3.- informe acadÉmico de veteranos -...

ESTALMAT-Andalucía

3.- INFORME ACADÉMICO DE VETERANOS

Curso 2010 – 2011

Para los alumnos que ya realizaron los dos años de ESTALMAT durante los

cursos 2008-09 y 2009-10 y para aquéllos que el pasado curso hicieron su primer año de

veteranos se diseña una extensión del Proyecto basada en una programación adecuada a su nivel y a un ritmo distinto al habitual de los dos primeros años. Por otra parte, se estima que para incorporarse a esta extensión del Proyecto los alumnos deben estar especialmente interesados y motivados. Por esta razón se establece que la promoción a la situación de veteranos y, dentro de éstos, la continuación al segundo curso, debe estar avalada por el interés y aprovechamiento de los alumnos, que se puede concretar tanto en la asistencia y participación como en la realización de ciertas actividades y en la presentación de algún trabajo al finalizar el curso, lo que no debe nunca obstaculizar el normal desarrollo de las actividades académicas de los alumnos. La preparación, docencia y seguimiento de cada uno de los temas propuestos está a cargo de un equipo de profesores del Proyecto, con el número de ellos que parezca oportuno en cada caso. Se sugiere, además, la conveniencia de invitar a profesores ajenos al equipo de ESTALMAT, cuya colaboración puede enriquecer el desarrollo de los temas a tratar. La programación del curso 2010-11 queda reflejada en los calendarios que se adjuntan a continuación. Más adelante se exponen algunas de las actividades realizadas con los alumnos veteranos en el presente curso.

ESTALMAT-Andalucía

PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES. ALUMNOS VETERANOS

Curso 2010-11 Sede de Andalucía Occidental

Sede de Andalucía Oriental

Sesiones Fecha

Veteranos-1º

Veteranos-2º

Sesión 1 16-10-10 Cálculos en la naturaleza viva Mario de J. Pérez e Ignacio Pérez (invitados)

Sesión 2 06-11-10 Optimización Grupo de Cádiz

Sesión 3 18-12-10 El Legado de Gauss

Alfonso, Luis, Trini y miembros invitados del Dpto. de Geometría.

Geometría Computacional Alberto Márquez y Pedro Reyes

(invitados

Sesión 4 15-01-11 La magia de las permutaciones

A. Aranda y miembros invitados del Dpto. de Álgebra

Juegos de azar Fc. Ramón Fernández y Justo

Puerto (invitados)

Sesión 5 05-02-11 Problemas Olimpiada (I) Manuel Delgado, Ramón Piedra (invitado).

Sesión 6 05-03-11 De Vitrubio a Mandelbrot Grupo de Huelva

Sesión 7 02-04-11 Teoría y práctica de Nudos Grupo de Córdoba

Sesiones Fecha Veteranos 1º y 2º Sesión 1 23-10-10 Planificación de proyectos

Pascual Jara – Francisco Espínola Sesión 2 27-11-10 Astronomía de posición (2ª parte)

Antonio López – Ceferino Ruiz

Sesión 3 15-01-11 Procesos iterativos. Una aproximación a la Matemática

inexacta. Francisco Sánchez – Baltasar Sánchez

Sesión 4 05-02-11 A leer Matemáticas Enrique Machuca - Rafael Ramírez

Sesión 5 05-03-11 Eficiencia y funciones recursivas (*) Luis Cabello - Francisco Villegas

Sesión 6 09-04-11 Grupos simétricos Pascual Jara - Blas Torrecillas

ALGUNAS ACTIVIDADES DESARROLLADAS CON LOS ALUMNOS VETERANOS

DURANTE EL CURSO 2010-11

Sesión 7: TEORÍA Y PRÁCTICA DE NUDOS.

Actividades de la Sesión 8: De Vitrubio a Maldenbrot.

ESTALMAT-Andalucía Actividades 10/11

Sesión: 7 Fecha: 02/04/11

Título: TEORÍA Y PRÁCTICA DE NUDOS.

VETERANOS - 1º y 2º Curso.

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F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez. 1 de 14

TEORÍA Y PRÁCTICA DE NUDOS.

"LOS MATEMÁTICOS SÍ VISTEN CORBATA"

Resumen.-

En alguna ocasión alguno de nosotros ha tenido que usar corbata. Para realizar el nudo de la

misma, hemos requerido de una cierta destreza manual que la mayoría de las veces nos ha sido

transmitida por la repetición mecánica de una secuencia de movimientos. La mayoría de las veces no

practicamos más tipos de nudos que el que habitualmente usamos. Sin embargo, para un matemático,

el nudo de la corbata debe significar algo más. Esto es así ya que el nudo de la corbata, como otros

tipos de nudos, pertenecen a la importante Teoría de Nudos, una rama de las Matemáticas que se re-

monta a los tiempos de Gauss a mediados del s. XIX con una cuestión típica de las Matemáticas Puras:

¿se puede hallar una forma matemática de describir los nudos?.

Basado en el reciente trabajo "Tie knots, random walks and topology" publicado en 1999 por los

autores Thomas M. A. Fink y Yong Mao, indicaremos un modelo matemático que caracterice el nudo de

una corbata, aunando en dicho estudio ciencia y estética.

Describiremos al final las 85 maneras de anudarse la corbata revelando en algunas de ellas el

nombre con el que se las reconoce culturalmente.

Introducción.-

Una razón por la cual la Teoría de Nudos es un área tan truculenta, es que resulta difícil ver si

dos nudos son el mismo, simplemente mirándolos. Por ejemplo, los magos de show siempre le presen-

tan a uno lo que parece ser una cuerda anudada, pero entonces al estirar la cuerda, el "nudo" simple-

mente se esfuma. La cuerda no estaba realmente anudada; solo estaba "enrededada".

Así pues, ¿a quien le importa?, ¿tiene este resultado alguna importancia práctica?. Aparte de la

importancia que tienen los nudos para los acampantes y marineros, ¿tiene la Teoría de Nudos otros

usos?. Pues, como siempre ocurre en Matemáticas, lo que comienza como una cuestión de pura curio-

sidad, resulta ser de gran importancia en al menos dos ciencias.

Los físicos creen que la materia está formada por pequeñísimos lazos de espacio-tiempo, las

cuerdas de la Teoría de las Supercuerdas, y, por tanto, las matemáticas de la Teoría de Nudos resultan

ser apropiadísimas para su estudio y descripción.

Segundo, la Teoría de Nudos juega un papel en nuestra comprensión del ADN. Por ser tan larga,

una molécula típica de ADN debe retorcerse sobre sí misma para caber en la célula. Algunos virus tra-

bajan cambiando la estructura de nudo del ADN, haciéndolo comportarse de diferente manera (para

beneficiar al virus en lugar del "propietario" original del ADN). Usando microscopios electrónicos y las

matemáticas de los nudos, equipos de trabajo de matemáticos y biólogos han comenzado a trazar un

camino para comprender cómo es que algunos virus infectan y se posesionan de las células. Este cono-

cimiento podría conducir al descubrimiento algún día de medicinas más efectivas para luchar contra

ciertas enfermedades.

Con aplicaciones como estas, casi cualquier avance en nuestro conocimiento de los nudos podría

tener una enorme importancia.

Nudos. Nudos de corbata. Definiciones.-

Una vez colocada la corbata en el cuello, el extremo más ancho (activo) se pasa alrededor del

extremo más estrecho (pasivo) de manera que aquél quede libre para así meterlo a través del nudo

resultante.





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El nudo de la corbata se comienza pasando el extremo activo hacia la izquierda, bien por encima

o bien por debajo del extremo pasivo, formando una base de tres radios que divide el espacio en tres

zonas: Izquierda, Derecha y Centro (I, D, C) como se muestra en la figura siguiente.

Dos maneras de comenzar un nudo.

Para los nudos que comiencen con I , la corbata debe colo-

carse con el envés hacia fuera.

(Esta y todas las demás ilustraciones que aparecen están re-

presentadas como una imagen de la corbata ante un espejo)

Para completar el nudo debemos pasar el extremo activo por la

parte delantera del nudo o sea D I o bien I D y luego por

detrás hacia el centro C y finalmente a través del nudo que acabamos

de hacer. Este último movimiento no se considera como tal a efectos

de cómputo y lo designaremos como T.

Dos maneras de finalizar un nudo.

El extremo activo se pasa a través (T) del bucle construido en los tres últimos movimientos.

Podemos ahora definir un nudo de corbata como cualquier secuencia de movimientos elegidos

entre el grupo { I , I , D , D , C , C }, comenzando

con I o I y terminando con D IC T o I DC T. La

secuencia está reducida para que no se realicen en la misma

zona dos movimientos consecutivos

( p.e. D D ) o en la misma dirección (p.e. C I ).

El four-in-hand, por ejemplo, está representado por la secuencia I D IC T.

Cada nudo de corbata corresponde a una secuencia claramente única y cada secuencia válida a un nu-

do válido para una corbata. Por fin tenemos una definición satisfactoria de los nudos de corbata.

I I

Fig. 1

...(D IC )T ...(I DC )T

Fig. 2

El nudo four-in-hand representado por la secuencia ID IC T

Fig. 3





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Nudos de corbata como paseos aleatorios.-

Recordemos la definición del nudo de la corbata como una secuencia de movimientos elegidos

del siguiente grupo: I , I , D , D , C , C , que se inicia con I o I y termina con la subse-

cuencia D IC T o I DC T. La secuencia está limitada en el sentido de que dos movimientos

consecutivos no pueden indicar la misma región o dirección.

Vamos a representar una serie de secuencias de nudos como paseos aleatorios sobre una rejilla

triangular. Los ejes i, d, c corresponden a las tres regiones de I, D y C y sus vectores unitarios los se-

ñalaremos como i,d y c . Omitiremos la notación direccional , y la acción terminal T. Ya que todas

las acciones de nudos acaban en C y alternan entre y , todos los nudos de números impares de

movimientos empiezan con I , mientras que los que tienen un número par empiezan con I . Nuestra

notación simplificada así está, por lo tanto, bien definida.

La simetría triple de las regiones de movimiento implica que sólo son aceptables los pasos dados

sobre los ejes positivos de la rejilla y que, al igual que en los movimientos, no puede haber dos pasos

consecutivos idénticos. Esta última condición hace que nuestro paseo pueda ser definido como una ca-

dena de Markov de segundo orden.

El tamaño de un nudo, y el parámetro principal mediante el que lo clasificamos, es el número de

movimientos en la secuencia de nudos, denotada por el número h half-winding. La secuencia inicial y

terminal dictan que el nudo más pequeño sea determinado por la secuencia I DC T, siendo h=3.

Las consideraciones prácticas (p.e., la longitud finita de la corbata) así como las estéticas sugieren una

cota límite superior para el valor de h; por ello limitaremos nuestros resultados estéticos al número

h9. El número de nudos como función del tamaño, K(h), corresponde al número de paseos de longitud

h sujetos a las condiciones iniciales y terminales.

Si consideramos los movimientos I, D y C como pasos sobre una rejilla triangular, cada nudo de

corbata corresponde a un paseo aleatorio. Teniendo en cuenta esta relación, podemos usar técnicas de

recuento para clasificar los nudos según tamaño y forma y cuantificar el número de nudos de cada cla-

se. Entonces se imponen una serie de limitaciones estéticas de simetría y equilibrio.

Un nudo de corbata puede ser representado como un paseo alea-

torio persistente sobre una rejilla triangular, comenzando con I y

terminando con I DC o D IC . Sólo están permitidos

los pasos sobre los ejes positivos i, d, y c y no se pueden dar dos

pasos consecutivos iguales.

En esta ilustración representamos el nudo four-in-hand

indicado por el paseo IDIC

Paseos aleatorios por la 3-rejilla.

Fig. 4





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Obtengamos K(h) utilizando el modelo de los paseos aleatorios y las cadenas de

Markov correspondientes:

- Condiciones iniciales: Se empieza siempre con el movimiento indicado por I1 y se continúa

en el segundo paso o bien con D2 o con C2. Luego el vector de entrada será en esta cadena

el siguiente: (I2,D2,C2)=(0,1/2,1/2)

- Condiciones de paso:

Matriz de paso:

0 1/ 2 1/ 2

1/ 2 0 1/ 2

1/ 2 1/ 2 0

- Condiciones finales: El paseo aleatorio tendrá que terminar en las subsecuencias In+3Dn+4Cn+5

o bien Dn+3In+4Cn+5.

Observemos en la figura siguiente el diagrama en árbol correspondiente al caso h=7

Fig. 5

En este caso tenemos que n+5= 7;

Ip+1 Dp+1 Cp+1

Ip 0 1/2 1/2

Dp 1/2 0 1/2

Cp 1/2 1/2 0





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(0,1/2,1/2)*

20 1/ 2 1/ 2

1/ 2 0 1/ 2

1/ 2 1/ 2 0

= (1/4,3/8,3/8), que representa el vector de probabilidad correspon-

diente al estado (I4,D4,C4).

Veamos cómo afecta este resultado para las dos subsecuencias favorables y equiprobables.

i) Para la I5D6C7 tenemos que sumar los valores 3/8 y 3/8 relativos a D4 y C4.

ii) Para la D5I6C7 tenemos que sumar los valores 1/4 y 3/8 relativos a I4 y C4.

Por fin, efectuamos la suma ponderada:1/2*(3/8 + 3/8)+1/2*(1/4 + 3/8) =11/16.

Este hecho revela una información más importante aún: el número de nudos de corbata que po-

demos hacer con 7 movimientos. Y esto es así porque, para las dos secuencias posibles: I1 I5 D6

C7 y I1 D5 I6 C7 obtenemos un total de 2* 2^3 = 2^4= 16 caminos posibles, igual que el valor

del denominador anterior. Por tanto el número de nudos de corbata que podemos hacer con 7 movi-

mientos será igual a 11.

En general, el proceso guiado por el programa DERIVE nos conduce al siguiente desarrollo:

PASEOS ALEATORIOS POR TRI-REJILLA





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Luego la matriz de paso se puede diagonalizar.





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La probabilidad final de que en un paseo aleatorio de (n+5) movimientos por la

3-rejilla se termine en nudo de corbata es igual a :

Por tanto el número de nudos de corbata de (n+5) movimientos vendrá dado por

la expresión numérica del numerador de la fracción anterior, cuando el denomi-

nador de ésta sea igual a 2^(n+2):





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El número total de nudos de corbata desde 3 hasta 9 movimientos será igual a

85, ya que:

Nudos de corbata. Simetría, tamaño y forma.-

La forma de un nudo depende del número de movimientos hacia la derecha (D), centro (C) e iz-

quierda (I) de una secuencia de corbata. Dado que la simetría dicta que exista un número igual

de movimientos hacia la derecha que hacia la izquierda, el tamaño de un nudo dependerá del

número de movimientos hacia el centro, . Usamos este signo para clasificar nudos del mismo ta-

maño h; los nudos con una h o idénticas pertenecerán a la misma clase. Las siguientes cuestiones

surgen de un modo inmediato, cuántas clases distintas tenemos y cuántos son los representantes de

cada clase.

El número de nudos en una determinada clase, K(h, ) corresponderá al número de pa-

seos de longitud h que contienen pasos C, comenzando con I (condición inicial) y termi-

nando con las subsecuencias IDC o DIC (condición final). La secuencia de pasos puede conside-

rarse una secuencia más gruesa de grupos , estando cada grupo compuesto de D e I y separado de

otros grupos por una C en la derecha; por ejemplo, el nudo ICDICDIC de longitud h=8 tiene tres gru-

pos de longitudes 1, 2 y 2.

El número de estructuras centrales será equivalente al producto de 21 por el número

de maneras ordenadas de dividir el número entero h en números enteros positivos, sujetas

a la condición terminal requerida de que el grupo final no sea de longitud 1. Veamos todo

esto con mayor detalle. En primer lugar usaremos un ejemplo y posteriormente generaliza-

remos este procedimiento.

Caso de K(7,3). Se tratará de contar el número de nudos de esta clase.

Para ello, fijémonos en todos los nudos de 7 pasos. Son estos 11: {IDIDIDC; IDICIDC; IDCDIDC; ICIDIDC; ICICIDC; ICDCIDC; IDICDIC; IDCIDIC; ICICDIC; ICDIDIC; ICDCDIC.}

De entre ellos, sólo tenemos con = 3 los 4 siguientes: ICICIDC; ICDCIDC; ICICDIC; ICDCDIC.

En definitiva, K(7,3)= 4. Y, ¿cómo obtener este número?

Para ello observamos que en cualquier secuencia favorable encontramos 3 grupos centrales (que ter-

minan en C) de un número positivo de elementos, en este caso de 1 ó 2. Por ejemplo, la secuencia

ICICIDC es equivalente a 1-1-2.

En general, para todo nudo de corbata de tamaño h, el número de movimientos centrales será

un entero comprendido entre 1 y 1/2(h1). Para toda secuencia central dentro del cómputo de K(h, )

aparecen n1 bloques de 1 elemento, n2 bloques de 2 elementos, n3 bloques de 3 elementos y así suce-





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sivamente hasta el último que correspondería a nk donde k sería la solución de la ecuación:

(1)+ + k = h, esto es, k= h2 +1.

Estos números ni verifican estas dos relaciones:

1 2 h 2. 1

1 2 h 2. 1

n n ... n

1.n 2.n ... (h 2. 1).n h

;

lo que nos dice que el número de estructuras centrales es equivalente al número de maneras ordena-

das de dividir el número h en números positivos y este número no es otro que el siguiente número

combinatorio (h ) ( 1) h 1

1 1

En nuestro caso sería 1 2

1 2

n n 3

1.n 2.n 4

y el número combinatorio

4 1 33

3 1 2

que así contabilizaría las

ordenaciones 112; 121 y 211. De estas secuencias hay que eliminar aquellas cuyo bloque final sea de

longitud 1 (¿? Para que sea nudo de corbata tiene que terminar en secuencia IDC o DIC ,es decir, ma-

yor o igual que 2).

Por tanto tenemos que 112; 121 y 211 y nos queda solamente la 112. A su vez para esta ordenación

habrá que considerar las 22 variantes diferentes para los signos D e I en las posiciones dadas excepto

en la primera que siempre empieza por I.

De este modo sólo nos quedan las palabras ICICIDC; ICDCIDC; ICICDIC; ICDCDIC.

En general la diferencia de los númerosh 1

1

y

h 2

2

representa el número de palabras

cuyo grupo final ya no es de longitud 1.

Por fin, K(h, )= 1 h 1 h 22 .

1 2

] = 1 h 2

2 .1

En nuestro caso particular, K(7,3) = 2 7 3 2 22 . 4. 4

3 1 2

Los 85 nudos se engloban en 16 clases de nudos diferentes (h, ). Estas clases son: {(3,1); (4,1); (5,1); (5,2); (6,1); (6,2); (7,1); (7,2); (7,3); (8,1); (8,2); (8,3); (9,1); (9,2); (9,3) ; (9,4) }

Los tipos (7,1), (8,1) y (9,1) no contienen nudos lo suficientemente estéticos como para merecer nues-

tra atención, por lo que nos quedamos con 13 clases principales de nudos.

Simetría y equilibrio.-

La simetría de un nudo, que constituye la primera limitación estética, se emplea para seleccio-

nar una serie de nudos con el mismo número de movimientos hacia la izquierda y hacia la derecha.

Esta se define como el valor absoluto de aquella diferencia.

Si consideramos xi = 1 si el paso i-ésimo es D, 1 si el paso i-ésimo es I y 0 en los demás casos, en-

tonces h

i

1

s x . Nos fijaremos principalmente en aquellos nudos de cada clase que minimizan a s. Se

tendrá que para aquellos nudos en los que la diferencia h sea par el valor s óptimo será igual a 0, y

para los que h es impar, entonces el valor óptimo será s= 1.

Si bien el número de movimientos hacia el centro y la simetría indican la composición de movi-

mientos de una secuencia de nudos, el equilibrio alude a la distribución de dichos movimientos.

Un nudo bien equilibrado debe estar firmemente anudado y mantener su forma. Usaremos este con-

cepto como segunda limitación estética.





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Dejemos que i represente el paso i del paseo. La dirección i :(i i+1) es igual a 1 si la transi-

ción de i a i+1 se hace según el sentido de las agujas del reloj y 1 en caso contrario. Para ello, fijé-

monos en la representación de la tri-rejilla:

Por lo tanto, el equilibrio b puede expresarse así: h 1

i i 1

2

1b

2

.

De entre aquellos nudos que son óptimamente simétricos, nos quedaremos con los que minimi-

zan el valor de b. Los nudos cuya longitud h es de la forma 3k y 3k+2 sí pueden llegar a tener equili-

brio 0, y para el resto el equilibrio óptimo se alcanzaría en el valor 1.

Los nudos de cada clase están ordenados por criterios de simetría y equilibrio.

Resumen de los 85 nudos de corbata.-

Resumen de los 85 nudos de corbata, descritos, de izquierda a derecha, mediante el tamaño h,

centro , secuencia, simetría s , equilibrio b y su nombre, si lo tuviera. n h Secuencia s b Nombre

1.- 3 1 I DCT 0 0 Oriental

2.- 4 1 I DICT 1 1 Four-in-hand

3.- 5 1 I DIDCT 0 2 Kelvin

4.- 5 2 I CDICT 1 0 Nicky

5.- 5 2 I CIDCT 1 1 Pratt

6.- 6 1 I DIDICT 1 3 Victoria

7.- 6 2 I DCIDCT 0 0 Medio Windsor

8.- 6 2 I DCDICT 0 1

9.- 6 2 I CDIDCT 0 1

10.- 6 2 I CIDICT 2 2

11.- 7 1 I DIDIDCT 0 4

12.- 7 2 I DICDICT 1 1 San Andrés

13.- 7 2 I DCIDICT 1 1

14.- 7 2 I DICIDCT 1 2

15.- 7 2 I DCDIDCT 1 2

16.- 7 2 I CDIDICT 1 2

17.- 7 2 I CIDIDCT 1 3

18.- 7 3 I CDCIDCT 0 1 Plattsburgh

19.- 7 3 I CDCDICT 0 2

20.- 7 3 I CICDICT 2 2

21.- 7 3 I CICIDCT 2 3

22.- 8 1 I DIDIDICT 1 5

23.- 8 2 I DICDIDCT 0 2 Cavendish





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24.- 8 2 I DIDCIDCT 0 2

25.- 8 2 I DCIDIDCT 0 2 Christensen

26.- 8 2 I DIDCDICT 0 3

27.- 8 2 I DCDIDICT 0 3

28.- 8 2 I CDIDIDCT 0 3

29.- 8 2 I DICIDICT 2 3

30.- 8 2 I CIDIDICT 2 4

31.- 8 3 I CDICDICT 1 0 Windsor

32.- 8 3 I CIDCIDCT 1 1

33.- 8 3 I CDICIDCT 1 1

34.- 8 3 I DCICDICT 1 1

35.- 8 3 I CIDCDICT 1 2

36.- 8 3 I DCDCIDCT 1 2

37.- 8 3 I DCICIDCT 1 2

38.- 8 3 I CDCIDICT 1 2

39.- 8 3 I DCDCDICT 1 3

40.- 8 3 I CICDIDCT 1 3

41.- 8 3 I CDCDIDCT 1 3

42.- 8 3 I CICIDICT 3 4

43.- 9 1 I DIDIDIDCT 0 6

44.- 9 2 I DIDCIDICT 1 3 Grantchester

45.- 9 2 I DICDIDICT 1 3

46.- 9 2 I DIDICDICT 1 3

47.- 9 2 I DCIDIDICT 1 3

48.- 9 2 I DIDCDIDCT 1 4

49.- 9 2 I DICIDIDCT 1 4

50.- 9 2 I DIDICIDCT 1 4

51.- 9 2 I DCDIDIDCT 1 4

52.- 9 2 I CDIDIDICT 1 4

53.- 9 2 I CIDIDIDCT 1 5

54.- 9 3 I DCIDCIDCT 0 0 Hanover

55.- 9 3 I DCDICDICT 0 1

56.- 9 3 I DCIDCDICT 0 1

57.- 9 3 I CDIDCIDCT 0 1

58.- 9 3 I CDICDIDCT 0 1

59.- 9 3 I DCDICIDCT 0 2

60.- 9 3 I CDIDCDICT 0 2

61.- 9 3 I DICDCIDCT 0 2

62.- 9 3 I DCICDIDCT 0 2

63.- 9 3 I DICDCDICT 0 3

64.- 9 3 I DCDCIDICT 0 3

65.- 9 3 I CIDCDIDCT 0 3

66.- 9 3 I CDCIDIDCT 0 3

67.- 9 3 I CDCDIDICT 0 4





_________________________________________________________________________________


68.- 9 3 I CIDICDICT 2 2

69.- 9 3 I CIDCIDICT 2 2

70.- 9 3 I CDICIDICT 2 2

71.- 9 3 I CIDICIDCT 2 3

72.- 9 3 I DICICDICT 2 3

73.- 9 3 I DCICIDICT 2 3

74.- 9 3 I DICICIDCT 2 4

75.- 9 3 I DCDCDIDCT 2 4

76.- 9 3 I CICDIDICT 2 4

77.- 9 3 I CICIDIDCT 2 5

78.- 9 4 I CDCICDICT 1 2 Balthus

79.- 9 4 I CICDCIDCT 1 3

80.- 9 4 I CDCDCIDCT 1 3

81.- 9 4 I CDCICIDCT 1 3

82.- 9 4 I CICDCDICT 1 4

83.- 9 4 I CDCDCDICT 1 4

84.- 9 4 I CICICDICT 1 4

85.- 9 4 I CICICIDCT 1 5

De entre estos 85 nudos cabría destacar 16 clases de nudos diferentes (h, ) que serían los siguientes: {(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(7,1),(7,2),(7,3),(8,1),(8,2),(8,3),(9,1),(9,2),(9,3),(9,4)}

Los tipos (7,1), (8,1) y (9,1) no contienen nudos lo suficientemente estéticos cojo para merecer nues-

tra atención, por lo que nos quedaremos con las 13 clases principales de nudos.

n h Secuencia s b Nombre

1.- 3 1 I DCT 0 0 Oriental

2.- 4 1 I DICT 1 1 Four-in-hand

3.- 5 1 I DIDCT 0 2 Kelvin

4.- 5 2 I CDICT 1 0 Nicky

5.- 6 1 I DIDICT 1 3 Victoria

6.- 6 2 I DCIDCT 0 0 Medio Windsor

7.- 7 2 I DICDICT 1 1 San Andrés

8.- 7 3 I CDCIDCT 0 1 Plattsburgh

9.- 8 2 I DICDIDCT 0 2 Cavendish

10.- 8 3 I CDICDICT 1 0 Windsor

11.- 9 2 I DIDCIDICT 1 3 Grantchester

12.- 9 3 I DCIDCIDCT 0 0 Hanover

13.- 9 4 I CDCICDICT 1 2 Balthus





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EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS.

Ejercicio 1.- Efectúa los siguientes productos de matrices: a) A.B b) B.A c) A.I d) I.A e)A2 f) A4 , siendo:

i) 5 3 2 2 1 0

; ;2 1 10 1 0 1

A B I

ii)

1 2 1 1 2 1 1 0 0

0 1 4 ; 1 0 1 ; 0 1 0

2 1 2 3 2 2 0 0 1

A B I

Ejercicio 2.- Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices:

i) 5 3 2 2 1 0

; ;2 1 10 1 0 1

A B I

ii)

1 2 0 1 2 1 1 0 0

0 1 4 ; 1 0 1 ; 0 1 0

2 1 2 3 2 2 0 0 1

A B I

Ejercicio 3.- Calcula la descomposición diagonal de las matrices siguientes:

i) 5 3 2 2

;2 1 10 1

A B

ii)

1 2 1 1 2 1

0 1 4 ; 1 0 1 ;

2 1 2 3 2 2

A B

Ejercicio 4.- Calcula las potencias n-ésimas de las matrices:

i) 5 3 2 2

;2 1 10 1

A B

ii)

1 10

2 2

1 10

2 2

1 10

2 2

A

BIBLIOGRAFÍA:

1. Thomas M. A. Fink y Yong Mao, 1999, "Designing Tie Knots By Random Walks", Nature, Vol 398, p31.

2. Thomas M. A. Fink y Yong Mao, 2001, "Las 85 maneras de anudarse la corbata"

Ciencia y Estética del nudo. Editorial Debate. Barcelona.

ACTIVIDAD 1

Vitruvio afirma en el texto De Architectura:

“El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca un

hombre boca arriba, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del compás

en su ombligo y trazando una circunferencia, esta tocaría la punta de ambas manos y

los dedos de los pies”.

Leonardo afirma en el texto que acompaña al dibujo del Hombre de Vitrubio: "(...) has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará

situado en tu ombligo (...)" .

Fig. 1. http://www.arqweb.com/vitrum/hombre.asp

Comprobar sobre el dibujo que el centro de la circunferencia está situado en el

ombligo.

Fig. 2. Hombre de Vitrubio

ACTIVIDAD 2

Tanto Leonardo da Vinci como Vitruvio, mencionan en sus textos la posibilidad de

trazar un cuadrado a partir de un hombre con los brazos en cruz. Así Leonardo

dice: ”La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura”.

Y Vitruvio escribe:

“…lograr también un cuadrado: si se mide desde la planta de los pies hasta la

coronilla, la medida resultante será la misma que se da entre las puntas de los dedos

con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como

los cuadrados que trazamos con la escuadra”.

Comprobar sobre la Fig. 2 que la información de arriba es cierta. Para ello hemos

trazado las dos diagonales del cuadrado y hemos verificado que el corte de ambas

diagonales coincide con el nacimiento de los genitales.

NOTA: Vitruvio, por su parte, no menciona en ningún momento el nacimiento de los

genitales, como punto que divide la altura en partes iguales.

ACTIVIDAD 3

Tanto Leonardo como Vitruvio atribuyen a la cara una longitud igual a la décima

parte de la altura de un hombre.

Leonardo escribe:

“…Desde el nacimiento del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la

altura de un hombre…”.

Mientras que Vitruvio, a su vez, afirma:

“(...) el rostro, desde la barbilla hasta la parte mas alta de la frente, donde están las

raíces del pelo, mida una décima parte de su altura total.”

Comprobar sobre la Fig. 2 que es cierto.

ACTIVIDAD 4

En el texto que acompaña al Hombre de Vitruvio de Leonardo, afirma que:

“…La mano completa será la décima parte del hombre…”

En el texto de Vitruvio De Architectura decía que:

“… La palma de la mano, desde la muñeca hasta el extremo del dedo medio, mide

exactamente lo mismo…”

Comprobar sobre la Fig. 2 que la mano es la décima parte del hombre.

.

ACTIVIDAD 5

Leonardo nos dice que:

“…desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un

hombre.”

Vitruvio hace referencia a la misma medida de un sexto, pero referida a la

distancia desde el esternón a la raíz del pelo:

“…una sexta parte mide desde el esternón hasta las raíces del pelo…”

Comprobar sobre la Fig. 2 que desde el pecho al extremo de la cabeza es 1/6 de la

altura de un hombre.

1OTA: Las imágenes se han tomado de las siguientes páginas de INTERNET:

http://leonardocodigoabierto.blogspot.com/2006/11/el-hombre-de-vitruvio.html

http://www.arqweb.com/vitrum/index.asp

http://centros.edu.xunta.es/iesramoncabanillas/cuadmat/indhv.htm

3.- informe acadÉmico de veteranos -...

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