UNIVERSIDAD DE CONCEPCIN FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICAS Departamento de Fsica de la Atmsfera y del Ocano FSICA: INTRODUCCIN A LA MECNICA Proyecto de Docencia 02-16 Prof. Juan Inzunza B. Concepcin 2002

2002 FSICA: INTRODUCCIN A LA MECNICA. Universidad de Concepcin Registro Propiedad Intelectual N 127.438 I.S.B.N. 956-8029-35-4 Primera Edicin Ago sto 2002 Impresin: Talleres Direccin de Docencia Edmundo Larenas 64-A Barrio Unive rsitario Concepcin IMPRESO EN CHILE / PRINTED IN CHILE

Fsica: Introduccin a la Mecnica Juan Inzunza B. Licenciado en Fsica, Universidad de Concepcin, Chile Doctor en Ciencias de la Atmsfera, Universidad de Buenos Aires, A rgentina Profesor Asociado, Universidad de Concepcin Barrio Universitario, Concep cin, Chile Julio de 2002.

A mis hijos, Claudia Alicia y Juan Carlos

PROLOGO El ensear es para m la mejor forma de aprender. En la enseanza de la fsica e l objetivo es ensear a pensar y razonar, y para eso se debe estimular el aprendiz aje por problemas, no slo tericos, sino que tambin prcticos. El aprendizaje por prob lemas debe tender a terminar con la clase magistral y fomentar el trabajo en gru po de los alumnos, con el propsito de que aprendan por s solos. Por ello, este cur so de Fsica estar disponible en formato pdf en la pgina web www2.udec.cl/~jinzunza/ fisica, para que los alumnos puedan de forma ms expedita obtener sus documentos p ara estudiar de manera autnoma. Lo ideal sera que la asistencia al aula fuera para aclarar las dudas y resolver los problemas que se le presentan durante su autoe studio. En el mundo globalizado, en la era de las comunicaciones, el estudiante debe estar preparado para aprender a travs de su propio esfuerzo investigativo, s obre la base de problemas que se le plantean y que el alumno debe resolver indiv idual o en grupo. Los alumnos pueden trabajar de forma autnoma y despus relacionar se con el profesor y el resto de sus compaeros, pero para ello deben realizar un trabajo previo de estudio y tener preguntas para plantearlas o respuestas para d arlas a los otros compaeros que preguntan. Esto supone un cambio de mentalidad, u n cambio cultural en los alumnos, donde l debe aprender a aprender, y eso hay que producirlo, no se produce solo. El alumno esta acostumbrado a una forma de trab ajo en la cual viene a la Universidad a or al profesor, donde el primero es el qu e sabe y el otro el que aprende, no a trabajar en forma autnoma. Hay que evitar q ue el alumno pase seis o ms horas diarias, cinco das a la semana, escuchando, y lu ego se va a tratar de aprender a su casa; lo ms sensato sera que dedicara un alto porcentaje de ese tiempo directamente a aprender. Para eso hay que tratar de cen trar la actividad docente en el aprendizaje y no en la enseanza, donde el profeso r debiera preocuparse de que los alumnos retengan lo expuesto y no solamente tra tar de cumplir el programa de estudio. Este texto a nivel bsico de Introduccin a l a Mecnica y Calor, se basa en la experiencia de varios aos de docencia de pregrado y posgrado en el Departamento de Geofsica de la Universidad de Concepcin. En part icular se trat de escribir las clases de la asignatura de Fsica, parte de Mecnica y Calor, la rama de la fsica que se ocupa de describir el movimiento y las transfo rmaciones de energa producidas por variaciones de temperatura, realizadas durante v

los ltimos aos en las aulas. Est diseado para alumnos que realizan un primer curso d e fsica universitaria de las carreras de ciencias bsicas, ingenieras, tecnolgicas, p edagogas y en general para toda carrera que requiera un curso de este nivel. Se p rofundiza la descripcin de algunos fenmenos en particular, con el uso de matemticas de nivel intermedio, como clculo diferencial e integral elemental, pero en todos los casos esta descripcin se puede obviar si el alumno no tiene la formacin en es as herramientas matemticas, sin que sta pierda su validez. La descripcin de los fenm enos fsicos se complementa con figuras esquemticas, en un intento por dar la mayor claridad posible al problema. En el texto se ha pretendido hacer la descripcin n ecesaria, evitando escribir ms de lo que se requiere, para no cansar al alumno co n lectura de prrafos extensos. Cada tema tratado se complementa con ejemplos sele ccionados, resueltos detalladamente, que tienen como objetivo reforzar la compre nsin de la teora. Al final de cada captulo se plantean un nmero considerado suficien te de problemas, muchos de ellos originales preparados por el autor, especialmen te para hacer notar la aplicacin de los contenidos tericos a situaciones reales en diferentes reas de la fsica. La dificultad de su resolucin se puede considerar en general de nivel apropiado a un primer curso de Fsica universitaria, aunque siemp re se presenta alguno de elevada dificultad. Se dan los resultados de un nmero im portante de problemas y aquellos que no tienen respuesta es porque su resultado va a depender de los valores que el alumno asigne a las variables o porque su re solucin es similar a otro problema que ya tiene respuesta, por lo que el alumno s e puede asegurar que su resultado ha sido obtenido por un procedimiento correcto . Los resultados se dan al final de cada problema, evitando as el engorroso proce so de ir a las ltimas pginas del texto a ver la respuesta, generalmente del proble ma impar. Juan C. Inzunza Concepcin, Chile Diciembre de 2006. vi

CONTENIDOS. CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA FSICA. CAPTULO 2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIN. CAPTULO 3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. CAPTULO 4. DINAMICA DE LA PARTICULA. CA PTULO 5. TRABAJO Y ENERGIA. CAPTULO 6. TORQUE Y EQUILIBRIO DE CUERPO RIGIDO. CAPTUL O 7. MOMENTO LINEAL Y CHOQUES. CAPTULO 8. DINAMICA DE ROTACIN. CAPTULO 9. LEY DE GR AVITACIN UNIVERSAL. CAPTULO 10. MECANICA ELEMENTAL DE FLUIDOS. CAPTULO 11. MOVIMIEN TO OSCILATORIO. CAPTULO 12. TEMPERATURA, DILATACION TERMICA Y GASES. CAPTULO 13. C ALOR Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA. CAPTULO 14. MECANISMOS DE TRANSFERENCI A DE CALOR. CAPTULO 15. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA Y ENTROPIA. vii

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INDICE. CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA FSICA. 1.1 Introduccin 1.2 Definiciones 1.3 El mtodo cien tfico 1.4 Sistemas de magnitudes y unidades 1.5 Mltiplos, submltiplos y prefijos 1. 5.1 Orden de magnitud 1.5.2 Estimacin 1.5.3 Transformacin de unidades 1.5.4 Anlisis dimensional 1.6 Sistemas de referencia 1.6.1 Coordenadas cartesianas o rectangu lares 1.6.2 Coordenadas polares 1.7 Conceptos bsicos de vectores 1.7.1 Igualdad d e vectores 1.7.2 Multiplicacin de un vector por un escalar 1.7.3 Vectores especia les 1.7.4 Adicin de vectores y algunas de sus propiedades 1.7.5 Representacin de l os vectores en coordenadas cartesianas 1.7.6 Igualdad de vectores en componentes 1.7.7 Suma, resta y multiplicacin por un escalar 1.7.8 Producto escalar entre ve ctores 1.7.9 Producto vectorial de vectores Problemas CAPTULO 2. MOVIMIENTO EN UN A DIMENSION. 2.1 Definiciones 2.2 Velocidad y aceleracin 2.2.1 Velocidad media 2. 2.2 Velocidad instantnea 2.2.3 Aceleracin media 2.2.4 Aceleracin instantnea 2.3 Desc ripcin del movimiento en una dimensin con aceleracin constante 2.4 Clculo grfico de x y v 2.5 Cuerpos en cada libre 2.5.1 Efectos de g en las personas Problemas CAPTULO 3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. 3.1 Descripcin del movimiento en dos dimensione s 3.2 Movimiento de proyectiles 3.3 Movimiento circunferencial 3.4 Velocidad y a celeracin angular 3.4.1 Cinemtica de rotacin 3.4.2 Relacin entre las variables angul ares y lineales. 3.5 Movimiento relativo Problemas CAPTULO 4. DINAMICA DE LA PART ICULA. 4.1 Introduccin 4.2 Primera ley de Newton 4.3 Concepto de masa ix 13 13 16 18 19 21 22 24 24 24 25 25 26 28 28 29 29 30 30 31 32 32 33 36 39 39 42 42 43 4 4 44 47 55 59 62 64 75 75 77 84 89 90 91 94 99 105 105 109 110

4.4 Segunda ley de Newton 4.5 Peso 4.6 Tercera ley de Newton 4.7 Fuerza de roce 4.8 Fuerza centrpeta 4.8.1 La descripcin de peralte 4.9 Breve descripcin de aplicac iones de algunas fuerzas en la medicina 4.9.1 Fuerza peso 4.9.2 Fuerza muscular 4.9.3 Fuerza de roce Problemas CAPTULO 5. TRABAJO Y ENERGIA. 5.1 Trabajo realizad o por una fuerza constante 5.2 Trabajo realizado por una fuerza variable 5.3 Ene rga cintica 5.4 Potencia 5.5 Fuerzas conservativas y no conservativas 5.6 Energa po tencial 5.7 Conservacin de la energa mecnica 5.8 Energa y la mquina humana 5.8.1 Cmo mina la mquina humana? 5.8.2 Articulaciones artificiales Problemas CAPTULO 6. TORQ UE Y EQUILIBRIO DE CUERPO RIGIDO. 6.1 Torque de una fuerza 6.2 Equilibrio de un cuerpo rgido 6.2.1 Centro de gravedad 6.2.2 Centro de masa 6.3 Aplicaciones del t orque al cuerpo humano Problemas CAPTULO 7. MOMENTO LINEAL Y CHOQUES. 7.1 Momento lineal 7.2 Impulso 7.3 Conservacin del momento lineal 7.4 Choques 7.4.1 Ejemplos de choques en una dimensin 7.5 Choques en dos dimensiones Problemas CAPTULO 8. DI NAMICA DE ROTACIN. 8.1 Energa cintica de rotacin 8.2 Relacin entre torque y aceleraci angular 8.3 Trabajo, energa y potencia en el movimiento de rotacin 8.4 Movimiento de rodadura de un cuerpo rgido 8.5 Momento angular de una partcula 8.6 Rotacin de un cuerpo rgido en torno a un eje fijo 8.7 Conservacin del momento angular Problem as CAPTULO 9. LEY DE GRAVITACIN UNIVERSAL. 9.1 La Ley y la fuerza gravitacional 9. 2 Fuerza gravitacional y peso x 111 112 114 121 126 128 131 131 131 132 135 143 143 146 149 150 153 154 157 160 162 163 164 171 171 176 177 177 182 186 193 193 194 199 201 202 205 209 215 215 217 222 226 229 231 235 239 247 247 248

9.3 Energa potencial de la fuerza gravitacional 9.3.1 Velocidad de escape 9.4 Las leyes de Kepler 9.4.1 La tercera ley de Kepler 9.4.2 La segunda ley de Kepler y la conservacin del momento angular 9.5 El campo gravitacional Problemas CAPTULO 1 0. NOCIONES DE MECANICA DE FLUIDOS. 10.1 Estructura de la materia 10.1.1 Estados de la materia 10.1.2 Plasma 10.1.3 Fluido 10.2 Densidad 10.3 Presin 10.4 La ecua cin hidrosttica 10.4.1 El barmetro 10.5 Ley de Pascal 10.6 Principio de Arqumedes 10 .7 Nociones elementales de dinmica de fluidos 10.8 Ecuacin de continuidad 10.9 Ecu acin de Bernoulli Problemas CAPTULO 11. MOVIMIENTO OSCILATORIO. 11.1 Movimiento ar mnico simple 11.2 Masa sujeta a un resorte 11.3 Energa en el movimiento armnico sim ple 11.4 El pndulo 11.4.1 Pndulo simple 11.4.2 Pndulo fsico 11.4.3 Pndulo de torsin 1 .5 Oscilaciones amortiguadas 11.6 Oscilaciones forzadas Problemas CAPTULO 12. TEM PERATURA, DILATACION TERMICA Y GASES 12.1 Temperatura y ley cero de la termodinmi ca. 12.2 Termmetros y escalas de temperatura 12.3 Termmetro de gas y escala Kelvin 12.4 Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit 12.5 Dilatacin trmica de slidos y lquidos 12.6 Descripcin macroscpica de un gas ideal 12.7 Teora cintica de los gases 12.8 Interpretacin molecular de la temperatura Problemas CAPTULO 13. CALOR Y LA PR IMERA LEY DE LA TERMODINAMICA 13.1 Definiciones 13.2 Calor 13.3 Capacidad calrica y calor especfico 13.4 Calor latente y cambios de estado 13.4.1 Vaporizacin o eva poracin 13.4.2 Condensacin 13.4.3 Fusin o derretimiento xi 252 255 258 259 261 264 266 271 271 273 273 274 274 276 277 280 281 282 285 285 288 294 299 299 305 308 310 310 313 316 317 319 322 329 329 330 332 337 338 342 346 350 354 363 363 364 366 371 371 373 373

13.4.4 Solidificacin 13.4.5 Sublimacin 13.4.6 Deposicin 13.4.7 Ebullicin 13.5 Trabaj o en procesos termodinmicos 13.6 Primera ley de la termodinmica 13.6.1 Casos parti culares 13.7 Procesos termodinmicos 13.7.1 Proceso isobrico 13.7.2 Proceso isovolu mtrico 13.7.3 Proceso adiabtico 13.7.4 Proceso isotrmico 13.8 Capacidad calrica de u n gas ideal 13.9 Proceso adiabtico de un gas ideal Problemas CAPTULO 14. MECANISMO S DE TRANSFERENCIA DE CALOR 14.1 Calor y temperatura 14.2 Conduccin de calor 14.3 Conveccin 14.4 Radiacin 14.4.1 Espectro de radiacin 14.4.2 Penetracin de la radiacin electromagntica 14.4.3 Leyes de radiacin Problemas CAPTULO 15. SEGUNDA LEY DE LA T ERMODINAMICA Y ENTROPIA. 15.1 Mquinas trmicas 15.1.1 Mquina trmica 15.1.2 Eficiencia trmica 15.2 Segunda Ley de la Termodinmica 15.2.1 Forma de Kelvin-Planck de la se gunda ley de la termodinmica 15.2.2 Enunciado de Clausius de la segunda ley de la termodinmica 15.3 Procesos reversibles e irreversibles 15.4 Mquina de Carnot 15.4 .1 Eficiencia de una mquina de Carnot 15.5 Escala de temperatura absoluta. 15.6 B ombas de calor y refrigeradores 15.7 Entropa 15.7.1 Entropa en un proceso reversib le de un gas ideal 15.7.2 Entropa en la conduccin de calor 15.7.3 Entropa en una ex pansin libre 15.7.4 Entropa en la transferencia de calor irreversible Problemas AP ENDICES A. lgebra B. Geometra C. Trigonometra D. Derivadas e integrales E. Datos co munes en el sistema solar y terrestre F. Factores de conversin de unidades de med ida G. Letras Griegas 373 373 373 373 378 383 384 385 385 386 386 387 389 396 399 407 407 408 412 414 415 417 419 424 429 430 430 431 431 432 433 434 435 439 441 441 443 446 447 448 450 453 461 461 463 465 468 470 471 473 xii

Cap. 1 Introduccin a la Fsica CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA FSICA 1.1 INTRODUCCION. Los adelantos de la ciencia han provocado muchos cambios en el mundo. Por ejemplo, desde Aristteles en el 350 AC y hasta hace 500 aos se crea que la Tierra era plana y que estaba en el centro de l universo, hace 70 aos no se conoca la televisin, los aviones jet ni la forma de p revenir las picaduras dentales, hace pocos aos se descubri la clonacin de seres viv os, recientemente se descifr el cdigo del genoma humano (dicen que Dios esta hecho un diablo por esto). La ciencia no es nueva, data de la prehistoria. El ser hum ano ha estado sobre la Tierra desde hace 100 mil aos y desde entonces ha empezado a hacer ciencia. Por ejemplo en el comienzo se descubrieron las primeras regula ridades y relaciones en la naturaleza. Una de las regularidades era la forma de los patrones de las estrellas que aparecan en el cielo nocturno. Otra evidente er a el ciclo del clima a lo largo del ao, distinguindose claramente el comienzo de l a temporada de lluvias o la de calor. La gente aprendi a usar estos ciclos para h acer predicciones y surgieron los primeros pronsticos del tiempo. De este modo fu eron aprendiendo ms y ms acerca del comportamiento de la naturaleza. Todos estos c onocimientos forman parte de la ciencia, pero la parte principal esta formada po r los mtodos que se usan para adquirir esos conocimientos. La ciencia es una acti vidad humana, formada por un conjunto de conocimientos. La ciencia es el equival ente contemporneo de lo que se llamaba filosofa natural. La filosofa natural era el estudio de las preguntas acerca de la naturaleza que an no tenan respuesta. A med ida que se iban encontrando esas respuestas, pasaban a formar parte de lo que ho y llamamos ciencia. La ciencia hizo sus mayores progresos en el siglo XVI, cuand o se descubri que era posible describir la naturaleza por medio de las matemticas. Cuando se expresan las ideas de la ciencia en trminos matemticos no hay ambigedad, es mas fcil verificarlos o refutarlos por medio del experimento. La ciencia cont empornea se divide en el estudio de los seres vivos y en el estudio de los objeto s sin vida, es decir, en ciencias de la vida y en ciencias fsicas. Las ciencias d e la vida se dividen en reas como la biologa, zoologa y la botnica. Las ciencias fsic as se dividen en reas como la fsica, geologa, astronoma y qumica. 13

Cap. 1 Introduccin a la Fsica La fsica es mas que una rama de las ciencias fsicas: es la ms fundamental de las ci encias. Estudia la naturaleza de realidades bsicas como el movimiento, las fuerza s, energa, materia, calor, sonido, luz y el interior de los tomos. La qumica estudi a la manera en que esta integrada la materia, la manera en que los tomos se combi nan para formar molculas y la manera en que las molculas se combinan para formar l os diversos tipos de materia que nos rodea. La biologa es an mas compleja, pues tr ata de la materia viva. As, tras la biologa esta la qumica y tras la qumica esta la fsica. Las ideas de la fsica se extienden a estas ciencias mas complicadas, por es o la fsica es la mas fundamental de las ciencias. Podemos entender mejor la cienc ia en general si antes entendemos algo de fsica es lo que vamos a prender en este curso! El entender la naturaleza se busca por diferentes formas: la ciencia, el arte, la religin, cuyas orgenes datan de miles de aos. Estas formas son distintas, pero sus dominios se traslapan. La ciencia investiga los fenmenos naturales y el arte es la creacin de los objetos o eventos que estimulan los sentidos, pero amba s son comparables debido a que son esfuerzos que muestran como son las cosas y c uales son posibles. Por otra parte, los objetivos de la ciencia y la religin son diferentes, ya que esta ltima se ocupa del propsito de la naturaleza. Las creencia s y ceremonias religiosas generan convivencia humana, sin ocuparse directamente de los mtodos de la ciencia. En este sentido son diferentes, como las manzanas co n las peras, pero no se contradicen, son complementarias, de manera que no es ne cesario elegir entre ambas, se pueden adoptar ambas, entendiendo que tratan aspe ctos distintos de la experiencia humana. Una persona realmente culta posee conoc imientos tanto de la religin, como del arte y de la ciencia. En este captulo se da una breve explicacin de algunas definiciones de conceptos usados en el curso. Se hace una descripcin de los sistemas de unidades de medida, de las magnitudes fsic as fundamentales y derivadas, se definen los mltiplos, submltiplos y los prefijos. Se hace notar la necesidad de expresar los valores numricos de las magnitudes en ciencias en notacin cientfica, se explica como expresar los valores numricos dando slo su orden de magnitud o haciendo una estimacin de su valor. Se dan reglas de a nlisis dimensional, lo que proporciona un mtodo para determinar la forma funcional de las leyes fsicas y permite verificar si est bien planteada. Se definen los sis temas de referencias y de coordenadas y finalmente se hace un breve repaso del lg ebra vectorial y se presentan algunos ejemplos bsicos. 14

Cap. 1 Introduccin a la Fsica La figura 1.1 tal vez la conozcan: es una imagen de nuestra Tierra, sobre la cua l haremos la mayora de las aplicaciones de este curso. Los colores sobre los ocano s representan los valores de la temperatura de la superficie del mar, siendo may ores los tonos en rojo y menores los tonos en azul. En la imagen se observa clar amente la presencia del fenmeno de El Nio en el Pacifico sur. Se representa tambin un esquema de las nubes en la atmsfera con tonos de color gris claro. En Chile se observa un frente ubicado entre la novena y dcima regiones. Figura 1.1. Imagen de satlite modificada de la Tierra. Este es nuestro planeta, al que le estamos dando un muy mal trato, con todos los desperdicios y contaminantes que estamos arrojando a los ros, lagos, ocanos, tier ra y atmsfera. No olvidemos que los recursos de nuestra Tierra son finitos y no r enovables, por lo que a nosotros nos corresponde cuidar estos recursos, para dej arlos de la mejor forma a las futuras generaciones, que tambin querrn vivir en un ambiente limpio. Las mediciones ya indican que la 15

Cap. 1 Introduccin a la Fsica humanidad est consumiendo los recursos de la Tierra mas rpidamente de lo que esta es capaz de renovarlos, por lo que es clara la tendencia a que los recursos natu rales se agoten. Lo peor de todo es que la distribucin de los recursos no es equi tativa, ya que una minora de empresas y pases mas ricos se enriquecen mas y la may or parte de la poblacin mundial se empobrece mas, incluyendo un importante porcen taje de la poblacin que nada tiene. Lo ms que podemos hacer nosotros como profesio nales y habitantes de la Tierra, es crear conciencia para no seguir daando nuestr o ambiente, que nos permite la vida. Evitemos que el ser humano evolucione rpidam ente a una nueva especie, que se podra llamar Homo Furioso, que al final de este siglo se pregunte en que pensaran esos prehistricos Homo Sapiens de principios de si glo que nos dejaron el planeta en estas lamentables condiciones? 1.2 DEFINICIONES. En esta seccin se dan las definiciones de algunos trminos usados en ciencias y de temas relacionados, que usaremos durante el curso, sin pretend er profundizar en el contenido terico del concepto definido. Fsica: Es una ciencia fundamental que estudia y describe el comportamiento de los fenmenos naturales q ue ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en observaciones experimen tales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teoras fsicas basadas en leyes f undamentales, que permitan describir el mayor nmero posible de fenmenos naturales con el menor nmero posible de leyes fsicas. Estas leyes fsicas se expresan en lengu aje matemtico, por lo que para entender sin inconvenientes el tratamiento del for malismo terico de los fenmenos fsicos se debe tener una apropiada formacin en matemti cas, en este curso basta un nivel bsico de matemticas. Teora cientfica: Sntesis de un a gran cantidad de informacin que abarca diversas hiptesis probadas y verificables de ciertos aspectos del mundo natural. Ningn experimento resulta aceptable a men os que sea reproducible, es decir que produzca un resultado idntico independiente mente de cuando, donde y por quien sea realizado. Los resultados de los distinto s experimentos se renen para formar una teora. Una teora es la sntesis de todas las observaciones realizadas en los experimentos, que debera hacer posible predecir e l resultado de nuevos experimentos antes de que se realicen. Pero no se debe esp erar que una teora explique ciertos fenmenos de una vez por todas, sino 16

Cap. 1 Introduccin a la Fsica mas bien los coordine dentro de un conjunto sistemtico de conocimientos. La valid ez de una teora puede probarse nicamente con el experimento. Una teora cientfica no debe contener elemento alguno metafsico o mitolgico, se deben eliminar los mitos y prejuicios. Hoy en da se debe tener especial cuidado, puesto que nuestro mitos c ontemporneos gustan de ataviarse con ropajes cientficos, pretendiendo con ello alc anzar gran respetabilidad. Los charlatanes siempre buscan mencionar el nombre de algn gran cientfico en un intento por hacer crebles sus charlataneras. Mecnica. Es u na rama de la fsica. Su objetivo es describir (con la cinemtica) y explicar (con l a dinmica) el movimiento de los cuerpos. Cinemtica. Describe el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen. Dinmica. Describe el movim iento de los cuerpos considerando las causas que lo producen, y las causas del m ovimiento son las fuerzas. Hiptesis: Suposicin bien fundamentada, considerada como un hecho cuando se demuestra experimentalmente. Hecho: Acuerdo entre observador es competentes sobre una serie de observaciones de un fenmeno particular. Ley: Co mprobacin de una hiptesis sin ninguna contradiccin. Una ley fsica se considera como tal cuando todos los experimentos obedecen esa ley, si en algn caso no se cumple, deja de ser ley fsica. Son las leyes terrestres vlidas en todo el Universo? Hay qu e usarlas y despus evaluar su resultado. No se debe pretender buscar una nueva le y para explicar algn fenmeno en el cual las leyes ya existentes no parecen encajar satisfactoriamente, porque esto conduce al caos lgico. Aunque se debe estar disp uesto a aceptar nuevas leyes naturales si su adopcin demuestra ser necesaria. Cie ncia: Mtodo para dar respuestas a preguntas tericas. La ciencia descubre hechos y formula teoras. Tecnologa: Mtodo para resolver problemas prcticos, usa tcnicas y proc edimientos para aplicar los descubrimientos de la ciencia. 17

Cap. 1 Introduccin a la Fsica Modelo: Concepto introducido por los cientficos para ayudarse a visualizar posibl es procesos dentro de un sistema fsico. Un modelo se usa para representar la real idad fsica y debe tener en cuenta dos aspectos conflictivos entre s: a) tiene que ser lo bastante simple para como para ser elaborado con mtodos matemticamente rigu rosos, b) debe ser realista para que los resultados obtenidos sean aplicables al problema considerado. La sencillez del modelo, su belleza matemtica, es incompat ible con la fidelidad al problema real. Lo bello raramente es fiel y lo fiel rar amente es bello. Matemticas: Es el lenguaje de las ciencias, es lo que establece una conexin entre la teora y el experimento. Las leyes Fsicas se expresan en lengua je matemtico, en general de nivel muy avanzado. Religin: Se ocupa del propsito de l a naturaleza, no se preocupa por usar los mtodos de la ciencia, tiene que ver con la Fe y la adoracin de un ser supremo, que es Dios. Ciencia y religin no son cont radictorias, son complementarias. No es necesario elegir entre ambas, se pueden adoptar las dos. 1.3 EL MTODO CIENTFICO. El mtodo cientfico es un mtodo efectivo para adquirir, organi zar y aplicar nuevos conocimientos. Su principal fundador fue Galileo (1564-1642 ). Se basa en la formulacin de hiptesis y en la recopilacin de pruebas objetivas qu e traten de probar la veracidad de tales hiptesis establecidas previamente. El mto do cientfico puede dividirse a grandes rasgos en varios pasos: a. b. c. d. e. Obs ervar el medio natural. Hacerse una pregunta sobre el comportamiento del medio. Formular una hiptesis y derivar de ella predicciones que puedan ser demostradas. Planear un experimento que pueda verificar esa hiptesis. Analizar los datos obten idos de ese experimento. Si los datos coinciden con las derivaciones de la hiptes is, se podr decir que sta funciona y es vlida en ese contexto. A partir de esa hipte sis demostrada, elaborar una Teora. Nuevamente acudir a la Naturaleza para contra starla. f. g. 18

Cap. 1 Introduccin a la Fsica h. Si la Teora se cumple y demuestra, a partir de ella se formular una Ley, que trata r de describir el fenmeno. Antes de Galileo, la mayor parte de los experimentos no seguan este orden de pens amiento, sino que se basaban en la observacin del medio y emisin de teoras, sin may or comprobacin posterior de stas. La novedad que trajo consigo el mtodo cientfico fu e que se trabajaba con hiptesis que deban ser demostradas. Todo ello supuso un gra n avance para la fsica como ciencia, puesto que se empez a observar la naturaleza y a afirmar expresiones, hoy en da tan comunes como parece que va a llover. Este mto do no siempre ha sido la clave de los descubrimientos, en muchos casos gran part e del progreso de la ciencia se ha debido a resultados obtenidos por error o por casualidad. 1.4 SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medicin se expresa con un nm ero seguida de un smbolo de la unidad usada. Existen medidas directas e indirecta s, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la sup erficie de la sala es una medida indirecta. Gran parte de la Fsica tiene que ver con la medida de cantidades fsicas tales como distancia, tiempo, volumen, masa, t emperatura, etc. Las leyes Fsicas se expresan en trminos de cantidades bsicas que r equieren una definicin clara, llamadas magnitudes fsicas fundamentales. En mecnica las magnitudes fsicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa. Se llaman magnitudes fsicas fundamentales porque estn definidas en forma independiente de cu alquier otra magnitud fsica. Para que sean tiles deben ser invariables y reproduci bles y se debe definir una unidad de medida nica para la magnitud fsica, llamada p atrn de medida. El Sistema Internacional (SI) de unidades determina el conjunto d e patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes fsicas fundamentales en Mecnica, son las que se dan en la tabla 1.1. Este se conoc e tambin como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y segundo). Tambin existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el centmetro, gramo y segundo, y el sistema ingls de ingeniera, que es extre19

Cap. 1 Introduccin a la Fsica madamente confuso, por lo que no lo usaremos en este curso. El SI es el que se u sa mayoritariamente en todas las reas de las ciencias. La definicin operacional ac tual de las magnitudes fsicas fundamentales se da a continuacin. Tabla 1.1. Unidades de medida de las magnitudes fsicas fundamentales en mecnica. M agnitud Fsica Unidad de medida Smbolo Longitud Metro m Tiempo Segundo s Masa Kilog ramo kg Longitud: Se han desarrollado muchos sistemas de medicin de longitud, pero se han abandonado por razones de precisin. Desde 1983, la unidad de longitud, el metro, se define como la distancia recorrida por la luz en el vaco durante un tiempo de 1/299792458 segundos. De paso esta definicin establece que la rapidez de la luz en el vaco es de 299 792 458 m/s. Tiempo: En 1967 se defini el segundo como unidad de tiempo igual a 9 192 631 770 periodos de la radiacin de tomos de cesio 133. Co n un reloj atmico de cesio, se puede medir la frecuencia de su radiacin con una pr ecisin de una parte en 1012, lo que equivale a una incertidumbre menor que un seg undo cada 30000 aos. Masa: Desde 1987 se considera como unidad de masa, el kilogr amo, que se define como la masa de una aleacin de platino e iridio que se conserv a en el Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, cerca de Pars, Fr ancia. Este patrn es confiable porque dicha aleacin es muy estable. Las otras magn itudes fundamentales de la Fsica, que con las anteriores suman siete en total, es tn indicadas en la tabla 1.2. En ciencias se usan muchas otras magnitudes fsicas, que se obtienen como una combinacin de las magnitudes fsicas fundamentales. Se lla man magnitudes fsicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes fsicas fundam entales. Por ejemplo: 20

Cap. 1 Introduccin a la Fsica rea = longitud por longitud, se mide en m2 aceleracin = longitud/tiempo al cuadrad o, se mide en m/s2 fuerza = masa por aceleracin, se mide en Newton, N = kg m/s2 d ensidad = masa/volumen, se mide en kg/m3, etc. Tabla 1.2. Unidades de medida de las magnitudes fsicas fundamentales. Magnitud Fsi ca Unidad de medida Temperatura Kelvin Corriente elctrica Ampere Intensidad lumin osa Candela Cantidad de sustancia Mol Smbolo K A Cd mol 1.5 MULTIPLOS, SUBMULTIPLOS Y PREFIJOS. Teniendo en cuenta que la Fsica estudia e l comportamiento del universo, los valores numricos de las magnitudes fsicas varan en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeas a muy grandes. Por ejemplo, para comprender el origen del Universo, a los astrofsicos y cosmlogos les preocupa actualmente saber que paso entre el Big Bang y el minsculo instante 10-43 s!, o c omo determinar bien la edad del Universo cuyas ltimas mediciones dan un valor de 1.45x1010 aos, con una incertidumbre de un par de miles de millones de aos. La Tie rra tiene una edad de 4600 millones de aos. Especialistas han estudiado la cronol oga de la Biblia para calcular cuanto tiempo ha pasado desde los das del Edn, suman do la edad de Adn y sus descendientes. En 1650 el arzobispo irlands James Ussher p ropuso que Dios creo la Tierra el 22 de octubre del ao 4004 antes de nuestra era, valor que no concuerda con las mediciones. Los valores numricos de la fsica puede n ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que generalmente s e expresan en potencias de 10, que es la notacin cientfica. Ejemplos de algunos va lores comunes se muestran en la tabla 1.3. 21

Cap. 1 Introduccin a la Fsica Tabla 1.3. Algunos valores numricos de magnitudes fsicas conocidas. Sol Humano Ele ctrn Distancia Tierra - Sol Cancha de ftbol Dimetro ncleo atmico Edad de la Tierra Ed ad de estudiante UdeC Duracin choque nuclear 2 x 1030 70 9.1 x 10-31 1.5 x 1011 9 0 10-14 1.5 x 1017 5 x 108 10-22 Masa (kg) Longitud (m) Tiempo (s) Si el exponente de la potencia de 10 es positivo (o negativo) el valor de la mag nitud fsica es un mltiplo (o submltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy p equeas se expresan los valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI q ue es el nombre que se le da a la potencia de 10. Existen algunas unidades de me dicin que tienen nombres especiales, como por ejemplo el ao luz que es la distanci a que recorre la luz en un ao, igual a 9.45 x 1015 m, o el Angstrom que es igual a 10-10 m. En la tabla 1.4 se dan los nombres de los prefijos del Sistema Intern acional. 1.5.1 Orden de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de 10 ms cercana al valor verdadero de una magnitud fsica conocida cuyo valor numrico se conoce. Para indicarla se usa el smbolo vrgula, ~. Cuando se compara entre magnitudes fsicas sim ilares, se dice que una magnitud fsica difiere de la otra en un orden de magnitud , cuando es mayor o menor en un factor de 10. Ejemplo 1.1. El orden de magnitud de 1 es cero 100, el orden de magnitud de 10 es uno 101, el orden de magnitud de 100 es dos 102, etc. Ejemplo 1.2. a) Determinar el orden de magnitud de la masa de la Tierra, cuyo valor es aproximadamente 6 x 1024 kg. b) Si la masa del Sol 1030 kg, en cuantos rdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? 22

Cap. 1 Introduccin a la Fsica Solucin: a) considerando que 6 es un valor mas cercano a 10 = 101 que a 1 = 100, su orden de magnitud es 6 101, por lo tanto el orden de magnitud de la masa de l a Tierra es 6 x 1024 101x1024 1025 kg 10 Ykg del orden de 25. b) Si la masa del Sol 1030 kg, en cuantos rdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? Solucin : masa del Sol 10 30 = 25 = 10 5 masa de la Tierra 10 Por lo tanto la masa del Sol es 5 rdenes de magnitud mayor (cien mil veces mas gr ande) que la masa de la Tierra. Tabla 1.4 Prefijos del Sistema Internacional. Potencia 10x -24 -21 -18 -15 -12 9 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 9 12 15 18 21 24 Prefijo yocto zepto atto. femto pico nano micro mili centi deci deca hecto kilo mega giga tera peta exa zeta yota Smbolo y z a f p n m c d da h k M G T P E Z Y 23

Cap. 1 Introduccin a la Fsica 1.5.2 Estimacin. Hacer una estimacin es asignar un valor numrico razonable a una magnitud Fsica cono cida, cuyo valor verdadero, en el momento de usar esa magnitud, no se conoce. Ejemplo 1.3. Estimar la edad de los alumnos del curso de Fsica I. Solucin: Conside rando que los alumnos ingresan a la universidad a la edad aproximada de 18 aos, q ue el curso de Fsica I lo realizan en el segundo semestre, que algunos alumnos in gresan a la carrera tiempo despus de egresar de la enseanza media y que es probabl e que el curso de fsica no lo estn cursando en el semestre que corresponde, se pue de considerar que la edad de los alumnos del curso de Fsica I varia entre 18 y 22 aos, por lo que se puede estimar como edad de cualquier alumno en 20 aos. Su orde n de magnitud es 10 aos. 1.5.3 Transformacin de unidades. Muchos clculos en Fsica requieren convertir unidades de un sistema a otro. Las uni dades pueden convertirse sustituyndolas por cantidades equivalentes. En toda resp uesta numrica de los problemas siempre debe escribirse las unidades en el resulta do final. Ejemplo 1.4. Transformar 18 km/hora a m/s. Solucin: Se sabe que 1h = 3600 s y que 1 km = 1000 m, entonces: 18 1000m km 1hr m =5 hr 3600 s 1km s 1.5.4 Anlisis dimensional. Se usa para verificar que todos los trminos de una ecuacin tengan las mismas dimen siones, lo que garantiza que la ecuacin est planteada en forma 24

Cap. 1 Introduccin a la Fsica correcta. Cuando se hace el anlisis dimensional, los trminos no se operan con el lg ebra corriente, por ejemplo las unidades de medida no se suman o restan, solo se comparan sus unidades entre trminos de la ecuacin a dimensionar, generalmente se usa el smbolo [ ] en cada trmino al hacer el anlisis. Ejemplo 1.5. Hacer el anlisis dimensional para el siguiente modelo fsico v 2 = vo2 + 2ax , donde v se mide en m/s, x en m y a en m/s2. Solucin: se escriben las unidades de medida en cada trmino de la ecuacin, considera ndo que las unidades no se suman ni restan y que el 2 es un nmero sin unidades de medida que no multiplica a la unidad de medida: v 2 = vo2 + 2ax 2 m 2 m 2 m m 2 m = + 2 [m] = 2 = Por lo tanto la expresin es dimensionalmente consistente. 1.6 SISTEMAS DE REFERENCIA. En mecnica se tratan problemas relacionados con la descripcin del movimiento de un objeto en el espacio, por lo que se requiere un mtodo para conocer la posicin de ese objeto. Para esto se definen los sistemas de coordenadas y marcos de referen cia. Un sistema de coordenadas usado para indicar las posiciones en el espacio c onsta de: 1. Un punto de referencia fijo O, llamado origen. 2. Un conjunto de ej es o direcciones con una escala apropiada. 3. Instrucciones sobre como identific ar un punto en el espacio respecto al origen y a los ejes. 1.6.1 Coordenadas cartesianas o rectangulares. Un sistema de coordenadas frecuentemente usado es el sistema de coordenadas cart esiano o rectangular, que se muestra en la figura 1.2, con ejes x sa25

Cap. 1 Introduccin a la Fsica liendo del plano de la figura, eje y horizontal y eje z vertical. En este sistem a un punto P arbitrario se identifica con tres coordenadas identificadas por (x, y,z), con los valores positivos de los ejes hacia fuera del plano de la figura, hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente en cada eje, como se indica en la figura 1.2. Es el espacio comn en el que vivimos, se llama espacio tridimensio nal porque tiene tres dimensiones, para indicarlo usamos en smbolo 3D. En ocasion es bastan dos o una coordenadas para fijar la posicin del objeto, estos se llaman espacio bidimensional (2D) o unidimensional (1D), respectivamente. Figura 1.2. Coordenadas cartesianas. 1.6.2 Coordenadas polares. Otro sistema de coordenadas conocido es el de las coordenadas polares (r,) (figur a 1.3), donde r es la distancia desde el origen al punto (x,y), generalmente lla mado radio, y el ngulo entre el eje x y r, por convencin, considerado positivo cua ndo es medido en sentido antihorario desde el eje x hacia r. La relacin entre las coordenadas cartesianas y polares es

26

x = r cos , y = rsen . Se deja como ejercicio al alumno demostrar

ue sus relaciones inversas son:

Cap. 1 Introduccin a la Fsica tan = y , x r = x2 + y2 Figura 1.3. Coordenadas polares. De paso aprovechemos de recordar el teorema de Pitgoras y las funciones trigonomtr icas bsicas seno, coseno y tangente, ue se definen para un tringulo rectngulo, com o el ue se muestra en la figura 1.4, estas son: r 2 = x2 + y2 sen = c teto opuesto y = hipotenus r cos =

t n = c teto opuesto y = c teto dyecente x 27

c teto dy cente x = hipotenus

r

Figur 1.4. Un tringulo rectngulo. 1.7 CONCEPTOS BSICOS DE VECTORES. L s m gnitudes fsic s con l s que tr t remos en el curso pueden ser esc l res o v ectori les. L s m gnitudes fsic s esc l res qued n complet mente definid s medi n te un nmero y sus respectiv s unid des de medid , por ejemplo l densid d del gu de 1 gr/cm3 o l temper tur del ire de 20 C, son un esc l r. P r l s m gnitu des fsic s vectori les debe especific rse su m gnitud (un nmero con sus unid des), su direccin (un nmero que puede ser un ngulo si el esp cio es bi o tridimension l) y su sentido (que indic h ci donde se dirige o punt el vector), por ejempl o un velocid d de 80 km/h h ci el noreste. Un vector se represent grfic mente como un tr zo dirigido (flech ) y se simboliz medi nte letr s m yscul s o minscul s, con un flech sobre r r l letr o escrit en negrit , como V o V , r o r , OP o OP . L longitud de l flech indic l m gnitud rel tiv del vector, el p unto desde donde se comienz dibuj r el vector se ll m punto de plic cin, l direccin se mide desde lgn eje de referenci , gener lmente horizont l, el sentido est d do por l punt de l flech y l rect sobre l cu l se ubic el vector se ll m lne de ccin. En l figur 1.5, el vector A tiene m gnitud A, su punto de plic cin es O y su direccin es gr dos sobre l horizont l. 1.7.1 Igu ld d de vectores. Dos o ms vectores son igu les si: ) punt n en l mism direccin, b) si sus r r r r m gnitudes son igu les. En l figur 1.6, = b = c = d independientemente de l ubic cin de los vectores en el esp cio. 28

C p. 1 Introduccin

l Fsic

Figur 1.5. Represent cin de un vector. Figur 1.6 Igu ld d de vectores. 1.7.2 Multiplic cin de un vector por un esc l r. El result do de multiplic r un vector por un esc l r es un vector, de magnitud d istinta y de direccin igua (o contraria) a vector origina . En a figura r r r r 1.7 se muestra que B = 2b y D = 2 3 d . Figura 1.7. 1.7.3 Vectores especia es. Vector nu o: es un vector de magnitud igua a cero (0 ). 29

C p. 1 Introduccin

l Fsic

Cap. 1 Introduccin a a Fsica

1.7.4 Adicin de vectores y a gunas de sus propiedades. Los vectores se pueden sumar en forma geomtrica por diversos mtodos, ta es como o s que se muestran en a figura 1.8, a) e mtodo de po gono o b) e mtodo de para e ogramo. Figura 1.8. a) Mtodo de po gono, b) mtodo de para e ogramo. Adems os vectores cump en con as siguientes propiedades de gebra: Conmutatividad de a suma: a + b = a + b. Asociatividad de a suma: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c). Distributividad de a mu tip icacin por un esca ar en a suma de vectores. Conmutatividad de producto: a b = b a , a a = a2. Asociati vidad de producto: a ( b + c) = a b +a c Inverso aditivo: si a + b = 0, entonce s b es e inverso aditivo de a y se escribe b = a. La resta de vectores es un c aso especia de adicin, donde e vector restando se suma con su inverso aditivo: a b = a +( b). La divisin entre vectores no est definida. 1.7.5 Representacin de os vectores en coordenadas cartesianas.

Las componentes vectoria es de un vector son aque as que sumadas dan como resu tado e vector origina . Las componentes vectoria es de un vector en e espacio se ca cu an a o argo de un conjunto de 3 neas mutuamente perpen30

Vector unitario: vector de magnitud igua

a uno (1).

Cap. 1 Introduccin a a Fsica dicu ares que se cortan en un mismo punto, es decir en neas para e as a os ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. Los vectores unitarios y as component es vectoria es de vector A en estas direcciones se designan por j i , , k y por Ax, Ay, Az, respectivamente, ta que: r A = Ax + Ay + Az k i j En e p ano (x, y) de a figura 1.9, se tiene: Vector: Componentes: Magnitud: Di reccin: r A = Ax + Ay i j Ax = A cos, Ay = A sen 2 2 A = Ax + Ay t n = Ay/Ax Figur 1.9. Componentes de un vector. 1.7.6 Igu ld d de vectores en componentes. Dos vectores son igu les si tod s sus componentes son igu les, esto es, A = B si Ax = Bx, Ay = By y Az = Bz. 31

1.7.7 Sum , rest y multiplic cin por un esc l r.

+ Bz k i j i j r r A + B = ( Ax + Bx ) + + Ay + Az k Bx + B y + Bz k i j i j j

( ) ( ) ( ) ) ( A = (Ax ) + (Ay )j + (Az )k i r 1.7.8 Producto esca ar entre vectores.

= = k k = 1 i i j j = k = k = 0 i j i j r r A B = Ax Bx + 32

r r A B = AB cos donde A y B es l m gnitud y es el ngulo entre los vectores A y B. Aplic do tores unit rios y l s componentes de un vector, se tiene:

E producto esca ar entre vectores da como resu tado un esca ar, se B, y se define como:

ee A punto

Se oper sobre l s componentes esc l res nlog idimension l se re liz n tres oper ciones esc l como se indic , donde representa un esca ar: r r A + B = Ax + Ay + Az k + Bx + B y + B y ) + ( Az + Bz )k i j r r A B = Ax = ( Ax Bx ) + (Ay B y ) + ( Az Bz )k i

s de los vectores. P r el c so tr res por c d oper cin vectori l, vec

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1.7.9 Producto vectori l de vectores. El producto vectori l entre vectores d como result do un vector, se lee A cruz B, y se define como: r r r r C = A B, con C = ABsen donde A y B es l m gnitud y es el ngulo entre los vectores A y B, y l direccin d e C est d d por l regl de l m no derech o del tornillo derecho, C es un ve ctor perpendicul r l pl no form do por A y B. El producto vectori l se c lcul resolviendo el siguiente determin nte:

j Ay By k Az Bz

Solucin: ) en l figur 1.10 se dibuj el di gr m vectori l. 33

Ejemplo 1.6. Un g to se mueve st l posicin P2 en (10,2) en coorden d s c rtesi n s. C gnitud l v ri cin y (d) su

en el pl no (x,y) desde l posicin P1 en (-3,5) m h m. ( ) Dibuj r los vectores de posicin y escribirlos lcul r (b) l v ri cin de l posicin del g to, (c) m direccin.

=

= k

k = 0 i i j j

Aplic do

i r r A

B = Ax Bx

vectores unit rios, se obtiene que: = k, k = , k = i j j i i j

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Figur 1.10. Ejemplo 6. Posiciones: r j r1 = x1 + y1 i r r2 = x2 + y2 i j v r1 = 3 5 i j r r2 = 10 + 2 i j b) La variacin de a posicin es a diferencia entre as posiciones de objeto, r e sto es a posicin fina menos a posicin inicia denotada por r . r r r r = r2 r1 = (10 + 2 ) ( 3 5 ) = 13 + 7 m i j i j i j c) Magnitud: r = ( 13 )2 + ( 7 )2 = 14 ,8 m d) Direccin: tan = r 7 = 28.3 13 Ejemplo 1.7: Una hormiga camina por el borde de un CD de 6 cm de radio, rodeando la mitad del disco. Calcular: (a) la variacin de su posicin, (b) cunto camina?, (c) su variacin de posicin si completa el crculo. Solucin: Usando el sistema de referencia de la figura 1.11, donde i es la posicin inicial, ue se elige en el origen, y f la posicin final. 34

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Cap. 1 Introduccin a la Fsica

r r r r r ri = 0 + 0 , rf = 12 + 0 i j i j r r = 12 cm i Figura 1.11. b) Se pide distancia d recorrida desde i hasta f por el borde (por ejemplo el su perior) del disco, si P es el permetro, entonces: d= 1 1 P = 2R = R = 6 cm = 18.8 cm 2 2 se observa que d r r r c) Hay que calcular r despus que la hormiga ha dado una vuelta completa. r r r r = rf ri r r r r rf = ri = 0 r = 0 0 = 0 cm i j 35

a) r = rf ri , de

a figura 11

Ca . 1 Introduccin a la Fsica PROBLEMAS. 1.1 Escribir usando refijos, en unidades del Sistema Internacional: longitud del ec uador, radios del ncleo y tomo, segundos de un milenio, edad de la Tierra, volumen de una ulga, masa del Sol, distancia de la estrella ms cercana a la Tierra (des us del Sol). El Sol es un adulto joven de a enas casi 5 mil millones de aos, escrib a la edad del Sol sin y con refijos del Sistema Internacional. (Cuando el Sol s e a ague, se acabar la fuente de energa que mantiene todos los rocesos sobre la T ierra y or lo tanto la vida sobre ella.) R: 1.57x1017 s. La energa que la Tierra recibe del Sol es del orden de 220 watts/m2, estimar la cantidad de energa sobre toda la su erficie terrestre. Ex resar el resultado con refijos. Estimar la ca ntidad de kilmetros que tu has caminado desde que naciste a la fecha. Estimar el nmero de inos y su valor en esos ara un bosque de inos t ico de la 8 Regin. Si d urante un evento de lluvia en la zona cayeron 25 mm de agua, esto es 25 lt/m2, e stime la cantidad de agua que cay sobre la Baha Conce cin. A cuantas casas se odra a bastecer con agua durante todo un da con esa cantidad? Transformar 10 m/s a km/h, 300000 km/h a m/s, 250 Glt a m3, 1.25 kg/m3 a gr/cm3, 500 hPa a atm, 4500 m2 a cm2. La Tierra tiene una edad de 4600 millones de aos y el ser humano ha estado s obre ella desde hace unos 150 mil aos. Si la edad la Tierra la hacemos equivalent e a un da, cuntos segundos tiene el ser humano sobre la Tierra? Para las ex resione s x = At + Bt 3 y v = A + 3 Bt 2 donde x se mide en m, t en s y v en m/s, determ ine las unidades de medida de A y de B. 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 36

1.13 Si A = 4 + 3 y B = + 5 , calcula su oducto escala , vecto ial y el i j i j ngulo que fo man los vecto es. Dibuja todos los vecto es. 1.14 Pa a los siguientes vecto es: V1 = 2 + 3 , V2 = 3 + 1.5 + 2 k , i j i j V3 = 2.5 7 alcula la magnitud y di eccin de cada vecto . i j 1.15 Pa a los vecto es del oblema 1.14 calcula : a) su suma, b) 3V2 V1, c) 5V3 + V2, d) 2V1 +3V2 0.5V3. Dibuja los vecto es y los esultados. 1.16 Pa a los v ecto es del oblema 1.14, calcula a) el oducto escala ent e cada a de vec to es, f) el oducto vecto ial ent e cada a . 1.17 El vecto F1 tiene una magn itud de 5 unidades y el vecto F2 tiene una magnitud de 10 unidades. Ambos vecto es fo man un ngulo de 120 ent e si. Calcula su oducto escala y vecto ial. 1.18 Demost a que: A B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz 1.19 Demost a que: = = k k = 0 i i j j 1.20 Demost a que: j i i j 37

= k ,

y T = 2 l / g son dimensionalmente co ectas, donde x, h y l son longitudes, v y v0 son velocidad (m/s), a y g acele acin (m/s2), T tiem o (s), esin (kg/ms2), y densidad (kg/m3). 1.11 Un vecto de 5 unidades se o ienta en di eccin ositiva del eje x, y ot o de 3 unidades se o ienta en 230. Dete mine la suma y la esta d e estos vecto es, g fica y analticamente. 1.12 El vecto A se extiende desde el o igen hasta un unto que tiene coo denadas ola es (8,60) y el vecto B se extiend e desde el o igen hasta un unto que tiene coo denadas ola es (3,340). Calcula su oducto escala , vecto ial y el ngulo que fo man los vecto es.

Ca . 1 Introduccin a la Fsica 2 1.10 Demuestre que las ecuaciones

+ ( 1 / 2 )v 2 + gh = cte , v 2 = v0 + 2ax

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. CAPITULO 2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION. La cinemtica es la ama de la mecnica que estudia la geomet a del movimiento. Usa las magnitudes fundamentales longitud, e n fo ma de camino eco ido, de osicin y de des lazamiento, con el tiem o como a met o. La magnitud fsica masa no inte viene en esta desc i cin. Adems su gen como magnitudes fsicas de ivadas los conce tos de velocidad y acele acin. Pa a conoce el movimiento del objeto es necesa io hace lo es ecto a un sistema de efe enci a, donde se ubica un obse vado en el o igen del sistema de efe encia, que es q uien hace la desc i cin. Pa a un objeto que se mueve, se ueden distingui al men os t es ti os de movimientos dife entes: t aslacin a lo la go de alguna di eccin v a iable e o definida, otacin del cue o al ededo de algn eje y vib acin. Gene al mente el movimiento de t aslacin en el es acio est acom aado de otacin y de vib acin del cue o, lo que hace que su desc i cin sea muy com leja. Po esto, se conside a un estudio con sim lificaciones y a oximaciones, en el cual se o one un mo delo sim le a a estudia cada movimiento en fo ma se a ada,. La ime a a oxim acin es conside a al cue o como una a tcula, la segunda es conside a slo el mov imiento de t aslacin, una te ce a a oximacin es conside a el movimiento en una s ola di eccin. 2.1 DEFINICIONES. Antes de hace la desc i cin del movimiento, es necesa io defin i algunos conce tos y va iables fsicas que se usa n en este cu so. Cinemtica: desc ibe el movimiento de los cue os en el unive so, sin conside a las causas que lo oducen. Movimiento: es el cambio continuo de la osicin de un objeto en el t anscu so del tiem o. Pa tcula: el conce to intuitivo que tenemos de a tcula co es onde al de un objeto muy equeo que uede tene fo ma, colo , masa, etc., como o ejem lo un g ano de a ena. El conce to fsico abst acto es una idealizacin de un objeto conside ado como un unto matemtico sin dimensiones, que tend slo osicin , masa y movimiento de t aslacin. Esto significa que cualquie 39

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. objeto uede se conside ado como a tcula, inde endiente de su tamao, conside and o su masa concent ada en un unto que lo e esenta. Ejem los de objetos que se ueden conside a como una a tcula son un tomo, una ho miga, un avin, la Tie a, e tc., en este ltimo caso se justifica si se estudia su movimiento de t aslacin en t o no al Sol. Posicin: es la ubicacin de un objeto ( a tcula) en el es acio, elativ a a un sistema de efe encia. Es un vecto y se denota o :

(2.1) j donde x, y y z son los valo es de la osicin en cada di eccin, e i , y k son los vecto es unita ios en la di eccin de cada eje x, y y z, es ectivamente. En un a dimensin es sim lemente = xi . Es una de las va iables bsicas del movimiento, junto con el tiem o, en el SI se mide en met os. La osicin se uede dibuja en u n sistema de efe encia en una y dos dimensiones como se muest a en la figu a 2. 1a y 2.1b es ectivamente: Figu a 2.1a: Posicin en una dimensin. Figu a 2.1b: Posicin en dos dimensiones.

40

Des ula ble iga ial

lazamiento: el des lazamiento se define como el cambio de osicin de una a tc en el es acio ( a a indica cambios o dife encias finitas de cualquie va ia en fsica se usa el smbolo delta, ). Es independiente de la trayectoria que se s para cambiar de posicin. Para determinarlo se debe cor r nocer la posicin inic ri y final rf de la partcula en movimiento. E1 des-

= xi + y + zk j

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. plazamiento es un vector, que puede ser positivo, negativo o cero, en el SI se m ide en metros; se dibuja en el esquema de la figura 2.2. En una dimensin y en dos dimensiones, el desplazamiento es: r x = ( x f xi )i (2.2) r = rf i = ( x f i + y f ) ( xi i + yi ) j j

Figu a 2.2. Vecto des lazamiento en dos dimensiones. T ayecto ia: es la cu va geomt ica que desc ibe una a tcula en movimiento en el e s acio, y se e esenta o una ecuacin de la t ayecto ia. En una dimensin es una ecta y = cte, a alela al eje x; en dos dimensiones uede se una a bola y = a + bx2 o una ci cunfe encia x2 + y2 = 2 u ot a cu va. Distancia: es la longitud que se ha movido una a tcula a lo la go de una t ayecto ia desde una osicin inic ial a ot a final. Su valo num ico en gene al no coincide con el valo num ico del des lazamiento, exce to en casos muy a ticula es. Tiem o: Qu es el tiem o? No es fcil defini fsicamente el conce to de tiem o. Es ms sim le habla de inte valo de tiem o, que lo odemos defini como la du acin de un evento, o si conside amos l a osicin y sus cambios, odemos deci que el tiem o es lo que ta da una a tcula en move se desde una osicin inicial a ot a final. 41

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. 2.2 VELOCIDAD Y ACELERACION. Pa a desc ibi el movimiento debemos defini ot as va iables cinemticas, que son la velocidad y la acele acin. 2.2.1 Velocidad media. Pa a una a tcula que se mueve en di eccin del eje x, desde la osicin inicial xi que en un instante inicial ti se encuent a en el unto P, hasta la osicin final xf que en un instante final tf se encuent a en el unto Q, el des lazamien to de la a tcula en el inte valo de tiem o t = t f ti es x = x f xi . Se elige el sistema de efe encia que se muest a en la figu a 2.3. Se define la com onente x de la velocidad media vmx de la a tcula como el cambio de osicin en un inte valo de tiem o o la ex esin: x x f xi vmx = = t t f ti

(2.3)

De su definicin se obtiene que la unidad de medida de la velocidad media en el SI es el cuociente ent e la unidad de medida de longitud y de tiem o, esto es m/s, que se lee met os o segundo. La velocidad media es inde endiente de la t ayec to ia en el movimiento desde P a Q, es un vecto y uede se ositiva, negativa o ce o, segn el signo o valo del des lazamiento (ya que t > 0 siempre). En una di mensin, si la posicin x aumenta con el tiempo (xf > xi) x r > 0, entonces vmx > 0 , y la partcula se mueve en direccin positiva del eje x, y viceversa si x < 0. 42

Figu a 2.3 Sistema de efe encia en una dimensin

a a defini la velocidad media.

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Una interpretacin geomtrica de la velocidad media se puede ilustrar en un grfico x/ t llamado grfico posicin - tiempo. La recta PQ es la hipotenusa del tringulo de lad os x y t, que se muestra en la figura 2.4. La pendiente de la r recta PQ, que tien e el mismo valor numrico que la vmx , est dada por la tangente del ngulo que form l pendiente con el eje horizont l, cuyo v lor es: t n = x = pendiente t Figura 2.4a Figura 2.4b Notar que el grfico de la figura 2.4 no es un sistema de referencia en dos dimens iones, a pesar de tener dos ejes, ya que el eje horizontal no es de posicin, sino de tiempo.

2.2.2 Velocidad instantnea. Es la velocidad de la partcula en un instante determin ado. Si se considera que el intervalo de tiempo t se puede hacer cada vez ms y ms p equeo, de tal manera que el instante final tf tiende a coincidir con el instante inicial ti, entonces se dice que el intervalo de tiempo tiende a cero, o sea t 0. En el r lmite cuando t 0, r tambin tiende a cero, por lo que la partcula se encuent a en una posicin instantnea. Por lo tanto se puede definir el vector ver locidad i nstantnea v de la siguiente forma: 43

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. r r r r dr v = lim = t 0 t dt (2.4) La velocidad instantnea, que llamaremos simplemente velocidad, puede ser positiva (negativa) si la partcula se mueve en direccin positiva (negativa) del eje x, o c ero, en este caso se dice que la partcula est en reposo. La velocidad tiene la mis ma interpretacin geomtrica que la velocidad media y en la figura 2.4b se ilustra e n el grfico x/t una curva de pendiente positiva, que representa una velocidad pos itiva. Rapidez. Se define como rapidez instantnea v a la magnitud o valor numrico del vec tor velocidad, por lo tanto es siempre positiva. 2.2.3 Aceleracin media. Lo normal es que la velocidad de una partcula en movimient o vare en el transcurso del tiempo, entonces se dice que la partcula tiene acelera cin. Se define la aceleracin media am como el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo, lo que se escribe como: r r r r v v f vi am = = t t f ti (2.5) La acele acin media es un vecto , su unidad de medida en el SI es el esultado de dividi la unidad de medida de velocidad y de tiem o, esto es (m/s)/s, que se l ee m/s2. 2.2.4 Acele acin instantnea. Es la acele acin a de la a tcula en un instante dete m inado. De mane a anloga a la definicin de la velocidad, se esc ibe: 44

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. v dv a = lim = t 0 t dt

(2.6) Como vector, si la aceleracin es positiva (negativa) apunta en direccin positiva ( negativa) del eje x, independientemente de la direccin del movimiento de la partcu la. Puede existir una aceleracin positiva o negativa y la partcula puede estar aum entando su velocidad, y viceversa. En el esquema de la figura 2.5 se muestra par a algunos casos el sentido de la aceleracin para diferentes valores y signos de l a velocidad. Figura 2.5 Esquema de diferentes sentidos de la aceleracin. Si la aceleracin es constante, entonces la rapidez promedio se puede calcular com o el promedio aritmtico entre los distintos valores de rapidez de la forma: 1 (vi + v f ) 2 vm = Una interpretacin geomtrica de la aceleracin se obtiene del grfico rapidez versus ti empo o grfico v/t, donde la pendiente de la curva representa el valor numrico de l a aceleracin, como se ve en la figura 2.6. Si la rapidez, esto es la pendiente de la curva, es positiva (negativa), la aceleracin es positiva (negativa). En el grf ico se observa una curva con pendiente positiva que dismi45

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. nuye su valor hasta cero, que representa un movimiento con aceleracin positiva, p ero disminuyendo su valor, luego la pendiente se hace negativa, aumentando negat ivamente su valor y lo mismo ocurre con la aceleracin. tan = v = pendiente = a t Figura 2.6 Grfico rapidez versus tiempo. La aceleracin tambin se puede escribir como:

r r r r dv d dx d 2 x = = a= dt dt dt dt 2 que corresponde a la segunda derivada de la posicin respecto al tiempo. La aceler acin tambin puede variar en el tiempo, pero esa variacin no tiene significado fsico de importancia, por lo que no se le da un nombre en particular. Aunque da/dt pod ra representar o llamarse algo as como sacudn o empujn. Tambin puede existir un d( dt y as hasta el infinito. Ejemplo 2.1: Una partcula se mueve en direccin x > 0 durante 10 s con rapidez cons tante de 18 km/h, luego acelera hasta 25 m/s durante 5 s. Calcular: a) su despla zamiento en los primeros 10 s, b) la aceleracin media en cada intervalo de tiempo , c) la rapidez media del movimiento. 46

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Solucin: Datos t1 = 10 s, vi = 18 km/h = 5 m/s, t2 = 5 s, vf = 25 m/s a) v = x m x = vt = 5 10 s = 50m t s b) para t1: vi = cte => a = 0 para t2: a = vi + v f 2 v (25 5)m / s m = =4 2 t 5s s (5 + 25)m / s m = 15 2 s c) vm = = 2.3 DESCRIPCIN CINEMTICA DEL MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIN CON ACELERACIN CONSTANTE. E1 movimiento de una partcula se describe por completo si se conoce su posicin en cualquier instante. Para encontrar leyes que expliquen los diferentes cambios de los cuerpos en el tiempo, se deben registrar los cambios y describirlos. Alguno s cambios son difciles de describir, como por ejemplo los movimientos de una nube , formada por billones de gotitas de agua que se mueven al azar y pueden evapora rse o unirse para formar gotas ms grandes, o bien los cambios de opinin de una muj er. Describir el movimiento significa poder responder a la pregunta en que posicin se encuentra el cuerpo en movimiento en cualquier instante de tiempo? Si r la a celeracin a vara en el tiempo el movimiento puede ser muy complejo y difcil de anal izar. Un caso simple de movimiento es aquel que se realiza en una direccin con ac eleracin constante. Si la aceleracin es constante, entonr r ces la a = am , lo que significa que la velocidad cambia de manera uniforme en todo el movimiento. Con sideremos primero el caso de una partcula que se mueve en direccin del eje x con l a magnitud de la aceleracin a constante. Si v0 es el valor de la velocidad o rapi dez en el instante inicial t0, y v su valor en el instante t, de la definicin de a se tiene: 47

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. a= v t t dv dv = adt v dv = t adt = a t dt dt 0 0 o v v0 = a (t t 0 ) r r r v (t ) = v0 + a (t t 0 ) (2.7) La ecuacin 2.7 e mite dete mina la velocidad v = v(t) de una a tcula que se m ueve en una di eccin con acele acin a constante, a a cualquie instante t > t0. C omo v0, a y t0 son valo es conocidos, se obse va que v es una funcin lineal del t iem o t, o lo tanto el g fico a idez ve sus tiem o o g fico v/t es de la fo ma que se muest a en la figu a 2.7a. Pa a a < 0, y a a el caso de una a tcula que est disminuyendo su a idez, los g ficos v/t y a/t se muest an en la figu a 2.7b. Figu a 2.7a. G ficos v/t y a/t, a a a > 0. Figu a 2.7b. G ficos v/t y a/t, a a a < 0. 48

Ca . 2 Movimiento en una dimensin.

v= dx dx = vdt dx = vdt dt Si inicialmente, para t = to, la partcula se encuentra en la posicin xo y en cualq uier instante t se encuentra en la posicin x, la velocidad en funcin del tiempo es v( t ) = v0 + a( t t0 ) , eem lazando en la integ al, con los lmites de integ a cin co es ondientes queda: x x0 t 1 dx = t [v0 + a( t t0 )]dt = v0 ( t t0 ) + a( t t0 )2 2 0 Esc ita en fo ma vecto ial, se obtiene: 1 x x0 = v0 ( t t0 ) + a( t t0 )2 2 Como xo, vo y a son los valo es conocidos a a t = to, se deduce que x es slo fun cin del tiem o, as la ecuacin que desc ibe la osicin de una a tcula en movimiento e n funcin del tiem o x = x(t) es: 1 x = x0 + v0 ( t t0 ) + a( t t0 )2 2

(2.8) 49

El valo de la endiente al valo num ico de la ) es la ecuacin de una elocidad a a obtene la

de la tangente a la cu va v(t) en el g fico v/t es igual acele acin. Pa a el movimiento con acele acin constante v(t ecta. Conocida v = v(t) se uede usa la definicin de la v osicin de la a tcula en cualquie instante.

Ca . 2 Movimiento en una dimensin.

Figura 2.8 Grfico x/t Las ecuaciones x = x(t), v = v(t) y a = cte., forman el conjunto de ecuaciones c inemticas, que ermiten describir el movimiento sim le de una artcula que se muev e con aceleracin constante en una direccin, y como con esas ecuaciones se ueden d eterminar los valores de esas variables ara la artcula en cualquier instante, e l movimiento queda com letamente descrito. Para el caso articular de un movimie nto con ra idez constante, la aceleracin de la artcula es cero, y las ecuaciones del movimiento 2.7 y 2.8 se reducen a: r r r x r r v = Ejem lo stante, 50 = x0 + v0 ( t t0 ) v0 = cte. 2.2: Demostrar que si la aceleracin de una se tiene que v 2 = vo + 2ax .

artcula en movimiento 2 es con

La ecuacin 2.8 es la ex esin que e mite dete mina el valo de a tcula en cualquie instante, conocido los valo es iniciales. El em o es una a bola, ya que la ecuacin x = x(t) es cuad tica en la tangente a la cu va en cualquie instante t e esenta el valo velocidad de la a tcula (figu a 2.8). Esta ecuacin x(t) tambin in de itine a io.

la osicin de la g fico osicin/ti t. La endiente de num ico de la se conoce como ecuac

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Solucin: De v( t ) = vo + a( t to ) , se des eja t t0 = v v0 , a eem lazando en x = x0 + v0 ( t t0 ) +

1 a( t t0 )2 , 2 ( v v0 ) 1 v v0 + a x x0 = v0 a 2 a 2 2 v0 v v0 ( v 2 2vv0 + v0 ) , + x x0 = a a 2a 2 2 2 dividiendo 2

o 2a

2 a( x x0 ) = 2v0 v 2v0 + v 2 2vv0 + v0 = v 2 v0 v 2 = v02 + 2 ax Esta es una expresin escalar independiente del tiempo, no es una ecuacin general, por lo que no se puede usar en cualquier problema, es de utilidad restringida ya que slo permite obtener la magnitud de las variables que contiene. Ejemplo 2.3. un mvil parte desde el reposo en el instante t = 5 s y acelera hacia la derecha a razn de 2 m/s2 hasta t = 10 s. A continuacin mantiene su velocidad c onstante durante 10 s. Finalmente frena hasta detenerse, lo que logra hacer 3 se gundos ms tarde. a) Determinar a qu distancia del punto de partida se encuentra en t = 10 s. b) Con qu velocidad se mueve en ese instante? c) A qu distancia de la par tida se encuentra cuando empieza a frenar? d) Dnde se detiene respecto al punto de partida? e) Escriba las ecuaciones correspondientes a: a(t), v(t), x(t) para ca da etapa del movimiento. Solucin: Se puede elegir el SR como el cliente guste; un a posibilidad se ilustra en la figura 2.9, donde inicialmente se ubica a la partc ula en el origen O y se empieza a medir el tiempo desde el instante inicial 5 s. a) Se pide evaluar x(t) para t = 10 s, con las condiciones xo = 0, vo = 0, ao = 2m/s2, to = 5s, t1 = 10s, en el tramo A 51

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. 1 x( t ) = x0 + v0 ( t t0 ) + a0 ( t t0 )2 2 x( 10 ) = 0 + 0 + 1 m 2 2 ( 10 5 )2 s 2 = 25m 2 s Figu a 2.9

v( t ) = v0 + a0 ( t t0 ) v( 10 ) = 0 + 2 m ( 10 5 )s = 10 m/s s2 c) Piden evalua x(t) a a t = 20 s, usando esquema y datos del t amo B: x( t ) = x10 + v10 ( t t1 ) + x( 20 ) = 25m + 10 1 a1 ( t t1 )2 2 m ( 20 10 )s + 0 = 125 m s d) Aqu se ide calcula x(t) a a t = 23 s, se conoce vf = 0, t3 =23 s, e o no s e conoce a2, o lo que se debe calcula . 1 x( t ) = x20 + v20 ( t3 20 ) + a2 ( t 20 )2 2 clculo de a2: 52

b) Aho a hay que calcula

v(t) en t = 10 s, usando la ecuacin:

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. v = v2 + a2 ( t t 2 ) en el t amo C 0 = v2 + a2 ( t3 20 ) a2 = v2 t3 20 Pe o v2 = cte en el t amo B v2 = 10 m/s a= 10 m / s 10 m = ( 23 20 )s 3 s2 x( t ) = 125 + 10( 23 20 ) x( 23 ) = 140 m 1 10 ( 23 20 )2 = 140 m 2 3 e) Ecuaciones de movimiento: Pa a el t amo A: 1 x( t ) = x0 + v0 ( t t0 ) + ao ( t t0 )2 2 Con xo = 0, vo = 0, ao = 2m/s2, to = 5s x( t ) = 1 ao ( t 5 )2 x( t ) = ( t 5 )2 2 v( t ) = v0 + a0 ( t t0 ) v( t ) = 2( t 5 ) Las ecuaciones a a los t amos B y C las uede deduci el alumnos de los esulta dos obtenidos en c) y d), donde basta eem laza los valo es en las funciones de osicin y a idez en funcin de t. Ejem lo 2.4. Un auto ing esa en Conce cin al uente nuevo a San Ped o con una a idez de 54 km/h, la que mantiene constante mient as eco e el uente. En el mis mo instante en San Ped o ot o auto ing esa lentamente al uente con una a idez inicial de 10.8 km/h hacia Conce cin, acele ando a 1 m/s2. Si la longitud del ue nte es de 1838 m. Calcula a) la osicin donde se c uzan, b) la a idez del auto de San Ped o en el instante en que se c uzan, qu comenta io uede hace de este e sultado? 53

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. Solucin: Datos: toA = toB = 0, xoA = 0, xoB = 1838m voA = 54 km 1h 1000m m = 15 , aA = 0 s h 3600 s 1km voB = 10.8 km/h = 3 m/s , aB = 1m/s2 El esquema de la figu a 2.10, muest a el sistema de efe encia elegido: Figu a 2.10. a) El movimiento es en una dimensin con a =cte, las ecuaciones a a cada mvil (A e n Conce cin, B en San Ped o) son: 1 2 x A = x0 A + v0 A (t t0 ) + a A (t t0 ) x A = v0 At x A = 15t 2 v A = v0 A + a A (t t0 ) v A = v0 A v A = 15 m/s 1 1 2 xB = x0 B + v0 B (t t0 ) + a B (t t0 ) xB = 1838 3t t 2 2 2 vB = v0 B + a B (t t0 ) vB = 3 t Cuando se c uzan: xA = xB, entonces 15t = 1838 3t 0 ,5t 2 0.5t 2 + 18t 1838 = 0 54

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. t=

El proceso de integracin es grficamente equivalente a encontrar el rea bajo la curv a y = f(x). Se puede usar esta propiedad de las integrales para calcular grficame nte el valor del desplazamiento x y el cambio de rapidez v de una partcula en movim iento. De la definicin de velocidad se tiene: v= x t dx dx = vdt x dx = t v(t )dt dt o 0 x = t v(t )dt 0 t donde v(t) es la velocidad en cualquier instante. Si se conoce la forma analtica de v(t) se puede calcular la integral, pero si no se conoce, se puede evaluar grf icamente y por definicin de integral, la expresin anterior se interpreta como (ver figura 2.11a): desplazamiento = rea bajo la curva v/t Considerando primero el ca so en que la partcula se mueve con rapidez constante vo (significa que su acelera cin es cero), entonces del grfico v/t, que se 55

b) vB (45.2 ) = 3 45.2 = le a du ante todo ese tiem n mucho la mxima e mitida 2.4 CALCULO GRFICO DE x Y

48.2m/s = 173.5 km/h El automvil de San Ped o no uede ace o, o que alcanza a una a idez muy alta, su e ando e y osible de alcanza . v.

18

18 2 + 4(0.5)(1838) t1 = 45.2 s, t 2 = 40.6 s 1 x(45.2 ) = 15( 45.2 ) = 678 m

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. muestra en la figura 2.11a, el desplazamiento es el rea del rectngulo de lados vo y t, esto es: desplazamiento = rea rectngulo x = vo t , con vo = cte. Figura 2.11 a) izquierda, b) derecha. Considerando ahora el caso en que la partcula se mueve con rapidez v(t) funcin lin eal del tiempo (en este caso la aceleracin es constante), o sea v(t) = vo + a(t to), el desplazamiento x de la partcula durante el intervalo de tiempo desde to a t es igual al rea bajo la recta v(t) de la figura 2.11b: desplazamiento = rea rec tngulo + rea tringulo x = vo t + 1 vt 2 1 a( t )2 2 x = vo t + De manera similar se obtiene el calculo grfico para el cambio de rapidez. Conside rar una partcula que se mueve con rapidez vo en el instante inicial to y con rapi dez v en el instante t, que aumenta su aceleracin linealmente con el tiempo, o se a a(t) = ao + k(t - to), donde ao es el valor inicial de la aceleracin 56

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. y k representa el valor de la pendiente de la recta en el grfico aceleracin versus tiempo, que debe tener unidad de medida de m/s3. En este caso estamos extendien do la descripcin del movimiento al caso de una partcula con aceleracin variable, de jando de lado la restriccin impuesta al principio de este captulo. El cambio de ra pidez v de la partcula durante el intervalo de tiempo desde to a t es igual al rea bajo la recta a(t) de la figura 2.12: cambio de rapidez = rea rectngulo + rea tringu lo v = ao t + 1 at 2 Como se propuso, a es una funcin lineal de t de la forma a(t) = ao +k(t - to), en tonces a(t) - ao = k(t - to), o bien a = kt, reemplazando se tiene: v = ao t + 1 k ( t )2 2 Observar que en este caso se tiene un mtodo para describir un movimiento con acel eracin variable (en este caso linealmente) en el tiempo. Figura 2.12 Ejemplo 2.5: En la figura 2.13 se muestra el grfico rapidez/tiempo para una partcu la que se mueve en direccin positiva del eje x. a) calcular el desplazamiento de la partcula, b) hacer el grfico aceleracin/tiempo, c) determinar las ecuaciones de movimiento en cada intervalo de tiempo, d) calcular su posicin en los instantes 5 , 10 y 20 segundos. 57

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. Figura 2.13 Ejemplo 5.

Solucin. a) El desplazamiento es igual al rea (A) bajo la curva v/t, que es conven iente calcular por intervalos de tiempo, entonces: 1 m 0 t < 5s : A1 = x1 = 20 (5s = 50m 2 s m 5 t < 10 s : A2 = x2 = 20 (5s ) = 100m s 1 m m 10 t 20 + 10 (10s ) = 150m 2 s s xT = x1 + x2 + x3 = 50 + 100 + 150 = 300 m b) Los valores de la aceleracin que se pueden calcular de la pendiente del grfico v/t en cada intervalo de tiempo, se indican en el grfico a/t de la figura 2.14. Figura 2.14. Ejemplo 5, parte b). c) Determinacin de las ecuaciones de movimiento, suponiendo que xo = 0 para to = 0. 58

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. 0 t < 5s : 1 2 1 0 x( t ) = vot + at 2 x( t ) = 2t 2 2 1 2 x( t ) = x( 5 ) + vo (t 5 ) + a(t 5 ) x( t ) = 50 + 20(t 5 ) 2 x( t ) = x( 10 ) + vo (t 10 ) + a(t 10 ) 2 1 2 x( t ) = 150 + 20(t 10 ) (t ) 2

5 t < 10s : 10 t 20s : d) La osicin en los instantes edidos (y en cualquie ot o tiem o) se uede calc ula con las ecuaciones de movimiento ante io es a a t = 5s: x(t) = 2t2 x(5) = 2(5)2 = 50 m para t = 10s: x(t) = 50+20(t-5) x(10 )=50+20(10-5) = 150 m para t = 20s: x(t) = 150+20(t-10)- (t-10)2 x(20) = 300 m Ej ercicio: calcular la posicin en los instantes 2.5, 8 y 15 segundos. 2.5 CUERPOS EN CADA LIBRE. Un caso particular de movimiento en una dimensin, es aquel de los objetos que se mueven libremente en direccin vertical cerca de la superficie de la Tierra, que s e conoce como movimiento de cada libre. Galileo (1564 1642), fsico y astrnomo itali ano, fue el primero en estudiar el movimiento de cada libre, al observar que dos cuerpos diferentes, al dejarlos caer desde la torre inclinada de Pisa, llegaban al suelo casi al mismo tiempo. Experimentalmente se demuestra que todos los cuer pos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra, lo hacen con una acel eracin aproximadamente constante. Esta aceleracin, que se llama aceleracin de grave dad, es producida por una fuerza que existe entre cuerpos con masa, llamada fuer za de atraccin gravitacional, cuyo origen ser explicado en el Captulo 9. 59

Cap. 2 Movimiento en una dimensin. r La aceleracin de gravedad, que se denota por g es un vector que apunta hacia el centro de la Tierra, su magnitud aumenta levemente al aumentar la latitud, es d ecir desde el ecuador hacia los polos, y disminuye al aumentar la altura sobre l a superficie terrestre. Su valor medio en la superficie de la Tierra es aproxima damente de 9.8 m/s2. Se dice que un objeto est en cada libre cuando se mueve bajo la influencia slo de l a aceleracin de gravedad, despreciando la resistencia (es otra fuerza que se resi ste al movimiento y que tambin ser estudiada ms adelante) que el aire opone a los c uerpos en movimiento, sin importar la velocidad inicial del objeto. Todos los cu erpos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, o se dejan caer, lo hacen librem ente una vez que se dejan en libertad. La aceleracin que adquieren es siempre la aceleracin de gravedad, vertical hacia abajo, cualquiera sea la direccin inicial d el movimiento. Como el movimiento de cada libre es en una dimensin, con aceleracin constante, se puede adoptar como direccin del movimiento al eje vertical y. Por l o tanto se pueden aplicar las ecuaciones para el movimiento en una dimensin, toma ndo al eje y en la direccin del movimiento de cada, por convencin positivo hacia ar riba. Con esta convencin, un movimiento de cada libre de ascenso o de descenso tie ne una aceleracin g negativa. Tambin se debe tener en cuenta que si el cuerpo asci ende (desciende) su velocidad ser positiva (negativa) en este sistema de referenc ia. De est forma las ecuaciones de movimiento 2.7 y 2.8 se transforman en las ecu aciones para cada libre: 1r r r r 2 y = yo + voy g (t to ) 2 (2.9) v y = voy g (t to )

(2.10) Los g ficos osicin/tiem o, velocidad/tiem o y acele acin/tiem o a a una a tcula q ue se lanza ve ticalmente hacia a iba, desde una osicin inicial yo, que no tien e o que se el suelo, son los que se muest an en la figu a 2.15 60

Ca . 2 Movimiento en una dimensin.

v(t ) = vo gt = 0 vo = gt t = 20m/s = 2s 10m/s 2 b) Se pide evaluar y(t) para t = 2 s 1r 1 r r r y = y o + voy (t t o ) g (t t o ) 2 y = vo t gt 2 2 2 y max = y (2) = (20m/s )(2 s ) 1 2 10m/s 2 (2 s ) = 20m 2 Figu a 2.16 ( ) 61

a) Cuando la

ied a alcanza la mxima altu a v = 0:

Ejem lo 2.6: Tito lanza una ied a hacia a iba desde la te aza de un edificio de 50 m de alto, con una a idez inicial de 20 m/s. Cuando est cayendo la ied a asa justo o el costado del edificio. Calcula a) el tiem o a a que la ied a alcance su altu a mxima, b) la altu a mxima, c) el tiem o que ta da en asa o el unto inicial, d) la velocidad de la ied a en ese instante, e) el tiem o que ta da en llega al suelo, f) la velocidad en ese instante. Solucin: Conside ando un sistema de efe encia que se muest a en la figu a 2.16, con el eje y ositiv o ve tical hacia a iba y el o igen yo = 0 donde comienza el movimiento de la i ed a, con to = 0 y vo = 20 m/s.

Figu a 2.15. G ficos y/t, vy/t y a/t, a a a =

g

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. c) Cuando asa o y = vo t 1 2 1 gt = 0 vo gt t = 0 2 2 2v 1 (2)(20) gt = 0 t = o = = 4s 2 g 10 t1 = 0 y vo el unto inicial y = 0

d) Hay que evalua v a a t = 4s v(t ) = vo gt v(4) = 20 (10)(4) = 20 e) En esta osicin y = 50 m 1 y = vo t gt 2 50 = 20t 5t 2 2 t 2 4t 10 = 0 t1 = 5.7 s y t 2 = 1.7 s Se des el tiem o negativo, o que fsicamente no es osible. f) v(t ) = vo gt v(5.7) = 2 0 (10)(5.7) = 37 m s m s

2.5.1 Efectos de g en las e sonas. La ca acidad de una e sona a a so o ta un a acele acin de ende tanto de la magnitud como de la du acin de sta. Debido a la in e cia de la sang e y de los ganos dilatables, las acele aciones equeas tienen o ca im o tancia si du an slo f acciones de segundo. El lmite de tole ancia se encue nt a ce cano a 10g y de ende de la esistencia est uctu al de los cue os. La ma yo a de las e sonas han ex e imentado acele aciones ve ticales mode adas en los ascenso es. La sang e ci cula o vasos dilatables de mane a que cuando el cue o es acele ado hacia a iba, la sang e se acumula en la a te infe io de ste. Cu ando la acele acin es hacia abajo, aumenta el volumen de sang e en la a te su e io del cue o, a su vez los ganos inte nos no se mantienen 62

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. te su e io del cue o, a su vez los ganos inte nos no se mantienen gidos en su sitio y su des lazamiento du ante la acele acin uede oduci sensaciones desag adables. Cuando un avin des ega, ate iza o ealiza gi os muy idos, est sometido a acele aciones de hasta 9g. El g ado de tole ancia de un humano a esta acele ac in de ende ent e ot os facto es del eso, edad y condicin fsica de la e sona. A mo do de ejem lo, un iloto que en tie a esa 80 kilos, cuando es sometido a este valo de acele acin siente e entinamente que su eso es al ededo de 720 kilos. Esta misma acele acin hace que la sang e fluya hacia los ies del iloto, esto di sminuye el eto no venoso al co azn con lo cual la esin baja y el iloto uede e de la visin tem o almente, a a luego e de la conciencia. Tambin existen acel e aciones negativas du ante el vuelo en la cual el iloto ex e imenta la acele a cin en osicin inve tida. En ese caso la acele acin hace que la sang e fluya al ce eb o, el iloto suf e de alidez y su visin se to na oja. Estudios han dete mina do que los humanos ueden so o ta hasta 9g de acele aciones ositivas y 3g a a acele aciones negativas. Un iloto que viaja en aviones mode nos que incluso al canzan velocidades ce canas a la del sonido, od a detene se sin elig o en una d istancia a oximada de 200 m, e o si esta velocidad fuese unas 100 veces mayo (valo es que ueden se alcanzados en viajes inte laneta ios), la distancia de f enado que necesita a a a no oduci efectos nocivos en sus t i ulantes debe s e de a oximadamente 16000km. La azn de esta dife encia est en que la cantidad t otal de ene ga que se disi a du ante la desacele acin es o o cional al cuad ado de la velocidad, lo que es suficiente a a aumenta la distancia unas 10000 vece s. Po esta azn se han c eado ocedimientos y a a atos es eciales a a otege a los ilotos del cola so ci culato io que a a ece du ante acele aciones ositi vas. P ime o, si el iloto a ieta sus msculos abdominales en g ado ext emo y se inclina hacia adelante a a com imi el abdomen, uede evita la acumulacin de s ang e en los g andes vasos abdominales, evitando as la e dida de conciencia. Ade ms se han diseado t ajes anti g ara revenir el estancamiento de sangre en la arte ms baja del abdomen y las iernas. Este ti o de traje a lica una resin ositiva en iernas y abdomen, inflando com artimientos de aire a medida que aumenta la a celeracin ositiva. Adems el cuer o humano resenta de 1 a 2 cm de tejido blando e xterno, lo que aumenta la distancia de desaceleracin y or lo tanto disminuye la fuerza de im acto, or ejem lo, durante una cada. 63

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. PROBLEMAS. 2.1

Cuando Carlos viaja en una auto ista, asa or la marca de 260 km. Des us sigue m ovindose hasta la marca de 150 km. y luego se devuelve hasta la marca 175 km. Cul e s su des lazamiento resultante res ecto a la marca de 260 km.? R: 85 km. Un gato negro se encuentra en una osicin final de 3.6 m en direccin 240 res ecto a x, des us de realizar un des lazamiento de 120 cm en 135 res ecto de x. Determine su osi cin inicial. R: 4.1m, 256.5 . La luz del Sol llega a la Tierra en 8.3 min. La ra id ez de la luz es de 3 x 108m/s. Calcular la distancia de la Tierra al Sol. R: 1.5 x 1011 m. Usted y un amigo conducen recorriendo 50 km. Usted viaja a 90 km/h y su amigo a 95 km/h. Cunto tiem o tiene que es erarlo su amigo al final del viaje? R: 1.8 min. Ana conduce calle abajo a 55 km/h. Re entinamente un nio atraviesa la calle. Si Ana demora 0.75 s en reaccionar y a licar los frenos, cuntos metros alc anza a moverse antes de comenzar a frenar? R: 11 m. Las condiciones de movimient o de una artcula que se mueve en direcr r r cin x son x o = 7i m, v o = 3i m/s, a = 4i m/s 2 , en el instante inicial t0 = 0. a) Escribir las ecuaciones vectoriale s de la osicin y velocidad del cuer o en cualquier instante. b) Calcular la osi cin del cuer o res ecto al origen a los 10 s de iniciado el movimiento. c) Averig uar si el cuer o se detiene en algn instante. R: b) 223i m, c) no. Una artcula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuacin x(t)=(3t2 2t+3)m. Calcular a ) la ra idez romedio entre t = 2s y t = 3s, y b) la velocidad instantnea en t = 2s y t = 3s, c) la aceleracin romedio entre t = 2s y t = 3s y d) la aceleracin in stantnea en t = 2s y t = 3s. Una artcula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuacin x(t)=2+3t t2, donde x est en metros y t en segundos. Para t=3s, ca lcular a) la osicin de la artcula , b) su velocidad c) su aceleracin. R: a) 2m, b ) 3m/s, c) 2m/s2. 64 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. 2.9 Las ecuaciones de movimiento ara dos artculas A y B que se mueven en la misma d ireccin son las siguientes (x en m y t en s). x A (t ) = 3.2t 2 6t 20 x B (t ) = 29 + 8.5t 4.1t 2 Calcular: a) el instante ara el cual las osiciones de A y B c oinciden, b) las velocidades de A y B en el instante en que se encuentran en la misma osicin.R: a) 3.8s, b) 18.3 m/s, 22.7 m/s. 2.10 Un electrn en un tubo de rayos catdicos acelera de 2x104m/s hasta 6x106m/s en 1.5cm. a) Cunto tiem o tarda el electrn en recorrer esta distancia? b) Cul es su ace leracin? 2.11 Un electrn tiene una velocidad inicial de 3x105m/s. Si ex erimenta u na aceleracin de 8x1014 m/s2, a) Cunto tardara en alcanzar una velocidad de 5.4x105 m/s, y b) qu distancia recorre en ese tiem o? 2.12 Determine la velocidad final de un rotn que tiene una velocidad inicial de 2.35 x 105 m/s, y es acelerado uni formemente en un cam o elctrico a razn de 1.10x1012 m/s2 durante 1.5x10 7s. R: 7.0 x 104 m/s. 2.13 Un jet su ersnico que vuela a 145 m/s acelera uniformemente a razn de 23.1 m/s2 durante 20s. a) Cul es su velocidad final? b) La ra idez del sonido en el aire es 331 m/s. Cuntas veces mayor es la velocidad final del avin com arada con la del sonido? R: a) 607 m/s, b) 1.83 veces la ra idez del sonido. 2.14 Dos autos A y B se mueven en lnea recta en direccin ositiva del eje x. En el instante inicial A est en re oso y acelera con 2m/s2. El movimiento de B es con ra idez c onstante de 20m/s. Calcular: a) la distancia que recorren en un minuto, b) el ti em o que demorara A en igualar la ra idez de B, c) la distancia que los se ara cu ando sus ra ideces son iguales, d) la aceleracin que debera ejercerse sobre B ara que udiera detenerse en 4 s. R: a) 3600m, 1200 m, b) 10 s, c) 100 m, d) 5 m/s2. 65

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. 2.15 Un auto que se mueve con aceleracin constante recorre en 6 s la distancia de 60 m que se ara dos untos; su ra idez al asar or el segundo unto es de 14 m /s. Calcular: a) la aceleracin del auto, b) su velocidad al asar or el rimer unto, c) la osicin donde se encontraba en re oso. R: a) 4/3 m/s2, b) 6 m/s, c) 14 .4m. 2.16 Dos autos viajan a lo largo de una carretera recta. En el instante t = 0h, el auto A tiene una osicin xA = 48 km y una ra idez constante de 36 km/h. Ms tarde en t=0.5h, el auto B est en la osicin xB=0 km con una ra idez de 48 km/h. Res onda las siguientes reguntas: rimero, grficamente, haciendo una grfica de o sicin versus tiem o; segundo, algebraicamente, escribiendo las ecuaciones ara la s osiciones xA y xB en funcin del tiem o t. a) Cul es la lectura del cronmetro cuan do el auto B sobre asa al auto A? b) En qu osicin A es alcanzado or B? c) Cunto tie m o transcurre desde que A estaba en su unto de referencia hasta que B lo alcan za? R: a) 6 h, b) 260 km, c) 7.3 h. 2.17 Un auto y un tren se mueven al mismo ti em o a lo largo de trayectorias aralelas a 25m/s. Debido a una luz roja el auto ex erimenta una aceleracin uniforme de 2.5m/s2 y se detiene. Permanece en re oso durante 45s, des us acelera hasta una velocidad de 25m/s a una tasa de 25m/s2. A q u distancia del tren est el auto cuando alcanza la velocidad de 25m/s, su oniendo que la velocidad del tren se ha mantenido en 25m/s? 2.18 Una artcula arte desde el re oso de la arte su erior de un lano inclinado y se desliza hacia abajo c on aceleracin constante. El lano inclinado tiene 2m de largo, y la artcula tarda 3s en alcanzar la arte inferior. Determine a) la aceleracin de la artcula, b) s u velocidad en la arte inferior de la endiente, c) el tiem o que tarda la artc ula en alcanzar el unto medio del lano inclinado, y d) su velocidad en el unt o medio. R: a) 0.44m/s2, b) 1.3m/s, c) 2.1s, d) 0.94m/s. 2.19 Dos trenes ex reso s inician su recorrido con una diferencia de 5 min. A artir del re oso cada uno es ca az de alcanzar una velocidad mxima de 160km/h des us de acelerar uniformeme nte en una distancia de 2km. a) Cul es la aceleracin de cada tren? b) A que distanci a est el rimer tren cuando el segundo inicia su trayecto? c) Qu tan se arados se e ncuentran cuando ambos viajan a mxima velocidad? 66

Ca . 2 Movimiento en una dimensin.

2.20 Un automvil que se mueve a una velocidad constante de 30m/s ierde velocidad re entinamente en el ie de una colina. El auto ex erimenta una aceleracin const ante de 2 m/s2 (o uesta a su movimiento) mientras efecta el ascenso. a) escriba ec uaciones ara la osicin y la velocidad como funciones del tiem o considerando x = 0 en la arte inferior de la colina, donde vo = 30m/s. b) Determine la distanc ia mxima recorrida or el auto des us de que ierde velocidad. R: a) 30t t2, 30 2t b) 225m. 2.21 Paco manejando a 30m/s entra en un tnel de una sola ista. Des us o bserva una camioneta que se mueve des acio 155m adelante viajando a 5m/s. Paco a lica sus frenos ero uede desacelerar slo a 2m/s2, debido a que el camino est hme do. Chocar? Si es as, calcular a qu distancia dentro del tnel y en qu tiem o ocurre e choque. Si no choca, calcular la distancia de mximo acercamiento entre el auto d e Paco y la camioneta. R: 11.4s, 212m. 2.22 Una bala indestructible de 2cm de la rgo se dis ara en lnea recta a travs de una tabla que tiene 10cm de es esor. La ba la entra en la tabla con una velocidad de 420m/s y sale con una velocidad de 280 m/s. a) Cul es la aceleracin romedio de la bala a travs de la tabla? b) Cul es el ti m o total que la bala est en contacto con la tabla? c) Qu es esor de la tabla se re querira ara detener la bala? 2.23 Un africano que se encuentra a 20 m de un len h ambriento arranca con una ra idez constante de 36 km/hr, alejndose en lnea recta d el len, que est inicialmente detenido. El len tarda 2 segundos en reaccionar cuando em ieza a erseguir al africano con una aceleracin de 4 m/s2, siem re en lnea rec ta hacia el africano, que huye hacia un rbol que se encuentra ms adelante en la mi sma recta. a) Hacer un esquema ilustrativo de la situacin. b) Cul debe ser la mxima distancia a la que debe estar el rbol ara que el africano ueda subirse justo an tes que el len lo alcance? c) Calcular la ra idez con la que el len llega al rbol. R: b) 116m, c) 30.4 m/s. 2.24 Un camin se mueve a 90 km/hr en una carretera recta . Cuando se encuentra a 70 m de un rbol atravesado en la carretera, el conductor se da cuenta de ello, tardando 0.5 s en reaccionar y resionar los frenos del ca min que le im rimen una aceleracin de 5 m/s2. Determinar si el 67

Ca . 2 Movimiento en una dimensin. camin choca o no con el rbol cruzado en la carretera. R: si a 25.5 km/h. 2.25 Dos autos se a roximan uno al otro; ambos se mueven hacia el oeste, uno a 78 km/h y el otro a 64 km/h. a) Cul es la velocidad