4 up4- unidad 4 dispositivos que almacenan energía

14/08/07 Página 1 de 18 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CODIGO: 00076 UFPS

CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I

UNIDAD 4: DISPOSITIVOS DE ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA ELÉCTRICA

CONTENIDO

4.1 INTRODUCCIÓN 4.2 HISTORIA SOBRE ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA ELÉCTRICA EN DISPOSITIVOS 4.3 CAPACITANCIA, CAPACITOR Y CONDENSADOR 4.3.1 CLASES DE CONDENSADORES Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES 4.3.2 RELACIONES MATEMÁTICAS ENTRE EL VOLTAJE Y LA CORRIENTE PARA UN CAPACITOR 4.3.3 ENERGÍA ALMACENADA EN UN CAPACITOR 4.3.4 CARACTERÍSTICAS DEL CAPACITOR 4.3.5 EJEMPLOS 4.4 INDUCTANCIA, INDUCTOR Y BOBINA 4.4.1 VOLTAJE DE AUTOINDUCCIÓN EN UN INDUCTOR(LEY DE AUTOINDUCCIÓN DE JOSEPH HENRY) 4.4.2 ANALOGÍAS ENTRE LAS PRINCIPALES UNIDADES DEL CIRCUITO MAGNÉTICO Y EL CIRCUITO ELÉCTRICO 4.4.3 ANÁLISIS DEL FENÓMENO DE LA AUTOINDUCCIÓN CUANDO LA FUENTE EXCITATRIZ ES DE CORRIENTE

CONTINUA 4.4.4 CLASES DE BOBINAS Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES 4.4.5 RELACIONES MATEMÁTICAS ENTRE EL VOLTAJE Y LA CORRIENTE PARA UN INDUCTOR 4.4.6 ENERGÍA ALMACENADA EN UN INDUCTOR 4.4.7 CARACTERÍSTICAS DEL INDUCTOR 4.4.8 EJEMPLOS


CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I UNIDAD 4

DISPOSITIVOS DE ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA ELÉCTRICA 4.1 INTRODUCCIÓN Los dos elementos básicos de almacenamiento de Energía eléctrica son el capacitor y el inductor, la energía almacenada puede recuperarse y usarse posteriormente para otros propósitos. La inclusión de estos elementos en el estudio de los circuitos eléctricos de corriente continua, ameritan un análisis especial llamado estudio de los fenómenos transitorios, pues el fenómeno se presenta cuando estos elementos están almacenando o entregando la energía eléctrica. 4.2 HISTORIA SOBRE EL ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA ELÉCTRICA EN DISPOSITIVOS 1746 - Pieter Van Musschenbrock , profesor de física en Leyden, Holanda, almacenó carga en una botella con

agua (Botella de Leyden), la cual se constituyó como el primer capacitor artificial. 1762 - Se fabricó el primer capacitor de placas paralelas con dos grandes tableros cubiertos con hojas metálicas.

- Charles Augustin Coulomb ( Físico Francés 1736-1806 ) consiguió establecer las ideas de la electrostática, con el desarrollo del capacitor primitivo, junto con otros científicos investigaron el concepto de almacenamiento de carga, a medida que desarrollaban la primera teoría de la electricidad.

1772-1773 Henry Cavendish ( Físico Inglés, 1731-1810) demostró la ley del cuadrado inverso de la electrostática, efectuó mediciones de capacitancia y de la conductividad, estos resultados solo fueron publicados por James Clark Maxwell ( Físico Inglés, 1831- 1879) en 1879, quien además demostró la naturaleza electromagnética de las ondas luminosas. Las ecuaciones de Maxwell relacionan los campos eléctricos y magnéticos y sus fuentes fundamentales, es decir, las cargas eléctricas.

1820 Hans Christian Oersted ( Físico y Químico Danés, 1777-1851), profesor de la Universidad de Copenhague. - Descubrió el campo magnético asociado a una corriente eléctrica. - Estableció el hecho fundamental de que la aguja de una brújula solo se afectaba cuando fluía una

corriente en las cercanías y no por la sola presencia de un voltaje o una carga. - Concluyo que el campo magnético era circular y se repartía en el espacio alrededor del alambre.

1820 Andre Marie Ampere ( Físico y matemático Francés, 1775- 1836 ) - Publicó un escrito sobre la acción mutua de una corriente eléctrica y un imán, y - Demostró que cuando dos bobinas conducen corriente se comportan como imanes.

1821 Michael Faraday ( Físico Británico, 1791- 1867 ) y Sir Humphry Davy ( Físico y Químico Británico, 1778- 1829) repitieron los experimentos de Oersted

- Los experimentos de Faraday con el magnetismo y la electricidad continuaron durante décadas. 1821-1831Michael Faraday Construyó un anillo de hierro con dos bobinas devanadas en lados opuestos el 29

de Agosto de 1831 conectó un devanado a una batería y el otro a un galvanómetro y advirtió la naturaleza transitoria de la corriente inducida en el segundo devanado, que solo ocurría cuando la corriente del primero se iniciaba o se detenía al conectar o desconectar la batería, dio cuenta de su trabajo a la Royal Society el 24 de Noviembre de 1831 y lo publicó en 1832.

En su honor la unidad de capacitancia se denomina FARADIO( F ), FARAD. 1827- 1831 Joseph Henry (Físico Estadounidense, 1797-1878) Investigó el tema del electromagnetismo

durante el mismo periodo de Faraday, estudió el magnetismo con electroimanes. - Descubrió la autoinducción con una sola bobina, advirtió el principio de la autoinducción cuando se produjo una fuerte chispa al desconectar un largo devanado de alambre de una batería.

En su honor la unidad de la autoinducción se denomina HENRY ( H ) NOTAS: Quien descubrió la inducción electromagnética entre bobinas fue Faraday, pero la unidad de inducción electromagnética y de autoinducción es el Henry. El descubrimiento de la inducción electromagnética y la autoinducción, permite explicar el principio de las máquinas de conversión de energía electromecánica.


4.3 CAPACITANCIA , CAPACITOR Y CONDENSADOR Cuando dos conductores separados por un material aislante como el aire, el papel, el caucho, el plástico, la mica, el vidrio y otros, se conectan a una fuente de corriente continua o alterna, se presenta entre los conductores una CAPACITANCIA, que es una relación entre la carga y el voltaje de los conductores, definida por:

) V ( Voltaje) Q ( Carga

) C ( iaCapacitanc) t (

) t (= ; Voltio

CulombioFaradio =

La capacitancia es un elemento ideal (simple)que se presenta siempre entre dos conductores que tengan una diferencia de potencial entre ellos, cualquiera que sea la forma de los conductores. Con el fin de aumentar la capacitancia concentrada en una zona, fue creado el CAPACITOR, que consiste en dos superficies conductoras, reemplazo de los conductores anteriormente mencionados, separadas por un material no conductor o dieléctrico ( aislador ). El capacitor también es un elemento ideal (simple).

d A + Q(t) V(t) - REPRESENTACIÓN FÍSICA SÍMBOLO

En donde la capacitancia o capacidad con el aire como dieléctrico está definida por:

dA

C oo

ε= , en donde: Co , es la capacidad en faradios ; εo , es la constante dieléctrica o permitividad del

aire (permisividad) igual a: 8.85 x 10- 12 Faradio / metro ; A , es el área de la superficie de las placas para ambas caras en mt2 ; d , es el espesor del dieléctrico o separación de las placas en metros El área necesaria para una determinada capacitancia con el aire como dieléctrico es muy grande, por lo tanto, se descubrió que en lugar del aire se reemplazaba por un dieléctrico o aislante diferente, el área podría disminuir para conseguir igual capacitancia a la anterior o para un área determinada de las placas, la capacidad aumenta con un dieléctrico diferente del aire. Para los diferentes dieléctricos se efectuaron mediciones de permitividad con respecto a la del aire, encontrándose la permitividad relativa de cada dieléctrico, esto es :

o

matr

εε

ε = ; ormat * εεε = ; luego reemplazando esta ecuación en la fórmula anterior, quedará:

d

A C matε= ;

dA

C or εε= ; C = εr * Co en donde:

εmat es la permitividad del material ; εr es la permitividad relativa del material C es la capacidad o capacitancia del capacitor con un material con dieléctrico diferente del aire.

La Permitividad Relativa de algunos dieléctricos es como sigue: Aire 1.0 ; Mica 5.0 Vidrio 6.0 ; Cerámica 7500.0 Titanio de Bario- Estroncio

El CONDENSADOR es un elemento físico real, que está representado por un capacitor (elemento ideal) en serie o en paralelo con una resistencia. El capacitor representa la energía almacenada en campo eléctrico y la resistencia representa la energía térmica entregada al medio ambiente en el proceso de carga y descarga del condensador.


4.3.1 CLASES DE CONDENSADORES Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES A continuación se relaciona una lista de aplicaciones extraídos del libro Análisis Introductorio de Circuitos por Robert L. Boylestad1.

1 Análisis Introductorio de Circuitos, Pearson Education, 8a Edición, Robert L. Boylestad


Los condensadores pueden ser fijos o variables y típicamente van de miles de microfaradios ( u f ) a unos cuantos pico faradios ( pf ). Para aplicaciones generales en circuitos electrónicos ( por ejemplo, acoplamiento entre etapas de amplificación) el material dieléctrico puede ser aire, vacío, papel impregnado con aceite o cera, mylar, poli estireno, mica, vidrio o cerámica. Los condensadores con dieléctrico de cerámica construido con titanio de bario tienen una razón de capacitancia a volumen grande debido a su alta constante dieléctrica, los capacitores con dieléctricos de mica, vidrio y cerámica operan satisfactoriamente a altas frecuencias. Los condensadores electrolíticos de aluminio, que constan de un par de placas de aluminio separadas por un electrodo pastoso de bórax humedecido, pueden proporcionar valores de capacitancia altos en pequeños volúmenes, se suelen utilizar para filtrado, desviación y acoplamiento, y en aplicaciones de suministro de potencia y arranque de motores. Los condensadores de electrolito de tantalio tienen pérdidas mas bajas y características mas estables que los condensadores electrolíticos de aluminio. Además de las clases anteriores, existe la capacitancia parásita que está presente cuando coincide una diferencia de potencial entre dos materiales conductores separados por un dieléctrico. Debido a que esta capacitancia puede ocasionar un acoplamiento indeseado entre circuitos, se debe tener cuidado extremo en la colocación delos dispositivos electrónicos sobre las tarjetas del circuito impreso.

4.3.2 RELACIONES MATEMÁTICAS ENTRE EL VOLTAJE Y LA CORRIENTE PARA UN CAPACITOR Si conectamos el capacitor a una fuente de corriente continua o alterna se transferirán cargas de una placa a la otra, esta carga es proporcional al voltaje aplicado, o sea que:

1 )() t ( C q tv= , en donde C es constante y la carga y el voltaje dependen del tiempo. Para corriente continua la fórmula quedará: Q = C V , siendo todas las cantidades constantes. Derivando a ambos lados de la ecuación 1,tendremos:

td

dv * C

tddq ) t () t ( = ; teniendo en cuenta que la derivada de la carga con respecto al tiempo es la

corriente, la expresión para la corriente del capacitor quedará:

2 td

dv * C ) t (

) t ( c =i ; la cual relaciona el voltaje y la corriente en un capacitor, considerándolo como

elemento pasivo, o sea cuando está almacenando energía. De la fórmula anterior se puede determinar que si el voltaje a través del capacitor es constante, como lo es en corriente continua, la corriente que circula por el capacitor es cero, ya que la derivada de una constante es cero, luego se infiere que el capacitor se comporta como un circuito abierto para corriente continua en estado estable. Finalmente el símbolo y la ecuación que rige para un capacitor considerado como elemento pasivo es:

) t ( ci 3 t d

dv * C )t (

)t ( c =i

) t (v

La ecuación puede rescribirse en términos de los diferenciales, esto es:

td C1 dv ) t ( c) t ( i= , integrando la expresión desde - ∞ hasta t y asumiendo que v( -∞ ) = 0 , la expresión

quedará:


∫∫∞

=

∞

t

-

td C1 vd

) t (

) - (

i

v

v ∫

∞

=

t

-

) t ( td C1 v i

La integral de la derecha se puede desarrollar como la suma de dos integrales, una entre -∞ y to y la otra entre

to y t . Desarrollando la primera integral y reemplazando sus límites correspondientes, tendremos:

∫∫ +=

∞

t

t

t

-

) t (

o

o

td C1 td

C1 v ii ∫+= ∞

t

t

) - () t() t (

o

0 td

C1 v- v v i

Reemplazando algunos valores conocidos, la fórmula general del voltaje quedará:

4 ∫+=

t

t

)t() t ()t (

o

0t d

C1 v v i

La fórmula entrega el voltaje del capacitor en un instante t a partir de la corriente que circula por el y conocido el voltaje a través de él en el instante to . Si conocemos que para to = 0 y v(to) = 0, la fórmula se puede simplificar a:

∫=

t

o

)t ( t d C1 v i

Para efectos de representar la integral en las ecuaciones a trabajar, podremos omitir los límites de la integral con el fin de simplificar la expresión, pero cada vez que se necesite desarrollarla se utilizará la expresión 4

4.3.3 ENERGÍA ALMACENADA EN UN CAPACITOR La potencia asociada con el capacitor viene expresada por: ) t () t () t ( * v ip =

Reemplazando la ecuación 2, y rescribiendo la ecuación en notación diferencial, la expresión quedará:

) t () t () t ( vd vC t d =p , integrando a ambos lados de la ecuación entre to y t tendremos:

∫ ∫=t

t

) t (

) to(

) t ( ) t () t (

o

v

v vd v C t d p , desarrollando las integrales y remplazando los respectivos límites, la

expresión quedará: v - v 2

) to(

2

) t () to() t ( C 21 C

21 - =WW , en donde W es el trabajo o energía

almacenada en el capacitor. Comparando miembro a miembro los dos lados de la ecuación, resulta la energía almacenada en el capacitor para un instante t igual a:

5 v2

)t ()t ( C 21 =W

La anterior ecuación indica que en un capacitor existirá energía almacenada así el voltaje entre sus placas es constante, como ocurre cuando se conecta a una batería o cuando se trabaja con corriente continua.

4.3.4 CARACTERÍSTICAS DEL CAPACITOR

1. El voltaje en un capacitor no está cambiando con el tiempo, la corriente a través de él es cero. Por lo tanto, un capacitor se comporta como circuito abierto para la corriente continua.


2. Puede almacenarse una cantidad finita de energía en un capacitor aun cuando la corriente a través de él sea cero, como, por ejemplo, cuando el voltaje del capacitor es constante.

3. Es imposible poder cambiar el voltaje en un capacitor en una cantidad finita en un tiempo cero, ya que este requiere una corriente infinita a través del capacitor.

4. Un capacitor nunca disipa energía, solo la almacena. Aunque esto es cierto para el capacitor como modelo matemático, no lo es para el capacitor real o condensador.

4.3.5 EJEMPLOS: EJEMPLO N° 1:Sí la carga entre dos conductores paralelos cargados a 12 v es 600 pc. ¿ Cuál es la capacitancia

de los conductores paralelos ? Rta: pf 50 v12pc 600 C ==

EJEMPLO N° 2: El voltaje a través de un capacitor de 5uf , tiene la forma de onda que se muestra en la figura siguiente. Determine la forma de onda de la corriente. V( t ) v Rta: ) t (i mA

24 20 6 8 t(mseg)

6 8 t(mseg) -60

EJEMPLO N° 3: Determine la energía almacenada en el campo eléctrico del capacitor del ejemplo anterior entre 0 y 6 mseg.

Solución: Las ecuaciones correspondientes al lugar geométrico del voltaje son: V1( t ) = 4 t, v, con t en ms, para 0 ≤ t ≤ 6 mseg y V2( t ) = (-12 t + 96), v, con t en ms, para 6 mseg ≤ t ≤ 8 mseg

Las ecuaciones correspondientes al lugar geométrico de la corriente son: msegA) t (1 6 t 0 para m 20 ≤≤=i y msegmsegA) t (2 8 t 6 para m 60 - ≤≤=i .

UNIDADES: iC (mA) = C(uf) td

d (t) Cv )

seg mv( ; iC1 = 5 uf x 4 )

seg mv( = 20 mA

Determinando la correspondiente ecuación de la potencia, tendremos: mseg(mseg)) t (1 6 t 0 para mw t80 p ≤≤= y

msegmseg(mseg.)) t (2 8 t 6 para mw ) 5760 - t(720 p ≤≤= Integrando la expresión de la potencia entre 0 y 6mseg , encontraremos la respuesta a la solicitud del problema.

∫ =+==+=mseg6

0

3 -mseg2

(0)mw(mseg))mseg6(julios 10 x 1.44 0 uj 1440 6

0]2 t80 [ W t d ) t(80 W

También podremos responder a la pregunta del problema, utilizando la fórmula 5 y la expresión determinada para el voltaje en los pasos anteriores, esto es :

2) t ( ) t ( V C

21 W = W julios 101.44x v)6 *(16 ) f (5x10

2

1 ) t(16 C

2

1 3 -26 -2

) mseg 6 (===

EJEMPLO N° 4: La corriente en un capacitor de 4uf inicialmente descargado se muestra en la figura siguiente:

0 1 2 3 4 t (mseg) - 8

16

Corriente (UA)


Determine las ecuaciones de voltaje, potencia, y energía. Calcule la energía almacenada en el capacitor para t = 2 mseg, y t = 4 mseg.

Desarrollo: Las expresiones matemáticas para la corriente del capacitor presentada en la figura anterior son: ) t C1(i = 8 * 10- 3 t amp, para 0 (mseg) ≤ t ≤ 2(mseg) y ) t C2(i = - 8 * 10- 6 amp, para 2 (mseg) ≤ t ≤ 4(mseg)

Para determinar el voltaje en los terminales del capacitor utilizamos la fórmula 4, en donde to es igual a cero,

y VC(o) es igual a cero por estar inicialmente el capacitor descargado. ) t(

t

t

)t() t ( 0

o

v td i C1 v += ∫ ,

luego, para el primer intervalo quedará:

t10 0 t d t 10*t

0

8 V 23310 * 41

) t ( 1C 6 - =+= −∫ voltios ; para 0 (mseg) ≤ t ≤ 2(mseg)

Para t = 2 mseg, Vc (2 mseg) = 103 (2 10- 3)2 = 4x10- 3 = 4 mv De igual forma para el intervalo 2 (mseg) ≤ t ≤ 4(mseg) , tendremos:

10 * 8 t 2 - V t d 10*t

mseg 2

8- V 3 -mseg) (2 c

610 * 41

) t ( 2C 6 - +=+= −∫ voltios

Las expresiones para la potencia del capacitor quedarán: ) t C1( =p 8 t3 vatios para 0 (mseg) ≤ t ≤ 2(mseg)

) t C2( =p (16 x10- 6) t – 64x10-9 vatios para 2 (mseg) ≤ t ≤ 4(mseg) Finalmente, para determinar la energía almacenada en el capacitor, utilizamos la fórmula 5

vW 2

) t () t ( C 21 = ,esto es :

t2 ) t(10 )10*(4 W 42236 -21

) t ( 1C == julios ; Para 0 (mseg) ≤ t ≤ 2(mseg) -129 -26 -

) t ( 2c 10 * 128 t 10 * 64 - t10 *8 W += julios ; Para 2 (mseg) ≤ t ≤ 4(mseg) De las expresiones anteriores encontramos que W( 2 mseg ) es igual a 32 pj y que W( 4 mseg ) es igual a 0 pj EJEMPLO N° 5: En el ejemplo se presenta el desarrollo analítico a utilizar con el propósito de encontrar una expresión del voltaje de salida en función del voltaje de entrada y sus elementos constitutivos para un amplificador operacional conectado como integrador. Un integrador se crea mediante un operacional ideal, en donde conectamos a tierra la entrada no inversora, instalamos un capacitor ideal como un elemento de retroalimentación desde la salida hasta la entrada inversora y conectamos una fuente de señal Ve a la entrada inversora a través de un resistor ideal.

Se trata de determinar el voltaje de salida Vsal en función del voltaje de entrada Ve y de los elementos adicionales conectados como lo son el capacitor C y la resistencia R. Como el amplificador es ideal, se asume que su corriente de entrada es cero, por lo tanto, la corriente a través de la resistencia I es la misma que atraviesa el capacitor.


1

23U1

CR

Ve

+ Vc -I

I

Va

Vb

+

Vsal-

Aplicando LCK al nodo de la entrada inversora tendremos: 0 = R

V - V ae - I , luego, sí Va = 0 = Vb, entonces: I =

RVe . Por otro lado, para el capacitor I = C

dt)(Vd c , por lo tanto,

RVe = C

dt)(Vd c , la cual, integrando esta

última ecuación resultará que Vc = RC1∫

t

0 edtV + Vc(0)

Aplicando LVK a la malla externa del amplificador, incluyendo el voltaje de salida Vsal tendremos: Vsal + Vc + I * R – Ve = 0, la cual , despejando el voltaje de salida Vsal = - Vc - I * R + Ve y reemplazando las

ecuaciones obtenidas Vsal = - Vc - RVe * R + Ve = - Vc = -

RC1∫

t

0 edtV - Vc(0)

Luego, la señal de salida es la integral de la señal de entrada y de ahí el nombre de Amplificador Integrador ya que el término RC casi siempre es menor a uno.

Vsal = - RC1∫

t

0 edtV - Vc(0)

EJEMPLO N° 6: Si intercambiamos los dos elementos conectados al amplificador construimos un Amplificador Diferenciador

1

23U1C

R

Ve

+ Vc -

I

I

Va

Vb

+

Vsal-

Aplicando LVK a la malla externa del amplificador, incluyendo el voltaje de salida Vsal tendremos: Vsal + I * R+ Vc– Ve = 0, la cual , despejando el voltaje de salida Vsal = - Vc - I * R + Ve , como Vc = Ve,

entonces, Vsal = - I * R. Por otro lado, para el capacitor I = C dt

)(Vd c , por lo tanto, Vsal = - R C dt

)(Ved

Lo cual indica que la señal de salida es la derivada de la señal de entrada y de ahí el nombre de Amplificador Diferenciador

Se trata de determinar el voltaje de salida Vsal en función del voltaje de entrada Ve y de los elementos adicionales conectados como lo son el capacitor C y la resistencia R. Como el amplificador es ideal, se asume que su corriente de entrada es cero, por lo tanto, la corriente a través de la resistencia I es la misma que atraviesa el capacitor.


4.4 INDUCTANCIA, INDUCTOR Y BOBINA La asociación entre el campo magnético y la corriente eléctrica fue descubierta por Hans C Oersted en 1820, descubrió el campo magnético producido por una corriente eléctrica cuando fluye por un alambre conductor, concluyó que el campo magnético era circular y se repartía en el espacio alrededor del alambre. Cuando una corriente pasa a través de un alambre conductor se presenta una INDUCTANCIA, que es una relación entre el flujo magnético producido por el conductor y la corriente eléctrica que atraviesa el alambre. La inductancia es un elemento ideal (simple) que se presenta cuando una corriente eléctrica atraviesa un alambre conductor, cualquiera que sea la forma del área transversal del conductor, cuando el conductor es de área transversal circular las líneas de flujo magnético serán circulares. Con el fin de aumentar el campo magnético producido por una corriente (Inductancia) y concentrarlo en una zona fue creado el INDUCTOR, que consiste en un alambre enrollado en forma helicoidal. Cuando el inductor se arrolla alrededor de un núcleo ferromagnético, este campo magnético concentrado se comporta como el de un imán ante la cercanía de otro inductor y puede inducir en este último un voltaje si la corriente por el primer inductor es variable. El fenómeno de la INDUCCIÓN MUTUA, efecto de un inductor sobre otro, fue descubierto por Michael Faraday en Agosto 29 de 1831, su trabajo solo fue publicado en 1832, determinó que el voltaje inducido en un

inductor debido a la variación del flujo magnético es td

d N - VLφ

= , en donde N representa el número de

espiras del inductor. En 1831 también Joseph Henry descubrió el fenómeno de la INDUCCIÓN PROPIA O AUTOINDUCCIÓN , o sea, el voltaje que se autoinduce en un solo inductor cuando éste es atravesado por una corriente variable, el

voltaje autoinducido se puede expresar por: td

d N VLφ

=

Es de anotar , que para que exista un voltaje por inducción o autoinducción, es necesario que el flujo que lo produce varíe con el tiempo. 4.4.1 VOLTAJE DE AUTOINDUCCIÓN EN UN INDUCTOR (LEY DE LA AUTOINDUCCIÓN DE JOSEPH HENRY) Establece que el voltaje autoinducido en una bobina es proporcional a la razón del cambio en el flujo con respecto al tiempo y el número N de vueltas de la bobina, luego, el voltaje de autoinducción para un inductor

está dado por:td

d *N V ) t (

)t(L

φ= 1

A partir de la ley de la autoinducción de Joseph Henry, podremos expresar la derivada del flujo con respecto al

tiempo td

i d * N

td d ) t () t (

ℜ=

φ 2,o la relación entre el número de espiras y la reluctancia

i d d

N

) t (

) t (φ=ℜ

3 .

Remplazando la ecuación 2 en la ecuación 1, resulta: td

i d *N V ) t (

2

)t(L ℜ= 4. Remplazando la ecuación 3

en la última expresión, ésta quedará: td

i d *

i d d

N V ) t (

) t (

) t ()t(L

φ= 5.

A la expresión L i d

d N N

) t (

) t (2

=φ

=ℜ

, se le denomina INDUCTANCIA, que es una relación entre el flujo

producido por el inductor y la corriente que lo atraviesa, es de anotar, que en esta definición de relación está incluido el número de espiras y el tipo de núcleo del inductor. También se le denomina inductancia a la capacidad de un dispositivo para almacenar energía en forma de campo magnético. La unidad de la inductancia es el Henry (Henrrio), en honor al descubridor del fenómeno de la autoinducción, Joseph Henry. Remplazando la ecuación de la inductancia en la ecuación 4 o en la 5, resulta la ecuación que relaciona el voltaje autoinducido y la corriente en el inductor, cuando éste es considerado como elemento pasivo.


t d

i d L V )t L(

)t(L = 6 , cuyo símbolo es:

4.4.2 ANALOGÍAS ENTRE LAS PRINCIPALES UNIDADES DEL CIRCUITO MAGNÉTICO Y LAS DEL CIRCUITO ELÉCTRICO

CURVA DE HISTÉRESIS La relación entre el flujo magnético Φ o la densidad de flujo β y la fuerza magnetomotriz N I para un inductor está representada por la figura abajo, en donde β = Φ / A saturación Φ β Núcleo de material ferromagnético Núcleo de aire N I

Para una bobina arrollada sobre un núcleo cerrado, de longitud media lm , y de material ferromagnético en

donde el flujo magnético viene expresado por : Φ = m

or

lA N i μμ

, la inductancia L de la bobina puede ser

expresada por:

CIRCUITO ELÉCTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO

) t (i Corriente (amp) ) t (φ Flujo magnético (weber)

) t (V Voltaje (volt) N* ) t (i Fuerza Magnetomotriz ( amp vuelta)

R Resistencia al paso de la corriente ohmios Ω

ℜ Reluctancia o resistencia al

paso del flujo (weber

vueltaamp )

G = R1 Conductancia (siemens) P =

ℜ1 Permeancia- conducción

Ley de Ohm ) t () t ( i * R V =

RV

i ) t () t ( =

Ley de la autoinducción de Henry

td d

* td

i d *N ) t () t ( φ

ℜ=

φℜ= * I *N ; ℜ

=φI N = NI P

i(t)

v(t)

L(H) o N vueltas


β, Φ

L = ) t (

) t (

i d d

Nφ

= Ni

i

d

]l

A N [d

m

orμμ

= m

2or

l AN μμ

= m

2

l AN μ =

ℜ

2N = N2 P, luego la inductancia de un

inductor es una medida de la relación entre la corriente y el flujo del inductor ; es la razón de cambio del flujo con respecto a la corriente por el número de vueltas del inductor ; es un parámetro de la bobina que depende de la permeabilidad del material y del área de la sección transversal del núcleo , como también de la longitud media del núcleo cerrado de la bobina ; o depende del número de vueltas y la reluctancia del núcleo, o del número de vueltas y la permeancia del núcleo 4.4.3 ANÁLISIS DEL FENÓMENO DE LA AUTOINDUCCIÓN CUANDO LA FUENTE EXCITATRIZ ES CORRIENTE

CONTINUA Si le aplicamos un voltaje CD a un alambre conductor de determinada longitud, circulará una corriente a través del conductor, la cual es cero en el instante mismo de la aplicación del voltaje y adquiere su máximo prácticamente en el mismo instante, la magnitud máxima estará determinada por la resistencia interna del alambre. I alamb. cond. I

. · · · · · · · · · · · · · . + + + + + + + + + + + + + + flujo mag + · + V + · V Ri Resistencia _ + · _ interna + · + + + + + + + + + + + + + · · · · · · · · · · · · · · Representación Física Esquema Eléctrico del circuito equivalente

Al circular corriente por el conductor, se crea un campo magnético alrededor del mismo, este flujo es constante

en magnitud pues la corriente pasa de cero a un valor máximo determinado poriR

V I = en un tiempo

prácticamente cero. El flujo magnético producido por la circulación de la corriente es prácticamente imperceptible, pero son líneas que entran al plano por la parte interna del circuito, conformado por el conductor y la batería, y salen del plano por la parte externa. En la figura de la derecha está dibujado el circuito eléctrico equivalente, el cual solo contiene un elemento resistivo (Ri resistencia interna del alambre), que representa el calor producido por el conductor al ser atravesado por la corriente, el campo magnético alrededor del conductor no está representado por ser imperceptible. Ahora, el alambre conductor lo enrollamos en forma helicoidal, con una sección transversal circular y un número N de vueltas o espiras, formando así el INDUCTOR, al cual nuevamente le aplicamos el voltaje CD.

VR Ri, Resistencia interna Inductor de N espiras VL L Inductancia


Representación Física Esquema Eléctrico del circuito equivalente El fenómeno se presenta similarmente al caso anterior, ya que el circuito es el voltaje CD aplicado al mismo alambre conductor de longitud determinada, pero enrollado en forma helicoidal, por lo tanto, circula una corriente a través del inductor, que es cero en el instante mismo de la aplicación del voltaje y adquiere su máximo un instante posterior. La diferencia con el caso anterior es el tiempo que transcurre al pasar de cero a su valor máximo, debido a la inductancia que se produce al enrollar el alambre, ya que la corriente tiene que dar las N vueltas del inductor, formando así el campo magnético concentrado en su interior. Entre mayor es el número de vueltas mayor es la inductancia del inductor y mayor es el tiempo que requiere la corriente en adquirir su máximo. Sí el núcleo del inductor es de un material ferromagnético la inductancia será mayor para las mismas condiciones de corriente y espiras. La magnitud máxima de la corriente estará determinada por la magnitud del voltaje de la fuente y la resistencia interna del inductor, igual al caso anterior. En la figura de la derecha, anterior, está dibujado el circuito eléctrico equivalente, en donde la carga está representada por dos elementos simples en serie: Ri que representa la resistencia interna del alambre conductor, y L que representa la inductancia producida por haber enrollado el alambre para concentrar el campo magnético, o inductancia del inductor. El flujo magnético que se produce al interior del inductor es variable, en la medida que la corriente sea variable, o sea, cuando pasa de cero a su valor máximo, pero una vez la corriente adquiere su valor máximo, el flujo magnético también adquiere su valor máximo y continua constante.

Cuando el flujo está variando se presenta el voltaje autoinducido, td

d *N V ) t (

)t(L

φ= , ya que la derivada del

flujo con respecto al tiempo tiene su valor finito, pero cuando el flujo se torna constante, el voltaje autoinducido se hace cero, ya que la primera derivada del flujo con respecto al tiempo es igual a cero, y en este instante el

circuito se comporta como solamente resistivo, o sea que, iR

V I = , como en el primer caso.

El comportamiento de todas las variables consideradas en el ejemplo anterior puede ser representado por los siguientes lugares geométricos

I = (V/Ri) , Φ = [(μ N I )/ l ] I, Φ, β

V, vR, vL V

vL = 0

vR = V

vL

vR

0 5τ t(seg)

t(seg)


V

Ri

ESTADO

VVLL

TRANSITORIO

VR

Rit = 01 2

VL

ESTABLE

VL

ESTABLE

V

VR

L

Ri

ESTADO

VR

ESTADO

Por lo anterior, se puede establecer una característica para el inductor y es la de que se comporta como un cortocircuito para la corriente continua en el estado estable. El inductor aquí analizado es real, porque se le ha considerado su resistencia interna, pero el inductor, al que se va a referir en este escrito de aquí en adelante, es al elemento simple o modelo matemático, o sea, el que contiene solamente inductancia y no se le considera su resistencia interna. La BOBINA es un inductor real o elemento compuesto, que está conformado por un inductor (elemento simple o ideal o modelo matemático) en serie con una resistencia. El inductor representa la energía almacenada en campo magnético y la resistencia representa la energía térmica entregada al medio ambiente en el proceso de almacenamiento y entrega de energía en el inductor. 4.4.4 CLASES DE BOBINAS Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES A continuación se relaciona una lista de tipos de bobinas y algunas de sus aplicaciones extraída del libro “Análisis Introductorio de Circuitos” por Robert L. Boylestad2

2 Análisis Introductorio de Circuitos, Pearson Education, 8a Edición, Robert L. Boylestad


4.4.5 RELACIONES MATEMÁTICAS ENTRE EL VOLTAJE Y LA CORRIENTE PARA UN INDUCTOR

A partir de la ecuación 6 ; td

i d L V ) t L(

)t(L = que representa el voltaje de autoinducción para un inductor en

función de la corriente que lo atraviesa, cuando está almacenando energía, o sea , cuando se considera como

elemento pasivo, podremos rescribirla en formato de diferenciales, td V L1 i d ) t L() t L( =

Integrando a ambos lados de la ecuación desde t = -∞ a un instante t de tiempo y asumiendo que iL( - ∞ ) = 0

∫∫∞

=

∞

t

-

td V

i

iL1 i d ) t(L

) t (L

) - (L

L ∫∞

=

t

-

) t (L) t (L td V L1 i

La integral de la derecha se puede desarrollar como la suma de dos integrales, una entre -∞ y to y la otra entre to y t . Desarrollando la primera integral y reemplazando sus límites correspondientes, tendremos:

∫∫ +=

∞

t

t

) t L(

t

-

) t L() t (L

o

o

td V L1 td V

L1 i , desarrollando la integral de la izquierda

∫+= ∞

t

t

t)(L) - (L) t(L) t (L

o

0 td V

L1 i - i i

Reemplazando algunos valores conocidos, la fórmula general de la corriente quedará:

(A) ∫+=

t

t

)t(L) t (L)t (L

o

0t d V

L1 i i

La fórmula entrega la corriente de la inductancia en un instante t a partir del voltaje a través de la inductancia y conocida la corriente que circula por ella en el instante to . Si conocemos que para to = 0 ; iL(to) = 0, la fórmula se puede simplificar a:

∫=

t

o

)t (L)t (L t d V L1 i

Para efectos de representar la integral en las ecuaciones a trabajar, podremos omitir los límites de la integral con el fin de simplificar la expresión, pero cada vez que se necesite desarrollarla se utilizará la expresión (A)

4.4.6 ENERGÍA ALMACENADA EN UN INDUCTOR La potencia asociada con el inductor viene expresada por: ) t (L) t (L) t (L i * v p =


Reemplazando la ecuación 6, y rescribiendo la ecuación en notación diferencial, la expresión quedará:

) t (L) t (L) t (L i d i L t d p = , integrando a ambos lados de la ecuación entre to y t ;

∫ ∫=t

t

) t (L

) to(L

) t (L ) t (L) t (L

o

i

ii d i L t d p , desarrollando las integrales y remplazando los respectivos límites, la

expresión quedará:

- WW 2) to(L

2) t (L) to(L) t (L i L

21 i L

21 - = , en donde W es el trabajo o energía almacenada en el

inductor. Comparando miembro a miembro los dos lados de la ecuación, resulta la energía almacenada en el inductor para un instante t igual a:

(B) W 2)t (L)t (L i L

21 =

La anterior ecuación indica que en un inductor existirá energía almacenada así la corriente a través de él es constante, como ocurre cuando se conecta a una batería o cuando se trabaja con corriente continua. 4.4.7 CARACTERÍSTICAS DEL INDUCTOR 1. Sí la corriente que circula en un inductor no está cambiando con el tiempo, entonces el voltaje entre sus

terminales es cero. Por lo tanto, un inductor se comporta como cortocircuito para la corriente continua. 2. Puede almacenarse una cantidad finita de energía en un inductor aun cuando el voltaje entre sus terminales

sea cero, como, por ejemplo, cuando la corriente del inductor es constante. 3. Es imposible poder cambiar la corriente de un inductor en una cantidad finita en un tiempo cero, ya que

éste requiere un voltaje infinito en el inductor. 4. Un inductor nunca disipa energía, solo la almacena. Aunque esto es cierto para el inductor como modelo

matemático, no lo es para el inductor real o bobina. 4.4.8 EJEMPLOS: EJEMPLO N° 1: En un inductor, cuya inductancia es igual a 0.25 henrrios, la corriente es

(amp) ) t L(i segen con t amp, t 4 t-) t (L e=i . Determine el voltaje, la potencia, y la energía en este inductor.

Desarrollo: Considerando la convención de los signos pasivos para un inductor el voltaje viene expresado por:

tdi d

L V ) t L()t(L = , luego, ( )

tdt d V

t-

441

) t (Le

= voltios

El voltaje autoinducido quedará voltios t - V t- t-) t (L ee += , y la potencia del inductor resulta

t)L( t)L() t L( * V ip = = t2 - t2 -2 ee t 4 t4 +− watts, con t en seg.

Finalmente, la energía almacenada se puede determinar reemplazando la corriente en la fórmula B), esto

es: W julios t2 ) t ( )( t2 -22 t-44

121

t)L( ee == RESPUESTAS:

VOLTAJE : voltios t - V t- t-) t (L ee += , POTENCIA : ) t L( =p t2 - t2 -2 ee t 4 t4 +− vatios,

ENERGÍA: W julios t2 ) t ( )( t2 -22 t-44

121

t)L( ee == EJEMPLO N° 2:.La corriente a través de un inductor de 0.5 henrrios es como aparece en la figura abajo. Determine el voltaje, la potencia y la energía en el inductor.

0 1 2 t ( seg )

) t L(i (amp) 2


Desarrollo: Las expresiones matemáticas para la corriente del inductor presentada en la figura anterior son: ) t L1(i = 2 t amp. Para 0 (seg) ≤ t ≤ 1(seg) y ) t L2(i = - 2 t + 4 amp. Para 1 (seg) ≤ t ≤ 2(seg)

Considerando la convención de los signos pasivos para un inductor, el voltaje se podrá determinar utilizando la

fórmula td

i d L V ) t L(

)t(L = , luego, si aplicamos la fórmula a las expresiones anteriores, encontraremos para el

voltaje autoinducido las expresiones siguientes: voltio1 2* (0.5) V ) t ( L1 == , para 0 (seg) ≤ t ≤ 1(seg) y voltio1 - 2- * (0.5) V ) t ( L2 == , para 1 (seg) ≤ t ≤ 2(seg)

Las expresiones para la potencia del inductor quedarán: ) t L1( =p 2 t vatios, para 0 (seg) ≤ t ≤ 1(seg) y ) t L2( =p 2 t - 4 vatios, para 1 (seg) ≤ t ≤ 2(seg) Finalmente, aplicando la fórmula B) a cada uno de los intervalos de la potencia, expresada anteriormente, encontraremos las ecuaciones de la energía, esto es:

W 2) t (L) t (L i L

21 = ; WL1( t ) = (1/2)(0.5)(2 t)2 = t2 ; WL2 (t ) = (1/2) (0.5) (2t-4)2 = t2 – 4t + 4

Por lo tanto, las respuestas serán: WL1( t ) = t2 julios , para 0 (seg) ≤ t ≤ 1(seg) y WL2 (t ) = t2 – 4 t + 4 julios, para 1 (seg) ≤ t ≤ 2(seg) Para obtener estas últimas ecuaciones también se puede utilizar la fórmula general de la energía a partir de las

expresiones de la potencia, esto es: ∫ +=t

0(0)) t ()t( Wdt W p

Luego, para 0 (seg) ≤ t ≤ 1(seg) ∫ +=t

0(0)) t ()t( Wdt W p = 2

t

0

t 0 dt t 2 =+∫ julios

para 1 (seg) ≤ t ≤ 2(seg) , ∫ ∫ ++=1

0

t

1) 0 ()t( Wdt 4) - t (2 dt t 2 W = t2 – 4 t + 4 julios

A continuación se presentan los lugares geométricos correspondientes a las ecuaciones determinadas anteriormente.

EJEMPLO N° 3: Determine el voltaje de salida en función del voltaje de entrada y sus elementos interconectados, para el siguiente amplificador operacional ideal conectado como diferenciador.

1 2 t(seg) - 1 v

v(t) 1 v

VOLTAJE

0 1 2 t (seg)

2 w

p(t) 2 w

POTENCIA W(t) 1w

0 1 2 t (seg) ENERGÍA


Ve

RL

1

23 +

Vsal-

+ VL -I

I Va

Vb

Ve – I*R – VL – Vsal = 0. Por otro lado, aplicando LVK a la malla interna tendremos: Ve = I*R. Reemplazando

ésta última ecuación en la inmediatamente anterior, quedará: Vsal = - VL = - L [dI /dt ], y como, dI /dt = dt

dVR1 e ,

entonces, Vsal = - dt

dVRL e , Lo cual indica que la señal de salida es la derivada de la señal de entrada y de ahí el

nombre de Amplificador Diferenciador.

Se trata de determinar el voltaje de salida Vsal en función del voltaje de entrada Ve y de los elementos adicionales conectados como lo son el inductor L y la resistencia R. Como el amplificador es ideal, se asume que su corriente de entrada es cero, por lo tanto, la corriente a través de la resistencia I es la misma que atraviesa el inductor. Para el inductor: VL = L [dI /dt ]. Sí aplicamos LVK a la malla externa del circuito tendremos:

4 up4- unidad 4 dispositivos que almacenan energía

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