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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 3

“ESTANISLAO RAMÍREZ RUIZ” ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

TURNO MATUTINO

GUIA DE ESTUDIO ETS “GEOMETRÍA ANALÍTICA”



TURNO MATUTINO

M. en C. Ivonne Adriana Galván Ángeles 2

1. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidisten de A (-2,3) y B (3,-1) Sol. 10x – 8y + 3 = 0

2. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidisten de A (-3,1) y B (7,5)

Sol. 5x + 2y – 16 = 0

3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya pendiente con A(-4,5) es 2/3 Sol. 2x – 3y + 23 = 0

4. Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya pendiente de la recta formada por los

puntos ( 3, -1) y (0, 6) es igual a la pendiente de la recta formada po P (x,y) y (0,6) Sol. 7x + 3y -18 = 0

5. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P ( x, y) cuya distancia al origen es igual a 3

Sol. X2 + y2 = 9

6. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) equidistantes del punto fijo F (3, 2 ) y del eje y

Sol. Y2 – 4y – 6x + 13 = 0 7. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos P( x, y) equidistantes del punto fijo F ( 2,3 ) y

de la recta x= -2 Sol. Y2 – 8y – 6x + 9 = 0

8. Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P (x. y) cuya suma de distancias a los

puntos fijos (4, 2) y (-2, 2) sea igual a 8. 7!! − 16!! − 14! − 64! − 41 = 0

9. Encuentre la ecuación del conjunto de puntos tales que su distancia al punto 0,6 es 3 2 de la distancia a la recta de ecuación 3! = 8, y describa a que cónica corresponde.

!!

16−!!

20= 1

Hipérbola 10. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que mueve de tal manera que la suma de

sus distancias a los puntos ! 3,0 y ! −3,0 es siempre igual a 8. !!

16+!!

7= 1

Elipse.

RECTA

11. Para los siguientes pares de puntos elabora la gráfica correspondiente y determina la distancia entre ellos.

a) P(-4,-3) y Q (2,7). Sol: 136 u.

b) A (3,4) y B (-2,7). Sol: 34 u.

c) R (-2,0) y B (3,7). Sol: 74 u.



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12. Calcular el perímetro del triángulo con vértice P (2, -5), Q (-3, 4) y R (0, -3). Sol: 20.74 u. 13. Calcula el área de un cuadrado, dados los vértices adyacentesA (3, -7) y B (-1, 4).

Sol: Área = 137. 17. Calcula el perímetro de un triángulo cuyos vértices son A (-2, 5), B (4, 3) y C (7, -2).

Sol: Perímetro = 2 10 + 34 + 130 . 18. Demostrar que los puntos A (4, 5), B (5, 1) y C (1, 2) son vértices de un triángulo isósceles.

Sol: 17 u, 17 u, 18u. 19. Probar que los puntos A (10, 5), B (9, 6) y C (3, -2) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Sol: ( 98 )2 + ( 2 )2 = ( 100 )2. 20. Comprobar que los siguientes puntos son colinealesA (-3, -5), B (-1,-1) yC (3, 7).

Sol: 20 + 80 = 180 u. 21. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto P (3, -2). Si la abscisa “x” del

otro extremo es 6, hallar su ordenada “y”. (Dos soluciones).Sol: y = -6 ó y = 2. 22. Obtener la expresión algebraica que establece que el punto P (x, y) equidista de los puntosA

(4, 5) y B (-2, 7). Sol: x + 2y + = 0. 23. Demostrar que los puntos A (0, -2.5), B (6, 0), C (3,4) y D (-3, 1.5) son los vértices de un

paralelogramo. Sol: los lados AB y CD son iguales y miden 6.5,y los lados AD y BC también son iguales y miden 5.

24. Comprobar que el triángulo con vértices A (-4, 3), B (0, 2), C (2, -5) es obtusángulo.

Sol: 100 > 70

25. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son A (-1, 3) y B (3, 3). Hallar las coordenadas del tercer vértice C (x, y). (Dos soluciones)

Sol: C (1, 2486 +

) y C (1, 2486 −

)

26. Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que un punto P (x, y) equidista de M (4, 3) y de N (-2, 9)

27. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son A (-1, -4), B (-8, 0) y C (0, 4). Sol: 30 u2.

28. Obtener el área del polígono que se forma al unir los puntos A (0, 7), B (5, 2), C (7, -3) y D (-3, -4).

Sol: 61 u2.

29. Determinar el área de la figura que se forma con los puntos A (-3, 5), B (0, 6),



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C (4, -3) y D (-3, -1). Sol: 36.5 u2.

30. El área de un triángulo con vértices A (4, -3), B (5, y) y C (-2, -5) es de 29 u2. Hallar el valor de

la ordenada “y” del vértice B. Sol: y = 7.

31. Los extremos de un segmento son los puntos A (-2, 3) y B (6, -3). Hallar: a) Los puntos de trisección. Sol: (2/3, 1) y (10/3, -1). b) El punto medio. Sol: (2, 0). 32. Calcular las coordenadas de los puntos medios de los lados de los siguientes triángulos: a) P (-1, 5), Q (9, -3) y R (7, 1). Sol: (4, 1), (8, -1), (3, 3). b) M (-8, 7), N (-6, -4), P (-2, 5). Sol: (-7, 3/2), (-4, ½), (-5, 6). 33. El punto medio de un segmento es P (-3, -8) y uno de sus extremos es A (7, -9). Encontrar las

coordenadas del extremo B (x2, y2). Sol: (-13, -7).

34. Determinar las coordenadas de los vértices de un triángulo, cuyos puntos medios de sus lados son los siguientes: R (2, 0), S (5, -4), T (-1, 2).

Sol: (-4, 6), (8, -6) y (2, -2).

35. Si P (2, -2) es el punto medio del segmento con extremos A (-5, y1) y B (x2, -1). Obtener el valor de y1 y x2. Sol: x2 = 9 y y1 = -3.

36. Los extremos de un segmento son los puntos M (3, -1) y N (5, -5), hallar el punto P (x, y) tal

que la razón de división es r = 52

.

37. Los puntos medios de los lados de un triángulo son T (-2, 3), U (2, 7) y V (3, 5), hallar las coordenadas de los vértices. Graficar.

Sol: (-1, 1), (7, 9), (-3, 5). 38. Encontrar la razón en que el punto P ( 2, -2) divide al segmento limitado por los extremos M (3,

-4) y N (2, -2). Sol: r = ½.

39. Dados los extremos C (0, 5) y D (6, -1) de un segmento. Hallar el punto P (x, y) que lo divide en una razón r = 5.

Sol: (5, 0).

40. Obtener el ángulo que forma con el eje de las abscisas la recta que pasa por los puntos G (-1, 1) y H (5, 4)

Sol: 26o33’.

41. Calcular la pendiente de cada uno de los lados de los siguientes triángulos: a) A (5, -9), B (-3, -6) y C (8, 0). Sol: -3/8, 6/11, 3. b) P (-7, 3), Q (5, 2) y R (4, -1). Sol: -1/12, -3, -4/11.



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42. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por cada par de los

siguientes puntos: a) A (-3, -2) y B (5, 3). Sol: m = 5/8, ө = 32o 00’19’. b) A (-4, 6) y B (4, -1). Sol: m = -7/8, ө = 138o48’51’. 43. Una recta de pendiente m = -7 pasa por el punto A (-3, 1). Si la abscisa “x2” de otro punto B es

3, encontrar el valor de su ordenada “y2”. Sol: y2 = -41.

44. Calcular las pendientes de las medianas de cada uno de los siguientes triángulos: a) A (1, 6), B (-2, -8) y C (7, -2). Sol: -22/3, -2/15, 5/3. b) K (-1, 5), L (3, 7) y M (5, -9). Sol: -6/5, 9, -15/4. 45. Hallar los ángulos de inclinación de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos: a) A (5, 7) y B (2, 4). Sol: 45o. b) B (7, -1) y C (7, 4). Sol: 90o. 46. La pendiente de una recta es m = 3. Si la recta pasa por los puntos A (2, -1) y el punto B cuya

ordenada es -5, hallar la abscisa de B. Sol: x = 2/3.

47. Encontrar la medida del ángulo agudo ө formado por las rectas AB y PQ: a) A (0, -3), B (6, 1) y P (2, 0), Q (5, -2). Sol: ө= 67o22’. b) A (-4, 5), B (9, 1) y P (-3, -2), Q (8, 6). Sol: ө= 53o07’. 48. Calcular la medida de los ángulos interiores de los triángulos con los siguientes vértices: a) R (-5, 2), S (4, -2) y T (7, -9). Sol: ө1 = 18o33’, ө2= 137o10’ y ө3= 24o17’. b) S (4, 2), T (2, 5) y U (-3, -2). Sol: ө1 = 86o03’, ө2= 69o14’ y ө3 = 24o43’. 49. Calculando los ángulos interiores del triángulo que tiene por vértices A(8, 2),B (3, 8) y C (-2, 2),

demostrar que se trata de un triángulo isósceles. [Considera que el triángulo isósceles tiene dos ángulos congruentes].

Sol: ө1 = 50o12’ y ө2= 79o36’ y ө3 = 50o12’.

50. Demuestra que el polígono de vértices A (2, 5), B (8, -1) y C (-2, 1) es un triángulo rectángulo. [Considera que todo triángulo rectángulo posee un ángulo recto].

Sol: ө1 = 33o41’ y ө2= 56o19’ y ө3 = 90o.

51. Una recta L1 que pasa por los puntos A (-2, 1) y B (9, 7) forma un ángulo de 45o con otra recta

L2 que pasa por P (3, 9) y Q (-2, y). Encontrar la ordenada “y” de Q. Sol: y = -8.



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52. Verifica que la recta que pasa por los puntos P (-1, 1) y Q (3, 7) es perpendicular a la que pasa por R (-2, 5) y S (4, 1).

Sol: las pendientes son 23

y 32

− .

53. Probar por medio de pendientes que los puntos A (0, 9), B (3, 1), C (11, 4) y D (8, 12) son

vértices de un rectángulo.

Sol: dos lados tienen pendientes iguales a 38

− y los otros iguales a 83

.

54. Demostrar por medio de pendientes que los puntos A (-2, -1), B (-4, 3), C (3, 5) y D (5, 1) son vértices de un paralelogramo.

Sol: mAB = mCD = -2; mBC = mAD = 72

.

55. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto A (5, 8) y tiene un ángulo de inclinación de 45o.

Sol: y = x + 3.

56. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (-2,5) y de pendiente m=3. Sol: y = 3x + 11.

57. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-3, 5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A (2, 5) y B (5, 7).

Sol: 2x – 3y + 21 = 0.

58. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-3, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A (0, -2) y B (5, 2).

Sol: 5x + 4y +11 = 0. 59. Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos R (7, -5) y S (5, 2).

Sol: 7x + 2y – 39 = 0.

60. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x+4y=-6 &

5x+6y=-8 y de pendiente m = 32

.

Sol: 2x – 3y – 13 = 0.

61. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A (-6, -3) y es perpendicular a la recta que tiene por ecuación 2x – 3y + 7 = 0.

Sol: 2y + 3x + 24 = 0.

62. Hallar la ecuación de la mediatriz (recta perpendicular en su punto medio) del segmento con extremos A (-4, 2) y B (2, -6).

Sol: 3x – 4y – 5 = 0.

63. Encuentra la ecuación de la recta que corta al eje “Y” en 8 unidades y su pendiente es igual a 4.



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Sol: 4x – y + 8 = 0. 64. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto R (-5, 1) y es paralela a la recta: 5x

+ 3y – 6 = 0. Sol:3y+ 5x +22 = 0.

65. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto A (4, -1) y tiene un ángulo de

inclinación de 135o. Sol: y = -x + 3.

“CIRCUNFERENCIA”

66. Encuentra el centro y el radio de la circunferencia (x + 3)2 + (y + 2)2 = 4. Sol: C (-3, -2), r = 2.

67. Encuentra el centro (C) y el radio (r) de cada una de las ecuaciones expuestas a continuación

para determinar si representan una circunferencia. c) (x + 2)2 + y2 = 64.Sol: Representa una circunferenciaC (-2, 0) y r = 8 d) x2 + y2 +6x – 4y + 14 = 0. Sol: No representa ningunacircunferencia 68. Escribe la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es C (-2, 0) y r = 2.

Sol: x2 + y2 + 4x = 0. 69. Determina el centro y el radio de la siguiente circunferencia:x2 + y2 - 6x – 8y + 9 = 0. Sol: C (3, 4) y r = 4. 70. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto de intersección en las rectas

2x +5y – 2 = 0, x – 2y + 8 = 0 y que pasa por el punto (2, -1). Sol: x2 + y2 + 8x – 4y – 25 = 0.

71. Dados los siguientes centros y radios, expresar la ecuación (en forma ordinaria y general) de

las circunferencias correspondientes. Graficar para cada caso: a) C (0, 0), r = 4. Sol: x2 + y2 = 16, x2 + y2 – 16 = 0. b) C (3, -2), r = 1. Sol: (x – 3)2 + (y +2)2 = 1,

x2 + y2 – 6x + 4y + 12 = 0. c) C (-4, 0), r = 5. Sol: (x + 4)2 + y2 = 25,

x2 + y2 + 8x – 9 = 0. d) C (-5, -3), r = 2. Sol: (x + 5)2 + (y + 3)2 = 4,

x2 + y2 + 10x + 6y + 30 = 0.



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72. Para cada una de las ecuaciones de circunferencia que se proporcionan determinar el radio r y

las coordenadas del centro C (h, k). Graficar. e) x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0. Sol: C (-1, 2) y r = 2. f) x2 + y2 – 6x = 0. Sol: C (3, 0) y r = 3. g) x2 + y2 – 10x + 6y – 2 = 0. Sol: C (5, -3) y r = 6. h) 5x2 + 5y2 – 40y = 0. Sol: C (0, 4) y r = 4. 73. Obtener la ecuación de la circunferencia (en forma ordinaria y general) que pasa por los puntos

P (-1, 1) y Q (6, 2) y cuyo centro está sobre la recta 2x – y – 8 = 0.

Sol: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0. 74. Encontrar los puntos donde la recta x + y – 1 = 0 corta a la circunferencia x2 + y2 = 25. Graficar.

Sol: (-3, 4) y (4, -3).

75. Si los puntos A (-3, -1) y B (5, 3) son los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia, hallar su ecuación en forma ordinaria. Trazar la gráfica correspondiente.

Sol: (x – 1)2 + (y – 1)2 = 20.

76. Determinar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta y = x + 1 y que es concéntrica a

la circunferencia que tiene por ecuación a x2 + y2 – 12x – 4y + 15 = 0. Graficar.

Sol: 2x2 + 2y2 – 24x – 8y + 55 = 0. 77. Hallar los puntos donde la circunferencia x2 + y2 + 2x – 8y – 8 = 0 se intersecta con la

circunferencia x2 + y2 – 38x – 288y + 72 = 0. Trazar la gráfica correspondiente. Sol: (-5, 1) y (2, 0).

78. Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene de radio 4 y que su centro se ubica en la

intersección de las rectas x + 3y – 7 = 0 y 2x + 5y – 12 = 0. Graficar. Sol: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16.

79. Obtener el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 4x – 5 = 0. Graficar.

Sol: C (-2, 0) y el radio es r = 3.

80. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo que tiene como vértices P (3, -2), Q (1, 2) y R (-5, -4). Graficar.

Sol: 3x2 + 3y2 – x + 7y – 10 = 0.



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“PARABOLA”

81. En la parábola y2 + 5x = 0 determina el vértice, foco, directriz y lado recto.

Sol: V (0, 0), p = 45

, F ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 0,45

, directriz x = 45

, lr = 5.

82. Halla la ecuación de la parábola si F (2, 3), lr = 4, cuya concavidad es hacia la izquierda. Sol: (y – 3) 2 = -4(x – 1).

83. Halla los elementos de la siguiente parábola (x + 4)2 = 23

(y + 1).

Sol: V (-4, -1), p = 83

, F ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−85,4 , directriz y =

811

− , lr = 23

.

84. Escribe la ecuación de la parábola en su forma ordinaria y encuentra sus elementos8x2 + x – 3y

– 5 = 0.

Sol:2

161⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +x = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +96161

83 y , V ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−96161,

161

, p =323

, F ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−1219,

161

, directriz y = 4885

− , lr = 83

.

85. Halla la ecuación de la parábola que cumple las condiciones que se indican. El foco es (0, -5) y

la directriz y – 1 = 0. Sol: y2 + 4y + 12x + 4 = 0.

86. Hallar la ecuación de la parábola, el valor de su parámetro, la longitud de su lado recto y la

ecuación de la directriz de acuerdo a las condiciones dadas: (Graficar). i) Con foco F (5, 0) y vértice en el origen. Sol: y2 = 20x, p = 5, LR = 20, x = -5. j) Con foco F (0, -1) y vértice en el origen. Sol: x2 = -4y, p = -1,LR = 4, y = 1.

87. Encontrar la ecuación en la parábola de vértice en el origen y cuya directriz tiene por ecuación

y – 8 = 0. Graficar. Sol: x2 = -32y, LR = 32, p = -8, F (0, -8).

88. Determinar la ecuación de la parábola con directriz 5x +12 = 0 y de vértice en el origen.

Graficar.

Sol: p = 512

, y2 = 548

x, LR = 548

, F (512

, 0).



TURNO MATUTINO


89. La longitud del lado recto de una parábola es de 14 unidades y se abre hacia abajo, hallar su ecuación. Graficar.

Sol: x2 = -14y. 90. Una parábola tiene su eje sobre el eje “x” y pasa por el punto Q (-3, 6). Obtener su ecuación.

Graficar. Sol: y2 = -12x.

91. Por el punto Q (-4, -8) pasa una parábola que tiene ubicado su eje sobre el eje “y”. Determinar

su ecuación. Sol: x2 = -2y.

92. De acuerdo a las ecuaciones de parábola que se dan, determinar sus elementos (parámetro,

foco, vértice, ecuación de la directriz y longitud del lado recto). Graficar. k) x2 = -10y. Sol: F (0, - 2

5 ), y = 25 , LR = 10.

l) x2 – 5y = 0. Sol: F (0, 45 ), y = 4

5− , LR = 5.

m) x2 + 6y = 0. Sol: F (0, 23− ), y = 2

3 , LR = 6.

93. De acuerdo a las condiciones que se dan, encontrar la ecuación de las siguientes parábolas.

Trazar la gráfica correspondiente a cada caso. n) Vértice V (3, 2) y foco F (5, 2). Sol: y2 – 8x – 4y + 28 = 0. o) V (-4, 3) y F (-2, 3). Sol: y2 – 8x – 6y – 23 = 0. p) V (4, 1) y directriz x – 2 = 0. Sol: y2 – 8x – 2y + 33 = 0. q) F (6, -2) y directriz x – 2 = 0. Sol: y2 – 8x + 4y + 36 = 0. r) Los extremos de su lado recto son L(-5,0) y R(-5,8). Además el vértice sesitúa en V (-3, 4). Sol: y2+ 8x – 8 y + 40 = 0. 94. Hallar la ecuación de la parábola que tiene su vértice en V (3, -2) y cuyo lado recto mide 8 y

abre hacia abajo. Graficar. Sol: x2 – 6x + 8y + 25 = 0.

95. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en V (-9, -2), de lado recto mide 16 unidades y

abre hacia la izquierda. Graficar. Sol: y2 + 16x + 4y + 148 = 0.

“ELIPSE”

96. Determina los elementos de la elipse: centro, ejes, vértices, excentricidad y lado recto:

10

2x + 9

2y = 1.



TURNO MATUTINO


Sol: C (0, 0), a = 10 , b = 3, c = 1, F (1, 0), F’ (-1, 0), e = 101

, LR = 1018

.

97. Halla la ecuación de la elipse cuyos vértices son los siguientes:A (7, -2), A’ (-5, -2) y e = 32

.

Sol: 120)2(

36)1( 22

=+

+− yx

.

98. Calcula los elementos de la elipse 16)1( 2−x

+ 25)2( 2+y

= 1.

Sol: C (1, -2), a = 5, b = 4, c = 3, F (1, 1), F’ (1, -5), e = 53

, LR = 532

.

99. Reduce la siguiente ecuación a la forma ordinaria y determina sus elementos: x2 + 4y2 + 4x – 8y – 8 = 0.

Sol: C (-2, 1), a = 4, b = 2, c = 2 3 , F, F’ (-2± 2 3 , 1), e = 432

, LR = 2.

100. Verifica si la ecuación 4x2 + 3y2 – 8x + 12y – 32 = 0 determina una elipse y si es el caso halla las coordenadas del centro C, los semiejes y l excentricidad.

Sol: C (1, -2); los semiejes son 2 3 y 4, e = 21

.

101. Obtener los elementos de la elipse cuya ecuación es 25x2 + 169y2 –4225 = 0. Trazar la

gráfica correspondiente.

Sol: (Elipse horizontal) Vértices: (13, 0), (-13, 0), (0, 5),(0, -5); centro: (0, 0); focos: (12, 0), (-12,0); e = 0.92; LR =3.84; eje mayor = 26, eje menor = 10; distancia focal = 24.

102. La ecuación de una elipse en su forma ordinaria es 1369

22

=+yx

. Determinar sus elementos

y construir su gráfica. Sol: (Elipse vertical) Vértices: (0, 6), (0, -6), (3, 0),(-3, 0); centro: (0, 0); focos: (0, 27 ),(0, - 27 ); e

= 0.86; LR = 3; eje mayor = 12, eje menor = 6; distancia focal = 2 27 . 103. Uno de los vértices del eje mayor de una elipse con centro en el origen es V1 (6, 0), su eje

menor tiene una longitud de 10 unidades. Hallar su ecuación y trazar su gráfica.

Sol: (Elipse horizontal) 12536

22

=+yx

.

104. Una elipse con centro en el origen tiene un vértice en V1 (5,0) y un foco en F1 (3,0). Obtener

su ecuación y su gráfica.

Sol: (Elipse horizontal) 11625

22

=+yx

.



TURNO MATUTINO


105. Los focos de una elipse, centrada en el origen, tienen coordenadas F1 (6,0) y F2 (-6, 0), si la

excentricidad es e = 53

. Hallar la ecuación y construir su gráfica.

Sol: (Elipse horizontal) 64x2 + 100y2 = 6400.

106. Determinar la ecuación de la elipse con centro en el origen, vértice del eje menor V1 (-8, 0) y

excentricidad e = 53

. Graficar. Sol: (Elipse vertical) 110064

22

=+yx

.

107. La recta x – 2y – 4 = 0 corta en dos puntos a la elipse cuya ecuación en forma general es

4x2 + 16y2 – 64 = 0. Hallar los puntos de intersección. Graficar. Sol: (4, 0), (0, -2).

108. La ecuación de una elipse en forma general es x2 + 4y2 – 6x + 16y + 21 = 0. Cambiarla a

forma ordinaria, hallar sus elementos y graficar.

Sol: 11)2(

4)3( 22

=+

+− yx

; centro: (3, -2); eje mayor =4,eje menor = 2; e = 0.86; LR = 1; focos:

(4.73, -2) y(1.26, -2); vértices: (5, -2), (1, -2), (3, -1), (3, -3);distancia focal = 3.46.

109. Dada la ecuación de la elipse en forma general 4x2 + 9y2 +32x – 18y +37 = 0. Transformarla a forma ordinaria, hallar sus elementos y trazar su gráfica.

Sol: 14)1(

9)4( 22

=−

++ yx

; centro: (-4, 1); eje mayor = 6; eje menor = 4; e = 0.74; LR = 2.6; focos:

(-6.23, 1) y(-1.76, 1); vértices: (-1, 1), (-7, 1), (-4, 3), (-4, -1);distancia focal = 4.47.

110. Hallar los elementos y trazar la gráfica de la elipse cuya ecuación es 125)2(

16

22

=−

+yx

.

Sol: centro: (0, 2); eje mayor = 10; eje menor = 8; vértices: (0, 7), (0, -3), (4, 2), (-4, 2); focos: (0, 5) y (0, -1); LR = 6.4; distancia focal = 6; e = 0.6.

111. Obtener la ecuación de la elipse con focos en F1 (3, 8) y F2 (3, 2), y la longitud del eje menor

= 8. Graficar. Sol: 25x2 + 16y2 – 150x – 160y + 225 = 0.

112. Determinar la ecuación de la elipse cuyos vértices del eje mayor son los puntos V1 (1, -6) y

V2 (9, -6), la longitud de cada lado recto es 29

. Graficar.

Sol: 9x2 + 16y2 – 90x + 192y + 657 = 0.



TURNO MATUTINO


113. Hallar la ecuación de la elipse que es concéntrica con la circunferencia x2 + y2 + 2x – 4y – 4

= 0, uno de sus focos es el punto F1 (3, 2) y sus lados rectos miden 518

. Graficar.

Sol: 9x2 + 25y2 + 18x – 100y – 116 = 0.

114. Obtener la ecuación de la elipse con centro en el punto (-4, 1), vértice y foco los puntos V1 (-4, 6) y F1 (-4, 5). Trazar la gráfica correspondiente.

Sol: 25x2 + 9y2 + 200x – 18y + 184 = 0.

115. La recta y + 1 = 0 es tangente a la elipse cuya ecuación es en su forma general 4x2 + y2 + 24x – 6y + 29 = 0. Hallar dicho punto de tangencia y graficar.

Sol: (-3, -1).

“HIPÉRBOLA”

116. Halla la ecuación de la hipérbola cuyos elementos son: centro (-2, 4), 2a = 8, 2b = 10 y el eje focal paralelo al eje “x”.

Sol: 125)4(

16)2( 22

=−

−+ yx

.

117. Halla los elementos de la hipérbola 164225

22

=−xy

.

Sol: C (0, 0); a = 15; b = 8; c = 17; F (0, 17), F’ (0, -17); A (0, 15),A’ (0, -15); e = 517

;

LR = 15128

;y = x815

± .

118. Reduce la ecuación 4x2 – 5y2 + 8x – 10y + 19 = 0 a la forma ordinaria y determina sus

elementos.

Sol: 15)1(

4)1( 22

=+

−+ xy

; C (-1, -1); a = 2; b = 5 ;c = 3; F (-1,2), F’ (-1,-4); A (-1, 1), A’ (-1, -3);e =

23

; LR = 5; y + 1 = )1(52

+± x .

119. Una asíntota es la recta 2x – y = 0 y la curva pasa por el punto (-3, 4). Halla la ecuación de

la hipérbola.

Sol: 1205

22

=−yx

.

120. Hallar los elementos de las hipérbolas cuyas ecuaciones son las siguientes (graficar para cada caso):



TURNO MATUTINO


a) 4x2 – 5y2 – 20 = 0. Sol: V ( 5± , 0), F ( ± 3, 0), B (0, 2± ), LR = 3.5, e = 1.34, eje transverso =4.47,

eje imaginario = 4, asíntotas: xy52

±= .

b) 16x2 – 9y2 – 144 = 0. Sol: ( 3± , 0), F ( 5± , 0), B (0, 4± ),LR = 10.6, e = 1.6, eje transverso = 6,eje

imaginario = 8, asíntotas: xy34

±= .

c) y2 - 14

2

=x

.

Sol: V (0, 1± ), F (0, 5± ), B ( 2± , 0),LR = 8, e = 2.2, eje transverso =6,eje imaginario=

4,asíntotas: xy21

±= .

121. Obtener la ecuación de la hipérbola según las condiciones que se dan para cada inciso.

Graficar. a) V ( 4± , 0) y F ( 5± , 0). Sol: 9x2 – 16y2 – 144 = 0.

b) V ( 3± , 0), LR = 38

. Sol: 4x2 – 9y2 – 36 = 0.

c) V (0, 1± ) y F (0, 5± ). Sol: 4y2 – x – 4 = 0. 122. Determinar la ecuación de la hipérbola que tiene centro en el origen, eje transverso sobre el

eje “y”, longitud de su eje conjugado (imaginario) igual a 20 y LR = 635

.

Sol: 5y2 – 6x2 – 30 = 0.

123. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, un vértice en V (6, 0) y

excentricidad igual a 35

. Graficar.

Sol: 64x2 – 36y2 – 2304 = 0.

124. Obtener la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen, un foco se ubica en F

(0, -8) y su excentricidad es igual a 34

. Graficar.

Sol: 28y2 – 36x2 – 1008 = 0.

125. Determinar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas 4x+3y= 0&4x–3y=0, la longitud del eje imaginario es de 8 unidades. Trazar la gráfica correspondiente. (Dos soluciones)

Sol: 9y2 – 16x2 – 144 = 0, 16x2 – 9y2 – 144 = 0.



TURNO MATUTINO


126. Encontrar la ecuación de la hipérbola centrada en el origen, cuya medida del lado recto es

de 8 unidades y los vértices son los puntos de intersección de la circunferencia x2 + y2 = 25 con uno de los ejes coordenados. Graficar. (Dos soluciones)

Sol: 20y2 – 25x2 – 500 = 0,

127. Una hipérbola equilátera, centrada en el origen, tiene los extremos del eje imaginario sobre el eje “y”; la circunferencia x2 + y2 = 16 corta al eje “x” en los puntos extremos del eje imaginario de una hipérbola equilátera. Graficar. Determinar:

a) La ecuación de la cónica. Sol: y2 – x2 = 16. b) Demostrar que las asíntotas forman entre sí un ángulo recto.

Sol: xy ±= (las pendientesson recíprocas y de signo contrario).

128. Obtener los elementos y trazar la gráfica de las hipérbolas siguientes: a) 4x2 – y2 – 4y – 44 = 0.

Sol: V ( 11± , -2), B (0, -2 45± ),F ( 45± , -2), e = 5 , LR = 24, eje transverso = 6, eje imaginario = 12,asíntotas: 22 −±= xy , centro (0, -2).

b) 4x2 – 3y2 + 8x + 30y – 83 = 0. Sol: V (-1 3± , 5), B1 (-1, 7),B2 (-1, 3), F (-1 7± , 5), e = 1.52,LR = 4.61, eje transverso:2 3 ,eje

imaginario: 4, asíntotas: 5)1(32

++±= xy , centro (-1,5).

c) 4x2 – 9y2 – 8x + 18y – 77 = 0. Sol: V (1 18± , 1), B (1, 1 8± ),F (1 26± , 1), LR = 3.77, e=1.20,eje transverso=2 18 ,

eje imaginario = 2 8 ,asíntotas: )1(1881 −±=− xy .

129. Hallar las ecuaciones de las hipérbolas de acuerdo a las condiciones que se piden. Graficar.

d) F1 (-4, 5), F2 (-4, -7), V1 (-4, 4), V2 (-4, -6). Sol: 11y2 – 25x2 – 200x + 22y – 1489 = 0.

e) F1 (-2, 3), F2 (6, 3) y LR = 12.

Sol: 3x2 – y2 – 12x + 6y – 9 = 0.

c) Centro (1, 3), eje transversoparalelo al eje “x”, excentricidad45

y un vértice en V (5, 3).

Sol: 19)3(

16)1( 22

=−

−− yx

.

130. Determinar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos V1 (2, 3), V2 (2, -3) y su

eje conjugado (imaginario) mide 8 unidades. Elaborar la gráfica.



TURNO MATUTINO


Sol: 116)2(

9

22

=−

−xy

o bien 16y2 – 9x2 + 36x – 108 = 0.

131. Obtener la ecuación de la hipérbola que tiene su eje transverso paralelo al eje “y”, sabiendo

que su centro está en C (-2, 2), un extremo del eje conjugado es B1 (0, 2) y pasa por el punto P (0, -4). Graficar.

Sol: 4y2 – 18x2 – 16y – 72x – 128 = 0.

132. Expresar en forma general la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F1 (1, 3), F2 (7, 3) y el eje transverso mide 4 unidades. Graficar.

Sol: 5x2 – 4y2 – 40x + 24y + 24 = 0.

133. Encontrar la ecuación de la hipérbola equilátera (a = b) que es concéntrica con la

circunferencia x2 + y2 – 10x – 10y + 34 = 0, uno de los extremos del eje imaginario es B1 (-9, 5) y la longitud del lado recto es igual a 8. Trazar la gráfica.

Sol: y2 – x2 + 10x + 10x – 10y – 16 = 0.

134. Determinar la ecuación de la hipérbola si su centro se ubica en la intersección de las rectas

2x – y – 4 = 0&x + y – 5 = 0, uno de los extremos del eje imaginario es el punto B1 (3, -1) y la longitud del eje transverso es de 6 unidades. Graficar.

Sol: x2 – y2 – 6x + 4y + 4 = 0.

“ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO”

135. Determina si la ecuación 9x2 – 16y2 – 54x – 64y – 127 = 0, es elíptica, hiperbólica o parabólica.

Sol: Hipérbola. 136. Averigua qué cónica representa la ecuación x2 + 4xy + 4y2 – 2x – 4y + 2 = 0.

Sol: Parábola Real. 137. Averigua qué clase de curva es la representación cartesiana de la ecuación 4!! + 4!" +

!!– 10! – 2! + 10 = 0, y en el caso de una elipse o de una hipérbola obtén las coordenadas del centro.

Sol: La curva es una Parábola. 138. Calcula el discriminante de los términos superiores de la ecuación 2x2+10xy+12y2–7x+8y–

15=0 y determina el tipo de cónica que representa. Sol: Hipérbola.



TURNO MATUTINO


139. Determina la cónica que representa la ecuación 5x2 + 4xy + 8y2 – 36 = 0. Sol: Elipse.

140. Dadas las siguientes ecuaciones de segundo grado, determinar el tipo de cónica que

representan: a) .0161233 22 =+−+ yxyx Sol: Circunferencia.

b) .039612884167 22 =+−−+ yxyx Sol: Elipse.

c) .015612484 2 =+++ yxx Sol: Parábola.

d) .02529636169 22 =−+−− yxyx Sol: Hipérbola.

e) .014222 =+−++ yxyx Sol: Circunferencia.

f) .0396122 =−−− yxy Sol: Parábola.

g) .09302456 22 =+−+− yxyx Sol: Hipérbola.

h) .0144247249 22 =+−−+ yxyx Sol: Elipse.

i) .015463 2 =+−+ xyy Sol: Parábola.

j) .0166422 =−−−+ yxyx Sol: Circunferencia.

“COORDENADAS CARTESIANAS Y POLARES”

141. Determina las coordenadas cartesianas del punto (3, π/2).Sol: S = (0, 3). 142. Determinar las coordenadas cartesianas del punto (-2, π/3).Sol: S = (-1, -1.73). 143. Transformar la ecuación r sen ө = 3 a coordenadas cartesianas.Sol: y = 3. 144. Transformar la ecuación 2x – 3y = 5 a coordenadas polares.

Sol: .3cos2

5θθ sen

r−

=

145. Transformar la ecuación x2 + y2 = 9 a coordenadas polares. Sol: r = 3.

146. Halla la forma cartesiana de las ecuaciones paramétricas .2,cos2 θθ senyx +=+=

Sol: .1)2()2( 22 =−+− yx 147. Halla la forma rectangular del par de ecuaciones paramétricas θsenx 3= , .cos4 θ=y

Sol: .1169

22

=+yx



TURNO MATUTINO


148. Transformar la ecuación θcos1

2−

=r a su forma cartesiana.

Sol: ).1(42 += xy

149. Transformar la ecuación θcos21

3−

=r a su forma cartesiana.

Sol: .09123 22 =−−− xxy

150. Transformar la ecuación θsen

r212

+= a su forma cartesiana.

Sol: .0483 22 =−+− yyx 151. Halla la forma rectangular del par de ecuaciones paramétricas θsenx 2= , θ2cos=y .

Sol:x2 + 2y = 2. 152. Encuentra la forma rectangular del par de ecuaciones paramétricas θsenx 22 +−= ,

θcos23 +−=y .

Sol: .4)3()2( 22 =+++ yx

153. Usando la ecuación asociada, expresa la ecuación rectangular en forma paramétrica 2222 yxyx −= ; θseny = .

Sol: .,tan θθ senyx ==

154. Transforma la ecuación polar θsenr 4= a su forma cartesiana. Sol: .0422 =−+ yyx

155. Encuentra la ecuación cartesiana de θθ cos

5−

=sen

r .

Sol: .5=− xy

156. Transformar la ecuación 09634 22 =−−+ yyx a coordenadas polares.

Sol: θsen

r−

+=2

3.

157. Halla la ecuación polar de 0442524 22 =−−+ xyx .

Sol: θcos5

2−

=r .

158. Obtén una ecuación cartesiana de la directriz de la hipérbola cuya ecuación es

θsenr

2112

−= .Sol: .6−=y



TURNO MATUTINO


159. Identifica la curva de la ecuación θcos2

6+

=r , traza su representación gráfica y obtén la

ecuación cartesiana de una directriz. Sol: Elipse, x = 6.

160. Obtén las coordenadas del punto de intersección de las gráficas cuyas ecuaciones son θsenr = ; y θ2cos1+=r en el intervalo θ≤0 < 360o.

Sol: 90o.

161. Trazar la gráfica de! = !!"# !!!!

.

Sol: Recta 162. Trazar la gráfica de! = 4!"# ! − !

!

Sol: Circunferencia

163. Trazar la gráfica de! = !!!!"#!

. Sol: Parábola

164. Trazar la gráfica de! = !!!!"#!

. Sol: Parábola

165. Trazar la gráfica de! = !!!!!!"#!

. Sol: Elipse

166. Trazar la gráfica de! = !!!!!!"#!

.

Sol: Elipse

167. Trazar la gráfica de! = !!!!"#$!

. Sol: Hipérbola

168. Trazar la gráfica de! = !!!!"#$!

. Sol: Hipérbola

169. Trazar la gráfica de! = 6 + 6 cos !. Sol: Cardioide

170. Trazar la gráfica de! = 6 + 6 sen !. Sol: Cardioide

171. ¿Cuál es el ángulo de rotación que trasforma el punto (3,4) del sistema XY, en el punto (5,0) del

sistema X´Y´, cuyo centro de giro es el origen del sistema XY Sol. !"#!!(!

!)

172. Determine el ángulo que deben girar los ejes para que la transformada de la 7x2 - 6 3xy + 13y2 = 16

carezca de termino en xy. Sol. 30°



TURNO MATUTINO


173. Por una rotación de 45° de los ejes coordenados, cierta ecuación se transformó en 4x´2 – 9y´2 = 36.

Hallar ecuación original. Sol. 5x2 – 26xy + 5y2 + 72 = 0

174. Por una traslación de los ejes coordenados al nuevo origen (3,3) y después una rotación en un

ángulo de 30° las coordenadas de cierto punto P se transforma en el punto ( 7, 6 ). Hallar las coordenadas de P, con respecto a los ejes coordenados originales.

Sol. ! !! , !"!

+ 3 3

5 guÍa geometrÍa analÍtica continuidad/guias/guiaanalitica.pdf · sol: 20 + 80 = 180 u. 21. uno...

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