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Matemáticas y Sistemas Aeroespaciales (grandes y pequeños) Ángel Velázquez y José M. Vega E.T.S.I. Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid Introducción El objetivo de este artículo es reflexionar acerca del hecho de que la sofisticación creciente de muchos sistemas de ingeniería y, en particular, de muchos que son propios del sector aeroespacial, sólo es abordable mediante el uso de técnicas Matemáticas de igual grado de sofisticación. Normalmente, se tiene una impresión negativa de las Matemáticas, quizá debido a malos recuerdos de la educación recibida, y esto conduce a sostener el lugar común de que las Matemáticas conllevan una abstracción excesiva, y que sirven para poco. Tal percepción es rotundamente falsa. Muy al contrario, puede decirse que las leyes de la naturaleza (y, por tanto, la ingeniería, que se basa en ellas) están escritas, ¡qué le vamos a hacer!, en el lenguaje de las Matemáticas. Por tanto, sin hablar ni entender este lenguaje no cabe el progreso. Dicho de otra manera: igual que cualquiera comprende que para vivir, por ejemplo, en China, es necesario conocer y entender el idioma chino, para comprender las leyes de la naturaleza hay que hablar su idioma. Esto es, no se trata de una cuestión de gustos, se trata de una necesidad. Lo que se describe a continuación es parte del trabajo conjunto de dos grupos de investigación de la Universidad Politécnica de Madrid, el grupo de Dinámica y Estabilidad no Lineal en Ingeniería Aeroespacial y el grupo de Ingeniería de Sistemas y Microsistemas Termofluidodinámicos Aplicados al Sector Aeroespacial. La colaboración entre estos grupos comenzó en torno a un proyecto financiado por el fabricante de aviones Airbus, desde la idea de impulsar el uso combinado de Matemáticas, Mecánica de Fluidos e Ingeniería Aeroespacial, en la resolución de problemas de interés industrial directo. El objetivo final es doble: (a) desarrollar conocimiento y (b) elaborar prototipos y herramientas numéricas utilizables en procesos de diseño y certificación. En este artículo se pretende describir someramente los problemas planteados, los retos que tales problemas conllevan y los métodos de solución. En este contexto, entendemos que la situación actual, en que reducir costes y tiempo de desarrollo es crucial para la supervivencia de la actividad industrial en escenarios cada vez más competitivos, abre nuevas oportunidades de actividad de I+D en departamentos universitarios, y de creación de empresas de base tecnológica (EBT’s). Esto es cierto a nivel internacional pero, sobre todo en España, donde la interacción entre Industria y Academia ha sido tradicionalmente muy frágil. En tal escenario, la Matemática Aplicada e Industrial está destinada a jugar un papel crecientemente activo. Debemos decir aquí que utilizamos el nombre de Matemática Aplicada en un sentido mucho más amplio que el derivado de la actividad tradicional de los departamentos universitarios de Matemáticas y de Matemática Aplicada. En otras palabras: creemos que aprovechar las nuevas oportunidades requiere un

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enfoque crecientemente interdisciplinar de la labor de I+D, en que actividades de desarrollo y aplicación de conceptos básicos, modelado, simulación numérica, experimentación y fabricación, deben combinarse en ciclos temporales cada vez más cortos. Perspectiva del Problema El elevado coste, y la dificultad de uso, de los métodos experimentales en ingeniería promueven de un modo natural su propio desarrollo. Pero también impulsan la búsqueda de soluciones alternativas, más flexibles y baratas, como la simulación numérica. Sin embargo, hay que decir que, a pesar de la evolución espectacular del Cálculo Numérico durante los últimos veinte años, la simulación numérica de gran parte de los procesos industriales que involucran movimientos fluidos es inabordable si se pretende que sea suficientemente precisa para describir todos los detalles del movimiento. El movimiento de un fluido (líquido o gas) viene descrito por ecuaciones diferenciales, que son relaciones entre las variables que describen al fluido en cada punto (velocidad, presión, densidad y temperatura) y sus derivadas espaciales y temporales, es decir las tasas de crecimiento de estas variables con la distancia y con el tiempo. Tales ecuaciones se deducen de leyes físicas bien conocidas, que establecen principios tales como que la masa y la energía se conservan, es decir, no se crean ni se destruyen. Por ejemplo, la energía potencial (proporcional a la presión) que se tiene en un globo hinchado puede transformarse en energía cinética (proporcional al cuadrado de la velocidad) que tiene el chorro de aire que aparece el abrir el globo. Las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos se conocen desde el siglo XIX, y reciben el nombre de ecuaciones de Navier-Stokes. Su resolución consiste en calcular los valores de las variables (velocidad, presión, etc) en cada punto y cada instante. Por ejemplo, resolviéndolas para el movimiento alrededor de una aeronave, pueden calcularse las fuerzas del aire sobre el avión, para calcular la sustentación, es decir, la fuerza vertical que mantiene al avión en vuelo, y la resistencia aerodinámica, es decir la fuerza horizontal con que el aire frena al avión, causante del gasto de combustible. También puede calcularse el ruido que produce el avión, que es muy importante, por razones ambientales, en situaciones de despegue y aterrizaje. Pero, a diferencia de lo que sucede con las ecuaciones de segundo grado que se enseñan en bachillerato, las ecuaciones de Navier-Stokes, aún siendo un experto en Matemáticas, no pueden resolverse con lápiz y papel. Por ello, en los problemas industriales, las ecuaciones deben discretizarse para poder resolverlas mediante un ordenador. Aunque el tiempo y el espacio son continuos, los ordenadores sólo pueden tratar con variables discretas. La razón es que para almacenar una variable continua (con infinitos decimales) se necesitaría un disco duro de tamaño infinito. Por eso, discretizar una ecuación diferencial consiste en dividir el espacio y el tiempo en pequeños intervalos, considerando los valores de las variables fluidas (velocidad, presión, etc) solamente en dichos intervalos discretos. En estos intervalos, las ecuaciones diferenciales se aproximan por

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relaciones que deben ser algebraicas, es decir, consistir solamente en sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, que son las operaciones que puede realizar el ordenador. Establecer esas relaciones aproximadas recibe el nombre de discretizar las ecuaciones, y la disciplina que se ocupa de tal cosa, y de resolver las ecuaciones algebraicas resultantes, se conoce como Cálculo Numérico. Otra cuestión distinta es la precisión del cálculo ya que, como el lector puede imaginar, si dividimos el espacio y el tiempo en intervalos muy grandes, la solución numérica que obtendremos será poco precisa. Si, para calcular la aerodinámica de un automóvil, dividimos su superficie en intervalos de medio metro, no vamos a obtener información de fenómenos cuyo tamaño sea menor como, por ejemplo, del efecto que tienen los retrovisores, cuyo tamaño es de unos 20 centímetros. Dicho de otra manera, discretizar es como aplicar una lupa al problema, de modo que si utilizamos una lupa muy fina vemos todos los detalles pero, a cambio, tenemos muchos intervalos de cálculo muy pequeños, y hay que resolver un número enorme de ecuaciones algebraicas, lo que requiere mucho tiempo de cálculo. Por el contrario, si utilizamos una lupa (discretización) más rudimentaria, tardaremos poco tiempo en calcular pero los resultados serán menos fiables. Aerodinámica de aviones En última instancia, la práctica diaria de la ingeniería consiste en buscar un compromiso entre la precisión deseada en los resultados y el tiempo de cálculo necesario porque, en el mundo industrial, el tiempo se traduce directamente en dinero. Además, el efecto es doble, porque acortar el ciclo de diseño de un producto de un año a seis meses implica reducir el coste de desarrollo a la mitad pero, también, implica llevar el producto al mercado antes que la competencia, y esto puede tener un valor incalculable. Por ello, las empresas industriales en general, y las aeronáuticas en particular, dedican un esfuerzo considerable a poner a punto procesos de diseño de sus productos que sean rápidos y fiables. En el caso concreto de la industria aeronáutica, el problema es muy complejo porque, por ejemplo, para comprender el comportamiento aerodinámico de un avión hay que estudiar, al mismo tiempo, toda la masa de aire afectada por el movimiento de la aeronave. Y resulta que este movimiento es tan complejo, que si quisiéramos conocer todos sus detalles necesitaríamos un discretización que tuviera del orden de ¡1018 intervalos espaciales! (un millón de billones de intervalos), lo que resulta impracticable para cualquier ordenador o superordenador. Por eso, es necesario poner a punto métodos que permitan soslayar esta dificultad a fin de poder diseñar productos eficientes y competitivos. En este punto, un lector escéptico podría argumentar que en la época de los hermanos Wright no había ordenadores y también se volaba pero, claro, la cuestión es: ¿a qué coste? A día de hoy, el consumo de combustible por pasajero, y el tiempo medio de vuelo para una determinada distancia, son

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los más favorables de toda la historia de la aviación, y eso sólo se consigue optimizando cuidadosamente el diseño de los aviones. La primera solución viable al problema de la discretización del movimiento del aire alrededor de un avión son los modelos de turbulencia, desarrollados durante los últimos veinte años. En estos métodos se renuncia a describir con precisión las estructuras fluidas más pequeñas, modelando su efecto en las estructuras de tamaño mayor, que son las que realmente se describen. Esto es, se utilizan lupas que pudiéramos describir como “inteligentes”. Pero, aún con estos modelos de turbulencia, simular el flujo alrededor de una aeronave requiere del orden de 30 millones de intervalos de discretización, que equivalen a un tiempo de cálculo de varios días en un superordenador. Además, no hay que hacer sólo un cálculo, sino miles, porque es necesario estudiar el comportamiento del avión a varias velocidades, con distintos ángulos de incidencia del aire y con deflexiones diferentes de los sistemas de control (flaps y timones). Por ejemplo, si seleccionamos cinco velocidades distintas del avión, cinco ángulos de incidencia del aire (en dos direcciones distintas) y cinco ángulos distintos para cada una de las (típicamente) cinco superficies de control, el número total de casos a analizar es de 58 , es decir, ¡390,625! Como cada caso necesita varios días de cálculo, ya puede el lector imaginar el tiempo de diseño del avión que resultaría. Evidentemente, lo que los fabricantes hacen en la práctica no es calcular todos los casos, sino un número limitado de ellos, e interpolar (como buenamente se pueda) para estimar los casos intermedios. En este campo, nuestro modo de proceder consiste en explorar una alternativa que utiliza técnicas matemáticas que se conocen con los nombres de Descomposición en Valores Singulares y Descomposición Ortogonal Propia. En concreto, las cuestiones básicas que subyacen en la actividad de I+D que llevamos a cabo son: ¿es realmente necesario calcular uno por uno todos los 390,625 casos mencionados anteriormente?; y, si realmente se calcularan, ¿habría mucha información redundante? O, dicho de otra manera: ¿cuál es la información mínima que se necesita para describir la aerodinámica de un avión en función de los parámetros de funcionamiento? A modo de ejemplo, en la figura siguiente se muestra la distribución de presiones sobre un ala, calculada mediante técnicas numéricas estándar (izquierda) y mediante modos principales (derecha), que así denominamos a la información relevante del sistema.

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Figura 1. Comparación del campo de presiones sobre un ala obtenido utilizando un método numérico estándar (izquierda) y mediante un

método de Descomposición en Valores Singulares (derecha) Aunque este problema pueda parecer complicado (lo es, y mucho), lo que hacemos es razonablemente intuitivo, y relacionado con mecanismos que ponemos en práctica en nuestra vida diaria. Por ejemplo, cuando nos movemos entre una multitud de personas en los pasillos del metro, la cantidad de información que recibimos por lo ojos es enorme: caras, ropas, sonidos, carteles, colores, olores, etc. Y, sin embargo, nuestro cerebro es capaz de seleccionar sólo la mínima parte relevante de toda esa información, y guiarnos al andén adecuado. Pues bien, lo que nosotros hacemos es intentar poner a punto métodos que seleccionan lo relevante de la aerodinámica del avión, sin tener que calcular y procesar todos los miles de casos que, en principio, serían necesarios. Como ya hemos mencionado anteriormente, este trabajo cuenta con el apoyo del fabricante de aviones Airbus, que está financiando dos becas homologadas de doctorado de la UPM. En este marco, ya hemos solicitado una patente en Estados Unidos y estamos preparando otra. Esto es lo que queremos transmitir, que el uso de estas técnicas matemáticas muy sofisticadas está encaminado a hacer más competitiva la práctica diaria de la ingeniería. Microsistemas refrigeración En el extremo opuesto de la aplicación presentada en la sección anterior se encuentra la tecnología de microsistemas, MEMS, en que los tamaños (decenas o centenas de micras) y velocidades (centímetros por segundo) son muy pequeños; recordemos que una micra es una milésima de milímetro, el diámetro del cabello humano. En concreto, en la actualidad hay muchos sectores industriales que están apostando por esta tecnología para llevar a

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cabo una miniaturización significativa de sus productos. Esto es así por las ventajas en operación, portabilidad, etc. Un ejemplo de microsistemas es el de sistemas de control térmico, y una aplicación muy importante de estos en el sector aeroespacial es la refrigeración de los equipos de aviónica, que contienen la electrónica que controla todos los sistemas de a bordo. Por cuestiones prácticas, todos estos equipos están almacenados juntos en el interior del mismo recinto, la bodega de aviónica, que suele situarse debajo de la cabina de los pilotos. Esta centralización de muchos dispositivos electrónicos en el mismo lugar tiene ventajas, como facilitar las operaciones de mantenimiento, pero presenta el inconveniente de dar lugar a una gran disipación de calor y a altas temperaturas, que afectan negativamente a la vida útil de los equipos. De hecho, el factor limitante de estos diseños no es la electrónica en sí, sino la cantidad de calor que producen. Tanto es así, que existe una normativa internacional, muy estricta, que regula cómo ha de ser la refrigeración en la bodega de aviónica. En los aviones actuales, los equipos de aviónica se refrigeran mediante el uso de corrientes de aire frío (como si fuera un equipo de aire acondicionado). Esto es viable, pero no demasiado eficiente. Por ello, la idea a medio plazo dentro del sector es ir en la línea de refrigerar cada componente de manera individualizada; es decir, cada componente con su micro-refrigerador, de modo que el diseño global del sistema sea mucho más optimizado. En este caso, por ejemplo, ya no habría que dejar grandes espacios para permitir que circule aire frío entre las tarjetas sobre las que están implantados los componentes electrónicos, por lo que podrían hacerse diseños mucho más compactos. Y, claro, intentar aprovechar al máximo el espacio dentro de un avión es una actividad que tiene un valor económico añadido obvio. El concepto de micro-cambiador de calor más sencillo consiste en una serie de micro-canales, por los que se hace circular líquido refrigerante, mecanizados en una pastilla metálica de alta conductividad térmica que se adosa al componente electrónico (Figura 2). Este diseño es simple, robusto, y por tanto bueno para aplicaciones industriales, y razonablemente eficiente desde el punto de vista térmico. En el prototipo mostrado en la figura 2, los autores han medido transferencias de calor de 300 vatios por centímetro cuadrado (las bombillas típicas que se utilizan en la iluminación doméstica consumen una potencia eléctrica, que se transforma casi enteramente en calor, de entre 60 y 100 vatios).

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Figura 2. Vista de un prototipo de microcambiador de calor desarrollado y fabricado por los autores. El área en planta de la zona de microcanales es de 1 centímetro cuadrado.

En cualquier caso, la previsión es que las nuevas generaciones de componentes electrónicos de altas prestaciones disipen en torno a 1,000 vatios por centímetro cuadrado, por lo que el prototipo anterior, que cubre sobradamente las necesidades de los equipos de aviónica actuales, no podría utilizarse para aplicaciones futuras si no se modifica su diseño. Desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos, la característica más significativa de los microcanales mostrados en la figura anterior es que dan lugar a un flujo casi paralelo, muy ordenado, del fluido refrigerante, y esto es una mala noticia para la transferencia de calor, porque no se promueve mezcla transversal. Esta percepción la tenemos todos, intuitivamente, cuando intentamos bajar la temperatura del café removiendo con una cucharilla. En concreto, lo que hacemos al remover es aumentar el proceso de mezclado dentro del fluido, facilitando que el café caliente se ponga en contacto con las paredes de la taza, más fría. Otra demostración, también doméstica, de las ventajas de promover el mezclado es el uso de convectores para calefacción, que facilitan que el aire caliente en contacto con las paredes del radiador se mezcle rápidamente con el aire ambiente a temperatura más baja. Por todo ello, una de las alternativas que estamos estudiando para aumentar aún más la eficiencia térmica del prototipo anterior es el uso de promotores de vorticidad. Los promotores de vorticidad son obstáculos (por ejemplo, alambres transversales de formas variadas) que se introducen en el micro-conducto para romper la estructura paralela del flujo, promoviendo el mezclado transversal mediante la generación de una estela de vórtices (como los de una bandera que ondea), que recibe el nombre de calle de Karman. En la figura 3 se ilustran las trayectorias del movimiento fluido (paralelas antes del promotor y muy curvadas después), cuando se introduce un promotor de vorticidad en un microcanal.

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Figura 3. Patrón de trayectorias del fluido alrededor

de un promotor de vorticidad en un microcanal Pues bien, llegados a este punto, la cuestión práctica es que hay que diseñar y fabricar prototipos de micro-cambiadores de calor en los que hay que elegir el tamaño y la forma de la sección, y la longitud de los microcanales, y la forma, el tamaño, la posición y la orientación de los promotores de vorticidad. Es decir, nos encontramos, de nuevo, con el problema de estudiar un sistema que tiene muchos parámetros libres. Por otro lado, no podemos fabricar un número enorme de variantes de prototipos para ensayar, porque el tiempo requerido y el coste serían impracticables. Por todo ello, de nuevo, estamos utilizando, de modo intensivo, cálculo numérico de las ecuaciones del movimiento fluido, avanzando en la línea de sustituir experimentos por simulación numérica. Nótese que fabricar un prototipo requiere utilizar técnicas de micro-fabricación, que son lentas y muy costosas. En simulación numérica, en cambio, cambiar la forma del promotor de vorticidad requiere, simplemente, cambiar unas líneas en un programa de ordenador. Además, utilizamos de modo sistemático la técnica matemática de la Descomposición Ortogonal Propia, para poder predecir por dónde tiene que evolucionar nuestro proceso de desarrollo, empleando una cantidad mínima de información. Por último, en esta línea, queremos mencionar un trabajo que estamos llevando a cabo en colaboración con el Centro Nacional de Biotecnología (CNB), del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), encaminado a utilizar técnicas de Biología Sintética para mutar el código genético de determinadas bacterias, a fin de que éstas actúen como sensores. Por ejemplo, estamos explorando la posibilidad de fijar en las paredes de los micro-canales bacterias que cambien de color en función de la temperatura. Una imagen general y del detalle de la formación del biofilm (capa bacteriana) en un micro-canal se muestra en figura 4:

flujo

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Figura 4. Prototipo (izquierda) para estudiar la formación de

biofilms de bacterias en microcanales dependiendo de la rugosidad de las paredes. Detalle (derecha) de la formación de un biofilm.

En este caso, nuestros métodos de interacción de modos basados en la Descomposición Ortogonal Propia nos ayudarán a establecer un modelo de reconocimiento de patrones que, a partir de la señal emitida por las bacterias, nos permita reconstruir el campo de temperaturas en el microcanal. Conclusiones Las siguientes conclusiones pueden parecer obvias. Pero ocurre que tienden a ser difíciles de implementar en la práctica, porque implican un cierto cambio de mentalidad por parte de ingenieros e investigadores, tanto en centros de investigación como en la empresa:

• La complejidad de los sistemas y productos de ingeniería actuales, sobre todo en el sector aeroespacial, es tal que el modo eficaz de seguir evolucionando es mediante la adopción de una perspectiva realmente multidisciplinar. Esto implica que los equipos de trabajo deben empezar a incorporar profesionales, ingenieros y doctores, con formación y habilidades muy distintas.

• En un contexto multidisciplinar, en que hay que desarrollar, integrar y

resolver modelos de comportamiento en disciplinas diferentes, el nexo conceptual común, que unifica todo y genera la trama necesaria para crear una perspectiva consistente de trabajo, gira alrededor de los métodos de la Matemática Aplicada. Esto es, a más sofisticación del sistema/producto, más sofisticación del lenguaje/concepto.

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Agradecimientos Los autores desean expresar su agradecimiento a los profesores y doctores con los que colaboran habitualmente en estos desarrollos: Juan Ramón Arias, Mario Sánchez y Maria Luisa Rapún (UPM), Fernando Varas (Universidad de Vigo), Víctor de Lorenzo y Esteban Martínez (CNB-CSIC), y a los estudiantes de doctorado: Diego Alonso, Luís Lorente, Belén Fernández, Elliot Baché y Filippo Terragni (UPM), Marcos Meis (Universidad de Vigo) y Rafael Silva (CNB-CSIC).