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“14 Años de Experiencia Hacen la Diferencia”

ECUACIONES ALGEBRAICAS

4.1 Introducción

Parte de la genialidad que tuvo la humanidad fue la creación de la

palabra igual ya que es fundamental para todo lo se que realiza en matemática.

Pero describir tal palabra puede no ser tan sencillo como parece. Cuando se

escribe:

34

327

4

1 3 = 1

no significa que el símbolo de la izquierda coincide con el de la derecha. En

cambio, significa que el símbolo complicado y el sencillo representan al mismo

número. Este es el significado fundamental de cómo se utiliza la palabra igual

en matemática.

A continuación se debe hacer otra diferencia en el uso del símbolo =.

Cuando se escribe:

y 09x 2

se tienen dos expresiones indiscutiblemente distintas en mente. En el primer

caso, se está haciendo una afirmación. Se afirma que no importa qué número

representa x, la expresión de la izquierda y la expresión de la derecha de la

igualdad, representan al mismo número. Este no puede ser el significado que

debe dársele al segundo caso, pues aquí se está haciendo una pregunta, la




cual es: ¿Qué números puede simbolizar x para que ambos lados de la

igualdad x 2 – 9 = 0 representen al mismo número?

Una igualdad que es verdadera para todos los valores de la variable, se

llama identidad. Aquella que es válida sólo para algunos valores, recibe el

nombre de ecuación condicional. Otra gran diferencia entre estas dos

definiciones, es que las identidades se demuestran, mientras que las

ecuaciones se resuelven (se encuentran soluciones). Ambas son operaciones

muy importantes en matemática; sin embargo, parte de la segunda es la que se

estudiará en este capítulo.

Son algunos ejemplos de identidades, las expresiones:

1) 6 + 11 – 5 = 12 2) x + 7 = 7 + x

3) ( x 2 – 1 ) 2 = x 4 – 2x 2 + 1 4) 2x + 4 – 5x = 1 – 3x + 3

Son algunos ejemplos de ecuaciones, las expresiones:

1) x – 15 = 12 2) x 2 + 7x = – 6

3) x

4

1x

2 4) 31x2

Cuando la variable se sustituye por un número específico, el resultado

puede ser verdadero o falso. Si es cierto, el número constituye una solución o

raíz de la ecuación. El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de




conjunto solución de la ecuación. Un número que es una solución se dice

que satisface la ecuación.

Una ecuación algebraica en la variable x es un enunciado en el que se

dice que dos expresiones de x son iguales. Es costumbre llamar a la variable

de una ecuación incógnita.

Algunas veces se puede resolver una ecuación por simple inspección.

Se necesita poca imaginación y ningún recurso matemático para ver que la

ecuación:

x – 5 = 10

tiene por raíz a x = 15. Por otro lado, resolver la ecuación

x 2 – 11x + 10 = 0

es ya un problema distinto. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario

usar ciertos recursos. La estrategia general es modificar una ecuación paso a

paso hasta llegar a una forma en que la solución sea inmediata. Desde luego,

hay que tener cuidado al hacer las modificaciones para no cambiar las

soluciones. En general, se usa el concepto de ecuaciones equivalentes, que

son ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones. Por ejemplo, las tres

ecuaciones siguientes son equivalentes:

4x – 20 = 0 4x = 20 x = 5




Un tipo de importante de ecuación es la ecuación polinomial de una

variable, que puede escribirse de la forma P = 0, donde P es un polinomio en

una variable. El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, así por

ejemplo las ecuaciones:

4x – 20 = 0 es de primer grado

x 2 – 11x + 10 = 0 es de segundo grado

y 3 + 2y 2 – y – 2 = 0 es de tercer grado

t 4 - 5t 2 + 4 = 0 es de cuarto grado

Hay ecuaciones algebraicas en las que, existen términos que contienen

expresiones racionales, como por ejemplo:

4x

4x

2x

2x

a este tipo de ecuación se le conoce como ecuación racional.

Finalmente, se presentan algunas ecuaciones que tienen la variable

dentro uno o más radicales, llamadas ecuaciones irracionales. Por ejemplo,

02x21x7x

En este capítulo se analizarán los siguientes tipos de ecuaciones

algebraicas:

1.- De primer grado

2.- De segundo grado




3.- Racionales que conducen a ecuaciones de primer o segundo grado

4.- Irracionales

4.2 Ecuaciones algebraicas de primer grado

La ecuación de primer grado o lineal, es una ecuación de la forma:

ax + b = 0

donde a y b son números reales y a ≠ 0. Es el tipo de ecuación más sencillo

para resolver y se reconoce por tener la variable o incógnita únicamente

elevada a la primera potencia.

Para resolver las ecuaciones de primer grado se debe tener en cuenta

las siguientes reglas para modificar ecuaciones:

1.- Si se suma o se resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación,

sus soluciones no varían.

2.- Al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad

diferente de cero, no varían sus soluciones.

Ejemplo:

Considérese la ecuación 7x – 4 = 3x + 8

sumando 4 a ambos lados, se tiene 7x = 3x + 12

restando 3x a ambos lados, se tiene 4x = 12




dividiendo entre 4 a ambos lados, luego x = 3

Se puede verificar que el valor encontrado, efectivamente es la solución

de la ecuación. La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la

incógnita es correcto, la misma se realiza sustituyendo dicho valor en la

ecuación dada, y si es cierto, la ecuación se convertirá en una identidad; así,

en el ejemplo anterior, haciendo x = 3 en la ecuación dada, resulta:

7x – 4 = 3x + 8

7(3) – 4 = 3(3) + 8

21 – 4 = 9 + 8

17 = 17 lo cual es cierto.

Ejemplo ilustrativo 35

Obtener el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

2) ( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )

3) 2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )

4) 4x – ( 2x + 3 )( 3x – 5 ) = 49 – ( 6x – 1 )( x – 2 )

5) x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3

6) 5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x ) con b cualquier real diferente de cero




7) 5

5x

4

3x

3

2x

2

1x

8) 4

3x16x4

6

1x104

9) 3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 )

Solución:

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

11y – 81 = 72y + 102 agrupando términos semejantes

11y = 72y + 102 + 81 sumando 81 a ambos lados

11y = 72y + 183 agrupando términos semejantes

11y – 72y = 183 restando 72y a ambos lados

– 61y = 183 agrupando términos semejantes

3y dividiendo entre – 61 ambos lados

2) ( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )

5 – 3x + 4x – 6 = 8x + 11 – 3x + 6 eliminando los paréntesis

x – 1 = 5x + 17 agrupando términos semejantes

x = 5x + 18 sumando 1 a ambos lados

x – 5x = 18 restando 5x a ambos lados

– 4x = 18 agrupando términos semejantes




2

9x dividiendo entre – 4 y simplificando

3) 2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )

2t – 10 = 3 – t – 4 eliminando los paréntesis

2t – 10 = – t – 1 agrupando términos semejantes

2t = – t + 9 sumando 10 a ambos lados

2t + t = 9 sumando t a ambos lados

3t = 9 agrupando términos semejantes

t = 3 dividiendo entre 3 ambos lados

4) 4x – ( 2x + 3 )( 3x – 5 ) = 49 – ( 6x – 1 )( x – 2 )

4x – (6x 2 – 10x + 9x – 15) = 49 – (6x 2 – 12x – x + 2) multiplicando

4x – 6x 2 + 10x – 9x + 15 = 49 – 6x 2 + 12x + x – 2 eliminando los paréntesis

– 6x 2 + 5x + 15 = – 6x 2 + 13x + 47 agrupando términos semejantes

5x + 15 = 13x + 47 sumando 6x2 a ambos lados

– 8x + 15 = 47 restando 13x a ambos lados

– 8x = 32 restando 15 a ambos lados

x = – 4 dividiendo entre – 8 ambos lados

5) x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3

x – { 5 + 3x – [ 5x – x – 6 ] } = – 3 eliminando los paréntesis

x – { 5 + 3x – 5x + x + 6 } = – 3 eliminando los corchetes




x – 5 – 3x + 5x – x – 6 = – 3 eliminando los paréntesis

2x – 11 = – 3 agrupando términos semejantes

2x = 8 restando 11 a ambos lados

x = 4 dividiendo entre 2 ambos lados

6) 5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x ) con b ≠ 0

5bx + 25b 2 = 4b 2 – 2bx multiplicando

7bx + 25b 2 = 4b 2 sumando 2bx a ambos lados

7bx = – 21b 2 restando 25b 2 a ambos lados

x = – 3b dividiendo entre 7b ambos lados

7) 5

5x

4

3x

3

2x

2

1x

El mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, y 5 es 60. Multiplicando por 60

todos los términos de la ecuación, se tiene:

5

5x.60

4

3x.60

3

2x.60

2

1x.60

)5x(12)3x(15)2x(20)1x(30 efectuando las divisiones

30x – 30 – 20x + 40 – 15x + 45 = – 12x + 60 eliminando los paréntesis

– 5x + 55 = – 12x + 60 agrupando términos semejantes

7x + 55 = 60 sumando 12x a ambos lados

7x = 5 restando 55 a ambos lados

x = 5 / 7 dividiendo entre 7 ambos lados




8) 4

3x16x4

6

1x104

El mínimo común múltiplo de 6 y 4 es 12. Multiplicando por 12 todos

los términos de la ecuación, se tiene:

4

3x16.12x4.12

6

1x10.124.12

48 – 2( 10x + 1 ) = 48x – 3( 16x + 3 ) efectuando las divisiones y productos

48 – 20x – 2 = 48x – 48x – 9 eliminando los paréntesis

46 – 20x = – 9 agrupando términos semejantes

– 20x = – 9 – 46 restando 46 a ambos lados

– 20x = – 55 agrupando términos semejantes

x = 11 / 4 dividiendo entre – 20 y simplificando

9) 3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 ) eliminando los paréntesis, se tiene

6x + 15 = 6x + 12 restando 6x a ambos lados, se obtiene

15 = 12 lo cual es falso.

Como no hay valor que satisfaga la ecuación, entonces se dice que

la solución de la ecuación es vacía cuyo símbolo es Ø.

Obtener el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

2) ( 5 – 3x ) – (– 4x + 6 ) = ( 8x + 11 ) – ( 3x – 6 )




3) 2( t – 5 ) = 3 – ( t + 4 )

4) 4x – ( 2x + 3 )( 3x – 5 ) = 49 – ( 6x – 1 )( x – 2 )

5) x – { 5 + 3x – [ 5x – ( x + 6 ) ] } = – 3

6) 5b( x + 5b ) = 2b( 2b – x ) con b cualquier real diferente de cero

7) 5

5x

4

3x

3

2x

2

1x

8) 4

3x16x4

6

1x104

9) 3( 2x + 5 ) = 2( 3x + 6 )

4.3 Ecuaciones algebraicas de segundo grado

La ecuación de segundo grado o cuadrática, es una ecuación de la

forma:

ax 2 + bx + c = 0

donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Este tipo de ecuación se reconoce

por tener la variable o incógnita elevada al cuadrado.

Una ecuación cuadrática tiene como máximo tres términos, es decir

existen ecuaciones de segundo grado que poseen uno, dos y tres términos.




Debido a lo expuesto anteriormente, se ve claramente que hay cuatro formas

distintas de encontrar ecuaciones de segundo grado en función a sus términos,

que son:

1.- b = 0 y c = 0 ax 2 = 0

2.- b = 0 y c ≠ 0 ax 2 + c = 0

3.- b ≠ 0 y c = 0 ax 2 + bx = 0

4.- b ≠ 0 y c ≠ 0 ax 2 + bx + c = 0

Estudiando caso por caso, se tiene:

Primer caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b = 0 y c = 0, entonces

ax 2 = 0; la solución es trivial, pues el único número que la satisface es x = 0.

Ejemplos: 1) 3x 2 = 0 2) 2x.3

5 = 0 3) – 3x 2 = 0

Segundo caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b = 0 y c ≠ 0, entonces

ax 2 + c = 0. En cuanto a a y c, se presenta dos posibilidades, que son:

1.- a y c tienen igual signo

2.- a y c tienen diferente signo

1.- Si a y c tienen igual signo, la solución no pertenece a los números reales,

pues la suma algebraica de dos términos (ax 2 + c) es diferente de 0. La

solución pertenece a los números complejos, y es: ia

c

a

cx





Resolver las ecuaciones:

1) 5x 2 + 10 = 0 2) – 7x 2 – 7 = 0

Solución:

1) 5x 2 + 10 = 0

Despejando la x, se tiene la solución compleja: i25

10x

La solución es: i2

2) – 7x 2 – 7 = 0

Despejando la x, se tiene la solución compleja: i7

7x

La solución es: i

2.- Si a y c tienen diferente signo, la solución pertenece a los números

reales, y es: a

cx



1) 4x 2 – 16 = 0 2) 5 – 3x 2 = 0

Solución:




1) 4x 2 – 16 = 0

Dividiendo entre 4 toda la ecuación, se obtiene: x 2 – 4 = 0

Factorizando la diferencia de cuadrados: ( x – 2 )( x + 2 ) = 0

Aquí vale la pena preguntarse ¿Cuándo el producto dos números da 0? La

respuesta es sencilla, simplemente cuando uno de ellos es 0, es decir:

x – 2 = 0 o x + 2 = 0

Si x – 2 = 0 x = 2

Si x + 2 = 0 x = – 2

La solución de la ecuación 4x 2 – 16 = 0 es el conjunto , que puede

escribirse de la siguiente forma 2

2) 5 – 3x 2 = 0

Multiplicando por ( – 1 ) la ecuación, se obtiene: 3x 2 – 5 = 0

La nueva presentación es similar al ejemplo anterior, que puede resolverse

de la siguiente manera:

Sumando 5 a ambos lados de la igualdad 3x 2 = 5

Dividiendo entre 3 la ecuación x 2 = 3

5

Aquí vale la pena preguntarse ¿Qué números elevados al cuadrado dan 3

5?

La respuesta es sencilla, simplemente la raíz cuadrada de 3

5 y recordando

que cualquier número elevado al cuadrado resulta positivo, entonces la




solución de la ecuación 5 – 3x 2 = 0 es el conjunto. La ecuación

tiene dos valores de x que la satisfacen, que son: 3

5x y

3

5x .

Tercer caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b ≠ 0 y c = 0, entonces

ax 2 + bx = 0. La solución de esta ecuación es de fácil comprensión,

factorizando la misma resulta:

ax 2 + bx = 0 x( ax + b ) = 0

y para que el producto de dos números valga 0, es necesario que uno de ellos

sea 0, por consiguiente x = 0 o ax + b = 0

la primera solución es x = 0 y la segunda se obtiene de resolver la ecuación de

primer grado: ax + b = 0

restando b a ambos lados, se tiene ax = – b

dividiendo entre a x = – b / a



1) 9x 2 + 36x = 0 2) 5x 2 – 19x = 0

Solución:

1) 9x 2 + 36x = 0

Sacando factor común x, x( 9x + 36 ) = 0

Luego x = 0 o 9x + 36 = 0

Por consiguiente la soluciones son x = 0 y x = – 4




2) 5x 2 – 19 = 0

x( 5x – 19 ) = 0 x = 0 y x = 19 / 5

Cuarto caso: Dada ecuación ax 2 + bx + c = 0, si b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces

ax 2 + bx + c = 0. Para resolver ecuaciones de este tipo, se requiere de un

estudio especial, cuyo procedimiento de describe a continuación:

Sea ax 2 + bx + c = 0, se resolverá esta ecuación para x en términos de a, b y c,

completando cuadrados, de manera que el trinomio sea cuadrado perfecto.

Primero se divide entre a la ecuación

ax 2 + bx + c = 0 x 2 + a

bx +

a

c = 0

x 2 + a

bx +

a

c = 0 x 2 +

a

bx = –

a

c

Ahora se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a ambos lados:

x 2 + a

bx +

2

2a

b = –

a

c +

2

2a

b

a

c

a

b

a

bx

2

22

42

2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

2

4

2

2




a

acb

a

bx

2

4

2

2

a

acbbx

2

42

Estos valores de x son las soluciones de la ecuación ax 2 + bx + c = 0. Se ha

obtenido así la fórmula cuadrática que permite resolver cualquier ecuación de

segundo grado, simplemente sustituyendo los valores de a, b y c en dicha

fórmula.


Aplicando la fórmula cuadrática resolver las siguientes ecuaciones:

1) 6x 2 – 11x – 10 = 0 2) x 2 – 11x + 10 = 0

3) 4x 2 – 4x + 1 = 0 4) x 2 – 5x + 9 = 0

Solución:

1) 6x 2 – 11x – 10 = 0

Al sustituir por a = 6, b = – 11 y c = – 10 en a

acbbx

2

42

resulta:

12

24012111

6.2

)10.(6.4)11()11(x

2

2

5

12

30

12

1911x




12

1911

12

36111x

3

2

12

8

12

1911x

El conjunto de las soluciones es

2) x 2 – 11x + 10 = 0

Al sustituir por a = 1, b = – 11 y c = 10 en a

acbbx

2

42

resulta:

2

4012111

1.2

10.1.4)11()11(x

2

102

20

2

911x

2

911

2

8111x

12

2

2

911x

El conjunto de las soluciones es




Hay algunas ecuaciones cuadráticas que fácilmente se pueden

resolver factorizando, como es el caso de x 2 – 11x + 10 = 0.

Se presenta a continuación otra manera para resolverla:

Sea x 2 – 11x + 10 = 0 ( x – 10 )( x – 1 ) = 0

Luego x = 10 y x = 1

3) 4x 2 – 4x + 1 = 0

Esta expresión de segundo grado es un trinomio cuadrado perfecto,

por lo que su solución se facilita factorizando

4x 2 – 4x + 1 = 0 ( 2x – 1 ) 2 = 0

por consiguiente 2x – 1 = 0 2

1x

Esta ecuación tiene por solución una raíz doble que es

4) 5x 2 + 8x + 5 = 0

Al sustituir por a = 5, b = 8 y c = 5 en a

acbbx

2

42

resulta:

10

368

10

100648

5.2

5.5.4)8(8x

2




Obsérvese que 36 no tiene solución real. Usualmente se

acostumbra decir que no tiene solución, y es porque se trabaja en los

números reales. Lo que se debe decir es que no tiene solución en el

campo de los números reales, debido a que en el campo de los

números complejos si tiene solución. Recuérdese, lo siguiente:

36 = 1.636.1 y como i = 1 , se tiene:

36 = 6i

i5

3

5

4i

10

6

10

8

10

i68x

10

i68

10

368x

i5

3

5

4i

10

6

10

8

10

i68x

El conjunto de soluciones es

Finalmente, se mostrará cómo obtener información acerca del carácter

de las raíces de una ecuación cuadrática sin tener que resolverla. En la

fórmula cuadrática a2

ac4bbx

2

, la cantidad subradical ac4b2

recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. El carácter de




las raíces puede determinarse obteniendo el valor del discriminante, por los

que:

1.- Si ac4b2 = 0, la ecuación tiene dos raíces reales e iguales; es decir

tiene una raíz doble

2.- Si ac4b2 > 0, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes

3.- Si ac4b2 < 0, la ecuación no tiene solución real; las raíces son

imaginarias y diferentes; son complejos conjugados entre sí.


Determinar el carácter de las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones:

1) 4x 2 – 4x + 1 = 0 2) x 2 – 11x + 10 = 0 3) 5x 2 + 8x + 5 = 0

Solución:

1) 4x 2 – 4x + 1 = 0

ac4b2 = ( – 4 ) 2 – 4.4.1 = 16 – 16 = 0

Presenta una raíz doble, como se demostró en el ejemplo anterior numeral 3,

cuando se resolvió y se encontró que la ecuación tiene por solución la raíz

doble.

2) x 2 – 11x + 10 = 0




ac4b2 = ( – 11 ) 2 – 4.1.10 = 121 – 40 = 81 > 0

La ecuación tiene dos raíces reales y diferentes como se demostró en

el ejemplo anterior numeral 2, y cuya solución fue

3) 5x 2 + 8x + 5 = 0

ac4b2 = ( 8 ) 2 – 4.5.5 = 64 – 100 = – 36 < 0

La ecuación tiene dos raíces imaginarias y diferentes como se

demostró en el ejemplo anterior numeral 4, y cuya solución fue

. No tiene raíces reales.

.

4.4 Ecuaciones racionales que conducen a ecuaciones de

primer y segundo grado

Una ecuación racional es aquella en la que aparecen términos que son

expresiones racionales. Son ejemplos de ecuaciones racionales:

4x

4x

2x

2x

y

5

y1

3

1y

2

0t6

3

t4

1





Encontrar los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes

ecuaciones

1) x

2

x2

1

8

3 2) 0

6z

3

z4

1

3) 4x

4x

2x

2x 4)

1x

2x3

2x

1x3

5) 1x4

3x

1x2

2

1x2

32

6) xx

3

1x

5x22

Solución:

1) x

2

x2

1

8

3

Como la división entre 0 no esta definida, entonces se debe cumplir

que x ≠ 0.

El m.c.m. de: 8, 2x y x es 8x.

Multiplicando por 8x todos los términos de la ecuación:

x8.x

2x8.

x2

1x8.

8

3 164x3 restando 4 a ambos lados

3x = 12 dividiendo entre 3 ambos lados




x = 4

Nota importante: Al resolver una ecuación racional, se debe comprobar que el

resultado obtenido satisface dicha ecuación.

Comprobación: x

2

x2

1

8

3

4

2

4.2

1

8

3

2

1

8

1

8

3

2

1

8

4

2

1

2

1

2) 06z

3

z4

1


que z ≠ 4 y z ≠ – 6.

El m.c.m. de: (4 – z) y (z + 6) es (4 – z).(z + 6).

Multiplicando por (4 – z).(z + 6) todos los términos de la ecuación:

)6z).(z4.(0)6z).(z4.(6z

3)6z).(z4.(

z4

1

z + 6 + 3(4 – z) = 0

z + 6 + 12 – 3z = 0 eliminando el paréntesis

18 – 2z = 0 agrupando términos semejantes

– 2z = – 18 restando 18 a ambos lados

z = 9 dividiendo entre – 2 ambos lados




Comprobación: 06z

3

z4

1

069

3

94

1 0

15

3

5

1 0

5

1

5

1 0 = 0

3) 4x

4x

2x

2x


que x ≠ – 2 y x ≠ – 4.

El m.c.m. de: (x + 2) y (x + 4) es (x + 2).(x + 4).

Multiplicando por (x + 2).(x + 4) todos los términos de la ecuación:

4x2x.4x

4x4x2x.

2x

2x

( x – 2 ).( x + 4 ) = ( x – 4 ).( x + 2 )

x 2 + 2x – 8 = x 2 – 2x – 8 efectuando los productos notables

2x – 8 = – 2x – 8 restando x 2 a ambos lados

2x = – 2x sumando 8 a ambos lados

4x = 0 sumando 2x a ambos lados


Comprobación: 4x

4x

2x

2x




40

40

20

20

4

4

2

2 – 1 = – 1

4) 1x

2x3

2x

1x3

En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ – 2 y x ≠ – 1.

El m.c.m. de: (x + 2) y (x + 1) es (x + 2).(x + 1).

Multiplicando por el m.c.m. todos los términos de la ecuación:

1x2x.1x

2x31x2x.

2x

1x3

( 3x + 1 ).( x + 1 ) = ( 3x – 2 ).( x + 2 )

3x 2 + 4x + 1 = 3x 2 + 4x – 4 efectuando los productos notables

4x + 1 = 4x – 4 restando 3x 2 a ambos lados

1 = – 4 restando 4x a ambos lados

Lo cual es falso, por lo tanto no hay valor de x que satisfaga dicha

ecuación, luego la solución es Ø.

5) 16x

24

4x

3

4x

52

factorizando

4x4x

24

4x

3

4x

5




En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ – 4 y x ≠ 4.

Multiplicando por el m.c.m., que es ( x + 4 )( x – 4 ), todos los

términos de la ecuación:

4x4x.4x4x

244x4x.

4x

34x4x.

4x

5

5( x – 4 ) + 3( x + 4 ) = 24

5x – 20 + 3x + 12 = 24 efectuando los productos

8x – 8 = 24 agrupando términos semejantes

8x = 32 sumando 8 a ambos lados


Comprobación: 16x

24

4x

3

4x

52

164

24

44

3

44

52

0

24

0

3

8

5

El valor obtenido no satisface la ecuación, pues la división entre 0 no

esta definida. Además, este valor se ha descartado al comenzar a

resolver el ejercicio. Por consiguiente, la solución es Ø.

6) xx

3

1x

5x22

factorizando

1xx

3

1x

5x2




En la ecuación se debe cumplir que: x ≠ 0 y x ≠ – 1.

Multiplicando por el m.c.m., que es x( x + 1 ), todos los términos de la

ecuación:

1xx.1xx

31xx.

1x

5x2

( 2x – 5 )x = 3 efectuando el producto y restando 3 a ambos lados

2x 2 – 5x – 3 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado

4

24255

2.2

)3.(2.4)5()5(x

2

34

12

4

75x

4

75

4

495x

2

1

4

2

4

75x

Para que estos dos valores sean solución, debe realizarse su

verificación en la ecuación original.

Comprobación: xx

3

1x

5x22

Para x = 3




33

3

13

53.22

12

3

4

1

4

1

4

1 x = 3 la satisface

Para x = – 1 / 2

2

1

2

1

3

12

1

52

1.2

2

2

1

4

1

3

2

1

6

4

1

312 1212 x = – 1 / 2 la satisface

El conjunto de las soluciones es 3,2

1

4.5 Ecuaciones irracionales

Una ecuación irracional es aquella que tiene una o más incógnitas, bajo

el signo radical. Son ejemplos de ecuaciones irracionales:

3.22x.244

x11x2

06x7x3

Para resolver una ecuación irracional se debe tener en cuenta lo

siguiente: Si A y B son dos expresiones algebraicas, entonces A = B es una




ecuación algebraica, y su conjunto de soluciones es subconjunto de soluciones

de la ecuación A n = B n donde n es cualquier entero positivo.

Ejemplo:

La ecuación: x = 10

tiene por conjunto de soluciones . Si se eleva al cuadrado ambos lados se

obtiene: x 2 = 100

tiene por conjunto de soluciones . El conjunto solución de la primera

ecuación es subconjunto del conjunto de soluciones de la segunda.


Encontrar los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes

ecuaciones

1) 5x5x2 2) 1y3y

3) 06x7x3 4) 3.22x.244

5) 1x

1x 6) 2x16x

Solución:

1) 5x5x2

x55x2 restando x a ambos lados

22

x55x2 elevando al cuadrado ambos miembros

2xx10255x2 resolviendo las potencias




020x12x 2 agrupando términos semejantes en un solo miembro

( x – 10 )( x – 2 ) = 0 factorizando

por consiguiente: x = 10 o x = 2

Comprobación: 5x5x2

Para x = 2

5252.2 529 5 = 5 es solución

Para x = 10

510510.2 51025 15 = 5 es falso

No satisface la ecuación original, y se le denomina solución extraña, la

cual se introdujo cuando se elevaron ambos miembros al cuadrado

En consecuencia, el conjunto de soluciones de la ecuación es { 2 }.

2) 1y3y

y13y Sumando y a ambos lados

22

y13y Elevando al cuadrado ambos miembros

yy213y Resolviendo las potencias

y22 Agrupando términos semejantes

22

y22 Elevando al cuadrado ambos miembros

y44

1y Dividiendo entre 4




Comprobación: 1y3y

1131 114 1 = 1 es solución


3) 06x7x3

El miembro de la izquierda presenta la suma de dos términos positivos

que nunca va a dar 0, por consiguiente no existe valor de x que

satisfaga la ecuación, en consecuencia la solución es Ø

4) 3.22x.244

44

4 3.22x.24 Elevando a la cuatro ambos miembros

1442x.24 Resolviendo las potencias

1402x.2 Agrupando términos semejantes

702x Dividiendo entre 2 ambos miembros

22

702x Elevando al cuadrado ambos miembros

49002x Resolviendo las potencias

4902x Sumando 2 a ambos miembros

Comprobación: 3.22x.244

44 4900.2424902.24




44 14470.24

3.23.29.164 24 es solución


5) 1x

2x

x.1x.x

2x.x Multiplicando por el m.c.m que es x

x2x Resolviendo los productos

22

x2x Elevando al cuadrado ambos miembros

x 2 – 4x + 4 = x Resolviendo las potencias

x 2 – 5x + 4 = 0 Restando x a ambos miembros

( x – 4 )( x – 1 ) = 0 Factorizando

Por consiguiente x = 4 o x = 1

Comprobación: 1x

2x

Para x = 4

14

24 1

2

22 2 – 1 = 1 1 = 1 es raíz




Para x = 1

11

21 1

1

21 1 – 2 = 1 – 1 = 1 no es raíz


6) 2x16x

22

2x16x Elevando al cuadrado ambos miembros

4x16x Resolviendo las potencias

x416x Sumando x a ambos lados

22

x416x Elevando al cuadrado ambos miembros

xx81616x Resolviendo las potencias

x80 Agrupando términos semejantes

Por consiguiente, x = 0

Comprobación: 2x16x

20160 216 24 2 = 2 es raíz





Ejercicios propuestos

Encontrar el conjunto de soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones.

1) 1 – 3(2x – 4 ) = 4( 6 – x ) – 8

2) 14 – 12x + 39x – 18x = 256 – 60x – 657x

3) 16y – [ 3y – ( 6 – 9y ) ] = 30y + [ – ( 3y + 2 ) – ( y + 3 ) ]

4) 10( m – 9 ) – 9( 5 – 6m ) = 2( 4m – 1 ) + 5( 2m + 1 )

5) ( w + 1 )( w – 2 ) – ( 4w – 1 )( 3w + 5 ) – 6 = 8w – 11( w – 3 )( w + 7 )

6) ( 4 – 5x )( 4x – 5 ) = ( 10x – 3 )( 7 – 2x )

7) 053

4x

8) 10

7

20

3v2

16

5v12

80

7

4

9v4

8

v3

9) 4

2x3

3

4

3

2x

5

1

5

1

6

1x2

5

3

10) a( y – a ) – 2b( y – 3b ) = ab 11) b5a2

ax

b4a3

bx

12) ab

ab

b

bax

a

bax 22

13) 4x 2 – 9 = 0

14) x 2 – 3x – 10 = 0 15) x 2 + 6x + 9 = 17

16) m 2 – 5m = 6 17) 3x 2 – 7x + 2 = 0

18) x 2 = 3x 19) 25x 2 + 2 = 15x

20) 2x 2 – 5x + 1 = 0 21) 2x 2 = 3x + 1

22) ( x + 4 ) 2 = 2x( 5x – 1 ) – 7( x – 2 )

23) ( 5x – 4 ) 2 – ( 3x + 5 )( 2x – 1 ) = 20x( x – 2 ) + 27




24) ( x + 2 )( x – 1 ) – ( x + 4 )( 2x – 3 ) + 14 = x

25) x 2 + 3x + 4 = 0

26) 3x( x – 2 ) – ( x – 6 ) = 23( x – 3 )

27) 4t

5

2t

3t

2t

3t2

28) 05

8

7x

x3

29) y

5

y1

3

1y

2 30)

60

11

x5

7

x3

1

2

31) 1x

2

7x6x

5

22 32)

x

9

x

6

3

4

2

33) 2w

4w7

1w

8w5

34) 9x

1x

3x4x

4

3x2x

2x

222

35) 2x

3

8x

4x3

3

2

36) x2115x4 2

37) 51x4x 38) x

105xx

39) x21x2x2 40) 0x2x23 2

41) 01x127xx6

42) 6tt 43) 0105x3

44) 1x2x

5

1x

2

1x

322

45) 1x

5x4

1x

3x2




46) x11x2 47) 01x

1

1x

322

Respuestas

1) { – 3 / 2 } 2) { 1 / 3 }

3) { 1 / 2 } 4) { 3 }

5) { 13 } 6) { 1 / 35 }

7) { 19 } 8) { – 4 }

9) { – 1 / 2 } 10) y = a + 3b con a ≠ 2b

11) x = 3a – 5b con a ≠ – b 12) x = 2( a + b ) con a ≠ b

13) { ± 3 / 2 } 14) { – 2 , 5 }

15) 16) { – 1 , 6 }

17) { 1 / 3 , 2 } 18) { 0 , 3 }

19) { 1 / 5 , 2 / 5 } 20) 4

175

21) 4

173 22) { – 1 / 9 , 2 }

23) { – 1 , – 6 } 24) { – 8 , 3 }

25) No tiene solución real, 2

7.i3

26) { 5 } 27) { 1/2 }

28) { 8 } 29) { – 5 }




30) { – 42/11 , 2 } 31) { 3 }

32) { 3 / 4 , 6 } 33) { 5 / 2 , 4 }

34) { – 5 / 9 } 35) { 4 / 3 }

36) { 4 } 37) { 5 }

38) { 4 } 39) { 3 / 2 }

40) { – 4 , 2 } 41) { 2 }

42) { 4 } 43) { }

44) { – 2 / 3 , 3 } 45) { }

46) { 0 } 47)

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