40130565-ondas-mecanicas

5/10/2018 40130565-ondas-mecanicas - slidepdf.com

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N O T A S D E C L A S E S O B R E F U N D A M E N T O S D E O N D A S

M E C Á N I C A S

D i e g o L u i s A r i s t i z á b a l R a m í r e z y R o b e r t o R e s t r e p o A g u i l a r

S e p t i e m b r e d e 2 0 1 0



2

A c l a r a c i ó n 1 E s t a s n o t a s s o n u s a d a s c o m o u n o d e l o s r e c u r s o s d i d á c t i c o s e n e l c u r s o d e F í s i c a d e O s c i l a c i o n e s

O n d a s y Ó p t i c a q u e l a E s c u e l a d e F í s i c a d e l a U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e C o l o m b i a s e d e M e d e l l í n , i m p a r t e a l o s

e s t u d i a n t e s d e i n g e n i e r í a . E s t a s n o p r e t e n d e n r e e m p l a z a r l o s e x c e l e n t e s t e x t o s d e f í s i c a g e n e r a l q u e s e e n c u e n t r a n

e n e l m e r c a d o .

A c l a r a c i ó n 2 E s t a s n o t a s s ó l o s o n u n a a p r o x i m a c i ó n m u y s i m p l e h a c i a u n e s t u d i o d e l a s o n d a s m e c á n i c a s . E l

t r a t a m i e n t o r i g u r o s o d e é s t a s c o r r e s p o n d e a u n c u r s o d e t e o r í a d e l a e s l a t i c i d a d y d e t e o r í a d e l m e d i o c o n t i n u o .

A c l a r a c i ó n 3 L a s n o t a s f u e r o n d i s e ñ a d a s p a r a " o p t i m i z a r l a t o m a d e a p u n t e s " d e l o s e s t u d i a n t e s . E s d e c i r , e n

e l l a n o s e r e a l i z a n c o n e l d e b i d o d e t a l l e g r a n p a r t e d e l o s c á l c u l o s , n i s e r e a l i z a n d i s c u s i o n e s d e m a n e r a m i n u c i o s a ,

n i s e d a n l a s a y u d a s p a r a l a s o l u c i ó n d e l a s t a r e a s ( e j e r c i c i o s ) ; e s t a s s e r á n a c t i v i d a d e s h a d e s a r r o l l a r e n l a c l a s e

p r e s e n c i a l .

A c l a r a c i ó n 4 E n e l t r a n s c u r s o d e e s t a s n o t a s s e e n c u e n t r a l a f o r m a d e a c c e d e r a s i m u l a c i o n e s y v i d e o s q u e

s i r v e n p a r a a a n z a r m á s l o s c o n c e p t o s t r a t a d o s . P a r a l o g r a r e l u s o d e e s t o s r e c u r s o s m u l i t m e d i a l e s , e s n e c e s a r i o

e s t a r c o n e c t a d o a l a I n t e r n e t : h a c e r C L I C s o b r e l o s r e s p e c t i v o s L I N K S e n e l d o c u m e n t o P D F d e s p l e g a d o e n l a

p a n t a l l a d e l c o m p u t a d o r .

A c l a r a c i ó n 5 E s t a s n o t a s s o n u n p r i m e r b o r r a d o r , p o r l o q u e n o t i e n e n l a s r e v i s i o n e s n e c e s a r i a s . L o s a u t o r e s

o f r e c e n d i s c u l p a s p o r l o s e r r o r e s q u e p u e d e n e s t a r p r e s e n t e s .

A c l a r a c i ó n 6 L o s a u t o r e s n o s e h a c e n r e s p o n s a b l e s d e l u s o q u e s e p u e d a h a c e r c o n l a i n f o r m a c i ó n s u m i n i s t r a d a

e n e s t a s n o t a s .

C o p y r i g h t 2 0 0 9 U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e C o l o m b i a , M e d e l l í n ( ú l t i m a r e v i s i ó n , f e b r e r o d e 2 0 1 0 )



Í n d i c e g e n e r a l

I O N D A S M E C Á N I C A S V I A J E R A S 7

1 . C I N E M Á T I C A 9

1 . 1 . F u n d a m e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 2 . U n a d i s c u s i ó n : e l m o d e l o d e p a r t í c u l a v s e l m o d e l o d e m e d i o c o n t i n u o . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 3 . C i n e m á t i c a d e l a o n d a a r m ó n i c a v i a j e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 3 . 1 . D e n i c i o n e s e i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a d e c o n c e p t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

1 . 3 . 2 . R e l a c i ó n e n t r e l a f r e c u e n c i a , l a l o n g i t u d d e o n d a y l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n . . . . . . 1 5

1 . 3 . 3 . V e l o c i d a d d e f a s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

1 . 3 . 4 . C i n e m á t i c a d e l a o n d a a r m ó n i c a u n i d i m e n s i o n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

2 . D I N Á M I C A 1 9

2 . 1 . L a l e y d e H o o k e g e n e r a l i z a d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9

2 . 2 . E c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

2 . 3 . S o l u c i ó n a l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a d e o r d e n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

3 . E J E M P L O S D E O N D A S M E C Á N I C A S 2 9

3 . 1 . O n d a s t r a n s v e r s a l e s e n c u e r d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9

3 . 2 . O n d a s t r a n s v e r s a l e s e n r e s o r t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

3 . 3 . O n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n r e s o r t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

3 . 4 . O n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n b a r r a s s ó l i d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

3 . 5 . O n d a s t r a n s v e r s a l e s e n b a r r a s s ó l i d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

3 . 6 . O n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n u í d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

4 . E N E R G Í A 4 5

4 . 1 . D e n s i d a d d e e n e r g í a e n o n d a s m e c á n i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

4 . 1 . 1 . D e n s i d a d d e e n e r g í a c i n é t i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

4 . 1 . 2 . D e n s i d a d d e e n e r g í a p o t e n c i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

4 . 1 . 3 . D e n s i d a d d e e n e r g í a m e c á n i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7

4 . 1 . 4 . P o t e n c i a t r a n s m i t i d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

4 . 1 . 5 . I n t e n s i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

4 . 1 . 6 . U n a n á l i s i s s o b r e e l t r a n s p o r t e y l a c o n s e r v a c i ó n d e l a e n e r g í a . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

4 . 2 . E n e r g í a e n o n d a s v i a j e r a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

4 . 2 . 1 . D e n s i d a d e s d e e n e r g í a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

4 . 2 . 2 . I n t e n s i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0

4 . 2 . 3 . O n d a s v i a j e r a s a r m ó n i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0

4 . 2 . 3 . 1 . D e n s i d a d e s d e e n e r g í a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0

4 . 2 . 3 . 2 . P o t e n c i a e i n t e n s i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

4 . 2 . 4 . D e p e n d e n c i a d e l a i n t e n s i d a d d e l a g e o m e t r í a d e l f r e n t e d e o n d a . . . . . . . . . . . . . . 5 1

4 . 2 . 4 . 1 . F r e n t e d e o n d a p l a n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

3



4 Í N D I C E G E N E R A L

4 . 2 . 4 . 2 . F r e n t e d e o n d a c i l í n d r i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

4 . 2 . 4 . 3 . F r e n t e d e o n d a e s f é r i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

I I O N D A S M E C Á N I C A S E S T A C I O N A R I A S 5 3

5 . C I N E M Á T I C A 5 5

5 . 1 . R e e x i ó n d e o n d a s e n l a s f r o n t e r a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

5 . 2 . P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

5 . 3 . O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n a c u e r d a c o n e x t r e m o s j o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

5 . 4 . O b t e n c i ó n d e o n d a s e s t a c i o n a r i a s p o r r e s o n a n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

5 . 5 . O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n t u b o s s o n o r o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

5 . 5 . 1 . T u b o a b i e r t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

5 . 5 . 2 . T u b o c e r r a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4

5 . 6 . A n á l i s i s d e l a s o n d a s e s t a c i o n a r i a s e n o t r o s s i s t e m a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

5 . 6 . 1 . F r e c u e n c i a s N a t u r a l e s ( O t r o s s i s t e m a s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

5 . 7 . D i f e r e n c i a s e n t r e l a c i n e m á t i c a d e l a s o n d a s v i a j e r a s y d e l a s o n d a s e s t a c i o n a r i a s . . . . . . . . . 6 7

6 . E N E R G Í A 6 9

6 . 1 . E n e r g í a e n o n d a s e s t a c i o n a r i a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

6 . 1 . 1 . D e n s i d a d e s d e e n e r g í a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

6 . 1 . 2 . O n d a s e s t a c i o n a r i a s a r m ó n i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

6 . 1 . 2 . 1 . D e n s i d a d e s d e e n e r g í a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

6 . 1 . 2 . 2 . P o t e n c i a e i n t e n s i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9

6 . 1 . 2 . 3 . E n e r g í a d e u n a c u e r d a c o n e x t r e m o s j o s : C u a n t i z a c i ó n d e l a e n e r g í a . . . . . . 7 0

I I I E L S O N I D O 7 3

7 . E L S O N I D O 7 5

7 . 1 . F u n d a m e n t o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6

7 . 2 . C u a l i d a d e s d e l s o n i d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6

7 . 2 . 1 . L a i n t e n s i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6

7 . 2 . 1 . 1 . L e y d e l i n v e r s o c u a d r a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

7 . 2 . 1 . 2 . N i v e l d e i n t e n s i d a d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

7 . 2 . 2 . E l t i m b r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

7 . 2 . 3 . E l t o n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8

7 . 3 . E f e c t o D o p p l e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9

I V T E M A S C O M P L E M E N T A R I O S 8 1

8 . T E M A S C O M P L E M E N T A R I O S 8 3

8 . 1 . M á s s o b r e l a r e s o n a n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

8 . 2 . R e e x i ó n y t r a n s m i s i ó n d e o n d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3



Í n d i c e d e g u r a s

1 . 1 . M o d e l o d e o n d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 . 2 . E l e s p e c t r o e l e c t r o m a g n é t i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 3 . M o d e l o d e o n d a t r a n s v e r s a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 4 . O n d a t r a n s v e r s a l e n u n a c u e r d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

1 . 5 . O n d a a r m ó n i c a : r e p r e s e n t a c i ó n e n x y t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

1 . 6 . O n d a a r m ó n i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

1 . 7 . C i n e m á t i c a d e l a s o n d a s v i a j e r a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

2 . 1 . B a r r a s o m e t i d a a e s f u e r z o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

2 . 2 . F u e r z a s d e t r a c c i ó n e n l o s t r o z o s d e l a b a r r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

2 . 3 . G r á c a d e E s f u e r z o v s D e f o r m a c i ó n u n i t a r i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

2 . 4 . D e f o r m a c i ó n l o n g i t u d i n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

2 . 5 . D e f o r m a c i ó n t r a n s v e r s a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

2 . 6 . P u l s o v i a j e r o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6

2 . 7 . P u l s o a r m ó n i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

3 . 1 . E l e m e n t o d e c u e r d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

3 . 2 . D i a g r a m a d e f u e r z a s d e u n e l e m e n t o d e c u e r d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1

3 . 3 . R e s o r t e ( A ) l o n g i t u d o r i g i n a l ( B ) e s t i r a d o y e n e q u i l i b r i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

3 . 4 . R e s o r t e e n d i f e r e n t e s e s t a d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

3 . 5 . O n d a p r o p a g á n d o d e e n e l s l i n k y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4

3 . 6 . D e f o r m a c i ó n l o n g i t u d i n a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5

3 . 7 . D e f o r m a c i ó n t r a n s v e r s a l e n b a r r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

3 . 8 . D e f o r m a c i ó n e n u í d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

4 . 1 . E l e m e n t o d e c u e r d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6

4 . 2 . P o t e n c i a t r a n s m i t i d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8

5 . 1 . C u e r d a a t a d a e n l o s e x t r e m o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7

5 . 2 . P e r l e s d e a l g u n o s a r m ó n i c o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

5 . 3 . C u e r d a y r e s o r t e v i b r a n d o e n r e s o a n a c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

5 . 4 . T u b o s o n o r o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

5



6 Í N D I C E D E F I G U R A S



P a r t e I

O N D A S M E C Á N I C A S V I A J E R A S

7



Capıtulo1C I N E M Á T I C A

E l m o d e l o o n d u l a t o r i o o c u p a u n l u g a r f u n d a m e n t a l e n

l a e s t r u c t u r a c o n c e p t u a l d e l a f í s i c a . E s t e p e r m i t e e x p l i c a r

d i f e r e n t e s f e n ó m e n o s t a l e s c o m o : l o s p u l s o s e n c u e r d a s , e l

s o n i d o , l o s f e n ó m e n o s l u m i n o s o s , l a s e m i s i o n e s d e u n a a n t e -

n a d e r a d i o , l a s o n d a s d e m a t e r i a , e n t r e o t r o s . L a m a y o r í a

d e l a s p e r s o n a s h a t e n i d o e x p e r i e n c i a c o n l a s o n d a s , p o r

e j e m p l o a l a r r o j a r u n a p i e d r a e n u n t a n q u e d e a g u a s e f o r -

m a n o n d a s ; u n c o r c h o o t a n d o e n e l a g u a s e m o v e r á h a c i a

a r r i b a y h a c i a a b a j o p e r o q u e n o s e t r a s l a d a e n l a d i r e c c i ó n

q u e s e o b s e r v a s e t r a s l a d a n l a s o n d a s , c o m o c í r c u l o s q u e

s e a b r e n d e s d e e l c e n t r o d o n d e c a y ó l a p i e d r a . E s t a s o n d a s

a c u á t i c a s c o n s t i t u y e n u n e j e m p l o d e u n a a m p l i a v a r i e d a d

d e f e n ó m e n o s f í s i c o s q u e p r e s e n t a n c a r a c t e r í s t i c a s a n á l o g a s

a l a s o n d a s . E l m u n d o e s t á l l e n o d e o n d a s : o n d a s s o n o r a s ,

o n d a s q u e s e p r o p a g a n e n u n a c u e r d a d e u n a g u i t a r r a , o n d a s s í s m i c a s q u e p u e d e n t r a n s f o r m a r s e e n t e r r e m o t o s ,

o n d a s d e c h o q u e q u e s e p r o d u c e n c u a n d o p o r e j e m p l o u n a v i ó n s u p e r a l a v e l o c i d a d d e l s o n i d o , e s c o m o u n

e s t a m p i d o y o t r a s o n d a s m á s p a r t i c u l a r e s p o r q u e n o s o n t a n f á c i l m e n t e c a p t a d a s c o n l o s s e n t i d o s o n o e s t a n

s e n c i l l o i n t e r p r e t a r s u o r i g e n ; s o n l a s o n d a s e l e c t r o m a g n é t i c a s : e n t r e e s t a s e s t á n l a l u z v i s i b l e , l a s o n d a s d e r a d i o ,

l a s s e ñ a l e s d e T V , l o s r a y o s X .

1 . 1 . F u n d a m e n t o s

E n e l c a s o d e u n a p a r t í c u l a o s c i l a n t e u n a g e n t e e x t e r n o l e c e d e e n e r g í a s a c á n d o l a d e l a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o

e s t a b l e , y a l q u e d a r b a j o l a a c c i ó n d e u n a f u e r z a r e c u p e r a d o r a h a c e c o n t i n u a m e n t e c a m b i o s e n t r e s u e n e r g í a

c i n é t i c a y s u e n e r g í a p o t e n c i a l .

E n e s t a l e c c i ó n s e c o n s i d e r a r á u n m e d i o m a t e r i a l c o n t i n u o a t r a v é s d e l c u a l s e p r o p a g a u n a p e r t u r b a c i ó n . E s t e

p u e d e s e r c o n s i d e r a d o c o m o u n c o n j u n t o d e e l e m e n t o s m a t e r i a l e s d i f e r e n c i a l e s ( " p a r t í c u l a s " ) c o n e c t a d o s a t r a v é s

d e f u e r z a s i n t e r n a s e l e c t r o m a g n é t i c a s ( f u e r z a s m o l e c u l a r e s ) . U n m o d e l o d e u n s i s t e m a a s í p o d r í a s e r u n c o n j u n t o

d e " p a r t í c u l a s " a c o p l a d a s c o n r e s o r t e s . E s t o s ú l t i m o s h a c e n e l p a p e l d e l a s f u e r z a s m o l e c u l a r e s . E n p r i n c i p i o c a d a

u n a d e l a s " p a r t í c u l a s " s e e n c u e n t r a e n s u p r o p i a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o e s t a b l e , s i n o h a y f u e r z a n e t a a c t u a n d o

s o b r e e l l a s (

−→F = 0 , p a r a c a d a " p a r t í c u l a " ) . S i u n a d e e l l a s ( u n e l e m e n t o d i f e r e n c i a l d e l m e d i o c o n t i n u o ) s e

p o n e a o s c i l a r m e d i a n t e u n a f u e r z a e x t e r n a , l a s " p a r t í c u l a s " c o n t i g u a s r e c i b e n d e é s t a " i d é n t i c a o r d e n " ( p o r e s t a r

" c o m u n i c a d a s " o a c o p l a d a s p o r m e d i o d e f u e r z a s m o l e c u l a r e s ) . O b v i a m e n t e l a s p a r t í c u l a s c o n t i g u a s c o m i e n z a n

a o s c i l a r c o n a l g ú n d e s f a s e c o n r e s p e c t o a l a " p a r t í c u l a " q u e " o r d e n a " o q u e h a s u f r i d o l a a c c i ó n d e l a f u e r z a

e x t e r n a , y a q u e e l m e n s a j e s e d e m o r a u n i n t e r v a l o d e t i e m p o e n v i a j a r d e u n a a o t r a . A s u v e z e s t a s " p a r t í c u l a s "

c o n t i g u a s e n v í a n e l m e n s a j e a s u s p r ó x i m a s v e c i n a s y a s í s u c e s i v a m e n t e t o d o e l " s i s t e m a d e p a r t í c u l a s " ( e l m e d i o

9



1 0 C A P Í T U L O 1 . C I N E M Á T I C A

F i g u r a 1 . 1 : M o d e l o d e o n d a

c o n t i n u o ) e n t r a a o s c i l a r . E n e s t e m o d o d e p r o p a g a c i ó n c a d a " p a r t í c u l a " s o l o v i b r a a l r e d e d o r d e s u p o s i c i ó n d e

e q u i l i b r i o m a s n o s u f r e u n d e s p l a z a m i e n t o n e t o ( c u a n d o d e j e n d e o s c i l a r q u e d a n n u e v a m e n t e e n s u p o s i c i ó n d e

e q u i l i b r i o ) . S i n e m b a r g o s e p r o p a g a e n e r g í a d e u n o s c i l a d o r a o t r o : e n d e n i t i v a h a y p r o p a g a c i ó n d e e n e r g í a y

n o d e m a t e r i a . A e s t e m o d o d e p r o p a g a c i ó n s e l e d e n o m i n a m o v i m i e n t o o n d u l a t o r i o ( o n d a ) .

E n l a g u r a 1 . 1 s e i l u s t r a u n c o n j u n t o p a r t í c u l a s a c o p l a d a s m e d i a n t e d é b i l e s r e s o r t e s . U n a g e n t e e x t e r n o

( m a n o ) m a n t i e n e l a p r i m e r a p a r t í c u l a e n o s c i l a c i ó n . L a v i b r a c i ó n d e é s t a s e c o m u n i c a a l a s s i g u i e n t e s a t r a v é s d e

l o s r e s o r t e s . L a s p a r t í c u l a s n o s e m u e v e n e n c o n j u n t o s e g ú n l a d i r e c c i ó n e n q u e s e p r o p a g a e l " m e n s a j e " . E l l a s

s o l o o s c i l a n a l r e d e d o r d e s u s p o s i c i o n e s d e e q u i l i b r i o . S e c o n c l u y e q u e l a e n e r g í a q u e s u m i n i s t r a e l a g e n t e e x t e r n o

a l s i s t e m a s e p r o p a g a a t r a v é s d e é s t e s i n d e s p l a z a m i e n t o n e t o d e l a m a t e r i a . E n u n m o v i m i e n t o o n d u l a t o r i o h a y

v i b r a c i ó n d e p a r t í c u l a s ( e n e l c a s o d e o n d a s m e c á n i c a s ) y h a y p r o p a g a c i ó n d e e n e r g í a .

S i m u l a c i ó n 1 . 1 M o d e l o d e o n d a l o n g i t u d i n a l

C l a s i c a c i ó n d e l a s o n d a s L a s o n d a s s e c l a s i c a n s e g ú n e l m e d i o d e p r o p a g a c i ó n , s e g ú n l a f o r m a d e v i b r a c i ó n

y s e g ú n l a f o r m a g e o m é t r i c a d e l f r e n t e d e o n d a .

S e g ú n e l m e d i o d e P r o p a g a c i ó n E n e s t e c a s o s e c l a s i c a n e n m e c á n i c a s y e l e c t r o m a g n é t i c a s . L a s

p r i m e r a s s e p r o p a g a n p o r m e d i o d e l a s v i b r a c i o n e s d e l m a t e r i a l ( m e d i o c o n t i n u o ) . L a s s e g u n d a s s e p r o p a g a n p o r

m e d i o d e l a s v i b r a c i o n e s d e l o s c a m p o s e l é c t r i c o y m a g n é t i c o .

L a s o n d a s m e c á n i c a s n e c e s i t a n d e u n m e d i o m a t e r i a l p a r a p o d e r s e p r o p a g a r . L a e n e r g í a s e p r o p a g a p r o -

d u c i e n d o l a v i b r a c i ó n d e l a m a t e r i a , a p r o v e c h a n d o l a e l a s t i c i d a d d e e s t a . E n e l l a s e p r o p a g a e n e r g í a m e c á n i c a

( c i n é t i c a y p o t e n c i a l ) . U n m e d i o m a t e r i a l c o n t i n u o e s u n m e d i o e l á s t i c o y u n a d e f o r m a c i ó n e n é l p r o d u c e t e n s i o -

n e s e l á s t i c a s q u e a f e c t a n a l a s r e g i o n e s c o n t i g u a s y t a m b i é n e n e l l a s p r o v o c a p e r t u r b a c i o n e s . C o m o c o n s e c u e n c i a

d e l a i n e r c i a d e l m e d i o m a t e r i a l , e s t a p e r t u r b a c i ó n v i a j a c o n u n a v e l o c i d a d n i t a t a n t o m á s l e n t a c u a n t o m a y o r

e s l a d e n s i d a d d e l m e d i o . P o r o t r a p a r t e , l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n e s t a n t o m a y o r c u a n t o m á s g r a n d e e s

l a t e n s i ó n q u e p r o d u c e u n a d e t e r m i n a d a d e f o r m a c i ó n , e s d e c i r c u a n t o m a y o r s e a e l m ó d u l o d e e l a s t i c i d a d d e l

m e d i o . S o n e j e m p l o s d e e s t e t i p o d e o n d a s : l a s o n d a s e n u n a c u e r d a , l a v i b r a c i ó n d e u n e d i c i o , l a s o n d a s e n e l

a g u a , l a s o n d a s s í s m i c a s , l a s o n d a s e n u n r e s o r t e , y u n e j e m p l o p o r e x c e l e n c i a s o n l a s o n d a s s o n o r a s ( e l s o n i d o ) .

E l s o n i d o c o r r e s p o n d e a v a r i a c i o n e s l o c a l e s d e l a p r e s i ó n q u e v i a j a d e u n l u g a r a o t r o p o r l o q u e n o s e p u e d e

p r o p a g a r e n e l v a c í o .

L a s o n d a s e l e c t r o m a g n é t i c a s e n c a m b i o n o n e c e s i t a n d e u n m e d i o m a t e r i a l p a r a p r o p a g a r s e ( p u e d e n p r o p a g a r s e

e n e l v a c í o ) . E n e s t a s l a v i b r a c i ó n d e l o s c a m p o s e l é c t r i c o y m a g n é t i c o p e r m i t e s u p r o p a g a c i ó n d e b i d o a l o s

f e n ó m e n i o s d e i n d u c c i ó n : l a c o n v e r s i ó n i n s t a n t á n e a d e e n e r g í a e l é c t r i c a e n m a g n é t i c a y v i c e v e r s a d e b i d o a

l a i n d u c c i ó n m u t u a e n t r e a m b o s c a m p o s , d a c o m o r e s u l t a d o l a p r o p a g a c i ó n d e l a e n e r g í a e l e c t r o m a g n é t i c a . L a

v e l o c i d a d c o n q u e s e p r o p a g a l a o n d a e l e c t r o m a g n é t i c a d e p e n d e r á d e l a s p r o p i e d a d e s e l é c t r i c a s y m a g n é t i c a s

d e l m e d i o . S o n e j e m p l o s , l a s o n d a s d e r a d i o y t e l e v i s i ó n , l a s m i c r o o n d a s , l o s r a y o s x , y , p o r s u p u e s t o , l a l u z

o r a d i a c i ó n v i s i b l e . L a l u z e s v i b r a c i ó n d e c a m p o s e l é c t r i c o s y m a g n é t i c o s p o r l o q u e s e p u e d e p r o p a g a r e n e l

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/ModeloOndaLongitudinalViajera.htm



1 . 1 . F U N D A M E N T O S 1 1

F i g u r a 1 . 2 : E l e s p e c t r o e l e c t r o m a g n é t i c o

F i g u r a 1 . 3 : M o d e l o d e o n d a t r a n s v e r s a l

v a c í o . E n l a g u r a 1 . 2 s e i l u s t r a e l d e n o m i n a d o e s p e c t r o e l e c t r o m a g n é t i c o ( e l c o n j u n t o d e o n d a s e l e c t r o m a g n é t i c a s

c o n o c i d a s h a s t a a h o r a y c a l s i c a d a s c o n b a s e e n s u f r e c u e n c i a ) .

S e g ú n l a f o r m a d e v i b r a c i ó n E n e s t e c a s o s e c l a s i c a n e n t r a n s v e r s a l e s y l o n g i t u d i n a l e s . E n l a s o n d a s

t r a n s v e r s a l e s l a d i r e c c i ó n d e v i b r a c i ó n d e l a s p a r t í c u l a s o d e l o s c a m p o s , e s p e r p e n d i c u l a r a l a d i r e c c i ó n d e

p r o p a g a c i ó n d e l a e n e r g í a , g u r a 1 . 3 y s i m u l a c i ó n 1 . 2 . U n e j e m p l o s e i l u s t r a e n l a s i g u i e n t e s i m u l a c i ó n . O t r o s

e j e m p l o s d e e s t a s o n d a s s o n : l a s o n d a s e n e l a g u a , l a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s e n u n a c u e r d a y t o d a s l a s o n d a s

e l e c t r o m a g n é t i c a s .

S i m u l a c i ó n 1 . 2 M o d e l o d e o n d a t r a n s v e r s a l .

E n l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s l a d i r e c c i ó n d e v i b r a c i ó n d e l a s p a r t í c u l a s e s l a m i s m a d i r e c c i ó n d e l a p r o p a g a c i ó n

d e l a e n e r g í a , g u r a 1 . 1 y s i m u l a c i ó n 1 . 1 . L a s o n d a s s o n o r a s p e r t e n e c e n a e s t e g r u p o .

U n a c u e s t i ó n i n t e r e s a n t e e s q u e l a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s n o s e p u e d e n p r o p a g a r a l i n e t r i o r d e l o s u i d o s y a

q u e é s t o s n o s o p o r t a n f u e r z a s d e c i z a l l a d u r a o t a n g e n c i a l e s ( l o s u i d o s s o n m e d i o s c o n t i n u o s q u e s e c a r a c t e r i z a n

p o r n o t e n e r " a l g ú n g r a d o " d e r i g i d e z y p o r t a n t o n o p u e d e n t r a n s m i t i r o n d a s e l á s t i c a s t r a n s v e r s a l e s s ó l o

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/ModeloOndaTransversalViajera.htm




l o n g i t u d i n a l e s ) . E n e s t a a r m a c i ó n n o s e t i e n e n e n c u e n t a l a s o n d a s q u e s e p u e d e n p r o p a g a r a t r a v é s d e l a

s u p e r c i e d e l o s l í q u i d o s , c o m o e s e l c a s o d e l a s o n d a s q u e s e o b s e r v a n c u a n d o s e d e j a c a e r u n a p i e d r a e n u n

l a g o c u y a s u p e r c i e i n i c i a l m e n t e s e e n c u e n t r a e n r e p o s o ; e s t a s s e d e b e n a l a e l a s t i c i d a d d e l a s u p e r c i e d e l o s

l í q u i d o s ( t e n s i ó n s u p e r c i a l ) , p e r o n o a l a e l a s t i c i d a d d e l í q u i d o e n s u f o r m a v o l u m é t r i c a .

S e g ú n s u f o r m a g e o m é t r i c a L o s c a s o s m á s i m p o r t a n t e s s o n l a s d e f o r m a p l a n a , c i r c u l a r , c i l í n d r i c a ,

e s f é r i c a . P o r e j e m p l o c u a n d o l a s o n d a s s o n g e n e r a d a s p o r f u e n t e s p u n t u a l e s , s o n d e f o r m a e s f é r i c a e n e l c a s o

t r i d i m e n s i o n a l y c i r c u l a r e s e n e l c a s o b i d i m e n s i o n a l . E s t a s a s u v e z s e v a n a p l a n a n d o c u a n d o e s t á n l e j o s d e

l a f u e n t e . L a s o n d a s l u m i n o s a s e m i t i d a s p o r e l S o l s o n f u n d a m e n t a l m e n t e e s f é r i c a s y c u a n d o l l e g a n a n u e s t r o

p l a n e t a s e p u e d e n c o n s i d e r a r a p r o x i m a d a m e n t e p l a n a s .

1 . 2 . U n a d i s c u s i ó n : e l m o d e l o d e p a r t í c u l a v s e l m o d e l o d e m e d i o

c o n t i n u o

P a r t í c u l a P o r d e n i c i ó n p a r t í c u l a e s u n p u n t o m a t e r i a l . L a p a r t í c u l a n o t i e n e d i m e n s i o n e s e s p a c i a l e s ( l a r g o ,

a n c h o y a l t o ) p e r o p o s e e m a s a . P o r t a n t o , c u a n d o a u n c u e r p o s e l e a p l i c a e l m o d e l o d e p a r t í c u l a , p a r a e l a n á l i s i s

d e s u c o m p o r t a m i e n t o f í s i c o " p i e r d e " s u s d i m e n s i o n e s e s p a c i a l e s .

M e d i o C o n t i n u o T o d o s l o s c u e r p o s e s t á n c o m p u e s t o s d e m o l é c u l a s q u e s e e n c u e n t r a n e n m o v i m i e n t o c o n s -

t a n t e . S i n e m b a r g o , e n l a m a y o r p a r t e d e l a s a p l i c a c i o n e s d e i n g e n i e r í a , i n t e r e s a m á s c o n o c e r e l c o m p o r t a m i e n t o

g l o b a l o p r o m e d i o ( e s d e c i r , m a c r o s c ó p i c o ) d e l a s n u m e r o s a s m o l é c u l a s q u e f o r m a n e l c u e r p o . C u a n d o n o s e e s t á

i n t e r e s a d o e n e l c o m p o r t a m i e n t o d e l a s m o l é c u l a s i n d i v i d u a l e s s e p u e d e c o n s i d e r a r q u e l o s c u e r p o s ( e n e s t a d o

d e a g r e g a c i ó n s ó l i d o , l í q u i d o o g a s e o s o ) e s t á n c o m p u e s t o s d e u n a s u s t a n c i a i n n i t a m e n t e d i v i s i b l e , e s d e c i r , q u e

s o n c o n t i n u o s . E s t e e s e l c o n c e p t o d e m e d i o c o n t i n u o .

U n a d e l a s c o n s e c u e n c i a s d e l a h i p ó t e s i s d e l c o n t i n u o e s q u e c a d a u n a d e l a s p r o p i e d a d e s d e l o s c u e r p o s

t i e n e n u n v a l o r d e n i d o e n c a d a p u n t o d e l e s p a c i o . D e e s t a m a n e r a p r o p i e d a d e s c o m o l a d e n s i d a d , t e m p e r a t u r a ,

v e l o c i d a d , e t c . , p u e d e n c o n s i d e r a r s e c o m o f u n c i o n e s c o n t i n u a s d e l a p o s i c i ó n y d e l t i e m p o . E n e s t a s n o t a s d e

c l a s e l o s m e d i o s c o n t i n u o s s e c o n s i d e r a r á n h o m o g é n e o s e i s o t r ó p i c o s .

¾ C a d a p o r c i ó n d e l m e d i o d e p r o p a g a c i ó n d e u n a o n d a , d e l o n g i t u d dx y s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e á r e a

A, s e p o d r á c o n s i d e r a r c o m o u n a p a r t í c u l a ? C u a n d o l a o n d a v i a j a a t r a v é s d e m e d i o m a t e r i a l , c a d a

e l e m e n t o d i f e r e n c i a l dx d e é s t e s e d e f o r m a e n u n a c a n t i d a d i g u a l a dy . L a v a r i a b l e y r e p r e s e n t a l a s e p a r a c i ó n

d e l c e n t r o i d e d e l a c a r a i z q u i e r d a ( c o n s i d e r a n d o l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e x h a c i a l a d e r e c h a ) d e e s t e e l e m e n t o

d i f e r e n c i a l r e s p e c t o a s u p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o q u e e s t á u b i c a d a e n x, y r e c i b e e l n o m b r e d e e l o n g a c i ó n . P a r a

e f e c t o s c i n e m á t i c o s e l e l e m e n t o d i f e r e n c i a l s e p u e d e c o n s i d e r a r c o m o u n " p u n t o m a t e r i a l " ( p a r t í c u l a q u e s e

d e n o m i n a r á o s c i l a d o r ) u b i c a d o e n e l c e n t r o i d e d e l e l e m e n t o y e n e s t e c a s o l a e l o n g a c i ó n

ys e r á l a p o s i c i ó n d e

e s t a p a r t í c u l a ( o s c i l a d o r ) r e s p e c t o a s u p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o q u e e s t á u b i c a d a e n

x. A s í s e c o n s i d e r a r á p a r a

e l a n á l i s i s d e l a c i n e m á t i c a . S i n e m b a r g o e s t a ú l t i m a i d e a s e a b a n d o n a r á p a r a h a c e r e l a n á l i s i s e n e r g é t i c o d e l

m o v i m i e n t o o n d u l a t o r i o , y a q u e e n e s t e c a s o l l e v a a g r a n d e s e r r o r e s e s t a i n t e r p r e t a c i ó n .

R e s u m i e n d o E n e l a n á l i s i s c i n e m á t i c o s e c o n s i d e r a r á q u e e l m e d i o c o n t i n u o a t r a v é s d e l c u a l s e p r o p a g a l a

o n d a s e c o m p o r t a c o m o u n a c o l e c c i ó n d e p a r t í c u l a s o s c i l a n t e s a c o p l a d a s m e d i a n t e i n t e r a c c i o n e s e l é c t r i c a s ( e n

c i e r t a f o r m a , e s a b a n d o n a r e l m o d e l o d e m e d i o c o n t i n u o ) . E s d e c i r , s i l a o n d a e s a r m ó n i c a , s e a n a l i z a r á c o m o

u n a c o l e c c i ó n d e o s c i l a d o r e s a r m ó n i c o s . L a e l o n g a c i ó n s e r á l a c o r r e s p o n d i e n t e a c a d a u n o d e e l l o s .

1 . 3 . C i n e m á t i c a d e l a o n d a a r m ó n i c a v i a j e r a

V i b r a c i ó n y p r o p a g a c i ó n P a r a p o d e r d e s c r i b i r e l m o v i m i e n t o o n d u l a t o r i o u n i d i m e n s i o n a l , s e r e q u i e r e d e

t r e s v a r i a b l e s : d o s i n d e p e n d i e n t e s ,

xy

t, y u n a d e p e n d i e n t e ,

y. P o r e j e m p l o , p a r a d e s c r i b i r l a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s

e n u n a c u e r d a , g u r a 1 . 4 , s e n e c e s i t a l a v a r i a b l e

yq u e c o r r e s p o n d e a l a e l o n g a c i ó n d e c a d a o s c i l a d o r ( e l e m e n t o

d i f e r e n c i a l dx , c o n m a s a dm) l a c u a l v a r i a r á c o n e l t i e m p o t; p e r o a d e m á s e s n e c e s a r i o d a r l a p o s i c i ó n x d e l o s

o s c i l a d o r e s s o b r e l a c u e r d a . P o r t a n t o l a e l o n g a c i ó n e s f u n c i ó n t a n t o d e l t i e m p o c o m o d e l a p o s i c i ó n , e s d e c i r ,



1 . 3 . C I N E M Á T I C A D E L A O N D A A R M Ó N I C A V I A J E R A 1 3

F i g u r a 1 . 4 : O n d a t r a n s v e r s a l e n u n a c u e r d a

y = y (x, t) . E n e l m o v i m i e n t o o n d u l a t o r i o s e d a n s i m u l t á n e a m e n t e u n m o v i m i e n t o d e p r o p a g a c i ó n ( n o d e l a s

p a r t í c u l a s , s i n o d e l a e n e r g í a q u e t r a n s m i t e l a o n d a ) a v e l o c i d a d c o n s t a n t e

V y u n m o v i m i e n t o o s c i l a t o r i o c o n

v e l o c i d a d vy y a c e l e r a c i ó n ay d e l a s p a r t í c u l a s d e l m e d i o .

O n d a p l a n a a r m ó n i c a S í l a e l o n g a c i ó n y d e c u a l q u i e r e l e m e n t o d i f e r e n c i a l dx d e l a c u e r d a c u m p l e q u e e s u n a

f u n c i ó n s i n u s o i d a l o c o s i n u s o i d a l t a n t o d e l a p o s i c i ó n x d e l e l e m e n t o y d e l t i e m p o t , s e d i c e q u e l a p e r t u r b a c i ó n

s e p r o p a g a c o m o u n a o n d a v i a j e r a a r m ó n i c a :

y = A sin(kx − wt + ϕ0) ( 1 . 1 )

d o n d e ϕ = kx−

wt + ϕ0 c o r r e s p o n d e a l a f a s e d e l a o n d a y ϕ0 c o r r e s p o n d e a l a f a s e i n i c i a l : s e m i d e n e n

r a d i a n e s . A k s e l e d e n o m i n a n ú m e r o d e o n d a y s e m i d e e n rad/m. A w s e l e d e n o m n i a f r e c u e n c i a a n g u l a r

y s e m i d e e n rad/s. A d e m á s s i l a a m p l i t u d A s e m a n t i e n e c o n s t a n t e s e d i c e q u e l a o n d a e s p l a n a .

D e l a t r i g o n o m e t r í a s e c o n c l u y e q u e l a o n d a a r m ó n i c a p l a n a e s p e r i ó d i c a t e m p o r a l ( t) y e s p a c i a l m e n t e ( x) .

A l p e r í o d o t e m p o r a l s e l e d e n o m i n a s i m p l e m e n t e p e r í o d o (

P ) y a l p e r í o d o e s p a c i a l s e l e d e n o m i n a l o n g i t u d d e

o n d a (

λ) , g u r a 1 . 5 .

D e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s s e c o n c l u y e a d e m á s q u e ,

P =2π

w( 1 . 2 )

λ = 2πk( 1 . 3 )

A l o s m á x i m o s e s p a c i a l e s d e u n a o n d a v i a j e r a s e l e s d e n o m i n a CRESTAS y a s u s m í n i m o s V A L L E S , g u r a

1 . 5 i z q u i e r d a .

S i m u l a c i ó n 1 . 3 C r o n o g r a m a e n u n a o n d a t r a n s v e r s a l v i a j e r a

S i m u l a c i ó n 1 . 4 C r o n o g r a m a e n u n a o n d a l o n g i t u d i n a l v i a j e r a

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/cronograma_onda_longitudinal_viajera.html

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/cronograma_onda_transversal_viajera.htm




F i g u r a 1 . 5 : O n d a a r m ó n i c a : r e p r e s e n t a c i ó n e n x y t

1 . 3 . 1 . D e n i c i o n e s e i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a d e c o n c e p t o s

E l o n g a c i ó n ( y ) C a d a o s c i l a d o r o c u p a u n a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o d e n t r o d e l m e d i o d e p r o p a g a c i ó n y u b i c a d a

e n x. C u a n d o l a o n d a s e p r o p a g a , e l l o s v i b r a n a l r e d e d o r d e s u s p o s i c i o n e s d e e q u i l i b r i o . S e l l a m a r á e l o n g a c i ó n ya l a p o s i c i ó n d e l o s c i l a d o r r e s p e c t o a s u p r o p i a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o . L a e l o n g a c i ó n s e m i d e e n m e t r o s ( m ) .

S i m u l a c i ó n 1 . 5 V e c t o r e l o n g a c i ó n

A m p l i t u d ( A) P a r a u n a o n d a , l a a m p l i t u d c o r r e s p o n d e a l v a l o r d e l a m á x i m o d e l a m a g n i t u d f í s i c a q u e s e

p r o p a g a . S e m i d e e n l a s m i s m a s u n i d a d e s d e e s t a . P o r e j e m p l o , e n l a s o n d a s d e e l o n g a c i ó n l a a m p l i t u d s e m i d e e n

u n i d a d e s d e l o n g i t u d ; e n l a s o n d a s d e p r e s i ó n l a a m p l i t u d s e m i d e e n u n i d a d e s d e p r e s i ó n ( a m p l i t u d d e p r e s i ó n ) ;

e n l a s o n d a s d e f u e r z a l a a m p l i t u d s e m i d e e n u n i d a d e s d e f u e r z a ( a m p l i t u d d e f u e r z a ) .

P e r i o d o ( P ) E l p e r í o d o d e u n a o n d a c o r r e s p o n d e a l t i e m p o n e c e s a r i o p a r a q u e l a m a g n i t u d f í s i c a q u e s e

p r o p a g a h a g a u n a o s c i l a c i ó n c o m p l e t a . E n e l c a s o d e u n a o n d a d e e l o n g a c i ó n , c o r r e s p o n d e a l t i e m p o p a r a q u e

u n o s c i l a d o r c o m p l e t e u n a o s c i l a c i ó n . E l p e r í o d o s e m i d e e n s e g u n d o s .

S i m u l a c i ó n 1 . 6 P e r i o d o e n o n d a t r a n s v e r s a l

S i m u l a c i ó n 1 . 7 P e r i o d o e n o n d a l o n g i t u d i n a l

F r e c u e n c i a ( f ) L a f r e c u e n c i a d e u n a o n d a c o r r e s p o n d e a l n ú m e r o d e o s c i l a c i o n e s e n l a u n i d a d d e t i e m p o ,

r e a l i z a d a s p o r l a m a g n i t u d f í s i c a q u e s e p r o p a g a . E n e l c a s o d e u n a o n d a d e e l o n g a c i ó n q u e s e p r o p a g a e n u n

m e d i o m a t e r i a l , c o r r e s p o n d e a l n ú m e r o d e o s c i l a c i o n e s e n l a u n i d a d d e t i e m p o , d e c a d a u n o d e l o s o s c i l a d o r e s

d e l m e d i o y e s l a m i s m a p a r a t o d o s e l l o s . L a f r e c u e n c i a s e m i d e e n H e r t z ( s

−1) . E s t a e s i m p u e s t a p o r e l a g e n t e

e x t e r n o q u e g e n e r a l a o n d a .

E l p e r i o d o y l a f r e c u e n c i a s e r e l a c i o n a n c o m o s i g u e ,

f p = 1 ( 1 . 4 )

L a f r e c u e n c i a a n g u l a r ( w ) d e l a o n d a s e m i d e e n r a d / s . S e r e l a c i o n a c o n l a f r e c u e n c i a f a s í ,

w = 2πf ( 1 . 5 )

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/periodo_onda_longitudinal.html

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/periodo_onda_transversal.html

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/cinematica_ondas_viajeras_1.htm




F i g u r a 1 . 6 : O n d a a r m ó n i c a

F a s e ( ϕ(x, t) ) E l s i g n i c a d o f í s i c o d e l a f a s e d e u n a o n d a e s e l m i s m o q u e p a r a l o s o s c i l a d o r e s , s o l o q u e e n

e s t e c a s o l a f a s e d e l a o n d a c a m b i a t a n t o t e m p o r a l c o m o e s p a c i a l m e n t e . L a f a s e s e m i d e e n r a d i a n e s ,

ϕ (x, t) = kx±

wt + ϕ0 ( 1 . 6 )

P o r e j e m p l o e n u n a o n d a d e e l o n g a c i ó n q u e s e p r o p a g a p o r u n m a t e r i a l , t o d o s l o s o s c i l a d o r e s c o n t e n i d o s e n

u n a l o n g i t u d d e o n d a (

λ) t i e n e n d i f e r e n c i a s d e f a s e s q u e e s t á n e n t r e 0 y r a d i a n e s 2π

. C a d a q u e t r a n s c u r r e u n

i n t e r v a l o d e t i e m p o i g u a l a u n p e r í o d o , u n o s c i l a d o r s e d e s f a s a e n 2πr a d i a n e s . A d e m á s d o s o s c i l a d o r e s q u e e s t é n

s e p a r a d o s u n a d i s t a n c i a e q u i v a l e n t e a u n a l o n g i t u d d e o n d a e s t á n d e s f a s a d o s e n 2π r a d i a n e s g u r a 1 . 6 .

1 . 3 . 2 . R e l a c i ó n e n t r e l a f r e c u e n c i a , l a l o n g i t u d d e o n d a y l a v e l o c i d a d d e p r o p a -

g a c i ó n

V e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n ( V ) L a v e l o c i d a d c o n q u e s e p r o p a g a l a e n e r g í a a t r a v é s d e l m e d i o ( n o c o n f u n d i r

c o n l a v e l o c i d a d d e v i b r a c i ó n d e l o s e l e m e n t o s d e l m e d i o ) c o r r e s p o n d e a l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a o n d a .

L o n g i t u d d e O n d a (

λ) L a s i g u i e n t e s i m u l a c i ó n f a c i l i t a l a c o m p r e n s i ó n d e l s i g n i c a d o f í s i c o d e l a l o n g i t u d d e

o n d a . L a d i s t a n c i a q u e v i a j a l a p e r t u r b a c i ó n ( y p o r e n d e l a e n e g í a ) c a d a q u e e l a g e n t e e x t e r n o ( m a n o ) r e a l i z a u n a

o s c i l a c i ó n c o m p l e t a , c o r r e s p o n d e a l a l o n g i t u d d e o n d a ( λ) . P u e d e o b s e r v a r s e q u e l o s o s c i l a d o r e s c u y a d i f e r e n c i a

d e f a s e e s i g u a l a u n n ú m e r o e n t e r o d e v e c e s 2π e s t á n s e p a r a d o s p o r n ú m e r o s e n t e r o s d e l o n g i t u d e s d e o n d a . P o r

e j e m p l o , s i u n o s c i l a d o r l e l l e v a d o s o s c i l a c i o n e s e n t e r a s a o t r o ( e s d e c i r s u d i f e r e n c i a d e f a s e e s i g u a l a d o s v e c e s

2π ) , l a d i s t a n c i a q u e l o s s e p a r a r á s e r á e q u i v a l e n t e a d o s l o n g i t u d e s d e o n d a ( 2λ) .

S i m u l a c i ó n 1 . 8 L o n g i t u d d e o n d a e n u n a o n d a v i a j e r a .

P o r t a n t o l a l o n g i t u d d e o n d a , e s l a d i s t a n c i a q u e v i a j a l a e n e r g í a e n u n t i e m p o e q u i v a l e n t e a u n p e r í o d o .

E s t a ú l t i m a i d e a s e p u e d e p l a s m a r e n f o r m a d e e c u a c i ó n a s í ,

λ = V P ( 1 . 7 )

o c o m o f P = 1 ,

λ f = V ( 1 . 8 )

L a l o n g i t u d d e o n d a s e m i d e e n u n i d a d e s d e l o n g i t u d .

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/longitud_onda.htm




E j e m p l o P a r a h a c e r d i a g n ó s t i c o s o b r e t e j i d o b l a n d o c o n u n e c o c a r d i ó g r a f o s e u t i l i z a u n u l t r a s o n i d o c u y a

f r e c u e n c i a e s d e 1 . 0 0 M H z . S i l a v e l o c i d a d d e l a o n d a s o n o r a e n e l m ú s c u l o e s d e 1400 m / s ¾ c u á l s e r á l a l o n g i t u d

d e o n d a u t i l i z a d a ?

S o l u c i ó n P a r a r e s o l v e r l a p r e g u n t a b a s t a c o n u t i l i z a r l a e x p r e s i ó n 1 . 8 y s e o b t i e n e q u e λ = 1,40 m m .

L a l o n g i t u d d e o n d a d a u n a i d e a d e l a r e s o l u c i ó n d e l i n s t r u m e n t o . E s t o s e d e b e a q u e p a r a o b t e n e r i n f o r m a c i ó n

d e u n o b j e t o l a o n d a d e b e i n t e r a c t u a r c o n é l ; e n e s t e c a s o s e n e c e s i t a q u e l a o n d a s e r e e j e e n e l o b j e t o , y p o r e n d e

s u l o n g i t u d d e o n d a d e b e s e a l g o m e n o r q u e s u t a m a ñ o . P o r t a n t o s e c o n c l u y e q u e c o n e s t a o n d a u l t r a s ó n i c a s e

p u e d e n d e t e c t a r o b j e t o s d e l o r d e n d e m i l í m e t r o s . O b j e t o s m á s p e q u e ñ o s p a s a n i n a d v e r t i d o s p a r a e l l a ( a l m e n o s

e n r e g i s t r o s p o r r e e x i ó n ) . L o s m u r c i é l a g o s u t i l i z a n l a s o n d a s u l t r a s ó n i c a s p a r a d e t e c t a r l o s o b s t á c u l o s y s u s

p r e s a s .

1 . 3 . 3 . V e l o c i d a d d e f a s e

C a d a p a r t í c u l a d e l m e d i o p o s e e u n a f a s e e n c a d a i n s t a n t e . C u a n d o l a o n d a v i a j a , c u a l q u i e r p u n t o d e f a s e

c o n s t a n t e ( e s d e c i r , e l f r e n t e d e o n d a ) v i a j a r a a l a v e l o c i d a d d e e l l a . E s t e p u n t o n o e s u n e n t e f í s i c o , s ó l o e s

u n e n t e m a t e m á t i c o . P a r a c a l c u l a r l a v e l o c i d a d a l a q u e v i a j a s e d e b e t e n e r e n c u e n t a q u e dϕ = 0 y c o m o

ϕ = ϕ (x, t) ,

dϕ = ∂ϕ∂x

dx + ∂ϕ∂t

dt

∂x

∂t

ϕ

= −∂ϕ

∂t

x

∂ϕ

∂x

t

( 1 . 9 )

E l t é r m i n o d e l a i z q u i e r d a r e p r e s e n t a l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e u n p u n t o c o n f a s e c o n s t a n t e . S i s e

e s c o g e u n p u n t o c u a l q u i e r a d e l p e r l d e u n a o n d a a r m ó n i c a , p o r e j e m p l o l a c r e s t a d e l a o n d a ; m i e n t r a s l a o n d a

s e d e s p l a z a e n e l e s p a c i o , l a e l o n g a c i ó n y d e l a c r e s t a p e r m a n e c e c o n s t a n t e . Y a q u e l a ú n i c a q u e p u e d e v a r i a r e n

l a f u n c i ó n d e o n d a a r m ó n i c a e s l a f a s e , e l l a t a m b i é n d e b e s e r c o n s t a n t e p a r a e s e p u n t o e n m o v i m i e n t o . E l p u n t o

s e m u e v e j u n t o c o n e l p e r l c o n v e l o c i d a d V . C o n b a s e e n l a s e c u a c i o n e s 1 . 9 y 1 . 6 s e o b t i e n e ,

∂x

∂t

ϕ

= −±w

k= V ( 1 . 1 0 )

E l s i g n o + i m p l i c a q u e l a o n d a v i a j a h a c i a v a l o r e s c r e c i e n t e s d e x ( e l s i g n o m e n o s l o c o n t r a r i o ) .

1 . 3 . 4 . C i n e m á t i c a d e l a o n d a a r m ó n i c a u n i d i m e n s i o n a l

C u a n d o l a o n d a a r m ó n i c a v i a j e r a s e p r o p a g a a t r a v é s d e u n m e d i o c o n t i n u o c a d a u n o d e s u s e l e m e n t o s

( " p a r t í c u l a s " ) v i b r a n c o n m o v i m i e n t o a r m ó n i c o s i m p l e c o n s u e l o n g a c i ó n , v e l o c i d a d y a c e l e r a c i ó n e x p r e s a d a s

p o r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s ,

y = A sin(kx ± wt + ϕ0) ( 1 . 1 1 )

vy =∂y

∂t= yt = ±wA cos(kx ± wt + ϕ0) ( 1 . 1 2 )




F i g u r a 1 . 7 : C i n e m á t i c a d e l a s o n d a s v i a j e r a s

ay =∂ 2y

∂t2= ytt = −w2A sin(kx ± wt + ϕ0) ( 1 . 1 3 )

a d e m á s d e l a s e c u a c i o n e s 1 . 1 1 y 1 . 1 3 s e o b t i e n e ,

ay = −w2y ( 1 . 1 4 )

e x p r e s i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l a s o s c i l a c i o n e s a r m ó n i c a s .

L a v e l o c i d a d c o n q u e s e p r o p a g a l a o n d a ( y p o r e n d e l a e n e r g í a ) e s ,

V =∂x

∂t

ϕ

=∂x

∂t

y

( 1 . 1 5 )

e s d e c i r e s l a v e l o c i d a d d e u n p u n t o c o n e l o n g a c i ó n c o n s t a n t e , dy = 0 , p o r l o t a n t o ,

dy =∂y

∂xdx +

∂y

∂tdt

V = −∂y

∂t

x

∂y

∂x

t

( 1 . 1 6 )

V = −V ym

( 1 . 1 7 )

s i e n d o V y l a v e l o c i d a d d e v i b r a c i ó n d e u n e l e m e n t o d e l m e d i o ( c e n t r o d e m a s a d e l m i s m o : " p a r t í c u l a " ) y

m l a p e n d i e n t e d e l p e r l d e l a o n d a , y v s x, e n l a p o s i c i ó n x d e l e l e m e n t o ( d e l c e n t r o d e m a s a d e l m i s m o :

" p a r t í c u l a " ) . e s d e c i r , l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a o n d a , V , e s i g u a l a l a r e l a c i ó n c o n s i g n o c a m b i a d o , e n t r e

l a r a p i d e z d e v i b r a c i ó n d e u n e l e m e n t o y l a p e n d i e n t e m d e l p e r l d e o n d a e n l a p o s i c i ó n d e l e l e m e n t o . E n e l

c a s o d e l a c u e r d a e s t o e s m u y c l a r o , g u r a 1 . 7 . E n e l p r i m e r t r a m o d e l a g u r a 1 . 7 A , l a v e l o c i d a d d e v i b r a c i ó n

V y e s n e g a t i v a ( l a s p a r t í c u l a s s e m u e v e n h a c i a a b a j o ) y l a p e n d i e n t e

md e l p e r l e n e s e t r a m o e s p o s i t i v a , p o r

l o q u e e l c o c i e n t e d e a m b a s s e r á n e g a t i v o ; a l c a m b i a r l e e l s i g n o a e s t e c o c i e n t e q u e d a r á p o s i t i v o , i n d i c a n d o q u e

l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n

V d e b e s e r p o s i t i v a , l o c u a l e s c o r r e c t o y a q u e l a o n d a s e p r o p a g a h a c i a v a l o r e s

c r e c i e n t e s d e . S i m i l a r m e n t e s e p u e d e h a c e r e l a n á l i s i s a c a d a t r a m o d e l a c u e r d a e n e s t a g u r a y a t o d o s l o s

t r a m o s d e l a c u e r d a d e l a g u r a 1 . 7 B .




E c u a c i ó n d e o n d a d e p r i m e r o r d e n D e l a e c u a c i ó n 1 . 1 6 s e o b t i e n e l a d e n o m i n a d a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e

o n d a d e o r d e n 1 ,

− V ∂y

∂x=

∂y

∂t( 1 . 1 8 )

o e n n o t a c i ó n c o m p a c t a ,

− V yx = yt ( 1 . 1 9 )

E j e r c i c i o 1 . 1 L a e l o n g a c i ó n d e u n a o n d a t r a n s v e r s a l a r m ó n i c a q u e s e p r o p a g a e n u n a c u e r d a s e r e p r e s e n t a e n

e l s i s t e m a S . I c o n l a e c u a c i ó n

y = 0,10sin3

2πx − 1

4πt + π

3

. C a l c u l a r : ( a ) l a a m p l i t u d , ( b ) l a f r e c u e n c i a a n g u l a r ,

( c ) l a f r e c u e n c i a e n H z , ( d ) e l n ú m e r o d e o n d a , ( e ) l a l o n g i t u d d e o n d a , ( f ) l a f a s e i n i c i a l , ( g ) l a v e l o c i d a d d e

v i b r a c i ó n d e u n p u n t o d e l a c u e r d a u b i c a d o e n x = 0,30 m e n t = 0,60 s , ( h ) l a a c e l e r a c i ó n d e u n p u n t o e n e l

i n s t a n t e e n e l c u a l s e e n c u e n t r a u b i c a d o e n l a c r e s t a .

E j e r c i c i o 1 . 2 ¾ C u á n t o a v a n z a u n a o n d a a r m ó n i c a e n u n p e r í o d o ? ¾ C u á n t o t a r d a p a r a v i a j a r u n a l o n g i t u d d e

o n d a ?

E j e r c i c i o 1 . 3 P a r a c i e r t a o n d a t r a n s v e r s a l s e o b s e r v a q u e l a d i s t a n c i a e n t r e d o s m á x i m o s c o n s e c u t i v o s e s d e

1 . 2 0 m . T a m b i é n s e o b s e r v a q u e p a s a n o c h o c r e s t a s p o r u n p u n t o d a d o a l o l a r g o d e l a d i r e c c i ó n d e p r o p a g a c i ó n

c a d a 1 2 . 0 s . C a l c u l a r l a r a p i d e z d e l a o n d a .

E j e r c i c i o 1 . 4 C o n s i d é r e s e u n a o n d a l u m i n o s a m o n o c r o m á t i c a p l a n a e n e l v a c í o , d e f r e c u e n c i a 3 . 0 0

×1 0

14H z .

¾ C u á l e s l a d i s t a n c i a m á s c o r t a a l o l a r g o d e l a d i r e c c i ó n d e p r o p a g a c i ó n d e l a o n d a e n t r e d o s p u n t o s q u e t i e n e n

u n a d i f e r e n c i a d e f a s e d e 3 0 º e n t r e s í . ¾ Q u é c a m b i o d e f a s e t i e n e l u g a r e n u n p u n t o c u a n d o t r a n s c u r r e n 1 0

−6s . ?

¾ C u á n t o s m á x i m o s h a n p a s a d o p o r e s e p u n t o e n d i c h o t i e m p o ? R p : 8 3 . 2 n m . ( b ) 6 . 0 0 π

×1 0

8r a d ( c ) 3 . 0 0

×1 0

8

m á x i m o s



Capıtulo2D I N Á M I C A

R o b e r t H o o k e ( F r e s h w a t e r , 1 8 d e

j u l i o d e 1 6 3 5 - L o n d r e s , 3 d e m a r -

z o d e 1 7 0 3 ) c i e n t í c o i n g l é s . F u e u n o

d e l o s c i e n t í c o s e x p e r i m e n t a l e s m á s

i m p o r t a n t e s d e l a h i s t o r i a d e l a c i e n -

c i a , p o l e m i s t a i n c a n s a b l e c o n u n g e -

n i o c r e a t i v o d e p r i m e r o r d e n . S u s i n -

t e r e s e s a b a r c a r o n c a m p o s t a n d i s p a -

r e s c o m o l a b i o l o g í a , l a m e d i c i n a , l a

c r o n o m e t r í a , l a f í s i c a p l a n e t a r i a , l a

m e c á n i c a d e s ó l i d o s d e f o r m a b l e s , l a

m i c r o s c o p í a , l a n á u t i c a y l a a r q u i t e c -

t u r a .

E n e l p r e s e n t e c a p í t u l o s e g e n e r a l i z a

l o s r e s u l t a d o s d e H o o k e e n s u s e s t u -

d i o s d e l o s s ó l i d o s d e f o r m a b l e s a l o s

d e m á s e s t a d o s d e l a m a t e r i a ( l í q u i d o

y g a s ) . E s t a g e n e r a l i z a c i ó n p e r m i t i r á

d e m o s t r a r q u e l a m a t e r i a e n c u a l q u i e r a d e s u s e s t a d o s ( s ó l i d o , l í q u i d o o g a s e o s o ) e s e l á s t i c a l o q u e p o s i b i l i t a q u e

s u s p a r t e s o s c i l e n y q u e e n e l r a n g o d e l a s d e f o r m a c i o n e s e n e l c u a l s e c u m p l e l a l e y d e H o o k e , l a s p e r t u r b a c i o n e s

q u e s e p r o p a g a n a t r a v é s d e l a m a t e r i a , l o h a c e n c o m o o n d a s .

2 . 1 . L a l e y d e H o o k e g e n e r a l i z a d a

L o s m e d i o s m a t e r i a l e s r e a l e s s o n d e f o r m a b l e s , y p o r t a n t o , d e n t r o d e t e r m i n a d o s r a n g o s s o n e l á s t i c o s . E s e s t a

p r o p i e d a d l a q u e p e r m i t e e x p l i c a r q u e a t r a v é s d e e l l o s s e p r o p a g u e n o n d a s m e c á n i c a s . L o s p e q u e ñ o s e l e m e n t o s

d e l m e d i o o s c i l a n c u a n d o u n a o n d a s e p r o p a g a e n e l m i s m o .

E n e s t a l e c c i ó n s e c o n s i d e r a r á s i s t e m a s e l á s t i c o s ( q u e e n l a r e a l i d a d , c o r r e s p o n d e a t o d o s l o s c u e r p o s ) , h o m o -

g é n e o s e i s o t r ó p i c o s q u e s e e n c u e n t r a n b a j o l a a c c i ó n d e f u e r z a s c o n s t a n t e s q u e l e c a u s a n p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s .

C u a n d o u n s i s t e m a s ó l i d o e n e q u i l i b r i o e s t á t i c o , p o r e j e m p l o u n a v a r i l l a d e l o n g i t u d l , e s s o m e t i d o a l a a c c i ó n

d e u n p a r d e f u e r z a s d e t r a c c i ó n d e m a g n i t u d f , q u e s e v a v a r i a n d o m u y l e n t a m e n t e h a s t a l l e g a r a u n a f u e r z a

d e m a g n i t u d F , e s t e r e s p o n d e r á d e f o r m á n d o s e ( e s t i r á n d o s e ) u n a l o n g i t u d ∆l , c o m o s e m u e s t r a e n l a g u r a 2 . 1 :

S e a s u m e q u e e l p r o c e s o s e l l e v a t a n l e n t a m e n t e q u e s e p u e d e s u p o n e r q u e e l s i s t e m a s i e m p r e e s t á e n

e q u i l i b r i o e s t á t i c o , d e t a l f o r m a q u e n o h a y e n e r g í a c i n é t i c a i n v o l u c r a d a e n e l p r o c e s o , s i t u a c i ó n q u e c a r a c t e r i z a

l o s d e n o m i n a d o s p r o c e s o s c u a s i e s t á t i c o s . E s t a f o r m a d e v e r e l c o m p o r t a m i e n t o e l á s t i c o d e l o s s i s t e m a s r e a l e s ,

p e r m i t i r á a p r o x i m a r s e a u n a e x p l i c a c i ó n d e l a f o r m a c o m o s e c o m p o r t a n l a s p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s c a u s a d a s

1 9



2 0 C A P Í T U L O 2 . D I N Á M I C A

F i g u r a 2 . 1 : B a r r a s o m e t i d a a e s f u e r z o

p o r f u e r z a s e x t e r n a s .

E n c u a l q u i e r s e c c i ó n r e c t a C a p a r e c e n f u e r z a s d e t r a c c i ó n h e c h a s p o r u n a p a r t e d e l a b a r r a s o b r e l a o t r a ,

f u e r z a s i g u a l e s e n m a g n i t u d a F p u e s t o q u e c a d a t r o z o s e e n c u e n t r a e n e q u i l i b r i o , g u r a 2 . 2 . R e a l m e n t e l a f u e r z a

d e c o n t a c t o d e m a g n i t u d F h e c h a p o r u n t r o z o d e b a r r a s o b r e e l t r o z o c o n t i g u o e s l a r e s u l t a n t e d e u n a c a n t i d a d

d e p e q u e ñ a s f u e r z a s n o r m a l e s d e m a g n i t u d ∆F d i s t r i b u i d a s e n t o d a e l á r e a A d e l a s e c c i ó n .

S e l l a m a e s f u e r z o n o r m a l d e t r a c c i ó n

S a l a m a g n i t u d

F d e l a f u e r z a n o r m a l p o r u n i d a d d e á r e a

A. S i l a

s e c c i ó n C e s h o m o g é n e a , i s o t r ó p i c a y n o e s t a m u y c e r c a a l e x t r e m o d e l a b a r r a s e p u e d e a s u m i r q u e l a s p e q u e ñ a s

f u e r z a s n o r m a l e s d e m a g n i t u d ∆F s e d i s t r i b u y e n d e m a n e r a u n i f o r m e e n t o d a l a s e c c i ó n y e l e s f u e r z o S e s

c o n s t a n t e . E n e s e c a s o , l a f u e r z a n o r m a l r e s u l t a n t e d e m a g n i t u d F c u m p l e q u e e n t o d a l a s e c c i ó n ,

S =F

A( 2 . 1 )

F i g u r a 2 . 2 : F u e r z a s d e t r a c c i ó n e n l o s t r o z o s d e l a b a r r a



2 . 1 . L A L E Y D E H O O K E G E N E R A L I Z A D A 2 1

F i g u r a 2 . 3 : G r á c a d e E s f u e r z o v s D e f o r m a c i ó n u n i t a r i a

E n l a g u r a 2 . 1 A s e o b s e r v a c o m o l a b a r r a e n e n e l e s t a d o i n i c i a l t i e n e l o n g i t u d i g u a l a l ( s i n d e f o r m a c i ó n ) .

E n l a g u r a 2 . 1 C l a b a r r a e s t á e n s i t u a c i ó n d e e q u i l i b r i o b a j o l a s f u e r z a s d e t r a c c i ó n d e m a g n n i t u d F e n s u s

e x t r e m o s , y e n e s t e c a s o l a b a r r a h a s u f r i d o u n a d e f o r m a c i ó n ∆l ( a l a r g a m i e n t o ) p o r t r a c c i ó n . A h o r a b i e n , l a

d e f o r m a c i ó n ∆l e s l a d e f o r m a c i ó n d e t o d a l a b a r r a d e l o n g i t u d l , d e m o d o q u e p a r a c a r a c t e r i z a r l a d e f o r m a c i ó n

d e u n a m a n e r a q u e n o d e p e n d a d e l a l o n g i t u d c o n c r e t a d e l a b a r r a , s e d e n e l a d e f o r m a c i ó n u n i t a r i a p o r t r a c c i ó n

εc o m o ,

ε = ∆ll( 2 . 2 )

e s t a m a g n i t u d e s a d i m e n s i o n a l .

S u s t e n t a c i ó n e x p e r i m e n t a l d e l a l e y d e H o o k e S i s e r e a l i z a e x p e r i m e n t a l m e n t e l a t r a c c i ó n d e u n a

b a r r a , s e o b t i e n e l a c u r v a d e l a g u r a 2 . 3 , t í p i c a d e t o d o s l o s m a t e r i a l e s e l á s t i c o s . E n e l l a s e d i s t i n g u e n t r e s ( 3 )

c o m p o r t a m i e n t o s d i s t i n t o s :

Z o n a e l á s t i c a l i n e a l ( oa) .

Z o n a e l á s t i c a n o l i n e a l ( ab ) .

Z o n a p l á s t i c a ( bc) .

Z o n a E l á s t i c a L i n e a l ( o a ) D e s d e q u e a p a r e c e n l o s e s f u e r z o s S ( p u n t o o ) h a s t a e l p u n t o a , l l a m a d o

l í m i t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d , h a y d o s h e c h o s a d e s t a c a r :

L a r e l a c i ó n e n t r e

S y

εe s l i n e a l .

E l m a t e r i a l r e g r e s a r á a s u f o r m a i n i c i a l , s i s e q u i t a n l o s e s f u e r z o s q u e a c t ú a n s o b r e é l ; h e c h o q u e c a r a c t e r i z a

e l c o m p o r t a m i e n t o e l á s t i c o d e l m a t e r i a l .




Z o n a E l á s t i c a N o L i n e a l ( a b ) E l s i s t e m a s i g u e t e n i e n d o u n c o m p o r t a m i e n t o e l á s t i c o , e n e l s e n t i d o d e

q u e s i s e s u s p e n d e l a s f u e r z a s , r e c u p e r a s u f o r m a o r i g i n a l , p e r o a h o r a l a r e l a c i ó n e n t r e S y ε n o e s l i n e a l . E l

p u n t o

b, l l a m a d o l í m i t e e l á s t i c o , m a r c a e l p u n t o h a s t a e l c u a l e l m a t e r i a l t i e n e u n c o m p o r t a m i e n t o e l á s t i c o .

Z o n a P l á s t i c a ( b c ) A p a r t i r d e l p u n t o b e l c o m p o r t a m i e n t o e s p l á s t i c o , e s d e c i r , s i s e s u p r i m i e r a n l a s

f u e r z a s q u e d a n d e f o r m a c i o n e s p e r m a n e n t e s e n e l m a t e r i a l . E l p u n t o c e s l e p u n t o d e r u p t u r a , d o n d e e l m a t e r i a l

s e " d e s t r u y e " d e b i d o a l a a c c i ó n d e l a s f u e r z a s s o b r e é l .

E s t e c o m p o r t a m i e n t o , e n t r e e l e s f u e r z o

S y l a d e f o r m a c i ó n u n i t a r i a

ε, s e p r e s e n t a d e i g u a l f o r m a e n t o d o s l o s

m a t e r i a l e s d e f o r m a b l e s , e s d e c i r , c a d a m a t e r i a l t e n d r á s u s p u n t o s

a,

by

cq u e l o c a r a c t e r i z a n . N o q u e d a d e m á s

a r m a r q u e l o s v a l o r e s d e l o s e s f u e r z o s a s o c i a d o s a c a d a p u n t o (

a,

by

c) d e p e n d e n d e l m a t e r i a l y c a r a c t e r i z a n

e l m i s m o .

E n r e s u m e n , l a e x p e r i e n c i a m u e s t r a q u e p a r a p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s h a y u n r a n g o p a r a e l c u a l e l e s f u e r z o

n o r m a l

S e s d i r e c t a m e n t e p r o p o r c i o n a l a l a d e f o r m a c i ó n u n i t a r i a

ε( z o n a

oae n l a g r á c a ) y q u e e l m a t e r i a l

v o l v e r á a s u l o n g i t u d i n i c i a l s i e l e s f u e r z o s o b r e é l s e q u i t a ; s i t u a c i ó n q u e c a r a c t e r i z a e l d e n o m i n a d o r a n g o

e l á s t i c o d e l m a t e r i a l . E n d i c h o r a n g o , e l c o m p o r t a m i e n t o d e l a s p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s e s t á d e t e r m i n a d o p o r

l a L e y d e H o o k e , q u e s e e s c r i b e c o m o ,

S = Y ε ( 2 . 3 )

L a c o n s t a n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d

Y s e d e n o m i n a M ó d u l o d e e l a s t i c i d a d d e Y o u n g q u e e s ú n i c o p a r a c a d a

m a t e r i a l , n o d e p e n d e d e s u s d i m e n s i o n e s y s e m i d e e n P a s c a l e s ( 1 P a = 1 N / m

2) .

A d i c i o n a l m e n t e , e l c o m p o r t a m i e n t o d e u n m a t e r i a l a c o m p r e s i ó n e s a n á l o g o a l c o m p o r t a m i e n t o a t r a c c i ó n . E s

v á l i d a l a L e y d e H o o k e c o n e l m i s m o m ó d u l o d e Y o u n g

Y (

S = Y ε) , s ó l o q u e a h o r a , c o m o

S < 0 ( c o m p r e s i ó n ) ,

ε < 0 y p o r t a n t o ∆l < 0 y e l m a t e r i a l , p o r s u p u e s t o , s e a c o r t a d e b i d o a l a c o m p r e s i ó n .

I g u a l m e n t e l a e x p e r i e n c i a d e m u e s t r a , u n i d é n t i c o c o m p o r t a m i e n t o p a r a e l c a s o d e d e f o r m a c i o n e s d e b i d o a

e s f u e r z o s t r a n s v e r s a l e s o d e c i z a l l a d u r a .

L a g e n e r a l i z a c i ó n d e l a l e y d e H o o k e P a r a p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s e x i s t e u n a p r o p o r c i o n a l i d a d e n t r e e l

e s f u e r z o (

S ) y l a d e f o r m a c i ó n u n i t a r i a (

ε) g e n e r a d a . E s t a e s l a d e n o m i n a d a l e y d e H o o k e , y s e e x p r e s a a s í ,

S = βε ( 2 . 4 )

d o n d e l a c o n s t a n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d β d a c u e n t a d e l a e l a s t i c i d a d d e l m e d i o . E l e s f u e r z o s e d e n e c o m o

e l c o c i e n t e e n t r e l a m a g n i t u d d e l a f u e r z a a p l i c a d a ( n o r m a l o t a n g e n c i a l m e n t e , F ) a u n a s u p e r c i e y e l á r e a ( A)

d e e s t a . L a d e f o r m a c i ó n u n i t a r i a s e d e n e c o m o e l c o c i e n t e e n t r e l a d e f o r m a c i ó n ( l o n g i t u d i n a l o t r a n s v e r s a l , ∆l )

d e l e l e m e n t o a n a l i z a d o y s u l o n g i t u d o r i g i n a l (

l) . E s d e c i r ,

S =F

A( 2 . 5 )

ε =∆l

l( 2 . 6 )

E l e s f u e r z o s e m i d e e n N . m

−2( P a s c a l , a b r e v i a d o P a ) y e s u n a c a n t i d a d e s c a l a r . L a d e f o r m a c i ó n u n i t a r i a

εe s a d i m e n s i o n a l . E l m ó d u l o d e e l a s t i c i d a d

β s e m i d e e n P a .

E n l a g u r a 2 . 4 s e a p l i c a r a n e s t a s d e n i c i o n e s a u n e l e m e n t o d e l m e d i o c o n t i n u o d e l o n g i t u d

dx. E l t r o z o d e

m a t e r i a l s e c o n s i d e r a d e s e c c i ó n t r a n s v e r s a l c o n s t a n t e , h o m o g é n e o e i s o t r ó p i c o . E l m a t e r i a l e s s o m e t i d o a f u e r z a s

i g u a l e s ( e n m a g n i t u d ,

F ) e n s u s e x t r e m o s . P o r t a n t o é l y c a d a e l e m e n t o d e l m i s m o e s t a r á e n e q u i l i b r i o y b a j o l a

a c c i ó n d e l a s f u e r z a s e x t e r n a s o p u e s t a s a p l i c a d a s e n s u s e x t r e m o s y d e m a g n i t u d e s i g u a l e s a F . B a j o l a a c c i ó n

d e l o s e s f u e r z o s d e b i d o s a e s t a s f u e r z a s , c a d a e l e m e n t o s e d e f o r m a r a e n dy .



2 . 1 . L A L E Y D E H O O K E G E N E R A L I Z A D A 2 3

F i g u r a 2 . 4 : D e f o r m a c i ó n l o n g i t u d i n a l




F i g u r a 2 . 5 : D e f o r m a c i ó n t r a n s v e r s a l

C o m o s e o b s e r v a e n l a g u r a 2 . 4 , e l e x t r e m o i z q u i e r d o d e l e l e m e n t o , e l c u a l t i e n e s u p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o e n

x s e e l o n g a e n u n a c a n t i d a d y , m i e n t r a s q u e s u e x t r e m o d e r e c h o q u e t i e n e s u p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o e n x + dxs e e l o n g a e n y + dy . A s í e s t e e l e m e n t o p a s a d e t e n e r u n a l o n g i t u d dx a t e n e r u n a l o n g i t u d dx + dy , e s d e c i r s u

d e f o r m a c i ó n e s i g u a l a dy . L a l e y d e H o o k e a p l i c a d a a l e l e m e n t o dx t o m a l a s i g u i e n t e f o r m a ,

S = β dy

dx

( 2 . 7 )

E n e l c a s o d e l a g u r a 2 . 4 l a d e f o r m a c i ó n

dye s t á e n l a m i s m a d i r e c c i ó n d e l e l e m e n t o

dxy p o r e l l o s e d e n o m i n a

d e f o r m a c i ó n l o n g i t u d i n a l . E n l a g u r a 2 . 5 s e i l u s t r a e l c a s o d e l a d e f o r m a c i ó n t r a n s v e r s a l . E n e s t e c a s o

dye s

o r t o g o n a l a dx.

2 . 2 . E c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a

C u a n d o u n a o n d a e l á s t i c a ( o n d a m e c á n i c a ) s e p r o p a g a p o r e l m e d i o m a t e r i a l , e l c e n t r o d e m a s a d e c a d a

p o r c i ó n d e l m e d i o s e s a l e d e s u p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o xc , p e r d i e n d o é s t e e s t a d o d e b i d o a q u e l o s e s f u e r z o s a

a m b o s l a d o s d e c a d a t r o z o d e m a t e r i a l n o s o n i g u a l e s ; e l c e n t r o d e m a s a a d q u i r i r á a c e l e r a c i ó n p r e s e n t a n d o

c a m b i o s t a n t o e n s u e n e r g í a c i n é t i c a c o m o e n s u e n e r g í a p o t e n c i a l . L a e l o n g a c i ó n y d e p e n d e r á d e l v a l o r d e l a

p o s i c i ó n x y d e l t i e m p o t, e s d e c i r , y (x, t), d e t a l f o r m a q u e l a l e y d e H o o k e t o m a r á l a f o r m a ,

S = β ∂y

∂x

A p l i c a n d o l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n a c a d a e l e m e n t o m a t e r i a l d e l o n g i t u d dx y d e m a s a dm y t e n i e n d o e n

c u e n t a q u e e n e s t a s i t u a c i ó n l a s f u e r z a s l l a m a d a s d e v o l u m e n ( c o m o l a f u e r z a g r a v i t a c i o n a l ) s e d e s p r e c i a n f r e n t e

a l a s f u e r z a s l l a m a d a s d e s u p e r c i e ( l a s q u e g e n e r a n l o s e s f u e r z o s ) , s e o b t i e n e ,

F = dm

∂ 2y

∂t2

xc



2 . 3 . S O L U C I Ó N A L A E C U A C I Ó N D I F E R E N C I A L D E O N D A D E O R D E N 2 2 5

d o n d e l a a c e l e r a c i ó n d e v i b r a c i ó n e s l a d e l c e n t r o d e m a s a d e l e l e m e n t o dx . A p l i c a n d o l a l e y d e H o o k e e n l o s

e x t r e m o s d e l e l e m e n t o , y s a b i e n d o q u e A e s e l á r e a d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l y q u e dm = ρdx, ρ l a d e n s i d a d d e l

m a t e r i a l ,

S (x + dx) e s e l e s f u e r z o s o b r e l a s u p e r c i e d e l a d e r e c h a d e l t r o z o d e m a t e r i a l y

S (x) e l e s f u e r z o s o b r e

s u s u p e r c i e i z q u i e r d a , s e o b t i e n e ,

[S (x + dx)

−S (x)] A = ρAdx

∂ 2y

∂t2

xc

A p l i c a n d o l a l e y d e H o o k e , l a e x p r e s i ó n s e t r a n s f o r m a e n ,

β

∂y

∂x

x+dx

− ∂y

∂x

x

A = ρAdx

∂ 2y

∂t2

xc

s i dx → 0 , s e o b t i e n e ,

β

ρ

∂ 2y

∂x2=

∂ 2y

∂t2( 2 . 8 )

o e n s u f o r m a c o m p r i m i d a ,

β ρ

yxx = ytt ( 2 . 9 )

d o n d e l a s d e r i v a d a s q u e d a r á n e v a l u a d a s e n x ( e l c e n t r o d e m a s a s e a c e r c a a l e x t r e m o i z q u i e r d o d e l

e l e m e n t o t a n t o c o m o s e q u i e r a ) . A e s t a e c u a c i ó n s e l e c o n o c e c o n e l n o m b r e d e e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e

o n d a d e o r d e n 2 . A n a l i z á n d o l a d i m e n s i o n a l m e n t e s e c o n c l u y e q u e

βρ

t i e n e l a s d i m e n s i o n e s d e v e l o c i d a d a l

c u a d r a d o . C o m o s e m o s t r a r á e n l a s e c c i ó n s o b r e l a c i n e m á t i c a d e o n d a s v i a j e r a s , e s t a c o r r e s p o n d e a l a

v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a o n d a a t r a v é s d e l m e d i o m a t e r i a l ,

V =

β

ρ( 2 . 1 0 )

e s d e c i r , l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n V d e u n a o n d a m e c á n i c a d e p e n d e s ó l o d e l a s p r o p i e d a d e s d e l m e d i o

m a t e r i a l ( s u e l a s t i c i d a d y s u d e n s i d a d ) y l a e c u a c i ó n d e o n d a t o m a l a f o r m a ,

V 2yxx = ytt ( 2 . 1 1 )

2 . 3 . S o l u c i ó n a l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a d e o r d e n 2

P u l s o V i a j e r o E n l a g u r a 2 . 6 s e i l u s t r a c ó m o u n a f u n c i ó n q u e t e n g a l a f o r m a f (x− V t) r e p r e s e n t a u n a

c u r v a c u y o p e r l e s e l d e l a f u n c i ó n

f (x) y q u e v i a j a e n e l s e n t i d o c r e c i e n t e d e l a s

xc o n v e l o c i d a d

V . E n l a

g u r a s e i l u s t r a d o s s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s

Oy

O. E l s i s t e m a

Oe s t á j o y e l s i s t e m a

Oe s t á r í g i d a m e n t e

p e g a d o a l a c u r v a q u e s e m u e v e c o n v e l o c i d a d V . S e h a s u p u e s t o q u e O y Oc o i n c i d e n e n e l i n s t a n t e t = 0 . S e

r e p r e s e n t a u n p u n t o d e l a c u r v a q u e t e n d r á a b s c i s a x e n e l s i s t e m a O y a b s c i s a x e n e l s i s t e m a O. L a c u r v a e n

e l i n s t a n t e

t = 0, s e r e p r e s e n t a p o r l a f u n c i ó n

f (x, 0)a l a q u e s e l e d e n o m i n a p e r l d e o n d a y e n c u a l q u i e r o t r o

i n s t a n t e s e r e p r e s e n t a r á p o r l a f u n c i ó n f (x) e n e l s i s t e m a O, o l o q u e e s l o m i s m o p o r l a f u n c i ó n f (x− V t)

e n e l s i s t e m a O ( y a q u e s e p u e d e o b s e r v a r d e l a g u r a q u e x = x − V t ) . P o r l o t a n t o s e c o n c l u y e q u e l a c u r v a

r e p r e s e n t a d a p o r l a f u n c i ó n f (x− V t), t i e n e p e r l i g u a l a f (x, 0) y v i a j a e n e l s e n t i d o c r e c i e n t e d e l a s x c o n

v e l o c i d a d V .

E j e r c i c i o 2 . 1 D e m o s t r a r q u e s i l a c u r v a v i a j a e n e l s e n t i d o d e c r e c i e n t e d e l a s

xc o n v e l o c i d a d

V y p e r l i g u a l

a

f (x, 0), s e r e p r e s e n t a r á p o r l a f u n c i ó n

f (x + V t) .

S i m u l a c i ó n 2 . 1 P u l s o v i a j e r o

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/pulso.htm




F i g u r a 2 . 6 : P u l s o v i a j e r o

S o l u c i ó n a l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a d e o r d e n 2 T o d a f u n c i ó n d e l a f o r m a

f (x± V t) e s s o l u c i ó n

d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a d e o r d e n 2 , V 2 ∂ 2y∂x2 = ∂ 2y

∂t2. E s t o s e p u e d e v e r i c a r h a c i e n d o u = x ± V t y

p r o c e d i e n d o a r e a l i z a r l a s c o r r e s p o n d i e n t e s d e r i v a d a s ,

∂y

∂x=

dy

du

∂u

∂x=

dy

du

∂ 2y

∂x2=

∂

∂x

∂y

∂x

=

∂

∂x

dy

du

=

d

du

∂y

∂x

=

d

du

dy

du

=

d2y

du2( 2 . 1 2 )

∂y

∂t=

dy

du

∂u

∂t= ±V

dy

du

∂ 2y

∂t2=

∂

∂t

∂y

∂t

=

∂

∂t

±V

dy

du

= ±V

d

du

∂y

∂t

= ±V

d

du

±V

dy

du

= V 2

d2y

du2( 2 . 1 3 )

D e l a s e c u a c i o n e s 2 . 1 2 y 2 . 1 3 s e o b t i e n e ,

V 2∂ 2y

∂x2=

∂ 2y

∂t2

p o r l o q u e q u e d a v e r i c a d o q u e c u a l q u i e r f u n c i ó n q u e t e n g a l a f o r m a

f (x ± V t), e s s o l u c i ó n d e e s t a e c u a c i ó n

d i f e r e n c i a l y c o r r e s p o n d e a u n a o n d a v i a j a n d o e n d i r e c c i ó n x c o n v e l o c i d a d V . C o n e l s i g n o + c o r r e s p o n d e a

u n a o n d a v i a j a n d o h a c i a v a l o r e s d e c r e c i e n t e s d e x y c o n s i g n o - c o r r e s p o n d e a u n a o n d a v i a j a n d o h a c i a v a l o r e s

c r e c i e n t e s d e x. A f (x, 0) s e l e d e n o m i n a p e r l d e l a o n d a .

O n d a V i a j e r a A r m ó n i c a U n i d i m e n s i o n a l E l p e r l d e u n a o n d a v i a j e r a a r m ó n i c a e s u n a f u n c i ó n s i n u s o i d a l ,

e s d e c i r ,

y = A sin kx ( 2 . 1 4 )

E s t e p e r l s e i l u s t r a e n l a g u r a 2 . 7 . S i s e p r o p a g a e n e l s e n t i d o p o s i t i v o d e

x, s e r e p r e s e n t a c o m o ,

y = A sin[k (x− V t)] ( 2 . 1 5 )

e s t a e s l a f u n c i ó n q u e r e p r e s e n t a u n a o n d a v i a j e r a a r m ó n i c a u n i d i m e n s i o n a l . A q u í A c o r r e s p o n d e a l a a m p l i t u d

d e l a o n d a v i a j e r a ( e s c o n s t a n t e y e s l a m i s m a a m p l i t u d d e l a s o s c i l a c i o n e s d e l o s o s c i l a d o r e s i n d i v i d u a l e s ) , V e s l a



2 . 3 . S O L U C I Ó N A L A E C U A C I Ó N D I F E R E N C I A L D E O N D A D E O R D E N 2 2 7

F i g u r a 2 . 7 : P u l s o a r m ó n i c o

v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a o n d a y k e s u n a c o n s t a n t e q u e s e m i d e e n m

−1q u e g a r a n t i z a l a a d i m e n s i o n a l i d a d

d e l a r g u m e n t o d e l a f u n c i ó n s i n u s o i d a l y q u e e n f í s i c a s e l e d e n o m i n a n ú m e r o d e o n d a .

O t r a f o r m a m á s c o m ú n d e e s c r i b i r l a r e l a c i ó n a n t e r i o r e s l a s i g u i e n t e ,

y = A sin(kx − wt) ( 2 . 1 6 )

d o n d e kV = w , s i e n d o w l a f r e c u e n c i a a n g u l a r d e l a o n d a q u e s e m i d e e n r a d / s y w = 2πf s i e n d o f l a

f r e c u e n c i a m e d i d a e n H z .

U n a f o r m a m á s g e n e r a l e s l a s i g u i e n t e ,

y = A sin(kx − wt + ϕ0) ( 2 . 1 7 )

d o n d e ϕ = kx −wt + ϕ0 c o r r e s p o n d e a l a f a s e d e l a o n d a y ϕ0 c o r r e s p o n d e a l a f a s e i n i c i a l : s e m i d e n e n

r a d i a n e s . E s t a e s p r e c i s a m e n t e l a e c u a c i ó n 1 . 1 .

E j e r c i c i o 2 . 1 D e t e r m i n a r c u á l e s d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s p u e d e n d e s c r i b i r u n a o n d a p l a n a y , e n s u c a s o ,

i n d í q u e n s e l a d i r e c c i ó n y v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n :

y (x, t) = e−(a2x2+b2t2−2abtx)

y (x, t) = A sin a2x2

−b2t2

y (x, t) = A sin

2π (at + bx)2

y (x, t) = A cos2 [2π (t − x)]



Capıtulo3E J E M P L O S D E O N D A S M E C Á N I C A S

E n d i f e r e n t e s s i t u a c i o n e s d e l a i n g e n i e r í a e s n e c e s a r i o c o -

n o c e r a p r o f u n d i d a d e l c o m p o r t a m i e n t o d e l a m a t e r i a c u a n -

d o a t r a v é s d e e l l a s e p r o p a g a u n a o n d a . E j e m p l o s s o n : e l

d i s e ñ o d e e s t r u c t u r a s s i s m o r e s i s t e n t e s , e l e s t u d i o d e l o s t z u -

n a m i , e l a n á l i s i s g e o f í s i c o , e l d i s e ñ o d e s a l a s a c ú s t i c a s , e l

d i s e ñ o d e m á q u i n a s , e l c o n t r o l d e l r u i d o , e n t r e o t r o s .

L a s o n d a s m e c á n i c a s ( t a m b i é n d e n o m i n a d a s o n d a s m a t e r i a -

l e s o e l á s t i c a s ) s e c a r a c t e r i z a n p o r q u e s e p r o p a g a n a t r a v é s

d e l a v i b r a c i ó n d e l a m a t e r i a : e n c a d a p o r c i ó n d e é s t a s e

r e a l i z a , m i e n t r a s s e p r o p a g a l a o n d a , u n a t r a n s f o r m a c i ó n d e

e n e r g í a c i n é t i c a e n e n e r g í a p o t e n c i a l y v i c e v e r s a .

E n e s t e c a p í t u l o s e e s t u d i a r á n a l g u n a s d e e s t a s o n d a s m e -

c á n i c a s : o n d a s t r a n s v e r s a l e s e n u n a c u e r d a , o n d a s t r a s n v e r -

s a l e s e n u n s l i n k y , o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n u n s l i n k y , o n d a s

l o n g i t u d i n a l e s e n b a r r a s s ó l i d a s , o n d a s t r a n s v e r s a l e s e n b a r r a s s ó l i d a s , o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n u í d o s .

3 . 1 . O n d a s t r a n s v e r s a l e s e n c u e r d a s

L e y d e H o o k e a p l i c a d a a u n a c u e r d a E n l a g u r a 3 . 1 s e i l u s t r a u n s e g m e n t o d e u n a c u e r d a t e n s i o n a d a

c u y o e x t r e m o d e r e c h o e s t á e n l a p o s i c i ó n x. F e s m a g n i t u d d e l a f u e r z a d e t e n s i ó n q u e e j e r c e l a s e c c i ó n d e r e c h a

d e l a c u e r d a s o b r e e s t e s e g m e n t o .

L a c o m p o n e n t e v e r t i c a l d e F e s ,

F y = F sin α

S i l a e l o n g a c i ó n t r a n s v e r s a l y e s p e q u e ñ a ( e s t o e s , l a p e n d i e n t e d e l a c u e r d a e s p e q u e ñ a ) , sin α tan α y l a

r e l a c i ó n a n t e r i o r s e t r a n s f o r m a e n ,

F y F dy

dx

C o n s i d e r a n d o q u e l a c u e r d a t i e n e s e c c i ó n t r a n s v e r s a l i g u a l a

A, s e o b t i e n e l a l e y d e H o o k e e n l a c u e r d a ,

S =F

A

dy

dx( 3 . 1 )

2 9



3 0 C A P Í T U L O 3 . E J E M P L O S D E O N D A S M E C Á N I C A S

F i g u r a 3 . 1 : E l e m e n t o d e c u e r d a

s i e n d o

S e l e s f u e r z o t r a n s v e r s a l a p l i c a d o t a n g e n c i a l m e n t e a l a s u p e r c i e d e l c o r t e t r a n s v e r s a l d e l a c u e r d a .

D e a c u e r d o a l a l e y d e H o o k e g e n e r a l i z a d a , e c u a c i ó n 2 . 7 , y a l a e c u a c i ó n a n t e r i o r ( e c u a c i ó n 3 . 1 ) e l m ó d u l o d e

e l a s t i c i d a d e n l a c u e r d a s e r á ,

β =F

A( 3 . 2 )

D i n á m i c a d e l a o n d a t r a n s v e r s a l q u e s e p r o p a g a e n u n a c u e r d a E n p r i m e r a i n s t a n c i a s e d e b e a b a n d o n a r

l a i d e a d e q u e l a c u e r d a e s i n e x t e n s i b l e . S e t i e n e u n a c u e r d a q u e e n e q u i l i b r i o t i e n e u n a d e n s i d a d l i n e a l d e m a s a

µ y e s t á b a j o l a a c c i ó n d e u n a t e n s i ó n c u y a m a g n i t u d e s F . E n l a g u r a 3 . 2 A s e i l u s t r a u n e l e m e n t o d e c u e r d a

dx ( a m p l i c a n d o s u r e p r e s e n t a c i ó n p a r a p o d e r d e t a l l a r l o ) . S i s e s o m e t e l a c u e r d a a p e q u e ñ a s e l o n g a c i o n e s

t r a n s v e r s a l e s , g u r a 3 . 2 B , l a t e n s i ó n e s p r á c t i c a m e n t e l a m i s m a t e n s i ó n d e e q u i l i b r i o , d e m a g n i t u d

F . L a

s e c c i ó n i z q u i e r d a d e l e l e m e n t o e s t á e l o n g a d a e n

y, l a s e c c i ó n d e r e c h a e n

y + dy. A q u í

dye s l a d e f o r m a c i ó n

t r a n s v e r s a l d e l e l e m e n t o d e c u e r d a . S i n e m b a r g o d e b e m a n t e n e r s e p r e s e n t e q u e e l e l e m e n t o dx s e d e f o r m ó e n

dξ =

(dx)

2+ (dy)

2 − dx. E s t o s e r á b á s i c o p a r a e l c á l c u l o d e e n e r g í a p o t e n c i a l .

A p l i c a n d o l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n a l e l e m e n t o d e c u e r d a d e l o n g i t u d , g u r a 3 . 2 B , y s a b i e n d o q u e l a

a c e l e r a c i ó n d e v i b r a c i ó n d e s u c e n t r o d e m a s a e s acm = ∂ 2y∂t2

xc

, s e o b t i e n e ,

F y (x + dx) − F y (x) = dm∂ 2y

∂t2

xc

L a s c o m p o n e n t e s h o r i z o n t a l e s d e l a t e n s i ó n , F cos α F cos αs e c a n c e l a n y s e h a d e s p r e c i a d o l a f u e r z a d e

g r a v e d a d ( p e s o d e l e l e m e n t o ) , y a q u e e s m u y p e q u e ñ a e n c o m p a r a c i ó n c o n l a t e n s i ó n . A p l i c a n d o l a l e y d e H o o k e ,

F ∂y

∂x

x+dx

− F ∂y

∂x

x

= µdx∂ 2y

∂t2

xc

y p o r t a n t o s e o b t i e n e ,

F

µyxx = ytt ( 3 . 3 )

d o n d e l a s d e r i v a d a s q u e d á n e v a l u a d a s e n x ( e l c e n t r o d e m a s a s e a c e r c a a l e x t r e m o i z q u i e r d o d e l e l e m e n t o

t a n t o c o m o s e q u i e r a ) . P o r l o t a n t o l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s e n u n a c u e r d a e s ,



3 . 1 . O N D A S T R A N S V E R S A L E S E N C U E R D A S 3 1

F i g u r a 3 . 2 : D i a g r a m a d e f u e r z a s d e u n e l e m e n t o d e c u e r d a

V =

F

µ( 3 . 4 )

C o n e s t a e x p r e s i ó n s e c a l c u l a l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s e n u n a c u e r d a p a r a

p e q u e ñ a s e l o n g a c i o n e s . E s t a d e d u c c i ó n c o i n c i d e c o n l o o b t e n i d o e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a g e n e r a l i z a d a ,

e c u a c i ó n 2 . 1 0 , y a q u e p a r a l a c u e r d a β = F A

, e c u a c i ó n 3 . 2 ; c o m o l a d e f o r m a c i ó n t r a n s v e r s a l dy d e l a c u e r d a p a r a

p e q u e ñ a s e l o n g a c i o n e s y c u m p l e l a l e y d e H o o k e , s e p u e d e c o n c l u i r q u e s i a t r a v é s d e e l l a e s t á v i a j a n d o u n a

p e r t u r b a c i ó n t r a n s v e r s a l , e s t a o b e d e c e r á l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a g e n e r a l i z a d a , e c u a c i ó n 2 . 8 y

ρ = dmAdx

=µA

, p o r l o q u e ,

V =

β

ρ=

F

Aµ

A

=

F

µ

F s e m i d e e n N y µ s e m i d e e n k g . m

−1

S i m u l a c i ó n 3 . 1 O n d a v i a j e r a p r o p a g á n d o s e e n u n a c u e r d a

E j e r c i c i o 3 . 1 U n a c u e r d a t i e n e u n a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e r a d i o

ry u n a d e n s i d a d v o l u m é t r i c a

ρ. E x p r e s a r l a

v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s e n l a c u e r d a e n t é r m i n o s d e r y ρ.

E j e r c i c i o 3 . 2 U n a c u e r d a e s t á a t a d a p o r u n e x t r e m o a u n p u n t o j o . E l o t r o p a s a p o r u n a p o l e a q u e s e

e n c u e n t r a a 5 . 0 0 m d e l e x t r e m o j o y l l e v a u n a c a r g a d e 2 . 0 0 k g . L a m a s a d e l s e g m e n t o d e c u e r d a c o m p r e n d i d o

e n t r e e l e x t r e m o j o y l a p o l e a e s d e 0 . 6 0 0 k g . ( a ) E n c o n t r a r l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s

a l o l a r g o d e l a c u e r d a . ( b ) S u p o n e r q u e u n a o n d a a r m ó n i c a d e 1 . 0 0 × 1 0

−3m d e a m p l i t u d y 0 . 3 0 0 m d e l o n g i t u d

d e o n d a s e p r o p a g a p o r l a c u e r d a ; h a l l a r l a v e l o c i d a d d e v i b r a c i ó n m á x i m a d e c u a l q u i e r p u n t o d e l a c u e r d a .

E j e r c i c i o 3 . 3 U n a o n d a e l á s t i c a t r a n s v e r s a l s e p r o p a g a a t r a v é s d e u n a c u e r d a . S i s u e l o n g a c i ó n t i e n e c o m o

c o m p o n e n t e s z = A sin(kx − ωt) y y = A cos(kx − ωt): ( a ) M o s t r a r q u e e s t á o n d a m e c á n i c a e s t á c i r c u l a r m e n t e

p o l a r i z a d a . ( b ) D e t e r m i n a r e l s e n t i d o d e r o t a c i ó n d e l v e c t o r r e s u l t a n t e

−→r = y ˆ j + z k .

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/ondas_cuerda.htm




F i g u r a 3 . 3 : R e s o r t e ( A ) l o n g i t u d o r i g i n a l ( B ) e s t i r a d o y e n e q u i l i b r i o

E j e r c i c i o 3 . 4 U n a c u e r d a c o n s t a d e d o s s e c c i o n e s d i s t i n t a s . L a s e c c i ó n d e l a i z q u i e r d a t i e n e u n a m a s a p o r

u n i d a d d e l o n g i t u d µ = 0,50 µ0 , m i e n t r a s q u e l a s e c c i ó n d e l a d e r e c h a t i e n e u n a m a s a p o r u n i d a d d e l o n g i t u d

µ = 1,5µ0 . L a t e n s i ó n e n l a c u e r d a e s F 0 . S i s e e x c i t a e l e x t r e m o i z q u i e r d o d e l a c u e r d a c o n u n a f u e n t e q u e v i b r a

c o n f r e c u e n c i a f , e n c o n t r a r l a r e l a c i ó n n u m é r i c a e n t r e l a s l o n g i t u d e s d e o n d a d e l a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s q u e s e

p r o p a g a n e n c a d a s e g m e n t o d e l a c u e r d a .

3 . 2 . O n d a s t r a n s v e r s a l e s e n r e s o r t e s

L a l e y d e H o o k e a p l i c a d a e n u n r e s o r t e ( S l i n k y ) E n l a g u r a 3 . 3 A s e i l u s t r a u n r e s o r t e d e c o n s t a n t e

d e r i g i d e z k , l o n g i t u d n a t u r a l l y m a s a t o t a l m . E n l a g u r a 3 . 3 B e l r e s o r t e s e e s t i r ó m e d i a n t e l a a c c i ó n d e u n a

f u e r z a c u y a m a g n i t u d e s

F 0 , s u l o n g i t u d e s a h o r a

l0 y s e e n c u e n t r a a ú n e n e s t a d o d e e q u i l i b r i o . S u m a s a p o r

u n i d a d d e l o n g i t u d e s

µ = ml0

. P o r t a n t o a p l i c a n d o l a l e y d e H o o k e p a r a e l r e s o r t e ,

F 0 = k (l0 − l)

D i n á m i c a d e l a o n d a t r a n s v e r s a l q u e s e p r o p a g a e n u n r e s o r t e ( S l i n k y ) E l a n á l i s i s d e l a s o n d a s

t r a n s v e r s a l e s d e p e q u e ñ a s a m p l i t u d e s e s i d é n t i c o a l d e l a s o n d a s e n l a c u e r d a t e n s a . L a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n

s e r á e n t o n c e s ,

V transv =

k (l0 − l)m

l0

=

k

m

1− l

l0

1

2

l0

A p r o x i m a c i ó n S l i n k y : u n s l i n k y e s u n r e s o r t e c o n l o n g i t u d n a t u r a l m u y p e q u e ñ a c o m p a r a d a c o n l o s

e s t i r a m i e n t o s q u e a d m i t e ( l0 p u e d e s e r 1 0 o 2 0 v e c e s ) . S i

1− l

l0

1

2

1 − 1

2

ll0

1 , l a v e l o c i d a d d e l a s

o n d a s t r a n s v e r s a l e s a t r a v é s d e l s l i n k y s e r á ,

V transv = k

m l0( 3 . 5 )

d o n d e

l0 e s l a s i t u a c i ó n d e e q u i l i b r i o , c o n e l r e s o r t e e s t i r a d o , s i t u a c i ó n a p a r t i r d e l a c u a l s e p r o d u c e n

l a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s .

3 . 3 . O n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n r e s o r t e s

L a l e y d e H o o k e a p l i c a d a e n u n r e s o r t e ( S l i n k y ) E n l a g u r a 3 . 4 A s e i l u s t r a u n r e s o r t e d e c o n s t a n t e

d e r i g i d e z k , l o n g i t u d n a t u r a l l y m a s a t o t a l m . E n l a g u r a 3 . 4 B e l r e s o r t e s e e s t i r ó m e d i a n t e l a a c c i ó n d e



3 . 3 . O N D A S L O N G I T U D I N A L E S E N R E S O R T E S 3 3

F i g u r a 3 . 4 : R e s o r t e e n d i f e r e n t e s e s t a d o s

u n a f u e r z a c u y a m a g n i t u d e s F 0 , s u l o n g i t u d e s a h o r a l0 y s e e n c u e n t r a a ú n e n e s t a d o d e e q u i l i b r i o . E s t a e s l a

s i t u a c i ó n a p a r t i r d e l a c u a l s e v a n a p r o d u c i r l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s .

C o n e l n d e e x p r e s a r a d e c u a d a m e n t e l a l e y d e H o o k e , s e e s t u d i a r á e n p r i m e r l u g a r o t r a s i t u a c i ó n d e e q u i l i b r i o ,

c o n u n a d e f o r m a c i ó n (l − l0) r e s p e c t o a l a p r i m e r a s i t u a c i ó n d e e q u i l i b r i o , g u r a 3 . 4 C . S i

F e s e l e x c e s o d e

f u e r z a r e s p e c t o a l e q u i l i b r i o , d e l a l e y d e H o o k e s e o b t i e n e ,

F = k (l − l0)

E l e x c e s o d e f u e r z a F s o b r e e l e q u i l i b r i o b a s e e s p r o p o r c i o n a l a l e x c e s o d e d e f o r m a c i ó n r e s p e c t o a d i c h o

e q u i l i b r i o b a s e . E s t a l e y ( l e y d e H o o k e ) e x p r e s a d a e n t é r m i n o s d e l a d e f o r m a c i ó n u n i t a r i a ε = l−l0l0

, d o n d e

s e h a t o m a d o c o m o r e f e r e n c i a l a l o n g i t u d e n e l e q u i l i b r i o d e b a s e , s e r á ,

F

l0= k

l − l0

l0

F = (kl0) ε( 3 . 6 )

e s t a l e y d e H o o k e e s a h o r a v á l i d a , n o s ó l o p a r a t o d o e l r e s o r t e s i n o p a r a c u a l q u i e r t r o z o d e é l . C o n s i d é r e s e

q u e F e s e l e x c e s o d e f u e r z a s o b r e l a f u e r z a d e m a g n i t u d F 0 e n e l e s t a d o d e e q u i l i b r i o b a s e . D e e s t a f o r m a

s i s e t i e n e u n e l e m e n t o d e r e s o r t e c u y a l o n g i t u d e n e l e s t a d o b a s e e s dx ( l o n g i t u d d e l e l e m e n t o d e r e s o r t e , e l

c u a l t i e n e u n a l o n g i t u d l0 e s t i r a d o b a j o l a a c c i ó n d e u n a f u e r z a d e m a g n i t u d F 0 ) y dy e s l a d e f o r m a c i ó n d e

e s t e e l e m e n t o d e s p u e s d e a p l i c a r u n a f u e r z a a d i c i o n a l d e m a g n i t u d F , s e p u e d e e s c r i b i r l a l e y d e H o o k e a s í ,

F = (kl0)dy

dx( 3 . 7 )

E x p r e s a n d o l a l e y d e H o o k e e n t é r m i n o s d e e s f u e r z o s e o b t i e n e ,

F

A=

kl0A

dy

dx




F i g u r a 3 . 5 : O n d a p r o p a g á n d o d e e n e l s l i n k y

S =

kl0A

ε

e n d o n d e

Ac o r r e s p o n d e r á a l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e l r e s o r t e . P o r l o t a n t o ,

β =kl0A

( 3 . 8 )

D i n á m i c a d e l a o n d a l o n g i t u d i n a l q u e s e p r o p a g a e n u n r e s o r t e ( S l i n k y ) C u a n d o a t r a v é s d e l r e s o r t e

s e p r o p a g a u n a o n d a l o n g i t u d i n a l , c a d a e l e m e n t o d e l r e s o r t e e s t a r á v i b r a n d o b a j o l a a c c i ó n d e l a f u e r z a n e t a

q u e s o b r e é l e j e r c e n l a p a r t e i z q u i e r d a y l a p a r t e d e r e c h a d e l r e s o r t e , y l a s c u a l e s n o s e e q u i l i b r a n , g u r a 3 . 5 .

E n l a g u r a 3 . 5 A e l r e s o r t e d e c o n s t a n t e d e r i g i d e z k e s t á e s t i r a d o h a s t a u n a l o n g i t u d l0 m e d i a n t e u n a f u e r z a

d e m a g n i t u d

F 0 ; e s t e e s e l e s t a d o b a s e a l r e d e d o r d e l c u a l s e v a n a p r e s e n t a r l a s o s c i l a c i o n e s d e l m e d i o c u a n d o

l a o n d a l o n g i t u d i n a l s e p r o p a g a a t r a v é s d e é l . E n l a g u r a 3 . 5 B y a l a o n d a l o n g i t u d i n a l e s t á p r e s e n t e , y s e

d e t a l l a u n e l e m e n t o d e l r e s o r t e ( e l e m e n t o r o j o ) e l c u a l t i e n e u n a l o n g i t u d dx y s e d e f o r m a e n dy c u a n d o l a o n d a

p a s a a t r a v é s d e é l . E n l a g u r a 3 . 5 C s e e l a b o r a e l d i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e s o b r e e s t e e l e m e n t o ; n u e v a m e n t e

s e d e s p r e c i a s u p e s o , y a q u e e s m u y p e q u e ñ o e n c o m p a r a c i ó n c o n l a s f u e r z a s e l á s t i c a s p r e s e n t e s .

A p l i c a n d o l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n a l e l e m e n t o d e r e s o r t e d e l o n g i t u d

dx, g u r a 3 . 5 B , y s a b i e n d o q u e l a

a c e l e r a c i ó n d e v i b r a c i ó n d e s u c e n t r o d e m a s a e s

acm = ∂ 2y∂t2

xc


F (x + dx) − F (x) = dm∂ 2y

∂t2

xc

a p l i c a n d o l a l e y d e H o o k e , e c u a c i ó n 3 . 7 ,

(kl0)

∂y

∂x

x+dx

− ∂y

∂x

x

= µdx

∂ 2y

∂t2

xc

p o r l o t a n t o , kl0µ

∂ 2y

∂x2=

∂ 2y

∂t2( 3 . 9 )

d o n d e l a s d e r i v a d a s s o n e v a l u a d a s e n x ( e l c e n t r o d e m a s a s e a c e r c a a l e x t r e m o i z q u i e r d o d e l e l e m e n t o t a n t o

c o m o s e q u i e r a ) . P o r l o t a n t o l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n u n r e s o r t e e s ,



3 . 4 . O N D A S L O N G I T U D I N A L E S E N B A R R A S S Ó L I D A S 3 5

F i g u r a 3 . 6 : D e f o r m a c i ó n l o n g i t u d i n a l

V longitudinal =

kl0m

l0

V longitudinal =

k

ml0 ( 3 . 1 0 )

S i m u l a c i ó n 3 . 2 O n d a l o n g i t u d i n a l p r o p a g á n d o s e e n u n r e s o r t e

3 . 4 . O n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n b a r r a s s ó l i d a s

L a l e y d e H o o k e a p l i c a d a a u n a b a r r a s ó l i d a : D e f o r m a c i ó n l o n g i t u d i n a l S e e j e r c e u n a f u e r z a l o n g i -

t u d i n a l d e m a g n i t u d F s o b r e u n a b a r r a q u e e s t á e m p o t r a d a e n u n a p a r e d , g u r a 3 . 6 . E n l a p a r t e d e a r r i b a d e

l a g u r a , l a b a r r a n o h a s i d o d e f o r m a d a . E n l a p a r t e d e a b a j o s e i l u s t r a l a d e f o r m a c i ó n d e u n e l e m e n t o dx d e l a

b a r r a , e l c u a l e s t a r á s o m e t i d o a d o s f u e r z a s e j e r c i d a s p o r l a s p o r c i o n e s d e l a b a r r a q u e s e e n c u e n t r a n a s u l a d o y

q u e e n s i t u a c i ó n d e e q u i l i b r i o s e r á n i g u a l e s e n m a g n i t u d a F . L a f u e r z a d e f o r m a d o r a s e p r o p a g a , s i n d i s m i n u i r

s u m a g n i t u d , a t o d o s l o s p u n t o s d e l a b a r r a .

E n e s t e e l e m e n t o dx l a c a r a c u y a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o e s t á u b i c a d a e n x, s e e l o n g a l o n g i t u d i n a l m e n t e e n u n a

c a n t i d a d i g u a l a y , y l a c a r a c u y a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o e s t á u b i c a d a e n x + dx s e e l o n g a e n u n a c a n t i d a d i g u a l

a y + dy . L a d e f o r m a c i ó n e n d i r e c c i ó n l o n g i t u d i n a l ( d e f o r m a c i ó n l o n g i t u d i n a l ) d e l a p o r c i ó n d e b a r r a dx e s i g u a l

a dy . L a l e y d e H o o k e p a r a p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s l o n g i t u d i n a l e s e n b a r r a s s ó l i d a s ( p o r e j e m p l o , e n u n a b a r r a

d e a c e r o u s a d a e n c o n s t r u c c i ó n , p o d r í a s e r d e l o r d e n d e 1 m m e n 1 m ) e s t a b l e c e q u e e s t a s s o n p r o p o r c i o n a l e s a

l o s e s f u e r z o s c a u s a n t e s d e l a s m i s m a s ,

S = Y dy

dx( 3 . 1 1 )

s i e n d o S e l e s f u e r z o l o n g i t u d i n a l r e s p o n s a b l e d e l a d e f o r m a c i ó n l o n g i t u d i n a l dy d e l e l e m e n t o d e b a r r a

dx. D e a c u e r d o a l a l e y d e H o o k e g e n e r a l i z a d a , e l m ó d u l o d e e l a s t i c i d a d d e l a b a r r a e s Y y s e l e c o n o c e c o n

e l n o m b r e d e m ó d u l o d e Y o u n g d e l m a t e r i a l ( s e m i d e e n p a s c a l e s , P a ) ,

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/ondas_resorte.htm




β = Y ( 3 . 1 2 )

D i n á m i c a d e l a o n d a l o n g i t u d i n a l q u e s e p r o p a g a e n u n a b a r r a s ó l i d a C u a n d o o n d a s l o n g i t u d i n a l e s s e

p r o p a g a n a t r a v é s d e u n a b a r r a , e l c e n t r o d e m a s a d e c a d a e l e m e n t o

dxd e l a m i s m a e s t a r á a c e l e r a d o l o n g i t u d i -

n a l m e n t e d e b i d o a q u e l a s f u e r z a s a p l i c a d a s l o n g i t u d i n a l m e n t e q u e a c t ú a n a a m b o s l a d o s d e l e l e m e n t o ( e j e r c i d a s

p o r l a s p o r c i o n e s d e l a b a r r a q u e e s t á n c o n t i g u a s ) y a n o s o n i g u a l e s s i n o o p u e s t a s y d e m a g n i t u d d i f e r e n t e .

A p l i c a n d o l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n a l e l e m e n t o , g u r a 3 . 6 C , y s a b i e n d o q u e l a a c e l e r a c i ó n d e v i b r a c i ó n d e

s u c e n t r o d e m a s a e s acm = ∂ 2y∂t2

xc


F (x + dx) − F (x) = dm∂ 2y

∂t2

xc

A p l i c a n d o l a l e y d e H o o k e , e c u a c i ó n 3 . 1 1 ,

(Y A)

∂y

∂x

x+dx

− ∂y

∂x

x

= ρA∂ 2y

∂t2

xc

s e o b t i e n e , Y

ρ

∂ 2y

∂x2=

∂ 2y

∂t2( 3 . 1 3 )

d o n d e l a s d e r i v a d a s s o n e v a l u a d a s e n

x( e l c e n t r o d e m a s a s e a c e r c a a l e x t r e m o i z q u i e r d o d e l e l e m e n t o t a n t o

c o m o s e q u i e r a ) . P o r l o t a n t o l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n b a r r a s s e g u n l a e c u a c i ó n

d i f e r e n c i a l d e o n d a g e n e r a l i z a d a e s i g u a l a ,

V =

β

ρ=

Y

ρ( 3 . 1 4 )

s i e n d o ρ l a d e n s i d a d v o l u m é t r i c a d e l m a t e r i a l .

S e d e b e a n o t a r q u e c o n e s t a e x p r e s i ó n s e c a l c u l a l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e u n a o n d a l o n g i t u d i n a l e n

b a r r a s s ó l i d a s , y a q u e s u p a r t e l a t e r a l s e e x p a n d e y c o m p r i m e l e v e m e n t e c u a n d o l a o n d a s s e p r o p a g a n a t r a v é s

d e e l l a s . E n c a s o d e q u e l a o n d a s e e s t é p r o p a g a n d o e n u n m e d i o s ó l i d o " i l i m i t a d o " d e m a t e r i a , d o n d e e l m a t e r i a l

c o n t i g u o n o p e r m i t e e s o s a b o m b a m i e n t o s y e n c o g i m i e n t o s , e l m o d o d e c a l c u l a r l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n e s

d i f e r e n t e . P o r e j e m p l o , l a v e l o c i d a d d e l a o n d a l o n g i t u d i n a l e n u n a b a r r a d e p l o m o e s d e l o r d e n d e 1 2 0 0 m / s ,

m i e n t r a s q u e e n u n m e d i o " i l i m i t a d o " d e p l o m o e s d e l o r d e n d e 1 9 6 0 m / s .

I m p o r t a n t e s e ñ a l a r q u e c u a n d o l a f r e c u e n c i a d e u n a o n d a l o n g i t u d i n a l e s t á d e n t r o d e l r a n g o a u d i t i v o ( 1 6 a

2 0 0 0 0 H z ) , s e l e d e n o m i n a s o n i d o .

S i m u l a c i ó n 3 . 3 O n d a l o n g i t u d i n a l p r o p a g á n d o s e e n u n a b a r r a s ó l i d a

S i m u l a c i ó n 3 . 4 V a l o r e s d e l m ó d u l o d e Y o u n g

O n d a d e f u e r z a p r o p a g á n d o s e l o n g i t u d i n a l m e n t e a t r a v é s d e l a b a r r a S i m u l t á n e a m e n t e c o n l a

o n d a d e e l o n g a c i ó n , V 2 ∂ 2y∂x2

= ∂ 2y∂t2

, s e p r o p a g a n u n a o n d a d e f u e r z a , V 2 ∂ 2F ∂x2

= ∂ 2F ∂t2

, a m b a s a l a m i s m a v e l o c i d a d ,

V =

Y ρ

. E s t o s e m u e s t r a a c o n t i n u a c i ó n .

E l e l e m e n t o

dxd e b a r r a v i b r a c o n a c e l e r a c i ó n d e b i d o a q u e l a s u m a d e l a s f u e r z a s q u e a c t u á n s o b r e a m b a s

c a r a s d e é l e s t á n e n s e n t i d o s o p u e s t o s y n o s e a n u l a n , e s d e c i r , dF = 0 . P o r t a n t o a p l i c a n d o l a s e g u n d a l e y d e

N e w t o n a l e l e m e n t o s e o b t i e n e ,

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/modulos_young.htm

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/onda_longitidinal_barra.htm



3 . 4 . O N D A S L O N G I T U D I N A L E S E N B A R R A S S Ó L I D A S 3 7

dF = ρAdx∂ 2y

∂t2

∂F

∂x= ρA

∂ 2y

∂t2( 3 . 1 5 )

A d e m á s d e l a l e y d e H o o k e , e c u a c i ó n 3 . 1 1 ,

F = Y A∂y

∂x( 3 . 1 6 )

t o m a n d o l a s e g u n d a d e r i v a d a t e m p o r a l e n e s t a ú l t i m a e c u a c i ó n ,

∂ 2F

∂t2= Y A

∂

∂x

∂ 2y

∂t2

( 3 . 1 7 )

R e e m p l a z a n d o 3 . 1 5 e n 3 . 1 7 s e o b t i e n e ,

Y ρ

∂ 2

F ∂x2

= ∂ 2

F ∂t2

( 3 . 1 8 )

q u e c o r r e s p o n d e a l a e c u a c i ó n d e o n d a . E s d e c i r , l a m a g n i t u d f í s i c a F u e r z a t a m b i é n s e p r o p a g a a t r a v é s

d e l a b a r r a c o m o u n a o n d a y a l a m i s m a v e l o c i d a d V =

Y ρ

q u e l a o n d a d e E l o n g a c i ó n .

O n d a s d e e l o n g a c i ó n v s o n d a s d e f u e r z a e n b a r r a s O b s e r v a r l a s i g u i e n t e s i m u l a c i ó n .

S i m u l a c i ó n 3 . 5 O n d a s d e e l o n g a c i ó n v s o n d a s d e f u e r z a e n b a r r a s .

E n e l l a s e i l u s t r a u n a o n d a l o n g i t u d i n a l q u e s e p r o p a g a a t r a v é s d e u n a b a r r a s ó l i d a . S e p u e d e o b s e r v a r l o s

p e r m a n e n t e s c a m b i o s d e v o l u m e n q u e s u f r e u n e l e m e n t o d e l a b a r r a y l a o s c i l a c i ó n d e l c e n t r o d e m a s a d e é s t e .

A d i c i o n a l m e n t e s e p r e s e n t a n l a s g r á c a s e s p a c i o - t e m p o r a l e s d e l a o n d a d e e l o n g a c i ó n y d e l a o n d a d e f u e r z a : s i

s e a n a l i z a n c o n c u i d a d o s e p u e d e c o n c l u i r q u e d o n d e e s n u l a l a e l o n g a c i ó n p a r a e l c e n t r o d e m a s a d e u n e l e m e n t o

d e l a b a r r a , s e p r e s e n t a e n e s a r e g i ó n m á x i m a o m í n i m a f u e r z a ( c r e s t a s y v a l l e s d e f u e r z a ) . E n o t r a s p a l a b r a s l a

o n d a d e f u e r z a y l a d e e l o n g a c i ó n e s t á n d e s f a s a d a s e n

λ4

.

E x p l i c a c i ó n d e l d e s f a s e d e

λ4

e n t r e l a o n d a d e f u e r z a y l a o n d a d e e l o n g a c i ó n S i s e s u p o n e q u e l a

o n d a d e e l o n g a c i ó n e s a r m ó n i c a , s e p o d r á e s c r i b i r ,

y = A sin(kx − wt)

S e g u n l a l e y d e H o o k e p a r a b a r r a s s ó l i d a s ,

S = Y dy

dx( 3 . 1 9 )

p o r t a n t o ,

F = F 0 cos(kx − wt) ( 3 . 2 0 )

d o n d e F 0 = AAsY e s l a a m p l i t u d d e f u e r z a y As e s e l á r e a d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e l a b a r r a . L a f u n c i ó n

d e f u e r z a , e c u a c i ó n 3 . 2 0 e s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a d e f u e r z a ,

V 2 ∂ 2F ∂x2

= ∂ 2F ∂t2

. S e o b s e r v a

c l a r a m e n t e q u e h a y e n t r e a m b a s o n d a s u n a d i f e r e n c i a d e f a s e d e

π2

o s e a d e

λ4

.

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/ondas_elongacion_fuerza.htm




F i g u r a 3 . 7 : D e f o r m a c i ó n t r a n s v e r s a l e n b a r r a

3 . 5 . O n d a s t r a n s v e r s a l e s e n b a r r a s s ó l i d a s

L a l e y d e H o o k e a p l i c a d a a u n a b a r r a s ó l i d a : D e f o r m a c i ó n t r a n s v e r s a l S e e j e r c e u n a f u e r z a t r a n s v e r s a l

( f u e r z a d e c i z a l l a d u r a ) d e m a g n i t u d

F s o b r e u n a b a r r a q u e e s t á e m p o t r a d a e n l a p a r e d , g u r a 3 . 7 . E n l a g u r a

s e i l u s t r a l a d e f o r m a c i ó n d e u n e l e m e n t o

dxd e l a b a r r a , e l c u a l e s t a r á s o m e t i d o a d o s f u e r z a s e j e r c i d a s p o r l a s

p o r c i o n e s d e l a b a r r a q u e s e e n c u e n t r a n a s u l a d o .

E n e s t e e l e m e n t o dx l a c a r a c u y a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o e s t á u b i c a d a e n x, s e e l o n g a t r a n s v e r s a l m e n t e e n

u n a c a n t i d a d i g u a l a

y, y l a c a r a c u y a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o e s t á u b i c a d a e n

x + dxs e e l o n g a e n u n a c a n t i d a d

i g u a l a y + dy . L a d e f o r m a c i ó n e n d i r e c c i ó n t r a n s v e r s a l ( d e f o r m a c i ó n t r a n s v e r s a l ) d e l a p o r c i ó n d e b a r r a dx e s

i g u a l a dy . L a l e y d e H o o k e p a r a p e q u e ñ a s d e f o r m a c i o n e s t r a n s v e r s a l e s e n b a r r a s s ó l i d a s e s t a b l e c e q u e e s t a s s o n

p r o p o r c i o n a l e s a l o s e s f u e r z o s c a u s a n t e s d e l a s m i s m a s ,

S = Gdy

dx( 3 . 2 1 )

s i e n d o S e l e s f u e r z o t r a n s v e r s a l r e s p o n s a b l e d e l a d e f o r m a c i ó n t r a n s v e r s a l dy d e l e l e m e n t o d e b a r r a dx.

D e a c u e r d o a l a l e y d e H o o k e g e n e r a l i z a d a , e l m ó d u l o d e e l a s t i c i d a d d e l a b a r r a e s

Gy s e l e c o n o c e c o n e l

n o m b r e d e m ó d u l o d e r i g i d e z d e l m a t e r i a l ( s e m i d e e n p a s c a l e s , P a ) ,

β = G ( 3 . 2 2 )

D i n á m i c a d e l a o n d a t r a n s v e r s a l q u e s e p r o p a g a e n u n a b a r r a s ó l i d a C u a n d o o n d a s t r a n s v e r s a l e s s e

p r o p a g a n a t r a v é s d e u n a b a r r a , e l c e n t r o d e m a s a d e c a d a e l e m e n t o dx d e l a m i s m a e s t a r á a c e l e r a d o t r a n s v e r -

s a l m e n t e d e b i d o a q u e l a s f u e r z a s a p l i c a d a s t r a n s v e r s a l m e n t e y q u e a c t ú a n a a m b o s l a d o s d e l m i s m o ( e j e r c i d a s

p o r l a s p o r c i o n e s d e l a b a r r a q u e e s t á n c o n t i g u a s ) y a n o s o n i g u a l e s s i n o o p u e s t a s y d e m a g n i t u d d i f e r e n t e .

A p l i c a n d o l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n a l e l e m e n t o , g u r a 3 . 2 1 , y s a b i e n d o q u e l a a c e l e r a c i ó n d e v i b r a c i ó n d e

s u c e n t r o d e m a s a e s acm = ∂ 2y∂t2

xc




3 . 6 . O N D A S L O N G I T U D I N A L E S E N F L U Í D O S 3 9

F (x + dx) − F (x) = dm∂ 2y

∂t2

xc


(GA)

∂y∂xx+dx

− ∂y∂xx

= ρA ∂

2

y∂t2

xc

s e o b t i e n e ,

G

ρ

∂ 2y

∂x2=

∂ 2y

∂t2( 3 . 2 3 )

d o n d e l a s d e r i v a d a s s o n e v a l u a d a s e n

x( e l c e n t r o d e m a s a s e a c e r c a a l e x t r e m o i z q u i e r d o d e l e l e m e n t o t a n t o

c o m o s e q u i e r a ) . P o r l o t a n t o l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n b a r r a s s e g u n l a e c u a c i ó n

d i f e r e n c i a l d e o n d a g e n e r a l i z a d a e s i g u a l a ,

V =

β ρ

=

Gρ

( 3 . 2 4 )

s i e n d o

ρl a d e n s i d a d v o l u m é t r i c a d e l m a t e r i a l . C o m o d a t o , l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s t r a n s v e r -

s a l e s e n u n a b a r r a d e a c e r o e s d e l o r d e n d e 3 2 0 0 m / s , m i e n t r a s q u e l a s l o n g i t u d i n a l e s e n l a m i s m a s e p r o p a g a n

c o n u n a v e l o c i d a d a p r o x i m a d a d e 5 1 0 0 m / s .

S i m u l a c i ó n 3 . 6 O n d a t r a n s v e r s a l p r o p a g á n d o s e e n u n a b a r r a

S i m u l a c i ó n 3 . 7 V a l o r e s d e l m ó d u l o d e R i g i d e z

S i m u l a c i ó n 3 . 8 V a l o r e s d e l a d e n s i d a d

3 . 6 . O n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n u í d o s

L a l e y d e H o o k e a p l i c a d a a u í d o s ( E s f u e r z o d e V o l u m e n : P r e s i ó n ) S e t i e n e u n u i d o ( g a s o l í q u i d o )

d e n t r o d e u n t u b o , g u r a 3 . 8 A . E n e q u i l i b r i o t o d a s l a s p o r c i o n e s d e l u í d o e s t a r á n a l a p r e s i ó n a t m o s f é r i c a P 0( o a l a p r e s i ó n e x t e r n a d e e q u i l i b r i o ) . S i s e e s c o g e u n e l e m e n t o d e l a c o l u m n a d e u í d o d e l o n g i t u d dx, m i e n t r a s

e l s i s t e m a e s t é e n e q u i l i b r i o , t a n t o l a c a r a i z q u i e r d a c o m o l a d e r e c h a d e é s t e , g u r a 3 . 8 C , e s t a r á n s o m e t i d a s a

i g u a l e s f u e r z a s d e b i d o a l o s e f e c t o s d e l a s p r e s i o n e s s o b r e e l l a s q u e e j e r c e e l r e s t o d e u i d o a i z q u i e r d a y d e r e c h a

r e s p e c t i v a m e n t e . S i s e c o m p r i m e ( o s e e x p a n d e ) e l u i d o , p o r e j e m p l o d e s p l a z a n d o l e v e y l e n t a m e n t e u n p i s t ó n

- p r o c e s o c u a s i e s t á t i c o - d e i z q u i e r d a ( d e r e c h a ) a d e r e c h a ( i z q u i e r d a ) , a p a r e c e r á u n a c o m p r e s i ó n ( e x p a n s i ó n ) d e l

e l e m e n t o dx. L a c o m p r e s i ó n i m p l i c a r á u n a p e q u e ñ a e l e v a c i ó n d e l a p r e s i ó n p o r e n c i m a d e l a p r e s i ó n d e e q u i l i b r i o

y l a e x p a n s i ó n u n a p e q u e ñ a d i s m i n u c i ó n p o r d e b a j o d e l a m i s m a . S i n e m b a r g o , d e b i d o a l a f o r m a c o m o s e l l e v o e l

p r o c e s o , e l s i s t e m a p a s a a o t r o e s t a d o i n s t a n t á n e o d e e q u i l i b r i o c o n u n a p r e s i ó n P p o r e n c i m a d e l a d e e q u i l i b r i o ,

P 0 ( p o r d e b a j o d e l a d e e q u i l i b r i o ) .

E n e s t e e l e m e n t o dx, l a c a r a u b i c a d a e n l a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o x, s e e l o n g a l o n g i t u d i n a l m e n t e e n u n a

c a n t i d a d i g u a l a

y, y l a c a r a u b i c a d a e n l a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o

x + dxs e e l o n g a e n u n a c a n t i d a d i g u a l a

y + dy,

g u r a 3 . 8 B ) . L a d e f o r m a c i ó n e n d i r e c c i ó n l o n g i t u d a l ( d e f o r m a c i ó n l o n g i t u d i n a l ) d e l a p o r c i ó n d e l a c o l u m n a

d e u í d o

dxe s i g u a l a

dy. L a l e y d e H o o k e p a r a d e f o r m a c i o n e s v o l u m é t r i c a s e n u i d o s , e s t a b l e c e q u e e l e x c e s o

o d e f e c t o e n l a p r e s i ó n , P = P − P 0 , ( q u e e n e l c a s o d e q u e P 0 s e a l a p r e s i ó n a t m o s f é r i c a , e s l l a m a d a p r e s i ó n

m a n o m é t r i c a ) e s p r o p o r c i o n a l y o p u e s t a a l c o c i e n t e

dV V 0

,

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/densidades.html

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/modulos_rigidez.html

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/onda_transversal_barra.htm




F i g u r a 3 . 8 : D e f o r m a c i ó n e n u í d o s

P = −BdV

V 0= −B

Ady

Adx= −B

dy

dx( 3 . 2 5 )

d o n d e

Bc o r r e s p o n d e a l m ó d u l o d e c o m p r e s i b i l i d a d d e l u í d o ( s e m i d e e n p a s c a l e s , P a ) ,

Ae l á r e a d e l a

s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e l t u b o ,

V 0 e s e l v o l u m e n d e l e l e m e n t o d e u í d o

dxa l a p r e s i ó n

P 0 ,

dV e s e l c a m b i o d e

v o l u m e n d e l m i s m o c u a n d o s e c a m b i a l e v e m e n t e l a p r e s i ó n a l v a l o r

P . E l s i g n o m e n o s ( - ) d e l a e x p r e s i ó n s e

d e b e a q u e u n a u m e n t o e n l a p r e s i ó n s i e m p r e c a u s a u n a r e d u c c i ó n e n e l v o l u m e n y v i c e v e r s a .

S i l o s e s f u e r z o s d e t r a c c i ó n s e t o m a n c o m o p o s i t i v o s , l o s e s f u e r z o s d e c o m p r e s i ó n s e r á n n e g a t i v o s . C o n

b a s e e n e s t o l a p r e s i ó n s e d e n e c o m o e l e s f u e r z o n o r m a l d e c o m p r e s i ó n , t o m a d o c o m o p o s i t i v o ( t a m b i é n

s e l e d e n o m i n a e s f u e r z o d e v o l u m e n ) . E s d e c i r l a p r e s i ó n P e n l a l e y d e H o o k e g e n e r a l i z a d a h a c e e l p a p e l d e

u n e s f u e r z o n e g a t i v o , y p o r t a n t o s e c o n c l u y e q u e P e s e l e s f u e r z o l o n g i t u d i n a l r e s p o n s a b l e d e l a d e f o r m a c i ó n

l o n g i t u d i n a l dy d e l e l e m e n t o d e u í d o dx y q u e e l m ó d u l o d e e l a s t i c i d a d d e l u í d o s e r á s u m ó d u l o d e

c o m p r e s i b i l i d a d ,

β = B( 3 . 2 6 )

A u n q u e l a l e y d e H o o k e e x p l i c a d a e n e s t a s e c c i ó n s a a p l i c ó a u í d o s ( g a s e s o l í q u i d o s ) , e s t a m b i é n

a p l i c a b l e a l o s c u e r p o s e n e l e s t a d o s ó l i d o . L a d i f e r e n c i a r a d i c a e n q u e p a r a p e q u e ñ o s c a m b i o s d e p r e s i ó n ,

B s e c o n s i d e r a c o n s t a n t e p a r a s ó l i d o s y l í q u i d o s , e n c a m b i o e n l o s g a s e s d e p e n d e r á d e l a p r e s i ó n i n i c i a l P 0 .

D i n á m i c a d e l a o n d a l o n g i t u d i n a l q u e s e p r o p a g a e n u n u í d o C u a n d o u n a o n d a l o n g i t u d i n a l s e

p r o p a g a a t r a v é s d e u n u í d o , e l c e n t r o d e m a s a d e c a d a e l e m e n t o o s c i l a r á c o n a c e l e r a c i ó n , d e b i d o a q u e l a s

f u e r z a s a p l i c a d a s l o n g i t u d i n a l m e n t e q u e a c t ú a n a a m b o s l a d o s d e l e l e m e n t o ( e j e r c i d a s p o r l a s p o r c i o n e s d e u í d o

q u e e s t á n c o n t i g u a s ) y a n o s o n i g u a l e s s i n o o p u e s t a s y d e m a g n i t u d d i f e r e n t e . A p l i c a n d o l a s e g u n d a l e y d e

N e w t o n ,

−F (x + dx) + F (x) = dm∂ 2y

∂t2xc

s e d e b e r e i t e r a r q u e l a a c e l e r a c i ó n e s l a d e l c e n t r o d e m a s a d e l e l e m e n t o . C o m o l a p r e s i ó n e s P = F A

, s e

o b t i e n e ,

−P (x + dx) + P (x)

A = ρ0Adx∂ 2y

∂t2

d o n d e c o r r e s p o n d e a l a d e n s i d a d v o l u m é t r i c a d e l u i d o e n l a s i t u a c i ó n d e e q u i l i b r i o a l a p r e s i ó n

P 0 .





B

∂y

∂x

x+dx

− ∂y

∂x

x

A = ρ0Adx

∂ 2y

∂t2( 3 . 2 7 )

s e o b t i e n e ,

B

ρ0 ∂ 2y

∂x2 =

∂ 2y

∂t2( 3 . 2 8 )

d o n d e l a s d e r i v a d a s s o n e v a l u a d a s e n x ( e l c e n t r o d e m a s a s e a c e r c a a l e x t r e m o i z q u i e r d o d e l e l e m e n t o t a n t o

c o m o s e q u i e r a ) . P o r t a n t o l a v e l o c i d a d c o n q u e s e p r o p a g a n l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n u n u í d o s e g u n l a

e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a g e n e r a l i z a d a e s i g u a l a ,

V =

B

ρ0( 3 . 2 9 )

s i e n d o ρ0 l a d e n s i d a d v o l u m é t r i c a d e l u í d o e n s u e s t a d o d e e q u i l i b r i o .

E s t e t i p o d e o n d a s s o n d e g r a n a p l i c a c i ó n y a q u e s o n l a s q u e e s t á n a s o c i a d a s c o n l a s o n d a s s o n o r a s . S i e s t á n

e n e l r a n g o d e f r e c u e n c i a s a u d i b l e s ( 1 6 a 2 0 . 0 0 0 H z ) s e l e s d e n o m i n a s o n i d o .

E s n e c e s a r i o i n s i s t i r q u e a t r a v é s d e l o s s ó l i d o s t a m b i é n s e p r o p a g a n e s t a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s . S i n e m b a r g o ,

s i s e e s t á h a c i e n d o r e f e r e n c i a a b a r r a s , l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s s e c a l c u l a n c o n l a e x p r e s i ó n ,

V =

β

ρ=

B

ρ0( 3 . 3 0 )

L a d i f e r e n c i a r a d i c a e n q u e p a r a l a s b a r r a s s ó l i d a s s u p a r t e l a t e r a l s e e x p a n d e y c o m p r i m e l e v e m e n t e c u a n d o

l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s s e p r o p a g a n a t r a v é s d e e l l a s . E s t o n o s e a p l i c a a m a t e r i a l e s " e x t e n s o s " ( m a t e r i a l e s n o e n

l a f o r m a d e b a r r a s ) y a q u e e l m o v i m i e n t o l a t e r a l d e c u a l q u i e r e l e m e n t o e s i m p e d i d o p o r e l m a t e r i a l c i r c u n d a n t e .

E n o t r a s p a l a b r a s , l a r a p i d e z d e l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n u n v o l u m e n d e m a t e r i a e s t á d a d a p o r l a e c u a c i ó n

V = Y ρ

. C o m o d a t o p e n s a r e n q u e l a v e l o c i d a d d e l a o n d a l o n g i t u d i n a l e n u n a b a r r a d e p l o m o e s d e l o r d e n d e

1 2 0 0 m / s m i e n t r a s q u e é s t a e n u n m e d i o " i l i m i t a d o " ( m a t e r i a l e x t e n s o y n o c o m o b a r r a ) d e p l o m o e s d e l o r d e n

d e 1 9 6 0 m / s .

O n d a s S o n o r a s e n g a s e s L a p r o p a g a c i ó n d e u n a o n d a l o n g i t u d i n a l c o n f r e c u e n c i a s e n e l r a n g o a u d i b l e ( 1 6 a

2 0 0 0 0 H z ) a t r a v é s d e u n g a s e s u n p r o c e s o a d i a b á t i c o . L a r a z ó n d e e s t o e s q u e d e b i d o a l a b a j a c o n d u c t i v i d a d

t é r m i c a d e l o s g a s e s , e n l o s i n t e r v a l o s d e t i e m p o t a n c o r t o s e n l o s q u e s e r e a l i z a n e s t o s p r o c e s o s o n d u l a t o r i o s

a e s a s f r e c u e n c i a s , e l s i s t e m a n o a l c a n z a a i n t e r c a m b i a r e n e r g í a e n f o r m a d e c a l o r ( o s i l o h a c e , e s e n c a n t i -

d a d e s t o t a l m e n t e d e s p r e c i a b l e s ) , e s d e c i r , l a s c o m p r e s i o n e s y e x p a n s i o n e s e n l o s g a s e s h a e s t a s f r e c u e n c i a s s o n

a d i a b á t i c a s .

S i m u l a c i ó n 3 . 9 V a l o r e s d e l a c o n d u c t i v i d a d t é r m i c a s .

P a r a c a l c u l a r l a r a p i d e z d e l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n u n u i d o s e e m p l e a l a e c u a c i ó n V = Bρ0 . S i s e

c o n s i d e r a q u e e l u i d o e s u n g a s i d e a l y p o r s e r e l p r o c e s o o n d u l a t o r i o a d i a b á t i c o , s e c u m p l i r a q u e ,

P V γ = constante ( 3 . 3 1 )

a q u í , P e s l a p r e s i ó n d e l g a s , V s u v o l u m e n , γ =C pC V

e s l a r e l a c i ó n e n t r e l a s c a p a c i d a d e s c a l o r í c a s d e l g a s a

p r e s i ó n y v o l u m e n c o n s t a n t e s . P o r l o t a n t o ,

dP

dV V γ + γP V −1 = 0 ( 3 . 3 2 )

d i v i d i e n d o p o r V γ−1 s e o b t i e n e ,

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/conductividad_termica.htm




Badiabatico = γP ( 3 . 3 3 )

d e e s t a f o r m a s e c o n c l u y e q u e l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l s o n i d o e n u n g a s i d e a l s e c a l c u l a m e d i a n t e l a

s i g u i e n t e e c u a c i ó n ,

V = γP

ρ0( 3 . 3 4 )

U n a e x p r e s i ó n m á s ú t i l s e p u e d e o b t e n e r s a b i e n d o q u e e n u n g a s i d e a l ,

ρ0 =P M

RT ( 3 . 3 5 )

d o n d e

Re s l a c o n s t a n t e d e l o s g a s e s ,

M e s l a m a s a m o l e c u l a r y

T e s l a t e m p e r a t u r a a b s o l u t a . A l c o m b i n a r

l a s d o s ú l t i m a s e c u a c i o n e s s e o b t i e n e ,

V =

γRT

M ( 3 . 3 6 )

S e o b s e r v a q u e p a r a u n g a s d a d o R, γ =C pC V

y M s o n c o n s t a n t e s , d a n d o c o m o r e s u l t a d o q u e l a r a p i d e z d e l

s o n i d o e n é l e s p r o p o r c i o n a l a

√T

.

A s í , a 2 0 º C ( 2 9 3 K ) l a m a s a m o l e c u l a r m e d i a d e l a i r e e s d e 2 8 . 8 x 1 0

−3k g . m o l

−1, γ =

C pC V

e s 1 , 4 0 y R e s

8 3 1 4 J . m o l

−1. K

−1, p o r l o q u e l a r a p i d e z d e l s o n i d o e n e l a i r e a e s t a t e m p e r t u r a e s i g a l a 3 4 4 m / s . M u y c e r c a

a l a r a p i d e z d e l s o n i d o e n e l n i t r ó g e n o .

S i m u l a c i ó n 3 . 1 0 V a l o r e s d e l a v e l o c i d a d d e l s o n i d o

O n d a s d e p r e s i ó n e n u n g a s S i m u l t á n e a m e n t e a l a o n d a d e e l o n g a c i ó n e n e l g a s , V 2 ∂ 2y∂x2 = ∂ 2y

dt2, s e p r o p a g a n

u n a o n d a d e p r e s i ó n , V 2 ∂ 2P ∂x2 = ∂ 2

dt2, a m b a s a l a m i s m a v e l o c i d a d . E s t o s e m u e s t r a a c o n t i n u a c i ó n .

U n e l e m e n t o d e g a s c i l í n d r i c o d e a l t u r a dx y s e c c i ó n t r a n s v e r s a l A v i b r a c o n a c e l e r a c i ó n d e b i d o a q u e l a

s u m a d e l a s f u e r z a s q u e a c t u á n s o b r e a m b a s c a r a s d e l m i s m o e s t á n e n s e n t i d o s o p u e s t o s y n o s e a n u l a n , e s d e c i r ,

dF = 0 . P o r t a n t o a p l i c a n d o l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n a l e l e m e n t o s e o b t i e n e ,

dF = ρ0Adx∂ 2y∂t2

( 3 . 3 7 )

p e r o ,

−P (x + dx) + P (x)

A = ρ0Adx∂ 2y

∂t2

−dP = ρ0dx∂ 2y

∂t2

− 1

ρ0

∂P

∂x=

∂ 2y

∂t2( 3 . 3 8 )

t o m a n d o l a s e g u n d a d e r i v a d a t e m p o r a l e n l a l e y d e H o o k e , e c u a c i ó n 3 . 2 5 ,

∂ 2P

∂t2= −B

∂

∂x

∂ 2y

∂t2

( 3 . 3 9 )

R e e m p l a z a n d o l a e c u a c i ó n 3 . 3 8 s e o b t i e n e , B

ρ0

∂ 2P

∂x2=

∂ 2P

∂t2( 3 . 4 0 )

q u e c o r r e s p o n d e a l a e c u a c i ó n d e o n d a . E s d e c i r , l a m a g n i t u d f í s i c a p r e s i ó n P t a m b i é n s e p r o p a g a a t r a v é s

d e l a b a r r a c o m o u n a o n d a y a l a m i s m a v e l o c i d a d V =

Bρ0

q u e l a o n d a d e e l o n g a c i ó n y .

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/velocidad_sonido.htm




S i m u l a c i ó n 3 . 1 1 O n d a l o n g i t u d i n a l v i a j a n d o e n g a s

O n d a s d e e l o n g a c i ó n v s o n d a s d e p r e s i ó n e n g a s e s O b s e r v a r l a s i g u i e n t e s i m u l a c i ó n .

S i m u l a c i ó n 3 . 1 2 O n d a s d e e l o n g a c i ó n v s o n d a s d e p r e s i ó n e n g a s e s .

E n e l l a s e i l u s t r a u n a o n d a l o n g i t u d i n a l q u e s e p r o p a g a a t r a v é s d e u n a c o l u m n a g a s e o s a . S e p u e d e o b s e r v a r

l o s p e r m a n e n t e s c a m b i o s d e v o l u m e n q u e s u f r e u n e l e m e n t o d e l g a s y l a o s c i l a c i ó n d e l c e n t r o d e m a s a d e é s t e .

A d i c i o n a l m e n t e s e p r e s e n t a n l a s g r á c a s e s p a c i o - t e m p o r a l e s d e l a o n d a d e e l o n g a c i ó n y d e l a o n d a d e p r e s i ó n : s i

s e a n a l i z a n c o n c u i d a d o s e p u e d e c o n c l u i r q u e d o n d e e s n u l a l a e l o n g a c i ó n p a r a e l c e n t r o d e m a s a d e u n e l e m e n t o

d e l g a s , s e p r e s e n t a e n e s a r e g i ó n m á x i m a ( e x p a n s i ó n ) o m í n i m a p r e s i ó n ( c o m p r e s i ó n ) m a n o m é t r i c a ( c r e s t a s y

v a l l e s d e p r e s i ó n m a n o m é t r i c a ) . E n o t r a s p a l a b r a s l a o n d a d e p r e s i ó n y l a d e e l o n g a c i ó n e s t á n d e s f a s a d a s e n

λ4

.

E x p l i c a c i ó n d e l d e s f a s e d e

λ4

e n t r e l a o n d a d e p r e s i ó n y l a o n d a d e e l o n g a c i ó n S i s e s u p o n e q u e l a

o n d a d e e l o n g a c i ó n e s a r m ó n i c a , s e p o d r á e s c r i b i r ,

y = A sin(kx − wt)

S e g u n l a l e y d e H o o k e p a r a u i d o s , e c u a c i ó n 3 . 2 5 ,

P = −Bdy

dx( 3 . 4 1 )

p o r t a n t o ,

P = −BkA cos(kx − wt) ( 3 . 4 2 )

d o n d e P 0 = BkA c o r r e s p o n d e a l a a m p l i t u d d e p r e s i ó n . L a f u n c i ó n d e p r e s i ó n 3 . 4 2 e s s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n

d i f e r e n c i a l d e o n d a d e p r e s i ó n ,

V 2 ∂ 2P ∂x2

= ∂ 2P ∂t2

. S e o b s e r v a c l a r a m e n t e q u e h a y e n t r e a m b a s o n d a s u n a d i f e r e n c i a

d e f a s e d e

π2

o s e a d e

λ4

.

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/ondas_elongacion_presion.htm

http://www.unalmed.edu.co/fisica/paginas/cursos/paginas_cursos/fisica_3/notas/simulaciones_videos_documentos/ondas_mecanicas/onda_en_gas.htm



Capıtulo4E N E R G Í A

E n u n a o n d a l o q u e s e t r a s n -

m i t e e s e n e r g í a . E n u n a o n d a m e -

c á n i c a l a e n e r g í a s e p r o p a g a a t r a -

v é s d e l a v b r a c i ó n d e l a m a t e r i a y

s u v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e -

p e n d e d e l a s p r o p i e d a d e s e l á s t i c a s

d e l m e d i o y d e l a i n e r c i a d e l m i s -

m o .

P a r a l o s c á l c u l o s e n e r g é t i c o s e n

l a s o n d a s m e c á n i c a s h a y c i e r t o s

i n c o n v e n i e n t e s s i s e t o m a e l m o -

d e l o d e p a r t í c u l a p a r a e l e l e m e n -

t o d e l m e d i o , y a q u e s u e l e l l e v a r

a g r a n d e s c o n f u s i o n e s . E l m o d e l o

q u e s e a d o p t a r á e s e l d e u n e l e -

m e n t o d i f e r e n c i a l d e l m e d i o c o n -

t i n u o d e l o n g i t u d d x y s e c c i ó n t r a n s

v e r s a l c o n s t a n t e d e á r e a A .

P a r a e l a n á l i s i s d e l a e n e r g í a e n u n a o n d a q u e s e p r o p a g a a t r a v é s d e u n m e d i o e l á s t i c o s e u t i l i z a r á c o m o m o d e l o

l a c u e r d a y e l r e s u l t a d o s e e x t e n d e r á a t o d a s l a s o n d a s e l á s t i c a s a t r a v é s d e l a g e n e r a l i z a c i ó n d e l a l e y d e H o o k e .

4 . 1 . D e n s i d a d d e e n e r g í a e n o n d a s m e c á n i c a s

4 . 1 . 1 . D e n s i d a d d e e n e r g í a c i n é t i c a

L a e n e r g í a c i n é t i c a d e u n e l e m e n t o d e c u e r d a d e l o n g i t u d dx y d e m a s a dm = ρAdx ( g u r a 4 . 1 ) e s i g u a l a :

dK =1

2dm (yt)

2

a q u í yt c o r r e s p o n d e a l a v e l o c i d a d d e v i b r a c i ó n d e l e l e m e n t o dx. A q u í A e s e l á r e a d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l

d e l a c u e r d a y s u ρ d e n s i d a d v o l u m é t r i c a . C o n b a s e e n e s t o l a e x p r e s i ó n a n t e r i o r t o m a l a s i g u i e n t e f o r m a ,

dK

Adx=

1

2ρ (yt)

2

4 5



4 6 C A P Í T U L O 4 . E N E R G Í A

F i g u r a 4 . 1 : E l e m e n t o d e c u e r d a

uK =1

2ρ (yt)

2( 4 . 1 )

d o n d e uK c o r r e s p o n d e a l a d e n s i d a d d e e n e r g í a c i n é t i c a d e l a c u e r d a ( y e n g e n e r a l d e u n m e d i o

m a t e r i a l a t r a v é s d e l c u a l s e p r o p a g a u n a o n d a ) . S e m i d e e n J . m

−3.

E s t a r e l a c i ó n e s d e v a l i d e z g e n e r a l p a r a t o d o s l a s o n d a s e l á s t i c a s t r a t a d a s e n e s t a s n o t a s . E n e l c a s o d e l a s

o n d a s e n l o s h i l o s o l a m e n t o s ( c u e r d a s m u y d e l g a d a s ) y e n l o s r e s o r t e s e s d e m a y o r u s o l a d e n s i d a d l i n e a l d e

e n e r g í a c i n é t i c a wK ; c o m o ρ = dmAdx

= µA

, s i e n d o µ l a d e n s i d a d l i n e a l d e m a s a d e l a c u e r d a , s e o b t i e n e ,

wK =1

2µ (yt)

2( 4 . 2 )

y s e m i d e e n J . m

−1.

4 . 1 . 2 . D e n s i d a d d e e n e r g í a p o t e n c i a l

E l e l e m e n t o d e c u e r d a c u a n d o p a s a l a o n d a a t r a v é s d e é l e s e s t i r a d o p o r l a a c c i ó n d e l a f u e r z a d e t e n s i ó n

c u y a m a g n i t u d e s F , q u e e j e r c e l a p o r c i ó n d e l a c u e r d a i z q u i e r d a ( o n d a v i a j a n d o h a c i a v a l o r e s c r e c i e n t e s d e x)

y a l m a c e n a u n a c a n t i d a d dU d e e n e r g í a p o t e n c i a l d e b i d o a l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r d i c h a f u e r z a ,

dU = − (−F dξ)

d o n d e dξ c o r r e s p o n d e a l a d e f o r m a c i ó n s u f r i d a p o r l a c u e r d a q u e m e d í a dx y p a s ó a m e d i r

(dx)

2+ (dy)

2,

e s d e c i r ,

dU = F

(dx)

2+ (dy)

2 − dx



4 . 1 . D E N S I D A D D E E N E R G Í A E N O N D A S M E C Á N I C A S 4 7

dU = F

dx

1 + y2x − dx

h a c i e n d o l a a p r o x i m a c i ó n b i n o m i a l ,

dU = F dx1 +1

2y2x− dx

dU =1

2F y2x dx

dU

dx=

1

2F y2x

wU =1

2F y2x ( 4 . 3 )

d o n d e wU c o r r e s p o n d e a l a d e n s i d a d l i n e a l d e e n e r g í a p o t e n c i a l d e l a c u e r d a . S e m i d e e n J . m

−1. L a d e n s i d a d

v o l u m é t r i c a d e e n e r g í a p o t e n c i a l d e l a c u e r d a , l a c u a l s e m i d e e n J . m

−3, e s ,

uU =dU

Adx=

1

2

F

Ay2x ( 4 . 4 )

s i n e m b a r g o e n e l c a s o d e l a c u e r d a e s m á s e m p l e a d a wU . O b s e r v a r q u e l a d e n s i d a d d e e n e r g í a p o t e n c i a l

e s p r o p o r c i o n a l a l c u a d r a d o d e l a p e n d i e n t e , p o r l o q u e e l e l e m e n t o d e c u e r d a q u e e s t á e n u n a c r e s t a o e n u n

v a l l e c a r e c e d e e n e r g í a p o t e n c i a l , l o c u a l c o n f u n d e y a q u e e n e l m o d e l o d e p a r t í c u l a o s c i l a n d o a r m ó n i c a m e n t e

d e b e r í a t e n e r l a m á x i m a e n e r g í a p o t e n c i a l . E s a q u í e n d o n d e n o s e d e b e u s a r e l m o d e l o d e p a r t í c u l a s i n o d e

e l e m e n t o c o n t i n u o , y a s í s e e n t i e n d e q u e n o p o s e e e n e r g í a p o t e n c i a l e s p o r q u e n o e s t á d e f o r m a d o . E l e l e m e n t o

q u e e s t á p a s a n d o p o r l a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o t i e n e m á x i m a e n e r g í a p o t e n c i a l ( e s e l q u e e s t á m á s d e f o r m a d o ) .

E n l a s i m u l a c i ó n 4 . 1 s e o b s e r v a u n a o n d a v i a j e r a p r o p a g á n d o s e d e i z q u i e r d a a d e r e c h a ; e s f á c i l v e r q u e c u a n d o

u n e l e m e n t o d e c u e r d a p a s a p o r l a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o e s t á m á s e s t i r a d o ( t i e n e l a s p a r t í c u l a s m á s s e p a r a d a s )

y e s e n e s t a s i t u a c i ó n q u e t i e n e m a y o r p e n d i e n t e .

S i m u l a c i ó n 4 . 1 O n d a p r o p a g á n d o s e e n u n a c u e r d a

S e g ú n l a l e y d e H o o k e g e n e r a l i z a d a e l p a r á m e t r o d e e l a s t i c i d a d d e l a c u e r d a e s , β = F A

, p o r l o q u e l a

d e n s i d a d v o l u m é t r i c a d e e n e r g í a p o t e n c i a l g e n e r a l i z a d a p a r a u n a o n d a e l á s t i c a s e r á ,

uU =1

2β y2x ( 4 . 5 )

.

4 . 1 . 3 . D e n s i d a d d e e n e r g í a m e c á n i c a

L a e n e r g í a m e c á n i c a e s i g u a l a l a s u m a d e l a e n e r g í a c i n é t i c a m a s l a e n e r g í a p o t e n c i a l . P o r l o t a n t o l a d e n s i d a d

l i n e a l d e e n e r g í a m e c á n i c a p a r a l a c u e r d a e s :

wE = wK + wU =1

2µ y2t +

1

2F y2x ( 4 . 6 )

o e n s u f o r m a g e n e r a l i z a d a p a r a t o d a s l a s o n d a s m e c á n i c a s ,

uE = uK + uU =1

2ρ y2t +

1

2β y2x ( 4 . 7 )

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/OndaViajeraCuerda.htm




F i g u r a 4 . 2 : P o t e n c i a t r a n s m i t i d a

4 . 1 . 4 . P o t e n c i a t r a n s m i t i d a

S i s e s u p o n e u n a o n d a v i a j a n d o h a c i a v a l o r e s c r e c i e n t e s d e x ( d e i z q u i e r d a a d e r e c h a ) l a p o t e n c i a q u e e n t r e g a

e l e l e m e n t o d e c u e r d a d e l a i z q u i e r d a a l d e l a d e r e c h a ( g u r a 4 . 2 ) e s i g u a l a ,

P = F yvy = (−F sin α) (yt)

c o m o p a r a a m p l i t u d e s p e q u e ñ a s , sin α≈

tan α ,

P = (−F tan α) (yt) ( 4 . 8 )

p o r t a n t o l a p o t e n c i a t r a n s m i t i d a s e c a l c u l a c o n l a e x p r e s i ó n ,

P = −F yx yt ( 4 . 9 )

y s e m i d e e n W ( W a t t s , v a t i o s )

4 . 1 . 5 . I n t e n s i d a d

L a i n t e n s i d a d s e d e n e c o m o l a e n e r g í a q u e u y e a t r a v e s d e u n a s u p e r c i e e n l a u n i d a d d e t i e m p o . E s d e c i r ,

e s p o t e n c i a p o r u n i d a d d e á r e a ,

I =P

A= −F

Ayx yt ( 4 . 1 0 )

e s d e c i r p a r a o n d a s m e c á n i c a s g e n e r a l i z a d a s l a i n t e n s i d a d s e c a l c u l a c o n ,

I = −β yx yt ( 4 . 1 1 )



4 . 2 . E N E R G Í A E N O N D A S V I A J E R A S 4 9

4 . 1 . 6 . U n a n á l i s i s s o b r e e l t r a n s p o r t e y l a c o n s e r v a c i ó n d e l a e n e r g í a

E n l a c u e r d a , l a v a r i a c i ó n i n s t a n t á n e a d e l a d e n s i d a d d e e n e r g í a l i n e a l e s ,

∂wE

∂t= µ

∂y

∂t

∂ 2y

∂t2+ F

∂y

∂x

∂ 2y

∂x∂t= µ

∂y

∂t

V 2

∂ 2y

∂x2

+ F

∂y

∂x

∂ 2y

∂x∂t

∂wE

∂t= F

∂y

∂t

∂ 2y

∂x2+ F

∂y

∂x

∂ 2y

∂x∂t=

∂

∂x

F

∂y

∂t

∂y

∂x

∂wE

∂t+

∂P

∂x= 0 ( 4 . 1 2 )

q u e e s l a e c u a c i ó n d e c o n s e r v a c i ó n d e l a e n e r g í a e n e l p r o c e s o d e t r a n s p o r t e d e e n e r g í a a t r a v é s d e l a c u e r d a

( d e l m e d i o ) . P o r e j e m p l o , l a v a r i a c i ó n n e t a d e e n e r g í a l a m e c á n i c a a c u m u l a d a e n u n t r a m o d e c u e r d a e n t r e d o s

p o s i c i o n e s

x1 y

x2 e s ,

dE

dt=

d

dt

ˆ x2x1

wEdx =

ˆ x2x1

∂wE

∂tdx = −

ˆ x2x1

∂P

∂xdx = P (x1) − P (x2)

h a c i e n d o u n b a l a n c e e n t r e l o s i n s t a n t e s t y t + ∆t s e o b t i e n e ,

E (t + ∆t) −E (t)

∆t= P (x1) − P (x2)

E (t + ∆t) = E (t) + [P (x1) − P (x2)] ∆t

" L a e n e r g í a m e c á n i c a n a l , t r a n s c u r r i d o u n t i e m p o ∆t , e s I G U A L a l a e n e r g í a m e c á n i c a

i n i c i a l M A S l a e n e r g í a m e c á n i c a q u e e n t r a p o r x1 M E N O S l a e n e r g í a m e c á n i c a q u e s a l e p o r

x2 " . P (x) e s l a e n e r g í a , p o r u n i d a d d e t i e m p o , q u e u y e p o r e l p u n t o x, d e i z q u i e r d a a d e r e c h a ,

e s d e c i r l a P O T E N C I A T R A N S M I T I D A e n l a d i r e c c i ó n +x.

4 . 2 . E n e r g í a e n o n d a s v i a j e r a s

4 . 2 . 1 . D e n s i d a d e s d e e n e r g í a

E n l a c i n e m á t i c a d e l a o n d a v i a j e r a , s e m o s t r ó q u e e s t a s c u m p l e n l a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a d e o r d e n 1 ,

−V yx = yt

p o r l o t a n t o ,

uU =1

2β y2x =

1

2β −

1

V yt

2

=1

2β

ρ

β y2t =

1

2ρy2t = uK

e s d e c i r , p a r a o n d a s v i a j e r a s s e c u m p l e q u e ,

uU = uK ( 4 . 1 3 )

y l a d e n s i d a d d e e n e r g í a m e c á n i c a s e s ,

uE = 2uK = 2uU ( 4 . 1 4 )




E n l a s o n d a s v i a j e r a s l a d e n s i d a d d e e n e r g í a p o t e n c i a l y l a d e n s i d a d d e e n e r g í a c i n é t i c a s o n i g u a l e s . E s t o e s

u n a a p a r e n t e c o n t r a d i c c i ó n p u e s t o q u e n o h a y u n a a p a r e n t e c o n v e r s i ó n d e e n e r g í a c i n é t i c a e n e n e r g í a p o t e n c i a l .

P o r e j e m p l o , e n l a c u e r d a e l e l e m e n t o q u e e s t á e n u n a c r e s t a o e n u n v a l l e n o p o s e e n i e n e r g í a c i n é t i c a n i e n e r g í a

p o t e n c i a l y e l q u e e s t á p a s a n d o p o r l a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o p o s e e m á x i m a e n e r g í a c i n é t i c a y m á x i m a e n e r g í a

p o t e n c i a l . S i n e m b a r g o , e s t o n o d e b e s e r m o t i v o d e p r e o c u p a c i ó n p u e s t o q u e e n e l c a s o d e l a o n d a v i a j e r a u n

e l e m e n t o d e l m e d i o e s t á c e d i e n d o l a e n e r g í a a l e l e m e n t o c o n t i g u o y a s í s u c e s i v a m e n t e . H a y u j o d e e n e r g í a : l a

a p a r e n t e p é r d i d a d e e n e r g í a e n a u s e n c i a d e f u e r z a s d e r o z a m i e n t o s e d e b e a q u e e s t á e l l a u y e n d o .

4 . 2 . 2 . I n t e n s i d a d

L a i n t e n s i d a d s e c a l c u l a c o n l a e x p r e s i ó n 4 . 1 1 , y p o r l o t a n t o s e t e n d r á p a r a l a o n d a v i a j e r a ,

I = −β yx yt = −β yx (−V yx) = β V y2x

I = V uE ( 4 . 1 5 )

y s e m i d e e n W . m

−2.

4 . 2 . 3 . O n d a s v i a j e r a s a r m ó n i c a s

4 . 2 . 3 . 1 . D e n s i d a d e s d e e n e r g í a

S i l a o n d a q u e s e p r o p a g a p o r e l m e d i o m a t e r i a l e s a r m ó n i c a p l a n a e n e l s e n t i d o p o s i t i v o d e l a x, l a e l o n g a c i ó n

y l a v e l o c i d a d d e v i b r a c i ó n d e l o s e l e m e n t o s d e l m e d i o s o n r e s p e c t i v a m e n t e ,

y (x, t) = A sin(kx − ωt + ϕ0)

yt (x, t) = −ωA cos(kx − ωt + ϕ0)

p o r l o t a n t o l a d e n s i d a d d e e n e r g í a c i n é t i c a d e u n e l e m e n t o d e l a c u e r d a e s ,

uK =1

2ρy2t =

1

2ρω2A2 cos2 (kx − ωt + ϕ0) ( 4 . 1 6 )

c o m o e n l a o n d a e s v i a j e r a ,

uU = uK , l a d e n s i d a d d e e n e r g í a p o t e n c i a l d e u n e l e m e n t o s e r á ,

uU =1

2ρω2A2 cos2 (kx − ωt + ϕ0) ( 4 . 1 7 )

a d e m á s l a d e n s i d a d d e e n e r g í a m e c á n i c a e s ,

uE = ρω2A2 cos2 (kx − ωt + ϕ0) ( 4 . 1 8 )

L a e n e r g í a m e c á n i c a d e u n e l e m e n t o dx d e c u e r d a n o s e c o n s e r v a . E l e l e m e n t o c u y o c e n t r o d e m a s a e s t á

i n s t a n t á n e a m e n t e e n l a p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o , t i e n e m á x i m a d e f o r m a c i ó n y m á x i m a r a p i d e z , p o r t a n t o t e n d r á

m á x i m a e n e r g í a p o t e n c i a l y m á x i m a e n e r g í a c i n é t i c a . E l e l e m e n t o c u y o c e n t r o d e m a s a e s t á i n s t a n t á n e a m e n t e

e n u n a c r e s t a o e n u n v a l l e , t e n d r á p e n d i e n t e c e r o ( n o e s t á d e f o r m a d o ) y r a p i d e z c e r o , p o r l o t a n t o t e n d r á

e n e r g í a p o t e n c i a l n u l a y e n e r g í a c i n é t i c a n u l a . E n d e n i t i v a n o h a y c o n v e r s i ó n d e e n e r g í a c i n é t i c a e n p o t e n c i a l

y v i c e v e r s a . P o d r í a p e n s a r s e c o m o u n c a s o d e v i o l a c i ó n d e l a c o n s e r v a c i ó n d e l a e n e r g í a , s i n e m b a r g o , l a e n e r g í a

m e c á n i c a n o p e r m a n e c e c o n s t a n t e e s d e b i d o a q u e l a e n e r g í a e s t á u y e n d o ( s e e s t á p r o p a g a n d o ) .

E n l a s i m u l a c i ó n 4 . 2 s e i l u s t r a l a v a r i a c i ó n d e l a s e n e r g í a s c i n é t i c a , p o t e n c i a l y m e c á n i c a d e t o d o s l o s e l e m e n t o s

d e u n a c u e r d a p o r l a q u e s e p r o p a g a u n a o n d a t r a n s v e r s a l . S e d e t a l l a l a v a r i a c i ó n d e e s t a s e n e r g í a s e n u n o d e

l o s e l e m e n t o s .



4 . 2 . E N E R G Í A E N O N D A S V I A J E R A S 5 1

S i m u l a c i ó n 4 . 2 C o m p o r t a m i e n t o e n e r g é t i c o d e l o s e l e m e n t o s d e u n a c u e r d a a t r a v é s d e l a c u a l s e

p r o p a g a u n a o n d a .

E n l a s i m u l a c i ó n 4 . 3 s e i l u s t r a l a v a r i a c i ó n d e l a s e n e r g í a c i n é t i c a y p o t e n c i a l e n u n a p a r t í c u l a q u e o s c i l a

a r m ó n i c a m e n t e . S e o b s e r v a l a c o n s t a n c i a e n l a e n e r g í a m e c á n i c a y l a c o n v e r s i ó n p e r m a n e n t e d e e n e r g í a c i n é t i c a

e n p o t e n c i a l y v i c e v e r s a .

S i m u l a c i ó n 4 . 3 C o m p o r t a m i e n t o e n e r g é t i c o e n u n o s c i l a d o r a r m ó n i c o .

4 . 2 . 3 . 2 . P o t e n c i a e i n t e n s i d a d

L a i n t e n s i d a d d e l a o n d a v i a j e r a s e c a l c u l a c o n l a e c u a c i ó n 4 . 1 5 ,

I = ρω2A2V cos2 (kx − ωt + ϕ0) ( 4 . 1 9 )

y e n p r o m e d i o ,

I =1

2ρω2A2V ( 4 . 2 0 )

L a p o t e n c i a s e o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o l a i n t e n s i d a d p o r e l á r e a d e l a s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e l e l e m e n t o . E s d e c i r ,

P = µω2A2V cos2 (kx − ωt + ϕ0) ( 4 . 2 1 )

y s u p r o m e d i o e n u n p e r i o d o e s ,

P =1

2µω2A2V ( 4 . 2 2 )

4 . 2 . 4 . D e p e n d e n c i a d e l a i n t e n s i d a d d e l a g e o m e t r í a d e l f r e n t e d e o n d a

D e s p r e c i a n d o l a d i s i p a c i ó n d e e n e r g í a c u a n d o l a o n d a s e p r o p a g a , s e t e n d r á ,

(I n t e n s i d a d p r o m e d i o t r a n s m i t i d a p o r l a o n d a ) (á r e a d e l f r e n t e d e o n d a ) = c o n s t a n t e ( 4 . 2 3 )

4 . 2 . 4 . 1 . F r e n t e d e o n d a p l a n a

C o m o e l á r e a d e l f r e n t e d e o n d a p l a n o p e r m a n e c e c o n s t a n t e c u a n d o l a o n d a v i a j a , s e c o n c l u y e q u e s u

i n t e n s i d a d s e m a n t i e n e c o n s t a n t e .

4 . 2 . 4 . 2 . F r e n t e d e o n d a c i l í n d r i c o

C o m o e l á r e a d e l f r e n t e d e o n d a c i l í n d r i c o a u m e n t a p r o p o r c i o n a l m e n t e c o n e l r a d i o d e é s t e , ( a r e a f e n t e o n d a =2πrL ) , s e c o n c l u y e q u e :

I 1 × 2πr1L = I 2 × 2πr2L

I 1I 2

=r2r1

( 4 . 2 4 )

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/MasEnergiaTiempo.html

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/OndaViajeraEnergiaCuerda.htm

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/OndaViajeraEnergiaCuerda.htm




4 . 2 . 4 . 3 . F r e n t e d e o n d a e s f é r i c o

C o m o e l á r e a d e l f r e n t e d e o n d a e s f é r i c o a u m e n t a p r o p o r c i o n a l m e n t e c o n e l c u a d r a d o d e l r a d i o d e é s t e ,

( a r e a f e n t e o n d a = 4πr2 ) , s e c o n c l u y e q u e :

I 1 × 4πr21 = I 2 × 4πr22

I 1I 2

=r22r21

( 4 . 2 5 )

e s t a e x p r e s i ó n s e c o n o c e c o n e l n o m b r e d e l e y d e l i n v e r s o c u a d r a d o .



P a r t e I I

O N D A S M E C Á N I C A S

E S T A C I O N A R I A S

5 3



Capıtulo5C I N E M Á T I C A

E s n e c e s a r i o n e c e s a r i o d i f e r e n c i a r e n t r e

l a s d e n o m i n a d a s o n d a s v i a j e r a s y l a s d e n o -

m i n a d a s o n d a s e s t a c i o n a r i a s ; s u c o m p o r t a -

m i e n t o c i n e m á t i c o y l a d i s t r i b u c i ó n e n e r g é -

t i c a e s d i s t i n t o . P o r e j e m p l o , e n l a s o n d a s

e s t a c i o n a r i a s , e n e l m e d i o m a t e r i a l s e p r e s e n -

t a n " p u n t o s " q u e p e r m a n e c e n q u i e t o s , l o q u e

n o s u c e d e e n l a s o n d a s v i a j e r a s : l a s o n d a s

e s t a c i o n a r i a s s e o b t i e n e n m e d i a n t e l a s u p e r -

p o s i c i ó n d e u n a o n d a v i a j e r a i n c i d e n t e y s u

r e e x i ó n e n l a f r o n t e r a d e l m e d i o .

P a r a e l e s t u d i o d e l f e n ó m e n o d e r e s o n a n c i a ,

p o r e j e m p l o e n l a v i b r a c i ó n d e u n a e s t r u c t u r a

o d e u n a c o l u m n a d e a i r e , e s n e c e s a r i o h a c e r

u n b u e n a n á l i s i s d e l a s o n d a s e s t a c i o n a r i a s

q u e s e p u e d e n p r e s e n t a r e n e s o s s i s t e m a s c o n

b a s e e n s u s c o n d i c i o n e s d e f r o n t e r a . E s t a s s e r á n l a s i d e a s f u n d a m e n t a l e s q u e s e r á n d e b i d a m e n t e t r a t a d a s e n e s t e

c a p í t u l o .

5 . 1 . R e e x i ó n d e o n d a s e n l a s f r o n t e r a s

F r o n t e r a N O D O S i e l e x t r e m o d e u n a c u e r d a e s t á a t a d o , l a o n d a q u e s e p r o p a g a e n e l l a a l l l e g a r a e s t e

e x t r e m o s e d e s f a s a e n π e n l a r e e x i ó n .

S i m u l a c i ó n 5 . 1 R e e x i ó n d e l a o n d a e n e x t r e m o c o n N O D O

F o r n t e r a V I E N T R E S i e l e x t r e m o d e u n a c u e r d a e s t á l i b r e , l a o n d a q u e s e p r o p a g a e n e l l a a l l l e g a r a e s t e

e x t r e m o n o s e d e s f a s a e n l a r e e x i ó n .

S i m u l a c i ó n 5 . 2 R e e x i ó n d e l a o n d a e n e x t r e m o c o n V I E N T R E

5 . 2 . P r i n c i p i o d e S u p e r p o s i c i ó n

L a e c u a c i ó n d i f e r e n c i a l d e o n d a e s l i n e a l . P o r l o t a n t o , s i s e t i e n e n d o s s o l u c i o n e s d e e s t a e c u a c i ó n , l a c o m -

b i n a c i ó n l i n e a l d e e l l a s t a m b i é n s e r á s o l u c i ó n . E n f í s i c a e s t a p r o p i e d a d r e c i b e e l n o m b r e d e " p r i n c i p i o d e s u p e r -

5 5

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/frontera_vientre.htm

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/frontera_nodo.htm




p o s i c i ó n " : s i d o s o n d a s s e s o l a p a n , l a e l o n g a c i ó n d e l a o n d a r e s u l t a n t e s e r á l a s u m a v e c t o r i a l d e l a s e l o n g a c i o n e s

d e l a s o n d a s i n d i v i d u a l e s . A c o n t i n u a c i ó n s e e x p o n e n d i f e r e n t e s s i t u a c i o n e s d e i n t e r é s .

S u p e r p o s i c i ó n d e d o s p u l s o s d e i g u a l a m p l i t u d q u e e n l a r e g i ó n d e s o l a p a m i e n t o e s t á n e n f a s e

E n l a r e g i ó n d e e n c u e n t r o s e r e f u e r z a n y d a u n p u l s o c u y a a m p l i t u d e s e l d o b l e ; s i n e m b a r g o u n a v e z q u e l a

a b a n d o n a n s i g u e n p r o p a g á n d o s e i n t a c t o s .

S i m u l a c i ó n 5 . 3 S u p e r p o s i c i ó n d e p u l s o s e n f a s e

S u p e r p o s i c i ó n d e d o s p u l s o s d e i g u a l a m p l i t u d q u e e n l a r e g i ó n d e s o l a p a m i e n t o e s t á n e n o p o s i c i ó n

E n l a r e g i ó n d e e n c u e n t r o s e a n u l a n ; s i n e m b a r g o u n a v e z q u e l a a b a n d o n a n s i g u e n p r o p a g á n d o s e i n t a c t o s .

S i m u l a c i ó n 5 . 4 S u p e r p o s i c i ó n d e p u l s o s e n o p o s i c i ó n

S u p e r p o s i c i ó n d e d o s o n d a s v i a j e r a s a r m ó n i c a s q u e s e p r o p a g a n e n l a m i s m a d i r e c c i ó n , e l m i s m o

s e n t i d o y q u e a d e m á s t i e n e n i g u a l f r e c u e n c i a L a o n d a r e s u l t a n t e e s u n a o n d a v i a j e r a y a r m ó n i c a d e i g u a l

f r e c u e n c i a y c u y a a m p l i t u d d e p e n d e s e l a d i f e r e n c i a d e f a s e i n i c i a l e n t r e e l l a s .

S i m u l a c i ó n 5 . 5 S u p e r p o s i c i ó n d e o n d a s a r m ó n i c a s v i a j e r a s d e i g u a l d i r e c c i ó n , s e n t i d o y f r e c u e n c i a .

S u p e r p o s i c i ó n d e d o s o n d a s a r m ó n i c a s v i a j e r a s q u e s e p r o p a g a n e n l a m i s m a d i r e c c i ó n , e l m i s m o

s e n t i d o y q u e t i e n e n d i f e r e n t e f r e c u e n c i a E l r e s u l t a d o e s u n a o n d a v i a j e r a q u e n o e s a r m ó n i c a s i n o q u e

t i e n e a m p l i t u d m o d u l a d a : o b s e r v e q u e c a d a o s c i l a d o r p u l s a .

S i m u l a c i ó n 5 . 6 S u p e r p o s i c i ó n d e o n d a s a r m ó n i c a s v i a j e r a s d e i g u a l d i r e c c i ó n , s e n t i d o y f r e c u e n c i a

d i f e r e n t e .

S u p e r p o s i c i ó n d e d o s o n d a s a r m ó n i c a s v i a j e r a s q u e s e p r o p a g a n e n l a m i s m a d i r e c c i ó n , s e n t i d o s

o p u e s t o s y q u e t i e n e n i g u a l f r e c u e n c i a e i g u a l a m p l i t u d E l r e s u l t a d o e s u n a o n d a a r m ó n i c a e s t a c i o n a r i a .

S i m u l a c i ó n 5 . 7 S u p e r p o s i c i ó n d e o n d a s a r m ó n i c a s v i a j e r a s d e i g u a l d i r e c c i ó n y f r e c u e n c i a p e r o

s e n t i d o o p u e s t o .

5 . 3 . O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n a c u e r d a c o n e x t r e m o s j o s

E n l a g u r a 5 . 1 s e i l u s t r a u n a c u e r d a a t a d a e n s u s e x t r e m o s ( c o m o u n a c u e r d a d e g u i t a r r a ) . E n e s t e c a s o s e

d i c e q u e l a s f r o n t e r a s d e l a c u e r d a s o n d o s N O D O S .

C u a n d o s e p e r t u r b a l a c u e r d a , p o r e j e m p l o e n s u e x t r e m o i z q u i e r d o , s e g e n e r a u n a o n d a q u e s e d e n o m i n a

l a o n d a i n c i d e n t e , yi , l a c u a l a l r e e j a r s e e n e l e x t r e m o d e r e c h o o r i g i n a u n a s e g u n d a o n d a q u e s e d e n o m i n a

r e e j a d a , yr , q u e t i e n e l a m i s m a f r e c u e n c i a y l o n g i t u d d e o n d a ,

yi = Ai sin(kx

−wt) ( 5 . 1 )

yr = Ar sin(kx + wt + ϕ0) ( 5 . 2 )

P o r l o t a n t o , l a c u e r d a o s c i l a r á c o n u n a s u p e r p o s i c i ó n d e e s t a s d o s o n d a s ,

y = yi + yr = Ai sin(kx − wt) + Ar sin(kx + wt + ϕ0) ( 5 . 3 )

L a s c o n d i c i o n e s d e f r o n t e r a s o n ,

y (0, t) = y (L, t) = 0, ∀t( 5 . 4 )

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/superposicion_ondas_armonicas_sentido_opuesto_igual_frecuencia.htm


http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/superposicion_igual_direccion_sentido_diferente_frecuencia.htm

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/superposicion_igual_direccion_sentido_diferente_frecuencia.htm

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/superposicion_igual_direccion_sentido_frecuencia.htm

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/supreposicion_oposicion.htm

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/superposicion_fase.htm



5 . 3 . O N D A S E S T A C I O N A R I A S E N U N A C U E R D A C O N E X T R E M O S F I J O S 5 7

F i g u r a 5 . 1 : C u e r d a a t a d a e n l o s e x t r e m o s

A p l i c a n d o l a p r i m e r a c o n d i c i ó n ,

y (0, t) = 0 ,

∀t.

−Ai + Ar cos ϕ0 = 0Ar sin ϕ0 = 0

e s d e c i r , ϕ0 = 0, π ( v a l o r e s m á s r e p r e s e n t a t i v o s ) . S i s e t o m a e l v a l o r d e π , s e o b t i e n e , Ar = −Ai , l o c u a l n o e s

p o s i b l e p u e s t o q u e a m b a s a m p l i t u d e s d e b e n s e r p o s i t i v a s ( a m p l i t u d e s n e g a t i v a s n o t i e n e n i n t e r p r e t a c i ó n f í s i c a ) .

P o r l o t a n t o

ϕ0 = 0 y

Ar = Ai = A, a s í q u e l a e c u a c i ó n 5 . 3 s e t r a n s f o r m a e n ,

y = yi + yr = A sin(kx − wt) + A sin(kx + wt) ( 5 . 5 )

N o t a : E s i m p o r t a n t e a n o t a r q u e ϕ0 = 0 c o r r e s p o n d e a u n a d i f e r e n c i a d e f a s e e n t r e l a o n d a i n c i d e n t e yi

y l a r e e j a d a yr e n x = 0 d e π ,

yr|x=0 = Ar sin wt

yi|x=0 = −Ai sin wt

y p o r t a n t o ,

yi|x=0 = −yr|x=0

E n d e n i t i v a , l a c u e r d a o s c i l a c o n u n a s u p e r p o s i c i ó n ( e n e s t e c a s o s e r á u n a i n t e r f e r e n c i a ) d e d o s o n d a s v i a j e r a s

q u e v i b r a n e n l a m i s m a d i r e c c i ó n y q u e s e p r o p a g a n e n s e n t i d o s o p u e s t o s p e r o c o n t o d o s s u s p a r á m e t r o s i g u a l e s

( a m p l i t u d , n ú m e r o d e o n d a , l o n g i t u d d e o n d a , f r e c u e n c i a , p e r í o d o ) , e c u a c i ó n 5 . 5 , o s u e q u i v a l e n t e ,

y = 2A sin kx cos wt ( 5 . 6 )

S i m u l a c i ó n 5 . 8 S u p e r p o s i c i ó n d e o n d a s a r m ó n i c a s v i a j e r a s d e i g u a l d i r e c c i ó n , s e n t i d o o p u e s t o e

i g u a l f r e c u e n c i a . .

A e s t e t i p o d e o n d a s s e l e s d e n o m i n a o n d a s e s t a c i o n a r i a s . M a t e m á t i c a m e n t e s e c a r a c t e r i z a n p o r q u e s o n

d e v a r i a b l e s s e p a r a b l e s ( s o n e l p r o d u c t o d e u n a f u n c i ó n q u e s o l o d e p e n d e d e l t i e m p o t , c o n u n a f u n c i ó n q u e






s o l o d e p e n d e d e l a p o s i c i ó n x) . C u m p l e n l a e c u a c i ó n d e o n d a d e o r d e n d o s V 2 yxx = ytt , p e r o n o l a d e o r d e n

u n o −V yx = yt , . E s t o t r a e c o n s e c u e n c i a s s o r p r e n d e n t e s q u e d i f e r e n c i a n s u s t a n c i a l m e n t e e l c o m p o r t a m i e n t o

c i n e m á t i c o y e n e r g é t i c o d e u n a o n d a v i a j e r a d e l d e u n a o n d a e s t a c i o n a r i a . P o r e j e m p l o e n l a o n d a s e s t a c i o n a r i a s

h a y e l e m e n t o s d e l m e d i o d o n d e s u s c e n t r o s d e m a s a n o s e m u e v e n e n n i n g ú n i n s t a n t e y e s t á n u b i c a d o s e n

l a s p o s i c i o n e s d e n o m i n a d a s N O D O S , y e l e m e n t o s d e l m e d i o d o n d e s u s c e n t r o s d e m a s a e s t á u b i c a d o s e n l a s

p o s i c i o n e s l l a m a d a s V I E N T R E S o A N T I N O D O S e n d o n d e e n t o d o i n s t a n t e l a p e n d i e n t e e s n u l a .

S i m u l a c i ó n 5 . 9 O n d a e s t a c i o n a r i a e n u n a c u e r d a . .

E n l a p r á c t i c a c o m o l o s m e d i o s s o n l i m i t a d o s ( p o s e e n f r o n t e r a s ) , s e v a n a p r e s e n t a r m u y a m e n u d o l a

s u p e r p o s i c i ó n d e e s t a d o s o n d a s v i a j e r a s ( i n c i d e n t e y r e e j a d a ) p a r a o b t e n e r s e o n d a s e s t a c i o n a r i a s .

N o d o s y V i e n t r e s E n u n a o n d a e s t a c i o n a r i a h a y e l e m e n t o s d e l m e d i o c u y o s c e n t r o s d e m a s a s e m a n t i e n e n

q u i e t o s e n t o d o i n s t a n t e y e s t á n u b i c a d o s e n l o s d e n o m i n a d o s N O D O S y h a y e l e m e n t o s d e l m i s m o c u y o c e n t r o

d e m a s a v i b r a e n u n a p o s i c i ó n d e n o m i n a d a V I E N T R E o A N T I N O D O e n d o n d e l a p e n d i e n t e e s c e r o e n t o d o

i n s t a n t e . E n t r e N O D O y N O D O o e n t r e V I E N T R E y V I E N T R E c o n s e c u t i v o s h a y u n a s e p a r a c i ó n d e

λ2

p o r l o

q u e l a s e p a r a c i ó n e n t r e V I E N T R E S y N O D O S c o n s e c u t i v o s s e r á

λ4

.

P a r a m o s t r a r l o d i c h o e n e l p á r r a f o a n t e r i o r , s e d e b e t e n e r e n c u e n t a q u e e n l o s N O D O S s e d e b e n c u m p l i r

q u e l a v e l o c i d a d d e v i b r a c i ó n e n t o d o i n s t a n t e e s n u l a ( yt = 0 ,

∀t ) y e n l o s v i e n t r e s l a p e n d i e n t e d e y = f (x)

d e b e s e r n u l a e n t o d o i n s t a n t e ( yx = 0, ∀t ) .

P o s i c i ó n d e l o s N O D O S

∂y

∂t= 0, ∀t

D e r i v a n d o l a e c u a c i ó n 5 . 6 ,

−2wA sin kx sin wt = 0, ∀t

sin kx = 0

kx = nπ, n = 0,±1,±2, . . .( 5 . 7 )

s i n e m b a r g o , p a r a e l c a s o d e l a c u e r d a q u e s e e s t á c o n s i d e r a n d o , n = 0, 1, 2, 3, .., y a q u e n o t e n d r í a n s e n t i d o

l o s v a l o r e s n e g a t i v o s .

A d i c i o n a l m e n t e , l a s e p a r a c i ó n e n t r e d o s n o d o s c o n s e c u t i v o s s e r á ,

xn+1 − xn =λ

2( 5 . 8 )

e s d e c i r , d o s n o d o s c o n s e c u t i v o s e s t á n s e p a r a d o s

λ2

.

P o s i c i ó n d e l o s V I E N T R E S

∂y

∂x= 0, ∀t

D e r i v a n d o l a e c u a c i ó n 5 . 6 ,

2kA cos kx cos wt = 0, ∀t

cos kx = 0

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/onda_cuerda_nodos_vientres.htm




kx = (2n − 1)π

2, n = 0,±1,±2, . . . ( 5 . 9 )

s i n e m b a r g o , p a r a e l c a s o d e l a c u e r d a q u e s e e s t á c o n s i d e r a n d o , n = 1, 2, 3, .., y a q u e n o t e n d r í a n s e n t i d o l o s

v a l o r e s n e g a t i v o s .

A n á l o g a m n e t e a l c a s o d e l o s n o d o s , s e p u e d e m o s t r a r q u e l a s e p a r a c i ó n e n t r e v i e n t r e s c o n s e c u t i v o s e s

i g u a l a

λ2

.

A p l i c a n d o l a s e g u n d a c o n d i c i ó n d e f r o n t e r a , y (L, t) = 0, ∀t H a c i e n d o x = L e n l a e c u a c i ó n 5 . 6 ,

2A sin kL cos wt = 0, ∀t

kL = nπ, n = 0,±1, . . .

a q u í s e d e b e n d e s e c h a r l o s v a l o r e s n e g a t i v o s d e n y a q u e c o r r e s p o n d e r í a n a n ú m e r o s d e o n d a n e g a t i v o s y p o r

e n d e c o m o k = 2πλ

, c o r r e s p o n d e r í a a l o n g i t u d e s d e o n d a n e g a t i v a s , l o q u e n o t e n d r í a s i g n i c a d o f í s i c o . T a m b i é n

s e d e b e d e s e c h a r n = 0 , p u e s t o q u e c o r r e s p o n d e r í a a u n a l o n g i t u d d e o n d a i n n i t a , l o q u e s i g n i c a r í a q u e e l

m e d i o n o v i b r a ( l a c u e r d a n o v i b r a ) , l o c u a l s e r í a e l c a s o t r i v i a l . E n d e n i t i v a s e o b t i e n e ,

kL = nπ, n = 1, 2, . . .

s e o b s e r v a q u e e l n ú m e r o d e o n d a e n t r a a d e p e n d e r d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s . E s i n t e r e s a n t e r e m a r c a r

e s t o c o l o c a n d o l e s u b í n d i c e n,

kn =nπ

L, n = 1, 2, . . . ( 5 . 1 0 )

C o m o k = 2πλ

y λf = V , s e p u e d e e s c r i b i r t a m b i é n r e l a c i o n e s e q u i v a l e n t e s p a r a l a s l o n g i t u d e s d e o n d a y

p a r a l a s f r e c u e n c i a s ,

λn =2L

n( 5 . 1 1 )

f n =nV

2L( 5 . 1 2 )

D e e s t a s d o s r e l a c i o n e s s e c o n c l u y e q u e :

λn = 2L

n

s i g n i c a q u e l a c u e r d a c o n f r o n t e r a s v i b r a e n u n a o n d a e s t a c i o n a r i a , c u a n d o e n l a l o n g i t u d d e l a

c u e r d a c a b e n e x a c t a m e n t e u n n ú m e r o e n t e r o d e s e m i l o n g i t u d e s d e o n d a :

L = n

λn

2

( 5 . 1 3 )

l a f r e c u e n c i a d e l a c u e r d a c o n f r o n t e r a s e s t á c u a n t i z a d a . E s d e c i r l a c u e r d a t i e n e u n a c o l e c c i ó n d e f r e c u e n c i a s

a l a s c u a l e s p o d r á v i b r a r c o m o o n d a e s t a c i o n a r i a . A e s t a s f r e c u e n c i a s s e l e s d e n o m i n a f r e c u e n c i a s p r o p i a s

o f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s ,

f n . A l a f r e c u e n c i a m á s b a j a ,

f 1 = V 2L

s e l e d e n o m i n a f r e c u e n c i a d e l p r i m e r

a r m ó n i c o o f r e c u e n c i a f u n d a m e n t a l . A l a s e g u n d a f r e c u e n c i a f 2 = 2f 1 , s e l e d e n o m i n a f r e c u e n c i a d e l

s e g u n d o a r m ó n i c o , y a s í s u c e s i v a m e n t e .




a c a d a a r m ó n i c o n ( o t a m b i é n l l a m a d o o n d a e s t a c i o n a r i a n) d e l a c u e r d a c o n f r o n t e r a s l e c o r r e s p o n d e u n a

o n d a d a d a p o r l a e c u a c i ó n ,

yn = 2An sin knx cos wnt( 5 . 1 4 )

e n d o n d e a l a e x p r e s i ó n an (x) = 2An sin knx s e l e d e n o m i n a p e r l d e l a r m ó n i c o n

c o m o yn = an (x)cos wnt, s e c o n c l u y e q u e c u a n d o l a c u e r d a c o n f r o n t e r a s v i b r a c o m o u n a o n d a e s t a c i o n a r i a

( e s d e c i r , e n u n a r m ó n i c o ) , t o d a s s u s e l e m e n t o s ( e x c e p t u a n d o l o s N O D O S ) v i b r a n c o n m o v i m i e n t o a r m ó n i c o

s i m p l e p e r o c o n u n a a m p l i t u d q u e d e p e n d e r á d e l a p o s i c i ó n d e l e l e m e n t o s o b r e l a c u e r d a , an (x) , p e r o t o d o s

t i e n e n i g u a l f r e c u e n c i a f n .

C a d a a r m ó n i c o t i e n e u n a l o n g i t u d d e o n d a λn = 2Ln

y u n a f r e c u e n c i a f n d i f e r e n t e s a l o s d e m á s a r m ó n i c o s .

S i n e m b a r g o , e l p r o d u c t o d e e s t a s d o s m a g n i t u d e s d e b e s e r c o n s t a n t e p a r a t o d o s l o s a r m ó n i c o s ,

λnf n = V ( 5 . 1 5 )

E n l a g u r a 5 . 2 s e a n a l i z a l o s p r i m e r o s a r m ó n i c o s d e e s t a c u e r d a c o n n o d o s e n l a f r o n t e r a s . E n l o s N O D O S

l a c u e r d a n o v i b r a y e n l o s V I E N T R E S l a c u e r d a v i b r a c o n m á x i m a a m p l i t u d ( 2An ) . E n l a g u r a l a r e l a c i ó n d e

l a c o l u m n a 3 s e o b t i e n e o b s e r v a n d o l a s g r á c a s d e l a c o l u m n a 2 . L a r e l a c i ó n d e f r e c u e n c i a d e l a c o l u m n a 4 s e

p u e d e o b t e n e r a p a r t i r d e l a c o l u m n a 3 s a b i e n d o q u e

λnf n = V . E s d e c i r , m e d i a n t e o b s e r v a c i ó n d e l o s p e r l e s

d e l o s a r m ó n i c o s s e p u e d e c o n c l u i r q u e ,

f n =nV

2Ld o n d e

ns o n l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s ,

V l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s v i a j e r a s t r a n s v e r s a l e s e n l a

c u e r d a ( q u e c o m p o n e n l a o n d a e s t a c i o n a r i a ) y

Ll a l o n g i t u d d e l a c u e r d a .

S e d e b e n o b s e r v a r l o s s i g u i e n t e s d e t a l l e s e n e l m o v i m i e n t o d e l o s e l e m e n t o s d e l a c u e r d a c u a n d o é s t a v i b r a

c o m o o n d a e s t a c i o n a r i a :

E n t r e n o d o y n o d o c o n s e c u t i v o ( o e n t r e v i e n t r e y v i e n t r e c o n s e c u t i v o ) l a s e p a r a c i ó n e s i g u a l a

λn2

, s i e n d o

λn l a l o n g i t u d d e o n d a d e l m o d o r e s p e c t i v o .

E n t r e n o d o y v i e n t r e c o n s e c u t i v o l a s e p a r a c i ó n e s i g u a l a

λn4

, s i e n d o λn l a l o n g i t u d d e o n d a d e l m o d o

r e s p e c t i v o .

E n t r e n o d o y n o d o c o n s e c u t i v o t o d o s l o s e l e m e n t o s v i b r a n ( e n c u a n t o a l a v a r i a b l e t i e m p o ) e n f a s e . E n

c a m b i o a l a d o s o p u e s t o s d e u n m i s m o n o d o l o s e l e m e n t o s v i b r a n e n o p o s i c i ó n ( e s d e c i r d e s f a s a d o s π ) . P o r

t a n t o e n u n a o n d a e s t a c i o n a r i a l o s e l e m e n t o s q u e v i b r a n e s t á n e n f a s e o e s t á n e n o p o s i c i ó n .

L o s e l e m e n t o s q u e e s t á n e n l o s v i e n t r e s s e m u e v e n c o n m a y o r r a p i d e z p r o m e d i o .

H a y i n s t a n t e s e n q u e t o d a s l o s e l e m e n t o s d e l a c u e r d a p a s a n s i m u l t á n e a m e n t e p o r s u p o s i c i ó n d e e q u i l i b r i o .

E s d e c i r , h a y i n s t a n t e s e n q u e l a c u e r d a e s t á a l i n e a d a .

T o d o s l o s e l e m e n t o s d e l a c u e r d a ( e x c e p t o l a s q u e e s t á n e n l o s n o d o s ) v i b r a n c o n l a m i s m a f r e c u e n c i a f y

e l m i s m o p e r í o d o P p e r o n o c o n l a m i s m a a m p l i t u d .

S i m u l a c i ó n 5 . 1 0 O n d a e s t a c i o n a r i a e n u n a c u e r d a : 1 0 p r i m e r o s m o d o s

S i m u l a c i ó n 5 . 1 1 C r o n o g r a m a s o n d a s e s t a c i o n a r i a s : t r a n s v e r s a l y l o n g i t u d i n a l

E j e r c i c i o 5 . 1 U n a c u e r d a c o n s u s e x t r e m o s j o s e s t á v i b r a n d o e n u n o d e s u s a r m ó n i c o s , d e t a l f o r m a q u e

l a e c u a c i ó n d e l a e l o n g a c i ó n e n e n S I e s

y = 0,002sin3πx cos5πt. C a l c u l a r : ( a ) L a f r e c u e n c i a d e a n g u l a r d e

v i b r a c i ó n . ( b ) L a f r e c u e n c i a d e v i b r a c i ó n e n H z . ( c ) E l n ú m e r o d e o n d a . ( d ) L a l o n g i t u d d e o n d a . ( e ) L a v e l o c i d a d

d e p r o p a g a c i ó n y l a a m p l i t u d d e l a s o n d a s v i a j e r a s q u e l a c o m p o n e n . ( f ) S u l o n g i t u d , s i e l m o d o e n e l q u e v i b r a

e s e l a r m ó n i o c i n c o . E s c r i b i r e n e l S I l a s e c u a c i o n e s d e l a e l o n g a c i ó n d e l a s o n d a s v i a j e r a s q u e l a c o m p o n e n .

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/cronogramas_ondas_estacionarias.htm

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/10_modos_cuerda.htm




F i g u r a 5 . 2 : P e r l e s d e a l g u n o s a r m ó n i c o s




F i g u r a 5 . 3 : C u e r d a y r e s o r t e v i b r a n d o e n r e s o a n a c i a

5 . 4 . O b t e n c i ó n d e o n d a s e s t a c i o n a r i a s p o r r e s o n a n c i a

¾ C ó m o o s c i l a u n a c u e r d a c u a n d o u n a g e n t e e x t e r n o l a e x c i t a ? S i e l a g e n t e e x t e r n o s ó l o e j e r c e u n a

e x c i t a c i ó n q u e n o e s p e r m a n e n t e , l a c u e r d a o s c i l a r á e n u n a c o m b i n a c i ó n d e a r m ó n i c o s , l o s c u a l e s s e d i s t r i b u i r á n

l a e n e r g í a d e a c u e r d o a l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s ( f o r m a c o m o f u e e x c i t a d a ) . L a a m p l i t u d d e v i b r a c i ó n n o s e r á

m u y g r a n d e .

S i e l a g e n t e e x t e r n o e j e r c e l a e x c i t a c i ó n p e r m a n e n t e m e n t e , l a c u e r d a v i b r a r á a l a f r e c u e n c i a d e e s t e a g e n t e y

e n c a s o d e n o c o i n c i d i r c o n a l g u n a d e l a s f r e c u e n c i a s p r o p i a s d e l a c u e r d a s e g u i r á h a b i e n d o u n a c o m b i n a c i ó n d e

a r m ó n i c o s . D e n u e v o l a a m p l i t u d d e v i b r a c i ó n n o s e r á a p r e c i a b l e . E n c a s o d e c o i n c i d i r l a f r e c u e n c i a e x c i t a d o r a

c o n u n a d e l a f r e c u e n c i a s d e a l g u n o d e l o s a r m ó n i c o s , e n t r a r á l a c u e r d a e n R E S O N A N C I A y s ó l o v i b r a r á e n

e s t e a r m ó n i c o y c o n a m p l i t u d a p r e c i a b l e . E n e s t a s i t u a c i ó n s e d i c e q u e l a c u e r d a e s t á o s c i l a n d o e n u n a o n d a

e s t a c i o n a r i a .

¾ C ó m o l o g r a r q u e u n a c u e r d a o s c i l e e n u n a r m ó n i c o d e t e r m i n a d o ? L a p r i m e r a f o r m a p a r a l o g r a r q u e

l a c u e r d a o s c i l e e n u n a r m ó n i c o d e t e r m i n a d o , e s d á n d o l e l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s n e c e s a r i a s p a r a f a v o r e c e r s ó l o

e s t e a r m ó n i c o . P o r e j e m p l o d á n d o l e a l a c u e r d a l a f o r m a g e o m é t r i c a d e l a r m ó n i c o d e s e a d o y l u e g o s o l t á n d o l a .

C o m o p u e d e i m a g i n a r s e , e s t o s e r í a m u y c o m p l i c a d o .

L a m e j o r f o r m a d e l o g r a r l o e s c a l c u l a n d o l a f r e c u e n c i a d e l a r m ó n i c o d e s e a d o y m e d i a n t e u n a g e n t e e x t e r n o

o s c i l a n t e ( f u e r z a e x t e r n a o s c i l a n t e , p o r e j e m p l o u n d i a p a s ó n ) , s e f o r z a r í a l a c u e r d a a e s t a f r e c u e n c i a ( r e s o n a n c i a ) .

E n l a g u r a 5 . 3 A s e i l u s t r a l a o b t e n c i ó n m e d i a n t e l a r e s o n a n c i a , d e l m o d o 2 ( s e g u n d o a r m ó n i c o ) d e u n a

c u e r d a a t a d a e n s u s e x t r e m o s . E l a g e n t e e x t e r n o e x c i t a d o r e s u n v i b r a d o r a c o p l a d o a l a c u e r d a e n s u e x t r e m o

i n f e r i o r . S e o b s e r v a c o m o l a e x p e r i m e n t a d o r a p u e d e a j u s t a r l a f r e c u e n c i a d e l v i b r a d o r .

L a s m i s m a s p r e g u n t a s q u e s e p l a n t a e a r o n e n e l c a s o d e u n a c u e r d a , s e p u e d e n p l a n t e a r p a r a l a v i b r a c i ó n d e

c u a l q u i e r m e d i o m a t e r i a l . P o r e j e m p l o , e n l a g u r a 5 . 3 B s e i l u s t r a l a o b t e n c i ó n d e o n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n

r e s o r t e m e d i a n t e l a r e s o n a n c i a c o n u n a g e n t e e x c i t a d o r e x t e r n o ( e n e s t e e s t e c a s o e s u n v i b r a d o r a c o p l a d o e n



5 . 5 . O N D A S E S T A C I O N A R I A S E N T U B O S S O N O R O S 6 3

l a p a r t e i n f e r i o r ) . C l a r a m e n t e s e o b s e r v a l o s n o d o s y l o s v i e n t r e s . L a s e p a r a c i ó n e n t r e d o s n o d o s o d o s v i e n t r e s

c o n s e c u t i v o s c o r r e s p o n d e a m e d i a l o n g i t u d d e o n d a d e l a o n d a s v i a j e r a s q u e c o m p o n e n l a o n d a e s t a c i o n a r i a .

V i d e o 5 . 1 O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n a c u e r d a .

V i d e o 5 . 2 O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n a c u e r d a o b s e r v a d a s c o n l u z e s t r o b o s c ó p i c a .

5 . 5 . O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n t u b o s s o n o r o s

L o s t u b o s d e c a ñ a o d e o t r a s p l a n t a s d e t r o n c o h u e c o , c o n s t i t u y e r o n l o s p r i m e r o s i n s t r u m e n t o s m u s i c a l e s .

E m i t í a n s o n i d o s o p l a n d o p o r u n e x t r e m o . E l a i r e c o n t e n i d o e n e l t u b o e n t r a b a e n v i b r a c i ó n e m i t i e n d o u n s o n i d o .

L a s v e r s i o n e s m o d e r n a s d e e s t o s i n s t r u m e n t o s d e v i e n t o s o n l a s a u t a s , l a s t r o m p e t a s y l o s c l a r i n e t e s , t o d o s

e l l o s d e s a r r o l l a d o s d e f o r m a q u e e l i n t é r p r e t e p r o d u z c a m u c h a s n o t a s d e n t r o d e u n a a m p l i a g a m a d e f r e c u e n c i a s

a c ú s t i c a s ( f r e c u e n c i a s e n t r e 1 6 H z y 2 0 0 0 0 H z ) .

E l ó r g a n o e s u n i n s t r u m e n t o f o r m a d o p o r m u c h o s t u b o s e n l o s q u e c a d a t u b o d a u n a s o l a n o t a . E l ó r g a n o d e

l a s a l a d e c o n c i e r t o s d e L a S y d n e y O p e r a H o u s e t e r m i n a d o e n 1 9 7 9 t i e n e 10500 t u b o s c o n t r o l a d o s p o r l a a c c i ó n

m e c á n i c a d e 5 t e c l a d o s y u n p e d a l e r o .

E l t u b o d e ó r g a n o e s e x c i t a d o p o r e l a i r e q u e e n t r a p o r e l e x t r e m o i n f e r i o r . E l a i r e s e t r a n s f o r m a e n u n c h o r r o

e n l a h e n d i d u r a e n t r e e l a l m a ( u n a p l a c a t r a n s v e r s a l a l t u b o ) y e l l a b i o i n f e r i o r . E l c h o r r o d e a i r e i n t e r a c t ú a

c o n l a c o l u m n a d e a i r e c o n t e n i d a e n e l t u b o ; l a s o n d a s q u e s e p r o p a g a n a l o l a r g o d e l a c o r r i e n t e t u r b u l e n t a

m a n t i e n e n u n a o s c i l a c i ó n u n i f o r m e e n l a c o l u m n a d e a i r e h a c i e n d o q u e e l t u b o s u e n e .

C u a n d o l o s t u b o s e s t á n e n r e s o n a n c i a c o n l a f u e n t e d e v i b r a c i ó n , s e g e n e r a n o n d a s e s t a c i o n a r i a s e n é l . L a

f u e n t e d e v i b r a c i o n s e e n c u e n t r a n e n u n a e x t r e m i d a d d e l t u b o : l a b o c a d e u n a a u t a o e l e s c a r p a d o d e u n s a x o f o n

a c c i o n a d o p o r u n a c o r r i e n t e d e a i r e . G e n e r a l m e n t e é s t a f u e n t e e m i t e u n s o n i d o c o m p l e j o e n e l c u a l s e e n c u e n t r a

l a f r e c u e n c i a c o n v e n i e n t e p a r a p r o d u c i r e l s i s t e m a d e o n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n t u b o d a d o . E l t u b o v i b r a n t e

r e a c c i o n a e n t o n c e s s o b r e l a f u e n t e y l a s v i b r a c i o n e s q u e n o c o r r e s p o n d e n a l a r e s o n a n c i a s o n a m o r t i g u a d a s

r á p i d a m e n t e .

5 . 5 . 1 . T u b o a b i e r t o

S i u n t u b o e s a b i e r t o e l a i r e ( o g a s q u e c o n t i e n e ) v i b r a c o n s u m á x i m a a m p l i t u d e n l o s e x t r e m o s ( V I E N T R E S

d e d e f o r m a c i ó n ) . E n l a s i m u l a c i ó n 5 . 1 2 s e i l u s t r a l o s p r i m e r o s 5 m o d o s e n u n t u b o a b i e r t o . E n e l l a s e o b s e r v a

c l a r a m e n t e q u e l a o n d a d e p r e s i ó n y l a d e d e f o r m a c i ó n e s t á n d e s f a s a d a s e n u n c u a r t o d e l o n g i t u d d e o n d a : d o n d e

h a y u n V I E N T R E d e d e f o r m a c i ó n h a y u n N O D O d e p r e s i ó n y v i c e v e r s a . T a m b i é n s e p u e d e o b s e r v a r q u e e l

e l e m e n t o d e l a c o l u m n a g a s e o s a c u y o c e n t r o d e m a s a e s t á e n u n N O D O e s e l q u e m á s s e d e f o r m a ( d e n s i d a d

d e e n e r g í a p o t e n c i a l m á x i m a ) , m i e n t r a s q u e e l e l e m e n t o c u y o c e n t r o d e m a s a e s t á e n u n V I E N T R E n o s u f r e

d e f o r m a c i ó n ( d e n s i d a d d e e n e r g í a p o t e n c i a l n u l a , e s d e c i r ,

∂y∂x

= 0 , e n t o d o i n s t a n t e ) .

S i m u l a c i ó n 5 . 1 2 O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n t u b o a b i e r t o .

A l o b s e r v a r l a s i m u l a c i ó n s e d e d u c e t a m b i é n q u e :

E n e l a r m ó n i c o 1 ( m o d o 1 ) e n l a l o n g i t u d L d e l t u b o c a b e m e d i a l o n g i t u d d e o n d a ( t a n t o d e l a o n d a d e

e l o n g a c i ó n c o m o d e l a o n d a d e p r e s i ó n ) :

L = λ12

E n e l a r m ó n i c o 2 ( m o d o 2 ) e n l a l o n g i t u d L d e l t u b o c a b e u n a l o n g i t u d d e o n d a ( t a n t o d e l a o n d a d e


L = 2

λ22

E n e l a r m ó n i c o 3 ( m o d o 3 ) e n l a l o n g i t u d L d e l t u b o c a b e n 3 / 2 d e l o n g i t u d e s d e o n d a ( t a n t o d e l a o n d a

d e e l o n g a c i ó n c o m o d e l a o n d a d e p r e s i ó n ) :

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/OndaLongitudinalEstacionariaTuboAbierto.htm

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/videos/ondas_mecanicas/modos_cuerda_estroboscopio.html

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/videos/ondas_mecanicas/modos_cuerda_3.html




L = 3

λ32

E n e l a r m ó n i c o 4 ( m o d o 4 ) e n l a l o n g i t u d L d e l t u b o c a b e n 2 l o n g i t u d e s d e o n d a ( t a n t o d e l a o n d a d e


L = 4

λ42

E n g e n e r a l s i s e s i g u e a u m e n t a n d o d e m o d o , s e c o n l u y e q u e e n l a l o n g i t u d L d e l t u b o c a b e u n n ú m e r o

n a t u r a l d e s e m i l o n i t u d e s d e o n d a , e s d e c i r ,

L = n

λn

2

; n = 1, 2, 3 · · ·

c o m o λnf n = V , s i e n d o λn l a l o n g i t u d d e o n d a e n e l m o d o n , y f n l a f r e c u e n c i a d e l m i s m o , s e o b t i e n e q u e ,

f n =nV

2L

( 5 . 1 6 )

V c o r r e s p o n d e a l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ò n d e l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n l a c o l u m n a d e g a s ( v e l o c i d a d

d e l s o n i d o ) . E n c a s o d e s e r a i r e a t e m p e r a t u r a d e u n o s 2 0

0C y a l a p r e s i ó n d e 1 a t m s e r á a p r o x i m a d a m e n t e d e

3 4 0 . 0 m / s ( a e s t e v a l o r s e l e d e n o m i n a M a c h ) .

P a r a l o s t u b o s a b i e r t o s s e d e b e c o n s i d e r a r q u e l o s v i e n t r e s d e d e f o r m a c i ó n d e l a o n d a e s t a c i o n a r i a t i e n d e n a

f o r m a r s e f u e r a d e l t u b o ( i r r a d i a c i ó n d e o n d a ) y n o e x a c t a m e n t e e n l o s e x t r e m o s d e l t u b o , p o r l o q u e l a l o n g i t u d

d e l a c o l u m n a d e a i r e v i b r a n t e e s a l g o m a y o r q u e l a d e l t u b o . E s t e h e c h o e s t e n i d o e n c u e n t a e n l a c o n s t r u c c i ó n

d e l i n s t r u m e n t o a p l i c a n d o u n f a c t o r d e c o r r e c c i ó n p a r a d e t e r m i n a r l a l o n g i t u d e x a c t a d e l t u b o e n f u n c i ó n d e l

p r i m e r a r m ó n i c o q u e s e p r e t e n d e o b t e n e r . L a m e d i d a e n q u e s e p r o l o n g a l a c o l u m n a d e a i r e a l i r r a d i a r s e e n l o s

e x t r e m o s e s t á e n r e l a c i ó n c o n l a s d i m e n s i o n e s d e l t u b o . C u a n t o m á s l a r g o y d e l g a d o e s e s t e , m a y o r i r r a d i a c i ó n

s e p r e s e n t a .

E j e m p l o U n t u b o a b i e r t o t i e n e u n a l o n g i t u d i g u a l a 1 . 0 0 m . E n c o n t r a r l a s f r e c u e n c i a s d e s u s t r e s p r i m e r o s

a r m ó n i c o s .

S o l u c i ó n P a r a c a l c u l a r l a s f r e c u e n c i a s p r o p i a s e m p l e a m o s l a e x p r e s i ó n 5 . 1 6 P o r t a n t o , l a f r e c u e n c i a f u n d a -

m e n t a l e s ,

f 1 =340 m

.s

−1

2× 1,00 m

= 170 H z

D e l a m i s m a f o r m a s e p u e d e c a l c u l a r l a s f r e c u e n c i a s d e l s e g u n d o y t e r c e r a r m ó n i c o r e e m p l a z a n d o

np o r 2 y

3 r e s p e c t i v a m e n t e , o b t e n i é n d o s e l o s v a l o r e s d e 3 4 0 H z y 5 1 0 H z .

5 . 5 . 2 . T u b o c e r r a d o

S i u n t u b o e s c e r r a d o e l a i r e ( o g a s q u e c o n t i e n e ) v i b r a c o n s u m á x i m a a m p l i t u d e n e l e x t r e m o d o n d e e s t á l a

f u e n t e d e v i b r a c i ó n ( V I E N T R E d e d e f o r m a c i ó n ) y e n e l e x t r e m o o p u e s t o n o v i b r a r á ( N O D O d e d e f o r m a c i ó n ) .

E n l a s i m u l a c i ó n 5 . 1 3 s e i l u s t r a l o s p r i m e r o s 1 0 m o d o s e n u n t u b o c e r r a d o . E n e l l a s e o b s e r v a n u e v a m e n t e

c o m o l a o n d a d e p r e s i ó n y l a d e d e f o r m a c i ó n e s t á n d e s f a s a d a s e n u n c u a r t o d e l o n g i t u d d e o n d a : d o n d e h a y u n

V I E N T R E d e d e f o r m a c i ó n h a y u n N O D O d e p r e s i ó n y v i c e v e r s a . C o m o e n l a s i m u l a c i ó n a n t e r i o r , t a m b i é n s e

p u e d e o b s e r v a r q u e e l e l e m e n t o d e l a c o l u m n a g a s e o s a c u y o c e n t r o d e m a s a e s t á e n u n N O D O e s e l q u e m á s

s e d e f o r m a ( d e n s i d a d d e e n e r g í a p o t e n c i a l m á x i m a ) , m i e n t r a s q u e e l e l e m e n t o c u y o c e n t r o d e m a s a e s t á e n u n

V I E N T R E n o s u f r e d e f o r m a c i ó n ( d e n s i d a d d e e n e r g í a p o t e n c i a l n u l a , e s d e c i r ,

∂y∂x = 0 , e n t o d o i n s t a n t e )



5 . 5 . O N D A S E S T A C I O N A R I A S E N T U B O S S O N O R O S 6 5

S i m u l a c i ó n 5 . 1 3 O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n t u b o c e r r a d o .

A l o b s e r v a r l a s i m u l a c i ó n s e d e d u c e t a m b i é n q u e :

E n e l a r m ó n i c o 1 ( m o d o 1 ) e n l a l o n g i t u d L d e l t u b o c a b e 1 / 4 d e l a l o n g i t u d d e o n d a ( t a n t o d e l a o n d a


L = λ14

E n e l a r m ó n i c o 2 ( m o d o 2 ) e n l a l o n g i t u d

Ld e l t u b o c a b e 3 / 4 d e l a l o n g i t u d d e o n d a ( t a n t o d e l a o n d a


L = 3

λ24

E n e l a r m ó n i c o 3 ( m o d o 3 ) e n l a l o n g i t u d L d e l t u b o c a b e 5 / 4 d e l a l o n g i t u d d e o n d a ( t a n t o d e l a o n d a


L = 5 λ3

4

E n e l a r m ó n i c o 4 ( m o d o 4 ) e n l a l o n g i t u d

Ld e l t u b o c a b e 7 / 4 d e l o n g i t u d d e o n d a ( t a n t o d e l a o n d a d e


L = 7

λ44

E n g e n e r a l s i s e s i g u e a u m e n t a n d o d e m o d o , s e c o n l u y e q u e e n l a l o n g i t u d

Ld e l t u b o c a b e u n n ú m e r o

n a t u r a l i m p a r d e c u a r t o s d e l o n g i t u d e s o n d a , e s d e c i r ,

L = (2n− 1)

λn

4

; n = 1, 2, 3, · · ·

c o m o

λnf n = V , s i e n d o

λn l a l o n g i t u d d e o n d a e n e l m o d o

n, y

f n l a f r e c u e n c i a d e l m i s m o , s e o b t i e n e q u e ,

f n =(2n− 1) V

4L( 5 . 1 7 )

V c o r r e s p o n d e a l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ò n d e l a s o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n l a c o l u m n a g a s e o s a ( v e l o c i d a d

d e l s o n i d o ) .

E n l a g u r a 5 . 4 s e i l u s t r a u n t u b o c e r r a d o e l c u a l p u e d e m o d i c a r l a l o n g i t u d d e l a c o l u m n a d e a i r e m e d i a n t e

e l d e s p l a z a m i e n t o d e u n p i s t o n e n e l e x t r e m o c e r r a d o .

V i d e o 5 . 3 R e s o n a n c i a e n t u b o s c e r r a d o s

E j e m p l o U n t u b o c e r r a d o t i e n e u n a l o n g i t u d i g u a l a 1 . 0 0 m . E n c o n t r a r l a s f r e c u e n c i a s d e s u s t r e s p r i m e r o s


S o l u c i ó n P a r a c a l c u l a r l a s f r e c u e n c i a s p r o p i a s e m p l e a m o s l a e x p r e s i ó n 5 . 1 7 . P o r t a n t o , l a f r e c u e n c i a f u n d a -

m e n t a l e s ,

f 1 =340 m

.s

−1

4× 1,00 m

= 85,0 H z

D e l a m i s m a f o r m a s e p u e d e n c a l c u l a r l a s f r e c u e n c i a s d e l s e g u n d o y t e r c e r a r m ó n i c o r e e m p l a z a n d o n p o r 2

y 3 r e s p e c t i v a m e n t e , o b t e n i é n d o s e v a l o r e s d e 2 5 5 H z y 4 2 5 H z .

http://www.calasanz-medellin.edu.co/laboratorios/web_laboratorios/ludiciencias/videos/ondas/resonancia_velocidad_sonido/resonancia_tubo_sonoro.html

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/OndaLongitudinalEstacionariaTuboCerrado.htm




F i g u r a 5 . 4 : T u b o s o n o r o

E j e r c i c i o 5 . 2 S i s e m o j a n l o s d e d o s y s e l e s p a s a s u a v e m e n t e p o r e l a r i l l o d e l a p a r t e s u p e r i o r d e u n a c o p a d e

v i d r i o , s e e s c u c h a u n s o n i d o m u y a g u d o . ¾ P o r q u é ? ¾ C ó m o s e p u e d e n p r o d u c i r d i f e r e n t e s n o t a s m u s i c a l e s c o n u n

c o n j u n t o d e c o p a s d e v i n o ?

E j e r c i c i o 5 . 3 U n a c o l u m n a d e a i r e d e 2 . 0 0 m d e l a r g o e s t á a b i e r t a e n s u s d o s e x t r e m o s . L a f r e c u e n c i a d e u n a

a r m ó n i c a e s d e 4 1 0 H z y l a f r e c u e n c i a d e l a a r m ó n i c a s i g u i e n t e e s d e 4 9 2 H z . D e t e r m i n a r l a r a p i d e z d e l s o n i d o

e n l a c o l u m n a d e a i r e .

E j e r c i c i o 5 . 4 L a f r e c u e n c i a d e l t e r c e r a r m ó n i c o e n u n t u b o d e ó r g a n o a b i e r t o e n l o s d o s e x t r e m o s e s i g u a l a

l a f r e c u e n c i a d e l t e r c e r a r m ó n i c o d e o t r o t u b o d e ó r g a n o q u e e s t á c e r r a d o e n u n e x t r e m o . ( a ) E n c o n t r a r l a r a z ó n

e n t r e l a l o n g i t u d e l t u b o c e r r a d o a l a l o n g i t u d d e l t u b o a b i e r t o . ( b ) S i l a f r e c u e n c i a f u n d a m e n t a l d e l t u b o a b i e r t o

e s 2 5 6 H z , ¾ c u á l e s l a l o n g i t u d d e c a d a t u b o ? R p : ( a ) 0 . 8 3 3 ( b ) 0 . 6 6 4 m y 0 . 5 5 3 m

5 . 6 . A n á l i s i s d e l a s o n d a s e s t a c i o n a r i a s e n o t r o s s i s t e m a s

5 . 6 . 1 . F r e c u e n c i a s N a t u r a l e s ( O t r o s s i s t e m a s )

E n l a s e c c i ó n p r e c e d e n t e s s e c a l c u l a r o n l a s f r e c u e n c i a s p r o p i a s ( o n a t u r a l e s ) d e u n a c u e r d a o s c i l a n t e c o n s u s

e x t r e m o s j o s . T a m b i é n s e h i z o l o m i s m o p a r a e l c a s o d e u n a c o l u m n a d e g a s d e n t r o d e u n t u b o a b i e r t o y u n t u b o

c e r r a d o . E n g e n e r a l , t o d o s i s t e m a o s c i l a n t e ( c u e r d a , b a r r a , c o l u m n a d e g a s , r e s o r t e , . . . ) q u e t e n g a c o n d i c i o n e s

d e f r o n t e r a ( e s d e c i r , t o d o s i s t e m a l i m i t a d o ) , t i e n e s u f r e c u e n c i a c u a n t i z a d a . E n e s t o s c a s o s , p a r a p o d e r

e s t u d i a r l a s f o r m a s n a t u r a l e s e n q u e p u e d e n v i b r a r , e s n e c e s a r i o h a l l a r l a f ó r m u l a q u e e x p r e s e e s t a r e g l a d e

c u a n t i z a c i ó n .

T r e s s i t u a c i o n e s d e f r o n t e r a b á s i c a s s o n :

s i s t e m a s ( m e d i o d e p r o p a g a c i ó n ) c o n e x t r e m o s j o s ( N O D O - N O D O ) ,

s i s t e m a s c o n e x t r e m o s l i b r e s ( V I E N T R E - V I E N T R E ) ,

s i s t e m a s c o n u n e x t r e m o j o y o t r o l i b r e ( N O D O - V I E N T R E ) .



5 . 7 . D I F E R E N C I A S E N T R E L A C I N E M Á T I C A D E L A S O N D A S V I A J E R A S Y D E L A S O N D A S E S T A C I O N A R

O N D A S V I A J E R A S O N D A S E S T A C I O N A R I A S

P r e s e n t a n c r e s t a s y v a l l e s P r e s e n t a n v i e n t r e s y n o d o s

C u m p l e n l a e c u a c i o n e s d e o n d a d e o r d e n 1 y d e

o r d e n 2 .

S ó l o c u m p l e n l a e c u a c i ó n d e o n d a d e o r d e n 2 .

D o s e l e m e n t o s d e l m e d i o p o r e l c u a l s e p r o p a g a

l a o n d a e s t a r á n e n f a s e ( e n e l t i e m p o ) s ó l o s i

e s t á n e s p a c i a l m e n t e s e p a r a d o s p o r n ú m e r o s

e n t e r o s d e l o n g i t u d e s d e o n d a .

T o d o s l o s e l e m e n t o s d e l m e d i o e n e l c u a l s e

p r e s e n t a n l a s o n d a s e s t a c i o n a r i a s e s t a r á n e n f a s e

( e n e l t i e m p o ) s i s e e n c u e n t r a n u b i c a d o s e n t r e

d o s n o d o s c o n s e c u t i v o s .

C u a d r o 5 . 1 : D i f e r e n c i a s e n l a c i n e m á t i c a d e l a s o n d a s v i a j e r a s y e s t a c i o n a r i a s

S i s t e m a N O D O - N O D O o V I E N T R E - V I E N T R E S e p r e s e n t a r á q u e ,

L = nλn

2; n = 1, 2, 3, · · ·

e s d e c i r , e n s u l o n g i t u d L, c a b r á n u n n ú m e r o n a t u r a l ( n ) d e s e m i l o n g i t u d e s d e o n d a , s i e n d o n e l n ú m e r o

d e l a r m ó n i c o e n e l c u a l e s t á v i b r a n d o e l s i s t e m a . P o r t a n t o , c o m o

λnf n = V , s e o b t i e n e l a s i g u i e n t e r e g l a d e

c u a n t i z a c i ó n d e l a s f r e c u e n c i a s :

f n =nV

2L; n = 1, 2, 3, · · ·

( 5 . 1 8 )

V c o r r e s p o n d e a l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s e n e s e m e d i o y L l a l o n g i t u d d e l m e d i o .

S i s t e m a N O D O - V I E N T R E S e p r e s e n t a r á q u e ,

L = (2n− 1)λn

4; n = 1, 2, 3, · · ·

e s d e c i r , e n s u l o n g i t u d L, c a b r á n u n n ú m e r o n a t u r a l i m p a r d e c u a r t o s d e l o n g i t u d e s d e o n d a , s i e n d o n e l

n ú m e r o d e l a r m ó n i c o e n e l c u a l e s t á v i b r a n d o e l s i s t e m a . P o r t a n t o , c o m o λnf n = V , s e o b t i e n e l a s i g u i e n t e

r e g l a d e c u a n t i z a c i ó n d e l a s f r e c u e n c i a s :

f n =(2n− 1) V

4L; n = 1, 2, 3, · · ·

( 5 . 1 9 )

V c o r r e s p o n d e a l a v e l o c i d a d d e p r o p a g a c i ó n d e l a s o n d a s e n e s e m e d i o y L l a l o n g i t u d d e l m e d i o .

E j e r c i c i o 5 . 5 S e g e n e r a n o n d a s l o n g i t u d i n a l e s e n u n a b a r r a m e t á l i c a d e 6 0 , 0 c m d e l a r g a a a n z a d a e n u n

e x t r e m o , c u a n d o e s t a e s g o l p e a d a c o n u n m a r t i l l o . S i l a f r e c u e n c i a m í n i m a c o n l a c u a l r e s o n a r á l a b a r r a e s i g u a l

a 1 , 8 8 k H z , ¾ c u á n t o v a l e e l m ó d u l o d e Y o u n g d e d i c h o m e t a l s i s u d e n s i d a d e s i g u a l a 7 . 2 0 x 1 0 3 k g . m

−3?

V i d e o 5 . 4 O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n a p l a c a c i r c u l a r .

V i d e o 5 . 5 O n d a s e s t a c i o n a r i a s e n u n a p l a c a r e c t a n g u l a r .

5 . 7 . D i f e r e n c i a s e n t r e l a c i n e m á t i c a d e l a s o n d a s v i a j e r a s y d e l a s

o n d a s e s t a c i o n a r i a s

O b s e r v a r l a t a b l a 5 . 1

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/videos/oscilaciones/cladni_placa_rectangular.html

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/videos/oscilaciones/cladni_placa_circular.html



Capıtulo

6E N E R G Í A

6 . 1 . E n e r g í a e n o n d a s e s t a c i o n a r i a s

6 . 1 . 1 . D e n s i d a d e s d e e n e r g í a

L a s o n d a s e s t a c i o n a r i a s n o s a t i s f a c e n l a e c u a c i ó n d e o n d a d e o r d e n 1 , −V yx = yt , y p o r l o t a n t o n o c u m p l e n

q u e uK = uU , c o m o e s e l c a s o d e o n d a s v i a j e r a s .

6 . 1 . 2 . O n d a s e s t a c i o n a r i a s a r m ó n i c a s

6 . 1 . 2 . 1 . D e n s i d a d e s d e e n e r g í a

S i s e c o n s i d e r a n o n d a s e s t a c i o n a r i a s a r m ó n i c a s c o m o p o r e j e m p l o l a s q u e s e p r e s e n t a n e n u n a c u e r d a s c o n

s u s e x t r e m o s j o s , l a e l o n g a c i ó n e s i g u a l a ,

yn = 2An sin knx cos ωnt ( 6 . 1 )

p o r t a n t o , l a s d e n s i d a d e s d e e n e r g í a c i n é t i c a y p o t e n c i a l s o n ,

uK =1

2ρy2t = 2ρω2

nA2n sin2 knx sin2 ωnt

( 6 . 2 )

uU = 2βk2nA2

n cos2 knx cos2 ωnt ( 6 . 3 )

c o m o , V =

βρ

y kV = ω , s e c o n c l u y e q u e , 2βk2nA2

n = 2V 2ρk2nA2n = 2ρω2

nA2n y p o r l o t a n t o ,

uE = uK + uU = 2ρω2nA2

n

sin2 knx sin2 ωnt + cos2 knx cos2 ωnt

( 6 . 4 )

6 . 1 . 2 . 2 . P o t e n c i a e i n t e n s i d a d

L a i n t e n s i d a d s e g ú n l a e c u a c i ó n 4 . 1 1 e s ,

I = −β yx yt = −β [2knAn cos knx cos ωnt] [−2ωnAn sin knx sin ωnt]

I = βA2nknωn sin2knx sin2ωnt

c o m o ,

β = V 2ρy

kV = ω,

I = ρV ω2A2n sin2knx sin2ωnt

( 6 . 5 )

y l a c o m o µ = ρAs

, l a p o t e n c i a e n e l c a s o d e l a c u e r d a ( d e s e c c i ó n t r a n s v e r s a l As ) e n l a q u e s e p r e s e n t a n

o n d a s e s t a c i o n a r i a s e s ,

6 9




P = IAs = µV ω2A2n sin2knx sin2ωnt ( 6 . 6 )

y l a p o t e n c i a p r o m e d i o e n u n a o n d a e s t a c i o n a r i a e n u n p e r í o d o t e m p o r a l e s c e r o ,

P = 0 ( 6 . 7 )

t a l y c o m o e r a d e e s p e r a r s e , y a q u e l a o n d a s v i a j e r a s q u e l a c o m p o n e n t r a n s p o r t a n i g u a l e n e r g í a p e r o e n

s e n t i d o s o p u e s t o s .

6 . 1 . 2 . 3 . E n e r g í a d e u n a c u e r d a c o n e x t r e m o s j o s : C u a n t i z a c i ó n d e l a e n e r g í a

E n e r g í a c i n é t i c a L a d e n s i d a d d e e n e r g í a c i n é t i c a e n u n m e d i o m a t e r i a l c o n n o d o s e n s u s e x t r e m o s e n e l c u a l

s e p r e s e n t a u n a o n d a e s t a c i o n a r i a s e g ú n l a e c u a c i ó n 6 . 2 e s ,

uK = 2ρω2nA2

n sin2 knx sin2 ωnt

P a r a e l c a s o d e l a c u e r d a s e t r a n s f o r m a e n ,

wK = 2µω2nA2

n sin2 knx sin2 ωnt ( 6 . 8 )

E n e r g í a p o t e n c i a l L a d e n s i d a d d e e n e r g í a p o t e n c i a l e n u n m e d i o m a t e r i a l c o n n o d o s e n s u s e x t r e m o s e n e l

c u a l s e p r e s e n t a u n a o n d a e s t a c i o n a r i a s e g ú n l a e c u a c i ó n 6 . 3 e s ,

uU = 2βk2nA2

n cos2 knx cos2 ωnt

c o m o , V =

βρ

y kV = ω s e c o n c l u y e q u e , 2βk2nA2

n = 2V 2ρk2nA2n = 2ρω2

nA2n y p o r l o t a n t o ,

uK = 2ρω2nA2

n cos2 knx cos ωnt

P a r a e l c a s o d e l a c u e r d a s e t r a n s f o r m a e n ,

wU = 2µω2nA2

n cos2 knx cos2 ωnt( 6 . 9 )

S e d e b e o b s e r v a r q u e s i s e t o m a u n e l e m e n t o d e c u e r d a

dx, l a e n e r g í a c i n é t i c a d e l a p a r t í c u l a q u e l o r e p r e s e n t a ,

( e s d e c i r , s u c e n t r o d e m a s a ) n o e s i g u a l a l a e n e r g í a p o t e n c i a l c o m o s i l o e s e n e l c a s o d e u n a o n d a v i a j e r a . P a r a

l o s e l e m e n t o s c u y o s c e n t r o s d e m a s a e s t á n u b i c a d o s e n u n n o d o l a e n e r g í a c i n é t i c a e s n u l a s i e n d o s u e n e r g í a t o d a

p o t e n c i a l . S u c e d e l o o p u e s t o p a r a l o s e l e m e n t o s c u y o s c e n t r o s d e m a s a e s t á n u b i c a d o s e n l o s v i e n t r e s . E s t o s e

i l u s t r a e n l a s i m u l a c i ó n 6 . 1 .

S i m u l a c i ó n 6 . 1 C o m p o r t a m i e n t o e n e r g é t i c o e n u n a o n d a e s t a c i o n a r i a e n u n a c u e r d a

E n e r g í a c o n t e n i d a e n t o d a l a c u e r d a L a e n e r g í a c i n é t i c a c o n t e n i d a e n t o d a l a c u e r d a d e l o n g i t u d l e s ,

K n = 2µω2nA2

n sin2 ωnt

ˆ l0

sin2 knx dx

c o n ,

kn =

nπ

l,

n = 1, 2, 3, · · ·y p o r l o t a n t o ,

K =

2µω2nA2

n sin2 ωnt l

2

A h o r a ,

ωn = 2π f n y p a r a l a c u e r d a c o n e x t r e m o s j o s l a s f r e c u e n c i a s n a t u r a l e s c u m p l e n q u e ,

f n = nV 2 l

,

K n =µπ2V 2

ln2A2

n sin2 ωnt

R e a l i z a n d o c á l c u l o s a n á l o g o s a l d e l a e n e r g í a c i n é t i c a , s e o b t i e n e p a r a l a e n e r g í a p o t e n c i a l c o n t e n i d a e n u n a

c u e r d a c o n e x t r e m o s j o s ,

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/OndaEstacionariaEnergiaCuerda.htm



6 . 1 . E N E R G Í A E N O N D A S E S T A C I O N A R I A S 7 1

U n =µπ2V 2

ln2A2

n cos2 ωnt

L a e n e r g í a m e c á n i c a c o n t e n i d a e n t o d a l a c u e r d a e s ,

E n = K n + U n =µπ2V 2

l

n2A2n

e s d e c i r l a e n e r g í a m e c á n i c a c o n t e n i d a e n l a c u e r d a p e r m a n e c e c o n s t a n t e ( o b v i a m e n t e e n a u s e n c i a d e f u e r z a s

d i s i p a t i v a s ) . A q u í , n s o n l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s , l e s l a l o n g i t u d d e l a c u e r d a , An l a a m p l i t u d d e l a s o n d a s v i a j e r a s

q u e c o m p o n e n l a o n d a e s t a c i o n a r i a , µ l a d e n s i d a d d e l a c u e r d a : c a d a a r m ó n i c o p o s e e s u e n e r g í a p r o p i a . S i s e

d i s m i n u y e e l t a m a ñ o d e l m e d i o m a t e r i a l ( m e n o r l ) m a y o r s e r á n l a s s e p a r a c i o n e s e n t r e l a s e n e r g í a s p r o p i a s d e l o s


A l g o i n t e r e s a n t e e s q u e c a d a o n d a e s t a c i o n a r i a ( c a d a a r m ó n i c o ) t i e n e s u p r o p i a e n e r g í a m e c á n i c a , l a c u a l

e n t r e o t r o s , e s p r o p o r c i o n a l a l c u a d r a d o d e l n ú m e r o c o r r e s p o n d i e n t e a l a r m ó n i c o ( c u a d r a d o d e l o s n ú m e r o s

n a t u r a l e s ) : a l g o a s í c o m o u n a c u a n t i z a c i ó n d e l a e n e r g í a . C u a n d o u n a c u e r d a o s c i l a c o n u n a s u p e r p o s i c i ó n

d e a r m ó n i c o s , s u e n e r g í a m e c á n i c a s e r á .

E =n

E n =n

µπ2V 2

l n2A2n ( 6 . 1 0 )



P a r t e I I I

E L S O N I D O

7 3



Capıtulo7E L S O N I D O

L a s o n d a s q u e s e p r o p a g a n a l o l a r g o d e u n r e s o r t e c o m o

c o n s e c u e n c i a d e u n a c o m p r e s i ó n l o n g i t u d i n a l d e l m i s m o c o n s t i -

t u y e n u n m o d e l o d e o n d a s m e c á n i c a s q u e s e a s e m e j a b a s t a n t e

a l a f o r m a e n l a q u e e l s o n i d o s e g e n e r a y s e p r o p a g a . L a s o n d a s

s o n o r a s e n l o s u i d o s s e p r o d u c e n t a m b i é n c o m o c o n s e c u e n c i a

d e u n a c o m p r e s i ó n d e l m e d i o a l o l a r g o d e l a d i r e c c i ó n d e p r o -

p a g a c i ó n . S o n , p o r t a n t o , o n d a s l o n g i t u d i n a l e s .

S i u n g l o b o s e c o n e c t a a u n p i s t ó n c a p a z d e r e a l i z a r u n m o v i -

m i e n t o a l t e r n a t i v o m e d i a n t e e l c u a l i n y e c t a a i r e a l g l o b o y l o

t o m a d e n u e v o , a q u é l s u f r i r á u n a s e c u e n c i a d e o p e r a c i o n e s d e

i n a d o y d e s i n a d o , c o n l o c u a l l a p r e s i ó n d e l a i r e c o n t e n i d o

d e n t r o d e l g l o b o a u m e n t a r á y d i s m i n u i r á s u c e s i v a m e n t e . E s t a

s e r i e d e c o m p r e s i o n e s y e n r a r e c i m i e n t o s a l t e r n a t i v o s l l e v a n c o n s i g o u n a a p o r t a c i ó n d e e n e r g í a , a i n t e r v a l o s , d e l

f o c o a l m e d i o y g e n e r a n o n d a s s o n o r a s . L a c a m p a n a d e u n t i m b r e v i b r a a l s e r g o l p e a d a p o r s u c o r r e s p o n d i e n t e

m a r t i l l o , l o q u e d a l u g a r a c o m p r e s i o n e s s u c e s i v a s d e l m e d i o q u e l a r o d e a , l a s c u a l e s s e p r o p a g a n e n f o r m a d e

o n d a s . U n d i a p a s ó n , l a c u e r d a d e u n a g u i t a r r a o l a d e u n v i o l í n p r o d u c e n s o n i d o s e g ú n u n m e c a n i s m o a n á l o g o .

E n l o s s ó l i d o s s e d a n o n d a s s o n o r a s t r a n s v e r s a l e s a d e m á s d e l a s l o n g i t u d i n a l e s . D i c h a s o n d a s t r a n s v e r s a l e s a p a -

r e c e n e n l o s s ó l i d o s p o r q u e e n é s t o s l a s f u e r z a s e n t r e l a s m o l é c u l a s o r d e n a d a s n o a c t u á n t a n s o l o e n l a m i s m a

d i r e c c i ó n d e l a o n d a s i n o t a m b i é n e n d i r e c i ó n t r a n s v e r s a l a l a m i s m a . C o m o l a s f u e r z a s r e c u p a r a d o r a s p a r a e l

m o v i m i e n t o t r a s n v e r s a l s o n m á s d é b i l e s , l a v e l o c i d a d d e l a o n d a t r a n s v e r s a l e s e n g e n e r a l m e n o r q u e l a d e l a

o n d a l o n g i t u d i n a l . E n e s t a s n o t a s s ó l o s e a n a l i z a r á n l a s o n d a s s o n o r a s l o n g i t u d i n a l e s .

E n d e n i t i v a , p a r a q u e s e p r o d u z c a u n s o n i d o , e s n e c e s a r i o q u e e x i s t a u n c u e r p o q u e v i b r e y u n m e d i o e l á s t i c o q u e

p r o p a g u e e s a s v i b r a c i o n e s . L o s s o n i d o s s o n d i f e r e n t e s u n o s d e o t r o s , l a v o z d e u n s e r h u m a n o s e p u e d e d i s t i n g u i r

d e l s o n i d o q u e e m i t e n l o s p á j a r o s , d e u n i n s t r u m e n t o m u s i c a l o d e l v i e n t o ; p e r o p a r a q u e p u e d a t r a n s m i t i r s e

r e q u i e r e d e u n m e d i o q u e p u e d e s e r g a s e o s o , s ó l i d o o l í q u i d o . E l s e r h u m a n o r e q u i e r e d e l a i r e p a r a c o m u n i c a r s e

m e d i a n t e l o s d i v e r s o s s o n i d o s , l o s p e c e s d e l a g u a y a l g u n o s a n i m a l e s c o m o l o s t o p o s y c a s t o r e s d e l a t i e r r a q u e

e s s ó l i d a . E n e l v a c í o e l s o n i d o n o s e p r o p a g a .

E l s o n i d o s e p r o p a g a m á s r á p i d o e n e l e s t a d o s ó l i d o q u e e n e l e s t a d o l í q u i d o y s e p r o p a g a m á s r á p i d o e n e l e s t a d o

l í q u i d o q u e e n e l g a s e o s o . L a r a z ó n d e e s t o t i e n e q u e v e r c o n l a c e r c a n í a d e l a s p a r t í c u l a s e n c a d a u n o d e e s t o s

m e d i o s y e n l a m a g n i t u d d e l a i n t e r a c c i ó n e l é c t r i c a e n t r e e l l a s . E l s o n i d o e n e l h i e r r o s e p r o p a g a a u n o s 5 0 0 0

m / s , e n e l a g u a a u n o s 1 5 0 0 m / s y e n e l a i r e a t e m p e r a t u r a a m b i e n t e a u n o s 3 4 0 m / s .

E n r e l a c i ó n a l a f r e c u e n c i a , e l o í d o h u m a n o e s c a p a z d e c a p t a r s o n i d o s e m i t i d o s e n t r e l o s 1 6 H z y l o s 2 0 . 0 0 0 H z .

L o s u l t r a s o n i d o s t i e n e n u n a f r e c u e n c i a m a y o r a l o s 2 0 . 0 0 0 H z y l o s i n f r a s o n i d o s u n a f r e c u e n c i a m e n o r a l o s 1 6 H z .

7 5



7 6 C A P Í T U L O 7 . E L S O N I D O

E n r e s u m e n , l a s o n d a s s o n o r a s e n l o s u i d o s s o n l o n g i t u d i n a l e s y m e c á n i c a s .

7 . 1 . F u n d a m e n t o s

E s t a s n o t a s s e c o n c e n t r a r á n e n l a p r o p a g a c i ó n d e l s o n i d o a t r a v é s d e u n g a s , s e c c i ó n 3 . 6 . E n e s t e c a s o s e

p r o p a g a n s i m u l t a n e a m e n t e t r e s o n d a s : u n a o n d a d e e l o n g a c i ó n ( d e f o r m a c i ó n ) , u n a o n d a d e p r e s i ó n y u n a o n d a

d e d e n s i d a d . L a s t r e s v i a j a n a l a m i s m a v e l o c i d a d , V =

Bρ0

, e n d o n d e B e s e l m ó d u l o d e c o m p r e s i b i l i d a d d e l

g a s ( s e m i d e e n N . m

−2= P a ) y ρ0 s u d e n s i d a d v o l u m é t r i c a ( s e m i d e e n k g . m

−3) e n e s t a d o d e e q u i l i b r i o ( e n e l c a s o

d e l a i r e a u n o s 2 5 º C e l v a l o r e s a p r o x i m a d a m e n t e 3 4 0 m / s ) . E n l a s i m u l a c i ó n 7 . 1 s e i l u s t r a l a o n d a l o n g i t u d i n a l

v i a j a n d o e n u n g a s :

S i m u l a c i ó n 7 . 1 O n d a l o n g i t u d i n a l v i a j a n d o e n g a s .

E n l a s e c c i ó n 3 . 6 s e i l u s t r a a d e m á s e l p o r q u é l a o n d a d e p r e s i ó n y l a d e e l o n g a c i ó n e s t á n d e s f a s a d a s e n

λ4

.

T e n e r e n c u e n t a q u e l a o n d a d e p r e s i ó n c o r r e s p o n d e a o s c i l a c i o n e s d e l a p r e s i ó n a l r e d e d o r d e l a p r e s i ó n a t m o s -

f é r i c a , e s d e c i r , a o s c i l a c i o n e s d e l a d e n o m i n a d a p r e s i ó n m a n o m é t r i c a . L a o n d a d e d e f o r m a c i ó n ( o e l o n g a c i ó n ) ,

c o r r e s p o n d e a o s c i l a c i o n e s d e l a s p a r t í c u l a s a l r e d e d o r d e s u s p o s i c i o n e s d e e q u i l i b r i o . U n v a l l e e n l a o n d a d e

p r e s i ó n , c o r r e s p o n d e a u n a p r e s i ó n m a n o m é t r i c a n e g a t i v a , o s e a , a u n a e x p a n s i ó n . U n a c r e s t a c o r r e s p o n d e a u n a

p r e s i ó n m a n o m é t r i c a p o s i t i v a , o s e a , a u n a c o m p r e s i ó n . A d e m á s , l a a m p l i t u d d e p r e s i ó n P 0 y l a a m p l i t u d d e

e l o n g a c i ó n A s e r e l a c i o n a n m e d i a n t e l a e x p r e s i ó n :

P 0 = BkA = V ρ0ωA ( 7 . 1 )

P o r e j e m p l o , a 4 0 0 H z , e l s o n i d o m á s d é b i l q u e s e p u e d e e s c u c h a r c o r r e s p o n d e a u n a a m p l i t u d d e p r e s i ó n d e

a l r e d e d o r 8 , 0 0 x 1 0

−5N . m

−2. L a c o r r e s p o n d i e n t e a m p l i t u d d e d e f o r m a c i ó n A, s u p o n i e n d o u n a d e n s i d a d d e l a i r e

d e 1 , 2 9 k g . m

−3y u n a v e l o c i d a d d e l s o n i d o d e 3 4 5 m . s

−1, y r e c o r d a d a n d o q u e ω = 2πf e s ,

A =P 0

V ρ0 ω = 7, 15× 10−11

m

E s t a a m p l i t u d d e v i b r a c i ó n d e l a s p a r t í c u l a s d e l g a s e s d e l o r d e n d e l a s d i m e n s i o n e s m o l e c u l a r e s ( 1 0

−12m ) ,

y m u c h o m e n o r q u e l a s e p a r a c i ó n m o l e c u l a r m e d i a e n u n g a s . E n l a p r á c t i c a s e p r e e r e t r a t a r l a o n d a s o n o r a

e s t u d i a n d o l a o n d a d e p r e s i ó n .

7 . 2 . C u a l i d a d e s d e l s o n i d o

E l o í d o e s c a p a z d e d i s t i n g u i r u n o s s o n i d o s d e o t r o s p o r q u e e s s e n s i b l e a l a s d i f e r e n c i a s q u e p u e d a n e x i s t i r

e n t r e e l l o s e n l o q u e c o n c i e r n e a a l g u n a d e l a s t r e s c u a l i d a d e s q u e c a r a c t e r i z a n t o d o s o n i d o y q u e s o n l a i n t e n s i d a d ,

e l t o n o y e l t i m b r e . A u n c u a n d o t o d a s e l l a s s e r e e r e n a l s o n i d o s i o l ó g i c o , e s t á n r e l a c i o n a d a s c o n d i f e r e n t e s

p r o p i e d a d e s d e l a s o n d a s s o n o r a s .

7 . 2 . 1 . L a i n t e n s i d a d

L a i n t e n s i d a d d e l s o n i d o p e r c i b i d o , o p r o p i e d a d q u e h a c e q u e é s t e s e c a p t e c o m o f u e r t e o c o m o d é b i l , e s t á

r e l a c i o n a d a c o n l a i n t e n s i d a d d e l a o n d a s o n o r a c o r r e s p o n d i e n t e , t a m b i é n l l a m a d a i n t e n s i d a d a c ú s t i c a . L a

i n t e n s i d a d a c ú s t i c a e s u n a m a g n i t u d q u e d a i d e a d e l a c a n t i d a d d e e n e r g í a q u e e s t á u y e n d o p o r e l m e d i o

c o m o c o n s e c u e n c i a d e l a p r o p a g a c i ó n d e l a o n d a . S e d e n e c o m o l a e n e r g í a q u e a t r a v i e s a p o r s e g u n d o u n a

s u p e r c i e u n i d a d d i s p u e s t a p e r p e n d i c u l a r m e n t e a l a d i r e c c i ó n d e p r o p a g a c i ó n . E q u i v a l e a l a p o t e n c i a p o r u n i d a d

d e s u p e r c i e y s e e x p r e s a e n W . m

−2.

http://maescen.unalmed.edu.co/facultad/escfisica/oscilacionesyoptica/daristiz/recursos/simulaciones/ondas_mecanicas/onda_en_gas.htm



7 . 2 . C U A L I D A D E S D E L S O N I D O 7 7

7 . 2 . 1 . 1 . L e y d e l i n v e r s o c u a d r a d o

L a i n t e n s i d a d d e u n a o n d a s o n o r a e s p r o p o r c i o n a l a l c u a d r a d o d e s u f r e c u e n c i a y a l c u a d r a d o d e s u a m p l i t u d

y s i l a c o n s i d e r a m o s u n a o n d a p l a n a s e n u s o i d a l c u m p l i r í a q u e e n p r o m e d i o e s i g u a l a ( e c u a c i ó n 4 . 2 0 ) :

I =1

2ρω2A2V

E n g e n e r a l l a o n d a s o n o r a n o e s p l a n a s i n o e s f é r i c a . d e b i d o a q u e l a s f u e n t e s s o n e n g e n e r a l p u n t u a l e s .

P o r t a n t o , l a i n t e n s i d a d d e c r e c e a m e d i d a q u e e l s o n i d o a v a n z a , d e a c u e r d o a l a l e y d e l i n v e r s o c u a d r a d o ( v e r

s u b s e c c i ó n 4 . 2 . 4 . 3 ) ,

I 1I 2

=r22r21

( 7 . 2 )

7 . 2 . 1 . 2 . N i v e l d e i n t e n s i d a d

L a l e y d e W e b e r - F e c h n e r E s t a b l e c e u n a r e l a c i ó n c u a n t i t a t i v a e n t r e l a m a g n i t u d d e u n e s t i m u l o f í s i c o y c o m o

e s t e e s p e r c i b i d o . F u e p r o p u e s t a e n p r i m e r l u g a r p o r E r n s t H e i n r i c h W e b e r ( 1 7 9 5 - 1 8 7 8 ) , y e l a b o r a d a h a s t a s u

f o r m a a c t u a l p o r G u s t a v T h e o d o r F e c h n e r ( 1 8 0 1 - 1 8 8 7 ) . E r n s t H e i n r i c h W e b e r e s t a b l e c i ó s u l e y d e l a s e n s a c i ó n

( o L e y d e W e b e r ) e n l a q u e f o r m u l a b a l a r e l a c i ó n m a t e m á t i c a q u e e x i s t í a e n t r e l a i n t e n s i d a d d e u n e s t í m u l o y l a

s e n s a c i ó n p r o d u c i d a p o r é s t e . E s t o s y o t r o s d e s c u b r i m i e n t o s l l e v a r o n a l a c o n v i c c i ó n d e q u e e r a p o s i b l e e x p l i c a r

m e d i a n t e p r i n c i p i o s f í s i c o - q u í m i c o s t o d o s l o s a c t o s h u m a n o s .

L a l e y e x p r e s a q u e l a r e l a c i ó n e n t r e e l e s t í m u l o y l a p e r c e p c i ó n c o r r e s p o n d e a u n a e s c a l a l o g a r í t m i c a :

L a s e n s a c i ó n c r e c e c o n e l o g a r i t m o d e l e s t í m u l o . E s t a r e l a c i ó n l o g a r í t m i c a s i g n i c a q u e s i u n e s t í m u l o c r e c e

c o m o u n a p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a ( e s d e c i r m u l t i p l i c a d a p o r u n f a c t o r c o n s t a n t e ) , l a p e r c e p c i ó n e v o l u c i o n a r á

c o m o u n a p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a ( e s d e c i r c o n c a n t i d a d e s a ñ a d i d a s ) .

A p l i c a d a e s t a l e y a l s o n i d o e x p r e s a q u e e l n i v e l s o n o r o c r e c e c o n e l l o g a r i t m o d e l a i n t e n s i d a d , e s d e c i r

c u a n d o l a i n t e n s i d a d c r e c e e n p r o g r e s i ó n g e o m é t r i c a , l a s o n o r i d a d c r e c e e n p r o g r e s i ó n a r i t m é t i c a . A e s t a e s c a l a

s e l e d e n o m i n a n i v e l d e i n t e n s i d a d β y s e e x p r e s a e n d B :

β = 10lgI

I 0( 7 . 3 )

d o n d e I 0 e s u n a i n t e n s i d a d d e r e f e r e n c i a . P a r a e l c a s o d e l a i r e s e h a t o m a d o 1 0

−12W . m

−2. U n a i n t e n s i d a d

a c ú s t i c a d e 1 0 d e c i b e l i o s c o r r e s p o n d e a u n a e n e r g í a d i e z v e c e s m a y o r q u e u n a i n t e n s i d a d d e c e r o d e c i b e l i o s ;

u n a i n t e n s i d a d d e 2 0 d B r e p r e s e n t a u n a e n e r g í a 1 0 0 v e c e s m a y o r q u e l a q u e c o r r e s p o n d e a 0 d e c i b e l i o s y a s í

s u c e s i v a m e n t e . E l n i v e l d e i n t e n s i d a d m i d e l a s e n s a c i ó n y l a i n t e n s i d a d m i d e e l e s t í m u l o . E n l a t a b l a 7 . 1 s e i l u s t r a

l a s e q u i v a l e n c i a s e n t r e l a s i n t e n s i d a d e s y l o s n i v e l e s d e i n t e n s i d a d d e o n d a s s o n o r a s e n e l a i r e y e n l a t a b l a 7 . 2

s e i l u s t r a e j e m p l o s d e o n d a s s o n o r a s c o t i d i a n a s y s u v a l o r a p r o x i m a d o d e n i v e l d e i n t e n s i d a d β .

E j e r c i c i o 7 . 1 C a m i l a g r i t a n d o g e n e r a u n s o n i d o d e 7 0 d B , ¾ C u á n t a s p e r s o n a s d e b e r í a n g r i t a r c o n l a i n t e n s i d a d

d e C a m i l a p a r a g e n e r a r e n t r e t o d o s u n s o n i d o d e 8 0 d B ?

E j e r c i c i o 7 . 2 U n a f u e n t e p u n t u a l e m i t e u n s o n i d o t a l q u e a 1 . 0 0 m d e e l l a t i e n e u n n i v e l d e i n t e n s i d a d i g u a l

a 4 0 d b . ¾ A q u é d i s t a n c i a n o s e e s c u c h a r á e l s o n i d o e m i t i d o p o r l a f u e n t e ?

7 . 2 . 2 . E l t i m b r e

E l t i m b r e e s l a c u a l i d a d d e l s o n i d o q u e p e r m i t e d i s t i n g u i r s o n i d o s p r o c e d e n t e s d e d i f e r e n t e s i n s t r u m e n t o s ,

a u n c u a n d o p o s e a n i g u a l t o n o e i n t e n s i d a d . D e b i d o a e s t a m i s m a c u a l i d a d e s p o s i b l e r e c o n o c e r a u n a p e r s o n a

p o r s u v o z , q u e r e s u l t a c a r a c t e r í s t i c a d e c a d a i n d i v i d u o . E l t i m b r e e s t á r e l a c i o n a d o c o n l a c o m p l e j i d a d d e l a s

o n d a s s o n o r a s q u e l l e g a n a l o í d o . P o c a s v e c e s l a s o n d a s s o n o r a s c o r r e s p o n d e n a s o n i d o s p u r o s ; s ó l o l o s d i a p a s o n e s




I

W .m

−2

β ( d B )

100 1 2 0

10−1 1 1 0

10−2 1 0 0

10−3 9 0

10−4 8 0

10−5 7 0

10−6 6 0

10−7 5 0

10−8 4 0

10−9 3 0

10−10 2 0

10−11 1 0

10−12 0

C u a d r o 7 . 1 : I n t e n s i d a d y n i v e l d e i n t e n s i d a d

β d B E j e m p l o

0 S o n i d o m á s t e n u e q u e p e r c i b e e l o í d o h u m a n o

3 0 B i b l i o t e c a s i l e n c i o s a

6 0 C o n v e r s a c i ó n n o r m a l , m á q u i n a d e c o c e r , m á q u i n a d e e s c r i b i r

9 0 C o r t a d o r a d e p a s t o , h e r r a m i e n t a s p e s a d a s , t r á c o p e s a d o

1 0 0 M o t o s i e r r a , M a r t i l l o n e u m á t i c o

1 1 5 C o n c i e r t o d e r o c k p e s a d o , b o c i n a d e a u t o

1 4 0 E x p l o s i ó n , M o t o r d e j e t

C u a d r o 7 . 2 : E j e m p l o s c o t i d i a n o s d e n i v e l e s d e i n t e n s i d a d s o n o r a

g e n e r a n e s t e t i p o d e s o n i d o s , q u e s o n d e b i d o s a u n a s o l a f r e c u e n c i a y r e p r e s e n t a d o s p o r u n a o n d a a r m ó n i c a . L o s

i n s t r u m e n t o s m u s i c a l e s , p o r e l c o n t r a r i o , d a n l u g a r a u n s o n i d o m á s r i c o q u e r e s u l t a d e v i b r a c i o n e s c o m p l e j a s .

C a d a v i b r a c i ó n c o m p l e j a p u e d e c o n s i d e r a r s e c o m p u e s t a p o r u n a s e r i e d e v i b r a c i o n e s a r m ó n i c o s i m p l e s d e u n a

f r e c u e n c i a y d e u n a a m p l i t u d d e t e r m i n a d a s ( t e o r e m a d e F o u r i e r ) , c a d a u n a d e l a s c u a l e s , s i s e c o n s i d e r a r a

s e p a r a d a m e n t e , d a r í a l u g a r a u n s o n i d o p u r o . E s t a m e z c l a d e t o n o s p a r c i a l e s e s c a r a c t e r í s t i c a d e c a d a i n s t r u m e n t o

y d e n e s u t i m b r e : c a d a i n s t r u m e n t o p o s e e s u p r o p i o e s p e c t r o d e F o u r i e r . D e b i d o a l a a n a l o g í a e x i s t e n t e e n t r e

e l m u n d o d e l a l u z y e l d e l s o n i d o , a l t i m b r e s e l e d e n o m i n a t a m b i é n c o l o r d e l t o n o .

E n r e s u m e n , e l t i m b r e d e p e n d e d e l e s p e c t r o d e F o u r i e r d e l i n s t r u m e n t o . V a r i o s i n s t r u m e n t o s p o d r í a n t e n e r

l a m i s m a f r e c u e n c i a f u n d a m e n t a l ( t o n o ) , p e r o s e d i f e r e n c i a r á n e n s u s a r m ó n i c o s s u p e r i o r e s .

H a c e r s i m u l a c i ó n d e F o u r i e r c o n s o n i d o

7 . 2 . 3 . E l t o n o

E l t o n o e s l a c u a l i d a d d e l s o n i d o m e d i a n t e l a c u a l e l o í d o l e a s i g n a u n l u g a r e n l a e s c a l a m u s i c a l , p e r m i t i e n d o ,

p o r t a n t o , d i s t i n g u i r e n t r e l o s g r a v e s y l o s a g u d o s . L a m a g n i t u d f í s i c a q u e e s t á a s o c i a d a a l t o n o e s l a f r e c u e n c i a

f u n d a m e n t a l . L o s s o n i d o s p e r c i b i d o s c o m o g r a v e s c o r r e s p o n d e n a f r e c u e n c i a s f u n d a m e n t a l e s b a j a s , m i e n t r a s q u e

l o s a g u d o s s o n d e b i d o s a f r e c u e n c i a s f u n d a m e n t a l e s a l t a s . A s í e l s o n i d o m á s g r a v e d e u n a g u i t a r r a c o r r e s p o n d e a



7 . 3 . E F E C T O D O P P L E R 7 9

u n a f r e c u e n c i a d e 8 2 , 4 H z y e l m á s a g u d o a 6 9 8 , 5 H z . J u n t o c o n l a f r e c u e n c i a , e n l a p e r c e p c i ó n s o n o r a d e l t o n o

i n t e r v i e n e n o t r o s f a c t o r e s d e c a r á c t e r p s i c o l ó g i c o . A s í s u c e d e p o r l o g e n e r a l q u e a l e l e v a r l a i n t e n s i d a d s e e l e v a e l

t o n o p e r c i b i d o p a r a f r e c u e n c i a s a l t a s y s e b a j a p a r a l a s f r e c u e n c i a s b a j a s . E n t r e f r e c u e n c i a s c o m p r e n d i d a s e n t r e

1 0 0 0 y 3 0 0 0 H z e l t o n o e s r e l a t i v a m e n t e i n d e p e n d i e n t e d e l a i n t e n s i d a

H a c e r v i d e o d e v o z h u m a n a c o n H e l i o

7 . 3 . E f e c t o D o p p l e r

E j e r c i c i o 7 . 3 U n e s t u d i a n t e s o s t i e n e u n d i a p a s ó n q u e o s c i l a a 2 5 6 H z . C a m i n a h a c i a u n a p a r e d c o n u n a

r a p i d e z c o n s t a n t e d e 1 , 3 3 m / s ( a ) ¾ C u á n t a s p u l s a c i o n e s e s c u c h a ? ( b ) ¾ C u á n r á p i d o d e b e c a m i n a r p a r a e s c u c h a r

5 p u l s a c i o n e s p o r s e g u n d o ? R p : ( a ) 1 , 9 9 H z ( b ) 3 , 3 8 m / s

E j e r c i c i o 7 . 4 L a f u e n t e d e s o n i d o d e l s i s t e m a d e s o n a r d e u n b a r c o o p e r a a 2 5 , 0 k H z . L a r a p i d e z d e l s o n i d o

e n e l a g u a e s d e 1480 m / s . ( a ) C a l c u l a r l a l o n g i t u d d e o n d a d e l a s o n d a s e m i t i d a s p o r l a f u e n t e . ( b ) C a l c u l a r l a s

p u l s a c i o n e s q u e s e d e t e c t a n c u a n d o a l r e e j a r s e l a s o n d a s e n u n a b a l l e n a q u e v i a j a d i r e c t a m e n t e h a c i a e l b a r c o

a 5 , 8 5 m / s . R p : ( a ) 0 , 0 5 9 2 m ( b ) 1 9 8 H z



P a r t e I V

T E M A S C O M P L E M E N T A R I O S

8 1



Capıtulo

8T E M A S C O M P L E M E N T A R I O S

8 . 1 . M á s s o b r e l a r e s o n a n c i a

8 . 2 . R e e x i ó n y t r a n s m i s i ó n d e o n d a s

8 3

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