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Nota Técnica: Cálculo de Tasas de Crecimiento en Excel1 Jaime Esquivel Valdivia Especialista en Cadenas Agroproductivas del Proyecto Observatorio Peruano de Cadenas Agroproductivas y Territorios Rurales

Muchas veces nos encontramos frente a series temporales que registran el comportamiento de

variables económicas como PBI, exportaciones, importaciones, colocaciones, etc. Estas series por

si solas no son suficientes para realizar interpretaciones de la realidad, pero al aplicarles análisis

estadístico y econométrico obtenemos los fundamentos que nos permiten realizar afirmaciones

sobre el comportamiento de la economía.

Sean, por ejemplo, las siguientes series temporales:

Exportaciones de Productos Trad. Maíz2: Área Cosechada Mundial (Valor FOB en Millones de US$) (Miles Ha)

Año Productos

Tradicionales Año Arroz

1985 2,259 1985 155,897 1986 1,884 1986 166,297 1987 1,951 1987 166,813 1988 1,943 1988 163,403 1989 2,490 1989 162,820 1990 2,259 1990 161,341 1991 2,359 1991 159,877 1992 2,562 1992 161,846 1993 2,318 1993 165,112 1994 3,156 1994 158,361 1995 3,984 1995 162,216 1996 4,214 1996 156,393 1997 4,705 1997 161,025 1998 3,712 1998 160,283 1999 4,142 1999 156,852 2000 4,804 2000 156,866 2001 4,730 2001 155,139 2002 5,369 2002 154,144 2003 6,356 2003 153,154 2004 9,199 2004 156,167 2005 12,950 2005 158,907 2006 18,374 2006 157,139 2007 21,493 2007 156,618

Fuente: BCRP Fuente: FAO

1 Se agradece la colaboración de Joaquín Arias Segura, Ph.D, Especialista en Políticas y Negociaciones Comerciales para la Región Andina del Instituto Interamericano de Cooperación para la Agricultura, en la revisión de la metodología empleada para el cálculo de las tasas de crecimiento y de la versión preliminar del presente documento. 2 Se incluyen los siguientes cultivos: maíz, maíz amiláceo y maíz forrajero.

2

La primera registra el valor FOB de las Exportaciones Peruanas de Productos No-Tradicionales para

el periodo 1985-2007 y la segunda el Total de Hectáreas Cosechadas Mundiales de Maíz para el

periodo 1984-2006. Ambas series cuentan con 23 observaciones.

Representar gráficamente estas series, mediante un diagrama de dispersión, nos permite tener

una imagen más clara de su comportamiento.

Fuente: BCRP Fuente: FAOStat

A simple vista podríamos decir que la serie de las exportaciones presenta un crecimiento

exponencial. En el caso de las hectáreas cosechadas mundiales la figura no es tan clara, sólo

podríamos afirmar que se observa una tendencia negativa.

Otro detalle que podemos extraer de estos gráficos es que la velocidad a la que crecen/decrecen

los valores en ambas series no es el mismo. Esta velocidad es la que se conoce como tasa de

crecimiento.

En la literatura podemos encontrar distintos métodos para calcular tasas de crecimiento, cada uno

de ellos con su respectivo sustento teórico. El punto es que las tasas halladas pueden diferir de

acuerdo al método utilizado, por lo que surge la pregunta sobre cuál es el más adecuado. La

respuesta a esta interrogante parece ser bastante sencilla: el que mejor se ajuste a las

observaciones.

Sin embargo, los métodos para determinar el grado de ajuste también resultan ser abundantes y

las conclusiones que se desprenden de cada uno pueden llegar a ser contradictorias.

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Perú: Exp de Productos Tradicionales1985-2007

152,000

154,000

156,000

158,000

160,000

162,000

164,000

166,000

168,000

1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

Maíz: Hectáreas Cosechadas Mundiales1984-2006

3

Dada esta situación, se ha realizado una revisión de los métodos más utilizados y se ha

seleccionado un criterio para el cálculo de las tasas de crecimiento en los indicadores de

seguimiento y competitividad de la sección de Cadenas Agroproductivas del Proyecto

Observatorio.

Método Geométrico El cálculo de la tasa de crecimiento mediante el método geométrico resulta ser el más sencillo, se utilizan los valores inicial y final de la serie de acuerdo a la siguiente ecuación:

11

1

−

=

−n

i

f

VV

r (1)

Donde,

r es la tasa de crecimiento

Vf es el valor final de la serie

Vi es el valor inicial de la serie

n es el número de observaciones

Aplicando esta fórmula a las series de exportaciones y área cosechada mostradas al inicio,

obtenemos las siguientes tasas de crecimiento promedio anual:

Exportaciones 10.78%

Área Cosechada 0.02%

Este método resulta útil cuando sólo se cuenta con los valores inicial y final de una serie, o cuando

los valores observados estuvieran comprendidos en la línea recta trazada desde el valor inicial

hasta el valor final.

4

Método Lineal Este método implica el cálculo de una regresión lineal mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Se asume que la relación existente entre una variable dependiente (las exportaciones o el área cosechada) y otra independiente (el tiempo) se puede describir a través de la ecuación de una recta:

xyt .βα += (2)

donde,

yt son las Exportaciones de Productos No-Tradicionales o el total de Hectáreas Cosechadas

de Maíz.

es el intercepto

es la pendiente de la recta

x es el tiempo

En este caso la tasa de crecimiento promedio anual se halla dividiendo el valor estimado de la

pendiente entre la media aritmética de la variable dependiente:

tyr β= (3)

Dado que contamos con los valores de yt y de t podemos entonces hallar el valor estimado de

la pendiente β utilizando la fórmula PENDIENTE 3 en la hoja de cálculo de Excel. Para la media

aritmética utilizamos la fórmula PROMEDIO 4.

Aplicando estas fórmulas se obtienen las siguientes tasas de crecimiento promedio anual:

Exportaciones 10.85%

Área Cosechada -0.24%

3 Con los valores de la variable dependiente como Conocido_y y los años como Conocido_x. 4 Con los valores de la variable dependiente como Número_1.

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Método Exponencial Este método implica el cálculo de una regresión exponencial mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Se asume que la relación existente entre una variable dependiente (las exportaciones o el área cosechada) y otra independiente (el tiempo) se puede describir a través de la ecuación:

xt ey βα.= (4)

Para poder aplicar el método de MCO necesitamos linealizar esta ecuación, para ello aplicamos

logaritmos naturales:

xyt .lnln βα += (5)

En este caso la tasa de crecimiento promedio anual está representada por el valor estimado de la

pendiente:

β=r (6)

Entonces, para realizar el cálculo en Excel debemos primero transformar la serie de la variable

dependiente a logaritmos naturales aplicando la fórmula LN. Una vez hecho esto procedemos a

hallar el valor estimado de la pendiente (β) mediante el procedimiento descrito anteriormente.

Obtenemos las siguientes tasas de crecimiento promedio anual:

Exportaciones 9.59%

Área Cosechada -0.24%

Recopilando, se han calculado las siguientes tasas de crecimiento promedio anual:

Método Exp. Productos Tradicionales

Área Cosechada

Geométrico 10.78 % 0.02 % Lineal 10.85 % -0.24 % Exponencial 9.59 % -0.24 %

6

De esta manera se comprueba que las tasas de crecimiento pueden varían de acuerdo al método

utilizado para su cálculo. Como se mencionó anteriormente, la decisión sobre cuál de estas tasas

es la más adecuada depende del criterio de selección basado en el mejor ajuste.

Utilizando el coeficiente de determinación (R2) podemos determinar el porcentaje de variación de

la variable dependiente (las exportaciones o el área cosechada) que es explicado por la variable

independiente (los años).

Según Gujarati (2004), el coeficiente de determinación mide la proporción o porcentaje de la

variación total en y que es explicada por el modelo de regresión. Se trata de un número positivo ≤

1, un valor igual a 1 significa que el 100% de la variación de la variable dependiente es explicada

por la variable independiente, un valor igual a 0 significa que la variación de la variable

dependiente no es explicada por la independiente.

Sea por ejemplo el caso de la serie de exportaciones peruanas de productos tradicionales:

Comparando los valores de R2 para cada caso concluimos que la regresión exponencial es la que

presenta el mejor ajuste. Un valor R2 = 0.8532 significa que el paso de los años explica el 85.32%

de la variación en las exportaciones.

Es importante tener presente que un valor grande de R2 no necesariamente implica que el modelo

sea bueno. El valor de este coeficiente se incrementa cuando se agregan variables al modelo, ya

sea que estas variables contribuyan o no. Por ese motivo, es posible que modelos con un valor

grande de R2 sean malos para la predicción o estimación.

y = 600.16x - 1670.9R² = 0.6029

-5,000

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007

Perú: Exportaciones de Productos Tradicionales(Millones US$)

Productos Tradicionales Lineal (Productos Tradicionales)

y = 1318.2e0.0959x

R² = 0.8532

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007

Perú: Exportaciones de Productos Tradicionales(Millones US$)

Productos Tradicionales Exponencial (Productos Tradicionales)

7

Los análisis de los términos de error nos permiten determinar la bondad del modelo para realizar

pronósticos. Para este análisis puede utilizarse el método del error medio (ME), el error

cuadrático medio (MSE), el error medio porcentual (ME), el error absoluto medio porcentual

(MAPE), el error cuadrático medio porcentual (RMSPE), entre otros. En el área de cadenas

productivas del proyecto observatorio hemos seleccionado el criterio del error absoluto medio

porcentual (MAPE) pues permite comparar diferentes modelos, dado que es independiente de la

escala.

Error Absoluto Medio Porcentual (MAPE) El MAPE es un número positivo, definido por:

ny

yy

MAPE t

t∑−

=

ˆ

(7)

Donde,

yt es el valor observado de la variable dependiente en el periodo t.

ty es el valor calculado de la variable dependiente, utilizando cualquiera de los modelos

mencionados.

n es el número de observaciones.

Se trata de una medida proporcional que no depende de la escala, por lo que permite contrastar

diferentes modelos. De acuerdo a este criterio se debe seleccionar el modelo que tenga el menor

MAPE asociado.

Para su cálculo necesitamos hallar el valor estimado de la variable dependiente (y) de acuerdo a

cada modelo.

Para el modelo geométrico los valores estimados de la variable dependiente se hallan aplicando la

siguiente fórmula:

tit rVy )1(ˆ += (8)

8

Donde,

Vi es el valor inicial de la serie,

r es la tasa de crecimiento geométrica,

t = 0,1,2,…,22 (son 23 observaciones)

Para el modelo lineal los valores estimados se hallan aplicando la fórmula:

xyt .ˆˆˆ βα += (9)

donde, α es el valor estimado del intercepto, se halla utilizando la fórmula INTERSECCION.EJE 5,

β es la pendiente, ya fue calculada anteriormente

x es la variable independiente (años) Para el modelo exponencial se utilizan los valores transformados a logaritmos de acuerdo a la siguiente ecuación:

xyt βα ˆˆlnˆln += (10) Una vez obtenidos estos valores los reemplazamos6 en la ecuación (7) y obtenemos los siguientes MAPEs:

MAPE Exportaciones Peruanas de

Productos Tradicionales Área Cosechada

de Maíz Geométrico 73.17% 2.34% Lineal 53.83% 1.42% Exponencial 2.41% 0.12%

En todos los casos los menores valores de los MAPEs corresponden a los cálculos realizados

utilizando el método exponencial. Podemos concluir entonces que, para las series consideradas,

las regresiones exponenciales son las que mejor explican la relación entre las variables

dependiente e independiente.

5 El argumento Conocido_y es la serie de variable dependiente (exportaciones o área cosechada) y el argumento Conocido_x es la serie de los años.

6 Para el caso del modelo exponencial la ecuación del MAPE es n

yyy

MAPE t

t∑−

=ln

ˆlnln

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Por lo tanto las tasas de crecimiento seleccionadas son:

Exportaciones Peruanas de Productos Tradicionales

Área Cosechada de Maíz

9.59 % -0.24 %

Referencias. 1. Gujarati, Damodar N. (2004). Basic Econometrics (Fourth Edition). McGraw–Hill.

2. Green, William (2003). Econometric Analysis (Fifth Edition). Prentice-Hall.

3. Chiang, Alpha C. (2003). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third Edition).

McGraw-Hill.

4. Amirkhalhali, Samad. An Empirical Study of Selection and Estimation of Statistical Growth

Models.