5-0programacinlineal-100424131517-phpapp01

5/16/2018 5-0programacinlineal-100424131517-phpapp01 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/5-0programacinlineal-100424131517-phpapp01 1/21Lic. Luis Zapatel Arriaga

ProgramaciónLinealAPLICACIONES:

Agricultura, industria, transporte, economía,

salud, ciencias sociales, de la conducta, yáreas militares; permitiendo importantesbeneficios y ahorros asociados a suutilización.



¿Qué es la Programación Lineal?

Modelo de la Investigación de operaciones, cuyo

procedimiento o algoritmo matemático resuelve un

problema indeterminado, formulado a través de

ecuaciones lineales.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una

función lineal, que denominaremos función objetivo, de

tal forma que las variables de dicha función esténsujetas a una serie de restricciones que expresamos

mediante un sistema de inecuaciones lineales.



1. Definición de las variables de decisión que se trata de

determinar.

2. Establecer la función objetivo (la meta) que se trata deoptimizar.

3. Construir las restricciones del modelo que se deben

satisfacer.4. El rango de las variables.

5. Análisis de Sensibilidad

Pasos para la solución de

problemas de PL



Modelo de PL con 2 variablesLa Cía. Vencedor

La Cía. produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tablasiguiente proporciona los datos básicos del problema.

Tn de materia primaDisponibilidad

diaria máxima (Tn)Pinturas

paraexteriores

Pinturaspara

interiores

Materia prima, M1

Materia prima, M2

Utilidad por Tn (miles de $)

6

1

5

4

2

4

24

6

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pinturapara interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que de lapintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria depintura para interiores es de 2 toneladas.La Cía. desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos

para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.



VariablesLa definición correcta de las variables de decisión es un

primer paso esencial en el desarrollo del modelo. Una vezhecha, la tarea de construir la función objetivo y lasrestricciones se hace en forma más directa.

Para el problema de Vencedor, se necesita determinar lascantidades a producir de pinturas para exteriores e interiores.Así, las variables del modelo se definen como sigue:

X1 = Tn producidas diariamente, de pinturas para exteriores.

X2 = Tn producidas diariamente, de pinturas para interiores.



Función Objetivo

La empresa desea aumentar sus utilidades todo lo

posible. Si Z representa la utilidad diaria total (en miles de

dólares), el objetivo de la empresa se expresa así:

21

45 X X Z Maximizar



Restricciones

Se definen las restricciones que limitan el uso de lasmaterias primas y la demanda. Las restricciones en

materias primas se expresan verbalmente como sigue:

Según los datos del problema:

Uso de la materia prima M1, por día: 6X1 + 4X2 Tn.

Uso de la materia prima M2, por día: 1X1 + 2X2 Tn.



Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 Y M2 se limita

a 24 y 6 Tn, respectivamente, las restricciones correspondientes

se expresan como sigue: 2446 21 X X

62 21 X X (Materia prima M1)La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre

la producción diaria de pinturas para interiores y exteriores X2 – X1,

no debe ser mayor que 1 Tn, y eso se traduce en X2 – X

1< 1.

(Materia prima M2)

La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda

máxima diaria de pintura de interiores se limita a 2 Tn, y eso se

traduce como X2 < 2 .

Una restricción implícita es que las variables X1 y X2 no pueden

asumir valores negativos, (de no negatividad): X1 > 0, X2 > 0,

expresan ese requisito.



El modelo completo del ejemplo es:

* Cualquier valor de X1 y X2 que satisfaga todas las

restricciones del modelo es una solución factible.

* La solución óptima, es la que produzca la utilidad total

máxima y al mismo tiempo satisfaga todas las restricciones.

0,

2

1

622446

:..

45

21

2

21

21

21

21

X X

X

X X

X X

X X

as

X X Z Max



Propiedades

La linealidad implica que la PL debe satisfacer 2 propiedades:

1. La proporcionalidad: la contribución de cada variable en

la función objetivo y en las restricciones, debe serdirectamente proporcional al valor de la variable.

2. La aditividad: la contribución total de todas las variables

en la función objetivo y sus requerimientos en lasrestricciones, sean la suma directa de las contribuciones o

requerimientos individuales de cada variable.



Solución: Método Gráfico de la PL

Comprende 2 pasos:

1.Determinación del espacio de soluciones que

define todas las soluciones factibles delmodelo.

2.Determinación de la solución óptima , entre

todos los puntos factibles del espacio desoluciones.



Solución de un modelo de maximización

Paso 1 Determinación del espacio de soluciones factibles:

a) Tener en cuenta las restricciones de no negatividad.X1 > 0, X2 > 0,

b) Se sustituye cada desigualdad con una ecuación, y se grafica la recta resultante.

2446 21 X X

62 21 X X

121 X X

22 X

2446 21 X X

62 21 X X

121 X X

22 X




24)0(46

2446

1

21

X

X X

62 21 X X

121 X X

41 X

244)0(6

2446

2

21

X

X X

62 X

)6,4(

)3,6(

)1,1(




Gráfico:

6

5

4

3

2

1

0

1 2 3 4 5 6 1 X

2 X

(Pinturas para exteriores)

(Pinturas para interiores)




Paso 2 Determinación de la solución óptima:

6

5

4

3

2

1

0

1 2 3 4 5 6 1 X

2 X

Óptimo:

X1 = 3 Tn.

X2 = 1.5 Tn.

Z = $21,000

Maximizar21 45 X X Z

2446 21 X X

62 21 X X

31 X

5.12 X



Problema

Una pastelería produce dos productos,Bizcochos y Galletas

Las galletas requiere de 2 onzas de azúcar y

una onza de harina. Los pasteles requieren dosonzas de harina y una de azúcar

Se gana 10 centavos por cada galleta y 8centavos por cada bizcocho

Se disponen de 50 onzas de harina y 70 onzasde azúcar

¿¿Se podrá formular y resolver??



Tipos de problemas

Plan de producción

Asignación de Personal.

Mezcla de ingredientes

Transporte

Otros

l d d ó



Variables de decisión

Cuánto de cada producto se debe producir.

Objetivo

Determinar la cantidad de productos que resulteen la mayor cantidad ó los menores costos para elperíodo especificado

Restricciones

Cantidad de productos demandada

Máxima cantidad de productos disponible.

Plan de producción

l d d



Mezcla de ingredientes

Variables de decisión

Cuanto de cada ingrediente usar

Objetivo

Determinar la mezcla de ingredientes en productosque resulte en los costos operativos mínimos para elperíodo especificado.

RestriccionesCantidad de productos demandada

Relación entre ingredientes y productos

Máxima cantidad de productos e ingredientes

disponible



Transporte

ObjetivoTransportar algo desde los orígenes hacia losdestinos logrando los costos mínimos.

Variables de DecisiónCuánto de cada producto embarcar de cada origenhacia cada destino.

RestriccionesDemanda de productos en los puntos de destino

Oferta de productos en los puntos de origen


http://slidepdf.com/reader/full/5-0programacinlineal-100424131517-phpapp01 21/21

Lic Luis Zapatel Arriaga

Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una políticade inventario que satisfagan la demanda de ventas en períodos futuros.

Aplicaciones típicas:

El programa y la política permitirán a la compañía satisfacer la demanday al mismo tiempo minimizar la producción total y los costos deinventario

Un analista financiero debe seleccionar un portafolio de inversiónelegido de entre varias alternativas de acciones y bonos.

El analista desearía establecer el portafolio que maximice el retorno dela inversión.

Un gerente de mercadotecnia desea determinar como asignar mejor unpresupuesto de publicidad fijo entre medios alternativos como radio,televisión, periódicos y revistas.

El gerente desearía determinar la mezcla de medios que maximice laefectividad de la publicidad.

Una empresa tiene almacenes en diversas ubicaciones. Dadas lasdemandas especificas de los clientes.

A la compañía le gustaría determinar cuánto debería embarcar de cada

almacén a cada cliente, de modo que se minimicen los costos detransporte totales

5-0programacinlineal-100424131517-phpapp01

Documents