2_función real de variable real

I.F.D. Nº 5 “José E. Tello” “Introducción al Análisis Matemático”

Prof. María Elena Royo -17 -

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Concepto de Función

El área A de un círculo depende del radio de la circunferencia que lo limita, la regla que

relaciona r y A está dada por la ecuación A = r2 . Para cada número positivo r existe

asociado un valor de A y se dice que A es una función de r.

El numero N de bacterias presentes en un cultivo depende del tiempo t. Si el cultivo

empieza con 5000 bacterias y la población se duplica cada hora, entonces después de t

horas el número de bacterias será N = (5000).2t . Esta es la regla que relaciona a t y N.

Para cada valor de t existe un valor correspondiente de N, y se dice que N es una

función de t.

Función

A y B son conjuntos de números reales.

Si consideramos a R como el conjunto de los números reales y anotamos: A⊆R(decimos que A esta contenido o es igual a R ó A es un subconjunto propio o no de los

números reales y además B = R (decimos el conjunto B es igual al conjunto de los

números reales).

Surge la siguiente definición:

Una función definida en el conjunto A, subconjunto propio o no de los números

reales, y que toma valores en el conjunto B de los números reales, recibe el nombre

de Función Real de Variable Real, si verifica las siguientes condiciones:

a) Todo elemento del conjunto A tiene uno correspondiente en B.

b) Este elemento de B es único.

Otra:

Definición: Una función f es una regla que asigna a cada elemento x que pertenece a

un conjunto A, exactamente otro elemento, llamado f(x), que pertenece a un conjunto B.

Estas condiciones se denominan: Condición de Existencia y Condición de Unicidad,

respectivamente.

Notación:

a) x ϵ A ∃ y ϵ B / y = f (x) (Todo elemento del conjunto A tiene un

correspondiente en B)

b) (x1 ; y1) ϵ f ʌ (x1 ; y2) ϵ f y1 = y2 (a cada elemento del conjunto A le

corresponde un único elemento del conjunto B)



Observación: El nombre de “Función Real” se refiere al hecho que su Coodominio es

el conjunto de los números reales

- El nombre de “Variable Real” se refiere al hecho que su Dominio es el conjunto de

los números reales o un subconjunto de él

f : A⊆R B

x y = f(x)

f : es el nombre de la función. También podemos llamarla: g, h, ....

A : es el conjunto sobre el cual se define la función. Se conoce con el nombre de

Dominio o Conjunto de Partida. Está formado por todos los elementos de “x”

B: es el conjunto en el cual la función toma sus valores. Recibe el nombre de

Coodominio o Conjunto de Llegada. En él se encuentran los elementos “y”.

x : es una letra que representa a todos y a cada uno de los elementos del conjunto A. se

llama variable independiente.

y : es una letra que representa a los elementos del conjunto B que son los

correspondientes de los elementos de A. Se llama Variable Dependiente. ¿dependiente

de que? Precisamente depende de la variable independiente “x”. Es por ello que para

poner en evidencia esta relación de dependencia se establece para “y” la notación

equivalente f(x), lo que significa que “y” se obtiene a partir de “x” por intermedio de la

función f.

y = f(x): es la expresión analítica que establece la vinculación entre “x” e “y”.

Existe un conjunto que aunque no aparece escrito, también participa en una función. Su

nombre es Imagen y lo notamos con I(f). Este es un subconjunto del conjunto B,

formado por aquellos elementos de B que son correspondientes de los elementos del

conjunto A. puede suceder que:

I(f) = B o bien que I(f) B.

Valor numérico de una función

Si la variable independiente x toma un valor posible dentro del conjunto A, por ejemplo

el valor a, o sea x = a.

Por la función f a este valor a le corresponderá un valor de la variable dependiente y al

que llamaremos b y lo indicaremos por b = f(a)

Este elemento b perteneciente al conjunto B, se lo denomina de diferentes formas:



b es el valor de la función f en a.

b es la imagen de a en f .

b es el correspondiente de a por f .

Podemos resumir en forma gráfica, lo expresado hasta el momento sobre funciones.

Otra manera de ilustrar una función es por medio de un diagrama de flechas, como se

indica en la figura, cada flecha relaciona un elemento de A con un elemento de B. La

flecha indica que f(x) se asocia con x , f(a) se asocia con a, y así sucesivamente.

A = Dominio B = Coodominio

f(x)

f(a)

I (f) = Imagen

Ejemplo:

Sea la función de variable real definida por:

a) :f R R

( ) 3 1x y f x x

En este caso:

- f : es el nombre de la función

- A = R es el Dominio de la función (en este caso está explicitado)

- B = R es el Coodominio de la función

- x: es la Variable Independiente

- y : es la Variable Dependiente

- y = f(x) = 3 x -1 es la Expresión Analítica que define la función

b) :f A R R

2 1

( )x

x y f xx


- A R es el Dominio de la función (en este caso no se ha explicitado el dominio, hay

que determinarlo analizando la expresión analítica )




- y = f(x) = (x2 +1)/x es la Expresión Analítica que define la función

x

b

a

f

f

f

f



Determinemos el dominio de la función.

Nos preguntamos que valores puede tomar la variable independiente “x”, al estar

definida por un cociente entre dos polinomios, Debemos asegurarnos que el

denominador sea Distinto de Cero.

En este caso x 0 (ya que sabemos que la división en 0 no está definida).

Luego cualquier valor real de “x” menos el 0 (cero), reemplazado en la formula

permitirá obtener un valor real de “y”, por lo tanto el dominio A de la función es:

A = R - 0

Si consideramos x = -2 y = f(-2) = -5/2 ; etc.

Observación:

- El dominio A de una función puede o no estar especificado en la notación. Cuando

no está especificado, se lo determina observando la fórmula que define la función.

Este dominio es denominado habitualmente dominio natural o simplemente

dominio.

- Luego la función queda definida así:

: 0f R R

2 1

( )x

x y f xx

c) Dada la función:

:f A R R

2

2 3 0

( ) 5 0

0 3

x si x

x y f x si x

x si x


- A R es el Dominio de la función (en este caso no se ha explicitado el dominio, hay

que determinarlo analizando la expresión analítica )




- 2

2 3 0

( ) 5 0

0 3

x si x

y f x si x

x si x

Determinemos el dominio de la función.



Nos preguntamos que valores puede tomar la variable independiente “x”, al estar

definida por tres ramas, analicemos la primera 2x si -3 < x < 0; significa que la función

está definida par los valores del intervalo abierto que pertenece al conjunto de los reales

(-3 ; 0). En la segunda rama tenemos solo un punto de coordenadas (0 ; 5), como la

abscisa es x = 0. En la tercer rama la función x2 si 0 < x <3 significa que la misma

pertenece al intervalo abierto (0 ; 3). Luego el Dominio será la unión de las siguientes

expresiones parciales obtenidas:

(-3 ; 0) 0 (0 ; 3) = (-3 ; 3)

Luego cualquier valor real de “x” y el 0 (cero) perteneciente al intervalo (-3 ; 3) ,

reemplazado en la formula permitirá obtener un valor real de “y”, por lo tanto el

dominio A de la función es: (-3 ; 3).

Luego la función queda definida así:

: ( 3;3)f R

2

2 3 0

( ) 5 0

0 3

x si x

x y f x si x

x si x

Según sea el valor de “x” que consideramos en el dominio, deberemos elegir la “rama

adecuada” de esta expresión analítica para determinar su correspondiente imagen. Por

ejemplo:

Para x = -2, la fórmula a usar es la primera y= f(x)= 2x ( se toma la primer rama)

y = f(-2) = 2 (-2) = -4

Para x = 0, la fórmula a usar es la segunda y= f(x)= 5 ( se toma la segunda rama)

y = f(0) = 5

Para x = 5/2 , la fórmula a usar es la tercera y= f(x)= x2 ( se toma la tercer rama)

y = f(x) = (5/2)2 = 25/4

En este caso la función ha sido definida “por ramas” o “por partes”.

Otra idea de función

Es útil considerar una función como una máquina. Si “x” pertenece al dominio de la

función f , al entrar “x” a la máquina es aceptado como entrada, y la máquina

produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. De esta manera, se

puede considerar el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el

coodominio o contradominio como el conjunto de todas las salidas posibles.

x f f(x)

Entrada Salida



Las funciones programadas internamente en una calculadora son buenos ejemplos de

funciones consideradas como máquina.

Por ejemplo, la tecla x de una calculadora es una función de ese tipo. En este caso,

primeramente se le da entrada a “x” en la pantalla y luego se presiona la tecla marcada

con x , si x < 0, entonces “x” no pertenece al dominio de esta función; con esto

notamos que “x” no tiene entrada aceptable y la calculadora indicará que hay error. Si x

0, entonces aparecerá en la pantalla una aproximación al valor x .

Así que la tecla x de una calculadora no es realmente igual la función matemática

exacta f definida por f(x) = x .

Notación:

:f A R R

( )x y f x x

La función con el dominio especificado:

: 0;f R

( )x y f x x

Dominio Restringido

Este concepto aparece cuando las variables tienen una interpretación especifica dentro

del contexto de un problema, entonces el dominio natural se restringe apropiadamente

para cada caso.

Sea la longitud L de un círculo que depende del radio de la circunferencia que lo limita,

la regla que relaciona r y L está dada por la ecuación L =2 r. si con “x” indicamos el

radio de una circunferencia y con “y” la longitud de la misma, esta última “y” resulta

una función de la primera “x” ya que par cada valor del radio “x” se obtendrá un único

valor de la longitud y, o sea

:f A R R

( ) 2x y f x x

Como en este enunciado, x representa la longitud del radio de la circunferencia, sus

valores deben restringirse sólo a valores reales positivos, ( ya que las longitudes son

cantidades positivas!) y NUNCA podemos hablar de (-3 metros) por ejemplo.

Finalmente: A = (0 ; +) (dominio)

De esta manera la función que define a la longitud de la circunferencia en términos del

radio es:

: (0; )f R

( ) 2x y f x x



Gráfica Cartesiana

Representar gráficamente una función real de una variable real consiste en ubicar en un

sistema de coordenadas cartesianas ortogonales todos los puntos P de coordenadas (x;

y) para los cuales se verifica que y = f(x).

Simbólicamente lo expresamos así:

Graf. (f) = {P(x; y) R2 / y = f(x) x A }

La serie de pasos que habitualmente realizamos para construir la gráfica cartesiana es la

siguiente:

a) Consideremos la fórmula que establece la relación analítica entre las variables

“x” e “y”, o sea y = f(x).

b) Confeccionamos una tabla de valores que muestre en los encabezados de cada

columna lo siguiente:

xi

Valores posibles de la

variable independiente

yi

Valores que se obtienen de

la variable dependiente

Pi (xi ; yi )

Puntos pertenecientes a la

gráfica

c) Marcamos los puntos Pi (xi ; yi ) en un sistema de coordenadas cartesianas

ortogonales.

d) Generamos la representación gráfica de la función, tomando en cuenta si los punto

Pi (xi ; yi ) deben ser unidos o no, mediante una línea continua (esto dependerá

siempre del dominio de la función).

Ejemplo:

Construir la grafica cartesiana de las siguientes funciones:

1. :f R R

( ) 2 1x y f x x

xi



yi



Pi (xi ; yi )


gráfica

-2 2(-2)-1= -5 (-2;-5)

0 2(0)-1= -1 (0;-1)

1 2(1)-1= 1 (1;1)



2.

: 4;4f R

1 4 0

( ) 2 0

3 0 4

si x

x y f x si x

si x

xi



yi



Pi (xi ; yi )


gráfica

-4 1 (-4;1)

0 2 (0;2)

-1 1 (-1;1)

2 3 (2;3)

4 3 (4;3)



Observación: Existen algunas funciones muy populares por su uso, aplicación e

importancia; resulta sumamente útil que te familiarices tanto con sus expresiones

analíticas como con sus gráficas cartesianas.

Si lo deseas puedes comprobar que cada gráfica responde a su correspondiente

expresión analítica confeccionando la tabla de valores (procedimiento de trazado de

puntos).

Criterios Gráficos

A partir de la representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas

ortogonales, resulta útil deducir el dominio, la imagen y en forma aproximada el valor

numérico de la función en un punto.

a) Criterio gráfico para determinar si una grafica cartesiana corresponde a la de una

función, en un dominio determinado (prueba de la recta vertical).

Por un punto x del eje OX, y perteneciente al dominio en análisis, trazamos una recta

vertical. Si esta recta intercepta a la línea en un solo punto, es la línea de la gráfica de

una función, en el dominio en consideración. Si la recta vertical no intercepta a la línea

o bien lo hace en más de un punto entonces la línea no representa a una función real de

una variable real.

Aplicar la prueba de la recta vertical para determinar si las líneas corresponden a la

representación gráfica de funciones.



Ejemplo:

y

a)

P

0

Observamos que cualquiera sea el punto x sobre el eje OX que se considere, la recta

intercepta a la línea en un solo punto P. Por lo tanto la línea es representación gráfica de

una función definida en los reales.

b) y

P1

P2

P3

0 x

r

En este caso la línea no es la representación gráfica de una función definida en los

reales, ya que intercepta a la línea en más de un punto.

c) y

P

a 0 b x r1

r2

r X



En este caso la línea es la representación gráfica de una función definida en los reales,

ya que si bien r1 corta a la línea en un solo punto P, no sucede lo mismo con r2 que no

intercepta a la línea.

En el ejemplo c) si cambiamos el dominio en consideración, en un intervalo cerrado [a;

b], entonces la línea representa la gráfica de una función en ese intervalo.

Este ejemplo nos enseña que es de vital importancia indicar de antemano en que

dominio se analiza la línea.

Criterios Gráficos para determinar el dominio y la imagen de la función.

Recordemos que el dominio de una función está formado por todos los valores que

puede asumir la variable independiente “x”. Por lo tanto, en el sistema de coordenadas

debemos mirar en el eje de abscisas para determinar estos valores.

Estos valores son los que surgen al proyectar la gráfica de la función sobre dicho eje, el

intervalo que así se obtiene será el dominio.

Para determinar la imagen lo hacemos siguiendo un procedimiento semejante al

anterior, pero ahora la proyección de la gráfica debe hacerse sobre el eje de las

ordenadas, ya que precisamente son los valores de “y” los que integran el conjunto.

Criterio gráfico para determinar en forma aproximada el valor numérico de un

punto.

Consideremos la representación cartesiana de una función f y en ella un punto de

dominio x0. Para determinar la imagen de x0, levantamos a partir de x0 una vertical

hasta la intersección con la gráfica de f; a partir de dicha intersección, trazamos una

horizontal hasta llegar al eje OY. El punto así determinado es la imagen de x0 o sea

y = f(x0 )

c

d

a

y = f(x) Imagen de f = [c; d]

y

Dominio de f = [a; b] b x



Forma explícita e implícita de la expresión analítica de una función

Cuando la expresión analítica que define a la función esta escrita de tal forma que una

de las variables esta expresada en términos de la otra, por ejemplo: y = f(x), entonces

decimos que la función esta definida por una expresión analítica escrita en la forma

explicita. Cuando por el contrario ninguna de las variables esta expresada en términos

de la otra: g(x; y) = 0, entonces se dice que la función esta definida por una expresión

analítica escrita en la forma implícita.

Ejemplo:

a) y = x2 –3x + 1 f esta expresada en forma explicita

y = f (x)

b) x – y + 8 = 0 f esta expresada en forma implícita

g (x; y)= 0

¿Es posible ir de la forma explícita a la forma implícita y recíprocamente?

Rta: Siempre es posible pasar de la forma explícita a la implícita. El procedimiento

consiste en realizar una transposición de términos que lleve a obtener una igualdad a

cero.

Ejemplo:

Forma explícita Forma implícita

y = 2 x2 – 3x + 5 2 x

2 – 3x – y + 5 = 0

Imag

en d

e f

= [

c; d

]

y0=f(x0)

x0

b

c

d

a

y = f(x)

y

Dominio de f = [a; b]

x



CLASIFICACIÓN DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL

Enteras

Racionales

Explicitas Fraccionarias

Algebraicas

Irracionales

Funciones

Reales

Exponenciales

Explicitas Logarítmicas

Trascendentes Trigonométricas

Valor Absoluto

Una función es algebraica cuando sobre la variable independiente se realizan

únicamente operaciones racionales ( +, , , ) y la radicación en un número

finito de veces.

Una función algebraica es racional cuando sobre la variable independiente se

realizan únicamente operaciones racionales en un número finito de veces.

Una función algebraica es racional entera cuando sobre la variable independiente

se realizan únicamente operaciones entera ( +, , ) en un número finito de veces.

Una función algebraica racional es fraccionaria cuando proviene del cociente

exacto de funciones algebraicas racionales enteras.

Una función algebraica es irracional cuando sobre la variable independiente se

realizan únicamente operaciones de radicación o potenciación con exponentes

fraccionarios en un número finito de veces.

Una función es trascendente cuando la misma no es algebraica.

Ejemplo:

Expresión Analítica de una Función Clasificación

a) 2843

1)(

2

x

x

xxfy Algebraica

b) xx

xxfy 2

182)(

2

Algeb. racional fraccionaria

c) 4/34)( xxxfy Algebraica irracional

d) 647)( 23 xxxxfy Algeb. racional entera

e) 7)( xxfy Trascendente valor absotulo



-x

P(x;y)

x

-y

y

P’(-x; y)

y

P(x;y)

x -x O

P’(-x; y)

f) )2log()( xxfy Trascendente logarítmica

Paridad y simetría de una función

Una curva es simétrica respecto al eje OY cuando los puntos P(x; y) y P’(-x; y)

pertenecen a la misma (la distancia de dichos puntos al eje OY es idéntica).

Una curva es simétrica respecto al origen de coordenadas del sistema O, cuando los

puntos P(x,y) y P’(-x; -y) pertenecen a la misma,(la distancia de dichos puntos al origen

O es la misma).

El concepto grafico de simetría de una curva esta asociado con el concepto analítico de

paridad de una función. Por lo tanto podemos decir que:

f : A R R

x y = f(x)



La función es par si se verifica que: f( -x)=f( x) para todo número x de su

dominio.

A valores opuestos de la variable independiente les corresponde el mismo valor de la

imagen.

Ejemplo:

2)( xxf es par porque:

2 2( )x x f( -x) f( x) para x , -x A

La función es impar se verifica que: f( -x)=-f( x) para todo número x de su

dominio.

A valores opuestos de la variable independiente les corresponde valores opuestos de

la imagen.

Ejemplo:

3)( xxf es impar porque:

3 3( )x x f( -x) -f( x)

Conclusión:

Si f es par su representación grafica es simétrica respecto al eje OY.

Si f es impar su representación grafica es simétrica respecto al origen del

sistema cartesiano.

Ejemplo:

Determinar la paridad de las siguientes funciones; e indicar la simetría de su grafica.

a) 3y x x

b) 22y x

c) 23y x x

Para determinar la paridad de una función debemos considerar la expresión analítica de

la misma y analizar si para ella se cumple alguna de las dos igualdades relacionadas con

la función par o impar.

Para a) , la expresión analítica es:

y

x

-x

f(-x)

-f(x)

x



3y x x

Planteamos siempre f(-x):

3 3 3( ) ( ) ( )x x x x x x f( -x) -f( x)

Como f(-x) = - f (x) , entonces la función es impar. Su grafica cartesiana es simétrica

respecto al origen O.

Para b) , la expresión analítica es:

22y x


2 22( ) 2x x f( -x) f( x)

Como f(-x) = f (x) , entonces la función es par. Su grafica cartesiana es simétrica

respecto al eje eje OY.

Para c) , la expresión analítica es:

23y x x


2 23( ) ( ) 3x x x x

-f( x)f( -x)

f( x)

En este caso la función no es par ni impar. Decimos que la función no tiene paridad.

Transformación de funciones

A partir de las funciones más conocidas como vimos anteriormente, se pueden obtener

las graficas de otras funciones no tan conocidas, pero que pueden obtenerse a partir de

ellas.

Traslación

Sea la función definida por:

f : A R R

x y = f(x)

para obtener la grafica cartesiana de la función definida por la expresión analítica:

a) y = f(x) +c si (c > 0)

Se traslada la grafica “c” unidades hacia arriba.

b) y = f(x) – c si (c > 0)

Se traslada la grafica “c” unidades hacia abajo.

c) y = f(x - c) si (c > 0)

Se traslada la grafica “c” unidades hacia la derecha.



x

y=x2

y

0

y=x2+1

y

0

1

x

d) y = f(x + c) si (c > 0)

Se traslada la grafica “c” unidades hacia la izquierda.

Analicemos una situación en particular:

Sea la función:

f : A R R

x y = f(x) = x2

su grafica es:

Consideremos ahora las siguientes funciones:

a) y = x2 + 1

b) y = (x – 3)2

c) y = (x – 3)2 + 1

a) La grafica de y = x2 + 1, es idéntica a la grafica de y = f(x) = x

2, pero trasladada

una unidad hacia arriba, “criterio a)”



x

y

0

y=(x-3)2+1

3

1

y

0

y=(x-3)2

x 3

b) La grafica de y = (x-3)2 , es idéntica a la grafica de y = f(x) = x2, pero trasladada una tres

hacia la derecha, “criterio c)”

c) La grafica de y = (x-3)2 + 1, es idéntica a la grafica de y = f(x) = x

2, pero trasladada

una tres hacia la derecha y una unidad hacia arriba, “combinación de los dos

criterios anteriores”

Igualdad de Funciones Reales de una Variable Real

Si consideramos dos funciones de la siguiente forma:

f : Af R R

x y = f(x)



f : Ag R R

x y = g(x)

Dos funciones son iguales cuando se cumplen simultáneamente dos condiciones:

1. Tienen dominios iguales.

2. Las expresiones algebraicas que la definen son iguales, en todo punto de sus

dominios idénticos.

O sea:

f g

f g

1. A =Af =g ⇔

2. f( x)=g( x) ∀x ∈A ( = A )

Ejemplo:

Dada la función:

2

: 0

2( )

f R R

x xx y f x

x

Aplicar el criterio de igualdad de funciones para determinar cuales de siguientes son

iguales a f(x).

:

( ) 1 2

g R R

x y g x x

: 0

1( )

h R R

x y h xx

2 3

2

: 0

2( )

j R R

x xx y j x

x

Analicemos en la función f:

Su dominio es: Af = R – 0

Su expresión analítica es: 22 (1 2 )

( )x x x x

y f xx x

1-2x

Apliquemos el criterio de igualdad con respecto a la función g:

El dominio de g es: Ag = R R - 0 = Af

Como los dominios de ambas funciones son diferentes no se cumple el primer

criterio de igualdad.

Entonces ambas funciones no son iguales: f ≠ g



Apliquemos el criterio de igualdad con respecto a la función h:

El dominio de j es: Ah = R - 0 = Af

Como los dominios son iguales se cumple la primera condición de igualdad.

La expresión analítica de la función h es:

1

( ) 1 2 ( )h x x f xx

Como las expresiones analíticas de ambas funciones son diferentes, o sea no se

cumple la segunda condición.

Por lo tanto la función h no es igual a la función f: f h

Apliquemos el criterio de igualdad con respecto a la función j:

El dominio de j es: Aj = R - 0 = Af

Como los dominios son iguales se cumple la primera condición de igualdad.

La expresión analítica de la función j es:

2 3 2

2 2

2 (1 2 )1 2

x x x xx

x x

j( x) f( x)

Ambas expresiones analíticas son iguales, o sea que se cumple la segunda condición.

Y finalmente decimos: f = j

Composición de Funciones

Pensemos que disponemos de dos maquinas que trabajan juntas en forma combinada y

secuencial, o sea, la primera toma el valor de entrada, lo procesa y obtiene el primer

dato de salida (dato intermedio). Este es asumido por la segunda maquina lo procesa y

convierte en el dato final de salida. Gráficamente:

Maquina 1 Maquina 2

Dato de Dato Dato

Entrada Intermedio Final de salida

Podemos representar gráficamente la situación utilizando Diagrama de Venn-Euler



Observamos que el valor de “x” de la variable independiente le corresponde un valor

de “y” de la variable dependiente, el cual se obtiene al aplicar a “x” en forma sucesiva

de las funciones “g” y “f”, en ese orden. Luego el valor de “y” lo podemos expresar

como:

Y = (f g)(x) = f [g(x)]

Notación que responde a la acción combinada y Sucesiva

de las funciones g y f

Esta nueva función que se origina, indicada por f g, recibe el nombre de función

compuesta y su definición es:

Sean f y g funciones definidas por:

gg: A ⊆R →R

x →u = g( x)

ff : A ⊆R →R

u →y = f( u)

Tal que se verifique que la imagen de g: “I( g) ”, interceptada con el dominio de f: “ fA

”, es diferente del conjunto vacío, o sea:

∩ ≠fI(g) A

Entonces existe la función compuesta de f y g a la cual se nota por f ogque está

definida por:

fog : A⊆R →R

x →y =( fog() x)= f g( x)

Con un dominio: g fA = x∈A /g( x)∈A

Observación:

La notación f g, significa que se aplica primero la función g y luego la función f.

La composición de funciones no es conmutativa, eso significa que f g g f.

Ejemplo:

a) Dadas las funciones:

3

g:R →R

x →u = g( x)= x

f : R - 1 →R

1u →y = f( u)=

u-1

Determinar f g si existe.

En primer lugar debemos estudiar la existencia de la función compuesta.



Recuerda la condición fI( g)∩A ≠

fI( g)∩A = R ∩R - 1 = R - 1 ≠

El dominio de f es dato

La imagen de g se determina gráficamente, para ello es

necesario representar gráficamente la función.

Por lo tanto existe la función compuesta.

La expresión analítica que define a la función f g es:

3

3

1y =( fog() x)=f g( x) =f( x )=

x -1

El dominio de la función compuesta f g es:

g fA = x∈A /g( x)∈A 3= x∈R /x ∈R - 1 = R - 1

Finalmente la función compuesta queda definida por:

3

fog:R - 1 →R

1x →y =( fog() x)=

x -1

b) Sean las funciones:

g: R →R

x →u = g( x)= x +1

2

f : R →R

u+3 siu<0u →y = f( u)=

2u +3 siu≥0

Determinar si existe si existe f g.

Estudiemos la existencia de la función compuesta.

fI( g)∩A = R ∩R =

La expresión analítica que define a la función f g es:



2

( ) 3 ( ) 0

2 ( ) 3 ( ) 0

g x si g x

g x si g x

y =( f og() x)=f g( x)

2

( 1) 3 1 0

2( 1) 3 1 0

x si x

x si x

y =( fog() x)=f g( x)

2

4 1

2( 1) 3 1

x si x

x si x

y =( fog() x)=f g( x)

El dominio de la función compuesta f g es:

g fA = x∈A /g( x)∈A / 1x R x R R

Finalmente la función compuesta queda definida por:

f g : R R

x 2

4 1

2( 1) 3 1

x si x

x si x

y =( fog() x)=f g( x)

Función Inversa

Conceptos Previos

Función Inyectiva

Una función es inyectiva si a elementos distintos del dominio le corresponden

elementos distintos del coodomio.

Expresión simbólica de la definición:

1 2 1 2 1 2f : A⊆R →R es inyectiva ⇔ x , x ∈A / x ≠x ⇒f( x ) ≠f( x )

Analicemos los gráficos de las siguientes funciones definidas en el conjunto de los

reales. Y tracemos en ambos una recta paralela al eje de las abscisas OX.

Remplazamos g(x) por

su equivalente x+1

Modificamos las

expresiones del

dominio



1er Caso 2do Caso

¿En cuántos puntos intercepta la recta a la grafica en cada una de las funciones?

En el 1er caso se producen dos intersecciones con la recta: P1 y P2.

En el 2do caso solo existe una intersección con la recta: P0.

En el primer caso la función no es inyectiva, ya que para dos valores distintos del

dominio 1 2x ≠x , le corresponde el mismo valor en el condominio: 1 2f(x ) = f(x ) .

En el segundo caso la función es inyectiva, ya que a dos elementos distintos del

dominio les corresponde dos valores diferentes del coodominio.

Conclusión: Para reconocer si una grafica cartesiana representa a una función

inyectiva, toda recta trazada paralela al eje de las abscisas debe intersectar a la

grafica a lo sumo en un punto.

Función Sobreyectiva

Una función es sobreyectiva si el conjunto imagen de la función coincide con el

coodominio de la misma.

O sea que: f es sobreyectiva C(f) = I(f)

En caso de disponer de la representación grafica de una función, decimos que es

sobreyectiva si toda recta paralela al eje de las abscisas OX intersecta a dicha grafica

por lo menos en un punto,(todos los valores de “y” provienen de por lo menos algún

valor de “x”)

P0 g(x0)

x0 x

y

f(x1)=f(x2

)

P1 P2

x1 x2 x



1er Caso 2do Caso

F no es sobreyectiva g es sobreyectiva

I(f) = 0; R = C (f) I(g) = R = C(g)

Atención: Hay ocasiones en las que hay que considerar una restricción del coodominio

de la función para transformarla en sobreyectiva.

Función Biyectiva

Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.

Dicho de otra manera: una función es biyectiva si y solo si todo elemento del

coodominio es imagen de un único elemento del dominio.

En el caso de contar con la grafica cartesiana de una función, ella es biyectiva si

toda recta horizontal intercepta a dicha curva en solo punto.

Función Inversa

Dadas dos funciones f y g, decimos que son inversas (una de la otra) si se cumple

que la composición de ambas tanto a derecha como a izquierda es igual a la

variable independiente.

O sea:

f y g son funciones inversas (f g)(x) = (g f)(x) = x

Ejemplo:

¿demostremos que dos funciones dadas son inversas?

f(x) = x + 2

g(x) = x – 2

son inversas ya que cumplen que:

(f g)(x) = f [g(x)] = f(x-2) = 2 2x x

y además:

y

y=f(x)

o x

o

y y=g(x)

x



(g f)(x) = g[f(x)] = g(x+2) = 2 2 xx

Nota: Es necesario hacer algunas observaciones

1. Según la definición dada, g es la función inversa de f y f es la función inversa de g.

2. Dada la función f, si existe su función inversa g, la notaremos con f -1

(o sea g = f -1

)

3. Dada la función f, definida por:

f: A B

x y = f(x)

si existe su función inversa f -1

, está definida por

f -1

: B A

y x = f -1

(y)

con lo cual:

Dominio de f = Coodominio de f -1

= A

Coodominio de f = Dominio de f -1

= B

Observación: Si nos preguntáramos si toda función tiene siempre su inversa? La

respuesta a esta pregunta es “NO”. Pues la existencia de una función inversa está

garantizada siempre y cuando la función sea Biyectiva.

Condición de Existencia: Si f es una función biyectiva, entonces admite función

inversa f -1

Ejemplo:

Consideremos una función biyectiva:

f: A B

Como existe la función inversa f -1

siendo:

f -1

: B A

Veamos el desarrollo en los siguientes ejemplos:

Dada la función biyectiva

f: R R

x y = f(x) = (x – 1)3



Determinar la forma analítica de su función inversa f -1

, para ello seguimos los

siguientes pasos:

1. En la ecuación y = f(x) despejamos “x” en términos de “y”

2. Expresamos a la ecuación obtenida en términos de “y” como f -1

(y)

3. Sustituimos “y” por “x” para obtener la formula de f -1

(x)

Aplicamos este procedimiento en el ejemplo dado:

Por 1.-) 3( ) ( 1)y f x x

3( 1)y x

1

3 1y x

1

3 1y x

1

3 1x y

Luego por 2.-)

1

31( ) 1x f y y

Por último 3.-)

13-1y=f (x)=x +1

Para identificar totalmente a la función inversa f -1

, además de su fórmula analítica es

necesario establecer su dominio y coodomio

Dominio de f = Coodominio de f -1

= R

Coodominio de f = Dominio de f -1

= R

entonces la función inversa f -1

queda definida de la siguiente forma:

f -1

: R R

x y = f -1

(x) = x1/3

+1

Representación grafica:



Las representaciones graficas de f y f -1

son simétricas respecto a la primera bisectriz.

Esto significa que las graficas son simétricas respecto de la bisectriz.

Las funciones más importantes

Gran parte de las dificultades que surgen en el estudio del Análisis Matemático se

producen por los escasos conocimientos y la poca familiaridad que se tiene para trabajar

con funciones. Por ello es que resulta necesario ahondar en el estudio de las mismas; en

virtud de que permiten presentar en forma matemática gran cantidad de fenómenos del

mundo que nos rodea.

Funciones polinómicas

Las funciones más sencillas son las clasificadas bajo el nombre de funciones

algebraicas racionales enteras o simplemente conocidas con el nombre de funciones

polinómicas.

Una función polinómica es una expresión de la forma:

n n-1

0 1 n

f : R →R

x →y = f( x) = a x + a x + + a

donde los números naaaa ,,,, 210 pertenecen a los reales, son constantes

llamadas coeficientes del polinomio.



n es un número natural o cero , por lo tanto n se llama grado del polinomio

0a se llama coeficiente principal. Si el coeficiente inicial 00 a , entonces el

grado del polinomio es n.

na se llama término independiente.

Si 10 a , dicho polinomio se llama mónico.

El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros se llama polinomio nulo, se anota

como: N(x) y no tiene grado.

El dominio de cualquier polinomio es el conjunto de los reales: R = (, ).

Ejemplo:

6 4 31( ) ( ) 2 2

3f x P x x x x

2_función real de variable real

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