Problemas de Anlisis Matemtico I

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

PROBLEMAS DE CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.LMITES Y CONTINUIDAD.A.- Demostrar la existencia del lmite, utilizando la definicin:

1)

2)

3)

4)

5)

B.- Que valor debo darle a n para que exista

6)

C.- Calcular los siguientes lmites:

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

D.- Hallar todas las asntotas de las siguientes funciones.

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

E.- Analizar la continuidad de las siguientes funciones, redefinirla si es del caso.

39)

40)

41)

R. Discontinuidad esencial

42)

43)

DERIVADAS:A.- Aplicando la definicin de derivada calcular las siguientes derivadas:

a)

b) La funcin , es derivable en x=1.Derivar y simplificar:

24.-

38.-

39.-

40.-

41.-

42.-

43.-

44.-

45.-

46.-

47.-

48.-

49.-

50.-

51.-

52.-

53.-

54.-

55.-

56.-

57.-

58.-

59.-

60.-

61.-

62.-

63.-

64.-

65.-

66.-

67.-

68.-

69.-

70.-

71.-

72.- , Puntos de Tangencia Horizontal y Vertical.B.- Calcular la derivada ensima de las siguientes funciones:

73.-

74.-

75.-

76.-

77.-

78.-

79.-

80.-

81.-

82.-

83.-

84.-

85.-

86.-

C.- Calcular la segunda derivada y simplificarla:

87.-

88.-

89.-

90.-

91.-

92.-

93.-

94.-

95.- Demostrar que la funcin , satisface la ecuacin:.

96.- Demostrar que , satisface la relacin .

97.- Demostrar que , satisface la relacin .98.- Demostrar que , satisface la relacin .

99.- Demostrar que , satisface la relacin .

100.- Demostrar que , satisface la relacin

101.- Calcular y =?

D.- Rectas Tangentes y Normales:1.- Determine una ecuacin de cada una de las rectas normales a la curva y paralela a las rectas que pasan por el punto (4; 13) y que son tangentes a .2.- Demostrar que las curvas, se cortan ortogonalmente. R. m1=3/2, m2=-2/3.3.- Halle el ngulo de interseccin de las curvas: R.

4.- Demostrar que las curvas, se cortan ortogonalmente.

5.-Por el punto (6; 8) y la curva , hallar el rea del tringulo formado por la recta tangente, la recta normal en el punto y el eje X, Y. R 45u6.- Hallar los puntos en que la grfica de la ecuacin dada tiene una tangente vertical u horizontal. .7.- Para el punto (1; 1) de la curva , hallar las longitudes de la tangente, de la normal, de la subtangente, de la subnormal.

8.-Determinar los coeficientes A, B y C de manera que la curva , pase por el punto P (1; 3) y sea tangente a la recta 4x+y=8 en el punto Q (2; 0).9.- Demostrar que la recta y=-x es tangente a la curva dada por la ecuacin . Hllese el punto de tangencia.

10.- Calcular las coordenadas de los puntos P y Q en la parbola de modo que las tangentes en estos puntos y el eje de las X formen un tringulo equiltero.

11.- Demostrar que la normal a una elipse en el punto de contacto es bisectriz de los radios vectores de ese punto.

12.- Demostrar que la tangente a una hiprbola es la bisectriz de los radios vectores de ese punto.

13.- Dada la curva , calcular las coordenadas de los puntos de tangencia horizontal.

14.- Halle el ngulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto para .15.- Calcule el ngulo entre la curva , y su tangente cuando .E.- Rapidez de variacin:

1.- Una torre est al final de una calle, un hombre va en automvil hacia la torre a razn de 50 m/seg. La torre tiene 500m de altura. Con qu rapidez crece el ngulo subtendido por la torre y el ojo del hombre cuando ste se encuentra a 1000m de la torre?

2.- La seccin de una artesa de 16m de largo es un trapecio issceles con base inferior de 4m, base superior 6m y 4m de altura. La artesa est recibiendo agua a razn de 10 m3/min. A qu ritmo est subiendo el nivel del agua cuando el sta llena 2m de altura? R. 1/83.- Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/seg alejndose de una farola cuya bombilla est a 15 pies de altura sobre el suelo. Cuando el hombre est a 10 pies de la base de la farola:

a) a qu velocidad se mueve el extremo de la sombra? R.25/3b) a qu ritmo est cambiando la longitud de su sombra? R. 10/34.- Un tren sale a las 11:00 A.M se dirige hacia el este a una velocidad de 45 Km/h, mientras que otro sale a las 12:00 de la misma estacin se dirige hacia el sur a una velocidad de 60 Km/h. Hallar la velocidad a la que se separan ambos trenes a las 3:00 P.M.

5.- Una escalera de 25 pies de longitud se apoya contra una casa. Si el pi de la escalera se aleja a una razn de 3 pies/seg. Hallar la velocidad de la parte superior de la escalera cuando su base est a 15 pies/seg de la casa. R -9/4 pies/seg.

6.- Un cuadro de 4 pies de altura se coloca sobre una pared con su base 3 pies arriba del ojo de un observador. Si el observador se acerca a la pared a razn de 4 pies/seg. Con qu rapidez est cambiando la medida del ngulo subtendido en su ojo por el cuadro cuando el observador est a 10 pies de la pared.

7.- Un filtro cnico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior, se encuentra lleno de una solucin. Esta va pasando a un vaso cilndrico de 5cm de radio. Cuando la profundidad de la solucin en el filtro es de 10 cm su nivel est bajando a razn de 2 cm/min. Hallar la rapidez con que est subiendo la solucin en el vaso, para dicha profundidad. R dh/dt=8/3 cm/min8.- En un instante dado la longitud de un cateto de un tringulo rectngulo es de 10 pies y est aumentando a razn de 1 pie/seg, el otro cateto es de 12 pies y esta disminuyendo a razn de 2 pies/seg. Hallar la razn respecto al tiempo del ngulo agudo opuesto al cateto que en ese instante mide 12 pies. R. d/dt=-8/61 rad/seg.9.- La medida de uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo disminuye a razn de . Si la longitud de la hipotenusa es constante e igual a 40 cm, con qu rapidez cambia el rea, cuando la medida del ngulo agudo es de .

10.- Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto con el vrtice hacia arriba. La altura es 10m y el radio de la base 4m. Se introduce agua en el recipiente a una velocidad constante de 5 m3/min. Con qu velocidad se eleva el nivel del agua cuando su profundidad es de 5m? R. dh/dt = 5/4 m/min.11.- La longitud de un canaln es de 12 pies y sus extremos tiene la forma de un tringulo issceles invertido que tiene una altura y una base de 3 pies. Se bombea agua al canaln a razn de 2 pies3/min. Qu tan rpido sube el nivel del agua cuando la altura del agua es de 1 pie? dh/dt = 1/6 pies/min.

F.- Mtodo de Newton:Calcular la raz (+.-) con una precisin de la ecuacin:1.- . R x=0.1962.- . R x=-0.349, x=2.2183.- . R x=-1.2364.- Punto de corte entre . R x=2.8935.- Halle el punto de corte entre:

G.- Mximos y Mnimos:1.- Hallar a, b, c y d tales que , tenga un mnimo relativo en (1;-2) y un mximo relativo en (2; 3). R

2.- Halle un polinomio cbico con un mximo en (3; 3), un mnimo en (5; 1), y un punto de inflexin en (4; 2).R.

3.-Hallar las dimensiones del tringulo issceles de rea mxima que puede inscribirse en un crculo de radio 4u. R

4.- Halle las dimensiones del cono circular recto, de mximo volumen que puede ser inscrito en una esfera de radio R.

5.- Hallar la altura del cilindro circular recto de volumen mximo que sea susceptible de ser inscrito en una esfera de radio R.

6.- Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10cm, cunto debe medir la base mayor para que el rea sea mxima? R B=20u7.- Se va a construir un tanque de concreto para agua, con base cuadrada y sin tapa. El tanque ha de tener una capacidad de 192 m3. Si los lados cuestan $4 por m2 y la base $3 por m2. Cules han de ser las dimensiones para que el costo total sea mnimo? Cul es ese costo. R l=88.- Un rectngulo est limitado por el eje X y por la curva Para qu longitud y anchura del rectngulo se hace mnima su rea? R

9.- Se corta un sector circular con un ngulo central en un crculo de radio r = 12 pulgadas, con el que se formar un cono recto de revolucin. Hallar el valor del ngulo que maximiza el volumen del cono.

10.- En un crculo de radio r, se corta un sector circular, el arco externo tiene longitud s. Si el permetro total del sector es de 100u Qu valores de r y s maximizarn el rea del sector. R r=25, s=50.11.- Se forma un slido adosando dos semiesferas a las bases de un cilindro circular recto. El volumen total del slido es de 12u3. Hallar el radio del cilindro que produce el rea mnima de la superficie del slido.

12.- Una caja rectangular de base cuadrada y no tiene tapa, el rea combinada de los lados y del fondo es de 48 pies cuadrados. Hallar las dimensiones de la caja de mximo volumen que cumpla estos requerimientos. R. b=4, h=2.

13.- Se utilizan 20 pies de hilo para formar dos figuras a) cuadrado y tringulo equiltero, b) exgono regular y crculo.

Qu cantidad de hilo debe invertirse en cada figura para lograr que el rea encerrada sea mxima?14.- Un fabricante de cajas de cartn quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares con dimensiones de 8 x 15 pulgadas cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Se desea determinar la longitud del lado del cuadrado de modo que la caja tenga el mayor volumen posible. R. 5/3

15.- Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P (3; 4) y forma con el primer cuadrante un tringulo de rea mnima. R. 4x+3y-24=0.16.- Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen mximo que puede inscribirse en un cono circular recto de altura de 12u y el radio de la base 5u. R.

H.- Teoremas de valor medio:

Utilice el mtodo de Newton para aproximar el valor.1.- Calcular el valor medio de la funcin, y calcular los valores de x en los que la funcin tiene ese valor:

.

.

. R x=12.- Verifique el teorema de Lagrange y encuentre todos los valores de c: . R x=2.86Encuentre los intervalos en los que la curva es: a) creciente, decreciente, b) cncava hacia arriba, cncava hacia abajo:1.-

2.-

3.-

4.- 5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.- Demostrar que los puntos de inflexin de , estn situados sobre una recta y deducir su ecuacin.

I.- Analizar y graficar las siguientes funciones:

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

22.-

J.- Aplicando la regla de Hospital, calcular los siguientes lmites:

3.-

10.- R. 1

11.-

12.-

INTEGRAL INDEFINIDA:

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

22.-

23.-

24.-

25.-

26.-

27.-

28.-

29.-

30.-

31.-

32.-

33.-

34.-

35.-

36.-

37.-

38.-

39.-

40.-

41.-

42.-

43.-

44.-

45.-

46.-

47.-

48.-

49.-

50.-

51.-

52.-

53.-

54.-

55.-

56.-

57.-

58.-

59.-

60.-

61.-

62.-

63.-

64.-

65.-

66.-

67.-

68.-

69.-

70.-

71.-

72.-

73.-

74.-

75.-

76.-

77.-

78.-

79.-

80.-

81.-

82.-

83.-

84.-

85.-

86.-

87.-

88.-

89.-

90.-

91.-

92.-

93.-

94.-

95.-

96.-

INTEGRAL DEFINIDA:1.- Mediante la definicin de integral definida, calcular la integral:

2.- Hallar el valor medio de la funcin en el intervalo indicado, y el valor de x en los que la funcin tiene ese valor:

3.- Calcular las siguientes derivadas: a)

b)

c)

d)

e)

f)

4.- Calcular el siguiente lmite:

5.- Calcular las siguientes integrales definidas:

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

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