3.3.-la elecciÓn de la producciÓn eficiente la maximizaciòn del beneficio

3.3.-LA ELECCIÓN DE LA PRODUCCIÓN EFICIENTE

La Maximizaciòn del Beneficio

Beneficio Econòmico

Una empresa emplea los factores j = 1…,m para producir los bienes i = 1,…n.

Los volùmenes de producción son y1,…,yn.

Los volúmenes de empleo de los factores son x1,…,xm.

Los precios de los bienes son p1,…,pn.

Los precios de los factores son w1,…,wm.

La empresa competitiva

La empresa competitiva toma los precios de todos los bienes p1,…,pn y los precios de todos los factores w1,…,wm como precios dados.

El beneficio económico generado por el plan de producción (x1,…,xm,y1,…,yn) es

p y p y w x w xn n m m1 1 1 1 .


Los volúmenes de produccìón y de empleo de los factores, son flujos.

Por ejemplo, x1 debe ser el número de unidades de trabajo empleadas por hora.

Y y3 debe ser el número de carros producidos por hora.

En consecuencia, el beneficio tambièn es un flujo; por ejemplo, el número de dólares de beneficio obtenidos por hora.


¿Cómo se valora una empresa?

Supongamos que el flujo de beneficios periódicos de una empresa es … y r es la tasa de interès.

Entonces el valor presente del beneficio es

2

210 )1(1 rr

VP


La empresa competitiva busca maximizar su valor presente.

¿Cómo?


Suponga que la empresa está en el corto plazo y entonces

Su función de producción de corto plazo es y f x x ( , ~ ).1 2

x x2 2~ .


Suponga que la empresa está en el corto plazo y entonces

Su función de producción de corto plazo es

El costo fijo de la empresa esy la funciòn de beneficio es

y f x x ( , ~ ).1 2

py w x w x1 1 2 2~ .

x x2 2~ .

22~xwCF


Rectas de Isobeneficio de corto plazo

Una recta de isobeneficio contiene todos los planes de producción que proporcionan el mismo nivel de beneficio.

La ecuación de la recta de isobeneficio es

py w x w x1 1 2 2~ .

Una recta de isobeneficio contiene todos los planes de producción que proporcionan el mismo nivel de beneficio.

La ecuación de la recta de isobeneficio es

Es decir

py w x w x1 1 2 2~ .

ywp

xw xp

11

2 2 ~.


Las rectas de isobeneficio

ywp

xw xp

11

2 2 ~

La pendiente es wp1

Y el intercepto vertical es w x

p2 2~.

Beneficio

crecientey

x1

pw

pendiente 1


Maximización del beneficio en el corto plazo

El problema de la empresa es encontrar el plan de producción que le permita alcanzar la recta de isobeneficio más alta posible, dadas las restriccciones de la empresa en sus planes de producción.

Pregunta: ¿Qué restricciones?

El problema de la empresa es encontrar el plan de producción que le permita alcanzar la recta de isobeneficio más alta posible, dadas las restriccciones de la empresa en sus planes de producción.

Pregunta: ¿Qué restricciones?

Respuesta: La función de producción


x1

PlanesTecnicamenteineficientes

y La función de producción de cortoPlazo para x x2 2~ .

y f x x ( , ~ )1 2


x1

Beneficio

creciente

pw

pendiente 1

y

y f x x ( , ~ )1 2


x1

y

x1*

y*


pw

pendiente 1

x1

yDados p, w1 y el plan de producciòn que maximiza el beneficio es

x1*

y*

x x2 2~ ,

( , ~ , ).* *x x y1 2


pw

pendiente 1

x1

y

Y el máximo beneficio posible es

x x2 2~ ,

( , ~ , ).* *x x y1 2 .

x1*

y*

Maximización del beneficio en el corto plazoDados p, w1 y el plan de producciòn que maximiza el beneficio es

pw

pendiente 1

x1

y

En el plan de producción maximizador del beneficio en el corto plazo, la pendiente de la función de producción de corto plazo y la pendiente de la recta de isobeneficio más alta posible, son iguales.

x1*

y*

pw

pendiente 1

x1

y

),~,( *2

*1

11

yxxen

pw

PMg

x1*

y*

pw

pendiente 1

En el plan de producción maximizador del beneficio en el corto plazo, la pendiente de la función de producción de corto plazo y la pendiente de la recta de isobeneficio más alta posible, son iguales.

111

1 wPMgppw

PMg

1PMgp es el ingreso del producto marginal del factor 1, la tasa a la cual el ingreso se Incrementa cuando se incrementa el empleo del factor 1.

Si entonces el beneficio se incrementa con x1.

Si entonces el beneficio disminuye con h x1.

11 wPMgp

11 wPMgp


Un Caso Pràctico (J. Fernàndez B)

q = k1/3 L1/2 ; p = 216; r = 32; w = 81

a) Si k = 8, determine L*, q* y п, (corto plazo) b) Si K y W son variables, determine K*, W*, q*, п

a) Si K = 8 q = 2 L ½ , condiciòn de 1º orde

P PmgL = w ; 216 * 2 (1/2) L -1/2 = 81 despejando L: 216L-1/2 = 81 216/81 = L1/2 L = 7.11

Caso Pràctico (continùa)

q = k1/3 L1/2 = 81/3 7.11/2 ; q = 5.3

П = pq – rK – wL = 216*5.3 – 32*8 – 81*7.1

П = 320 b) condiciòn de 1º orden: PmgL/pmgK =w/r

PmgL = (1/2)K1/3L-1/2 ; PmgK = (1/3)K-2/3L1/2

Aplicando condicion b)

(1/2)K1/3L-1/2 = 81 ; (3/2)K/L = 81/32

(1/3)K-2/3L1/2 32 K = (162/96)L

K = 1.69L

Caso Pràctico (continùa) Reemplazmos valor de K, en: P. PmgL = w: 216x(1/2)K1/3L-1/2 = 81

216x(1/2) (1.69L)1/3L-1/2 = 81

L = 16

A partir de L = 16 se determina K en:

K = 1.69L = 1.69*16; K = 27

q* = k1/3 L1/2 = 271/3 161/2 = 3*4 = 12 П = pq – rK – wL П = 216*12 – 32*27 - 81*16 = 432

Caso práctico (J Fernandez B) q = k1/3 L1/2 ; r = 32; w = 81; CT = 2700 Hallar q máx; L*, K*

Solución: TMST = Pmgl/PmgK = w/r

S.a. wL + rK = CT

81L + 32K = 2700; 81L + 32 (1.69L)=2700

L* = 20; K* = 33.75

q* = (33.75)1/3 + 201/2 = 14.45

Caso práctico (J Fernandez B) q = k1/3 L1/2 ; r = 32; w = 81; CT = 2700

Dado q = 14.45 Hallar el min CT Solución: TMST = Pmgl/PmgK = w/r

S.a: q =f(L,K) Si sabemos que K = 1.69 L,

reemplazamos en q = k1/3 L1/2

14.45 = (1.69L)1/3 L1/2 ; L = 20; Si K = 1.69 L; luego K = 33.75

CT = 81L + 32K; CT = 81*20 + 32*33.75 CT* = 2700

Un ejemplo: Cobb Douglas

Suponga que la función de producciónde corto plazo es y x x 1

1/321/3~ .

El producto marginal del factor 1 es

.~31 3/1

23/2

11

1 xxxy

PMg

La condición de maximización del beneficio es

.~)(3 1

3/12

3/2*111 wxx

pPMgpIPMg

px x w

3 12 3

21/3

1( ) ~* /

Resolviendo

para x1 da

( )~

.* /xw

px1

2 3 1

21/3

3

Es decir

( )~

* /xpx

w12 3 2

1/3

13

Entonces

xpx

wpw

x121/3

1

3 2

1

3 2

21/2

3 3*

/ /~~ .

xpw

x11

3 2

21/2

3*

/~

Es la demanda decorto plazo dela empresa por el factor 1

Cuando el nivel del factor 2 está fijado en unidades. ~x2

Y el nivel de producción en el corto plazo es

y x xpw

x* *( ) ~ ~ .

1

1/321/3

1

1/2

21/2

3

Estática Comparativa

¿Qué ocurre con el plan de producción que maximiza el beneficio económica de la empresa en el corto plazo, cuando el precio del bien cambia?

ywp

xw xp

11

2 2 ~La ecuación de la recta de isobeneficio es

Así un incremento en p provoca -- la reducción de la pendiente, y -- la reducción del intercepto vertical


x1

y

y f x x ( , ~ )1 2

x1*

y*


pw

pendiente 1

Un incremento en el precio del bien provoca

– Un incremento en el volúmen de producción (la pendiente de la curva de oferta es positiva), y

– Un incremento en el volúmen de empleo del factor variable (la curva de demanda de la empresa por el factor variable se desplaza hacia afuera).


xpw

x11

3 2

21/2

3*

/~

El ejemplo Cobb-Douglas : Cuando

Entoncesy x x 11/3

21/3~

ypw

x* ~ .

3 1

1/2

21/2

Y la oferta de corto plazo es


x1* Se incrementa cuando p se incrementa


y* se incrementa cuando p se incrementa


¿Qué ocurre con el plan de producción maximizador de beneficio de corto plazo de la empresa, cuando el precio del factor variable w1 cambia?


ywp

xw xp

11

2 2 ~

Así un incremento en w1 provoca -- un incremento en la pendiente, y -- no hay cambios en el intercepto vertical.


x1

y

y f x x ( , ~ )1 2

x1*

y*


pw

pendiente 1

Un incremento en w1 provoca

– Una disminución en el volúmen de producción de la empresa (la curva de oferta de la empresa se desplaza hacia adentro), y

– Una disminución en el volumén de empleo del factor variable (la curva de demanda de la empresa por el factor variable tiene pendiente negativa)).


xpw

x11

3 2

21/2

3*

/~

El ejemplo Cobb-Douglas : Cuando

y x x 11/3

21/3~

ypw

x* ~ .

3 1

1/2

21/2Y la función de oferta es


x1* Disminuye cuando w1 se incrementa


y* Disminuye cuando w1 se incrementa


Maximización del beneficio en el largo plazo

Ahora vamos a permitir que la empresa varìe el empleo de todos los factores.

Como no hay factores fijos no hay costos fijos.

x1 y x2 son variables. Pensemos en la empresa como

decidiendo el plan de producción que maximiza el beneficio dado el valor de x2, y entonces variamos x2 para encontrar el nivel más alto posible del beneficio.


ywp

xw xp

11

2 2

Así un incremento en x2 provoca -- ningún cambio en la pendiente, y -- un incremento en el intercepto vertical


x1

y

y f x x ( , )1 2


x1

y

y f x x ( , )1 22

y f x x ( , )1 2

y f x x ( , )1 23

Mayores niveles de empleo del factor 2Incrementan la productividad del factor 1.


x1

y

y f x x ( , )1 22

y f x x ( , )1 2

y f x x ( , )1 23

El producto marginaldel factor 2 disminuye



x1

y

y f x x ( , )1 22

y f x x ( , )1 2

y f x x ( , )1 23


El producto marginaldel factor 2 disminuye


x1

y

y f x x ( , )1 22

y f x x ( , )1 2

y f x x ( , )1 23

y x*( )2

x x1 2*( )

x x1 22*( )

x x1 23*( )

y x*( )2 2y x*( )3 2

011 wPMgp para cada plan de producción de corto plazo.


x1

y

y f x x ( , )1 22

y f x x ( , )1 2

y f x x ( , )1 23

El producto marginaldel factor 2 disminuye…

y x*( )2

x x1 2*( )

x x1 22*( )

x x1 23*( )

y x*( )2 2y x*( )3 2

011 wPMgp


para cada plan de producción de corto plazo.

x1

y

y f x x ( , )1 22

y f x x ( , )1 2

y f x x ( , )1 23

y x*( )2

x x1 2*( )

x x1 22*( )

x x1 23*( )

y x*( )2 2y x*( )3 2


El producto marginaldel factor 2 disminuye…

para cada plan de producción de corto plazo.

011 wPMgp

El beneficio se incrementará mientras el ingreso del producto marginal del factor 2 sea mayor a su precio

En consecuencia, el nivel de empleo maximizador del beneficio del factor 2 debe satisfacer la condición

p MP w 2 2 0.

p MP w 2 2 0.


y es satisfecho en cualquier nivel de corto plazo, así ...

p MP w 1 1 0

p MP w 2 2 0.

p MP w 2 2 0.


El nivel de empleo de los factores en el largo plazo que maximizan el beneficio cumplen

Es decir, el ingreso marginal es igual al costo marginal para todos los factores.

p MP w 2 2 0.p MP w 1 1 0


xpw

x11

3 2

21/2

3*

/~

El ejemplo Cobb-Douglas example: Cuando

y x x 11/3

21/3~

ypw

x* ~ .

3 1

1/2

21/2


py w x w x

ppw

x wpw

x w x

* *

/

~

~ ~ ~

1 1 2 2

1

1/2

21/2

11

3 2

21/2

2 23 3


py w x w x

ppw

x wpw

x w x

ppw

x wpw

pw

w x

* *

/

~

~ ~ ~

~ ~

1 1 2 2

1

1/2

21/2

11

3 2

21/2

2 2

1

1/2

21/2

11 1

1/2

2 2

3 3

3 3 3


py w x w x

ppw

x wpw

x w x

ppw

x wpw

pw

w x

p pw

x w x

* *

/

~

~ ~ ~

~ ~

~ ~

1 1 2 2

1

1/2

21/2

11

3 2

21/2

2 2

1

1/2

21/2

11 1

1/2

2 2

1

1/2

21/2

2 2

3 3

3 3 3

23 3


py w x w x

ppw

x wpw

x w x

ppw

x wpw

pw

w x

p pw

x w x

pw

x

* *

/

~

~ ~ ~

~ ~

~ ~

~

1 1 2 2

1

1/2

21/2

11

3 2

21/2

2 2

1

1/2

21/2

11 1

1/2

2 2

1

1/2

21/2

2 2

3

1

1/2

2

3 3

3 3 3

23 3

427

1/22 2 w x~ .


4

27

3

1

1/2

21/2

2 2pw

x w x~ ~ .

¿cuàl es el nivel de empleo del factor 2que maximiza el beneficio? Resolvemos

0124272

3

1

1/2

21/2

2

~

~x

pw

x w

Y obtenemos ~ .*x xp

w w2 2

3

1 2227


¿y cuál es el nivel de empleo del factor 1que maximiza el beneficio? Sustituímos

xpw

x11

3 2

21/2

3*

/~

xp

w w2

3

1 2227

* en

Para obtener


xpw

p

w w

p

w w1

1

3 2 3

1 22

1/2 3

12

23 27 27

*/

.


¿Y cuál es el nivel de producción queMaximiza el beneficio? Sustituímos

xp

w w2

3

1 2227

* en

Para obtener

ypw

x* ~

3 1

1/2

21/2


ypw

p

w w

pw w

* .

3 27 91

1/2 3

1 22

1/2 2

1 2


Así, dados los precios p, w1 y w2, y la funciónde producción y x x 1

1/321/3

El plan de producción que maximizael beneficio es

( , , ) , , .* * *x x yp

w w

p

w w

pw w1 2

3

122

3

1 22

2

1 227 27 9


Retornos a escala y maximización del beneficio

Si una empresa competitiva presenta retornos decrecientes a escala, entonces tiene sólo un plan de producción que maximiza el beneficio.

x

y

y f x ( )y*

x*

RetornosDecrecientes aescala


Si una empresa competitiva presenta retornos crecientes a escala, entonces no tiene una plan de producción que maximiza el beneficio.


x

y

y f x ( )

y”

x’

RetornosCrecientes aEscala

y’

x”

Beneficio

creciente


En consecuencia, los retornos crecientes a escala son inconsistentes con las empresas en una industria competitiva.


¿Y qué ocurre si la empresa competitiva presenta retornos constantes a escala?


x

y

y f x ( )

y”

x’

RetornosConstantes aEscala

y’

x”

Beneficio

creciente


Es decir, si para cualquier plan de producción la empresa obtiene un beneficio positivo, la empresa puede duplicar el empleo de los factores y producir el doble y obtener el doble de beneficio.


En consecuencia, una empresa que presenta retornos constantes a escala, obteniendo beneficios económicos positivos es inconsistente con una industrisa competitiva.

Por lo tanto, los retornos constantes a escala requieren que las empresas obtengan un beneficio económico cero.


x

y

y f x ( )

y”

x’

RetornosConstantes aEscala

y’

x”

= 0


3.3.-la elecciÓn de la producciÓn eficiente la maximizaciòn del beneficio

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