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l lenguaje es un elemento básicopara el desarrollo del ser humano;

es útil cuando trata de expresarse, lopone en práctica como una herramientaque le ha servido para su adaptación almedio. Mediante éste, las experienciasindividuales sirven a la colectividad. Sinembargo, es evidente que no ha quedadocomo mero impulsor de la comuni-cación entre dos o más miembros de laespecie. Ha evolucionado hasta llegar aun nivel en que le permitió abstraerse aniveles de desarrollo intelectual aunmayores y con ello abrir las puertas de laciencia y la tecnología, alcanzó elconocimiento que se desarrolla con lasmatemáticas. Ahora debemos dar unpaso mayor y entender en qué forma elhombre alcanza este conocimiento,debemos, como lo plantea Resnick,conocer qué proporción de experienciay de intelecto hace posible aquello quellamamos capacidad matemática.

PALABRAS CLAVE: lenguaje, matemáticas,conocimiento, capacidad matemática.

LA TIERRA ES UN LUGAR PEQUEÑO en el contexto del universo, la inmensidadde éste reduce las dimensiones del hogar de las diferentes especies quehabitan el planeta. Cada una de ellas ha logrado adaptarse y continuar enél mediante una adaptación larga y, en algunos casos, penosa.

Su adaptación se da como una respuesta al medio, no sin antes habersido involucrados mecanismos perceptivos o posibles niveles de inteli-gencia, quizá ligados a un desarrollo del cerebro.

E

ANUARIO DE INVESTIGACIÓN 2007 • UAM-X • MÉXICO • 2008 • PP. 521-540

LLenguajes y procesospsicológicos para entender las

matemáticas

FRANCISCO JAVIER LIRA ECHEVERRÍA

LENGUAJES Y PROCESOS PSICOLÓGICOS PARA ENTENDER LAS MATEMÁTICAS

EDUCACIÓN E INTERSUBJETIVIDAD 522

En estos términos, debemos aceptar que Darwin tuvo razón al indicarque las especies mejor adaptadas, a través de una evolución, son las quepermanecen en el planeta.1 Se da un desarrollo del cerebro, y se adquiereconocimiento en forma primordial de la información extraída del medio.

Elementos fundamentales, como las conductas reflejas, instintivas oalgunas otras, son obtenidas por una programación que se transmite here-ditariamente, y son básicas para su permanencia; su transformación comoespecie es determinante, la naturaleza pone en movimiento la llamadaselección natural (Niesturj, 1979:16). En algunos casos es posible conside-rar, para algunas especies y con reservas, tipos o niveles de inteligencia queles permiten una mejor adaptación. Yerkes, en sus experimentos, observó,por ejemplo, que “el nivel del desarrollo de la psiquis o intelecto del gorila,es superior a otros antropoides y, por lo visto, incluso superior a loschimpancés” (Niesturj, 1979:35) —aunque su actividad nerviosa superiory el comportamiento están condicionados por las relaciones que se establecenentre y con grupos de la misma especie, además de la interacción que éstostienen con el medio que los rodea, cuyo resultado se encuentra determinadoy determina los rasgos característicos de la especie—, otro ejemplo lo tene-mos en los delfines afalines (Niestrurj, 1979:221).

La inteligencia manifestada por el hombre, podemos considerarla comosuperior. En el hombre existen manifestaciones de ella que tienen un carácterfundamental, algunas son las emociones, la conciencia, el surgimiento deun sistema de símbolos y finalmente el lenguaje (Nieto, 1978:85); segúnPávlov, en el curso de la evolución humana surgió y se desarrolló, junto conel primer sistema de señales reflejos condicionados, un segundo sistemaconsistente en símbolos orales y gráficos, con cuya ayuda se puede describirtodo lo que los hombres perciben directamente del mundo exterior y delsuyo interior, aunque sea tan sólo un preámbulo a una manifestación de unsistema mayor al que llamaremos lenguaje. En efecto, además de loanteriormente expuesto, una manifestación que resulta de gran interés, seencuentra en el lenguaje, por medio de éste, el hombre se comunica,

1 Sin embargo, hemos de considerar que Lamarck, siendo predecesor de Darwin, ya tomaba enconsideración los elementos de la evolución de las especies y los consideraba al plantear que losorganismos modernos derivaban de los antiguos mediante la evolución.



entendiendo por comunicación el intercambio de pensamientos, es decir,un intercambio y ajuste de estructuras mentales; pensemos que los ajustesson experiencias adquiridas por él y por otros miembros de su comunidadcon los que interacciona. Su desarrollo mental se da por experiencias propiasy ajenas. Para el hombre, el lenguaje es algo fundamental en su vida diaria;sin él sería difícil imaginar una comunicación. Cuando el hombre comúnhabla, sus palabras transmiten ideas; sin embargo, en la actualidad estasideas contienen aspectos que son tan básicos en la vida cotidiana, que sonconsideradas como corrientes, o ni siquiera son consideradas por él. Noobstante, la transmisión del pensamiento es esencial para su subsistencia.

El vehículo para lograr este objetivo es la palabra. Para Wittgenstein, lapalabra es el vehículo del pensamiento (Fuchs, 1969:26), muy a reservade la opinión de algunos filósofos. Mediante el intercambio de pensa-mientos se da un paso en el desarrollo de la especie, a diferencia de otras,en las que no observamos un desarrollo de tal magnitud.

Es probable que esta sea una de las razones, o la razón de que la especiehumana sea considerada la “especie dominante del planeta” por algunosintegrantes de la misma.

La palabra y el códigocomo parte de la transmisión de información

Es posible que, en principio, la palabra se hubiese utilizado para transmitirinformación, para ello el hombre ideó un sistema de signos y símbolosque le permitieron compartir sus ideas con el grupo social en el que seencontraba inmerso. Debido a que cada elemento del grupo conoce loscódigos o sistemas de signos, al ampliarse éstos cada vez más, constituyenpoco a poco lo que conocemos como lenguaje.

El camino fue la creación de la palabra para representar ese “algo”, a loque ésta le dio significado, además, es la portadora del concepto. Cadapalabra da nombre a un concepto (Fuchs, 1969:27).

Así, el lenguaje es una capacidad, la capacidad que el ser humano tienepara comunicarse. Esta facultad se encuentra sumamente desarrollada, y



algo muy importante es que, a su vez, es fisiológica y psíquica. Perteneceal dominio individual y, también, al social. Como una forma evolutivasuperior, nos capacita para abstraer y conceptuar.

Más aún, desarrolla una mayor expansión de la facultad del lenguaje,consiguiendo con ello el ingreso al campo de las matemáticas. En él, serealiza un desarrollo simbólico y conceptual muy especializado. Se obtienennuevos conceptos y, mediante la abstracción, surge una nueva forma deideas y pensamientos diferentes en su forma y contenido a los conceptoscotidianos, éstos son llamados “conceptos matemáticos”.

El lenguaje matemático cambia en forma y expresión; se utilizan formasgráficas que se diferencian del lenguaje cotidiano para comunicar las ideasmatemáticas. El conocimiento es ahora a un nivel superior; existe untraslado a niveles superiores de expresión y conocimiento. A las manifes-taciones gráficas como estas se les conoce como signos, cuya característicaconsiste en representar una unidad de comunicación. Unidad que secompone de una forma de expresión y una forma de contenido, funcionadentro del sistema y se refiere a una realidad matemática.

Se establece una relación entre el signo y lo que representa; esto se debea un acuerdo y una convención de los usuarios de las matemáticas paraesta forma de expresión. Aun cuando dentro del conocimiento matemáticoexisten formas básicas de conocimiento que se adquieren de la experienciacon objetos, como son las estructuras aritméticas y geométricas ( Piaget,1997:280); es decir, por medio de un conocimiento empírico la impor-tancia del uso del lenguaje es manifiesta.

Al igual que en el lenguaje común, existen reglas, es decir, se presentauna formación de palabras o morfología, un sistema de vocabulario ysignificado o léxico y semántica, respectivamente.

Existen normas para la formación de oraciones o sintaxis y reglas sobrecómo utilizar el lenguaje en forma adecuada o pragmática.

El uso del lenguaje matemático en forma inteligente es procesado enforma individual, pero su uso deberá realizarse bajo esquemas en los quesu entendimiento pueda ser colectivo.

En principio es necesario experimentar, debido a que nuestra conciencialingüística o conocimiento del lenguaje es limitada y, normalmente, no



somos conscientes del proceso psicológico que subyace al uso del lenguaje(Gleason, 1999:3).

Es necesario comprender el lenguaje matemático, en él no se danvariaciones, como por ejemplo en el lenguaje español, en el que dichavariación nos permite crear belleza, como es el caso de la poesía. La bellezaen la matemática se encuentra en la estructura de pensamiento expresadamediante signos y símbolos, generalmente en forma sencilla. Al igual queen el lenguaje oral cotidiano de los seres humanos, cada “oración matemática”se caracteriza por contener una estructura jerárquica; es decir, que aquelloque informa puede ser subdividido en unidades más pequeñas deinformación; éstas llevan un contenido especifico de expresión y de ideas.

El lenguaje es un signo —y, a su vez, son signos—, entendiendo porsigno cualquier entidad que representa a otra. Damos un sentido ordenado(sistema) de signos, por lo que el lenguaje es para nosotros un conjuntoordenado de signos, representantes de ideas. Cuando éstas son trasladadasal conjunto de formas matemáticas, estamos creando sistemas de ideasque contienen un orden. En su forma cotidiana, el lenguaje posee algunasmanifestaciones, algunos signos cuya intención al manifestarlos nocorresponden a una comunicación, sólo contienen una intención demanifestación. En el lenguaje matemático cada estructura que se realizamediante signos podrá ser utilizada para una transmisión específica, y nopodemos negar que mediante cada uno de estos bloques establecemos unpasillo a la comunicación, es decir, construimos estructuras que nos llevande las experiencias del transmisor a los ajustes de un receptor. Los procesosde comunicación se encuentran ahí, las estructuras están ahí; sin embargo,en muchas ocasiones se confunden con los procesos del uso del lenguajecotidiano, en los que habiendo una estructura para la comunicación, éstano se da. Recordemos que en el lenguaje matemático no existen las llamadas“expresiones de manifestación”. En esto radica el impacto negativo que lasmatemáticas ejercen en muchos aprendices; aquí no hay “expresionesmanifiestas”, cuya repercusión es como la de un sedante para un siguienteproceso de transmisión de la información. En las matemáticas no existe laexpresión que muestra alegría o tristeza, es solamente una forma detransmisión de ideas y pensamientos, lógicos, razonados, bien estruc-turados, para algunos, fríos, pero siempre con un objetivo.



Es aquí donde se hace evidente la forma superior de evolución del serhumano, ya que aun cuando el proceso de entendimiento no lleva intrínsecauna expresión emotiva,2 ésta no es necesaria hasta, quizá, cuando elconocimiento se incorpora al acervo individual.

Es interesante observar a un estudiante de alguna rama matemática, dealgún nivel, aun cuando éste no sea superior, cuando se presentan ante élexpresiones escritas como por ejemplo:

En síntesis, puede crearse una cantidad de series paralelas a la inicial,cada una de las cuales se reúne con la serie inicial en la clase primariadel rango superior [...] de este modo,

A2 + A

2’ = B”

o bien,

a a’ b

(O → A) + (A → B ) = O → B (Flavell, 1971:199).

Un estímulo como estos, puede conducir a una infinidad de expresiones,pero nadie negará que la mayoría de los sometidos a tal, girará en torno aconductas que se trasladan a través de la sorpresa, la incredulidad, el asombroy “otras” por llamarlas de algún modo.

Quién imaginaría qué tan lejos están estas expresiones de ser trabajadaspor un matemático; la verdad es que se encuentran trabajadas por un estudiosoen el campo de los procesos del desarrollo psicológico. En efecto, formanparte de una explicación sobre los procesos matemáticos de la adiciónsecundaria de clases (vicariancias), que Piaget plantea en su explicación sobreel agrupamiento.

Sin embargo, cada expresión, cada planteamiento, puede ser entendidocuando se amplia el conocimiento a partir del lenguaje matemático. Cuandolos mecanismos de asimilación y entendimiento del ser humano son puestos

2 La emoción positiva podrá darse al obtener un resultado, una expresión buscada, pero nocuando se encuentra involucrado en el proceso para la obtención de resultados.



a trabajar. Algunos psicólogos se han esmerado para tratar de dar forma ala enseñanza de las matemáticas, entre otros, asociacionistas como EduardL. Thorndike y miembros de la teoría de la gestalt, Piaget y participantesde la escuela de Piaget, así como participantes de diversas ramas de lapsicología conductista.

En general, todos ellos trabajando en un intento por explicar y descubrirla naturaleza de los procesos de aprendizaje y de pensamiento de lasmatemáticas.

Cada uno de estos grupos esmerado en comprender el porqué de la difi-cultad para trabajar las matemáticas en todas sus ramas: desde las máselementales, entre las que se encuentran aquellas con las que se puedeinteractuar físicamente, como es el caso de contar objetos reales —aprendizajeinteractivo de los niños a cierta edad—, hasta aquellos en los que los procesosmentales necesitan ser más profundos, como es el caso de los procesostopológico —trabajo que realizan los matemáticos teóricos, generalmente.

Por principio habrá que considerar que los psicólogos que se dedicanal estudio de los procesos elementales de la enseñanza de las matemáticas,son más que los que se dedican al estudio de los procesos de las matemáticassuperiores, las cuales son, como ya dijimos, más teóricas. En realidad sonpocos. De los menos, diría yo, hasta la fecha no me ha tocado conoceralguno en mi entorno de trabajo universitario, aunque sí en otros escenarios.

Aunque al parecer, y por informaciones que son más para ser tomadascon las respectivas reservas, esto está cambiando, los psicólogos se han dadocuenta de que es necesario un estudio serio y profundo al respecto. Lentapero profesionalmente, ha surgido una psicología de las matemáticas, cuyoenfoque es el de las matemáticas, algo tangible, si se compara con los estudiosque se realizan por algunos psicólogos en el campo de la telepatía y otrosprocesos similares.

Esperemos que los procesos que ocurren dentro del campo de la enseñanzade las matemáticas se vea favorecido por profesionales con conocimientosdel intelecto humano en esta especialidad; por lo pronto, los que nos dedi-camos a la enseñanza de las matemáticas seguiremos siendo parte de losequipos que buscan afanosamente alguna de las tantas puertas que se abrenal conocimiento del campo de la enseñanza.



Sabemos que hay que estudiar con mayor atención el papel quedesempeña el desarrollo del pensamiento matemático, por lo que incidimosen las formas de enseñanza para este tipo de desarrollo en particular.

En los niños pequeños es necesario un desarrollo de interacción quepermita poner en contacto físico al niño, con los conjuntos materiales alser contados.

Es necesario enseñar el lenguaje asociado a estos procesos en una formanatural, en una forma en la que el niño no se vea obligado a aprender porrepetición no interactiva.

Lo que aprendemos, como anteriormente lo hemos expresado, se debea procesos de intercambio de experiencias, el uso del lenguaje es primordialpara ello, las estrategias que se sigan para obtener objetivos de aprendizaje,son la que hemos de seguir buscando y probando. No es para descartarque cada proceso inicial de aprendizaje de cierta rama de las matemáticastenga que ser diferente para cada grupo de características bien definidas,debido a los procesos previos de su enseñanza.

Los que aprenden en forma interactiva tienen un acervo diferente deexperiencias y conocimiento, que aquellos que han aprendido por experienciaverbal repetida.

En este sentido, existe una interacción entre experiencia e intelecto; hemosde trabajar en esta relación, si es que deseamos conocer aquello que definimoscomo capacidad matemática que, por cierto, está en relación directa con losconocimientos que se adquieren o se encuentran en el interior de lasestructuras que vamos auto-conformando sin darnos cuenta, pero que nosdan resultados tangibles; por eso tenemos respuestas de jubilo al encontrarun resultado cierto cuando resolvemos un problema matemático. Esto esparecido a la experiencia de asimilar el concepto de globo inflado con gashelio: en principio nos damos cuenta de que físicamente existe comopedazo de “algo”, pero posteriormente nos enteramos que es plástico.Despúes, nos damos cuenta que al interior de esa estructura, hay un gas,ya que sentimos su interacción, no la vemos, cuando abrimos lentamentela punta por la que fue introducido el gas. En un siguiente paso, aprendemosteóricamente que ese gas es el que causa que el globo suba. Así, seguimosaprendiendo más y más al respecto.



Lo importante es que pasamos de un efecto de interacción, a otro en elque éste desaparece, pasamos de una forma física a una forma conceptual.El proceso es natural, se realiza mediante saltos estructurales; si deseanllámenlos estadios piageteanos, o como deseen. Lo importante es que al seridentificada su existencia hemos de buscar cómo llevar al sujeto inmerso enel proceso de enseñar-aprender, para que sea capaz de seguir el camino hastaobtener el conocimiento.

Hasta el lenguaje cambia en este sentido, pasa de ser un lenguaje concretode la experiencia, a un lenguaje real, pero intangible para algunos de losórganos de los sentidos que anteriormente fueron utilizados para entenderel suceso que se presentaba ante nosotros.

Para descubrir cómo se adquiere una habilidad matemática debemosentender qué proceso hay que seguir. Es cierto que las matemáticas son unaactividad mental, más que física; pero, ¿cómo se entiende y adquiere elconocimiento matemático? No es solamente mental en principio, en suinterior contiene procesos de interacción práctica; como decía Piaget:“debemos entender ese proceso mental”.

En sus trabajos experimentales, Piaget tomaba en consideración todaexpresión vertida por cada sujeto de trabajo experimental, no desechabarespuestas buenas o malas, ubicaba en el peor de los casos, al sujeto en elestadio correspondiente, es decir, le daba una razón a cada proceso depensamiento.3 En la página 46 de su libro, Flavell menciona un experimentoparecido al comentario que realicé con el globo:

Las únicas respuestas del niño que se registran, son aún las verbales,pero ellas se relacionan con hechos inmediatos en lugar de hechosremotos. Por ejemplo, en un estudio, Piaget desinfló una pelotapinchada de modo que el chorro de aire diese en la mejilla delniño. Luego hizo preguntas acerca de dónde venía el aire, adóndeiba luego de que la pelota era desinflada, etcétera.

3 Véase de Flavell, La psicología evolutiva de Jean Piaget.



El siguiente protocolo servirá de ejemplo:

P: ¿Qué es lo que pasa?R: Hay aire, porque hay un agujero, entonces sale.P: ¿De dónde viene el aire?R: Ellos lo pusieronP: ¿Quiénes?R: El hombre, el hombre que agarró la pelota y la llenó de aire.

Se desinfla la pelota y luego se vuelve a llenar de aire:

P: ¿Cómo?R: Por el agujero.P: ¿Pero, de dónde viene?R: Está entrando.P: ¿Es el aire del cuarto el que está entrando, o el que yo saqué?R: El aire que usted sacó.

Nos damos cuenta que en el proceso, las primeras respuestas fuerondadas correctamente, aun cuando físicamente sólo se podía sentir el efectodel aire que salió.

Al comenzar el proceso, no le es posible utilizar el sentido de la vista,por lo que no puede apreciar la conducta que tiene un gas al ser soltado enun recipiente mayor, que en este caso es el cuarto en el que se encuentran,sólo trabaja su sentido del tacto.

Sus respuesta fueron correctas, hasta llegar a la última, donde laconcepción del elemento físico que se encontraba involucrado —al no servisto— no pudo ser calculado objetivamente por el niño. Su respuestaindica un pensamiento que intenta ser acorde con el proceso, hasta llevarloa la forma inicial del mismo. Para él no existe la posibilidad de que elhueco de la pelota sea llenado por algo que no estuvo antes ahí. El conceptoacerca de que un gas tiende a ocupar el espacio del recipiente que locontiene, aún no es conocido por el niño, por lo que no puede ser entendidoy, por tanto, comprendido su código.

El proceso de interacción se da para un órgano de los sentidos: la piel.Posteriormente se le conduce por un camino en el que la falta del conoci-



miento sobre los procesos dinámicos de los gases le impide entender unconcepto que se calificaría de abstracto, mismo que necesitamos si elproblema que se plantea lo necesita para su solución.

Sin embargo, aún el niño no se ha montado en el vehículo que le permitacomprender el siguiente proceso, permanece en un estadio anterior; ha deentender primero la conducta del gas para comprender que su respuestadeberá ser la primera parte de la propuesta por Piaget en el experimento. Enlos procesos en los que es necesaria la abstracción, el conocimiento de loselementos que construyen una nueva estructura requiere de la presencia delos mismos para ser utilizados; debe existir un acceso a la información paraque ésta sea involucrada en el proceso de construcción. Deben serinterpretados adecuadamente, como un rompecabezas en el que cada pieza,no importa en qué posición se encuentre, será girada hasta encontrar sucorrecta posición, siendo ésta la que da la explicación clara y correcta de losucedido en el problema que se nos planteó.

Al realizar un aislamiento de los objetos involucrados en un ejerciciopráctico como el anterior, y conociendo cada elemento involucrado, lollevamos hasta una forma mental para imaginar —como en el caso de lacolocación de la pieza de rompecabezas— cuál es la posición correcta.

Al hacer esto nos encontramos dando marcha hacia el campo de laabstracción; y ya que este es un proceso en el que tratamos de darle sentidoa lo que trabajamos, sea objetivo y/o subjetivo, buscamos en su formamás económica la respuesta correcta. Esta es una forma de comprender laestructura del contenido en un proceso matemático; así es —en oca-siones— como la visualiza un matemático.

Sin embargo, no todo pinta bien si deseamos entender el contenido apartir de la conversación con algún matemático. Algunos de los erroresque se cometen cuando se trata de entender el contenido son creer en talacepción. La gente común no ve las cosas desde la misma perspectiva; esdecir, el planteamiento y solución de un problema matemático, en generalno puede ser explicado por medio de una expresión común. La gentecomún4 piensa y razona cotidianamente en forma distinta. Sus capacidades

4 Entendamos por gente común, en este caso, a toda aquella que siendo de edades mayores ala de los considerados niños, y teniendo una preparación elemental, no han desarrollado unaperspectiva geométrica.



intelectuales, en ocasiones, no han evolucionado para entender aspectossencillos, como los que se encuentran en la geometría elemental al tratarde encontrar el área de una forma que contiene, a su vez, triángulos,cuadrados y semicircunferencias.

En ocasiones no son capaces de comprender propiedades sencillas delos números, como es el caso del inverso multiplicativo:

2 • 1/2 = 1

Muchos ni siquiera saben que la posición en la que se encuentra elnúmero 2 en la expresión 1/2, es la que define la posición inversa de unnúmero, o viceversa. Razones del porqué desconocen esto hay muchas:desde el “que nunca lo han comprendido”, hasta el “que los profesoresnunca se los explicaron”, pasando por “nunca me ha importado”.

Existen problemas de comunicación —debidas a diferentes causas,como el mal uso del lenguaje—, problemas de motivación e interés, yalgunos otros, como la incapacidad para el aprendizaje matemático,actualmente llamada “falta de talento matemático”,5 por los poetas dellenguaje matemático. Con tal definición y bajo las formas poéticas deésta, como sucedió en el caso de la definición de discapacidad (Gearheart,1987:9-13), se deja fuera la forma objetiva de ella; por lo tanto, se planteade manera conceptual con las formas discrecionales que esto conlleva. Enalgunos casos existen trastornos en uno o más de los procesos psicológicosbásicos implicados en el entendimiento o uso del lenguaje hablado o escrito.

Es cierto también que ello lleva a problemas para escuchar, hablar, leer,pensar y la no realización de cálculos matemáticos, pero no hay que olvidarque muchos de los calificados se encuentran en lo que debería ser otro grupo,como es el caso de aquellos que tienen problemas por pertenecer a diferentesgrupos sociales, y en los que su formación educativa fue deficiente por la faltade recursos económicos y humanos. En ocasiones los “transmisores delconocimiento” sólo son transmisores de información, en otras son ejercitadoresmentales para la realización de cálculos. En este punto y por estas y otras

5 En este caso la palabra talento es concebida, por los poetas matemáticos, más como unavirtud que como un proceso intelectual.



razones, además de salvar los pendientes no asociados a los procesos directa-mente matemáticos, es necesario establecer claramente la diferencia entre realizarcálculos matemáticos y tener un razonamiento matemático.

La realización de cálculos numéricos es debida a procesos que, enprincipio, identifican cantidades y, posteriormente, mediante un grupode operaciones aprendidas (suma, resta, multiplicación y división), nospermiten obtener ciertos resultados, en este caso el trabajo es operativo.

El razonamiento matemático va más allá de un proceso operativo sobrecantidades, el razonamiento matemático involucra la comprensión de lasnociones y procedimientos matemáticos. Cuando esto sucede, las nocionesy procedimientos son utilizados de tal forma que éstos se adaptan o sehacen adaptables mediante mecanismos que los transforman, se establecennuevas relaciones entre los elementos del contenido y son utilizadas paraaprender nuevos conocimientos.

Quien se desenvuelve en el razonamiento matemático y no sólo en elcampo del cálculo numérico, tiene una mayor posibilidad de adquirirconocimientos nuevos y más profundos de la matemática. El campo se amplíaal realizar acciones de formulación, representación, resolución y/ocomunicación de problemas matemáticos para una situación determinada.Todo lo expuesto, suena maravilloso, pero ¿cuándo y cómo se lleva a la práctica?

La verdad es que esto se ha ensayado una y otra vez, en diferentesubicaciones geográficas, con diferentes culturas, y en nuestro caso, Méxicono es la excepción. Se plantean teorías, formas de trabajo piloto, formasanteriormente probadas en periodos previos que no funcionaron, y otrascuyos resultados no son nada halagadores. Donde se ha logrado avances esen detectar algunos de los problemas que se presentan comúnmente y queson del conocimiento de muchos investigadores, como son:

a) Falta de seguridad económica para obtener una mejor concentraciónen el estudio.

b) Deficiencia en el cálculo de tiempos por materia.6

6 Para algunos involucrados en el proceso de dirección de programas de estudio a nivel básico,medio y medio superior, tener un tiempo de una hora diaria en los grupos que inician el proceso decambio de cálculos numéricos a razonamiento matemático es suficiente, aun cuando sólo se tieneun maestro para cincuenta personas o más.



c) Falta de un seguimiento de verdaderos niveles de conocimiento decada uno de los grados de enseñanza, desde primaria, hasta gradosprofesionales.

d) Falta de adaptación de programas a la realidad cultural del lugar en elque imparte el conocimiento.

e) Desvío de tiempos curriculares marcados para las ciencias, en actividadesextraescolares.7

f ) Falta de preparación y capacitación de profesores para los distintosgrados de enseñanza.

Dentro de los problemas individuales se presentan:

a) Falta de vocación.b) Falta de motivación personal.c) Falta de conocimientos básicos sobre la materia.d) Falta de concentración debida a problemas no económicos.e) Falta de apoyos profesionales.f ) Distracciones inducidas, etcétera.

Planteamiento de un estudio sobre algunosde los puntos anteriormente expuestos

Un trabajo acerca de la falta de concentración en la información que sevierte por medio del lenguaje hablado, se realizó con dos gruposuniversitarios (presento uno de los grupos; el segundo obtuvo resultadosmuy similares). El trabajo tenía como objetivo detectar en qué porcentajese perdió información básica de los cursos recibidos por un alumno,cuando se le pedía que realizara un ejercicio matemático y qué porcentajede información se pierde en el seguimiento oral de las indicaciones paraun proceso matemático.

7 Desde realización de trabajos fuera de los aspectos académicos dentro de la escuela, comoson pertenencia a coros y otros equipos de actividades no curriculares, apoyos a eventos de losdiferentes sectores gubernamentales —presentaciones, exposiciones, apoyos de tipo edecanesetcétera—, hasta la asistencia a diferentes lugares de recreo en instalaciones privadas.



El ejercicio consistió en realizar una suma de fracciones algebraicas,siguiendo como modelo una suma de una fracción aritmética, las fraccionesque se trabajaron fueron:

FRACCIÓN ALGEBRAICA

X 3X + 1 ———— ⎯ ———— X + 2 X - 1

FRACCIÓN ARITMÉTICA

3/25 + 12/11

Actividades

Sólo se presentan los resultados del procedimiento algebraico.

Proceso algebraico (fracción algebraica):

a) Se le pidió al alumno que indicara cuál era el procedimiento paraencontrar el común denominador de la fracción algebraica; se recalcóla importancia de sólo indicar el procedimiento en forma oral y conun lenguaje común.

b) Como segundo paso se le pidió al alumno que expresara en formaescrita, y con un lenguaje común, el procedimiento para encontrar elcomún denominador de la suma de fracciones algebraicas.

c) La tercer petición consistió en solicitar que por medio de expresionesmatemáticas, y sin obtener resultados, expusiera cuál era el procedi-miento para encontrar el común denominador de la suma de fraccionesalgebraicas —previo a observar su solución aritmética al problemaaritmético propuesto.



TABLA DE RESULTADOS

Número total de alumnos: 22

Núm. dealumno

12345678910111213141516171819202122

Conocimientodel proceso a)

X11XX11XX11111X1X111XX

Conocimientodel Proceso b)

X1MXX11XXM11MMX1X1MMMM

Conocimientodel Proceso c)

M1MMXM1XXM11MMX1X1MMMM

Realizacióndel Proceso c)

No

1

11111111

11111

1111

Realizacióndel Proceso c)

Sí

1

11

1



Resultados obtenidos

El procedimiento del caso a) fue conocido por 59 por ciento del total dealumnos. En el procedimiento b) lo conocían correctamente 31 por cientodel total de los alumnos, y en forma mediana 4.5 por ciento. El procedi-miento del caso c) lo conocieron en forma correcta 27 por ciento del totalde alumnos y medianamente 50 por ciento. El procedimiento c) lorealizaron en forma correcta sólo 18 por ciento.

Consideraciones

En el procedimiento a) se tenían ciertas nociones, entre las que se encon-traba la necesidad de obtener un común denominador, y era conocidapor 13 de los 22 alumnos. Además, conocían el uso posterior del comúndenominador, una menor cantidad de ellos, y el uso del lenguaje —aunquecomún— no fue utilizado con la precisión y fluidez adecuada, por lo quese obtuvieron los siguiente resultados en el procedimiento b): del total dealumnos que tenían nociones del procedimiento, tan sólo 7 de ellos loconocían correctamente y 8 medianamente, considerando medianamente,como:

1. Conocimiento del denominador.2. División del común denominador entre los numeradores respectivos.

El siguiente paso, que consiste en la multiplicación de los resultadospor cada numerador, no fue utilizado o fue explicado incorrectamente.En el procedimiento c) el desconocimiento de la notación matemática,fue factor determinante para que tan sólo 4 de los 22 alumnos, supieranexpresarse correctamente en términos de un lenguaje matemático. Alobservar estos resultados aparece, en primera instancia, una mala prepa-ración matemática previa. De los elementos que dieron positivo en elconocimiento del procedimiento, se destaca la forma deficiente de la utili-zación del lenguaje común. La forma en la que cada uno de ellos trata de



explicar el procedimiento de trabajo no permite, en muchos de los casos,seguir un procedimiento lógico de trabajo.

Aún más importante resulta darse cuenta de que el conocimiento dellenguaje matemático no forma parte del acervo de conocimientos de lagran mayoría de los alumnos que ingresan a cursos de educación superior.

Como explicamos anteriormente, la necesidad de establecer un códigocomún entre interlocutores es básico si deseamos obtener buenos resultadosen la transferencia del conocimiento. De ahí que sea insistente en la cantidadde problemas descubiertos en la preparación básica y que ponen en riesgoun productivo y buen proceso de enseñanza y aprendizaje.

En la exposición del estudio anterior, mismo que no tiene gran compli-cación teórica, se ponen en evidencia las grandes lagunas que existen encuanto a esa preparación previa y, sobre todo, a un proceso de acumulaciónde dudas que resultan ser para algunos alumnos una verdadera carga deingenua aceptación de deficiencias y que van mermando la seguridad decada uno de ellos a medida que transcurren los trimestres de preparaciónuniversitaria.

Ante la deficiente preparación previa, la única opción resulta ser untrabajo constante, con un apoyo personalizado pero ante problemas deestructuras de la madurez conceptual, las opciones se cierran a caminosmenos obvios y más internos al campo del área de la psicología, cuyasolución es posible encontrarla por estudiosos del proceso no incluidos eneste campo, pero que tienen menos oportunidades en comparación conlos que se encuentran mejor preparados en él.

Sin embargo, a falta de equipos profesionales dentro del campo de lapsicología, lo seguiremos intentando, así que podemos continuar con otrapropuesta, la cual incluye nuevas formas de expresión gráfica, con el objetivode utilizar precisamente las ventajas visuales que una imagen produce.Esto como parte del uso del lenguaje en sus diferentes manifestaciones,como la llamada representación gráfica.

Vemos cómo nuestra especie ha creado imágenes o representacionesgráficas, conocidos como íconos, que establecen una relación simbólicacon la realidad o “nuestra realidad”; por ello —y recordando que somosseres susceptibles a tales representaciones y dado que nuestra forma de



vida gira en torno a estos símbolos—, pretendemos dar una utilidad atales cualidades.

¿Sabemos que estas manifestaciones gráficas nos permiten expresar unagran cantidad de información con recursos limitados, en sustancia ytiempo? Al presentar una información matemática bajo estos recursos, laposibilidad de una mejor aceptación de la información, aumenta —aunquesólo sea una transmisión de información y no de conocimiento—, y laposibilidad de adquirir un conocimiento se encuentra más cercana. Lasdistracciones disminuyen y el proceso de concentración y abstracción sefacilita. No en vano se utiliza esta técnica en el campo publicitario, artísticoy audiovisual, y se incrementa su desenvolvimiento y desarrollo en formaconstante. Existen intentos, en el campo de las matemáticas, para utilizarlos medios como éste; han incursionado poco a poco y se realizan intentospor llevarlos al campo digital y al del uso de las computadoras. Medianteellas se pueden encontrar presentaciones en la Red, que proyectan losintentos por llevar al campo del ciberespacio y de la intercomunicaciónformas gráficas que faciliten el aprendizaje de las matemáticas.

Cuando se realizan estos intentos, el impacto no pasa de ser más deeso, sólo un intento, ya que al no conocer realmente el camino por el quetransita el proceso mediante el que se aprenden los conceptos de lasmatemáticas, se encuentran paradojas como las que aparecen cuando secuida el proceso de interacción, y resulta que dicho proceso está asociadoa procesos que cubren solamente algunos procedimientos matemáticos y,por lo tanto, otros han de ser cubiertos por esquemas diferentes que setrabajan en forma diferente.

Sin embargo, creo que es posible darle un uso a los procesos conimágenes, que permita anclar, al igual que lo hacen las promociones deartículos en venta, algunos de los elementos básicos necesarios para laconstrucción de las estructuras de conocimiento matemático.



Bibliografía

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