2

c

23

3

c

4

c

5

c

6

c =+++

041.90802619y 73.81605238y3y3yy c3

c

4

c

5

c

6

c =+++

m 0.91589y c =

c. Clculo de la profundidad alterna correspondiente a y = 1.2 m

Para hallar la profundidad alterna, se plantea la ecuacin de Bernoulli entre las secciones (1) y (2), despreciando las prdidas por carga, as:

2g

Vcosyz

2g

Vcosyz

2

222

22

2

112

11 ++=++ (7)

Dado que la pendiente del canal es muy suave, z1 z2, y la ecuacin (7) se reduce a:

2g

V cosy

2g

V cosy

2

22

2

11

22 +=+

Y, en trminos del caudal, queda as:


201



A2g

Q cosy

A2g

Q cosy

2

2

22

1

2

1

2

22 +=+

Ahora, se obtendr el caudal correspondiente a la profundidad y = 1.2 m, empleando la ecuacin de Manning:

2

1

o3

2

H SRAn

Q

=

( ) ( )( ) ( ) 2m5.28m1.2m1.22m2yymBA =+=+=

( )

( )( )( ) ( )

( )( )m0.7167

m7.36656

m28.5

21m1.22m2

m1.2m1.22m2

m12yB

yymBR

2

22

H ==

++

+=

++

+=

( ) m0.8009m0.7167R 32

3

2

H ==

( )( ) ( )21

2

3

1

0.002m0.8009 m5.280.015

m1.0

Q s=

s

m12.61

s

m12.6077Q

33

=

( ) ( ) ( ) 22

2

2

2

2

23

2

2

2

23

y y12m

9.812

m12.61

y

m 5.28m

9.812

m12.61

1.2m

+

+=+

s

s

s

s

234

345

yy 2y

32.02614806yy 2ym 51.49071224

++

+++=

02.026148y51.49071224y1.98142449y40.50928775y2345 =++

m 7211.03815112y = (presentar las dems races)


202



d. Clculo de la profundidad conjugada correspondiente a y = 1.2 m

Para determinar la profundidad conjugada se emplea la siguiente ecuacin general:

22

1

22

21122 D A 1A

A F A yA y

= (8)

Tomando =1, con el nmero de Froude, y la profundidad hidrulica, se tiene:

( ) ( ) m 6.8m 2m 1.22 2By m 2T =+=+=

( )

( )10.7488

3m 5.28

s

m9.81

m 6.8 s

m 12.61

Ag

TQF

2

2

23

3

c

22


203



1 Solucin:

21 EE = (1)

( )g 2

V yy

g 2

V y

2

21

2

11 ++=+ (2)

En la seccin (2), la cabeza de velocidad es despreciable:

0g 2

V 22 = (3)

Entonces, yyg 2

V y 1

2

11 +=+ (4)

g 2

V y

2

1= (5)

Adems, A

QV = (6)

2

1

2

A g 2

Q y = (7)

siendo ybA1 = (8)

y sustituyndola en la ecuacin (7), se tiene:

( )22

y b g 2

Q y = (9)

2 Solucin:

21 MM = (10)

)yyy 2y(y b gy b gQ 2 222322 ++=+

222232322 yy b gy y b g 2y b gy b gQ 2 ++=+

22222 yy b gy y b g 2Q 2 +=


204



)yy 2(y y b gQ 2 22 +=

+=

y

y2yybgQ 2 222

Adems, se puede hacer la siguiente aproximacin:

0y

y , resultando:

y y b g 2Q 2 222 =

y despejando y , se obtiene:

22

2

y b g

Qy = (11)

PROBLEMA 5.4

Llenar los espacios en blanco del siguiente cuadro, cuyas filas representan datos de los respectivos resaltos hidrulicos formados en un canal rectangular de ancho constante y fondo horizontal. Tmese 1= y 1=

Resalto Hidrulico

No.

y1

(m)

v1

(m/s)

y2

(m)

v2

(m/s)

E

(m)

yc

(m)

1 0.3 5.0

2 2.0 1.5

3 6.5 0.58

4 0.61 1.36

5 50.0 6.0

Solucin:

a. Resalto hidrulico No. 1

Partiendo de la ecuacin de las profundidades conjugadas para el resalto, se tiene:

( )1F 812

1

y

y 21

1

2 += (1)


205



( )1F 812

yy 21

12 += (2)

Donde,

1

11

y g

VF = (3)

Reemplazando (3) en (2), se tiene:

+= 1

y g

V 81

2

yy

2

1

112 (4)

+= 1

y g

V81

2

yy

1

2

112 (5)

Por ltimo, reemplazando los datos de la tabla, se tiene:

( )

+= 1

m 0.3 s

m9.8

s

m5.0

812

m 0.3y

2

2

2 (6)

m 1.096y 2 = (7)

Por continuidad: 2211 y Vy VqB

Q=== (8)

De donde, 12

12 V

y

yV

= (9)

=

s

m5.0

m 1.096

m 0.3V2

s

m1.368V2 = (10)

Por otro lado, se tiene:


206



( )21

3

12

y y 4

yyE

= (11)

( )( )( )m 1.096m 0.3 4

m 0.3m 1.096E

3

=

m 0.384E = (12)

Por ltimo, para un canal rectangular, el clculo de yc se tiene la siguiente ecuacin:

32

2

c

cosg

q y = (13)

( )3

2

11c

g

y V y =

( )3

2

2

c

s

m9.81

m 0.3 s

m5.0 1

y

=

m 0.612y c = (14)

b. Resalto hidrulico No. 2.

Igual que en el problema anterior, se parte de una ecuacin similar

( )1F 812

1

y

y 22

2

1 += (15)

( )1F 812

yy 22

21 += (16)

Donde,

2

22

y g

VF = (17)



207



+= 1

y g

V 81

2

yy

2

2

221

+= 1

y g

V81

2

yy

2

2

221 (18)

Por ltimo, reemplazando los datos de la tabla, se tiene:

( )

+= 1

m 2.0 s

m9.81

s

m1.5

812

m 2.0y

2

2

1

m 385.0y1 = (19)

Por continuidad, 2211 y Vy VqB

Q=== (20)

De donde, 21

21 V

y

yV

= (21)

s

m1.5

m 0.385

m 2.0V2

=

m 7.7922V2 = (22)

Por otra parte,

( )21

3

12

y y 4

yyE

= (23)

( )( )( )m 2.0 m 0.385 4

m 0.385m 2.0E

3

=

m 1.3676E = (24)


208



Por ltimo, para un canal rectangular, el clculo de yc se obtiene a partir de la siguiente ecuacin:

3

2

cg

q y = (25)

( )3

2

22c

g

y V y =

( )3

2

2

c

s

m9.81

m 2.0 s

m1.5 1

y

=

m 0.972y c = (26)

c. Resalto hidrulico No. 3

Partiendo de la ecuacin de las profundidades conjugadas para el resalto hidrulico, tenemos:

+= 1

y g

V81

2

1

y

y

1

2

1

1

2 (27)

Desarrollando la ecuacin para encontrar y1, tenemos:

1

2

1

1

2

y g

V811

y

y2 +=+ (28)

1

2

1

2

1

2

y g

V811

y

y2 +=+

1

2

1

1

2

2

1

2

2

y g

V811

y

y4

y

y4 +=++

1

2

1

2

1

2

1

2

2

y

y4

y g

V8

y

y4 =


209



= 2

2

1

12

1

2

2 4yg

V 8

y

1

y

y4

= 2

2

11

2

2 4yg

V 8y4y

2

2

1

2

21

4yg

V 8

y 4y

=

2

2

1

2

21

y gV 2

y gy

= (29)

Reemplazando los valores numricos dados en la tabla, se obtiene:

( )

( )m 0.58 s

m9.81

s

m6.5 2

m 0.58 s

m9.81

y

2

2

2

2

2

1

=

m 0.042y1 = (30)

Por continuidad

1

2

12 V

y

yV

= (31)

=

s

m6.5

m 0.58

m 0.042V2

s

m0.4706V2 = (32)

Para el clculo de la prdida de energa, se tiene:


210



( )21

3

12

y y 4

yyE

= (33)

( )( )( )m 0.58 m 0.042 4

m 0.042m 0.58E

3

=

m 1.60598.1E = (34)

Por ltimo, para un canal rectangular, el clculo de yc se hace a partir de la siguiente ecuacin:

3

2

cg

q y = (35)

( )3

2

22c

g

y V y =

( )3

2

2

c

s

m9.81

m 0.58 s

m0.469 1

y

=

m 0.196y c = (36)

d. Resalto hidrulico No. 4.

Para las condiciones dadas de este problema, se tiene:

( )3

2

11c

g

y Vy = (37)

( )2113c y Vy g =

1

3

c

1y

y gV =


211



( )

m 0.61

m 1.36 s

m9.81

V

3

2

1

= (38)

s

m8.1435V1 = (39)

Clculo de y2:

+= 1

y g

V81

2

yy

1

2

112 (40)

Reemplazando 1V de (39) y los datos de la tabla,

+= 1

m 0.61s

m9.81

s

m8.143

812

m 0.61y

2

2

2

m 2.583y 2 = (41)

Por continuidad: 1

2

12 V y

yV

= (42)

=

s

m8.143

m 2.583

m 0.61V2

s

m1.923V2 = (43)

Para el clculo de la energa disipada en el resalto, se tiene:

( )21

3

12

y y 4

yyE

= (44)

( )( )( )m 2.583m 0.61 4

m 0.61m 2.583E

3

=

m 1.219E = (45)


212



e. Resalto hidrulico No. 5.

Se parte de las siguientes ecuaciones:

( )3

2

11c

g

y Vy = (46)

( )21

3

12

y y 4

yyE

= (47)

( )1F 812

yy 21

12 += (48)

1

2

12

1y g

VF = (49)

De la ecuacin (46), se tiene:

g

y Vy

2

1

2

13

c = (50)

2

1

3

c2

1y

y gV = (51)

Reemplazando la ecuacin (51) en (49), se tiene:

3

1

3

c

3

1

3

c2

1y

y

y g

g yF == (52)

Reemplazando la ecuacin (52) en la ecuacin (48), se tiene:

+= 1

y

y 81

2

yy

3

1

c12 (53)



213



+

+

=

1y

y 81

2

y 4y

y1y

y 81

2

y

E3

1

c11

3

1

3

1

c1

(54)

+

+

=

1 81 2y

11 812

1 y

E3

1

c2

1

33

1

c3

1

y

y

y

y

+

+

=

1 81 2

2

31 81

2

1 y

E3

1

c

33

1

c1

y

y

y

y

+

+

=

1y

y 81 2

3y

y 81 y

E3

1

c4

33

1

c1

(55)

Resolviendo la ecuacin (55) con las calculadoras hp 48,49g, 49G+ y 50G, para los valores dados de E y yc, se obtiene:

1.270729my1 = (56)

Reemplazando el resultado anterior en la ecuacin (53), se tiene:

+= 1

m 1.270729

m.0 6 81

2

m 1.270729y

3

2 (57)


214



m 17.814y 2 = (58)

Reemplazando 1y en la ecuacin (51), se tiene:

2

1

3

c2

1y

y gV = (59)

2

1

3

c1

y

y gV =

( )

( )2

3

2

1m 1.270729

m 6.0 s

m9.81

V

=

s

m36.225V1 = (60)

Por continuidad, 1

2

12 V y

yV

= (61)

=

s

m36.225

m 17.814

m 1.270729V2

s

m2.584V2 = (62)

PROBLEMA 5.5

Determinar la fuerza que se ejerce sobre cada una de las pilas del puente que atraviesan el canal rectangular de la figura, cuando el caudal es 25 m3/s. 1 = 1.1 , 2 = 1.2 y = 1000 kgf/m

3 .

Figura 5.5.a

Solucin:


215



Tomando un volumen de control en la pila del centro

Datos

B = 4.50 m; y1 = 3.0 m; 1 = 1.1 , 2 = 1.2

A2 = B y2 ; A1 = B y1; y2 = 2.50 m

A2 = 11.25 m2; A1 = 13.50 m

2

Figura 5.5.b

0

RMM X21 = (1)

2

2

222

X

1

2

111

Ag

QA y

R

Ag

QA y +=+ (2)

Remplazando en la siguiente ecuacin, para hallar Rx, se tiene:

2

2

22

2X

1

2

11

1

Ag

QA

2

y

R

Ag

QA

2

y+=+ (3)

( )( )

( )( )

( )

( )22

23

2

3

X

2

2

23

2

m11.25s

m9.81

s

m251.2

m11.252

2.5

m

N10000

R

m13.5s

m9.81

s

m251.1

m13.52

3

+=+

85828661.20

m

N10000

R44122588.25

3

X =

( )

=3X m

N10000m85828661.20 - 44122588.25 R 3

N 94.5824 R x = (4)


216



PROBLEMA 5.6 revisar altura final mayor que la inicial

Un puente tiene pilas de 0.6 m de largo, espaciadas 6.0 m, centro a centro. A una corta distancia aguas

arriba la profundidad del ro es 3.0 m y su velocidad 6.0 m/s. Suponiendo que las pilas tienen un

coeficiente de dragado de a) 1.5 y b) 2.0. Calcular la profundidad del flujo lo suficientemente lejos

aguas abajo para que no existan perturbaciones causadas por las pilas. Desprciense la pendiente y la

resistencia del lecho.

Figura 5.6

Solucin:

Se considera el rea del flujo aferente a una pila tpica

( )( )s

m108.0m3.0m6.0

s

m6.0yBVAVQ

3

1111 ====

(1)

Despreciando la friccin con el lecho del cauce y con el aire, la ecuacin de continuidad del movimiento, en direccin x, resulta:

2xairef

1 M

R

FFsenWM =

+ (2)

FD: fuerza de dragado o de arrastre, ejercida por el flujo de agua sobre la pila.

Rx: Reaccin a la fuerza de dragado, ejercida por la pila entre el volumen de control de agua.

0FR Dx = (3)

2VAC2

1FR DDx == (4)

A: rea frontal de la pila, en contacto con el agua.

1ybA = (5)


217



+=+

2

22

22x

1

22

11Ag

QcosAy

R

Ag

QcosAy (6)

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

+=+

2

2

2

2D

1

2

1

1

ybg

Q1.01.0yb

2

y

F

ybg

Q1.01.0yb

2

y

( )( )( )( )

( )( )( )

( )

( ) 22

23

2

2

2

11D

2

23

ym6.0s

m9.81

s

m108.01.0

ym6.02

1.0

g2

VybC

m3.0m6.0s

m9.81

s

m08.011.0

1.0m3.0m6.02

m3.0

+=+

( )( )

2

2

2

2

2

33

y

6198.165137y3

s

m9.812

s

m3.0m3.0m0.61.5

m766.0550458m27 +=+

2

2

2

33

y

6198.165137y3m23853211.1m93.0550458 +=

6198.165137y3y81651369.193

22 += (7)

( )( )

=

i0.712613.15567,

i0.712613.15567,

m93.19403067

m6.31134

y 2

Luego, m19.3y2 = (8)

PROBLEMA 5.7

Se han de instalar dos filas de bloques en un cuenco disipador, como se muestra en la figura, para ayudar en la formacin de un resalto hidrulico en el cuenco. Se ha encontrado que tal arreglo de bloques tiene un coeficiente de dragado efectivo de 0.3, con base en la velocidad aguas arriba y sobre el rea frontal combinada de bloques, con la condicin de que la profundidad aguas arriba no sea menor que la altura de los bloques.

Si el caudal es 28.317 m3/s y la profundidad de aguas arriba es 0.61 m, calcular la profundidad aguas abajo necesaria para formar un resalto hidrulico: a) Si se instalan los bloques, y b) si los bloques no se instalan. En cada caso, calcular las prdidas de carga en el resalto.


218



Solucin:

a. Clculo de la velocidad en la seccin (1), V1 :

11

1y B

Q

A

QV == (1)

Figura 5.7

( )( )m 0.61m 6.1

m28.317

V

3

1s=

s

m7.61V1 = (2)

b. Clculo de la profundidad conjugada en la seccin (2), y2 :

Aplicando la ecuacin general de fuerza especfica y despreciando la friccin con el lecho del cauce y con el aire, resulta:

2xgf

1 Mg

R

FFsen wM =

(3)

2x

1 M

RM = (4)

2

2

22Dtotal

1

2

11A g

QA y

g

F

A g

Q A y +=+ (5)

Donde:

2

1totaDDtotalV lA C 2

1F = (6)

Reemplazando la ecuacin (6) en la (5) se obtiene:

( )( )

( ) ( )( )

2

2

22

2

11

D

1

2

11

y B g

Q y B y

2

1

g

V y B C

2

1

y B g

Q y B y

2

1+=+ (7)

Reemplazando valores y realizando operaciones se obtiene la siguiente ecuacin cbica para y2:


219



013.400y 19.807y 3.05 23

2 =+ (8)

Resolviendo la anterior ecuacin se tienen los siguientes resultados:

y2 = 0.7386 m

y2 = 2.0975 m

y2 = -2.8361 m

Por lo tanto, la solucin es:

m2.0975y 2 = (9)

PROBLEMA 5.8

Fluyen 283.1685 m3/s de agua desde un embalse hacia un ro, a travs de un rebosadero, seguido de un cuenco disipador liso, como se muestra en la figura. El nivel del agua en el embalse est a 60.96 m sobre el nivel de referencia, y el del ro est a 30.48 m sobre el mismo nivel. Suponiendo que no hay disipacin de energa en el flujo a travs del rebosadero, calclese el nivel del fondo del cuenco requerido para que un resalto hidrulico se forme completamente en dicho cuenco. ( = = 1.0), adems el ancho del rebosadero es de 12.2 m.

Figura 5.8

Solucin:

Planteando la ecuacin de Bernoulli entre (0) y (1), despreciando las prdidas de energa, se tiene:

1o HH = (1)

g 2

V

pz

g 2

V

pz

2

111

2

ooo ++=++ (2)

g 2

Vyzz

2

111o ++= (3)


220



2

1

2

2

11oy B g 2

Qyzz ++= (4)

Donde,

2

1

2

2

1o1y B g 2

Qyzz = (5)

De otro lado:

[ ]1F 812

1

y

y 21

1

2 += (6)

Donde

[ ]1F 812

yy 21

12 += (7)

Adems,

( ) 312

2

12

1

2

2

1

2

12

1y

g B

Q

y g y B

Q

y g

VF

=== (8)

Reemplazando (8) en (7):

+= 1y

g B

Q 8

12

yy

3

1

2

2

12 (9)

Ahora, por ser horizontal el fondo del Cuenco Disipador,

21 zz = (10)

Sumando, a ambos lados de la igualdad en (9), la cota z2, se tiene:

13

1

2

2

122 z1

y

g B

Q 8

12

yyz ++=+

(11)

Donde 22 yz + es la cota del nivel ro denominada z3, as:


221



13

1

2

21

3 z1y

1

g B

Q 81

2

yz ++=

(12)

Donde,

+= 1

y

1

g B

Q 8 1

2

yzz

3

1

2

21

31 (13)

Igualando (13) con (5), se tiene:

+= 1

y

1

g 2B

Q 8 1

2

yz

y B g 2

Qyz

3

1

21

32

1

2

2

1o

( ) 0y

1

B g 2

Qy1

y

1

g B

Q 8 1

2

yzz

2

1

2

2

13

1

2

21

3o =++

( ) 0y

1

B g 2

Qy

2

y

y

1

g B

Q 8 1

2

yzz

2

1

2

2

11

3

1

2

21

3o =++

( ) 0y

1

B g 2

Q

2

y3

y

1

g B

Q 8 1

2

yzz

2

1

2

2

1

3

1

2

21

3o =++

(14)

Reemplazando los valores numricos, se tiene:

( )( )

( )( )

( )0

y

1

m 12.2s

m 9.81 2

s

m 283.1685

1.01.5yy

1

m 12.2s

m 9.81

s

m 283.1685 1.0 8

1y 0.5m 30.48m 60.962

12

2

23

13

12

2

23

1 =++


222



( ) 0y

m 27.45811.5y

y

m 439.3303 1y 0.5m 30.48

2

1

3

13

1

3

1 =++

Resolviendo la ecuacin anterior, se obtiene:

m 0.8200588y1 =

Reemplazando m 0.82y1 = en la ecuacin (9), se tiene:

( )

( ) ( )

+= 1m0.82

1

m 12.2s

m 9.81

s

m 283.1685 1.0 8

12

m 0.82y

32

2

23

2

m 911.5805991y 2 =

De otro lado,

322 zyz =+

232 yzz =

m 11.58m 30.48z 2 =

m 18.899z 2 =

PROBLEMA 5.9

Desde un embalse y a travs de un rebosadero, de ancho B = 12.192 m, se descarga un caudal de agua, Q = 283.17 m3/s, hacia un cuenco disipador de igual ancho y de fondo horizontal, como se muestra en la figura.

El nivel del agua en el embalse, detrs del rebosadero, es 60.96 m, con respecto a un nivel de referencia, y el nivel de fondo del cuenco es 22.86 m.

A fin de asegurar la formacin del resalto hidrulico en el cuenco, en el extremo de aguas debajo de ste se construye un escaln, como se observa en la figura.

Suponiendo que las prdidas de carga del flujo a travs del rebosadero son despreciables, y que sobre el escaln se presentar flujo crtico, calcular el nivel del escaln con respecto al mismo nivel de referencia.


223



Figura 5.9

Datos

Q = 283.17 m3/s; B = 12.192 m ; zo = 60.96 m ; zR = 30.48 m ; zF = 22.86 m

Solucin:

Clculo de la profundidad crtica, yc:

( )

( ) ( )3

2

2

23

322

2

c

1.0 m 12.192 s

m9.81

s

m283.17 1.0

cosB g

Q y

==

m 3.802698y c =

Ecuacin de Bernoulli entre (0) y (1):

2

1

2

22

11oy B g 2

Q cosyz00z ++=++

2

1

2

2

1Foy B g 2

Q yzz ++=

( )2

1

2

2

1Foy B g 2

Q yzz +=

( )2

1

2

2

1Foy

B g 2

Q

yzz +=

( ) 0B g 2

Q y zzy

2

22

1Fo

3

1 =+


224



( )( )

( )0

m 12.192 s

m9.81 2

s

m283.17 1.0

y m 22.86m 60.96y2

2

23

2

1

3

1 =+

014427.4944838y 38.1y2

1

3

1 =+

+

+

=

m 38.08104

m 0.85923

m 0.84027

y1

y1 debe ser menor que yc, luego y1 = 0.859238 m

+= 1

y g y B

Q 81

2

yy

1

2

1

2

21

2

+= 1

y g B

Q 81

2

yy

3

1

2

21

2

( )

( ) ( )

+= 1

m 0.859238 s

m9.81 m 12.192

s

m283.17 1.0 8

1 2

m 0.859238y

3

2

2

23

2

m 10.892y 2 =

Ecuacin de energa entre (2) y (3):

g 2

V yz

y B g 2

Q yz

2

33E2

2

2

2

2F ++=++

mn3E2

2

2

2

2F Ezy B g 2

Q yz +=++


225



Fmn32

2

2

2

2E zEy B g 2

Q yz ++=

Fc2

2

2

2

2E zy2

3

y B g 2

Q yz ++=

( )

( ) ( )( ) ( )m22.86m3.802698

2

3

m10.892 m12.192 s

m9.81 2

s

m283.18 1.0

m10.892z22

2

23

E ++=

m 36428.2797086zE =

PROBLEMA 5.10

En un canal trapecial, horizontal (B = 6.0 m; taludes 1.5H:1V) se forma un resalto hidrulico. Si la profundidad de aguas abajo es igual a 3.0 m, cuando el caudal es 28.32 m3/s, calcular la prdida de carga y la potencia disipada (en horse power) en el resalto hidrulico.

Figura 5.10

Datos

B = 6.0 m ; m = 1.5 ; y2 = 3.0 m ; Q = 28.32 m3/s

Solucin:

++==

2

2

2

22

1

2

121A g 2

Q y

A g 2

Q yEEE

( ) ( )

+

+

+

+=2

22

2

2

11

2

1

y y mB g 2

Q y

y y mB g 2

Q yE 2

E Q Pdisip =


226



Para hallar la prdida de carga, se debe hallar 1y , empleando la ecuacin de cantidad de movimiento:

21 MM = (Despreciando fuerzas de friccin)

2

2

22

1

2

11A g

Q A y

A g

Q A y +=+ (1)

( )y y mBA +=

( )y y mB

y B2

1y m

3

1

y

23

+

+

=

En (1):

( )( )

( ) ( )( )

( ) 22

2

22

22

2

2

3

2

11

2

11

11

2

1

3

1

y y mB g

Q y y mB

y y mB

y B2

1y m

3

1

y y mB g

Q y y mB

y y mB

y B2

1y m

3

1

+++

+

+

=+

+++

+

( ) ( ) 22

22

2

3

2

11

22

1

3

1y y mB g

Q y B

2

1y m

3

1

y y mB g

Q y B

2

1y m

3

1

+++=

+++

( )( )

( )

( ) ( )( )( )

( )[ ]( )m 3.0m 3.0 1.5m 6.0s

m9.81

s

m28.320.1

m 3.0 m 6.02

1m 3.0 1.5

3

1

y y 1.5m 6.0s

m9.81

s

m28.320.1

y m 6.02

1y 1.5

3

1

2

23

23

112

23

2

1

3

1

+

++=

+

++

( )( )( )

3

112

23

2

1

3

1 m 43.0954157

y y 1.5m 6.0s

m9.81

s

m28.32

y m 6.02

1y 1.5

3

1=

+

++

030681.7555963 y5724942.258y64312355.46y817.5y0.75y1

2

1

3

1

4

1

5

1=+++

Tras resolver el polinomio anterior, resultan las siguientes races:


227



y1 = 3.0000000 m

y1 = 0.2962762 m

y1 = - 4.4424963 m

y1 = (- 4.4268899 + 2.8300408i) m

y1 = (- 4.4268899 - 2.8300408i) m

De las anteriores races, la correcta es la segunda, es decir, y1 = 0.296276 m

Por lo tanto,

y1 = 0.2962762 m

( ) ( )[ ] ( ) 2111 m 1.909m 0.2962762 m 0.29627621.5m6.0ymyBA =+=+=

( ) ( )[ ] ( ) 2m 5.13m 3.0 m 3.01.5m6.0ymyBA 22

2 =+=+=

Por lo tanto,

++==2

2

23

2

2

23

21

22 m5.13 s

m9.81 2

s

m28.32

m 3.0

m 1.909s

m9.81 2

s

m28.32

m 0.2962762EEE

m0411971.3m 11.512972E =

E = 8.474306 m

EQPdisip =

( )m 8.474306s

m28.32

m

kg1000P

3

3

fdisip

=

s

m kg 34592.399922P fdisip =

h.p.76

34592.399922Pdisip =

h.p. 7940.1573Pdisip =


228



PROBLEMA 5.11

Partiendo de la ecuacin del resalto hidrulico en canales rectangulares, probar que el flujo aguas arriba es siempre supercrtico, y que el flujo aguas abajo es siempre subcrtico.

Solucin:

[ ]1F 81 2

1

y

y 21

1

2 += (1)

2

1

1

2 F 81 1y

y 2 +=+

Figura 5.11

2

1

2

1

2 F 81 1y

y 2 +=+

2

1

1

2

2

1

2 F 81 1y

y 4

y

y 4 +=++

2

1

1

2

2

1

2

F 8

y

y

y

y 4

=

+

8

1y

y

y

y 4

F 1

2

1

2

2

1

+

=

2

1y

y

y

y

F1

2

1

2

2

1

+

=

Dado que 12 yy >> , 1y

y

1

2 >

y 21y

y

1

2 >+


229



1 2

1y

y

1

2

>

+

Luego, 1F 21 > (Flujo supercrtico)

Anlogamente, para 22F

[ ]1F 81 2

1

y

y 22

2

1 +=

Resulta: 2

1y

y

y

y

F2

1

2

1

2

2

+

=

1y

y

2

1 <

1 2

1y

y

1

2

Soc = 0.0048499; luego, el canal es dependiente supercrtica, tal como se haba supuesto. En

consecuencia, el caudal, s

m7.9890Q

3

= es correcto.


232



c. Clculo de la profundidad centroidal, y de la seccin trapezoidal.

( )

+==

= 2

yym

3

yyB

2

yAyAy

n

1iiiT

6

ymyB

2

1Ay

32

T +=

Figura 5.12.c

2

ymyB

2

yymyBAAA

2

21T +=+=+=

yym2

1BA T

+=

d. Clculo de la profundidad del flujo en la seccin (1), y1:

21 MM =

2

2

22

1

2

11Ag

QAy

Ag

QAy +=+

22

23

22

2

11

23

12

1

yym2

1Bg

Q

6

ymyB

2

1

yym2

1Bg

Q

6

ymyB

2

1

+

++=

+

++

( )( )

( )

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )m 1.967m 1.9672

1.5m 2.5

s

m9.81

s

m7.9890 1.0

6

m 1.9671.5m 1.967m 2.5

2

1

yy2

1.5m 2.5

s

m9.81

s

m7.9890 1.0

y6

1.5ym 2.5

2

1

2

23

3

2

112

23

3

1

2

1

+

++=

+

++

=m 0.3194

m 1.967y1


233



De lo anterior, se tiene que la solucin para la profundidad en (1), es:

m 0.3194y1 =

PROBLEMA 5.13

En un canal trapecial (B = 6.0 m y taludes laterales 2H:1V) se forma un resalto hidrulico. La profundidad de aguas abajo es 2.4 m y el caudal es Q = 28.317 m3/s. Calcular la profundidad de aguas arriba, la prdida de energa y la potencia disipada (en kW) en el resalto. Calcule, adems, la fuerza especfica mnima del flujo.

Figura 5.13

Datos

Q = 28.317 m3/s ; B = 6.0 m ; m = 2.0 ; y2 = 2.4 m

Solucin:

21 M M = (1)

2

2

22

1

2

11A g

Q A y

A g

Q A y +=+ (2)

( )yymB2

yB

3

ym_

y

23

+

+

= (3)

Para y2 = 2.4 m y 1.0 =

( )yymBA += Mostrar clculos numricos (4) 2

2 m 25.92A = (5)

m 1.0222y 2 = Mostrar clculos numricos (6)

3

2 m 29.6495M = Mostrar clculos numricos (7)


234



2.461mA g 2

Q yE

2

2

2

22 =+= Mostrar clculos numricos (8)

a. Clculo de y1:

( ) 112

23

1

1

2

1

3

1

1

y y 26.0s

m9.81

s

m28.317 1.0

AA

2

y6

3

y2

M

+

+

+

=

(9)

( )3

11

2

1

3

11 m 29.6495y y 26.0

5181.8216825y 3y

3

2M =

+++= (10)

( ) ( ) ( ) 11112111311 y y 26.0 29.64955181.8216825y y 26.0y 3y y 26.0y3

2M +=++++= (11)

0y 59.299y 177.8975181.8216825y 6y 18y3

4y 4 21111

51

41

43 =++++

05181.8216825y 177.897y 59.299y 18y 10y3

41

211

41

51

3 =+++

y1 = 0.4121177 m

y1 = - 3.5354307 m

y1 = 2.4000000 m (valor ya conocido)

y1 = (- 3.3882768 + 2.4636671i) m

y1 = (- 3.3882768 - 2.4636671i) m

De las anteriores races, la correcta es la segunda, es decir, y1 = 0.296276 m

Por lo tanto,

y1 = 0.4121177 m (12)

Para y1 = 0.4121m

2

1 m 2.81225282A = s

m28.317Q

3

= (13)

m 750.19775469y1 = (14)


235



1.0 = m 5.584A g 2

Q yE

2

1

2

11 =+= (15)

1.0 = 31 m 29.623M = (16)

b. Clculo de la energa disipada en el resalto hidrulico:

21 EEE = (17)

m3.123m2.461m5.584E == (18)

m3.123E = (19)

c. Clculo de la potencia disipada en el resalto hidrulico

E Q P = (20)

( )m 3.123 s

m28.317

m

kg1000P

3

3

f

=

s

mkg88433.991P f=

=

2s

m9.81

s

mkg88433.991P f

W8866653.111P =

kW 866.653P = (21)

d. Clculo de la fuerza especfica mnima, Mmn

Calcular yc con la ecuacin del estado crtico, incluyendo beta

Para 1.1491myy c ==

2

c m 9.53546162A = (22)

m 0.5215y c = Mostrar clculos numricos (23)

3

minc m 13.54486MM == (24)


236



c

2

cccyymn A g

Q A yMM +== = (25)

3

min 13.545mM = (26)

PROBLEMA 5.14

En una canal rectangular de ancho constante y fondo horizontal se forma un resalto hidrulico. Si yc = 0.197m y E = 1.598m, calcule:

Las profundidades conjugadas

Los nmeros de Froude antes y despus del resalto.

Figura 5.14

Solucin:

Para un canal rectangular se tiene:

3

2

cg

qy = (1)

3

c

2

yg

q=

ygq

3

c= (2)

Reemplazando en la ecuacin (2) los datos del problema, se tiene:

( )

1.0

m 0.197s

m 9.8

q

3

2

=

s

m 440.27372368q

2

= (3)


237



Adems:

( )21

3

12

y y 4

yyE

= (4)

[ ]1F 81 2

1

y

y 21

1

2 += (5)

2

3

y g

q

y gy

B

Q

y gA

QF === (6)

2

3

1

1

y

Fg

q

= (7)

2

3

2

2

y

Fg

q

= (8)

[ ]1F 81 2

1

y

y 22

2

1 += (9)

Reemplazando los datos del problema en la ecuacin (7), se tiene:

3

1

2

22

3

1

2

2

1y

s

m9.81

s

m 440.27372368

y F

g

q

==

3

1

2

1y

3m 9551478090.00763757F = (10)

Reemplazando la ecuacin (10) en la ecuacin (5), se obtiene:

[ ]1F 81 2

yy 21

12 +=


238



( )

+= 1

y

m 9551478090.007637571 81

2

yy

3

1

31

2

+= 1

y

m 641182470.061100631

2

yy

3

1

31

2 (11)

De la ecuacin (4), se tiene que:

( )m 1.598

y y 4

yyE

21

3

12 =

= (12)

Resolviendo las ecuaciones (11) y (12), simultneamente, se obtiene:

m 0.04216y1 =

m 0.58121y1 =

Finalmente, se obtiene:

( )10.095

m 0.04216

m 9551478090.00763757F

3

3

1 ==

( ) 0.197

m 0.58121

m 9551478090.00763757F

3

3

2 ==

PROBLEMA 5.15

La profundidad del flujo y el nmero de Froude en el pie de un vertedero de rebose son 0.5m y 8.0 m, respectivamente. La profundidad aguas abajo es 6.5m. Encontrar la altura de cada necesaria para que la seccin de inicio del resalto hidrulico est en el pie del rebosadero, y la seccin final, en la cada.

Figura 5.15

Solucin:


239



1

1

yg

VF = (1)

111 ygFV = (2)

( )s

m17.7178m0.5

s

m9.818.0V1 ==

s

m17.7178V1 = (3)

11 y Vq =

( )m s

m 8.8589m 0.5

s

m 17.7088q

3

==

s

m 8.8589q

2

= (4)

[ ]1F 81 2

yy 21

12 +=

( )[ ] m 5.412418.0 81 2

m 0.5y

2

2 =+= (5)

Aplicando Bernoulli entre las secciones (2) y (3), despreciando las prdidas, se tiene:

g 2

Vy

g 2

Vyz

2

33

2

22 +=++ (6)

++=

g 2

Vy

g 2

Vyz

2

22

2

33

( )222323 VVg 2

1yyz +=

=+=

2

3

2

2

2

23

2

2

2

3

23y

1

y

1

g 2

qyy

y

q

y

q

g 2

1yyz


240



( ) ( )m 1.0458

m 6.5

1

m 5.4124

1

s

m 9.81 2

s

m8.8544

m 5.4124m 6.5z22

2

22

==

m 1.046z =

PROBLEMA 5.16

Un resalto hidrulico ocurre en un canal rectangular y las profundidades son 0.5m y 2.0m, respectivamente. Calcular la profundidad crtica y las prdidas por unidad de ancho.

Solucin:

Para: y1 = 0.5 m y y2 = 2.0 m

a. Clculo de la profundidad crtica:

Para un canal rectangular, se tiene que la profundidad crtica se estima como: Figura 5.16

( )3

2

113

2

cg

y V

g

q y == (1)

1

2

12

1y g

VF =

Donde: 2

11

2

1 F y gV = (2)

[ ]1F 81 2

1

y

y 21

1

2 += (3)

2

1

1

2 F 81 1y

y 2 +=+

8

11y

y 2

F

2

1

2

2

1

+

=


241



108

80

8

11m 0.5

m 2.0 2

F

2

2

1 ==

+

=

(4)

Reemplazando (4) en (2):

( )( )22

2

1

s

m49.0510 m 0.5

s

m 9.81V ==

s

m7.0

s

m 7.0036V1 = (5)


( )m 1.0769

s

m 9.81

m 0.5 s

m7.0

y 3

2

2

c ==

m 1.0769y c =

b. Clculo de las prdidas de carga, por unidad de ancho del canal:

Eq*PB

Pu == (6)

Donde: ( )

21

3

1221

y y 4

yyEEE

== (7)

( )( )( )

m 0.8438m 0.5 m 2.0 4

m 0.5m 2.0E

3

=

=

m 0.8438E = (8)

Reemplazando los datos del problema en (6), se tiene:

E q *Pu =

( )E yV *P 11u =


242



( )( )ms

mfkg 2954.6313m 0.8438 m 0.5 s

m 7.0

3m

fkg1000*Pu ==

( )ms

mN 9.81 2954.6313*Pu =

ms

J 28984.9332*Pu =

m

W 28985P*u =

m

kW 28.985P *u =

PROBLEMA 5.17

Fluye agua en un canal rectangular horizontal, con una V = 8.0 m/s y una profundidad, en la seccin (1), de 1.0 m. Encontrar la profundidad conjugada en la seccin (2), la prdida de energa en el resalto, la eficiencia del resalto y el porcentaje de energa disipada.

Solucin:

Qu tipo de resalto hidrulico se esperar?

y g

vF = (1)

Figura 5.17

2.554

m 1.0s

m 9.81

s

m 8.0

F

2

=

=

De lo anterior se tiene que el flujo es supercrtico y adems es clasificado como un resalto oscilante.

a. Para determinar la profundidad conjugada, aguas abajo del resalto, se tiene:

[ ]1F 81 2

1

y

y 21

1

2 += (2)

[ ]1F 81 2

yy 21

12 += (3)



243



( )[ ]12.554 81 2

m 1.0y

2

2 +=

m 3.1463y 2 =

b. Energa disipada en el resalto hidrulico, E:

( )21

3

1221

y y 4

yyEEE

== (4)


( )( )( )

m 0.7856m 1.0 m 3.1463 4

m 1.0m 3.1463EEE

3

21 =

==

c. Eficiencia del resalto hidrulico:

( )( )2

1

2

1

2

12

32

1

1

2

F2 F 8

14F1F 8

E

E

+

++= (5)


( )( ) ( )( ) ( )( ) 0.81562.5542 2.554 8

12.554 412.554 8

E

E22

22

32

1

2 =+

++=

d. Porcentaje de energa disipada, %ED:

1

2

1

21

E

E1

E

EE%E.D. =

= (6)


( )( )2121

2

12

32

1

F2 F 8

14F1F 81%E.D.

+

++= (7)


0.18460.81541%E.D. ==

PROBLEMA 5.18

Mostrar que el nmero de Froude aguas abajo de un resalto hidrulico est dado por la siguiente ecuacin. Es correcta esta frmula, si se permutan los subndices 1 y 2? Por qu?


244



[ ] 23

2

1

12

1

2

1F 81

F8F

+

=

Solucin:

Ecuaciones de las profundidades conjugadas:

[ ]1F 812

1

y

y 21

1

2 += (1)

[ ]1F 812

1

y

y 22

2

1 += (2)

Se tiene que el coeficiente de Boussinesq, = 1 y multiplicando las ecuaciones (1) y (2), se tiene:

[ ][ ]1F 811F 814

1

y

y

y

y 22

2

1

2

1

1

2 ++= (3)

[ ][ ]1F 811F 814

11 22

2

1 ++=

[ ] 1F 811F 814 2

22

1

+=+

[ ]2

22

1

F 811F 81

41 +=

++

[ ]2

22

1

2

1F 81

1F 81

41F 81+=

+

++

[ ]2

22

1

2

1F 81

1F 81

3F 81+=

+

++ (4)

Elevando al cuadrado la ecuacin (4), se tiene:

( )[ ]

2

222

1

2

1

2

1F 81

1F 81

9F 816F 81+=

+

++++ (5)

Despejando 22F de la ecuacin (5):


245



( )[ ]

2

222

1

2

1

2

1F 81

1F 81

9F 816F 81=

+

++++ (6)

( ) [ ][ ]

2

2

1

2

2

1

2

1

2

12

2

1F 81

1F 819F 816F 81F 8

+

+++++=

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

12

2

1F 81

1F 812F 819F 816F 81F 8

+

+++++++=

[ ][ ]

[ ]2

2

1

2

1

2

2

1

2

12

2

1F 81

F 8118

1F 81

F 8188F 8

+

++=

+

++=

[ ][ ]

2

2

1

2

12

2

1F 81

F 811F

+

++= (7)

Multiplicando y dividiendo en la ecuacin (7) por el conjugado del numerador:

[ ][ ]

[ ][ ]1F 81

1F 81

1F 81

F 811F

2

1

2

1

22

1

2

12

2

+

+

+

++= (8)

( )[ ][ ] 321

2

12

2

1F 81

1F 81F

+

+=

[ ]3

2

1

2

12

2

1F 81

F 8F

+

=

[ ]3

2

1

2

12

2

1F 81

F8F

+

=

[ ] 23

2

1

12

1

2

1F 81

F8F

+

= (9)


246



Si se permutan los subndices, la ecuacin s se cumple; pues las ecuaciones de las profundidades conjugadas son similares, adems en el resultado slo intervienen los nmeros de Froude, es decir, que es una relacin de F2 visto desde F1. PROBLEMA 5.19

Demuestre que la ecuacin de un resalto hidrulico en un canal parablico es:

( ) 0F 2.5 F2.5 211.51214 =+ , donde 1

2

y

y =

Solucin 1:

Partiendo de: 112

12

11122 DAA

A1FAyAy

=

(1)

Para un canal parablico, se tiene:

Figura 5.19

22 y5

2y = (2)

2

1

2

3

22

k

y

3

4A = (3)

y3

2D = (4)

Reemplazando (2), (3) y (4) en (1), se tiene:

= y

3

2

k

y

3

4

k

y

3

4

k

y

3

4

1F

k

y

3

4y

5

2

k

y

3

4y

5

2

2

1

2

3

1

2

1

2

3

2

2

1

2

3

1

2

1

2

1

2

3

11

2

1

2

3

22 (5)

Simplificando:

2

5

1

2

3

2

2

3

12

12

5

12

5

2 y9

8

y

y1Fy

15

8y

15

8

= (6)


247



0y5

1y

5

1y

3

1

y

y1F 2

5

22

5

12

5

1

2

3

2

2

3

12

1 =+

(7)

Dividiendo por 25

1y

0

y

y

5

1

5

1

y

y1F

3

1

2

5

1

2

5

2

2

3

2

2

3

12

1 =+

(8)

05

1

5

1

11F

3

12

5

2

3

2

1 =+

05

1

5

1

1F

3

12

5

2

3

2

3

2

1 =+

(9)

Multiplicando (9) por 23

05

1

5

11F

3

1 423

2

3

2

1 =+

(10)

01F3

5 423

2

3

2

1 =+

0F3

5F

3

5 41.521

1.521 =+

0F3

51F

3

5 21

1.52

1

4 =++

Revisar (11)

Solucin 2:

Para la figura, que es una parbola simtrica:


248



k

y2T =

4

Tky

2

= (1)

yT3

2A = (2)

2

2

2

1

2

1

T

T

y

y= (3)

Para la condicin dada en el problema,

1

11

Dg

VF =

Partiendo de la ecuacin de la fuerza especfica, M1 = M2, se tiene:

22

2

2

11

1

2

AyAg

QAy

Ag

Q+=+ (4)

222111

2211

VyT3

2VyT

3

2 Q

VAVAQ

==

==

(5)

Sustituyendo valores en (4), se tiene:

222

22

2

111

111

11

2

111

yT3

2y

5

2

yT3

2g

VyT3

2

yT3

2y

5

2

yT3

2g

VyT3

2

+=+

(6)

2

22

22

2

1

2

1

2

12

11

2

111 yT

15

4

yTg

VyT

3

2yT

15

4

g

VyT

3

2+=+

2

22

22

2

1

2

1

2

12

11

2

111 yT

5

2

yTg

VyTyT

5

2

g

VyT +=+ (7)

Transponiendo trminos y agrupando:

2

22

22

2

1

2

1

2

12

11

2

111 yT

5

2

yTg

VyTyT

5

2

g

VyT +=+ (8)


249



( )21122222

11

1

2

12

11 yTyT5

2

yT

yT1

yg

VyT =

= 211

2

2

1

21

2

1

2

12

1

2

11 yTyy

yT

5

2

y

y

y

y1FyT (9)

Simplificando, transponiendo trminos y agrupando:

2

1

1

22

2

2

3

2

12

1

2

1 yy

yy

y

y1Fy2.5 =

(10)

Dividiendo la ecuacin entre 2

1y , se tiene:

1

y

y

y

y

y

y1F2.5

2

1

1

2

1

2

2

1

2

22

3

2

12

1 =

(11)

1

y

y

y

yF2.5F2.5

2

5

1

2

5

22

3

2

12

1

2

1 =

(12)

Multiplicando la igualdad por 2

3

1

2

y

y

:

2

3

1

22

3

1

22

5

1

22

1

2

3

1

22

1y

y

y

y

y

yF2.5

y

yF2.5

= (13)

0y

yF2.5

y

y

y

yF2.5

4

1

22

1

2

3

1

22

3

1

22

1 =+

(14)

Multiplicando por 1 y agrupando:


250



( ) 0F2.5y

y1F2.5

y

y 21

2

3

1

22

1

4

1

2 =++

(15)

Haciendo

1

24

y

y = , resulta:

( ) 0F2.51F2.5 211.5214 =++ (16) Diferente a

( ) 0F 2.5 F2.5 211.51214 =+ Revisar

PROBLEMA 5.20

Probar que la fuerza sobre la transicin de los muros laterales de un canal rectangular que cambia su ancho de un valor B1 a B2= KB1, sin cambiar en el fondo, en la direccin del flujo es igual a:

+

=

1

2

1

2

1

2

3

1

22

2

11

y

yK1

y

y1

y

yK3

y

yK1

yB2

1F (A)

Solucin:

De la ecuacin general de cantidad de movimiento se tiene:

2airef

1 M g

RFFWsen M =

+ (1)

Figura 5.20

Debido a que las secciones (1) y (2) estn muy cerca entre s, 0Ff , 0Faire y dado que el canal es

horizontal 0sen 0, == .

Partiendo de la ecuacin de la cantidad de movimiento, se tiene:


251



21 Mg

RM = (2)

De donde, g

RMM 21 = (3)

De la ecuacin (3), se despeja la reaccin a la fuerza pedida:

( )21 MMgR = (4)

Por otra parte, la ecuacin de la fuerza especfica expresa lo siguiente:

Ag

QAyM

2

+= (3)

Para canales rectangulares, se tiene que:

2

yy = (4)

yBA = (5)

Reemplazando las ecuaciones (4) y (5) en (3), se tiene:

( )( )yB gQ

yB2

yM

2

+= (6)


( )( )

( )( )

++=

22

2

222

11

2

111

yB g

QyB

2

y

yB g

QyB

2

y gR (7)

Dado que: B2 = KB1 y que g =

De la ecuacin (6), se tiene:

( )

+=

211

22

2

2

11yk

1

y

1

Bg

QykyB

2

1 R

+=

2

1

11

2

2

1

2

22

11yk

y1

y

1

Bg

Q

y

yk1yB

2

1 R


252



+=

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

2

22

11yk

y1

yy

1

Bg

Q2

y

yk1 yB

2

1R

+=

2

12

1

2

1

2

1

2

22

11yk

y-yk

yg

V2

y

yk1 yB

2

1R (8)

De la ecuacin de la energa especfica se tiene que E1 = E2 por lo tanto:

g2

Vy

g2

Vy

2

22

2

11 +=+

( ) 122221 yyVVg2

= (9)

Por continuidad: 2211 AVAVQ ==

222111 yBVyBV =

212111 yBKVyBV =

K

V

y

yV 1

2

12 = (10)


12

2

1

2

12

1 yyk

V

y

yV

2g

=

( )

=

2

2

1

12

2

1

yk

y1

yy2

g

V (11)

Con 1 == y la ecuacin (11) en (8), se tiene:

( )

+=

2

12

2

2

1

12

12

1

2

22

11yk

yyk

yk

y1

yy2

y

2

y

yk1yB

2

1R (12)


253



( )

+

=

2

12

2

2

2

2

1

12

12

1

2

2

2

12

11yk

yyk

yk

y1

yy2

y

2

y

ykyyB

2

1R

( ) ( ) ( )( )

+

=

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

1212

2

12

2

2

2

1

2

2

2

21

2

2

2

1

2

11

yk

yykyyk

yykyyy4yk

yykyykyky

yB2

1R

( ) ( )( ) ( )( )

+=

22

2

2

2

2

1

2

2

2

2

3

1

1212

2

1

22

1

2

1

2

2

2

21

2

2

2

12

11

ykyk

yykyyk

ykyyyyky4yykyykykyyB

2

1R

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

+

+

=

12122

3

1

1212

2

2

22

1

2

1

2

2

2

2

3

1

2

1

2

2

2

21

2

2

2

12

11yykyykyyk

yykyyyky4

yykyyk

yykyykykyyB

2

1R

( )( )

+

+

=

121

122

2

1

2

2

2

12

11yyky

yyyk4

y

ykyyB

2

1R

( ) ( ) ( )( )

+

++=

12

3

1

12

2

1212

2

2

2

112

11yyky

yyyyk4yykykyyyB

2

1R

( ) ( ) ( )( )

+

++=

12

2

1

121212

2

2

2

12

11yyky

yyyyk4yykykyyB

2

1R

( )

+

++=

12

2

1

2

2

11

2

21

2

2

3

2

23

12

2

12

11yyky

yyk4yyk4yykykyyykyB

2

1R

( )

+

+=

12

2

1

3

2

2

1

2

22

2

1

3

12

11yyky

ykyyk3yyk3yyB

2

1R (13)


254



Dividiendo arriba y abajo por 3

1y la ecuacin (13), se obtiene:

( )

+

+

=

1

12

3

1

3

22

2

1

2

2

1

2

2

11

y

yyk

y

yk

y

yk3

y

yk31

yB2

1R (14)

+

+

=

1y

yk

y

yk

y

yk3

y

yk31

yB2

1R

1

2

3

1

22

2

1

2

1

2

2

11

+

==

1y

yk

y

y1

y

yk3

y

yk1

yB2

1FR

1

2

1

2

1

2

3

1

22

2

11 (15)

PROBLEMA 5.21

Para qu nmero de Froude, F1, la energa disipada en un resalto hidrulico, en un canal rectangular, horizontal, es exactamente el 50%?

Solucin:

Energa disipada:

121 E0.5EEE == (1)

12 E0.5E = (2)

Ahora, con la ecuacin de la eficiencia del resalto hidrulico, se tiene:

( )( )2121

2

12

3

2

1

1

2

F2 F 8

14F1F 8

E

E

+

++= (3)


( )( )2121

2

12

32

1

1

1

F2 F 8

14F1F 8

E

E0.5

+

++= (4)


255



( )( )2121

2

12

32

1

F2 F 8

14F1F 80.5

+

++= (5)

Resolviendo la ecuacin (5), se obtiene:

95.11256238F1 = (6)

Segn la clasificacin de los resaltos hidrulicos, este valor de Froude corresponde a un resalto hidrulico estable.

5. problemas resueltos sobre fuerza específica (1)

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