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5 — El campo en medios dieléctricos

180 El campo en medios dieléctricos

5.1 IntroducciónEn este capítulo discutiremos el comportamiento de los materiales dieléctricos o aislantes. Eneste tipo de material los electrones se encuentran fuertemente ligados a los núcleos y no puedenmoverse libremente. Dado que las moléculas son electricamente neutras, uno podría pensarque entonces no interactúan significativamente con un campo electrostático externo. MichaelFaraday descubrió que al llenar el espacio entre 2 conductores con un aislante,la capacidad deeste condensador aumenta en un factor que depende únicamente de la naturaleza del materialdieléctrico.

Como hemos visto en la sección 3.7.1, existen moléculas polares (por ejemplo el agua) enlas cuales las cargas negativas y las cargas positivas se encuentran suficientemente separadasespacialmente como para poseer un momento dipolar permanente. Normalmente cada moléculaposee un momento dipolar cuya dirección es aleatoria, siendo la suma de todos estos momentosdipolares nula en la ausencia de un campo eléctrico (ver figura 5.4). Cuando se aplica un campoeléctrico externo, un torque se ejerce sobre las moléculas y éstas se alinearán en la dirección delcampo eléctrico, produciendo un momento dipolar neto. Esto significa que las moléculas en lamateria produciran un campo eléctrico macroscópico significativo.

Notar que lo mismo puede ocurrir en un material compuesto de moléculas no polares. Bajo elefecto de un campo eléctrico, las densidades de carga negativa y positiva de cada molécula sesepararan espacialmente, produciéndose una polarización de las moléculas como consecuenciadel campo eléctrico aplicado. Estas moléculas, una vez polarizadas, también se alinearán en ladirección del campo eléctrico resultante.

En ambos tipos de dieléctricos (polares y no polares), ante la prescencia de un campo eléctricoexterno, se produce una polarización global de las moléculas. Es necesario entonces considerarsu contribución al campo eléctrico total en la presencia de un medio dieléctrico.

5.2 PolarizaciónSi un medio se polariza, se efectúa una separación de cargas positivas y negativas, y todoelemento de volumen se caracterizara entonces por un momento dipolar eléctrico, ∆~p.

Definición 5.2.1 — Polarización. Se define la polarización ~P de un medio en un punto ~xcomo el momento dipolar eléctrico promedio en un volumen diferencial d3x alrededor de~x:

~P(~x) =∆~p(~x)d3x

5.2 Polarización 181

donde ∆p(~x) corresponde al momento dipolar total contenido en d3x.

Estrictamente, ~P debe definirse como el límite de esta cantidad a medida que d3x se hace muypequeño desde el punto de vista macroscópico, pero suficientemente grande de forma que d3xcontiene un gran número de moléculas. El vector polarización tiene unidades de C/m2.

5.2.1 Potencial generado por un medio dieléctricoConsideremos un volumen Ω de dieléctrico caracterizado por su polarización ~P(~x) en todo puntode Ω.

Cada elemento de volumen d3x′ se comporta como un dipolo microscópico, de momento dipolar∆~p(~x′) = ~P(~x′)d3x′. El potencial en ~x debido a este elemento de volumen sera entonces elpotencial de un dipolo puntual (ver 3.16)

dφ(~x) =∆~p(~x′) · (~x−~x′)4πε0‖~x−~x′‖3 =

P(~x′) · (~x−~x′)d3x′

4πε0‖~x−~x′‖3

El potencial total en~x se obtiene sumando sobre todo el volumen

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∫Ω

~P(~x′) · (~x−~x′)‖~x−~x′‖3 d3x′ (5.1)

Ahora mostraremos que el potencial dado por (5.1) puede escribirse como una integral de laforma (3.2) con una distribución de cargas adecuada. Utilizando la identidad (3.1), el potencialse puede reescribir:

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∫Ω

~P(~x′) ·~∇′ 1‖~x−~x′‖

d3x′

ahora consideramos la siguiente identidad: ~∇ · ( f~F) = f~∇ ·~F +~F ·~∇ f , donde f es un campoescalar y ~F un campo vectorial. Tomando f = 1/‖~x−~x′‖ y ~F = ~P(~x′)

~P(~x′) ·~∇′ 1‖~x−~x′‖

= ~∇′ ·

(~P(~x′)‖~x−~x′‖

)− 1‖~x−~x′‖

~∇′ ·~P(~x′)

Con esto

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∫Ω

d3x′~∇′ ·~P(~x′)‖~x−~x′‖

− 14πε0

∫∫∫Ω

d3x′1

‖~x−~x′‖~∇′ ·~P(~x′)


La primera integral puede transformarse en una integral sobre una superficie cerrada mediante elteorema de la divergencia de Green-Ostrogradsky, obteniéndose

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∂Ω

d~S(~x′) ·~P(~x′)‖~x−~x′‖

− 14πε0

∫∫∫Ω

d3x′1

‖~x−~x′‖~∇′ ·~P(~x′)

O, equivalentemente

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∂Ω

dS(~x′)~P(~x′) · n(~x′)‖~x−~x′‖

+1

4πε0

∫∫∫Ω

d3x′−~∇′ ·~P(~x′)‖~x−~x′‖ (5.2)

Vemos entonces que el potencial generado por un material dieléctrico, dado por (5.2), puedeescribirse como el potencial generado por una distribución de cargas sobre el volumen ρP(~x) =−~∇ · ~P(~x) y sobre la superficie σP(~x) = ~P(~x) · n(~x). Estas son las densidades de carga depolarización.

Definición 5.2.2 — Densidad de carga de polarizacion. Un dieléctrico polarizado Ω

puede ser visto como un volumen que contiene una densidad de carga ρP en su interior y σP

en su frontera. La densidad volumétrica de carga de polarización es una medida de la nouniformidad de ~P dentro del material

ρP(~x) =−~∇ ·~P(~x) ~x ∈Ω (5.3)

mientras que la densidad superficial de carga de polarización está dada por la componente depolarización normal a la superficie

σP(~x) = ~P(~x) · n(~x) ~x ∈ ∂Ω (5.4)

Notar que la carga de poalarización total de un dieléctrico es:

Qp =∫∫∫

Ω

(−~∇′ ·~P(~x′))d3x′+∫∫

∂Ω

dS(~x′)~P(~x′) · n(~x′) = 0

La cual es nula debido al teorema de la divergencia. Aunque el dieléctrico sea globalmenteneutro, la aparición de un momento dipolar a nivel molecular causa una distribución de cargasque es localmente distinta de cero.

En resumen, el potencial debido al material dieléctrico es, finalmente

φ(~x) =1

4πε0

∫∫∂Ω

dS(~x′)σ(~x′)‖~x−~x′‖

+1

4πε0

∫∫∫Ω

d3x′ρ(~x′)‖~x−~x′‖ (5.5)

El campo eléctrico se obtiene usando la identidad ~E(~x) =−~∇φ(~x)

~E(~x) =1

4πε0

∫∫∂Ω

dS(~x′)σ(~x′)(~x−~x′)‖~x−~x′‖3 +

14πε0

∫∫∫Ω

d3x′ρ(~x′)(~x−~x′)‖~x−~x′‖3

5.3 Ley de Gauss en un dieléctrico 183

5.3 Ley de Gauss en un dieléctricoSupongamos que ahora se tiene una cierta distribución de cargas qi, con i ∈ 1,2,3, ...,Nsumergidas en un medio dieléctrico. Consideraremos a las cargas qi como libres, es decir, comocargas que no forman parte del dieléctrico, y que en consecuencia no se encuentran ligadas aninguna molécula en particular.

No hay que olvidar que además de estas cargas libres, el medio dieléctrico poseerá en generaluna densidad de carga no nula, debido a que sus moléculas se polarizan bajo la acción del campoeléctrico generado por las cargas externas. La ley de Gauss, una de las leyes fundamentales de laelectrostática, dice que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada S esproporcional a la carga total encerrada por ella.∫∫

Sd~S(~x′) ·~E(~x′) =

Qlibre+Qpolarizacionε0

Hay que incluír entonces toda la carga encerrada por S, tanto la carga de polarización como lacarga libre. Supongamos que el volumen encerrado por S se puede escribir como Ω(S)=Ω1+Ω2,donde Ω1 es el volumen ocupado por las cargas libres, y Ω2 es la porción de volumen encerradopor S ocupado por el dieléctrico. Esto se muestra en la figura siguiente.

La frontera de Ω1 es ∂Ω1, mientras que la frontera de Ω2 se puede descomponer en S∪ (−∂Ω1)(el signo menos toma encuenta el sentido de la normal). La carga de polarización se encuentraen forma volumétrica ρP en Ω2 y en forma superficial σP en la interfaz ∂Ω1 entre Ω1 y Ω2.Entonces, la ley de Gauss se escribe∫∫

Sd~S(~x′) ·~E(~x′) = 1

ε0

∫∫∫Ω1

d3x′ρlibre(~x′)+

1ε0

∫∫−∂Ω1

d~S(~x′)σP(~x′)+1ε0

∫∫∫Ω2

d3x′ρP(~x′)

Escribiendo las densidades de carga de polarización como σP = ~P · n y ρP =−~∇ ·~P de acuerdo a(5.3) y (5.4):


∫∫S

d~S(~x′) ·~E(~x′) =Qlibre

ε0+

1ε0

∫∫−∂Ω1

d~S(~x′) ·~P(~x′)− 1ε0

∫∫∫Ω2

d3x′~∇′ ·~P(~x′)

Utilizando el teorema de la divergencia de Green-Ostrogradsky para la última integral:

=Qlibre

ε0+

1ε0

∫∫−∂Ω1

d~S(~x′) ·~P(~x′)− 1ε0

∫∫S∪(−∂Ω1)

d~S(~x′) ·~P(~x′)

Así ∫∫S

d~S(~x′) ·~E(~x′) =Qlibre

ε0− 1

ε0

∫∫S

d~S(~x′) ·~P(~x′)

La idea es obtener una ley equivalente a la ley de Gauss en el vacío, donde la integral de flujo deun cierto campo ~D sobre toda superficie S siga siendo proporcional a la carga libre encerrada porésta. Notar que la ecuación anterior se puede reescribir en la forma:

∫∫S

d~S(~x′) ·(

ε0~E(~x′)+~P(~x′))= Qlibre (5.6)

Definición 5.3.1 — Desplazamiento eléctrico. Se define el campo desplazamiento eléc-trico como:

~D(~x) = ε0~E(~x)+~P(~x) (5.7)

el cual satisface la ley de Gauss generalizada:

∫∫∂Ω

d~S(~x′) ·~D(~x′) =∫∫∫

Ω

d3x′ρlibre(~x′) = Qlibre (5.8)

Notar que toda la información sobre la polarización del medio se encuentra contenida en ~D.En el vacío se tiene ~P(~x)= 0, ~D(~x) = ε0~E(~x) y (5.8) es equivalente a la ley de gauss en elvacío, (2.2).

5.3.1 Forma diferencial de la ley de Gauss en un dieléctrico

A partir de la ley de Gauss 5.8, y utilizando el teorema de la divergencia de Green-Ostrodradsky∫∫∫Ω

~∇ ·~D(~x′)d3x′ =∫∫∫

Ω

ρ(~x′)d3x′

para todo Ω. Se obtiene entonces la forma diferencial de la ley de Gauss en un dieléctrico

~∇ ·~D(~x′) = ρ(~x′) (5.9)

Esta es la primera ecuación de Maxwell, y es una generalización de 3.24. Notar que ~D tienela ventaja de conservar como fuentes únicamente las cargas libres. El efecto de las cargas depolarización está contenido en ~D.

5.4 Susceptibilidad eléctrica y constante dieléctrica 185

5.4 Susceptibilidad eléctrica y constante dieléctrica

Para una gran variedad de materiales, la densidad de polarización ~P(~x) depende linealmente delcampo eléctrico, y se escribe en la forma:

~P(~x) = χ(~x)ε0~E(~x)

Donde la cantidad adimensional χ se llama susceptibilidad electrica del material. Así, laexpresión de ~D en un medio homogéneo (χ independiente de la posición) es, de acuerdo a 5.7:

~D(~x) = ε0(1+χ)~E(~x) = ε~E(~x) (5.10)

Definición 5.4.1 — Constante dieléctrica. Se define ε = ε0(1+χ) como la permitividaddel medio, la cual es una constante caracteristica del material. Se define la permitividadrelativa, o constante diélectrica, como la cantidad adimensional

κ =ε

ε0(5.11)

de manera que

~D(~x) = ε~E(~x) = κε0~E(~x)

La constante dieléctrica κ es siempre mayor o igual a 1. En el vacío, se tiene por construcciónκ = 1. La forma diferencial de la ley de Gauss se puede reescribir como:

~∇ ·E(~x) = ρ(~x)ε

=ρ(~x)κε0

(5.12)

Eso significa que la electrostática en un medio dieléctrico lineal, homogéneo e isotrópico esequivalente a la electrostática en el vacío, a condición de renormalizar la permitividad ε = κε0.Note que el medio se polariza, produciendo un campo eléctrico que se opone al campo eléctricoexterno, de forma que el campo eléctrico total se debilita en un factor κ respecto al valor quetendría en el vacío. Esto ocurre por que la densidad de carga de polarización tiende a apantallar alas cargas libres. En la figura siguiente se ilustra el caso de una carga positiva q en un mediodieléctrico. En la interfaz entre la carga y el medio, una nube de carga negativa rodea a lacarga q, produciendo un efecto de apantallamiento. El campo eléctrico generado en el medio esequivalente al campo de una carga q/κ < q en el vacío.


Un dieléctrico con κ 1 se comporta como un conductor, en el sentido que el campo eléctricoen su interior tiende a anularse.

Ejemplo 5.1 — Esfera cargada en un dieléctrico. Una esfera de radio R con carga libre qesta sumergida en un medio dieléctrico homogéneo de constante κ . Calculara) Los vectores campo eléctrico y polarización a una distancia r de la esfera.b) La densidad de carga de polarización

Solucióna) Usando la ley de gauss general 5.8, con una superficie esférica de radio r (r > R) concéntricaa la esfera de carga q:

∫∫S

d~S(~x′) ·~D(~x′) = 4πr2D(r) = q

Con lo que

~D(r) =q

4πr2 r

El campo eléctrico y la polarización pueden evaluarse fácilmente a partir de ~D

~D(r) = κε0~E(r)→ ~E(r) =q

4πκε0r2 r

además~D(~x) = ε0~E(~x)+~P(~x)

luego

~P(r) = (ε− ε0)~E(r) =q

4πr2 r− ε0q

4πκε0r2 r =q

4πr2

(1− 1

κ

)r

~P(r) =q(κ−1)4πκr2 r

b) Claramente el dieléctrico ha debilitado la magnitud del campo eléctrico en un factor κ encomparación a su valor en el vacío. El campo eléctrico es originado por toda la carga, la depolarización y la carga libre. La carga libre es solo la carga de la esfera q. Sin embargo, la cargade polarización posee dos contribuciones, una densidad volumétrica ρP(~x) =−~∇ ·~P(~x) y unadensidad superficial σP(~x) = ~P(~x) · n(~x) sobre la interfaz entre el dieléctrico y la carga puntual.Es claro que en todos los puntos del dieléctrico

~∇ ·~E(~x) = 0

y entoncesρP(~x) =−~∇ ·~P(~x) = 0

Usando que ~P(r) = q(κ−1)/(4πκr2)r, la densidad superficial será

σ = ~P · n = ~P(R) ·−r =−(κ−1)q4πκR2

y la carga superficial total es

QS =−4πR2 (κ−1)q4πκR2 =−(κ−1)q

κ


Esta carga compensa y apantalla a la carga libre q. Notar que la carga total presente en el sistemaes:

Q = Qlibre +QS = q− (κ−1)qκ

=qκ

Ejemplo 5.2 — Cáscara dieléctrica. Considere una cáscara esférica dieléctrica de radiointerior a, radio exterior b y permitividad ε . Se coloca una carga puntual q en su centro. Calculeel campo eléctrico en todo el espacio y las densidades de carga de polarización.

SoluciónTomando una superficie gaussiana esférica arbitraria de radio r > 0 concentrica con la carga libreq, se tiene ∫∫

Sd~S(~x′) ·~D(~x′) = 4πr2D(r) = qin = q

Con esto~D(r) =

q4πr2 r

para todo r > 0. Ahora, podemos obtener el campo eléctrico como sigue. En la región r < a, setiene

~EI(r) =q

4πεor2 r

para a < r < b~EII(r) =

q4πεr2 r


y para r > b

~EIII(r) =q

4πεor2 r

Notar que el campo se debilita en la región interior al cascarón dieléctrico. Ahora,

ρP =−~∇ ·~P(~x) =−~∇ · (ε− εo)~E(r) = 0

Sea σin la densidad superficial de polarización en la cáscara interior y σext la densidad superficialde polarización en la cáscara exterior

σin = (ε− ε0)~EII(a) · (−r) =−q(ε− ε0)

4πεa2

σext = (ε− ε0)~EII(b) · (r) =q(ε− ε0)

4πεb2

se verifica que la carga total de polarización es cero, pues Qin =−q(ε− ε0)/ε =−Qext .

Ejemplo 5.3 — Esfera rodeada por un cascarón dieléctrico. Una esfera conductora deradio a tiene una carga Q. La esfera es rodeada por una cáscara no conductora, concéntrica,de radio interno b > a y radio externo c, y de constante dieléctrica relativa κ . El sistema seencuentra aislado de otros cuerposa) Encuentre el campo eléctrico en todo el espaciob) Cuál es el potencial eléctrico de la esfera conductora relativo al potencial en el infinito?c) Cuál es la energía necesaria para mover una carga q desde el inifnito hasta la superficie exteriordel dieléctrico?

Solucióna) Para encontrar el campo eléctrico en todo el espacio se puede utilizar la ley de Gauss general∫∫

Sd~S(~x) ·~D(~x) = Qin

Para r < a, el campo es idénticamente nulo (densidad de carga libre nula al interior de unconductor). Para a < r < b, se puede escoger una superficie esférica de radio r > 0, de forma que∫∫

Sd~S(~x) ·~D(~x) =

∫∫S

dS(~x)r ·D(r)r = D(r)4πr2


donde la simetría esférica de la figura impone la condición de que el campo ~D debe ser radial.La carga encerrada por esta superficie es Q, luego

4πr2D(r) = Q→ D(r) =Q

4πr2

Además, ∀r con a < r < b, ~D(~x) = ε0~E(~x), así

~E(~x) =Q

4πε0r2 r

Para b < r < c, se tiene nuevamente∫∫S

d~S(~x) ·~D(~x) = 4πr2D(r) = Q

y

~D(~x) = ε~E(~x)

Luego

~E(~x) =Q

4πκε0r2 r

Finalmente, para r > c se obtiene

~E(~x) =Q

4πε0r2 r

b) Se tiene

φ(r) =∫

∞

rd~x ·~E(~x)

Dada la naturaleza radial del campo eléctrico, se puede escoger un camino radial para evaluar laintegral de línea, y entonces el potencial en la esfera conductora es

φ(a) =∫ b

adrE(r)+

∫ c

bdrE(r)+

∫∞

cdrE(r) =− Q

4πε0r

∣∣∣ba− Q

4πκε0r

∣∣∣cb− Q

4πε0r

∣∣∣∞c

φ(a) =Q

4πε0

(1a− 1

b

)+

Q4πκε0

(1b− 1

c

)+

Q4πε0c

φ(a) =Q

4πε0a+

Q4πε0

(1κ

c−bbc

+b− c

bc

)=

Q4πε0

(1a+

(b− c)(κ−1)bcεr

)


c) La energía necesaria para mover una carga q desde el infinito hasta r = c es

U = qφ(c)

donde

φ(c) =∫

∞

cdrE(r) =

∫∞

cdr

Q4πε0r

=Q

4πε0cAsí

U =qQ

4πε0c

Ejemplo 5.4 Se tienen tres esferas conductoras concéntricas de radios a, b, y c. El espacioentre las dos primeras esta lleno con un dieléctrico de constante κ . Inicialmente la esfera deradio a esta descargada y las esferas de radios b y c tienen carga q1 y q2, respectivamente. Laesfera interior de radio a se conecta con la esfera de radio c mediante un cable aislado delgado.

a) Calcular la carga libre en cada esfera.b) Calcular la carga de polarización en la superficie externa (r = b) y en la superficie interna(r = a) del dieléctrico

Solucióna) Definimos las siguientes regiones

Al conectar las esferas de radio a y c, se distribuirá la carga en ambas de modo que quedan almismo potencial, luego

q2 = qA +qC


Además, para la región dada por r < a→, ~E(~x) =~0 pues corresponde al interior de una esferaconductora. Para a < r < b se utiliza la ley de Gauss con una superficie esférica de radio r∫∫

S(r)d~S(~x′) ·~D(~x′) = 4πr2D(r) = qA

~D =qA

4πr2 r

y luego~E(r) =

qA

4πκε0r2 r

Para la región b < r < c ∫∫S(r)

d~S(~x′) ·~D(~x′) = 4πr2D(r) = (qA +q1)

~E(r) =(qA +q1)

4πε0r2 r

Por último, para r > c ∫∫S(r)

d~S(~x′) ·~D(~x′) = 4πr2D(r) = q1 +qA +qC

En resumen

~E(~x) =

~0 si 0 < r < aqA

4πκε0r2 r si a < r < bqA+q14πε0r2 r si b < r < c

qA+q1+qC4πε0r2 r si c < r

El potencial en la esfera de radio a es

φ(a) =∫

∞

ad~r ·~E =

∫ b

ad~r ·~E(r)+

∫ c

bd~r ·~E(r)+

∫∞

cd~r ·~E(r)

donde la última integral corresponde a∫∞

cd~r ·~E(r) = φ(c) = φ(a)

φ(a) =qA

4πκε0

∫ b

a

drr2 +

qA +q1

4πε0

∫ c

b

drr2 +φ(a)

luego

qA

4πκε0

(1a− 1

b

)+

qA +q1

4πε0

(1b− 1

c

)= 0

qAb−a

ab+(qA +q1)

c−bcb

= 0

qA

(ba−1+1− b

c

)=

q1(b− c)c

→ qAb(c−a)

ac= q1

b− cc


Finalmente

qA =q1(b− c)ab(c−a)

qC = q2−qA = q2−q1(b− c)ab(c−a)

b) Sobre la superficie interna del dieléctrico,σP = ~P · n, con ~P = (ε− ε0)~E,~E = qA(4πκε0a2)r yn =−r. Luego

σP

∣∣∣r=a

=−(ε− ε0)qA

4πκε0a2 =−(κ−1)qA

4πκa2

y sobre la superficie externa ~E = qA(4πκε0b2)r, n = r y entonces

σP

∣∣∣r=b

= ~P · n = (ε− ε0)qA

4πκε0b2 =(κ−1)qA

4πκb2

Ejemplo 5.5 — Dieléctrico inhomogéneo. Un cilindro conductor de radio r1 y largo l llevauna carga q uniformemente distribuída. Alrededor de el, otro cilindro conductor, coaxial conel anterior, de radio r2 y mismo largo l, tal como indicado en la figura, lleva una carga -q,también uniformemente distribuída. Se llena la región entre los dos cilindros con un materialcuya constante dieléctrica es funcion de la distancia al eje de los cilindros, κ = κ(r). Considerel mucho mayor que r1 y r2

a) Encuentre una expresión para κ(r) que genere un campo electrostático radial e independientede la distancia al ejeb) Calcule la capacidad del condensador cilíndrico correspondientec) Calcule la densidad superficial de cargas de polarización en la superficie del material dieléc-trico a r = r1 y r = r2, para el κ(r) calculado en el item a)d) Considerando que, en coordenadas cilíndricas , ~∇ · ~A = 1

r∂

∂ r (rAr), calcular la densidadvolumétrica de cargas de polarización en el dieléctrico


e) Calcular la cantidad total de cargas de polarización, incluyéndose cargas en la superficie y enel volumen del dieléctricof) Calcule la energía potencial electrostática almacenada en el condensadorg) Suponiendo que uno puede sacar el material dieléctrico de entre r1 y r2 deslizándolo fácilmentesin roce a lo largo del eje del sistema, calcule el trabajo necesario para remover el dieléctrico deentre las placas del condensador

SoluciónPara obtener el campo electrostático en el interior, utilizamos la ley de Gauss general, con unasuperficie cilíndrica de radio r, con r1 < r < r2 y largo l

Por simetría, es evidente que ~D es de la forma ~D = D(r)r, con esto∫∫S

d~S(~x′) ·~D(~x′) =∫∫

SdS(~x′)r ·D(r)r = q

D(r)2πrlD = q

Así~D =

q2πrl

r

además ~D se relaciona con ~E según

~D(~x) = ε~E(~x) = κ(r)ε0~E(~x)

luego

~E(r) =q

2πlrκ(r)ε0r

para que ~E no dependa de r, κ(r) debe ser de la forma κ(r) = α

r , así

~E(r) =q

2πlαε0r

b) Calculemos la diferencia de potencial entre las cáscaras cilíndricas∫ r2

r1

d~x ·~E(~x) = φ(r1)−φ(r2) = ∆φ

∫ r2

r1

drr · q2πlαε0

r =q

2πlαε0

∫ r2

r1

dr =q(r2− r1)

2πlαε0

y la capacidad de este condensador es


C =q

∆φ=

2πlαε0

r2− r1

c) La densidad superficial de cargas de polarización está dada por

σP(~x) = ~P(~x) · n(~x) ~x ∈ S

y~P = (ε− ε0)~E =

(α

r−1)

ε0~E

sobre la superficie interior n =−r, y

~P =

(α

r1−1)

ε0~E =

(α

r1−1)

q2πlα

r

y entonces

σ1 = ~P · n∣∣∣r=r1

=−(

α

r1−1)

q2πlα

para la superficie exterior, n = r y

σ2 = ~P · n∣∣∣r=r2

=

(α

r2−1)

q2πlα

d) La densidad volumétrica de carga de polarización es ρP =−~∇ ·~P, y como ~P = P(r)r

ρP =−~∇ ·~P =−1r

∂

∂ rrP(r) =−1

r∂

∂ rr[(

α

r−1)

ε0~E]

ρP =−1r

∂

∂ r

[r(

α− rr

)ε0

q2πlαε0

]=−1

r∂

∂ r

[(α− r)q

2πlα

]

ρP =−1r

(−q

2πlα

)=

qr2πlα

e) La carga total de polarización es

Qp =∫∫∫

Ω

ρP(~x′)d3x′+∫∫

S1

dS(~x′)σ1(~x′)+∫∫

S2

dS(~x′)σ2(~x′)

donde S1 = r = a, S2 = r = b y Ω = a < r < b. Se tiene∫∫S1

dS(~x′)σ1(~x′) =−(

α

r1−1)

q2πlα

∫∫S1

dS(~x′) =−(

α

r1−1)

q2πr1l2πlα∫∫

S1

dS(~x′)σ1(~x′) =−(α− r1)qα

del mismo modo ∫∫S2

dS(~x′)σ2(~x′) = σ2

∫∫S1

dS(~x′) = (α− r2)qα


por último, recordando que el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas es d3x′= rdrdϕdz∫∫∫Ω

ρP(~x′)d3x′ =∫ 2π

0dϕ

∫ l

0dz∫ r2

r1

drrq

2πlαr=

2πlq2πlα

∫ r2

r1

dr

∫∫∫Ω

d3x′ρP(~x′) =qα(r2− r1)

AsíQP =

qα(r2− r1)− (α− r1)

qα+(α− r2)

qα

= 0

Esto siempre se cumple, pues un dieléctrico siempre es eléctricamente neutro.f) La energía almacenada por el condensador es

U =12

q2

C

donde

C =2πlαε0

(r2− r1)

así

U =12

q2 (r2− r1)

2πlαε0

g) Tenemos que la energía inicial es

Ui =12

q2 (r2− r1)

2πlαε0

y la final

U f =12

q2

C f

donde C f es la capacidad final (en vacío). En el ejemplo 4.9 se determinó la capacidad de uncondensador cilíndrico

C f =2πlε0

ln(

r2r1

)y la energía final es entonces

U f =12

q2

C f=

12

q2 ln(

r2r1

)2πlε0

Finalmente, el trabajo necesario para remover el dieléctrico es

W =U f −Ui =12

q2

2πlε0

(r1− r2)

α− ln

(r2

r1

)


5.5 Condiciones de borde en la frontera

Las condiciones que debe satisfacer el campo eléctrico en una zona interfacial que separa dosmedios dieléctricos se deducen a partir de las leyes diferenciales

~∇ ·~D(~x) = ρ(~x)

~∇×~E(~x) = 0

5.5.1 La componente normal de ~E es discontinua en una interfaz

En cualquier zona interfacial entre dos medios se puede construír una superficie cilíndrica comose muestra en la figura

La normal a las tapas coincide con la normal n entre ambas superficies. La ley de Gauss 5.8 nosda: ∫∫

Sd~S(~x) ·~D(~x) =

∫∫∫Ω(S)

ρ(~x)d3x

Si h es la altura del cilindro, el área del manto es 2πh. En el límite cuando h→ 0, el flujo de ~Dsobre el manto tiende a cero, y queda únicamente el flujo a través de las tapas, cuyas superficiessuponemos igual a A: ∫∫

Sd~S(~x) ·~D(~x) = An ·

(~D1−~D2

)Por otro lado, si admitimos una densidad superficial de cargas libres σ en la interfaz, entonces lacarga libre encerrada es Aσ . Obtenemos entonces

n ·(~D1−~D2

)A = σA

Así, la componente normal del campo ~D(~x) es discontinua al atravesar una superficie cargada

n · (~D1−~D2) = σ (5.13)

donde n es la normal que apunta desde el medio 2 hacia el medio 1. Para medios dieléctricoslineales, esto se reescribe

n · (ε1~E1− ε2~E2) = σ (5.14)

5.5 Condiciones de borde en la frontera 197

5.5.2 La componente tangencial de ~E es continua en una interfazAhora veremos que la componente tangencial del campo eléctrico es continua. A partir de laecuación

~∇×~E(~x) = 0

integremos sobre un camino cerrado rectangular Γ, como se muestra en la figura.

Utilizando la ley de circulación∮

Γd~x ·~E(~x) = 0. En el caso en que h1→ 0 y h2→ 0, se tiene

que esta integral vale:

lE1t − lE2t = 0

donde Eit = ~Ei · t, con t la dirección tangente a la interfaz. Se deduce que la componentetangencial de ~E(~x) es continua en la interfaz entre dos medios

E1t = E2t (5.15)

Ejemplo 5.6 — Esferas con dieléctrico. Dos esferas concéntricas conductoras de radiosa y b, respectivamente, poseen cargas ±Q. La mitad del espacio entre ellas se llena con undieléctrico de constante dieléctrica κ .

a) Encuentre el campo eléctrico entre las esferasb) Calcule la densidad superficial de carga libre en la esfera interior.c) Calcule la densidad de carga de polarización inducida en la superficie del dieléctrico en r = a

Solucióna) Sea S una esfera de radio r concéntrica a ambas esferas conductoras, con a < r < b. De la leyde Gauss general ∫∫

Sd~S(~x) ·~D(~x) = Q


la simetría del sistema impone una dependencia y dirección radial para el campo de desplaza-miento eléctrico

~D(~x) = D(r)r

Sean además S1 y S2 los hemisferios dados por S1 = 0≤ ϕ ≤ π y S2 = π ≤ ϕ ≤ 2π.Notar que S1

⋃S2 = S∫∫

Sd~S(~x) ·~D(~x) =

∫∫S1

d~S(~x) ·~D(~x)+∫∫

S2

d~S(~x) ·~D(~x) = Q

∫∫S

d~S(~x) ·~D(~x) =∫∫

S1

d~S(~x) · ε0κ~E(~x)+∫∫

S2

d~S(~x) · ε0~E(~x) = 2πrE(r)ε0 (1+κ)

donde κ es la constante dieléctrica de la región asociada al hemisferio S1. Así

~E(~x) =2Q

4πε0r2(1+ ε/ε0)r a≤ r ≤ b

b) Para encontrar la densidad de carga libre en la esfera r = a, utilizamos (5.14):

~E(~x) =σ(~x)ε(~x)

~x ∈ Sa : r = a

Asíσ1 = ε0E(a) =

Qε0

2πa2 (ε + ε0)

σ2 = εE(a) =Qε

2πa2 (ε + ε0)

c) Para encontrar la densidad de carga inducida en la superficie de dieléctrico con r = a, utilizamosla relación

~D(~x) = ε0~E(~x)+~P(~x) = ε~E(~x)

Así, el vector polarización está dado por

~P(~x) = (ε− ε0)~E(~x)


La densidad de carga de polarización inducida en la superficie del dieléctrico con r = a es

σP = ~P · n∣∣∣~x∈Sa

donde n es la normal a la superficie Sa que apunta hacia la región exterior al dieléctrico, es decirn =−r

σP =−(ε− ε0)E(r)∣∣∣r=a

σP =

(ε0− ε

ε0 + ε

)Q

2πa2

Ejemplo 5.7 — Esfera dieléctrica en un campo uniforme. Una esfera dieléctrica de radioa y permitividad ε se coloca en un campo eléctrico inicialmente uniforme ~E = E0k, como semuestra en la figura

Encuentre el potencial φ y el campo eléctrico en todo el espacio

SoluciónDada la simetría del problema, resolveremos el problema en coordenadas esféricas, como semuestra en la figura

Como no hay cargas libres, el potencial electrostático satisface la ecuación de Laplace 4.15

~∇2φ = 0

Dada la simetría azimutal (el potencial no depende del angulo polar ϕ), la solución general paraφ toma la forma dada por (4.18)

φ(r,ϑ) =∞

∑l=0

AlrlPl(cosϑ) r < a

φ(r,ϑ) =∞

∑l=0

(BlrlPl +Clr−(l+1)

)Pl(cosϑ) r ≥ a


Lejos de la esfera dieléctrica, ~E(~x) = E0z, o, equivalentemente

limr→∞

φ(r,ϑ) =−E0z =−E0r cosϑ

es decir

limr→∞

φ(r,ϑ) =∞

∑l=0

BlrlPl(cosϑ) =−E0r cosϑ

De aquí, es claro que Bl = 0 para l 6= 1, y

B1r cosϑ =−E0r cosϑ → B1 =−E0

con esto, el potencial para r ≥ a toma la forma

φ(r,ϑ) =−E0r cosϑ +∞

∑l=0

Clr−(l+1)Pl(cosϑ) r ≥ a

Ahora utilizaremos las condiciones de contorno en la superficie r = a. En primer lugar, lacomponente tangencial del campo eléctrico en r = a debe ser continua (Ec 5.15)

~Eint · ϑ∣∣∣r=a−

= ~Eext · ϑ∣∣∣r=a+

−~∇φ(r,ϑ) · ϑ∣∣∣r=a−

=−~∇φ(r,ϑ) · ϑ∣∣∣r=a+

−1a

∂φ(r,ϑ)

∂ϑ

∣∣∣r=a−

=−1a

∂φ(r,ϑ)

∂ϑ

∣∣∣r=a+

de forma equivalente, se puede imponer la continuidad de φ en r = a para todo ϑ :

∞

∑l=0

AlalPl(cosϑ) =−E0acosϑ +∞

∑l=0

Cla−(l+1)Pl(cosϑ)

∞

∑l=0

(Alal−Cla−(l+1)

)Pl(cosϑ) =−E0acosϑ

De aqui, se obtiene

A1a−C1

a2 =−E0a

y para l 6= 1, Alal−Cla−(l+1) = 0. Además, si no hay densidad de carga libre en la superficiedieléctrica, la componente normal del campo ~D(~x) es continua (Ec. 5.13)

~D · r∣∣∣r=a−

= ~D · r∣∣∣r=a+

−ε~∇φ(r,ϑ) · r∣∣∣r=a−

=−ε0~∇φ(r,ϑ) · r∣∣∣r=a+

−ε∂φ(r,ϑ)

∂ r

∣∣∣r=a−

=−ε0∂φ(r,ϑ)

∂ r

∣∣∣r=a+

ε

∞

∑l=0

Allal−1Pl(cosϑ) = ε0

(−E0 cosϑ − (l +1)

∞

∑l=0

Cla−(l+2)Pl(cosϑ)

)


∞

∑l=0

((ε

ε0

)Allal−1 +(l +1)Cla−(l+2)

)Pl(cosϑ) =−E0 cosϑ

de aquí se obtiene (ε

ε0

)A1 +2C1a−3 =−E0(

ε

ε0

)Allal−1 +(l +1)Cla−(l+2) = 0 l 6= 1

En resumen, las condiciones de borde en r = a imponen:

A1a−C1

a2 =−E0a

Alal−Cla−(l+1) = 0 l 6= 1(ε

ε0

)A1 +2C1a−3 =−E0(

ε

ε0

)Allal−1 +(l +1)Cla−(l+2) = 0 l 6= 1

de la segunda ecuación

Al =Cl1

a2l+1 l 6= 1

reemplazando en la cuarta(ε

ε0

)Cl

1a2l+1 lal−1 +(l +1)Cla−(l+2) = 0 l 6= 1

(ε

ε0

)Cl

(l

al+2 +l +1al+2

)= 0 l 6= 1

LuegoCl = Al = 0 l 6= 1

Para l = 1, de la primera ecuación

A1 =C1

a3 −E0

reemplazando en la tercera(ε

ε0

)(C1

a3 −E0

)+2C1a−3 =−E0

C1

a3

(ε

ε0+2)= E0

(ε

ε0−1)

Finalmente

C1 = a3E0

(ε

ε0−1

ε

ε0+2

)


A1 = E0

(ε

ε0−1

ε

ε0+2

)−E0 =−E0

(3

ε

ε0+2

)Con esto, se tiene

φ(r,ϑ) =−E0

(3

ε

ε0+2

)r cosϑ =−E0

(3

ε

ε0+2

)z r < a

φ(r,ϑ) =−E0r cosϑ +a3

r2 cosϑE0

(ε

ε0−1

ε

ε0+2

)r ≥ a

Notar que el potencial interior de la esfera define un campo eléctrico uniforme según z

~Eint = E0

(3

ε

ε0+2

)z≤ E0z

La figura muestra las equipotenciales para el caso ε/ε0 = κ = 5, en el que el campo eléctrico alinterior de la esfera se reduce en un factor 0.43.

Notar que un dieléctrico con permitividad muy grande se compora de forma similar a unconductor, en efecto, si ε → ∞

~∇ ·~E(~x) = ρ

ε→ 0

y entonces el campo esta forzado a ser nulo en el interior del dieléctrico (conductor). La siguientefigura muestra la solución para κ = 100, para la cual el campo al interior de la esfera se reducede un factor 0.03.

En este caso, el potencial es prácticamente constante e igual a cero dentro de la esfera

Ejemplo 5.8 — Esfera dieléctrica y carga puntual. Una carga puntual q esta en el espaciovacío a una distancia d del centro de una esfera dieléctrica de radio a < d y constante dieléctricaκ = ε/ε0a) Encuentre el potencial en todo el espacio.


b) Calcule las componentes rectangulares del campo eléctrico cerca del centro de la esfera.c) Verifique que en el límite ε → ∞, el resultado es el de una esfera conductora

SoluciónLa situación es la siguiente

Si suponemos que la carga se encuentra en el eje z, su posición se escribe~x′ = dk. Para la regióninterior a la esfera, r < a

φ(r,ϑ) =∞

∑l=0

AlrlPl(cosϑ)+1

4πε0

q‖ rr(ϑ)−dz‖

Mientras que para la región exterior r > a

φ(r,ϑ) =∞

∑l=0

Blr−(l+1)Pl(cosϑ)+1

4πε0

q‖ rr(ϑ)−dz‖

Utilizando la expansión de 1/‖~x−~x′‖ en polinomios de Legendre (4.27)

φ(r,ϑ) =∞

∑l=0

AlrlPl(cosϑ)+q

4πε0

∞

∑l=0

rl

dl+1 Pl(cosϑ) r < a

φ(r,ϑ) =∞

∑l=0

Blr−(l+1)Pl(cosϑ)+q

4πε0

∞

∑l=0

rl

dl+1 Pl(cosϑ) a < r < d

φ(r,ϑ) =∞

∑l=0

Blr−(l+1)Pl(cosϑ)+q

4πε0

∞

∑l=0

dl

rl+1 Pl(cosϑ) r > d

Ahora, se deben imponer las condiciones de borde apropiadas en el contorno r = a. La compo-nente tangencial del campo eléctrico debe ser continua

−1a

∂φ(r,ϑ)

∂ϑ

∣∣∣r=a−

=−1a

∂φ(r,ϑ)

∂ϑ

∣∣∣r=a+

o, equivalentemente φ(r,ϑ)(a−) = φ(r,ϑ)(a+), luego

∞

∑l=0

AlalPl(cosϑ)+q

4πε0

∞

∑l=0

al

dl+1 Pl(cosϑ) =∞

∑l=0

Bla−(l+1)Pl(cosϑ)+q

4πε0

∞

∑l=0

al

dl+1 Pl(cosϑ)


de aquí se obtiene

Bl = Ala2l+1

Como además no hay densidad de carga libre en la esfera, la componente normal de ~D(~x) escontinua en r = a

ε∂φ(r,ϑ)

∂ r

∣∣∣r=a−

= ε0∂φ(r,ϑ)

∂ r

∣∣∣r=a+

y recordando que Bl = Ala2l+1

ε

ε0

∞

∑l=0

lAlal−1Pl(cosϑ)+q

4πε0

∞

∑l=0

lal−1

dl+1 Pl(cosϑ)

=∞

∑l=0−(l +1)Ala(l−1)Pl(cosϑ)+

q4πε0

∞

∑l=0

lal−1

dl+1 Pl(cosϑ)

Luego, debe tenerse

ε

ε0

(lAlal−1 +

q4πε0

lal−1

dl+1

)=−(l +1)Alal−1 +

q4πε0

lal−1

dl+1

Al

ε

ε0l + l +1

=

q4πε0

ldl+1

1− ε

ε0

Finalmente

Al =ql(

1− ε

ε0

)4πε0dl+1 (1+ l(ε/ε0 +1))

Bl =ql(

1− ε

ε0

)a2l+1

4πε0dl+1 (1+ l(ε/ε0 +1))

Se obtiene

φ(r,ϑ) =q

4πε0

∞

∑l=0

l(

1− ε

ε0

)dl+1 (1+ l(ε/ε0 +1))

rlPl(cosϑ)+q

4πε0

∞

∑l=0

rl

dl+1 Pl(cosϑ) r < a

φ(r,ϑ) =q

4πε0

∞

∑l=0

l(

1− ε

ε0

)a2l+1

dl+1 (1+ l(ε/ε0 +1))r−(l+1)Pl(cosϑ)+

q4πε0

∞

∑l=0

rl

dl+1 Pl(cosϑ) a < r < d


φ(r,ϑ) =q

4πε0

∞

∑l=0

l(

1− ε

ε0

)a2l+1

dl+1 (1+ l(ε/ε0 +1))r−(l+1)Pl(cosϑ)+

q4πε0

∞

∑l=0

dl

rl+1 Pl(cosϑ) r > d

La siguiente figura muestra las líneas de campo y las equipotenciales para el caso d = a y κ = 5.

b) El potencial dentro de la esfera es

φ(r,ϑ) =q

4πε0

∞

∑l=0

l(

1− ε

ε0

)dl+1 (1+ l(ε/ε0 +1))

+rl

dl+1

rlPl(cosϑ)

φ(r,ϑ) =q

4πε0

∞

∑l=0

(2l +1)rl

dl+1 (1+ l(ε/ε0 +1))

Pl(cosϑ)

El campo eléctrico está dado por

~E(r,ϑ) =−∂φ(r,ϑ)

∂ rr− 1

r∂φ(r,ϑ)

∂ϑϑ

∂φ(r,ϑ)

∂ r=

q4πε0

∞

∑l=0

(2l +1)lrl−1

dl+1 (1+ l(ε/ε0 +1))Pl(cosϑ)

1r

∂φ(r,ϑ)

∂ϑ=

q4πε0

∞

∑l=0

(2l +1)rl−1

dl+1 (1+ l(ε/ε0 +1))P′l (cosϑ)

Se tiene entonces, para r/d 1, y utilizando la aproximación a primer orden en r/d:

Er ≈−q

4πε0

3cosϑ

d2 (2+ ε/ε0)+

5r(3cos2 ϑ −1)d3 (3+2ε/ε0)

Eϑ ≈−q

4πε0

−3sinϑ

d2 (2+ ε/ε0)+−15r cosϑ sinϑ

d3 (3+2ε/ε0)


Utilizando la aproximación a cero orden, se tiene

Er ≈−3qcosϑ

4πε0d2 (2+ ε/ε0)

Eϑ ≈3qsinϑ

4πε0d2 (2+ ε/ε0)

y

‖~E‖=√

E2r +E2

ϑ=

q4πε0d2

32+ ε/ε0

Notar que si ε → 1, ‖~E‖= q4πε0d2 , como debe ser. Finalmente

Ez = Er cosϑ −Eϑ sinϑ ≈− q4πε0d2

3(2+ ε/ε0)

y se deduce entonces:

Ey ≈ Ex ≈ 0

c) Es inmediato que en el límite cuando ε/ε0→ ∞, ~E → 0 al interior de la esfera, como debeocurrir en un conductor. La siguiente figura muestra las líneas de campo y las equipotencialespara el caso d = a y κ = 100.

5.6 Condensadores con dieléctricosAhora veremos que cuando se inserta un material dieléctrico entre las 2 placas de un condensador,la capacitancia aumenta de un factor κ , donde κ es la constante dieléctrica. Consideremos elcaso de un condensador plano, de área A, separación d, y con una carga Q en el cual se colocaun material dieléctrico de ancho t ≤ d de constante dieléctrica κ .Para encontrar la capacitancia, calculemos primero la diferencia de potencial entre las placas. Enauscencia de dieléctrico, sabemos que la magnitud del eléctrico entre las placas está dada porE0 =

σ

ε0= Q

ε0A . La ley de gauss general 5.8 nos dice que las cargas libres en prescencia de un

5.6 Condensadores con dieléctricos 207

medio material son fuentes de un campo ~D, tal que la ley de Gauss se sigue cumpliendo para ~D, enanalogía a lo que pasa en el vacío con el campo eléctrico. Matemáticamente, ~D es prácticamenteidéntico (salvo por una constante de multiplicacion) al campo eléctrico que generarían las cargaslibres en el vacío. El campo ~D generado por las placas es entonces homogéneo en el espacio entreplacas, y nulo al exterior. En la figura siguiente se muestran las líneas de campo ~D generadas porambas placas separadamente.

Utilizando la ley de gauss con el cilindro S1, cuyas tapas poseen una superficie S, se tiene que elflujo es no nulo únicamente en la tapa que se encuentra al interior del condensador:

DS = σS

con σ la densidad superficial de carga en las placas. Con esto, D = σ . En todo punto fuera deldieléctrico κ = 1 (vacío), se tiene entonces ~D = ε0~E y el campo eléctrico será, al igual que elcaso sin dieléctrico, E0 =

σ

ε0.

Ahora bien, al interior del dieléctrico, ~D = κε0~E, y entonces el campo eléctrico se debilita de unfactor κ respecto a su valor en el vacío, ED = E0

κ. Dado que ~D es uniforme, las únicas cargas de

polarización aparecen en la superficie del dieléctrico, en donde la orientación de los dipolos a lolargo del campo eléctrico genera una carga superficial que apantalla las placas del condensadoren todo punto interior al dieléctrico, como se puede ver en la figura siguiente

El potencial se puede encontrar integrando el campo eléctrico sobre una curva vertical que unela placa superior a la inferior

∆φ =∫ d

0dxE = E0(d− t)+EDt =

QAε0

(d− t)− QAε0κ

t


∆φ =Q

Aε0(d− t(1− 1

κ))

Con esto se obtiene la capacitancia

C =Q

∆φ=

ε0Ad− t(1− 1

κ)

Notemos que cuando t = d (el espacio entre placas se llena de dieléctrico)

C =κε0A

d= κC0

donde C0 es la capacidad en la ausencia de dieléctrico.

Ejemplo 5.9 — Condensador esférico con dieléctrico. Se tiene un condensador esféricode radio interno a y externo b, el cual se llena con un dieléctrico de constante dieléctrica κ .Cuál es la capacitancia de este condensador? Si el condensador esta cargado con una carga Q,encuentre la energía almacenada en él.

SoluciónSupongamos que el condensador tiene almacenada una carga Q, es decir, la superficie r = a estácargada con carga Q, mientras que la superficie r = b se encuentra cargada con carga −Q. Sepuede calcular la capacitancia al determinar la diferencia de potencial entre estas superficies.Utilizando la ley de Gauss general 5.8, con una superficie esférica de radio r, con a < r < b∫∫

Sd~S(~x) ·~D(~x) = Q

dada la simetría radial, ~D(~x) = D(r)r y entonces


∫∫S

d~S(~x) ·~D(~x) = 4πD(r)r2 = Q

de esta forma

~D(~x) =Q

4πr2 r a≤ r ≤ b

Además ~D(~x) = ε0κ~E(~x), donde κ es la constante dieléctrica del material. Luego

~E(~x) =Q

4πε0κr2 r a≤ r ≤ b

Ahora, la diferencia de potencial entre los extremos del condensador es

∆φ = φ(a)−φ(b) =∫ b

ad~x ·~E(~x)

tomando un camino radial de la forma~x = rr, entonces d~x = drr

∆φ =∫ b

a

drQ4πε0κr2 =

Q4πε0κ

(1a− 1

b

)Finalmente

C =Q

∆φ=

4πε0κab(b−a)

Es decir, se multiplica de un factor κ > 1 respecto a la capacidad de un condensador esférico enel vacío.

Ejemplo 5.10 — Condensador esférico con 2 dieléctricos. Considere una esfera conduc-tora de radio interior a y radio exterior c. El espacio entre las 2 superficies es llenado con 2dieléctricos distintos, de manera que la constante dieléctrica es κ1 entre a y b, y κ2 entre b y c.Determine la capacitancia del sistema.

SoluciónPara encontrar la capacitancia, podemos suponer que el condensador se encuentra cargado conuna carga Q. En este estado, habrá una cierta diferencia de potencial ∆φ = φ(a)−φ(c) entrer = a y r = c. Para encontrar ∆φ , necesitamos determinar el campo eléctrico en la regiónΩ : a≤ r ≤ c. Para ello, utilizamos la ley de Gauss general, para una superficie esférica deradio r contenida en Ω


∫∫S

d~S(~x) ·~D(~x) = 4πr2D(r)

esto último dada la clara simetría esférica del problema. Por la ley de Gauss∫∫S

d~S(~x) ·~D(~x) = Q

De aqui es posible obtener el campo de desplazamiento eléctrico en Ω

~D(r) =Q

4πr2 r a≤ r ≤ c

Ahora utilizamos ~D(~x) = ε0κ~E(~x), donde κ es la constante dieléctrica. Así, para la región I(a≤ r ≤ b)

ε0κ1~E(~x) =Q

4πr2 r a≤ r ≤ b

Despejando

~E(~x) =Q

4πε0κ1r2 r a≤ r ≤ b

Análogamente, para la región II (b≤ r ≤ c)

~E(~x) =Q

4πε0κ2r2 r b≤ r ≤ c

Con esto

∆φ = φ(a)−φ(c) =∫ c

ad~x ·~E(~x)

tomando un camino radial de la forma~x = rr, entonces d~x = drr

∆φ =∫ b

a

drQ4πε0κ1r2 +

∫ c

b

drQ4πε0κ2r2 =

Q4πε0

[(b−a)κ1ab

+(c−b)κ2bc

]Luego

C =Q

∆φ= 4πε0

(κ1κ2abc

κ2c(b−a)+κ1a(c−b)

)


Otra forma de resolver el sistema es notando que el condensador equivale a dos condensadoresesféricos en serie. Recordando que la capacidad para un condensador esférico de radio interiorr1 y radio exterior r2, lleno de un dieléctrico lineal de constante κ (ejemplo 5.9) está dada por

C = 4πε0k(

r1r2

r2− r1

)Con lo que la capacidad equivalente del sistema es

1C

=(b−a)

4πε0κ1ab+

(c−b)4πε0κ2bc

=κ2c(b−a)+κ1a(c−b)

4πε0κ1κ2abc

Así

C =4πε0k1k2abc

k2c(b−a)+ k1a(c−b)

que es el mismo resultado obtenido anteriormente

Ejemplo 5.11 — Condensadores con distintos dieléctricos. Calcular la capacidad delcondensador de la figura

SoluciónEl problema se puede tratar como 2 condensadores en paralelo, uno formado por los dieléctricosde constante κ1 y κ2, y el otro formado por dieléctrico de constante κ3 y vacío. El primercondensador (C1), se puede ver como 2 condensadores en serie, llenos de los dieléctricos 1 y 2,así

1C1

=1

C′1+

1C′′1

Con

C′1 =κ1ε0S1

d1

C′′1 =κ2ε0S1

d2

1C1

=d1

κ1ε0S1+

d2

κ2ε0S1

De donde se obtiene

C1 =κ1κ2ε0S1

d1κ2 +d2κ1


Para el condensador C2, se procede de manera similar, esto es

1C2

=1

C′2+

1C′′2

DondeC′2 =

ε0S2

d1

C′′2 =κ3ε0S2

d2

y se obtiene

C2 =κ3ε0S2

d1κ3 +d2

Finalmente, como C1 y C2 estan en paralelo, la capacidad total será

C =C1 +C2 =κ1κ2ε0S1

d1κ2 +d2κ1+

κ3ε0S2

d1κ3 +d2

Ejemplo 5.12 — Fuerza sobre una barra dieléctrica. Se tiene un condensador plano conplacas cuadradas de largo a, separadas una distancia distancia d, y con una carga total Q. Calcularla fuerza que se ejerce sobre un material dieléctrico cuando se encuentra a una distancia x delpunto O.

SoluciónLa energía potencial asociada a esta configuración es

U(x) =12

Q2

C(x)

Notar que la capacitad total del condensador es funcion de x. El sistema se puede ver como doscondensadores en paralelo

Ceq =C1 +C2 =ε0ax

d+

κε0a(a− x)d

Ceq =ε0a(x+κ(a− x))

d

Con esto, la energía potencial almacenada es


U(x) =12

dQ2

ε0a(x+κ(a− x))

Y la fuerza que se ejerce sobre el dieléctrico sera

~F =−dUdx

i =Q2d2ε0a

(1− k)(x+ k(a− x))2 i

Notar que (1− k)< 0, es decir, la fuerza apunta según - i. Esto significa que la placa dieléctricaes atraída hacia el interior del condensador, lo que minimiza la energía potencial.

Ejemplo 5.13 — Fuerza sobre un bloque dieléctrico. Considere el sistema dado en lafigura. Entre las dos placas planas y metalicas de un condensador se encuentra un bloque dematerial dieléctrico con constante dieléctrica κ . Las placas del condensador (cargadas con carga±Q) tienen largo l y ancho a, y se encuentran a una distancia d. El bloque de dieléctrico tienelas mismas dimensiones y una masa m.

a) Calcule la fuerza que ejerce el condensador sobre el dieléctrico dado que el dieléctrico ocupaun largo x adentro del condensadorb) La fuerza de la parte a) actua contra la fuerza gravitacional. Cuál es el largo x que ocupa eldieléctrico dentro del condensador en el equilibrio?c) Cuál es la carga minima Qmin que se necesita en las placas del condensador para que eldieléctrico se quede dentro del condensador?

Solucióna) La prescencia del bloque dieléctrico al interior del condensador altera la capacidad de este. Siel bloque ocupa un largo x en el condensador, la capacidad puede ser vista como la equivalenteetre 2 condensadores en paralelo, un condensador en vacío de largo (l− x), y un condensadorcon dieléctrico de largo x

C(x) =ε0a(l− x)

d+

ε0κaxd

=ε0al

d

(xlκ +

l− xl

)Notar que C0 = ε0al/d es la capacidad para x = 0, o equivalentemente, la capacidad del conden-sador en vacío. Con esta notación

C(x) =C0

(1+(κ−1)

xl

)


Esta configuración tiene asociada una energía potencial dada por

U(x) =Q2

2C(x)

luego la fuerza que se ejerce sobre el dieléctrico es

~F =−dU(x)dx

i =Q2

2C′(x)C2(x)

i

con

C′(x) =C0

(κ−1

l

)

Así

F(x) =Q2

2

(C0

κ−1l

C20

(1+(κ−1) x

l

)2

)=

Q2(κ−1)2C0l

1(1+(κ−1) x

l

)2

Definiendo

F0 =Q2(κ−1)

2C0l

F(x) =F0(

1+(κ−1) xl

)2

b) Para encontrar la posición de equilibrio, buscamos x tal que F(x) = mg(1+(κ−1)

xl

)2=

F0

mg

1+(κ−1)xl=±

√F0

mg

xl=

(1

κ−1

)±

√F0

mg−1


La solución debe ser tal que x/l ∈ (0,1), lo que es posible únicamente para

xl=

(1

κ−1

)√F0

mg−1

Finalmente

x =(

lκ−1

)√F0

mg−1

c) Para que la solución exista, debe tenerse

0≤ xl≤ 1

0≤ 1κ−1

(√F0

mg−1

)≤ 1

0≤

(√F0

mg−1

)≤ (κ−1)

Luego debe tenerse

1≤

√F0

mg≤ εr

Equivalentemente

mg≤ F0 ≤ ε2r mg

La primera condición es la relevante para obtener la carga minima, en efecto

F0 ≥ mg

Q2min(κ−1)

2C0l≥ mg

AsíQ2

min =2C0lmgκ−1

| Qmin |=√

2C0lmgκ−1

| Qmin |=

√2ε0al2mgd(κ−1

)


Ejemplo 5.14 — Condensador sumergido en un líquido dieléctrico. Un condensadorcilíndrico de altura l y cuyos conductores tienen radios a y b (b > a), está cargado con una cargaQ, es decir, una armadura tiene carga +Q y la otra −Q. Entre ellas existe vacío. Este dispositivose sumerge en un líquido dieléctrico de densidad constante ρ y permitividad ε , a una profundidadh.Determinar la altura ∆h que sube el nivel del líquido que queda dentro del condensador, enrelación al líquido externo.

SoluciónLa diferencia de nivel ∆h estara dada por el equilibrio entre la fuerza eléctrica sobre el líquido ysu peso. Sea x = h+∆h, y dado que la carga en el condensador es constante, se tiene:

U(x) =12

Q2

C(x)

La fuerza electrostática es

~F =−∂U∂x

i

Con C(x) la capacidad del condensador cuando el agua esta a una altura x. El condensador puedeconsiderarse como dos condensadores conectados en paralelo, uno de altura l−x y otro de alturax. La capacidad total será la suma de las capacidades C1, C2. Para calcular la capacidad delcondensador de altura x, supongamos que hay una carga q2 distribuída en el conductor interno.Así, utilizando un cilindro como superficie de gauss de radio r, concéntrico al conductor internoy contenido en la región con dieléctrico, se tiene∫∫ d~S(~x′) ·~D(~x′) = q2

Si ~D(r) = D(r)r, se tiene

~D(r) =q2

2πrxr

De donde

~E(r) =q2

2πrxεr

Ahora podemos obtener el potencial entre los conductores como

∆φ =∫ b

a~E ·d~r = q2

2πεxln(

ba

)


Con lo que la capacidad para este condensador será

C2 =2πεxln(b

a

)Análogamente se obtiene la capacidad para el condensador superior, que estará dada por

C1 =2πε0(l− x)

ln(b

a

)La capacidad total del sistema será la suma de ambas

C =C1 +C2 =2π

ln(b

a

) (εx+ ε0(l− x))

Y la energía almacenada es

U(x) =1

4π

Q2 ln(b/a)x(ε− ε0)+ ε0l

Derivando se obtiene la fuerza que tiende a subir el nivel del líquido dieléctrico

~F =−dUdx

i =1

4π

Q2 ln(b/a)(ε− εo)

(x(ε− ε0)+ ε0l)2 i

Y el peso del líquido que es elevado una altura ∆h = x−h es

W = (x−h)π(b2−a2)ρ

Finalmente la ecuación para determinar x es

(x−h)π(b2−a2)ρ =1

4π

Q2 ln(b/a)(ε0− ε)

(x(ε− ε0)+ ε0l)2

con lo cual se determina ∆h = x−h


5.7 Resumen y fórmulas escenciales• Un medio material, compuesto por moléculas o átomos neutros, está caracterizado por su

vector polarización ~P, que representa la polarización media por unidad de volumen.

• Un medio de volumen Ω puede ser visto como un volumen cargado, que consiste en lasuperposición de una densidad volumétrica ρP en Ω y una densidad superficial σP sobre∂Ω, dadas por:

ρP =−~∇ ·~P ←→ σP = ~P · n

donde n es la normal a la superficie ∂Ω.

• La ley de Gauss en un medio material se escribe:∫∫∂Ω

~D ·d~S = Qlibre~∇ ·~D = ρlibre

donde ~D es el vector desplazamiento, definido por

~D = ε0~E +~P

• En un medio lineal, los momentos dipolares se alinean según el campo eléctrico ~E, lapolarización es entonces proporcional a ~E, ~P = χ~E, con χ > 0. El vector desplazamientose puede escribir:

~D = ε~E

donde ε = ε0(1+ χ) > ε0 es la permitividad del medio. Todo ocurre como en el vacío,a condición de renormalizar la permitividad. Las ecuaciones fundamentales de la elec-trostática en la materia se escriben entonces:~∇ ·~E = ρ

ε~∇×~E =~0

donde ρ representa la densidad de cargas libres. El medio tiende a disminuír el campoeléctrico que genera una carga libre, debido a que las cargas de polarización inducidastienden a apantallar a ésta última.

5 — el campo en medios dieléctricosfabiancadiz.com/images/05electro.pdf180 el campo en medios...

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