7/26/2019 25FormulasReduccion.pdf

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Formulas de reduccion

1. Sea una integral, a la que llamaremosI(n), cuyo integrando depende de un parame-tro n R. Si aplicando algun metodo (habitualmente el de integracion por partes)podemos expresarla en funcion deI(n1), I(n2), etc, hemos hallado una formulade reduccion, valida en principio n R.

Ejemplo: I(n) =

lnn x dx= x lnn x nI(n 1).

2. Si el parametro toma solo valores naturales, n N, aplicando sucesivamente laformula iramos reduciendo el grado, llegando a I(3), I(2) . . . , que se pueden cal-cular en funcion de I(1) e I(0). Estas se integran directamente, pues suelen sermuy sencillas. A veces se observa que se pueden obtener de la formula general.

3. En ocasiones, reiterando el metodo, podemos llegar a una formula explcita quenos da directamente el valor de I(n), aunque suele ser complicado.

Ejemplo:

lnn x dx= x

lnn x n lnn1 x+n(n 1)lnn2 x+ + (1)nn!

.

4. Supongamos n Z y calculemos, por medio de la formula de reduccion, I(n) enfuncion de I(n 1). Al ser n