5-aritmÉtica 4to (1 - 16).pdf

Cuarto

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los

mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación

personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 se da tambien con el trabajo de

los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr

alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:

“Formar líderes con una auténtica

educación integral”

DidácticoPresentaciónPresentación Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de

uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando

una enseñanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad

asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas:

desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral

y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios

y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,

impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da

también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que

permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que

es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

“Formar líderes con una auténtica

educación integral”

Capítulo 1. Conjuntos I : Relaciones y Tipos ..................................... 9

Capítulo 2. Conjuntos II : Problemas .................................................. 16

Capítulo 3. Numeración I ...................................................................... 23

Capítulo 4. Numeración II .................................................................... 30

Capítulo 5. Conteo de Números en una P.A ....................................... 37

Capítulo 6. Método Combinatorio ........................................................ 46

Capítulo 7. Suma o Adición .................................................................. 53

Capítulo 8. Sustracción - Complemento Aritmético .......................... 61

Capítulo 9. Multiplicación y Division .................................................. 69

Capítulo 10. Cuatro Operaciones ............................................................ 79

Capítulo 11. Teoría de la Divisibilidad ................................................. 86

Capítulo 12. Criterios de Divisibilidad .................................................. 94

Capítulo 13. Números Primos ................................................................. 101

Capítulo 14. MCD-MCM ........................................................................ 109

Capítulo 15. Números Racionales I: Fracciones .................................. 117

Capítulo 16. Números Racionales II: Números Decimales ................ 123

9

Aritmética - 4to Sec.

Formando líderes con una auténtica educación integral

1Conjuntos I

OBJETIVOS:

a Conocer los coneptos básicos de conjunto.

a Conocer los diferentes tipos de conjunto.

Conj. Potencia

Conj. Disjuntos

Conj. Iguales

Conj. Infinito

Conj. Finito

Conj. Universal

Conj. Vacío

Conj. Unitario

CONJUNTOS

Clases de Conjuntos

En matemática el concepto conjunto es aceptado como un "concepto primitivo", es decir, se acepta sin definición; nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales llamaremos "elementos" del conjunto.

A los conjuntos generalmente se les denota por letras mayúsculas "A", "B", "C", .... etc. y a los elementos con letras minúsculas separadas por comas o por punto y coma, y encerrados entre llaves.

Notación:

A = {a , e, i, o, u}

Nombre del conjunto en mayúscula

Elementos del conjunto en minúsculas

I. Concepto

II. NotaciónEjemplos:

1. POR EXTENSIÓN O FORMA TABULAR:

III. Determinación de Conjuntos

Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.

Existe dos formas de determinar un conjunto.

A = {a ; m ; o ; r}B = {2 ; 4 ; 6 ; 8}

Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.

A = {x/x es una letra de la palabra MENTOR}B = {x/x ∈ N; 0 < x < 10}

2. POR COMPRENSIÓN O FORMA CONSTRUC-TIVA:

Ejemplos:

Leonardo de Pisa fue el primero que utilizó la denominación de números quebrados al llamarle números ruptus (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar numerador y denominador. Y en el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio del M.C.M.

10 Formando líderes con una auténtica educación integral


Ejemplo:

2. IGUALDAD DE CONJUNTOS:

Ejemplo:

Ejemplos:

Ejemplos:

IV. Relación de Pertenencia ( ) Si un objeto es elemento de un conjunto, se dirá que pertenece (∈) a tal conjunto; en caso contrario se dirá que no pertenece (∉) a dicho conjunto.

A = {3 ; 8 ; 15 ; 24}4 ∉ A 12 ∉ A8 ∈ A 15 ∈ A

Es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota por φ o {}.

A = {x/x ∈ N; 3 < x < 4}B = {x/x es un hombre vivo de 500 años}

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

A = {x/x∈N ∧ 6<x<8} → A={7}B = {2 ; 2 ; 2} → B = {2}

Es aquel conjunto que se toma como referencia para un determinado problema y en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando.

Si: A = {1 ; 2 ; 3} B = {0 ; 4 ; 5}Entonces: U = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

V. Conjuntos Especiales

1. CONJUNTO VACÍO O NULO:

2. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON:

3. CONJUNTO UNIVERSAL (U):

Ejemplo:

Es aquel cuyo número de elementos es limitado.

A = {x/x ∈ N; 10 < x < 20}

Es aquel cuyo número de elementos es ilimitado.

B = {x/x ∈ N}

A = {4 ; 9 ; 16 ; 25} → n(A) = 4

Diremos que "A" está incluido en "B" o es subconjunto de "B", si y sólo si todos los elementos de "A" son también elementos de "B". Se denota por A ⊂ B y su negación se denota A ⊄ B.

A = {1 ; 2 ; 3 }B = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }⇒ A ⊂ B

I. A ⊂ A ; ∀ AII. A ⊂ B y B ⊂ C → A ⊂ CIII. φ ⊂ A ; ∀ A ¡importante!

4. CONJUNTO FINITO:

5. CONJUNTO INFINITO:

Ejemplo:

Ejemplo:

Sea "A" un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por n(A).

VI. Cardinal de un Conjunto

VII. Relación entre Conjuntos

1. INCLUSIÓN:

Ejemplo:

PROPIEDADES:

Dos conjuntos "A" y "B" son iguales, si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por A = B.

Se define:

A = B ↔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

A = {2 ; 3 ; 4 }B = {x/x ∈ N ; 1< x < 5}⇒ A = B

Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado.

Halla la potencia del conjunto A, si:A = {a ; i ; u }

⇒ P(a) ={{a}; {i}; {u}; {a,i}; {a,u}; {i,u}; {a, i, u}; φ}

Fórmula:

n(P(A)) = 2n(A)

Nota:

2n(A) - 1

Subconjuntos propios:

Ejemplo:

VIII. Conjunto Potencia

Ejemplo:

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

11



3) Dado el conjunto:

Q = { /x ∈ N ; 1 < x ≤ 5} indica su cardinal.

x+1x-1

1) Dado el conjunto: A = {1 ; 2 ; {3}; 4 ; {5}} indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

Da como respuesta el número de proposiciones verdaderas.

1 ∈ A φ ⊂ A 2 ⊂ A {3} ∈ Α {2} ∈ A {4} ⊄ Α {5} ∈ A {2 ; 4} ∉ A {4} ∈ A {2} ∉ A

2) Halla la suma de elementos de P: P ={x2 + 1 / x ∈ Z; -2 ≤ x ≤ 4}

1) Dado el conjunto: B = {1 ; 2 ; {3, 4, 5} ; {6,7}} Indica el número de proposiciones verdaderas:

1 ∈ A φ ⊄ A {3, 4, 5} ⊂ A {1} ∈ Α {1} ⊄ A {6, 7} ∈ Α {φ} ∈ A {{2}} ⊂ A φ ∈ A {1, 2} ⊂ A

3) Dados los conjuntos: A={n2 / n∈N ; 0 < n < 20} B = {2n / n∈Z; 4 < n2 < 500} ¿Cuántos elementos tiene A x B?

2) Halla la suma de los elementos de "A" si A={2x2 + 1/ x∈Z ; -2 < x < 5}

6) Si los conjuntos A y B son unitarios, calcula "a + b".

A = {a + 5 ; 8} B = {6 ; b - 4}

4) Si se cumple que A y B son conjuntos unitarios, halla "a - b".

A = {2a + 5 ; 13} B = {b + 2 ; 3a - b}

5) Si los conjuntos A y B son iguales. A = {m2 - 1 ; 2} B = {18 - p2 ; 8} halla "m + p", siendo m y p positivos.

6) Dados los conjuntos unitarios A y B: A = {a + b ; 16} B = {a - b ; 4} Halla a . b

5) Si los conjuntos A y B son iguales, halla a x b si a y b son naturales.

A={a2 + 2a ; b3 - b} B = {2a ; 15}

4) Dado el conjunto unitario: A={a + b ; a + 2b - 3 ; 12} halla a2 + b2

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

PROBLEMAS PARA CLASE N° 1



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Dados los conjuntos unitarios: P y Q: P = {x2 + 3 ; 28} Q = {y + 5 ; 6} halla x - y

a) 6 b) 8 c) 5 d) 1 e) 4

Si los conjuntos M y N son iguales: M = {x2 + 3 ; -6} N = {2 - y ; 12} calcula el mínimo valor de (x+y).

a) 5 b) 8 c) 11 d) -5 e) -11

Si los conjuntos M y N son unitarios, calcula "x - y". M = {x2 - 1 ; 24} N = {y - 3 ; 2}

a) 5 b) 0 c) 2 d) 3 e) 7

Si los conjuntos A y B son iguales, halla el máximo valor de (m+n).

A = {n2 + 1; -6} B = {2 - m ; 10}

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

13



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Dado el conjunto "B": B = {x2+1/ x ∈ Z ∧ -3 ≤ x ≤ 4} indica el número de subconjuntos propios del con-

junto "A":

a) 1 b) 3 c) 15 d) 31 e) 255

Sea:

A={ /x, y, ∈N∧ x<4; y<4}

¿cuántos subconjuntos propios tiene A?

a) 31 b) 63 c) 127 d) 255 e) 511

x-yx+y

Si: n[P(A)] = 128 ∧ n[P(B)] = 32 calcula n(A) + n(B)

a) 5 b) 7 c) 12 d) 15 e) 16

Si A es un conjunto con dos elementos y B un con-junto con tres elementos, el número de elementos de P(A) × P(B) es:

a) 12 b) 24 c) 48 d) 32 e) 64

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Dados los conjuntos: U={x/x ∈ N ; 5< x < 16} A = {x/x ∈ Z ; x < 6} B = {x/x ∈ N ; 3 < x < 26 } C = {x/x ∈ N ; x > 10} hallar: n(A) + n(B) + n(C)

a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

Dado el conjunto: P={5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} y los con-juntos:

M = {x∈P / x2 > 50 ∧ x < 9} N = {x∈P / x es impar ∧ 6 < x} Determina n(M) + n (N)

a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5

Si: A={x/x=(4m-1)2;m∈N;2≤ m≤5} entonces el conjunto A escrito por extensión es:

a) {7 ; 11; 15; 19} b) {49 ; 121; 225; 361} c) {3 ; 4; 7; 9} d) {4 ; 6; 16; 25} e) {2 ; 3; 4; 5}

Halla n(A) + n(B) si se tiene: A= {2x / x ∈ N ; x < 9}

B = { / x ∈ A }

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

x + 43

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

15



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Calcula el número de elementos del conjunto "E"

E={x/x ∈ Z ; 4 < < 12}

a) 18 b) 13 c) 15 d) 12 e) 16

x + 32

Dado el conjunto: B= {x2 + 4 / x ∈ N ; 2 ≤ x ≤ 6} y las proposiciones: I. "B" tiene 32 subconjuntos II. La suma de elementos es 110. III. 10 y 13 son elementos de B ¿qué proposiciones son verdaderas?

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Todas

Los conjuntos "A" y "B" son tales que: n(A∪B) = 30 n (A-B) = 12 n(B - A) = 10 Halla n(A) + n(B)

a) 22 b) 38 c) 36 d) 25 e) 37

Los conjuntos "A" y "B" son tales que:n(A∩B) = 2

n(A∪B) = 14 Halla n(A) + n(B)

a) 3 b) 2 c) 8 d) 12 e) 16

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



2Conjuntos II

OBJETIVOS:

aAplicar los conceptos de conjunto para resolver problemas.

aConocer las operaciones con conjuntos y sus aplicaciones con diagramas.

Dados dos conjuntos "A" y "B"; se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A" y a "B" a la vez, es decir, es el conjunto formado por los elementos comunes a "A" y "B".

Notación:

A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}

Gráficamente:

Dados los conjuntos "A" y "B"; se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A", a "B" o a ambos a la vez.

Notación: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}

Gráficamente:

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

INTERSECCIÓN (∩)OPERACIONES ENTRE

CONJUNTOS

Unión Intersección

Complementación DiferenciaSimétrica

Diferencia

A B A B

AB

A ∪ B

UNIÓN O REUNIÓN (∪)

A ∩ B

A B AB

A B

DIFERENCIA (–)

Dados dos conjuntos "A" y "B"; se llama diferencia de "A" y "B" al conjunto formado por todos los elementos de "A" que no pertenecen a "B".

Notación:

A − B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

17



COMPLEMENTO DE UN CONJUTO (A′; AC)

PROPIEDADES:

A − B

A B A B

AB

Nota: A − B ≠ B − A

Propiedades: A − A = φ A − φ = A φ − A = φ

Dado un conjunto "A" que está incluido en el conjunto universal "U", se denomina complemento del conjunto "A"; a todos los elementos que están fuera de "A" pero dentro del conjunto universal.

Notación:

A′ = AC = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A}

Gráficamente:

A

U

A′ = AC

(A′)′ = A A ∩ A′ = φ U′ = φ A ∪ A′ = U φ′ = U

Dados dos conjuntos "A" y "B"; se llama diferencia simétrica al conjunto formado por los elementos que pertenecen a (A − B) o a (B − A).

Notación:

A∆B = {x/x∈(A−B) ∨ x∈(B−A}

A ∆ B = (A − B) ∪ (B − A)A ∆ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)

A ∆ B

DIFERENCIA SIMÉTRICA (∆)

A B

A B

AB

Gráficamente: Gráficamente:

1. Si A∪B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} A∩B = {3; 5; 7}

Halla n (A ∆ B).

Se sabe: A∆B = (A∪B) − (A∩B) A∆B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} − {3; 5; 7} A∆B = {1; 2; 4; 6; 8}

Luego: n (A∆B) = 5

Resolución

Resolución

2. En el mes de enero Jorge come 20 días pan con jamonada y 15 días pan con queso. ¿Cuántos días en el mes de enero, Jorge come pan con queso y jamonada?

Luego: x + y + z = 31 x + y = 20 ⇒ z = 11 y + z = 15 ⇒ x = 16

Nos piden: Jamón y queso que es la zona "y", entonces:

x + y + z = 31 16 + y + 11 = 31

y = 4

U = 31QJ

x y z

31



2) Dados los conjuntos: A = {x ∈ N / x + 3 < 8} B = {x ∈ N / x2 − 3x + 2 = 0} C = {x∈N/x=k−2;k<5 ; k∈N} entonces A − (B ∩ C) es:

3) Dados los conjuntos A y B, se sabe que: n(A) = 30 ; n(B) = 18 ; n(A∪B) = 40 Halla n(A ∩ B).

1) Halla la suma de los elementos de (A ∩ B) ∪ C, sabiendo que:

A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 5} y C = {1; 3; 5; 7}

1) Dados los conjuntos: R = {x/x es divisor de 6} S = {x/x es divisor de 12} T = {x2/x es divisor de 18} halla (R∩S) − T

2) Sabiendo que todos son conjuntos de número enteros positivos.

A = {x/x < 11} B = {x/x2 - 9x + 20 = 0} C = {x / 2x - 1 < 7} halla n[B ∩ (A−C)]

3) Dados los conjuntos A y B subconjuntos del universo "U", se sabe que:

n(A) = 17 n(B) = 13 n(A∩B) = 5 n(U) = 35 Halla: n(A ∪ B)'

4) De un total de 60 deportistas que practican fútbol o natación se sabe que 38 practican fútbol y 32 practican natación. ¿Cuántos practican ambos deportes?

5) Durante el mes de agosto; Enrique salió a pasear con Angélica o con Beatriz. Si 17 días del mes paseó con Angélica y 23 días con Beatriz, ¿cuántos días paseó sólo con una de ellas?

5) Un alumno del 4.º año comió queso o jamón en el desayuno, cada mañana durante el mes de Junio. Comió 24 mañanas jamón y 17 mañanas queso. ¿Cuántas mañanas comió queso y jamón?

6) En una peña criolla trabajan 32 artistas. De éstos, 16 bailan, 25 cantan, y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan es:

6) En un avión hay 100 personas de las cuales 50 no fuman y 30 no beben. ¿Cuántas personas hay que no fuman ni beben, sabiendo que hay 20 personas que solamente fuman?

4) De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natación y 135 en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ningún deporte, ¿cuántos se inscribieron en ambos deportes?

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

19




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Resolución:

Resolución:

Dados los conjuntos "A" y "B", se tiene: n(A∆B) − n(A∩B) = 68 ; n(A∪B) = 86 Calcula n(A ∩ B)

a) 9 b) 18 c) 8 d) 16 e) 12

De 68 asistentes a un espectáculo se sabe que el número de hombres casados es el doble del número de mujeres solteras. Si el número de casados es 21; de los cuales 4/7 son hombres, halla la diferencia entre el número de mujeres casadas y hombres solteros.

a) 32 b) 31 c) 14 d) 15 e) 40

Si se sabe que: n(A∪B) = 70 ; n(A−B) = 18 ; n(A) = 41 halla n(A ∆ B).

a) 42 c) 46 b) 45 d) 47 e) 48

En un salón de clases de la UNMSM hay 65 alumnos, de los cuales 30 son hombres; 40 son mayores de edad y 12 mujeres son menores de edad. ¿Cuántos hombres no son mayores de edad?

a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 18

Resolución: Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

De una muestra recogida a 200 turistas; se determinó lo siguiente: 64 eran norteamericanos; 86 eran europeos y 90 eran economistas. De estos últimos, 30 eran norteamericanos y 36 europeos. ¿Cuántos de los que no eran europeos tampoco eran norteamericanos ni economistas?

a) 16 b) 20 c) 10 d) 26 e) 30

En una encuesta realizada a 450 personas sobre la bebida de su preferencia, 280 prefieren Inca Kola, 190 prefieren Coca Cola y 110 prefieren otras be-bidas. ¿Cuántas personas prefieren ambas bebidas mencionadas?

a) 130 b) 140 c) 135 d) 145 e) 150


¿Qué operación puede representar la zona som-breada?

a) (B - C) ∩ Ab) (A ∩ B) ∪ Cc) (A ∆ C) ∩ Bd) (A ∩ B) − Ce) (C − A) ∪ (A ∩ B) − C

Indica la operación que le corresponde al área sombreada de la figura:

a) [A − (B ∪ C)]b) [(B ∩ C)− A]c) (A ∩ B)' ∪ Cd) (A' − B) ∪ Ce) [A − (B ∪ C)] ∪ [(B ∩ C)− A]

A B

C

A B

C


21



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Elena tomó helados de fresa o coco durante todos las mañanas en los meses de verano (enero, febrero y marzo) del 2004. Si tomó helados de fresa 53 mañanas y tomó helados de coco durante 49 mañanas, ¿cuántas mañanas tomó helados de los dos sabores?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 15

En una encuesta realizada a 120 alumnos sobre cierta preferencia se obtuvo las respuestas "sí" de parte de 80 alumnos y la respuesta de "por supuesto" de 50 alumnos. ¿Cuántos alumnos no respondieron las frases anteriores si el número de alumnos que respondieron "sí" "por supuesto" es la cuarta parte de los que dijeron "sí" solamente?

a) 2 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16

Carlos debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en su almuerzo de cada día del mes de marzo. Si en su almuerzo durante 20 días hubo pollo y durante 25 días hubo pescado, entonces el número de días que almorzó pollo y pescado es:

a) 18 b) 16 c) 15 d) 14 e) 13

En un pueblo chino, 3 480 comen arroz sin sal y 5 700 comen arroz con sal. Si los que no comen arroz son el doble de los que comen arroz con sal y sin sal, ¿cuántos comen arroz sabiendo que en total hay 10 000 chinos?

a) 400 b) 700 c) 280 d) 820 e) 1 640

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

De 140 alumnos de un centro de idiomas se sabe que: − 62 estudian inglés. − 52 estudian francés. − 54 estudian alemán. − 18 estudian inglés y francés. − 20 estudian francés y alemán. − 17 estudian sólo alemán. − 8 estudian los tres idiomas. ¿Cuántas alumnos estudian exactamente dos idi-

omas de los mencionados?

a) 36 b) 35 c) 38 d) 37 e) 39

El resultado de una encuesta sobre la preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es el siguiente:

60% gustan manzanas. 50% gustan fresa. 40% gustan piña. 30% gustan manzana y fresa. 20% gustan fresa y piña. 10% gustan manzana y piña. 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan

de ninguno de los jugos de fruta mencionados?

a) 5% b) 12% c) 20% d) 10% e) 50%

De un conjunto de estudiantes, se determinó que 10 hablan inglés, 20 español, 5 inglés y francés, 4 solamente inglés y francés, 6 solamente español y francés y 2 únicamente inglés. ¿Cuántas personas en total hablan únicamente español o los tres idiomas?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Un club de natación tiene 38 nadadores de estilo libre, 15 de estilo mariposa y 20 de estilo pecho. El mínimo total de nadadores es 58 y sólo de 3 de ellos practican los 3 estilos. ¿Cuántos practican exactamente un solo estilo?

a) 39 b) 49 c) 40 d) 35 e) 20

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

23



3Numeración I

OBJETIVOS:

aConocer las diferentes bases de numeración.

aExpresar un número en su forma polinómica.

NUMERACIÓN

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Es un conjunto de reglas que nos permiten nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y signos (cifras).

Inventado por los hindúes y difundido luego por los árabes, razón por la cual se llama "sistema indoarábigo". Este sistema es el que actualmente utilizamos y usa diez símbolos:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9llamados cifras (símbolos).

VALOR DE UNA CIFRA

Una cifra posee dos valores:

Es el valor de la cifra por sí sola.

Es el valor de la cifra por la posición en que se encuentra.

Sea el numeral 2548.

Cifra V.A. V.R. 2 2 2000 5 5 500 4 4 40 8 8 8

Consiste en descomponer un número como la suma de los valores relativos de sus cifras.

Descompón: 25482548= 2000 + 500 + 40 + 8 = 2x1000 + 5x100 + 4x10 + 8x1 = 2x103 + 5x102 + 4x101 + 8x100

1. VALOR ABSOLUTO

2. VALOR RELATIVO

Ejemplo:

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO

Ejemplo:

En sus comienzos, el hombre numeraba las cosas con los dedos. Si quería decir 1, levantaba un dedo, si deseaba decir 2, levantaba dos dedos, y así sucesivamente. C o n l a s d o s m a n o s p o d í a contar hasta 10. Para señalar un número mayor hacía girar las manos: dos veces por 20, tres para 30, etc. Algunos pueblos utilizaban, además, los dedos de los pies como complemento.



Para que exista el número, las cifras tienen que ser enteras y menores que 10.

Luego:

a – 2 > 0 ∧ 3a < 10 a > 2 a < 3,3

⇒ a = 3

Luego (a–2)a(3a) = 139

∴ 1 + 3 + 9 = 13

Resolución

1. Calcula "a+b" si el numeral (a+5)(b+4)(2b)(3a+1) es capicúa.

Si el numeral (a+5)(b+4)(2b)(3a+1) es capicúa, entonces:

(a+5) = (3a+1) ∧ b + 4 = 2b 4 = 2a 4 = b a = 2

a + b = 6

2. Descompón: (2a)(a)(a)

⇒ 2a . 102 + a . 101 + a . 100

⇒ 2a . 100 + a . 10 + a . 1 ⇒ 200 a + 10 a + a

211 a

3. Si el numeral de la forma: (a–2)a(3a) existe, halla la suma de sus cifras:

Resolución

Resolución

Luego : a + b = 13 a – b = 5 2a = 18

a = 9 ⇒ b = 4

5. ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a 4 veces la suma de sus cifras?

ab = 4(a+b), descomponiendo:

10 a + b = 4a + 4b 6a = 3b 2a = b

a = 1, 2, 3, 4 b = 2, 4, 6, 8 ab = {12, 24, 36, 48}

Existe 4 números ab que cumplen tal condición.

6. ¿Cuál es el número menor, cuyas cifras suman 31 si todas sus cifras son distintas? Indica la cifra de mayor orden.

1 6 7 8 9

orden

Mayor orden

7. La suma de un número de dos cifras y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a once veces la diferencia de estos números. Halla la suma de las cifras del número original.

ab + ba = 11(ab – ba)10a+b+10b+a=11(10a+b –10b–a) 11a + 11b = 11(9a – 9b) 11(a+b) = 99(a – b) a + b = 9a – 9b 10b = 8a 5b = 4a

a=5 ∧ b = 4

Resolución

Resolución

(+)

Resolución

4. Sea ab + ba = 143 y a – b = 5, calcula ab2.

ab + ba = 143, descomponiendo:

10a + b + 10b + a = 143 11a + 11b = 143 11(a + b) = 143 a + b = 13

Resolución

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

25



2) Dado el numeral capicúa:

a(b + 1)(7 – b)(8 – a)

halla "a + b".

1) Si los siguientes numerales están correctamente

escritos: 3a4(7) ; aa8(b) ; bb y 25(a)

además: 2c2c(7) = 1000

halla "a+b+c".

5) Si aba(5) = 2ba(7), halla a . b.

4) Calcula "a+b" si ab(9) = ba(7).

5) Calcula "x+y" si xyy(9) = yyx(6).

6) Calcula "m+n" si mn(5) = 14.

6) Calcula "a+b+c" si abc(3) = 15.

4) Si ab(7)=ba(4), halla "a+b". 1) Si los numerales están correctamente escritos,

halla m +n + p

n23(m) ; p21(n) ; n3m(6) ; 1211(p)

3) Si: a – b = 4 y ab + ba = 143 halla "a . b".

2) Un numeral capicúa es de la forma:

(a–1)(a3)(b+4)c, halla "a.b.c."

3) Si a–b = 2 y ab + ba = 132, halla "a.b".




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Halla "a" si 3a4(7) = 186.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5

¿Cuántos numerales son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a 6 veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Si 3a7(9)=322, halla "a".

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

27



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Si a un numeral de tres cifras que empieza con la cifra 6 se le suprime esta cifra, el numeral resultante es 1/26 del numeral original. Halla el producto de las cifras del numeral.

a) 36 b) 60 c) 48 d) 72 e) 56

Si a un número de 3 cifras que empieza en 9 se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. Halla la suma de las cifras del numeral.

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 30

Si se cumple lo siguiente: 546(n) = 42n(8), halla "n2 – n".

a) 72 b) 42 c) 90 d) 56 e) 30

Si se cumple que: 320(n) = 206(5), halla "n2 – n".

a) 20 b) 6 c) 12 d) 2 e) 30



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Si a un numeral de dos cifras significativas le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 72. Halla la suma de las cifras del número original.

a) 7 b) 3 c) 9 d) 10 e) 12

Calcula el producto de las cifras de un numeral capicúa de 3 cifras que es igual a 23 veces la suma de las cifras diferentes.

a) 36 b) 6 c) 12 d) 9 e) 10

¿Cuántos numerales de dos cifras significativas cumplen que al incrementarle el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 55?

a) 2 b) 5 c) 3 d) 6 e) 4

Un numeral de 3 cifras que empieza en la cifra 2 es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Halla el producto de sus cifras.

a) 36 b) 39 c) 42 d) 48 e) 56

29



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Si se cumple: 373(n) = 251, halla "(n+1)(n–1)".

a) 35 b) 80 c) 63 d) 48 e) 24

La cifra de las decenas de un número de dos cifras es igual al doble de la cifra de las unidades. Cuan-do se invierte el orden de sus cifras, este número disminuye en 27. ¿Cuál es el número?

a) 39 b) 63 c) 93 d) 36 e) 33

Si se cumple abab=N . ab, halla la suma de cifras de "N".

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Si a un número de 3 cifras se le invierte la cifra de las unidades a las decenas, aumenta en 45. Si se invierte la cifra de las decenas y centenas disminuye en 270. Si se invierte las cifras de las unidades con las centenas, ¿qué ocurre?

a) Disminuye en 198b) Aumenta en 130c) Disminuye en 130d) Aumenta en 198e) Aumenta en 99



4Numeración II

Observación

SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO DECIMAL

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN

En el mundo, prácticamente solo se usa el sistema decimal, este sistema ha tenido su origen en los diez dedos de la mano del hombre. Existen aparte del sistema decimal, muchos otros sistemas de numeración.

Conjunto de reglas y principios que nos permiten una buena escritura y lectura de los números.

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Es el número de unidades de un orden cualquiera, necesarios para formar una unidad de orden inmediato superior. Recordemos que se llama orden a la posición que ocupa cada cifra dentro de un numeral, estos órdenes se consideran de derecha a izquierda.La base de un sistema de numeración es un número entero y positivo mayor que uno, es así entonces que tenemos infinitos sistemas de numeración y los principales son:

• En todo sistema de numeración se utiliza la cifra cero (0).• En una base se utilizan "n" cifras, siendo la menor cero (0) y la mayor (n – 1).• El menor sistema de numeración es el binario.• Las cifras mayores que 9 se pueden simbolizar como:

Cifra Símbolo 10 α, A, a 11 β, B, b 12 γ, C, c . . .

Base Sistema Cifra

......

...

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

n

Binario

Ternario

Cuaternario

Quinario

Senario

Septenario

Octal

Nonario

Decimal

Undecimal

Duodecimal

Enesimal

0, 1

0, 1, 2

0, 1, 2, 3

0, 1, 2, 3, 4

0, 1, 2, 3, 4, 5

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β

0, 1, 2, .........................; (n–1); n

OBJETIVOS:

aConvertir números de bases diferentes.

aResolver problemas de aplicación de bases diferentes.

31



De 212(5) a base 10.

212(5) = 2.52 + 1.51 + 2.50

= 2.25 + 1.5 + 2.1 = 50 + 5 + 2 = 57 ∴ 212(5) = 57

Ejemplo:

Ejemplo:

Se presentan los siguientes casos:

Se desarrolla y resuelve la descomposición polinómica del numeral escrito en base "n".

Convierte 243(5) a base 10.

243(5) = 2 .52 + 4.51 + 3.50

= 2.25 + 4.5 + 3.1 = 50 + 20 + 3 = 73

∴ 243(5) = 73

El método a utilizar es el de divisiones sucesivas.

Convierte 181 a base 2.

Se resuelve por los dos casos anteriores, es decir; primero se lleva de base "n" a base "10" por descomposición polinómica y luego de base "10" a base "m" por divisiones sucesivas.

∴ 181 = 10110101(2)

TRANSFORMACIÓN DE BASES

DE BASE "n" A BASE "10"

Resolución

DE BASE "10" A BASE "n"

DE BASE "n" A BASE "m"

Se divide sucesivamente hasta que el cociente sea menor que el divisor.

181 2 1 90 2 0 45 2 1 22 2 0 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1

Convierte 212(5) a base 3

Resolución

Ejemplo:

2. Halla "a+b+c" en abc(4) = 17.

17 4 1 4 4 0 1

⇒ abc(4) = 101(4)

∴ a + b +c = 2

Resolución

1. Si se cumple que: 2153(n) = 1abc(7), halla "a + b +c + n".

Si 2153(n) = 1abc(7)

Por propiedad: 5 < n < 7 ⇒ n = 6Luego: 2153(6) = 1abc(7)

Resolviendo:= 2.63 + 1.62 + 5.61 + 3.60

= 2.216 + 1.36 + 5.6 + 3.1= 432 + 36 + 30 + 3= 501

Resolución

⇒ 2153(6) = 1314(7) = 1abc(7)

∴ a+b+c+n = 3+1+4+6 = 14

501 7 4 71 7 1 10 7 3 1

De 57 a base 3.

57 3 0 19 3 1 6 3 0 2

∴ 57 = 20103

∴ 212(5) = 20103



4) Halla el valor "a" para que se cumpla:

3aa(7) = 11a3(5)

1) Halla "a+b" si los siguientes numerales están correctamente escritos:

bb2(7); 224(a) ; 3a2(b))

1) Si los siguiente s numerales están correctamente escritos, calcula: m2 + p2.

m2p(8); 315(m) ;2mm(p)

2) Halla el valor de "a" para que se cumpla:

3a5(8) = 245.

3) Expresa N en base siete:

N = 2.74 + 5.73 + 6.72 + 31

2) Halla "a" para que se cumpla:

a11(7) = 37a(8)

3) Expresa "M" en el sistema octal si:

M = 6 x 84 + 7 x 83 + 3 x 82 + 35

4) Halla "a.b.c" si se cumple:

(a–4)ab(6) = c0cc(4)

6) Expresa el menor numeral de 3 cifras diferentes del sistema octal en el sistema quinario.

6) Convierte el menor número que se puede escribir con todas las cifras impares del sistema heptal, al sistema nonario.

5) Expresa "N" en base cinco y da la suma de sus cifras:

N = 19.54 +8.53 + 22

5) Halla la suma de cifras del numeral 315(6) al ser expresado en base 9.

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________


33



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Si los siguientes numerales son diferentes de cero. 2bc(a) = bb(c) + 10a(4),

halla " "

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7

Si "a", "b" y "c" son cifras diferentes entre sí, halla "m+p" si se cumple:

abc(4) + bc(3) + c(2) = mp

a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15

a . cb

Halla "a+b+c" si se cumple: 315(8) = abc(6)

a) 10 b) 9 c) 12 d)13 e) 8

Calcula "a+b+c+d+e+f+n" si se cumple:

1122(3) = abcdef(n)

a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 8

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Expresa 48 en base "n" y da la suma de sus cifras si se cumple:

115(n) = 235(6)

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

Halla "n" para que se cumpla: 126(n) = 256(8)

a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11

Si se cumple 46a(n) = 287(4), halla "a + n".

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

Halla "a + n" si se cumple: a56(8) = (a+1)60(n)

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

35



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Calcula "a+b+c" si se cumple: 56d = abcd(8)

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Calcula "a+b" si se cumple: mmm(8) = ab1

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Halla "a+b" si se cumple: a2b(9) = a72(n)

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6

Halla "a+b", para que se cumpla: aba(8) = 1106(n)

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Halla "a + b" si se cumple:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

88 veces

16 16 16 . . . 16 ab

= 6ba

Si se cumple que:

m00m(6) = npn

Halle "m + n + p" (0 = cero)

a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 20

Calcular "m + n" si se cumple:

pppp(5) = mn8

a) 10 b) 7 c) 11 d) 15 e) 8

Halla "a + b" si se cumple:

a) 2 b) 5 c) 3 d) 6 e) 4

80 veces

14 14 14 . . . 14 ab

= 371

37



5Conteo de Números

En el presente capítulo abordaremos conceptos y problemas que fueron tratados por grandes matemáticos hace miles de años, tal es el caso de lo registrado en el papiro RHIND, hallado por éste a fines del siglo XIX, que fue escrito unos 2000 años antes de nuestra era.

Entre los problemas aritméticos que figuraban en dicho papiro está el de "la repartición del pan", que lo plantearemos como un desafío más adelante.

Por otro lado, la naturaleza nos muestra que muchos fenómenos pueden ser analizados según su recurrencia, por ejemplo: el cometa Halley es visible desde la Tierra cada 76 años; así también en nuestra vida encontramos aplicaciones sencillas como:

1. INTRODUCCIÓN ii. Cada término tiene un orden designado o número ordinal, el cual guarda una correspondencia con su respectivo término. Del ejemplo:

primer término: t1 = 7 = 1 × 5 + 2 segundo término: t2 = 12 = 2 ×5 + 2 tercer término: t3 = 17 = 3 × 5 + 2 cuarto término: t4 = 22 = 4 × 5 + 2 quinto término: t5 = 27 = 5 × 5 + 2

iii. La característica fundamental de este tipo de conjuntos es que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera es siempre un valor constante que llamaremos razón aritmética (r). Del ejemplo:

t1

7 12 17 22 27

{

t2{

t3{

t4{

t5{

+5 +5 +5 +5

razón aritmética: r = +5

"A un conjunto con esta característica lo llamaremos progresión aritmética".

Una progresión aritmética es un conjunto de números ordenados, de tal manera que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera (el de mayor orden menos el otro) es siempre una constante llamada valor de la razón aritmética (r).

2. DEFINICIÓN

N.º ordinal: 1.º 2.º 3.º 4.º ... n.º ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Término : 5 8 11 14 ... 3n+2

+3+3+3razón aritmética: r = +3

Ejemplo:

Ejemplo inductivo:

Un médico recetó a Esmeralda tomar una pastilla cada 5 días a partir del 7 de marzo y durante dicho mes. Completa el siguiente esquema:

Nº de toma:1.º 2a 3a ... ↓ ↓ ↓ Día: : 7 ... ...

Además: I. La tercera toma fue el día _____ de marzo.

II. La última toma fue el día _____ de marzo y fue la _____ toma.

III. La diferencia de días entre dos tomas consecutivas es _____ días.

De este ejemplo se observa que: i. El conjunto: 7, 12, 17, 22, 27 es un conjunto

ordenado, donde a cada elemento llamaremos término.



Halla el término de enésimo lugar para cada una de las siguientes progresiones aritméticas:

i. 57, 64, 71, 78, ...ii. 29, 18, 7, -4, ...iii. 1, 7, 13, 19, ...

Calcula los cuatro primeros términos para cada una de las tres P.A., si sus respectivos términos de enésimo lugar se expresan así:

i. tn = 120 + 9nii. tn = 13 - 8niii. tn = -20 + 6n

Ejemplo:

Ejemplo:

Según el signo del valor de la razón aritmética, las progresiones aritméticas pueden ser:

2.1. Progresión aritmética creciente

Cuando la razón es positiva ( r > 0).

6 , 13 , 20 , 27 , 34 , ...

+7 +7 +7 +7

razón: r = +7

2.2. Progresión aritmética decreciente

Cuando la razón es negativa ( r < 0).

20 , 14 , 8 , 2 , -4 , ...

- 6 - 6 - 6 - 6

Se recomienda establecer una correspondencia entre cada término y su respectivo número ordinal.

3. CÁLCULO DE UN TÉRMINO DE LA P.A. CUYO LUGAR ES "n":

Dada la P.A. : 6, 10, 14, 18, ... Halla: i. El término de enésimo lugar (tn). ii. El término de vigésimo lugar (t20).

Resolución

N.º ordinal: 1.º 2.º 3.º 4.º ... n.º ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Término : 6 , 10 , 14 , 18 , ... tn

+4+4+4 ...

Dada la siguiente progresión artimética, halla el término enésimo (tn).

Luego: t1 = 7 t2 = 7 - 1(3) t3 = 7 - 2(3) t4 = 7 - 3(3) . . .

tn = 7 - 3(n - 1)

∴ tn = 10 - 3n

En general:Dada una progresión aritmética, el término de enésimo lugar (tn) se calcula:

razón: r = - 6

N.º : 1.º 2.º 3.º 4.º ... n.ºordinal ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 7 , 4 , 1 , -2 ... tn

-3-3-3

razón: r = -3

Ejemplo inductivo:

ii. A partir de "tn" hallaremos "t20", para lo cual n = 20 (lugar 20).

t20 = 4(20) + 2 = 82

Ejemplo:

i. Cada término se deberá expresar en función de su número ordinal y la razón.

t1 = 6 t2 = 6 + 1(4) t3 = 6 + 2(4) t4 = 6 + 3(4) . . . . . .

t10 = 6 + 9(4) . . . . . .

tn = 6 + (n - 1)(4)

tn = 4n + 2

tn = t1 + (n - 1) . r

39



PROBLEMA GENERALDada la siguiente progresión aritmética finita, calcula el número de términos (n).

4. CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS DE UNA P. A.

t1 , t2 , t3 , t4 , ... , tn

rrr

"n" términos

Sabemos : tn = t1 + (n - 1) . r

Despejando "n", tenemos: n = + 1tn - t1

r

Observa que para calcular el número de términos "n", necesitas:

r : razón aritméticatn : último términot1 : primer término

último - primerorazón

# términos = + 1

* Aplicación: ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.? 20, 31, 42, 53, ... , 669

Resolución

Nos piden el número de términos (n) para lo cual necesitamos:

r = 31 - 20 = 11

t1 = 20

tn = 669

669 - 2011n = + 1 =

64911 + 1 = 60

∴ La P.A. tiene 60 términos.

Calcula la cantidad de términos de cada una de las siguientes P.A.:

i. 45, 53, 61, 69, ... , 437

ii. 58, 46, 34, ... , -350

iii. 36, 37, 38, ... , 570

iv. 11a, 12a, 13a, ... , 63a

5. CÁLCULO DE LA CANTIDAD DE CIFRAS AL ESCRIBIR LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA FINITA

Ejemplo inductivo:

Calcula cuántas cifras se utilizarán al escribir los enteros consecutivos desde 56 hasta 499.

Resolución

Observa que del 56 hasta el 499 todos los números no tienen la misma cantidad de cifras, por lo que nos conviene formar grupos de números que tengan igual número de dígitos.

En este caso:

i. Números de dos cifras: 56, 57, 58, ... , 99

* Número de términos: 99 - 55 = 44 términos * Cantidad de cifras: 44 × 2 = 88 cifras

cada término tiene dos cifras

Ejercicios:

ii. Números de tres cifras: 100, 101, 102, ... , 499

* Número de términos: 499 - 99 = 400 términos * Cantidad de cifras: 400 × 3 = 1200 cifras

cada término tiene tres cifras

Luego, cantidad total de cifras: 88 + 1200 = 1288 cifras

¿Cuántas cifras se utilizarán para escribir todos los términos de dos cifras de la siguiente P.A. 14, 18, 22, ... ?

Resolución

Para calcular el número de cifras totales debes averiguar cuántos términos de dos cifras tiene la P.A. de la siguiente forma:

Ejercicio:

1.º 2.º 3.º ... k.º ↓ ↓ ↓ ↓ 10 14 18 22 ... (4k+10)

+4+4+4el mayor término

de dos cifras



1. El tercer término de una sucesión es 12 y el décimo primer término es -12. Halla la diferencia común.

a) -3 b) 3 c) 2 d) -2 e) -4

Resolución

Según el dato, tenemos: a11 = -12 a3 = 12a11 - a3 = -12 - 12

(11-3)r =-24 (r es la razón de la P.A.) r = -3

La diferencia común es: r = -3 Clave a

2. El cuarto término de una sucesión es 29 y el décimo quinto término es 117. Calcula el séptimo término.

a) 15 b) 18 c) 53 d) 4 e) 32

Resolución

Se tiene:

Sabemos que: a15 - a4 = (15 - 4)r

117 - 29 = 11r ⇒ r = 8

a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; ... a7 ; ... a15

rr 29 piden 117

Luego: a7 - a4 = (7 - 4)r

a7 - 29 = 3(8)

∴ a7 = 53 Clave c

6.1 PrinciPio de multiPlicación

Si un procedimiento o actividad, se puede efectuar de "m" maneras y otro de "n" maneras, y cada uno de los primeros puede ser seguido por cualquiera de los otros, entonces el número de maneras de realizar el primero seguido del segundo es "m x n".

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con las cifras 0; 3; 4; 7 y 9?

Resolución

Son números de la forma ab.i. La cifra a, por ser primera cifra, toma valores diferentes

de cero: 3; 4; 7 ó 9. Los posibles valores de a son 4.

ii. La cifra b puede tomar los valores 0; 3; 4; 7 ó 9. Puede tomar 5 posibles valores.

Por lo tanto, el total de números de la forma ab es 4 × 5 = 20 números.

Nótese que no ha sido necesario escribir los 20 números, de los cuales algunos son 30; 33; 34; 37; 39; 40; 43; 44; 47; 49; etc. Estos números no forman una progresión aritmética.

Para contar la cantidad de números que poseen determinadas características en sus cifras, se procede del modo siguiente:

a) Se representa la forma general de numeral.b) Se cuenta los valores que puede tomar cada cifra

independiente del número.c) Por el principio de multiplicación, se toma el producto de

la cantidad de valores que toman las cifras independientes. Éste será el total de números condicionados.

¿Cuántos números de 3 cifras cumplen con que su cifra de centenas es el doble de su cifra de unidades?

Resolución

Representación general: (2a) ba

Contando:Valores de a: 1; 2; 3; 4 ⇒ 4 valoresValores de b: 0;1;2;...;9 ⇒ 10 valores

Total 4 × 10 = 40 números

Doble del valor de unidades

Ejercicio:

Ejercicio:Observa que el esquema indica que la P.A. tiene "k" términos de dos cifras por lo que:

Luego, hay 22 términos de dos cifras cada uno, entonces el número de cifras totales es 22 × 2 = 44 cifras.

6. NÚMEROS CONDICIONADOS

Son aquellos números cuyas cifras se caracterizan por cumplir determinadas condiciones.

No forman necesariamente una progresión aritmética y para contarlos utilizaremos el principio de multiplicación.

es máximo de dos cifras

4k + 10 < 100

Evaluando: 22

41



Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) En una progresión aritmética cuya razón es desconocida; de más de 50 términos, la diferencia del último y primer término es 371. Hallar el número de términos.

2) La diferencia entre los términos de lugares 78 y 48 de una progresión aritmética es 90 y el décimo quinto término es 100. Hallar el vigésimo término.

3) ¿Cuántos números naturales hay entre 120(5) y 135(7)?

4) ¿Cuántas cifras se emplearán al enumerar las siguientes secuancias?

I. 39; 41; 43; ...; 931 II. 1; 2; 3; ...; 640 Dar la suma de los resultados.

5) Al escribir la siguiente secuencia:

11; 22; 33; ...; abcabc

sea han empleado 522 cifras. Hallar a + b + c

6) Calcular la suma de términos:+ + +

15 términos

185 178 171 ...

1) En una progresió aritmética de razón desconocida, el primer término es 13 y el último 454. Hallar el vigésimo cuarto término si en total son 50 términos.

2) La diferencia entre los términos de lugares 54 y 60 de una progresión aritmética es 30 y el décimo tercer término es 50. Halla el término de lugar 80.

3) ¿Cuántos números naturales hay entre 210(4) y 235(6)?

4) ¿Cuántas cifras se utilizaron para escribir todos los números impares dese 37 hasta 533?

5) Para escribir la siguiente sucesión:

11; 22; 33; ...; abab

se utilizó 298 cifras. Hallar a + b

6) Calcular la suma de términos:

+ + +

51términos

39 45 54 ...



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En una progresión aritmética el número de térmi-nos comprendido entre 23 y 59 es el doble de los comprendidos entre 3 y 23. Hallar la razón y el número de términos de la progresión.

a) 5; 18 b) 4; 16 c) 3; 12d) 6; 21 e) 4; 15

En una progresión aritmética el número de térmi-nos comprendido entre 17 y 44 es el doble de los comprendidos entre 2 y 17. Hallar la razón y el número de términos de la progresión.

a) 3; 15 b) 5; 18 c) 4; 12d) 4; 16 e) 2; 15

Dadas las siguientes P.A: P.A1 = 30; 42; 54; ... P.A2 = 81; 96; 111; ... Hallar el vigésimo término común y el lugar que

ocupa en la primera P.A.

a) 366; 80 b) 1216; 124 c) 1116; 104d) 1216; 104 e) 1116; 80

Dadas las sucesiones: 15; 17; 19; 21; ... –12; –7; –2; 3; ... Hallar el primer término común y el lugar que

ocupa.

a) 30 y 12 b) 38 y 14 c) 33 y 10d) 40 y 10 e) 25 y 10

43



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Halla la cantidad de términos que tiene la siguiente P.A.:

8a, bc, aa, def, .... , fff ?

a) 46 b) 82 c) 84 d) 60 e) 72

Resolución:

¿Cuántos ceros inútiles se escribieron en la siguien-te enumeración?

0001; 0002; 0003; ... ; 0999; 1000

a) 329 b) 654 c) 785d) 928 e) 1107

Resolución:

¿Cuántos ceros inútiles se escribieron en la siguien-te enumeración?

0010; 001; 0012; ...; 1000

a) 302 b) 627 c) 753d) 901 e) 1080

Resolución:

Hallar el número de términos que tiene la P.A.

ab ; 23 ; cd ; 37 ; ... ; abc

a) 27 b) 26 c) 22d) 20 e) 18

Resolución:



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

¿Cuántos numerales de la forma:

a(b-3)( ) (c+1)(a+4)(2b)

existen en base 13?

a) 150 b) 180 c) 160d) 192 e) 240

Resolución:

c2

¿Cuántos numerales de la forma:

(10-n)(n+5)(n/2)(m/3)(1/7 p)?

existen en base 15?

a) 1125 b) 2250 c) 775d) 1225 e) 625

Resolución:

Para enumerar un libro de UNI páginas se han empleado 2130 tipos de imprenta. Hallar el valor de: U + N + I

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

Resolución:

Para enumera un ibro de 1ab páginas se han em-pleado 297 tipos de imprenta. ¿Cuántos tipos de imprenta se emplearán para enumerar un libro de ab1 páginas?

a) 752 b) 842 c) 620d) 930 e) 945

Resolución:

45



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

¿Cuántas hojas tiene un libro, sabiendo que en la enumeración de todas ellas se observó que en las 12 últimas se utilizaron 69 cifras?

a) 40 b) 80 c) 56d) 64 e) 60

Resolución:

De un libro de 225 páginas se arranca cierto nú-mero de hojas del principio, notándose que en la numeración de las páginas que quedan se usaron 452 tipos de imprenta. ¿Cuántas hojas fueron arrancadas?

a) 62 b) 45 c) 21d) 31 e) 15

Resolución:

¿Cuántas páginas tiene un libro si en sus 100 últimas páginas se han utilizado 283 tipos de im-prenta?

a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 e) 184

Resolución:

De un libro de 321 hojas se arrancan cierto núme-ro de hojas del principio obervándose que en las páginas restantes se usan 1679 tipos de imprenta, ¿cuántas hojas se arrancaron?

a) 26 b) 27 c) 36d) 38 e) 37

Resolución:



6Análisis Combinatorio

Supongamos que una tarea se puede ejecutar de "m1" maneras diferentes, otra tarea se realiza de "m2" maneras y seguimos así sucesivamente hasta que llegamos a la k - ésima tarea, que se puede ejecutar de "mk" maneras; entonces, el número total de maneras de llevar a cabo estas tareas juntas corresponde al producto:

m1 × m2 × m3 × ... × mk

Ejemplo:¿De cuántas maneras distintas podemos ir de "A" a "C" pasando por "B" y sin regresar en ninguno de los casos?

La primera tarea o evento (ir de "A" a "B") la podemos realizar de 3 maneras: a pie, en bicicleta o en auto (p, b, a) y la segunda tarea (ir de "B" a "C") la podemos hacer: despacio o rapido (dor)

DIAGRAMA DEL ÁRBOL:

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

A B C

p

b

a

d

r

(p;d)

(p;r)

(b;d)

(a;d)

(a;r)

A B C

n(1° tarea y 2° tarea) = 3 2 = 6×

1° tarea3 formas

2° tarea2 formasd

r

d

r

(b;r)

6 maneras o rutas posibles

Es aquel arreglo donde cada agrupación se distingue por lo siguiente:

• En cada grupo intervienen todos los elementos• Un grupo se considera diferente del otro si sus

elementos se disponen en otro orden.

LA PERMUTACIÓN

Ejemplo: Permutar los elemnetos a ; b ; c. abc ; bac ; cab acb ; bac , cba # de permutaciones = 6

Matemáticamente: La permutación de «n» elementos viene dada por:

nP n!=

Son los ordenamientos que se puede formar con una cierta cantidad de elementos, de modo que uno o más elementos se repiten.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

1123 1132 2113 31121231 1321 2311 32111213 1312 2131 3121

Permutaciones obtenidas con las cifras 1; 1; 2 y 3.

El número de permutaciones que se puede formar con "n" objetos, de los cuales uno se repite "R1" veces, otro "R2" veces y así los demás, y denotado por PR (n, R1, R2, R3, ... Rk), donde n = R1 + R2 + R3 + ... + Rk, está dado por:

PR(n,R1,R2, ...,Rk)=n!

R1!R2! ... Rk!

Por ejemplo, las permutaciones de 4 objetos de los cuales uno se repite dos veces, como 1; 1; 2; 3, son :

PR(4; 2; 1; 1)=4!

2! 1! 1!= 12

47



nn!

V(n k)!

=−

mk

n!C

k!(n k)!=

−

Nótese que para simplificar la expresión anterior, bastará con tomar sólo las veces que se repiten los objetos más de una vez:

PR (4 ; 2) = = 124!2!

LA VARIACIÓN

Es aquel arreglo donde cada agrupación se distingue por lo siguiente:• En cada grupo no intervienen todos los elementos.• Un grupo se considera diferente del otro si se cambia

el orden de sus elementos.Interesa el orden.

Ejemplo: Hallar la variación de 3 elementos tomados de 2 en 2 siestos elementos son: a ; b ; c. ab ; ba ; ca ac ; bc ; cb # de variaciones = 6

Matemáticamente:La variacion de «n» elementos tomados de «k» en «k»viene dada por:

Los primeros años del Príncipe de los Matemáticos

No es exagerado este título póstumo, Príncipe de los Matemáticos, acuñado en una moneda, con que el rey Jorge V de Hannover honró a Gauss tras su muerte. Según E.T Bell, y es una opinión compartida por la mayoría de los historiadores de la ciencia, Gauss junto a Arquímedes y Newton ocuparía el podio de los grandes genios de las matemáticas a lo largo de la Historia. No se puede entender el avance y la revolución de las matemáticas del siglo XIX sin la mítica figura de Gauss. Su figura ilumina de forma completa la primera mitad del siglo. Sus aportaciones se producen en todos los campos de las matemáticas, tanto puras – Teoría de Números, Análisis, Geometría – como aplicadas – Astronomía, Geodesia, Teoría de errores – y en Física –Magnetismo, Óptica, Teoría del potencial, entre otros. Este gran matemático alemán llevó las matemáticas del siglo XIX a cumbres insospechadas unas décadas antes y eleva la Aritmética superior a la cima de las matemáticas, citando sus propias palabras, “las matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas”. El 4 de mayo de 1777, el viejo párroco de la iglesia de Wendengraben (en Brunswick, Alemania) procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus nuevos feligreses: Johann Carl Friedrich Gauss; se trata de un niño varón nacido cuatro días antes (el último día del mes de abril), siendo el hijo de un humilde matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss y Dorothea Benze, ambos de 33 años. Con el paso de los años, este niño abandonará su primer nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Freidrich Gauss, así es como firmará sus obras. En el seno de esta humilde familia, muy alejada de los salones ilustrados de la nobleza germana, el joven Gauss va a dar muestras tempranas de su genio precoz. Él mismo, ya anciano, acostumbraba a alardear de haber aprendido a contar antes que a escribir y de haber aprendido a leer por sí mismo, deletreando las letras de los nombres de los parientes y amigos de la familia. Y a él le debemos el relato de la anécdota que le coloca como el más precoz de los matemáticos. Cuando tenía tan sólo tres años, una mañana de un sábado de verano, cuando su padre procedía a efectuar las cuentas para abonar los salarios de los operarios a su cargo, el niño le sorprende afirmando que la suma está mal hecha y dando el resultado correcto. El repaso posterior de Geghard dio la razón al niño. Nadie le había enseñado los números y mucho menos a sumar. A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela prim aria, una vieja escuela, la Katherine Volksschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época. A los nueve años, Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Al terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5050, la respuesta correcta. Con 11 años de edad Gauss dejará la Katherine Volksschule para ingresar en el Gymnasium Catharine, a pesar de las reticencias de su padre a que continúe sus estudios. Allí estudia Latín y Griego y al cabo de dos años accede al grado superior de la enseñanza secundaria. Su fama se empieza a extender por los círculos cultivados de Brunswick y llegará a oídos del duque Karl Wilhelm Ferdinand (1735 - 1806). Así, en 1791, apadrinado por E.A.W. Zimmerman (1743 - 1815), profesor de Collegium Carolinum y consejero provincial del duque, éste le recibe en audiencia. Gauss es un adolescente de 14 años que deja impresionado al anciano duque con su habilidad de cálculo. El duque le proporcionará los fondos para que pueda proseguir su formación y le regalará las tablas de logaritmos elaboradas por Johann Carl Schulze. Con tan sólo 18 años, el joven Gauss había hecho un descubrimiento que por sí solo le habría hecho pasar a la historia de las matemáticas. Un descubrimiento que constituía sólo la punta del iceberg de una teoría mucho más amplia que dará origen, tres años más tarde, a las Disquisitiones Arithmeticae, obra que Gauss va madurando durante su estancia en la Universidad de Göttingen.

LA COMBINACIÓN

Es aquel arreglo donde cada agrupación se distingue por lo siguiente:• En cada grupo no intervienen necesariamente la

totalidad de los elementos.• Un grupo se considera diferente del otro si no tienen

los mismos elementos. No Interesa el orden.

Ejemplo:Hallar la combinación de 3 elementos tomados de 2 en 2 si estos elementos son: a ; b ; c ab ; ac ; bc # de combinaciones = 3

Matemáticamente:La combinación de «n» elementos tomados de «k» en «k»viene dada por:



Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Silvia desea comprar una minifalda y una blusa. Un comerciante le muestra 8 minifaldas y 7 blusas de colores diferentes en los modelos que a Silvia le gusta. ¿De cuántas maneras diferentes puede escoger lo que desea comprar?

2) Una persona puede viajar de A hacia B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

3) En una carrera participan 5 atletas .¿De cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta; si llega uno a continuación del otro?

4) Se tienen 9 banderillas donde 2 son blancas; 3 rojas y 4 negras. ¿De cuántas maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila?

5) ¿De cuántas maneras 4 parejas de esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar si estas parejas siempre deben almorzar juntos?

6) En un examen se ponen 7 temas para que el alumno escoja 4.¿De cuántas maneras puede hacerlo?

1) Antony desea comprar una camisa y un pantalón. Un comerciante le muestra 11 camisas y 12 pantalones de colores diferentes en los modelos que a él le gusta. ¿De cuántas maneras diferentes puede escoger lo que desea comprar?

2) Una persona puede viajar de Lima al Cuzco ya sea por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 7 líneas aéreas y 8 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

3) En una carrera participan 4 atletas ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta; si llega uno a continuación del otro?

4) Se tiene 8 banderillas donde 5 son blancas; 2 rojas y 1 negra. ¿De cuántas maneras se puede hacer señales poniendo todas las bbanderillas en fila?

5) ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar si estas parejas siempre deben almorzar juntas?

6) En un examen se ponen 10 temas para que un alumno escoja 4.¿De cuántas maneras puede hacerlo?

49



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Con los colores del arco iris. ¿Cuántas Banderas bicolores se puede formar?

a) 20 b) 42 c) 48d) 56 e) 63

Resolución:

En un campeonato de fútbol:12 equipos deben jugar todos contra todos si llegan 3 equipos más ¿Cuántos partidos adicionales deben jugarse?

a) 15 b) 25 c) 30d) 39 e) 42

Resolución:

Con los colores del arco iris. ¿Cuántas Banderas tricolores se puede formar?

a) 20 b) 35 c) 150d) 210 e) 240

Resolución:

En un campeonato de fútbol: 15 equipos deben jugar todos contra todos si llegan 2 equipos más ¿Cuántos partidos adicionales deben jugarse?

a) 10 b) 20 c) 31d) 35 e) 40

Resolución:




Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros diferentes sobre una estantería de manera que 3 de ellos siempre deben estar juntos?

a) 8! b) 9! c) 10!d) 10!×3! e) 10!×5!

Resolución:

Cuatro mujeres y tres hombres van al cine y encuentran una fila con 7 asientos ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las 4 mujeres no quieren estar juntas?

a) 20 b) 40 c) 60d) 100 e) 144

Resolución:

Tres mujeres y dos hombres van al cine y encuen-tran 5 asientos juntos en la misma fila donde de-sean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las 3 mujeres no quieren estar juntas?

a) 6 b) 8 c) 12d) 18 e) 24

Resolución:

De cuántas maneras se pueden colocar 12 ni-ños en una fila de manera que cuatro niños, en particular queden juntos?

a) 9! × 4! b) 10! × 3! c) 9! × 3! d) 7! × 3! e) 8! × 4!

Resolución:

51



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Un grupo está conformado por 7 personas y se desea formar una comisión integrada por un presi-dente y un secretario .¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión?

a) 21 b) 30 c) 35d) 42 e) 60

Resolución:

Con 8 hombres y 7 mujeres. ¿Cuántos comités de 5 personas se pueden formar de modo que este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

a) 100 b) 110 c) 1000d) 1120 e) 1176

Resolución:

Con 5 hombres y 8 mujeres ¿Cuántos comités de 5 personas se pueden formar de modo que este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

a) 180 b) 240 c) 280d) 320 e) 450

Resolución:

Un grupo está conformado por 8 personas y se desea formar una comisión integrada por un presi-dente y un secretario .¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión?

a) 28 b) 40 c) 50d) 56 e) 70

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Los equipos de la U y Alianza participan en un torneo. La regla del torneo considera que no hay empates y campeona el primer equipo que gana 2 partidos seguidos o un total de 3 partidos, ¿de cuán-tas formas se puede desarrollar la serie de partidos?

a) 5 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

Resolución:

¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 2; 3; 5; 6 y 7?

a) 10 b) 20 c) 30d) 50 e) 60

Resolución:

10 corredores ¿De cuantas maneras diferentes pueden obtener 3 premios distintos?

a) 620 b) 730 c) 35d) 640 e) 720

Resolución:

¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números 3; 5; 6 y 7?

a) 12 b) 20 c) 24d) 30 e) 40

Resolución:

53



7

S = 1.2+2.3+3.4+ ... +n(n+1)

S =

P=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)

P =

1. ASOCIATIVA:

Es la operación aritmética (+) que permite reunir 2 o más cantidades homogéneas (sumandos) en una sola (suma).

ADICIÓN

Axiomas

Series

OBJETIVOReconocer y efectuar series numéricas utilizando artificios y su ley de formación. Asimismo encontrar números ocultos con símbolos.

Criptoaritmética

Notación:

DEFINICIÓN

au + bu + cu = Su

sumandos suma

AXIOMAS DE LA ADICIÓNSi a, b, c ∈ R

(a + b) + c = a + (b + c)

2. CLAUSURA

Si a, b ∈ R; entonces: a + b ∈ R

3. CONMUTATIVA:

a + b = b + a

4. INVERSO ADITIVO:

Si a ∈ R, entonces (–a) ∈ R y se llama inverso aditivo.

5. MODULATIVA:

Existe un elemento 0 (cero), tal que si a ∈ R, luego 0 + a = a + 0 = a y 0 se llama elemento neutro aditivo o módulo de la adición.

6. CANCELATIVA:

Si a + c = b + c, entonces a = b.

Corolario (uniformidad) Si a = b y c = d, entonces: a + c = b + d

SERIES BÁSICAS

1. SUMA DE PRODUCTOS CONSECUTIVOS

n(n+1)(n+2)3

n(n+1)(n+2)(n+3)4

Suma o Adición



Calcula: E=2+6+12+20+ ... +600

E=1.2+2.3+3.4+4.5+ ... + 24.25

E = = 5200

Calcula: A = 5+52+53+ ... +5100

A= =

Ejemplo 1:

24.25.263

2. SUMA DE POTENCIAS SUCESIVAS:

a+a2+a3+...+an =a(an – 1)

a – 1

Ejemplo 2:

5(5100 – 1)5 – 1

5101 – 54

3. SUMA DE NÚMEROS TRIANGULARES:

M = 1+3+6+10 + ... +

M=1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+...+n)

n(n + 1)2

n(n+1)(n+2)6

M =

Resolución

Resolución

Ejemplo 3:

20.21.226

4. SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS "n" PRIMEROS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

12+22+32 +...+n2= n(n+1)(2n+1)6

Q = 12+22+32+...+202

Q= = 2870

Ejemplo 4:

(20)(21)(41)6

5. SUMA DE LOS CUBOS DE LOS "n" PRIMEROS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS

Ejemplo 5:

Calcula: P = 13+23+33+...+93

P= = 452

2025

6. SUMA DE LOS "n" TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an

+r +r

(a1 + an) . n

2

[2a1 +(n-1)r] . n

2

13+23+33+...+n3 = n(n+1)2[ ]2

Resolución

Resolución

Resolución

Calcula : M = 1+3+6+10+...+210

M=1+(1+2)+(1+2+3)+...+ (1+2+3+...+20)

M= = 1540

S = a1 + a2 + a3 + ... + an

S =

También: S =

[ ]9(10)2

2

55



Calcula: S = 4+7+10+...+91

S =

pero: n = + 1

n = 30

∴ S = S = 1425

Nota

«n» es la cantidad de sumandos en cada suma.

Ejemplo 6:

(4+91)n2

91 - 43

(4+91)302

Ejemplo 7:

Calcula: A = 5 + 7 + 9 + 11 + ...

20 sumandos

A =

A = 480

[2(5) + (20–1)(2)] . (20)2

Resolución

Resolución

¿Cuánto se obtiene si se suman todos los números de dos cifras cuya suma de sus digitos es 9?

a) 468 b) 496 c) 396 d) 486 e) 864

* Sean los números de la forma: ab* Donde: a + b = 9

9 0 8 1 7 2 1 8

* La suma es: 9 0 + 8 1 7 2 1 8 3 6 ← 0+1+2+...+8= 8x9 =36 2 4 5 ← 9+8+7+...+1= 9x10 =45 4 8 6 2

∴ Se obtiene: 486

Ejemplo 1:

Halla la suma de los valores que pueden tomar las letras en la siguiente suma:

2 r 5 + s 3 8 5 4 3 9 0 t

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8

* En el 1.er orden:

5+8+3 = 1 t se lleva t = 6* En el 2.º orden:

1 + r+3 +4 = 1 0 llevo r = 2 * En el 3.er orden:

1 +2+s+5 = 9 s= 1

∴ r+s+t = 2+1+6 = 9

Ejemplo 2:

Clave D

Clave D

Resolución

Resolución



6) Calcula «x + y» si:

x = 12 + 22 + 32 + ... + 192

y = 13 + 23 + 33 + ... + 193

1) Calcula A + B si:

A = 1 + 2 + 3 + ... + 15 B = 1 + 2 + 3 + ... + 18

2) Calcula: 1 + 3 + 5 + ... (30 términos)

3) Calcula "n" si:

1 + 2 + 3 + ... + n = 120

2) Calcula "P + Q" si:

P = 2 + 4 + 6 + ... + 30 Q = 1 + 3 + 5 + ... + 29

1) Calcula n si:

5 + 10 + 15 + ... (30 términos)

3) Calcula "m" si: 1 + 2 + 3 + ... + m = 171

4) Calcula "t" si:

2 + 4 + 6 + 8 + ... + t = 110

6) Calcula:

(1+2+3+...+n)2 – (13+23+33+...+n3)

5) Si: (x + y + z)2 = 144 Calcula:

1zyx + x6zy + yx5z + zyx3

5) Si: (a+b+c)2 = 169 Calcula el valor de:

abc + bca + cab

4) Calcula el valor de "x" en:

1 + 2 + 3 + ... + x = 300

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

57



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Calcula las 3 últimas cifras de:

2 + 22 + 222 + ... + 22...22

a) 024 b) 224 c) 144d) 464 e) 444

Resolución:

22 cifras80 sumandos

Calcula la suma de las 3 últimas cifras del resultado de:

5 + 55 + 555 + ... + 555...5

a) 0 b) 5 c) 2d) 8 e) 3

Resolución:

Si 3mn + npm = 1000, calcula "p".

a) 3 b) 6 c) 4d) 7 e) 5

Resolución:

Halla am + ba, siendo a, b y m dígitos y ab + ma = 141.

a) 121 b) 111 c) 211d) 132 e) 123

Resolución:




Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Si: a1x + a2x + a3x + ... + a7x = 38y1 calcula "a".

a) 3 b) 6 c) 4d) 7 e) 5

Resolución:

Calcula a + b + c si se cumple que:

m1m+m2m+ m3m+ ... +m9m = abc4

a) 5 b) 14 c) 9d) 18 e) 12

Resolución:

Si (m+n+p)2 = 196, halla:

mmpn + pnmp + npnm

a) 15 554 b) 15 544 c) 15 555d) 14 455 e) 14 444

Resolución:

Si (a+b+c)2 = 225, halla:

abab + caba + bccc

a) 16 665 b) 16 555 c) 16 666d) 13 555 e) 15 555

Resolución:

59



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Calcula el valor de:

S = 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) + ... + (1 + 2 + ... + 80)

a) 88 560 b) 88 360 c) 88 660d) 88 460 e) 88 760

Resolución:

Calcula el valor de:

R = 1.2+2.4+3.6 + ... + 15.30

a) 3 475 b) 2 480 c) 2 680d) 2 370 e) 3 125

Resolución:

Calcula "J + U" si:

J = 40 + 41 + 42 + ... + 80 U = 31 + 33 + 35 + ... + 79

a) 2 460 b) 3 835 c) 2 800d) 4 000 e) 1 375

Resolución:

Calcula el valor de x + y si:

x = 10 + 11 + 12 + ... + 40 y = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 44

a) 820 b) 1 200 c) 775d) 1 281 e) 506

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Si se cumple: (6) (6) (6)23c4 d344 4a4b+ = Hallar: a + b + c + d

a) 6 b) 4 c) 9d) 10 e) 8

Resolución:

Hallar a + b + c + d, si:

15abcd 487278 abcd15+ =

a) 123 b) 18 c) 20d) 21 e) 25

Resolución:

Siendo "n" un número entero positivo, dar el valor de:

Resolución:

Si "n" es entero positivo; dar el valor de la suma:

Resolución:

"n " veces

5 55 555 ... 555...55+ + + +

"n " cifras

3 33 333 ... 333...33+ + + +

( ) ( )

( ) ( )

( )

n 1 n

n n 1

n 1

5 5a) 10 9n 1 b) 10 9n 10

9 95 5

c) 10 9n 10 d) 10 9n 1081 815

e) 10 9n 109

+

+

+

− − − −

− − − −

− −

n n 1

n 1 n 1

n

10 9n 10 10 9n 10a) b)

27 27

10 9n 10 10 9n 10c) d)

27 27

10 9n 10e)

27

+

+ +

− − + −

− − − +

− +

61



8

SUSTRACCIÓN

Propiedades

Complemento Aritmético

OBJETIVO

Reconocer los términos de una sustracción y sus propiedades.Efectuar cálculos del complemento de un número.

DEFINICIÓN

Es la operación inversa a la Adición, que consiste en que dados dos números enteros llamados Minuendo y Sustraendo se debe encontrar un tercer número llamado Diferencia.

Se representa mediante el operador : «–».

Términos:

M – S = D

M : Minuendo S : SustraendoD : Diferencia

PROPIEDADES

1. M = S+D

«En una sustracción la suma del Sustraendo y la Diferencia es igual al Minuendo».

Ejemplo:

8 –(–3) = 11 M = 8, S = 3, D = 11

S +D = M – 3 + 11 = 8

8 = 8

2. M +S+D = 2M

«La suma de los 3 términos de una sustracción es igual al doble del minuendo».

Ejemplo:

12 – 5 = 7 M = 12, S = 5, D = 7

M + S + D = 2M 12 + 5 + 7 = 2(12)

24 = 24

Sustracción - Complemento

Aritmético



x + z = 9 ∧ y = 9

Si abc – cba = 3xy,

calcula x – y.

Por propiedad x = 9

3 + y = 9 → y = 6

∴ x – y = 3

3. Si abc – cba = xyz

Ejemplo:

4. EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

abc(n) – cba(n) = xyz(n)

donde : y = n – 1 x + z = n – 1

Ejemplo:

Si abc(9) – cba(9) + mn4(9),calcula m . n.

Escribimos:

abc(9) – cba(9) = mn4(9)

Por propiedad:

n = 8 m + 4 = 8 → m = 4

∴ m . n = 32

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)

Se define al complemento aritmético de un número como la cantidad de unidades que le falta para ser igual a una unidad del orden inmediato superior.

MÉTODO PRÁCTICO PARA CALCULAR EL COMPLEMENTO ARITMÉTICO

A. SI EL NÚMERO NO TERMINA EN CERO

CA( 9 2 3 5 7 )

0 7 6 4 3

∴ CA(92357)= 7643

(9) (10)

B. SI EL NÚMERO TERMINA EN CERO

CA( 3 5 0 2 7 0 0 )

6 4 9 7 3 0 0

∴ CA(3502700)= 6497300

(9) (10)

Ejemplo 1:

Calcula CA(60027) + CA(19900).

CA( 6 0 0 2 7 ) = 39973

3 9 9 7 3

(9) (10)

CA( 1 9 9 0 0 ) = 80100

8 0 1 0 0

(9) (10)

∴ 39973 + 80100 = 120073

CA(abc) = 1000 – abcCA(mnpq) = 10000 – mnpq

En general, si N tiene k cifras entonces:

CA(N) = 1 00...0 – Nk

Resolución

Resolución

Resolución

Ejemplos:

CA(8) = 10 – 8 = 2CA(23) = 100 – 23 = 77CA(381) = 1000 – 381 = 619

63



Si: abc − cba= pq6 ,halla el valor de a − c +p+q.

a) 17 b) 15 c) 13 d) 14 e) 16

* Ordenando en columna: abc − cba pq6

Ejercicio 1:

Resolución

La suma de los tres términos de una resta es 9876. Si el sustraendo excede a la diferencia en la tercera parte del minuendo, halla el sustraendo. a) 1646 b) 3292 c) 1664 d) 2392 e) 2496

* Tenemos: M − S = D

* Dato: M+ S + D = 9876 ...........(1)

S − D = ................(2)

Ejercicio 2:

M3

Resolución

Clave b

* De (1) por propiedad se tiene:

M+S+D = 9876 M 2M = 9876 M = 4938

* Reemplazando en (2) S − D =

S − D = 1646 ...........(3) * Pero: S + D = M = 4938 ..........(4)

* De (3) y(4): S=

∴ El sustraendo es: S=3292

49383

1646+49382

Ejemplo 3:

Si CA(a(2b)3) = bc , calcula a + b +c.

CA( a (2b) 3 )

0 b c

(9) (10)

⇒ 9 – a = 0 → a = 9⇒ 9 – 2b = b → 3b = 9 → b =3⇒ 10 – 3 = c → c = 7

∴ a + b +c = 19

Resolución

Si CA(a8b) = 1x4calcula a + b +x.

Ejemplo 2:

CA( a 8 b )

1 x 4

(9) (10)

⇒ 9 – a = 1 → a = 8 ⇒ 9 – 8 = x → x = 1 ⇒ 10 – b = 4 → b = 6

∴ a + b +x = 15

Resolución

(9)

* Se cumple: q = 9 ............ (1) p+6 = 9 p = 3 .............(2) a − c = p+1 a − c = 4 .............(3)

∴ a − c +p+q=4+3+9=16

Clave e



1) Si al minuendo y sustraendo de una sustracción se les disminuye 25 y 10 unidades respectivamente, calcula en cuánto varía la diferencia inicial.

1) Si al minuendo y sustraendo de una sustracción se les disminuye 18 y 6 unidades respectivamente, calcula en cuánto varía la diferencia inicial.

2) Si al minuendo de una sustracción le aumentamos 8 unidades y al sustraendo le restamos 3 unidades, ¿en cuánto varía la diferencia primitiva?

2) Si al minuendo de una sustracción le aumentamos 80 unidades y al sustraendo le restamos 25 unidades, ¿en cuánto varía la diferencia primitiva?

3) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 90. Calcula el sustraendo si es la tercera parte del minuendo.

3) En una sustracción la suma del minuendo, sustraendo y diferencia es igual a 150. Calcula el sustraendo si es igual a 2/5 del minuendo.

4) Si: abc + cba = 1392 y abc – cba = mn(2m) determina el valor de a+b2+ c3.

4) Calcula x + y – z si xyz + zyx = 1291; xyz – zyx = mn(m+1)

6) Si el CA de a8b es 5c4, halla a + b + c.

6) Si el CA de m9n es 6p6 , halla: m + n – p.

5) Halla ‘‘a + b’’ si: CA(ab)+CA(abab)= 3674

5) Halla ‘‘m + n’’, si: CA(mn) + CA(mnmn)= 4694

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

65



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

En una sustracción la suma de sus términos es 750. Calcula el complemento aritmético del sustraendo si es igual a la suma de las cifras del minuendo.

a) 40 b) 85 c) 65d) 100 e) 75

Resolución:

En una sustracción la suma de sus términos es 800. Calcula el complemento aritmético del sustraendo si éste es igual a la cuarta parte del minuendo.

a) 0 b) 400 c) 100d) 900 e) 200

Resolución:

Calcula abc, si: abc – cba = 2xy abc + cba = 1535 Da como respuesta‘‘a + b + c’’.

a) 14 b) 17 c) 15d) 20 e) 16

Resolución:

Calcula mpq, si: mpq – qpm = 1xy mpq + qpm = 1150 Da como respuesta ‘‘m+p – q’’.

a) 9 b) 7 c) 13d) 12 e) 6

Resolución:




Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

En una sustracción la suma del minuendo, sus-traendo y diferencia es igual a 144. Si el sustraendo es igual al complemento aritmético del minuendo, calcula la diferencia.

a) 42 b) 40 c) 44d) 47 e) 46

Resolución:

La suma de los términos de una sustracción es 164. Si el sustraendo es igual al complemento aritmético del minuendo, calcula la diferencia.

a) 60 b) 66 c) 62d) 68 e) 64

Resolución:

El complemento aritmético del numeral abcd es nnn. ¿Cuál es el valor de c si a, b, c y n suman 24?

a) 2 b) 5 c) 3d) 6 e) 4

Resolución:

Si CA (abc) = ddd y además a + c = 13, halla el valor de: a + b + c + d

a) 18 b) 16 c) 22d) 19 e) 24

Resolución:

67



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Calcular "c" si: CA(abcd)= a + b + c + d

a) 9 b) 6 c) 8d) 5 e) 7

Resolución:

Calcular "c" si:

CA(abcd) = a + b + c + 4d

a) 7 b) 13 c) 5d) 15 e) 9

Resolución:

Un número de 3 cifras abc es tal que: ac – cba = mn3 Además. a + b + c = 19 ¿Cual es el valor de: a2 + b2 + c2?

a) 147 b) 148 c) 149d) 150 e) 153

Resolución:

Un número de 3 cifras abc es tal que: abc – cba = mn3 Si se sabe que la cifra de las decenas es igual a la

suma de las otras dos cifras. Hallar: a2 + b2 + c2

a) 222 b) 150 c) 185d) 146 e) 212

Resolución:



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Si: aba(5) – 1cc(5) = 1bc(5) Hallar: a × c

a) 18 b) 12 c) 16d) 24 e) 8

Resolución:

Hallar: a × b × c. Si se sabe que:

45ab – 38bc = abc

a) 224 b) 210 c) 192d) 188 e) 128

Resolución:

Un número de 3 cifras abc es tal que: abc – cba = mn5 Si a2 + c2 + n2 = 118. Hallar: a + c

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

Resolución:

Si: abc – cba = 1dg y a + c = 12. Calcular: a + 2c

a) 15 b) 18 c) 13d) 17 e) 14

Resolución:

69



9Multiplicación yDivisión

2. ASOCIATIVA:

Es la operación aritmética, que dados dos enteros «M» y «m» llamados multiplicando y multiplicador respectivamente o factores, hace corresponder un tercer número «P» llamado producto, el cual se compone de tantas veces el multiplicando como nos indique el multiplicador. Se representa mediante el operador matemático «x».

M: multiplicando m: multiplicador p: producto

MULTIPLICACIÓN

Factores, producto

Criptoaritmética

OBJETIVO

Identificar y calcular los términos de una multiplicación en criptogramas y problemas de alteración de factores. Así mismo calcular la cantidad de cifras de un producto.

Cantidad de cifras de un producto

DEFINICIÓN

Notación:

M x m =P

1. CLAUSURA:

3. CONMUTATIVA:

Si a, b ∈ R → a x b ∈ R

Existe un elemento 1 (uno), tal que 1 x a = a x 1 = a y se le llama «módulo» o elemento neutro multiplicativo.

6. MONOTONÍA:

4. MODULATIVA:

PROPIEDADES EN R

a x b (b x c)=(a x b) x c

a x b = b x a

5. INVERSO:

Para todo a ∈ R – {0} existe , tal que:

a x = 1

1a

1a

Si a, b, c, d son enteros positivos y a < b y c < d.luego a x c < b x d

Sean los números A y B con a y b cifras, respectivamente, y cuyo producto es «P».

CANTIDAD DE CIFRAS DE UN PRODUCTO

1. PRODUCTO DE 2 FACTORES

Entonces: A x B = P«a» cifras «b» cifras «x» cifras



Ejemplo:

Donde «x» es el número de cifras de «P», se tiene:xmáx = (a + b) cifrasxmín = (a + b – 1) cifras

¿Cuántas cifras tendrá como máximo y mínimo el producto de A x B si «A» tiene 3 cifras y «B» posee 4 cifras?

A x B = P

xmáx = (3 + 4) = 7 cifras

xmín = (3 + 4 – 1) = 6 cifras

xmáx = 7 cifras ; xmín = 6 cifras

«a» cifras «b» cifras «x» cifras

Interpretación:El producto de un número de 3 cifras por otro de 4 cifras poseerá como máximo 7 cifras y como mínimo 6 cifras.

Resolución

Operación aritmética inversa a la multiplicación representada por ÷ o /, que consiste en que dados dos enteros positivos llamados dividendo el primero y divisor el segundo, encontrar otro llamado cociente, tal que multiplicado por el divisor nos dé el dividendo.

Sean: D : dividendo d : divisor q : cociente, y D > d

Luego:D = d x q

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

POSITIVOS

Clasificación

Propiedades fundamentales

OBJETIVOIdentificar los términos de una división y calcularlos cuando se alteren algunos de ellos utilizando las propiedades en forma rigurosa.

DEFINICIÓN

Entonces:A1 x A2 x A3 x ... x An = P

xmáx=(a1 + a2 + a3 + ... + an) cifras

xmín=(a1+a2+a3+...+an– n+1) cifras

Ejemplo:

¿Cuántas cifras podrá tener como máximo y mínimo el producto de AxBxC si tienen 3; 4 y 5 cifras respectivamente?

Sea A x B x C = PDonde la cantidad de cifras de «P» sea «x», luego:

xmáx =3 + 4 + 5 = 12 cifras

xmín =3 + 4 + 5 – 3 + 1= 10 cifras

xmáx = 12 cifras ; xmín = 10 cifras

Interpretación:El producto de 3 factores con 3, 4 y 5 cifras respectivamente, podrá tener como máximo 12 cifras y como mínimo 10.

2. PRODUCTO DE "n" FACTORES

Sean los números A1,A2,A3, ...,An con a1, a2, a3, ... ,an cifras, respectivamente, y su producto P.

CLASES DE DIVISIONES

1. DIVISIÓN EXACTA (r = 0) Es aquella donde el residuo es igual a 0, es decir, el dividendo contiene un número exacto de veces al divisor.

Ejemplo:

Se cumple : D = d x q

76 436 19 0

D = 76d = 4

q = 19r = 0

Resolución

71



Observación

En una división inexacta se considerará:

1. D = dxq + r2. r < d3. Resto mínimo = 14. Resto máximo = d – 1

2. DIVISIÓN INEXACTA (r ≠ 0)

Son aquellas donde habrá un residuo o resto al efectuar la división.

Ejemplo:

Se cumple : D = d x q+r r < d

76 770 10 6

D = 76d = 7

q = 10r = 6

24 6 24 + 6 6 0 4 0 4 + 1

⇒

PROPIEDADES DE UNA DIVISIÓN

1. En una división exacta si al dividendo se le aumenta o disminuye el divisor, entonces el cociente aumenta o disminuye en 1.

2. En una división inexacta, para que el cociente aumente en 1, al dividendo se quita el residuo y se aumenta un divisor; mientras que para el cociente disminuya en 1, al dividendo se quita el residuo y se quita un divisor.

34 6 34 – 4 + 6 6 4 5 0 5 + 1

⇒

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo 1:

3. En una división inexacta, si al divisor y resto se multiplican por n, entonces el dividendo queda también multiplicado por n.

25 8 25 x 2 8 x 2 1 3 1 x 2 3

⇒

4. En una división inexacta, si al dividendo y divisor se multiplican por n, entonces el resto también se multiplica por n.

25 8 25 x 3 8 x 3 1 3 1 x 3 3

⇒

Ejemplo:

5. En una división inexacta, si al dividendo y resto se les multiplica por n, entonces No siempre el divisor queda multiplicado por n, pueda que sea el cociente.

25 8 25 x 2 8 x 2 1 3 1 x 2 3

⇒

En una división inexacta siempre se debe cumplir que:

residuo mínimo = 1 residuo < divisor residuo máximo = divisor – 1

residuo <( )Dividendo2

En una división inexacta el resto es 20 y es máximo. Calcula el dividendo si el cociente es 18.

D 21 20 18máx

⇒ D = 21(18) + 20

D = 348

Ejemplo:

Resolución



El número de tres cifras que multiplicado por 8 da un producto que termina en 007, esta comprendido entre:

a) 400 y 500 d) 400 y 450b) 650 y 700 e) 200 y 250c) 100 y 150

* Si el número de 3 cifras es abc Por tanto: abc x 9 = ...007

* Es recomendable multiplicar en columna y disponer como multiplicando el número conocido es decir 9 y multiplicador al número desconocido es decir abc.

9 x a b c 2 7 ← c x 9 ......(1) 1 8 ← b x 9 .......(2) 8 ← a x 9 0 0 7

Explicación:* De(1): c x 9 = ...7⇒c=3 3 x 9 = 27

* Al sumar las decenas debe darme 10, entonces de (2): b x 9 = ...8 ⇒b=2 2 x 9 = 18

* Al sumar las decenas llevamos"1" a las centenas y para ello de (3): a x 9 = ...8 ⇒ a=2

*Luego: abc =223

∴ abc = 223 está entre 200 y 250

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Si: abc x c = 2736 abc x b = 2280 abc x a = 1824

Halla abc x cba y dar como respuesta la suma de las cifras.

a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 27

* Multiplicando en columna lo que nos piden:

a b c x c b a 1 8 2 4 ← a x abc 2 2 8 0 ← b x abc 2 7 3 6 ← c x abc 2 9 8 2 2 4

∴ ∑cifras es:2+9+8+2+2+4=27

Ejemplo 3:

El producto de un entero positivo "x" de 3 dígitos por 3 es un número que termina en 721, la suma de los dígitos de x es:

a) 13 b) 16 c) 15 d) 17 e) 14

* Si x = abc, entonces:

abc . 3= .....721

* Ya sabemos que es conveniente multiplicarlos del modo siguiente:

3 x a b c 2 1 ← c x 3 ⇒ c=7 0 ← b x 3 ⇒ b=0 7 ← a x 3 ⇒ a=9 ...7 2 1

Resolución

Clave E

Resolución

Clave E

Resolución

73



Explicación:

1.º Hallamos el valor de "c" el cual debe ser una cifra que multiplicado por 3 termine en 1 y la única cifra que cumple ello es 7, entonces al multiplicar c = 7 por 3 me da 21.

2.º Al sumar las decenas debe darme 2, eso significa que al multiplicar b x7 debe terminar en 0 y el único valor para "b" es el 0.

3.º Las centenas al multiplicar "a" por 3 debe terminar en 7 y el valor que cumple para "a" es el 9.

x = abc = 907

∴∑ cifras es: a+b+c=9+0+7=16

Ejemplo 4:

El dividendo de una división entera es 1365. Si el divisor es el triple del residuo y éste es la mitad del cociente, calcula el valor del cociente.

a) 25 b) 30 c) 35 d) 45 e) 50

* Tenemos: 1 3 6 5 3 n 2 n n ⇒ (3n)(2n) +n = 1365 n(6n+1)= 1365 n(6n+1)= 15 x 91 n = 15 ∴ El cociente es 2n =30.

a) 31 b) 17 c) 54 d) 57 e) 71

* Siendo los números A: B y C. Datos:

A + B +C = 145........(1) A B ...........................(2) 4 3 C B ..........................(3) 5 4 De ( 2 ): A = 3B +4De ( 3 ): C = 4B +5

Reemplazando (4) en (1): ⇒ (3B+4)+B+(4B+5) = 145 8B + 9 = 145 B = 17Luego: A = 3(17)+4 = 55 C = 4(17)+5 = 73

∴ Uno de los números es B =17.

................(4)

Ejemplo 5:

Se tiene tres números cuya suma es igual a 145. Si el primero se divide entre el segundo se obtiene 3 de cociente y 4 de residuo, y si el tercero se divide entre el segundo se obtiene 4 de cociente y 5 de residuo. Uno de los números es:

Clave B

Resolución

Clave B

Clave B

Resolución



Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) El producto de dos números pares consecutivos es 1224, calcula la suma de ambos factores.

1) El producto de dos números pares consecutivos es 1056, calcula la suma de cifras del mayor de ellos.

2) Si abc a = 1155 abc b = 5080 abc c = 1925, calcular abc 2 y da como respuesta la suma de sus

cifras.

2) Si mpq m = 303 mpq p = 606 mpq q = 909, calcular mpq2 y dar como respuesta la suma de sus

cifras.

3) Cuando dividimos cierto número por 50, obtenemos como residuo 20. Si dividimos el mismo número por 52, obtenemos el mismo cociente, pero 4 de residuo. Calcula el cociente en ambos casos.

3) Cuando dividimos cierto número por 60, obtenemos como residuo 17, si dividimos el mismo número por 63, obtenemos el mismo cociente pero 5 de residuo. Calcula el cociente en ambos casos.

4) En una división inexacta, el dividendo es 926, el cociente 32 y el residuo es 30, halla el divisor.

4) En una división inexacta, el dividendo es 615, el cociente 35 y el residuo es 25, halla el divisor.

5) En una división el resto es la cuarta parte del cociente y además es máximo. Si el divisor es el mayor número ab, calcula el dividendo.

5) Calcula el dividendo de una división si el divisor es el menor capicúa de 3 cifras y el cociente es igual al resto que es máximo.

6) Calcula: p + q + r + s si se cumple que pqrs 9999 = ...3759

6) Calcula: m + n + p + q si mnpq x 9999 = ... 8766

75



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resolución:Resolución:

En una división el dividendo es 646. Si el resto, cociente y divisor forman una progresión aritmética de razón 2, calcula el cociente.

a) 22 b) 28 c) 24d) 30 e) 26

En una división el dividendo es 596. Si el resto, divisor y cociente forman una progresión aritmética de razón 3, calcula el cociente.

a) 21 b) 24 c) 22d) 25 e) 23

Dados 2 números, al dividir el mayor entre el menor el cociente es 3 y el resto es 18. El mayor excede al menor en 64. El mayor es:

a) 87 b) 49 c) 32d) 85 e) 79

La diferencia de 2 números es 178, al dividir el mayor entre el menor, el cociente es 3 y el resto es 40. Calcula el mayor.

a) 235 b) 249 c) 243d) 251 e) 247



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Si se coloca 2 ceros a la derecha de un número, éste aumenta en 7227. La suma de sus cifras de este número es:

a) 10 b) 13 c) 11d) 14 e) 12

Si se coloca 2 ceros a la derecha de un número, éste aumenta en 5643. Calcula la suma de las cifras de dicho número.

a) 12 b) 15 c) 13d) 16 e) 14

Halla el producto de abc por 248, sabiendo que el producto de sus productos parciales es 9003.

a) 50800 b) 57500 c) 52600d) 56800 e) 55800

Halla el producto de mnp por 53, sabiendo que el producto de sus productos parciales es 150 000.

a) 5500 b) 5800 c) 5300d) 600 e) 5100

77



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



En una multiplicación de 2 factores, el primero se aumenta en su triple y el segundo en su doble.¿A cuántas veces aumenta el producto original?

a) 6 b) 11 c) 9d) 12 e) 10

En una multiplicación de 3 factores, al primero se le aumenta su doble, al segundo se le duplica, y al tercero se le disminuye su tercera parte. ¿En cuántas veces aumenta el producto inicial?

a) 2 b) 5 c) 3d) 6 e) 4

Dos números suman 930, el cociente es 17 y el resto es máximo. La diferencia de los números es:

a) 822 b) 852 c) 832 d) 862 e) 842

Dos números suman 896, el cociente es 37 y el resto el máximo posible. Los números difieren en:

a) 850 b) 790 c) 822d) 782 e) 880



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Calcula el mayor número de 4 cifras tal que al dividirlo entre 47 el resto es máximo.

a) 9963 b) 9960 c) 9962d) 9959 e) 9961

Calcula el mayor número de 4 cifras, tal que al dividirlo entre 97 el resto es máximo.

a) 9980 b) 9990 c) 9982 d) 9992 e) 9983

¿Cuántos números de 3 cifras pueden ser dividendos en una división de cociente 15 y resto 12?

a) 51 b) 54 c) 52d) 55 e) 53

¿Cuántos números de 3 cifras pueden ser dividendos de una división de cociente 18 y resto 8?

a) 45 b) 50 c) 46d) 51 e) 47


79



10Cuatro Operaciones

ADICIÓNEs una operación directa que consiste en unir dos cantidades homogéneas llamados sumandos y obtener una tercera llamada suma.

a + b = s

en donde: "a" y "b" : sumandos "s" : suma

SUSTRACCIÓNEs la operación inversa a la adición que consiste en quitarle a una cantidad llamada minuendo otra llamada sustraendo y obtener una tercera llamada diferencia.

M - S = D

en donde: "M" : minuendo "S" : sustraendo "D" : diferencia

Complemento aritmético (C.A.)Es lo que le falta a un numeral para ser igual a una unidad del orden inmediato superior del mayor de los ordenes de sus cifras.

Por ejemplo:

* C.A. (72) = 100 - 72 ∴ C.A. (72) = 28

* C.A. (5438) = 10008 - 5438

∴ C.A. (5438) = 2358

* C.A. (302506) = 1000006 - 302506

∴ C.A. (302506) = 253106

Principales sumatorias

1. La suma de los "n" primeros números enteros positivos

2. La suma de los "n" primeros números pares positivos:

2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2n = n(n + 1)

3. La suma de los "n" primeros números impares.

1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n + 1) = n2

4. La suma de los "n" primeros cuadrados perfectos.

5. La suma de los "n" primeros cubos perfectos:

6. La suma de los términos de una progresión aritmética: sea la P.A.:

La suma "S" de dichos términos es:

2)1n(nn....321 +=++++

6)1n2)(1n(nn....4321 22222 ++=+++++

233333

2)1n(nn....4321

+=+++++

osmintér"n"

n321 T,......,T,T,T

2n)TT(

S n1 +=



MULTIPLICACIÓNEs una operación directa, en donde a cada par ordenado de números "a" y "b" se le hace corresponder un tercer número: a × b.

a × b = p

En donde: "a" : multiplicando "b" : multiplicador "p" : producto

DIVISIÓN ENTERASe llama división a la operación inversa que hace

corresponder a los pares ordenados (a;b) su cociente a

b.

Por ejemplo, dividamos:

*

*

Clases de división:

1. Exacta:

42 = 7 × 6 D = dc

2. Inexacta:

2.1. Por defecto

73 = 7 × 10 + 3 D = dc + r

2.2. Por exceso

73 = 7 × 11 - 4 D = d (q + 1) - r*

Propiedades de la división inexacta

1. (cero) < (residuo) < (divisor)

→ residuo mínimo = 1 residuo máximo = (divisor) - 1

2. [residuo por defecto]+[residuo por exceso]=(divisor)

bcacba =⇔=

7 2 ó 72 9 9 8

= 8

9 1 ó 9 1 1 31 3 7

= 7

Por ejemplo: En general:

4 2 7 D d 6 c

Donde:Ddc

:::

dividendodivisorcociente


7 3 7 D d3 10 r c

Donde:

cr

::

cociente por defectoresiduo por defecto


7 3 7 D d3 10 r c

Donde:

cr

::

cociente por defectoresiduo por defecto


7 3 7 D d4 11 r c + 1*

Donde:

c+1r*

::

cociente por excesoresiduo por exceso


7 3 7 D d4 11 r c + 1*

Donde:

c+1r*

::

cociente por excesoresiduo por exceso

1) Calcule el valor de: 7 7 7abc cab bca+ + si: a + b + c = 13 De como respuesta la suma de sus cifras.

1) ¿Cuál es el valor de: abc bca cab+ + ? si: a + b + c = 19

2) Calcule el valor de "m + n + p", si:

2) Calcule "a+b+c", si se cumple que:

3) Calcule el valor de "m + n", si:

3) ¿Cuál es la relación que existe entre "x+z" con "y"? si:

4) Calcule el valor de "a + b + c + d", si:

4) Si: Calcule "a + b + c + d".

5) Calcule la cifra de orden 2 de un numeral en la base 7, que se obtiene al multiplicar 2467 por 357.

5) Si 3245 multiplicado por 345 es igual a "M" de la base 5, calcule la suma de cifras de "M".

6) En una división se observo que el residuo fue 21, siendo además máximo. Calcule el dividendo, si el ciciente es 12.

6) En una división se observó que el residuo fue 23, siendo además máximo. Calcule el dividendo, si el cociente es 10.

m1n m 2n m 3n ... m7n 38 p1+ + + + =

99 9abc cba 2mn= +

C. A .( 3a7b ) c 5d2=

m1m m 2m m 3m .... m 9m abc 4+ + + + =

5 5 5abc cba xyz− =

C. A .(2ab7) c 54 d=

81



Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Resolución:

Resolución:


Halle la suma de los términos de la siguiente sucesión:

a) 21 648 b) 25 742 c) 24 612d) 23 828 e) 21 716

Halle la suma de los términos de la siguiente progresión aritmética, sabiendo que tiene 102 términos: a) 76 806 b) 75 006 c) 76 900d) 77 666 e) 78 312

Calcule la suma de las tres últimas cifras del resul-tado, al efectuar:

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

Halle la suma de las cifras de la siguiente adición:

a) 47 b) 48 c) 49d) 50 e) 51

2 a términos

a 24,a 26,a 28,.....,a78

sumandos18

........777777S +++=

cifras50

9998...999...998988 ++++

aa9;....;9aa;5aa;1aa

83



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


Resolución:

Resolución:

Calcule el valor de "a + b + c"si:

a) 14 b) 13 c) 12d) 20 e) 9

Disminuyendo en 3 a los términos de la multiplicación, el producto disminuye en 231. Halle los factores, si la diferencia de ellos es 36.

a) 58 y 22 b) 57 y 21 c) 56 y 20d) 59 y 23 e) 60 y 24

Si se cumple: Calcule "a + b + c".

a) 9 b) 12 c) 8d) 13 e) 10

Si en una multiplicación al multiplicador se le aumenta en 5, el producto aumenta en 160 y si al multiplicando se le aumenta en 6 el producto aumenta en 66. Calcule la suma del multiplicando y del multiplicador.

a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44

4]a)4b(c[4)abc.(A.C +−=357ca43bb =−



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Si:Calcule: a+b+c

a) 5 b) 7 c) 8d) 10 e) 12

La suma de los términos de una división inexacta es 677. Si la diferencia del divisor y el cociente es 12, además el cociente es cuatro veces el resto, calcule el dividendo.

a) 640 b) 645 c) 600d) 620 e) 630

Si:Calcule la suma de los productos parciales.

a) 3 946 b) 3 947 c) 3 948d) 3 949 e) 3 950

La suma de términos de una división inexacta es 276. Si la diferencia del divisor y el cociente es 8, además el cociente es seis veces el resto, calcule el dividendo.

a) 202 b) 262 c) 152d) 242 e) 322

,973dd237xabc = abc 324 ...3812× =

85



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Resolución:

Resolución:

Al realizar una división por defecto y por exceso notamos que los residuos respectivamente fueron 5 y 8. Calcule el divisor.

a) 6 b) 7 c) 9d) 13 e) 15

En una división inexacta se observa que el divisor es 4 veces más que el residuo y si al residuo se le disminuye en 17 se volvería mínimo. Halle la suma de cifras del dividendo, si el cociente es los 5/3 del residuo.

a) 15 b) 18 c) 10d) 12 e) 13

Calcule el mayor número de tres cifras tal que al ser dividido por defecto y por exceso se obtuvo 8 y 5 de residuos respectivamente.

a) 996 b) 995 c) 994d) 993 e) 992

En una división inexacta el resto por exceso excede en 2 unidades al resto por defecto, además le faltan 4 unidades para ser igual al cociente por defecto. Si el divisor es 12, calcule el dividendo.

a) 128 b) 135 c) 126d) 143 e) 137



11Teoría de la Divisibilidad

En el conjunto Z de los enteros, se define: dados los enteros ayb≠ocualesquiera,sedice:b es divisor de a y se escribe:

a/bsi existe un entero k, tal que:

a = b.k

también se dice: a es divisible por b o a es múltiplo de b.

* 60 es divisible por 10, pues 60 = 10 x 6

* - 20 es múltiplo de 4, pues -20 = 4 x (-5)

* 8 es múltiplo de 8, pues 8 = 8 x 1

* 0 es múltiplo de 5, pues 0 = 5 x 0

* 5 es divisor de 40, pues

* 7 no es divisible por 0, pues

* 6 es divisor de -24, pues

Ejemplos:

405 = 8

no existe70

= -4-246

* 1 es divisor de todo número.* 0 es múltiplo de todo número, excepto de él.

NOTACIÓN DE UN MÚLTIPLO DE n

• Indica los múltiplos de 12. Éstos son: ...; -24; -12; 0; 12; 24; 36; ...

n ; n ∈Z

OBTENCIÓN DE UN MÚLTIPLO

Si a = n ⇒ a = n.k

Ejemplo 1:

Calcula la suma de los 20 primeros enteros positivos divi-sibles por 11.

Resolución

11 x 1 + 11 x 2 + ... +11 x 2011 x (1 + 2 + 3 + ... + 20) 11 x

2310

20 x 212

Ejemplo 2:

¿Cuántos enteros múltiplos de 7 hay entre 100 y 1394?

Resolución

100 < 7k < 1394 14,2 < k < 199,1 Éstos son: 199 - 15 + 1 = 185

Ejemplo 3:

Calcula el mayor número de 4 cifras divisible por 43.

87



ResoluciónSea el mayor número de 4 cifras igual a 43k, hacemos:43h = 9999h = 232,5 como k es entero, tomamos k = 232 y el número será:

43 x 232 = 9976

PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD

1) Si un número divide a otros dos, entonces divide a la suma, a la diferencia, al producto y a la potencia de dichos números.

Es decir: Si a y b son múltiplos de n, entonces a + b ; a - b ; a x b y ak serán también múltiplos de n.

Convención: n + n = n

n - n = n

n × n = n

(n)k = n

2) Si A se divide entre n y dá de residuo r, se representa A como:

n + r

Ejemplo:

Si A y B se dividen entre 5, los restos respectivos son 2 y 3. ¿Cuál será el resto de A × B; A3 y 3A - 2B entre 5?

i. A×B es: (5+2) (5+3) = 5+6 = 5 + 1

ii. A3 es: (5 + 2)3 = 5 + 8 = 5 + 3

iii. 3A - 2B es:

3(5 + 2) - 2(5 + 3) = 5 + 6 - 6 = 5 ∴ Éstos restos son: 1; 3 y 0

Resolución

3) Si la fracción N/a es entera, entonces N es divisible por a.

4) Si N es divisible por a y por b, entonces será divisible por el MCM de a y b.

Ejemplo 1:

Resolución

Calcula el menor entero positivo divisible por 4 y 6.

Sea N el menor entero positivo tal que:

N es 4 ⇒

N es 12

N es 6

Luego, el menor será N = 12.

Ejemplo 2:

De un grupo de personas, la cuarta parte son solteros, los 5/6 son mujeres y los 3/5 llevan lentes. ¿Cuántas personas como mínimo forman el grupo?

Resolución

Sea N

i. → solteros N es 4.

ii. → mujeres N es 6.

iii. → lentes N es 5.

Luego N es: 60 El menor será N = 60 personas.

N4

5N6

3N5

5) Todo número es divisible por sus factores si:

N = a × b

entonces: N es a y N es b

Ejemplo:

La expresión abc - cba, ¿de cuántos es múltiplo?

Resolución

abc - cba100a + 10b + c - 100c - 10b - a99a - 99c99 (a - c)3 . 3 . 11. (a - c)

Entonces abc - cba es 3 ; 9 ; 11; 33;

99 y (a - c)



6) En la división: D = dq + r , r < d

i. Si D y d son n → r es n ii. Si d y r son n → D es n iii. Si q y r son n →D es n

Ejemplo:

En una división, el dividendo es 7 + 2, el cociente es 7 + 3 y el resto 7 + 1. ¿Cómo es el divisor?

Resolución

D = dq + r

7 + 2 = d (7 + 3) + 7 + 1

3d = 7 + 1

3d = 7 + 15

d = 7 + 5

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Se denomina ecuación diofántica (en honor al matemático griego Diofanto, siglo IV) a aquella ecuación cuyas constantes son números enteros y cuyas incógnitas representan números enteros.Pueden ser de 2 o más incógnitas y de primer grado o de grado superior.

En particular estudiaremos la resolución de una ecuación diofántica lineal de 2 incógnitas.

Ax + By = C

Donde: {A, B, C} ⊂ Z

Para que la ecuación anterior tenga solución es necesario y suficiente que:

oC= MCD (A,B)

+14 =7

Ejemplo:

Un negociante tiene S/. 1500 y decide comprar cajas de leche y aceite a S/. 70 y S/. 80 cada caja respectivamente. ¿De cuántas maneras se puede efectuar la compra?

Por lo tanto, la compra se puede efectuar de 3 maneras diferentes.

Determinamos todas las soluciones posibles reemplazando los valores de y en la ecuación (1):

Expresando todos los términos en función de :

Sea:x → # de cajas de lechey → # de cajas de aceite → 70x + 80y = 1500 7x + 8y = 150 ... (1)

o7

+ ( + 1) y = y =

+ 3o7

o7

o7

+ 3o7

x y

18 3

10 10

2 17 +7

+7-8

-8

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD

c) La potencia de un múltiplo resulta otro múltiplo del mismo número.

d) Si A no es divisible por n, entonces A es:

e) Si: N es a ; N es b; entonces N es:

f) Si P = a . b, entonces:

P es a P es b

P es (a . b)

a) La adición o sustracción de múltiplos de un mismo número, siempre es igual a un múltiplo del mismo número.

b) La multiplicación de un múltiplo de "n" por un entero, da como producto un múltiplo de "n".

n . k=n

n+n=n n - n=n

n + r ; r < n ó n - r' ; r' < n

MCM(a;b)

(n ) = n

K∈Z+

k

1) Del 1 al 1200, determina: ¿Cuántos números enteros son 2? ¿Cuántos números son 10? ¿Cuántos números no son 30? Halla la suma de dichas respuestas.

1) Del 1 al 1500, determina: ¿Cuántos números son 5 ? ¿Cuántos números son 6 ? ¿Cuántos números no son 15 ? Halla la suma de dichas respuestas.

2) Expresa de manera simplificada:(9 +8) + (9 + 3)(9 - 5)

2) Expresa de manera simpli-ficada: (8+1)+(8 + 2)+( 8+3)+...+(8+ 43)

3) En una división el divisor es (11+ 3); el cociente es (11 + 8) y el resto ( 11 + 9). ¿Qué forma tiene el dividendo?

3) En una división el divisor es (7 + 2); el cociente (7 + 4) y el resto (7 + 3), ¿qué forma tiene el dividendo?

4) Un número de la forma ab(2a)(2b), es siempre divisible por:

4) Un número de la forma (3a)(3b)ab siempre es múltiplo de:

5) Del 1 al 750, ¿cuántos números enteros son 3 pero no 5?

5) Del 1 al 820, ¿cuántos números enteros son 2 pero no 41?

6) Del 400 al 1400, ¿cuántos números son múltiplos de 7 pero no de 5?

6) ¿Cuántos números enteros mayores que 500 y menores que 2 100 son múltiplos de 8, 12 y 15 a la vez?

89



Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Del 1324 al 2007,¿cuántos enteros son divisibles por 9?

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

Del 222(3) al 777(8),¿cuántos enteros son múltiplos de 15 con resto 7?

a) 29 b) 30 c) 31d) 32 e) 33


¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 14 y terminan en 8?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 y terminan en 8?

a) 27 b) 29 c) 32d) 30 e) 34


91



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 17?

a) 51 b) 52 c) 53d) 54 e) 55

¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 7 y 5 a la vez?

a) 24 b) 25 c) 26d) 27 e) 28

En un barco había 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determina cuántas personas murieron en dicho accidente.

a) 100 b) 80 c) 75d) 70 e) 60

En un barco había 150 personas, ocurre un naufra-gio y de los sobrevivientes se sabe que 2/7 fuman, 3/5 son casados y 1/3 son ingenieros. Determina cuántas personas murieron en dicho accidente.

a) 30 b) 75 c) 45d) 90 e) 60

Resolución:

Resolución:




5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolución:

Resolución:

En un barco viajaban 90 personas y ocurrió un ac-cidente, de los sobrevivientes se sabe que las 3/13 son niños y la quinta parte son casados. ¿Cuántos murieron?

a) 30 b) 25 c) 90d) 65 e) 100

A un congreso asisten entre 100 y 200 ingenieros. Si se sabe que 2/7 de los asistentes son ingenieros mecánicos y los 5/11 son ingenieros mineros, ¿cuántos son ingenieros mineros?

a) 154 b) 74 c) 84d) 100 e) 70

A un congreso médico asistieron entre 500 y 600 personas. Se observó que 2/7 de los asistentes son ginecólogos, 1/3 son neurólogos y 2/13 son pediatras, ¿cuántos asistentes no son pediatras?

a) 317 b) 462 c) 421d) 386 e) 216

En un examen donde participan 100 alumnos, de los aprobados 1/3 son mujeres, los 5/6 proceden de colegios nacionales y los 3/8 son menores de 15 años . ¿Cuántos salieron desaprobados, sabiendo que es el menor posible?

a) 8 b) 12 c) 6d) 4 e) 2

93



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En una fiesta donde habían 342 personas entre hombres y mujeres, la cantidad de varones era múltiplo de 11 y la cantidad de damas múltiplo de 7, siendo la diferencia entre estas cantidades mínima. Determina el número de hombres.

a) 220 b) 198 c) 231d) 187 e) 209

En un salón de clases donde hay 59 personas, la octava parte de los hombres usan anteojos y la séptima parte de las mujeres practican voley. ¿Cuántos hombres no usan anteojos?

a) 14 b) 7 c) 28d) 21 e) 35

En un salón de clase, la cantidad de alumnos es mayor que 354 pero menor que 368. El número de alumnos es tal que si se agrupan de 2 en 2 sobra 1 y si se agrupan de 7 en 7 sobran 4, ¿cuántos alumnos se deben aumentar para que al agruparlos de 12 en 12 no sobre nadie?

a) 11 b) 12 c) 10d) 9 e) 8

Los alumnos del curso de aritmética se sientan en bancas de 7 alumnos, excepto la última banca donde se sientan 8 alumnos. Cuando van al laboratorio se sientan en mesas de 4 alumnos salvo un alumno que se sienta solo. ¿Cuál es el número de alumnos si se sabe que está comprendido entre 76 y 92? Da como respuesta la suma de cifras del número hallado.

a) 12 b) 15 c) 13d) 10 e) 11



12Criterios deDivisibilidad

Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, permiten determinar su divisibilidad respecto a ciertos módulos (divisor).

Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.Si:

...abc es 2 ⇒ c = 0,2,4,6 ó 8°

567328 es 2 porque 8 es 2° °

...abc es 4 ⇒ 2b + c es 4 ó bc = {00, 04,...,96}

° °

132 es 4 pues 32 es 4.° °

Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8; también cuando el cuádruple de la antepenúltima cifra más el doble de la penúltima, más la última cifra resulta un múltiplo de 8.°

...abcd es 8 ⇒ bcd = {000; 008; 016;...;992}

°

También cuando: 4b+2c+d es 8°

3144 es 8 pues 4x1+2x4+1x4 es 16 que es 8.

°°

543621 es 3°

pues 5+4+3+6+2+1=21 es 3°

Un número es divisible por 9 cuando la suma de cifras es un múltiplo de 9.

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Si abcde es 3 ⇒ a+b+c+d+e es 3.°°

Si abcdef es 9 ⇒ a+b+c+d+e +f es 9.°°

1863 es 9°

pues 1+8+6+3 es 18 que es 9.°

Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

°24 es 6es 2 (última cifra par)

es 3 (suma de cifras 6)

°

°

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD POR 2:




DIVISIBILIDAD POR 9:Un número es divisible por 4 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4; también si el doble de la penúltima más la última resultan un .Si:

°4


Ejemplo :

Ejemplo :Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

95



Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es cero o cinco.

Si ...abc es 5 ⇒ c = 0 ó 5°


356785 es 5 pues termina en 5.°

Un número es divisible por 25 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 25.

Si ...abc es 25 ⇒ bc = {00, 25, 50,75}°°

54325 es 25pues termina en 25

°

Un número es divisible por 125 cuando sus 3 últimas cifras forman un múltiplo de 125.

Si ...abcd es 125 ⇒bcd =000, ó 125°°

Un número será divisible por 7 cuando se le aplique la siguiente regla de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los siguientes factores: 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,...

Luego de realizar el producto se efectúa la suma y si el resultado es 7 el número será múltiplo de 7.°

Siabcdefgh es 7 ⇒°

a b c d e f g h

3 1 2 3 1 2 3 1↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

+ - +

⇒h + 3 g+2 f - (e +3 d + 2c) + b + 3a = 7°

1 0 2 1 3 es 7hacemos: -3 -1 2 3 1;pues -3+0 +4+3+3 = 7 que es 7

°

°

Un número es divisible por 11 cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par, resulte múltiplo de 11.

Si abcd es 11 ⇒ b+d-a-c es 11°°

1 0 0 1 es múltiplo de 11hacemos: - + - +pues -1 + 0 - 0 +1 = 0 que es 11°

Se multiplica cada cifra del número por el factor indicado de derecha a izquierda.

a b c d e f g h

3 1 4 3 1 4 3 1↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

(+)(-) (+)(-)

Si: es 13°

3 3 6 3 1 es 13hacemos 3 - 1 - 4 - 3 1pues 9 - 3 -24 -9 + 1 = - 26 es 13°

°

Se descompone en factores cuya divisibilidad se conoce.






DIVISIBILIDAD POR NÚMEROS COMPUESTOS

8178375 es 125pues 375 es 125

°°

⇒ h - (3g+4f+e)+(3d+4c+b)-3a es 13°

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

F. Cavalieri(1804 – 1851)

Cavalieri desarrolló un método de lo indivisible, el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral.



Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

°

°

1) Si a2a53 = 9, halla a.

1) Si a3a5 = 9, halla a.

2) ¿Cuál es el resto de dividir 282828...(50 cifras entre 11)?

2) Calcula el resto de dividir 5151... (51 cifras)entre 11.

3) Si 1a60ab es divisible por 99, calcula «b - a»

3) Halla (n+m) si 2n5n8 es divisible por 9 y 11, respectivamente.

°°°

° ° °

4) Si 2x858 = 9 y485y = 11 6990z = 8 halla x + y +z.

4) Halla «a x b x c» si: abc =11 ; cba =7 ; bac=9

5) Calcula la suma de valores de x si 222xx es divisible por 7.

5) Calcula x si x2xx5 es divisible por 7.

6) Halla «a» si 4a8a6 es múltiplo de 11.

6) Halla «a» si 5a782 es divisible por 11.


97



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:

Resolución:

Si nn97n = 13, halla n.

a) 3 b) 7 c) 4d) 8 e) 6

° Si 316a9a = 13, halla a.

a) 5 b) 8 c) 6d) 9 e) 7

°

Si a8a946b es múltiplo de 56, halla «a + b».

a) 7 b) 10 c) 8d) 11 e) 9

Si el número 7xyx5y es divisible entre 88, halla el valor numérico de x + y.

a) 15 b) 13 c) 12d) 8 e) 9



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Halla a.b si 5a10b = 72

a) 12 b) 48 c) 24d) 32 e) 15

° Si x34y = 72, halla x.y.

a) 20 b) 16 c) 24d) 12 e) 28

°

Halla a si 4a3bc = 1125

a) 6 b) 8 c) 5d) 7 e) 9

° Halla a si 2a6bc = 1125.

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

°

99



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolución:

Resolución:

El producto de 3 enteros positivos consecutivos: n (n+1)(n+2)es siempre múltiplo de:

a) 3 y 4 b) 3 y 5 c) 2 y 5d) 5 y 7 e) 2 y 3

La expresión n2 (n2 - 1)es siempre divisible por:

a) 2 y 5 b) 4 y 5 c) 3 y 5d) 5 y 7 e) 3 y 4

Si a3aa1 = 13 + a2, calcula «a».

a) 2 b) 9 c) 5d) 6 e) 7

° Si nn37 = 9 + 4, halla n.

a) 3 b) 7 c) 5d) 1 e) 6

°



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Indica (x + y) para que 7x36y5 sea divisible por 1375.

a) 5 b) 12 c) 4d) 3 e) 8

Si los numerales a43, ab2 y abc son, respectiva-mente, múltiplos de 7;9 y 11, calcula a + b + c.

a) 7 b) 9 c) 11d) 8 e) 10

Si 2n569 + n69n = 11, halla n.

a) 2 b) 7 c) 3d) 4 e) 6

° Si aaa2aa = 13 + aaa, halla a.

a) 4 b) 7 c) 5d) 8 e) 6

°

101



13Números Primos

EN GENERAL

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Los números enteros positivos (Z+), se pueden clasificar de acuerdo a la cantidad de divisores Z+ que poseen:

A) LA UnidAd

Es el único Z+ que posee un solo divisor.

B) números Primos

Llamados también primos absolutos, son aquellos números que poseen únicamente dos divisores: la unidad y al mismo número.

1 : 1

Divisor

2 : 1 ; 2 5 : 1 ; 5 17 : 1 ; 17 23 : 1 ; 23

Divisores

Son aquellos que poseen más de dos divisores.

4 : 1; 2; 46 : 1; 2; 3; 612 : 1; 2; 3; 4; 6; 1220 : 1 ; 2; 4; 5; 10; 20

DivisoresZ+

Números Simples

Números Compuestos

Números Primos

La Unidad

NÚMEROS SIMPLES:

NÚMEROS COMPUESTOS:

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Divisores

De los divisores de 12 son:Simples → 1; 2; 3 Compuestos → 4; 6; 12

Primos → 2; 3

Todo número compuesto, posee una cantidad de divisores simples y divisores compuestos.

Observación

CDN = CDSN + CDCN

Donde:CDN : Cantidad de divisores de N.CDSN : Cantidad de divisores simples de N.CDCN : Cantidad de divisores compuestos de N.

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :



PROPIEDADES:

o4

o6

1 El conjunto de los números primos es infinito. {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17;...}

2 2 es el único número primo par.

3 2 y 3 son los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos.

o4

4 Sea ‘‘P’’ un número primo. Si P > 2, entonces: (P = + 1) v (P = - 1)

o6

5 Sea ‘‘P’’ un número primo. Si P > 3, entonces: (P = + 1) v (P = - 1)

¿Cómo se determina si un número es primo?

Se extrae la raíz cuadrada al número dado, si es exacta se determina que el número no es primo.

Caso contrario, se considera todos los números primos menores o iguales que la parte entera de la raíz.

Se divide el número dado entre cada número primo considerado.

Si en dichas divisiones, se obtiene al menos una exacta, el número no es primo.

Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo.

¿El número 193 es un número primo?

193 = 13, .... ≈ 13

Númerosprimos≤13:2,3,5,7,11,13.

Comparando 193 con cada uno de los números primos considerados.

Como en ningún caso las divisiones son exactas, entonces 193 es un número primo.

+ 1

+ 1

+ 3

+ 4

+ 6

+ 11

193 ⇒

o2o3o5o7o

11o

13

Sean los números 11, 12 y 15, donde:

El único divisor común es 1, entonces 11, 12 y 15 son PESI.

11 : 1 , 11

12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

15 : 1 , 3 , 5 , 15

Divisores

Observaciones:

Sean los números 13, 14 y 15, donde:

El único divisor común es 1, entonces 13, 14 y 15 son números PESI.

El único divisor común es 1, entonces 33 y 35 son números PESI.

13 : 1 , 13

14 : 1 , 2 , 7 , 14

15 : 1 , 3 , 5 , 15

Divisores

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)

(Primos relativos o coprimos)Dos o más números son primos entre sí (PESI) cuando tienen como único divisor común a la unidad.

1) Dos o más números consecutivos son siempre números PESI.

2) Dos o más números impares consecutivos son siempre PESI.

33 : 1 , 3 , 11 , 33

35 : 1 , 5 , 7 , 35

Divisores

Sean los números 33 y 35, donde:

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

103



144 = 24 x 32

150 = 2 x 3 x 52

1200 = 24 x 3 x 52

¿Cuántos divisores tiene 720?

* 720 = 24 x 32 x 51

CD720 = (4 +1) (2+1) (1 + 1)

CD720 =30

Si : N = Aα x Bβ x Cδ x ...

DescomposiciónCanónica

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Todo entero mayor que la unidad, se puede descomponer como la multiplicación de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Esta descomposición es única y se llama descomposición canónica.

EN GENERAL

N = Aα x Bβ x Cδ x ...

Donde:A, B, C, ... : Factores primos de N.α, β, δ, ... : Enteros positivos.

CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO (CDN)

CDN = (α+1)(β +1) (δ + 1) ...

Ejemplo :

Ejemplo :

Nació el 17 de agosto 1601 en Beaumont de Lomages, Francia; Fermat fue abogado y un gobernante oficial. Es más recordado por su trabajo,en la Teoría de Números, en particular por el último teorema de Fermat; las matemáticas eran para él su hobby.

En 1636, Fermat propuso un sistema de geometría analítica, similar a uno de Descartes quien lo propuso unos años después. El trabajo de Fermat estaba basado en una reconstrucción del trabajo de Apolonio, usado en el Álgebra de Viete. Similar trabajo dejó Fermat al descubrir métodos similares de diferenciación e integración encontrando los máximos y mínimos.

Falleció el 12 de enero de 1665 en Castres, Francia.

Pierrede

Fermat



Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

1) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. 24 tiene 8 divisores. ( )II. 61 es un número primo. ( )III. 16 tiene 4 divisores. ( )

1) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. 12 tiene 6 divisores. ( )II. 41 es un número primo. ( )III. 15 tiene 10 divisores. ( )

2) ¿Cuántos números primos hay en el siguiente grupo de números?

6; 11; 15; 23; 28; 31; 42;49; 56; 67; 73; 78

2) ¿Cuántos números primos hay en el siguiente grupo de números?

2; 17; 21; 23; 37; 39; 47; 48; 51; 65; 71

3) Rocío tiene una cantidad de dinero igual a todos los números compuestos menores que 30. ¿Cuánto tiene Rocío?

3) Carlos tiene una suma de dinero igual a la suma de todos los números primos menores que 25. ¿Cuánto tiene Carlos?

4) La edad de la profesora de Biología es igual a la suma de todos los divisores de 24. ¿Cuál es la edad de la profesora?

4) La edad del profesor de R.M. es igual a la suma de todos los divisores de 16. ¿Qué edad tiene el profesor?

5) ¿Cuántos divisores más tiene el número 720 que el número 100?

5) ¿Cuántos divisores más tiene el número 480 que el número 300?

6) ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 1 200?

6) ¿Cuántos divisores compuestos tiene 363 x 152?


105



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Si:B = 3n x (25)2 x 49 x (121) x 11

tiene 360 divisores, halla «n».

a) 6 b) 5 c) 8d) 4 e) 9

Si:A = 2n x 81 x 49 x 7

tiene 100 divisores, halla n2.

a) 5 b) 16 c) 36d) 9 e) 25


Entre los números 360, 270 y 180, ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 520?

a) 360 b) 270 c) Ningunod) Todos e) 180

Entre los números 250, 120 y 200, ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 378?

a) 250 b) 120 c) Ningunod) Todos e) 200



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:


¿Cuántos divisores múltiplos de 20 tiene el número 240?

a) 4 b) 7 c) 5d) 8 e) 6

¿Cuántos divisores de 500 son múltiplos de 25?

a) 16 b) 6 c) 12d) 9 e) 8

Si 6n x 18p tiene 77 divisores, halla «n x p».

a) 5 b) 8 c) 6d) 12 e) 7

Si 40 x 12n tiene 80 divisores, halla «n».

a) 3 b) 6 c) 4d) 8 e) 5

107



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Sabiendo que:A = 6n x 30

tiene el doble de divisores de B = 6 x 30n, halla el valor de «n».

a) 2 b) 5 c) 3d) 6 e) 4

Sabiendo que:A = 6n x 32 x 52

tiene el doble de divisores de B = 22 . 52 . 7n, halla el valor de «n».

a) 2 b) 5 c) 3d) 6 e) 4

Sabiendo que 12n tiene 88 divisores compuestos, ¿cuántos divisores tiene 15n ?

a) 49 b) 48 c) 50d) 64 e) 51

Si: M = 2n x 32 x 73 x 112

tiene 175 divisores compuestos, halla «n».

a) 2 b) 5 c) 3d) 6 e) 4



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



¿Cuántos ceros se debe colocar a la derecha del número 9 para que el resultado tenga 188 divisores compuestos?

a) 6 b) 8 c) 7d) 9 e) 5

¿Cuántos ceros se debe colocar a la derecha del número 15 para que el número formado tenga 84 divisores?

a) 3 b) 6 c) 4d) 7 e) 5

Si «W» tiene 1369 divisores, determina el valor de «n» en: W = 10 . 102 . 103 ... 10n

a) 10 b) 7 c) 5d) 8 e) 6

Si: N = 144 x 144 x 144... («n» factores) tiene 280 divisores compuestos, ¿cuántos divisores tiene n4?

a) 5 b) 8 c) 6d) 9 e) 7

109



14Máximo Común DivisorMínimo Común Múltiplo

Se llama M.C.D. de varios números diferentes de cero, al mayor número que sea divisor de todos ellos.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Sean los números 12; 30 y 48.

1 → Divisor común2 → Divisor común3 → Divisor común6 → Máximo divisor común

CÁLCULO DEL M.C.D.

• POR DESCOMPOSICIÓN INDIVIDUAL EN FACTORES PRIMOS (descomposición canónica)

El MCD será el producto de factores primos comunes con el menor exponente.


Donde: 1200 = 24 × 3 × 52

1440 = 25 × 32 × 5

900 = 22 × 32 × 52

MCD(1200,1440, 900)=22x3x5=60

• POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA EN FACTORES PRIMOS.

Se busca solamente los factores comunes.

360 960 3000 2180 480 1500 2 90 240 750 2 45 120 375 3 15 40 125 5 3 8 25

Sean los números 360; 960 y 3000

3, 8 y 25 son P.E.S.I., entonces se detiene la operación.

MCD(360,960,1200)=23x3x5=120

ALGORITMO DE EUCLIDES

Procedimiento:Se divide el mayor entre el menor, obteniéndose un cociente y un primer residuo. Sin considerar el cociente, se divide el menor entre el primer residuo obteniéndose otro cociente y un segundo residuo, enseguida; se divide el primer residuo entre el segundo, así sucesivamente, hasta que el residuo resulte cero. El MCD de los enteros es el divisor de la última división cuyo residuo ha resultado cero.

1 1 4

540 300 240 60

240 60 0

MCD (540; 300)Últimoresiduo

1.

MCD (12; 30; 48) = 6⇒

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :



MCD (350; 200)Últimoresiduo

1 1 3

350 200 150 50

150 50 0

2.

PROPIEDADES BÁSICAS

1). Sean los números A y B, si A es múltiplo de B:

⇒ MCD (A; B) = B

Sean los números 30 y 6 , donde 30 es múltiplo de 6.

⇒ MCD (30; 6) = 6

2) Sean los números A y B, si A y B son P.E.S.I.

⇒ MCD (A; B) = 1

Sean los números 36 y 25, donde 36 y 25 son P.E.S.I.

⇒ MCD (36; 25) = 1

3) El MCD también es el mayor factor común de varios números.

MCD (4x; 6x) = 2x

MCD (a2; a3) = a2

Ejemplo :

Se llama M.C.M. de varios números positivos, al menor número distinto de cero que contiene a cada uno de ellos un número entero y exacto de veces.

Así:

Múltiplos comunes : 24, 48, 72 ...

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

MCM (60, 140, 200) = 23×3×52×7 = 4200

6 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,...8 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...

Números Múltiplos

60 140 200 2 30 70 100 2 15 35 50 2 15 35 25 3 5 7 25 5 1 7 5 5 1 7 1 7 1 1 1

MCM (6; 8) = 24

CÁLCULOS DEL M.C.M.

• Por descomPosición IndividUAL en FActores Primos

(descomposición canónica)

* El MCM es el producto de factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente.


Donde:

80 = 24 × 5

120 = 23 × 3 × 5

150 = 2 × 3 × 52

MCM (80, 120, 150) = 24 × 52 × 3 = 1200

• PorDescomPosiciónSimULtáneA de FActores Primos

* se busca todos los factores sin excepción.

Sean los números 60; 140 y 200

Ejemplo :

Ejemplo :

111



¿Sabes que si estuvieras estudiando en la época romana sería imposible que sacaras un cero en clase? ¿Y que los primeros números eran simplemente signos?

El concepto de los números y las cuentas se remonta a la prehistoria, cuando los primeros números eran signos u objetos iguales que se repetían hasta llegar a la cifra deseada. Pero la complejidad de algunos hizo necesaria la creación de grupos. Fue así como se crearon símbolos para los grupos de diez, para los de cien,etc. Los babilonios fueron los que más desarrollaron este sistema a través de muescas en la arcilla, pero no fueron los únicos. Por ejemplo, los griegos empleaban letras de su alfabeto para referirse a esos números.

Los primeros que comenzaron a usar estos signos en escritura fueron los romanos. De hecho, si te fijas, sus números reflejan una forma de contar con los dedos: el uno, el dos y el tres se consiguen con los dedos levantados, el cinco es una V, el diez se expresa con las manos cruzadas a la altura de las muñecas, etc.

Pero los números tal y como los conocemos hoy día se deben a la antigua escritura india, país donde se desarrollaron de gran manera la medicina y las matemáticas en el siglo IV de nuestra era. Eso sí; los que los trajeron a Europa fueron los árabes. De ahí el nombre de arábigos con que se conoce a nuestros números. Estos habían comenzado su expansión por la India alrededor del año 711, y así tomaron contacto con sus ciencias y conocimientos. Posteriormente, y con su introducción en Europa, fue como se logró implantar este sistema numérico.

Las Matemáticas no son nada sin los números

PROPIEDADES BÁSICAS

MCM (36;9) = 36

1 Sean los números A y B , si A es divisible por B.

⇒

Sean los números 36 y 9 , donde 36 es divisible por 9.

⇒

Ejemplo :

MCM (12;25) = 300

2 Sean los números A y B , si A y B son P.E.S.I.

⇒

Sean los números 12 y 25 , donde 12 y 25 son P.E.S.I.

⇒

Ejemplo :

MCM (A; B) = A

MCM (A; B) = A x B

La Teoría de los Números

Los Elementos de Euclides son considerados frecuentemente, de una manera equivocada, como un libro dedicado exclusivamente a la geometría. En los libros VII, VIII y IX trata de la teoría de números: La palabra "número" para los griegos se refería siempre a lo que hoy llamamos naturales o enteros positivos. Euclides no usa expresiones como "es múltiplo de" o "es un factor o divisor de" sino que la sustituye por "está medido por" o "mide a", respectivamente, pues Euclides representa a cada número por un segmento, hablará de un número como AB. También menciona la distinción de un número par, impar, primo, compuesto, plano y sólido (los que se expresan como producto de 2 ó 3 factores, respectivamente)...

Howard Boyer, ed. Madrid 1986, página 157.



Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

1) Si A = 23 x 35 x 52 x 74 , B = 24 x 32 x 5 x 11 y C = 22 x 32 x 54 x 132 ; halla el MCD (A; B; C).

1) Si M = 33 x 52 x 71 , N = 23 x 32 x 73 y P = 23 x 31 x 53 x 74

Halla el MCD (M; N; P)

2) Al calcular el MCD de 2 números por divisiones sucesivas, los cocientes fueron 2; 5; 7 y 4. Si el MCD fue 12, calcula la suma de cifras del mayor.

2) Al calcular el MCD de 2 números por el algoritmo de Euclides, los cocientes fueron 1; 1; 2; 2; 3 y 3. Si el MCD fue 15, calcula la suma de ambos números.

3) Si MCD (180x; 240x; 360x) es 420, calcula x.

3) Si MCD (144k; 100k; 120k) es 124, calcula k.

4) Si: A = 23 x 52 x 73 , B = 22 x 53 x 112 y C = 33 x 54

halla la cantidad de divisores del MCM (A; B; C).

4) Si A = 24 x 53 x 72 , B = 23 x 52 x 73 y C = 34 x 53x 71

halla la cantidad de divisores del MCM (A; B; C).

5) Si: A = 2n+2 x 3n-3 y B = 22n-1 x 3n ; y además la cantidad de divisores del MCM (A, B) es 420, halla «n».

5) Si A = 2n-3 x 3n y B = 2n x 3n+2x 5n+4

Si la cantidad de divisores del MCM de A y B es 480, halla «n».

6) El mínimo común múltiplo de 24k; 20k y 12k es 840. Calcula k.

6) El mínimo común múltiplo de 18p; 30p y 50p es 1800. Calcula p2+1.


113



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Dados 3 números A, B y C, tales que al aplicarles descomposición simultánea obtenemos el proceso: A – B – C 5 D – F – 1638 K G – 117 – 234 H 4 – M – 18Calcula el valor de: A + B + F – (K – G – M)

a) 6908 b) 6942 c) 6712d) 6802 e) 6402

Dados 3 números A, B y C, tales que al aplicarles descomposición simultánea obtenemos el proceso: A – B – C 2 D – F – 45 K G – 5 – 15 H 13 – M – 3Halla: A + B + F – (K + G + M)

a) 439 b) 465 c) 429d) 539 e) 366

Si: A=2n–1 x 32n+1 x 5n+2 , B = 2n+2 x 3n+1 x 7n y C = 2n+1 x 3n x 7n+1; yademás: MCD (A, B, C) = 2 x 32, halla 3n + 2.

a) 11 b) 20 c) 8d) 17 e) 14

Si: M = 2a+3 x 3b-4 x 53 , N = 2a-1 x 32b x 52 y P = 22a x 32b-1; y ademásMCD (M, N, P) = 23 x 32, halla 2a + b.

a) 16 b) 13 c) 14d) 8 e) 11



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Halla el MCD de 2 enteros, cuya suma es 7366, sabiendo que los cocientes sucesivos en su cálculo, mediante el algoritmo de Euclides son 1, 1, 3, 5 y 2.

a) 57 b) 58 c) 60d) 56 e) 64

Halla el MCD de 2 enteros, cuya suma es 1022, sabiendo que los cocientes sucesivos en su cálculo, mediante el algoritmo de Euclides, son 1, 2, 3 y 4.

a) 14 b) 18 c) 28d) 32 e) 42

Halla «x» si el MCM de: A = 81 x 18x yB = 18 x 81x es 16 x 318.

a) 8 b) 6 c) 10d) 4 e) 2

Halla «x» si el MCM de: A = 64x x 18x yB = 36x x 9 es 221 x 38.

a) 6 b) 5 c) 3d) 2 e) 4

115



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:


Tres barriles contienen 210, 300 y 420 litros de cerveza, sus contenidos se van a distribuir en envases que sean iguales entre sí y de la mayor capacidad posible. ¿Cuántos de estos envases son necesarios si de cada barril no debe sobrar nada de cerveza?a) 33 b) 60 c) 16d) 17 e) 21

Tres barriles contienen 200, 480 y 680 litros de aceite. Sus contenidos se van a distribuir en envases que sean iguales entre sí y de la mayor capacidad posible. ¿Cuántos de estos envases son necesarios si de cada barril no debe sobrar nada de aceite?a) 43 b) 42 c) 20d) 73 e) 63

Johana tiene 2 paquetes de estampillas, uno tiene un valor monetario de S/. 1 900 y el otro de S/ 3 550. Si todas las estampillas tienen el mismo valor y éste es el máximo valor posible. ¿Cuál es el costo de cada estampilla?

a) S/.60 b) S/.30 c) S/.50d) S/.70 e) S/.10

Tenemos que llenar tres cilindros de capacidades 294, 378 y 462 litros. ¿Cuál es la máxima capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente?

a) 14 L b) 21 L c) 7 Ld) 42 L e) 6 L



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Se tiene ladrillos cuyas dimensiones son 12; 15 y 24 cm. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para asentar y formar un cubo compacto?a) 400 b) 1000 c) 600d) 1200 e) 800

Halla la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla que se puede dividir en pedazos de 16, 8 y 18 cm de longitud.

a) 72 cm b) 14 m c) 52 md) 288 cm e) 144 cm

En un patio de forma cuadrada se desea acumular losetas 24 x 30 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 20 b) 120 c) 60d) 10 e) 12

En un patio de forma cuadrada se desea acumular losetas 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 60 b) 40 c) 160d) 80 e) 240

117



15Racionales I

1. FRACCIÓN DE UN NÚMERO

2. FRACCIÓN DE FRACCIÓN DE UN NÚMERO

OPERACIONES CON FRACCIONES

23

Ten en cuenta

En este tipo de ejercicios las palabras sucesivas: «de»; «del»; «de la»; «de los» significa el símbolo (x) de multiplicación.

∴ es 10 veces

Calcula los de 60.

x 60 = 4023

35 Calcula los de los de 140.

57

x x 140 = 6057

35

3. ¿QUÉ FRACCIÓN O PARTE ES UN NÚMERO DE OTRO?

= 10

5316

¿Qué parte es de ?53

16

¿Qué parte es 5 de 20 ?520

14= ∴ es la cuarta parte

1510 =

32

(a) + + + ... + =

(b) + + + ... + =

(c) Progresión geométrica ilimitada de razón menor que 1: S = a + ar +ar2 +ar3 + ...

11 x 2

12 x 3

13 x 4

1n(n+1)

nn+1

11 x 3

13 x 5

15 x 7

1(2n – 1) x (2n + 1)

n2n+1

a1 – rS =

¿Qué parte de 10 es 15?

∴ el triple de la mitad o 1 y media veces.

4. SERIE DE FRACCIONES ESPECIALES

Te diste cuentaEl número precedido de «es» va en el numerador y el otro precedido de «de» va en el denominador. Es de la forma:

«es»«de»

5. FRACCIONES EQUIVALENTES DE IGUAL COCIENTE

* Calcula una fracción equivalente a , tal que el producto de sus términos es 588.

2015

dato : (4k) (3k) = 588 12 k2 = 588 k = 7

∴ la fracción equivalente será: 2821

=43 La fracción equivalente es 4k

3k2015



Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

14

12

4 ÷ 3

2 37

1) A qué es igual:

12

14

3 – 2

1 12

1) Calcula:

2) Calcula:

222444

33336666

44448888

1111122222+ + +

2) Calcula:

10101515

666555

7777755555

3399+ + +

25+

3) Jaime pierde los 3/2 de la mitad de los 5/3 de su dinero. ¿Qué parte le queda?

3) Fredy pierde los 2/3 de los 2/3 de los 2/3 de su dinero. ¿Qué parte le queda?

4) Simplifica:

( )13 ( )1

4 ( )15

1+ 1+ 1+ ( )1201+...

4) Reduce:

( )14 ( )1

9 ( )116

1- 1- 1- ( )19001-...

5) Una persona entra a un juego con cierta cantidad de dinero, cada vez que jugó perdió la mitad de lo que tenía. Si esto sucedió 4 veces sucesivas, ¿qué parte le quedó al final?

5) De un recipiente lleno de agua se extrae los 2/5; luego los 3/4 del resto y por último la quinta parte del nuevo resto. ¿Qué parte queda?

6) Un recipiente está lleno de vino. Se vierte primero la mitad del contenido, luego se vuelve a vaciar los 2/3 de lo que quedaba; a continuación se derrama 1/5 de lo que sobraba y finalmente se vierte los 3/8 de lo que sobró antes. ¿Qué parte quedó?

6) Jaime va de compras al mercado. Primero gasta los 5/8 de lo que tenía, luego gasta los 3/5 de lo que le quedaba y por último gasta los 3/4 del nuevo resto. ¿Qué parte de lo que tenía le quedó?


119



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Halla «S» si:

S = 1+ x 1+ x 1+ x ... x 1+

a) n + 1 b) c) n - 1

d) n2 e)

12

13

14

1n

n +13

n +12

Halla «D» si:

D= 1 - x 1 - x 1 - x ... x 1 -

a) b) c)

d) e) n2

12

13

14

1n

n - 12

1 +n2

n +13

1n

Halla la fracción equivalente a 6/10; tal que el producto de términos resulte 375.

a) 5/75 b) 9/15 c) 30/50d) 15/25 e) 3/6

Calcula el denominador de una fracción equivalente a 15/22 y que la suma de sus términos sea 444.a) 180 b) 254 c) 264d) 190 e) 286



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


Resolución:

Resolución:

Halla el número de fracciones irreductibles con denominador 45, que sean mayores que 2/9 pero menores que 2/5.

a) 3 b) 6 c) 4d) 7 e) 5

Halla las fracciones de denominador 15 que sean mayores que dos décimos y menores que la unidad más dos décimos. Indica la fracción mayor.

a) 17/15 b) 16/15 c) 11/15d) 18/15 e) 14/15

Calcula: + + + + ...+

a) 2/3 b) 17/18 c) 15/16d) 4/5 e) 16/17

24

16

224

120

130x

Si:P = + + + + ...+ ,

halla «P».

a) 2/3 b) 12/13 c) 11/12d) 5/6 e) 24/25

12

16

112

120

1600

121



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



¿Cuánto le debemos quitar a los 2/3 de los 5/7 de los 6/5 de los 3/4 de 21, para que sea igual a la mitad de 1/3 de 2/5 de 3/4 de 14?

a) 21/10 b) 90/7 c) 7/9d) 83/10 e) 63/10

¿Cuánto le falta a 4/9 para que sea igual a los 2/3 de los 5/7 de los 6/11 de los 4/9 de 7?

a) 4/11 b) 8/11 c) 5/11d) 3/11 e) 7/11

Descompón la fracción 101/110 en otras dos que tengan por denominadores 5 y 22. Da como respuesta el producto de los numeradores.

a) 22 b) 15 c) 21d) 12 e) 18

Si a los 2/7 de una cantidad se le quita los 2/5 de los 3/7 de la misma cantidad, se obtiene los 2/9 de los 4/5 de 909. Halla la cantidad original.

a) 1042 b) 1412 c) 1212d) 1414 e) 1312



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

12 + 1

...

2 + 12 + 1

Señala el valor de:P = ( 2 - 1)(2 + )

a) 0 b) 3 c) 1d) 4 e) 2

Si la serie

tiene infinitos sumandos, calcula «x».

a) 0 b) 3 c) 1d) 4 e) 2

12

14

18x = 1 + + + +

116 +...

Halla «a» si se cumple:

donde «a» es un número racional.

a) 23/17 b) 17/23 c) 40/23d) 40/17 e) 17/40

1a

1a2

1a3+ +P =

infinitos términos

1 1

15

+...= 1+2 +

1 +

Halla el valor de:

S = 1 - 1- 1- ... x 1 -

a) 50/100 b) 51/100 c) 49/100d) 52/100 e) 48/100

14

19

116

12500

123



16Racionales II

La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la parte entera seguida de la parte decimal y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya.

TRANSFORMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES A FRACCIONES

1. DECIMAL EXACTO:

* 0,2 = * 0,13 = * 0,224 =

* 24,2 = * 4,25 =

21024210

13100

2241000

425100

2. DECIMAL PERIÓDICO PURO:

La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la diferencia entre la parte entera seguida del período menos el período y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el período.

254999* 0,2 = * 0,13 = * 0,254=

* 24,2 = * 31,45 =

2924-2

9

13993145-31

99

))

))

)

3. DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:

La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la diferencia de la parte no periódica seguida del periodo menos la parte no periódica y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte no periódica.

9 = 32

99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271 999999 = 33x7x11x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649 99999999= 32x11x101x73x 137

FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS FORMADOS POR «NUEVES»

Ejemplo :

Ejemplo :

Ejemplo :

* 0,23 = =

* 0,214 = =

* 2,45 =

23-290

) 2190

214-21900

193900

245-2490

))

* 0,124 = =

* 0,2752 = =

* 8,324 =

124-1990

123990

2752-279900

27259900

8324-83990

))

)



Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

Rpta: __________

1) Indica verdadero (v) o falso (f), segun corresponda.

* 3/5 es una fracción decimal exacta. ( )

* 2/3 es una fracción decimal periódica mixta. ( )

* 5/6 es una fracción decimal periódica pura. ( )


* 2/24 es una fracción periódica pura. ( )

* 5/15 es una fracción periódica mixta. ( )

* 4/28 es una fracción periódica mixta. ( )

)


* 0,87 > 0,78 ( )

* 0,21 > 0,21 ( )

* 2,3 - 0,3 = 2 ( )

)

)) )

)

)


* 0,12 = ( )

* 0,333 = 0,3 ( )

* 2,4 = ( )

1290

249

))

)

3) Calcula:

)

4,55 + 5,445,4 + 4,5

)

3) Calcula:

)

0,4 + 0,40,04 )

4) Calcula:

)

0,1 + 1,2 +2,31,0 + 2,1 + 3,2

) )

) )

4) Simplifica:1,1 + 1,2 + 1,3 +...+ 1,7

) ) ) )

5) Calcula:

)

2,1 0,21

)

)

0,12 0,21

) 1 121

x x

5) Calcula:

)

0,12 + 0,210,32 + 0,23

) ))

6) Calcula:

0,25 ÷

)

0,11

6) Calcula:

0,1 ÷

)

0,001


125



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolución:

Resolución:

)

Si 0,ab = , calcula a + b.

a) 3 b) 6 c) 4d) 7 e) 5

733

)

Si 0,ab = , calcula b - a.

a) 2 b) 5 c) 3d) 6 e) 4

411

Al reducir:

se obtiene a0,b. Halla a + b.

a) 13 b) 18 c) 15d) 10 e) 17

6/53/25

1/35/3

– 0,08

+0,11,1

))

)

Al simplificar

se obtiene 0,ab. Halla a + b.

a) 7 b) 10 c) 8d) 11 e) 9

)

1,2 – 0,120,2 + 2,2

)))



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



¿En qué cifra termina el período de ?

a) 2 b) 6 c) 0d) 8 e) 4

2447

¿En qué cifra termina el período de ?

a) 1 b) 7 c) 2d) 9 e) 3

1123

) 515

Si: 0,ab = , halla a + b.

a) 8 b) 5 c) 7d) 4 e) 6

)

Si: 0,a + 0,b = 1,5; halla a + b.

a) 5 b) 17 c) 15d) 12 e) 14

) )

127



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolución:

Resolución:

3217 x 515

Calcula la suma de las cifras decimales de:

a) 10 b) 13 c) 11d) 14 e) 12

7220 x 523

Divide:

e indica la suma de sus cifras del número decimal.

a) 9 b) 12 c) 10d) 13 e) 11

73327 x 12512

Cuántos ceros tiene en la parte decimal:

a) 36 b) 33 c) 35d) 32 e) 34

121223 . 521

Cuántos ceros tiene en la parte decimal:

a) 15 b) 18 c) 16d) 19 e) 17



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Resolución:


Resolución:

5909

Calcula la suma de las cifras del período de:

a) 13 b) 10 c) 12d) 9 e) 11

1927027

Calcula la suma de las cifras del período de:

a) 8 b) 11 c) 9d) 12 e) 10

1,3 + (4,5 ÷ 0,5)1,6 x 0,04

)

)Reduce:

a) 125 b) 155 c) 135d) 165 e) 145

Reduce:

a) 0,62 b) 0,67 c) 0,62d) 0,83 e) 0,81

[(1,4)(1,2)]+(3,6 ÷ 0,4 ) 23

) )

+ (0,2)–2 x 0,523

) )

) )

5-aritmÉtica 4to (1 - 16).pdf

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