4_distribucion de esfuerzos (falta mejorar)
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8/6/2019 4_Distribucion de Esfuerzos (Falta Mejorar)
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DISTRIBUCION DE ESFUERZOS ALREDEDOR
DE UNA EXCAVACION
Ing. David Crdova Rojas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniera Geolgica, Minera y Metalrgica
SIDAD
UNIVER
GE
SC
BO
IA
NIER
718 6
R
ON
NA
IA
NT
IE
CI ALDE
LA
ET IN
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Cuando se hace una excavacin subterrnea en un macizo rocoso, los esfuerzospre-existentes son disturbados, lo cual induce nuevos esfuerzos en la roca, en
las vecindades inmediatas de la abertura. Un mtodo de representar este nuevo
campo de esfuerzos es por medio de las trayectorias de los esfuerzos
principales, estas son lneas imaginarias en un cuerpo elstico esforzado a lo
largo del cual actan los esfuerzos principales.
ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION
Figura 4: Trayectorias de los esfuerzos
mayor y menor en el material que rodea
un hueco circular, construido en una
placa elstica uniaxialmente esforzada.
En figura se pueden observar en las lneas
discontinuas las trayectorias de los
esfuerzos principales mayores. En puntos
arbitrariamente seleccionados a lo largo
de estas trayectorias, se muestran los
esfuerzos principales sobre elementos
imaginarios, puesto que el material estdividido en elementos. En cada caso, la
direccin y magnitud del esfuerzos
principal es mostrado por una flecha, las
longitudes de las flechas dan la magnitud
del esfuerzo principal a alguna escala
especificada.
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Con los conceptos previos, se analizar en primer lugar los esfuerzos alrededor
de una excavacin circular. A fin de calcular los esfuerzos, deformaciones y
desplazamientos inducidos alrededor de excavaciones en materiales elsticos,
ser necesarios remontarnos a la teora matemtica de la elasticidad.
En primer lugar y a modo introductorio estudiaremos del caso de los tneles
circulares estudiando el desarrollo y distribucin de tensiones en terrenos
elsticos para tensiones debidas a la gravedad.
Caso 1:
Datos Wx = Wz , aparmetro r
Wt , Wr?
ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION
CIRCULAR
ra
ra
22
xxt
22
xxr
!
!x
z
ra
x z=
r
t
Ecuacin 28
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Anlisis de las ecuaciones 28:
Es ms importante en anlisis de Wt la cual se duplica cuando r = a, de las
ecuaciones (28) se deduce que Wt en la pared del tnel no vara con el tamao
del tnel, para Wx = Wz siempre Wt = 2Wx en toda la superficie.
2a r4a
WxW
2
1
3a
0
tW
Wr
pg!!!
1/,r
2/,ar
xr
xt
tWWWWW
pg!
!!
1/,r
0/,ar
xr
xt
rWW
WWW
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Caso 2:
Datos Wx=W
z, a , Pi (contrapresin, caso tpico revestimiento)
parmetro r
Wr , Wt?
Anlisis de las ecuaciones 29:
Aa
U
U
WtrW
22
xixt
22
xixr
raP
raP
WWW
WWW
iP
xW a 2a r4a
WxW
1
3a
0
Wr
2
tW 1/,r
/P/,ar
xr
xixr
rWW
WWW
W
pg!
p!
1/,r
1/,ar
xt
xr
tWW
WWW
Ecuacin 29
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Caso 3:
Datos Wx Wz (tensiones residuales)
Parmetros U y r figura (5)
, aplicamos
Las ecuaciones (30) constituyen la solucin bidimensional de la distribucin de
esfuerzos alrededor de una abertura en un campo elstico.
Anlisis de las ecuaciones (30):
4
1K
z
x !!
2Cosr/312
1r/1
2
1
2Cosr/3r/412
1r/1
2
1
44
zx
22
yx
4422
zx
22
yxr
!
!
Ecuacin 30
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Para el punto A:
Para el punto B:
Wz
Wx
rW
3a
W
4a r2aa
zWWt
2.75
o
= 0 (A)U
tW
0.75Wz
a 2a r4a
W
3a
xW
zWWr
0
rxr
r
,r
0,ar0
WW
WU
gr zt
zxzt
,r
)4/(,75.2,ar0
WW
WWWWU
g zr
r
,r
0,ar
WW
W
1180cos
90
!r
r!U
!g!
!!!
zr
zxzt
,r
)4/(,25.0,ar
WW
WWWW
1180cos
90
!r
r!U
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Para un campo de esfuerzos donde Wx = Wz (casos 1 y 2), si la roca que rodea un
tnel circular revestido falla, se origina una situacin parecida al que se muestraen la siguiente figura :
r4a3a2aa
1
WxWt
xW
zW
a
....................Revestimiento
2
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Observando la figura la figura XX, podemos expresar las ecuaciones finales de la
solucin bidimensional de la distribucin de esfuerzos alrededor de una abertura
en un cuerpo elstico usando en este caso un sistema de coordenadas polaresen la cual los esfuerzos no definidos en tcnicas de tracciones, actuando sobre
las caras de un elemento ubicado por un radio y un ngulo polarU.
A partir de estas ecuaciones ampliaremos los conceptos anteriormente dados,
observando hechos muy interesantes e importantes sobre los esfuerzos
alrededor de aberturas:
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Las ecuaciones muestran que el esfuerzo radial Wr y el esfuerzo de corte XrU son
ambos iguales a cero en los bordes de la excavacin cuando r = a. El esfuerzo
tangencial en los bordes esta dado por:
En el techo y en el piso de la abertura, es decir cuando q = 0 y 180
respectivamente, esta ecuacin se reduce a:
En las paredes de la excavacin, es decir cuando o = 90 y 270 se reduce a:
kpz ! 3UW
UWU 2Cosk12k1pz !
1k3pz !U
W
Esfuerzos en los bordes de la excavacin
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Inclinaciones en un punto
UX
U
U
U
U
2Senr
a3
r
a21k1P
2
1
2Cosr
a31K1
r
a1K1P
2
1
2Cosr
a3
r
a1K1
r
a1K1P
2
1
2
2
Zr
2
2
Z
4
4
2
2
2
2
Zr
r
rTanWW
XE
U
U
!
22
Esfuerzos alejados de los lmites de la excavacin
!
!
21
2
r
2
rr3
21
2
r
2
rr1
4
1
2
1
4
1
2
1
UUU
UUU
XWWWWW
XWWWWW
Componentes de los
esfuerzos en el punto
(r,U) de la figura XX.
Esfuerzos principales
en el plano del papelen el punto (r,U).