27236004 2 analisis diferencial en mecanica de fluidos

2. Anlisis diferencial en Mecnica de Fluidos

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UNIVERSIDAD DE OVIEDO

Escuela Politcnica Superior de Ingeniera de Gijn Ingenieros Industriales Curso 2004-2005

Apuntes de Mecnica de Fluidos

ANLISIS DIFERENCIAL EN MECNICA DE FLUIDOS.1. 2. 3. 4. Cinemtica y dinmica de fluidos. Ecuaciones de constitucin. Ecuaciones de conservacin Problemas resueltos.

Julin Martnez de la Callerea de Mecnica de Fluidos Gijn noviembre 2004

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ANLISIS DIFERENCIAL EN MECNICA DE FLUIDOS1. CINEMTICA Y DINMICA DE FLUIDOS 1.1. Mtodos de anlisis en Mecnica de Fluidos: Lagrangiano y Euleriano. 1.2. Tipos de anlisis en Mecnica de Fluidos: Diferencial, Dimensional e Integral. 1.3. Cinemtica de Fluidos: propiedades del vector velocidad. 1.3.1. Derivada sustancial o material. 1.3.2. El operador NABLA: gradiente, divergencia y laplaciana. 1.4. Dinmica de Fluidos: fuerzas macroscpicas sobre los fluidos. 1.4.1. Fuerzas de volumen. 1.4.2. Fuerzas de superficie. 1.4.3. Tensor de tensiones. 1.5. Tipos de flujo. 2. ECUACIONES DE CONSTITUCIN 2.1. Comportamiento mecnico: tensor de velocidad de deformacin. 2.2. Fluidos Stokesianos: tensor de tensiones viscosas. 2.3. Fluidos Newtonianos. 2.3.1. Ec. de NAVIER-POISSON. 2.3.3. Tensor de tensiones de un fluido newtoniano. 2.4. Comportamiento trmico. 2.4.1. Ecuaciones de Estado. 2.4.2. Ecuaciones de transmisin de calor. 3. ECUACIONES DE CONSERVACIN. 3.1. Ecuacin diferencial de conservacin de masa: ecuacin de continuidad. 3.2. Ecuacin diferencial de conservacin de cantidad de movimiento: ecuacin de movimiento de CAUCHY. 3.2.1. Fluido no viscoso: ecuacin de EULER. 3.2.2. Flujo no viscoso en lnea de corriente: ecuacin de BERNOULLI. 3.2.3. Fluido newtoniano: ecuaciones de NAVIER-STOKES. 3.2.4. La funcin de corriente y la funcin potencial de velocidad. 3.3. Ecuacin diferencial de conservacin de la energa: ecuacin de la energa. 3.3.1. Ecuacin de energa interna. 3.3.2. Ecuacin de entalpa. 3.3.3. Ecuacin de entropa. 3.4. Condiciones de contorno. 4. PROBLEMAS RESUELTOS. 4.1. Mtodos de anlisis: Euleriano y Lagrangiano. 4.2. Aplicacin de la ecuacin de continuidad: criterios de incompresibilidad. 4.3. Aplicacin de las ecuaciones de continuidad y de BERNOULLI: descarga de depsitos. 4.4. Aplicacin de la ecuacin de BERNOULLI i: flujo no viscoso entre discos horizontales. 4.5. Aplicacin de la ecuacin de BERNOULLI i no estacionario: oscilaciones en un tubo en U. 4.6. Aplicacin de la ecuacin de BERNOULLI con aceleracin de arrastre: bomba rotativa. 4.7. Aplicacin de las ecuaciones de NAVIER-STOKES: flujo de COUETTE-POISEUILLE. 4.8. Aplicacin de la ecuacin de NAVIER-STOKES: flujo viscoso entre discos horizontales. 4.9. Aplicacin de la ecuacin de Energa: distribucin de temperaturas en flujo de Poiseuille. 38 40 42 45 48 50 53 55 59 21 24 26 28 29 30 32 33 34 34 35 15 18 1818

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ANEXOS. A1: Ecuaciones de conservacin en coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas A2: Newton, Berrnoulli, Euler, Lagrange, Laplace, Poisson, Navier, Cauchy, Stokes, Fraude, Mach, Reynolds, Weber, Prandtl, von Karman.



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1. CINEMTICA Y DINMICA DE FLUIDOS1.1. Mtodos de anlisis en Mecnica de Fluidos: Lagrangiano y Euleriano. 1.2. Tipos de anlisis en Mecnica de Fluidos: Diferencial, Dimensional e Integral. 1.3. Cinemtica de Fluidos: propiedades del vector velocidad. 1.3.1. Derivada sustancial o material. 1.3.2. El operador NABLA: gradiente, divergencia y laplaciana. 1.4. Dinmica de Fluidos: fuerzas macroscpicas sobre los fluidos. 1.4.1. Fuerzas de volumen. 1.4.2. Fuerzas de superficie. 1.4.3. Tensor de tensiones. 1.5. Tipos de flujo.

1.1. MTODOS EN MECNICA DE FLUIDOS: LAGRANGIANO Y EULERIANO.El mbito general de la Mecnica de Fluidos, es la interaccin entre fluidos y su entorno. Adems el fluido esta constituido por una sucesin continua de partculas que interaccionan entre si y entre los contornos. La partcula fluida esta formada por una sucesin continua de puntos materiales, que integran un volumen infinitesimal; que en el proceso de fluir, se deforma por la interaccin con el resto de fluido, permaneciendo su masa y su volumen elementales constantes, es decir, la densidad en toda la extensin de la partcula fluida es constante. Como metodologa de estudio se dispone de dos alternativas: La identificacin de cada partcula fluida y su seguimiento en el tiempo; es decir, hay que determinan la posicin de la partcula en funcin del tiempo, adems de conocer las magnitudes asociadas a cada partcula. Este el mtodo de LAGRANGE, que es el usado normalmente en Mecnica de Slidos. En Mecnica de Fluidos, es suficiente conocer el valor de las propiedades en los diversos puntos del campo fluido a lo largo del tiempo, con independencia de la partcula que lo ocupa en un instante determinado; sta es la base del mtodo de EULER, en el que las magnitudes de las propiedades de una partcula fluida en un determinado instante, vienen dadas por los valores de las propiedades en el punto que es ocupado por la partcula en el citado instante. En el mtodo Euleriano, se deben determinar los campos de propiedades; as, el campo de presiones, es la expresin espacial y temporal de la presin: p=p(x,y,z,t), con lo que una partcula que en un instante t0, ocupe una posicin (x0, y0, z0), tiene una presin dada por el campo de presiones: p=p(x0,y0,z0,t0)

-

Al movimiento de un fluido se le denomina flujo, y en su anlisis es interesante tener algn tipo de representacin. Cada mtodo de anlisis utiliza diferentes procedimientos de representacin: En el mtodo lagrangiano, se definen las trayectorias de las partculas como lugar geomtrico de las diferentes posiciones temporales de las partculas. La trayectoria de una partcula es el lugar geomtrico de las posiciones sucesivas, a lo largo del tiempo, de la partcula, que en el instante inicial (t0) estaba en la r posicin inicial ( r0 ). A(t2) A(t1) A(t0)

A(t3)

Fig.1.1.: Trayectoria de una partcula A a lo largo del tiempo: Mtodo Lagrangiano



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-

En el mtodo euleriano, se definen las lneas de corriente, que son las envolventes tangenciales de los vectores velocidad de todas las partculas en un instante determinado. v (x1,y1,z1,t0) v (x0,y0,z0,to) B(t0) (x1,y1,z1) A(t0) (x0,y0,z0)

Fig. 1.2. Lnea de Corriente en un instante dado (t0) en distintos puntos ocupados por distintas partculas A,B,...

El vector unitario de la velocidad, es el vector unitario de la direccin tangencial, en determinado en un punto de la lnea de corriente; con lo que las ecuaciones diferenciales que dan lugar a las lneas de corriente son:dx dy dz = = u ( x, y, z, t ) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t)

(1.)

1.2. TIPOS DE ANLISIS EN MECNICA DE FLUIDOS.La dinmica de fluidos trata del movimiento de los fluidos, a lo que se denomina flujo, y de sus interacciones con el entorno. En el estudio de flujos hay que analizar el estado de movimiento del fluido, definido por las ecuaciones de conservacin (leyes fundamentales en el movimiento de fluidos), por las ecuaciones de constitucin (leyes del comportamiento del fluido) y por las condiciones de contorno (impuestas por la geometra y el entorno). Las ecuaciones de conservacin y de constitucin, junto con las condiciones de contorno, aplicadas a cada una de las partculas del fluido, dan sistemas de ecuaciones diferenciales, cuya resolucin lleva a definir el flujo, en cuanto al campo de velocidades (cinemtica) y al campo de fuerzas (dinmica). Este tipo de anlisis diferencial, da sistemas de ecuaciones simultaneas en derivadas parciales, que son de difcil o imposible resolucin; aunque pueden encontrarse soluciones analticas con hiptesis restrictivas y en determinados casos, en donde se pueden obtener soluciones parciales por clculo numrico, utilizando las tcnicas actuales de simulacin que constituye la mecnica de fluidos computacional (CFD: computational fluid mechanics), en donde las derivadas se sustituyen por relaciones algebraicas en un nmero finito de puntos del flujo (mallado). Si lo que se pretende obtener, no es el estado de movimiento del fluido, sino sus efectos sobre una determinada regin del flujo, se puede establecer otro tipo de anlisis que evale las caractersticas globales del flujo: caudales, fuerzas, momentos, potencias,... A la regin de estudio, en donde se consideran las interrelaciones entre entorno y flujo, se le denomina volumen de control; las modificaciones sobre el entorno que introduce el flujo en su entrada-residencia-salida del volumen de control, o que el entorno introduce en las propiedades del flujo, vienen determinadas por las ecuaciones integrales de conservacin aplicadas al sistema aislado entorno-volumen de control. Este mtodo de anlisis integral, se fundamenta en las ecuaciones integrales que dan las velocidades de variacin de las propiedades del fluido a su paso por el volumen de control. Cuando el flujo es complejo y el anlisis diferencial no aporta soluciones (por ser insuficientes las ecuaciones o porque la resolucin de los sistemas en derivadas parciales no es posible); y debido a que el anlisis integral da resultados globales; es necesario recurrir a un anlisis experimental, en donde los resultados se obtienen a partir de las magnitudes medidas en los experimentos. En este mtodo de anlisis aparecen dos problemas propios: el gran nmero de variables que intervienen en la descripcin del flujo y la imposibilidad, en ciertos casos, de ensayar en condiciones reales. Para abordar estos problemas, se dispone del anlisis_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04


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dimensional que permite reducir el nmero de variables y la teora de modelos, con la que se correlacionan los resultados experimentales de un modelo con los que tendra su prototipo. El anlisis diferencial puede ser utilizado para cualquier tipo de flujo, pero la dificultad de establecer y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, limita el mtodo; tambin el anlisis experimental puede aplicarse a cualquier flujo, pero las dificultades inherentes a las tcnicas experimentales, presupuesto y universalidad, son las que limitan el mtodo; en cuanto al anlisis integral, si que aporta resultados en el estudio tcnico de flujos, pero siempre de magnitudes globales. El anlisis diferencial comenz con EULER y LAGRANGE en el siglo XVIII, el anlisis dimensional tuvo sus primeros pasos con RAYLEIG a finales del siglo XIX, y el anlisis integral, aunque propuesto por EULER, se desarrollo a mediados del siglo XX. En la actualidad las potentes tcnicas de clculo numrico, implementadas en ordenadores cada vez ms rpidos, han hecho posible, el resurgimiento del anlisis diferencial, en cuanto a la posibilidad de resolucin de flujos cada vez ms complejos, en donde se consideran los efectos viscosos. En cuanto al anlisis experimental, el desarrollo de sensores especficos (piezoelctricos de presin, extensiomtricos de fuerza,...) y de tcnicas cada vez menos intrusivas (velocimetra laser-doppler, hilo radiante,...), esta aportando medidas cada vez ms fiables.

1.3. CINEMTICA DE FLUIDOS: PROPIEDADES DEL VECTOR VELOCIDAD.El trmino cinemtica esta asociado a las propiedades del campo de velocidades. En la descripcin r Euleriana del flujo, la velocidad local del fluido v(x, y, z, t) es la variable fundamental. Se pueden tener dos casos extremos: - flujo estacionario, cuando la velocidad es independiente del tiempo, con lo que en un determinado punto, la velocidad (y en general cualquier propiedad) no vara con el tiempo, es decir la velocidad solo depende de la posicin:r r v = v(x, y, z) r v =0 t

(2.)

- flujo uniforme, cuando la velocidad no depende de la posicin, con lo que en un determinado instante, la velocidad (y en general cualquier propiedad) es la misma en todos los puntos del campo fluido, es decir la velocidad solo depende del tiempo, y su gradiente es nulo.r r v = v(t)

r v = 0

(3.)

1.3.1. DERIVADA SUSTANCIAL O MATERIAL. Consideremos una propiedad intensiva del campo fluido, por ejemplo, la presin termodinmica. El campo de presiones, es tetradimensional: p=p(x,y,z,t), y para su obtencin, hay que resolver la ecuacin diferencial: p p p p dp = p(x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) p(x, y, z, t) = dt + dx + x y z para lo cual, hay que determinar las 4 variaciones parciales de la presin: la temporal y las tres espaciales. Una vez conocido el campo de presiones, si se sigue a una partcula, la magnitud de su presin, viene dada por el valor del campo de presiones, que es funcin de la posicin en que se encuentre en un determinado instante. La variacin temporal del campo de presiones, viene dada por:

dp p dx p dy p dz p = + + + dt t dt x dt y dt z_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04


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en las expresiones anteriores, los espacios recorridos elementales: dx. dy, dz, representan los incrementos espaciales, en los que se conoce el campo fluido. Si los citados incrementos, los marcan las partculas en su movimiento a una determinada velocidad1; con lo que los respectivos incrementos espaciales son: dx = udt; dy = vdt; dz = wdtr r r r en donde u,v,w son las componentes cartesianas del vector velocidad: v = u i + v j + wk con todo, se tiene, que para un observador que se mueve con la velocidad del fluido, la variacin temporal de la presin es: dp p p p p = + u + v + w r r r = vdt t x y z (4.)

en notacin compacta, se tiene:dp dtr dr r =v dt

=

p r + v p t

(5.)

r + v , se denomina derivada sustancial o material, y representa la velocidad de t cambio de una determinada propiedad de una partcula de fluido en su movimiento. Se suele denotar, o bien por dp D , o bien por . As, en el caso consideradode la presin termodinmica, su derivada material es: r r dt dr = v Dt

en donde el operador

dt

Dp p r = + v p Dt t

(6.)

p en donde la variacin local es: , que evala la variacin temporal de la presin en un determinado punto t r y la variacin convectiva es: v p , que evala la variacin de la presin (por unidad de tiempo) de un punto a otro, al moverse el fluido por un gradiente de presiones.

el termino p se denomina gradiente de presin, y su expresin depende del sistema de coordenadas: coordenadas cartesianas: p = coordenadas cilndricas:p r p r p r i + j + k x y z r p r p r 1 p p = u r + + uz r r z

Si consideramos una propiedad vectorial, como por ejemplo la misma velocidad, su derivada material, viene determinada por:Coordenadas cartesianas:

r r r r r r Dv v v v v v r r = +u + v + w = + v v y z t Dt t x

La aceleracin del fluido, es la derivada material de la velocidad, y es suma de una aceleracin local y una aceleracin convectiva:r r r Dv v r r a= = + v v Dt t

(7.)

r v t u u r v v v r w w w r r r u aceleracin convectiva v v = u +v +w k y z y z y z x x x

aceleracin local

1

es como si el campo fluido se estuviera marcando por un observador que se mueve con la velocidad del fluido



7

El gradiente de velocidad, es un tensor, cuyas componentes cartesianas son: u x x u r v = (u v w) = y y u

(8.)

Si el sistema de referencia es no inercial, para obtener la aceleracin absoluta, hay que aadir a la aceleracin relativa, calculada anteriormente, la aceleracin de arrastre del sistema de referencia no inercial2, respecto a un sistema de referencia inercial:r r r Dv v r r a relativa = = + v v Dt t r r r r r d r r r r aarrastre = a0 + SRNI r + SRNI ( SRNI r ) + 2SRNI v dt

r r r aabsoluta = a relativa + aarrastre

en donde la aceleracin de arrastre, tiene 4 sumandos, respectivamente:r a0 = r dSRNI r r = dt r r r SRNI ( SRNI r ) = r r 2SRNI v =

aceleracin lineal del sistema de referencia no inercial (SRNI) respecto al inercial aceleracin tangencial de la partcula aceleracin centrpeta de la partcula aceleracin de CORIOLIS.

r r en SRNI es la velocidad de giro del SRNI, respecto al sistema de referencial inercial, y r es su vector de posicin en el SRNI

1.3.2. EL OPERADOR NABLA. El operador NABLA: , se utiliza para compactar las expresiones cinemticas. Es un operador vectorial, que se puede aplicar a un escalar o a un vector, representando su gradiente. NABLA es un operador vectorial, que se puede operar con otro vector o con un tensor. As el producto escalar del operador NABLA representa la divergencia: si el producto escalar es con otro vector, se tiene la divergencia del vector, y si el producto escalar es con un tensor se tiene la divergencia del tensor. El producto vectorial del operador NABLA con un vector, representa el rotacional del vector: r r r i + j + k x y z r 1 r r ur + + uz r z r r 1 r 1 r

OPERADOR NABLA en coordenadas cartesianas: =

OPERADOR NABLA en coordenadas cilndricas:

=

OPERADOR NABLA en coordenadas esfricas:

=

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Un sistema de referencia NO INERCIAL, se mueve con velocidad no constante, respecto a un sistema de referencia INERCIAL (a velocidad constante).



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GRADIENTE: la aplicacin del operador NABLA a una magnitud, representa el gradiente de la magnitud a lo largo del espacio: es decir, su variacin de un punto a otro. Cuando el operador se aplica a un escalar se obtiene un vector que representa la variacin del escalar desde un punto a otro del flujo y que se denomina gradiente de la magnitud escalar. Cuando el operador se aplica a un vector se obtiene un tensor que representa la variacin del vector desde un punto a otro del flujo, que se denomina gradiente de la magnitud vectorial.

GRADIENTE DE PRESIN:

p r p r p r i+ j+ k x x z p = p r 1 p r p r ur + u + u z cilndricas = r r z cT r T r T r i+ j+ k x x z T = T r 1 T r T r ur + u + uz cilndricas = r r z caj+ k x x z = 1 cilndicas = u + u + u z z catesianas =

GRADIENTE DE TEMPERATURA:

GRADIENTE DE DENSIDAD:

GRADIENTE DE VELOCIDAD:

u x x r u v = ( u v w ) = y y u

v x v y v z

w x w y w z

DIVERGENCIA: el producto escalar del operador con un vector, es un escalar que se denomina divergencia del vector. El producto escalar del operador NABLA con el vector velocidad, es la divergencia de la velocidad; que representa la velocidad de variacin de la densidad por unidad de densidad3 (que tambin es igual a la velocidad de variacin del volumen por unidad de volumen)u v w + + x x z 1 ( r v r ) 1 v v z cilndicas = + + z catesianas =

DIVERGENCIA DE VELOCIDAD:

v =

El producto escalar del operador con un tensor, es un vector que se denomina divergencia del tensor; as la divergencia del tensor de tensiones es el vector de tensiones de contacto (fuerzas de superficie por unidad de rea) sobre una determinada partcula fluida: r r r = xx + yx + zx i + xy + yy + zy

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Ver ecuacin de continuidad: v =

r

1 d d

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2. Anlisis difeencial en Mecnica de Fluidos

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ROTACIONAL: el poduco vecoial del opeado con un vector, es un vector que se denomina rotacional. El producto vectorial del operador NABLA con el vector velocidad es el rotacional de la velocidad que representa la velocidad angular local de una partcula fluida (el doble), y que se denomina vorticidad:r r r ROTACIONAL DE VELOCIDAD: v = = VORTICIDAD =2

w v r u w r v u r i + Cartesianas v = j + k z r 1 v z v r v r v z r 1 ( r v ) 1 v Cilndicas v = u

LAPLACIANA: la divergencia de un gradiente, se denomina laplaciana; que cuando se aplica a un escalar da lugar a otro escalar, y cuando se aplica a un vector da otro vector. Como ejemplos significativos consideraremos la laplaciana de temperatura y la laplaciana de velocidad ( T ) = 2 T

LAPLACIANA DE TEMPERATURA: 2T = 2T x 2 +

Cartesianas

2T y 2

+

2T z 2

Cilndricas

2T =

1 T 2 T 1 2 T 2 T + + + r r r 2 r 2 2 z 2 1 2 T 1 T 1 2T r + 2

Esficas

2T =

LAPLACIANA DE VELOCIDAD:

r r ( v ) = 2 v

Cartesianas:

r 2u 2u 2u r 2 v 2 v 2 v r 2w 2w 2 w r 2 v = 2 + 2 + 2 i + 2 + 2 x x xr 1 v r 2 v r 1 2 v r 2 v r v r 2 v r 2 v = + 2 + 2 + 2 2 2 ur + r

Cilndricas:

1 v 2 v 1 2 v 2 v v 2 v + + 2 + 2 + 2 2 + 2 r 2 z r r+ + 2 + 2 + 2 uz r 2 z r r

r u +

Esfricas:

v v 2 1 v r r 2 v = 2 v r 2 v r + + + ur + r g sen

sen v r 1 v + 2 v 2 2 v 2sen 2 cos



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1.4. DINMICA DE FLUIDOS: FUERZAS MACROCPICAS.En el Anlisis Diferencial de Fluidos, hemos considerado como volumen de control a la partcula fluida, que es una porcin de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias. El tamao esta en relacin a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medicin. En todo caso los valores de las magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de molculas que integran la partcula fluida. Para su anlisis, la partcula fluida se asla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partculafluido, y en este estado de equilibrio de la partcula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia.

1.4.1. FUERZAS DE VOLUMEN. Las fuerzas de volumen, son fuerzas dbiles de largo alcance, actan sobre cada elemento de volumen del fluido, y son debidas a campos de fuerzas externos. La fuerza elemental, que ejerce el campo externo, sobre el elemento de volumen, por unidad de volumen es:r dFV r = fV dV

El campo externo de fuerzas, ms habitual, es el gravitatorio terrestre, en donde la fuerza por unidad r r de volumen, viene determinada por la densidad de la partcula fluida y la aceleracin gravitacional ( g = gk )r r f V = g

Si la pacula fluida, iene una deeminada densidad de caga (=d/dV), y esa inmesa en un campo elcico de inensidad E , la fueza elemenal po unidad de volumen es: fV = E

Si la pacula fluida, iene una deeminada densidad de caga (

=d

/dV), y esa inmesa en un campo magnico de inensidad B , la fueza elemenal po unidad de volumen es: fV = v

En geneal, si la patcula cagada, esta en un campo electomagntico, se tiene la fueza de LORENTZ: fV = E + v

(

)

Genicamente, consideaemos como expesin de la fueza elemental po unidad de volumen, debida a la accin de un campo de fuezas extenos: dFV = fV = g dV

(9.)

Si el sisema de efeencia es no inecial, a la aceleacin absolua g , hay ue esale la aceleacin de aase a SRNI (del sisema de efeencia no inecial especo a un sisema de efeencia inecial), paa pode esablece el e

uilibio de odas las fuezas, en el sisema de efeencia no inecial. dFV = fV = ( g aSRNI ) dV dSRNI = a0 + + SRNI ( SRNI ) + 2SR d

a SRNI


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1.4.2. FUERZAS DE SUPERFICIE. Las fuezas de conaco, ue sobe las supeficies de una pacula fluido en movimieno, ejece el fluido ue la odea, se denominan fuezas de supeficie. Son debidas a la agiacin molecula y a la ineaccin molecula, po lo ue son apeciables slo a disancias del oden de la ineaccin molecula. Se puede demosa ue la esulane de las fuezas elemenales de supeficie (po unidad de volumen), sobe una pacula fluida, viene deeminado po la divegencia de un enso asociado al puno po el ue pasa la pacula, y ue se denomina enso de ensiones:

dFS = fS = dV 1.4.3. TENSOR DE TENSIONES.

(10.)

En un determinado elemento de rea de la partcula fluida, la fuerza de uperficie on proporcionale al rea de contacto con el reto del fluido; y adem por el principio de accin-reaccin, la fuerza que el reto de fluido hace obre la partcula a trav del citado elemento de rea, et equilibrada por la correpondiente fuerza que la partcula hace obre el reto de fluido. A la fuerza de contacto elemental por unidad de rea de contacto, e le denomina tenin. Sobre un determinado elemento de rea, la tenin (reultante elemental de la fuerza de uperficie, por unidad de rea de contacto), e pueden decomponer en tre componente elementale ortogonale: una componente en la direccin normal (del elemento de rea) y do en direccione tangenciale, e decir una tenin normal y do tenione tangenciale. Conideremo un punto material como intereccin de 3 plano ortogonale, cada uno de lo cuale eta marcando una direccin normal y do tangenciale, con lo que e tendr en conjunto, en el citado punto material, 3 tenione normale y 6 tenione tangenciale, que e agrupan en el denominado tenor de tenione: xx = xy xz yx yy yz yz zy zz

zz

zxz

yz

yz=cte.x=cte.

zx yx xx

x

y=cte.

zy yy

Fig. 1.3. Tenor de tenione en un unto.

xy



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Consideemos una pacula fluida elemenal, en coodenadas caesianas, de amao dxdydz, en cuyo centro de gravedad, se tiene el tensor de tensiones . El balance de fuerza elementale de uerficie, en la direccin x, e: (1) obre la cara x=cte, i la tenin normal en el cdg e xx , en la cara anterior, la fuerza de uerficie en la dx direccin x es: xx + xx ( dydz ) y de sentido positivo (consideramo fluido que rodea la citada x 2 cara anterior es ms rpido que la propia cara), y en la cara posterior, la fuerza de superficie en la direccin x dx es xx + xx ( de sentido negativo ( suponemos que el fluido que rodea la citada cara posterior x 2 es ms lento que la propia cara). dy z dx dz cdg dx yFig.1.4. Partcula fluida.

xx dx xx + ( dydz ) x 2

xx

x

xx dx xx + ( dydz ) x 2 Fig. 1.5. Fuerzas x en caras x=cte,

(2) Anlogamente sobre las caras y=cte, z=cte. xy dy xy + ( dxdz ) y 2 xz xz dz xz + ( dxdy ) z 2

xy xy dy xy + ( dxdz ) y 2

xz dz xz + ( dxdy ) z 2

Fig. 1.6. Fuerzas x en caras y=cte.

Fig. 1.7. Fuerzas x en caras z=cte.

( dFS )x = xx +

xx dx xx dx xx + ( dy dz ) + x 2 x 2

dy xy dy + xy + xy xy + ( dx dz ) + y 2 dy ) = ... = z 2 z 2 y z x

Anlogamente, las componentes y y z, de las fuerzas de superficie sobre la partcula fluida son:



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( dFS )y =

yx yy yz + + ( dxdydz ) y z x

( dFS )z =

zx zy zz + + ( dxdydz ) y z x

Con todo lo anterior, la resultante de las fuerzas de superficie sobre la partcula fluida es:r r r r dFS = xx + xy + xz i + yx + yy +

con lo que la fuerza elemental de superficie, por unidad de volumen se puede expresar por:r dFS = dV x y xx xy z xz yx yy yz zx zy = zz

Por el equilibrio dinmico de la partcula fluida, los momentos de las fuerzas elementales tangenciales deben ser nulos, lo que lleva a la igual de las tensiones tangenciales cruzadas; es decir:

xy = yx xz = zx yz = zyTENSOR DE LA PRESIN TERMODINMICA: si el fluido esa en eposo, o se considea como fluido ideal (los coeficienes de anspoes son idnicamene nulos), las nicas ineacciones moleculaes, son debidas a la agiacin mica molecula,

ue iene dos caacesicas fundamenales: no hay dieccin pivilegiada de los esfuezos, y esos son exclusivamene nomales y de compesin; lo ue lleva a ue el enso de ensiones en un deeminado puno, sea un enso esfico, con ensiones exclusivamene nomales, iguales a la pesin emodinmica:

0 0 1 0 0 0 p 0 = p 0 1 0 = p 1 = 0 0 0 1 0 p

ideal

TENSOR DE TENSIONES VISCOSAS: cuando hay flujo, el fluido eta en movimiento, el tenor de tenione e uede decomoner en do: uno que efrico, correondiente a la rein termodinmica, y otro, que e denomina tenor de tenione vicoa, y que determina la diferencia entre la tenione en un determinado

unto y la corre

ondiente a la

rein termodinmica: + xx = xy xz yx p + yy yz 0 0 xx zy = 0 zx zy = p 1 + zz

en donde: e el tenor de tenione;

e la

rein termodinmica y el enso de ensiones viscosas. La esulane de las fuezas de conaco sobe oda la pacula fluida, (Ec. 10.), se suele expesa, como suma de la conibucin de la pesin emodinmica y las ensiones viscosas: dFs = fS p + dV

(11.)



14

1.5. TIPOS DE FLUJOSPaa pode acoa el esudio del movimieno de un fluido, se esablecen las peinenes esicciones, ue deeminan los siguienes ipos de flujos:

Flujo esacionaio: ( #/ = 0 # 0) , en un determinado punto las propiedades del fluido no varan con el tiempo, aunque puedan variar de un punto a otro (gradiente no nulo). Flujo uniforme: ( #/ t 0 # = 0) en un determinado instante todas las partculas tienen la misma velocidad en cualquier posicin (gradiente nulo)r Flujo transitorio o no estacionario: ( # / t 0 # 0) , las propiedades del fluido varan con el tiempo en cada punto y de un punto a otro.

-

-

r r Flujo irrotacional: ( xv = 0 = 0 ), el vector rotacional de velocidad es nulo y con ello la vorticidad es nula. r r Flujo rotacional: ( xv 0 0 ), de vorticidad no nula. r Flujo incompresible: ( = ce. v = 0 ); la densidad es constante en todos lo puntos y a lo largo del tiempo, lo que lleva a que la divergencia de la velocidad sea nula, lo que suele expresar como flujo adivergente. Flujo compresible: ( ce. ), la densidad vaia a lo lago del iempo y del espacio.

Flujo no viscoso: ( = 0 ), no hay anspoe de canidad de movimieno ene las paculas del flujo. Flujo viscoso: ( 0 ), hay ineaccin ene las paculas

ue consiuyen el fluido, manifesndose como inecambios de canidad de movimieno, ue dan luga a fenmenos de disipacin de enega, ue se denomina disipacin viscosa. Flujo ideal: (=0 =0 =0 ), no hay interaccin entre las partculas que constituyen el fluio, ni e transporte e cantia e movimiento (viscosia), ni e transporte e calor (conuctivia), ni e transporte e masa (ifusivia) Flujo laminar: en one las fuerzas viscosas preominan sobre las e inercia; y en la interaccin viscosa con otras partculas, una eterminaa partcula e fluio no cambia su trayectoria, sieno arrastraa por la accin el resto e partculas: frenaa por partculas ms lentas y aceleraa por partculas ms rpias. Flujo turbulento: en one las fuerzas e inercia preominan sobre las fuerzas viscosas; y en la interaccin viscosa con otras partculas, una eterminaa partcula es esplazaa e su trayectoria por los intercambios e cantia e movimiento e otras partculas, aems e ser arrastraa. Flujo interno: en one el fluio esta confinao por lmites; a partir e los campos e velociaes y e presiones, se obtienen las fuerzas sobre los lmites y la peria e energa el fluio a su paso entre los lmites; un caso tpico es el estuio e flujo en tuberas. Flujo externo: en one el fluio roea a un objeto; a partir e los campo e velociaes y presiones, se obtienen se obtienen las fuerzas el fluio sobre el objeto; un caso tpico es el estuio e perfiles aeroinmicos.

-

-

-

-

-

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2. Anlisis iferencial en Mecnica e Fluios

15

2. ECUACIONES DE CONSTITUCIN2.1. Comportamiento mecnico: tensor e velocia e eformacin. 2.2. Fluios Stokesianos: tensor e tensiones viscosas. 2.3. Fluios Newtonianos. 2.3.1. Ec. e NAVIER-POISSON. 2.3.3. Tensor e tensiones e un fluio newtoniano. 2.4. Comportamiento trmico. 2.4.1. Ecuaciones e Estao. 2.4.2. Ecuaciones e transmisin e calor.

2.1. COMPORTAMIENTO MECNICO: Tensor e velocia e eformacin.En funcin e las hiptesis restrictivas, con las que se analiza el comportamiento e los fluios reales, se tienen las Ecuaciones e Constitucin, que son inherentes a caa fluio analizao. El comportamiento especifico e un eterminao fluio, viene eterminao por su comportamiento mecnico y su comportamiento trmico. El comportamiento mecnico el fluio, viene eterminao por la relacin entre las tensiones a las que esta sometio y las velociaes e eformacin que se proucen por la accin e las tensiones mecnicas. Este es el comportamiento inherente e los fluios, es ecir, las biles fuerzas intermoleculares, hacen que cualquier esfuerzo tangencial, eforme continuamente el fluio, originano el movimiento e las partculas o flujo. La velocia e eformacin viene eterminaa por la magnitu el esfuerzo tangencial y e la capacia e transporte e cantia e movimiento entre partculas, que es la propiea mas importante, inherente al fluio, y que se enomina viscosia. En el mtoo Euleriano, en caa punto el flujo, la velocia e eformacin viene eterminaa por el campo e velociaes. Caa punto el flujo, tiene asociao un valor el tensor e velociaes e eformacin, que marca la eformacin unitaria e una partcula fluia a su paso por el citao punto. La eformacin e una eterminaa partcula en su movimiento por el campo fluio, viene eterminaa por las posibles variaciones espaciales e la velocia e caa uno e los puntos que la integran, es ecir el graiente e velocia, que al ser una magnitu tensorial (9 variaciones posibles), marca la misma conicin tensorial a la velocia e eformacin. Se tienen os tipos e eformacin: las ebias a alargamientos o contracciones, provocaas por los graientes e las componentes e la velocia en sus respectivas irecciones, y que se eterminan por la velocia e la variacin unitaria (por unia e longitu); y las ebias a giros, provocaos por los graientes e las componentes e la velocia en irecciones perpeniculares a la propia componentes, y que se eterminan por la velocia e variacin angular.r r Consieremos, un caso muy simple, en one v = v(y) j , es ecir, la nica componente e la velocia, es en la ireccin y, y aems esa componente slo varia en la propia ireccin y. Si consieramos una partcula elemental xdydz, al cabo de un tiempo elemental, se ha deformado (en este caso slo en la direccin y), teniendo que su velocidad de deformacin unitaria (dilatacin o contraccin por unidad de longitud y de tiempo) viene dada por:

v v + dy dt v dt / dy dl / dy y v & yy = yy = = dt dt y

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2. Anlisis difrncial n Mcnica d Fluidos

16

qu adms rprsnta la vlocidad dl aumnto (o disminucin) unitario d volumn :dV(t + dt) dl yy dx dz dl / dy dV(t) dx dy dz & = = yy = yy dt dt dt

dy z

dlyy

dz

dx y

x

Fig.1.8. Dilatacin cbica: dbida a la dformacin linal.

Si s tin un campo d vlocidads gnrico: u=u(x,y,z), v=v(x,y,z), w=w(x,y,z), s obtinn las corrspondint vlocidads d dilatacions linals unitarias, dadas por:

& xx =

u x

& yy =

v y

& zz =

w z

(12.)

Con lo qu, la vlocidad d dilatacin cbica, vin dtrminada por, la suma d las dilatacions posibls n cada una d las trs dirccions; qu s la divrgncia d la vlocidad: 1 dV u v w r = + + = v V dt x y z

(13.)

As un fluido de densidad constante, por conservacin de masa, no hay variacin del volumen, y por lo tanto su flujo es adivergente. Cada una de las tres dilataciones cbicas, son la diagonal principal del tensor gradiente de velocidad; es decir, el citado tensor esta marcando la dilatacin cbica que experimenta una partcula, cuando pasa por el citado punto. Hasta ahora hemos considerado deformaciones puramente lineales de dilatacin o de contraccin, debidas a las variaciones de cada una de componentes del vector velocidad, en sus respectivas direcciones:

u v w , , . x y z

Consideremos el efecto de deformacin, que tienen las variaciones cruzadas de las componentes de la velocidad, es decir :u u v v w w , , , , , . Para lo cual, analicemos el caso ms simple, en donde el vector z x z x y



17

r r r velocidad sea: v = u(y) i + v(x) j ; obtenindose, que la deformacin angular por unidad de tiempo, viene dada & por: xy = d 1 u v = + , que representa la velodad de deformacin angular, en un plano z = cte. dt 2 y x

y

u dydt ydu u + dy y v+ v dx x u+ u dy y

v

t+dt

v dxdt x

tv+

v u udt

v dx x

vdt

u

xu v , y x

Fig.1.9. Velocidad de deformacin angular, debida a gradientes velocidad cruzados:

Anlogamente, para los gradientes cruzados, sin variacin de x, se tiene que la velocidad de1 v w & deformacin angular en un plano x = cte, es igual a: yz = + ; y para los gdientes cruzados, sin 2 z y

variacin de y, se tiene que la velocidad de deformacin angular en un plano y = cte, es igual a& xz = 1 u w + 2 z x

Con todo, se tiene que el tensor gradiente de velocidad, en un determinado punto, provoca que las partculas que pasan por el citado punto, se deformen con una determinada velocidad, tanto longitudinal como angularmente. El tensor, que marca las velocidades de deformaciones, es el tensor de velocidades de

deformacin, y viene determinado por el tensor gradiente de velocidad.En coordenadas cartesianas, el tensor de velocidad de deformacin es: u x 1 u v & = + 2 y x 1 u + w 2 z x 1

(14.)



18

2.2. FLUIDOS STOKESIANOS: TENSOR DE TENSIONES VISCOSAS.STOKES, estableci que la diferencia de tensiones, entre un fluido viscoso y un fluido ideal, venia determinada por una funcin tensorial del tensor de velocidad de deformacin, que se denomina funcin de tensiones viscosas (f); con ello el tensor de tensiones para un fluido Stokesiano esta integrado por dos trminos: el debido a la presin termodinmica y el debido a la viscosidad:& = p 1 + f ( )

(15.)

Como hb vito ntriormnt, l tnor d tnion n un dtrmindo punto, vin ddo por lo furzo norml y tngncil, provocdo por l intrccion ntr prtcul: xx = xy xz yx yy yz yz zy zz

(16.)

Las 3 componentes normales, se denotan por xx, yy, zz. L

6 componnt tngncil, dnotn por: xy,yx,xz, zx,yz, zy; siendo especivamene iguales: xy=yx, xz=z. Con lo ue se iene 6 ensiones disinas: 3 nomales y 3 angenciales. El enso de ensiones viscosas, es la difeencia ene el enso de ensiones y el enso esfico, coespondiene a la pesin emodinmica; se denoa po , y iene 3 componenes nomales: xx, yy, zz; y 6 componenes angenciales, ue coinciden con la del enso de ensiones. xx = xy xz yx yy yz yz zy zz

(17.)

2.3. FLUIDOS NEWTONIANOS.El conocimiento de la funcin tensorial f de la Ec. 15., permitira la determinacin del campo de tensiones viscosas a partir del campo de deformaciones, que a su vez depende del campo de velocidades. El comportamiento ms simple, es que la funcin sea lineal, en donde las tensiones viscosas sean proporcionales a las velocidades de deformacin; este es el comportamiento experimental dado por NAVIER y POISSON, para el comportamiento reolgico de un gran nmero de lquidos y de gases, que se denominan fluidos newtonianos.

2.3.1. ECUACIN DE NAVIER

POISSON.En un fluido newtoniano, cada componente del tensor de tensiones viscosas, es funcin lineal de cada componente del tensor de velocidades de deformacin, pudiendo tener genricamente 9x9=81 coeficientes de proporcionalidad; pero si el medio es istropo, los coeficientes se reducen exclusivamente a 3: uno para la direccin normal, o coeficiente de viscosidad normal , y dos para cada direccin tangencia, o coeficientes de viscosidad tangencia y . Con o que en un medio istropo e tensor de tensiones viscosas se puede expresar como: r & & = + ' + ( v ) 1 por simetopio tensor, se tiene que =, con lo que +=2; quedando como expresin del tensor de tensnes para un fluido newtoniano, la denominada ecuacin de NAVIER-POISSON:r & = 2 + ( v ) 1

(18.)



19

2.3.2. TENSOR DE TENSIONES EN UN FLUIDO NEWTONIANO.El tensor de tensiones, lo hemos considerado suma de dos tensores: uno esfrico debida a la accin de la presin termodinmica, y otro debido a los esfuerzos viscosos, que en el caso de un fluido newtoniano, viene determinado por la Ec. 18 de NAVIER-POISSON; con lo que el tensor de tensiones en este caso es:r r & & = p 1 + = p 1 + 2 + ( v ) 1 = p + ( v ) 1

(19.)

Su expresin en coordenadas cartesianas es: u v w u p + + x y + z + 2 x u v = + y x + 2 z

=

(20.) A prtir d l componnt d l digonl principl dl tnor d tnion , pud tblcr l ditincin ntr prin trmodinmic (p) y prin norml mdi ( p ): Prin trmodinmic: l propidd trmodinmic qu gnr un tdo d tnin dfinido por un tnor frico d furzo; funcin dl rcorrido libr mdio d l prtcul, d l dnidd d prtcul y d l gitcin trmic d l p

rtcul

(fluctu

cion d poicin dbido

l

tmpr

tur

). Prin norm

l mdi

: l v

lor mdio d l

tnion norm

l obr un

p

rtcul

: p= x + y + z

3 u v w u x = p + x + y + z + 2 x u v w v x = p +

2 u v w p = p + + + 3 x y z

(21.)

al trmino (+2/3) se

e denomina viscosidad bruta : =+2/3; con

o que

a ecuacin de

a presin norma r media puede ponerse como: p = p ( v )

.La igualdad entre ambas presiones (termodinmica y normal media), se verifica en los siguientes casos:- viscosidad bruta nula:=0

=0 p = p ; obtenindose por la condicin de STOKES:2 3 = 2 3 CONDICIN DE STOKES

= +

(22.)

f

uido incompresib

e: =ce.

v =0

p=p

por la condicin de adivergencia.



20

2.4. COMPORTAMIENTO TRMICO.El comportamiento trmico del fluido viene determinado por las ecuaciones de estado y por la relacin entre flujo de calor y gradiente trmico.

2.4.1. ECUACIONES DE ESTADO.Las ecuaciones de estado, son las relaciones entre las diversas variables de estado del fluido: presin, temperatura, densidad, energa interna, entalpa, entropa,...: - ecuacin trmica de estado: - ecuacin calrica de estado: - ecuacin entlpica de estado: - ecuacin entrpica de estado: f(p,T,) = 0 u = u (T, p) = u (T, ) = u (p, ) h = , p) = h (T, ) = h (p, ) s = s(T, p) = s(T, ) = s(p, )

Cada una de las funciones ue apaecen en las ecuaciones de esado aneioes, vienen deeminadas po las caacesicas innsecas de cada ipo de fluido. As paa el caso hipoico de un gas ideal, las ecuaciones de esado se simplifican noablemene: ecuacin mica: ecuacin calica: ecuacin enlpica: ecuacin enpica: p=RT dT dh = cp dT ds = cp dT/TRdp/p R = consane del gas4 = Ru/M cv = calo especifico a volumen consane cp = calo especifico a pesin consane

Si los caloes especficos son consanes, se ienen las siguienes expesiones: 0 = cv (TT0 ) h h0 = cp (TT0) T p T s s0 = c p ln R ln = c v ln + R ln T0 p0 T0 0 Si el poceso es isenpico (adiabico sin efecos disipaivos), se iene la elacin ene las vaiables, p,,T:p T 1 = = p0 0 T0

2.4.2. ECUACIONES DE TRANSMISIN DE CALOR.La elacin ente el flujo de calo y el adiente tmico, viene deteminada po el tipo de tansmisin de calo que tena lua: conduccin, conveccin o adiacin. Po simplicidad, consideando exclusivamente tansmisin de calo po conduccin, se puede toma como pimea apoximacin la ley de FOURIER de conduccin: q = T

(23.)

r en donde es el coeficiente de conductividad tmica del fluido (W/mK), q el vecto flujo de calo po T T T unidad de ea (W/m2), y T el gradiente de temperatura (en coordenadas cartesianas: i+ j+ k) z x y

Ru es la constante universal de los gases, cuyo valor es en el S.I. de 8310 J/kgK _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04

4


21

3. ECUACIONES DE CONSERVACIN.3.1. Ecuacin diferencial de conservacin de masa: ecuacin de continuidad. 3.2. Ecuacin diferencial de conservacin de cantidad de movimiento: ecuacin de movimiento de CAUCHY. 3.2.1. Fluido no viscoso: ecuacin de EULER. 3.2.2. Flujo no viscoso en lnea de corriente: ecuacin de BERNOULLI. 3.2.3. Fluido newtoniano: ecuaciones de NAVIER-STOKES. 3.2.4. La funcin de corriente y la funcin potencial de velocidad. 3.3. Ecuacin diferencial de conservacin de la energa: ecuacin de la energa. 3.3.1. Ecuacin de energa interna. 3.3.2. Ecuacin de entalpa. 3.3.3. Ecuacin de entropa. 3.4. Condiciones de contorno.

3.1. ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE MASA: ECUACIN DE

CONTINUIDAD.Los principios generales, que son vlidos para cualquier tipo de entidad material, son una expresin matemtica de las leyes de conservacin. En el caso del anlisis diferencial en Mecnica de Fluidos se consideran las siguientes leyes de conservacin: conservacin de masa, conservacin de cantidad de movimiento y conservacin de energa. Consideraremos como entidad, la de una partcula fluida, que se asla del resto del fluido, y se le aplican las leyes de conservacin. Analizaremos en primer lugar la conservacin de masa: utilizando el mtodo euleriano, consideraremos que la partcula es indeformable y que su volumen elemental ( dV = dx dy dz , en coordenadas cartesianas) es siempre el mismo y esta siempre en la misma posicin; se establece el siguiente balance de masa entre dos instantes de tiempo t y t+dt:

masa ( t ) = dV masa ( t + dt ) = + dt dV t dm =

dV dt t

La vaiacin de masa en el volumen consideado duante el intevalo de tiempo dt, es debida al flujo msico po las caas del elemento de volumen en el tiempo dt

& & & m (u ) (v ) (w ) & m m m dx dm = & + m & dV dt x caras dy dz dx dy dx dz con las dos expresiones de la variacin de masa de la partcula fluida considerada, se tiene:

+ (v ) = 0 t

(24.)

Ecuacin que se denomina de continuidad, poque en la ecuacin de consevacin de masa slo se equiee la deivabilidad de las funciones que dan la densidad y las componentes de la velocidad, es deci se equiee su continuidad. Las funciones son continuas, poque estamos consideando como modelo del fluido, el fomado po una sucesin continua de patculas, es deci es un medio continuo._________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04


22

w v u dx

dy

( v dx dz )dt

dz

( v dx dz ) dy dt ( v dx dz ) + y

(masa entra masa sale )caras dxdz = (v dx dz )dt (v dx dz ) + (v dx dz ) dy dt = dy dz dt = (v ) dV dt y

y

t

Fig.1.10. Balance de masa en las caras dx dz, por variacin del flujo msico de una cara a la otra

La ecuacin de continuidad tambin se puede expresar en funcin de la derivada total de la densidad, al r descomponer la divergencia de v en dos tminos, y ea

upa la vaiacin local de la densidad con su vaiacin convectiva, obteniendo: d + ( v ) = + ( ( v ) + v ) = + v + (

(25.)

r r r r En coordenadas cartesianas, y siendo el vector velocidad: v = u i + v j + wk , la ecuacin de continuidad es: (u ) (v) (w ) + + + =0 t x y z (26.) denadas cilndicas, y siendo el vecto velocidad: v = v u + v u + v z , la ecuacin de coninuidad es: 1 ( v ) 1 ( v ) (v z ) + + + =0 z

Es ineesane ve el efeco

ue iene la divegencia de la velocidad sobe el flujo; de la Ec. 25.:1 d v = dt

(28.)

Si la diveencia es positiva, la densidad disminuye y se tiene una expansin; si la diveencia es neativa la densidad aumenta y se tiene una compesin; y si la dive

encia es nula la densidad es constante.



23

En flujo estacionaio compesible queda la ecuacin difeencial:catesianas : ( u) ( v) ( w) + + =0 x y z 1 ( v ) 1 ( v ) ( v z ): z

( v ) = 0

(29.)

En flujo incompresible queda la ecuacin diferencial:cartesianas : u v w + + =0 x y z 1 (r v r ) 1 (r v ) v z + + =0 cilndicas :

v = 0

(30.)

La ecuacin de continuidad para flujo incompresible es lineal y por tanto con solucin. Por ello es interesante conocer en que condiciones es aplicable; estrictamente es vlida cuando la densidad del fluido es constante; no obstante en la mayor parte de las aplicaciones de lquidos, la densidad prcticamente no vara, as como en gases a baja velocidad. Un criterio, para poder establecer cuando es aplicable la incompresibilidad del fluido, viene marcada por la relacin entre la velocidad del fluido y la velocidad de pequeas perturbaciones en el seno del fluido (que se denomina velocidad snica); la relacin es el nmero de Mach, y el criterio es considerar flujo incompresible a bajos nmeros de Mach, tomando normalmente el lmite en 0,3; es decir si Ma 0,3 se puede considerar la hiptesis de incompresibilidad.

INCOMPRESIBILIDAD

VELOCIDAD SNICA:

v (v) y y p a2 ;

v

v

v = = Ma 2


24

3.2. ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: ECUACIN DE MOVIMIENTO DE CAUCHY.Considerando la primera ley del movimiento de NEWTON aplicadas a una partcula fluida en el seno de un campo fluido o flujo, se pueden establecer el principio de conservacin de cantidad de movimiento para una partcula fluida: en una partcula en equilibrio su cantidad de movimiento se conserva; ello permite establecer como nula la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula. Una partcula fluida es una porcin de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias; el tamao esta en relacin a las dimensiones del equipo de medida y del tiempo de medicin. En todo caso los valores de las magnitudes son medias temporales y espaciales, referidas a un intervalo de tiempo elemental y al conjunto de molculas que integran la partcula fluida. Para su anlisis, la partcula fluida se asla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partculafluido, y en este estado de equilibrio de la partcula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos: fuerzas de volumen, fuerzas de superficie y fuerzas de inercia. FUERZA DE VOLUMEN: en funcin de que la masa de fluido (contenida en el volumen de la partcula) esta en una determinada posicin de un campo de fuerzas; lo ms usual es que el campo de fuerzas sea central, y que sea el campo gravitatorio. La evaluacin de estas fuerzas es simple si derivan de un campo central, del que se conoce su vector aceleracin, y que genricamente se denomina; en el caso de campo r r gravitatorio, ste vector tiene nicamente componente vertical: g = g k . A estas fuerzas se les denomina fuerzas msicas o fuerzas de volumen. La expresin diferencial de las fuerzas de volumen de un campo central sobre una partcula fluida de volumen elemental dV y de masa dm es:r r dFv = g dm

dm = dV

dFv =

dV

(31.)

FUERZAS DE SUPERFICIE: las fuezas de contacto, que sobe las supeficies de la patcula, ejece el fluido que la odea, se denominan fuezas de supeficie y son debidas a los esfuezos en las supeficies de contacto patcula fluido; los esfuezos son debidos a la pesin temodinmica y a los esfuezos viscosos que apaecen en el movimiento del fluido con

adiente de velocidad. p + xx yx p + yy yz zx p 0 0 xx yx yy yz zx zy = p 1 + zz

enso de ensiones: =

xy xz

zy = 0 p + zz 0

p 0 + xy 0 0 xz

en donde p es la pesin temodinmica y ij las ensiones viscosas La esulane de las fuezas de conaco sobe oda la pacula fluida viene deeminada po el gadiene de pesin y po el gadiene del enso de ensiones viscosas:

dFs = dV p +

(32.)

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25

FUERZAS DE INERCIA: las fuerzas de inercia que el fluido ejerce sobre su entorno, vienen dada por su masa y por su aceleracin; y la fuerza de inercia de reaccin correspondiente (3 ley de Newton del movimiento) del entorno del flujo sobre la partcula fluida ser:r r dv dFi = dV dt

(33.)

Al esta la patcula en equilibio, la esultante de las fuezas que actan sobe ella es nula, con lo que combinando las ecuaciones anteioes se tiene:

dFvolumen = dV dFvolumen + dFsup eficie + dFinecia = 0 = r dFsup erficie = p + dV r dv dFinercia = dV dt r dV dV dv = dV + t dt r r dF =

+ p + dv = 0 dV dt

(34.)

Con lo que para una partcula fluida, la expresin de la 1 ley de Newton del movimiento o ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento, y que en Mecnica de Fluidos se denomina ecuacin de movimiento de CAUCHY, es:r = r dv p + = d

(35.)

En coodenadas caesianas los minos de la ecuacin de movimieno de CAUCHY son: gadiene de pesin: p =p r p r p r i+ j+ k x y z

divergencia del tensor de tensiones viscosas: r r r = xx + yx + zx i + xy + yy + zy cin local ( ) + aceleracin convectiva ( v ( v ) ) dt t

vector aceleracin (

r r r r r v v v u u u u r v v v v r w w w w r dv v = +u +v +w = w z j + t + u x + v y + w z k x y z dt t _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04


26

La ecuacin vectorial de movimiento de CAUCHY, da lugar a tres ecuaciones diferenciales, una por cada componente; teniendo en coordenadas cartesianas las siguientes ecuaciones de movimiento de CAUCHY:

p xx yx zx + + + y z x x p xy yy zy + + + z y y x p

+ x = u + u u + v u + w u t z x y + y = v +

(36.)

3.2.1. FLUIDO NO VISCOSO: ECUACIN DE EULER.

Para poder utilizar la ecuacin de movimiento de CAUCHY, es necesario conocer los trminos de las tensiones viscosas; que estn relacionadas con la velocidad de deformacin. La relacin entre tensiones y velocidades de deformacin depende de la propia constitucin del fluido correspondiente. El caso ms simple es cuando el fluido es no viscoso, y son idnticamente nulas todas las tensiones viscosas, con lo que la ecuacin de movimiento de CAUCHY se simplifica, quedando la ecuacin de EULER del movimiento de un fluido no viscoso:r r dv p +

= dt

(37.)

En la ecuacin de EULER, es inteesante intoduci el tmino de voticidad local del fluido, que foma pate del vecto aceleacin: dv v vecto aceleacin: = + v ( v ) dt t r v2 r r r r aceleracin convectiva: ( v ) = + x v 2 r r r vorticidad: = 2 = xv r 1 w v r 1 u w angular. = j + k 2 y z 2 z x 2 x y

Con todo lo anterior, la ecuacin de EULER queda como: r r r v 1 r r 2 p r + v + + x v =0 t 2

( )

(

)

(38.)

La dificultad de tabaja con flujos con voticidad, es inheente a la dificultad de la ecuacin anteio; no obstante con deteminadas condiciones el tmino que incluye la voticidad es nulo, an no siendo nula la veticidad.



27

Paa pode establece las condiciones en donde el tmino de voticidad es nulo, multipliquemos escalamente la ecuacin anteio po un vecto desplazamiento d , abitaio; con lo queda la ecuacin:

v 1 r 2 p r r t + 2 v + + x v dr = 0

( )

(

)

(39.)

En donde el trmino que incluye la vorticidad, es nulo cuando:r r r ( x v ) dr = 0

(40.)

Lo que tiene lugar bajo una de las siguientes condiciones: r r v = 0 : no hay flujo, estamos en fluidoesttica y la ecuacin de EULER queda: p =

v 1 2 = 0 : flujo irrotacional, la ecuacin de Euler queda: + v + p

= 0 t 2 es pependi al vecto x v : se denomina flujo de BELTRAMI dr

( )

-

r r d r es paralelo al vector velocidad v : la ecuacin de Euler queda como: r r r v r 1 r 2 r p r dr + v dr + dr

d = 0 2 t

( )

(41.)

Esta ltima condicin es la que conduce a esultados ms tiles, y se tiene en los puntos del flujo que cumplen la condicin de que su vecto desplazamiento es paalelo al vecto velocidad, es deci puntos de las lneas de coiente, en donde v = v u LC y d = ds u LC ; en donde ds es el mdulo del vecto desplazamiento a lo lao de una lnea de coiente y v el mdulo del vecto velocidad. Consideando adems, exclusivamente campo

avitatoio (

=

), los tminos de la ecuacin anteio son: v ( v u LC ) v d = ( ds u LC ) = ds t t t

1 1 dv 2 r 1 r2 r 1 r r v dr = ( v 2 ) ( ds u LC ) = u LC ( ds u LC ) 2 ds 2 dp r u p r ds LC dp r dr = ( ds u LC ) = d = dx i = dz

( )

(

)(

)

Obteniendo la Ec. de EULER paa puntos de una lnea de coiente:

V 1 dp ds + dv 2 + + dz = 0 t 2

(42.)



28

3.2.2. FLUJO NO VISCOSO EN PUNTOS DE LNEA DE CORRIENTE: EC. DE BERNOULLI.

En la ecuacin de Eule en puntos de una lnea de coiente, la nica condicin estictiva es considea flujo no viscoso. La ecuacin es de an utilidad pues es posible inteala ente dos puntos de una misma lnea de coiente, pues dos tminos son difeenciales exactas; obtenindose la ecuacin de BERNOULLI paa flujo no estacionaio y no viscoso:2 v 2 v1 v ds + 2 + t 2

foma:

2

1

2

1

dp + (z 2 z1 ) = 0

(43.)

La ecuacin de BERNOULLI, paa flujo estacionaio e incompesible (adems de no viscoso), toma la2 p2 p1 v 2 v1 + 2 +

(z 2 z1 ) = 0 2

(44.)

Es deci, a lo la

o de una lnea de coiente, pemanece constante la suma de los tes tminos:p v2 + + z = cte. 2

(45.)

La constante de la ecuacin de Benoulli puede vaia de una lnea de coiente a ota, a no se que adems se tena la condicin de iotacionalidad, con la que la ecuacin se cumple independientemente de la dieccin del vecto desplazamiento (d ), y la constante de la ecuacin de Benoulli es la misma en todo el flujo.

En la ecuacin anteio, todos los sumandos, son dimensionalmente tminos de enea especfica (ene

a po unidad de masa), epesentando cada tmino: el tabajo de flujo, la ene

a cintica y la ene

a potencial, en un deteminado punto de la lnea de coiente.

La Ec. de BERNOULLI, tambin se suele expesa en tminos de pesin:1 p + v 2 +

z = cte. 2

(46.)

epesentando cada tmino:

p 1 2 v 2 z

= pesin absoluta o temodinmica = pesin dinmica = pesin hidosttica

1 p + v 2 = pesin de estancamiento 2 p + z = pesin piezomtica



29

3.2.3. FLUIDO NEWTONIANO: ECUACIONES DE NAVIERSTOKES.

Paa un fluido newtoniano las tensiones viscosas son popocionales a las velocidades de defomacin, & y viene deteminadas po la ecuacin de NAVIERPOISSON (Ec.18.): = 2 + ( v ) 1 . Con lo que en la ecuacin de movimiento de CAUCHY, la diencia del tensor de tensiones viscosas, para el caso de un fluido newtoniano, se puede obtener a partir de la expresin de su tensor de tensiones, quedando:

= ( + ) v + 2 v

[ ( )]

(47.)

Con lo que la ecuacin de movimiento para un fluido newtoniano, que se denomina ecuacin de NAVIER-STOKES queda como:

p + ( + ) v + 2 v =

[ ( )]

dv dt

(48.)

Con la condicin de STOKES: =

2/3, es decir (+)=/3, queda como:

p +

dv v + 2 v = 3 dt

[ ( )]

(49.)

En donde 2 v es el vector laplaciana de velocidad, y que puede descomponerse en funcin de la r r r divergencia y de la vorticidad: 2 v = ( v ) x ; con lo que la uacin vectorial de NAVIER-STOKES

para el movimiento para un fluido newtoniano se puede rescribir como:r r r 4 dv r

p + ( v ) x + = 3 dt

(50.)

La ecuacin de NAVIER

STOKES, con la esticcin de fluido no viscoso: =0, lleva evidentemente a la dv ecuacin de EULER: p +

= dt Las esticciones simultaneas de flujo incompesible (adiveente: v = 0) y de flujo irrotacional r (vorticidad nula: xv = 0), tambin llevan a la ecuacin de EULER, aunque el fluido sea viscoso. r r En la ecuacin de NAVIER-STOKES, con la restriccin de flujo incompresible (adivergente: v = 0) , el segundo trmino es nulo por obligar la incompresibilidad, a que el flujo sea adivergente (divergencia del vector velocidad nula); con lo que se tiene la ecuacin de NAVIER-STOKES para el flujo de un fluido newtoniano incompresible: r r dv r

p + 2 v + = dt

(51.)


30

La ecuacin vectoial anteio, puede descomponese en sus tes componentes catesianas, teniendo las si

uientes ecuaciones escalaes:

2u 2u 2u p +

= u + u u + v u + w u + + + x t x 2 y 2 z + y t x 2 y 2 z 2 y x y z 2w 2w 2w p + = w + u w +

(52.)

Estas son las que normalmente se denominan ecuaciones de NavierStokes, y fueron obtenidas de forma independiente por Louis M. NAVIER (17851836) y por George G. STOKES (18191903). Son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de 2 orden no lineales. Las tres ecuaciones de Navier

Stokes, incluyen 4 incgnitas: la presin (p) y las tres componentes de la velocidad (u,v,w). La ecuacin que completa el sistema homogneo de ecuaciones diferenciales, es la ecuacin de continuidad (du/dx+dv/dy+dw/dz=0). Esto en el caso de flujo incompresible, en donde la densidad es constante; en el caso de flujo compresible, aparecen tres nuevas incgnitas, la densidad, la temperatura y la energa interna, necesitando para completar el sistema homogneo, 3 nuevas ecuaciones, que como veremos posteriormente son la ecuacin de energa, la ecuacin trmica de estado y la ecuacin calrica de estado.

3.2.4. LA FUNCIN DE CORRIENTE Y LA FUNCIN POTENCIAL.

LA FUNCIN DE CORRIENTE Si consideremos un flujo estacionario incompresible bidimensional, la ecuacin de continuidad se reduce a: u v + =0 x y Con lo que se puede introducir una funcin , definida po:u= v= x i j v=

x 2 2 r r = xv = ... = 2 + 2 k = 2

Con lo que la expresin de la vorticidad es:

De la ecuacin de movimiento se puede establecer:

( 2 ) ( 2 ) 2 2 = ( ) x x

(53.)

ue es una ecuacin difeencial de 4 oden, con necesidad de solucin po anlisis numico._________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04


31

Si se aade adems la esticcin de flujo iotacional, la ecuacin anteio se educe a la ecuacin de LAPLACE en dos dimensiones: 2 x2

+

2 2

= 2 = 0

Se puede obtene ue en una lnea de coiente no ha cambio en la funcin , po lo ue a la citada funcin se le denomina funcin de coiente: ecuacin lnea de coiente:dx d = u v v dx + u dy = 0 dx + d = 0 = d = cte. x

intoduciendo la funcin de coiente:

LA FUNCIN POTENCIAL Consideemos como nica esticcin ue el flujo es iotacional, con ello se tiene ue la voticidad es nula se obtiene ue el vecto velocidad es el gadiente de una funcin escala5, a la

ue se denomina funcin potencial de velocidad: = xv = 0 v =

Conocida la uncin potencial de velocidad =(x,y,z,t), se obtienen cilmente las componentes del vector velocidad: u= v= w= z x y El lugar geomtrico de puntos del lu igual uncin potencial, se denomina supericie equipotencial. En el caso particular de lujo bidimensional, el lugar geomtrico esta contenido en el plano en el que se luye el luido, son las lneas equipotenciales, y al ser bidimensional existe tambin la uncin de corriente, veriicndose que las lneas de corriente son ortogonales a las lneas equipotenciales. Si adems de irrotacional, se considera lujo incompresible, se obtiene que la uncin potencial cumple la ecuacin de LAPLACE en tres dimensiones:

2 = 0 r r xv = 0 v = () = 0 2 2 2 r v = 0 + + =0 x 2 y 2 z

Por clculo vectorial, un vector con rotacional nulo es el gradiente de una funcin escalar. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04

5


32

3.3 ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE ENERGA: ECUACIN DE ENERGA.

El principio de conservacin de energa (PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINMICA) aplicado a una partcula fluida, establece que la energa total de la partcula fluida es constante, siempre que no existan aportes energticos por transferencia de calor o de trabajo. Siguiendo el criterio termodinmico de signos, se consideran como positivos el trabajo desarrollado por la partcula y el calor aportado a la partcula, y como negativos el trabajo consumido por la partcula y el calor cedido por la partcula; con todo la ecuacin de conservacin de energa es: dE d(u + v 2 / 2 + gz) = dV dt dt Q & E Q + W = 0 = Q = dV [ ( T)] dt W & r dV v + v p dt

d(u + v 2 / 2 + z) = + v p = ( T) + ( v ) d

(54.)

En donde: la enega oal de la pacula viene dada po la suma de la enega inena, la enega cinica y la enega poencial: E = U + Ec + Ep = mu + mv 2 / 2 + mgz

la ansfeencia de calo (po unidad de iempo) ene pacula y su enono po conduccin viene deeminada po el gadiene de empeaua ( T ) y por la conductividad trmica () el trabajo (por unidad de tiempo) intercambiado entre partcula y su entorno tiene dos trminos, el debido a las uerzas de presin (trabajo de lujo) y el debido a los esuerzos viscosos. El trabajo debido a los esuerzos viscosos, se puede expresar como suma de dos trminos, introduciendo el concepto de uncin de disipacin viscosa de RAYLEIG := r r & Wviscosidad = ( v ) = v ( ) +

(55.)

= r = r = ( v ) v ( )

(56.)

En coodenadas caesianas paa un fluido neoniano, la funcin de disipacin viscosa es:2 2 2 2 2 2 v v u w v u w u w + = 2 + 2 +

En la ecuacin de disipacin viscosa todos los trminos son cuadrticos, por lo que su valor siempre es positivo, es decir en flujo viscoso parte de su energa disponible se disipa por las irreversibilidades de los fenmenos de transporte de cantidad de movimiento entre partculas; lo que esta de acuerdo con el segundo principio de Termodinmica de que los procesos reales son irreversibles con degradacin de energa y su consiguiente aumento de entropa del universo._________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04


33

3.3.1. ECUACIN DE ENERGA INTERNA.

Introduciendo el trmino de funcin de disipacin viscosa en la ecuacin de energa (29), y utilizando la ecuacin de NavierStokes para un fluido newtoniano (23) multiplicada escalarmente por el vector velocidad, r para que desaparezca el trmino v ( ) , se obiene una expesin de la ecuacin de enega en donde no apaecen las enegas cinica ni poencia, solo la enega inena:d = p( v ) + 2 T + dt

(57.)

La ecuacin anteio pemite obtene la enea intena6 en funcin del flujo de calo po conduccin, del tabajo de expansin o compesin y de la disipacin po viscosidad. Esta ecuacin de enea, es valida paa un fluido newtoniano en condiciones muy eneales de flujo tansitoio, compesible, viscoso y conducto de calo; solo se despecian la tansfeencia de calo po adiacin y po fuentes intenas.

En la ecuacin de enea anteio, la deivada total de la enea intena se puede expesa como suma de du u = + v u . dos trminos: el de variacin local y el de vaacin convectiva: dt t r r u u u El termino convectivo v u = u , representa el transporte de calor por eccin. +w +v z y x

Como primera simplificacin restrictiva para el manejo de la ecuacin de energa, se suele considerar que la energa interna es proporcional a la temperatura, a travs del calor especfico a volumen constante: cv = T v

considerando adems la constancia de los siguientes parmetros del fluido: calor especifico a volumen constante, viscosidad dinmica, coeficiente de conductividad trmica y densidad: cv, ,, , se tiene la foma ms simple de la ecuacin de la ene

a:

cv

dT + p( v ) = 2 T + dt

(58.)

En el caso particular de lujos muy lentos o en reposo, se pueden despreciar los trminos disipativos y convectivos, con lo que se tiene la siguiente expresin que permite obtener el campo de temperaturas; que es la ecuacin de conduccin de calor para slidos y luidos en reposo:T = 2T t

cv

(59.)

La enea intena esta asociada a la aitacin tmica y a la composicin qumica; en el caso de un as ideal no hay inteelaciones ente los tomos, y la enea intena solo depende de la tempeatua temodinmica. _________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 04


34

3.3.2. ECUACIN DE ENTALPA.

La entalpa es la suma de la enea intena y el tabajo de flujo: h = u + p / ; con lo que la vaiacin tempoal de la entalpa es: dh du 1 dp p d = + dt dt dt 2 dt el tmino de vaiacin tempoal de la densidad, se puede expesa en funcin de la dive

encia de la velocidad , a pati de la ecuacin de continuidad:1 d v = dt con lo que se tiene: dh du 1 dp p = + + ( v ) dt dt dt

y finalmente con la ecuacin de enea intena (48), se llea a la ecuacin de entalpa:dh dp = + 2T + dt dt

(60.)

3.3.3. ECUACIN DE ENTROPA.

El Seundo Pincipio de Temodinmica se puede establece como: ds 1 du p = + ( v ) dt T dt T

(61.)

Con lo que utilizando la ecuacin de enea intena (48), se llea a la ecuacin de la entopa:ds = 2T + dt

T

(62.)

El temino de disipacin de enea es siempe positivo, con lo que enea siempe aumento de entopa: es lo inheente al Se

undo Pincipio de Temodinmica: las ievesibilidades hacen aumenta la entopa; el tmino de tansmisin de calo po conduccin, aumenta la entopa si el flujo de calo es positivo (es deci se calienta el flujo) y disminuye la entopa si en flujo de calo es neativo ( es deci se enfa el flujo)



35

3.4. CONDICIONES DE CONTORNO.A pati de las ecuaciones de consevacin paa una patcula fluida se han obtenido las ecuaciones: (1) (2)(3)(4) (5) ecuacin de continuidad: + (v ) = 0 t dv ecuacin de movimiento: p + ( + ) ( ( v )( v ) = ( T) + ecuacin de energa: dt

Las ecuaciones de continuidad y de energa son ecuaciones dierenciales escalares y la ecuacin de movimiento es vectorial, por lo que entre todas aportan 5 ecuaciones dierenciales escalares. En cuanto a las incgnitas se tienen: la densidad (), las componentes del vecto velocidad (u,v,w), la pesin (p), la tempeatua (T) y la enea intena (), es deci se tienen 7 incnitas, po lo que paa pode tene un sistema homoneo de ecuaciones es necesaio dispone de 2 ecuaciones adicionales; estas ecuaciones son las ecuaciones de estado de constitucin del popio fluido consideado: (6) (7) ecuacin tmica de estado: ecuacin calica de estado: = (p,T) = (p,T)

Con todo lo expuesto anteiomente, se dispone de un sistema homoneo de 7 ecuaciones difeenciales con 7 incnitas, cuya esolucin es posible, con las condiciones de contono apopiadas paa cada caso, y nomalmente con tcnicas numicas, siendo posible solo paa casos muy concetos la solucin analtica.

Con la esticcin de flujo incompesible y popiedades constantes, se tiene solo 5 incnitas: la pesin, las tes componentes de la velocidad y la tempeatua; siendo suficientes las ecuaciones de continuidad, movimiento (3) y enea: (1) (2)(3)(4) (5) continuidad: movimiento: ene

a: v = 0 r r dv r

p + 2 v = dt dT cv = 2T + dt

adems la ecuacin de energa esta desacoplada, es decir en las cuatro ecuaciones aportadas por la continuidad y por la cantidad de movimiento, slo aparecen 4 incgnitas: presin y componentes de la velocidad, por lo que es posible su resolucin; si se requiere el campo de temperaturas, se obtiene a partir de la ecuacin de energa, previo conocimiento del campo de velocidades.

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2. Anlisis dierencial en Mecnica de luidos

36

La solucin de los sistemas de ecuaciones dierenciales anteriores, estn condicionadas por las condiciones de contorno apropiadas, que dependen de cada caso, y vienen determinadas por los valores de las propiedades en el instante inicial, por la geometra de las paredes y por las condiciones en las entradas y en las salidas. En las paredes impuestas por la geometra en la que esta coninado el lujo, se tiene la condicin de no deslizamiento ni de cambio de temperatura, es decir: en las partculas que tocan una paed se ponen a la velocidad de la paed y a su tempeatua: velocidad del fluido en la paed = velocidad de la paed; y tempeatua del fluido en la paed = tempeatua de la paed. Un caso muy paticula de condicin de contono impuesta po una paed, es el caso de los flujos que se considean no viscosos, en donde no se cumple la condicin de no deslizamiento; siendo la nica condicin de contono establecida po la paed, que el flujo no la ataviese, es deci que sean iuales las velocidades nomales de la paed y del fluido, no pudiendo deci nada sobe la velocidad tanencial del flujo ceca de la paed. En las entadas y salidas se deben conoce las distibuciones de velocidad, tempeatua y pesin. Las condiciones de contono ms complejas se tienen cuando existe supeficie libe, en la intefase lquidolquido o lquidoas; en donde se cumple la condicin cinemtica de contono, de iualdad de velocidades pependiculaes a la supeficie de sepaacin (no debe habe huecos ente el lquido y el as); as como el equilibio de tensiones en la supeficie libe (excepto po los efectos de tensin supeficial), es deci i

ualdad de tensin nomal o pesin e i

ualdad de tensin tan

encial. Adems debe cumplise la condicin de i

ualdad de tempeatuas en todos los puntos de la supeficie libe. Po la distinta viscosidad de cada fluido, son distintos los adientes de velocidad de cada fluido en la supeficie libe, aunque los esfuezos tan

enciales deben se i

uales, con lo que el pefil de velocidades (que incluye la popia supeficie libe) si que debe se una funcin continua, peo no es deivable en los puntos de la supeficie libe: u y L u y G L L = = G G L G

Nomalmene el aumeno de pesin debido al efeco de la ensin supeficial es despeciable, excepo 1 1 cuando los radios de curvatura son muy pequeos: p = R + R as en el caso de una gota de G L lquido en el seno de un gas o de otro lquido, como los radios son pequeos y adems iguales, se tiene que la 2 obrprin qu tin lug

r ntr punto p

r

do por l

uprfici libr : p = R gota



37

4. PROBLEMAS RESUELTOS.4.1. Mtodos de anlisis: Euleriano y Lagrangiano 4.2. Aplicacin de la ecuacin de continuidad: criterios de incompresibilidad. 4.3. Aplicacin de las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli: descarga de depsitos. 4.4. Aplicacin de la ecuacin de Bernouilli: flujo no viscoso entre discos horizontales. 4.5. Aplicacin de la ecuacin de Bernouilli no estacionario: oscilaciones en un tubo en U. 4.6. Aplicacin de la ecuacin de Bernouilli con aceleracin de arrastre: bomba rotativa. 4.7. Aplicacin de las ecuaciones de NavierStokes: flujo de CouettePoiseuille. 4.8. Aplicacin de la ecuacin de NavierStokes: flujo viscoso entre discos horizontales. 4.9. Aplicacin de la ecuacin de Energa: distribucin de temperaturas en flujo de Poiseuille.



38

4.1. Mtodos de anlisis: Euleriano y Lagrangiano.Para determinar la aceleracin de una partcula, se puede utilizar el mtodo Lagrangiano, en donde la aceleracin de la partcula se obtiene por la derivada segunda de su vector de posicin, respecto al tiempo. Utilizando el mtodo Euleriano la aceleracin de una partcula que se mueve en un campo de velocidad, es una funcin del tiempo y de la posicin, y es suma de la aceleracin local y de la convectiva. Se considera un flujo unidimensional, estacionario e incompresible a travs de una tobera convergente. A partir de los datos: DETERMINE: (1) Aceleracin por el mtodo Euleriano. (2) Aceleracin por el mtodo Lagrangiano. campo de velocidades:x r r v = u0 1 + i A

DATOS:

Q x ARESOLUCIN:

x

r r r En el mtodo Euleriano, las partculas se mueven por un campo de velocidad: v = v(r , t) , en una determinada posicin y en un instante de tiempo, la aceleracin de la partcula, que en ese instante, esta en la posicin determinada, es: r r r dv v r r a= = + v v dt t r v es la aceleracin local, y viene determinada, en un determinado punto (local), por la variacin de t la velocidad con el tiempo; si el flujo es estacionario, en un determinado punto las propiedades no varan con el tiempo (no hay variaciones locales), y en particular la velocidad en ese punto es la misma a lo largo del tiempo, con lo que la aceleracin local ser nula. r r v v es la aceleracin convectiva, y viene determinada, en un determinado instante, por el gradiente r de velocidad ( )

En el mtodo Lagrangiano, se parte del conocimiento del vector de posicin de una determinada r r partcula a lo largo del tiempo: rp = rp (t) ; y se obtiene su aceleracin por la derivada segunda del vector de r r d 2r a= posicin con respecto al tiempo: dt 2

(1) ACELERACIN DE LAS PARTICULAS EN EL MTODO EULERINO.En el problema, el flujo es estacionario y unidimensional: Estacionario Unidimensional

r v =0 tx r r v = u0 1 + i A

[1]



39

r r r r La aceleracin a es puramente convectiva : a = v v x r v = (u v y z u x u w) = y

El gradiente de velocidad es:

en el problema: u=u0(1+x/A), v = w = 0; u u 0 ; = x A u0 A r v= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u2 x r 0 0 = 0 1 + i A A

con lo que el gradiente de velocidad es:

u0 A r r r x y la aceleracin convectiva es: a = v v = u 0 1 + 0 0 0

r u2 x r a = 0 1 + i A A

[2 ]

(2) ACELERACIN DE LAS PARTCULAS EN EL MTODO LAGRANGIANO.Consideremos una partcula que en el instante inicial (t=0), esta situada en el inicio de la tobera (x=0); la posicin de esa partcula a lo largo del tiempo es: x p = x p ( t ), y se determina a partir del campo de velocidades: x dx p = u dt = u 0 1 + p dt A dx p = u 0 dt xp 1+ A

xp xp =o

dx p 1 + xp / A

=

t t =0

u 0 dt

xp A ln 1 + = u0 t A

xp = A

e

u0 t A 1 d2x r u 2 u0 t r r a p = 2p i = ... = 0 e A i dt A

con lo que la aceleracin de la partcula ser:

[3]

Evidentemente las dos expresiones deben dar el mismo valor de la ACELERACIN (comprubelo!).



40

4.2. Aplicacin de la ecuacin de continuidad: criterios de incompresibilidad.La condicin estricta de incompresibilidad, es que la densidad sea constante; no obstante, bajo determinadas condiciones del flujo, es posible asumir la hiptesis de incompresibilidad. Uno de los criterios, es que el nmero de Mach, sea relativamente pequeo, tomando normalmente como lmite Ma> u dx dx desiualdad, aunque la densidad vae, puede considease el flujo como cuasiincompesible.

Paa flujo unidimensional, la desi

ualdad anteio, queda como:

u d

Estictamente las vaiaciones de pesin debidas a las vaiaciones de densidad, dependen del tipo de poceso que tena lua; en este caso el movimiento de las pequeas petubaciones en el seno de un fluido, es pido y pcticamente no hay tiempo paa la tansmisin de calo (adems las ievesibilidades son tambin despeciables), es deci se puede considea que el poceso es isentpico, definindose po tanto la velocidad snica como:a=

p s



41

La variacin de velocidad se puede expresar en funcin de la variacin de presin (Ec. de BERNOULLI sin variaciones de energa potencial):dp + d

u2 2

=0

du =

dp u

Con las dos ltimas expesiones se puede escibi la desiualdad [3], quedando:dp 2 u a2 u = = Ma 2

1

N < 210,094

60 2

= 2006, 25 rm

El ventilador de 1 m de dimetro, debe girar a una velocidad menor de 2006,25 rm,

ara

oder coniderar la hitei de cuaiincomreibilidad en todo el flujo.

_________________________________________________________________________________________________________________ Aunte de Mecnica de Fluido JMC 04

2. Anlii diferencial en Mecnica de Fluido

42

4.3. Alicacin de la ecuacione de continuidad y de BERNOULLI: decarga de deito.Uno de lo roblema clico de hidrodinmica, e la decarga de un deoito. Se uelen tener tre cao: a) determinacin de la velocidad de alida, or un orificio inferior, coniderando que el nivel del deoito e contante; b) tiemo de decarga de un de

oito y c) forma del deoito ara que la velocidad de deceno del nivel ea contante (reloj de agua o cleidra). DETERMINE ara cada cao: 1. velocidad del chorro ara flujo no vicoo. 2. tiemo de decarga. 3. forma del deoito de revolucin. 4. valore de 1.), 2.) y 3.) a artir de lo dato numrico.

DATOS:

nivel del de

oito = H. nivel inicial del deoito =h0 ; dimetro del deoito = D1; dimetro del orificio = D2. velocidad de deceno del nivel de agua = v; dimetro de alida = D2 numrico: (a) H=3m (b) h0= 3m; D1=2m; DO=20mm (c) v=2 mm / min; D2=4 mm

RESOLUCIN: a) Deoito de nivel contante 1 vd H 2

BERNOULLI (1) (2)

1 =

atm v1 = 0 (H = cte)

2 =

atm v 2 = v dec arg a = v d

2 1 + 1 v1 + z1 = p 2 + 1 v 2 + z 2 2 2 2

(1) (2)

2 p atm + 1 0 2 +

z1 = p atm + 1 v d +

z 2 2 2

Con lo que la velocidad de descaa es: v d = 2 (z 2 z 1 ) = 2H

v d = 2

H

[1]

Que es la ecuacin de TORRICELLI. Numicamente, si el nivel del deposito es de H=3m, la velocidad de descaa, es:v d = 2H = 2 9,8 3 = 7,668 m / s

COEFICIENTE DE CONTRACCIN: existe una contaccin del choo de salida, con especto al ea del oificio de salida; la elacin ente las dos eas, se denomina coeficiente de contaccin de la vena lquida: Cc=AC/A0, que suele se del oden de 0,65.



43

COEFICIENTE DE VELOCIDAD: expeimentalmente la velocidad de salida en la contaccin, es meno que la dada po la ecuacin de Toicelli, sen el coeficiente de velocidad: Cv=(vd)expeimental / (vd)Toicelli; que suele se del oden de 0,95. COEFICIENTE DE DESCARGA: el caudal que ataviesa la seccin contada es:Q = A c v d = (A 0 C c ) C v 2H = (C c C v )A 0 2H

(

)

Al poducto CcCv se le denomina coeficiente de descaa Cd, que suele se del oden de 0,60; y a pati del cual se puede obtene el caudal que sale po el oificio:Q = C d A 0 2

H

b) Deposito de nivel vaiable:

En un deteminado instante, si el nivel es h(t), la ecuacin de Benoulli ente un punto de la supefici

27236004 2 analisis diferencial en mecanica de fluidos

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