Módulo 2Pensamiento lógico

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2.2- Lógica Formal2.2.1- Historia de la Lógica

La Lógica fue una de las ramas tradicionales de la Filosofía; si bien culturas no occidentales como la india o la china tuvieron importantes desarrollos de la Lógica, durante siglos, se consideró en Occidente que la Lógica Silogística de Aristóteles era el paradigma definitivo de esta ciencia, aceptada como un cuerpo de conocimiento acabado.

La historia de la Lógica se remonta a la Grecia Antigua, se le atribuyó a Aristóteles, quien fue su primer sistematizador. Sus obras fueron agrupadas en un conjunto que se denominó

Organon. Los filósofos siempre pretendieron recalcar que el conocimiento de las leyes del razonamiento que proporcionaba esta ciencia, era fundamental como paso previo y fundamental para cualquier tipo de estudio, sobre todo respecto a la Filosofía. La Lógica Aristotélica parte del supuesto de que las formas de pensamiento reproducen la realidad; se ocupa de los conceptos y de las categorías del pensamiento completándose con el análisis de los juicios y de las formas de razonamiento centrándose en las formas de demostración adecuadas al conocimiento científico. En la parte central de su teoría, Aristóteles expone cuatro tipos de proposiciones a partir de las cuales formula sus propuestas de argumentación válida, junto con la Teoría de los Silogismos.

Estos enunciados son: el universal afirmativo (A) por ejemplo “todos los hombres son mortales”, el universal negativo (E), por ejemplo “ningún hombre es mortal”, el particular afirmativo (I) por ejemplo, “algunos hombres son mortales”, y el particular negativo (O) “algunos hombres no son mortales”. Una manera de representar esto que expusimos, es a través del cuadro de la oposición:

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Las relaciones lógicas que se dan entre estos enunciados son: contrarias entre A y E; subcontrarias entre I y O; subalternas entre los particulares es decir, entre A e I y E y O.

Los contrarios pueden ser ambos falsos, pero no ambos verdaderos, los subcontrarios por su parte, pueden ser ambos verdaderos, pero no ambos falsos. Sin embargo, la verdad de la subalternante, es decir, de A o de E, se sigue la verdad de las subalternadas, de I y O, pero no a la inversa. Por último, los enunciados contradictorios, si uno es verdadero entonces el otro es falso y a la inversa. Ejemplos: decir que “todos los hombres son mortales” (A) y decir que “algunos hombres no son mortales” (O), como son relaciones contrarias pueden ser ambos enunciados falsos pero no ambos verdaderos ya que si decimos que “todos” son mortales, en la categoría “todos” no pueden existir “algunos” que no lo sean.

Aristóteles elaboró la Silogística y el planteamiento de la investigación según el método deductivo, que junto con los estoicos, quienes se dedicaron a una Lógica de las Proposiciones, caracterizaron la historia de la Lógica Clásica.

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Actividad Nº 3

Mira el video atentamente pudiendo identificar premisas y conclusiones con sus correspoh t t p s : // w w w . yo u tu b e. c om / wa t ch ? v =gM g D Q OV nJ 1 c (Encontrarás este enlace dentro de la carpeta Anexo Videos de este módulo)

Puedes encontrar este video en la Carpeta Anexos, dentro de la CarpetaLecturas del Módulo 2.

Ahora organiza las proposiciones y conclusiones de los tres silogismos si

Todo arquitecto es creativo Alguna mujer es argentina Toda mujer es dedicada Ningún reptil es roedorJosé es creativoToda ardilla es roedorJosé es arquitectoAlguna argentina es dedicadaNingún reptil es ardilla

En este sentido Aristóteles afirma que los silogismos consisten en una inferencia que se produce a partir de dos premisas de las que se deriva necesariamente la conclusión; es una estructura de pensamiento en que tres juicios están relacionados entre ellos de manera tal que uno deriva de los otros dos.

Un silogismo se compone de una premisa menor, una premisa mayor y una conclusión:

Premisa menor: todo B es C

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Premisa mayor: todo C es D Conclusión: todo B es D

Lo que hace Aristóteles es denominar el término D, el predicado de la conclusión, como el término mayor; B, el sujeto de la conclusión se denomina término menor; y C, el término que figura sólo en las dos premisas, se denomina término medio. Para facilitar un ejemplo diremos:

Todos los hombres son mortales Todos los africanos son hombres Todos los africanos son mortales

En este caso, el término medio está identificado con la palabra “hombres”que aparece en la premisa menor como en la mayor pero no en la conclusión; el término mayor es “mortales” presente en la premisa menor y el término menor representado por la palabra “africanos”, estos dos últimos presentes en la conclusión.

El gran paso de la Lógica se dio con la evolución de la ciencia moderna y el desarrollo del pensamiento matemático, que dio origen a la Lógica como disciplina exacta1. Después de que Descartes descubriera que los problemas geométricos se podían traducir a problemas algebraicos, los métodos geométricos fueron reemplazados por éstos. Los métodos simbólicos descubiertos por Newton y Leibniz, hicieron posible que las sucesivas generaciones usaran cálculos ordinarios para desarrollar la ciencia. Leibniz por su parte, no estaba satisfecho con la Lógica Aristotélica, y desarrolló sus ideas para mejorarla.Cabe mencionar que a lo largo de la historia, tanto filósofos clásicos como modernos y contemporáneos, pusieron de relieve la necesidad de la Lógica como el estudio de las estructuras formales, que era por medio de la forma de las proposiciones como se podían evaluar los argumentos y determinar los casos de consecuencias lógicas correctas.

En el siglo XIX se hizo un esfuerzo por desarrollar una base firme sobre la cual fundamentar las Matemáticas, con definiciones precisas, axiomas y construcciones. La imprecisión en las definiciones provocaba confusión. Algunos de los principales exponentes de esta época que han intentado desarrollar la Lógica en sus pensamientos son Descartes, Leibniz y Frege. Descartes afirmó que era posible la construcción de un lenguaje como la Aritmética teniendo como punto de partida nuestras ideas claras y simples. Formuló reglas lógicas para el descubrimiento, estableciendo como criterio de verdad la claridad y la distinción de las ideas y su método fue la duda metódica.

1 La Lógica también llamada formal o simbólica desarrollada por algunos de estos pensadores, será desarrollada en esta lectura.

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Por su parte, Leibniz, planteó aplicar la deducción matemática al contexto de los razonamientos filosóficos; por último Frege fue quien consiguió la elaboración de un cálculo lógico perfecto, desarrolla el primer sistema axiomático plenamente simbolizado, que tiene relación con un trabajo matemático y también filosófico. Su principal aporte es un sistema de lógica en el que en lugar de analizar las proposiciones en sujeto y predicado, propone verlas bajo la forma de función y argumento. Su propósito es establecer la mejor forma de establecer la verdad de una proposición. Otro de los aspectos sobre los que Frege hace hincapié es que encuentra que su lenguaje simbólico puede facilitar, para los propósitos científicos, el análisis, y el conocimiento de nuevas verdades para el avance de la ciencia.En la época moderna lo que surge es el desarrollo del pensamiento lógico- matemático que aumentó las posibilidades de aplicación a mecanismos automáticos y a computadoras, utilizando métodos algebraicos, aritméticos, axiomáticos, entre otros. Lo que se logró con esto es una mayor abstracción y autonomía respecto al contenido de las proposiciones.

Actividad Nº 4

Vemos otro video que resulta esclarecedor de la lectura.

h t t p s : // w w w . yo u tu b e.c om / wa t ch ? v =NT x L F E 9 W 8 RI (Encontrarás este enlace dentro de la carpeta Anexo Videos de este

módulo)A partir de la explicaciones dadas se solita que redactes un texto en

el que registres lo principal del video.Para ello puedes guiarte con las siguientes ideas centrales:- Definición de Lógica- Estructura del pensamiento- Lógica y pensamiento- Fundador de la Lógica- Conceptos y juicios

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2.2.2 -Tipos de lenguaje: natural y artificial.Ya hemos hablado de las dificultades que el lenguaje natural —el que usamos habitualmente en nuestra vida cotidiana— trae aparejado a la hora de elaborar razonamientos y extraer conclusiones correctas. Suele llamarse lenguaje natural al que utilizamos los seres humanos para comunicarnos y expresarnos y que ha ido formándose paulatinamente con el paso de los siglos. El adjetivo “natural” se contrapone al de “artificial” indicando que este tipo de lenguaje se ha conformado sin el diseño ni la prescripción de ninguna disciplina. No ha sido forjado por nadie sino que se ha ido haciendo “naturalmente” a causa de la interacción cotidiana entre los hablantes y las comunidades de hablantes.

Los razonamientos formulados en castellano o en cualquier otra lengua natural son a menudo difíciles de evaluar debido a la naturaleza vaga y equívoca de las palabras usadas. Una expresión cualquiera de las que escuchamos habitualmente puede considerarse una expresión del lenguaje natural, por ejemplo: “La margarita es una flor blanca de corazón amarillo”

Si bien todo lenguaje es en cierta forma artificial, suele llamarse natural al que aprendemos sin mayores esfuerzo desde el momento de nuestro nacimiento y utilizamos habitualmente. El lenguaje artificial, en cambio, como su nombre lo indica, es un lenguaje creado deliberadamente con la intención de que cumpla alguna función, algún objetivo específico. Es un lenguaje diseñado y aplicado adrede a diferentes fenómenos o aspectos de la realidad con el propósito de lograr mayor precisión y rigurosidad.

El lenguaje artificial puede dividirse en dos subtipos de lenguaje: el lenguaje técnico y el simbólico. El primero de ellos consiste en todas las “jergas” que se utilizan en las diferentes profesiones y oficios. No obstante, aun este tipo de lenguaje, aunque gane precisión y economice recursos lingüísticos sigue utilizando las formas y los términos del lenguaje natural, sólo que su significado está más acotado. Volviendo a nuestro ejemplo, “Margarita” podría ser el nombre de una mujer a la que un amigo poeta se refiere a ella a través de la metáfora “flor blanca de corazón amarillo”. Por más que ese no sea el caso, debemos admitir que el lenguaje natural admite esa posibilidad por su riqueza expresiva y, simultáneamente, por su ambigüedad y vaguedad intrínsecas. Sin embargo, la expresión “La Chrysanthemun leaucanthemum es una flor que tiene un centro discoidal de color amarillo y pétalos blancos” es una expresión que deja menos margen a la confusión porque su significado es más acotado. Es porque esa expresión está formulada en un lenguaje técnico.El lenguaje formal o simbólico, en cambio, consiste en la utilización de símbolos —de ahí su nombre— que guardan cierta autonomía con las

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expresiones del lenguaje natural. Por ejemplo lo que en lenguaje natural puede leerse como “La margarita es blanca” en lenguaje simbólico podría leerse como “M es B” donde M significaría “Margarita” y B significaría “Blanca”. Posteriormente podríamos operar con los símbolos M y B sin preocuparnos por su contenido, es decir por su significado. Esto posee una ventaja que no posee ni el lenguaje natural, ni el lenguaje técnico: no hay vaguedades ni ambigüedades ya que se constituye a nivel sintáctico.

La rama de la Lógica que opera con símbolos vacíos de contenido se denomina, obviamente, Lógica Simbólica. También se le denomina Lógica Formal, porque nos interesa la forma del enunciado y no el contenido. Por ejemplo, M es B puede ser la Margarita es Blanca, pero también puede ser “Marta es Buena”, y si nos alejamos de relación entre las letras y las iniciales de nuestras expresiones podemos decir que también podría ser “el cuervo es negro” o “la pelota es redonda”, todos estos enunciados tienen la misma forma: “P es Q”. Habrán observado que cambiamos las letras, de “M es B” a “P es Q”, esto es porque en realidad en Lógica Formal no importa en sí mismo que símbolo (letra en este caso) se utilice sino la forma de los enunciados, en este caso la forma del enunciado es “algún X es Y” (nótese que ahora usamos X e Y para insistir en que no importa el símbolo sino la forma).

2.2.3. -Lenguaje formal y simbólicoLas ventajas del lenguaje formal no solamente se reducen a la capacidad de eliminar ambigüedades y vaguedades del lenguaje ordinario o natural, sino también que nos permiten operar con mayor precisión con los razonamientos y proposiciones que la pesadez del lenguaje natural obstaculizaría.

La aparición de la Lógica Simbólica es comparable con la situación a la que condujo el reemplazo de los números romanos por los números arábigos, estos son más fáciles de comprender y de manipular pero eso sólo se evidencia cuando calculamos: “Cualquier niño de escuela primaria puede multiplicar 113 por 9”. Irving Copi (1962, p.110)

Pero multiplicar CXIII por IX es una tarea más difícil y la dificultad aumenta si consideramos números mayores. De manera similar, la adopción de una notación lógica especial facilita grandemente la derivaci6n de inferencias y la evaluación de razonamientos.”

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Pero veamos cuál es esa notación específica que ha facilitado tanto la Lógica en estos últimos dos siglos. En principio deberíamos decir que gran parte de los enunciados del lenguaje natural pueden ser expresados con bastante similitud a partir de cinco símbolos básicos que nos permitirían hacer razonamientos simples, por ejemplo:

2.2.4 -Enunciados atómicosNuestro lenguaje es un sistema complejo de símbolos y significados del cual es muy difícil dar cuenta con algún sistema lógico, sin embargo podríamos decir que una buena manera de comenzar sería por los elementos más simples de nuestro idioma. Los enunciados atómicos serían esos elementos simples, que consistiría en algún nombre (no necesariamente un nombre propio) , por ejemplo “miedo” “margarita” “rosas” “Belgrano” “atleta”, etc. conectado a un predicado con el que caracterizamos a los objetos designados con esos nombres, por ejemplo “tener”, “flor”, “rosa”, “prócer” ,“saltar”. Así algunos de los enunciados más simples de nuestro idioma serían, por ejemplo, “Tengo miedo”, “La margarita es una flor”, “Las rosas son rosas”, “Belgrano es un prócer”, “Los atletas corren” etc.

En la Lógica Formal generalmente se utilizan las letras P, Q, R, S, etc., para simbolizar este tipo de enunciados atómicos del castellano.

Como hemos visto anteriormente, lo que convierte a estas expresiones en enunciados es que pueden ser verdaderos o falsos. El término atleta, por sí solo no es ni verdadero ni falso, tampoco el término “corre”, pero la expresión “el atleta corre” sí puede ser verdadero o falso. Si es el caso que el atleta esté corriendo diremos que el valor de verdad del enunciado atómico es verdadero, si en cambio no es el caso de que el atleta esté corriendo (podría estar sentado) diremos que el valor de verdad del enunciado es falso. Lo mismo sucede con “Las rosas son rosas”, “Tengo miedo”, “Belgrano es un prócer”, etc.

2.2.5 –ConectivasAhora bien, como dijimos el lenguaje es un sistema complejo de símbolos y significados, por lo que es evidente que no se agota en esta clase de enunciados simples o atómicos. Supongamos que quisiéramos expresar el enunciado “Tengo miedo”, podríamos hacerlo, como dijimos con la letra P. Supongamos ahora que quisiéramos expresar formalmente el enunciado

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“Tengo frío”, podríamos hacerlo con la letra Q. ¿Pero qué pasa si queremos expresar el enunciado “Tengo miedo y además tengo frío”?

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Parece que, en ese caso, dos enunciados atómicos están conectados dando origen a lo que llamaríamos un enunciado complejo (o compuesto) La pregunta que nos debemos hacer es: ¿conectados por qué? Nuestra respuesta será: por una conectiva.

Las conectivas son símbolos lógicos que reemplazan a términos del lenguaje natural con los que formamos enunciados compuestos a partir de enunciados simples. En principio diremos que estos términos reemplazados son “y”, “o” y “no”, aunque luego agregaremos un par más.

Antes de pasar a las conectivas, debemos decir que el lenguaje formal es un lenguaje veritativo-funcional, esto significa que la verdad o falsedad de los enunciados compuestos dependen de la verdad o la falsedad de los enunciados atómicos. Por ejemplo: “Tengo miedo y tengo frío” será verdadero si es el caso que “tenga miedo” (enunciado atómico) y además sea el caso que “tenga frío”; si alguna de las dos es falsa, el enunciado compuesto “Tengo miedo y frío” será falso.

a) ConjunciónJustamente esta conectiva que abordaremos será la conjunción (∧) que

esel equivalente a “y” en el lenguaje natural. Por ejemplo, si tuviéramos lassiguientes expresiones en el lenguaje natural: “La margarita es blanca y perfumada”, “tengo un auto que es grande y rojo”, “mi sueldo es pequeñoy tardío” podríamos coincidir en que todas ellas tienen coinciden en que lasune una conjunción, una “y”.

Para formalizar reemplazaremos los enunciados atómicos (“auto es grande”, “auto es rojo” “sueldo es tardío”, etc.) por símbolos cualesquiera. Como dijimos por convención suelen usarse las letras P, Q, R, S, etc. Al traducir al lenguaje formal nos encontramos que los tres enunciados tienenla misma forma: P ∧ Q. (se lee: “P y Q ”). Esta expresión es la forma

quecomparten los tres enunciados, así como la que comparten con nuestroanterior ejemplo “Tengo frío y miedo”. Es decir, podríamos tambiéntraducir esta expresión del lenguaje natural por esta otra del lenguajeformal: P∧ Q.

En tanto a la verdad y falsedad de este último enunciado diremos podemospensar que hay cuatro casos posibles, y el valor de verdad de la conjunción en cada uno de ellos, pueden exponerse de la siguiente forma:

si P es verdadero y Q es verdadero, P∧Q esverdadero;(si tengo frío y tengo miedo, es verdad que tengo frío y miedo)

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si P es verdadero y Q es falso, P∧Q es falso ;(si tengo frío y no tengo miedo, es falso que tengo frío y miedo)

si P es falso y Q es verdadero, P∧Q es falso ;(si no tengo frío y tengo miedo, es falso que tengo frío y miedo)

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si P es falso y Q es falso, P ∧ Q es falso.(si no tengo ni frío ni miedo, es falso que tengo frío y miedo)

Una forma convencional los valores de 'verdad' y 'falsedad' es mediante las letras mayúsculas 'V' y 'F'. Como dijimos, establecemos los valores de verdad de los enunciados atómicos y a partir de los valores de verdad de los enunciados compuestos. El método utilizado generalmente para llevar a cabo esta operación es conocido como tabla de verdad.

La determinación del valor de verdad de una conjunción por los valores de verdad de sus enunciados atómicos puede representarse de la manera siguiente:

P Q

V V

V F

F V

F F

b) Disyunción (∨)

Siguiendo con nuestros ejemplos podríamos decir que estos enunciados anteriores no son igual que otros enunciado donde en lugar de una conjunción uniéramos los enunciados atómicos con una conectiva diferente en donde en lugar de equivaler a una “y” equivaliera a una “o”. Por ejemplo, “O bien la margarita es blanca o bien es perfumada”, “o bien mi auto es rojo, o bien es grande”. En el caso de nuestro último ejemplo diríamos “O tengo miedo o tengo frío”

En el lenguaje formal este tipo de enunciado se denominan disyunciones- También se denomina así la conectiva que une los enunciados atómicos(∨).

La disyunción de dos enunciados se forma en castellano insertando lapalabra 'o' entre ellos. Los dos enunciados constituyentes combinados de este modo son llamados los disyuntos. Sin embargo, la palabra castellana'o' es ambigua, pues tiene dos significados que, aunque relacionados entre sí, son distinguibles.

Uno de ellos podríamos encontrarlo, por ejemplo, cuando se nos diga "Serájustificada la ausencia en caso de enfermedad o problemas de transporte”;

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aquí, la intención, obviamente, es afirmar que la falta está justificada, no solamente a personas que hayan faltado por haber estado enfermas, sino también a las que al mismo tiempo no hayan podido llegar al lugar por haber tenido algún inconveniente para transportarse. Este sentido de la palabra “o” es llamado el sentido débil o inclusivo.Una disyunción inclusiva es verdadera si uno de los disyuntos o ambos son verdaderos; solamente en caso de que sean ambos falsos será falsa la disyunción inclusiva. El “o” inclusivo tiene el sentido de “uno u otro, o ambos”. En nuestro idioma se suele usar también la expresión “y / o”.

La palabra “o” también se usa en un sentido fuerte o exclusivo, cuyo significado no es “uno u otro, o ambos” sino “o uno, o el otro”. Si en el menú de un restaurante junto al precio del pollo aparece la leyenda "con ensalada o papas fritas", lo que se quiere significar es que, por el precio de la comida, el comensal puede elegir acompañar el pollo con una o con otra guarnición, pero no ambas. Cuando se requiere precisión y se usa el 'o' en un sentido exclusivo, suele agregarse la expresión "pero no ambos".

Este último sentido no es el que tomaremos aquí para los enunciados disyuntivos. En Lógica Formal generalmente se entiende la disyunción en sentido inclusivo, es decir “uno u otro, o ambos”. Por lo tanto interpretamos la disyunción inclusiva de dos enunciados en el sentido de que afirma la verdad de al menos uno de los enunciados.

Al igual que en la conjunción, hay cuatro casos posibles, y el valor de verdad de la disyunción también dependerá de los enunciados atómicos:

miedo)

• Si P es verdadero y Q es verdadero, P ∨ Q es verdadero(si tengo frío y tengo miedo, es verdad que tengo frío o miedo)• Si P es verdadero y Q es falso, P ∨ Q es verdadero(si tengo frío y no tengo miedo, es verdad que tengo frío o miedo)• Si P es falso y Q es verdadero, P ∨ Q es verdadero(si no tengo frío y tengo miedo, es verdadero que tengo frío o

• Si P es falso y Q es falso, P ∨ Q es falso.(si no tengo ni frío ni miedo, es falso que o bien tengo frío o bien

tengo miedo)

Entonces, la representación de los valores de verdad de una disyunción en la tabla de verdad correspondiente nos queda de la siguiente manera:

P Q

V V

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V F

F V

F F

c) Negación (¬)

Otra conectiva fundamental que nos permite operar con enunciados en Lógica Formal es la negación. La negación de un enunciado se forma a menudo en castellano insertando un “no” en el enunciado original. También es posible expresar la negación de un enunciado en castellano anteponiéndole la frase “es falso que” o “no se da el caso de que”.

De este modo, si M simboliza el enunciado "Todas las margaritas son blancas", los diversos enunciados "No todas las margaritas son blancas", " Algunas margaritas no son blancas", "Es falso que todas las margaritas sean blancas", "No se da el caso de que todas las margaritas sean blancas", etc., pueden simbolizarse indistintamente como, ¬ M (donde el símbolo ¬ se lee “no” o “no es el caso que”, etc.). La expresión ¬ M se leería de las siguientes maneras: “no M” o “no es el caso que M”, o “no es cierto que M”, etc.

Con mayor generalidad, si p es un enunciado cualquiera, su negación se escribe, ¬ P. La negación de todo enunciado verdadero es falsa y la negación de todo enunciado falso es verdadera.

• Si P es verdadero, ¬ P es falso(si tengo frío, no es verdad que no tengo frío)• Si P es falso, ¬ P es verdadero;(si es falso que tengo frío, es verdad que no tengo frío)

Este hecho puede expresarse muy simplemente por medio de la tabla de verdad correspondiente a la negación:

pVF

d) Condicional (→)

Una conectiva sumamente importante en Lógica Formal, además de lasque ya hemos visto, es el condicional (→). Esta conectiva es importante

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porque nos permite incorporar la idea de implicancia que aparece en nuestro lenguaje cotidiano.

Supongamos que tenemos dos enunciados atómicos (o sea, simples) como “llueve” y “voy al cine”. Si se combinan estos dos enunciados colocando la palabra “si” antes del primero e insertando entre ellos la palabra “entonces”, el enunciado compuesto resultante es un enunciado hipotético (también llamado un condicional, implicación o enunciado implicativo), en nuestro caso: Si llueve voy al cine”. En un enunciado hipotético, el componente que se encuentra entre el “si” y el “entonces' es llamado el antecedente (en nuestro caso “llueve” es el antecedente del condicional “si llueve voy al cine”) y el componente que sigue a la palabra “entonces” es el consecuente (en nuestro ejemplo “voy al cine” es el consecuente del condicional “si llueve voy al cine”).

Cabe aclarar que lo que afirma un enunciado condicional es que su antecedente implica su consecuente. No afirma que su antecedente sea verdadero, sino solamente que si el antecedente es verdadero, entonces su consecuente también es verdadero. Tampoco afirma que el consecuente sea verdadero, sino solamente que su consecuente es verdadero si el antecedente lo es. El significado esencial de un condicional reside en la relación de implicación que se afirma entre el antecedente y el consecuente, en este orden.

Por ejemplo, supongamos que llamamos por teléfono a un amigo y le decimos “Si llueve, vamos al cine” poniéndonos de acuerdo en una hora para la cita. Supongamos que ese día no llovió y nuestro amigo fue a la cita pero nosotros no. Si luego nuestro amigo nos reclama significa que no entendió bien lo que significa un enunciado condicional. En primer lugar, nosotros no confirmamos que llovería (es decir, no afirmamos que el antecedente es verdadero); tampoco dijimos que iríamos al cine (no afirmamos que el consecuente era verdadero). Lo que dijimos es que si llovía íbamos al cine, es decir, que de ser verdadero el antecedente el consecuente lo sería también. Lo que importa es la relación condicional de los enunciados, no los enunciados en sí mismos.

Supongamos ahora, el caso contrario. Supongamos que no llovió y nuestro amigo (que esta vez entendió que sólo iríamos si llovía) no fue a la cita. Sin embargo, nosotros fuimos al cine de todas formas. Si luego nuestro amigo nos reprochara haber ido aunque no hubiera llovido volvería a malentender el enunciado condicional. Nosotros no dijimos que “si no llovía, no íbamos al cine” (es decir que si era falso el antecedente también era falso el consecuente), nosotros dijimos que “si llovía íbamos al cine” (es decir que de ser verdadero el antecedente también lo sería el consecuente), que es muy distinto.

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Teniendo en cuenta esto, el único caso en el que nuestro amigo pudiera enojarse con razón o con fundamentos lógicos sería si hubiese llovido y nosotros no hubiéramos acudido a la cita. En términos de Lógica Formal, un enunciado condicional sólo es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En cualquier otra circunstancia es verdadero.

Veamos ahora, más detalladamente, cuáles serían los valores de verdad de un enunciado condicional si tenemos en cuenta los valores de verdad de sus enunciados atómicos.

• Si P es verdadero y Q es verdadero, P →Q es verdadero(si es verdad que tengo frío y es verdad que tengo miedo; es verdad

que “si tengo frío, entonces tengo miedo”)• Si P es verdadero y Q es falso, P → Q es falso(si es verdad que tengo frío pero es falso que tengo miedo; es falso

que “si tengo frío entonces tengo miedo”)• Si P es falso y Q es verdadero, P → Q es verdadero(si es falso que tengo frío pero es verdadero que tengo miedo; es

verdadero que “si tengo frío entonces tengo miedo”)• Si P es falso y Q es falso, P →Q es verdadero(si es falso que tengo frío y es falso que tengo miedo; es verdadero

que “si tengo frío entonces tengo miedo”).

De este modo, si elaboramos la representación de los valores de verdad de un condicional en la tabla de verdad correspondiente podemos ver más claramente como el único caso en el que sería falso y si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso:

P Q

V V

V F

F V

F F

d) Bicondicional (↔)

Nuestra última conectiva es el bicondicional. Supongamos que le decimos anuestro amigo “Si y sólo si llueve vamos al cine”, este enunciado, al

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contrario de un enunciado condicional. Supone si que si llueve vamos al cine (verdad del antecedente y del consecuente) y que si no llueve no vamos (falsedad del antecedente y del consecuente). Es decir, está condicionado desde el antecedente y desde el consecuente; si uno fuese verdadero y el otro fuese falso (cualquiera sea el orden) el enunciado “Si y sólo si llueve vamos al cine” sería falso.

Veamos ahora, más detalladamente, cuáles serían los valores de verdad de un enunciado bicondicional si tenemos en cuenta los valores de verdad de sus enunciados atómicos.

P Q

V V

V F

F V

F F

• Si P es verdadero y Q es verdadero, P ↔Q es verdadero(si es verdad que tengo frío y es verdad que tengo miedo; es verdad

que “si y sólo si tengo frío, entonces tengo miedo”)

• Si P es verdadero y Q es falso, P ↔ Q es falso(si es verdad que tengo frío pero es falso que tengo miedo; es falso

que “si y sólo si tengo frío entonces tengo miedo”)

• Si P es falso y Q es verdadero, P ↔ Q es falso(si es falso que tengo frío pero es verdadero que tengo miedo; es

falso que “si y sólo si tengo frío entonces tengo miedo”)

• Si P es falso y Q es falso, P ↔Q es verdadero(si es falso que tengo frío y es falso que tengo miedo; es verdadero

que “si tengo frío entonces tengo miedo”).

De esta manera, si elaboramos la representación de los valores de verdad de un condicional en la tabla de verdad correspondiente podemos ver más claramente como el único caso en el que sería falso y si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

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2.2.6 -Estados de verdadComo se habrá observado, en el caso de la negación sólo había dos filas mientras que en las demás tablas de verdad había cuatro; esto se debe a que la negación se da sobre sólo un enunciado atómico que tiene dos valores de verdad: o es verdadero o es falso. En el caso de los demás enunciados compuestos, en cambio, estaban constituidos por al menos dos enunciados atómicos. Esto hace que la posibilidad de combinación de los valores de verdad sean al menos cuatro cómo hemos visto en las tablas.

La fórmula para calcular la cantidad combinaciones posibles entre los valores de verdad es la siguiente: 2n (donde n es la cantidad de enunciados atómicos que conformen el enunciado complejo). Veamos un ejemplo.

Supongamos que tenemos el enunciado P∧Q∧R (que podría

corresponder,entre otros, al enunciado en castellano “Tengo frío, miedo y hambre”. Parasaber cuándo este enunciado es verdad en función de los enunciados atómicos deberíamos, como vimos, calcular todas las combinaciones posibles entre los valores de verdad de los enunciados atómicos.

Dada nuestra fórmula y dado que los enunciados que componen el enunciado complejo (o compuesto) son tres, obtendríamos el siguiente resultado 23=8. Por lo tanto sabríamos que son 8 las combinaciones posibles.

P Q R

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

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Cómo sabemos, una conjunción sólo es verdadera si todos los enunciados que la conforman son verdaderos, por lo tanto sólo en la primera fila en la que P, Q y R son verdaderas el enunciado complejo (que en este caso en una conjunción) es verdadero.

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2.2.7 -Razonamientos y validezHasta aquí vimos que la Lógica Simbólica sólo nos permite calcular cuando un enunciado complejo es verdadero o falso, sin embargo, también podríamos determinar cuando un razonamiento es válido o no.Diremos que un razonamiento es una serie de enunciados que tienen una relación lógica entre sí, en donde algunos de estos enunciados son premisas y otras conclusiones.

Cuando los razonamientos son deductivos pueden ser válidos o inválidos, según sea la forma de ese razonamiento deductivo. Diremos que es válida la forma de un razonamiento cuando no admita ningún razonamiento que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa. Como un razonamiento deductivo es aquel del cual a partir de las premisas se saca una conclusión basada necesariamente en ellas, si las premisas son verdaderas la conclusión lo será también. No puede haber razonamiento deductivo válido en el que partiendo de premisas verdaderas se llegue a una conclusión falsa.

Tomemos los siguientes ejemplos:

Todos los argentinos son latinoamericanos. Todos los mendocinos son argentinos.

Todos los mendocinos son latinoamericanos

Todos los madrileños son latinoamericanos. Todos los madrileños son peruanos.

Todos los madrileños son latinoamericanos

Todos los ucranianos son latinoamericanos. Todos los bolivianos son ucranianos.

Todos los bolivianos son latinoamericanos

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Todos estos razonamientos tienen la misma forma: A)Todo M es S Todo P es M

Todo P es S

En el primer ejemplo vemos que tenemos dos premisas verdaderas y una conclusión verdadera. No sucede lo mismo en los otros dos: el segundo tiene premisas falsas y conclusión falsa; el tercero tiene premisas falsas, sin embargo, la conclusión es verdadera.

Esta forma A) es una forma de razonamiento válida porque nos asegura que si las premisas son verdaderas la conclusión lo será, como pasa en el primer caso. Si, en cambio, las premisas son falsas, la conclusión puede ser verdadera o falsa, pero eso no importa, porque de lo falso se sigue cualquier cosa en un razonamiento deductivo válido. Entonces, una forma de razonamiento es válida si nos asegura que al tener premisas verdaderas, la conclusión será verdadera.2

Ordenemos lo abordado en el siguiente gráfico:

Premisas Inferencia

Verdaderas(ambas lo son)

Válida

Inválida

2 No debemos confundirnos aquí: Un razonamiento válido NO nos asegura que de ser falsas las premisas será falsa la conclusión, sino que nos asegura que de ser verdaderas las premisas será verdadera la conclusión.

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Válida Verdadera oFalsa

FalsasInválida Verdadera o

Falsa

Como vemos, un razonamiento válido es el único que garantiza que si hay premisas verdaderas habrá necesariamente conclusión verdadera.

Una vez que hemos formalizado los razonamientos ya podemos comprobar su validez o invalidez. Esto es así porque la validez de un razonamiento es una característica estrictamente formal. No debemos confundir validez con verdad. Los enunciados (premisas o conclusión) pueden ser verdaderos o falsos, pero los razonamientos pueden ser válidos o inválidos según su forma. Un razonamiento es válido si la conclusión se sigue de las premisas.

Consideraciones finalesLa Lógica es una disciplina que estudia los principios y los métodos que debemos usar para que nuestros razonamientos sean correctos. Sin embargo, nunca razonamos en abstracto; no somos una computadora. Estamos sujetos a un lenguaje que tiene sus limitaciones e inmersos en diversas prácticas lingüísticas con sus ribetes y sus contradicciones.

Además, nuestros razonamientos siempre persiguen algún fin u objetivo como alcanzar algún grado de certeza sobre nuestras acciones, convencer a otros de nuestras creencias o darle cierta coherencia a nuestro discurso. Estos propósitos, como también todas las situaciones de la vida cotidianas y las limitaciones de nuestro lenguaje pueden llevarnos a equivocar nuestros razonamientos llevándonos inevitablemente al error.

La Lógica es la disciplina que intenta que eso no suceda. El pensamiento lógico es aquella forma de pensar en donde se deslegitiman todos los intereses, sean políticos, morales, estéticos o metafísicos para darle exclusividad al criterio de la corrección del razonamiento. Para el pensamiento lógico, poco importa si un razonamiento es bueno o si es bello, importa si respeta los principios lógicos que le dan consistencia.

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La parte de la Lógica que estudia los argumentos tal como se presentan en nuestra vida cotidiana se llama Lógica Informal y la hemos explorada en la primer lectura; aquella que estudia, en cambio, las formas abstractas de los razonamientos para lograr mayor precisión se llama Lógica Formal y ha sido examinada en la segunda lectura.

Esperamos que este material haya brindado adecuadamente un panorama de la Lógica en general y de ambas ramas —formal e informal— en particular.

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BibliografíaCopi, Irvin (1962) Introducción a la lógica. Editorial Universitaria de Buenos Aires.

Barwise, J., Etchemendy, J (1992) El lenguaje de la lógica de primer orden. Editorial Brujas. Córdoba.

Elena, Teresa José (2006) Conocimiento pensamiento y lenguaje. Ed. Biblos. Buenos Aires.

Comesaña, J.M. (2001) Lógica informal, falacias y argumentos filosóficos. Ed. Eudeba. Buenos Aires.