3. Modelado de Sistemas de Conversión de En-ergía Eólica (SCEE)

Este capítulo describe los principales componentes y características de unSCEE (sistema de conversión de energía eólica). Nuestro objetivo principales obtener el modelo orientado al control del sistema entero. Debido a la com-plejidad en el modelado de los SCEE, los modelos presentados aquí incluyensólo el primer modo del tren de potencia, el primer modo de �exión de latorre, y el primer modo de �exión de la pala en el plano de rotación y el planoperpendicular al de rotación. Con este objetivo, el SCEE está organizado encuatro bloques funcionales, a saber, el subsistema aerodinámico, mecánico,eléctrico, y el subsistema pitch servo.

El subsistema aerodinámico se dedica a la conversión de la energía delviento en energía mecánica útil. El subsistema mecánico cumple dos funcionesprincipales. La primera, llevada a cabo por el tren de transmisión, es transferirel par del rotor al generador eléctrico. Y la segunda es soportar el rotor yotros dispositivos en altura mientras soportan la fuerza de empuje del viento.El subsistema eléctrico realiza la conversión de la energía mecánica disponibleen el eje del generador en electricidad. Finalmente, el subsistema pitch servoconsiste en un mecanismo que gira las palas alrededor de su eje longitudinal,lo que modi�ca el ángulo de paso.

Este capítulo se centra principalmente en el desarrollo del modelo delsubsistema mecánico del SCEE.

3.1. Descripción del SCEE

Los componentes principales del SCEE son el rotor, el sistema de trans-misión y el generador de energía.La Figura 11 presenta el esquema de la aeroturbina a eje horizontal [25]. Elrotor está compuesto por las palas donde tiene lugar la conservación aerod-inámica, el buje que une las palas con el conjunto de transmisión y el con-junto pitch servo que se encuentra dentro del buje y que hace rotar las palasalrededor de su eje longitudinal. El sistema de transmisión transmite la fuerzamecánica capturada por el rotor a la máquina eléctrica. Está compuesto porlos ejes de baja y alta velocidad, el multiplicador de velocidad que aumentala velocidad de giro del rotor a valores más adecuados para la utilización delgenerador, típicamente desde 20-50 rmp a 1000-1500 rmp [25],[26].

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Figura 11: SCEE con aeroturbina a eje horizontal

El generador eléctrico es el dispositivo que convierte la energía mecánicaen electricidad. Sus terminales eléctricos están conectados a la red pública. Enel caso de SCEE de velocidad variable, se utiliza un convertidor electrónicocomo interfaz entre la red de corriente alterna y los bobinados del estator odel rotor.

Un modelo para el SCEE entero se puede estructurar como varios mod-elos de subsistemas interconectados como se presenta en la Figura 12, [25].El subsistema aerodinámico describe la transformación de la acción de lavelocidad tridimensional del viento en fuerzas en las palas que originan elmovimiento rotatorio. El subsistema mecánico se puede dividir en dos blo-ques funcionales, es decir, el tren de potencia y la estructura de soporte. Eltren de potencia trans�ere el par aerodinámico en las palas al eje del gener-ador, y abarca el rotor, la transmisión y la parte mecánica del generador. Laestructura compuesta por la torre y los cimientos soporta la fuerza de empu-je. El subsistema eléctrico describe la conversión de la energía mecánica enel eje del generador en electricidad. Finalmente, el subsistema del actuador

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que modela el comportamiento del conjunto del pitch servo. Dado que ladinámica dominante está en el subsistema mecánico podemos ver el SCEEcomo una estructura mecánica que sufre fuerzas exógenas del �ujo de aire yde la máquina eléctrica.

Figura 12: diagrama de bloques del subsistema de nivel del SCEE de veloci-dad y ángulo de calage variable

3.2. Subsistema mecánico

Una aeroturbina de eje horizontal es un sistema mecánico complejo queconsiste en dispositivos que interactúan con un cierto grado de �exibilidad.Como cualquier estructura �exible, una aeroturbina exhibe muchos modosde vibración. Algunos movimientos oscilatorios inherentes a estos modos sonilustrados en la Figura 13, [25]. La existencia de estos modos de vibraciónexige un diseño cuidadoso de la aeroturbina y del controlador. Cualquiera delas perturbaciones cíclicas inherentes al muestreo o una inadecuada estrate-gia de control puede excitar algunos de los modos de vibración, por lo queresulta en la reducción de la vida útil o incluso en avería por fatiga.

Para el modelado del SCEE, la parte más complicada es probablementeel subsistema mecánico. La complejidad se origina por la interacción de dosestructuras �exibles, el tren de potencia, y la torre y los cimientos. Cada unode estas estructuras se �ja a un sistema de referencia que gira con respecto

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al otro. Esto lleva a modelos no lineales de orden elevado. Además, la may-or parte de las fuerzas aplicadas a las estructuras provienen de una accióntridimensional del viento [25].

Figura 13: Formas de modos de vibración de la aeroturbina a eje horizontal

Existe una amplia gama de herramientas computacionales diseñadas es-pecí�camente para derivar modelos para SCEE. Los modelos obtenidos conestas técnicas son potencialmente muy útiles para validar diseños de turbinay para evaluar el rendimiento del controlador. Sin embargo son generalmentedemasiado complicados para los propósitos de diseño de control. Los modelosorientados al control deben ser lo más simples posible, capturando sólo losmodos dinámicos que pueden ser excitados por el controlador.

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Los modelos orientados al control de SCEE son generalmente obtenidosusando el enfoque llamado Sistema Multicuerpo (MBS) [25]. Esta técnicaproporciona modelos de orden reducido con una visión física profunda. Con-ceptualmente, la estructura mecánica se organiza en varios cuerpos rígidosque se unen a través de articulaciones �exibles. La cantidad de estas articu-laciones o grados de libertad determina el orden del modelo. Incluso pocosgrados de libertad dan lugar a modelos no lineales de orden elevado. Porlo tanto, es importante considerar en el modelo sólo los grados de libertadque están directamente acoplados al control [25]. Por un lado, el control develocidad interactúa con los modos en el plano de rotación, es decir, modosde torsión de la transmisión, y modos de �exión de las palas en el plano derotación. Normalmente, es su�ciente incluir en el modelo del aeroturbina avelocidad variable y ángulo de paso �jo sólo uno o dos grados de libertad enel plano de rotación, porque la mayoría de las frecuencias de resonancia caenpor encima del ancho de banda del controlador [25]. Esta simpli�cación llevaa un modelo lineal de orden reducido. Por otra parte, el control de ángulo depaso (pitch) no sólo afecta al par aerodinámico sino también a la fuerza deempuje. Por lo tanto, la �exión de la torre en la dirección del eje de rotor yla �exión de las palas en el plano perpendicular al de rotación debe tambiénconsiderarse en el caso de una turbina de ángulo de paso variable.

Aunque los modelos simples no pueden caracterizar perfectamente ladinámica entera del SCEE, se puede aprender mucho de ellos. Particular-mente, los modelos simples son muy útiles para el análisis comparativo dediferentes estrategias de control y para el diseño del controlador, mientrasque las dinámicas no modeladas se pueden tratar como incertidumbres. Poresta razón, los modelos presentados aquí incluyen sólo el primer modo deltren de potencia, el primer modo de �exión de la torre, y el primer modo de�exión de la pala en el plano de rotación y el perpendicular al de rotación.

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Figura 14: Diagrama esquemático del modelo mecánico

La Figura 14 presenta el diagrama esquemático del modelo mecánico. Estemodelo tiene tres grados de libertad: torsión del tren de potencia, �exión dela torre, y �exión de la pala en el plano perpendicular al de rotación. LaFigura 14a ilustra el tren de potencia que está modelado como dos cuerposrígidos unidos a través de un eje �exible. La Figura 14b presenta el modelode la estructura mecánica inspirado en el trabajo de Bindner [28].

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Con la torsión del tren de potencia denotamos realmente la resonancia fun-damental en el plano de la rotación, el cual puede situarse en la transmisióno en el rotor [25]. El modelo del tren de potencia presentado en la Figura 14aes válido en cualquier caso. Sin embargo, el eje �exible no representa nece-sariamente los ejes de transmisión sino la parte más �exible del conjunto detransmisión. Los cuerpos rígidos abarcan todos los dispositivos mecánicos ypartes de ellos son localizados en cada lado del eje efectivo.

Se supone que las palas se mueven al unísono y soportan la misma fuerza.Bajo estas suposiciones, y considerando que los desplazamientos que se orig-inan al aplicar la fuerza de empuje del viento sobre la turbina son pequeños,el modelo del subsistema mecánico es lineal, como se presenta en [25] y [26].

En el presente trabajo hacemos las mismas suposiciones que en [25],[26],y lo complementamos considerando la rotación de las palas, su �exión enel plano de rotación, y que los desplazamientos que se originan al aplicarla fuerza de empuje del viento sobre la turbina son grandes. El modelo delsubsistema mecánico obtenido en este caso es no lineal.

A partir de la ecuación de Lagrange [27],

d

dt

(∂Ek

∂q̇i

)− ∂Ek

∂qi+

∂Ed

∂q̇i+

∂Ep

∂qi= Gu (22)

con Ek,Ed, y Ep son respectivamente la energía cinética, disipativa y poten-cial, la ecuación de modelado dinámico de las vibraciones de la turbina vienedada por

Mq̈ + Cq̇ +∇V = Gu (23)

donde M es la matrice de inercias, C es la matrice de amortiguamiento yCoriolis del sistema, ∇V es el gradiente de la energía potencial, y u es laentrada de control.

Para el modelo de la Figura 14, las coordenadas generalizadas de posiciónson

q =[θ ϕ θr θg

]T,

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donde θ es el desplazamiento angular de la torre, ϕ el desplazamiento angularde la pala fuera del plano de la rotación, θr y θg son respectivamente lasposiciones angulares del rotor y del generador.La entrada de control u viene dada por

u =[FT Tr Tg

]T,

donde Tr y Tg son respectivamente el par del rotor y del generador. La fuerzade empuje distribuida a lo largo de la pala es sustituida por la fuerza FT

aplicada a la distancia rb desde el eje de rotación.La matriz G es dada de la forma siguiente:

G =

N 0 0Nrb 0 00 1 00 0 −1

A continuación se presentan los modelos obtenidos en este trabajo, enel caso donde el aerogenerador tiene sólo una pala, dos palas, y más de dospalas.

3.2.1. Modelado de aerogenerador monopala

La razón para una turbina eólica monopala o monóptero es aumentar lavelocidad de rotación del rotor y consiguientemente reducir las masas y costesde los demás elementos, como pueden el multiplicador y el generador eléctri-co. Por otro lado este tipo de hélices resultan muy atractivas económicamentepor el costo mínino al poseer una sola pala. Sin embargo, estas hélices re-quieren un contrapeso que compense a la pala y el balanceo debe realizarsecon mucha precisión. Además un rotor de este tipo tiene un desequilibrioaerodinámico muy acentuado, lo que causa complejos esfuerzos de fatiga ycomplicadas construcciones en el centro para controlar adecuadamente laturbina, lo que las hacen poco prácticas.

La desventaja principal para su uso comercial es el elevado nivel de ruidoaerodinámico que producen, causado por una altísima velocidad en punta depala. Comparado con rotores tripalas esta velocidad es dos veces mayor loque provoca un nivel sonoro bastante mas elevado. Además se obtiene un par

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Figura 15: Turbina monopala o monóptero

de arranque bastante bajo. A esto debemos sumarle la perturbación visualen el paisaje que provoca ver rodar una sola pala.

A partir de la ecuación de Lagrange (22), las matrices M , C, y el vector∇V del modelo del aerogenerador que tiene una pala en rotación son

M =

m1 m2 m3 0m2 m4 m5 0m3 m5 m6 00 0 0 m7

,

donde

m1 = It+mpN (a2 +H2)+mpN

2

(2R (H cosϕ sin θr + a sinϕ) + 2R2

3cos2 ϕ sin2 θr +

2R2

3sin2 ϕ

),

m2 = mpN

2

(RH cosϕ+Ra sinϕ sin θr +

2R2

3sin θr

),

m3 = mpN

2

(Ra cosϕ cos θr +

2R2

3cosϕ sinϕ cos θr

),

45

m4 = mpN

22R2

3,

m5 = mpN

2R2

3

(12sin 2ϕ sin 2θr + 2 cosϕ sinϕ cos θr sin θr

),

m6 = Jr +mpN

22R2

3cos2 ϕ ,

m7 = Jg ,

C =

Bt + C11 C12 C13 0

C21 NBp + C22 C23 0C31 C32 Bs + C33 00 0 0 Bs

,

donde

C11 = mpN

2

((−RH sinϕ sin θr +Ra cosϕ− 2R2

3cosϕ sinϕ(sin2 θr − 1))ϕ̇+

(RH cosϕ cos θr +2R2

3cos θr sin θr cos

2 ϕ)θ̇r

),

C12 = mpN

2

((−RH sinϕ sin θr +Ra cosϕ− 2R2

3cosϕ sinϕ(sin2 θr − 1))θ̇+

(−RH sinϕ+Ra cosϕ sin θr)ϕ̇+ R2

3cos θr(1 + cos2 ϕ− sin2 ϕ)θ̇r

),

C13 = mpN

2

((RH cosϕ cos θr +

2R2

3cos2 ϕ sin θrcosθr)θ̇+

(R2

3cos θr(1 + cos2 ϕ− sin2 ϕ))ϕ̇+ (−Ra− 2R2

3) cosϕ sin θrθ̇r

),

C21 = mpN

2

((−Ra cosϕ+RH sinϕ sin θr +

2R2

3sinϕ cosϕ(sin2 θr − 1))θ̇+

(Ra sinϕ cos θr +R2

3cos θr(1− cos2 ϕ+ sin2 ϕ)θ̇r

),

C22 = 0 ,

C23 = mpN

2

((Ra sinϕ cos θr +

R2

3cos θr(1− cos2 ϕ+ sin2 ϕ))θ̇+

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(R2

3sin 2ϕ cos 2θr +

2R2

3cosϕ sinϕ(1 + cos θ2r − sin2 θr))θ̇r

),

C31 = mpN

2

(−(RH cosϕ cos θr +

2R2

3cos2 ϕ sin θrcosθr)θ̇+

(−Ra sinϕ cos θr +R2

3cos θr(−1 + cos2 ϕ− sin2 ϕ))ϕ̇

),

C32 = mpN

2

((−Ra sinϕ cos θr − R2

3cos θr(1− cos2 ϕ+ sin2 ϕ))θ̇+

(R2

3cos 2ϕ sin 2θr +

2R2

3cos θr sin θr(cos

2 ϕ− sin2 ϕ))ϕ̇− 2R2

3cosϕ sinϕθ̇r

),

C33 = −mpN

22R2

3sinϕ cosϕϕ̇ ,

y �nalmente

∇V =

ktθ −mtgHg sin θ −Nmpg (H sin θ +Rg sin(θ + ϕ)− a cos θ)

Nkpϕ−NmpgRg sin(θ + ϕ)ks(θr − θg)−ks(θr − θg)

.

Los parámetros del modelo del subsistema mecánico se describen en la Tabla 1.

3.2.2. Modelado de aerogenerador bipalas

Comparándola con un rotor de tres palas, se logra disminuir en un ciertoporcentaje el costo de la hélice; sin embargo debido los �uctuantes esfuerzosdinámicos que se originan con esta con�guración se requieren dispositivosespeciales para paliar este estado de carga, lo que eleva �nalmente el costoglobal de la máquina no teniendo ventaja económica respecto a las de trespalas.De manera diferente a lo que sucede en el rotor tripala, ésta posee una re-sistencia inercial al movimiento de la góndola alrededor del eje longitudinalde la torre (orientación) lo que incrementa los esfuerzos sobre la estructura.Por otro lado y compartiendo esta propiedad con las hélices monopala enalguna medida, poseen la posibilidad de �jarse al cubo del rotor medianteun dispositivo de oscilación denominado teetering, una especie de bisagra

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Cuadro 1: Los parámetros para el modelo del subsistema mecánico

Variables Descripcíon

mt La masa de la torre

mp La masa de la pala

It El momento de inercia de la torre

Jr El momento de inercia de las masas de la parte del rotor

Jg Inercia de las masas de la parte del generador vista desde el eje lento

kt La rigidez de la torre

kp La rigidez de la pala

ks La rigidez de acoplamiento

N El numero de palas

R Longitud de la pala

H Haltura de la torre

a Longitud de la nacelle

Bt Amortiguamiento de la torre

Bp Amortiguamiento de la pala

Bs Amortiguamiento de transmision

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Figura 16: Turbina bipalas

que permite compensar los esfuerzos que provoca la variación del per�l develocidad del viento con la altura, lográndose una distribución casi planade los esfuerzos externos en el área barrida por la pala. Asimismo se cuen-ta con la ventaja técnica adicional para la fabricación de las palas en unúnico bloque, si la turbina es de poca potencia y su sistema de control esstall (palas de paso �jo y regulación por entrada en pérdida). Además losdispositivos encargados del control de la potencia captada, si se trata de unsistema pitch (palas de paso variable), se tornan mucho más sencillos que enel caso de una hélice tripala. En cuanto a las vibraciones, son mucho mássensibles a este fenómeno que las tripala y debido a las mayores velocidadesen punta de pala con las que operan se eleva el nivel de ruido respecto a estas.

En el caso donde el aerogenerador tiene dos palas en movimiento, las ma-trices M , C, y el vector ∇V son dadas de la forma siguiente:

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M =

m1 m2 0 0

m2 m3 0 0

0 0 m4 0

0 0 0 m5

,

donde

m1 = 2

(It2+mp

(a2 +H2

)+ ampR sinϕ+

mpR2

3

(cos2 ϕ sin2 θr + sin2 ϕ

)),

m2 = mpRH cosϕ ,

m3 =2mpR

2

3,

m4 = Jr + 2mpR2

3cos2 ϕ ,

m5 = Jg ,

y

C =

Bt + C11 C12 C13 0

C21 NBp + C22 C23 0

C31 C32 Bs + C33 0

0 0 0 Bs

,

donde

50

C11 =

(mpRa cosϕ+ 2mp

R2

3sinϕ cosϕ(1− sin2 θr)

)ϕ̇+ 2mp

R2

3cos2 ϕ sin θr cos θrθ̇r ,

C12 =

(mpRa cosϕ+ 2mp

R2

3sinϕ cosϕ(1− sin2 θr)

)θ̇ −mpRH sinϕϕ̇ ,

C13 = 2mpR2

3sin θr cos θr cos

2 ϕθ̇ ,

C21 = −(mpRa cosϕ+ 2mp

R2

3sinϕ cosϕ(1− sin2 θr)

)θ̇ ,

C22 = 0 ,

C23 = 2mpR2

3sinϕ cosϕθ̇r ,

C31 = −2mpR2

3sin θr cos θr cos

2 ϕθ̇ ,

C32 = −2mpR2

3sinϕ cosϕθ̇r ,

C33 = −2mpR2

3sinϕ cosϕϕ̇ ,

y �nalmente

∇V =

ktθ −mtgHg sin θ − 2mpg (H sin θ − a cos θ +Rg sin θr sinϕ cos θ)

2kpϕ− 2mpgRg sin θr sin θ cosϕ

ks(θr − θg)− 2mpgRg sinϕ sin θ cos θr

−ks(θr − θg)

.

3.2.3. Modelado de aerogenerador multipalas

Para la generación de electricidad es aconsejable que el rotor gire al may-or número de revoluciones posible debido a la reducción en el tamaño ypeso del generador eléctrico y del sistema multiplicador con el consiguienteabaratamiento de la máquina. Por esto, en las turbinas multipalas el númerode palas es bajo, encontrándose modelos de tres y cuatro palas, denominán-

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Figura 17: Turbina multipalas

dose turbinas rápidas.

La razón principal para la utilización de tres palas en la hélice es el mo-mento de inercia constante del rótor para todo el ángulo circunferencial delacimut respecto a los movimientos alrededor del eje longitudinal de la torre(orientación). Todos los rotores con tres o más palas tienen esta favorablepropiedad. Una turbina eólica tripala tiene un momento de inercia nulo ensu giro, por consiguiente no induce ninguna carga sobre la estructura lo quedeviene en una simpli�cación estructural y reducción de costos de fabricación,proporcionando además una mayor suavidad de funcionamiento. Por otro la-do, al ser sus velocidades de rotación relativamente bajas, los son también lasde punta de pala, lo que constituye una gran ventaja respecto a las monopalasy bipalas debido a la reducción de nivel de potencia sonora que esto conlleva.Esta propiedad se ve potenciada en el caso de que la turbina se utilice paraabastecimiento eléctrico de puntos aislados, donde generalmente la máquinase debe emplazar en las cercanías de la población y donde se debe minimizarla perturbación introducida en el hábitat natural.Asimismo, de manera diferente a las hélices mono y bipalas las de tres palasgozan de una gran aceptación pública en cuanto al impacto visual que oca-

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sionan.

En el caso general, donde el aerogenerador tiene más de dos palas, lasmatrices M , C, y el vector ∇V vienen dadas por

M =

m1 m2 0 0

m2 m3 0 0

0 0 m4 0

0 0 0 m5

,

donde

m1 = It +mpN(H2 + a2) +mpNRa sinϕ+mpNR2

6(1 + sin2 ϕ) ,

m2 =mpNR

2H cosϕ ,

m3 =mpNR2

3,

m4 = Jr +mpNR2

3cos2 ϕ ,

m5 = Jg ,

y

C =

Bt + C11 C12 0 0

C21 NBp C23 0

0 C32 Bs + C33 0

0 0 0 Bs

,

donde

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C11 =

(mpNR

2cosϕ+

mpNR2

6sinϕ cosϕ

)ϕ̇ ,

C12 =

(mpNR

2a cosϕ+

mpNR2

6cosϕ sinϕ

)θ̇ − mpNR

2H sinϕϕ̇ ,

C21 = −(mpNR

2a cosϕ+

mpNR2

6cosϕ sinϕ

)θ̇ ,

C23 =mpNR2

3sinϕ cosϕθ̇r ,

C32 = −mpNR2

3sinϕ cosϕθ̇r ,

C33 = −mpNR2

3sinϕ cosϕϕ̇ ,

y �nalmente

∇V =

ktθ −mtgHg sin θ −Nmpg (H sin θ − a cos θ)

Nkpϕ

ks(θr − θg)

−ks(θr − θg)

.

3.3. Conclusión

Comparando los tres modelos del aerogenerador, está claro que el modelodel aerogenerador monopala es el más complejo mientras que el del aerogen-erador multipalas es el más simple, y esto debido a que los esfuerzos aplicadossobre la estructura se compensan cuando el número de palas es grande mien-tras que cuando el aerogenerador tiene sólo una pala esto no ocurre.

Debido a la complejidad del modelo del aerogenerador monopala y a susdesventajas descritas en (la sección 3.2.1), nos centramos en este trabajo enlos modelos de aerogeneradores bipalas y multipalas.

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