PRÁCTICA DE FUNCIONES LINEALES

PENDIENTE DE LA RECTA

a) En la siguiente tabla colocar los valores de la pendiente y la ordenada al origen:

B. Escriba la ecuación de la recta con la pendiente m y la ordenada al origen b, dadas.

1. m=2, b=3 2. m=-2, b=1

Formula de la pendiente: Formula de la pendiente:

Y=mx+b Y=mx+b

f(x)=2x+3 f(x)=-2x+1

3.- m=1, b=1

Fórmula

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 = 1𝑥 + 1

4.- m=-1, b=2

Fórmula

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 = −𝑥 + 2

5.- 𝑚 =1

4 , 𝑏 = −2

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 =1

4𝑥 + (−2)

𝑦 =1

4𝑥 − 2

C) Escriba en la forma punto pendiente la ecuación de la recta que pasa por el punto dado

con la pendiente indicada.

Forma punto –pendiente: y – y1 = mx(x – x1)

1. (3, 5); m = -2

Sustituyendo:

y-5 = -2(x + 3)

2. (-3, 5); m = 0

Sustituyendo:

FUNCION F1=x+2 F2=2x+1 F3=x/2-1 F4=3x-5 F5=3 F6=x

PENDIENTE 1 2 ½ 3 3 1

ORIGEN 2 1 -1 5 0 0

y-5 = 0 (x + 3)

3. (8,0); 3

2m

11 xxmyy

83

20 xy

4. (2,1); 2

1m

11 xxmyy

22

11 xy

D. Encuentre la pendiente de la recta determinada por los puntos:

A (-3,5) y B (1,7), y escriba su ecuación en la forma punto pendiente, usando las coordenadas

de A

a)Haga lo mismo que en la parte(a) empleando las coordenadas de B

Reemplazando con las coordenadas de A, en la ecuación de forma punto-pendiente

Hallar la pendiente (m)

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

𝑚 =5−7

−3−1

𝑚 =2

−4

𝑚 =1

2

𝑚=0,5

DATOS: A(−3,5) B (1,7)

𝑦 − 𝑌1 = 𝑚 𝑋 − 𝑋1

𝑦 − 𝑌1 = 𝑚(𝑋 − 𝑋1) 𝑦 − 5 = 0,5(𝑥 − −3) 𝑦 − 5 = 0,5(𝑥 + 3)

Reemplazando con las coordenadas de B, en la ecuación de forma punto-pendiente

b) Verifique que las ecuaciones obtenidas en las partes (a) y (b) permiten obtener la

misma forma pendiente-ordenada al origen.

Pre ello reemplazamos en la fórmula Forma punto-pendiente: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

A) 𝑦 − 5 = −1

2(𝑥 + 3)

𝑦 = 0,5𝑥 + 6,5

B) 𝑦 − 7 = −1

2(𝑥 − 1)

𝑦 = 0,5𝑥 + 6.5

E. Escriba cada ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen; señale la pendiente

y ordenada al origen.

a) 3𝑥 + 𝑦 = 4

b) 2𝑥 − 𝑦 = 5

c) 6𝑥 − 3𝑦 = 1

d) 4𝑥 + 2𝑦 = 1

e) 1

4𝑋 −

1

2𝚈 = 1

Para resolver esto, debemos considerar la ecuación de la forma-pendiente ordenada al

origen.

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Si analizamos las ecuaciones dadas, son muy similares a la ecuación base, lo único que

hace falta es intercambiar las posiciones de las variables. Así:

a) 𝑦 = −3𝑥 + 4

b) 𝑦 = 2𝑥 − 5

c) 𝑦 = 2𝑥 −1

3

d) 𝑦 =1

2− 2𝑥

PROBLEMA:

e. 1

4𝑋 −

1

2𝚈 = 1

RESOLVEMOS:

0,25X-0,5Y=1

0,25𝚈=1-0,25𝚇

𝚈=1-0,25X

-0,5 Respuesta.

F.Escriba la ecuación de la Recta que pasa por dos puntos dados, en la forma Ax + By – C = 0

𝑦 − 𝑌1 = 𝑚(𝑋 − 𝑋1) 𝑦 − 5 = 0,5(𝑥 − 1)

𝑦 − 𝑌1 = 𝑚 𝑋 − 𝑋1

a) (-1,2), (2,-1)

Primero utilizamos la fórmula para hallar m:

𝒚 − 𝒚𝟏

𝒙 − 𝒙𝟏= 𝒎

2 − (−1)

−1 − 2=

3

−3= −1

Después utilizamos cualquiera de las dos coordenadas y utilizamos la fórmula de la

incógnitas para hallar b:

y=mx+b

2=-1(-1)+b

2=1+b

1=b

Por último ordenamos para encontrar A, B y C:

y=-1x+1

y+x-1=0

Ax +By - C= 0

A=1

B=1

C=-1

b)(2,3)(3,2)

m=2−3

3−2

m=-1

y=mx+b

3=(-1)2+b

1=b

Y=-x+b

Y+x-b=0

c. (1; 1); (-1;-1)

m = −1−1

−1−1 Reemplazamos m =

𝑦2−𝑦1

𝑥 2−𝑥1

m = −2

−2

m = 1 Hallamos la pendiente

Reemplazamos los valores en la fórmula general para hallar el valor de “b”:

y = mx + b

1 = (1)1 + b

1 = 1 +b

0 = b

Igualamos la fórmula a cero:

Y = 1x + 0

0 = x + y

d. (3; 0); (0; -3)

m = −3−0

0−3 Reemplazamos m =

𝑦2−𝑦1

𝑥 2−𝑥1

m = −3

−3

m = 1

Reemplazamos los valores en la fórmula general para hallar el valor de “b”:

y = mx + b

0 = (1)3 + b

0 = 3 +b

-3 = b

Igualamos la fórmula a cero:

Y = (1) x + (-3)

Y = x -3

0 = x –y -3

G. Dos rectas, paralelas a los ejes coordenados, se cortan en el punto (5,-7). ¿Cuáles son sus

ecuaciones?

X=5 𝚈=mX+b

𝚈 = 0X+(-7)

𝚈 = -7

H. Escriba la ecuación de la recta que es paralela a y=-3x-6 y tiene la ordenada al origen 6.

y=-3x-6

=-3+b

=-3+6

I.Escriba la ecuación de la recta que es paralela a 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔 , que pasa por el

punto (1,-1)

Datos

Formula general: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

La ordena al origen: b

Solución

Despejando para hallar m1 y m2…

2x + 3y -6 = 0

…..𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

3y = -2x + 6

𝑦 =−2

3𝑥 +

6

3

𝑦 =−2

3𝑥 + 2

𝑚1 =−2

3

Por propiedad m1 = m2 cuando son

paralelas…

𝑚1 =−2

3= 𝑚2

Despejando para hallar b2…

𝑦 =−2

3𝑥 + 𝑏2

−1 =−2

3(1) + 𝑏2

−1 +2

3(1) = 𝑏2

-0,3= b2

Ecuación de la nueva recta requerida:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

𝑦 =−2

3𝑥 − 0,3

J.Escriba la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta dada y pasa por el punto

indicado

a) Tenemos los datos: 𝑦 = −10

𝑝(0,0)

Hallamos el valor de m:

𝑚1.𝑚2 = −1

0.𝑚2 = −1

𝑚2 = −1

0

Ahora remplazamos con los puntos que se nos dio:

𝑦 = −1

0(𝑥) + 𝑏

0 = −1

0(0) + 𝑏

𝑏 =→ ∞

La ecuación es:

𝑦 = −1

0(𝑥)+→ ∞

b)Tenemos los datos:

𝑝(4,7)

𝑦 = 3(𝑥) − 1

Primero hayamos m:

𝑦 = 3(𝑥) − 1

𝑚1.𝑚2 = −1

3.𝑚2 = −1

𝑚2 = −1

3

Luego hallamos b:

𝑦 = 𝑚(𝑥) + 𝑏

7 = −1

3(4) + 𝑏

7 = −4

3+ 𝑏

𝑏 = 5,6

La ecuación es: 𝑦 = −1

3(𝑥) + 5,6

c) 3x+2y=6 P(6,7)

3x+2y-6=0

2y=-3x+6

Y=-3x/2+6/2

Y=-3x/2+3

Hallamos la pendiente

-3/2.m2=-1

m2=-1+3/2

m2=0.5

Después de hallar la pendiente hallamos b:

y=0.5x+b

7=0.5(6)+b

7-3=b

4=b

Concluimos que la ecuación resultante de la nueva recta es:

Y=0.5x+4

d) y-2x=5 P(-5,1)

-2x+y-5=0

Y=2x+5

Hallamos la pendiente

m1.m2=-1+2.m2=-1

-1/2=m2=-0,5

Después de hallar la pendiente hallamos b:

Y=-0.5x+b

1=-0,5(-5)+b

1=2.5+b

1-2.5=b

-1,5=b

Concluimos que la ecuación resultante de la nueva recta es:

Y=0.5x-1,5

K. Los vértices de un rectángulo se localizan en (-1,-1), (1,3)(4,2). Escriba las

ecuaciones de los lados de dicho triángulo.

ABxy

xy

xy

xxmyy

XX

YYm

______

11

12

12

12

221

))1((2)1(

)(

2)1(1

)1(3

BCxy

xy

xy

xy

xxmyy

XX

YYm

______

11

12

12

3

10

3

1

03

1

3

13

3

1

3

13

)1(3

13

)(

3

1

14

32

ACx

xy

xy

xy

xxmyy

XX

YYm

______

11

12

12

5

2

5

3

05

3

5

31

5

3

5

31

)1(5

31

)(

5

3

)1(4

)1(2

L. Los vértices de un rectángulo se localizan en (2,2), (6,2), (6,-3) y (2,-3). ¿Qué relación existe

entre las pendientes de las diagonales?

2−(−3)

2−6=m

5

−4= 𝑚

−3−2

6−2=m

−5

4= 𝑚

M1.m2 = -1

5

−4𝑥

−5

4= −1

Son perpendiculares las pendientes de las diagonales

M. Los vértices de un cuadrado se localizan en (2,2),(5,2),(5,-1) y (2,-1).¿Qué relación existe

entre las pendientes de las diagonales

X Y

A: 2,2

B: 5,2

C: 5,-1

D: 2,-1

AC=2-(-1)/2-5=3/-3=-1

DB=3(-1)/5-2=3/3=1

M1.M2=-1

-1.1=-1

-1=-1

RELACION: son perpendiculares

N. Diga cuál es la pendiente de cada una de estas rectas

a)

Coordenadas:

(0,3) y (1,0)

Solución:

𝑌1−𝑋1

𝑌2−𝑋2= m

3−0

0−1= m

3

−1= m

3=-m

m=-3