análisis de variable real. pedro luis del ama hernández. ucm

ANALISIS DE VARIABLE REAL

Pedro Luis del Ama Hernandez

Profesor Asociado del Departamento de Analisis MatematicoFacultad de Ciencias Matematicas

Universidad Complutense de Madrid

15/02/2007

Indice

1. La Integral de Riemann 7

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Propiedades de la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Teorema fundamental del Calculo 15

2.1. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Funciones Trigonometricas 19

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3. Otras funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4. Funciones logarıtmicas y exponenciales 27

4.1. El logaritmo neperiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2. La funcion exponencial natural y el numero e . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3. Otras funciones exponenciales y logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4. Funcion potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5. Funciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

4 INDICE

4.6. Calculo de lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Integracion en terminos elementales 37

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1.1. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2. Metodos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.1. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.2. Integracion por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2.3. Primitivas de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.4. Metodo de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.5. Primitivas de algunas funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . 43

5.2.6. Integrales de la forma

∫f(ax)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.7. Primitivas de algunas funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . 45

6. Teorema del valor medio. Suma de Riemann 49

6.1. Teorema del valor medio del calculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2. Suma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7. Integrales impropias 53

7.1. Intervalos no acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.2. Funcion no acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8. Teorema de Taylor 59

8.1. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.2. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9. Series infinitas 63

INDICE 5

9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.2. Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.3. Series de terminos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.4. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.5. Convergencia absoluta y condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.5.1. Criterios de Dirichlet y de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.6. Productos de Cauchy de dos series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.Sucesiones y series de funciones 73

10.1. Sucesiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

10.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.Los numeros complejos 83

11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Bibliografıa 87

6 INDICE

Capıtulo 1

La Integral de Riemann

1.1. Introduccion

Para manejar los conceptos basicos de la integral de Riemann vamos a ver algunos

ejemplos. Si por ejemplo tomamos la funcion f(x) = x, el area que determina esta funcion

con el eje de abcisas en el intervalo [a, b], con a ≥ 0 es igual ab2 − a2

2, lo cual se puede

deducir como la diferencia entre las areas de los triangulos que determina la funcion en

los intervalos [0, b] y [0.a].

Si ahora tomamos la funcion f(x) = x2, su grafica nos muestra que no es tan sencillo

calcular el area que determina esta funcion con el eje horizontal como fue en el caso anteri-

or, pues el recinto es curvo. Para calcular el area determinado por f en [0, a], dividimos el

intervalo en n partes iguales, por lo que la longitud de cada parte esa

n, donde n = 2, 3, . . . .

Si en cada una de estas partes tomamos el valor mas pequeno que puede tomar f en esa

parte, podemos dibujar una conjunto de rectangulos por debajo de la grafica de f , de

base cada una de las partes (cuya longitud, en este caso, esa

n) y de altura el valor mas

pequeno de f en esa parte.

Tomamos por ejemplo n = 4. La suma de las areas de los rectangulos es

s4 = 0 · a

4+ (

a

4)2 · a

4+ (

2a

4)2 · a

4+ (

3a

4)2 · a

4

Sacando factor comun,

s4 =a3

43· [1 + 22 + 32]

Si tomamos n > 4, por ejemplo n = 8 los rectangulos se aproximan aun mas al area

7

8 CAPITULO 1. LA INTEGRAL DE RIEMANN

deteminada por la funcion y la suma de los rectangulos da:

s8 =a3

83· [12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72]

En general,

sn =a3

n3· [12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2]

Hemos hecho una aproximacion por defecto. Si repetimos el proceso por exceso, toman-

do ahora en cada parte el valor mas grande que puede tomar f en esa parte, los rectangulos

cubren totalmente a la grafica de la funcion quedandonos

S4 =a3

43· [12 + 22 + 32 + 42]

S8 =a3

83· [12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82]

En general,

Sn =a3

n3· [12 + 22 + · · ·+ n2]

Cuanto mayor sea n, mas estrechos son los rectangulos y, en el primer caso, llenan casi

el recinto por debajo, y en el segundo, cubren ligeramente por exceso el recinto.

El area del recinto estara comprendida entre sn y Sn, es decir, sn ≤ area ≤ Sn y como

Sn− sn → 0, cuando n → +∞, pues Sn − sn =a3

n, bastara que una de las dos sumas sea

convergente para que lo sean las dos. Ademas, este lımite coincidira con el area buscado,

por el teorema del sandwich. Como

12 + 22 + · · ·+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

operando queda

12 + 22 + · · ·+ n2 =n3

3+

n2

2+

n

6

y calculando el lımite

lımn→+∞

sn =a3

3

Analogamente si f(x) = xp con p ∈ N, el area del recinto definido por la funcion sobre

el intervalo [0, a], se calcularıa de forma similar y llegarıamos a que dicho area es

lımn→+∞

sn =ap+1

p + 1

1.2. INTEGRAL DE RIEMANN 9

Observacion 1.1.1. No es obligatorio que los intervalos se dividan en n partes iguales.

Hay otras posibilidades, como multiplicar a por un numero ρ < 1 quedando los infinitos

intervalos: [ρa, a], [ρ2a, ρa], . . .

1.2. Integral de Riemann

Las funciones tomadas son todas continuas y por tanto acotadas en los intervalos cerra-

dos usados. El numero integral viene a formalizar el concepto de “area”. La region limitada

por la grafica de la funcion, el eje de abcisas y las rectas x = a y x = b se designa por

R(f, a, b). El numero que asignamos como area de R(f, a, b) es la integral de f sobre [a, b].

Hay que tener en cuenta que la integral representa la diferencia entre las areas de las re-

giones que estan por encima y por debajo del eje de abcisas. Es lo que se llama “area

algebraica de R(f, a, b)”. Formalicemos lo visto hasta ahora.

Definicion 1.2.1. Sea a < b. Se llama particion del intervalo [a, b] a toda coleccion finita

y ordenada de puntos de [a, b] de los cuales el primero es a y el ultimo es b.

P = {t0, t1, . . . , tn−1, tn} / a = t0 < t1 < . . . < tn = b

Definicion 1.2.2. Si P = {t0, t1, . . . , tn−1, tn} es una particion de [a, b], se llama

norma de P , y se denota |P | a

|P | = sup{ti − ti−1, ∀i = 1, . . . , n}

Ejemplo 1.2.3. Anteriormente hemos tomado la particion P = {0, 1na, 2

na, . . . , n−1

na, a}

del [0, a]; todos los subintervalos de [0, a] son iguales por lo que |P | = 1na

Ejemplo 1.2.4. Otro tipo de particion serıa para [1, x] la particion P = {1, rn, (rn)2, . . . , (rn)n−1, x}donde rn

n = x. Ahora |P | = x− rnn−1 = rn

n−1(rn − 1) < x · ( n√

x− 1)

Observacion 1.2.5. Dos particiones muy diferentes de [a, b] pueden tener la misma nor-

ma.

Definicion 1.2.6. Supongamos que f es acotada sobre [a, b] y P = {t0, t1, . . . , tn−1, tn}es una particion de [a, b]. Sean

mi = ınf{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti}

Mi = sup{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti}


La suma inferior de f para P , designada por s(f, P ) (tambien se llama L(f, P )), se define

como

s(f, P ) =n∑

i=1

mi(ti − ti−1)

La suma superior de f para P , designada por S(f, P ) (tambien se llama U(f, P )), se

define como

S(f, P ) =n∑

i=1

Mi(ti − ti−1)

Observacion 1.2.7. El que f sea acotada es esencial para que ∃ mi, Mi, que se han

definido como ınfimo y supremo respectivamente, y no como mınimo y maximo pues no

se exige que f sea continua.

En el caso de ser f continua en [a, b], entonces

mi = mın{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti}

Mi = max{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti}

pues f alcanza el maximo y el mınimo en los intervalos cerrados.

Observacion 1.2.8. Es obvio que, al ser mi ≤ Mi, ∀i = 1, . . . , n,

s(f, P ) ≤ S(f, P )

Definicion 1.2.9. Sean P y Q dos particiones de [a, b]. Se dice que Q es un refinamiento

de P si todos los puntos de P estan tambien en Q: P ⊂ Q o P ⊆ Q

Observacion 1.2.10. Si P ⊆ Q entonces |Q| ≤ |P |. Sin embargo no se sigue que si

|Q| ≤ |P | entonces P ⊆ Q.

Lema 1.2.11. Si Q es un refinamiento de P , entonces

s(f, P ) ≤ s(f, Q)

y

S(f, P ) ≥ S(f,Q)

Teorema 1.2.12. Sean P1 y P2 dos particiones de [a, b] y sea f una funcion acotada

sobre [a, b]. Entonces s(f, P1) ≤ S(f, P2)

1.2. INTEGRAL DE RIEMANN 11

Observacion 1.2.13. Por tanto, cualquier suma superior es una cota superior para el

conjunto de todas las sumas inferiores. Ası cualquier suma superior es mayor o igual que

la cota superior mınima de todas las sumas inferiores. Es decir, ∀P ′ particion de [a, b],

sup{s(f, P ) : P particion de [a, b]} ≤ S(f, P ′)

A su vez, el sup{s(f, P )} es una cota inferior para el conjunto de todas las sumas

superiores de f , por lo que sup{s(f, P )} ≤ ınf{S(f, P )} y ∀P ′ particion de [a, b]

s(f, P ′) ≤ sup{s(f, P )} ≤ S(f, P ′)

s(f, P ′) ≤ ınf{S(f, P )} ≤ S(f, P ′)

A partir de esto pueden ocurrir dos situaciones

o sup{s(f, P )} = ınf{S(f, P )}; en este caso, este unico numero serıa un buen can-

didato a area de R(f, a, b)

o sup{s(f, P )} < ınf{S(f, P )}; en este caso, hay infinitos numeros x que cumplen

que sup{s(f, P )} ≤ x ≤ ınf{S(f, P )}

Ejemplo 1.2.14. En el intervalo [0, 1] tomando la particion que lo divide en n partes

iguales, la funcion f(x) =

{0 si x ∈ I1 si x ∈ Q.

cumple que mi = 0 ∀i = 1, . . . , n y Mi = 1 ∀i = 1, . . . , n. Por tanto,

sup{s(f, P )} = 0 6= 1 = ınf{S(f, P )}

Definicion 1.2.15. Una funcion f acotada en [a, b] es integrable sobre [a, b] en el sentido

de Riemann si

sup{s(f, P ) : P particion de [a, b]} = ınf{S(f, P ) : P particion de [a, b]}

En este caso, este numero comun recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota

por

∫

a

b

f o

∫

a

b

f(x) dx.

Al sımbolo∫

se le llama signo integral y a y b son los lımites de integracion inferior

y superior respectivamente.

La integral

∫

a

b

f recibe el nombre de area de R(f, a, b) cuando f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]


Observacion 1.2.16. Si f es integrable se cumple que s(f, P ) ≤ ∫a

bf ≤ S(f, P ), ∀P

particion de [a, b] y

∫

a

b

f es el unico numero con esta propiedad.

Teorema 1.2.17. Criterio de integrabilidad

Si f esta acotada en [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] ⇔ ∀ε > 0 ∃P particion

de [a, b] tal que

S(f, P )− s(f, P ) < ε

Observacion 1.2.18. Este teorema nos evita trabajar con supremos e ınfimos

Ejemplo 1.2.19. Sea f : [0, 2] → R definida por f(x) =

{0 si x 6= 1,

1 si x = 1.

∀P particion de [0, 2], P = t0, . . . , tn, ∃j ∈ 1, . . . , n tal que 1 ∈ [tj−1, tj].

Cuando i 6= j tenemos que mi = Mi = 0, pero mj = 0 y Mj = 1.

Por tanto, S(f, P )− s(f, P ) = tj − tj−1.

Ası ∀ε > 0 basta elegir una particion de P tal que tj − tj−1 < ε, con lo que f serıa

integrable. Ademas, puesto que s(f, P ) = 0 ∀P , podemos escribir, siguiendo la expresion

de la observacion anterior al criterio de integrabilidad, que s(f, P ) ≤ 0 ≤ S(f, P ), ∀P ,

por lo tanto

∫

a

b

f = 0

Ejemplo 1.2.20. Sea f(x) = x en [0, b]. Tomamos una particion que tenga todos sus

subintervalos de igual longitud: P = t0, . . . , tn y ti =ib

n

La suma inferior es:

s(f, P ) =n∑

i=1

mi(ti − ti−1) =n∑

i=1

ti−1(ti − ti−1) =n∑

i=1

(i− 1)b

n· b

n=

b2

n2

n∑i=1

(i− 1)

Este ultimo sumatorio es una progresion aritmetica, por lo que

s(f, P ) =b2

n2· ((n− 1) + 0)

2· n =

n− 1

n· b2

2

Analogamente, puesto que Mi = ti

S(f, P ) =n + 1

n· b2

2

Ası pues, cuando n →∞

S(f, P )− s(f, P ) =2

n· b2

2→ 0

1.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 13

Por lo tanto, f es integrable y

lımn→∞

s(f, P ) = lımn→∞

S(f, P ) =b2

2

Por consiguiente,

∫

0

b

f =b2

2y

∫

a

b

f =b2 − a2

2

Teorema 1.2.21. Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

1.3. Propiedades de la Integral de Riemann

Teorema 1.3.1. Sea a < c < b. Si f es integrable en [a, b] entonces f es integrable sobre

[a, c] y sobre [c, b]. Recıprocamente, si f es integrable sobre [a, c] y sobre [c, b], entonces f

es integrable sobre [a, b]. Finalmente, si f es integrable sobre [a, b] entonces

∫ b

a

f =

∫

a

c

f +

∫

c

b

f

.

Observacion 1.3.2. Vamos a anadir las siguientes definiciones:

∫

a

a

f = 0

∫

a

b

f = −∫

b

a

f si a > b

Con estas definiciones la ecuacion

∫

a

b

f =

∫

a

c

f +

∫

c

b

f se cumple ∀a, b, c, incluso aunque

no se cumpla a < c < b

Teorema 1.3.3. Si f y g son integrables sobre [a, b] entonces f + g es integrable sobre

[a, b] y ∫

a

b

(f + g) =

∫

a

b

f +

∫

a

b

g

Observacion 1.3.4. El que f + g sea integrable en [a, b] no quiere decir que lo sean f y

g. Por ejemplo:

En el intervalo [0, 1] tomando las funciones f(x) =

{0 si x ∈ I1 si x ∈ Q.

y g(x) =

{1 si x ∈ I0 si x ∈ Q.


Tenemos que f + g = 1 ∀x ∈ [0, 1], integrable en [0, 1] al ser continua, mientras que ni

f ni g son integrables.

Teorema 1.3.5. Si f es integrable sobre [a, b] entonces para cualquier numero c, la fun-

cion c · f es integrable sobre [a, b] y

∫

a

b

c · f = c ·∫

a

b

f

Observacion 1.3.6. Este teorema es un caso particular del teorema mas general que dice

que si f y g son integrables sobre [a, b], entonces f · g es integrable sobre [a, b]

Proposicion 1.3.7. Si f es integrable sobre [a, b] y f ≥ 0 entonces

∫

a

b

f ≥ 0

Proposicion 1.3.8. Sean f y g integrables sobre [a, b] y tales que f ≤ g ∀x ∈ [a, b],

entonces

∫

a

b

f ≤∫

a

b

g

Observacion 1.3.9. Si f es integrable en [a, b], entonces | f | es integrable en [a, b]. Pero

que | f | sea integrable en [a, b] no implica que f sea integrable en [a, b].

Por ejemplo la funcion f(x) =

{−1 si x ∈ I1 si x ∈ Q.

no es integrable en ningun intervalo cerrado de R, mientras que su valor absoluto es

| f(x) |= 1 ∀x ∈ R, por lo que es integrable en todo intervalo cerrado de R

Proposicion 1.3.10. Si f es integrable sobre [a, b] entonces |∫

a

b

f | ≤∫

a

b

|f |

Teorema 1.3.11. Si f es integrable sobre [a, b] y m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b], entonces

m · (b− a) ≤∫

a

b

f ≤ M · (b− a)

Teorema 1.3.12. Si f es integrable sobre [a, b] y F es una funcion definida sobre [a, b]

por F (x) =

∫

a

x

f(t)dt, ∀x ∈ [a, b], entonces F es continua sobre [a, b]

Capıtulo 2

Teorema fundamental del Calculo

2.1. Teoremas fundamentales

Teorema 2.1.1. Primer teorema fundamental del Calculo Infinitesimal

Sea f integrable sobre [a, b] y definimos F sobre [a, b] por F (x) =

∫

a

x

f(t)dt, ∀x ∈ [a, b].

Si f es continua en c ∈ [a, b], entonces F es derivable en c, y F ′(c) = f(c). Si c = a o c = b,

entonces F ′(c) representa a la derivada por la derecha o por la izquierda de F en c,

respectivamente. A F se la llama antiderivada de f .

Observacion 2.1.2. Si en vez del lımite superior de integracion se varıa el lımite inferior

de integracion, se define G(x) =

∫

x

b

f(t)dt y, por tanto, G(x) =

∫

a

b

f(t)dt−∫

a

x

f(t)dt, en-

tonces G′(c) = −f(c). Ası si tenemos que x < a entonces F (x) =

∫

a

x

f(t)dt = −∫

x

a

f(t)dt

y F ′(c) = −(−f(c)) = f(c). Luego el resultado es independiente de si x > a o si x < a.

Observacion 2.1.3. Cuando f es continua en todos los puntos de [a, b], F es derivable

en todos los puntos de [a, b] y F ′ = f

Ejemplo 2.1.4. Para trabajar con las funciones derivables suministradas por el primer

teorema fundamental del calculo infinitesimal (F ), hay que tener en cuenta la regla de la

cadena. Por ejemplo: Calcula la derivada de la funcion

f(x) =

∫

a

x3

1

1 + sen2tdt

Tenemos que f(x) = F (C(x)) = F ◦ C(x), donde C(x) = x3 y F (x) =

∫

a

x 1

1 + sen2tdt.

15

16 CAPITULO 2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Por la regla de la cadena

f ′(x) = F ′(C(x)) · C ′(x) = F ′(x3) · 3x2 =1

1 + sen2x3· 3x2

Si

f(x) = (

∫ x

a

1

1 + sen2tdt)3

entonces f = C ◦ F y

f ′(x) = C ′(F (x)) · F ′(x) = 3(

∫ x

a

1

1 + sen2tdt)2 · 1

1 + sen2x

La funcion que aparece encima (o debajo) del signo integral indica la funcion que apare-

cera a la “derecha” cuando f se escribe como una composicion.

Corolario 2.1.5. Regla de Barrow

Si f es continua sobre [a, b] y f = g′ para alguna funcion g, entonces

∫

a

b

f = g(b)− g(a)

Ejemplos 2.1.6. a. g(x) =x3

3y f(x) = x2. Entonces

∫

a

b

x2dx =b3

3− a3

3

b. g(x) =xn+1

n + 1y f(x) = xn. Entonces

∫

a

b

xndx =bn+1

n + 1− an+1

n + 1, ∀n 6= −1. (a y b

ambos positivos o ambos negativos si n < 0)

Observacion 2.1.7. No confundir el anterior corolario con una definicion de funcion

integrable, pues una funcion puede ser integrable sin ser la derivada de otra funcion,

como por ejemplo f(x) =

{0 si x 6= 1,

1 si x = 1.

Ademas si f es continua sabemos, por el primer Teorema fundamental del Calculo

Infinitesimal, que existe una funcion g tal que f = g′: g(x) =

∫

a

x

f , pero puede que no

sepamos quien es g. Por ejemplo: f(x) = exp(−x2) = e−x2

Teorema 2.1.8. Segundo Teorema Fundamental del Calculo Infinitesimal

Si f es integrable sobre [a, b] y f = g′ para alguna funcion g, entonces

∫

a

b

f = g(b)− g(a) = g(x)|ba

2.2. AREAS Y VOLUMENES 17

2.2. Areas y volumenes

Recuerda que la integral no siempre representa el area limitada por f , el eje horizontal

y las rectas verticales por los puntos (a, 0) y (b, 0). Por ello para calcular el area de un

recinto debemos averiguar donde la funcion es positiva y donde es negativa, generalmente

a traves de calcular donde se hace cero.

Como la integral de un recinto que este por debajo del eje horizontal es negativa,

para calcular el area tenemos que cambiar el signo al valor de la integral que obtenemos

para dicho recinto. Por ejemplo: Si a < 0 < b y f(x) = x3 entonces para calcular el area

limitada por f sobre [a, b], no calcularemos directamente

∫

a

b

f , si no que el area es

−(

∫

a

0

x3dx) +

∫

0

b

x3dx

Analogamente, cuando queremos calcular el area limitada por dos funciones, es nece-

sario saber donde una de ellas es mayor o menor que la otra. Si g(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b],

entonces∫

a

b(f − g) representa siempre el area limitada por f y g, aunque f y g sean, a

veces, negativas. Si c es un numero tal que f + c ≥ 0 y g + c ≥ 0 en [a, b] entonces el area

de R1(f, g, a, b) = al area de R2(f + c, g + c, a, b).

Lo primero que necesitamos saber es donde f es mayor que g, para ello, generalmente,

cuando sea posible, buscaremos los puntos de corte de f y g (si es que existen), es decir,

cuando f(x) = g(x). Por ejemplo: si f(x) = x3 − x y g(x) = x2, los puntos de corte son

las soluciones de la ecuacion x3 − x− x2 = 0, que son x = 0 y x = 1±√52 .

Lo segundo es saber cual de las funciones es mayor en los subintervalos determinados

por los puntos de corte de las funciones, para lo cual tomaremos valores intermedios

(suponiendo que las funciones son continuas en los subintervalos obtenidos). En cada

subintervalo se hace la integral de la mayor menos la menor, con lo que conseguimos que

cada integral de cada subintervalo sea positiva y el area sera la suma de las integrales.

La integral sirve para calcular areas mas que para ”definir” areas.

En cuanto al volumen de revolucion generado por la rotacion de una funcion f ≥ 0

en [a, b], respecto al eje horizontal, hay que tener en cuenta que cada punto de la grafica

18 CAPITULO 2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

(x, f(x)) describe una circunferencia de centro el punto (x, 0) y de radio la altura de la

grafica, es decir, f(x).

Aplicando la integral de Riemann, tomamos una particion P y construimos unos discos

verticales (cilindros) de altura ti − ti−1 y de radio mi o Mi segun que tomemos ınfimos o

supremos. Estos discos tendran un volumen de

π ·mi2 · (ti − ti−1)

π ·Mi2 · (ti − ti−1)

Haciendo ambos sumatorios y que en ambos |P | → 0, llegamos a que el volumen de

revolucion de f en [a, b] es

V = π ·∫ b

a

f(x)2dx

Mas adelante veremos ejemplos y ejercicios de calculo de areas y volumenes, aunque ya

podemos hacer algunos casos sencillos:

Ejemplo 2.2.1. ¿Cual es el volumen de revolucion generado por la recta y = x en el

intervalo [0, 2] al girar alrededor del eje OX? Esto es lo mismo que calcular el volumen del

cono cuyo eje es el eje de abcisas y cuya generatriz viene dada por la funcion f(x) = x.

Solucion:

Aplicando la formula tenemos

V = π ·∫ 2

0

x2dx = π · [x3

3]20 =

8π

3

Capıtulo 3

Funciones Trigonometricas

3.1. Introduccion

Definicion 3.1.1. Se dice que una funcion f es periodica de periodo T si

f(x + T) = f(x) ∀x

Proposicion 3.1.2. Sea f una funcion periodica de periodo T . Si f es continua en un

punto x0 entonces, para todo numero entero k, f es continua en x0 + k · T .

Proposicion 3.1.3. Sea f una funcion periodica de periodo T . Si f es derivable en un

punto x0 entonces, para todo numero entero k, f es derivable en x0 + k · T y se tiene que

f ′(x0 + kT ) = f ′(x0)

.

Observacion 3.1.4. Sea f una funcion periodica de periodo T y derivable. Entonces su

funcion derivada es tambien una funcion periodica de periodo T .

Vamos a empezar repasando y comentando algunos conceptos e ideas basicos. Como

ya sabeıs, un angulo queda descrito mediante un punto sobre la circunferencia unidad, es

decir, mediante un punto (x, y) con x2 + y2 = 1. Para medir los angulos vamos a utilizar

los radianes.

Definicion 3.1.5. Un radian es el arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio

de dicha circunferencia. Tambien se llama radian al angulo que abarca dicho arco.

19

20 CAPITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Con esta definicion de radian, para estudiar un angulo tenemos que saber calcular la

longitud de una curva. Para evitar este problema vamos a definir las funciones seno y

coseno en terminos de areas.

Supongamos que z es la longitud del arco de la circunferencia unidad que va desde el

punto (1, 0) hasta el punto P . Como la longitud total de la circunferencia de radio 1 es

L = 2π, el arco contienez

2πde la longitud total. Por ejemplo, si z = π entonces el arco

contiene1

2de la longitud total.

Si designamos por S al sector circular determinado por el arco de longitud z, el area

de S deberıa serz

2πveces el area del cırculo unidad, la cual suponemos que es π; ası pues,

S debe tener por areaz

2π· π =

z

2

Por otro lado, la circunferencia unidad tiene por ecuacion x2 + y2 = 1, de donde,

despejando, obtenemos y2 = 1 − x2. Algebraicamente hablando, para y tenemos dos

soluciones y = ±√1− x2, pero como queremos calcular areas, lo cual lo vamos a hacer a

traves de las integrales de funciones, no nos valen las dos soluciones de y, pues la integral

nos darıa 0. Por ello, tomamos solo para definir la funcion f la raız positiva de y, es decir

tomamos f(x) =√

1− x2.

Esta funcion entre [−1, 1] tiene por grafica la semicircunferencia superior de la circun-

ferencia de radio 1. El area que determina esta funcion serıa la mitad de la del cırculo

unidad, es decir π2 . Ası,

Definicion 3.1.6.

π = 2 ·∫ 1

−1

√1− x2dx

Para describir el area A(x) del sector circular S tenemos que distinguir:

si 0 ≤ x ≤ 1, este area puede expresarse como la suma del area del triangulo

determinado por el punto P = (x,√

1− x2) y el area de una region por debajo de

la funcion f entre x y 1. Obtenemos que el area total es

A(x) =x · √1− x2

2+

∫ 1

x

√1− t2dt

si −1 ≤ x ≤ 0, el terminox · √1− x2

2es negativo y representa el area del triangulo

que debe ser restado a la integral de f entre x y 1.

3.2. SENO Y COSENO 21

Definicion 3.1.7. Si −1 ≤ x ≤ 1, entonces

A(x) =x · √1− x2

2+

∫ 1

x

√1− t2dt

Si −1 ≤ x ≤ 1, A es derivable en x y aplicando el Teorema fundamental del Calculo

infinitesimal,

A′(x) =1

2[x · −2x

2√

1− x2+√

1− x2]−√

1− x2

Operando llegamos a que

A′(x) = − 1

2√

1− x2< 0

Es decir, sobre el intervalo [−1, 1] la funcion A es estrictamente decreciente, desde

A(−1) =

∫ 1

−1

√1− t2dt =

π

2hasta A(1) = 0

3.2. Seno y coseno

Para un numero x tal que 0 ≤ x ≤ π queremos definir el cosx y el senx como

las coordenadas de un punto P = (cosx, senx), sobre la circunferencia unidad, el cual

determina un sector cicular S cuya area es x2 .

Definicion 3.2.1. Si 0 ≤ x ≤ π entonces el coseno de x, cosx, se define como el unico

numero del intervalo [−1, 1] tal que

A(cosx) =x

2

y , por Pitagoras,

senx =√

1− cos2x

Por ejemplo, A(cos 0) = 0 y A(cos π) =π

2

Observacion 3.2.2. Para saber que “existe” un numero t que satisface que A(t) =x

2,

utilizamos el hecho de que A es continua y por el teorema de los valores intermedios, toma

todos los valores entre 0 yπ

2.

Teorema 3.2.3. Si 0 < x < π entonces

cos′x = −senx

sen′x = cosx


Como cos′x = −senx < 0, si 0 < x < π, la funcion cos es decreciente estrictamente

desde cos 0 = 1 hasta cos π = −1. En consecuencia existe un unico valor y ∈ [0, π] tal que

cos y = 0:

A(cos x) =x

2, entonces A(0) =

y

2de modo que y = 2

∫ 1

0

√1− t2dt.

Al ser par la funcion√

1− t2, tenemos que

∫ 0

−1

√1− t2dt =

∫ 1

0

√1− t2dt, por lo que

y =

∫ 1

−1

√1− t2dt =

π

2.

Como (cosx)′′ = −cosx tenemos que en (0,π

2) la funcion es concava y en (

π

2, π) la

funcion es convexa.

Para la funcion sen tenemos que

(senx)′ = cosx

> 0 0 < x <π

2

< 0π

2< x < π

El seno crece de 0 aπ

2, desde sen0 = 0 hasta sen

π

2= 1 y decrece de

π

2a π hasta

senπ = 0. En x =π

2la funcion sen tiene un maximo al haber cambio de signo en la

primera derivada.

Si π ≤ x ≤ 2π entonces tenemos que

senx = −sen(2π − x)

cosx = cos(2π − x)

Esto nos permite ampliar el intervalo de definicion de las funciones seno y coseno.

Ademas, si x = x′ + 2kπ , k ∈ Z y x′ ∈ [0, 2π], tenemos que

senx = senx′

cosx = cosx′

Por tanto, las funciones seno y coseno son ambas periodicas de periodo 2π. La relacion

sen2x + cos2x = 1 se extiende facilmente a todo R aplicando que si π ≤ x ≤ 2π en-

tonces senx = −sen(2π − x) y que cosx = cos(2π − x) y que son funciones periodicas.

Analogamente se extiende a todo R que

cos′x = −senx sen′x = cosx

3.3. OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 23

3.3. Otras funciones trigonometricas

Definicion 3.3.1. Definimos las funciones siguientes:

Si x 6= π

2+ kπ, k ∈ Z

secx =1

cosx

tgx =senx

cosx

Si x 6= kπ, k ∈ Z

cosecx =1

senx

cotgx =cosx

senx

Teorema 3.3.2. Si x 6= π2

+ kπ, k ∈ Z entonces

sec′x = secx · tgx

tg′x = sec2x

Si x 6= kπ, k ∈ Z entonces

cosec′x = −cosecx · cotgx

cotg′x = −cosec2x

Observacion 3.3.3. Las funciones trigonometricas no son funciones uno-uno (biyecti-

vas), de modo que hace falta restringirlas primero a intervalos convenientes para poder

encontrar sus funciones recıprocas. La mayor longitud posible que se puede obtener es π,

y los intervalos que generalmente se eligen son:

Para el seno [−π

2,π

2]

Para el coseno [0, π]

Para la tangente [−π

2,π

2]

La funcion recıproca de la funcion f(x) = senx en [−π

2,π

2] se llama arcoseno, y se

designa por arcsenx. Su dominio es [−1, 1].

La funcion recıproca de la funcion g(x) = cosx en [0, π] se llama arcocoseno, y se

designa por arccosx. Su dominio es [−1, 1].

La funcion recıproca de la funcion h(x) = tgx en [−π

2,π

2] se llama arcotangente, y

se designa por arctgx. Su dominio es R. Es uno de los ejemplos de funcion derivable,

creciente y que esta acotada siendo uno-uno sobre todo R.


Teorema 3.3.4. Si −1 < x < 1, entonces

arcsen′(x) =1√

1− x2

arccos′(x) =−1√1− x2

Ademas ∀x ∈ R se tiene

arctg′(x) =1

1 + x2

Lema 3.3.5. Supongamos que f tiene derivada segunda por todas partes y que: f ′′+f = 0,

f(0) = 0 y f ′(0) = 0. Entonces f ≡ 0

Teorema 3.3.6. Si f es una funcion con derivada segunda por todas partes y f ′′+f = 0,

f(0) = a y f ′(0) = b, entonces f(x) = a · cos x + b · sen x.

En particular si f(0) = 0 y f ′(0) = 1 entonces f(x) = sen x y si f(0) = 1 y f ′(0) = 0,

entonces f(x) = cos x

Teorema 3.3.7. Si x e y son dos numeros cualesquiera, entonces

sen(x + y) = senx · cosy + cosx · seny

cos(x + y) = cosx · cosy − senx · seny

Observacion 3.3.8. Haciendo x = y obtenemos

sen2x = 2senx · cosx

cos2x = cos2x− sen2x = 2cos2x− 1 = 1− 2sen2x

A partir de esto llegamos a

cosx = 2cos2(x

2)− 1 ⇒ cos(

x

2) =

√1 + cosx

2

cosx = 1− 2sen2(x

2) ⇒ sen(

x

2) =

√1− cosx

2

Proposicion 3.3.9. Las funciones tangente y cotangente son periodicas de periodo π

Observacion 3.3.10. Como consecuencia de la definicion de tangente tenemos

tg(x + y) =sen(x + y)

cos(x + y)=

senx · cosy + cosx · seny

cosx · cosy − senx · seny=

senx·cosy+cosx·senycosx·cosy

cosx·cosy−senx·senycosx·cosy

=tgx + tgy

1− tgx · tgy

3.3. OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 25

Proposicion 3.3.11. Angulos opuestos.

sen(−x) = − senx ⇒ funcion impar

cos(−x) = cos x ⇒ funcion par

tg(−x) = − tg x ⇒ funcion impar

A partir de estas expresiones obtendrıamos sen(x− y), cos(x− y) y tg(x− y)

Capıtulo 4

Funciones logarıtmicas yexponenciales

4.1. El logaritmo neperiano

Tomamos la funcion f(x) =1

xque es continua en todo punto excepto en x = 0 y, por

tanto, es integrable en todo intervalo cerrado que no contenga al origen.

Definicion 4.1.1. Llamamos funcion logarıtmo neperiano a la funcion ln : (0, +∞) → Rdefinida por

ln x =

∫ x

1

1

tdt ∀x > 0

A veces se escribe log x o Lx

Observacion 4.1.2. Por el primer teorema fundamental del Calculo Infinitesimal sabe-

mos que ln es una funcion derivable y, por tanto continua, ∀x ∈ (0, +∞) y

(ln x)′ =1

x∀x > 0

Por consiguiente , la derivada de ln es siempre positiva en (0, +∞), lo que implica que

ln es estrictamente creciente en dicho intervalo y como ln 1 = 0 sera ln x > 0 ∀x > 1 y

ln x < 0 ∀x < 1.

Ademas (ln x)′′ = − 1

x2< 0 ∀x ∈ (0, +∞), luego f es concava en (0, +∞)

Proposicion 4.1.3. Si x, y > 0 entonces ln(xy) = ln x + ln y

Corolario 4.1.4. Si n ∈ N y x > 0 entonces ln xn = n · ln x

27

28 CAPITULO 4. FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

Corolario 4.1.5. Si x, y > 0 entonces ln(x

y) = ln x− ln y

Corolario 4.1.6. La funcion ln no esta acotada superior ni inferiormente

Corolario 4.1.7.

lımx→0+

ln x = −∞ y lımx→+∞

ln x = +∞

Observacion 4.1.8. La funcion ln : (0, +∞) → R es continua y estrictamente creciente,

por lo tanto es inyectiva. Ademas al ser continua y no estar acotada ni supeior ni inferior-

mente su recorrido es todo R, es decir, ∀y ∈ R ∃x ∈ R+ / ln x = y, luego es suprayectiva.

Ası tenemos que la funcion ln es biyectiva

4.2. La funcion exponencial natural y el numero e

Al ser la funcion ln biyectiva tiene recıproca o inversa.

Definicion 4.2.1. La funcion exp = ln−1, se llama funcion exponencial natural.

Observacion 4.2.2. Segun esto, exp(x) = y ⇔ ln y = x, es decir, un punto (x, y)

pertenece a la grafica de la funcion exp ⇔ el punto (y, x) pertenece a la grafica de la

funcion ln (son simetricas respecto a la recta y = x).

Ası D(exp) = R = Rec(ln) y Rec(exp) = (0, +∞) = D(ln). Ademas, por ser la

funcion ln continua y creciente, la funcion exp es continua y creciente. Y como

lımx→0+

ln x = −∞ y lımx→+∞

ln x = +∞

entonces

lımx→−∞

exp(x) = 0 y lımx→+∞

exp(x) = +∞

Por otro lado, si ln es concava entonces exp es convexa. Es importante recordar que

por ser funciones inversas, tenemos que

exp(ln x) = ln(exp x) = x

Teorema 4.2.3. La funcion exp es derivable y ∀x ∈ R (exp(x))′ = exp(x)

Teorema 4.2.4. ∀x, y ∈ R se verifica que

exp(x + y) = exp(x) · exp(y)

4.2. LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y EL NUMERO E 29

Definicion 4.2.5. Se designa por e al numero real exp(1)

e = exp(1) ⇔ ln e =

∫ e

1

1

tdt = 1

Observacion 4.2.6. Como

ln 2 =

∫ 2

1

1

tdt ≤

∫ 2

1

1dt = 1

y

ln 4 =

∫ 4

1

1

tdt =

∫ 2

1

1

tdt +

∫ 4

2

1

tdt ≥

∫ 2

1

1

2dt +

∫ 4

2

1

4dt =

1

2+

1

2= 1

se tiene que ln 2 ≤ 1 = ln e ≤ ln 4. Por tanto 2 ≤ e ≤ 4.

Definicion 4.2.7. ∀x ∈ R designamos por ex a exp(x)

ex = exp(x)

Teorema 4.2.8. Si f es derivable ∀x ∈ R y f ′(x) = f(x) ∀x entonces ∃c ∈ R tal que

f(x) = c · ex ∀x (unicas funciones que coinciden con sus derivadas)

Teorema 4.2.9. Para cualquier numero natural n

lımx→+∞

ex

xn= +∞

Es decir, la funcion exponencial crece mas deprisa que cualquier polinomio.

Ejemplo 4.2.10. Sea la funcion f(x) = e−1

x2 , para x 6= 0. Tenemos que f ′(x) =2

x3·e− 1

x2 .

Por tanto

f ′(x) < 0 si x < 0 ⇒ f decrece

f ′(x) > 0 si x > 0 ⇒ f crece

Ademas si |x| → +∞ ⇒ x2 → +∞ y − 1

x2→ 0, de donde e−

1x2 → 1.

A su vez, si |x| → 0 ⇒ − 1

x2→ −∞, de donde e−

1x2 → 0, es decir,

lımx→0

e−1

x2 = 0

.

Por tanto si definimos

f(x) =

{e−

1x2 x 6= 00 x = 0


f es continua en R. Ademas f es derivable en 0:

f ′(0) = lımh→0

e−1

h2

h= lım

h→0

1h

e1

h2

= lımx→∞

x

ex2

Como lımx→∞

ex

x= ∞ entonces, con mas razon tenemos que lım

x→∞ex2

x= ∞, por tanto,

lımx→∞

x

ex2 = 0

Ası pues, f ′(x) =

2

x3· e− 1

x2 x 6= 0

0 x = 0

.

Analogamente obtenemos que f ′′(0) = 0 y que f (k)(0) = 0, por lo que f es extremada-

mente llana en 0, razon por la cual la podemos utilizar para enmascarar muchas irregu-

laridades de otras funciones, como por ejemplo la funcion

g(x) =

e−1

x2 · sen( 1x) x 6= 0

0 x = 0

.

4.3. Otras funciones exponenciales y logarıtmicas

Definicion 4.3.1. Sea a > 0. ∀x ∈ R se designa por ax al numero real ex·ln a

ax = ex·ln a

Definicion 4.3.2. La funcion f : R→ (0, +∞) designada por f(x) = ax = ex ln a, ∀x ∈ R,

se llama funcion exponencial de base a.

Se necesita imponer que a > 0 para que exista el ln a. Ademas, la funcion exponencial

natural es la exponencial en base e

Observacion 4.3.3. a0 = e0 = 1 y a1 = eln a = a. Ademas si a = 1 entonces ln a = 0 y

1x = e0 = 1, ∀x ∈ R.

Si a > 1 entonces ln a > 0 y si x < y entonces x ln a < y ln a y como la funcion

exponencial en base e es creciente, tenemos que exp(x ln a) < exp(y ln a), es decir, ax < ay.

Por consiguiente si a > 1 la funcion f(x) = ax es creciente y se verifica que

lımx→−∞

ax = lımx→−∞

ex ln a = 0

4.3. OTRAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 31

lımx→+∞

ax = lımx→+∞

ex ln a = +∞

En cambio, si 0 < a < 1 entonces ln a < 0 y la funcion f(x) = ax es decreciente y

lımx→−∞

ax = lımx→−∞

ex ln a = +∞

lımx→+∞

ax = lımx→+∞

ex ln a = 0

La funcion f(x) = ax es continua por ser la composicion de dos funciones continuas:

g(x) = ex y h(x) = x ln a, f = g ◦ h. Como g y h son derivables entonces f es derivable

y por la regla de la cadena tenemos que:

f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x) = eh(x) · ln a = ax · ln a ∀x ∈ R

Proposicion 4.3.4. Sea a > 0. Cualesquiera que sean los numeros reales x e y se verifica

ax+y = ax · ay y (ax)y = axy

Observacion 4.3.5. Si a > 0 y a 6= 1, la funcion f : R→ (0, +∞) definida por f(x) = ax

es biyectiva. Por lo tanto tiene recıproca o inversa.

Definicion 4.3.6. A la funcion inversa o recıproca de f(x) = ax, exponencial en base a,

se la llama funcion logaritmo en base a. Se designa por loga, loga : (0, +∞) → R

Observacion 4.3.7. Si y = logax entonces x = ay = eylna ⇒ lnx = ylna ⇒ y =lnx

lna.

Por tanto, tenemos que

logax =lnx

lna

A partir de aquı deducimos que ln es loge

Observacion 4.3.8. Como f(x) = ax es continua y monotona (creciente si a > 1 y

decreciente si a < 1), la funcion loga es tambien continua y monotona (creciente si a > 1

y decreciente si a < 1) y

si a > 1 lımx→0+

logax = −∞ , lımx→+∞

logax = +∞

y si a < 1 lımx→0+

logax = +∞ , lımx→+∞

logax = −∞

La derivada de g(x) = logax se obtiene a partir de g(x) =lnx

lna:

(logax)′ =1

xlna∀x > 0


4.4. Funcion potencia

Definicion 4.4.1. Sea a ∈ R. La funcion f : (0, +∞) → R definida por

f(x) = xa = ea·ln x ∀x > 0

se llama funcion potencia de exponente a.

Observacion 4.4.2. La funcion potencia f(x) = xa es continua y derivable, al ser la

composicion de las funciones g(x) = ex y h(x) = a · ln x, continuas y derivables.

f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x) = eh(x) · a

x= ealnx · a

x=

a

x· xa = a · xa−1

Si a = 0 ⇒ f(x) = 1 ∀x > 0

Si a > 0 ⇒ f ′(x) > 0 y f es creciente. Ademas, como

lımx→0+

alnx = −∞ y lımx→+∞

alnx = +∞

entonces

lımx→0+

xa = lımx→0+

ealnx = 0

lımx→+∞

xa = lımx→+∞

ealnx = +∞

Si a < 0 ⇒ f ′(x) < 0 y f es decreciente. Ademas, como

lımx→0+

alnx = +∞ y lımx→+∞

alnx = −∞

entonces

lımx→0+

xa = lımx→0+

ealnx = +∞lım

x→+∞xa = lım

x→+∞ealnx = 0

La segunda derivada de f es f ′′(x) = a · (a − 1) · xa−2. Por tanto, si a < 0 o a >

1 ⇒ f ′′(x) > 0 y f es convexa y si 0 < a < 1 ⇒ f ′′(x) < 0 y f es concava. Si

a = 1 ⇒ f(x) = x ∀x > 0.

El caso general es

f(x) = g(x)h(x)

cuya derivada es

f ′(x) = g(x)h(x)[h′(x) · g(x) + h(x) · g′(x)

g(x)]

4.5. FUNCIONES HIPERBOLICAS 33

4.5. Funciones Hiperbolicas

Definicion 4.5.1. Las funciones sh, ch y th definidas ∀x ∈ R por

sh(x) =ex − e−x

2; ch(x) =

ex + e−x

2; th(x) =

shx

chx

se denominan seno hiperbolico, coseno hiperbolico y tangente hiperbolica respectivamente.

Observacion 4.5.2. Se deduce que sh0 = 0, ch0 = 1, th0 = 0. Y ∀x ∈ R se verifica

que sh(−x) = −shx ch(−x) = ch(x) y th(−x) = −thx. Luego las funciones sh y th

son impares y la funcion ch es par.

Observacion 4.5.3. De la definicion se deduce que chx + shx = ex y chx− shx = e−x.

Multiplicando miembro a miembro se obtiene

ch2x− sh2x = 1

y dividiendo por ch2x resulta

1− th2x =1

ch2x

A partir de aquı se deducen las siguientes igualdades:

sh(x + y) = shx · chy + chx · shy

ch(x + y) = chx · chy + shx · shy

th(x + y) =thx + thy

1 + thx · thy

sh2x = 2shx · chx

ch2x = ch2x + sh2x

th2x =2thx

1 + th2x

Observacion 4.5.4. Las funciones sh, ch y th son derivables por serlo la exponencial

natural y ∀x ∈ R se verifica que

sh′x = chx , ch′x = shx , th′x =1

ch2x

Observacion 4.5.5. Como chx > 0, ∀x entonces sh es creciente y, ademas,

lımx→−∞

shx = −∞ y lımx→+∞

shx = +∞


Por otra parte, como sh′′x = shx y shx es positivo o negativo segun que x sea mayor

o menor que 0, la funcion sh es concava en (−∞, 0) y convexa en (0, +∞). En x = 0, la

funcion sh tiene un punto de inflexion.

Como shx < 0 si x < 0 y shx > 0 si x > 0 entonces ch es decreciente en (−∞, 0) y

creciente en (0, +∞). En x = 0, ch tiene un mınimo absoluto igual a 1. Ademas

lımx→−∞

chx = lımx→+∞

chx = +∞

Por otra parte ch′′x = chx > 0 ∀x, entonces ch es convexa.

La funcion th tinen derivada positiva y, por tanto, es creciente en R. Ademas,

lımx→−∞

thx = −1 y lımx→+∞

thx = +1

Por otro lado, th′′(x) = −sh2x

ch4x, por lo que la funcion th es convexa en (−∞, 0) y

concava en (0, +∞); ası en x = 0 tiene un punto de inflexion.

Observacion 4.5.6. La funcion sh : R→ R es biyectiva. Su funcion recıproca o inversa

se llama argumento seno hiperbolico y se designa por arg sh: arg shx = y ⇔ shy = x.

La funcion arg sh es continua y creciente, al serlo sh. Ademas es derivable y su deriva-

da es arg sh′(x) =1√

x2 + 1.

Por otro lado, arg shx = ln|x +√

x2 + 1|

La funcion ch : [0, +∞) → [1, +∞) es biyectiva. Su funcion recıproca o inversa se

llama argumento coseno hiperbolico y se designa por arg ch: arg chx = y ⇔ chy = x.

Es derivable y su derivada es arg ch′(x) =1√

x2 − 1.

Por otro lado, arg chx = ln|x +√

x2 − 1|.

La funcion th : R → (−1, 1) es biyectiva. Su funcion recıproca o inversa se llama

argumento tangente hiperbolica y se designa por arg th: arg thx = y ⇔ thy = x.

Su derivada es arg th′(x) =1

1− x2. Y arg thx =

1

2· ln|1 + x

1− x|

4.6. CALCULO DE LIMITES 35

4.6. Calculo de lımites

En general, usaremos la Regla de L´Hopital para resolver las indeterminaciones∞∞ y

0

0. En las indeterminaciones del tipo 0 · ∞ trasformaremos la expresion para convertirla

en una indeterminacion del tipo∞∞ o

0

0:

o bien f · g =f1

g

o bien f · g =g1

f

.

Las indeterminaciones del tipo ∞−∞ se trasforman del modo siguiente:

f − g = f · (1− g

f)

Las indeterminaciones de los tipos 00 , ∞0 y 1∞ se reducen al tipo 0 · ∞ sin mas

que tener en cuenta que

f(x)g(x) = eg(x)·ln(f(x))

A veces, para el calculo de lımites en el infinito o en cero, resulta muy util hacer el

cambio de variable y =1

x. Con este cambio tenemos:

y → 0+ ⇔ x → +∞

y → 0− ⇔ x → −∞

Ejemplos 4.6.1. Veamos varios ejemplos:

1.

lımx→+∞

ln x

x= lım

x→+∞1

x= 0

2.

lımx→0+

x · ln x = lımy→+∞

1

y· ln 1

y= lım

y→+∞− ln y

y= 0

3.

lımx→0

(1 + x)1x = lım

x→0e

1x·ln(1+x) = e1 = e


En el caso lımx→a

f(x)g(x), con −∞ ≤ a ≤ +∞, si f y g son tales que f(x) 6= 1 ∀x,

lımx→a

f(x) = 1, lımx→a

g(x) = ±∞ y que exista el lımx→a

(f(x)− 1) · g(x), haciendo el cambio

h(x) = f(x)− 1, tenemos

f(x)g(x) = [(1 + h(x))1

h(x) ]h(x)·g(x)

donde lımx→a

h(x) = 0, por lo que

lımx→a

(1 + h(x))1

h(x) = lımy→0

(1 + y)1y = e

Como h(x) ·g(x) = (f(x)−1) ·g(x) y por ser la funcion exponencial continua (el lımite

de la potencia es el lımite de la base elevado al lımite del exponente), sustituyendo queda

lımx→a

f(x)g(x) = elımx→a

(f(x)− 1) · g(x)

Ejemplo 4.6.2.

lımx→0

(x2 + x + 1)1x = e

lımx→0

x2 + x

x = elımx→0

(x + 1)= e

Capıtulo 5

Integracion en terminos elementales

5.1. Introduccion

Definicion 5.1.1. Sea I un intervalo y f : I → R una funcion continua en I. Se dice que

una funcion F es una primitiva de f en I cuando F es derivable y F ′ = f en I.

Por el Primer Teorema fundamentel del Calculo Infinitesimal, si f es continua en I,

cualquier funcion del tipo F (x) =

∫ x

a

f , donde a ∈ I, es una primitiva de f en I.

Proposicion 5.1.2. Sean I un intervalo y f : I → R una funcion continua en I. Si F y

G son dos primitivas de f en I, entonces la funcion G− F es constante en I.

Observacion 5.1.3. Por tanto, si F es primitiva de una funcion continua f en I,

cualquier otra primitiva de f en I es de la forma G = F + k con k constante.

Definicion 5.1.4. El conjunto de las primitivas de f se designa por

∫f o

∫f(x)dx.

Ası, si F es una primitiva de f entonces

∫f = {F + k : k ∈ R}. Suele escribirse

∫f = F + k

Observacion 5.1.5. No debes confundir

∫f(x)dx con

∫ b

a

f(x)dx. La primera expresion

designa a un conjunto infinito de funciones, las cuales, cumplen, todas ellas, que tienen

por derivada a f . Se llama integral indefinida de f . Mientras que la segunda expresion es

un numero real, la integral de f en [a, b]. Se llama integral definida de f .

Ademas, a partir de la definicion de primitiva, tenemos que

∫f ′ = f +k y (

∫f)′ = f

37

38 CAPITULO 5. INTEGRACION EN TERMINOS ELEMENTALES

Proposicion 5.1.6. Sean I un intervalo, f y g dos funciones continuas en I y a y b dos

numeros reales no simultaneamente nulos. Entonces

a ·∫

f + b ·∫

g =

∫(a · f + b · g)

5.1.1. Integrales inmediatas

Son aquellas integrales indefinidas que se obtinen directamente a partir de la tabla de

derivadas.

1.

∫adx = ax + k

2.

∫(x− a)rdx =

(x− a)r+1

r + 1+ k si r 6= −1

3.

∫dx

x− a= ln|x− a|+ k

4.

∫eaxdx =

eax

a+ k si a 6= 0

5.

∫abxdx =

abx

b · lna+ k si a > 0 a 6= 1 y b 6= 0

6.

∫sen(ax)dx = −1

a· cos(ax) + k si a 6= 0

7.

∫cos(ax)dx =

1

a· sen(ax) + k si a 6= 0

8.

∫dx√

1− x2= arc sen x + k

9.

∫dx

1 + x2= arc tg x + k

10.

∫dx√

x2 + 1= ln |x +

√x2 + 1|+ k = arg shx + k

11.

∫dx√

x2 − 1= ln |x +

√x2 − 1|+ k = arg chx + k

5.2. METODOS DE INTEGRACION 39

5.2. Metodos de integracion

5.2.1. Integracion por partes

Proposicion 5.2.1. Sean I un intervalo y f y g dos funciones con derivadas continuas

en I. Entonces ∫f · g′ = f · g −

∫f ′ · g

Observacion 5.2.2. El metodo de integracion por partes para calcular

∫h(x)dx consiste

en encontrar dos funciones f y g tales que h se pueda escribir como f · g′. El metodo

sera eficaz cuando

∫f ′(x) · g(x)dx sea mas facil de calcular que la funcion original. En

los calculos se suele tomar u = f(x), dv = g′(x)dx, du = f ′(x)dx y v = g(x), por lo que

la formula queda ∫udv = u · v −

∫vdu

Se suele tomar como funcion u las potencias de x, salvo que aparezcan ln o arctan o

arcsin.

Ejemplos 5.2.3. 1.

∫x sen xdx = −x · cos x +

∫cos xdx = −x · cos x + sen x + k

con

{u = x ⇒ du = dx

dv = sen xdx ⇒ v = − cos x

2.

∫ln xdx = x · ln x− x + k

con

{u = ln x ⇒ du =

1

xdx

dv = dx ⇒ v = x

5.2.2. Integracion por cambio de variable

Proposicion 5.2.4. Sean I y J dos intervalos, g una funcion con derivada continua en

I, siendo g(I) ⊂ J , y f una funcion continua en J. Entonces

∫(f ◦ g) · g′ = (

∫f) ◦ g , es decir,

∫f(g(x)) · g′(x)dx =

∫f(t)dt

siendo t = g(x) (cambio de variable)


Observacion 5.2.5. Si se sabe determinar el conjunto

∫f(t)dt de las primitivas de f en

J, automaticamente queda determinado el conjunto

∫f(t)dt =

∫f(g(x)) · g′(x)dx de las

primitivas de (f ◦g) ·g′ en I, sin mas que componer con la funcion g (es lo que llamaremos

deshacer el cambio de variable). Es decir, primero se sustituye g(x) = t y g′(x)dx = dt

(se hace el cambio de variable). Despues se halla una primitiva de f en funcion de t.

Finalmente se sustituye t por g(x) (se deshace el cambio de variable).

Ejemplo 5.2.6. ∫sen2 x cos xdx =

∫t2dt =

1

3· sen3 x + k

hemos tomado g(x) = sen x continua en I = R y f(t) = t2 continua en J = R. Como

g(I) = [−1, 1] ⊂ J y g′(x) = cosx, tomamos el cambio de variable g(x) = sen x = t,

cos xdx = dt

Observacion 5.2.7. A veces la proposicion se utiliza en sentido contrario. Si se desea

calcular

∫f(x)dx y, para una funcion biyectiva conveniente g,

∫f(g(t)) · g′(t)dt es mas

facil de calcular. En este caso,∫

f(x)dx = (

∫f(g(t)) · g′(t)dt) ◦ g−1(x)

Ejemplo 5.2.8.

∫ √1− x2 dx =

∫ √1− sen2 t · cos tdt =

∫cos2 tdt =

1

2

∫(1+cos 2t)dt =

1

2t +

1

4sen 2t =

1

2arcsin x +

1

2x√

1− x2 + k

donde x = sen t = g(t), dx = cos tdt = g′(t)dt y g−1(x) = arcsin x = t

5.2.3. Primitivas de funciones racionales

Una funcion racional es el cociente entre dos funciones polinomicas, f =P

Q. Supon-

dremos queP

Qesta escrita en forma reducida, es decir, P y Q son polinomios primos entre

sı y supondremos que la descomposicion de Q en factores irreducibles es

Q(x) = a(x− a1)m1 . . . (x− ar)

mr · (x2 + 2b1x + c1)n1 . . . (x2 + 2bsx + cs)

ns

donde a, a1, . . . , ar, b1, c1, . . . , bs, cs son numeros reales tales que b2i − ci < 0, ∀i = 1, . . . , s,

entonces la funcion f =P

Qse descompone de modo unico en la forma

f = E +A11

x− a1

+ · · ·+ A1m1

(x− a1)m1+ · · ·+ Ar1

x− ar

+ · · ·+ Armr

(x− ar)mr+


+B11x + C11

x2 + 2b1x + c1

+ · · ·+ B1n1x + C1n1

(x2 + 2b1x + c1)n1+ · · ·+ Bs1x + Cs1

x2 + 2bsx + cs

+ · · ·+ Bsnsx + Csns

(x2 + 2bsx + cs)ns

donde E es la parte entera deP

Q(cociente de la division entera de

P

Q) y Aij, Bhk y Chk

son numeros reales.

Por tanto, todo se reduce a resolver integrales de los siguientes tipos:

∫dx

(x− a)ndonde n ∈ N y a ∈ R

∫Bx + C

(x2 + 2bx + c)ndx donde n ∈ N B, C, b, c ∈ R y b2 − c < 0

Las del primer tipo tienen como solucion

∫dx

(x− a)n=

ln|x− a|+ k si n = 1

−1

(n− 1)(x− a)n−1+ k si n 6= 1

Para resolver las del segundo tipo primero necesitamos transformarlas:

Bx + C =B

2· (2x + 2b) + C −Bb, luego

∫Bx + C

(x2 + 2bx + c)ndx =

B

2

∫2x + 2b

(x2 + 2bx + c)ndx + (C −Bb)

∫dx

(x2 + 2bx + c)n

y

∫2x + 2b

(x2 + 2bx + c)n=

ln(x2 + 2bx + c) + k si n = 1

−1

(n− 1)(x2 + 2bx + c)n−1+ k si n 6= 1

Por otra parte x2 + 2bx + c = x2 + 2bx + b2 + c− b2 = (x + b)2 + c− b2, con c− b2 > 0.

Haciendo el cambio de variable x + b =√

c− b2 · t, dx =√

c− b2 · dt tenemos,

∫dx

(x2 + 2bx + c)n=

1

(c− b2)n− 12

∫dt

(t2 + 1)n

y esta ultima integral se resuelve por partes (ver hoja de problemas) .

Ası las primitivas de una funcion racional son suma de funciones racionales, logaritmos

y arcotangentes.


Ejemplo 5.2.9.

∫dx

x3 − 1

Como x3 − 1 = (x− 1)(x2 + x + 1) tenemos por el metodo de los coeficientes indeter-

minados que1

x3 − 1=

A

x− 1+

Bx + C

x2 + x + 1

operando y calculando A, B y C, y sustituyendo en la igualdad llegamos a que:

1

x3 − 1=

1

3· 1

x− 1− 1

3· x + 2

x2 + x + 1

Como

∫dx

x− 1= ln |x− 1|+ k ,

∫x + 2

x2 + x + 1dx =

1

2

∫2x + 1

x2 + x + 1dx +

3

2

∫dx

x2 + x + 1y

∫2x + 1

x2 + x + 1dx = ln(x2 + x + 1) + k

Solo nos queda resolver la ultima integral, para lo cual hacemos el cambio de variable

x + 12

=√

1− (12)2t

dx =√

34dt =

√3

2dt

∫dx

x2 + x + 1=

1√

32

·∫

dt

(t2 + 1)=

2√3

arc tg t + k =

=2√

3

3arc tg

√3(2x + 1)

3+ k

5.2.4. Metodo de Hermite

Sean P y Q dos polinomios tales que el grado P < grado Q. Sea Q1 el maximo comun

divisor de Q y Q′ y sea Q2 el cociente de Q por Q1. Entonces existen dos polinomios

unicos P1 y P2 de grados inferiores a los de Q1 y Q2 respectivamente, tales que

∫P (x)

Q(x)dx =

P1(x)

Q1(x)+

∫P2(x)

Q2(x)dx

Si Q(x) = a(x − a1)m1 . . . (x − ar)

mr(x2 + 2b1x + c1)n1 . . . (x2 + 2bsx + cs)

ns entonces el

MCD(Q, Q′) es

Q1(x) = a(x− a1)m1−1 . . . (x− ar)

mr−1(x2 + 2b1x + c1)n1−1 . . . (x2 + 2bsx + cs)

ns−1


y Q2(x) = (x−a1) . . . (x−ar)(x2+2b1x+c1) . . . (x2+2bsx+cs) y ası en la descomposicion de

P2

Q2

en fracciones simples, solo aparecen sumandos de las formasAi

x− ai

yBjx + Cj

x2 + 2bjx + cj

y

∫P2

Q2

es la suma de logaritmos y arcotangentes.

Los coeficientes de P1 y P2 se calculan por el metodo de los coeficientes indeterminados:

Una vez determinados los polinomios Q1 y Q2 se consideran dos polinomios P1 y P2 de

grados inferiores en una unidad a los de Q1 y Q2 respectivamente y con coeficientes

indeterminados y se deriva la igualdad∫

P (x)

Q(x)dx =

P1(x)

Q1(x)+

∫P2(x)

Q2(x)dx

con lo que resulta

P (x)

Q(x)=

P ′1(x)Q1(x)− P1(x)Q′

1(x)

[Q1(x)]2+

P2(x)

Q2(x)

y quitando denominadores e identificando se determinan los coeficientes de P1 y P2.

Ejemplo 5.2.10.

∫3x + 5

(x2 + 2x + 2)2dx En este caso Q(x) = (x2 + 2x + 2)2; Q1(x) =

x2 + 2x + 2 y Q2(x) = x2 + 2x + 2. Ası tenemos que∫

3x + 5

(x2 + 2x + 2)2dx =

Ax + B

x2 + 2x + 2+

∫Cx + D

x2 + 2x + 2dx

Derivando, quitando denominadores e identificando coeficientes se obtiene que C = 0;

−A + 2C + D = 0; −2B + 2C + 2D = 3, 2A− 2B + 2D = 5 de lo que resulta que A = 1,

B = −12, C = 0 y D = 1. Por consiguiente,

∫3x + 5

(x2 + 2x + 2)2dx =

2x− 1

2(x2 + 2x + 2)+

∫dx

x2 + 2x + 2∫

dx

x2 + 2x + 2=

∫dx

(x + 1)2 + 1= arc tg(x + 1) + k

resulta finalmente∫

3x + 5

(x2 + 2x + 2)2dx =

2x− 1

2(x2 + 2x + 2)+ arc tg(x + 1) + k

5.2.5. Primitivas de algunas funciones trigonometricas

Una funcion f : R2 → R de la forma

f(x, y) = a00 + a10x + a01y + a11xy + a20x2 + a02y

2 + a21x2y + · · ·+ apqx

pyq


que utilizando signos sumatorios se puede escribir abreviadamente como

f(x, y) =

p∑m=0

q∑n=0

amnxmyn

se llama funcion polinomica de 2 variables. Una funcion racional de 2 variables es el

cociente de 2 funciones polinomicas de 2 variables. En este apartado vamos a utilizar

funciones de este tipo, donde las dos variables son sen x y cos x, es decir funciones

f(sen x, cos x)

a) Todas las integrales de la forma

∫f(sen x, cos x)dx donde f es una funcion racional

de 2 variables, se reducen a integrales de la forma

∫g(t)dt, donde g es una funcion racional

de 1 variable, con el cambio general

t = tgx

2⇔ x = 2 arc tg t , dx =

2dt

1 + t2

Como

tg x =2 tg x

2

1− tg2 x2

=2t

1− t2

aplicando la definicion de tangente de un angulo en un triangulo rectangulo, los catetos

son el numerador y el denominador de la ultima fraccion. Por Pitagoras obtenemos

sen x =2t

1 + t2y cos x =

1− t2

1 + t2

b) Cuando la funcion f es par tanto en seno y como en el coseno, es decir, cuando

f(− sen x,− cos x) = f(sen x, cos x), el cambio

t = tg x ⇔ x = arc tg t , dx =dt

1 + t2

reduce la integral a una funcion racional mas sencilla que con el cambio t = tgx

2. Si

tg x = t =t

1, aplicando la definicion de tangente de un angulo en un triangulo rectangu-

lo, los catetos son el numerador y el denominador de la ultima fraccion. Por Pitagoras

obtenemos cos x =1√

1 + t2y sen x = tg x · cos x =

t√1 + t2

.

c) Cuando f es impar en el coseno, es decir, f(sen x,− cos x) = −f(sen x, cos x), es

mejor el cambio sen x = t, cos x dx = dt.

d) Cuando fes impar en el seno, es decir, f(− sen x, cos x) = −f(sen x, cos x), es mejor

el cambio cos x = t, − sen x dx = dt


5.2.6. Integrales de la forma

∫f(ax)dx

Se reducen a integrales racionales con el cambio

t = ax ⇔ x = loga t , dx =dt

t ln a

y ∫f(ax)dx =

1

ln a

∫f(t)

tdt

5.2.7. Primitivas de algunas funciones irracionales

a) Integrales del tipo∫

f(x, (Ax + B

Cx + D)

1n1 , (

Ax + B

Cx + D)

1n2 , . . . , (

Ax + B

Cx + D)

1nr )dx

donde f es una funcion racional de r + 1 variables (cociente de 2 polinomios de r + 1

variables), A , B , C y D son numeros reales y n1 , n2 , . . . , nr son numeros naturales.

Sea m = m.c.m.(n1 , n2 , . . . , nr). Con el cambio

Ax + B

Cx + D= tm , x =

Dtm −B

A− Ctm, dx =

m(AD −BC)tm−1

(A− Ctm)2dt

se reducen a integrales de funciones racionales.

b) Integrales binomicas.

Se llaman ası a las integrales de la forma

∫xm(a + bxn)pdx, donde a , b ∈ R no nulos

y m , n , p ∈ Q siendo n 6= 0.

Haciendo el cambio xn = t , x = n√

t , dx = 1nt

1n−1dt, resulta

∫xm(a + bxn)pdx =

1

n

∫tq(a + bt)pdt

donde q =m + 1

n− 1.

Si alguno de los tres numeros p , q , p + q es entero, la ultima integral es del tipo

estudiado en el parrafo anterior:

- Si p es entero, la integral es de la forma

∫f(t, tq)dt, funcion racional de 2 variables.


- Si q es entero, la integral es de la forma

∫f(t, (a + bt)p)dt, funcion racional de 2

variables.

- Si p + q ∈ Z, la integral es igual a

∫tp+q(

a + bt

t)pdt

Por consiguiente, la integral

∫tq(a + bt)pdt se reduce a la integral de una funcion

racional cuando alguno de los numeros p, q, p + q ∈ Z. La racionalizacion se consigue con

los cambios de variable:

I. Si p ∈ Z y q =r

s, con r y s numeros enteros, se hace el cambio t = zs.

II. Si q ∈ Z y p =r

s, con r y s numeros enteros, se hace el cambio a + bt = zs,

t =zs − a

b.

III. Si p + q ∈ Z y p =r

s, con r y s numeros enteros, se hace el cambio

a + bt

t= zs,

t =a

zs − b.

c. Integrales del tipo

∫f(x,

√ax2 + bx + c)dx, donde f es una funcion racional de 2

variables, a , b , c ∈ R y a 6= 0.

Transformando el trinomio de 2o grado en suma o diferencia de cuadrados, la integral

se puede escribir de una de las 3 formas siguientes:

1.

∫f(x,

√p2 − (qx + r)2)dx

2.

∫f(x,

√p2 + (qx + r)2)dx

3.

∫f(x,

√(qx + r)2 − p2)dx

Todas ellas se reducen a integrales de la forma

∫g(sen x, cos x)dx, donde g es una funcion

racional de 2 variables.

Las del primer tipo se resuelven con el cambio q · x + r = p sen t, q dx = p cos t dt.

Las del segundo tipo se resuelven con el cambio q · x + r = p tg t, q dx =p dt

cos2 t.

Y las del tercer tipo se resuelven con el cambio q · x + r =p

cos t, q dx = p

sen t

cos2 tdt.


d. Las integrales de la forma

∫f(x,

√ax2 + bx + c)dx, donde f es una funcion racional

de 2 variables, a , b , c ∈ R y a 6= 0, pueden tambien reducirse a integrales de funciones

racionales. La racionalizacion se consigue con los cambios de variable que, segun los casos,

son:

1. Si a > 0 se hace el cambio√

ax2 + bx + c− x√

a = t.

2. Si a < 0 y c > 0 se hace el cambio1

x(√

ax2 + bx + c−√c) = t.

3. Si a < 0 y c < 0 se hace el cambio

√ax2 + bx + c

x− x1

= t, donde x1 es una de las dos

raıces de ax2 + bx + c.

Capıtulo 6

Teorema del valor medio. Suma deRiemann

6.1. Teorema del valor medio del calculo integral

Definicion 6.1.1. Promedio integral o valor medio de f .

Sea f : [a, b] → R una funcion acotada e integrable en [a, b]. El numero real

µ =1

b− a·∫ b

a

f(x)dx

se llama valor medio de f en el intervalo [a, b]. Serıa la altura de un rectangulo de base

b− a y de area igual al determinado por la funcion f en [a, b]

Teorema 6.1.2. Teorema del valor medio.

Si f : [a, b] → R es una funcion continua en [a, b] entonces ∃c ∈ [a, b] tal que

∫ b

a

f(x)dx = f(c) · (b− a)

Definicion 6.1.3. Sean f y g dos funciones integrables en [a, b] siendo g no negativa y

tal que∫ b

ag > 0. El numero real ∫ b

af(x)g(x)dx∫ b

ag(x)dx

se llama valor medio de la funcion f ponderado por la funcion g en el intervalo [a, b].

La funcion g suele denominarse funcion peso.

49

50 CAPITULO 6. TEOREMA DEL VALOR MEDIO. SUMA DE RIEMANN

Teorema 6.1.4. Teorema del valor medio ponderado o generalizado

Si f : [a, b] → R es una funcion continua en [a, b] y g : [a, b] → R es una funcion

acotada e integrable y de signo constante en [a, b], entonces ∃c ∈ [a, b] tal que

∫ b

a

f(x)g(x)dx = f(c)

∫ b

a

g(x)dx

6.2. Suma de Riemann

Definicion 6.2.1. Sea I = [a, b] y sea f : I → R una funcion acotada. Si tenemos

P = {t0 , t1 , . . . , tn} una particion de I y si {x1 , . . . , xn} son numeros reales tales

que xi ∈ [ti−1, ti] para i = 1, . . . , n, entonces la suma

σ(f, P ) =n∑

i=1

f(xi)(ti − ti−1)

recibe el nombre suma de Riemann de f correspondiente a la particion P y los puntos

intermedios xi

Observacion 6.2.2. Aunque en la notacion σ(f, P ) no aparezcan los xi, hay que tener

en cuenta que σ(f, P ) depende de la eleccion de los xi.

Ademas, ∀P particion de I y ∀{x1 , . . . , xn}, tales que xi ∈ [ti−1, ti] para i = 1, . . . , n,

tenemos que mi ≤ f(xi) ≤ Mi, ∀i = 1, . . . , n donde mi = ınf{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]} y

Mi = sup{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]}.

Por tanto,

mi(ti − ti−1) ≤ f(xi)(ti − ti−1) ≤ Mi(ti − ti−1) ∀i = 1, . . . , n

n∑i=1

mi(ti − ti−1) ≤n∑

i=1

f(xi)(ti − ti−1) ≤n∑

i=1

Mi(ti − ti−1)

Llegamos a que s(f, P ) ≤ σ(f, P ) ≤ S(f, P ), ∀P particion de I.

Teorema 6.2.3. Supongamos que f es continua en [a, b]. Entonces ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal

que si P = {t0 , t1 , . . . , tn} es una particion cualquiera de [a, b] tal que su norma

|P | < δ, entonces

|σ(f, P )−∫ b

a

f | < ε

para cualquier suma de Riemann formada tomando xi en [ti−1, ti], ∀i = 1, . . . , n.

6.2. SUMA DE RIEMANN 51

Observacion 6.2.4. Debido a la eleccion arbitraria de los xi, no podemos asegurar si

σ(f, P ) es mayor o menor que la integral. Pero sı que los retazos por encima o por debajo

no van a importar demasiado, si las bases se los rectangulos son suficientemente estrechas.

Ası lo que nos dice el teorema es que todo lo se se asemeje a una buena aproximacion

de una integral lo es realmente, siempre que todas las longitudes ti − ti−1 de los subinter-

valos de la particion sean suficientemente pequenos. Este resultado es tambien valido para

cualquier funcion integrable.

Proposicion 6.2.5. La integral como lımite de sumas

Sea f : [a, b] → R una funcion integrable en [a, b] y sea Pn = {t0 , t1 , . . . , tn} la

particion de [a, b] que divide en n partes iguales a este intervalo. Entonces

lımn→∞

s(f, Pn) =

∫ b

a

f = lımn→∞

S(f, Pn)

Proposicion 6.2.6. Si f : [a, b] → R es una funcion integrable en [a, b] entonces la

sucesion (an) definida por

an =b− a

n

n∑i=1

f(a + ib− a

n) ∀n ∈ N

es convergente y lımn→∞

an =

∫ b

a

f(x) dx

Ejemplo 6.2.7. Calcular el lımite de la sucesion (an) definida por

an =n

(n + 1)2+

n

(n + 2)2+ · · ·+ n

(n + n)2∀n ∈ N

Solucion:

Se tiene que

an =1

n

n∑i=1

n2

(n + i)2=

1

n

n∑i=1

1

(1 + in)2

y como b− a = 1, tomamos a = 1 y b = 2. Entonces

f(a + ib− a

n) = f(1 +

i

n) =

1

(1 + in)2

⇒ f(x) =1

x2

Por tanto,

lımn→∞

an =

∫ 2

1

dx

x2= −[

1

x]21 = −1

2+ 1 =

1

2

52 CAPITULO 6. TEOREMA DEL VALOR MEDIO. SUMA DE RIEMANN

Tambien podemos tomar a = 0 y b = 1. En este caso

f(a + ib− a

n) = f(0 +

i

n) = f(

i

n) =

1

(1 + in)2

⇒ f(x) =1

(1 + x)2

Por tanto,

lımn→∞

an =

∫ 1

0

dx

(1 + x)2= −[

1

1 + x]10 = −1

2+ 1 =

1

2

Capıtulo 7

Integrales impropias

Hasta ahora la funcion estaba acotada y el dominio de integracion era un intervalo

acotado. Vamos a estudiar ahora que pasa cuando una de las dos situaciones no se cumple.

Al no cumplirse una de las dos condiciones no tenemos integrales propiamente dichas,

razon por la cual a las integrales que aparecen en estas nuevas situaciones se les llama

integrales impropias.

7.1. Intervalos no acotados

Definicion 7.1.1. Sea a ∈ R y sea f : [a, +∞) → R tal que ∀c > a, la funcion f es

integrable en el intervalo [a, c]. Supongase que existe un numero real A tal que ∀ε > 0

∃M ∈ R tal que si c > M entonces |A −∫ c

a

f | < ε. En este caso se dice que A es la

integral impropia de f en [a, +∞) y el valor de A se denota por

∫ ∞

a

f o

∫ ∞

a

f(x)dx, es

decir, ∫ ∞

a

f = lımc→+∞

∫ c

a

f

si el lımite existe. La integral impropia es convergente o divergente segun que el lımite sea

finito o infinito respectivamente.

Observacion 7.1.2. Analogamente se tratan las integrales impropias en intervalos de la

forma (−∞, b].

Si f esta definida en (−∞, +∞) se trata considerando las integrales impropias de f

en (−∞, b] y [b, +∞), con b ∈ R arbitrario fijo. Si ambas integrales impropias existen,

entonces la integral impropia de f en (−∞, +∞) existe y se define como

53

54 CAPITULO 7. INTEGRALES IMPROPIAS

∫ +∞

−∞f =

∫ b

−∞f +

∫ +∞

b

f

Teorema 7.1.3. Criterio de comparacion o Primer criterio de comparacion.

Supuesto que ∃x0 > a tal que ∀x ≥ x0 se verifica que f(x) ≥ 0 y g(x) ≥ 0, entonces

i) Si

∫ ∞

a

g(x)dx converge y ∀x ≥ x0 se verifica que f(x) ≤ g(x), entonces la integral

impropia

∫ ∞

a

f(x)dx es convergente.

ii) Si

∫ ∞

a

g(x)dx diverge y ∀x ≥ x0 se verifica que g(x) ≤ f(x), entonces la integral

impropia

∫ ∞

a

f(x)dx es divergente.

Teorema 7.1.4. Criterio de comparacion en el lımite o segundo criterio de comparacion.

Supuesto que ∃x0 > a tal que ∀x ≥ x0 se verifica que f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 y sea

lımx→∞

f(x)

g(x)= A, entonces

i) Si A ∈ R− {0}∫ ∞

a

f(x)dx converge ⇔∫ ∞

a

g(x)dx converge

ii) Si A = 0 y

∫ ∞

a

g(x)dx converge entonces la integral

∫ ∞

a


iii) Si A = ∞ y

∫ ∞

a

g(x)dx diverge entonces la integral

∫ ∞

a


Corolario 7.1.5. Supuesto que ∃x0 > a tal que ∀x ≥ x0 se verifica que f(x) ≥ 0,

entonces, siendo lımx→∞

xpf(x) = A, se tiene:

i) Si A ∈ R− {0} y p > 1 entonces

∫ ∞

a

f(x)dx converge.

ii) Si A ∈ R− {0} y p ≤ 1 entonces

∫ ∞

a

f(x)dx diverge.

iii) Si A = 0 y p > 1 entonces

∫ ∞

a


iv) Si A = ∞ y p ≤ 1 entonces

∫ ∞

a

f(x)dx es divergente

7.2. FUNCION NO ACOTADA 55

Observacion 7.1.6. Este corolario se deduce del anterior teorema tomando como funcion

g a

g(x) =1

xp

Definicion 7.1.7. Convergencia absoluta

Se dice que

∫ ∞

a

f(x)dx converge absolutamente, si la integral

∫ ∞

a

|f(x)|dx es conver-

gente.

Teorema 7.1.8. Toda integral absolutamente convergente es convergente.

Definicion 7.1.9. Convergencia condicional

Una integral impropia convergente pero no absolutamente convergente recibe el nombre

de condicionalmente convergente.

7.2. Funcion no acotada

Definicion 7.2.1. Sea f : (a, b] → R tal que la funcion f es integrable en el intervalo

[c, b], ∀c ∈ (a, b]. Supongase que existe un numero real A tal que ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que si

c satisface a < c < a + δ, entonces |A−∫ b

c

f | < ε.

En este caso se dice que A es la integral impropia de f en (a, b] y el valor de A se

denota por

∫ b

a

f o

∫ b

a

f(x)dx, es decir,

∫ b

a

f = lımc→a+

∫ b

c

f

si el lımite existe. La integral impropia es convergente o divergente segun que el lımite sea

finito o infinito respectivamente.

Observacion 7.2.2. a) Si f esta acotada en [a, b] y si f es integrable en [c, b], ∀c ∈ (a, b]

entonces f es integrable en [a, b].

b) Observa que es posible asignar un valor cualquiera a f en a sin afectar su integra-

bilidad o el valor de su integral.

Observacion 7.2.3. Analogamente al caso (a, b] se tratan las integrales impropias en

intervalos de la forma [a, b), siendo

∫ b

a

f = lımc→b−

∫ c

a

f .


Si f no esta acotada en la vecindad de un punto interior p de [a, b], entonces se dice

que la integral impropia de f en [a, b] existe si y solo si las integrales impropias de f en

[a, p) y (p, b] existen, y en este caso la integral impropia de f en [a, b] se define como

∫ b

a

f =

∫ p

a

f +

∫ b

p

f

Teorema 7.2.4. Criterio de comparacion o Primer criterio de comparacion.

Supuesto que ∃x0 ∈ [a, b) tal que ∀x ∈ [x0, b) se verifica que f(x) ≥ 0 y g(x) ≥ 0,

entonces

i) Si

∫ b

a

g(x)dx converge y ∀x ∈ [x0, b) se verifica que f(x) ≤ g(x), entonces la integral

impropia

∫ b

a


ii) Si

∫ b

a

g(x)dx diverge y ∀x ∈ [x0, b) se verifica que g(x) ≤ f(x), entonces la integral

impropia

∫ b

a


Teorema 7.2.5. Criterio de comparacion en el lımite o segundo criterio de comparacion.

Supuesto que ∃x0 ∈ [a, b) tal que ∀x ∈ [x0, b) se verifica que f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 y sea

lımx→b−

f(x)

g(x)= A, entonces

i) Si A ∈ R− {0}∫ b

a

f(x)dx converge ⇔∫ b

a

g(x)dx converge

ii) Si A = 0 y

∫ b

a

g(x)dx converge entonces la integral

∫ b

a


iii) Si A = ∞ y

∫ b

a

g(x)dx diverge entonces la integral

∫ b

a


Corolario 7.2.6. Supuesto que ∃x0 ∈ [a, b) tal que ∀x ∈ [x0, b) se verifica que f(x) ≥ 0,

entonces, siendo lımx→b−

(b− x)pf(x) = A, se tiene:

i) Si A ∈ R− {0} y p < 1 entonces

∫ b

a

f(x)dx converge.

ii) Si A ∈ R− {0} y p ≥ 1 entonces

∫ b

a

f(x)dx diverge.

7.2. FUNCION NO ACOTADA 57

iii) Si A = 0 y p < 1 entonces

∫ b

a


iv) Si A = ∞ y p ≥ 1 entonces

∫ b

a

f(x)dx es divergente

Observacion 7.2.7. Este corolario se deduce del anterior teorema tomando como funcion

g a

g(x) =1

(b− x)p

Definicion 7.2.8. Convergencia absoluta

Se dice que

∫ b

a

f(x)dx converge absolutamente, si la integral

∫ b

a

|f(x)|dx es conver-

gente.

Teorema 7.2.9. Toda integral absolutamente convergente es convergente.

Definicion 7.2.10. Convergencia condicional

Una integral impropia convergente pero no absolutamente convergente recibe el nombre

de condicionalmente convergente.

Capıtulo 8

Teorema de Taylor

8.1. Polinomio de Taylor

Las funciones “elementales” como el seno, el coseno, el logaritmo neperano, etc., a la

hora de calcular valores no son tan elementales ni faciles de manejar. En cambio en el

caso de las funciones polinomicas sı resulta sencillo calcular valores para cualquier x.

Supongamos que tenemos el polinomio p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn. Los coeficientes

ai pueden expresarse en terminos del valor del polinomio p y de sus distintas derivadas

en x = 0:

p(0) = a0

Al derivar p(x) tenemos p′(x) = a1 + 2a2x + · · ·+ nanxn−1 y, por tanto,

p′(0) = p(1)(0) = a1

Al derivar de nuevo tenemos p′′(x) = 2a2 + 3 · 2a3x + · · ·+ n · (n− 1)anxn−2 y

p′′(0) = p(2)(0) = 2a2

En general, tendremos

p(k)(0) = k!ak o ak =p(k)(0)

k!

Si convenimos que 0! = 1 y que p(0) = p, entonces esta formula se cumple tambien para

k = 0.

Si hubiesemos empezado por una funcion p escrita como un ”polinomio en (x − a)”,

tendrıamos:

p(x) = a0 + a1(x− a) + · · ·+ an(x− a)n

59

60 CAPITULO 8. TEOREMA DE TAYLOR

entonces siguiendo un razonamiento analogo llegarıamos a

ak =p(k)(a)

k!∀k = 0, . . . , n

Definicion 8.1.1. Supongamos ahora que f es una funcion cualquiera tal que f (1)(a), . . . , f (n)(a)

existen todas. Sea

ak =f (k)(a)

k!0 ≤ k ≤ n

y definimos

Pn,a(x) = a0 + a1(x− a) + · · ·+ an(x− a)n

El polinomio Pn,a recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para f en a. Es-

trictamente se denotarıa Pn,a,f

Observacion 8.1.2. Se ha definido el polinomio de Taylor de modo que P(k)n,a(a) = f (k)(a),

∀k = 0, . . . , n. Es el unico polinomio, con esta propiedad, de grado menor o igual que n.

Observacion 8.1.3. Se pone de manifiesto la conexion existente entre f y el polinomio

de Taylor de f al observar el polinomio de Taylor de grado 1: P1,a(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)

yf(x)− P1,a(x)

x− a=

f(x)− f(a)

x− a− f ′(a)

Segun la definicion de f ′(a) tenemos que lımx→a

f(x)− P1,a(x)

x− a= 0.

Cuando x → a, la diferencia f(x) − P1,a(x) no solo se hace pequena, sino que en

realidad se hace pequena incluso en comparacion con x− a.

Teorema 8.1.4. Supongamos que f es una funcion para la cual f (1)(a), . . . , f (n)(a) existen

todas. Sean

ak =f (k)(a)

k!0 ≤ k ≤ n

y definimos

Pn,a(x) = a0 + a1(x− a) + · · ·+ an(x− a)n

Entonces

lımx→a

f(x)− Pn,a(x)

(x− a)n= 0

Teorema 8.1.5. Supongase que

{f (1)(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0

f (n)(a) 6= 0

1) Si n es par y f (n)(a) > 0, entonces f tiene un mınimo local en a.

2) Si n es par y f (n)(a) < 0, entonces f tiene un maximo local en a.

3) Si es impar, entonces f no tiene ni maximo ni mınimo local en a.

8.2. TEOREMA DE TAYLOR 61

Definicion 8.1.6. Dos funciones f y g se dice que son iguales hasta el orden n en a si

lımx→a

f(x)− g(x)

(x− a)n= 0

Observacion 8.1.7. Ası f y Pn,a,f son iguales hasta el orden n en a

Teorema 8.1.8. Sean P y Q dos polinomios en (x − a), grado ≤ n, y supongamos que

P y Q son iguales hasta el orden n en a. Entonces P = Q

Corolario 8.1.9. Sea f derivable n veces en a, y supongamos que P es un polinomio en

(x− a) de grado ≤ n, igual a f hasta el orden n en a. Entonces P = Pn,a

Observacion 8.1.10. Podrıa parecer que las hipotesis del corolario son innecesariamente

complicadas; podrıa parecer que la existencia del polinomio P implicarıa que f fuera su-

ficientemente derivable como para que existiera Pn,a. Contraejemplo:

f(x) =

{xn+1 x ∈ I0 x ∈ Q

Si P (x) = 0, entonces P es ciertamente un polinomio de grado menor o igual que n que

es igual a f hasta el orden n en 0. Por otra parte, f ′(a) no existe para ningun a 6= 0, de

modo que f ′′(0) no esta definida (f ′′(0) = lımh→0

f ′(h)− f ′(0)

hy @f ′(h)).

Observacion 8.1.11. Cuando f tiene n derivadas en a, el corolario puede ofrecer un

metodo para hallar el polinomio de Taylor de f .

8.2. Teorema de Taylor

Hasta aquı hemos examinado el comportamiento de los polinomios de Taylor para n

fijo, cuando x tiene hacia a. En adelante vamos a comparar los polinomios de Taylor para

x fijo y distintos n.

Definicion 8.2.1. Sea f una funcion n veces derivable en a y sea Pn,a(x) su polinomio

de Taylor de grado n en a. Definimos el resto Rn,a(x) por

f(x) = Pn,a(x) + Rn,a(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n + Rn,a(x)

Teorema 8.2.2. Teorema de Taylor

Supongase que f ′, . . . , f (n+1) estan definidas sobre [a, x] y que Rn,a(x) esta definido por

f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n + Rn,a(x)

62 CAPITULO 8. TEOREMA DE TAYLOR

Entonces:

1) Rn,a(x) =f (n+1)(t)

n!(x− t)n(x− a) para algun t ∈ (a, x). Forma de Cauchy del resto.

2) Rn,a(x) =f (n+1)(t)

(n + 1)!(x− a)n+1 para algun t ∈ (a, x). Forma de Lagrange del resto.

Ademas, si f (n+1) es integrable sobre [a, x] entonces

3) Rn,a(x) =

∫ x

a

f (n+1)(t)

n!(x− t)ndt. Forma Integral del resto.

Observacion 8.2.3. Si x < a entonces la hipotesis deberıa decir que f es derivable n+1

veces sobre [x, a]; el numero t en (1) y (2) estara entonces en (x, a), mientras que (3)

seguira cumpliendose tal como esta, siempre que f (n+1) sea integrable sobre [x, a]

Observacion 8.2.4. Partiendo de la forma integral se deducen las otras dos formas apli-

cando convenientemente el teorema del valor medio generalizado del calculo integral.

Ejemplo 8.2.5. Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 de la funcion ln x centrado

en el punto 1 y estimar el error cometido al aproximar ln 2 por el polinomio anterior.

El polinomio de Taylor de grado 3 de la funcion ln x centrado en el punto 1 es

P3(x) = x− (x− 1)2

2+

(x− 1)3

3

y por tanto, P3(2) =5

6' 0, 833.

Para estimar el error utilizaremos el resto de Lagrange. Sabemos que el resto se puede

acotar por (t ∈ (1, 2))

R =f (iv)(t)

4!(2− 1)4 =

6t4

4!≤ 6

4!=

1

4= 0, 25

Utilizando la calculadora, podemos ver que ln 2 ' 0, 693 y por tanto, el error vale

E ' 0, 14.

Teorema 8.2.6. El numero e es irracional.

Observacion 8.2.7. Si el resto Rn,a(x) puede hacerse tan pequeno como se quiera eligien-

do n suficientemente grande, entonces se puede calcular f(x) con tanta aproximacion como

se desee mediante los polinomios Pn,a(x). El numero de terminos que habra que sumar

sera tanto mayor cuanto mas grande sea la aproximacion que se desee. Si estamos dis-

puestos a sumar infinitos terminos, entonces deberıamos poder prescindir por completo

del resto. Deberıan existir ”sumas infinitas”tales como:

sen x =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!

Capıtulo 9

Series infinitas

9.1. Introduccion

Definicion 9.1.1. Llamamos suma parcial n-sima de la sucesion (an) a

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an =n∑

i=1

ai

Calcular la suma de todos los ai es lo mismo que calcular lımn

Sn = lımn

n∑i=1

ai

Observacion 9.1.2. Algunas sucesiones carecen de suma total como por ejemplo la suce-

sion (an) = ((−1)n+1), pues S2n−1 = 1 y S2n = 0, ∀n ∈ N, por lo que no existe lımn

Sn

Definicion 9.1.3. La sucesion (an) es sumable, si la sucesion (Sn) es convergente, siendo

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an =n∑

i=1

ai. En este caso, se designa al lımn

Sn por∞∑

n=1

an y recibe el

nombre de suma de la sucesion (an).

Una suma infinita∞∑

n=1

an se llama generalmente serie infinita.

Observacion 9.1.4. El que la sucesion (an) sea o no sea sumable, se sustituye conven-

cionalmente por la afirmacion de que la serie∞∑

n=1

an converge o no converge, respectiva-

mente.

Hay que tener en cuenta que∞∑

n=1

an es un numero si es sumable y nada si no lo es.

63

64 CAPITULO 9. SERIES INFINITAS

Proposicion 9.1.5. Si∞∑

n=1

an y∞∑

n=1

bn son convergentes, entonces lo son tambien∞∑

n=1

(an + bn)

y∞∑

n=1

(c · an) ∀c ∈ K. Ademas

∞∑n=1

(an + bn) =∞∑

n=1

an +∞∑

n=1

bn

∞∑n=1

c · an = c ·∞∑

n=1

an

Proposicion 9.1.6. Si en una serie∞∑

n=1

an se intercalan (respectivamente se suprimen)

un numero finito de terminos cuya suma es S, la serie obtenida tiene el mismo caracter,

convergente o divergente, que la primera y si A =∞∑

n=1

an, la nueva serie tiene por suma

A + S (respectivamente A− S).

Observacion 9.1.7. Una condicion necesaria y suficiente para la sumabilidad es:

la sucesion (an) es sumable equivale a que la sucesion (Sn) converge, entonces, por un

teorema anterior, en K = R, la sucesion (Sn) converge si y solo si la sucesion (Sn) es de

Cauchy. Por tanto,

la sucesion (an) es sumable si y solo si la sucesion (Sn) es de Cauchy.

(∀ε > 0 ∃n0 ∈ N / ∀m,n > n0 |Sm − Sn| < ε)

Teorema 9.1.8. Criterio de Cauchy.

La sucesion (an) es sumable, es decir, la serie∞∑

n=1

an es convergente, si y solo si

lımm,n→∞

(an+1 + · · ·+ am) = 0

Observacion 9.1.9. Este criterio tiene mas importancia teorica que practica.

Teorema 9.1.10. Condicion del resto.

Si∞∑

n=1

an es convergente entonces lımn→∞

an = 0

Observacion 9.1.11. Esta condicion se sigue del criterio de Cauchy tomando m = n+1.

Es una condicion necesaria pero no suficiente para que una serie sea convergente. Por

ejemplo: lımn→∞

1

n= 0, pero la serie

∞∑n=1

1

nno es convergente:

9.2. SERIE GEOMETRICA 65

Por el Criterio de Cauchy, ∀m ∈ N tenemos que am+1 + · · ·+ am+m >m

2m=

1

2y, por

tanto, no se verifica el criterio de Cauchy para ε ≤ 1

2, es decir, el lımite no tiende a 0.

Otro modo de verlo es

1 +1

2+

1

3+

1

4︸︷︷︸≥

1

2

+1

5+

1

6+

1

7+

1

8︸︷︷︸≥

1

2

+1

9+

1

10+ · · ·+ 1

16︸︷︷︸≥

1

2

+ . . .

Al sumar los infinitos terminos se comprueba que (Sn) no esta acotada.

Lo que realmente nos dice la condicion del resto es que si lımn→∞

an no existe o es distinto

de cero, entonces la serie diverge.

9.2. Serie geometrica

La mas importante de todas las series infinitas es la ”serie geometrica”:

∞∑n=0

rn = 1 + r + r2 + r3 + . . .

Las series realmente interesantes son aquellas en que |r| < 1, puesto que si |r| ≥ 1, los

terminos individuales no tienden a cero y, por la condicion del resto, la serie diverge.

Las series con |r| < 1 son manejables puesto que sus sumas parciales se pueden calcular

en terminos sencillos:

Sn = 1 + r + r2 + · · ·+ rn

r · Sn = r + r2 + · · ·+ rn + rn+1

Restando ambas expresiones queda: Sn− r ·Sn = 1− rn+1, es decir, Sn(1− r) = 1− rn+1.

Despejando llegamos a que

Sn =1− rn+1

1− r

Ahora bien, como lımn

rn = 0 pues |r| < 1, llegamos a que

∞∑n=0

rn = lımn

1− rn+1

1− r=

1

1− rsi |r| < 1


Ejemplo 9.2.1. Hay que tener en cuenta que n debe ir desde 0 hasta infinito. Ası

∞∑n=1

(1

2)n =

∞∑n=0

(1

2)n − 1 =

1

1− 12

− 1 = 1

es decir,1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · · = 1

9.3. Series de terminos no negativos

Ahora (an) es tal que an ≥ 0 ∀n ∈ N y por tanto, (Sn) es creciente.

Proposicion 9.3.1. Criterio de acotacion

Sea (an) una sucesion de numeros reales no negativos. Entonces la serie∑

an converge,

si y solo si, la sucesion (Sn) esta acotada (superiormente)

Teorema 9.3.2. Primer Criterio de Comparacion

Sean (an) y (bn) dos sucesiones de numeros reales tales que 0 ≤ an ≤ bn, ∀n ≥ m,

para algun m ∈ N. Si la serie∑

bn es convergente entonces la serie∑

an es tambien

convergente. Si la serie∑

an es divergente, entonces la serie∑

bn es tambien divergente.

Ejemplos 9.3.3. Veamos un caso de cada:

1. ∞∑n=1

2 + sen3(n + 1)

2n + n2

Como

0 ≤ 2 + sen3(n + 1)

2n + n2<

3

2n

y, ademas,∞∑

n=1

3

2n= 3 ·

∞∑n=1

1

2n

serie geometrica de razon menor que 1, por lo que es convergente, entonces la serie inicial

es convergente.

2. ∞∑n=1

n + 1

n2 + 1

Comon + 1

n2 + 1>

n

2n2=

1

2n

9.3. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS 67

y∞∑

n=1

1

2n=

1

2·∞∑

n=1

1

n

serie divergente, tenemos que la serie inicial diverge.

Teorema 9.3.4. Segundo Criterio de Comparacion.

Sean (an) y (bn) dos sucesiones de numeros reales tales que an ≥ 0 y bn > 0 ∀n ∈ N y

supongamos que lımn

an

bn

= l ∈ R.

Si l 6= 0, entonces las dos series∑

an y∑

bn tiene el mismo caracter (o bien las 2

convergen o bien las dos divergen).

Si l = 0 y la serie∑

bn es convergente, entonces la serie∑

an es tambien convergente.

Observacion 9.3.5. Si l = 0 y∑

bn diverge, no se puede afirmar nada sobre el caracter

de la serie∑

an.

Teorema 9.3.6. Criterio del cociente o prueba del cociente.

Sea (an) una sucesion de numeros reales tal que an > 0 ∀n y supongamos que se

cumple que lımn→∞

an+1

an

= r. Entonces∞∑

n=1

an converge si r < 1. Por otra parte, si r > 1,

entonces los terminos an no tienden a cero, de modo que∞∑

n=1

an diverge.

Ejemplos 9.3.7. 1.∞∑

n=1

1

n!: Aplicando el criterio del cociente

an+1

an

=

1(n+1)!

1n!

=1

n + 1

y lımn→∞

an+1

an

= 0, entonces la serie∞∑

n=1

1

n!es convergente.

2.∞∑

n=1

rn

n!con r ∈ R+ fijo. Aplicando el criterio del cociente:

an+1

an

=r

n + 1→ 0 luego

la serie converge. Ademas tenemos que por ser convergente

lımn→∞

rn

n!= 0

Ya se vio quexn

n!< ε ∀x ∈ R y n suficientemente grande


3.∞∑

n=1

n · rn con r ∈ R+ fijo. Aplicando el criterio del cociente:

lımn→∞

an+1

an

= lımn→∞

(n + 1)rn+1

n · rn= lım

n→∞(n + 1)

n· r = r

Si 0 ≤ r < 1 entonces∞∑

n=1

n · rn converge y ası tenemos que lımn→∞

n · rn = 0. El

criterio del cociente nos sirve para resolver este lımite.

Teorema 9.3.8. Criterio de la raız.

Sea (an) una sucesion de numeros reales no negativos y sea lımn→∞

n√

an = r.

Si r < 1 entonces la serie∑

an converge.

Si r > 1 entonces la serie∑

an diverge.

Observacion 9.3.9. 1. En el criterio de la raız, si r = 1 no se puede afirmar nada sobre

el caracter de la serie∑

an. Por ejemplo:∑

n−1 y∑

n−2, en ambos casos es r = 1, pero

la primera diverge y la segunda converge.

2. A veces, el criterio del cociente no dilucida el caracter de una serie y, en cambio,

con el de la raız se decide la cuestion. Por ejemplo:

(an) =

2−n si n es impar

22−n si n es par

Se tiene que @ lımn→∞

an+1

an

y lımn→∞

n√

an =1

2.

El criterio del cociente es menos potente que el de la raız.

Teorema 9.3.10. Criterio integral

Sea f : [1, +∞) → R una funcion positiva y decreciente y ∀n ∈ N sea an = f(n).

Entonces∞∑

n=1

an converge si y solo si la integral impropia

∫ ∞

1

f converge, es decir, si

existe el lımite:

∫ ∞

1

f = lımc→∞

∫ c

1

f .

Ejemplo 9.3.11. Sea p un numero real. La serie∞∑

n=1

1

npes convergente si p > 1 y

divergente si p ≤ 1, puesto que la integral impropia

∫ ∞

1

1

xpdx es convergente si p > 1 y

9.4. SERIES ALTERNADAS 69

divergente si p ≤ 1:

∫ c

1

1

xpdx =

− 1

(p− 1)· 1

cp−1+

1

p− 1p 6= 1

ln c p = 1

9.4. Series alternadas

Si (an) es una sucesion de numeros reales positivos, la serie∞∑

n=1

(−1)n+1an (o∞∑

n=1

(−1)nan)

se llama serie alternada.

Teorema 9.4.1. Criterio de Leibnitz

Supongase que (an) es decreciente y con lımite 0. Entonces la serie

∞∑n=1

(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . .

es convergente

Ejemplo 9.4.2. La serie∞∑

n=1

1

nes divergente pero la serie 1− 1

2+

1

3− 1

4+ . . . es conver-

gente.

9.5. Convergencia absoluta y condicional

Definicion 9.5.1. La serie∞∑

n=1

an es absolutamente convergente si la serie∞∑

n=1

|an| es

convergente. Se dice que una serie∞∑

n=1

an es condicionalmente convergente si la serie

∞∑n=1

an converge pero la serie∞∑

n=1

|an| diverge.

Teorema 9.5.2. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Ademas, una serie

es absolutamente convergente ⇔ la serie formada con sus terminos positivos y la serie

formada con sus terminos negativos son ambas convergentes.

Observacion 9.5.3. Se sigue del teorema que a partir de una serie convergente de termi-

nos positivos podemos obtener una infinidad de series convergentes, poniendo sencilla-

mente signos menos al azar.


Sin embargo, no todas las series convergentes pueden obtenerse de esta manera. Por

ejemplo: 1− 1

2+

1

3− 1

4+ . . . converge pero no absolutamente, por lo que no se puede

obtener a partir de una de terminos positivos anadiendo signos negativos.

9.5.1. Criterios de Dirichlet y de Abel

Son particularmente utiles para determinar la convergencia condicional.

Proposicion 9.5.4. Formula de sumacion parcial

Sean (an) y (bn) dos sucesiones de numeros reales, y ∀n ∈ N, sea Sn = a1+a2+· · ·+an.

Se verifica quen∑

k=1

akbk = Snbn+1 −n∑

k=1

Sk(bk+1 − bk)

Teorema 9.5.5. Criterio de Dirichlet

Sea∞∑

n=1

an una serie de numeros reales cuya sucesion de sumas parciales esta acotada y

sea (bn) una sucesion decreciente con lımite 0. Entonces la serie∞∑

n=1

anbn es convergente.

Teorema 9.5.6. Criterio de Abel

Sea∞∑

n=1

an una serie de numeros reales convergente y sea (bn) una sucesion monotona

convergente. Entonces la serie∞∑

n=1

anbn es convergente.

Definicion 9.5.7. Se dice que una serie∞∑

n=1

bn es una reordenacion de otra∞∑

n=1

an cuando

existe una aplicacion biyectiva f : N→ N tal que bn = af(n) ∀n ∈ N.

Observacion 9.5.8. Si∞∑

n=1

bn es una reordenacion de∞∑

n=1

an y f : N→ N es la aplicacion

biyectiva tal que bn = af(n) ∀n ∈ N, entonces an = bf−1(n) ∀n ∈ N y como f−1 es

tambien biyectiva,∞∑

n=1

an es tambien una reordenacion de∞∑

n=1

bn.

Proposicion 9.5.9. Si la serie∞∑

n=1

an es absolutamente convergente y la serie∞∑

n=1

bn es

9.6. PRODUCTOS DE CAUCHY DE DOS SERIES 71

una reordenacion de∞∑

n=1

an, entonces∞∑

n=1

bn tambien converge absolutamente y

∞∑n=1

bn =∞∑

n=1

an

Proposicion 9.5.10. Teorema de Riemann

Si∞∑

n=1

an es una serie condicionalmente convergente de numeros reales, entonces para

cualquier numero real x existe una reordenacion∞∑

n=1

bn de∞∑

n=1

an, tal que∞∑

n=1

bn = x

(El orden de los sumandos altera la suma)

9.6. Productos de Cauchy de dos series

Definicion 9.6.1. Sean∞∑

n=0

an y∞∑

n=0

bn dos series de numeros reales y para n = 0, 1, 2, . . .

llamamos

cn =n∑

k=0

ak · bn−k

La serie∞∑

n=0

cn se llama producto de Cauchy de las series∞∑

n=0

an y∞∑

n=0

bn.

Proposicion 9.6.2. Si la serie∞∑

n=0

an converge absolutamente y tiene por suma A y la

serie∞∑

n=0

bn converge absolutametne y tiene por suma B, entonces el producto de Cauchy

de las dos series converge y tiene por suma A·B.

Capıtulo 10

Sucesiones y series de funciones

10.1. Sucesiones de funciones

Definicion 10.1.1. Una sucesion de funciones definidas en un conjunto A ⊂ R, es una

coleccion de funciones (fn)n∈N, donde ∀n ∈ N, fn es una funcion de A en R

Observacion 10.1.2. En una sucesion de funciones hay dos variables la “n” y la “x”. Por

un lado la n que va tomando valores naturales, y por otro lado, fijado cualquier n0 ∈ N,

fn0 es una funcion que a cada valor x ∈ A le asigna el numero fn0(x)

Definicion 10.1.3. Sea A ⊂ R. Se dice que una sucesion (fn)n∈N de funciones de A en

R converge puntualmente a una funcion f : A → R cuando para cada x0 ∈ A se verifica

que lımn→∞

fn(x0) = f(x0), es decir,

∀ε > 0 y cada x0 ∈ A ∃n0 ∈ N / |fn(x0)− f(x0)| < ε ∀n ≥ n0

Este n0 natural depende de ε y de x0: n0 = n0(ε, x0)

Observacion 10.1.4. Nota que, ∀n ∈ N, fn(x0) es un numero (y no una funcion) por lo

que el lımite es el de una sucesion numerica. Es necesario que todas las funciones esten

definidas en el mismo conjunto A, que es donde estara definida si existe la funcion f .

Ejemplo 10.1.5. Para todo n ≥ 1, sea

fn(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 1n

x− 1n

si 1n≤ x ≤ 1

Entonces la sucesion (fn)n∈N converge puntualmente en el intervalo [0, 1] a la funcion

f(x) = x.

73

74 CAPITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

En efecto, sea x0 > 0 y sea n0 ∈ N tal que 1n0

< x0. Entonces, para todo n > n0,

fn(x0) = x0 − 1n, y por tanto,

lımn

fn(x0) = lımn

(x0 − 1

n) = x0

Por otro lado, esta claro que

lımn

fn(0) = 0

de donde se sigue que la sucesion (fn) converge puntualmente a la funcion f(x) = x en

el intervalo [0, 1].

Observacion 10.1.6. La idea de la convergencia puntual es que, punto a punto, la suce-

sion converge, es decir, ∀x0 ∈ A, la sucesion (fn(x0))n converge. El problema que se

presenta es que el lımite de una sucesion de funciones continuas puede no ser continua.

Lo mismo sucede con la derivabilidad y la integrabilidad, que no se mantienen necesaria-

mente.

Definicion 10.1.7. Sea A ⊂ R. Se dice que una sucesion (fn)n∈N de funciones de A en

R converge uniformemente a una funcion f : A → R cuando

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N / |fn(x)− f(x)| < ε ∀n ≥ n0 ∀x ∈ A

Este n0 natural depende solo de ε y no de x: n0 = n0(ε)

Proposicion 10.1.8. Sea A ⊂ R. Una sucesion (fn)n∈N de funciones de A en R converge

uniformemente a una funcion f : A → R si y solo si

lımn→∞

sup{|fn(x)− f(x)| : x ∈ A} = 0

Ejemplo 10.1.9. Para todo n ≥ 1, sea

fn(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 1n

x− 1n

si 1n≤ x ≤ 1

Entonces la sucesion (fn)n∈N converge uniformemente en el intervalo [0, 1] a la funcion

f(x) = x.

Lo primero es estudiar la convergencia puntual. Esto lo hemos visto en el ejemplo

anterior. Para estudiar la convergencia uniforme es necesario calcular

lımn→∞

supx|fn(x)− x|

10.2. SERIES DE FUNCIONES 75

Para ello, calculemos previamente sup |fn(x)− x|: Para todo x ≥ 1n,

|fn(x)− x| = |x− 1

n− x| = 1

n

Por otro lado, si x < 1n,

|fn(x)− x| = |0− x| = x <1

n

Por tanto, supx|fn(x)− x| = 1

ny

lımn

supx|fn(x)− x| = 0

lo que implica que la convergencia es uniforme.

Proposicion 10.1.10. Criterio de Cauchy

Sea A ⊂ R. Una sucesion (fn)n∈N de funciones de A en R converge uniformemente en

A, a una funcion f : A → R si solo si

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N / |fn(x)− fm(x)| < ε ∀m, n ≥ n0 ∀x ∈ A

Teorema 10.1.11. Supongamos que (fn)n∈N es una sucesion de funciones integrables

sobre [a, b] y que (fn) converge uniformemente sobre [a, b] hacia una funcion f que es

integrable sobre [a, b]. Entonces

∫ b

a

f = lımn→∞

∫ b

a

fn

Teorema 10.1.12. Supongamos que (fn)n∈N es una sucesion de funciones continuas sobre

[a, b] y que (fn) converge uniformemente sobre [a, b] hacia una funcion f . Entonces f es

tambien continua sobre [a, b].

Teorema 10.1.13. Supongamos que (fn)n∈N es una sucesion de funciones derivables sobre

[a, b] y que (fn)n∈N converge (puntualmente) sobre [a, b] hacia una funcion f . Supongamos,

ademas, que (f ′n) converge uniformemente sobre [a, b] hacia alguna funcion continua g.

Entonces f es tambien derivable sobre [a, b] y f ′(x) = lımn→∞

f ′n(x)

10.2. Series de funciones

Definicion 10.2.1. Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones. Se llama serie funcional de

termino general fn y se designa por∞∑

n=1

fn a la expresion f1 + f2 + · · ·+ fn + . . . .


A la funcion Fn = f1 + f2 + · · ·+ fn se la llama suma parcial n-sima de la serie∞∑

n=1

fn

Definicion 10.2.2. Se dice que la serie∞∑

n=1

fn converge puntualmente a una funcion F

en un conjunto A ⊂ R cuando la (Fn) converge puntualmente a F en A. Esto significa

que para cada x0 ∈ A la serie numerica∞∑

n=1

fn(x0) converge a F (x0). En este caso, la

funcion F se llama suma de la serie∞∑

n=1

fn y se escribe∞∑

n=1

fn = F


n=1

fn converge absolutamente en un conjunto

A ⊂ R cuando la serie∞∑

n=1

|fn| converge puntualmente en A.


n=1

fn converge uniformemente a una funcion F

en un conjunto A ⊂ R cuando la sucesion (Fn) converge uniformemente a F en A.

Observacion 10.2.5. Si la serie∞∑

n=1

fn converge absolutamente en A ⊂ R, entonces

∞∑n=1

fn converge puntualmente en A. Asımismo, si la serie∞∑

n=1

fn converge uniformemente

en un conjunto A ⊂ R, entonces∞∑

n=1

fn converge puntualmente en A.

Proposicion 10.2.6. Criterio de Cauchy para la convergencia puntual.

Una serie funcional∞∑

n=1

fn converge puntualmente en un conjunto A ⊂ R si solo si

∀ε > 0 ∀x0 ∈ A ∃n0 ∈ N / |n∑

k=m+1

fk(x0)| < ε para n > m ≥ n0

Proposicion 10.2.7. Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme.

Una serie funcional∞∑

n=1

fn converge uniformemente en un conjunto A ⊂ R si solo si

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N / |n∑

k=m+1

fk(x)| < ε para n > m ≥ n0 y ∀x ∈ A

10.2. SERIES DE FUNCIONES 77

Teorema 10.2.8. Sea∞∑

n=1

fn uniformemente convergente hacia f sobre [a, b]:

1) Si cada fn es continua sobre [a, b], entonces f es continua sobre [a, b].

2) Si f y cada fn son integrables sobre [a, b], entonces

∫ b

a

f =∞∑

n=1

∫ b

a

fn

Ademas, si∞∑

n=1

fn converge (puntualmente) hacia f sobre [a, b] y∞∑

n=1

f ′n converge uni-

formemente sobre [a, b] hacia alguna funcion continua, entonces

3) f ′(x) =∞∑

n=1

f ′n(x) ∀x ∈ [a, b]

Teorema 10.2.9. Criterio de Weierstrass o Prueba M de Weierstrass.

Sea (fn) una sucesion de funciones definidas sobre A y supongamos que (Mn) es una

sucesion de numeros reales tales que |fn(x)| ≤ Mn ∀x ∈ A y ∀n ∈ N. Supongamos,

ademas, que la serie∞∑

n=1

Mn converge. Entonces la serie∞∑

n=1

fn converge absoluta y uni-

formemente sobre A a la funcion f(x) =∞∑

n=1

fn(x)

Proposicion 10.2.10. Criterio de Dirichlet.

Sean A ⊂ R,∞∑

n=1

fn una serie de funciones de A en R y para cada n ∈ N y ca-

da x ∈ A, sea Fn(x) la suma parcial n-sima de la serie∞∑

n=1

fn(x). Si la sucesion (Fn)

esta uniformemente acotada en A y (gn) es una sucesion de funciones de A en R tal que

gn+1(x) ≤ gn(x), ∀n ∈ N y ∀x ∈ A, que converge uniformemente a 0 en A, entonces la

serie∞∑

n=1

fngn converge uniformemente en A.

Proposicion 10.2.11. Criterio de Abel.

Sean A ⊂ R,∞∑

n=1

fn una serie de funciones de A en R que converge uniformemente en

A y (gn) una sucesion de funciones de A en R tal que gn+1(x) ≤ gn(x), ∀n ∈ N y ∀x ∈ A,

uniformemente acotada en A. Entonces la serie∞∑

n=1

fngn converge uniformemente en A.


10.3. Series de potencias

Definicion 10.3.1. Se llama serie de potencias centrada en a a la expresion

∞∑n=0

an(x− a)n

En este caso fn(x) = an(x− a)n

Si a = 0 se llama serie de potencias centrada en 0:

∞∑n=0

anxn

Observacion 10.3.2. Un grupo especial de series de potencias son las de la forma∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n donde f es alguna funcion que tiene derivadas de todos los ordenes

en A. Esta serie recibe el nombre de serie de Taylor para f en a. Pero hay que tener en

cuenta que no se cumple necesariamente que f(x) =∞∑

n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n. Esto solo se

cumple si lımn→∞

Rn,a(x) = 0. En este caso an =f (n)(a)

n!

Teorema 10.3.3. (Abel)

Sea una serie de potencias∞∑

n=0

anxn de modo que existe x0 ∈ R tal que la serie (numeri-

ca)∞∑

n=0

anxn0 converge. Sea r ∈ R+ tal que 0 < r < |x0|. Entonces sobre [−r, r] la serie

f(x) =∞∑

n=0

anxn converge uniformemente (y absolutamente).

Ademas, se cumple lo mismo para la serie g(x) =∞∑

n=1

n · anxn−1.

Finalmente, f es derivable en [−r, r] y f ′(x) =∞∑

n=1

nanxn−1, ∀x tal que |x| < |x0|, o

dicho de otro modo, ∀x tal que x ∈ (−|x0|, |x0|). Por tanto, la derivacion se pude hacer

termino a termino.

Corolario 10.3.4. Supongamos que f(x) =∞∑

n=0

anxn y g(x) =

∞∑n=0

bnxn, son ambas

convergentes para algun x0. Entonces h(x) =∞∑

n=0

(an + bn)xn converge para |x| < |x0| y

para tales x es h = f + g

10.3. SERIES DE POTENCIAS 79

Corolario 10.3.5. Con las funciones f y g anteriores y siendo h(x) =∞∑

n=0

cnxn su

producto de Cauchy (cn =n∑

k=0

an · bn−k), tenemos que h(x) converge para |x| < |x0| y para

tales x es h = fg

Observacion 10.3.6. Como consecuencia del ultimo teorema, todas las consideraciones

que son aplicables a series de potencias seran automaticamente aplicables a sus derivadas,

en los puntos en que la derivada este representada mediante una serie de potencias.

Si f(x) =∞∑

n=0

anxn converge para todo x de algun intervalo (−R,R), entonces por el

teorema

f ′(x) =∞∑

n=1

nanxn−1 converge uniformemente ∀x ∈ (−R,R). Aplicando nuevamente

el teorema, ahora a la funcion f ′ tenemos

f ′′(x) =∞∑

n=2

n(n− 1)anxn−2 converge uniformemente ∀x ∈ (−R,R). Por induccion

llegamos a que

f (k)(x) =∞∑

n=k

n(n− 1) . . . (n− k + 1)anxn−k converge uniformemente ∀x ∈ (−R,R).

Ası pues, una funcion definida mediante una serie de potencias que converja en algun

intervalo (−R,R), es automaticamente infinitamente derivable en este intervalo. Ademas

f (k)(0) = k!ak por lo que ak =f (k)(0)

k!. Dicho de otro modo, una serie de potencias

convergente centrada en 0 es siempre la serie de Taylor en 0 de la funcion que define.

Definicion 10.3.7. Se llama campo de convergencia al conjunto de valores x para los

cuales∞∑

n=0

fn(x) es convergente.

Definicion 10.3.8. Dada una serie de potencias∞∑

n=0

anxn, se llama radio de convergencia

de la serie al numero:

R = sup{|x0| ∈ R tales que∞∑

n=0

anxn0 converge}

Si el conjunto

{|x0| ∈ R tales que∞∑

n=0

anxn0 converge}

no esta acotado, decimos que R = +∞.


Una definicion equivalente es la siguiente. El concepto se entiende mejor con esta

primera definicion, por lo que la utilizaremos preferentemente, pero en alguna ocasion

puede ser util.

Definicion 10.3.9. Sea∞∑

n=0

anxn una serie de potencias. Si la sucesion ( n

√|an|) esta aco-

tada, se define ρ = lım sup( n√|an|). Si no esta acotada se define ρ = +∞. Llamamos

radio de convergencia de∞∑

n=0

anxn al numero R =1

ρ.

Teorema 10.3.10. Sea R el radio de convergencia de una serie∞∑

n=0

anxn. Entonces ocurre

uno de los tres casos siguientes:

1. R = 0. En ese caso la serie converge para x = 0 y diverge para todo x 6= 0.

2. 0 < R < +∞. En ese caso, ∀r < R la serie converge uniformemente en [−r, r] y

diverge si |x| > R. En los puntos frontera ±R la serie puede converger o diverger.

3. R = ∞. En este caso la serie converge ∀x ∈ R, y para todo r > 0 la serie converge

uniformemente en [−r, r].

Definicion 10.3.11. El intervalo de convergencia es el intervalo abierto (−R, R).

Observacion 10.3.12. Como consecuencia del teorema, habra convergencia uniforme en

cualquier compacto (cerrado y acotado) contenido en el intervalo de convergencia.

Ademas R es el valor maximo que puede tomar x0. Tenemos por tanto que

R =1

lım supn→∞

n√|an|

Puesto que lımn→∞

n√

an = lımn→∞

an+1

an

, si ambos existen, el radio de convergencia, en este caso,

viene dado tambien por:

R =1

lımn→∞

|an+1

an

|

Ejemplo 10.3.13. Calcular el radio de convergencia de la serie∞∑

n=1

(ln n)(x)n.

Si x = 1,∞∑

n=1

(ln n)(x)n =∞∑

n=1

(ln n)

10.3. SERIES DE POTENCIAS 81

que no converge puesto que lımn→∞

ln n = +∞.

En cambio, sea 0 < x < 1. En este caso la serie

∞∑n=1

(ln n)(x)n

converge, como se ve facilmente aplicando el criterio del cociente:

lımn→∞

(ln(n + 1)) · xn+1

(ln n) · xn= lım

n→∞ln(n + 1)

ln n· x = x < 1

Por tanto,

R = sup{x / 0 ≤ x < 1} = 1

Observacion 10.3.14. Analogamente se harıa si la serie estuviese centrada en x = a, es

decir si fuese la serie∞∑

n=0

an(x− a)n. R se calcularıa mediante el mismo lımite que para

las centradas en 0.

Capıtulo 11

Los numeros complejos

11.1. Introduccion

El cuadrado de cualquier numero real distinto de cero es positivo, por lo que la ecuacion

x2 = −1 no tiene soluciones reales. Designamos por i al elemento que cumple i2 = −1.

Por tanto, tenemos i =√−1.

Ası, por ejemplo, al resolver la ecuacion x2+x+1 = 0 llegamos a que x =−1±√−3

2. Si

ahora escribimos√−3 =

√3 · (−1) =

√3 ·√−1 =

√3 ·i, obtenemos que x =

−1±√3 · i2

.

Si x, y, u, v son numeros reales, designamos como numeros complejos a los numeros

z = x + yi = (x, y), w = u + vi = (u, v). De esta manera i = (0, 1). Al numero real x

se le llama parte real de z, Re(z)=x. Al numero real y se le llama parte imaginaria de z,

Im(z)=y.

Al conjunto de los numeros complejos se le designa por C.

Proposicion 11.1.1. Con los numeros complejo z y w arriba definidos, las operaciones

en este nuevo conjunto son:

z + w = (x + u) + i(y + v)

z · w = (xu− yv) + i(xv + yu)

Teorema 11.1.2. El producto C = R × R es un cuerpo conmutativo respecto a la suma

y multiplicacion siguientes:

(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)

83

84 CAPITULO 11. LOS NUMEROS COMPLEJOS

(x, y) · (u, v) = (xu− yv, xv + yu)

Ademas, R× {0} es un subconjunto de C. El elemento (0, 1) de C se designa por i.

Observacion 11.1.3. Ademas −(x, 0) = (−x, 0) y supuesto x 6= 0, (x, 0)−1 = (x−1, 0). Y

si i = (0, 1) entonces i2 = (−1, 0). Por otro lado, −z = (−x,−y) y z−1 = (x

x2 + y2,− y

x2 + y2).

La diferencia w − z = w + (−z) y el cocientew

z= w · z−1. Por ultimo si r ∈ R entonces

r · z = (rx, ry).

Observacion 11.1.4. Los numeros complejos se representan como los puntos del plano,

donde el eje horizontal es el eje real (x) y el vertical es el eje imaginario (y).

Definicion 11.1.5. El conjugado de un numero complejo z = x + iy se define como

z = x− iy, es decir, Re(z) = Re(z) y Im(z) = −Im(z). Ası pues son simetricos respecto

al eje real.

Proposicion 11.1.6. Propiedades.

1. z = z.

2. z = z ⇔ z ∈ R.

3. z · z = x2 + y2 > 0 salvo cuando z = 0.

4. z + w = z + w.

5. z · w = z · w.

Definicion 11.1.7. El producto escalar de dos numeros complejos ,z y w, se define como

z • w = x · u + y · v. Y el modulo de un numero complejo se define (por Pitagoras) como

|z| =√

x2 + y2.

Observacion 11.1.8. Se cumple que z•w =1

2(z · w + z · w) y que |z| = √

z • z =√

z · z.

Proposicion 11.1.9. Propiedades.

1. |z · w| = |z| · |w|.

2. |z + w| ≤ |z|+ |w|.

3. ||z| − |w|| ≤ |z − w|

Observacion 11.1.10. Para cualquer numero complejo distinto de 0 podemos escribir

z = |z| · z

|z| . En esta expresion el modulo de z es un numero real positivo y obtenemos

11.1. INTRODUCCION 85

que | z

|z| | =|z||z| = 1. Ahora bien, cualquer numero complejo z de modulo 1 cumple que

|z| =√

x2 + y2 = 1 ⇒ x2+y2 = 1, es decir, pertenece a la circunferencia de radio unidad

y se puede escribir de la siguiente forma:

z = (x, y) = (cos θ, sen θ) = cos θ + i · sen θ

para algun numero θ.

Ası cualquier numero complejo z no nulo se puede escribir de la forma z = r(cos θ +

i sen θ) para algun r > 0 y algun numero θ. El numero r es unico para cada z, es la

distancia del punto del plano al origen, pero el numero θ no lo es: si una posibilidad es θ0,

tambien valen los numeros θ0 +2kπ k ∈ Z. Cualquiera de esos numeros recibe el nombre

de argumento de z. θ es el angulo que forma el eje horizontal con la recta que une z con

el origen.

Ademas, tenemos que r = |z|, por tanto se cumple que x = r cos θ = |z| cos θ e

y = r sen θ = |z| sen θ. Si x 6= 0 entonces θ = arctany

x, y si x = 0 entonces podemos

tomar θ =π

2si y > 0, o bien θ =

3π

2si y < 0.

Observacion 11.1.11. El producto de dos numeros complejos no nulos, escritos en forma

trigonometrica, z = r(cos θ + i sen θ) y w = s(cos φ + i sen φ), es, aplicando las igualdades

trigonometricas de coseno de la suma y seno de la suma:

z · w = rs[cos(θ + φ) + i sen(θ + φ)]

Ası pues, el modulo de un producto es el producto de los modulos de los factores, mientras

que un argumento para el producto sera la suma de los argumentos de cada uno de los

factores (uno cualquiera de cada argumento).

Proposicion 11.1.12. Formula de Moivre.

Si z = r(cos θ + i sen θ) entonces zn = |z|n(cos nθ + i · sen nθ) para un argumento

cualquiera θ de z.

Teorema 11.1.13. Todo numero complejo no nulo tiene exactamente n raıces n-esimas

complejas. Es decir, para cualquier numero complejo w 6= 0, y cualquier numero natural

n, existen precisamente n numeros complejos distintos z que satisfacen que zn = w.

Ası , si w = s(cos φ+i sen φ) entonces z = n√

s ·(cos θk +i ·sen θk), donde θk =φ

n+

2kπ

nsiendo k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Al ir tomando k los distintos valores desde 0 hasta n-1,

vamos obteniendo las n raıces distintas (hasta completar una vuelta) que nos indica el

teorema. Todas ellas tienen el mismo modulo n√

s.

86 CAPITULO 11. LOS NUMEROS COMPLEJOS

Definicion 11.1.14. eiθ = cos θ + i · sen θ

Observacion 11.1.15. Por tanto, eiθpertenece a la circunferencia unidad.

Ademas ei(θ+2kπ) = eiθ, ∀k ∈ Z. Y eiθ · eiφ = ei(θ+φ)

, (eiθ)n = einθ.

Por ello, si z = |z|(cos θ + i · sen θ) entonces z = |z|eiθy zn = |z|neinθ

.

A partir de aquı tenemos que ez = exeiy. Puesto que ex ∈ R y |eiy| = 1, resulta

que |ez| = eRe(z) y θ(ez) = {Im(z) + 2kπ : k ∈ Z}

Bibliografıa

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