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Apuntes sobre la ensenanza bilingue de las bases

matematicas para la empresa

Eugenio M. Fedriani Martel,Mara del Carmen Melgar Hiraldo y

Rafael Moyano Franco

Octubre de 2010


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Prologo

Este es un manual sobre las herramientas matematicas mas basicas que debeconocer todo aquel que quiera entender los fenomenos cuantitativos que subyacenen los problemas de ndole economica o empresarial. Como resulta evidente desde unprimer vistazo, todo el contenido teorico esta tanto en espanol como en ingles. Esoes porque esta pensado para estudiantes que tienen que estudiar Matematicas eningles a pesar de que su lengua materna es el espanol y tambien para profesores deMatematicas de habla hispana que quieren explicar su disciplina en ingles. Cuandose afronta una tarea de este tipo, la principal preocupacion del docente es utilizarun lenguaje claro para los alumnos, pero que sea al mismo tiempo lo suficientementecercano al utilizado realmente por los que estudian la misma materia en pases dehabla inglesa.

El ingles es, actualmente, el idioma de los negocios. Por eso, es bastante logicoel interes que despierta la docencia en dicha lengua de una materia que resulta ser

fundamental para quienes se quieren desenvolver en el mundo de la economa o de laempresa. Sin embargo, no creemos que debamos renunciar al uso de nuestra propialengua; por eso, el estudio de los negocios en el idioma anglosaj on debe ir acom-panado del uso correcto y apropiado del espanol, que tambien tiene su importanciacreciente en el mundo de los negocios.

Como se vera, cada tema es presentado primero en su version inglesa, que puedeser expuesta tal cual a los alumnos, y acompanada de una posterior version espanola.Pensamos que esta segunda version de cada tema puede ser util para resolver lasdudas que se puedan presentar durante el estudio e interpretaci on de los conceptosteoricos. Debe tenerse en cuenta que ninguna de las dos versiones es una traducci on

literal de la otra. Es mas, tampoco tratamos de explicar una asignatura en ingles ysu correspondiente, o analoga, en espanol, porque la forma en que se presentan estasmaterias pueden ser muy diferentes y se alterara el currculo de nuestros estudiantesde manera significativa. Conceptos cuya presentacion en ingles suele ser muy distintade la habitual en los pases de habla hispana son: la discusion de los sistemas deecuaciones o el formato de division de polinomios, por poner solo dos ejemplos. Enresumen, aqu se procura exponer Matematicas espanolas en ingles.

El texto carece de demostraciones, que pensamos se pueden encontrar en otroslibros, y tampoco abundan los ejemplos, que sera interesante que se consultaranen otras referencias. Tampoco damos las aplicaciones de los conceptos presentados,

sino solo las herramientas que pueden resultar utiles para otras disciplinas de estudio

v


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vi

dentro de la Administracion y Direccion de Empresas y areas afines como el AnalisisInput-Output, la Estadstica, la Optimizacion, la Microeconoma, la MatematicaFinanciera, la Econometra, etc.

En cuanto al uso del idioma ingles, hay que advertir al lector de que hay diferentesestandares utilizados segun la region y el contexto. En este caso, hemos procuradola mayor correccion que nos ha sido posible, aunque en ocasiones pueda parecerque se utilizan expresiones un tanto forzadas o poco habituales fuera del ambitomatematico. Un ejemplo de esto es el uso generalizado del verbo compute enlugar del mas comun calculate, tambien mas habitual en la calle.

Los autores de este manual no tienen el ingles por lengua materna. Por eso,agradecemos especialmente la colaboracion de la profesora Dra. Mara de la OHernandez Lopez en la revision de la parte en lengua inglesa de este documento.


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Indice general

Some Mathematical Symbols 1

1. Basic Elements on Linear Algebra and Matrix Theory 31.1. Representation of Economic Data through Real Matrices. Types

of Matrices and Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. Types of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Matrix Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. Rank of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5. Inverse of a Square Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Considering Variables of Several Dimensions. Vector Operations. Lin-ear Dependence and Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Vector Operations. Linear Combinations . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Linear Dependence and Independence . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Linear Models of Several Equations. Solving and Interpreting Systemsof Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1. Discussion of a System of Linear Equations . . . . . . . . . . . 91.3.2. Resolution of a System of Linear Equations . . . . . . . . . . 10

1. Elementos basicos de Algebra Lineal y Matricial 111.1. Representacion de datos economicos a traves de matrices reales. Tipos

de matrices y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. Tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.5. Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Consideracion de variables de varias dimensiones: vectores. Opera-ciones. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1. Operaciones con vectores. Combinaciones lineales . . . . . . . 161.2.2. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3. Modelos lineales de varias ecuaciones. Resolucion e interpretacion de

las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

vii


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viii INDICE GENERAL

1.3.1. Discusion de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . 181.3.2. Resolucion de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Real Valued Functions of one Real Variable 212.1. Analysis of Basic Functions in the Context of Economics, Business

and Management. Domain, Continuity and Graphical Representation 212.1.1. Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2. Polynomial Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3. Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.4. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.5. Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.6. Logarithm Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.7. Square Root Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.8. Inverse Functions of the Trigonometric Functions . . . . . . . 272.1.9. Domain of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.10. Continuity of a Real-valued Function of one Real Variable . . 28

2.2. Absolute Variation and Relative Variation . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Computing Derivatives of Functions of One Real Variable. Higher

Derivatives. Economic Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1. Computation of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2. Higher-order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.3. Increasing Functions and Decreasing Functions . . . . . . . . . 32

2.3.4. Concavity and Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2. Funciones reales de una variable 372.1. Analisis de funciones basicas en el ambito de la Economa y la Em-

presa. Dominio, continuidad y representacion grafica . . . . . . . . . . 372.1.1. Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.2. Funciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.3. Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.4. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.5. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.6. Funciones logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.7. Funcion raz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.8. Funciones inversas de trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . 442.1.9. Dominio de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.10. Continuidad de una funcion real de una variable . . . . . . . . 45

2.2. Variacion absoluta y variacion relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3. Calculo de derivadas. Derivadas de orden superior. Interpretacion

economica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.1. Calculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.3. Crecimiento y decrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


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INDICE GENERAL ix

2.3.4. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. Functions of Several Variables 533.1. Real-valued Function. Functions in Economics. Real-valued Func-

tion of Several Variables. Graph of a Function. Some Types of Func-tions According to Their Economic Interpretation. Contour Lines (orLevel Set) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.1. Real-valued Function of Several Variables . . . . . . . . . . . . 533.1.2. Graphical Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.3. Some Types of Functions According to Their Economic Inter-

pretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.4. Contour Lines. Level Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.5. Vector-valued Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.6. Function Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2. Continuity. Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3. Partial Derivatives. Gradient. Marginal Values. Elasticity. Interpre-

tation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.1. Partial Derivatives and Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.2. Marginal Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3.3. Partial Elasticities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4. Homogeneous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Funciones de varias variables 653.1. Funcion real de varias variables. Funcion de utilidad, de produccion y

de costes. Curvas de nivel. Curvas de indiferencia. Isocuantas. Isocostes 653.1.1. Funcion real de varias variables reales . . . . . . . . . . . . . . 653.1.2. Representacion grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.3. Algunos tipos de funciones segun su interpretacion economica 663.1.4. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.5. Funcion vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.6. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2. Continuidad. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3. Derivadas parciales. Gradiente. Efectos marginales y elasticidadesparciales. Interpretacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.1. Derivadas parciales y gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.2. Marginalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3.3. Elasticidades parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4. Funciones homogeneas. Rendimientos a escala. Teorema de Euler . . . 73

4. Integration 774.1. Primitive and Indefinite Integral. Computing Primitives . . . . . . . . 77

4.1.1. A Table of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.2. Rational Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


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x INDICE GENERAL

4.1.3. Integration by Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.1.4. Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2. Definite Integral: Interpretation and Properties. Barrows Rule . . . . 834.3. Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4. Double Integral. Integrals on General Regions . . . . . . . . . . . . . 91

4.4.1. Fubinis Theorem. Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . 924.4.2. Integration on General Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4. Integracion 974.1. Primitiva e integral indefinida. Metodos de calculo de primitivas . . . 97

4.1.1. Algunas integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.1.2. Integrales racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.1.3. Metodo de sustitucion (cambio de variable) . . . . . . . . . . . 1024.1.4. Metodo de integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2. Integral definida: interpretacion y propiedades. Regla de Barrow . . . 1034.3. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.4. Integral doble. Integracion en regiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4.1. Teorema de Fubini. Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.2. Integracion en regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5. Sequences and Series 1175.1. Numerical Sequence. Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2. Numerical Series. Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.3. Convergence Criteria of a Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.4. Sequences of Functions. Power Series. Convergence . . . . . . . . . . 123

5.4.1. Functional Series. Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5. Sucesiones y series 1275.1. Sucesion numerica. Lmite. Sucesion convergente, divergente y os-

cilante. Calculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2. Series numericas: series de terminos positivos . . . . . . . . . . . . . . 1295.3. Suma de series: suma de progresiones aritmeticas y geometricas . . . 1315.4. Sucesion de funciones. Series de potencias. Convergencia . . . . . . . 133

5.4.1. Serie funcional. Serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 133


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Some Mathematical Symbols

Some Logic Symbols: Symbols from Set Theory:Symbol Meaning

= equal sign (or equals sign):identityequality (and equations)definition (and assignment)

and or not= does not equal for all (for any, for each...)

there exists

! there exists exactly one|or : such that implies if... then

or iff if and only if

Symbol Meaning

{a, b} set (a collection of objects),whose members are a and baA abelongs to A

a is an element ofAAB Ais a subset ofB

Ais contained in B Ais a subset ofB or A= B\ setminus

A B Aunion BA B Aintersection B

Other symbols:N = IN: natural numbers (positive integers and zero)

Z = ZZ: integers

Q = IQ: rational numbers (fractions or quotients)

R = IR: real numbers (rational and irrational numbers)R+ = IR+: positive real numbers

a+b: adding aand b (aplus b)

a b: substracting b from a(a minus b)a b= a b: multiplying aand b (the product of two numbers or factors)a

b =a/b(with b= 0): dividing the real number a by the nonzero real number b; a

overb; ais the numerator and bis the denominator

an: raising ato the nth power (ais the base and nis the exponent)

a2: squaring a(a squared)

a3

: cubing a

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Unit 1

Basic Elements on Linear Algebraand Matrix Theory

1.1. Representation of Economic Data throughReal Matrices. Types of Matrices and MatrixOperations

The world of economy is completely full of numbers and figures. And, sometimes,a good management of a set of numbers is crucial to be successful in business. As

it will be soon examined, matrices allow the representation of numerical data evenwhen they can be sorted following two different characteristics. On the other hand,Matrix Algebra is the logical tool to obtain some more objective information on thedata which make up the matrices. In what follows, these basic rudiments will beexplained in order to deal easily and efficiently with any complex data set.

Definition 1.1.1 Areal matrix A of order or size m nis a rectangular arrayofmn real numbers arranged in m rows and n columns. Every aij is called the(i,j)-entryof the matrix A.

Notation 1.1.2 The set of all real matrices of size mn is denoted either by

Mmn(IR) or by

Mm,n(IR). ThusA

Mmn(IR) denotes that A is a real matrix of

size m n, and Acan be represented by:

A=

a11 a12 a1na21 a22 a2n

... ...

. . . ...

am1 am2 amn

= (aij), i= 1, . . . , m;j = 1, . . . , n .

1.1.1. Types of Matrices

Definition 1.1.3 The zero matrix 0 is the matrix whose entries are all 0 (that

is, aij = 0,i= 1, . . . , m,j= 1, . . . , n).3


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4 UNIT 1. BASIC ELEMENTS ON LINEAR ALGEBRA & MATRIX THEORY

Definition 1.1.4 A row matrix is a matrix containing only one row or, conse-quently, a 1

n matrix.

Definition 1.1.5 A column matrix is a matrix containing only one column or,consequently, an n 1 matrix.

Definition 1.1.6 A square matrixis an n n matrix.

Remark 1.1.7 IfA is a square matrix of size n n, it can also be said that thesize ofAisn.

Notation 1.1.8 The set of all square matrices of size n is denoted byM

n(IR).

Definition 1.1.9 Let A= (aij) Mn(IR) be a square matrix of size n. Then:1. Ais said to be a diagonal matrix ifaij = 0,i=j . The aii entries form the

main diagonal ofA.

2. A is the identity matrix of size n if A is a diagonal matrix and aii = 1,i = 1, . . . , n (that is, every entry is zero except those entries in the maindiagonal whose value is 1). The identity matrix of size n is denoted by In orIdn.

3. Ais said to be symmetric ifaij =aji,i, j = 1, . . . , n.4. Ais said to be skew-symmetric ifaij =aji,i, j = 1, . . . , n.5. Ais said to be upper triangularifaij = 0,i > j (that is, all entries below

the main diagonal are zero).

6. A is said to be lower triangular ifaij = 0,j > i (that is, all entries abovethe main diagonal are zero).

Definition 1.1.10 Let A= (aij) Mmn(IR) be an m n matrix. A submatrixofA is defined as any kr matrix obtained by removing mk rows and nrcolumns from A.

1.1.2. Matrix Operations

Definition 1.1.11 (Matrix Addition) Let A, B Mmn(IR) be two real matri-ces of the same size. Then, the sum matrix ofA and B, denoted by A+B, is anew matrix C Mmn(IR) obtained as follows:

cij =aij+bij,

i= 1, . . . , m;

j= 1, . . . , n .


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REAL MATRICES 5

Definition 1.1.12 (Scalar Multiplication) Let IR be a real number and letA

Mmn(IR) be a matrix. The product of the scalar by the matrix A,

denoted by A, is a new matrixC Mmn(IR) obtained as follows:cij = aij,i= 1, . . . , m;j= 1, . . . , n .

Definition 1.1.13 (Matrix Multiplication) Let A Mmn(IR) and B Mnr(IR) be two matrices. The product matrix A by B, denoted by AB , isa new matrixC Mmr(IR) defined as follows:

cij =n

h=1

aihbhj,i= 1, . . . , m;j = 1, . . . , r .

Remark 1.1.14 Note that it is not always possible to find the product of any twogiven matrices,Aand B . Besides, matrix multiplication is not commutative. Indeed,it may occur that the product A B can be found whereas B A is not defined.Definition 1.1.15 (Matrix Transposition) Let A Mmn(IR) be an mnmatrix. The transpose of A is the matrix At = (aij) Mnm(IR) defined asfollows:

aij =aji,i= 1, . . . , n ,j= 1, . . . , m .Proposition 1.1.16 Let A Mn(IR) be a square matrix of size n. It holds that:

1. A is symmetric if and only ifAand its transpose are equal (that is, A= At).

2. A is skew-symmetric if and only if A and the opposite of its transpose areequal (that is, A=At).

1.1.3. Determinants

In order to simplify the explanation, only square matrices of size 2 and 3 areconsidered in this section, although this concept can be easily generalized to largersize matrices.

Definition 1.1.17 Let A = (aij) M2(IR) be a square matrix of size 2. The

determinant ofAis the real number defined as follows:|A|= det(A) =

a11 a12a21 a22 =a11 a22 a12 a21.

Definition 1.1.18 (Sarrus Rule) Let A = (aij) M3(IR) be a square matrix ofsize 3. The determinant ofA is the real number defined as follows:

|A|= det(A) =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=a11 a22 a33+a21 a32 a13+a31 a12 a23a13 a22 a31 a23 a32 a11 a33 a12 a21.

Remark 1.1.19 Determinants are essential to find inverses or ranks of matrices.


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1.1.4. Rank of a matrix

The rank can be defined and computed for matrices of any size, either squareor not. Previously, the concept of minor of size r (with rmin{m, n}) of a matrixA Mmn(IR) must be defined.

Definition 1.1.20 Let A Mmn(IR) be an m n matrix and let r be a naturalnumber so that rmin{m, n}. A minor of size or orderr is the determinant ofa square submatrix of size r ofA.

Definition 1.1.21 Let A Mmn(IR) be an m n matrix. The rankofA is thelargest size of a nonzero minor ofA. It is denoted by rank(A) or rk(A).

Remark 1.1.22 Note that the minor whose size equals the rank of the matrix canbe unique or not, but every minor of a larger size must vanish.

There are several methods to compute the rank of a matrix, but we will onlydescribe here the frame method:

Step 1.IfA is a zero matrix, rk(A) = 0. Otherwise, find a nonzero element ofA. This element is itself a nonzero minor ofA (of size 1). So, rk(A) is at leastr= 1.

Step 2. Add to the nonzero minor (of size r) previously obtained a row anda column both different from those included in the minor (of size r). So weobtain a minor of size r+ 1.

Step 3. If the previously chosen minor of size r+ 1 is nonzero, then add 1 tor (rr + 1), note that rk(A) is at least this new r (the old r+ 1), and runagain Step 2. Otherwise, go to Step 4.

Step 4. If all the rows and columns have already been added to the minor(of size r) and none of these minors (of size r+ 1) is nonzero, rk(A) =r andthe method ends. Otherwise, change the row or the column and obtain a new

minor (of size r+ 1) from the nonzero minor (of size r) and the new row andcolumn, and run again Step 3.

1.1.5. Inverse of a Square Matrix

Definition 1.1.23 A square matrix A Mn(IR) of size n is called invertible ornonsingular if a matrix B Mn(IR) exists, so that the two following conditionsare satisfied: A B = In and B A= In.

The matrix B verifying the above property is called the inverse matrixofA.

Notation 1.1.24 If there exists, the inverse matrix ofA is denoted by A1.


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VECTORS. LINEAR DEPENDENCE AND INDEPENDENCE 7

Proposition 1.1.25 The inverse of a square matrix, if it exists, is unique.

Proposition 1.1.26 Let A Mn(IR) be a square matrix of size n. A is invertibleif and only if|A| = 0.

The problem of finding inverse matrices can be reduced to apply a certain math-ematical formula. However, to state this, a previous concept is needed: the conceptof cofactor matrix.

Definition 1.1.27 Let A= (aij) Mn(IR) be a square matrix of size n. Then:

1. The minor of the aij entry or the (i,j)-minor, denoted by ij, is the de-

terminant of the square submatrix obtained by removing the ith row and the

jth column from A.

2. The cofactor of the aij entry or the (i,j)-cofactor is the real numberAij = (1)i+j ij .

3. The cofactor matrixofAis the matrix C(A) = (Aij).

Proposition 1.1.28 IfA Mn(IR) is an invertible matrix, then the inverse matrixofA, the A1 matrix, can be computed by using the following formula:

A1 = 1

|A| C(A)t.

1.2. Considering Variables of Several Dimensions.Vector Operations. Linear Dependence andLinear Independence

Definition 1.2.1 Let nIN be a nonnegative integer. A vector with n compo-nents is any column matrix v of size n 1. Every entry of the matrix v is calledcomponentor coordinate of the vector v.

Notation 1.2.2 The set of alln-component vectors is denoted by IRn. Thus,vIRnmeans that v is an n-component vector.

Remark 1.2.3 This is not the most general definition for the concept of vector, butit will be used along this subject, because it is quite easy to understand. However,sometimes through the course, vectors of IRn will be treated as row matrices instead

of column matrices.


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1.2.1. Vector Operations. Linear Combinations

Definition 1.2.4 (Vector Addition)

v=

v1...

vn

, w=

w1...

wn

IRn v +w=

v1+w1...

vn+wn

.

Definition 1.2.5 (Scalar Multiplication)

IR, v=

v1...

vn

IRn v=

v1...

vn

.

Definition 1.2.6 (Linear Combination) Let v, v1, . . . , vm IRn be m vectorswith n components each. A vector v is called a linear combinationof the vectorsv1, . . . , vm if it can be written in the form v = 1v1+ +mvm for some scalars1, . . . , mIR.

1.2.2. Linear Dependence and Independence

Definition 1.2.7 A collection of vectors{v1, . . . , vm} IRn is called linearly de-pendent (l.d.) if there exist m scalars 1, . . . , m IR, not all zero, such that1v1+ +mvm = 0 holds.

Definition 1.2.8 A collection of vectors{v1, . . . , vm} IRn is called linearly in-dependent(l.i.) if the equation 1v1+ + mvm= 0, holds only ifi= 0 for alli= 1, . . . , m.

Definition 1.2.9 A vector v IRn is linearly dependent on the set of vectors{v1, . . . , vm} IRn if there exist 1, . . . , mIR so that v= 1v1+ +mvm.

Proposition 1.2.10 Let us consider the set of vectors

{v1, . . . , vm

} IRn and the

matrix A= (v1| |vm) Mnm(IR). Then:1.{v1, . . . , vm} is linearly independent if and only if rk(A) =m.2.{v1, . . . , vm} is linearly dependent if and only if rk(A)< m.3. rk(A) = largest number of l.i. column vectors ofA.

4. rk(A) = largest number of l.i. row vectors ofA.


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SYSTEMS OF EQUATIONS 9

1.3. Linear Models of Several Equations. Solv-

ing and Interpreting Systems of Linear Equa-tions

Let us consider a system ofm linear equations with n unknowns:

a11x1 + + a1nxn = b1a21x1 + + a2nxn = b2

... . . .

... ...

am1x1 + + amnxn = bm

whereaij,biand xjare real numbers, for all i {1, . . . , m} and for allj {1, . . . , n}.Definition 1.3.1 In the above system, the scalars aij are called the coefficientsof the system; bi are the constant terms (commonly called right-hand side)and xj are the unknowns.

Linear systems can also be written using matrices. This way of writing is calledthe matrix form of the system. The matrix form of the above system is thefollowing:

A x= b,where:

A=

a11 a1n...

. . . ...

am1 amn

, x=

x1...

xn

, b=

b1...

bm

So, Ais the coefficient matrixof the system; xis the unknown vector and bisthe right-hand side vector.

1.3.1. Discussion of a System of Linear Equations

Definition 1.3.2 A solution of the system A x = b is any vector x0 IRn

thatsimultaneously verifies the m equations of the system (that is, A x0 = b).

According to the number of solutions, three distinct types of linear systems canbe found:

1. Inconsistent System (I.S.): a system with no solutions.

2. Consistent System: a system having at least one solution. There are twosubtypes of consistent systems:

a) Uniquely Determined System (U.D.S.): it has exactly one solution.


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b) Underdetermined System (U.S.): it has more than one solution. Inthis case, the system has infinitely many solutions.

Definition 1.3.3 The augmented matrix of the linear system Ax = b is thematrix obtained when adding the column b to the right side ofA. It can be denotedbyA as well as by (A|b).

Remark 1.3.4 Notice that if the coefficient matrix of the systemA is of size mn,then the augmented matrix is of size m (n+ 1).

Theorem 1.3.5 (Rouche-Frobenius Theorem) Let us consider the system ofmlinear equations with nunknowns in its matrix form A x= b. Then:

1. The above system is uniquely determined if and only if rk(A) = rk(A) =n.

2. The above system is underdetermined if and only if rk(A) = rk(A)< n.

3. The above system is inconsistent if and only if rk(A)= rk(A).

Remark 1.3.6 Taking into account the above result, only systems having associat-ed matrices (i.e., coefficient and augmented matrices) whose size allows to find theirrank by the reader will be discussed and solved in this course.

1.3.2. Resolution of a System of Linear EquationsThere exist several methods to solve linear systems. Let us remember two by

applying them to the following examples:

1. Substitution method:2x+ 3y= 4x+ 2y= 3

y = 42x

3x+ 2y= 3

y= 42x3x+ 2 42x

3

= 3

y= 42x

3

x=17

y= 10

7

x=17

2. Elimination method:2x+ 3y= 4x+ 2y= 3

2x+ 3y= 42x+ 4y= 6

2x+ 3y = 47y = 10

2x+ 3 107 = 4y = 10

7

x=17y = 10

7

Definition 1.3.7 A linear system is said to be homogeneous if every constantterm equals zero, (that is, b= 0 =).

Remark 1.3.8 Every homogeneous linear system A x= 0 is consistent, having atleast the so called trivial solution, that is, the zero vector 0IRn.

The set of all solutions of a homogeneous linear system is a vector subspace.


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Tema 1

Elementos basicos de Algebra

Lineal y Matricial

1.1. Representacion de datos economicos a travesde matrices reales. Tipos de matrices y ope-raciones

El mundo de la economa esta totalmente invadido por las cantidades y las cifras.Ademas, en ocasiones, la buena ordenacion de un conjunto de numeros es crucial parael exito empresarial. Como se vera enseguida, las matrices permiten la representacionde conjuntos de datos numericos incluso cuando estos puedan ser ordenados envirtud de dos caractersticas diferentes. Por otra parte, el Algebra Matricial es laherramienta logica para poder obtener mas informacion objetiva de los datos quecomponen las matrices. En lo que sigue, trataremos de explicar estos rudimentosbasicos para poder tratar mas facil y eficientemente con conjuntos complejos dedatos.

Definicion 1.1.1 Una matriz real A de orden m n es un conjunto de m nnumeros reales dispuestos en mfilas yn columnas.

Notacion 1.1.2 El conjunto de todas las matrices reales de ordenm nse denotatanto porMmn(IR) como porMm,n(IR). De este modo, si A es una matriz real deordenm n, se denotara por A Mmn(IR) y se podra expresar como:

A=

a11 a12 a1na21 a22 a2n

... ...

. . . ...

am1 am2

amn

= (aij), i= 1, . . . , m;

j = 1, . . . , n .

11


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12 TEMA 1. ELEMENTOS B ASICOS DE ALGEBRA LINEAL Y MATRICIAL

1.1.1. Tipos de matrices

Definicion 1.1.3 Una matriz se dice nula si son ceros todos los elementos de lamisma (es decir, aij = 0,i= 1, . . . , m,j= 1, . . . , n).

Definicion 1.1.4 Una matriz se dicematriz filasi sus elementos estan dispuestosformando una unica fila. Esto es equivalente a decir que la matriz tiene orden 1 n.

Definicion 1.1.5 Una matriz se dice matriz columna si sus elementos estan dis-puestos formando una unica columna. Esto es equivalente a decir que la matriz tieneordenm 1.

Definicion 1.1.6 Una matriz se dice cuadrada si m= n.

Nota 1.1.7 Si A es una matriz cuadrada de orden n n, entonces se puede decirque el orden de Aes n.

Notacion 1.1.8 El conjunto de las matrices cuadradas de orden n se denota porMn(IR).

Definicion 1.1.9 Sea A = (aij) Mn(IR) una matriz cuadrada de orden n. En-

tonces se dice que:

1. A es una matriz diagonal si aij = 0,i= j. Los elementos aii forman ladiagonal principalde A.

2. A es la matriz identidad de orden n si es diagonal y aii = 1,i = 1, . . . , n(es decir, todos los elementos de la matriz son cero, salvo los de la diagonalprincipal que son 1). La matriz identidad de orden n se denota por In o I dn.

3. Aes simetrica si aij =aji,i, j= 1, . . . , n.

4. Aes antisimetrica si aij =aji,i, j = 1, . . . , n.5. A es triangular superior si aij = 0,i > j (es decir, son cero todos los

elementos que quedan por debajo de la diagonal principal).

6. A es triangular inferior si aij = 0,j > i (es decir, son cero todos loselementos que quedan por encima de la diagonal principal).

Definicion 1.1.10 SeaA= (aij) Mmn(IR) una matriz de ordenmn. Se llamasubmatrizde A a cualquier matriz de orden k r obtenida al eliminarm k filasy n

r columnas de la matriz A.


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MATRICES REALES 13

1.1.2. Operaciones con matrices

Definicion 1.1.11 (Suma de matrices) Sean A, B Mmn(IR) dos matricesreales del mismo orden. La matriz suma de A y B, que denotaremos por A+B,es una matriz C Mmn(IR) que se obtiene como sigue:

cij =aij+ bij,i= 1, . . . , m;j = 1, . . . , n .

Definicion 1.1.12 (Producto por un escalar) Sean un numero real IR yuna matriz A Mmn(IR). Elproducto del escalar por la matriz A, que sedenota por A, es una matriz C Mmn(IR) obtenida como sigue:

cij = aij,i= 1, . . . , m;j= 1, . . . , n .

Definicion 1.1.13 (Producto de matrices) Sean dos matrices A Mmn(IR)y B Mnr(IR). La matriz producto de A por B, que se denota por A B, esuna matriz C Mmr(IR) definida como sigue:

cij =n

h=1

aihbhj,i= 1, . . . , m;j = 1, . . . , r .

Nota 1.1.14 Notese que el producto de dos matrices A y B no siempre existe yque no es conmutativo. De hecho, puede existir el producto A B y no existirB A.

Ejemplo 1.1.15 Considerense las matrices A=

2 10 1

y B=

1 2 31 2 3

.

Si se realiza el producto A B, el resultado es B, a pesar de que A no es la matrizidentidad. Ademas, se comprueba facilmente que no existe el producto B A.

Definicion 1.1.16 (Trasposicion de matrices) Sea A Mmn(IR) una matrizde orden m n. La matriz traspuesta de A es la matriz At = (aij) Mnm(IR)definida como sigue:

aij =aji,i= 1, . . . , n ,j= 1, . . . , m .

Proposicion 1.1.17 Sea A Mn(IR) una matriz cuadrada de orden n. Entonces:

1. A es una matriz simetrica si y solo si la matrizA coincide con su traspuesta(esto es, A= At).

2. A es una matriz antisimetrica si y solo si la matriz Acoincide con la opuestade su traspuesta (esto es, A=

At).


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1.1.3. Determinantes

Solo se consideraran matrices cuadradas de orden 2 y 3, aunque el conceptopodra definirse para matrices cuadradas de ordenes superiores.

Definicion 1.1.18 Sea A = (aij) M2(IR) una matriz cuadrada de orden 2. Eldeterminante deAes el siguiente numero real:

|A|= det(A) = a11 a12a21 a22

=a11 a22 a12 a21.Definicion 1.1.19 (Regla de Sarrus) Sea A = (aij) M3(IR) una matriz cua-drada de orden 3. El determinante de Aes el siguiente numero real:

|A|= det(A) =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=a11 a22 a33+a21 a32 a13+a31 a12 a23a13 a22 a31 a23 a32 a11 a33 a12 a21.

Nota 1.1.20 El concepto de determinante sera esencial para el calculo de rango yde inversa de matrices.

1.1.4. Rango de una matriz

El rango se puede definir y calcular para cualquier matriz, sea esta cuadrada ono. Para ello, previamente debemos dar el concepto de menor de orden r de unamatriz A Mmn(IR), con r mn{m, n} (es decir, que r logicamente debe sermenor o igual que el numero de filas y que el numero de columnas de la matriz).

Definicion 1.1.21 Sea A Mmn(IR) una matriz de orden mn y sea r unnumero natural tal que r mn{m, n}. Se llaman menores de orden r a losdeterminantes de las submatrices de orden r de A.

Definicion 1.1.22 SeaA Mmn(IR) una matriz de orden m n. Elrangode Aes el mayor orden de un menor no nulo que se puede extraer de A. Se denotara porrg(A).

Nota 1.1.23 Debe tenerse en cuenta que no tiene por que haber un unico menorcuyo orden sea el rango de la matriz. Lo que s tiene que ocurrir es que todos losmenores de orden superior tienen que ser cero.

Para el calculo del rango de una matriz emplearemos el metodo de orlado quedescribiremos paso a paso a continuacion:

Paso 1. Hallar un menor no nulo de orden r (lo habitual es uno de orden 1

o 2).


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VECTORES. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA 15

Paso 2.Anadir a ese menor una fila y una columna distintas a las utilizadas.De este modo se obtiene un menor de orden r+ 1.

Paso 3.Si encontramos un menor no nulo de orden r + 1, repetimos el Paso 2con dicho menor. Si no encontrasemos ningun menor de orden r+ 1 no nulo,entonces todos los menores de dicho orden son cero y el rango de la matrizresulta ser r.

1.1.5. Inversa de una matriz cuadrada

Definicion 1.1.24 Una matrizA Mn(IR) cuadrada de ordennse dice invertibleoinversiblesi existe una matrizB

Mn(IR) tal que se verifican las dos condiciones

siguientes: A B=In y B A= In.A una matriz B con la propiedad anterior se denomina matriz inversa de A.

Notacion 1.1.25 En caso de existir, la matriz inversa de Ase denota por A1.

Proposicion 1.1.26 La inversa de una matriz cuadrada, si existe, es unica.

Proposicion 1.1.27 Sea A Mn(IR) una matriz cuadrada de orden n. La matrizA es invertible si y solo si|A| = 0.

Existe un resultado que permite reducir el calculo de matrices inversas al uso deuna formula matematica. No obstante, para ello es necesario definir el concepto dematriz adjunta.

Definicion 1.1.28 Sea A = (aij) Mn(IR) una matriz cuadrada de orden n.Entonces se llama:

1. Menor complementario del elemento aij al determinante de la submatrizobtenida al eliminar en A la fila i y la columna j. Se denota por ij.

2. Adjunto del elemento aij al producto Aij = (1)i+j ij.

3. Matriz adjunta de Aa la matriz Adj(A) = (Aij).

Proposicion 1.1.29 SiA Mn(IR) es una matriz invertible, la matrizA1, inversade A, puede calcularse como:

A1 = 1

|A|Adj(A)t.


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1.2. Consideracion de variables de varias dimen-

siones: vectores. Operaciones. Dependencia eindependencia lineal

Definicion 1.2.1 Sea nIN un numero natural. Se llamara vector con n com-ponentesa cualquier matriz columna v de orden n 1. Cada uno de los elementosde la matriz v se denomina componente o coordenada del vector.

Notacion 1.2.2 El conjunto formado por todos los vectores con n componentesse denota por IRn. De este modo, si v es un vector con n componentes, este sedenotara como v

IRn.

Nota 1.2.3 Esta no es la definicion mas general y abstracta que existe para elconcepto de vector, pero es la que emplearemos a lo largo del curso.

De hecho, en ocasiones trabajaremos con los vectores de IRn como matrices filasen vez de matrices columnas.

1.2.1. Operaciones con vectores. Combinaciones lineales

Definicion 1.2.4 (Suma de vectores)

v=

v1...vn

, w=w1...

wn

IRn v +w=v1+w1...

vn+wn

.

Definicion 1.2.5 (Producto por escalar)

IR, v=

v1...

vn

IRn v=

v1...

vn

.

Definicion 1.2.6 (Combinacion lineal)Sean v, v1, . . . , vm IRn vectores con n componentes. Se dice que v es una com-binacion lineal de los vectores v1, . . . , vm si existen 1, . . . , m IR tales quev= 1v1+ +mvm.

1.2.2. Dependencia e independencia lineal

Definicion 1.2.7 Un conjunto de vectores{v1, . . . , vm} IRn se dicelinealmentedependiente (l.d.) si existe un conjunto de escalares 1, . . . , m IR, no todosnulos, tales que 1v

1

+

+mvm

= 0.


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SISTEMAS DE ECUACIONES 17

Definicion 1.2.8 Un conjunto de vectores{v1, . . . , vm} IRn se dicelinealmenteindependiente (l.i.) si para cualquier conjunto de escalares 1, . . . , m

IR tales

que 1v1+ +mvm= 0, se verifica i= 0, para todo i= 1, . . . , m.Definicion 1.2.9 Un vector v IRn depende linealmente del conjunto de vec-tores{v1, . . . , vm} IRn si existen1, . . . , mIR tales quev = 1v1+ + mvm.Proposicion 1.2.10 Sea el conjunto de vectores v1, . . . , vm IRn y sea la matrizA= (v1| |vm) Mnm(IR). Entonces:

1.{v1, . . . , vm} es linealmente independiente si y solo si rg(A) =m.2.{v1, . . . , vm} es linealmente dependiente si y solo si rg(A)< m.

3. rg(A) = numero maximo de vectores columna de A l.i.4. rg(A) = numero maximo de vectores fila de A l.i.

1.3. Modelos lineales de varias ecuaciones. Reso-lucion e interpretacion de las soluciones

Sea un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas:

a11x1 + + a1nxn = b1a21x1 + + a2nxn = b2... . . . ... ...am1x1 + + amnxn = bm

donde aij, bi y xj son numeros reales, para todo i {1, . . . , m} y para todo j{1, . . . , n}.Definicion 1.3.1 En el sistema anterior, los escalaresaij son denominados loscoe-ficientes del sistema; losbi, losterminos independientesy losxj, lasincogni-tas.

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden expresarse empleando matrices. Esta

forma de expresar un sistema recibe el nombre de expresion matricial del sis-tema. En el caso del sistema que tenemos al comienzo de la secci on, su expresionmatricial es la siguiente:

A x= b,donde:

A=

a11 a1n...

. . . ...

am1 amn

, x=

x1...

xn

, b=

b1...

bm

De este modo, A se denomina matriz de coeficientes del sistema; x, vector de

incognitasy b, vector de terminos independientes.


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1.3.1. Discusion de sistemas de ecuaciones lineales

Definicion 1.3.2 Una soluciondel sistema A x= b es cualquier vector x0IRnque verifique las mecuaciones del sistema (esto es, A x0 = b).

El numero de soluciones de un sistema permite distinguir tres clases distintas desistemas:

1. Sistema incompatible (S.I.):aquel que no tiene ninguna solucion.

2. Sistema compatible: aquel que tiene alguna solucion. Este se subdivide en:

a) Sistema compatible determinado (S.C.D.): La solucion es unica.

b) Sistema compatible indeterminado (S.C.I.): La solucion no esunica. En este caso, hay infinitas soluciones para el sistema.

Definicion 1.3.3 Se denomina matriz ampliada del sistema de ecuaciones linea-les A x= b a la matriz resultante de anadirle a A la columna b. Se puede denotartanto por A como por (A|b).

Nota 1.3.4 Notese que si la matrizA de coeficientes del sistema es de ordenm n,entonces la matriz ampliada es de orden m (n+ 1).

Teorema 1.3.5 (Teorema de Rouche-Frobenius) Sea el sistema de m ecua-ciones con n incognitas expresado matricialmente por A x= b. Entonces:

1. El sistema es compatible determinado si y solo si rg(A) = rg(A) =n.

2. El sistema es compatible indeterminado si y solo si rg(A) = rg(A)< n.

3. El sistema es incompatible si y solo si rg(A)= rg(A).

Nota 1.3.6 En vista del resultado anterior, solo se discutiran y resolveran sistemascuyas matrices asociadas (i.e. la de coeficientes y la ampliada) tengan ordenes que

permitan el calculo de sus rangos.

1.3.2. Resolucion de sistemas de ecuaciones

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen varios metodos. Recor-daremos tres de ellos, indicando un ejemplo de cada uno:

1. Metodo de igualacion:

2x+ 3y = 4

x+ 2y = 3

y= 42x3

y= 3+x

2

42x3

= 3+x2

y= 3+x

2

x=17

y = 3+x

2

x=17

y= 10

7


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SISTEMAS DE ECUACIONES 19

2. Metodo de sustitucion:

2x+ 3y = 4x+ 2y = 3

y= 42x3x+ 2y= 3

y = 42x3x+ 2 42x

3

= 3

y= 42x3x=1

7

y= 107x=1

7

3. Metodo de reduccion:2x+ 3y= 4x+ 2y= 3

2x+ 3y= 42x+ 4y= 6

2x+ 3y= 47y= 10

2x+ 3 10

7 = 4

y= 107

x=1

7

y= 107

Definicion 1.3.7 Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogeneo si losterminos independientes son iguales a cero (esto es, b= 0 = ).

Nota 1.3.8 Los sistemas de ecuaciones lineales homogeneos, A x= 0, tienen siem-pre como solucion al vector 0IRn.

El conjunto de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogeneoforman un subespacio vectorial.


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Unit 2

Real Valued Functions of one RealVariable

2.1. Analysis of Basic Functions in the Context ofEconomics, Business and Management. Do-main, Continuity and Graphical Representa-tion

Functions are the basic components on which mathematicians build deterministictheories. That is, a function consists of obtaining the result which comes from aparticular situation. The situation is usually described by values which take thevariables of the model; however, the final result depends even more on the law orfunction definition.

Definition 2.1.1 A real-valued function of a real variable, f :AIRIR,is a relation xIRf(x)IR that associates each real number xA to anotherreal numberf(x), called thevalue off atxor theimage ofx underf, and readas f ofx.

Example 2.1.2 Some examples of real-valued functions are the following:

f1: IRIR, with xf1(x) = 1;f2: IRIR, with xf2(x) =x3 2x+ 1;f3: IRIR, with xf3(x) = 2x 1;f4: IRIR, with xf4(x) = x

3 1x+ 1

.

Definition 2.1.3 Let f : IRIR be a real-valued function of a real variable. Thegraphoffis the subset of IR2 defined as:

(x, f(x))IR2

|x

A .

21


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22 UNIT 2. REAL VALUED FUNCTIONS OF ONE REAL VARIABLE

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figure 2.1: Graphical representation ofy = 1 (in red) and y= 2x 1 (in blue).

Remark 2.1.4 In a practical sense, the graph offis the graphical representationof the set in the above definition.

The graphical representation of IR2 as a set of points on the plane allows us to geta visual picture of the real-valued functions of one real variable. To do this, drawingpreviously a pair of coordinate perpendicular axes is advisable. The horizontal axis(usually used for representing the real variable values) is also called the abscissa

axis or the x-axis, whereas the vertical one (usually used for representing the setof values that fassumes) is also called the ordinate axis or the y-axis. Once thecoordinate axes are drawn, every pair (x, f(x)) of the graph offis plotted as a pointon the plane so that its x-coordinateis x and its y-coordinateis f(x). Although thiscan seem too abstract, it is easier to understand from the following examples.

2.1.1. Linear Functions

Definition 2.1.5 Linear functionsare those real-valued functions of one variablegiven by the following formula:

f : IRIR such that xf(x) =a x+b, for some a, bIR.Two linear functions are shown in Figure 2.1.

2.1.2. Polynomial Functions

Definition 2.1.6 Polynomial functions are those real-valued functions of onevariable satisfying the following formula:

f : IRIR, such that xf(x) =an xn +an1 xn1 + +a1 x+a0,with ai

IR,

i= 0, . . . , n .


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BASIC FUNCTIONS 23

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figure 2.2: Graphical representation ofy = x3 2x + 1 (in red) and y= x2 + x 1(in blue).

Therefore, a polynomial function is a function defined by evaluating a polynomial(f(x)IR[x]). Some polynomial functions are shown in Figure 2.2.

The simplest polynomial functions after the linear ones are the quadratic func-tions, whose graphical representations are parabolas and whose formulae are degree2 polynomials (also called second degree polynomials or quadratic polynomials):

f : IRIR, such that xf(x) =a x2 +b x+c, with a, b, cIR and a= 0.

The function in blue in Figure 2.2 is a quadratic one.

2.1.3. Rational Functions

Definition 2.1.7 Rational functionsare those real-valued functions of one vari-able whose formulae are quotients of polynomials, that is:

f : IRIR, such that xf(x) = P(x)Q(x)

, with P(x), Q(x)IR[x].

Some polynomial functions are shown in Figure 2.3.

2.1.4. Trigonometric Functions

Definition 2.1.8 Trigonometric functions are the following real-valued func-tions of one variable:

Sine function: sin : IRIR, such that xsin(x).


34/145


-10

-5

0

5

10

-4 -2 0 2 4

Figure 2.3: Graphical representation ofy = x32x

2(x25) (in red) and y= 1x

(in blue).

Cosine function: cos : IRIR, such that xcos(x).

Tangent function: tan : IRIR, such that xtan(x) = sin(x)cos(x)

.

Cosecant function: csc : IRIR, such that xcsc(x) = 1sin(x)

.

Secant function: sec : IRIR, such that xsec(x) = 1cos(x)

.

Cotangent function: cot : IR IR, such that x cot(x) = cos(x)sin(x)

= 1tan(x)

(this equality holds for cos(x)= 0).

Some trigonometric functions are shown in Figure 2.4.

2.1.5. Exponential Functions

Definition 2.1.9 Exponential functions are those real-valued functions of onevariable given by the following formula:

f : IRIR, with xf(x) =ax, where aIR+ \ {1}.

Two different families of exponential functions are usually considered, thosef(x) = ax, for any a > 1, which are monotonically strictly increasing, and thosef(x) =ax, for any 0< a


35/145

BASIC FUNCTIONS 25

-3

-2

-1

0

1

2

3

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figure 2.4: Graphical representation of sine (red), cosine (blue) and tangent (green)functions.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Figure 2.5: Graphical representation ofy= 2x (in red) and y=12

x(in blue).


36/145


-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 0 1 2 3 4

Figure 2.6: Graphical representation ofy= ln x(in red) and y= ln 1e

x(in blue).

2.1.6. Logarithm Function

Definition 2.1.10 Natural logarithm function is the real-valued function ofone variable given by the formula:

f : IRIR, such that xf(x) = ln(x).

Remark 2.1.11 Recall that the natural logarithm function is the inverse functionof the base-e exponential function (where eis Eulers number), that is:

y = ln(x)ey =x.

Remark 2.1.12 In a general way, the base-alogarithm function can be defined as:

y = loga(x)ay =x,

for anya >0, a= 1. Therefore, the base-alogarithm function is the inverse function

of the y= ax function.

The natural logarithm function (red) and the base- 1e

logarithm function (blue)can be seen in Figure 2.6.

2.1.7. Square Root Function

Definition 2.1.13 The square root function f : [0, +)[0, +), such thatxx, is defined as the inverse function of the square function g : [0, +)IR, such that x

x2.


37/145

BASIC FUNCTIONS 27

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 0 1 2 3 4

Figure 2.7: Graphical representation ofy=

x(in red) and y =x(in blue).

Remark 2.1.14 Notice that the square functiong(x) =x2 is a two-to-one function,that is, for any image y there are two real numbers so that their image under g isy. Hence, the inverse function ofg, g1(x) =x, cannot be defined as a functionwith a unique output for each input (indeed it would have two outputs, oppositeeach other) unless a determined sign is previously chosen. Doing this, two functionsare obtained: the one in Definition 2.1.13 and y =x. Both functions can be seenin Figure 2.7 (the first one in red and the second one in blue).

2.1.8. Inverse Functions of the Trigonometric Functions

Definition 2.1.15 Arc functions are those inverse functions (in a similar senseto that in the square root function) of the trigonometric functions.

The three most important arc functions are the following:

Arcsine function is the inverse function of the sine function, given by thefollowing formula:

f : [1, 1]IR, such that xarcsin(x).Arccosine function is the inverse function of the cosine function, given bythe following formula:

f : [1, 1]IR, such that xarccos(x).Arctangent function is the inverse function of the tangent function, givenby the following formula:

f : IR

2 ,

2 , such that xarctan(x).


38/145


2.1.9. Domain of a Function

Definition 2.1.16 Let f : IR IR be a real-valued function of one variable. Theset of all the real numbers having any image under fis called thedomainoffandit is denoted by Dom(f) ={xIR| f(x)}.

The set of all the outputs off is called the image or the range offand it isdenoted by Im(f) = Rag(f) ={f(x)|xDom(f)}.Proposition 2.1.17 Let f : IRIR and g : IRIR be two real-valued functionsof one variable each, and let IR be a real number. It holds that:

a) f+g : IR IR, such that x f(x) +g(x) = Dom(f+g) = Dom(f)Dom(g).

b) fg: IRIR, such that xf(x) g(x) =Dom(fg) = Dom(f)Dom(g).c) f : IRIR, such that x f(x) =Dom( f) = Dom(f).d) f

g : IR IR, such that x f(x)

g(x) =Dom( f

g) = (Dom(f)Dom(g))\ {x

IR|g(x) = 0}.e) gf: IR IR, such that x g(f(x)) = Dom(gf) = {x Dom(f)| f(x)

Dom(g)}.Proposition 2.1.18 The following statements hold:

1. The domain of linear, polynomial and exponential functions is IR.

2. The domain of logarithm functions is IR+.

3. The domain of sine and cosine functions is IR.

4. The domain of tangent function is IR \ {2

+k |k Z}.5. The domain of the function n

x: IRIR, such that x nx, depends on n:

Dom( n

x) =

{xIR|x0}, ifn is even;IR, ifn is odd.

2.1.10. Continuity of a Real-valued Function of one RealVariable

Definition 2.1.19 Let us consider f : IR IR and a Dom(f). The function fis said to be continuous at the point a if the following statement holds: >0, >0 such that|x a|< xDom(f) |f(x) f(a)|< .

The above statement means that the limit of the function fat the point a (oras xtends to a) isf(a).

A functionfis said to becontinuous on the setADom(f) if it is continuousat every element ofA.


39/145

VARIATION RATES 29

A continuous function on a closed bounded interval is also bounded on thisinterval. A bounded function on a set is a function such that there exists a realnumber greater than the image of any element of this set under the function (thisreal number is called upper bound) and another real number less than any image(called lower bound). Existing the first real number, the function is called boundedabove and if the second one exists, the function is bounded below. It is evidentthat a function is bounded on a set if and only if it is simultaneously bounded aboveand below.

This property of continuous functions is quite useful to graphically check whethera function is continuous.

Proposition 2.1.20 Let f : IR

IR and g : IR

IR be two continuous functionsat aDom(f) Dom(g). It holds:

1. The function f+g is continuous at a.

2. The function f g is continuous at a.

3. The function fis continuous at a, for all IR.

4. Ifg(a)= 0, then the function fg

is continuous at a.

5. Ifg is continuous at f(a), then the function g fis continuous at a.

2.2. Absolute Variation and Relative Variation

Definition 2.2.1 Letf : IRIR be a real-valued function of one real variable andlet us consider a, bDom(f). The absolute variation off(x) between a and b, alsocalled absolute rate difference or absolute growth rate, is the difference: f(b) f(a).

Definition 2.2.2 Letf : IRIR be a real-valued function of one real variable andlet us consider a, b Dom(f). The relative variation of f(x) between a and b,also called relative rate difference or relative rate of change of a function,is the quotient: f(b)f(a)

f(a) .

Remark 2.2.3 Although there are some other ways to interpret these previous con-cepts, both definitions are the most commonly accepted in the field we are studying.Anyway, variation rates (absolute variation and relative variation) are closely re-lated to two concepts that we are about to deal with: derivatives and growth of afunction.


40/145


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figure 2.8: Graphical representation ofy =x3 2x+ 1 (blue) and its tangent liney=x 3 (red) at the point (1, 2).

2.3. Computing Derivatives of Functions of OneReal Variable. Higher Derivatives. EconomicInterpretation

Definition 2.3.1 Let f : IRIR be a real-valued function of one real variable andlet us consider a Dom(f). The function f is said to be differentiable at thepointaif the tangent line to the graph off at aexists (see Figure 2.8).

The slope of this tangent line is called thederivativeoffata and it is denoted

byf(a) or df

dx(a).

Proposition 2.3.2 Let f : IR IR be a differentiable function at the point aDom(f). The tangent line to the graph of function fata has the following equation:y f(a) =f(a) (x a).

Example 2.3.3 Let f : IRIR be the function given by x |x|=x, ifx


41/145

DERIVATIVES 31

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figure 2.9: Graphical representation of the function y=|x|.

Function Derivative

f(x) =c, cIR f(x) = 0,xIRf(x) =xn, nIN f(x) =n xn1,xIR

f(x) =xn,

n

IN f(x) =n

xn1,

x

IR\ {

0}

f(x) =xn, nIR f(x) =n xn1,x >0f(x) = ln(x) f(x) = 1

x,xIR+

f(x) = ex f(x) = ex,xIRf(x) =ax, aIR+ f(x) =ax ln(a),xIR

f(x) = sin(x) f(x) = cos(x),xIRf(x) = cos(x) f(x) =sin(x),xIRf(x) = tan(x) f(x) = 1 + tan2(x) = 1

cos2(x),

x

IR

\ {2

+k

|k

Z

}f(x) = arcsin(x) f(x) = 11x2 ,x(1, 1)

f(x) = arccos(x) f(x) = 11x2 ,x(1, 1)

f(x) = arctan(x) f(x) = 11+x2

,xIRh(x) =f(x) +g(x) h(x) =f(x) +g(x)

h(x) =c f(x), cIR h(x) =c f(x)h(x) =f(x) g(x) h(x) =f(x) g(x) +f(x) g(x)

h(x) =f(x)

g(x)

h(x) =f(x) g(x) f(x) g(x)

[g(x)]2

, ifg(x)

= 0


42/145


Proposition 2.3.4 (Chain Rule) Let f : IRIR be a differentiable function atxand letg : IR

IR be a differentiable function at f(x). Theng

f is differentiable

at x and its derivative can be computed as follows:

(g f)(x) =g (f(x)) f(x).

Example 2.3.5 If h(x) = sin(x2), then h(x) = cos(x2)2x. Here f(x) = x2 andg(x) = sin(x).

2.3.2. Higher-order Derivatives

Definition 2.3.6 Letf : IRIR be a differentiable function at aDom(f) whosederivative is also differentiable at a. The second derivative off at a is the real

number defined as follows:

f(a) =d2f

dx2(a) =

d

dx

df

dx

(a).

In general, iffis differentiable at aDom(f) and its first n 1 derivatives aredifferentiable at a, then the n-order derivative off at ais the real number:

fn)(a) =dnf

dxn(a) =

d

dx

dn1fdxn1

(a).

2.3.3. Increasing Functions and Decreasing FunctionsDefinition 2.3.7 Letf :AIRIR be a real-valued function of one real variable.f is said to be an increasing function on Aif the next condition holds:

x1, x2A, x1< x2f(x1)f(x2).A function f(x) is said to be strictly increasing if the next condition holds:

x1, x2A, x1< x2f(x1)< f(x2).

Remark 2.3.8 A function f(x) is increasing if its values increase as x increases. In

an interval, this can be checked by computing the absolute variation of the functionat the points between the interval endpoints.

In Figure 2.10, examples of a strictly increasing function and another increasingfunction can be seen.

Definition 2.3.9 Let f : IRIR be a real-valued function of one real variable. fis said to be an increasing function at a Dom(f) when it is increasing on theopen interval (a , a+) for some >0 .

The function is said to be strictly increasingat a when it is strictly increasing

on the open interval (a , a+) for some >0.


43/145

DERIVATIVES 33

-2 -1 1 2

1

2

3

4

1 2 3 4 5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Strictly Increasing Function Increasing Function

Figure 2.10: Graphical representation of two increasing functions.

Definition 2.3.10 Let f : A IR IR be a real-valued function of one realvariable.fis said to be a decreasing function on A if the next condition holds:

x1, x2A, x1 < x2f(x1)f(x2).

A function f(x) is said to be strictly decreasing if the next condition holds:

x1, x2A, x1 < x2f(x1)> f(x2).

Definition 2.3.11 Let f : IR IR be a real-valued function of one real variable.fis said to be a decreasing function at aDom(f) when it is decreasing on theopen interval (a , a+) for some >0.

The function is said to be strictly decreasingat awhen it is strictly decreasingon the open interval (a , a+) for some >0.

Definition 2.3.12 (Increasing Interval and Decreasing Interval) Given a

function f : IR IR, its increasing interval (respectively, its strictly increasinginterval) is the union of all the intervals where the function f is increasing (respec-tively, strictly increasing).

Analogously, thedecreasing interval(respectively, strictly decreasing interval)of function f is the union of all the intervals where f is decreasing (respectively,estrictly decreasing).

The sign of the derivative indicates increase or decrease of the function, withoutthe need of a graphical representation. Iff(x) is positive throughout an interval f(x)is increasing there, and iff(x) is negative f(x) is decreasing. This is graphically

evident because positive slopes imply increase and negative slopes imply decrease:


44/145


Proposition 2.3.13 Let f : IRIR be a function and let x0 Dom(f) be a realnumber such that fis differentiable at x0. Then:

a) f(x0)> 0 =fis strictly increasing at x0.b) f(x0)< 0 =f is strictly decreasing at x0.

Remark 2.3.14 In the conditions of Proposition 2.3.13, the following statementshold:

a) Iff is increasing at x0, then f(x0) 0. In this case, f is also increasing in

some neighborhood ofx0.

b) Iff is decreasing at x0, then f(x0) 0. In this case, f is also decreasing insome neighborhood ofx0.

2.3.4. Concavity and Convexity

Definition 2.3.15 Let f : IR IR be a real-valued function of one real variableand let x0 Dom(f) be a real number such that f(x) exists and is continuous atx0. Then:

a) f is said to be strictly convex at x0 iff(x0)> 0.

b) f is said to be convex (or concave upward, or just concave up) at x0 iff(x0)0.

c) f is said to be strictly concave at x0 iff(x0)< 0.

d) f is said to be concave (or concave downward) at x0 iff(x0)0.

Analogously, a function is said to be strictly convex (resp.strictly concave,convex and concave) on the subset A Dom(f) if it has the same behavior ateach point belonging to A.

If we assume that f(x) > 0 on an interval, the derivative f(x) is increasing,

because its derivative is positive. So, the slope of the graph off is increasing; thatis, the graph is convex, and it lies above every tangent at the point of tangency.On the contrary, the graph is concave where f(x)< 0.


45/145

DERIVATIVES 35

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

(Strictly) Convex Function (Strictly) Concave Function

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-10

-5

5

10

Function that is neither concave nor convex

Figure 2.11: Graphical representation of different curvature types.


46/145


47/145

Tema 2

Funciones reales de una variable

2.1. Analisis de funciones basicas en el ambitode la Economa y la Empresa. Dominio, con-tinuidad y representacion grafica

Las funciones son los componentes mas basicos sobre los que los matematicosconstruyen las teoras determinsticas. Es decir, una funcion consiste en obtener elresultado que proviene de una situacion concreta. La situacion viene usualmentedescrita por los valores que toman las variables del modelo; el resultado final, sin

embargo, depende aun mas de la ley o definicion de la funcion.

Definicion 2.1.1 Una funcion real de variable real, f : A IR IR, es unacorrespondencia x IR f(x) IR de tal modo que a cada numero real x delconjunto de partida A se le asigna un unico numero real f(x) en el espacio IR dellegada. A f(x) se le llama imagende x.

Ejemplo 2.1.2 Ejemplos de funciones reales de una variable real son las siguientes:

f1: IRIR, con xf1(x) = 1;f2 : IRIR, con xf2(x) =x3 2x+ 1;

f3 : IRIR, con xf3(x) = 2x 1;f4 : IRIR, con xf4(x) = x

3 1x+ 1

.

Definicion 2.1.3 Sea f : IR IR una funcion real de variable real. Se llamarepresentacion grafica de fal subconjunto de IR2 definido como:

(x, f(x))IR2

|x

A .

37


48/145

38 TEMA 2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE

-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

Figura 2.1: Representacion grafica de f1(x) = 1.

La representacion grafica de IR2 como el conjunto de puntos del plano va a posi-bilitar obtener una imagen visual de las funciones reales de variable real. Para ello,es conveniente dibujar previamente un par de ejes coordenados. Lo mas habitual esutilizar ejes perpendiculares: al eje horizontal (que se suele utilizar para represen-tar los valores de la variable independiente) tambien se le llama eje de abscisas,mientras que al eje vertical (que se suele utilizar para representar los valores de lavariable dependiente o funcion) tambien se le llama eje de ordenadas. Una vezdibujados los ejes coordenados, cada valor del conjunto de partida de la funci onproducira un punto en el plano, de modo que su coordenada X(la correspondienteal eje de abscisas) sea el valor de la variable y su coordenada Y(la correspondienteal eje de ordenadas) sea el valor de la funcion en el valor considerado de la variableindependiente. Todo esto sera mucho mas facil de entender a partir de los ejemplosque se veran a continuacion.

2.1.1. Funciones lineales

Definicion 2.1.4 Se denominan funciones linealesa aquellas funciones reales deuna variable cuya expresion es de la forma:

f : IRIR, con xf(x) =a x+b, siendo a, bIR.

Las Figuras 2.1 y 2.2 corresponden a graficas de funciones lineales.

2.1.2. Funciones polinomicas

Definicion 2.1.5 Se denominan funciones polinomicas a aquellas funcionesreales de una variable cuya expresion es de la forma:

f : IRIR, con xf(x) =anxn+an1xn1+ +a1x+a0, con aiIR,i= 0, . . . , n .Las funciones polinomicas mas sencillas, despues de las lineales, son las parabo-

licas, cuya expresion es la de un polinomio de segundo grado:

f : IRIR, con xf(x) =a x2

+b x+c, a, b, cIR y a= 0.


49/145

FUNCIONES B ASICAS 39

-2 -1 1 2

-4

-2

2

Figura 2.2: Representacion grafica de f3(x) = 2x 1.

Ejemplos de funciones de este tipo pueden observarse en la Figura 2.3.

2.1.3. Funciones racionales

Definicion 2.1.6 Se denominan funciones racionalesa aquellas funciones realesde una variable cuya expresion es un cociente de polinomios:

f : IRIR, con xf(x) = P(x)Q(x)

, P(x), Q(x)IR[x].

La Figura 2.4 corresponde a graficas de funciones racionales.

2.1.4. Funciones trigonometricas

Definicion 2.1.7 Se denominanfunciones trigonometricas a las siguientes fun-ciones:

Funcion seno: sen : IRIR, con xsen(x).Funcion coseno: cos : IRIR, con xcos(x).

Funcion tangente: tg : IRIR, con xtg(x) = sen(x)cos(x)

.

Funcion cosecante: cosec : IRIR, con xcosec(x) = 1

sen(x) .


50/145


-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Funcion f(x) =x2 +x 1 Funcion f(x) =x2 x+ 1Figura 2.3: Representacion grafica de dos parabolas.

-6 -4 -2 2 4 6

-15

-10

-5

5

10

15

-2 -1 1 2

-40

-20

20

40

Funcion f(x) = 1x

Funcion f(x) = x31x+1

Figura 2.4: Representacion grafica de dos funciones racionales (en la de la derecha,se han modificado las escalas de los ejes para una mejor visualizacion).


51/145


Funcion secante: sec : IRIR, con xsec(x) = 1cos(x)

.

Funcion cotangente: cotg : IR IR, con x cotg(x) = cos(x)sen(x)

= 1tg(x)

(la

igualdad es cierta cuando cos(x)= 0).

La Figura 2.5 corresponde a algunas graficas de las funciones trigonometricas.

2.1.5. Funciones exponenciales

Definicion 2.1.8 Se denominan funciones exponenciales a aquellas funcionesreales de una variable cuya expresion es:

f : IR

IR, con x

f(x) =ax, con a

IR+

\ {1

}.

La Figura 2.6 representa las dos grandes familias de funciones exponencialesexistentes.

2.1.6. Funciones logartmicas

Definicion 2.1.9 Se denomina funcion logartmica neperiana o natural aaquella funcion real de una variable cuya expresion es:

f : IRIR, con xf(x) = ln(x).

Nota 2.1.10 Debe recordarse que la definicion del logaritmo natural se obtienecomo la inversa de la exponencial de e; es decir:

y= ln(x)ey =x.

La Figura 2.7 representa la grafica de la funcion logaritmo neperiano.

Nota 2.1.11 Analogamente, para a >0, se puede definir la funcion logartmica debase acomo:

y= loga(x)ay =x.

2.1.7. Funcion raz cuadrada

Definicion 2.1.12 La funcionraz cuadrada f : [0, +)[0, +), conxxse define como la inversa de la funcion g: [0, +)IR, con xx2.

Nota 2.1.13 Notese que en la funcion g(x) =x2, cada imagen de un numero posi-tivo corresponde a dos numeros reales. De este modo, la inversa de la funciong(x) =x2 no puede definirse unvocamente si no se decide tomar un determinado signo. Esoes lo que se hace en la Definicion 2.1.12. Las graficas de las dos funcionesf(x) =xson las que aparecen en la Figura 2.8.


52/145


1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Funcion seno: sen(x)

-1 1 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

Funcion coseno: cos(x)

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-20

-10

10

20

Funcion tangente: tg(x)

Figura 2.5: Representacion grafica de las funciones seno, coseno y tangente.


53/145


-2 -1 1 2

1

2

3

4

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Funcion f(x) =ax, con 0< a 1

Figura 2.6: Representacion grafica de funciones exponenciales.

1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

Funcion f(x) = ln(x)

Figura 2.7: Representacion grafica de la funcion logaritmo neperiano.


54/145


0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.75

-1.5

-1.25

-1

-0.75

-0.5

-0.25

Funcion f(x) =

x Funcion f(x) =xFigura 2.8: Representacion grafica de funciones asociadas a la raz cuadrada.

2.1.8. Funciones inversas de trigonometricas

Definicion 2.1.14 Se denominan funciones arco a las funciones que son inversa(en un sentido parecido al de la funcion raz cuadrada) de alguna funcion trigono-metrica. Las tres funciones arco mas importantes son:

Funcion arcoseno: es la inversa de la funcion seno. Su expresion es la si-guiente:

f : [1, 1]IR, con xarcsen(x).Funcion arcocoseno: es la inversa de la funcion coseno. Su expresion es lasiguiente:

f : [1, 1]IR, con xarccos(x).Funcion arcotangente:es la inversa de la funcion tangente. Su expresion esla siguiente:

f : IR

2 ,

2

, con xarctg(x).

2.1.9. Dominio de una funcion

Definicion 2.1.15 Dada una funcion realf : IRIR de una variable, se denominadominio de la funcion al conjunto formado por todos los numeros reales para losque la funcion esta definida. El dominio se denota por:

Dom(f) ={xIR| f(x)}.Se llama imagen, rango, recorrido o codominio de la funcion fal conjunto

formado por las imagenes de los elementos de Dom(f):

Im(f) = Rg(f) = Rec(f) = Codom(f) ={f(x)|xDom(f)}.

Proposicion 2.1.16 Sean f : IR IR y g : IR IR dos funciones reales de unavariable y sea IR un numero real. Entonces:


55/145


a) f+g: IRIR, con xf(x) +g(x) = Dom(f+g) = Dom(f) Dom(g).

b) f g: IRIR, con xf(x) g(x) =Dom(f g) = Dom(f) Dom(g).c) f : IRIR, con x f(x) =Dom( f) = Dom(f).d) f

g: IRIR, con x f(x)

g(x)=Dom(f

g)=(Dom(f)Dom(g))\{xIR | g(x) = 0}.

e) gf: IRIR, con x g(f(x)) =Dom(gf) ={xDom(f)|f(x)Dom(g)}.

Proposicion 2.1.17 Se verifican los siguientes enunciados:

1. El dominio de las funciones lineales, polinomicas y exponenciales es IR.

2. El dominio de las funciones logartmicas es IR+.

3. El dominio de las funciones seno y coseno es IR.

4. El dominio de la funcion tangente es IR \ {2

+k |k Z}.5. El dominio de la funcion n

x: IRIR, con x nxes el conjunto:

{xIR|x0}, si n es par;IR, si n es impar.

2.1.10. Continuidad de una funcion real de una variable

Definicion 2.1.18 Sean f : IR IR y a Dom(f). Se dice que la funcion f escontinua en el punto asi se verifica la siguiente condicion:

>0, >0 tal que|x a|< xDom(f) |f(x) f(a)|< .Esto es lo mismo que decir que el lmite de la funcionfen el puntoa(o cuando

xtiende a a) vale f(a).La funcion fse dice continua en el conjunto ADom(f) si es continua en

cada punto de A.

Una funcion que es continua en un intervalo cerrado y acotado es tambien aco-tada en dicho intervalo. Entendemos por funcion acotada en un conjunto aaquella para la que es posible encontrar un numero real mayor que cualquier valorque tome la funcion en dicho conjunto. Esta propiedad de las funciones continuas esbastante util para poder comprobar graficamente si una funcion es continua.

Proposicion 2.1.19 Sean f : IR IR y g : IR IR dos funciones continuas enaDom(f) Dom(g). Entonces se verifica:

1. La funcion f+g es continua en a.

2. La funcion f g es continua en a.


56/145


3. La funcion fes continua en a, para todo IR.

4. Si g(a)= 0, entonces la funcion fg es continua en a.5. Si g es continua en f(a), la funcion g fes continua en a.

2.2. Variacion absoluta y variacion relativa

Definicion 2.2.1 Sea f : IR IR una funcion real de una variable y sean a, bDom(f). Se llama variacion absoluta de la funcion f entre a y b a la diferenciaf(b)

f(a).

Definicion 2.2.2 Sea f : IR IR una funcion real de una variable y sean a, bDom(f). Se llama variacion relativao tasa de variacionde la funcion f entrea

y b al cociente f(b)f(a)f(a)

.

Nota 2.2.3 Aunque hay otras formas de entender los conceptos relacionados con lastasas de variacion, las dos definiciones anteriores son las mas usuales en el ambito queestamos estudiando. En cualquier caso, las tasas de variacion estan muy relacionadascon los conceptos de derivada y crecimiento, que veremos a continuacion.

2.3. Calculo de derivadas. Derivadas de orden su-perior. Interpretacion economica

Definicion 2.3.1 Sea f : IR IR una funcion real de una variable y seaa Dom(f). Se dice que la funcion f es derivable en el punto a si existe larecta tangente a la grafica de la funcion en el punto a.

A la pendiente de dicha recta tangente se le denomina derivada de la funcion

en el punto ay se denota por f(a) o por df

dx(a).

Proposicion 2.3.2 Seaf : IRIR una funcion derivable en el punto aDom(f).La recta tangente a la grafica de fen el punto apuede expresarse como:

y f(a) =f(a) (x a).

Ejemplo 2.3.3 Sea f : IRIR, con x |x|= x, si x


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DERIVADAS 47

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2.9: Grafica de la funcion|x|.

2.3.1. Calculo de derivadasA continuacion, indicamos las derivadas de las funciones elementales, ademas de

las principales reglas de derivacion:

Funcion Derivada

f(x) =c, cIR f(x) = 0,xIRf(x) =xn, nIN f(x) =n xn1,xIR

f(x) =xn,

n

IN f(x) =n

xn1,

x

IR\ {

0}

f(x) =xn, nIR f(x) =n xn1,x >0f(x) = ln(x) f(x) = 1

x,xIR+

f(x) = ex f(x) = ex,xIRf(x) =ax, aIR+ f(x) =ax ln(a),xIR

f(x) = sen(x) f(x) = cos(x),xIRf(x) = cos(x) f(x) =sen(x),xIRf(x) = tg(x) f(x) = 1 + tg2(x) = 1

cos2(x),

x

IR

\ {2

+k

|k

Z

}f(x) = arcsen(x) f(x) = 11x2 ,x(1, 1)

f(x) = arccos(x) f(x) = 11x2 ,x(1, 1)

f(x) = arctg(x) f(x) = 11+x2

,xIRh(x) =f(x) +g(x) h(x) =f(x) +g(x)

h(x) =c f(x), cIR h(x) =c f(x)h(x) =f(x) g(x) h(x) =f(x) g(x) +f(x) g(x)

h(x) =f(x)

g(x)

h(x) =f(x) g(x) f(x) g(x)

[g(x)]2

, si g(x)

= 0


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Proposicion 2.3.4 (Regla de la cadena) Sea f : IRIR una funcion derivableen x y sea g : IR

IR una funcion derivable en f(x). Entoncesg

fes derivable en

xy su derivada se calcula como:

(g f)(x) =g (f(x)) f(x).

2.3.2. Derivadas de orden superior

Definicion 2.3.5 Sea una funcion f : IR IR derivable en a Dom(f) y cuyaderivada tambien es derivable en a. Se denomina derivada segunda de f en a alsiguiente numero real:

f

(a) =

d2f

dx2 (a) =

d

dxdf

dx

(a).

En general, si fes derivable en aDom(f) y sus primeras n 1 derivadas sonderivables en a, entonces la derivada n-esima de f en a es el numero real:

fn)(a) =dnf

dxn(a) =

d

dx

dn1fdxn1

(a).

2.3.3. Crecimiento y decrecimiento

Definicion 2.3.6 Seaf :A

IR

IR una funcion real de una variable. Se dira que

fes una funcion creciente en A si se verifica la siguiente condicion:

x1, x2A, x1< x2f(x1)f(x2).Se dice que la

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