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Races para Terceros

1. Races cuadradas y cbicas

Comencemos el estudio de las races hacindonos la siguiente pregunta: Si el rea de un cuadrado es 64 cm2, cul es la medida de su lado? Para responder esto debemos encontrar un nmero que multiplicado por s mismo d cmo resultado 64. Este nmero se denomina raz cuadrada de 64 y es 8. Y si el rea de un cuadrado es 15 cm2, cul es su lado? Para responder esto debemos encontrar un nmero que multiplicado por s mismo d 15. Este nmero se denomina raz cuadrada de 15 y es prox. 3,8729.

Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que:

Por otro lado, la igualdad: se cumple solo si x > 0, ya que si tene

mos , esto no es igual a -3, porque el resultado de la multiplicacin de dos nmeros negativos es un nmero positivo.

Por lo tanto: Para cualquier valor real de x.

Existe, entonces, la raz cuadrada de un nmero negativo? Y si existe, cmo

se calcula? Si en la raz: , a es negativo, entonces la raz no es un nmero real, y se debe determinar como un nmero imaginario.

Por ejemplo:

Las races cuadradas de nmeros negativos no estn definidas en los nmeros reales y aunque en algunas calculadoras cientficas al tratar de calcularlas aparece ERROR, esto significa que no tiene valor en R (reales) porque es un nmero imaginario.

Y si el volumen de un cubo es 64 cm3, cul es la medida de su arista? Para responder esto debemos encontrar un nmero que multiplicado por s mismo tres veces, sea 64. Este nmero se denomina raz cbica de 64 y es 4, puesto que 4 4 4 = 64.

Por lo tanto, si la raz es cbica, tenemos que:

En este caso, si a es negativo, entonces b resulta ser tambin negativo, porque el resultado de la multiplicacin de tres nmeros negativos ser otro negativo. Por otro lado, si a es positivo, b tambin ser positivo, debido que al multiplicar tres nmeros positivos, el resultado tendr signo positivo. Por lo tanto, la raz cbica est definida para todo nmero real.

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Definiendo en forma general:

ndice de la Raz Cantidad sub radical

2. Races y potencias de exponente fraccionario

La raz de nmero se puede definir tambin mediante una potencia de

exponente fraccionario:

Donde n es el ndice de la raz, y m el ndice de la cantidad sub radical. Como vimos anteriormente, cuando no aparece n (ndice de la raz) se entiende que su valor es dos (raz cuadrada). Esta definicin est sujeta a las siguientes restricciones: - Las races de ndice par estn definidas solo para nmeros reales positivos. - Las races de ndice impar estn definidas para todo nmero real. Debido a que las races pueden convertirse en potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias. 3. Propiedades de las races

1. Multiplicacin de races de igual ndice

2. Divisin de races de igual ndice

3. Raz de raz

4. Raz de una potencia cuyo exponente es igual al ndice

ya que aaaa nn

n n 1

n a

abba nn

nnn baba **

nnn

n

b

n

b

aba

b

a

b

a

1

1

1

:

mnn m aa *mnmn

mnn m aaaa **

11

1

nnn baba111

**

n

m

n n aa

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5. Propiedad de amplificacin

ya que mn mrmn

mr

n

r

n r aaaa

6. Ingreso de un factor dentro de una raz

ya que

Adems: 00 n ya que 0 * n = 0; y 11 n ya que 1*n = 1

Raz: Racionalizacin de fracciones con radicales

Tratndose de radicales, el proceso de racionalizacin consiste en eliminar

las races que se encuentran en el denominador de una fraccin.

Dependiendo de las operaciones involucradas dentro de ese denominador

pueden presentarse diversos casos:

a) Caso en que el denominador contenga una raz cuadrada, sin adiciones ni

sustracciones.

Ejemplo:

Racionalizar:

Como regla general, amplificamos la fraccin por el valor de este denominador,

en este caso , de la siguiente manera:

b) Caso en que el denominador contenga una raz cuadrada, con adiciones o

sustracciones.

Ejemplo:

Racionalizar:

Igual que en el caso anterior, amplificamos la fraccin, ahora por ,

para formar en el denominador una suma por su diferencia (corresponde

n nnnnnn

nn bababababa ****1

1

11

1

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al conjugado, que es la misma expresin pero con signo contrario), con lo

cual dejamos la expresin en:

c) Caso en que hay una raz cbica en el denominador, sin adiciones o

sustracciones.

Ejemplo:

Racionalizar:

En este caso amplificamos la fraccin por , para dejar la expresin del

siguiente modo:

Racionalizar fracciones con radicales en el denominador sirve, entre otras

aplicaciones, para ordenar de mayor a menor (para comparar) dichas

fracciones.

Ejemplo:

Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

De acuerdo a lo aprendido arriba, racionalizamos cada una de las fracciones:

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Hecho esto, podemos ordenar de mayor a menor: